Matemáticas 1 1

EJERCICIOS RESUELTOS: Series numéricas

Elena Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

1 Calcular la suma de las siguientes series: (a) 4 + π −

∞

1 1 1 1 1 + + + ... + + ... 2 3 4 2 2 2 2 2n

(b)

3n + 2

∑ n 3 + 3n 2 + 2n

n =1

Solución: 1 2 1 (a) 4 + π − + 2 = 4 + π 2 1 1− 2

(b) Descomponiendo en fracciones simples 3n + 2 n + 3n + 2n 3

2

=

1 1 2 + − n n +1 n +2

 1 1 1  1 1 1 1   2 2 2 2 2  Sn =  1 + + + ... +  +  + + ... + +  −  + + ... + + + =   2 3 n   2 3 n n + 1   3 4 n n + 1 n + 2   1 1 1   2 2  1 2 =  1 +  +  + − + =2− −   2   2 n + 1   n + 1 n + 2  n +1 n +2

 1 2  S = lim  2 − − =2  n →∞  n + 1 n + 2 

2

∞

Dada la serie

∑

n . Se pide:

n =1

•

Determina su carácter

•

Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales. Justificar los pasos seguidos.

•

Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo orden que su suma parcial n-ésima.

2

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Indicación: Utilizar que si la función es creciente y positiva en  1, ∞ ) se verifica n

n

n

k =1

1

∫ f ( x )dx < ∑ f ( k ) < ∫ f ( x )dx + f ( n ) 1

Forma 1: n

En general para una función f decreciente y positiva en ( 1, ∞ ) la sucesión

∑ f (k )

es

k =1 n

del mismo orden que

∫ f ( x )dx . 1

Si la función f es creciente se verifica n

∫

f ( x )dx <

n

n

∑ f (k ) <

k =1

1

∫ f ( x )dx + f ( n ) 1

En este caso f ( x ) = x es creciente por lo que: 2 3/2 ( n − 1) = 3

n

xdx < S ( n ) =

∫

n

n

∑

k <

k =1

1

∫

xdx + n =

1

2 3/2 n + n 1/2 3

Como el infinito n 3/2 es de orden superior a n 1/2 se tiene que: 2 3/2 n 3

S (n ) ≈

En efecto, lim

n →∞

S (n ) 2 3/2 n 3

=

3 1 + 2 + 3 + ... + n 3 n lim = lim 3/2 3/2 n →∞ Stolz n →∞ 1 2 n n 3/2 − ( n − 1 )

=

Multiplicando por el conjugado

(

n n 3/2 + ( n − 1 )

3/2

n 3 − ( n − 1)

3

)=

3/2  1 1 +  1 +   n 

n + (n − 1) n 3 3 lim = lim =1 3 3 2 n →∞ Dividiendo 2 2 n →∞ 3n 2 − 3n + 1 n − ( n − 3n + 3n − 1 ) 2 2

=

3 lim 2 n →∞

3/2

1/2

por n

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S

3

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Luego son asintóticamente equivalentes.

Forma 2: Basta considerar la equivalencia: 1k + 2k + 3k + ... + n k ≈

n k +1 k +1

1 2

En nuestro caso k = .

3

∞

Determinar la suma parcial enésima que permite calcular

∑

n =1

1

( 2n + 1)

3

con un error menor

que 10−2

Solución:

∞

∑

Consideramos la serie S =

1

n =1

3/2

∞

serie armónica generalizada:

que es convergente (por comparación con la

( 2n + 1) 1

∑ np

n =1

con p=3/2>1) y Sn la suma parcial n-ésima de

la serie.

Teniendo en cuenta que f ( x ) =

1

( 2x + 1)

3/2

es decreciente y positiva en  1, ∞ ) se

cumple S − Sn =

1

( 2n + 3 )

3/2

+

( 2n + 5 )

Como

4

∞

1

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3/2

+ ... =

∑

k = n +1

h

f ( k ) ≤ lim

h →∞

∫ f ( x )dx n

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Fundamentos Matemáticos I

h

∫ h →∞ lim

h

f ( x )dx = lim

n

∫ h →∞ n

 dx = lim  − 3/2 h →∞  ( 2x + 1 )  1

1

( 2h + 1 )

 =  2 + 1 n ( )  1

+

1 2n + 1

Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima está acotado por error = S − Sn ≤

1 2n + 1

Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el valor de n cumpliendo:

1 2n + 1

<

1 2

10

⇔ 104 < 2n + 1 ⇔

9999 < n . Basta tomar 2

entonces los 5000 primeros sumandos 5000

S ≈ S 5000 =

4

∑

n =1

1

( 2n + 1 )

3/2

∞

Utilizando el criterio integral demuestra que la serie

∑ r n es

convergente para valores

n =1

0 < r < 1.

