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Grado
4
to
Matemática Libro de Estudiantes
Matemática
Libro de Estudiantes
4
to
Grado
Instituto Nacional y Capacitación
de del
Formación Magisterio
¡Me gusta Matemática! PROYECTO REGIONAL
JAPÓN
Asistencia oficial para el Desarrollo
Agencia de Cooperación Internacional del Japón
Autoridades Lic. Danilo Medina
Presidente de la República Dominicana Josefina Pimentel, M.A. Ministra de Educación
Licda. Minerva Vincent, M.A. Viceministra de Educación Encargada de Servicios Técnicos y Pedagógicos
Grupo Núcleo Responsable de Adecuación y Validación
Agencia de Cooperación Internacional del Japón JICA
Marcelina Piña Del Rosario M.A. Coordinadora de Proyectos (INAFOCAM) Coordinadora General del proyecto
Lic. Tadashi Ikeshiro Director de JICA- República Dominicana
Lic. Isidro Báez Coordinador de los Proyectos de Matemática para los Centros de Excelencia Dirección General de Educación Media Lic. Octavio Galán Encargado de Sección en el Área de Matemática Dirección General de Educación Media Lic. Dolores de la Rosa Coordinadora del Área de Matemática Dirección General de Currículo Lic. Geovanny Lachapell Técnico Nacional del Área de Matemática Dirección General de Currículo Lic. Santa Azor Técnica Nacional Dirección General de Educación Básica
Toshiya Wakabayashi M.A. Coordinador de Proyectos Oficina de JICA-República Dominicana Laura Mella M.A. Coordinadora de Proyectos Oficina de JICA-República Dominicana Toshio Murata M.A. Primer Asesor Lic. Shiori Abe Asesora Técnica Nobuaki Kiya M.A. Asesor de Programa de Educación Básica Lic. Eric Morel Diagramador
Genaro Viñas M.A. Docente Área de Matemática Distrito Educativo 08 - 05
Este material didáctico ha sido adaptado de la versión original elaborado por el Proyecto de Mejoramiento de la Enseñanza Técnica en el Área de Matemática (PROMETAM) integrado por la Secretaría de Educación y la Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán de Honduras con asistencia técnica de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA). Quinta Edición, Mayo 2013 ® Derechos Reservados ME-JICA PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
PRESENTACIÓN El Ministerio de Educación, comprometido con elevar el nivel de la Calidad de la educación dominicana, pone a disposición de los y las docentes del Primer Ciclo del Nivel Básico la guía “Matemática, Guía para Maestros y Maestras” y su correspondiente “Libro de Estudiantes” para el estudiante, como una valiosa herramienta para mejorar la enseñanza y la práctica de esta área en el aula. Esta Guía fue elaborada en el marco del proyecto “Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza de la Matemática, 2005-2010”, realizado en la República Dominicana, con el apoyo de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA). El documento constituye una adaptación a nuestro contexto de los materiales “guía para el docente” y “cuaderno de trabajo del estudiante”, elaborados en Honduras con la asesoría de expertos japoneses. Las unidades de esta guía fueron adecuadas por un equipo técnico que recibió capacitación y asesoría técnica para tal fin, durante el desarrollo del Proyecto Regional “Me Gusta Matemática”, en Honduras y en la Universidad de Tsukuba, en Japón. En el diseño, la guía está organizada por unidades, las cuales están orientadas a partir de los contenidos curriculares y los componentes psicopedagógicos del Área de Matemática que se desarrollan en el Primer Ciclo del Nivel Básico. En el proceso de adecuación participaron en forma activa la Dirección General de Currículo, la Dirección General de Nivel Básico y el Instituto Nacional de Formación y Capacitación del Magisterio (INAFOCAM) que tuvo la función de coordinación. Para un óptimo aprovechamiento de este recurso didáctico, se recomienda utilizar el correspondiente cuaderno de trabajo dirigido a los niños y las niñas de este ciclo, de igual modo se espera que los Maestros y Maestras hagan un uso eficiente de estos materiales, para mejorar el aprendizaje de la Matemática en la escuela dominicana.
Josefina Pimentel, M.A. Ministra de Educación
Sugerencias para el uso del Libro de Estudiantes Queridos niños y niñas: este Libro de Estudiantes (LE) está diseñado para que lo utilicen bajo la dirección de su maestro o maestra. Contiene actividades que para resolverlas tienen que pensar junto a tus compañeros y compañeras y, en otros casos, los ejercicios los tienes que resolver de forma individual. Si no les permiten escribir directamente en este Libro de Estudiantes, les recomendamos escribir las respuestas en al cuaderno de apuntes. La misma sugerencia la hacemos para páginas a recortar, cópienlas en otra hoja. Esperamos que trabajen y aprendan mucho, con este libro. Los Autores
Indice Unidad 1
Números hasta 1,000,000
2 - 11
Lección 1 Leamos y escribamos los números hasta 1,000,000 Lección 2 Escribamos números en forma desarrollada Lección 3 Ubiquemos números en la recta numérica Lección 4 Redondeemos números Lección 5 Conozcamos los números romanos Unidad 2
Adición y sustracción
Líneas perpendiculares y paralelas
Multiplicación
6 8 10
12 14
16 - 19
16
20 - 31
Lección 1 Multipliquemos por U Lección 2 Multipliquemos por D0 y C00 Lección 3 Multipliquemos por DU Lección 4 Multipliquemos por CDU
División
32 - 47
Lección 1 Dividamos entre un número de una cifra Lección 2 Dividamos entre un número de dos cifras Lección 3 Sigamos dividiendo entre un número de dos sifras Lección 4 Conozcamos algunas reglas de la división Unidad 6
Triángulos
Fracciones
35 41 44
48 51 52 53
54 - 63
Lección 1 Conozcamos las fracciones equivalentes Lección 2 Sumemos y restemos fracciones de igual denominador Nos divertimos
20
Unidad 8
23 26 28
Lección 1 Midamos en kilómetros Lección 2 Sumemos y restemos con la longitud Lección 3 Midamos con las unidades del sistema inglés
Longitud
32
48 - 53
Lección 1 Clasifiquemos triángulos Lección 2 Construyamos triángulos Nos divertimos Lección 3 Calculemos el perímetro Unidad 7
Lección 1 Líneas perpendiculares y paralelas Unidad 4
5
12 - 15
Lección 1 Sumemos y restemos Lección 2 Estimemos sumas y restas Unidad 3
2
Unidad 5
54 57 63
64 - 71 64 68 70
Indice Unidad 9
Área de rectángulos
72 - 81
Lección 1 Comparemos superficies Lección 2 Calculemos el área de cuadrados y rectángulos Nos divertimos Lección 3 Conozcamos las unidades del área Unidad 10 Números decimales
Lección 1 Calculemos el área de triángulos Unidad 12 Gráficas de barras
76 78 79
82 - 95
Lección 1 Conozcamos otros números decimales Lección 2 Sumemos y restemos otros números decimales Unidad 11 Área de triángulos
72
Unidad 13 Peso Lección 1 Determinemos pesos usando balanzas Unidad 14 Círculos y esferas
Unidad 15 Simetría
89
Lección 1 Figuras simétricas Lección 2 Características de las figuras simétricas Páginas para recortar
96 102 - 111
Lección 1 Construyamos gráficas de barras 102 Lección 2 Organicemos los datos 108
112 116 - 123
Lección 1 Conozcamos el círculo Nos divertimos Lección 2 Conozcamos la esfera
82
96 - 101
112 - 115
Unidades 1, 4, 5 Unidad 8 Longitud Unidad 9 Área de rectángulos Unidad 10 Números decimales Unidad 12 Gráficas de barras Nos divertimos
116 121 122
124 - 129 124 126 130 - 153 131 137 141 143 147 149
Libro de Estudiantes
o
4 Grado
Unidad
Números hasta 1,000,000
1
Recordemos 1. Lea los números siguientes: 235;
3,521;
1,050
2. ¿Qué números corresponden a los puntos señalados con las flechas? 0
1,000
2,000
3. Complete en el cuaderno la expresión usando uno de los símbolos ó =:
5,021
3,000
2,987
Lección 1: Leamos y escribamos los números hasta 1,000,000
A
Un paquete contiene cien hojas de papel. Una caja contiene diez paquetes.
1
¿Cuántas hojas de papel contiene una caja?
2
Si hay 23 cajas, 2 paquetes y 54 hojas de papel, ¿cuántas hojas hay en total?
3
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
¿Cómo se escribe el número que es 10 veces 1,000? 10 veces 10 es 100, 10 veces 100 es 1,000. Entonces 10 veces 1,000 es 10,000. Dm Um
La cantidad que es 10 veces 1,000 se escribe 10,000 y se lee diez mil. Se abrevia DM 4
D
U
Represente la cantidad de hojas con tarjetas numéricas.
Diez de 1,000 hacen una de 10,000
5
C
10,000 10,000
1,000 1,000 1,000
100 100
10 10 10 10 10
2
3
2
5
1 1 1 1
4
Anote la cantidad total de hojas.
2 dos
La cantidad total de hojas de papel se escribe “23,254” y se lee “veintitrés mil doscientos cincuenta y cuatro”.
1 Escriba la forma en que se leen los números siguientes: (1) 32,514 (2) 15,273 (3) 24,503 (4) 72,005 (5) 60,340 (6) 10,200 2 Escriba los siguientes números. (1) Cuarenta y cinco mil doscientos setenta y uno (2) Doce mil trescientos cuarenta y cinco (3) Treinta y cinco mil veinte (4) Once mil uno (5) Cincuenta mil veinte (6) Ochenta mil
B
¿Cómo se llama la cantidad que es diez veces diez mil y cómo se escribe? Se llama cien mil y se escribe 100,000. 10 veces 1,000 es 10,000, entonces 10 veces 10,000 es 100,000 que equivale a 100 veces 1,000.
1
¿Cómo se lee el siguiente número?
Cm
Dm
Um
C
D
U
2
3
4
5
6
7
234,567 se lee “doscientos treinta y cuatro mil quinientos sesenta y siete”.
3 Escriba la forma en que se leen los números siguientes: (1) 531,274 (2) 124,023 (3) 205,301 (4) 300,502 (5) 400,020 (6) 620,003
tres
3
4 Escriba los siguientes números. (1) Doscientos cincuenta y un mil trescientos setenta y cuatro (2) Cuatrocientos veintiún mil quinientos siete (3) Ciento dos mil cincuenta y cuatro (4) Quinientos mil veinte (5) Trescientos un mil cuatro (6) Setecientos mil trescientos
C
¿Cómo se llama la cantidad que es diez veces cien mil y cómo se escribe? 10 veces 1,000 es 10,000, 10 veces 10,000 es 100,000, entonces 10 veces 100,000 es 1,000,000 y se lee “un millón”.
Intentémoslo Escriba en su cuaderno la forma en que se leen los números siguientes:
(1) 1,372,847 (2) 3,407,029 (3) 7,000,509
Escriba los números en su cuaderno.
(1) Un millón novecientos ochenta y dos mil trescientos cuarenta y seis (2) Un millón cuatrocientos dos mil trescientos ochenta (3) Dos millones novecientos ochenta mil dos (4) Ocho millones trescientos veinte
4 cuatro
Lección 2: Escribamos números en forma desarrollada
A
Vamos a escribir los números 52,471 y 350,238 en forma desarrollada. Dm
Um
5
2
C
D
4
U
7
1
Por lo tanto. 52,471 = 50,000 + 2,000 + 400 + 70 + 1
Podemos usar la tabla de valores
De la misma manera 350,238 = 300,000 + 50,000 + 200 + 30 + 8 1 Escriba en forma desarrollada los siguientes números: (1) 13,457 (2) 40,205 (3) 365,428
2 Escriba el número formado por: (1) 3Cm, 1Dm, 2Um, 4C, 6D y 5U (3) 1Cm y 2D
B
(4) 500,205
(2) 2Dm, 5C y 4U (4) 4Cm, 5Um y 3U
En el número 534,218 ¿cuál es el valor de posición de la cifra 3? El valor de posición de la cifra 3 es 30,000, porque está en la posición de las decenas de mil. 3 ¿Cuál es el valor de posición de las siguientes cifras en el número 234,075? (1) 2
(2) 4
(3) 7
4 Complete la siguiente tabla:
Número 35,274 3,498 464,536 265,283 434,500 163,401 3,284
Descomposición Forma abreviada
Forma desarrollada
Valor de posición del 3
3Dm + 5Um + 2C + 7D + 4U
30,000+5,000+200+70+4
30,000
cinco
5
Lección 3: Ubiquemos números en la recta numérica
A
¿Qué número corresponde al punto señalado con la flecha? 0
10,000
20,000
30,000
40,000
En esta recta numérica cada espacio pequeño equivale a 1,000. La flecha indica el punto 26,000. De dos números, es mayor, el que está a la derecha en la recta numérica.
1 Escriba los números que corresponden a las letras:
(1)
0
1,000 a
(3)
b
c
d
30,000 l
(4)
200,000
g
49,900 n
300,000
t
100,000 f
m
299,000 s
0
d
40,000
k
(5)
(2)
2,000
h
50,000 o
p
i
j
50,100
q
r
301,000
u
v
w
x
2 Indicar los números que corresponden a las letras marcadas con flechas: 11,000 16,000 40,000 190,000 (1) 3,000 (2) 120,000 0
10,000 a
b
(3) 58,000
72,000 60,000 g
m
6 seis
0
100,000 d
e
64,000
(4) 23,110
23,020
70,000
22,900
c
h
(5) 420,300 419,900 419,000
20,000
j
i
418,800 420,000 n
23,000
421,000 o
k
200,000 f
22,940 23,100 l
B
Compare los dos números y escriba uno de los signos ó =. (1) 132,416
78,965
(3) 472,105
459,876
(2) 398,719
536,247
Comparación de dos números naturales: Primero comparar la cantidad de cifras. El que tenga más cifras es el mayor. Si los dos tienen la misma cantidad de cifras, comparar la primera cifra de la izquierda de cada número. El que tenga la cifra mayor es el mayor. Si las primeras cifras son iguales, comparar la segunda cifra de cada uno. El que tenga la mayor cifra es el mayor. Si las primeras dos cifras de ambos números son iguales, comparar la tercera cifra y así sucesivamente con el mismo procedimiento. Si al final todas las cifras son iguales, los dos números son iguales.
3 Compare los dos números y escriba uno de los signos ó =: (1)
(2) 100,000
93,245
298,769
(4)
74,294
76,001
(5) 459,021
453,679
(6) 100,253
100,249
(7) 198,237
198,237
9,999
73,245
(3) 462,916
Recuerda ir comparando las cifras de izquierda a derecha.
, ,
siete
7
Lección 4: Redondeemos números
A
En la tabla se muestra la población de provincias de la República Dominicana Población de Provincias de la República Dominicana Provincias
1
Población
Santiago
908,250
La Vega
385,101
Puerto Plata
312,706
Mao Valverde
158,293
Distrito Nacional
913,540
Encontramos el número aproximado de la población del Distrito Nacional.
Aproximar un número al número más cercano según una posición indicada es el redondeo.
Proceso. (1) Determinar la posición a la que se quiere redondear. (2) Observar la cifra que está en la posición inmediatamente a la derecha de la posición de donde queremos redondear el número. (3) Si la cifra en esta posición es menor que 5, convertir todas las cifras de las anteriores en 0. (4) Si la cifra en la posición es mayor o igual a 5, suma 1 a la cifra que se va a redondear. Redondear a la centena el Distrito Nacional 913,540. Observe que el número inmediatamente a la derecha de las centenas de mil es 0 y es menor que 5, entonces, el redondeo será 900,000. 2
Redondeamos la población de La Vega a las centenas de mil.
Redondear a la centena La Vega 385,101. El número inmediatamente a la derecha es 8 y es mayor que 5, entonces, se le suma 1 a la posición indicada y los demás igual a ceros. El redondeo será 400,000.
8
ocho
1 Redondee los siguientes números a la posición indicada. (1) 158,293 a las centenas más próximas
(2) 385,101 a las unidades de mil más próximas
(3) 908,250 a las unidades de mil más próximas
2 Redondee los siguientes números a las centenas más próximas. (1) 35,527
(2) 4,783
(3) 782,145
(4) 6,783
3 Redondee los siguientes números a las decenas de mil más próximas. (1) 154,319
(2) 612,387
(3) 16,307
(4) 8,764
4 Redondee los siguientes números a la posición indicada. (1) 968,756 a las decenas de mil más próximas
(2) 999,889 a las centenas de mil más próximas
(3) 898,539 a las centenas de mil más próximas
(4) 913,540 a las decenas de mil más próximas
(5) 908,240 a las centenas más próximas
(6) 312,706 a las decenas más próximas
nueve
9
Lección 5: Conozcamos los números romanos
A
Leamos la hora en los relojes de Juan y Lucía. Se leen de la misma manera.
Reloj de Juan 1
Reloj de Lucía
¿Cómo podemos leer el reloj de Lucía? ¿Qué hora es en ambos relojes?
Se lee de la misma manera que el de Juan. Los números I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII equivalen a los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 y se llaman números romanos. En ambos relojes son las 3:35. 2
Reconocemos los números romanos.
Los números romanos se escriben con letras mayúsculas que tienen los siguientes valores: I = 1, V = 5, X = 10. Estos números siguen las siguientes reglas: Las letras I, X se pueden repetir dos o tres veces seguidas: II = 2, XX = 20, XXX = 30. Si una letra se pone a la derecha de otra de mayor valor, se suman los valores: XV = 10 + 5 = 15, VII = 5 + 1 + 1 = 7. No se puede repetir más de tres veces las letras colocadas a la derecha.
1
Escriba los siguientes números con nuestro sistema de numeración: (1) VI
2
(2) XII
(3) XVII
(4) XVIII
Escriba los siguientes números con números romanos: (1) 8
10 diez
(2) 11
(3) 13
(4) 16
B
Ayudamos a Juan a descifrar un número. Juan, leyendo su libro de Sociales, se encontró con la expresión “Siglo XIV”. En nuestro sistema de numeración decimal, ¿qué número es? Las letra I colocada a la izquierda de otra mayor, le resta su valor: IX = 10 - 1 = 9, IV = 5 - 1 = 4. Para esto sólo se puede colocar una vez Para aplicar la resta el valor del símbolo mayor tiene que ser 5 ó 10 veces el valor del símbolo menor. Por ejemplo no se puede representar 5 como VX. Como X = 10, V = 5. Además I está antes de V, así: IV, se resta 5 - 1 = 4 entonces IV = 4 y como IV está después de X, resulta XIV = 10 + 4 = 14. La expresión “Siglo XIV” es la misma que “Siglo 14”.
3
Escriba su edad, en números romanos.
4
Lucía está leyendo un libro de Historia. Según la lámina, ¿en qué capítulo está? ¿En qué libros has visto números romanos? XV V X
XXI
5
En la promoción de octavo grado de Dolores, se leía la expresión “IX PROMOCIÓN”. ¿Cuántas promociones habían pasado antes de la de Dolores?
6
Cuando es año bisiesto, febrero tiene 29 días. Complete en su cuaderno, los primeros 20 días de febrero usando números romanos:
FEBRERO 1 I 11
2
3
4
12
13
21
22
23
14 XIV 24
5 V 15
6
7
8
9
16
17
18
19
25
26
27
28
29
10 X 20
once
11
Unidad
Adición y sustracción
2
Recordemos 1. Calcule las siguientes operaciones. (1) 325 + 248
(2) 623 + 47
(3) 76 + 824
(4) 649 + 793
(5) 540 - 319
(6) 653 - 287
(7) 306 - 83
(8) 732 - 680
Lección 1: Sumemos y restemos
A 1
La provincia de Puerto Plata tiene una población aproximada de 312,706 habitantes, y la provincia de Valverde tiene 158,298. ¿Cuál es la población total de las dos provincias?
PO: 312,706 + 158,298 = 471,004 R: 471,004 habitantes 2
312,706 + 158,298 471,004
¿Cuántos habitantes más tiene la provincia de Puerto Plata que la de Valverde?
PO: 312,706 - 158,298 = 154,408 R: 154,408 habitantes
312,706 - 158,298 154,408
Cálculo vertical de suma y resta con números naturales: - Colocar los números ordenados de modo que las cifras del mismo valor posicional estén en línea vertical, es decir, unidad debajo de unidad, decena debajo de decena, etc. - Sumar o restar empezando por las unidades.
