MATEMÁTICA Unidad 3 Distribución Normal, Geometría Analítica, Solución de Triángulos

Objetivos de la Unidad: Tomarás decisiones acertadas a partir de la determinación de ocurrencia de un suceso, aplicando los métodos de distribución normal para estimar las probabilidades de eventos en diferentes ámbitos de la vida social, cultural y económica. Propondrás soluciones a situaciones problemáticas del entorno en las cuales se requiere la resolución de triángulos oblicuángulos, aplicando los teoremas del seno y del coseno, valorando la opinión de los demás. Utilizarás con criticidad la línea recta, elementos, características y ecuaciones al proponer soluciones a problemas de tu entorno. Aplicarás correctamente la geometría analítica – circunferencia – al encontrar soluciones a diversas problemáticas de tu entorno.

55

Distribución normal

Triángulos oblicuángulos

sus entre

Características

ellas

resolución utilizando

Forma simétrica

permiten

Calcular porcentajes utilizando

Ley de seno

Ley del coseno

en los casos

en los casos

LLA, ALA, AAL

LAL, LLL

Distribución normal estándar

Geometría analítica comprende

Distancia entre dos puntos

Elementos

La línea recta

La circunferencia

sus

sus

Ecuaciones

son

Distancia de un punto a una recta

Punto medio de un segmento

son

Pendiente

Punto pendiente

Intersectos

General

Elementos

Ecuaciones

son

son

Centro

Ordinaria

Radio

pueden ser

Tangente

Canónica

Pendiente intersecto

Descripción del proyecto: Éste consiste en una aplicación de la línea recta, mediante la cual vas a encontrar una fórmula que te permita convertir grados Celsius a Fahrenheit y viceversa.

56

Matemática - Segundo Año

General

Lección 1

Tercera Unidad

Distribución Normal Motivación

C

uando determinas la distribución de probabilidades de una prueba de 4 preguntas de falso y verdadero, obtienes el gráfico de la derecha. Ahora imagina que, hipotéticamente la variable “número de respuestas correctas” se vuelve continua. ¿Cómo queda entonces el gráfico de la distribución?

P(r)

Probalidad de éxito

0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

0

4 1 2 3 Número de respuestas correctas

(r)

Indicadores de logro

Identificarás, interpretarás y explicarás, con seguridad, las características de la distribución normal. Determinarás las propiedades de la distribución normal estándar, con precisión y confianza.



Utilizarás, con precisión y seguridad las tablas para encontrar áreas bajo la curva normal. Resolverás ejercicios y problemas aplicados a la vida cotidiana sobre variables con distribución normal con seguridad.

¿Recuerdas que las variables continuas pueden tomar un número infinito de valores?

0,4

El gráfico de la distribución para la prueba de 4 preguntas de falso y verdadero, suponiendo que la variable es continua, tiene la forma presentada a la izquierda y recibe el nombre de distribución normal por su forma.

0,3 0,2 0,1 -2

-1

0

1

2

3

4

Segundo Año - Matemática

57

UNIDAD 3

Características de una distribución normal La curva normal es simétrica, con dos mitades idénticas

Extremidad (o cola)

En teoria, la curva se extiende hasta -∞

Extremidad (o cola)

La media, la mediana y la moda son iguales

Al tener la misma media aritmética, forman una familia de distribuciones normales y se pueden representar en el mismo gráfico. Recuerda que μ (miu) representa la media aritmética de una población y σ (sigma) la desviación típica o estándar.

En teoria, la curva se extiende hasta +∞ σ = 3.1 años planta A σ = 3.9 años planta B

El gráfico anterior es la base para enunciar las características de la distribución normal: 1. La curva normal tiene perfil de campana. La media aritmética, mediana y moda de la distribución son iguales y están en el punto central. De esta forma, la mitad del área bajo la curva se halla a un lado de este punto, y la otra mitad, al otro lado. La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su media. Si se corta la curva normal verticalmente por el valor central, las dos mitades serán como imágenes reflejadas en un espejo. 2. Los porcentajes bajo la curva normal decrecen uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo cual significa que la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, las dos colas o extremos se extienden indefinidamente en ambas direcciones. La distribución normal es un buen modelo para representar, aproximadamente, algunos fenómenos del mundo real.

Familia de Distribuciones Normales

σ = 5.0 años planta C

µ

20 años Tiempo de servicio

Áreas bajo la curva normal Para una distribución de probabilidad normal: 1. Aproximadamente 68.27% del área bajo la curva normal está entre μ – σ y μ + σ. Esto puede expresarse como μ ± σ. 2.Aproximadamente 95.45% del área bajo la curva normal está entre μ – 2σ y μ + 2σ. Lo que se expresa μ ± 2σ. 3.Casi toda el área (99.73%) bajo la curva normal está dentro de tres desviaciones estándares respecto de la media (a uno y otro lado), lo cual se escribe μ ± 3σ. Mostrando esto en un diagrama y utilizando porcentajes, tienes:

Para la distribución de probabilidad normal del tiempo de servicio de los empleados de tres plantas industriales, se tiene las siguientes medidas: Planta A: μ = 20 años y σ = 3.1 años Planta B: μ = 20 años y σ = 3.9 años Planta C: μ = 20 años y σ = 5.0 años

58

Matemática - Segundo Año

µ - 3σ

µ - 2σ

µ - 1σ

µ

68.27% 95.45% 99.73%

µ + 1σ

µ + 2σ µ + 3σ

UNIDAD 3 Estos valores los expresamos de otra forma: el área bajo la curva normal entre µ − σ y µ + σ es aproximadamente 0.6827, el área entre µ − 2σ y µ + 2σ es aproximadamente 0.9545 y el área entre µ − 3σ y µ + 3σ es aproximadamente 0.9973. Observa que el área total bajo la curva es: 1.0000

Ejemplo 1 Una prueba acelerada de duración en un gran número de pilas alcalinas tipo D reveló que la duración media para un uso especifico antes de que falle es 19.0 horas. La distribución de las duraciones se aproxima a una distribución normal. La desviación estándar de la distribución fue 1.2 horas. ¿Entre qué par de valores se encuentra la durabilidad del 68.27% de las pilas? ¿Entre qué par de valores se encuentra la durabilidad del 95.45% de las pilas? ¿Entre qué par de valores se encuentra la durabilidad del 99.73% de las pilas?

Solución: Aproximadamente el 68.27% duró entre 17.8 horas y 20.2 horas, valor obtenido por 19.0 ± 1(1.2) Aproximadamente el 95.48% duró entre 16.6 horas y 21.4 horas, valor obtenido por 19.0 ± 2(1.2) Aproximadamente el 99.73% duró entre 15.4 horas y 22.6 horas, valor obtenido por 19.0 ± 3(1.2) Mostrando esto en un diagrama te queda así:

Actividad

1

1. Explica lo que significa este enunciado “No existe sólo una distribución probabilística normal, sino familias de estas distribuciones”. 2. Enumera las principales características de una distribución probabilística normal. 3. Si la media de una distribución probabilística normal es 500 y la desviación estándar 10, determina lo siguiente. a)

¿Entre qué par de valores está, aproximadamente, 68% de las observaciones? b) ¿Entre qué par de valores se halla, aproximadamente, 95% de las observaciones? c) ¿Entre qué par de valores se encuentran prácticamente todas las observaciones? 4. La media de una distribución probabilística normal es 60, y la desviación estándar es 5. Aproximadamente: a)

µ - 3σ

µ - 2σ

µ - 1σ

µ

µ + 1σ

15.4

16.6

17.8

19.0

20.2

µ + 2σ µ + 3σ Escala de Z 21.4

22.6

¿Qué porcentaje de las observaciones se encuentra entre 55 y 65? b) ¿Qué porcentaje de las observaciones se halla entre 50 y 70? c) ¿Qué porcentaje de las observaciones se halla entre 45 y 75?

Escala de horas X

Segundo Año - Matemática

59

UNIDAD 3 Distribución normal estándar Existen familias de distribuciones normales, cada una con su propia media (μ) y sus desviaciones estándar (σ). Por tanto el número de distribuciones normales es ilimitado. Resultaría físicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de μ y σ. Sin embargo, puede utilizarse un elemento de la familia de distribuciones normales para todos los problemas donde esta distribución resulte aplicable. Ésta es una normal con media igual a 0 y una desviación estándar igual a 1, y se denomina Distribución normal estándar. Como ejemplo de su aplicación supongamos que la media de una distribución normal es 100 libras, y la desviación estándar, 2 libras. Considera que estás interesado en determinar el área entre un valor de 113 libras y la media de 100 libras. Primero se convierte la distribución, a lo que se conoce cono estandarización, de una distribución normal estándar, utilizando el llamado valor z o desvío normal z. El valor z es la diferencia (desviación) entre un valor seleccionado, denotado por x y la media poblacional, dividida entre la desviación estándar de la población.

x −µ donde: σ x: es el valor de cualquier observación específica.

Es decir, z =

μ: es la media de la distribución. σ: es la desviación estándar de la distribución. El valor z mide la distancia entre el valor específico x y la media, en unidades de desviación estándar. 113 − 100 = 6.5 unidades de Así, el valor de z para el ejemplo dado es: z = 2 desviación estándar.

Ejemplo 2: La media de un grupo de ingresos quincenales con distribución normal para un gran conjunto de gerentes de nivel medio, es $ 1,000; la desviación estándar es $ 100 ¿Cuál es el desvió normal o valor z para un ingreso x de $ 1,100? ¿Y para uno de $ 900?