Solución: Vamos a acotar la sucesión de sumas parciales por dos sucesiones convergentes. En este caso la función f ( x ) =

1 rx

es positiva y decreciente en ( 1, ∞ ) .

En primer lugar observamos que la serie solo puede ser convergente o divergente ya que se trata de una serie de términos positivos. Utilizando el criterio integral se tiene la siguiente acotación n

1

∫ rx 1

dx ≤ Sn =

1 1 1 1 + + ... + ≤ + 2 n r r r r

n

1

∫ r x dx 1

Como

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S

5

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Fundamentos Matemáticos I

n

n

−1

1

∫ r x dx = ( log r ) r x 1

= 1

−1 1 1 + n log r r r log r

se cumple que la suma parcial n-ésima está acotada −1

( log r ) r

n

+

1 1 1 1 −1 1 ≤ Sn = + + ... + ≤ + 2 n n r log r r r r log r r ( log r ) r

Como tanto la cota superior como la cota inferior son sucesiones convergentes ∞

la sucesión de sumas parciales también lo será y por lo tanto la serie

1

∑ rn

es

n =1

convergente.

5 (a) Determinar el carácter de las siguientes series: ∞

(i)

∞

1

∑ 3en

(ii)

n =1

n =1

∞

(b) Calcular el valor exacto de la serie

Ch ( n )

∑ Ch ( 2n )

2n + 3

2

∑ 9n +1

n =1

(c) Determinar el número de términos que es necesario considerar para obtener el valor ∞

aproximado de

22n + 3

∑ 9n +1

con un error menor que 0.01

n =1

Solución:

(a) Teniendo en cuenta ∞

∑

1

n =1 3e

la serie es geométrica de razón r =

n

=

∞ 1 1  ∑ 3 n =1  e

n  

1 < 1 , luego es convergente. e

Para la segunda serie se tiene en cuenta la expresión de Ch(n) en función de la exponencial:

6

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Fundamentos Matemáticos I

e n + e −n Ch ( n ) ∑ Ch ( 2n ) = ∑ e2n +2 e−2n = n =1 n =1 2 ∞

∞

∞

Comparamos esta serie con

1

∑ en

∞

e 2n + 1

n ∑ e 4ne + 1 = n =1

e

∞

∑

e n (e 2n + 1 ) e 4n + 1

n =1

∞

=

e 3n + e n

∑ e 4n

n =1

+1

2n

y como el límite

n =1

 e 3n + e n 1 lim  : n →∞   e 4n + 1 e n

 e 4n + e 2n  = lim =1  n →∞ e 4n + 1

es distinto de cero y de infinito ambas series tienen el mismo carácter, es decir, convergentes. (a) Como la serie es geométrica el valor de la suma es:

∞

22n + 3

∑ 9n +1

n =1

∞  4 n 8 8 = ∑   =   9 n =1  9  9

4 9 1−

4 9

=

32 45

x

84 (b) Teniendo en cuenta que f ( x ) =   es continua, decreciente y positiva 9  9 

en  1, ∞ ) y llamando an = f ( n ) =

Rn = an +1 + an +2

n

8  4    se tiene que: 9  9 

 4 x   ∞ x 8  4  8  9  + ... ≤ ∫   dx = 4 9 n  9  9 log    9 

∞

n

 4 n   8  9  = 9 9 log    4 

Basta encontrar n cumpliendo:  4 n    9 n 8  9  80 < 10−1 ⇔ <   9  9   4  9 log   9 l og    4   4 

Dando valores se ve que bastaría considerar n=3 para conseguir obtener el valor de la serie con el error considerado. El valor aproximado será:

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S

7

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

S3 =

8  4 42 43  4256  + +  = ≈ 0.6487 2 9  9 9 6561 93 

6 (a) Demostrar que: 1 + 1 + 1 + ... + 3

15

35

∞

1 4n − 1 2

=

n 2n + 1

∀n ∈


1

∑ 4n 2 − 1

(b) Determinar el valor de

n =1

Solución:

(a) Demostramos la igualdad por inducción 1 1 = Para n=1 la igualdad es cierta: 3 2 ⋅ 1 + 1

Suponiendo cierta para n veamos si se cumple: 1 1 1 1 1 n +1 + + + ... + + = 3 15 35 4n 2 − 1 4 ( n + 1 )2 − 1 2 ( n + 1 ) + 1