1 Calcule las siguientes operaciones en forma vertical. (1) 32,758 + 59,493
(2) 132,546 + 47,454
(3) 47,058 + 398,967
(4) 53,241 - 18,796
(5) 235,673 - 75,896
(6) 735,000 - 189,265
12 doce
2 Sume las siguientes operaciones. (1) 345,672 + 86,325
(2) 40,305 + 50,897
(3) 35,247 + 884,694
(4) 472,036 + 7,964
(5) 487,687 + 17,930
(6) 28,607 + 493,895
3 Reste las siguientes operaciones. (1) 501,243 - 235,678
(2) 153,482 - 68,986
(3) 63,500 - 21,263
(4) 120,403 - 57,831
(5) 50,000 - 24,217
(6) 42,000 - 32,789
4 Resuelva los siguientes problemas. (1) José tenía 135,495 pesos depositados en el banco y luego depositó 32,745 pesos. ¿Cuántos pesos tiene José depositado en total? PO: ________________________________
R: ____________________
(2) Andrés quiere comprar una bicicleta que cuesta 3,000 pesos, pero él sólo tiene 1,730 pesos. ¿Cuántos pesos le faltan para poder comprar la bicicleta? PO: ________________________________
R: ____________________
(3) Juan Pablo Duarte nació en el año 1813 y murió en 1876. ¿Cuántos años vivió Duarte? PO: ________________________________
R: ____________________
(4) Luisa fue a la tienda y compró un pantalón por 875 pesos y una blusa por 350 pesos. ¿Cuántos pesos gastó Luisa en total? PO: ________________________________
R: ____________________
Si Luisa pagó con un billete de 2,000 pesos, ¿qué cantidad de dinero le tienen que devolver? PO: ________________________________
R: ____________________
trece 13
Lección 2: Estimemos sumas y restas
A 1
Si la Escuela Juan Pablo Duarte tiene 3,217 estudiantes y la Escuela Salomé Ureña WLH Q H • & X £ Q W R V H V W X G L DQ W H V K D\ DSUR [ L P DG DP H Q W H H Q W UH O DV G R V H V F X H O DV " Vamos a obtener una aproximación o estimado de los estudiantes de cada escuela redondeando cada cantidad a la centena más cercana:
3,217 son aproximadamente 3,200 2,572 son aproximadamente 2,600 2
Estime la cantidad total de estudiantes de las dos escuelas.
PO: 3,200 + 2,600 = 5,800 R: 5,800 estudiantes 3
En muchos casos es conveniente tener un valor aproximado del resultado de una operación.
3,200 + 2,600 5,800
Estime la diferencia entre la cantidad de estudiantes de las dos escuelas.
PO: 3,200 - 2,600 = 600 R: 600 estudiantes
3,200 - 2,600 5,600
- Para estimar una suma redondeamos los sumandos al lugar posicional inidicado y luego calculamos. - Para estimar una resta redondeamos el minuendo y el sustraendo al lugar indicado y luego calculamos.
1 Aproxime las siguientes operaciones redondeando a la centena más cercana. (1) 47,138 + 25,273
(2) 13,851 + 4,537
(3) 5,861 + 72,400
(4) 38,225 - 19,436
(5) 87,462 - 9,376
(6) 41,823 - 26,384
14 catorce
2 Estime las siguientes sumas redondeando los sumandos a la unidad de mil más cercana. (1) 63,172 + 17,815
(2) 147,610 + 23,354
(3) 51,987 + 4,875
(4) 166,021 + 83,124
(5) 986 + 53,231
(6) 24,143 + 9,892
3 Estime las siguientes sumas redondeando los sumandos a la decena de mil más cercana. (1) 32,452 + 17,634
(2) 719,025 + 252,162
(3) 850,114 + 88,150
(4) 8,789 + 61,472
(5) 209,147 + 381,125
(6) 32,143 + 27,504
4 Estime las siguientes restas redondeando a la centena más cercana. (1) 5,678 - 2,173
(2) 74,413 - 36,109
(3) 6,598 - 2,816
(4) 12,307 - 7,381
(5) 53,416 - 14,231
(6) 127,382 - 93,679
5 Estime las siguientes restas redondeando a la unidad de mil más cercana. (1) 46,821 - 27,123
(2) 146,342 - 65,460
(3) 26,908 - 21,763
(4) 54,871 - 7,972
(5) 3,016 - 876
(6) 78,319 - 43,168
6 Estime las siguientes operaciones redondeando a la unidad de mil más cercana y luego halle el valor exacto. Operación
Valor estimado
Valor exacto
37,246 + 52,821 349,103 + 91,654 86,301 - 35,146 67,934 - 23,148
quince 15
Unidad
3 Líneas perpendiculares
y paralelas
Lección 1: Líneas perpendiculares y paralelas
A
Diego y Ángela escribieron el signo "+" en la pizarra en grande.
Diego Observe y conteste. (1) ¿Quién lo escribió mejor?
1
Ángela (2) ¿Cómo se deben cortar las líneas para escribirlo mejor?
Diego
2
Formando ángulos rectos.
Confirme en los dibujos de Diego y Ángela los ángulos rectos con la escuadra o con el transportador. En el dibujo de Diego todas las esquinas forman un ángulo recto. En el dibujo de Ángela ninguna esquina forma el ángulo recto. Las líneas rectas que se cruzan o se unen, y forman una esquina que coincide con el ángulo recto, se llaman líneas perpendiculares.
1
Encuentre las líneas perpendiculares y escriba el número que corresponda en el paréntesis. (1)
(2)
(3)
Son líneas perpendiculares (
2
(4)
(5)
).
Encuentre los pares de líneas perpendiculares usando la escuadra o el transportador y escriba en el paréntesis los números que corresponden. 2 1
16 deiciséis
3
4
5
( ) y ( ) son líneas perpendiculares. ( ) y ( ) son líneas perpendiculares.
Vamos a hacer las líneas perpendiculares usando las escuadras. 1
2 8
9
10
11
12
13
14
15
9
2
Trazar una línea horizontal.
2 Con el ángulo recto de la escuadra trazar la línea perpendicular.
16
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
0
B1
Forme líneas perpendiculares en una hoja de papel. 1
2
3
1 Doblar por la mitad el papel. 2 Seguir doblando por la mitad. 3 Extender la hoja y observar los pliegues.
3 Dibuje una línea perpendicular a cada línea dada. (1)
(4)
(2)
(3)
Tienes que ajustar bien las escuadras a la línea dada de modo que se forme la línea perpendicular.
(5)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8 9 10 11 12 13 14 15 16
diecisiete 17
C
Clasifique los siguientes pares de líneas. (1)
(2)
1 ¿Cuáles pares de líneas se cruzan?
(3)
2 ¿Cuáles pares de líneas no se cruzan? (4)
(5)
(6) 1, 3 y 5 se cruzan. 2, 4 y 6 no se cruzan.
1
Observe los siguientes pares de líneas. A
¿Qué sucede si prolongo las líneas A y B?...
2 cm
1 ¿Cuál es la diferencia? 2 ¿Cuánto mide de ancho de A y B en cada extremo?
B
3 ¿Cómo se llaman las líneas que no se cruzan y tienen el mismo ancho?
2 cm
Las líneas rectas que no se cruzan y siempre guardan la misma distancia se llaman líneas paralelas.
4 Encuentre las líneas paralelas y escriba el número que corresponda en el paréntesis. (1)
(2)
(3)
Son líneas paralelas (
(4)
(5)
).
5 Encuentre las líneas paralelas en el aula. 6 Escriba el número que corresponde en cada cuadro para cada par de líneas paralelas. (1)
(2) 5 cm
18 dieciocho
cm
cm 1 cm
D
Vamos a dibujar líneas paralelas usando las escuadras. 3
2
3
4
5
6
7
8
9 8 6
7 6 5 4 3
0
1
0
1
2 1 0
3
Correr hacia abajo la escuadra y trazar otra línea.
7
8
8 7 6 5 4 3 2 1 0
Trazar una línea horizontal.
14 12 11
1
10
0
9
9
2
3
4
5
6
7
8
9
5
8
4
7
3
6
2
5
2
13
14 13 12 11
4
10
3
9
2
Colocar las escuadras como en el dibujo 1.
15
15
16 15 14 13 12 11 10
1
9
0
1 16
2 16
1
7 Dibuje líneas paralelas a cada una de ellas usando la escuadra (regla). (1)
(2)
(3)
(4)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15
(6)
12
(5)
0
1
2
3
4
5
6
7
16
Tienes que colocar y sujetar bien la escuadra... 8
9
diecinueve 19
Multiplicación
4
Unidad
×
Recordemos 1. Calcule.
x
324 2
x
325 3
x
239 6
x
748 7
2. 2 x 3 y 3 x 2 son iguales porque ambos son 6. ¿Siempre da lo mismo cuando se cambia el orden de los dos factores en la multiplicación? ¿Por qué?
Lección 1: Multipliquemos por U
A
Hay un barco que lleva 1,324 personas en cada viaje. ¿Cuántas personas puede llevar en dos viajes?
1
Escriba el PO.
2
Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical con las tarjetas numéricas.
PO: 2 x 1,324
UM
C
1,000
100 100 100
1,000
100 100 100
R: 2,648 personas
D
U
10 10
1 1 1 1
10 10
1 1 1 1
UM
2 x 1,324
x
C
D
1 , 3
2
2 , 6
4
2x4= 8 2 x 20 = 40 2 x 300 = 600 2 x 1,000 = 2,000 2 x 1,324 = 2,648
La multiplicación de 2 x 1,324 se calcula así (como los casos U x DU y U x CDU): Hay que colocar los dos números de modo que las cifras del mismo valor posicional estén en línea vertical. Calcular las unidades: 2 x 4 = 8 y escribir el 8 en las unidades. Calcular las decenas: 2 x 2 = 4 y escribir el 4 en las decenas. Calcular las centenas: 2 x 3 = 6 y escribir el 6 en las centenas. Calcular las unidades de mil: 2 x 1 = 2 y escribir el 2 en las unidades de mil.
20 veinte
U
4 2 8
1
Calcule. (1)
B
2,132 x 3
(2)
4,213 x 2
(3)
2,121 x 4
Resuelva la siguiente situación. Sobre el mismo barco del problema A, ¿cuántas personas puede llevar en 3 viajes? PO: 3 x 1,324
1,324 x 3 2
1,324 x 3 72
1,324 x 3 972
1,324 x 3 3,972
Calcular las unidades: 3 x 4 = 12 y escribir el 2 en las unidades; reagrupar 1 a las decenas (se puede escribir 1 en letra pequeña para ayudar a la memoria). Calcular las decenas: 3 x 2 = 6 y con el 1 que se lleva, 6 + 1 = 7 y escribir el 7 en las decenas. Calcular las centenas: 3 x 3 = 9 y escribir el 9 en las centenas. Calcular las unidades de mil: 3 x 1 = 3 y escribir el 3 en las unidades de mil. R: 3,972 personas
2
Calcule. 4,237 (1) x 2
(6)
3
x
4,543 6
(2)
(7)
x
2,152 3
(3)
x
1,246 7
(8)
x
x
1,412 4
(4)
2,642 8
(9)
(4)
x
6,234 2
x
2,234 9
(5)
x
2,143 4
Calcule. (1)
42,143 x 2
(2)
21,312 x 3
(3)
21,237 x 4
(6)
17,475 x 7
(7)
12,876 x 8
(8)
23,323 x 9
13,234 x 5
(5)
14,285 x 6
veintiuno 21
C
Van 2 camiones. Cada camión lleva 4 tanques de agua y cada tanque contiene 37 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua hay en total? Resuelva de dos maneras. 37 l
37 l
37 l
37 l
37 l
37 l
37 l
37 l
Hay
Hay
litros de agua, hay
Hay
litros de agua en total
tanques en total
litros de agua
PO: (1) 4 x 37 = 148, 2 x 148 = 296
Hay
litros de agua en total
PO: (2) 2 x 4 = 8, 8 x 37 = 296
Las dos maneras se pueden expresar como lo siguiente: 2 x 4 x 37 = 296 R: 296 litros
En el caso de la multiplicación de tres factores, empezar por los dos primeros factores o por los dos últimos factores da lo mismo. Si se quiere indicar el orden del cálculo, se utilizan los paréntesis. Ejemplo: 2 x (4 x 37) es igual a (2 x 4) x 37 2 x 148 8 x 37
4 Calcule según el orden indicado por los paréntesis y compare los resultados. (1) (2 x 3) x 48,
2 x (3 x 48)
(2) (3 x 3) x 253
3 x (3 x 253)
22 veintidós
Lección 2: Multipliquemos por D0 y C00
A
Se venden manzanas en fundas. Hay 3 manzanas en cada funda. Si hay 10 fundas, ¿cuántas manzanas hay en total? PO: 10 x 3 Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo siguiente.
10 manzanas 10 manzanas
10 x
10 manzanas
B
30 manzanas
R: 30 manzanas
Se venden reglas a 23 pesos cada una. Si se compran 10 reglas, ¿cuántos pesos se necesitan? PO: 10 x 23 Vamos a encontrar la respuesta usando las tarjetas numéricas. 1 10 x 10 1 10 1
1 10 1 10 1
1 10 1 10 1
1 10 1 10 1
1 10 1 10 1
1 10 1 10 1
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
1 10 1 10 1
1 10 1 10 1
1 10 1 10 1
1 10 1 10 1
1 10 1 10 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
100
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
100
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
10 30
200 230
R: 230 pesos Si se multiplica por 10, el producto se obtiene agregando 0 al lado derecho del otro factor. x 10
x 10 C 100 100
D 10 10
U 10 10 10
1 1 1
10 x 23 = 230 se agrega 0
veintitrés 23
1 Calcule.
C
(1) 10 x 5
(2) 10 x 7
(3) 10 x 13
(4) 10 x 25
(5) 10 x 10
(6) 10 x 21
(7) 10 x 45
(8) 10 x 10
Descubra la manera de encontrar el resultado de 100 x 23. 100 es 10 veces 10, por lo tanto x10
x10 UM
C
100 100 100
1,000 1,000
UM
C
2
2 3
D
2 3 0
x10
x10 D
U
100 x 23 = 2,300
10 10
1 1 1
se agrega 00
U
3 0 0
x10 x10
x100
Si se multiplica por 100, el producto se obtiene agregando 00 al lado derecho del otro factor.
2 Calcule. (1) 100 x 5
(2) 100 x 7
(3) 100 x 13
(4) 100 x 25
(5) 100 x 10
(6) 100 x 2
(7) 100 x 456
(8) 100 x 10
24 veinticuatro
D
Hay 3 manzanas en cada funda. Si hay 20 fundas, ¿cuántas manzanas hay en total? PO: 20 x 3 Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo.
2x3=6
2x3=6
2x3=6
2x3=6
2x3=6
2x3=6
2x3=6
2x3=6
2x3=6
2x3=6
20 x 3 = 10 x 2 x 3 = 10 x (2 x 3) = 10 x 6 = 60 R: 60 manzanas
El cálculo de 20 x 3: primero 2 x 3 y agregar 0.
3 Calcule. (1) 20 x 4
E
(2) 30 x 2
(3) 40 x 3
(4) 70 x 5
(5) 50 x 6
Si se compran 20 reglas que cuestan 23 pesos cada una, ¿cuántos pesos se pagan? PO: 20 x 23 Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo siguiente.
2 x 23
2 x 23
2 x 23
2 x 23
2 x 23
2 x 23
2 x 23
2 x 23
2 x 23
2 x 23
20 x 23 = 10 x 2 x 23 = 10 x (2 x 23) = 10 x 46 = 460 R: 460 pesos
El cálculo de 20 x 23: primero 2 x 23 y agregar 0.
4 Calcule.
(1) 20 x 32 (2) 30 x 21 (3) 30 x 24 (4) 40 x 16 (5) 30 x 42 (6) 50 x 34 (7) 40 x 25 (8) 80 x 75
5 Calcule.
(1) 200 x 42
(2) 300 x 34
(3) 400 x 63
(4) 500 x 137
(5) 600 x 260 (6) 700 x 300
veinticinco 25
Lección 3: Multipliquemos por DU
A
Se venden gomas de borrar a 13 pesos cada una. Una caja contiene 20 gomas de borrar. El profesor Rubén Darío compró una caja y una goma de borrar para sus 21 alumnos. ¿Cuánto pagó el profesor? PO: 21 x 13
20 x 13 21 x 13 1 x 13
Vamos a encontrar la respuesta consultando el dibujo. El precio de los que están en la caja El precio del que está fuera de la caja
B
20 x 13 = 260 1 x 13 = 13
R: 273 pesos
Total:
273
Vamos a calcular 21 x 13 en forma vertical. (1)
D 1 x2 1
U 3 1 3
(2)
D 1 x2 1 2 6
se calcula 1x3y1x1
1 Calcule. 32 (1) x 31
D 1 x2 1 2 6 2 7
(3)
U 3 1 3
se calcula 2x3y2x1
(2)
23 13 x
(3)
42 x 21
2 Calcule en la forma vertical. (1) 14 x 13 (2) 17 x 21
(3) 17 x 23
3 Calcule en la forma vertical. (1) 71 x 32 (2) 73 x 26
(3) 62 x 73
(4) 54 x 63
(5) 48 x 39
(6) 47 x 66
4 Calcule en la forma vertical. (1) 32 x 24 (2) 23 x 17
(3) 27 x 28
26 veintiséis
U 3 1 3 3
se suman los productos parciales
(4)
30 x 23
(4) 34 x 21
(4) 31 x 41
C
Vamos a pensar en la forma del cálculo 21 x 213 aplicando lo aprendido. 213 x 21 213
213 x 21 213 4 26
1 x 213 = 213
213 x 21 213 4 26 4,473
2 x 213 = 426
213 + 4,260 = 4,473
5 Calcule. (1)
312 x 31
(2)
314 (3) 412 x 12 x 21
(4)
203 (5) 202 (6) 210 x 31 x 43 x 23
(7)
310 (8) 300 x 32 x 23
6 Calcule. (1) 123 x 71
(2)
(3)
106 x 45
(4)
142 x 34
113 x 82
(5) 243 x 13
(6)
(7)
124 x 23
114 x 25
(8)
(9)
123 x 26
118 x 27
7 Calcule en forma vertical. (1) 621 x 32
(2) 352 x 34
(3) 334 x 53
(4) 734 x 53
(5) 563 x 72
(6) 804 x 23
(7) 706 x 27
(8) 930 x 34
(3) 327 x 42
(4) 406 x 72
8 Calcule en forma vertical. (1) 324 x 26
D
(2) 403 x 27
Comparemos los dos cálculos. (a)
x
34 20 00 68 680
(b)
Calcular como se hizo anteriormente
x
34 20 680
Poner 0 en las unidades y empezar a calcular 2 x 34 a su izquierda
9 Calcule en la forma (b) si puede. Si tiene dificultad hágalo en la (a). (1) 26 x 30
(2) 86 x 40
(3) 362 x 20
(5) 406 x 30
(6) 730 x 60
(7) 800 x 70
(4) 462 x 70
veintisiete 27
Lección 4: Multipliquemos por CDU
A
Se venden camisetas a 312 pesos cada una. Si cada uno de los 231 alumnos y alumnas de la escuela compra una camiseta, ¿cuántos pesos pagan en total? PO: 231 x 312 Vamos a pensar en la manera de calcular en la forma vertical. 312 x 231 312 9 360 62 400 72,072
1 x 312 30 x 312 200 x 312 312 + 9,360 + 62,400
= 312 = 9,360 = 62,400 = 72,072
al omitir los ceros
312 x 231 312 9 36 62 4 72,072
R: 72,072 pesos
1 Calcule en forma vertical. (1)
231 x 213
(2)
134 x 536
(3)
284 x 367
(4)
346 x 879
(5)
760 x 453
(6)
300 x 627
2 Calcule en forma vertical. (1) 936 x 438
28 veintiocho
(2) 574 x 479
(3) 978 x 204
(4) 428 x 600
B
Calcule 302 x 213 en forma vertical. 213 x 302 426 0 00 63 9 64,326
213 x 302 426 63 9 64,326
Se puede omitir la multiplicación por cero
3 Calcule. (Si no puede calcular omitiendo la multiplicación por cero, escríbala). (1)
132 x 203
(2)
468 x 703
(3)
207 x 604
(4)
340 x 709
(5)
354 x 860
(6)
245 x 900
4 Calcule en forma vertical. (1) 708 x 327
C
(2) 604 x 702
(3) 409 x 670
(4) 508 x 300
Calcule 78x4 en forma vertical. Compare las dos formas. ¿Por qué se puede calcular de la forma (b)? (a)
4 x 78 32 28 312
(b)
78 x 4 312
5 Calcule en forma vertical. (1) 48 x 6
(2) 29 x 8
(3) 36 x 7
(4) 37 x 5
(5) 369 x 7
(6) 267 x 9
(7) 459 x 21
(8) 273 x 48
veintinueve 29
Ejercicios 1 Calcule en forma vertical (1) 37 x 48
(2) 63 x 54
(3) 48 x 93
(4) 40 x 87
(6) 13 x 365
(7) 30 x 607
(8) 452 x 237
(9) 379 x 407
(10) 706 x 304
(12) 590 x 226 (13) 360 x 480
(14) 400 x 520
(15) 800 x 700
(11) 248 x 790
(5) 60 x 70
2 Resuelva los siguientes problemas. Siempre hay que poner el planteamiento de la operación (PO) y la respuesta (R). En la respuesta se necesita la unidad. (1) Hay un autobús que lleva 89 pasajeros en un viaje. ¿Cuántos pasajeros lleva en 23 viajes? (2) ¿Cuántos minutos hay en un día? ¿Cuántos segundos hay en un día? (3) Para elaborar una canasta de alambre, se utilizan 13 metros de alambre. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para elaborar 147 canastas? (4) Hay un camión que pesa 2,350 kilogramos. Si este camión lleva 56 cajas de azúcar y cada una pesa 14 kilogramos, ¿cuántos kilogramos pesa en total el camión con las cajas?