Solución: Para x = $1 ,100 x −µ z = σ $1 ,100 − $1 , 000 = $100 = 1.00

60

Matemática - Segundo Año

Para x = $900 x −µ z = σ $900 − $1 , 000 = $100 = − 1.00

UNIDAD 3 El desvío z es 1.00 indica que un ingreso quincenal de $ 1,100 para un gerente de nivel medio está una desviación estándar por encima de la media; un valor z de – 1.00 indica que un ingreso de $ 900 está una desviación estándar por debajo de la media. Observa que ambos ingresos ($ 1,100 y $ 900) están a la misma distancia ($ 100) de la media. El transformar las mediciones a desvíos normales z cambia la escala. Las conversiones se muestran en la gráfica de la par. Por ejemplo, μ + 2 σ se transforma en z = 2.00. Observa que el centro de la distribución z es cero, lo cual indica que no existe desviación respecto a la media μ.

µ - 3σ

µ - 2σ

µ - 1σ

µ

µ + 1σ

µ + 2σ µ + 3σ

Se convierte en

-3

-2

-1

0

1

2

3

X Z

Observa Cuando x es igual a la media μ, su valor estandarizado es cero.

Actividad

2

Utiliza la misma información del ejemplo 2 (μ = $1,000,σ = 100) y convierte: a) El ingreso quincenal de $ 1,225 a una unidad estándar o valor z. b) El ingreso quincenal de $ 775 a un valor z.

Ejemplo 3 Utilizando el mismo problema que en el ejemplo anterior del ingreso quincenal (μ = $ 1,000, σ = $ 100), ¿cuál es el área bajo la curva normal entre $ 1,000 y $ 1,100?

Solución: Ya convertiste $ 1,100 a un valor z de 1.00 $1 ,100 − $1 , 000 x −µ z = = = 1.00 σ $100 La probabilidad asociada a un z de 1.00, ya se calculó y se presenta en una tabla.

Segundo Año - Matemática

61

UNIDAD 3 A continuación te presentamos una pequeña parte de esa tabla. Para localizar el área recorre hacia abajo la columna izquierda hasta 1.0. Después recorre horizontalmente hacia la derecha y lees el área bajo la curva en la columna marcada 0.00. Te resulta así el valor 0.3413 z 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

0.00 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413 0.3643

0.01 0.2611 0.2910 0.3186 0.3438 0.3665

0.02 0.2642 0.2939 0.3212 0.3461 0.3686

Representando esto en un diagrama, resulta:

0.3413

0

1.00

$ 1 000

$ 1 100

Escala de z Escala de dólares

El área bajo la curva normal entre $ 1,000 y $ 1,100 es 0.3413. También puede decirse que 34.13% de los ingresos quincenales están entre $ 1,000 y $ 1,100, y la probabilidad que un ingreso específico se halle entre $ 1,000 y $ 1,100 es 0.3413 Para resolver los siguientes problemas es imprescindible que fotocopies la tabla de la distribución normal de un libro de estadística.

Ejemplo 4 En relación al problema anterior (μ = $ 1,000; σ = $100). a) ¿Cuál es la probabilidad que un ingreso quincenal específico seleccionado al azar

esté entre $790 y $1,000?

b) ¿Cuál es la probabilidad que el ingreso sea menor de $790?

Solución: Calculando el valor z para $790: $790 − $1 , 000 − $210 x−µ z = = = = − 2.10 σ $100 $100

62

Matemática - Segundo Año

UNIDAD 3 a) El área bajo la curva normal entre μ y x para un valor

z de – 2.10 es 0.4821, valor tomado de la tabla. Puesto que la curva normal es simétrica, el signo negativo antes de 2.10 te indica que el área está a la izquierda de la media. Por lo tanto la probabilidad que un ingreso quincenal esté entre $790 y $1,000 es de 0.4821 ó 48.21%

De esta forma: 0.5000 – 0.4821 = 0.0179. La probabilidad de que el ingreso sea menor de $790 es 0.0179 ó 1.79%. Esto se muestra en el diagrama anterior a la izquierda. Recuerda que para resolver tus problemas debes buscar en la tabla de áreas bajo la curva normal.

b) La media divide a la curva normal en dos mitades

idénticas. El área de la mitad de la izquierda (o de la derecha) de la media también es 0.5000. Como el área bajo la curva entre $790 y $1 000 es 0.4821, el área por debajo de $790 se determina restando 0.4821 de 0.5000. 0.5000

0.5000

3

Actividad A los estudiantes de séptimo grado se les dan puntos por aplicación. La distribución de éstos sigue una distribución normal, con media 400 y desviación estándar 50. a) ¿Cuánto vale el área bajo la curva normal entre 400 y 482?

0.4821

b) ¿Cuánto vale el área bajo la curva normal por encima de 482?

0.0179

2.1

0

Escala de z

c) Representa en forma gráfica las respuestas anteriores.

Resumen La distribución de probabilidad normal es una distribución continua con las siguientes propiedades. a) Es simétrica con respecto a la media. b) Su gráfico tiene forma de campana. c) La media, la moda y la mediana son iguales. d) La distribución es asintótica, o sea, la curva se acerca al eje x sin llegar a tocarlo.

x −µ σ f) La distribución normal estándar indica la desviación o distancia a partir de la media en unidades de desviación estándar. A esta se le llama valor o desvío normal z. e) Cualquier distribución normal puede estandarizarse mediante la fórmula

z=

Segundo Año - Matemática

63

UNIDAD 3

Autocomprobación a)

2

El área bajo la curva normal a la izquierda de la media es igual a:

El área total bajo la curva normal estándar es igual a cero b) uno

menos uno d) un medio c)

cero b) menos uno

Los coeficientes de inteligencia (IQ) de los humanos se distribuyen normalmente con media 100 y desviación estándar 10. Si una persona es elegida al azar, para calcular la probabilidad de que su IQ sea mayor que 95 el valor de z es igual a:

95 -0.5

100

105

Escala de z

95

100

105 0.5

Escala de z

95 -0.5

100

105

Escala de z

95

100

105 0.5

Escala de z

c)

d)

100 − 95 5 d) 95 − 100 10

100 − 95 10 b) 95 − 100 5 a)

a)

b)

c)

c)

2. d.

3

Cuál es la gráfica de la probabilidad encontrada en 3:

uno d) un medio

a)



4

1. b.

1

Soluciones



3. d.

4. a.

POBLACIÓN Y DISTRIBUCIÓN NORMAL 100+ 90-64

MUJERES

HOMBRES

80-84 70-74 60-64 50-54 40-44 30-34 20-24 10-14 0-4

64

400 300 200 100

0

100 200 300 400

Matemática - Segundo Año

Una pirámide de población corresponde a una representación gráfica de la distribución por sexo y edad de la población de una localidad o país en un momento particular en el tiempo. Está constituido por dos histogramas, uno correspondiente a cada género. En el eje de las abscisas se representa la población total o porcentaje de población según corresponda, mientras que en el eje de ordenadas se representa la edad simple o grupo de edades. Los histogramas se ubican en posición contraria uno del otro usando como referencia el eje de las ordenadas. Observa que la figura tiene una forma parecida a una distribución normal.

Lección 2

Tercera Unidad

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Motivación

E

n un estanque de forma triangular se cultivan peces para el consumo de la comunidad. Del estanque se sabe que un lado mide 200 m y adyacente a él dos ángulos que miden 48o y 57o. ¿Cuál será la medida del otro ángulo? ¿Cuáles serián las medidas de los otros dos lados?

C γ

b

A

a

α = 48°

β = 57° c = 200 m

B

Indicadores de logro

Identificarás, determinarás y ejemplificarás triángulos oblicuángulos, con interés y confianza. Deducirás y explicarás, con seguridad la expresión que denota el teorema del seno. Utilizarás el teorema del seno, al solucionar ejercicios sobre triángulos oblicuángulos, con seguridad y precisión. Resolverás, con actitud propositiva y perseverante, problemas aplicando el teorema del seno.



Deducirás y explicarás, con seguridad, la expresión que denota el teorema del coseno. Utilizarás el teorema del coseno, al solucionar ejercicios sobre triángulos oblicuángulos con seguridad y precisión. Resolverás problemas, aplicando el teorema del coseno, con actitud propositiva y perseverante.

En esta lección aprenderás a calcular distancias cuando no es posible hacerlo directamente, como hallar la altura de un globo sobre el nivel del suelo o la altura de un edificio o de una montaña. La ley de los senos y la ley de los cosenos tienen aplicación en casi todas las áreas del conocimiento: ciencias naturales, astronomía, topografía, etc. En esta lección aprenderás a aplicar estas leyes a la resolución de problemas cotidianos.

Segundo Año - Matemática

65

UNIDAD 3 La respuesta a la pregunta planteada respecto del estanque de forma triangular se resuelve calculando el lado a = BC del triángulo ABC. Triángulos como éste, que no poseen ángulo recto se denominan obtusángulos y acutángulos. A éstos, de forma genérica se les llama triángulos oblicuángulos.

a b c = = sen α sen β sen γ

C

En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a dicho ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a ese ángulo.

γ

b

a

α = 48°

A

β = 57°

Resolver un triángulo significa encontrar sus seis elementos: tres lados y tres ángulos.

B

c = 200 m

Los métodos trigonométricos para resolver triángulos rectángulos no funcionan con los triángulos oblicuángulos. Para trabajar con éstos suelen aplicarse dos métodos; uno de ellos es la ley de los senos, el otro es la ley de los cosenos. Observa la figura

γ

A

α

Caso 1 (LLA): se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Caso 3 (AAL): se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

a

h

c

La ley de los senos la aplicarás para resolver un triángulo cuando se conocen tres de sus elementos. Los casos son los siguientes:

Caso 2 (ALA): se conocen dos ángulos y el lado adyacente a ellos.

