SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES PROGRAMACIÓN LINEAL

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias Sociales

Profesor: Jorge Escribano Colegio Inmaculada Niña Granada www.coleinmaculadanina.org

Departamento de Matemáticas Colegio Inmaculada Niña de Granada

TEMA 1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.-

INTRODUCCIÓN

Una ecuación lineal es una expresión del tipo: a1 x1  a 2 x 2  a3 x3  ...a n x n  b Por ejemplo: 3x+2y-z=1 Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales:

Donde las xi son las incógnitas, las aij los coeficientes de las incógnitas y las b j los términos independientes. El sistema anterior tiene m ecuaciones y n incógnitas. x  2y  z  2   Por ejemplo: 3 x  y  2 z  1   x  y  4 z  5

Todo sistema tiene asociada una matriz:

Que no es sino una forma más sencilla de escribir el sistema. En el ejemplo anterior, la matriz asociada al sistema sería:

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores que cumplen a la vez todas las ecuaciones del sistema.

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x  y  3   es (1,2) (x=1, y=2) (Es fácil resolver por 2 x  y  0 cualquiera de los métodos conocidos)

Así, una solución del sistema

Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones. 2 x  y  5 x  3 y  6   y  son equivalentes puesto que ambos  x y 2 3x  2 y  7 tienen como solución (3,1)

Así, los sistemas

2.-

CLASIFICACIÓN DE UN S.E.L.

Según su número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:

Los ejemplos anteriores son sistemas Compatibles Determinados pues tienen una única solución.  x  y  2 El sistema  es un sistema Compatible Indeterminado pues tiene infinitas 2 x  2 y  4 soluciones (hay infinitas parejas de números que sumen 2) como se puede comprobar al resolverlo.  x  y  2 El sistema  es un sistema Incompatible ya que no tiene solución (es  x  y  1 imposible que dos números sumen 2 y a la vez sumen 1)

Discutir un sistema es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

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3.-

SISTEMAS ESCALONADOS

Un sistema escalonado o triangular es un sistema de ecuaciones lineales del tipo:

x  2 y  z  7  Por ejemplo: 3 y  2 z  3    2z  6 La ventaja de estos sistemas es que son muy fáciles de resolver. En el ejemplo anterior, despejando de la última ecuación sale z = 3, de la segunda sale y = -1 y de la tercera ecuación sale x = 2.

4.-

MÉTODO DE GAUSS DE RESOLUCIÓN DE S.E.L. (REDUCCIÓN)

El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales (también llamado método de reducción) consiste en transformar un sistema en otro escalonado que sea equivalente a él (es decir, tenga las mismas soluciones). Nota: al usar este método usaremos la matriz asociada al sistema para facilitar las operaciones. Para convertir un sistema en otro hay 3 operaciones válidas que no cambian las soluciones del sistema: Transformaciones Válidas: a) Intercambiar entre sí las filas de la matriz b) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de 0 c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un número y sumársela Ejemplo 1: x yz 2   Resolver el sistema: 2 x  3 y  5 z  11  x  5 y  6 z  29 

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Obtenemos su matriz asociada:

1 1 1 2     2 3 5 11     1  5 6 29   

Hemos señalado la “diagonal” de la matriz para darnos cuenta de que los elementos que hay que hacer 0 para que el sistema se transforme en uno escalonado son justamente los que hay por debajo de ella (el 2, el 1 y el -5). Para ello usaremos las transformaciones que hemos indicado:

Hemos conseguido transformarlo en un sistema escalonado equivalente que sería: x  y  z  2  y  3 z  7  , cuya solución, como es fácil ver, es (1,-2,3)  23 z  69

Este método permite además discutir el sistema a la vez que se resuelve. En este caso se trata de un Sistema Compatible Determinado (una única solución) Ejemplo 2: 2 x  4 y  6 z  2  Discutir y resolver el sistema y  2 z  3   x  3 y  z  4 