Por hipótesis de inducción: 1 1 1 1 1 n 1 + + + ... + + = + 2 2 2 3 15 35 2 n + 1 4n − 1 4 ( n + 1 ) − 1  4 ( n + 1) − 1 =

n 2n +1

Operando: n 1 n 1 + = + = 2 2n + 1 4 ( n + 1 ) − 1 2n + 1 ( 2n + 1 )( 2n + 3 ) n ( 2n + 3 ) + 1 ( n + 1 )( 2n + 1 ) 2n 2 + 3n + 1 n +1 = = = = ( 2n + 1 )( 2n + 3 ) ( 2n + 1 )( 2n + 3 ) ( 2n + 1 )( 2n + 3 ) 2n + 3

(b) La serie es convergente por comparación con la serie armónica generalizada ∞

1

∑ n 2 . Para calcular el valor tenemos en cuenta el apartado (a):

n =1

Sn =

8

1 1 1 1 n + + + ... + = 2 3 15 35 2 n +1 4n − 1

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Fundamentos Matemáticos I

n 1 = n →∞ 2n + 1 2

lim Sn = lim

n →∞

∞

Luego,

1

1

∑ 4n 2 − 1 = 2

n =1

7 Sea {an }∞ una sucesión de números reales monótona creciente. n =1 Sn

(a) Demostrar que la sucesión de término general

es también monótona creciente

n

siendo Sn = a1 + a2 + ... + an . ∞

(b) Si además

∑ an

es convergente, calcular lim

Sn

n →∞

n =1

n

, siendo Sn = a1 + a2 + ... + an .

Solución: (a) Se quiere probar Sn n

<

S n +1 n +1

⇔ Sn ( n + 1 ) < nSn +1 ⇔ Sn ( n + 1 ) < n ( Sn + an +1 )

⇔ Sn < nan +1 ⇔ a1 + a2 + ... + an < nan +1

Esta última desigualdad es cierta ya que ak < an +1 para k = 1,..., n por ser ∞

{an }n =1 monótona creciente (b) Aplicando el criterio de Stolz se tiene que

lim n →∞

Sn n

= lim n →∞

S n − S n −1 n − (n − 1)

= lim a n n →∞

∞

que es cero ya que

∑ an

es convergente.

n =1

8 Estudiar el carácter de la serie en función del parámetro a ∈  ∞

1

∑ nasen  n 

n =1

Solución:

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S

9

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Fundamentos Matemáticos I

El término general es : 1 1 1 an = n a sen   ≈ na =  n  1 n n −a

Aplicando el criterio de comparación por paso al límite se concluye que: •

Si

1−a ≤ 1

la serie es divergente

•

Si

1−a < 1

la serie es convergente

9 Estudiar el carácter de la serie siguiente en función de los posibles valores de x ∞

∑

n =1

xn

( n + 2 )( n + x ) 5n

x >0

Solución: Como x es mayor que cero se trata de una serie de términos positivos con término general an =

xn

( n + 2 )( n + x ) 5n

Aplicando el criterio del cociente: x n +1

lim

n →∞

an + 1

= lim

( n + 3 )( n + 1 + x ) 5n +1

n →∞

an

x

n

= lim

n →∞ 5

x ( n + 2 )( n + x )

( n + 3 )( n + x

( n + 2 )( n + x ) 5

n

se concluye que: •

Si

x < 5

la serie es convergente

•

Si

x > 5

la serie es divergente

•

Si x=5 la serie es: ∞

∑

n =1

10

∞

5n

( n + 2 )( n + x ) 5

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n

1 n + 2 )( n + x ) n =1 (

=∑

+ 1)

=

x 5

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Fundamentos Matemáticos I

que es convergente por comparación con la serie armónica generalizada para p=2: ∞

∑

n =1

∞

5n

( n + 2 )( n + x ) 5

n

1 + 2 n )( n + x ) n =1 (

=∑

10 Estudiar la convergencia absoluta y condicional de la serie: ∞

∑n

n =1

xn

(1 + an )

a > 1,

x ≠a

Solución: Se trata de una serie que para valores de x positivos es de términos positivos y para valores de x negativos es de términos negativos. Estud¡amos por ello la convergencia absoluta mediante el criterio de la raíz:

lim

x

n →∞

n

n

n (1 + a n )

= lim

n →∞ n

x n (1 + a n )

=L

como lim

n →∞

n

n ( 1 + a n ) = lim n lim 1 + a n = a n →∞ →∞  n n

=1 (tomar log arimtos )

se tiene que: L =

n

=a (tomar log arimtos )

x a

•

si x < a , la serie es convergente

•

Si x > a , la serie es divergente

11 Estudiar la convergencia de la serie

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S

11

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Fundamentos Matemáticos I

 1  sen 2    4n 2  1 1 − cos    n 

( 2n − 1)

2

∞

∑

n =1

Solución: El término general de la serie es

( 2n − 1 )

2

an =

 1  sen 2    4n 2 

1 1 − cos    n  2 1   2   4n 

2

( 2n − 1 ) que es equivalente a bn =

 1 2    n 

( 2n − 1 )

2

=

n2

ya que

16n 4 ⋅ 2

2!  1  1 sen  ≈  4n 2  4n 2

1 1 − cos   ≈  n 

 1 2    n  2

Por lo tanto la serie no es convergente ya que el término general de la serie no tiende a cero (condición necesaria de convergencia). Como además es una serie de términos positivos es divergente.