30 treinta
Ejercicios suplementarios 1 Calcule en forma vertical. (1) 7 x 142,857
(2) 6 x 148,148
(3) 13 x 76,923
(4) 23 x 3,913
(5) 17 x 2,549
(6) 73 x 2,207
(7) 987 x 654
(8) 567 x 1,234
2 Resuelva los problemas siguientes.
(1) Hay un vehículo que consume 19 galones de gasolina por mes. ¿Cuántos galones de gasolina consume en un año? (2) Se venden camisas de varios precios. Hay 72 de 243 pesos, 47 de 195 pesos y 65 de 160 pesos. ¿Cuánto será el total de la venta? 3 Encuentre los números adecuados para los cuadrados. 7 3 (3) (1) (2) 7 x x x 6,2 9 2 2 2 2 , 9 4 , 6 2
(4)
x
9,
3 1 7
La cifra que está en el cuadrado situado más a la izquierda en cada fila no es cero. 4 Encuentre los números escondidos. En el mismo signo están los mismos números.
(1)
4 x 3 2 2 5 1 3 5 1 7
(2)
x
4
6 8
(3) 9
5 3 5,8 2 9
2 7 x
0 4, 4 3 0
treinta y uno 31
431 ÷ 3
Unidad
División
5
Recordemos 1. Resuelva los siguientes problemas en su cuaderno. (1) Hay 24 mentas. Si se reparten entre 4 niños, ¿cuántos mentas le toca a cada uno? (2) Hay 25 mentas. Si se dan 3 a cada niño, ¿entre cuántos niños se pueden repartir? y ¿cuántos sobran? 2. ¿Cómo se llama cada número en el siguiente PO? 17 ÷ 5 = 3 y sobran 2 3. Calcule.
(1) 87 3
(2) 732 5
(3) 434 7
(4) 1,820 6
Lección 1: Dividamos entre un número de una cifra
A
Hay 4 cajas de diez decenas de cuadernos y fuera de las cajas hay 3 decenas y 1 cuaderno más, en total son 431 cuadernos. Si se reparten entre 3 escuelas, ¿cuántos cuadernos le tocan a cada escuela?
1
Escriba el PO. PO: 431 ÷ 3
2
Encuentre el resultado consultando el dibujo. 100 100 100 100 10
100 100 100 100
10 10 10
100
10 10 10
10
1
1
10
1
431 3
431 3 1
Probar 1 100
32 treinta y dos
100
100
Se pueden repartir 4 (centenas).
431 3 3 1
Multiplicar 1 x 3 y poner el producto bajo el 4
431 3 -3 1 1
Restar 3 de 4
100
100
10 10 10 10 10
10 10 10 10 10
100
10 10 10
100
100
1 1 1 1 1
10 10 10 10
Bajar 3 431 3 -3 14 13
1
100
10
1
100
10
10 10 10 10
431 3 -3 1 13
10 10 10 10
1 1 1 1 1
100
100
10 10 10 10
Probar 4
1 10 10 10 10
100
1 1 1
100
10 10 10 10
Multiplicar 4 x 3 y poner el producto bajo el 13
Restar 12 de 13
431 3 -3 14 13 -12 11
100
10 10 10 10
Bajar 1
1 1 10 10 10 10
431 3 -3 14 13 -12 1
431 3 -3 14 13 12
1 1 1
100
10 10 10 10
1 1 1
431 3 -3 143 13 -12 11
431 3 -3 143 13 -12 11 9
431 3 -3 143 13 -12 11 - 9 2
Probar 3
Multiplicar 3 x 3 y poner el producto bajo el 11
Restar 9 de 11
R: A cada escuela le toca 143 cuadernos y sobran 2 treinta y tres 33
3
Se calcula la división empezando por la posición más a la izquierda y repitiendo los cuatro pasos: probar, multiplicar, restar y bajar. Dividendo
1
431 3 143 -3 13 -12 11 -9 2
Divisor Cociente
Residuo
Calcule. 973 8
(2)
5,246 4
(3) 94,094 7
(4)
(5) 84,235 6
(6)
5,462 9
(7)
(8) 12,345 2
(1)
7,333 9
7,547 5
Intentémoslo Hay 12 marcas. Una de ellas indica el lugar de un tesoro escondido. Para encontrar el tesoro une con una línea los puntos azules que representan las divisiones en el caso que los residuos sean iguales. La marca donde se intersectan las líneas es el lugar del tesoro ¿cuál será?. Resuelva en el cuaderno 133 7
99 5
2,353 4
143 6
9,701 8
237 9
34 treinta y cuatro
Lección 2: Dividamos entre un número de dos cifras
A
El profesor Rubén tiene 20 niños y niñas que forman 2 grupos de 10 y ambos grupos tienen un líder que ayuda al profesor. Hoy llegaron 6 paquetes, cada uno de los cuales contiene 10 cuadernos. El profesor quiere distribuirlos a sus niños y niñas.
Prometam
10 10 10 10 10
1
¿Cuántos cuadernos hay en total? PO: 6 x 10 = 60
2
10
R: 60 cuadernos
¿Cuántos cuadernos le tocan a cada uno? Escriba el PO. PO: 60 ÷ 20
3
¿Cuál es la manera más rápida de distribuirlos? Le basta al profesor Rubén entregar la misma cantidad de paquetes a los líderes para que los distribuyan a sus compañeros de grupo; un paquete equivale a un cuaderno para cada niño del grupo, porque la cantidad de los cuadernos en cada paquete es igual a la cantidad de niños y niñas en el grupo. Dicho de otra manera, que la cantidad de cuadernos que recibe cada niño o niña es igual a la de los paquetes que recibe cada grupo. Por lo tanto: La respuesta de 60 ÷ 20 es igual a la de 6 ÷ 2.
1
60 ÷ 20 = 3 6÷2 =3
Calcule mentalmente las respuestas. (1)
40 ÷ 20
(4) 120 ÷ 20
80 ÷ 20
(3) 100 ÷ 20
(5) 150 ÷ 30
(6) 200 ÷ 40
(2)
treinta y cinco 35
B
1
Hoy el profesor Rubén tiene 7 fundas de 10 mangos para sus 20 niños y niñas.
¿Cuántas fundas le tocan a cada grupo? y ¿cuántas sobran? PO: 7÷ 2 = 3 sobra 1
2
R: 3 fundas y sobra 1 funda
¿Cuántos mangos le tocan a cada niño y niña? y ¿cuántos sobran? Como una funda para cada grupo quiere decir un mango para cada niño; PO: 70÷20 = 3 sobran 10 R: 3 mangos y sobran 10 mangos
2
Calcule mentalmente. (1) 50 ÷ 20
C
(2) 90 ÷ 20
(3) 110 ÷ 20
(4) 130 ÷ 20
(5) 70 ÷ 30
(6) 300 ÷ 40
Hoy llegó un niño que se llama Luis a la sección del profesor Rubén. Como no hay asiento para él, el profesor le consiguió una mesa pequeña. El padre de Luis regaló 65 mentas (6 cajas de 10 mentas y 5 mentas más) para los niños. El profesor va a repartir 65 mentas entre 21 niños y niñas. ¿Cuántas mentas le toca a cada uno y una? y ¿cuántas sobran?
10 10 10 10 10
FRE SA CO NF I TE
10
S
FRE SA
CO NF I TE S
FRE SA
CO NF I TE S
FRE SA CO NF I TE
S
FRE SA CO NF I TE
S
FRE SA
CO NF I TE S
FRE SA
CO
NF I TE S
FRE SA CO
NF I TE
S
FRE SA CO
NF I TE
S
FRE SA
CO
NF I TE S
10 1
Escriba el PO. PO: 65 ÷ 21
2
¿Cuál es la manera rápida de repartirlas? Si se reparte una caja de mentas a cada grupo, cada miembro recibe una menta y no sobra nada. Si se reparten 6 cajas en 2 grupos, a cada grupo le tocan: 6 ÷ 2 = 3 cajas. De 5 mentas que estaban fuera de las cajas, a Luis se le dan 3. Ahora cada niño y niña recibe 3 mentas y sobran 2. PO: 65 ÷ 21 = 3 sobran 2 R: A cada uno le tocan 3 mentas y sobran 2
36 treinta y seis
D
E
Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical de 65 ÷ 21. No se pueden repartir 6 (decenas) entre 21 DU x (porque 6 < 21) 65 2 1 Sí se puede repartir 65 entre 21 (porque 65 > 21), 65
21 3
Encontrar el número para probar Se divide 6 entre 2 Probar 3 y colocarlo debajo del divisor
65 63
21 3
Multiplicar 3 x 21
65 - 63 2
21 3
Restar 63 de 65
Vamos a comprobar la división. La cantidad repartida es 3 x 21, y con lo que sobra equivale a la cantidad total, por lo tanto: 3 x 21 + 2 = 65
cociente x divisor + residuo = dividendo
3
4
Calcule y compruebe el resultado: (1) 49 12
(2) 54 23
(3) 69 34
(4) 85 42
(5) 83 57
(6) 89 22
(7) 76 32
(8) 57 28
(3) 78 39
(4) 98 49
Calcule y compruebe el resultado: (1) 28 14
(2) 72 24
treinta y siete 37
F
Vamos a pensar en la forma del cálculo de 71 ÷ 24. 7 ÷ 2 = 3 residuo 1, por lo tanto vamos a probar 3 Probar 3 y multiplicar
Probar 2, multiplicar y restar Restar 1 del número para probar
71 24 72 3 No se puede restar
71 24 - 48 2 23
Si al multiplicar el número para probar por el divisor el resultado es mayor que el dividendo, es decir, no se puede restar, entonces se debe disminuir el número para probar.
5
Calcule: (1) 47 13
G
(2) 86 24
(3) 83 43
(4) 84 12
(5) 42 14
Vamos a pensar en la forma del cálculo de 41 ÷ 14. 41 14 56 4
Restar 1 del número para probar
4 ÷ 1= 4 probar 4 y multiplicar por 14 No se puede restar
41 14 42 3
41 14 - 28 2 13 Probar 2 y multiplicar Restar
Restar 1 del número para probar
Probar 3 y multiplicar Tampoco se puede restar.
Si al multiplicar el número para probar por el divisor el resultado sigue siendo mayor que el dividendo, hay que seguir disminuyéndolo hasta que se pueda restar.
6
Calcule: (1) 92 13
(2) 98 14
(4) 92 14
(5) 90 15
38 treinta y ocho
(3) 77 15
H
7
I
Vamos a pensar en la forma del cálculo de 108 ÷ 21. 108
21
1 ÷ 21 no se puede, 10 ÷ 21 no se puede, 108 ÷ 21 sí se puede.
108 - 105 3
21 5
Encontrar el número para probar 10 ÷ 2 = 5 Probar 5, multiplicar por 21, restar 105 de 108.
Calcule: (1) 139 23
(2) 129 32
(3) 108 54
(4) 243 43
(5) 259 65
(6) 639 73
(7) 272 34
(8) 183 26
(9) 162 27
(10) 189 28
Vamos a pensar en la forma del cálculo de 901 ÷ 93. 901
93
9 ÷ 93 no se puede, 90 ÷ 93 no se puede, 901 ÷ 93 sí se puede.
901 - 837 64
93 9
Encontrar el número para probar 90 ÷ 9 = 10, pero no se pueden dos cifras a la vez probar 9
Cuando da un 10 como el número para probar, hay que probar con 9.
8
Calcule: (1) 413 42
(2) 627 63
(3) 501 54
(4) 207 23
(5) 300 34
(6) 205 23
(7) 104 13
(8) 105 14
(9) 100 14
(10) 101 15
treinta y nueve 39
J
Vamos a comparar dos maneras de encontrar el número para probar en el cálculo de 81 ÷ 28. a) 8 ÷ 2 = 4
81 28 112 4
9
K
probar 4
81 28 84 3
b)
La decena próxima del 28 es 30, por lo tanto 8 ÷ 3 = 2 sobran 2 probar 2 81 28 - 56 2 25
81 28 - 56 2 25
Calcule las siguientes divisiones de la forma b): (1) 31 19
(2) 51 18
(3) 83 17
(4) 74 27
(5) 32 17
(6) 80 29
(7) 67 17
(8) 244 38
Vamos a pensar en la forma del cálculo de 78 ÷ 19. 78 19 - 57 3 21
Utilizar la manera b) para encontrar el número para probar la decena más próxima de 19 es 20. Entonces podemos pensar como 78 ÷ 20. 7 ÷ 2 = 3 sobra 1 probar 3 Probar 3, multiplicar por 19, restar 57 de 78 21 es mayor que 19, por lo tanto, 3 no puede ser el cociente
78 19 - 76 4 2
Aumentar el número para probar y probar con 4 Probar 4, multiplicar por 19, restar 76 de 78, La resta es 2, que es menor que el divisor, entonces ya está.
Si al restar el dividendo el resultado es mayor que divisor, hay que aumentar el número para probar.
10
Calcule las siguientes divisiones de la forma b): (1) 76 17
(2) 87 17
(3) 89 29
(4) 54 18
(5) 78 23
(6) 47 22
(7) 93 23
(8) 84 21
40 cuarenta
Lección 3: Sigamos dividiendo entre un número de dos cifras
A
1
Hoy, el profesor Rubén tiene hojas de papel en 3 cajas de 10 decenas, y además 2 decenas y una hoja más. Él quiere repartir estas 321 hojas de papel a sus 21 niños. ¿Cuántas hojas le tocan a cada uno?
100 100 100
10 10
Escribimos el PO. PO: 321 ÷ 21
2
Pensamos en una manera rápida para distribuirlas, aprovechando la ayuda de los líderes de grupo. A cada líder se le da 1 caja para que reparta 1 decena de hojas a cada miembro de su grupo, a Luis se le da directamente 1 decena. Ahora sobran 1 caja de 10 decenas, 1 decena y 1 hoja. Se desagrupan y se distribuyen 111 hojas entre 21 niños.
3
Vamos a calcular en la forma vertical. 321
21
3 ÷ 21 no se puede, 32 ÷ 21 sí se puede
321 - 21 111
21 1
Efectuar el cálculo 32 ÷ 21 Encontrar el número para probar 3 ÷ 2 = 1 sobra 1 probar 1 Probar 1, multiplicar por 21, restar 21 de 32, sobran 11, bajar 1.
321 - 21 111 - 105 6
21 15
Efectuar el cálculo 111 ÷ 21 Encontrar el número para probar 11 ÷ 2 = 5 sobra 1 probar 5 Probar 5, multiplicar por 21, restar 105 de 111, sobran 6. R: A cada uno le tocan 15 hojas y sobran 6
1
Calcule: (1) 684 32
(2) 896 64
(3) 500 21
(4) 864 27
(5) 902 26
(6) 870 13
(7) 952 14
(8) 777 17
(9) 913 16
(10) 911 19
cuarenta y uno 41
B
Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical de 3,769 ÷ 12. 3,769 12 -36 314 16 - 12 49 - 48 1
2
C
3 ÷ 12 no se puede, 37 ÷ 12 sí se puede
Repetir 3 veces los cuatro pasos (probar, multiplicar, restar, bajar)
Calcule: (1) 9,895
63
(2) 5,895
12
(3) 5,200
27
(4) 5,294
37
(5) 8,289
14
(6) 6,296
16
(7) 8,444
15
(8) 9,329
19
Vamos a calcular 703 ÷ 34 y 9,713 ÷ 48. (1) a) 703 - 68 23 - 00 23
34 20
b) 703 - 68 23
34 20
(2) a) 9,713 -96 11 - 00 113 - 96 17
48 202
b) 9,713 -96 113 - 96 17
48 202
Cuando hay 0 en el cociente, se pueden abreviar los pasos de multiplicar y restar.
3
Calcule: (1) 704 23
(2) 402 13
(3) 614 15
(4) 968 19
(1) 6,512 32
(2) 1,712 16
(3) 7,119 23
(4) 6,528 16
(5) 6,778 67
(6) 9,615 12
(7) 9,126 13
(8) 8,519 17
(9) 8,419 21
(10) 6,011 12
4
(5) 3,731 12
Calcule:
42 cuarenta y dos
D
Vamos a pensar en la forma del cálculo vertical de 1,505 ÷ 42. 1,505 42 - 1 26 35 245 - 210 35
5
1 ÷ 42 no se puede, 15 ÷ 42 no se puede 150 ÷ 42 sí se puede Repetir 2 veces los cuatro pasos (probar, multiplicar, restar, bajar)
Calcule: (1) 4,372
53
(2) 1,978
23
(3) 4,499
58
(4) 1,000
16
(5) 2,325
33
(6) 1,560
22
(7) 1,030
17
(8) 4,770
53
Intentémoslo
!Agrupa las divisiones del mismo resultado! Hay algunas divisiones cuyo resultado es igual. Traza solamente 3 líneas rectas y agrupa el resultado. Tendrás 7 grupos de divisiones. 1,368 ÷ 72
1,264 ÷ 79
1,344 ÷ 84 1,026 ÷ 54
400 ÷ 20
1,386 ÷ 99
1,536 ÷ 96
1,261 ÷ 97
1,292 ÷ 68
1,326 ÷ 78
1,157 ÷ 89
966 ÷ 69
1,027 ÷ 79
1,232 ÷ 88
1,548 ÷ 86 cuarenta y tres 43
Lección 4: Conozcamos algunas reglas de la división
A
Vamos a calcular 14,000 ÷ 400. 14,000 400 - 12 35 20 -20 0
En 14,000 hay 140 centenas y en 400 hay 4 centenas, por lo tanto, repartir 14,000 entre 400 quiere decir repartir 140 centenas entre 4 centenas y cada centena recibe 140 ÷ 4 = 35 centenas, lo que quiere decir que cada unidad recibe 35 unidades
En la división se puede quitar la misma cantidad de ceros de las posiciones de la derecha, tanto del dividendo como del divisor.
1
Calcule en su cuaderno: (1) 10,800 ÷ 600
B
(2) 3,000 ÷ 50
(3) 7,200 ÷ 300
(4) 9,200 ÷ 230
Vamos a calcular 15,000 ÷ 400. 15,000 400 - 12 37 30 -28 200
Cada centena recibe 37 centenas y sobran 2 centenas, por lo tanto cada unidad recibe 37 unidades y sobran 200.
Si se calcula la división quitando los ceros, se agrega la misma cantidad de ceros al residuo.
2
Calcule: (1) 11,000 ÷ 600
44 cuarenta y cuatro
(2) 3,020 ÷ 50
(3) 7,300 ÷ 300
(4) 9,300 ÷ 230
C
Encuentre las parejas que dan el mismo resultado. (1) 630 ÷ 30
(2) 300 ÷ 15
630 ÷ 30 = 21 igual
÷ 10 ÷ 10 63 ÷
3 = 21
(3) 63 ÷ 3
(4) 60 ÷ 3
300 ÷ 15 = 20 x5
igual
x5 60 ÷
3 = 20
R: (1) y (3), (2) y (4). En la división si se multiplica o se divide por el mismo número tanto el dividendo como el divisor, el resultado no cambia.