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El elemento redondeado es el en el que nos basamos para hacer cada transformación (hacer ceros) llamado elemento pivote. Vemos que en la última matriz queda una fila entera de ceros, lo que indica que esa fila se puede eliminar. Esto significa que como nos queda un sistema con más incógnitas que ecuaciones tendrá infinitas soluciones. Por tanto se trata de un Sistema Compatible Indeterminado. Para resolver este tipo de sistemas tratamos a una de las tres incógnitas como si fuese un número (le llamamos, por ejemplo,  ), y despejamos las restantes incógnitas:

Dándole distintos valores a  , podríamos obtener las infinitas soluciones del sistema. Por ejemplo, si  =1, una solución sería (-12,-5,1), si  =0, otra solución sería (-5,-3,0), si  =-1, otra solución sería (2,-1,-1), …

Ejemplo 3:  y  z  2   Discutir y resolver el sistema x  2 y  4 z  3   2 x  4 y  8 z  1

Intercambiando la 1ª fila por la 2ª:

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Como vemos la última ecuación no tiene sentido (0 = 5), y por tanto se trata de un Sistema Incompatible. Ejercicios: 1.-

Discutir y resolver los sistemas:  x  y  z  1  x  2 y  5 z  4 a)  x  y  z  1 b) 3 x  2 y  z  4  x  y  z  1  2 x  y  3

2.-

Dado el sistema:  4 x  ay  2 z  1 x  y  az  1   x  y  (2a  2) z  6  a a) Discútelo y resuélvelo para a = 4 b) Discútelo y resuélvelo para a = 0

5.-

CASO PARTICULAR: SISTEMAS HOMOGÉNEOS

Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si todos sus términos independientes son nulos, es decir, un sistema del tipo:

x  2 y  4z  0  Por ejemplo:  2 x  3 y  z  0  3 x  3 y  z  0

Estos sistemas siempre son compatibles, pues al menos tienen la solución (0,0,0), llamada solución trivial. La cuestión es si sólo tiene esa solución o tiene infinitas soluciones además de ésa. Se resuelven por Gauss de la misma manera que todos los sistemas, si bien su clasificación es un poco distinta:  Incompatibles ( sólo la solución trivial ) Sistemas Lineales Homogéneos   Compatibles ( soluciones)

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Ejemplo:

Discutir y resolver el sistema:

x  5 y  2z  0  2 x  3 y  z  0  3 x  2 y  z  0

En este caso nos quedan dos ecuaciones y tres incógnitas y por tanto el sistema tendrá infinitas soluciones, por tanto se trata de un Sistema Homogéneo Compatible: x  5 y  2 z  0 5    z  y 13  13 y  5 z  0  25 1 x   5 y  2z   2   13 13

Como podemos ver, si  =0 se obtiene la solución trivial (0,0,0)

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EJERCICIOS 1.-

Discute y resuelve los siguientes sistemas:

y = 7  x + b)  c) 2x  2 y = 23  x - y + z = 0  3x - 2y   d)  x + 2y + 2z = 7 e)  x - y    x - y - z = -2  3x - 2y  x + y = 1 a)   3x + 2y = 0

2x + 2 y = 8 x  y = 4 + 4z = 1

- 2z = 0 -

z = 1

 x  9 y  5 z  33  e)  x  3 y  z  9   x  y  z  5

 x  2y  z  0  f)  2 x  y  z  1  3 x  2 y  z  10

2 x  y  5  h)  x  y  1   x  2 y  4

 3x - y + z = 4  i)  x + y - z = 0   x + 2y + 2z = - 1

 x  y  2z  0  j) 3 x  2 y  8 z  0   2 x  y  3 z  0  2x  y  z  3  m)  x  2 y  z  4   x  8 y  5 z  6

 3x  2 y  4 z  6  2x  y  z  6   k)  2 x  4 y  z  3 l)  x  y  2 z  1    x  2 y  3 z  1   x  3 y  1  4x - 3y + 2z = - 7  n)  2x - y + 5z = 2   x - y + z = -2