12 (a) Calcular el siguiente límite: lim  n →∞  

1 1 + 4n 2

+

1 2 + 4n 2

+ ... +

  n + 4n 2  1

(b) Estudiar el carácter de la serie: ∞



1

∑ 

1 + 4n 2

n =1

1

+

2 + 4n 2

  n + 4n 2  1

+ ... +

Solución: (a) Se cumple que: n n + 4n

12

2

≤

1 1 + 4n

2

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+

1 2 + 4n

2

+ ... +

1 n + 4n

2

≤

n 1 + 4n 2

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Por otro lado 1 2 n + 4n n 1 = 2 1 + 4n 2 n

lim

n →∞

lim

n →∞

2

=

Luego, aplicando el teorema del encaje  1 lim  + n →∞   1 + 4n 2

1 2 + 4n 2

+ ... +

 1  = n + 4n 2  2 1

(b) Como el término general no tiende a cero la serie no es convergente. Por ser una serie de términos positivos al no ser convergente debe ser divergente.

13 Determinar el carácter de las siguientes series: ∞

(1)

2n + 3

∑ 3n −1

∞

∞

(2)

n =1

 2n + 9  ∑ log  n + 7  n =1

(3)

 2n + 5 

∑ sen 2  3n 2 + 8 

n =1

Solución:

•

La serie (a) es una serie geométrica de razón 2/31 n +7

cuyo término general no tiende a cero (condición necesaria de convergencia):  2n + 9    → log ( 2 ) an = l og   n + 7  n →∞

Se trata entonces de una serie divergente. ∞

•

La serie

 2n + 5 

∑ sen 2  3n 2 + 8 

es una serie de términos positivos, teniendo en

n =1

cuenta además que  2n + 5   2n + 5 2  2 2 4   sen  ≈  ≈   =  3n 2 + 8   3n 2 + 8   3n  9n 2 2

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S

13

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

∞

1

∑ n2

la serie tiene el mismo carácter que

(criterio de comparación por paso

n =1

al límite) se trata de una serie convergente.

14 Determinar el carácter de las siguientes series:

( −1 ) ∑ n 2 log n ( ) n =2 n

∞

(1)

( −1 )

n

∞

∑3

(2)

n =1

n +1

Solución:

( −1 ) • La serie ∑ 2 es una serie alternada convergente por el criterio de n =2 n log ( n ) n

∞

Leibnitz: o

n →∞

o

1

lim an = lim

n →∞ n

2

log ( n )

=0

{an } es monótona decreciente: 1

( n + 1)

2

log ( n + 1 )

<

1 n log ( n ) 2

⇔

el log aritmo es una función creciente

n 2 log ( n ) < ( n + 1 ) log ( n + 1 ) 2

Estudiamos ahora la convergencia absoluta, es decir, la convergencia de la serie: ∞

1

∑ n 2 log

n =2

(n )

. Como log ( 2 ) n 2 ≤ n 2 log ( n ) se tiene que 1 n log ( n ) 2

≤

1 log ( 2 ) ⋅ n 2

y, por el criterio de comparación es convergente. Luego la serie es absolutamente convergente. ∞

•

La serie

( −1 )

∑3

n =1

n

n +1

es una serie alternada convergente por el criterio de

Leibnitz: o

lim an = lim

n →∞

14

n →∞ 3

1 n +1

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=0

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

o

{an } es monótona decreciente: 1 3

( n + 1) + 1

<

1 3

n +1

⇔3 n +1 <

3

n +2

Estudiamos ahora la convergencia absoluta, es decir, la convergencia de la serie: ∞

∑3

n =1

1 n +1

. Como 1 3

≈

n +1

1 n

1/3

por el criterio de comparación es divergente. Luego la serie no converge absolutamente.