3
Escriba el número que se corresponde a la casilla. (1) 810 ÷ 27 =
÷9
(2) 390 ÷
= 78 ÷ 6
(3) 300 ÷ 12 = 150 ÷
(4)
÷ 20 = 250 ÷ 5
(5) 540 ÷ 15 =
(6)
÷ 16 = 80 ÷ 4
÷5
(7) 500 ÷ 50 = 100 ÷
(8) 420 ÷
= 60 ÷ 2
cuarenta y cinco 45
Ejercicios 1
Calcule los siguientes ejercicios.
2
Calcule los siguientes ejercicios.
3
Calcule los siguientes ejercicios.
4
5
6
(1) 6,473 ÷ 4
(1) 85 ÷ 28
(2) 84,634 ÷ 7
(2) 91 ÷ 13
(3) 63,450 ÷ 8
(4) 45,243 ÷ 9
(3) 73 ÷ 15
(4) 8 ÷ 59
(1) 286 ÷ 85
(2) 632 ÷ 79
(3) 100 ÷ 27
(4) 273 ÷ 39
(5) 958 ÷ 97
(6) 502 ÷ 56
(7) 208 ÷ 26
(8) 106 ÷ 18
Calcule los siguientes ejercicios. (1) 317 ÷ 26
(2) 850 ÷ 32
(3) 925 ÷ 48
(4) 900 ÷ 38
(5) 224 ÷ 14
(6) 709 ÷ 12
(7) 806 ÷ 13
(8) 504 ÷ 14
(9) 540 ÷ 15
(10) 784 ÷ 16
(11) 911 ÷ 17
(12) 913 ÷ 19
(13) 704 ÷ 13
(14) 711 ÷ 14
Calcule los siguientes ejercicios.
(1) 7,489 ÷ 53
(2) 1,912 ÷ 14
(3) 5,895 ÷ 12
(4) 5,294 ÷ 17
(5) 6,381 ÷ 18
(6) 8,591 ÷ 19
(7) 5,793 ÷ 34
(8) 8,543 ÷ 14
(9) 4,908 ÷ 12
(10) 5,319 ÷ 13
(11) 8,500 ÷ 14
(12) 9,246 ÷ 23
(13) 6,019 ÷ 15
(14) 9,072 ÷ 18
(15) 9,625 ÷ 3
(16) 9,000 ÷ 18
Calcule los siguientes ejercicios.
(1) 2,222 ÷ 96
(2) 2,837 ÷ 34
(3) 1,993 ÷ 26
(4) 2,700 ÷ 39
(5) 7,188 ÷ 79
(6) 3,250 ÷ 46
(7) 1,110 ÷ 37
(8) 1,120 ÷ 16
46 cuarenta y seis
7
Resuelva los siguientes problemas. (1) Se compran 17 boletos por 765 pesos. ¿Cuánto cuesta cada boleto? (2) Si un libro de texto cuesta 32 pesos y pagamos 1,216 pesos, ¿cuántos libros de texto se han comprado? (3) 38 kg de hierro cuestan 9,880 pesos. ¿Cuánto cuesta un kilogramo de hierro? (4) Hay 270 litros de aceite. Si se vacía esta cantidad en botellas de 18 litros de capacidad, ¿cuántas botellas se van a necesitar? (5) Si 125 m de alambre pesan 1,625 g, ¿cuánto pesa 1 m de alambre? (6) Si hay 516 hojas de papel y se van a distribuir 12 hojas a cada persona, ¿cuántas personas reciben 12 hojas? (7) Si en 25 días se elaboraron 8,150 muñecas, ¿cuántas muñecas se elaboraron por día? (8) Se han pintado 38 m de línea central de una calle con 152 litros de pintura. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar un metro? (9) Hay 1,500 cm de alambre. Si se cortan en pedazos de 72 cm de longitud, ¿cuántos pedazos de 72 cm se obtendrán y cuántos centímetros sobrarán?
(10) Hay cuatro paquetes de 1,000 hojas cada uno y un paquete de 300 hojas. Si se distribuyen equitativamente entre 42 personas, ¿cuántas hojas le tocan a cada persona y cuántas sobran?
8
Elabore problemas de división con los siguiente datos. (1) 324 hojas de papel, 36 personas (2) 120 gramos de alambre, pesa 15 gramos por metro (3) 3,450 pesos, 23 metros de alambre (4) 486 gramos, 27 metros
cuarenta y siete 47
Unidad
Triángulos
6
Recordemos 1. Escriba cuáles de estas figuras son triángulos rectángulos. ( A
B
C
D
Lección 1: Clasifiquemos triángulos
A
Vamos a clasificar los triángulos en grupos.
Vanessa
1
Voy a clasificar por el tamaño.
Miguel
E
Puedes usar los triángulos que hay en la página para recortar.
Podría ser por el color.
Yessy
Yessy clasificó observando la longitud de los lados. Piensa cómo son los triángulos de cada grupo. A
B
Los triángulos del grupo A que sus 3 lados son de igual medidase llama triángulo equilátero. Los triángulos del grupo B que sus 2 lados son de igual medidase llama triángulo isósceles. Los triángulos del grupo C que sus 3 lados son de diferente medidase llama triángulo escaleno.
48 cuarenta y ocho
)
C
¿Que tal si observo la longitud de los lados?
2
Clasifique los triángulos recortados por la medida de los lados.
3
Encuentre en su entorno los triángulos equiláteros, isósceles y escalenos. 1
Escriba el nombre adecuado a cada triángulo. Mis lados son de diferentes medidas.
(
2
)
Dos de mis lados son de igual medida.
Mis lados son de igual medida.
(
)
(
)
Clasifique los siguientes triángulos. (Mida los lados según la necesidad) 2 cm 3 cm
3 cm A
2 cm
E
F 1 cm
4 cm
I
G H
Pinta con lápices de color los triángulos cambiando el color dependiendo del tipo.
L N K O
M
(
D
1 cm
5 cm
J
4 cm
3 cm
1 cm 2 cm
3 cm
4 cm
2 cm
2 cm
C
2 cm
B
3 cm
Triángulos equiláteros
)
(
Triángulos isósceles
)
(
Triángulos escalenos
)
cuarenta y nueve 49
B1
Piense ¿cuál es el nombre de estos triángulos? y ¿por qué?. 5 cm
5 cm
5 cm
A
B
4 cm
5 cm
El triángulo A es isósceles porque tiene dos lados con la misma medida.
2
5 cm
El triángulo B es equilátero porque sus tres lados tienen la misma medida.
Vamos a ver las características de los triángulos isósceles y equiláteros. (1) ¿Cuáles son las medidas de los ángulos? Hay varias formas para encontrarlas, por ejemplo: medir con el transportador, sobreponer los ángulos doblando los vértices, etc., ¿verdad?
Las medidas de los ángulos del triángulo isósceles (A) son: 66°, 48° y 66° Las medidas de los ángulos del triángulo equilátero (B) son: 60°, 60° y 60°
En los triángulos isósceles, hay dos ángulos con la misma medida. En los triángulos equiláteros, los tres ángulos tienen la misma medida. También se puede confirmar doblando.
Triángulo isósceles
Triángulo equilátero
3 Halle la medida de los ángulos “a” y “b” de los dibujos siguientes. 5 cm
60
O
60O
a
50 cincuenta
5 cm
5 cm
6 cm
6 cm
70
O
b
4.1 cm
Lección 2: Construyamos triángulos
A
Vamos a dibujar un triángulo equilátero cuyos lados son de 4 cm. Isabel trazó un lado de 4 cm como la base. ¿Cómo se puede encontrar el vértice A?
1
Se encuentra el vértice A, que se ubica a 4 cm del B y del C. Para encontrar un punto común desde dos puntos diferentes, se puede usar el compás.
2
4 cm 4 cm
A
B
4 cm
4 cm
C
Isabel
Practique el uso del compás en el cuaderno.
El compás se usa para dibujar círculos, copiar y pasar la longitud. 1 Dibuje un círculo. 2 Trace una línea y la divide en 3 cm. 3 cm
Dibujar dando la vuelta.
Abrir las patas.
3
3 cm
Trazar las líneas curvas dividiendo en la Abrir las patas. misma longitud sin cambiar la apertura del compás.
Dibuje usando el compás un triángulo equilátero cuyos lados miden 4 cm. Dibujo 1 2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4 cm
10 11
3
1
12
4
Dibuje los siguientes triángulos en el cuaderno de apuntes. (2) Un triángulo equilátero cuyos 3 lados miden 5 cm
(1) 3 cm
3 cm
3 cm
(3) Un triángulo equilátero que su lado mide 6 cm
cincuenta y uno 51
B
Vamos a dibujar un triángulo isósceles cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 5 cm.
1
Piense con qué lado es mejor empezar a dibujar. Con el lado de 4 cm como la base. Porque los otros dos tienen la misma medida y facilita el uso del compás.
2
5 cm
5 cm
4 cm
Dibuje el triángulo isósceles cuyos lados midan 4 cm, 5 cm, 5 cm. Dibujo Se puede dibujar en la misma manera que los triángulos equiláteros. Sólo tienes que decidir bien el lado con que empiezas a dibujar.
2
Dibuje los siguientes triángulos en el cuaderno de apuntes. (1) (2) Un triángulo isósceles cuyos lados son de 4 cm, 6 cm y 6 cm 3 cm 3 cm 5 cm
(3) Un triángulo isósceles cuyos lados son de 5 cm, 6 cm y 5 cm
Nos divertimos Vamos a hacer un bonito diseño (mosaico) con los triángulos equiláteros e isósceles. (Recorte las tarjetas que hay en las páginas para recortar) Hay que colocar sin que haya espacio. Puede haber varios.
1 Con los triángulos equiláteros.
2 Con los triángulos isósceles.
¿Puedes encontrar el diseño con los triángulos en tu alrededor?
52 cincuenta y dos
Lección 3: Calculemos el perímetro
A
En el patio de la escuela de Diana hay un jardín de forma triangular, como se muestra en el dibujo. Se necesita poner una cuerda en todo el alrededor. ¿Cuál deberá ser la longitud de la cuerda?
5m
1
5m
6m ¿Cómo se puede encontrar la longitud de la cuerda?
Sumando las longitudes de los cuatro lados del jardín.
2
Escriba el planteamiento de la operación y encuentre la respuesta. PO: 6 + 5 + 5 = 16
Dos lados miden 5 m y un lado mide 6 m.
R: 16 m
La longitud del alrededor de una figura se llama perímetro. El perímetro se encuentra sumando la longitud de todos los lados.
1 Calcule el perímetro de estas figuras. (1)
(2)
5m 6m
7m
15 cm
(3) 40 cm 36 cm
7m
(4)
18 cm
18 cm
14 cm
5m 5m
2 Juan tiene un solar con la forma como se muestra en el dibujo. El quiere rodearlo 5 veces con cuerdas de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre necesita? 20 m
13 m
12 m
25 m
cincuenta y tres 53
Fracciones
7
Unidad
Recordemos 1. Escriba la fracción que representa la parte coloreada 1l 1l 1l 1l (1) (2) (3)
1m
2m
3m
2. Convierta las siguientes fracciones impropias a números mixtos 5 8 19 (1) (2) (3) 2 3 4 3. Convierta los siguientes números mixtos a fracciones impropias 1 1 5 (1) 2 (2) 3 (3) 1 3 4 8
Lección 1: Conozcamos las fracciones equivalentes
A
Ana y Carlos tomaron jugo de naranja. 1l
Ana
1l
Carlos
1
¿Qué cantidad de jugo tomó cada uno de ellos?
2
Ana tomó 1 l y Carlos tomó 2 l 2 4 ¿Quién tomó más jugo de naranja? 1l
Ana
Echando el jugo de Ana en un recipiente como el de Carlos
1l
1l
Carlos
2 1 l = l 4 2 o sea, que los dos tomaron igual cantidad de jugo de naranja.
Las fracciones que representan la misma cantidad se llaman fracciones equivalentes. Se escribe esta relación con el signo de igualdad. Ejemplo: 1 y 2 son equivalentes y se escribe 1 = 2 . 4 2 2 4
54 cincuenta y cuatro
B
Vamos a encontrar las fracciones equivalentes a 1 . 2 1 2
0
1
1 3
0
1
1 5
0
¿Qué relación hay entre el denominador 2 y los denominadores de las fracciones equivalentes encontradas? Se multiplica por 2, 3, 4 y 5
1
1 8
0
2
1
1 7
0
Se multiplica por 2, 3, 4 y 5
1
1 6
0
¿Qué relación hay entre el numerador 1 y los numeradores de las fracciones equivalentes encontradas?
1
1 4
0
1
1
0
1 9
1
0
1 10
1
x2
1 2
=
x2
x3
2 4 x3
x5
x4
=
3 6
4 8
=
x4
=
5 10
x5
Se obtienen fracciones equivalentes si el numerador y el denominador se multiplican por un mismo número. 1 2
1
5 10
=
x5
Escriba cuatro fracciones equivalentes para cada una de las siguientes:
(1)
2
x5
1 3
(2)
3 4
(3)
2 5
(4)
1 2
(5)
4 7
Escriba el número adecuado en la casilla. (1)
3 9 = = 20 5
(2)
6 3 = = 24 8 cincuenta y cinco 55
C
Vamos a encontrar la fracción equivalente más simple del tiempo 42 que estudió Luis. Luis dice: Anoche estudié hora. 60 Vamos a expresar esta fracción de la forma más simple, o sea con una fracción equivalente a 42 y que tiene el mínimo denominador posible. 60 42 21 El numerador y el denominador se dividen entre 2. = 60 30 Se pueden dividir aun más. =
7 10
El numerador y el denominador se dividen entre 3. 7 21 42 = 7 60 10 30 10
Se puede escribir así:
Se dice que una fracción es irreducible si tiene el mínimo denominador. También se dice que está en su mínima expresión. Para obtener la mínima expresión hay que seguir dividiendo tanto el numerador como el denominador entre el mismo número hasta que no se pueda, dividir más. Este proceso se llama simplificación. Desde ahora vamos a representar las fracciones en su mínima expresión. 3 15 3
4
5
÷3
=
÷3
1 5
Reduzca las siguientes fracciones a su mínima expresión. 6 9 18 8 (3) (4) (1) (2) 8 15 42 12 Reduzca las siguientes fracciones a su mínima expresión. 2 6 18 8 (3) 1 (4) 4 (1) 3 (2) 2 4 15 24 12 Reduzca las siguientes fracciones a su mínima expresión. 4 12 20 15 (3) (4) (1) (2) 2 3 4 5
56 cincuenta y seis
(5)
30 45
(5) 3
50 60
Lección 2: Sumemos y restemos fracciones de igual denominador Juan bebió 2 l de leche en la mañana y 3 l en la tarde. 7 7 ¿Cuánta leche bebió en total?
A
1l
Escriba el PO. PO: 2 + 3 7 7 Encuentre el resultado.
1
2
1l
En 2 hay 2 veces 1 . 7 7 En 3 hay 3 veces 1 . 7 7 En total hay 2 + 3 = 5 veces 1 , es decir, 5 . 7 7 3 5 5 2 l PO: + = R: 7 7 7 7 En la adición de las fracciones con un mismo denominador, al contar cuántas fracciones hay con numerador 1, se puede calcular como en el caso de los números naturales. Para sumar fracciones con un mismo denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador. 1
(1)
2 4 + 7 7
(2)
1 2 + 7 7
(3)
1 3 . + 8 8 3 4 1 + = 8 8 8 1 = 2
B
1 2 + 5 5
(4)
1 1 + 3 3
(5)
3 5 + 11 11
Sume
2
(1)
1 1 + 6 6
(2)
Siempre escribamos el resultado con fracciones en su mínima expresión.
1 1 + 4 4
(3)
1 3 + 8 8
(4)
2 4 + 9 9
(5)
3 1 + 10 10
cincuenta y siete 57
C
Sume
4 3 + . 5 5
Tienes que representar la respuesta con un número mixto.
3 5 4 5
4 7 3 + = 5 5 5
7 5 2 1 5 3
D
(1)
5 3 + 7 7
(2)
=1 4 7 + 9 9
(3)
2 5
2 5 2 2 + 3 3
(4) 5 + 8 11 11
Sume 5 + 7 . 8 8
7 12 5 + = 8 8 8
5 7 12 + = 8 8 8
ó
3 2 =1 1 2
4
Sume. 4 8 (1) + 9 9
(2)
Siempre escribamos el resultado con fracciones en su mínima exprexión.
=14 8 =11 2
=
E
1
7 9 + 10 10
(3)
1 5 3 1 5 4 3 5
2
7 11 + 12 12
(4) 1 + 5 6 6
(5) 3 + 5 8 8
Sume 2 1 + 1 3 . 5 5
2
3 4 1 = 3 + 1 5 5 5
Cuando se suman fracciones mixtas, se suman por separado la parte entera y la parte fraccionaria.
58 cincuenta y ocho
5 Sume.
F
(1) 1
2 4 + 3 7 7
(2) 4
1 1 + 2 3 3
(3) 1
2 9
+ 4
5 9
(4) 2
5 3 + 1 11 11
(5) 2
2 1 + 5 5
(6) 3
4 2 + 7 7
(7)
2 9
+ 4
5 9
(8)
3 5 + 1 11 11
Sume 2
4 3 . + 1 5 5 2
3 5
1
4 5
3
7 5
4
2 5
Calcule las siguientes operaciones. 4 2 2 2 6 (1) 1 + 3 + 1 (2) 2 5 5 3 3
2
3
3 5
+ 1
4 5
= 3
7 5
= 4
2 5
7 5
La parte fraccionaria no se deja en la forma de número mixto.
(3) 1
6 7
+ 2
3 7
(4) 5
4 7 + 2 9 9
7
(1) 2
4 3 + 5 5
(2) 1
4 5 + 7 7
(3)
4 9
+ 2
7 9
(4)
5 7 + 3 11 11
8
(1) 2
5 7 + 3 8 8
(2) 1
4 8 + 2 9 9
(3) 3
5 6
+ 1
5 6
(4) 4
7 9 + 2 10 10
9
(1) 2
3 7 + 8 8
(2) 1
7 7 + 10 10
(3)
5 9
+ 2
7 9
(4)
5 11 + 3 12 12
10
(1) 4
1 2 + 5 3 3
(2) 4
1 5 + 2 6 6
(3) 2
5 3 + 8 8
(4)
3 7 + 4 10 10
cincuenta y nueve 59
2 6 l de leche y María se tomó l. 7 7 ¿Cuánta leche quedó?
G
Había
1 2
Escriba el PO. 2 PO: 6 7 7 Encuentre el resultado. 2 7
PO: 6 7
4 2 = 7 7
1l
2 l 7 María:
6 1 hay 6 veces , 7 7 de lo cual se quitan 2.
Como en el caso de la adición, se cuenta cuántas fracciones hay con numerador 1.
En
Entonces 6 – 2 = 4 veces 1 . 7 R: 4 l 7
Para restar fracciones con un mismo denominador se restan los numeradores y se escribe el mismo denominador.
11 (1) 4 – 1
(2) 2 – 1 3 3
(3) 7 – 2 9 9
(4) 8 – 3 11 11
12 (1) 5 – 1
(2) 3 – 1 4 4
(3) 5 – 3 8 8
(4) 5 – 5 6 6
5
5
6
H
6
Encuentre el resultado de 3 4 – 1 1 5 5
Calculemos por separado la parte entera y la parte fraccionaria.