 2x + 3y + z = - 4  o)  - x + y + 2z = 3   x - 2y - 3z = 3

 x  p)  2x   3x

y + z = 0  x +  y + z = 0 q)  2 x +   x + 2 y + z = 0

 s)  

x +

y +

- x + 3y - 3x +

y

-

2 x  3 y  z  0  g)  y  z  2   x  y  z  1

y + 3z = - 1 y

-

z =

0

+

z =

3

 x + 2y + z = 2  r)  x + y - z = 0   x + 2y + z = 2

z =

3

z =

5

- 3z = - 1

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 3x - y = 1  t)  x + 2y = 3   3x - 6y = 0

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2.-

Dado el sistema:

a) b) c)

  

2x + y + 3z = 2 x

-

y

= 1

Clasifícalo y resuélvelo Añade una ecuación de manera que sea incompatible Añade una ecuación de manera que sea compatible y determinado y resuélvelo en ese caso

3.-

En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que las bajas y medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas. ¿Cuál es el número de personas altas, medianas y bajas?

4.-

Dos kilos de naranjas más un kilo de plátanos más dos kilos de mangos, valen 12 euros. Dos kilos de naranjas más dos kilos de plátanos más tres kilos de mangos, valen 18 euros. Tres kilos de naranjas más un kilo de plátanos, más dos kilos de mangos, valen 13 euros. ¿Cuánto vale un kilo de naranjas? ¿Cuánto vale un kilo de plátanos? ¿Cuánto vale un kilo de mangos?

5.-

En una heladería, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos, le cobran 15 euros un día. Otro día, por cuatro copas de la casa y cuatro horchatas, le cobran 20 euros y, un tercer día, le piden 12 euros por una horchata y cuatro batidos. ¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días le han presentado una cuenta incorrecta?

6.-

El señor García deja a sus hijos herederos de todo su dinero con las siguientes condiciones: al mayor le deja la media de lo que les deja a los otros dos más 30.000 euros; al mediano, exactamente la media de lo de los otros dos; y al pequeño, la media de lo de los otros dos menos 30.000 euros. Conociendo estas condiciones solamente, ¿pueden los hijos saber cuánto dinero ha heredado cada uno?

7.-

En un teatro, hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son 5, 10 y 20 euros, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de 11.000 euros. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, averigua cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día.

8.-

En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres mas el triple del número de niños es igual al doble del número de hombre. a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay? b) Si además se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?

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TEMA 2.- MATRICES 1.-

INTRODUCCIÓN

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. 3  3  1  , es de orden 2 x 3 Por ejemplo: A    2 1 5    5 3  2   B    3  4 0  , es de orden 3 x 3    0 2 1    3  1    La dimensión de una matriz se suele indicar: A   2 3     5 1  2 x 3 

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión (u orden) y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

2.-

TIPOS DE MATRICES

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

-1-

Matrices

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Atendiendo a la forma Matriz fila:

Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1n. Ejemplo

1

 2 3  11x 4

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m 1.  1    Ejemplo   2     4    3 x1

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n  n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.  1 3 0     4  3 Ejemplo 2   1 5 2  3 

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n  m. 5  4 2   Ejemplo A    1  3 2    0 1 4  

 2 1 0    At   5  3 1      4 2 4  

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji.  1 2 4    Ejemplo A  2 6 5     4 5 2  

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Matrices

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Atendiendo a los elementos Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. 1 0 0    2 0    ; B  0 4 0 Ejemplo A   0 3      0 0 3  

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.  4 0 0    2 0    ; B  0 4 0 Ejemplo A   0 2      0 0 4  

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. 1 0 0   1 0    ; I3  0 1 0 Ejemplo I 2  0 1     0 0 1  

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0  i o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos. Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina región factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) de la región factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Los pasos para resolver un P.P.L. son: Primer Paso: Dibujar la región factible Segundo Paso: Calcular los vértices de la región factible (son puntos de corte de las rectas que la forman) Tercer Paso: Sustituir los vértices en la función objetivo. Donde valga más se alcanzará el máximo y donde valga menos corresponderá al mínimo.