C b

De manera similar a la anterior puedes obtener: a c = sen α sen γ Al combinar todo lo anterior llegaremos a la ley de los senos. Ésta establece que si ABC es un triángulo con lados de longitudes a, b y c, y ángulos opuestos respectivos α , β y γ , entonces:

β

L

B

A

Considera el triángulo de la figura. Eliges uno de los vértices, en este caso el vértice C. Trazas una perpendicular al lado opuesto. A partir de los triángulos rectángulos resultantes se tiene: h h sen α = y sen β = b a o bien, h = b sen α y h = a sen β Debido a que las dos expresiones anteriores son iguales a a b h, entonces b sen α = a sen β; = sen α sen β

L Caso 1 (LLA)

L

A A Caso 2 (ALA)

L A

A Caso 3 (AAL)

66

Matemática - Segundo Año

UNIDAD 3 Ejemplo 1 Resuelve el problema anterior del estanque de forma triangular. C γ

b

A

a

α = 48°

β = 57°

c = 200 m

Conoces dos ángulos y el lado adyacente a ellos. (Caso 2: ALA).La tabla con los datos iniciales es: Lados a=? b=? c = 200

B

Como la suma de ángulos internos de todo triángulo es 180°, entonces, γ = 180º – (48º + 57º) = 75º

Angulos α = 48º β = 57º γ =?

Lados a=? b=? c = 200

Angulos α = 48º β = 57º γ = 75º

Dado que conoces el lado c y los tres ángulos, puedes calcular el lado “a” mediante la ley de los senos usando la razón cuyos dos términos se conocen. a c Ley de los senos O sea, = sen α sen γ

a 200 = sen 48° sen 75° 200 ( sen 48° ) a = sen 75° a = 153.87 m

Sustituyendo Despejando

Concluyes que la longitud “a” es 153.87 m.

Ejemplo 2 Calcula el lado b del triángulo anterior.

Solución:

Lados a = 153.87 b=? c = 200

Para calcular b puedes relacionar la razón que en ambas conoces los dos términos.

Angulos α = 48º β = 57º γ = 75º

b con cualquiera de las otras dos, ya sen β

Segundo Año - Matemática

67

UNIDAD 3 Es decir,

b c Ley de los senos = sen β sen γ

b 200 = Sustituyendo β por 57º y γ por 75º sen 57° sen 75° 200 ( sen 57° ) = 173.65 Despejando b y sustituyendo valores sen 75° Luego concluyes que el lado b del triángulo mide 173.65 m

b =

Ejemplo 3 Resuelve el triángulo: C b A

α = 13°

γ β = 65°

c

a = 35 B

Conoces dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos: Caso 3 (AAL). Comienzas construyendo tu tabla de datos. Lados a = 35 b=? c=?

Angulos α = 13º β = 65º γ =?

Si se conocen 2 ángulos podemos encontrar el valor γ γ = 180° – (13° + 65°) = 102º a conoces ambos términos, vas a relacionarla con las otras Como en la razón sen α razones. Es decir,

a b Ley de los senos = sen α sen B

35 b Sustituyendo a por 35, α por 13º y β por 65º. = sen 13° sen 65° 35 ( sen 65° ) = 141.01 Despejando b y sustituyendo valores sen 13° Cálculo de c. a c Ley de los senos. = sen α sen γ

b =

35 c Sustituyendo a por 35, α por 13º y γ por 102º = sen 13° sen 102°

68

Matemática - Segundo Año

UNIDAD 3 35 ( sen 102° ) = 152.19 Despejando c y sustituyendo valores. sen 13° Luego, el triángulo resuelto te queda así:

c =

Lados a = 35 b = 141.01

C

A

b = 141.01

102°

α = 13°

β = 65°

a = 35 B

c = 152.19

Angulos α = 13º β = 65º γ = 102º

c = 152.19

1

Actividad Resuelve los siguientes triángulos a)

C

b)

C

34˚

45˚ A

45˚ 45˚

28˚ 28˚ 120 m

B

A

50˚

40 cm

B

Ley de los cosenos En el apartado anterior conociste la ley de los senos y cuándo aplicarla. Puedes aplicarla en tres casos. En el caso 1 conoces las medidas de dos lados y del ángulo opuesto a uno de ellos; se denomina LLA. El caso 2 se presenta cuando conoces las medidas de los ángulos y del lado adyacente a ellos se denomina ALA. En el caso 3 conoces las medidas de dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos; se denomina ALL.

Para resolver los casos 4 y 5 se utiliza la ley de los cosenos que se enuncia asi:

Hay otros dos casos que conducen a triángulos que hay que resolver.

Luego, si ABC es un triángulo con lados de longitudes a, b y c y ángulos opuestos α , β, γ , entonces por la ley de los cosenos se cumple:

Caso 4 (LAL) se conocen las medidas de dos lados y el ángulo entre ellos. Caso 5 (LLL) se conocen las medidas de los tres lados. B

Observa la figura β

c

a

γ

A

α

b

C

En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos por el coseno del ángulo que forman.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

Observa que hay tres versiones de la ley de los cosenos. Cada versión simplemente replantea la ley de modo que se utilicen distintos elementos del triángulo.

Segundo Año - Matemática

69

UNIDAD 3 Ejemplo 4 Si b = 14.7, c = 9.3 y α = 46.3°, resolver el triángulo.

Solución: C

La tabla de datos es: γ

Lados a=? b = 14.7 c = 9.3

Angulos α = 46.3º β =? γ =?

b = 14.70

A

a β

46.3=α

c = 9.30

B

Este tipo de problema es el caso 3 (LAL). Debido a que conoces la medida del ángulo α , primero utilizas la ley de los cosenos para encontrar la longitud del lado a.

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

Ley de los cosenos

= (14.7)2 + (9.3)2 – 2(14.7)(9.3) cos ( 46.3º)

Sustituyendo los valores dados

= 26.09 + 86.49 – 273.42 (0.6908824 ) = 216.09 + 86.49 – 188.90107 = 113.67893

Efectuando operación Efectuando operación Efectuando operación

a = 10.66 Extrayendo laa raíz cuadrada Aplica nuevamente la ley de los cosenos para encontrar la medida del ángulo β. b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β , 2ac cos β = a 2 + c 2 − b 2 , cos β =

a2 + c 2 − b2 2ac

(10.7)2 + (9.3)2 − (14.7)2 2(10.7)(9.3) 114.49 + 86.49 − 216.09 cos β = 199.02 cos β = − 0.07592201793 cos β =

Sustituyendo los datos Efectuando operaciones

Efetuando la inversa de seno para obtener β = 94.354201 = 94.35º el ángulo Lados Sabes que α = 46.3º,de modo que a = 10.67 γ = 180º – (46.3º + 94.35º) = 39.35°.Luego la tabla b = 14.7 de datos completa te queda así: c = 9.3

70

Matemática - Segundo Año

Angulos α = 46.3º β = 94.35º γ = 39.35º

UNIDAD 3 Ejemplo 5 Se necesita tender una línea de transmisión eléctrica directamente sobre un pantano. La línea estará sostenida por dos torres situadas en los puntos A y B, según la figura. Un topógrafo encuentra que la distancia de B a C es de 573 m; que la distancia de A a C es de 347 m, y que el ángulo mide 106.63°. ¿Cuál es la distancia de la torre A a la torre B?

Solución: γ

c

B

1. Resuelve cada triángulo tomando en cuenta los elementos dados. a = 9.3, b = 16.3, γ = 42.3º b) a = 19.52, b = 63.42, c = 56.53 c) α = 47.85°, b = 29.43, c = 36.52 2. Un barco zarpa al mediodía y se desplaza hacia el norte a 21 km/h. A las 15 h cambia de dirección a 37° noreste. ¿A qué distancia del puerto estará el barco a las 19 h? (Ver figura).

b = 347

A

a = 573 m; b = 347 m; γ = 106.63º. Éste es un problema del tipo LAL. Quieres encontrar c. Al aplicar la ley de los cosenos tienes: c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ c = (573) + (347) – 2(573) (347) cos (106.63°) 2

2

2

Actividad

a)

C a = 573

Justifica y verifica las igualdades anteriores. Luego, la distancia entre las torres mide 750 m.

2

19h

d = vt

d 1 = ( 21 km/h )( 3 h ) d 1 = 63 km

84

d 2 = ( 21 km/h )( 4 h ) d 2 = 84 km

15h 127˚

d

63 12h

c = 562,544.93 2

c = 750

Resumen a b c = = sen α sen β sen γ Te es útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando conoces: La ley de los senos:

Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Dos ángulos y el lado adyacente a ellos.

γ a

b

Dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos. La ley de los cosenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α te sirve cuando conoces:

α

β c

Tres lados. Dos lados y el ángulo que éstos forman.

Segundo Año - Matemática

71

UNIDAD 3

Autocomprobación Si en un triángulo conoces sus tres lados, entonces se representa así: a)

ALA

b)

2

LAL c) LLL d) AAL

151.94 cm b) 201.55 cm

γ

4

a

α

β

A

Considera que dos de los ángulos de un triángulo son 57° y 75°. El lado opuesto a 75° es 175 cm, ¿cuál es el lado opuesto a 57°? a)

C

b

c

B

De las siguientes, la ecuación correcta referida al triángulo ABC es: b2 = a2 + c2 – 2ac cos β b) c2 = a2 + b2 + 2ab cos γ c) a2 = b2 – c2 + 2bc cos α d) Todas son correctas a)

146.76 cm d) 157 cm c)

Si dos lados de un triángulo forman un ángulo de 35º, y dichos lados miden 8 m y 10 m, respectivamente, entonces el lado opuesto al ángulo se calcula con la expresión: 82 + 102 + 2(8)(10)(cos35°) b) 82 – 102 + 2(8)(10)(cos35°) c) 82 – 102 – 2(8)(10)(cos35°) d) 82 + 102 – 2(8)(10)(cos35°) a)

2. a.