1
1 5
3
Calcule las siguientes operaciones. 2 2 5 4 13 (1) 3 –2 –1 (2) 4 7 9 7 9
1 3 4 – 1 = 2 5 5 5
(3) 5
1 2 –2 3 3
(4) 6
1 5 –1 11 11
14 (1) 6
1 3 –1 4 4
(2) 3
5 1 –1 6 6
(3) 4
7 3 –2 8 8
(4) 5
7 4 –1 9 9
15 (1) 3
2 8 – 9 9
(2) 2
7 2 – 15 15
(3) 1
5 1 – 6 6
(4) 4
5 1 – 8 8
16 (1) 3
1 4 –3 7 7
(2) 3
4 4 –1 5 5
(3) 2
5 2 –2 9 9
(4) 4
7 3 –4 8 8
60 sesenta
I
Encuentre el resultado de 1 1 5
1
1 – 5
2 5
–
2. 5
2 5
6 2 – 5 5 4 5
= =
Cuando no se puede restar el sustraendo de la parte fraccionaria, se cambia una de las unidades por una fracción con el mismo denominador. Reste en su cuaderno 17 (1) 1 1 – 2 3 3 18 (1) 1
J
1 3 – 4 4
(2) 1
4 2 – 5 5
(3) 1
6 4 – 7 7
(4) 1
9 5 – 11 11
(2) 1
1 5 – 6 6
(3) 1
3 7 – 8 8
(4) 1
5 8 – 9 9
Encuentre el resultado de 3 1 – 1 4 5 5
3
4 1 –1 5 5
1
= =
6 5 2 1 5 2
– 1
4 5
4 5
Calcule las siguientes operaciones 19 (1) 7 2 – 3 4 5 5
(2) 4
1 2 –1 3 3
(3) 5
2 5 –2 7 7
(4) 6
7 5 –3 9 9
20 (1) 3 1 – 2 4 5 5
(2) 2
1 2 –1 3 3
(3) 4
9 2 –3 11 11
(4) 5
2 8 – 13 13
21 (1) 3 1 – 1 5 6 6
(2) 4
3 7 –2 8 8
(3) 5
8 2 –3 9 9
(4) 3
4 9 –2 15 15
22 (1) 2 1 – 3 4 4
(2) 3
2 5 – 9 9
(3) 2
9 7 – 10 10
(4) 4
7 5 – 12 12
23 (1) 5 – 2 3 4
(2) 3 – 2
4 5
(3) 3 –
5 6
(4) 1 –
3 8
sesenta y uno 61
1
Sume. (1) 2 7 (4)
2
+
3 7
(2)
1 3 + 10 10
5 + 8
7 8
(5)
2
5 11
(2)
7 8
3 + 5
(3)
1
4 5
11 5 + 3 12 12
Reste. (1)
8 11
–
(4) 5 2 – 2 7 15 15 3
(3)
–
3 8
1 – 9
(5) 3 – 1 3 4
Resuelva los siguientes problemas. 5 7 (1) Había 2 kg de azúcar. Se usó kg para hacer pasteles. 8 8 ¿Cuántos kilogramos quedaron?
5 3 km y hoy 43 km. 7 7 ¿Cuántos kilómetros recorrió en los dos días?
(2) Un camión ayer recorrió 35
3 2 4 2 m de área. Hoy Carlos pintó 12 m. 5 5 ¿Cuántos metros cuadrados le faltan por pintar?
(3) Hay una pared de 20
1 3 cm de altura y Ana 138 cm. 4 4 ¿Quién es la más alta?
(4) María mide 132
¿Cuál es la diferencia?
62 sesenta y dos
7 9
Nos divertimos Si el segmento (a) mide 1 m, ¿cuánto mide el segmento (b)? Como (b) es menor que tres veces (a), necesitamos una fracción.
(a) (b) (1) En (b) hay 2 veces (a) y sobra la parte (c). (c) (a)
(a)
(2) En (a) hay una vez (c) y sobra la parte (d). (a) (d)
La idea es seguir midiendo, usando la parte que sobra.
(c) (3) En (c) hay 2 veces (d) y no sobra nada. (c) (d)
(d)
(c) es 2 veces (d) Por lo tanto, (d) mide
(a) es 3 veces (d)
(b) es 8 veces (d).
1 8 2 m, (b) mide m, o sea 2 m. 3 3 3
Vamos a medir el segmento (b) aplicando el procedimiento anterior. (En cada pareja, el segmento (a) equivale a 1 m.) (1) (a)
Puedes usar el compás para verificar cuántas veces cabe.
(b) (2) (a) (b)
(3) (a) (b) sesenta y tres 63
Longitud
8
Unidad
Recordemos 1. Escriba la longitud que corresponde, indicada con la flecha. (a) 0
(b) 1
(c) 2
3
2. Complete el número que corresponde.
(a)
(1) 3 m 26 cm =
(b)
(2) 7 dm 9 cm =
(c)
(3) 6,240 mm =
m
cm
Lección 1: Midamos en kilómetros
A
Vamos a jugar lanzando la tapa en el piso y medir la longitud hasta donde llegó la tapa.
La longitud que se mide en forma recta entre dos puntos se llama distancia. Para medir la longitud o la distancia más larga que 1 m, sirven las cintas métricas. Cinta métrica para las distancias cortas 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1m
10
Metro utilizado por el albañil
1
Metro utilizado por la costurera
Escriba la longitud que indica la flecha. (a) 70
80
90
7m
10
20
30
(c) 50
60
70
64 sesenta y cuatro
80
90
40
(b) 50
(a) 60
(d) 17 m
10
20
20
(b) (c)
30
40
(d)
B
Vamos a medir en equipo la longitud o la distancia con la cinta métrica. (Se puede usar la cinta de 2 m de la página para recortar.) Estima la longitud antes de medir y registra el resultado en tu cuaderno. Lo que medimos
C
Ejemplo: La longitud del corredor de la escuela La longitud del contorno del árbol La distancia de la puerta del aula a la puerta de la siguiente aula
Estimación Resultado
El siguiente mapa representa la comunidad de Teresa.
290 m
Parque
720 m
Escuela
Casa de Teresa 345 m
Comedor 530 m
480 m 545 m Colmado
Iglesia 300 m
1
530 m
Carnicería
¿Qué distancia de recorrido hay si se camina desde la iglesia al parque? PO: 345 + 290 = 635
2
Hospital 155 m
R: 635m
¿Cuál es la distancia de recorrido de la iglesia a la escuela pasando por el colmado y el hospital? PO: 300 + 155 + 545 = 1,000
R: 1,000 m
La longitud de 1,000m se llama 1 kilómetro y se escribe 1km. 1 km = 1,000 m. El kilómetro es una unidad oficial para medir longitudes muy grandes.
2 Resuelva el siguiente problema. ¿Qué camino es más corto de la casa de Teresa a la escuela, pasando por el parque o pasando por la iglesia? PO: _____________________________________________ R: _____________________________________________
sesenta y cinco 65
D
La distancia de recorrido del parque a la escuela es 720 m, y la de la escuela al comedor es 530 m. ¿Cuántos kilómetros y metros hay del parque al comedor? PO: 720 + 530 = 1,250
1,250 m = 1 km 250 m
R: 1 km 250 m
3 Escriba en la línea el número que corresponde. (1) 1,340 m = ____ km ____ m
(2) 2,900 m = ____ km ____ m
(3) 4,205 m = ____ km ____ m
(4) 3,716 m = ____ km ____ m
(5) 7,006 m = ____ km ____ m
(6) 9,012 m = ____ km ____ m
(7) 1 km 234 m = _______ m
(8) 5 km 980 m = _______ m
(9) 8 km 600 m = _______ m
(10)
6 km 70 m = _______ m
2 km 85 m = _______ m
(12)
7 km 1 m = _______ m
(11)
4 Resuelva el siguiente problema. Desde la escuela al mercado hay 1 km 200 m. De la escuela a la farmacia que queda en el camino al mercado hay 800 m. ¿Cuántos metros hay desde la farmacia al mercado?
1 km 200 m Escuela
800 m
+
Farmacia
Mercado
?
PO: _____________________________________
R: ______________
5 Invente los problemas sobre la distancia observando el mapa de la página anterior y resuélvalos.
Intentémoslo
Vamos a encontrar un punto que queda más o menos a 1 km desde la escuela. ¿Cómo podríamos encontrar el punto? Yo camino 1 m en 2 pasos, entonces 10 m en 20 pasos, 100 m en 200 pasos. Entonces, para caminar 1 km...
66 sesenta y seis
Escuela
E 1
Vamos a representar la longitud con el punto decimal. Represente 1 km 357 m en kilómetros. 1 km 357 m Km
m
1 3 5 7 R: 1.357 km
2
Cuando se usa solamente la unidad de kilómetros, la parte de metros es la cantidad que no alcanza a kilómetros. Poniendo el punto decimal, se puede representar con kilómetros. Se lee uno punto tres cinco siete kilometros.
Represente las siguientes longitudes en kilómetros. 2 km 700 m 3 km 8 m 5 km 43 m km
2
m
7
km
0
0
5
2.7 km
3
km
m
4
3
Hay que tener cuidado con el 0.
m
3
5.043 km
8 3.008 km
Represente 3 m 45 cm en metros. 3 m 45 cm m
3
En caso de m y cm, la cantidad de las casillas es diferente que km y m. Porque 100 cm = 1 m.
cm
4
5
3.45 km
6 Resuelva representando las siguientes longitudes en la tabla y con el punto decimal. (1) 1 km 126 m km
m
(2) 5 km 206 m km
m
km (5) 6 m 45 cm m
km
m
m
(4) 8 km 9 m
m
km (6) 1 m 70 cm
cm
(3) 7 km 34 m
km
km (7) 9 m 3 cm
cm
m
m
m
km (8) 4 m 2 cm
cm
m
m
cm
m sesenta y siete 67
Lección 2: Sumemos y restemos con la longitud
A
Hay una cinta de 4 m 35 cm y otra de 2 m 48 cm. ¿Cuánto mide la longitud total?
1
Escriba el PO.
2
Encuentre la respuesta pensando la forma del cálculo.
4 m 35 cm + 2 m 48 cm
Violeta m 4 2 6
2 m 48 cm
4 m 35 cm
Wilmer cm 35 48 83
Xiomara
4 m 35 cm = 4.35 m 2 m 48 cm = 2.48 m 4.35 + 2.48 = 6.83
R: 6 m 83 cm
4 m 35 cm = 435 cm 2 m 48 cm = 248 cm 435 + 248 = 683
R: 6.83 m
R: 683 cm
Se puede calcular la longitud usando el punto decimal, los metros con los metros, los centímetros con los centímetros.
B
A la cinta que medía 7 m 98 cm se le cortó 3 m 62 cm. ¿Cuánto mide la parte que sobró?
1
Escriba el PO.
2
Encuentre la respuesta usando la tabla y usando el punto decimal. m 7 3 4
7 m 98cm
cm 98 62 36
3 m 62 cm
3 m 62 cm
7.98 3.62 4.36
R: 4 m 36 cm 1
7 m 98 cm
R: 4.36 m
Calcule con la tabla o con el punto decimal. (1) 7 m 41 cm + 2 m 29 cm (2) 2 m 70 cm - 1 m 45 cm m
cm
m
cm
+ (3) 5 m 19 cm + 3 m 8 cm
68 sesenta y ocho
(4) 6 m 40 cm - 4 m 9 cm
C
De la escuela al estadio hay 6 km 400 m y del estadio al parque 8 km 7 m. ¿Cuál es la distancia que hay desde la escuela al parque?
También puedes calcular convirtiendo km a m.
6 km 400 m + 8 km 7 m
1
Escriba el PO.
2
Encuentre la respuesta usando la tabla y usando el punto decimal.
+
km m 6 400 8 7 14 407
+
R: 14 km 407 m
6.400 8.007 14.407
D
De la casa a la iglesia hay 12 km 340 m y recorrí 6 km 75 m. ¿Cuánto falta para llegar a la iglesia?
1
Escriba el PO.
2
Encuentre la respuesta usando la tabla y con el punto decimal.
2
12 km 340 m - 6 km 75 m
km m 12 340 6 75 6 265
-
R: 14.407 km
12.340 - 6.075 6.265
R: 6 km 265 m
R: 6.265 km
Calcule con la tabla o con el punto decimal. (1) 9 km 320 m + 8 km 48 m (2) 23 km 53 m - 15 km 9 m km
km
m
+
m
-
(3) 8 km 60 m + 3 km 8 m
(4) 10 km 20 m - 8 km 7 m
(5) 31 km 400 m + 8 km 20 m
(6) 54 km 70 m - 19 km 6 m
sesenta y nueve 69
Lección 3: Midamos con las unidades del sistema inglés
A 1
Vamos a conocer otro sistema de unidades oficiales de longitud. Diga cuáles otras unidades de medida de longitud conoce.
jeme
cuarta
mano
pulgada
brazada
paso
pie
Hace mucho tiempo, nuestros antepasados usaban las partes de su cuerpo para medir longitudes, a esas unidades de medida les llamamos unidades corporales; y aunque podemos llevarlas a todas partes tienen el inconveniente que cuando varias personas miden de la misma manera el mismo objeto, se obtienen diferentes medidas, porque el tamaño del cuerpo de cada uno es diferente. Por lo tanto, para evitar mal entendidos, en cada país se decidió fabricar un solo patrón de cada unidad de medida, con las que todos estuvieran de acuerdo en copiar y utilizar, de tal manera que con las unidades pequeñas se midieran las longitudes pequeñas y con las unidades grandes se midieran las grandes; y así, las medidas serían las mismas. En República Dominicana, se utiliza un sistema de medidas que toma los patrones del sistema inglés, cuyas principales unidades de longitud son la pulgada, el pie y la yarda.
La longitud de esta cinta
es 1 pulgada.
La longitud que mide 12 pulgadas es 1 pie. 1 pie = 12 pulgadas La longitud que mide 3 pies es 1 yarda. 1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas 2
Exprese las siguientes longitudes en la unidad indicada entre paréntesis. (1) 3 pies 2 pulgadas (pulgadas) Procedimiento
(2) 16 pies (yardas, pies) Procedimiento
1 pie = 12 pulgadas. Como hay 3 pies, multiplicar la longitud de 12 pulgadas por 3. Y luego sumar 2, que son las pulgadas que se tenían.
1 yarda = 3 pies. Para saber cuántas veces cabe la longitud de 3 pies en los 16 pies, dividir 16 pies entre 3.
PO: 3 x 12 + 2 = 38 R: 38 pulgadas.
PO: 16 ÷ 3 = 5 residuo 1 R: 5 yardas 1 pie.
70 setenta
1
Exprese las siguientes longitudes en las unidades indicadas entre paréntesis. (1) 2 pies (pulgadas) (2) 5 pies 6 pulgadas (pulgadas) (3) 4 yardas (pies) (4) 6 yardas 2 pies (pies) (5) 36 pulgadas (pies) (6) 27 pulgadas (pies, pulgadas) (7) 24 pies (yardas) (8) 19 pies (yardas, pies)
3
Mida en centímetros la cinta de 1 pulgada dibujada en el recuadro de la página anterior. ¿Cuántos centímetros tiene 1 pulgada? Una pulgada equivale a 2.54 cm. 1 pulgada = 2.54 cm
B
1 pie = 30.48 cm
1 yarda = 91.44 cm
Vamos a medir en pareja las longitudes y distancias usando el sistema inglés.
1
Prepare la regla que tiene graduación en pulgadas y construya una regla de 1 pie y una cinta de 1 yarda.
2
Haga una tabla como la siguiente en el cuaderno. No. Los objetos o la distancia que quiere medir
Estimación
Resultado
1 2 3 3
Estime y mida las longitudes o las distancias con las unidades del sistema inglés y regístrelas en la tabla del cuaderno. setenta y uno 71
Unidad
Área de rectángulos
9
Recordemos 1. Exprese las siguientes longitudes en las unidades que se le pide. (1) 5 m (cm) (2) 8 cm (mm) (3) 7 km (m) (4) 2 dm (cm)
2. Escriba las unidades de medida que aprendió en la longitud, el peso, la capacidad, etc.?
Lección 1: Comparemos superficies
A 1
Diego y Josefa jugaron a “¡Gana el terreno!” y quieren saber quién ganó más terreno. Realice este juego con su compañero o compañera.
(1) Preparar una hoja de papel con los dibujos de cuadriláteros (se puede usar la página para recortar) y un lápiz de color diferente para cada jugador.
¿Gana el terreno!
(2) Cada uno escoge el cuadrilátero de una esquina como el punto de partida. (3) Jugar “piedra, papel o tijera” y quien gane pinta ese cuadrilátero de la esquina. (4) Continuar jugando “piedra, papel o tijera” y el que gana pinta otro cuadrilátero contiguo a cualquiera de los que había pintado en su turno. (5) La persona que tiene el terreno más extenso gana. (Se pueden establecer otras reglas según la necesidad). 2
Piense cómo se pueden comparar los terrenos para saber cuál es el más extenso. Creo que se puede comparar sobreponiendo. Recortémoslos.
Yo quiero compararlos sin recortar. Voy a calcar uno y lo superpongo al otro.
Podemos comparar contando el número de cuadrados pequeños, ¿verdad?
¿Pero qué hago con las partes que sobraron?
(4)
72 setenta y dos
¿Qué tal si medimos el perímetro y lo comparamos? 0
1
0
1
2
2
3
3
4
4
5
3
Compare con su compañero o compañera los terrenos pintados en la forma preferida y confirme quién ganó. Si hay tiempo, compare en las otras formas también.
La dimensión de una superficie se llama área. El área se puede comparar de varias maneras, como la longitud, el peso, la capacidad, etc. Sobreponiendo
Usando algún objeto como intermediario
Usando algún objeto como una unidad de medida.
A
A A
4
A A
A A
A
¿Cuál rectángulo tiene mayor área? Investigue de la forma que prefiera, si se puede comparar el área al medir el perímetro de cada uno de los siguientes rectángulos. 6 cm
A
4 cm
2 cm
10 cm B
No se puede comparar el área por la medida del perímetro, porque hay casos donde el rectángulo tiene más perímetro, pero menos área.
1 ¿Cuál tiene mayor área, A o B ? ¿Cuánto tiene más? (1)
A
B
(2)
A
B
setenta y tres 73
B
Diego y Josefa compararon el área de sus terrenos del juego con cuadritos. Joaquín y Hortensia también compararon sus terrenos con cuadritos. Los ganadores de cada pareja quieren saber quién ganó más área. Ganador
Ganadora
Diego 15 de
1
6 de
Joaquín 2 de
Josefa
4 de
Hortensia
El área del terreno de Diego es 15 cuadritos. El de Hortensia es 4 cuadritos. ¿Se puede decir que Diego ganó más área que Hortensia? ¿Por qué?
No. Porque los cuadritos no son del mismo tamaño. 2
¿Qué se necesita para comparar el área? Terreno de Diego
Terreno de Hortensia
1 cm
1 cm
1 cm 1 cm
1 cm 1 cm2
2
Diego
Hortensia
Compararlo con la misma unidad. Al igual que en las unidades de otras magnitudes (la longitud, el peso, la capacidad, etc.), existen las unidades oficiales de área. El centímetro cuadrado es una unidad de área. Es un cuadrado que tiene 1 centímetro por lado y se escribe “cm2”. 3
1 cm 1 cm 1 cm2
Calque en su cuaderno los terrenos de Diego y Hortensia representados arriba. Trace en los terrenos las líneas de modo que se dividan en 1 cm2.
(1) ¿Cuántos cuadrados de 1 cm2 caben en cada terreno?
(2) ¿Cuántos centímetros cuadrados mide el área de cada terreno? (3) ¿Quién obtuvo más terreno? ¿Cuánto más?
74 setenta y cuatro
4
Encuentre el área de las siguientes figuras pintadas. 1 cm
1 cm
C
B
A
D
E
F
G H
J
K
L
Compare con su compañero o compañera el resultado y la forma de encontrarlo.
Con las figuras que no se pueden dividir en cuadrados completos, su área se puede encontrar transformando las partes necesarias en cuadrados. Existen y se pueden formar varias figuras con la misma área.
2 ¿Cuáles figuras tienen la misma área? 1 cm 1 cm
5
I
B
A
D C
F E
3 Haga cuadrículas como la de arriba (puede usar la página para recortar). Dibuje varias figuras cuya área es de 6 cm2 y píntelas. setenta y cinco 75
Lección 2: Calculemos el área de cuadrados y rectángulos
A
Vamos a encontrar el área de este rectángulo.
1
Midamos la longitud de sus lados.
Tiene 4 cm de base y 3 cm de altura.
2
Midamos la longitud de sus lados.
(1) ¿Cuántos cuadritos de 1 cm2 hay en una fila? 4 cuadritos (2) ¿Cuántas filas hay? 3 filas (3) ¿Cuántos cuadritos de 1 cm2 hay en total? PO: 4 x 3 = 12 3
R: 12 cuadritos
¿Cuánto es el área de este rectángulo? El área de este rectángulo es: PO: 4 x 3 = 12 R: 12 cm2 Para calcular el área de un rectángulo se multiplica la longitud de la “base” por la longitud de la “altura”. área de un rectángulo = base x altura Este tipo de planteamiento de la operación que usa palabras se llama fórmula.
Con las fórmulas se puede recordar fácilmente cómo calcular ¿verdad?