Ejemplo: Max f(x,y) = 5x+4y  2 x  y  1000 2 x  3 y  1500 s.a.  x0  y0 

Solución: En primer lugar representamos la región factible:

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Calculamos los vértices. A(0,0), B(0,500) y D(500,0) han salido directamente de los puntos de corte de la rectas con los ejes. Para calcular el vértice C resolvemos el sistema: 2 x  y  1000  restamos   2 y  500  y  250  x  375 2 x  3 y  1500 Luego C(375,250) Sustituimos los vértices en la función objetivo f(x,y) = 5x+4y f(A) = f(0,0) = 0 f(B) = f(0,500) = 2000 f(C) = f(375,250) = 2875 f(D) = f(500,0) = 2500 Luego el máximo es 2875 y se alcanza en el punto (375,250) (El mínimo se alcanzaría en el punto (0,0) y valdría 0) Otra forma de calcular el máximo (o el mínimo) es usando el llamado método de las rectas de nivel. Para ello, en lugar de tener que sustituir la función objetivo en todos los vértices,  dibujamos el vector asociado a la función objetivo, v (a, b) , en nuestro caso el vector  v (5,4) , aunque por razones de unidades podemos dibujar cualquier vector proporcional    a él, por ejemplo, el vector v (50,40) , ó v (100,80) , ó v (200,160) . Después recorremos la región factible con rectas perpendiculares a dicho vector en el sentido de éste. Éstas son las llamadas rectas de nivel. El último punto donde dichas rectas toquen a la región factible será el máximo. (el primer punto donde toquen sería el mínimo):

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Como puede verse el último punto donde las rectas de nivel tocan a la región factible es el (375,250). Notas: 

 

En un problema de programación lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan. (es decir, el máximo o mínimo se alcanzaría en todo el segmento, y no en un solo vértice) En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región

Ejercicios: resolver los siguientes P.P.L.: a)

c)

Max f(x,y) = 2x+3y  2 x  y  1000 2 x  3 y  1500 s.a.  x0  y0 

b)

Max f(x,y) = 5x+4y

Min f(x,y) = -x+y  2 x  y  1000 2 x  3 y  1500 s.a.  x0  y0 

d) Max f(x,y) = 10x+y

s.a.

s.a.

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 x y5  x  y  3  x0   y0

 x  y  27  y6  x  12

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e)

Min f(x,y) = x+y  2 x  y  1000 2 x  3 y  1500 s.a.  x0  y0 

f)

4.-

P.P.L. CON ENUNCIADO

Max f(x,y) = 4x+2y 2 x  y  4  x  y 1 s.a.  x0   y0

Para resolver un problema de programación lineal con enunciado conviene seguir los siguientes pasos: 1. Se localizan las variables. Como en la programación de la asignatura, sólo entra programación lineal bidimensional, existen únicamente dos variables. Ayuda a encontrar cuáles son las variables considerar cual es la función objetivo. Para definir las variables y la función objetivo suele ser útil ver qué pregunta el ejercicio. 2. Se plantean como inecuaciones las restricciones que impone el enunciado 3. Se determina la región factible correspondiente al sistema de inecuaciones planteado. 4. Se determina el vector asociado a la función objetivo 5. Se determina la solución óptima, bien gráficamente, trazando las rectas de nivel que pasan por los vértices de la región factible, o bien analíticamente probando la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible. Ejemplo: Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 6 €/kg y el precio del rape es de 9 €/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio? 1.-

Definimos las variables: x = nº de toneladas de merluza y = nº de toneladas de rape

2.-

La función objetivo que da el beneficio en euros y que hay que maximizar viene dada por: z = f(x,y) = 6x + 9y

3.-

Del enunciado deducimos las restricciones:    

Como máximo 2000 toneladas de merluza: x 2000 Como máximo 2000 toneladas de rape: y 2000 Las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas: x + y 3000 Las toneladas son nº positivos, luego x  0 , y  0

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Luego el problema planteado en término de programación lineal sería: Max f(x,y) = 6x+9y  x  2000  y  2000  s.a.  x  y  3000  x0  y0 Representamos la región factible:

Los vértices A(0,0), B(0,2000) y E(3000,0) son fáciles de obtener. Calculamos C y D: x  y  3000 C    C (1000,2000)  y  2000 x  y  3000 D    C (2000,1000)  x  2000

Si sustituimos los vértices en la función objetivo f(x,y) = 6x+9y f(A) = f(0,0) = 0 f(B) = f(0,2000) = 18000 f(C) = f(1000,2000) = 24000 f(D) = f(2000,1000) = 21000 f(E) = f(3000,0) = 18000 Luego para que el beneficio sea máximo hay que pescar 1000 toneladas de merluza y 2000 de rape, y dicho beneficio será de 24.000 €.