15 Calcular el carácter de las siguientes series: ∞

1 1 ∑ n sen n n =1

(a)

( −1 )

n

∞

(b)

∑

n =1

1+

1 1 + ... + 2 n

Solución.∞

(a)

Convergente por comparación con

1

∑ n2 .

n =1

Convergente por Leibniz an =

(b)

1 1 1 1 + + ... + 2 n

es monótona decreciente y

tiende a cero porque en el denominador se tiene la suma parcial enésima de la serie armónica.

16 Estudia el carácter de las siguientes series. Justifica adecuadamente las respuestas. ∞

(a)

∑

n =1

n +1− n na

∞

, a ∈

(b)

 n 2 + 2n + 1   n 2 + 2n 

∑ log 

n =1

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S

15

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Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Solución:

(a) En primer lugar analizamos la condición necesaria de convergencia. Cuando n tiende a infinito el numerador presenta una indeterminación luego el término general de la serie lo escribimos como

n +1− n

an =

n

a

=

(

n +1− n n

a

(

)(

n +1+ n

n +1+ n

)

)=

n

a

(

1 n +1+ n

El denominador es un infinito del mismo orden que n a n = n




a+

1 2

)

(ver *)

1 −1 ≤0⇒a ≤ el término general no tiende a 2 2

En el caso de que a +

cero luego la serie, por ser de términos positivos al no converger, será divergente.




En el caso de que a >

−1 2

∞

Comparando con la serie

1

∑

n =1

lim

an

n →∞

= lim

n →∞ n a

1

n

a+

1 2

(

n

a+

1 2

n +1 + n

)

=

el término general tiende a cero.

n

a+

lim

1 2

1

dividiendo n →∞  por

1 a+ n 2

se tiene que como:

  

 1 1 + + 1  n 

=

1 ≠ 0, ∞ 2

aplicando el criterio de comparación por paso al límite las series ∞

∑

n =1

16

n +1− n n

a

∞

y

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

1

∑

n =1

n

a+

1 2

tienen el mismo carácter.

(*)

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Como la segunda serie es la armónica generalizada se tiene que: ∞




1

∑ np

Para 0 < p ≤ 1 la serie

es divergente. Luego la serie

n =1 ∞

∑

1

1 n =1 a + n 2

es divergente si 0 < a + ∞

−1 1 < a ≤ la serie 2 2

n +1− n

∑

na

n =1 ∞




Para p < 1 la serie

1 ≤ 1 . En consecuencia para 2

1

∑ np

es divergente.

es convergente. Luego la serie

n =1 ∞

∑

1

1 n =1 a + n 2

1 2

es convergente si 1 < a + . Concluimos que para

1 < a la serie 2

17

∞

Estudiar la convergencia de la serie

∑

∞

n +1− n

∑

na

n =1

 nπ  sen    2  na

n =1

es convergente.

para a = 1 y a = 2 .

Solución: ∞

Observar que

∑

 nπ  sen    2  na

n =1

18 Se considera la sucesión an =

=

∞

( −1 )

n =1

( 2n − 1 )

∑

n a

. Es convergente por Leibniz.

n

( n + 1 )( n + 2 ) bn

con b ∈  . Se pide:

∞

a) Estudiar la convergencia de la serie

∑ an

n =1 ∞

b) Encontrar el valor de la suma

∑ an

para b = 1 .

n =1

∞

c) Consideramos S la suma parcial n-ésima de la serie n

∑ an para

b = 1 . Sin obtener la

n =1

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

17

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

expresión exacta de S encontrar una sucesión equivalente y demostrar que la expresión n

obtenida realmente es equivalente a S

n.

Solución: (a) Por el criterio del cociente

n +1 lim

n →∞

an + 1 an

= lim

( n + 2 )( n + 3 )

n →∞

b

n +1

n

( n + 1 )( n + 2 )

b

( n + 1) n →∞ b ( n + 3 ) n 2

= lim

1 b

=

n

•

si b > 1 la serie converge absolutamente y por tanto es convergente.

•

Si b < 1 la serie no converge porque el término general no tiende a cero, ya que: n

( n + 1 )( n + 2 ) b

n

≈

1 2 n

nb

y por comparación de infinitos lim

n →∞

n

( n + 1 )( n + 2 ) bn

= lim

n →∞

1 / n2 bn

=∞

el término general tiende a infinito. •

Para b=-1 la serie es convergente por Leibniz. Para ∞

•

b=1 la serie es divergente comparándola con la serie

1

∑n

.

n =1

(b) ∞

•

Para b=1 es divergente comparándola con la serie

n =1

suma de la serie es infinito.

18

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

1

∑n

por lo tanto la

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

2 2    ( n + 2 )   ( n + 2 )   + K ≤ Sn ≤ log    n + 1  + K1 donde K y K1    

(c) Por el criterio integral log   n + 1  son constantes. Por lo tanto,

2   ( n + 2 )    log ( n ) Sn ≅ log   n + 1   

19

∞

Dada la serie

2

a nb n ∑ (−1) n , a > 0, b > 0, estudiar su convergencia y convergencia absoluta n =1 n

según los valores de

a

y

b.