1
Calcule el área de los siguientes rectángulos. (1)
5 cm
2 cm
(3) Un rectángulo cuyo largo mide 10 cm y el ancho mide 7 cm
76 setenta y seis
(2)
3 cm 1 cm
(4) Un rectángulo cuyo ancho y largo miden 8 cm y 15 cm respectivamente
B
Vamos a encontrar el área de este cuadrado.
1
Encuentre el área de este cuadrado aplicando lo aprendido y explique cómo lo hizo.
Al igual que los rectángulos, el área de los cuadrados se encuentra pensando en cuántos cuadritos de 1 cm2 caben en la figura. El área de este cuadrado es: PO: 4 x 4 = 16 R: 16 cm2 Oh... la base y la altura en el cuadrado son iguales. Entonces puede ser lado x lado
Para calcular el área de un cuadrado se multiplica lado por lado. área de un rectángulo = lado x lado.
2
Calcule el área de los siguientes cuadrados. (1)
2 cm
(2)
4 cm
2 cm 4 cm
(3) Un cuadrado cuyo lado mide 15 cm
(4) Un cuadrado cuyo lado mide 20 cm
setenta y siete 77
C
Vamos a investigar el área de los objetos cuadrados y rectangulares del aula de clases usando “cm2”. Estime el área de los objetos antes de la medición. 4B
Si sale una longitud con milímetros, redondee la medida hasta centímetros. Si las esquinas del objeto son curvas, use la medida aproximada. Registre el resultado en el cuaderno.
Nos divertimos ¿Cuál tiene mayor área, el gato o el conejo?
Gato
Conejo
La respuesta es que son iguales. Ambas figuras están hechas con un cuadrado dividido en varias partes, llamado tangrama. Con el tangrama se pueden formar varias figuras sin cambiar el área. Construyamos un tangrama y formemos varias figuras.
Tangrama
78 setenta y ocho
equitación
fútbol
carrera
Lección 3: Conozcamos las unidades del área
A 1
La sala de la casa de Amadeo mide 8 m de largo y 6 m de ancho. ¿Cuánto mide el área? Calcule el área convirtiendo los metros en centímetros.
0
0
2
0
0
0 0
0
0
8m
0 Es muy grande el número de la respuesta. Hay muchos ceros.
6m
¿Qué unidad de área imagina que se podría usar para que el cálculo sea más fácil? Para expresar la medida de una superficie amplia, como la de un cuarto, una aula o un jardín, etc., se usa como unidad oficial, el área de un cuadrado cuyo lado mide 1 m. Esta unidad de área se llama “metro cuadrado” y se escribe “m2”.
3
1m
2
1m
Calcule cuántos cuadrados de 1 m por lado caben en la sala de la casa de José. Represente la respuesta con la unidad de metros cuadrados en su cuaderno. PO: 6 x 8 = 48
1
1m
R: 6 x 8 = 48 m2
Encuentre el área de los siguientes rectángulos y cuadrados en su cuaderno. (1) El área de una cancha de baloncesto cuyo largo mide 40 m y el ancho mide 20 m. (2) El área de un jardín en forma cuadrada lleno de flores cuyo lado mide 5 m.
B
Vamos a construir un cuadrado de 1 m2 con 6 hojas de periódicos. (1) y (2)
(3) 2.5 cm 2.5 cm
1m
2.5 cm 2.5 cm 16 cm
¿Cuántos pupitres cabrán en 1 m2?
1m 16 cm
(1) Pegue tres hojas de papel periódico con una pestaña de 2.5 cm. (2) Pegue otras tres de la misma manera. (3) Pegue las dos partes con una pestaña de 16 cm. ¿Cuántos de 1 m2 cabrán en el piso del aula?
¿Cuántas personas cabrán en 1 m2?
Honduras
setenta y nueve 79
C
Vamos a investigar a cuántos centímetros cuadrados equivale 1 m2.
1
¿Cuántos cuadrados de 1 cm2 caben en una columna?
2
¿Cuántas columnas hay?
3
¿A cuántos centímetros cuadrados equivale 1 m2? 100 x 100 = 10,000
1 m (100 cm)
1m (100 cm)
1 m2
1 m2 = 10,000 cm2
2 Exprese en su cuaderno las siguientes áreas en las unidades que se le pide.
D
(1) 2 m2 (cm2)
(2) 5 m2 (cm2)
(3) 10 m2 (cm2)
(4) 30,000 cm2 (m2)
(5) 90,000 cm2 (m2)
(6) 180,000 cm2 (m2)
Vamos a investigar en grupo el área de varios lugares rectangulares y cuadrados en la escuela. Estime el área de los lugares antes de la medición. Represente la longitud del largo y del ancho redondeando en metros la parte de centímetros, según la necesidad y encuentre el área. Mida en metros la longitud que necesite. Registre el resultado en el cuaderno. Para redondear tienes que ver la cifra de las decenas, Se omite la solución. o sea, la de 10 cm, ¿verdad?.
80 ochenta
Ejercicios 1
Encuentre el área de las siguientes figuras pintadas. 1 cm 1 cm
A
2
B
D
C
E
F
G
H
Calcule el área de los siguientes cuadriláteros, escriba la respuesta en su cuaderno. 6 cm 7 cm (1) (2) 10 cm
(3)
7 cm
(4)
9 cm 3 cm
3 cm 3 cm
3
4
(5) Un cuadrado cuyo lado mide 12 cm
(6) Un cuadrado cuyo lado mide 6 cm
(7) Un rectángulo cuyo largo mide 10 cm y su ancho mide 9 cm
(8) Un rectángulo cuyo ancho y largo miden 1 cm y 10 cm respectivamente
Escriba las unidades más adecuadas del sistema métrico para medir lo siguiente. (1) La extensión territorial de Baní
(2) El área de una estadio de Volibol
(3) La superficie de su aula
(4) El espacio que ocupa un cuaderno sobre la mesa
Exprese las siguientes áreas en las unidades indicadas entre paréntesis. (1) 4 m2 (cm2)
(2) 2300 mm2 (cm2)
(3) 12,000 dm2 (m2)
(4) 2.6 km2 (m2)
(5) 8,000 cm2 (m2)
(6) 4.7 dm2 (cm2)
(7) 0.2 m2 (cm2)
(8) 5,900 cm2 (m2)
ochenta y uno 81
Unidad
10 Números decimales
Recordemos 1. ¿Para qué sirven los números decimales? 2. Escriba los números adecuados en cada casilla. (1) Al dividir 1 m en 10 partes iguales cada parte mide (2) 4 veces 0.1 m es (3)
m.
m.
veces 0.1 m es 0.8 m.
Lección 1: Conozcamos otros números decimales
A
Ana plantó un árbol en el jardín y cada semana marca la altura en un palo para medirla. La semana pasada
0
Esta semana
1m
1m
1
¿Cuántos metros medía la semana pasada?
1.2 m 2
¿De qué forma podemos expresar la altura del árbol en esta semana en metros? Para medir la parte que no alcanza un 0.1 m, se divide el 0.1 m en diez partes iguales. Una de estas partes se escribe 0.01 m y se lee "cero punto cero un metro". Esta semana, el árbol mide un metro más 2 veces 0.1 m y 3 veces 0.01 m, por lo tanto mide 1.23 m (se lee "uno punto veintitrés metros").
82 ochenta y dos
2m
1 ¿Cuántos metros mide cada cinta? 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1m
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2m
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
3m
(1)
(2)
(3)
(4)
0
0m
1m
0.80 m
0.85 m
0.90 m
0.05 m
0.1 m
0.03 m
0.05 m
2 Señale con una flecha las medidas indicadas. (1)
(a) 0.04 m (b) 0.17 m (c) 0.21 m 0m
(2)
0.1 m
0.2 m
(a) 1.29 m (b) 1.31 m (c) 1.44 m 1.2 m
1.3 m
1.4 m
1.5 m
ochenta y tres 83
B
¿Cuántos metros mide la cinta? 1.2 m
1.1 m
1.23 m
1.3 m
1.24 m
Al dividir un 0.01 m en diez partes iguales la medida de cada parte se escribe 0.001 m y se lee "cero punto cero cero un metro". La cinta mide 1 m más 0.23 m y 6 veces 0.001 m, en total 1.236 m (se lee "uno punto doscientos treinta y seis metros)
3 ¿Cuánto mide la cinta? (1)
1.6 m
1.7 m
1.64 m
1.65 m
0.8 m
(3)
(2)
2.4 m
2.35 m
0.9 m
0.87 m
2.3 m
2.36 m
(4) 0 m 0.88 m
0.1 m
0.04 m
0.2 m 0.05 m
4 ¿Qué medida señala cada flecha? Conteste la medida en metros. 3.45 m a
3.46 m b
c d e
3.47 m f
g
5 Señale con una flecha la medida indicada.
84 ochenta y cuatro
(1) (a) 1.234 m (b) 1.245 m (c) 1.256 m
1.23 m
1.24 m
1.25 m
(2) (a) 2.349 m (b) 2.352 m (c) 2.346 m
2.34 m
2.35 m
2.36 m
(3) (a) 0.434 m (b) 0.445 m (c) 0.456 m
0.43 m
0.44 m
0.45 m
C
Si este azulejo representa a una unidad, ¿cuáles azulejos representan a 0.1, 0.01 y 0.001?
1
Dividir en 10 partes iguales y tomar una parte.
0.1
Dividir en 10 partes iguales y tomar una parte. 0.01
Dividir en 10 partes iguales y tomar una parte.
0.001
Siguiendo de la misma manera, se obtienen las casillas de 0.1, 0.01 y 0.001. Las unidades de cada casilla se llaman "décimas", "centésimas" y "milésimas" (se abrevian d, c y m). U
D
d
c
m
d
c
m
1
0.1
0.01
0.001
Escriba el número 2.345 colocando cada cifra en su respectivo valor de posición. El número 2.345 consiste en milésimas.
6
U
unidades,
U
d
c
m
2
3
4
5
décimas,
centésimas y
Escriba los números adecuados en la casilla. (1) 1.523 consiste en
unidad,
(2) 2.304 consiste en
unidades,
décimas,
centésimas y
milésimas
(3) 0.023 consiste en
unidades,
décimas,
centésimas y
milésimas
(4) 3.02 consiste en
unidades,
décimas,
décimas,
centésimas y
centésimas y
milésimas
milésimas
ochenta y cinco 85
7
Escriba el número que consiste en: (1) 2 unidades, 4 décimas, 3 centésimas y 1 milésima (2) 0 unidades, 5 décimas, 4 centésimas y 2 milésimas (3) 2 unidades, 0 décimas, 2 centésimas y 3 milésimas (4) 1 unidad, 0 décimas, 0 centésimas y 2 milésimas. (5) 3 unidades, 2 décimas, y 4 milésimas (6) 2 unidades, 4 centésimas y 1 milésima (7) 1 unidad, 2 décimas y 3 centésimas (8) 4 décimas y 2 milésimas
E
¿Cuántas centésimas hay en 0.1 y 1? ¿Cuántas centésimas hay en 2.34? En 0.1 hay 10 centésimas. En 1 hay 100 centésimas. 2.34 consiste en: 2 unidades = 200 centésimas 3 décimas = 30 centésimas 4 centésimas = 4 centésimas Total 234 centésimas
8
(1) ¿Cuántas centésimas hay en 1.53? (2) ¿Cuántas centésimas hay en 0.28? (3) ¿Cuántas centésimas hay en 3.05?
F
¿Cuántas milésimas hay en 0.01, 0.1 y 1? ¿Cuántas milésimas hay en 2.345 ? En 0.01, 0.1 y 1 hay 10, 100 y 1,000 milésimas. 2.345 consiste en: 2 unidades = 2,000 milésimas 3 décimas = 300 milésimas 4 centésimas = 40 milésimas 5 milésimas = 5 milésimas Total 2,345 milésimas
86 ochenta y seis
9
Conteste las siguientes preguntas: (1) ¿Cuántas milésimas hay en 1.234? (2) ¿Cuántas milésimas hay en 0.564? (3) ¿Cuántas milésimas hay en 0.203?
10 Conteste cuál es el número que consiste en: (1) ¿297 centésimas? (2) ¿305 centésimas? (3) ¿14 centésimas? (4) ¿3724 milésimas? (5) ¿1083 milésimas? (6) ¿206 milésimas?
G
Escriba uno de los signos ó = en la casilla. (1) 2.14
1.98
1.9
(2) 2.14 2.0
1.98
(3) 2.14
2.1
2.2
2.2 2.14 2.17 2.2
1.98
(1) 2.14
2.17
(2) 2.14
2.17
(3) 2.14
2.2
Los números que están más a la derecha en recta numérica son mayores.
11 Escriba uno de los signos ó = en la casilla. (1) 3.24 (4) 0
2.93 0.001
(2) 4.25
4.13
(3) 1.04
1.07
(5) 2.45
2.339
(6) 0.01
0.009
ochenta y siete 87
H
¿Cuánto es 10 veces 1.23? x10
x10
D
u
d 0.1
1 10
1
x10
1
c 0.01
0.1
0.1
0.01
0.1
0.1
0.01
PO: 10 x 1.23 = 12.3 R: 10 veces 1.23 es 12.3
Si se multiplican los decimales por 10, el punto decimal cambia de posición a la derecha por una cifra; al igual que los números naturales, se aumenta el valor de cada cifra al valor inmediato superior.
I
¿Cuánto es 1.23 ÷ 10? ÷ 10
÷ 10
U
d
0.1
1 1 0
. .
2 1
÷ 10 c
m 0.01
0.001
0.1
0.01
0.01
0.001
0.1
0.01
0.01
0.001
3 2
PO: 1.23 ÷ 10 = 0.123 R: 0.123
3
Si se dividen los números decimales entre 10, el punto decimal cambia de posición a la izquierda por una cifra; al igual que los números naturales, se disminuye el valor de cada cifra al valor inmediato inferior.
12 Calcule. (1) 10 x 3.26
88 ochenta y ocho
(2) 10 x 1.08
(3) 3.26 ÷10
(4) 3.2 ÷10
Lección 2: Sumemos y restemos otros números decimales
A
1
Si en una olla se echan 1.23 litros de agua y luego 2.14 litros de agua, ¿cuántos litros de agua hay?
Escriba el PO.
PO: 1.23 + 2.14
2
Vamos a encontrar la forma de calcular. 1.23 + 2.14 7
1.23 + 2.14 Colocar los números de modo que los puntos decimales estén en una columna, uno debajo de otro.
1.23 + 2.14 3.37
1.23 + 2.14 3 37 Sumar las décimas y luego las unidades.
Empezar a calcular desde la derecha. Sumar las centésimas.
Poner el punto decimal en el resultado
R: 3.37 litros
La adición de los números decimales se calcula de la misma manera que los números naturales: solamente hay que poner el punto decimal.
1 Calcule. (1) 3.28 + 2.41
(7)
2.68 + 3.04
(2) 1.23 + 4.56
(3)
3.26 + 1.37
(4)
1.48 + 2.53
(5)
4.02 + 1.57
(8) 2.93 + 1.08
(9)
3.28 + 0.71
(10)
0.46 + 1.55
(11)
2.47 + 0.05
(6)
3.05 + 2.98
(12) 0.04 + 2.98
ochenta y nueve 89
2 Calcule en forma vertical. (1) 0.24 + 0.32
(2) 0.37 + 0.25
(3) 0.03 + 0.29
(4) 0.37 + 0.04
(5) 0.04 + 0.03
(6) 0.09 + 0.06
(1) 0.34 + 0.92
(2) 0.54 + 0.68
(3) 0.73 + 0.28
(4) 0.56 + 0.49
(5) 0.93 + 0.08
(6) 0.05 + 0.97
3 Calcule en forma vertical.
B
Vamos a calcular 4.26 + 1.34 en forma vertical. 4.26 + 1.34 5.60
Se tacha el último cero, porque no es necesario.
En el cálculo de los números decimales, podemos tachar los ceros innecesarios.
4 Calcule. (1)
(2)
2.37 + 1.43
5 Calcule. (1) 2.34 + 1.66
90 noventa
(2)
(3)
4.25 + 1.95
2.49 + 3.51
(3)
1.43 + 0.57
2.71 + 3.39
(4)
0.25 + 0.75
(4)
1.42 + 2.68
(5)
0.02 + 2.98
C
Vamos a calcular 2.3 + 4.16 en forma vertical. 2.3 + 4.16 6.46
Hay que alinear el punto decimal de modo que las cifras que tienen el mismo valor posicional estén en la misma columna.
2.30 + 4.16 6.46
Se puede poner el cero de modo que cada número tenga la misma cantidad de cifras después del punto decimal. Si se te hace muy difícil puedes escribir el cero.
6 Calcule. (1)
1.2 + 3.45
(2)
4.6 + 1.53
(3)
2.8 + 0.54
(4)
0.3 + 1.87
(5)
0.4 + 0.53
(7)
3.14 + 2.5
(8)
1.78 + 1.5
(9)
0.45 + 1.8
(10)
2.87 + 0.5
(11)
0.18 + 0.9
(6)
0.6 + 0.45
7 Calcule en forma vertical. (1) 26.53 + 3.1
(2) 72.5 + 5.29
(3) 82.1 + 0.04
(4) 3.46 + 57.3
(5) 1.08 + 27.5
(6) 0.07 + 21.3
(1) 45 + 1.32
(2) 3 + 0.25
(3) 36 + 0.38
(4) 4.76 + 28
(5) 0.59 + 7
(6) 0.21 + 73
(1) 1.234 + 5.623
(2) 4.032 + 5.103
(3) 2.356 + 1.835
(4) 3.248 + 1.753
(5) 0.123 + 0.582
(6) 0.004 + 0.007
(7) 0.532 + 0.641
(8) 0.697 + 0.304
(9) 5.135 + 0.325
8 Calcule en forma vertical.
9 Calcule en forma vertical.
(10) 0.316 + 0.684
(11) 1.23 + 4.567
(13) 13 + 0.023
(14) 1.013 + 5
(12) 0.021 + 0.09
noventa y uno 91
D
1
Hay 2.34 litros de agua. Si se beben 1.21 litros, ¿cuántos litros de agua quedan?
Escriba el PO.
PO: 2.34 - 1.21 2
Vamos a encontrar la manera de calcular.
2.34 - 1.21 3
2.34 - 1.21 Colocar los números de modo que los puntos decimales estén en una columna punto debajo de punto.
2.34 - 1.21 13
Empezar a calcular desde la derecha. Restar las centésimas.
2.34 - 1.21 1.13
Restar las décimas y las unidades.
Poner el punto decimal en el resultado.
R: 1.13 litros
La sustracción de los números decimales se calcula como los números naturales: solamente hay que poner el punto decimal.
10 Calcule.
(1)
4.57 - 2.13
(2)
2.53 - 1.26
(3)
3.24 - 1.59
(4)
6.07 - 2.43
(5)
4.05 - 2.46
(6)
3.04 - 0.29
(7)
4.01 - 0.07
(8)
3.48 - 1.3
(9)
5.21 - 2.6
(10)
2.13 - 0.8
92 noventa y dos
11
12
Calcule. (1)
3.48 - 3.14
(2)
4.28 - 3.56
(3)
2.37 - 1.38
(4)
4.03 - 3.75
(5)
1.24 - 0.26
(6)
1.06 - 0.08
(7)
0.43 - 0.4
(8)
1.38 - 0.5
(2)
3.24 - 3.17
(3)
0.13 - 0.04
(4)
1.23 - 1.2
Calcule. (1)
13
Calcule. (1)
14
E
4.36 - 4.32
3.24 - 2.14
Calcule. (1) 2.34 - 1.34
3.43 - 1.53
(3)
2.18 - 1.38
(4)
4.05 - 0.35
(5)
2.17 - 0.47
(2)
4.78 - 1.78
(3)
3.05 - 1.05
(4)
2.48 - 0.48
(5)
1.09 - 0.09
(6)
1.28 - 0.88
Vamos a calcular 5.3 - 2.16 en la forma vertical. 2
15
(2)
5.3 - 2.16 3.14
Hay que alinear los puntos decimales de modo que las cifras que tienen el mismo valor posicional estén en la misma columna.
5.30 - 2.16 3.14
Se puede poner el cero de modo que cada número tenga la misma cantidad de cifras después del punto decimal.