Ejercicios: 1.-

En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinado grupo de enfermos con dos alimentos A y B. Estos alimentos contienen tres principios nutritivos: N1, N2 y N3. Una unidad de A vale 1 euro y contiene 2 unidades de N1, 1 de N2 y 1 de N3. Una unidad de B vale 2.40 euros y contiene 1, 3, y 2 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo

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necesita diariamente al menos 4, 6 y 5 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Se pide: a) Plantear un problema de programación lineal que permita determinar las cantidades de alimentos A y B que dan lugar a la dieta de coste mínimo. b) Resolver el problema

2.-

Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 € por vagón de coches y 360 € por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio

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EJERCICIOS 1.-

Dibuja la región del plano formada por los puntos (x,y) que cumplen las siguientes desigualdades:

2.-

Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones: x+3

y ; 8

x+y ; y

x-3 ; x

0 ; y

0

a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 6x + 4y alcanza el valor máximo y calcular dicho valor. 3.-

Maximiza la función z = 150x + 100y sujeta al conjunto de restricciones: 2 x  3 y  600  2 x  y  480  x0  y0 

4.-

Minimiza la función z = 3x + 2y+4 sujeta al conjunto de restricciones: 3 x  4 y  12  3x  2 y  2  x0  y0 

5.-

6.-

 2 x  y  3  2x  y  2  x  2 y  4

a)

Dibuja el recinto definido por:

b) c)

Halla los vértices del recinto anterior. Halla el máximo de la función z = 4y - x, sujeta a las restricciones propuestas en a). ¿En qué punto del recinto alcanza dicho máximo?

Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x+y-1

0 ;

0

x

3 ; 0

y

2.

¿Para qué valores de la región es máxima la función z = 5x + 2y?

- 12 -

Programación Lineal

Departamento de Matemáticas Colegio Inmaculada Niña de Granada

7.-

Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo

8.-

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7€, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio y cuál será éste?

9.-

Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla:

UTILITARIA LUJO

MONTAJE ACABADO 3 horas 3 horas 3 horas 6 horas

El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo, ¿cuántas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio?

10.-

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

11.-

Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades:

a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto. b) Maximizar la función Z = 3x - 6y sujeta a las restricciones del recinto. - 13 -

Programación Lineal

Departamento de Matemáticas Colegio Inmaculada Niña de Granada

12.-

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

13.-

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

14.-

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

15.-

Una empresa fabrica tres productos, P1, P2 y P3, en dos plantas, A y B. La planta A produce diariamente 1.000 unidades de P1, 3.000 unidades de P2 y 5.000 de P3. La planta B produce diariamente 2.000 unidades de cada uno de los tres productos. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes, al menos, 80.000 unidades de P1, 160.000 de P2 y 200.000 de P3. Sabiendo que el coste diario de producción es de 1.200 € en cada planta, ¿cuántos días debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos comprometidos con el mínimo coste?

16.-

Se tiene una región factible determinada por el polígono de vértices: A(1,1), B(5,0), C(6,4) y D(0,2) a) Representa gráficamente dicha región, así como las rectas de nivel asociadas a la función objetivo f(x,y) = 2x + y b) ¿En qué vértices se alcanza su máximo y su mínimo? c) ¿Cuál es el conjunto de restricciones?

17.-

Un cliente de un banco dispone de 30.000 € para adquirir fondos de inversión. El banco le ofrece dos tipos de fondos, A y B. El de tipo A tiene una rentabilidad del 12% y unas limitaciones legales de 12.000 € de inversión máxima. El de tipo B presenta una rentabilidad del 8% sin ninguna limitación. Además este cliente desea invertir en los fondos de tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en los fondos tipo A. a) ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo de fondo para obtener un beneficio máximo? b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?

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Programación Lineal