3

1. c.

1

Soluciones



3. a.

4. d.

ALTURA DE UN ÁRBOL La trigonometría, del griego trígono (triángulo) y metría (medición), fue creada inicialmente para resolver triángulos rectángulos, y pronto aumentó su aplicación y por tanto su desarrollo como parte de la matemática. 30º

37º

25 m

72

Matemática - Segundo Año

Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol como la araucaria, se determinan dos ángulos y se aplica la ley correspondiente. En la ilustración de la izquierda la altura del árbol puede calcularse con una combinación apropiada de los triángulos que se forman y las leyes del seno y coseno.

Lección 3

Tercera Unidad

Elementos de geometría analítica Motivación ¿Cómo encuentras la distancia entre los puntos A (2,3) y B (6,5)? Observa la figura. Para resolver este tipo de situación, en esta lección estudiarás la forma para encontrar la distancia entre dos puntos del plano cartesiano.

B A

Indicadores de logro

Deducirás, utilizarás y explicarás, con seguridad y confianza, la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos. Resolverás problemas utilizando la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos. Determinarás y localizarás, con precisión las coordenadas del punto medio de un segmento de recta. Resolverás problemas utilizando la fórmula para el punto medio de un segmento de recta con precisión. Deducirás, utilizarás y explicarás la pendiente de una recta con seguridad y confianza.



Determinarás y explicarás, con interés, el ángulo de inclinación de una recta y su relación con la pendiente de la misma. Resolverás problemas utilizando la fórmula de la pendiente de una recta, con interés y seguridad. Representarás gráficamente rectas paralelas y/o perpendiculares, con precisión, orden y aseo. Deducirás y explicarás la expresión matemática que denota el paralelismo y/o perpendicularidad. Utilizarás la expresión matemática que denota el paralelismo y/ perpendicularidad entre dos rectas con precisión y confianza al resolver ejercicios.

Distancia entre dos puntos Una forma sería graficarlos a escala en el plano cartesiano y luego medir dicha distancia. Sin embargo, el método no daría una medida con mucha precisión. y

d 2 = ( 6 − 2 )2 + ( 5 − 3 )2

B 5-3

A

Los catetos miden 6 – 2 = 4 y 5 – 3 = 2, respectivamente. La distancia d = AB es la hipotenusa del triángulo. Luego por Pitágoras.

d = ( 6 − 2 )2 + ( 5 − 3 )2

6-2

d = ( 4 )2 + ( 2 )2 = x

Ahora bien, si observas la figura, notarás que se ha formado un triángulo rectángulo.

20 = 4.47

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

Segundo Año - Matemática

73

UNIDAD 3

Punto de apoyo Para encontrar la distancia entre dos puntos P y Q a uno de los puntos le llamas (x1, y1) y al otro punto le llamas (x2, y2) Como este procedimiento lo aplicas a cualquier par de puntos, entonces la fórmula es:

Puedes ver que los números (x2 – x1)2 y (y2 – y1)2 siempre son positivos, ya que están elevados al cuadrado. También puedes comprobar que PQ = QP , ya que (x2 – x1)2 = (x1 – x2)2 y también (y2 – y1)2 = (y1 – y2)2 . Esto te dice que cuando se emplea la fórmula de la distancia entre dos puntos puedes tomar como punto inicial (x1 – y1) a cualquiera de ellos.

Ejemplo 2

La distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) es

Hallar la distancia entre los puntos (3, – 8) y ( – 6, 4).

P1P2 = d =

Solución:

( x 2 − x 1 )2 + ( y 2 − y 1 )2

Como, d = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) al sustituir las coordenadas de los puntos, obtienes, 2

2

y P2 (x2, y2)

d

= ( 3 + 6 )2 + ( −8 − 4 )2 = 81 + 144 = 225 = 15

[y2 –y1]

P1 (x1, y1)

1

(x2, y1)

[x2 –x1]

x

Ejemplo 1

Actividad

a) Grafica en el plano cartesiano el triángulo cuyos vértices son

Encuentra la distancia entre los puntos P( – 3, 3) y Q( 5, – 2).

Solución:

los puntos A(– 1, – 3), B(6, 1) y C(2, – 7).

b) Encuentra la longitud de cada lado del triángulo del

problema anterior.

y P

Punto medio de un segmento rectilíneo

3 5 -3

Q

-2

d =

C

( x 2 − x 1 )2 + ( y 2 − y 1 )2

PQ = d =

( 5 − ( − 3 ))

2

+ ( − 2 − 3)

= ( 5 + 3 )2 + ( − 5 )2

74

x

Este es el triángulo ABC. Los puntos P, Q y M son los puntos medios de sus lados AB, BC y CA, respectivamente.

=

8 2 + ( − 5 )2

=

64 + 25

=

89 = 9.43

Matemática - Segundo Año

M

Q

2

A

P

B

¿Qué nombre reciben los segmentos PC, QA y MB?

UNIDAD 3 ¿Cómo encuentras el punto medio, Pm, del segmento de recta AB? Observa que las coordenadas del punto A son (1, 2) y las de B son (5, 6). y

Ejemplo 3 Dados los puntos P(– 3, 4) y Q(2, – 5), encuentra el punto medio del segmento PQ.

Solución: X P = – 3; XQ = 2

B

P

4

y

Pm x

A

x

-3

¿Cuáles son las coordenadas del punto medio Pm? Puedes ver que Pm(3, 4). ¿Cómo calculas la abscisa Xm de Pm? ¿Y cómo calculas la ordenada Ym de Pm? Puedes ver que Xm = 3, es el punto medio de X A = 1 y X B = 5. 1 + 5 Xm = =3 2 Además, Ym = 4, es el punto medio de YA = 2 y Y B = 6 2 + 6 Ym = =4 2 En general, si los puntos A (X A, YA) y B (X B, Y B) son los extremos del segmento rectilíneo AB, entonces el punto medio Pm del segmento AB es Pm(Xm, Ym), donde X +XB Y + YB Xm = A y Ym = A 2 2

B(X B , YB )

Pm

-5

2

Q

Aplicando las fórmulas. X + XQ 1 −3+2 Xm = P = = − 2 2 2 Y + YQ 4 + ( − 5) 1 Ym = P = = − 2 2 2 1  1 Luego, Pm  − , −   2 2

Actividad

2

Encuentra el punto medio del segmento cuyos puntos extremos son: a)

PM(X m , Ym )

R( – 3, 4) y S (7, – 4) b) T(5, – 2) y U ( – 4, 0)

A(X A , YA )

Segundo Año - Matemática

75

UNIDAD 3

Pendiente de una recta Inclinación de una recta Rosita dice que la línea recta L1 está más inclinada que L2 ¿Y tú qué opinas?

Se le llama pendiente de una recta, a la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir: Pendiente = tangente de θ Se denota: m = tan θ

L1

y

L2 α

L θ

β

Para comenzar, diremos que la inclinación de una recta es la medida del ángulo que forma la recta con el eje x medido en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.

x

Ejemplo 4 Calcular la pendiente de las siguientes rectas y

Como α es la inclinación de L1 y β es la inclinación de L2 y α > β, Rosita tiene razón: L1 está más inclinada que L2 .

60˚

x

Éstas son las inclinaciones de algunas rectas. y

y

y 135˚

45˚ x

x

120˚ x

y

y

y

150˚ x

30˚

x

30˚ x

76

Matemática - Segundo Año

UNIDAD 3 Solución: y

Para calcular la pendiente de una recta, solamente encuentras mediante tu calculadora científica la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir:

1 -3

-2

a) m = tan 60º = 1.73

x 4

θ -3

b) m = tan 120º = – 1.73

5

c) m = tan 30º = 0.58

Ejemplo 5

m = tan θ

Dibuja dos rectas en las cuales no se cumple el hecho que “a mayor inclinación, mayor pendiente”.

Solución: y 150° x

cateto opuesto cateto adyacente Fíjate que el cateto opuesto es la línea punteada vertical. Es decir: Cateto opuesto = 1 – ( – 3) = 4. tan θ =

El cateto adyacente es la línea punteada horizontal. Cateto adyacente = 3 – ( – 2) = 5. 4 tan θ = = 0.8 Por lo que m = 0.8 5 y

P2 (x 2 , y 2 ) y 2 − y1

y

P1 (x1 , y1 ) θ

70°

θ

x

x

Las respectivas pendientes de las rectas son: tan 150º = – 0.58; tan 70º = 2.75 En este caso observas que la recta de mayor inclinación, posee menor pendiente, ya que tiene pendiente negativa.

Ejemplo 6 Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A( – 2, – 3) y B(3, 1).

En general, si P1(X1, Y1) y P2(X 2 , Y2) son dos puntos de una recta, su pendiente m se calcula mediante la siguiente expresión. m = tan θ cateto opuesto m = cateto adyacente Cateto opuesto = Y2 – Y1 Cateto adyacente X 2 – X1 Y − Y1 Luego, m = 2 X 2 − X1

Segundo Año - Matemática

77

UNIDAD 3 Ejemplo 7

Ejemplo 8

¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A( 2, – 5 ) y B( – 4, 7 )?

Una recta tiene una pendiente de – 2. ¿Cuál es la inclinación de esa recta?