Calcule. (1) 3.4 - 1.28
(2)
4.8 - 1.53
(3)
3.2 - 1.27
(5)
(6)
0.2 - 0.15
(7)
0.1 - 0.03
3.4 - 2.96
(4)
1.8 - 0.23
noventa y tres 93
16
17
18
F
Calcule en forma vertical. (1) 3.45 - 1.9
(2) 2.37 - 1.5
(3) 3.4 - 2.78
(4) 24.3 - 5.61
(5) 4.8 - 0.85
(6) 0.2 - 0.15
(1) 36 - 18.7
(2) 23 - 4.19
(3) 2 - 1.59
(4) 6 - 0.25
(5) 3.24 - 2
(6) 32.65 - 15
Calcule en forma vertical.
Calcule en forma vertical. (1) 2.345 - 1.123
(2) 3.243 - 1.129
(3) 1.025 - 0.138
(4) 2.302 - 2.293
(5) 2.532 - 1.672
(6) 3.125 - 1.125
(7) 5.4 - 1.235
(8) 7 - 5.123
Vamos a buscar el número de la forma
.
y que queda más cerca del
número 2.38 (redondear 2.38 hasta las décimas). 2.3
2.35
2.4 2.38
El número 2.35 queda en el medio de 2.3 y 2.4. El número 2.38 queda más cerca del número 2.4 que 2.35. Por lo tanto 2.4 queda más cerca del 2.38 que 2.3.
Para redondear los números decimales hasta las décimas más cercanas: Si la cifra de las centésimas es mayor o igual que 5, se aumenta en uno a las décimas, si es menor que 5 permanece igual. Ejemplo: 2.35 2.4 , 2.96 3.0 Si no, sólo se quitan las centésimas, las milésimas, etc... Ejemplo: 2.34 2.3 , 2.01 2.0 19
20
Se pone 0 para aclarar que está redondeado hasta las décimas.
Redondee los siguientes números hasta las décimas.
(1) 5.38
(2) 7.269
(3) 21.945
(4) 0.32
(5) 0.96
(6) 0.49
Redondee los siguientes números hasta las centésimas.
(1) 5.283
94 noventa y cuatro
(2) 1.897
(3) 38.894
(4) 56.006
Ejercicios 1
Escriba los números que corresponden a las flechas. (2) (1) 2.4 2.3 2.5 2.6 a
2
b
c
d
e
2.4 f
2.41 g
h
i
Conteste sobre el número 2.345. (1) ¿Qué valor tiene la cifra 4? (2) ¿Qué valor tiene la cifra 5? (3) ¿Cuántas milésimas en total tiene el número 2.345?
3
(1) ¿Qué número consiste en 4 unidades, 0 décimas, 2 centésimas y 5 milésimas? (2) ¿Cuál es el número que consiste en 14 milésimas? (3) ¿Cuánto es 0.104 x 10? ¿Cuánto es 0.104 x 100? (4) ¿Cuánto es 0.2 ÷ 10?
4
Ordene los siguientes números de menor a mayor. 0.01, 1.95, 0, 2, 1.89
5
6
Calcule y escriba. (1) 1.04 + 2.963
(2) 0.903 + 1.097
(3) 23.1 + 0.003
(4) 2.354 - 1.054
(5) 3.46 - 2.543
(6) 5 - 2.183
Resuelva los siguientes problemas. (1) Un carro ayer recorrió 30.24 km y hoy 29.87 km. ¿Cuántos kilómetros recorrió en dos días? (2) El lápiz carbón de Carlos la semana pasada medía 18.3 cm y hoy 15.4 cm. ¿Cuántos centímetros se gastó? (3) Habían 1.45 kg de azúcar. Hoy se usó 0.52 kg para hacer pasteles. ¿Cuántos kilogramos sobran? (4) Se venden manzanas en caja. Todas las manzanas pesan 2.45 kg y la caja vacía 0.32 kg. ¿Cuántos kilogramos pesan en total? (5) El médico le dijo a María que tenía que bajar de peso. Ella perdió 6.24 kg y ahora pesa 43.38 kg. ¿Cuántos kilogramos pesaba antes? (6) Julia pesa 35.7 kg. Al pesarse cargando a su hermana en los brazos resultó 45.5 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la hermana? noventa y cinco 95
Unidad
Área de triángulos
11
Recordemos Encuentre el área de las siguientes figuras. Hacer el cálculo en su cuaderno. 3 cm
(1)
(2)
4m
3 cm
2m
Lección 1: Calculemos el área de triángulos
A
¿Cuál triángulo será más alto? A
1
B
C
Trace el segmento que representa la altura en cada triángulo. ¿Cómo se tiene que trazar? La altura de un triángulo, es el segmento perpendicular trazado de un vértice al lado opuesto. El lado opuesto que es perpendicular a la altura se llama base. Perpendicular
2
altura
base
Mida la altura de cada triángulo. Todos miden la altura de 3 cm. Tienen la misma altura.
3
Observe el triángulo A y piense si puede haber otra altura. La altura depende de cuál vértice o base se escoge para trazarla. A1
base
altura
A2
base altura
A3 base altura
4
Trace otras alturas en los triángulos A ~ C .
1
Dibuje varios triángulos en su cuaderno y trace su altura.
96 noventa y seis
Puedo captar que la base y la altura son perpendiculares cuando giro el dibujo
B
En el zoológico el piso de cada jaula tiene forma diferente. ¿Cuál es la jaula más extensa? Vamos a encontrar el área de varias figuras.
1
Encuentre el área del piso de la jaula de las jirafas.
Es un rectángulo de 8 m de base y 6 m de altura. 6m
PO: 8 x 6 = 48
Entonces:
R: 48 m2
8m
2
Encuentre el área del piso de la jaula de las ardillas.
(1) ¿Cómo se llama la forma del piso de esta jaula? 6m
Triángulo rectángulo. 8m
Parece que se puede usar la fórmula para el área de rectángulos que aprendimos.
(2) Calcule el área de este triángulo rectángulo pensando en una forma para encontrarla. Cuando se divide un rectángulo con una diagonal, se obtienen dos triángulos rectángulos iguales. Es decir que el área de ese triángulo rectángulo es la mitad del área de un rectángulo con 8 m de largo y 6 m de ancho. Entonces:
2
PO: 8 x 6 ÷ 2 = 24
R: 24 m2
Encuentre el área de los siguientes triángulos rectángulos. 4m
(1) 2m
(2)
40 cm
30 cm
(3) 6 m
6m
noventa y siete 97
C
1
El piso de la jaula de los monos tiene otra forma triangular. ¿Cuánto mide el área?
1m 1m
Piense en la forma para encontrar el área de este triángulo. 1m
1m
1m
Fátima
1m
1m
1m
Dividiendo en dos triángulos rectángulos...
PO: 4 x 4 ÷ 2 = 8 4x2÷2=4 8 + 4 = 12 R: 12 m2
Como el área del triángulo es la mitad del rectángulo grande...
Walter
Transformando el triángulo en un rectángulo de la misma área...
Viviana
PO: 6 x 4 ÷ 2 = 12
PO: 4 ÷ 2 = 2 6 x 2 = 12
R: 12 m2
R: 12 m2
Hay puntos similares entre las tres formas, ¿verdad?
2
Intente encontrar el área del triángulo anterior usando otras formas. Hacer el cálculo en su cuaderno.
3
Encuentre el área de los siguientes triángulos.
(1)
1m
1m
(2)
1m
(3)
1m
12 m
15 m
98 noventa y ocho
D 1
2
Vamos a deducir la fórmula para encontrar el área de triángulos.
1m
A
B
D
1m
Para encontrar el área del triángulo ABC, usando el área del rectángulo grande, ¿qué longitudes se necesitan saber?
C
Encuentre el área del triángulo ABC mediante el cálculo.
El área del triángulo es la mitad del área del rectángulo grande. PO: 7 x 6 ÷ 2 = 21 R: 21 m2 A altura D
B 3
base
C
Para encontrar el área del triángulo ABC, se usa la longitud de BC (7 m) y AD (6 m). BC es la base y AD es la altura del triángulo ABC. Entonces, la fórmula del área del triángulo es: área = base x altura ÷ 2
Encuentre el área del triángulo EFG mediante el cálculo y compruebe si es aplicable la fórmula. E altura P: 5 x 4 ÷ 2 = 10 R: 10 m2 4m
F
5m
G base
El 5 es la longitud de la base y el 4 es la altura del triángulo EFG. Entonces, es aplicable la fórmula para el área del triángulo rectángulo.
4 Encuentre el área de los siguientes triángulos. (1)
(2)
9m
7 cm
10 cm
4m
(3)
(4) 2 cm 6 cm 5 cm 3 cm
noventa y nueve 99
E 1
Otra jaula con piso triangular es la de las aves. ¿Cuánto mide el área? Piense en la forma para encontrar el área de este triángulo. 1m
A
A
1m
A
B
B
C
D
C
D
Restando el área del triángulo ABC al área Adolfo del triángulo ABD
B
Cecilia
PO: 6 x 6 ÷ 2 = 18 2x6÷2=6 18 - 6 = 12
D
Cuando la base es CD, la altura es AB. Usando la fórmula del área... PO: 4 x 6 ÷ 2 = 12
R: 12 m2
R: 12 m2
A
En el triángulo ACD, cuando la base es CD, la altura es AB. En esta situación, también es aplicable la fórmula para el área de triángulos.
5
C
altura
B
C base
D
Calque los siguientes triángulos y trace la altura correspondiente a la base indicada. (1)
(2)
(3) base
base
(4)
base
base
6
Encuentre el área de los siguientes triángulos. (1)
(3)
(2) 15 m 6m
100 cien
6 cm
4 cm
4m
9 cm
13 cm
7 cm
Ejercicios 1 Encuentre el área de los siguientes triángulos. 1m 1m
D A
C
B
2 Escriba cuál es la base y la altura para cada triángulo. (1) A (2) G J
B
E
N O
I
F
D
(3)
H
C
K L
3 Calcule el área de los siguientes triángulos. (2) (3) (1) 5m 20 m 29 m
13 m 21 m
12 m
5m
M
P
(4) De un triángulo cuya base es 9 cm y su altura es 36 cm.
9 cm
13 m 4 cm 8 cm
Intentémoslo Dibuje un triángulo que tenga 15 cm2 de área. Indique su base y su altura.
¿? 15 cm
2
¿? ciento uno 101
Unidad
Gráficas de barras
12
Recordemos Para organizar los datos se utiliza la tabla o el cuadro. Las gráficas sirven para visualizar los resultados de la organización de los datos.
La fruta preferida Número de Frutas niños y niñas 6 5 3 4
La fruta preferida
6 5 4 3 2 1 0
Lección 1: Construyamos gráficas de barras
A
Betty y José hicieron una investigación sobre sus amigos y la organizaron en una tabla. José
Betty
La profesión que quiere ser cuando sea grande Doctor
5
Piloto
2
Policía
8
Bombero Total
4 19
Profesión preferida cuando sea grande
10
9 8 7
Número de niños y niñas
Número de niños y niñas
Número de niños y niñas
Profesión
Profesión preferida cuando sea grande
10
6 5 4 3 2 1 0
Doctor
Piloto
Policía Bombero
8 6 4 2 0
Profesión
Policía
Doctor Bombero Piloto
Profesión
Este tipo de gráfica se llama gráfica de barras. En las gráficas de Betty y José, la escala de las cantidades se representa en el eje vertical; y el tipo de profesión se representa en el eje horizontal.
1 2
Compare las gráficas de barras de Betty y José, y escriba en su cuaderno lo que encontró. Observe la gráfica de barras que hizo Betty, y conteste las preguntas en su cuaderno lo que encontró. (1) ¿Cuántos niños y niñas representa cada escala del eje vertical? (2) ¿Cuál es la ocupación más preferida por los niños y las niñas? (3) ¿Cuántos niños y niñas prefieren ser doctor?
102 ciento dos
B
En la comunidad de Oscar cada domingo se realiza la actividad de limpieza. Dominicana limpia
La tabla y la gráfica de barras siguientes representan la cantidad de niños y niñas que participaron en ella, el pasado sábado. Los niños y las niñas que participaron en la actividad de limpieza
o
1 grado o 2 grado o 3 grado o 4 grado o 5 grado o 6 grado Total
1
Número de niños y niñas
26 24 19 21 15 17 122
(Niños y niñas)
o
1 (Grado)
Grado
Los niños y las niñas que participaron en la actividad de limpieza 0 5 10 15 20 25 30
2
o
3
o
4
o
5
o
6
o
Conteste las siguientes preguntas. (1) ¿Cuántos niños y niñas representa cada escala del eje horizontal? (2) ¿De qué grado participaron más niños y niñas en la actividad? (3) Comparando la tabla y la gráfica de barras, ¿con cuál de las dos se puede captar más fácilmente quién tiene mayor número de niños y niñas? (4) Escriba en el cuaderno otras informaciones que nos da la gráfica de barras.
¿Se podrá cambiar el orden de los elementos, o no?
ciento tres 103
1
(2)
(3)
50
100
200
40 30 20
100
50
10 A
2
(Metros)
(1)
(Personas)
(RD$ pesos)
Observe las gráficas de barras siguientes. Escriba qué cantidad representa cada graduación del eje vertical en cada gráfica y qué cantidad representa cada barra.
B
0
C
D
E
F
0
G
H
I
La siguiente gráfica representa el tiempo que Miguel estudió en su casa la semana pasada. Obsérvela y conteste las preguntas en su cuaderno. El tiempo que estudió Miguel (minutos) 0
20
Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
40
60
80
100
(1) ¿Cuántos minutos representa cada graduación del eje horizontal? (2) ¿Qué día Miguel estudió más, y cuántos minutos fueron? (3) ¿Qué día él estudió menos y cuántos minutos fueron? (4) ¿Cuánto tiempo estudió el miércoles? (5) ¿Qué día él estudió 50 minutos? (6) ¿Cuánto tiempo más estudió el martes que el lunes? (7) ¿Cuánto tiempo estudió durante la semana?
(8) Diga qué más pudo encontrar en esta gráfica.
104 ciento cuatro
C
Natalí hizo una encuesta a sus amigos y amigas sobre el color favorito y organizó los datos en una tabla. Vamos a presentar este resultado con la gráfica de barras en su cuaderno. El color favorito Color
Rojo
Azul
10
8
Número de niños y niñas
El color preferido
Amarillo 11
Verde 12
Marrón
Otros
2
3
Total 46
El procedimiento 1 Escribir los elementos y el título del eje horizontal o vertical (se puede omitir el título de los elementos). 2 Decidir el valor que representa cada escala (el valor mínimo) de manera que se pueda representar la cantidad más grande de los datos.
Número de niños y niñas
3 Escribir en el otro eje el título (o la unidad) y los números de los valores que representan las escalas. 4 Dibujar las barras de tal manera que correspondan con la cantidad que representan. 5 Escribir el título de la gráfica. 5
0
Rojo
Azul
Los colores
ciento cinco 105
3
La tabla siguiente presenta el deporte favorito de los amigos y las amigas de Darwin. Represente los datos con la gráfica de barras horizontales. Deporte favorito Deporte
Baloncesto
4
Número de amigos
18
Natación
9
Béisbol
4
Carrera
12
Volibol
6
Otros
7
Total
56
La tabla siguiente presenta la cantidad de los ahorros de los hermanos de Natasha durante tres meses. Represente los datos con la gráfica de barras. Cantidad de los ahorros Nombre de RD$ Pesos los hermanos
Andrés
50
Norma
95
Javier
110
Natasha
75
Gustavo
145
Total
475
$
106 ciento seis
D 1
Vamos a investigar y presentaremos los resultados con la gráfica de barras. Decidir el tema. Voy a preguntar a mis compañeros y compañeras cuántos hermanos tienen.
Quiero saber a qué juegan los domingos mis compañeros y compañeras.
2
Realizar la investigación (encuesta).
A qué juega usted los domingos. Quiero saber cuál es la comida que les gusta a mis compañeros y compañeras.
3
Fútbol.
karate
10
Organizar los resultados en la tabla.
Tema:
Qué juega los domingos
Juego
Número
Béisbol
lll l lll l lll
Karate
lll l lll l
9
lll l lll l
10 32
l
Total
13
l l l l l
Baloncesto
Es mejor hacer la encuesta anotando directamente en el cuaderno.
Número de compañeros
4
Representar los datos con una gráfica de barras.
Si se realiza la encuesta con una tabla en el cuaderno, ya no es necesario hacerla de nuevo, ¿verdad?
Presentar el resultado a sus compañeros y compañeras.
Tienes que describir bien la información, y sería bueno agregar tu opinión y recibir las preguntas de tus compañeros… ¡Qué divertida es la presentación!
Compañeros
5
15
Qué juega los domingos.
10 5 0
Béisbol
Baloncesto
Juegos
Karate
Piensa bien cómo es mejor elaborar la gráfica de barras para que tus compañeros y compañeras capten lo que tú investigaste.
ciento siete 107
Lección 2: Organicemos los datos
A
Ramón y Andrea hicieron una investigación sobre la ausencia de los alumnos y las alumnas de su escuela durante un mes. Vamos a organizar los datos según el propósito de cada uno. Grado
Nombre
Día
1
o
Juan
Lunes
Gripe
2
o
María
Lunes
Dolor de estómago
1
o
Juan
Martes
Gripe
4
o
Gabriel
Miércoles
Dolor de estómago
3
o
Natalí
Jueves
Dolor de cabeza
6
o
Sariel
Viernes
Fiebre
1
o
Marta
Viernes
Dolor de cabeza
1
o
Pedro
Lunes
Gripe
2
o
Linda
Lunes
Dolor de estómago
3
o
Raúl
Jueves
Dolor de estómago
4
o
Karla
Viernes
Gripe
3
o
Carlos
Lunes
Dolor de cabeza
1
o
Diana
Lunes
Fiebre
3
o
Nora
Martes
Gripe
2
o
Javier
Martes
Dolor de estómago
3
o
Norma
Miércoles Gripe
1
o
Juan
Viernes
Fiebre
1
o
Ana
Lunes
Dolor de estómago
6
o
Pablo
Lunes
Dolor de cabeza
2
o
Carlos
Lunes
Dolor de estómago
3
o
Andrés
Martes
Fiebre
2
o
Sofía
Miércoles
Dolor de cabeza
5
o
Josefa
Jueves
Dolor de estómago
1
o
Gloria
Viernes
Fiebre
4
o
Alejandro Viernes
108 ciento ocho
Quiero saber por cuál motivo hay más ausencias.
Motivo
Dolor de estómago
¿Qué día de la semana hay más ausencias?
Número de ausentes
Motivo
Día
Número de ausentes
Contando con palitos se pueden organizar los datos más fácilmente, ¿verdad?
1
Elabore una tabla para saber por cuál motivo hay más ausencias.
2
Elabore una tabla para saber qué día hay más ausencias.
3
Explique sobre lo que interpretó al observar las tablas.
Entonces, ¿cómo podemos organizar la tabla para saber qué día de la semana y por cuál motivo hay más ausencias al mismo tiempo?
¿Día y motivo?
4
Organice los datos en una tabla como la siguiente en su cuaderno. Los motivos y días de la semana de ausencia Días
Motivos
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Total
Gripe Dolor de estómago Dolor de cabeza
Fiebre (A)
Total
5
¿Por cuál motivo y qué día hay más ausentes?
6
¿Qué representa el número de la casilla (A)?
7
Diga sobre lo que interpretó al observar la tabla.
8
Elabore otra tabla en su cuaderno según su propósito, utilizando los mismos datos. Ejemplo: Observando los grados y los motivos de las ausencias. Observando los grados y los días de las ausencias.
1
Organice en la tabla los datos del dibujo, observando la figura y el color y escríbalo en su cuaderno. Clasificación por la figura y el color Figura
Color
Azul
Amarillo
Rosado
Total
Rombo Romboide Trapecio Rectángulo Otros Total
ciento nueve 109
B
María investigó entre sus compañeros y compañeras si tienen perros o gatos en la casa. Ella hizo la siguiente tabla para saber cuántos no tiene tiene compañeros y compañeras tienen perros y cuántos tienen gatos. Número Perros Gatos 1
1 2
Organice los datos en la tabla. Pero con esta tabla no se sabe cuántos tienen perros y gatos al mismo tiempo.
3 4 5
Perros
6 7
Gatos
8 9
2
10 11 12
Tienen No tienen Tienen No tienen
Organice los datos para saber cuántos tienen perros y gatos al mismo tiempo. Cuando hay “ ” y “ ” significa que tienen perros y gatos al mismo tiempo, ¿verdad?
13 14 15 16
Perros Tienen
17 18
Gatos
19 21 22
(B)
(C)
No tienen (D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
3
¿Qué representan los números de las casillas (A) ~ (I)?