Solución:

(a) Convergencia absoluta ∞

Se trata de estudiar la convergencia de la serie

2

a nb n ∑ n , a > 0, b > 0 . Puesto que n =1

esta serie es de términos positivos, se puede estudiar aplicando el criterio de la raíz,

2

lim

n →∞

n

a nb n ab n = lim = n →∞ n 1/ n n

 0 si 0 < b < 1 ⇒   ∞ si b > 1 ⇒    si 0   a si b = 1 ⇒  si    si    

convergente divergente < a < 1, convergente a > 1, divergente a =1 ? ∞

En el caso a = b = 1 , se obtiene la serie armónica

1

∑ n , que es divergente.

n =1

Por

tanto

la

serie

{a > 0, 0 < b < 1} ∪ {b = 1,

es

absolutamente

convergente

para

los

valores

0 < a < 1} .

b) Convergencia

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

19

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Para los valores de a y b para los que la serie es absolutamente convergente, la serie alternada es convergente. Se trata de estudiar, por tanto los demás casos. ∞

• b = 1, a = 1. Se obtiene las serie ∑ (−1)n n =1

1 , que es convergente ya que la n

 1  sucesión   es decreciente y convergente a 0 (Criterio de Leibnitz).    n 

• b = 1, a > 1 . Se obtiene las serie

∑ (−1)n

an , que no es convergente ya que n

 a n  la sucesión (−1)n  es oscilante y por tanto no se cumple la condición  

n 

necesaria de convergencia. • b > 1, la serie no es convergente por la misma razón que en el caso anterior.

Por

tanto

la

serie

{a > 0, 0 < b < 1} ∪ {b = 1,

20

es

convergente

para

los

valores

0 < a ≤ 1}

Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de la serie ∞

∑

cosn x

n =1

na

con x ∈  0, π  , a ∈ 

según los valores de x y a.

Solución: Se trata de una serie de términos que según los valores de x puede ser de términos positivos o alternada. Por ello estudiamos la convergencia absoluta y aplicamos el criterio de la raiz para la serie de los valores absolutos:

lim

n →∞

n

cosn x n

a

= cos x lim

por tanto

20

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

n →∞ n

1 na

= cos x

∀a ∈ 

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

•

La serie converge absolutamente (y por tanto es convergente) para cos x < 1 , es decir,

valores tales que que

cos x < 1 ;

x ∈ (0, π)

Los casos x = 0 y x = π hay que estudiarlos por separado ∞

•

x = 0 , se obtiene la serie

1

∑ na

que por ser una serie armónica es

n =1

 convergente si a>1    divergente si a ≤ 1  ∞

•

x = π , se obtiene la serie

∑

(−1)n

n =1

na

, serie alternada. Estudiamos según

los diferentes valores de a ∈  o

Si a < 0 , ∃/ lim

n →∞

o

Si a = 0 ,

(−1)n na

 (−1)n  a  n 

ya que

−a lim (−1)n n = ±∞

n →∞

  = { −1,1, − 1,1,... }  

−a > 0

luego

/ ∃

lim

n →∞

En estos casos no se verifica la condición necesaria de convergencia por lo que la serie no es convergente.

o

 1  Si a > 0 , la sucesión  a  es decreciente y tiende a cero por lo que,  n 

∞

según el criterio de Leibnitz, la serie

∑

n =1

(−1)n na

es convergente.

Luego,  convergente si a > 0   no convergente a ≤ 0 

21 Se considera para cada número natural n ∈
la ecuación: n 6x 2 −

13 5 = 2 2

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

S

21

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

y se define para cada natural n ∈
el número an como la suma de las raíces positivas de esta ecuación. Se pide: Apartado 1.- Encontrar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto formado por los números reales an , es decir, el conjunto

{ an

/ n ∈
}

Apartado 2.- Calcular la suma aproximada de la serie

∞

∑ an con un error menor que una

n =1

décima.

Solución: Apartado 1: Para cada número natural n consideramos la ecuación n 6x 2 −

13 5 = . Las raíces de 2 2

esta ecuación son los valores x que cumplen: n 6x 2 −

13 5 = 2 2

ó

 13  5 −  n 6x 2 −  =  2  2

Nota: En este paso aplico la definición de valor absoluto. Si el valor absoluto de A es 5/2 es porque A es 5/2 ó A es –5/2.