Solución:

Solución:

7 − ( − 5 ) 12 Y −Y m = tan θ = 2 1 = = = −2 −4−2 −6 X 2 − X1

y

y 7

θ= 180˚ -63.43=116.57 x

-4

-63.43

x

2 -5

Observa que si restas de B hacia A obtienes el mismo resultado: m=

− 5 −7 −12 = = −2 2 − (− 4 ) 6

De los ejemplos anteriores concluyes que toda recta inclinada a la izquierda, tiene una pendiente negativa. Si está inclinada hacia la derecha, su pendiente es positiva. y

m = tan θ = – 2, de modo que θ = tan–1( – 2). θ es la tangente inversa de – 2. En tu calculadora: tan –1( – 2) = – 63.4349º. Para obtener la inclinación es necesario sumar 180º, ya que ésta debe quedar entre 0º y 180º: θ = – 63.43º + 180º = 116.57º Siempre que θ > 90º la pendiente es negativa. Observa la inclinación de las rectas a la derecha. Puedes ver que la inclinación de L3 es 0º, mientras que L4 tiene una inclinación de 90º. Encuentra la pendiente de L3 y L4 .

x

L3 Rectas con pendiente negativa

L4

y

x

Rectas con pendiente positiva

78

Matemática - Segundo Año

La pendiente de una recta horizontal es cero y de una vertical es indefinida (∞).

UNIDAD 3 Rectas paralelas y rectas perpendiculares Si dos rectas son paralelas, tienen la misma inclinación, de modo que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. L1 m1 = m2 L2 L1 m1 = m2 Si dos rectas son perpendiculares, se L2cortan 1 formando un ángulo de 90º, esto significa m1 que=susm2 inclinaciones deben diferir en 90º. L1 También significa que sus pendientes tienen signos diferentes. m1 = 1 m2 L1L2

Solución:

−2 2 3−5 = = − 2 − 3 −5 5 15 5 14 − ( −1) m DF = = = − −4−2 −6 2 1 m DF = − m PQ las rectas son perpendiculares. 2 5 Se cumple que  −  = − 1 5 2

m PQ =

3

Actividad 1. Calcula la pendiente de una recta si: a)

Su inclinación es 45º b) Pasa por ( – 8, – 4) y (5, 9) 2. Encuentra la inclinación de la recta del literal b) del numeral anterior. 3. Demuestra gráficamente y aplicando el concepto de pendiente, que los puntos

L2 En general, si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es –1.

A( 8, 6 ), B( 4, 8 ) y C( 2, 4 ) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Ejemplo 9 Determina la pendiente de la recta que pasa por A( 2, 3) y B( 7, 5), e investiga si es paralela a la recta que pasa por C( – 1, 4 ) y D( 4, 6 ).

Solución: La pendiente de la recta que pasa por A y B es 2 5−3 m AB = = 7−2 5 La pendiente de la recta que pasa por C y D es 6−4 2 mCD = = 4 − ( −1) 5 Como m AB = mCD, ambas rectas son paralelas.

Ejemplo 10 Averigua si la recta que determina los puntos P(3, 5) y Q( – 2, 3) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos D(2, – 1) y F( – 4, 14).

Resumen La distancia entre los puntos A(X1, Y1) y B(X 2 , Y2) es

( X 2 - X 1 )2 + (Y 2 - Y1 )2

Se le llama ángulo de inclinación o inclinación de una recta, al ángulo que, medido en un sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, forma la recta con el eje x. Pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de ésta: m = tan θ . Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente (m1 = m2) y son perpendiculares si la pendiente de una es igual a la inversa de la pendiente de la otra con signo contrario. ( m1m2 = – 1 )

Segundo Año - Matemática

79

UNIDAD 3

Autocomprobación a)

(1 + 3)2 + ( −5 − 4 )2

b)

(1 + 3)2 − ( −5 − 4 )2

c)

( −3 − 1)2 + ( 4 + 5)2

d)

2



3

La distancia entre los puntos A( – 3, 4 ) y B( 1, – 5)es:

La inclinación de una recta con pendiente igual a 1 es: 30º b) 60º c) 45º d) 90º a)

4

a y c son correctas



La pendiente de una recta es – 2. La pendiente de otra recta perpendicular a ella es: a)

La pendiente de una recta cuya inclinación es 30º, es:

2

1 2 2 c) − 1 1 d) 2 b)

tan 30º b) 0.58 c) 0.87 d) a y b son correctas a)

−

1. d.

1

Soluciones



2. d.

3. c.

4. d.

BASE DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA Los griegos eran grandes geómetras. Sin embargo sus conocimientos de álgebra fueron limitados. Esto hizo que no pudieran resolver muchos problemas geométricos. Fue hasta el año 1600 que Fermat y Descartes unieron ambas ramas de la matemática: la madura geometría y la naciente álgebra. A dicha unión se le llamo geometría analítica o geometría coordenada. Uno de los ejes principales de la geometría analítica lo constituye el sistema de coordenadas cartesianas, sistema coordenado o plano cartesiano.

80

Matemática - Segundo Año

Lección 4

Tercera Unidad

La línea recta Motivación

Laura trabaja de Chef en un hotel, observa que

en una receta de cocina la temperatura es de 120º Celsius y quiere convertirla a grados Farenheit ya que su cocina presenta esta escala. Los datos que ella ha conseguido son: 0º C equivalen a 32º F y 100ºC equivalen a 212º F. Ayudale a Laura a resolver la situación.

Indicadores de logro

Identificarás y seleccionarás con seguridad, los elementos que definen a una línea recta. Construirás, utilizarás y explicarás la ecuación de una recta: punto pendiente, valorando su utilidad. Construirás, utilizarás y explicarás la ecuación de una recta: pendiente intercepto, valorando su utilidad. Construirás, utilizarás y explicarás la ecuación simétrica de una recta, valorando su utilidad.

y

L1

y2 - y1 = 2 x2 - x1 = 3 Δx=3

L2

Δy=2

x Δy=2

L3

Δx=3

Puedes ver que en cada una de las tres rectas, tienes: y -y 2 2 m = 2 1 = ¿Cuántas rectas con pendientes x 2 - x1 3 3 existen? Observarás que existen un número infinito de 2 rectas con m = . 3



Construirás, utilizarás y explicarás la ecuación general de una recta, valorando su utilidad. Construirás la gráfica de una recta a partir de cualquiera de sus formas, valorando su utilidad con seguridad, orden y limpieza. Deducirás, aplicarás y explicarás la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta con confianza.

2 Ahora, dibuja la recta con pendiente y que pasa por 3 el punto P( 4, 3 ). Puedes ver que la recta L satisface las condiciones anteriores: pasa por el punto P( 4, 3 ) y su pendiente es 2 . ¿Cuántas rectas cumplen estas condiciones? 3 y 3

L

P

4

x

Segundo Año - Matemática

81

UNIDAD 3 El ejemplo anterior te muestra que si conoces un punto y la pendiente de una recta, ésta queda definida.

Ejemplo 1 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto ( – 5, 4 ), si su pendiente es 3 . 5

Ejemplo 2 Determina la ecuación punto pendiente de la recta: 2 1. Que pasa por ( – 3, 4) y m = − 5

Solución: Como

y − y = m ( x − x1 ) es la ecuación

Entonces

y −4= −

Solución: Sea el punto Q( – 5, 4 ) que pertenece a la recta; P(x, y) un punto cualquiera de la misma recta. y

sustituyendo ( –3, 4 ) y m = −

4

Luego, y − 4 = −

L

Q P(x, y)

línea recta. -10

x

2 5

2 ( x + 3) es la ecuación de la 5

2. Que pasa por (2, – 6) y m = – 1

-5

y

Recuerda: y 2 − y1 =m x 2 − x1 La pendiente de la recta L es: y−4 3 = x − ( − 5) 5 Despejando y – 4: 3 y – 4= (x – ( – 5)) 5 3 y – 4 = (x + 5) 5 Sean los puntos de una recta L: Q(x1, y1), P(x, y) un y − y1 punto arbitrario de ella. Su pendiente es: x − x1 de aquí obtienes la ecuación punto pendiente que se escribe así: y – y1 = m( x – x1).

82

2 ( x − ( − 3 )) 5

Matemática - Segundo Año

x 2

-6

Solución:

y − y1 = m ( x − x 1 )

y − ( −6 ) = − 1( x − 2 )

y + 6 = − ( x − 2) Si despejas "y " obtienes: y = −x +2−6 y = −x −4

UNIDAD 3 Ejemplo 3 En cada una de las siguientes rectas, determina un punto y el valor de su pendiente. y – 3 = 2 (x – 4)

Solución: Si y – y1 = m (x – x1), entonces m = 2 es la pendiente; ( 4, 3 ) es un punto de ella. y+3=–2(x+5)

Solución:

3 (x − 4 ) 7

Si tienes n puntos de una recta, puedes formar n ecuaciones de ella, todas son equivalentes. Es decir representan a la misma recta. ¿Cómo demuestras que las ecuaciones anteriores son equivalentes? Una forma es despejar “y” en cada ecuación. De esta forma llegas a expresiones iguales para “y”. ¡Hazlo en tu cuaderno! Ahora, ya puedes ayudar a Laura a resolver la situación presentada al inicio de esta lección.

m = – 2 es la pendiente y ( – 5, – 3 ) es un punto de la recta.