4
Explique sobre lo que interpretó al observar la tabla.
23 24 25
Total
(A)
Total
20
2
Tienen
No tienen
Javier investigó con sus amigos y amigas adónde fueron en las vacaciones, al río o a la playa. Y después elaboró la tabla siguiente. Playa Fue Río
Fue
10
No fue (B)
Total
110 ciento diez
No fue
(A) (C)
18
Total
(E)
(1) ¿Qué representan los números de las casillas (A) ~ (E)?
22 (D) 30
(2) Encuentre los números que van en las casillas (A) ~ (E).
Ejercicios suplementarios 1
La siguiente tabla representa los resultados de la investigación de Marcos sobre cuál es la fruta que les gusta más a sus amigos y amigas.
Fruta preferida Número de amigos y amigas
Fruta Naranja
6
Mango
12
Guineo
7
Uva
3
Manzana
3
Otros
2
(1) Represente el resultado con la gráfica de barras. (2) ¿Cuál es la fruta más preferida por los amigos y amigas de Alejandro? (3) ¿Cuántas personas prefieren el guineo? (4) Explique lo que interpretó en la gráfica de barras.
2
La siguiente tabla representa los trabajos que hacen, en casa, los compañeros y compañeras de Natalia. (1) Represente el resultado en la tabla siguiente.
Trabajo en casa
N
o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Trabajo
Cuándo Por la mañana Trabajo
Tiempo
Limpieza Trabajo en campo Limpieza Cocinar Trabajo en campo Lavar Limpieza Limpieza Cocinar Lavar
Por la mañana Por la tarde Por la mañana Por la tarde Por la tarde Por la mañana Por la tarde Por la mañana Al mediodía Por la tarde
Al mediodía
Por la tarde
Total
Limpieza Trabajo en campo Cocinar Lavar Total
(2) ¿Cuál y cuándo es el trabajo que más se hace?
3
Observe la siguiente tabla y conteste las preguntas. ¿En su casa vive junto con su abuelo o su abuela? Si Abuela Total
Si
(A)
No
(C)
Abuelo No
18
9
25
3 12
(1) ¿Qué representa el número de la casilla (A)?
Total (B)
10 (D)
(2) ¿Cuáles son los números las casillas (B) ~ (D)? (3) ¿Cuántas personas viven con su abuela pero no con su abuelo? (4) ¿A cuántas personas les hicieron la encuesta?
ciento once 111
Unidad
13
Peso
Recordemos
¿Cuál pesó más, el guineo o la manzana?
Lección 1: Determinemos pesos usando balanzas
A
Oscar y Paola pesaron el mismo guineo usando diferente medida.
Oscar
1
¿Cuántas monedas pesó el guineo?
Paola
2
¿Cuántas tapitas pesó el guineo?
8 monedas
3
13 tapitas
¿Por qué es diferente el número de monedas y de tapitas aunque pesemos el mismo guineo? Es necesario una unidad que dé el mismo resultado.
La moneda pesa más que la tapita. La medida más pequeña del peso es el “gramo”. El gramo es una medida oficial del peso y se escribe “g”.
112 ciento doce
B
Karina acompañó a su mamá al supermercado y observó que para pesar los productos usaron otro tipo de balanza. Ella pidió a su maestra que le enseñara este tipo de balanza.
La aguja gira siguiendo el movimiento de las agujas del reloj.
Es una balanza. Sirve para medir el peso. Esta balanza está graduada en gramos. La aguja sirve para marcar el peso.
1
10 9 8
11 12 1
7
2 3 4
6 5
Conoce la forma de leer las graduaciones de la balanza (en gramos). (1) Indique con la flecha la graduación de 100 g. (2) ¿Qué representa la graduación más pequeña? R: ____________________________ (3) ¿Cuántos gramos representa la aguja? R: ____________________________ (4) Indique la graduación de 680 g con la flecha.
Escriba cuántos gramos indica la aguja de cada balanza.
III
IIIII IIIII I III
II
I
I
III
II II
III
II
II II
I IIIII II IIIIII
I
II
II
II
II
II II
I
I IIIII II IIIIII
I
(
I
II
)
400 g
I
II
II
II
II
200 g
600 g
I
II
I
800 g
II II I II I II I III
I
II
II I II II I I III I I
II
1 kg
III
I
III
III II I III I IIII
I II I II I I II I III
II
II
III
II IIIIIIII IIII
II
II
III
III
II
II
I
I
II
(
400 g
I
II
600 g
II
II
200 g
I
800 g
I
)
(6)
II
II
II
1 kg
)
II
II I II I I II I IIII
I
II
I
II
400 g
I
III
I II I II I I II I III
I
I II I III I II I III
I 600 g
II
III
I II
200 g
II
II
II
I
800 g
I
II
(
(5)
II
(
II
I
II
1 kg
I
I II II I III I IIII
I
III
I
II
)
II
II
(
)
II
(4)
200 g
(3)
I
(
(2)
I
(1) Ejemplo:
I
1
) ciento trece 113
C
¿Cuánto pesa la mochila de Manuel?
(1) Indique la graduación de 100 g con la flecha. (2) ¿Qué representa la graduación más pequeña? R: ________________________ El kilogramo es la unidad oficial del peso. Se representa “kg”. 1 kilogramo = 1000 g. (3) ¿Cuántos kilogramos representa la aguja?
1 kg 100 g Creo que 1 kg = 1000 g, porque 1 km = 1000 m...
R: ________________________ (4) ¿Hasta cuántos kilogramos puede medir con esta balanza? R: ________________________
2 Escriba cuántos kilogramos y gramos indica la aguja de cada balanza. (3) (1) (2)
(
D
kg
g )
(
kg
g )
Vamos a comparar el peso de los objetos. (1) Construir el modelo de peso de 1 kg. agua
arena
4 kg 500 g
1 kg
1 kg
3 kg
2 kg
(2) Buscar los objetos que tengan un peso estimado de 1 kg.
?
1 kg
?
1 kg
(3) Comprobar la estimación usando la balanza.
? 4 kg 500 g
1 kg
3 kg
2 kg
114 ciento catorce
1 kg
?
(
kg
g )
E
Esteban determinó el peso de sus naranjas con una balanza. 1
Represente el peso de las naranjas. kg
g
4 kg 500 g
2 kg 105 g
2
¿Cuántos kilogramos y gramos de peso tienen las naranjas?
3
¿Cuántos gramos tienen las naranjas?
4
¿Cuántos kilogramos tienen las naranjas?
2 kg
Usando una tabla, se puede representar fácilmente el peso que tienen las naranjas.
kg
2. 1
Sólo tienes que pensar la ubicación del punto decimal en la tabla, ¿verdad? ¡Qué fácil!
g
0
5
Peso de las naranjas El peso de las naranjas es de 2 kg 105 g (dos kilogramos ciento cinco gramos). Si se expresa en gramos se dice 2,105 g (dos mil ciento cinco gramos). Si se expresa en kilogramos se dice 2.105 kg (dos punto ciento cinco kilogramos).
3
Escriba las siguientes cantidades en las unidades indicadas. (1) 1 kg 547 g
(2) 17 kg 839 g
(3) 658 kg 213 g
=
g
=
g
=
g
=
kg
=
kg
=
kg
(4) 36 kg 30 g
(5) 20 kg 500 g
(6) 7 kg 5 g
=
g
=
g
=
g
=
kg
=
kg
=
kg ciento quince 115
Unidad
14
Círculos y esferas
Lección 1: Conozcamos el círculo
A
1
Las niñas juegan a la cuica.
Observe la forma de la cuerda que las niñas usan para jugar.
La forma que tiene la cuerda se llama línea curva.
2
¿Qué diferencia hay entre estas dos líneas curvas? A
B
La línea curva A podemos saber dónde inicia y dónde termina y en a B no. Las líneas curvas como A se llaman abiertas y las que son como B se llaman cerradas.
3
Elija varios de sus compañeros, tómense de las manos de forma que representen una línea curva cerrada.
1
Dibuje dos líneas curvas abiertas y dos cerradas.
116 ciento dieciséis
B
Vamos a marcar muchos puntos que estén a 2 cm del punto A.
A
A
A
Observe que al trazar tantos puntos de forma que estén pegados uno de otro se ha formado una línea curva cerrada. En esta línea curva todos los puntos están a la misma distancia del punto A. La línea curva cerrada donde todos los puntos están a la misma distancia de un punto fijo se llama circunferencia.
Circunferencia
radio
El punto fijo se llama centro. La superficie encerrada dentro de la circunferencia se llama círculo.
centro
radio
La longitud desde el centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
m
1c 1 cm
1 cm
En un círculo podemos trazar muchos radios, pero todos tienen la misma longitud.
2 Escriba cuáles de estas figuras son círculos. (a)
(b)
5 cm
(c)
2 cm
3 cm
3c
m
3 cm
(d)
(e)
5 cm
5 cm
5 cm
Círculos (
)
ciento diecisiete 117
C
Vamos a dibujar un círculo usando un objeto redondo y luego recórtelo.
1
Investiguemos cómo podemos encontrar el centro de este círculo. Voy a doblar por la mitad
Doblamos en dos partes iguales quedando marcada la línea de doblez, volvemos y doblamos y donde se crucen las dos líneas de doblez, ahí se ubica el centro del círculo.
Las dos líneas de doblez dividen al círculo en dos partes iguales y además pasan por el centro.
118 ciento dieciocho
centro
radio
o
Un diámetro equivale a dos radios.
radio
diámetr
Una línea que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro se llama diámetro.
3
Trace tres radios y tres diámetros. (1)
radios
(2)
4
Escriba el nombre correspondiente en cada
5
Complete cada expresión.
diámetros
.
(1) La línea recta que va desde el centro del círculo a cualquier punto de la circunferencia se llama ____________________ (2) La línea recta que une dos punto de la circunferencia y pasa por el centro se llama ____________________ (3) La longitud del diámetro es ____________________ veces la del radio (4) Todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia del ____________________
ciento diecinueve 119
D
Vamos a dibujar círculos usando el compás.
6
1
2
3
Abra el compás con la longitud del radio del círculo que quiera dibujar.
Coloque la punta de metal en el centro del círculo.
Haga una vuelta para dibujar el círculo con la punta que tiene el lápiz.
Dibuje en su cuaderno círculos con las medidas indicadas. (1) 3 cm de radio.
7
(2) 4 cm de radio.
(3) 5 cm de radio.
Dibuje en su cuaderno varios círculos que tengan el mismo centro, pero que tengan 1 cm, 2 cm, 3 cm y 4 cm de radio respectivamente.
120 ciento veinte
E
Hagamos lindos diseños.
1
Use el compás para dibujar lindos diseños. 1
3
2
4
5
¡Que bonito es el Oso!
Nos divertimos Vamos a hacer el trompo más bonito.
ciento veintiuno 121
Lección 2: Conozcamos la esfera
A
1
(1/2)
Observe y descriva la forma de la pelota.
Ellos están jugando con la pelota.
Examine la forma de la pelota mirándola desde diferentes lados. ¿A qué se parece? Parece un círculo. Un objeto que parece un círculo desde todas las direcciones es llamado esfera.
2
Busque los objetos que tienen forma de esfera.
1 ¿Cuáles de estos objetos son esferas o tienen forma parecida a una esfera? (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Tienen forma de esfera (
122 ciento veintidós
A, F, H
)
B1
Observe los cortes que se le han dado a estas esferas. ¿Qué figura se observa en cada sección de corte?
Un círculo.
2
Vamos a hacer un corte de forma que hagamos dos secciones iguales, es decir, dividimos la esfera en dos partes iguales.
Cuando una esfera se corta en dos partes iguales, el centro, el radio, y el diámetro del círculo que se forma en la sección de corte son llamados centro, radio, y diámetro de la esfera.
3
diámetro radio
centro
Vamos a medir el diámetro de una pelota. ¿Cómo podemos hacerlo? Además de la regla, tenemos que auxiliarnos de otros objetos.
2 Mida el diámetro de una pelota de baloncesto y a una de béisbol.
ciento veintitrés 123
15 Simetría
Unidad
Lección 1: Figuras simétricas
A
Observe las siguientes figuras.
1
Diga lo que observa en el dibujo.
2
Construya la figura del corazón con papel.
Doblar en dos.
Dibujar la mitad de la figura.
Recortar en la hoja doblada.
Figura simétrica
La figura que se sobrepone exactamente al doblar por una línea se llama figura simétrica. Esta línea que divide la figura en dos partes iguales se llama línea de simetría.
3 4
Abrir.
Línea de simetría
Haga las figuras simétricas con papel.
Dibuja la mitad de la figura. ¡Qué emocionante abrir el papel!
Encuentre en el entorno las cosas que tienen la forma simétrica. 1 Observe la figura y conteste las preguntas.
(1) Esta figura se divide en dos partes iguales por la línea . ¿Cómo se llama este tipo de figura? (
)
(2) ¿Cómo se llama la línea .
)
(
(3) Calque la figura en papel y dóblela por la línea para averiguar si la parte derecha e izquierda son iguales.
124 ciento veinticuatro
B
Vamos a investigar si las figuras geométricas siguientes son simétricas.
triángulo equilátero
triángulo escaleno
rectángulo
triángulo isósceles
círculo
cuadrado
1
Piense en la forma de investigar.
2
Investigue y escriba un en la casilla de la tabla si es una figura simétrica.
3
Trace la línea de simetría encontrado en las figuras dibujadas arriba.
Calquemos en papel y recortemos para doblar.
Hay figuras que tienen varias líneas de simetría. En caso del círculo, el número de la línea de simetría no termina.
4
Construya en papel otro dibujo de cada tipo de figuras y confirme la simetría. 2 Escriba en el espacio la letra que corresponde a la figura simétrica.
A
B
C
D
E
F
Figura simétrica ciento veinticinco 125
Lección 2: Características de las figuras simétricas
A
Vamos a investigar las características de la figura simétrica. 1
A
(1) ¿Cuál es el vértice que se sobrepone con el vértice B? (2) ¿Cuál es el lado que se sobrepone con el lado BC?
G
B
El vértice B se sobrepone al vértice E. El vértice E es el vértice correspondiente al vértice B. El lado BC se sobrepone al lado GF. El lado GF es el lado correspondiente al lado BC.
F
C
E
D
2 A
(2) Compare la longitud de los segmentos CI y FI. (3) Investigue cómo son los ángulos marcados con
G
F
Los ángulos formados por líneas de simetría y el segmento que une dos puntos correspondientes son ángulos rectos.
E 1
Encuentre los vértices, lados y puntos correspondientes. G (1) El vértice C y ( E F
)
(2) El lado CD y (
)
(3) El punto B y
)
A D
C
2
.
La longitud entre la línea de simetría y cada uno de los dos puntos correspondientes es igual.
I
C
Investigue sobre el segmento que une los puntos correspondientes. (1) Compare la longitud de los segmentos BH y GH.
H
B
Piense en la situación donde se dobla la figura por la línea de simetría l.
(
B Escriba en el espacio la palabra o el número que corresponde. (
(
cm 5 cm
) 4 cm
2 cm
cm
3 cm
126 ciento veintiséis
)
(
cm
) cm
B 1
Vamos a dibujar la figura simétrica. Dibuje la otra mitad y complete la figura simétrica.
Si se usan las cuadrículas ya no necesita trazar la línea perpendicular ¿verdad?
[La manera de completar la figura simétrica] 1 Trazar la línea perpendicular a la línea de simetría desde cada vértice. 2 Encontrar los vértices correspondientes de modo que la longitud desde la línea de simetría a cada uno de dos vértices correspondientes sea igual. 3 Unir cada vértice en orden.
2
Dibuje la otra mitad y complete la figura simétrica.
ciento veintisiete 127
3 Dibuje la otra mitad y complete las figuras simétricas. (1)
(3)
4 Construya la figura simétrica preferida.
128 ciento veintiocho
(2)
(4)
Ejercicios 1
Escriba en el espacio la letra que corresponde a la figura simétrica. A
B
D
C
E
F
Figura simétrica ( 2
)
Escriba en el espacio la palabra que corresponde. (1) La figura simétrica se divide en dos partes iguales por el (
).
(2) La línea que une dos puntos correspondientes cruza con el ( formando los ángulos ( ).
)
(3) La longitud entre cada uno de dos puntos correspondientes y el ( ) es igual. 3
Encuentre las partes correspondientes en la siguiente figura simétrica. A K (1) El lado LK y el lado ( ) L J B
C
M
N D E
4
HH
I G
(2) El vértice F y el vértice ( (3) El punto G y el punto (
)
F Observando la figura simétrica del ejercicio 3 conteste las preguntas. (1) El segmento KM mide 3cm. ¿Cuánto mide el segmento EM? (
)
(2) El segmento LD mide 2cm. ¿Cuánto mide el segmento LN? (
)
(3) ¿Cómo es el ángulo marcado con 5
)
?(
)
Dibuje la otra mitad y completa la figura simétrica.
ciento veintinueve 129
Unidad 1
Números hasta 1,000,000
Unidad 4
Multiplicación
Unidad 5
División
131
133
135
Unidad 8 Regla de “cm” (A)
Regla de “mm” (B)
Longitud
137
139
Unidad 9
Área de rectángulos
G A N A T E R R E
N O
141
Unidad 10
Números decimales
143
145
Unidad 12
Gráficas de barras
147
Nos divertimos
¿Agarra los hongos?
Calcula los incisos 1 ~ 10 y une con la línea los resultados según el orden de los incisos. Los hongos rodeados con la línea serán tuyos. ¿Cuántos hongos pueden agarrar? El punto que es el resultado de 2 incisos será el punto de partida y de llegada.
1
3.2 + 1.6
6
3.3 - 1.2
2
0.8 + 0.5
7
3.1 - 0.6
3
4.2 + 2.8
8
1.4 - 0.8
4
4.6 + 0.9
9
6.6 - 3.7
5
5.6 + 1.8
10
7.5 - 2.7
149
Nos divertimos ¿Cuántos cuadrados se pueden hacer por todo? En el dibujo de abajo se muestra un tablero que tiene 16 clavos. (geoplano 4 x 4) Usando el geoplano enganchamos las gomitas en los clavos para hacer cuadrados. Responde en el cuaderno. Podemos hacerlos grandes y también pequeños.
151
Nos divertimos
¿Qué dicen los peces?
Los peces están diciendo algo. Para saberlo hay que ordenar las letras de las burbujas de cada uno. Vamos a medir los ángulos de las bocas y los ordenamos de menor a mayor.
R
S
M
H
¡Es hora de comer !
T
E
N
10 9 8
11 12 1
7
6 5
2 3 4
O
E E
B
M
A
153
AGRADECIMIENTO
El Instituto Nacional de Formación y Capacitación del Magisterio (INAFOCAM), como entidad responsable de dirigir y coordinar el proyecto “Mejoramiento de la Calidad de Enseñanza de la Matemática” 2005-2010, JICA-MINERD, quiere expresar su más sincero agradecimiento al gobierno del Japón, y de una manera muy particular, a la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA) y a la dirección del Proyecto Regional “Me Gusta Matemática”, por el apoyo para la elaboración e impresión del valioso material (Guía para maestros/as), como herramienta para orientar la mejora en el aprendizaje de la matemática de los niños/as del Primer Ciclo de Básica. Del mismo modo, agradecemos a nuestras autoridades y funcionarios del Sistema Educativo Nacional que pusieron su confianza y apoyo al plan de mejora desarrollado. A las Regionales 03 de Azua, 05 de San Pedro de Macorís, 08 de Santiago y 15 de Santo Domingo, así como a los Distritos 03-01, 05-02, 08-05 y 15-03 que facilitaron en su gestión la implementación, además de disponer de recursos humanos para el logro de los objetivos del mismo. De manera especial queremos agradecer al Grupo Núcleo, al Grupo Operativo de los distritos y regionales implicados, a los asesores nacionales e internacionales, a los voluntarios japoneses, a los directores y docentes de los veinte y un centros educativos involucrados, así como al equipo administrativo (secretarias, diagramadores, personal de apoyo, colaboradores) que hicieron posible la edición y validación de esta herramienta didáctica. Gracias a todos/as.
Grado
4
to
Matemática Libro de Estudiantes
Matemática
Libro de Estudiantes
4
to
Grado
Instituto Nacional y Capacitación
de del
Formación Magisterio
¡Me gusta Matemática! PROYECTO REGIONAL
JAPÓN
Asistencia oficial para el Desarrollo
Agencia de Cooperación Internacional del Japón