También podría haber elevado al

cuadrado y resolver la ecuación pero me quedaría de grado cuatro y habría que realizar más cálculos.

22

13 5 9 3 = ⇔ n 6x 2 = 9 ⇔ x 2 = ⇔x =± 6 2 2 n n3




Resolviendo n 6x 2 −




Resolviendo −  n 6x 2 −  2



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13  5 4 2  = ⇔ n 6x 2 = 4 ⇔ x 2 = ⇔x =± 3  2 n n3

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

Para cada n la suma de las raíces positivas de la ecuación n 6x 2 − 3 n

3

+

2 n3

13 5 = es 2 2

.

El conjunto para el que hay que calcular el supremo, ínfimo, máximo y mínimo es  5  A =  / n ∈
 se cumple que el supremo es 5 y el ínfimo es 0. Como el supremo 3   n

está en el conjunto (para n=1) se trata del máximo pero el ínfimo no es mínimo porque no es un elemento del conjunto A.

Apartado 2: ∞

Consideramos la serie S =

5

∑ n3

que es convergente (es una serie armónica

n =1

∞

generalizada

5

∑ np

n =1

con p=3>1) y Sn la suma parcial n-ésima de la serie.

Teniendo en cuenta que f ( x ) = 5

S − Sn =

(n + 1)

3

+

5 x3

es decreciente y positiva en  1, ∞ ) se cumple 5

(n + 2 )

3

+ ... =

∞

h

k =n +1

n

∑ f ( k ) ≤ hlim ∫ f ( x )dx →∞

Como h

∫ h →∞ lim

h

f ( x )dx = lim

5



5

− ∫ x 3 dx = hlim h →∞ →∞  2h 2

n

n

+

5  5 = 2 2n  2n 2

Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima está acotado por error = S − Sn ≤

5 2n 2

Si queremos ahora que este error sea menor que una décima basta encontrar el valor de n cumpliendo:

5 2n

2

≤

1 ⇔ 25 ≤ n 2 . Basta tomar entonces los cinco primeros 10

sumandos

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S

23

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

S ≈

5 5 5 5 5 + + + + 3 3 3 1 2 3 4 53

(a + 2 )

2n

22

∞

Hallar los valores de a ∈  para los que la serie

∑

 a  sen    n 2 + 1  3n

n =1

sea convergente. Dar la

solución en términos de intervalos justificando la respuesta.

Solución: Por el criterio del cociente

(a + 2 )

2n

n

L = lim

n →∞

3

 a  sen    n 2 + 1 

(a + 2 )

   a  sen   2  ( n − 1 ) + 1 

2n −2

(a + 2 )

n −1

3

a

2

= lim

n →∞

3

n + 1 = (a + 2 ) < 1 ⇔ a + 2 2 < 3 ( ) 3 a 2

2

( n − 1)

2

+1

Luego la serie es absolutamente convergente, y por lo tanto, convergente siempre que a +2 <

(a + 2 )

(

3 ⇔ a ∈ −2 −

3, −2 +

3

)

2

En los casos en los que

3

>1⇔ a +2 >

3 el término general no tiende a

cero luego no es convergente. Estudiamos los valores de a en los que el criterio del cociente nos da duda. Caso 1: a = −2 − 3 , la serie es:

∞

∑

n =1

24

( −2 −

3+2

)

2n

 −2 − 3   sen   n 2 + 1 

3n

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(− 3 )

2n

∞

=

∑

n =1

 −2 − 3   sen   n 2 + 1  3n

∞

=

 −2 − 3   n 2 + 1 

∑ sen 

n =1

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

 −2 − 3  −2 − 3 1  ≈ ≈ 2 2  n +1 n2  n +1 

Como sen  

 −2 −

∞

∑ sen 

la serie

n =1

3   es convergente por n 2 + 1 

comparación con la serie armónica generalizada. Caso 2: a = −2 + 3 , la serie es: −2 + ∞ (

3+2

∑

)

2n

 −2 + 3   sen   n 2 + 1 

3n

n =1

3) ∞ (

2n

=

∑

 −2 + 3   sen   n 2 + 1  3n

n =1

 −2 +

3  −2 + 3 1 ≈ la serie  ≈ 2 2 n +1 n2  n +1 

Como sen  

∞

∞

=

 −2 +

∑ sen 

n =1

3   n 2 + 1 

 −2 +

∑ sen 

n =1

3   es convergente por n 2 + 1 

comparación con la serie armónica generalizada.

Luego el conjunto donde la serie es convergente es el intervalo  −2 − 3, −2 + 3  .  

23

∞

(a) ¿Es convergente la serie

∑

n =1

sen n n + cos3 n 3

? Justificar adecuadamente la ∞

(b) Determinar la suma parcial enésima que permite calcular

∑

n =1

respuesta.