1

Actividad

Con B: y + 1 = −

F (100, 212)

212

a) Copia y completa el cuadro siguiente:

Ecuación de la recta

y −5=

Punto de Pendiente la recta de m

2 (x + 4 ) 3

32

( –2, 1 )

1 − 2

( 0, 3 )

1

y + 2 = –( x + 3 ) y–4=x

Ejemplo 4 Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( – 3, 2) y B(4, – 1)

Solución: Con ambos puntos determinamos su pendiente. y − y1 −1− 2 −1− 2 3 = = = − m= 2 x 2 − x1 4 − ( − 3) 4 + 3 7 Con A: y − 2 = −

3 (x + 3) 7

(0,32) 100

C

Tomando los puntos A(0, 32) y B(100, 212) con los grados Celsius en el eje x y los Farenheit en el eje y. Se tiene que: y −y 212 − 32 180 9 = = m= 2 1 = x 2 − x1 100 − 0 100 5 9 Luego: y − 32 = x 5 9 y = x + 32 5 9 (120 ) + 32 = 248 5 Es decir, 120º Celsius equivalen a 248º Farenheit.

Así, para 120º Celsius y =

Segundo Año - Matemática

83

UNIDAD 3 Observa que dos puntos de la recta son A( 0, 3 ) y B( – 2, 0). Tienes: −3 3 0−3 = = m= − 2 −0 −2 2 Luego, con el punto A: 3 y −3= (x − 0) 2

y −3=

2

y =

Actividad

1. Encuentra la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por:

3 x Efectuas x – 0 = x 2

3 x + 3 Despejas y 2

Hazlo tú con el punto B.

P(2, –3) y Q( – 1, – 4) b) R( –1, – 4) y S( 3, – 4) 2. ¿Cómo compruebas si un punto determinado pertenece a una recta cuya ecuación es conocida? Comprueba que el punto (1, –7) pertenece a la recta y –3 = –2(x + 4). Para ello, sustituyes la variable x por 1, y la variable y por –7. La igualdad que resulte debe ser cierta. En caso contrario, el punto no pertenece a la recta. a)

Observa esta última ecuación. ¿Qué elementos de la recta contiene? 3 es la pendiente de la recta. Observa que 2 El valor 3 te da el intersecto de la recta con el eje y. 3 y = x +3 2

Ecuación pendiente intersecto de la línea recta y

Pendiente

Intersecto en y

El valor de b; es aquél en que la recta corta al eje y se le llama ordenada en el origen.

Ejemplo 5

3

-2 0

x

Halla la ecuación de la recta si su intersecto en y u ordenada en el origen es b = 4 y su pendiente es 3 m= − 5

Solución: ¿Qué elementos conoces de esta recta? ¿Cuál es su ecuación punto pendiente?

84

Matemática - Segundo Año

Sustituye los valores de m y b en la ecuación y = mx + b. 3 y = − x + 4 es la ecuación de la recta. 5

UNIDAD 3 Ejemplo 6

Ecuación general de la línea recta

Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 2x + y – 5 = 0.

Solución: Primero despeja “y” de la ecuación dada:

La siguiente expresión muestra la ecuación punto pendiente de una recta. 2 y − 3 = ( x − 4 ) multiplicas por 5 para eliminar 5 el denominador 5y – 15 = 2(x – 4)

multiplicas para eliminar los paréntesis

Luego, m = – 2 y b = 5

5y – 15 = 2x – 8

traspones términos para igualar a cero

Ejemplo 7

– 2x + 5y – 15 + 8 = 0

reduces términos semejantes

Encuentra la ecuación pendiente intersecto de la recta 2 que pasa por (2, – 3) si m = 3

– 2x + 5y – 7 = 0

multiplicas por –1 para que el primer término sea positivo

2x – 5y + 7 = 0

Ecuación general de la línea recta.



2x + y – 5 = 0



y = – 2x + 5 Ecuación pendiente intersecto

Solución:

La ecuación punto pendiente es: y + 3 =

2 (x − 2) 3

Ahora en tu cuaderno despeja la variable y. 13 2 Al hacerlo llegas a la ecuación y = x − 3 3

Actividad

Esta última ecuación de la línea recta, recibe el nombre de ecuación general. Puedes ver que: La ecuacioón general de la línea recta es de la forma Ax + By + C = 0.

3

1. Escribe la ecuación pendiente intersecto de la línea recta en cada caso. m = – 2, b = 4 1 b) m = , b = – 3 2 3 c) m = − , b = 2 4 a)

2. Determina el valor de la pendiente y el intersecto en y en cada caso. a)

y = 2x – 5

b)

y = −

c)

y =

3 x +2 4

1 x −5 2

Segundo Año - Matemática

85

UNIDAD 3 Ahora, observa las ecuaciones: 2 y − 3 = ( x − 4 ) Ecuación punto pendiente. 5 2x – 5y + 7 = 0 Ecuación general. Son dos formas de definir la misma recta. Supón ahora que estamos interesados en determinar el valor de su pendiente. En la primera de las ecuaciones por simple 2 inspección hallas que m = 5 Para encontrarla en 2x – 5y + 7 = 0, tendremos: 2 2 m= − = −5 5 Concluyes entonces que en la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0, para determinar la pendiente, A lo haces así: m = − B

Ejemplo 8 Determina la ecuación general de la recta que pasa por 3 ( – 2, 6) si m = 4

Solución: Encuentras la ecuación punto pendiente. 3 multiplicas por 4 y − 6 = ( x + 2 ) 4 4y – 24 = 3(x + 2) eliminas paréntesis 4y – 24 = 3x + 6 – 3x + 4y – 24 – 6 = 0 – 3x + 4y – 30 = 0 3x – 4y + 30 = 0

traspones términos reduces términos semejantes multiplicas por – 1 Ecuación general de la línea recta

En la ecuación general de la recta puedes observar que la pendiente m es igual a − A , o sea, m = −3 = 3 −4 4 B

86

Matemática - Segundo Año

UNIDAD 3 Distancia de un punto a una recta Calcula la distancia del punto R(2, 1) a la recta 2x – y + 5 = 0.

y

Para encontrar la distancia del punto P(r, s) a la recta Ax + By + C = 0, utilizas la fórmula siguiente:

d =

d

(r, s)

Ar + Bs + C

x

A2 + B 2

Solución: A = 2, B = –1 y C = 5. Además r = 2 y s = 1, sustituyes estos valores en la fórmula: 2( 2 ) + ( −1)(1) + 5 8 Ar + Bs + C d = = = = 3.58 5 A2 + B 2 22 + ( −1)2 Grafica en tu cuaderno el punto y la recta y luego mide la distancia entre ellos. Compara tu respuesta con la anterior.

Actividad

4

1. Determina la ecuación general de la recta: a) Si m = –1 y pasa por ( – 2, 3 ) b)

Si m = 1 y su ordenada en el origen es –2

2. Calcula la distancia del punto S(–3, 2) a la recta 3x – 4y + 2 = 0

Resumen Ecuaciones de la línea recta: Ecuación punto pendiente

y – y1 = m (x – x1)

Ecuación pendiente intersecto

y = mx + b

Ecuación general

Ax + By + C = 0

Una línea recta queda definida cuando conoces un punto y su pendiente, o su pendiente y su intersecto con el eje y (ordenada en el origen). Las cuales puedes pasarlas a la forma Ax + By + C = 0. Para calcular la distancia del punto R(r, s) a la recta Ax + By + C = 0 aplicas la fórmula. Ar + Bs + C d = A2 + B 2

Segundo Año - Matemática

87

UNIDAD 3

Autocomprobación El número de rectas con pendiente -1 es igual a: a)

1 b) 10 c) infinito d) 0

2

3

La ecuación de la recta cuya pendiente es -1 y que pasa por ( 3, –4 ) es: y + 4 = –1( x + 3 ) b) y + 4 = –1( x – 3 ) c) y – 3 = –1( x + 4 ) d) y – 4 = –1( x + 3 ) a)

4

El número de rectas que pasan por el punto ( –3, 4 ) y pendiente 2 es: a)

1 b) 4 c) infinito d) 2

La pendiente de la recta y = – 2x + 5 es: a)

2 b) –5 c) 5 d) –2

1. c.

1

Soluciones



2. a.

3. b.

4. d.

RENÉ DESCARTES El concepto de sistema coordenado que caracteriza a la geometría analítica fue aplicado por primera vez en 1637 por el matemático y filósofo francés René Descartes. Por ello, la geometría analítica se llama también geometría cartesiana. Por el papel unificador de la geometría analítica en diversas ramas de la matemática, el aporte de Descartes representa uno de los pilares del desarrollo de la matemática. En el inicio, las dos ramas de la matemática que fueron objeto de esta unificación, fueron el álgebra, por su nivel de representación abstracta y la geometría euclídea. René Descartes

88

Matemática - Segundo Año

Lección 5

Tercera Unidad

La circunferencia Motivación

La organización de planta circular en la arquitectura

clásica se encuentra presente en templos, circos y anfiteatros. Esta predilección por su uso para espacios públicos que congregan grandes multitudes continúa debido, entre otros aspectos, a la equisdistancia de las visuales que se generan al interior de la forma circular. Sin embargo, hoy día las formas y plantas circulares se encuentran con frecuencia en todo tipo de edificaciones tanto de uso privado como público. ¿Cuáles construcciones en tu comunidad presentan formas circulares?

Indicadores de logro

Identificarás los elementos de una circunferencia, con interés en su construcción. Construirás la ecuación ordinaria de la circunferencia, con seguridad. Determinarás, con interés y seguridad, la ecuación ordinaria de la circunferencia utilizando, el centro, el radio y un punto.



Construirás, con seguridad y esmero, la ecuación general de la circunferencia utilizando el centro, el radio y un punto. Resolverás problemas aplicando con interés la ecuación ordinaria y general de la circunferencia.

La circunferencia pertenece a un conjunto de figuras llamadas cónicas. Éstas reciben dicho nombre debido a que resultan al efectuar determinados cortes en el cono. Por ejemplo, ¿qué figura resulta al hacer un corte paralelo a la base?

Segundo Año - Matemática

89

UNIDAD 3

Ecuación canónica de la circunferencia

r = ( x - 0 )2 + ( y - 0 )2 La distancia es r r =

y

P(x,y) r =3 x

0

x 2 + y 2

Efectuando las restas

r 2 = x 2 + y 2

Elevando al cuadrado

x2 + y2 = r2

Ecuación Canónica de la Circunferencia

Ejemplo 1 ¿Cuál es el radio de las siguientes circunferencias? a) x2 + y2 = 16

¿Cómo es la distancia que va desde el centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos?

b)

x2 + y2 = 49 c) x2 + y2 = 25

Solución: a) Como x2 + y2 = 16, r2 =16 y r = 4; el radio es 4

¿Cómo se le llama a esa distancia?

b) Como x2 + y2 = 49, r2 = 49 y r = 7; el radio es 7

Recordarás que esa distancia es constante y se llama radio, al cual denotas por r. En este caso, r = 3.

c) Como x2 + y2 = 25, r2 = 25 y r = 5; el radio es 5

Punto de Apoyo

Ecuación ordinaria de la circunferencia ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?

Recuerda que: La distancia entre el punto (x, y) y (a, b) es: ( x − a ) + ( y − b ) 2

y

2

Como OP = r = 3, entonces, al aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos O(0, 0) y P(x, y), tienes:

4

C

(x -0) +( y -0) = 3 2

(

2

x 2 + y 2 = 3 ya que x – 0 = x; y – 0 = y

x +y 2

2

)

2

= 3 Elevando al cuadrado y efectuando tienes x2 + y2 = 9

Esta expresión se llama ecuación canónica de la circunferencia con r = 3. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a cinco? En este caso, ésta es x2 + y2 = 52; o sea, x2 + y2 = 25. En general, si una circunferencia de radio r tiene su centro en O(0, 0), su ecuación se llama canónica, y se obtiene a partir de la distancia entre dos puntos (0, 0); (x, y) para lo cual obtienes:

90

Matemática - Segundo Año

x

3

2

Observa que en este caso, su centro C (3, 4) no coincide con el origen O(0, 0). Como en el caso de la forma canónica de la circunferencia, vamos a calcular la distancia CP = r, donde C es su centro y P(x, y) es un punto variable de ella. Tienes: ( x − 3 )2 + ( y − 4 )2 = 5 (x – 3)2 + (y – 4)2= 52 (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

CP = r = 5 Elevado al cuadrado Efectuado 52 = 25

UNIDAD 3 Por lo tanto la ecuación de la circunferencia es (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

Ejemplo 2 Encuentra la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C(1, 2) y radio r = 3

Solución: ( x - 1) 2 + ( y - 2 ) 2 = 3

CP = r = 3

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 32

Elevando al cuadrado

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 9

Efectuando 32 = 9

En general, en una circunferencia de radio r y centro C ( h, k ), su ecuación ordinaria es: ( x – h )2 + (y – k)2 = r2

Ejemplo 3 Dibuja la circunferencia con centro en ( – 2, 4 ) y radio 7 y halla su ecuación.

Solución: y 10

(x, y)

8

r=7

6 4

(-2, 4)

-10

-8

-6

-4

2

-2

2

4

x

-2 -4

Segundo Año - Matemática

91

UNIDAD 3 Debido a que el centro está en ( – 2, 4 ), tienes h = – 2 y k = 4, y como el radio es 7, entonces r = 7. Por tanto, ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2 [x –( – 2 )]2 + ( y – 4 )2 = 72 ( x + 2 )2 + ( y – 4)2 = 49 Nota que en la ecuación (x – h)2 + (y – k)2 = r 2 las coordenadas del centro son (h, k): En la ecuación aparecen con signo contrario.

Ejemplo 5

Ejemplo 4 Encuentra la ecuación de la circunferencia de centro C( 5, – 2 ) y que pase por el punto ( – 1, 4 ).

Encuentra la ecuación de la circunferencia tal que uno de sus diámetros es el segmento que une los puntos Q(5, – 1) y P(– 3, 7).

Solución:

Solución:

El radio r de la circunferencia es CP. Luego, por la

y

P

7

fórmula de la distancia entre dos puntos:

r = ( 5 + 1) 2 + ( − 2 − 4 ) 2 r = 36 + 36 =

C

72 = 6 2 y

-3

P

4

-1

-1

5 -2

C

( x − 5 )2 + ( y + 2 ) = ( 6 2 ) 2

2

(

(x – 5)2 + (y + 2)2 = 72, ya que 6 2 La ecuación de la circunferencia es: (x – 5)2 + (y + 2)2 = 72

Matemática - Segundo Año

) =( 2

72

x Q

Como P( – 3, 7 ) y Q( 5, – 1 ) son los extremos de un diámetro, las coordenadas del centro C, por la fórmula del punto medio que ya estudiaste, son: 5 +( − 3) 7 + ( − 1) h= = 1 k = =3 2 2 Luego, el centro es C( 1, 3 )

x

La ecuación es:

92

5

)

2

El radio es la distancia entre el centro C y uno de los puntos P o Q. Luego, calculas la distancia CQ = r:

r = ( 5 − 1)2 + ( −1 − 3 )2 = 32 La ecuación es ( x – 1 )2 + ( y – 3 )2 = 32

UNIDAD 3 Ecuación general de la circunferencia

1

Actividad

1. Dibuja las siguientes circunferencias con centro en el origen y encuentra su ecuación si: r=1 b) r = 2 c) r = 3 2. Dibuja las siguientes circunferencias con centro y radio dados y encuentra su ecuación ordinaria. a)

C( 3, – 1 ), r = 2 b) C( – 2, 2 ), r = 3 c) C( 2, 6 ), r = 4 3. Encuentra las coordenadas del centro y el valor del radio de las siguientes circunferencias: a)

( x – 3 )2 + ( y + 4)2 = 9 b) ( x – 7 )2 + ( y + 5)2 = 25 c) ( x + 3 )2 + y2 = 121 a)

Ejemplo 6 Encuentra la ecuación general de la circunferencia ( x – 3 )2 + ( y + 5 )2 = 7

Solución: ( x – 3 )2 + ( y + 5 )2 = 7

ecuación ordinaria

x2 – 6x + 9 + y2 + 10y + 25 = 7

desarrollando binomios al cuadrado

x2 – 6x + 9 + y2 + 10y + 25 – 7 = 0 transponiendo a 7 x2 – 6x + y2 + 10y + 9 + 25 – 7 = 0 ordenando términos x2 – 6x + y2 + 10y + 27 = 0

reduciendo términos semejantes

x2 + y2 – 6x + 10y + 27 = 0 Esta última expresión recibe el nombre de ecuación general de la circunferencia. Si desarrollas la forma general de la ecuación ordinaria de la circunferencia obtienes: ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2 x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2 x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 – r2= 0 Debido a que h2, k2 y r2 son constantes, hacemos h2 + k2 – r2 = F. Si haces que las constantes – 2h = D; – 2k = E, entonces la ecuación general de la circunferencia se escribe así: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. ¿Cuáles son los valores de D, E y F en la ecuación anterior?

Segundo Año - Matemática

93

UNIDAD 3 Ejemplo 7

4x2 – 8x + 4y2 – 24y = 9

Si x2 + y2 + 4x – 8y + 4 = 0, determina la ecuación ordinaria de la circunferencia y encuentra el centro y el radio.

Luego, factorizas el 4 de los términos en x, y de los términos en y.

Solución Para convertir la ecuación a la forma ordinaria, necesitas completar el trinomio cuadrado perfecto. Primero, escribes la constante en el miembro derecho y agrupas los términos que contienen a x; luego, agrupas los que contienen a y. Los símbolos O y F te indicarán las constantes que faltan y que debes determinar para completar el trinomio cuadrado perfecto. x2 + y2 + 4x – 8y + 4 = 0

ecuación

(x2 + 4x + O) + (y2 – 8y + F) = – 4 + O + F agrupando términos en x y términos en y y transponiendo a 4. El coeficiente del término x es 4. Si le sacas mitad y lo elevas al cuadrado, puedes sumar el resultado, 4, a ambos miembros de la ecuación. De manera semejante, la mitad de – 8 es – 4, y también sumas ( – 4 )2 = 16 a ambos miembros de la ecuación. Por lo tanto, ésta se convierte en: ( x2 + 4x + 4 ) + ( y2 – 8y + 16 ) = –4 + 4 + 16 Haz completado el trinomio cuadrado perfecto. ( x + 2 )2 + ( y – 4 )2 = 16 Factorizando trinomios cuadrado perfectos y reduciendo términos semejantes. Luego, como 16 = 42, el radio es 4 y el centro ( –2, 4 )

Ejemplo 8 Escribe la ecuación 4x + 4y – 8x – 24y – 9 = 0 en la forma ordinaria y determina el centro y el radio. 2

2

Solución: De nuevo completas el trinomio cuadrado perfecto. Primero pasas la constante al miembro derecho y agrupas los términos en x, y en y.