1

( 2n + 1)

3

con un error menor

que 10−2 Solución:

(a) Se tiene que: senn n + cos n 3

∞

La serie

∑

n =1

1 n3 − 1

3

≤

1 n + cos n 3

3

≤

1

   −1≤ cos3 n    n 3 −1≤n 3 + cos3 n        

n −1 3

n ≠1 ∞

es convergente por ser del mismo tipo que la serie

1

∑ n 3/2

ya

n =1

que:

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S

25

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

1 3/2 n − 1 = lim n =1 n →∞ 1 n3 − 1 n 3/2 3

lim

n →∞

Por lo tanto, la serie dada es absolutamente convergente y por lo tanto es convergente. ∞

(b) Consideramos la serie S =

∑

n =1

1

que es convergente (por comparación

( 2n + 1)

3/2

∞

1

∑ np

con la serie armónica generalizada:

con p=3/2>1) y Sn la suma parcial n-

n =1

ésima de la serie.

Teniendo en cuenta que f ( x ) =

1

( 2x

+ 1)

3/2

es decreciente y positiva en  1, ∞ ) se

cumple S − Sn =

1

( 2n + 3 )

3/2

+

∞

1

( 2n + 5 )

3/2

∑

+ ... =

h

f ( k ) ≤ lim

h →∞

k = n +1

∫ f ( x )dx n

Como h

∫ h →∞ lim

h

f ( x )dx = lim

n

∫ h →∞ n

 dx = lim  − 3/2 h →∞  ( 2x + 1)  1

1

( 2h + 1 )

+

 =  ( 2n + 1)  1

1 2n + 1

Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima está acotado por error = S − Sn ≤

1 2n + 1

Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el valor de n cumpliendo:

1 2n + 1

<

1 2

10

⇔ 104 < 2n + 1 ⇔

entonces los 5000 primeros sumandos 5000

S ≈ S 5000 =

26

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

∑

n =1

1

( 2n + 1 )

3/2

9999 < n . Basta tomar 2

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

∞

24 Se considera la serie de números reales

xn

∑ n (n + 2 )

x ∈  . Se pide:

n =1

(a) Estudiar para qué valores de x es convergente dicha serie (b) Calcular su suma para x=1. Solución:

(a) Como x es un número real estudiamos en primer lugar la convergencia absoluta, es decir la convergencia de la serie de los valores absolutos ∞

x

n

∑ (n + 2 )

n =1 n

x ∈

Aplicando a esta última serie el criterio del cociente: x

n +1

( n + 1 )( n + 3 )

lim

n →∞

x

n

= lim

n →∞

x n (n + 2 )

( n + 1)( n + 3 )

= x

n (n + 2 )

∞

Si

x 1 La serie

xn

∑ n (n + 2)

diverge absolutamente. Sin embargo el término

n =1

general no tiende a cero:  ∞ si x > 1 xn =   No existe si x < −1 n →∞ n ( n + 2 )  lim

∞

por lo tanto la serie

xn

∑ n (n + 2)

no es convergente.

n =1

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S

27

Ingeniería de Telecomunicación

Ejercicios: Series numéricas

Fundamentos Matemáticos I

∞

Si x=1 , La serie

1

∑ n (n + 2)

es convergente por el criterio de comparación por paso

n =1

∞

al límite sin más que compararla con

1

∑ n2

n =1

( −1 ) Si x=-1 , La serie ∑ es convergente por el criterio de Leibniz (la sucesión n =1 n ( n + 2 ) n

∞

an =

1 es monótona decreciente y tiende a cero). n (n + 2) ∞

(b) Calculamos la suma para x=1, es decir, el valor de

1

∑ n (n + 2)

.

n =1

Descomponiendo el término general de la serie en fracciones simples:

an =

1 A B 1 −1 = + con A = , B = n (n + 2 ) n n +2 2 2

La suma parcial n-ésima es: Sn = a1 + a2 + ... + an =

1  1 1 1 1  11 1 1 1 1  + =  1 + + + + ... +  −  + + ... + + 2 2 3 4 n  23 4 n n + 1 n + 2 

=

1  1 + 2 

1  1  1 1   −  +    2  2  n + 1 n + 2 

Luego 1 lim   1 + n →∞  2  

1  1  1 1  1  −  +   =  1 +  2  2  n + 1 n + 2   2 

1  3 = 2  4

y entonces ∞

1

3

∑ n (n + 2) = 4

n =1

Nota: Si en la solución de algún ejercicio crees que hay algún error ponte en contacto con la profesora para su corrección.

28

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S

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