94

Matemática - Segundo Año

4( x2 – 2x ) + 4( y2 – 6y ) = 9 Ahora, utilizamos un para indicar las constantes que faltan. Observa que al miembro derecho de la ecuación se añadieron 4 para mostrar donde es necesario escribir las constantes. 4(x2 – 2x +

) + 4( y2 – 6y +

)=9+4

+4

4( x2 – 2x + 1 ) + 4( y2 – 6y + 9 ) = 9 + 4(1) + 4(9) 4( x –1 )2 + 4( y – 3 )2 = 49 Factorizas los trinomios cuadrados perfectos. 49 2 ( x − 1)2 + ( y − 3) = divides entre 4. 4 El centro es (1, 3) y el radio es r =

7 49 = 4 2

Aunque hubiera sido posible empezar dividiendo entre 4 toda la ecuación esperas hasta el final para no trabajar con tantas fracciones. El procedimiento anterior se utilizará también en las elipses e hipérbolas que estudiarás en las siguientes lecciones.

2

Actividad

Determina las coordenadas del centro C y el radio de las siguientes circunferencias. x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0 b) x2 + y2 – 6x + 2y – 26 = 0 c) x2 + y2 – 10x + 2y + 22 = 0 a)

d)

x2 + y2 – x + 8y +

61 =0 4

UNIDAD 3 Problemas que consideran la tangente de la circunferencia y

Llamamos tangente de una circunferencia a la recta que la toca en un sólo punto. Una propiedad de la tangente es que ésta es perpendicular al radio en el punto de tangente, como lo muestra la ilustración de la derecha.

20x −21 y − 42= 0 C(-2,3)

3

-2

x

Ejemplo 9 Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P( – 2, 3 ), si es tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0.

Solución: Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia, entonces su longitud está dada por la distancia entre la tangente y el centro, como se aprecia en el diagrama anterior. Luego:

r =

20 ( −2 ) + ( −21)( 3 ) − 42 20 2 + ( −21)2

145 −40 − 63 − 42 = =5 841 29 2 Entonces, la ecuación de la circunferencia es: ( x + 2 )2 + ( y − 3 ) = 25

r =

3

Actividad a) Dibuja y encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P( – 4,3 ) y que es

tangente al eje y.

Resumen La forma más simple de la circunferencia es cuando su centro coincide con el origen O(0,0) del sistema de coordenadas cartesianas. En este caso, su ecuación es x2 + y2 = r2, la cual se llama canónica. Si el centro de la circunferencia es C( h, k ) y éste no coincide con el origen, su ecuación es de la forma ( x – h )2 + (y – k)2 = r2, y se llama ecuación ordinaria. La ecuación general de la circunferencia es de la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde D, E y F son constantes, no todas diferentes de cero. La ecuación ordinaria puede convertirse a la ecuación general, y viceversa.

Segundo Año - Matemática

95

UNIDAD 3

Autocomprobación La ecuación de la circunferencia de radio 1 y centro en el origen es:

3

x2 + y2 = 0 b) x + y = 1 c) x2 + y2 = 1 d) todas las anteriores

a)

( 3, 5 ) b) ( 3, – 5 ) c) ( – 3, 5 ) d) ( 4, 16 )

a)

El radio de la circunferencia ( x – 3 )2 + ( x + 5 )2 = 16 es:

4

La tangente a una circunferencia es perpendicular en el punto de tangencia a: a)

El radio b) Su curvatura c) Su centro d) Ninguna de las anteriores

a)

16 b) 8 c) 2 d) 4

2. d.

2

Las coordenadas del centro de la circunferencia del numeral anterior es:

1. c.

1

Soluciones



3. b.

4. a.

APLICANDO LA CIRCUNFERENCIA Al desarmar el motor de un automóvil o de un reloj se hallan una gran cantidad de piezas de forma circular. El conocimiento de la utilidad del círculo por el hombre primitivo fue un factor fundamental en el desarrollo de la humanidad. Además, la naturaleza ofrece infinidad de ejemplos de circunferencias y círculos. Así, la sección transversal de la tierra es circular, como también los tallos de las plantas. Por ejemplo, la nervadura de las haces fibro leñosos en el reverso de la hoja circular del nenúfar gigante del Amazonas es circular y forma una gran variedad de arcos y ángulos.

96

Matemática - Segundo Año

Solucionario Lección 1 Actividad 1: 1. Debido a que cada distribución posee su propia desviación estándar 3. a) El 68% está entre 500+ 1(10), o sea, entre 490 y 510 b) El 95% está entre 500+ 2(10); o sea, entre 480 y 520 c) casi el 100% está entre 500+ 3(10), o sea, entre 470 y 530 4. a) El 68.27% b) El 95.48% c) Prácticamente el 100% 775 - 1000 1225 - 1000 = − 2.25 Actividad 2: a) z = = 2.25 b) z = 100 100 Actividad 3: a) Al estandarizar resultan los valores z1 = 0 y z2 = 1.64. El área entre ellos es 0.4495, valor obtenido mediante la tabla. b) El área para valores mayores que 1.64 es 0.5000 – 0.4495 = 0.0505.

Lección 2: Actividad 1:

a) Conviene calcular primero el valor del ángulo gamma:

γ = 180º – ( 45º + 28º ) = 107º a b c = = sen 45º

Luego:

sen 28º

a sen 45º

=

sen 107º

120

sen 107º

Similarmente: b =

40

b) sen 50º

40

=

=

c sen 34 º c



a =

120 sen 28º

sen 107º c = b =

120 sen 45º

sen 107º

= 88.73

= 58.91

40 sen 34 º

sen 50º 40 sen 96 º

= 29.2

= 51.93

sen 96 º sen 50º sen 50º Actividad 2: 1. a) c 2 = (9.3)2 + (16.3)2 – 2(9.3)(16.3) cos 42.3º c 2 = 127.93864 c = 11.31 Para encontrar y puedes utilizar la ley de los senos de aquí obtienes: b) (19.52)2 = (63.42)2 + (56.3)2 – 2(63.42) (56.3) cos α. Se despeja cos α para encontrar el ángulo. Similarmente se procede con β y γ. 2. Cuando el móvil se desvía a 37º con la horizontal, ambas direcciones forman un ángulo de 90º + 37º = 127º. Luego, d2 = 632 + 842 – 2(63) (84) cos 127º , d=131.89

Segundo Año - Matemática

97

Solucionario Lección 3 Actividad 1: b) AB = ( 6 + 1) + (1 + 3 ) = 8.06 ; BC = ( 6 - 2 )2 + (1 + 7 )2 = 8.94 , 2 2 CA = ( 2 + 1) + (- 7 + 3 ) = 5 Actividad 2: a) Pm ( 2, 0 ) b) Pm( 0.5, – 1 ) 9+4 13 = =1 Actividad 3: 1. a) tan 45º = 1 b) 5+8 13 2. tan θ = 1, θ = 45º 3. Se verifica cuando se determina que la pendiente de un lado es 2 y 1 la de otro es − 2 2

Lección 4

2

1

Actividad 2: 1. a) y + 3 = ( x − 2 ) b) y + 4 = 0 3 2. Se llega a obtener – 10 = – 10. Lo cual es cierto y el punto pertenece a L. 3 Actividad 3: 1. a) y = –2x + 4; 2. b) m = − y b = 2 4 Actividad 4: 1. a) y + x –1 = 0 b) y –x + 2 = 0 2. d = 3

Lección 5 Actividad 1: 1. a) x2 + y2 = 1 b) x2 + y2 = 4 c) x2 + y2 = 9 2. a) ( x – 3 )2 + ( y + 1 )2 = 4 b) ( x + 2 )2 + ( y – 2 )2 = 9 c) ( x – 2 )2 + ( y – 6 )2 = 16 3. a) ( 3, – 4 ) y 3 b) (7, – 5) y 5 c) (3, 0) y 11. Actividad 2: a) Se llega a ( x + 2 )2 + ( y – 3 )2 = 9, por lo cual c( –2, 3 ) y r = 3 b) ( x – 3 )2 + ( y + 1 )2 = 36, C( 3,–1 ) r = 6 c) ( x – 5 )2 + ( y +1 )2 = 4, C( 5,–1 ) r = 2 d) ( x – ½ )2 + ( y + 4 )2 = 1, C( ½, –4 ) r = 1 Actividad 3: Como d = r = 4, la ecuación es ( x + 4 )2 + ( y – 3 )2 = 16

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Matemática - Segundo Año

Proyecto El mecánico Francisco cobra 96 dólares por un trabajo que realiza en 2 horas y 135 dólares si termina en 5 h. a) Ayúdale a encontrar una ecuación lineal que

describa cuánto debe cobrar Francisco por un trabajo que realiza en x horas.

Empieza por considerar la información dada como puntos de una recta. Cada punto lo representas como un par ordenado de la forma (x, C), donde x representa el número de horas en que se termina el trabajo y C la cantidad que cobra el mecánico por ese trabajo .Con los puntos formados construyes la ecuación lineal pedida. b) A hora utiliza esa ecuación para construir una tabla

que proporcione lo que cobra el mecánico a partir de 0.5 de hora hasta 6 horas variando de media hora en media hora.

Segundo Año - Matemática

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UNIDAD 3

Recursos BARNETT, Raymond, Álgebra y Trigonometría. Editorial Mc Graw Hill, tercera edición, Colombia, 1990 PETERSON, John, Matemáticas Básicas. Editorial CECSA, primera edición, México, 1998 SPIEGEL, Murray, Estadística. Editorial McGraw-Hill, Serie Schaum, segunda edición, México, 1996 JOHNSON, Robert, Estadística Elemental. Grupo Editorial Iberoamericana, quinta edición, México, 1991 LEHMANN, Charles, Geometría Analítica. Editorial Limusa, vigésima tercera reimpresión, México, 1996 http://mx.geocities.com/francosta11/estadistica/dnormal.html

100 Matemática - Segundo Año