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MATEMÁTICAS APLICADAS A CC.SS. I TEMA 1 Y 2: LOS NÚMEROS RADICALES. LOGARITMOS HOJA Nº 2

Fecha de entrega: Viernes, 22 de Octubre de 2010

Ejercicios. 25 ⋅ w 867 5 64 ⋅ x 29 ⋅ y 348 ⋅ . 8 ⋅ x 8 ⋅ y 70 3125 ⋅ w 4323

1. Extrae factores y simplifica al máximo la expresión 2. Opera y simplifica:

a)

3

24 − 2 ⋅ 54 − 3 250 + 3 ⋅ 150

1 4 1 5 5 ⋅ 25 + ⋅ 6 125 − ⋅ 20 − ⋅ 45 2 4 3 6

b)

3. Opera y simplifica al máximo: 3

a)

a2 ⋅ 8 a3 6

3

b)

a5

2 ⋅3 4 − 6

2 2

4. Expresa lo más simplificado posible sin calculadora: a)

3+ 2 2 ⋅3 3− 2 2

3

b)

4

1 x

x2 ⋅ 3

5. Racionaliza las siguientes expresiones radicales: a)

6 5

9

a −1

b)

6 2

c)

a −1

3 2 − 12

6. Halla el valor de los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: ⎛ 1 ⎞ a ) log 2 ⎜ ⎟ ⎝ 32 ⎠

b) ln 4 e 3

c) log 1 3

d ) log 3 100

9

7. Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla al máximo: a)

A=

4 ⋅ a 2 ⋅ b3 25 ⋅ c 4

b) B =

x7 ⋅ y5 x 2 + y 2 − 2 xy

8. Quita los logaritmos en las siguientes expresiones:

a ) ln S = 4 ln x − ln 2 + 3 ln y − 2 ln z

b) log T = log( x + y ) + log( x − y ) − 1

9. Sabiendo que ln 2 = 0´69 y que ln 5 = 1´61, calcula sin hacer uso de la calculadora: a ) ln 20

b) ln

2 25

c) ln 10

1

d ) ln 3

1 50

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS. 25 ⋅ w 867 5 64 ⋅ x 29 ⋅ y 348 1. Extrae factores y simplifica al máximo la expresión . ⋅ 8 ⋅ x 8 ⋅ y 70 3125 ⋅ w 4323 Solución.

Factorizando el 64 u el 3125 y realizando las divisiones de cada exponente del radicando entre 5 obtenemos los cocientes (exponentes de las potencias que salen fuera del signo radical) y los restos (exponentes de las potencias que quedan dentro):

( )

5

( )

69

25 ⋅ w 867 5 64 ⋅ x 29 ⋅ y 348 25 ⋅ w867 26 ⋅ x5 ⋅ x 4 ⋅ y 5 ⋅ y 3 5 ⋅ = ⋅ = 864 8 ⋅ x 8 ⋅ y 70 3125 ⋅ w 4323 8 ⋅ x 8 ⋅ y 70 55 ⋅ w5 ⋅ w3 =

( )

25 ⋅ w867 2 ⋅ x 5 ⋅ y 69 5 2 ⋅ x 4 ⋅ y 3 5 ⋅ w3 5 2 ⋅ x 4 ⋅ y 3 ⋅ ⋅ = ⋅ 8 ⋅ x 8 ⋅ y 70 5 ⋅ w864 w3 4 ⋅ x3 ⋅ y w3

2. Opera y simplifica: a)

24 − 2 ⋅ 54 − 3 250 + 3 ⋅ 150

3

b)

5 5 1 4 1 ⋅ 25 + ⋅ 6 125 − ⋅ 20 − ⋅ 45 4 3 6 2

Solución.

a)

3

24 − 2 ⋅ 54 − 3 250 + 3 ⋅ 150

Primeramente factorizamos los radicandos y extraemos todo lo que se pueda: 3

24 − 2 ⋅ 54 − 3 250 + 3 ⋅ 150 = 3 2 3 ⋅ 3 = 3 2 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 33 ⋅ 2 − 3 5 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ 6 =

= 2 ⋅ 3 3 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 − 5 ⋅ 3 2 + 3 ⋅ 5 ⋅ 6 = 2 ⋅ 3 3 − 6 ⋅ 6 − 5 ⋅ 3 2 + 15 ⋅ 6 = Ahora sumaremos aquellos monomios que tengan el mismo radical: = 2 ⋅ 3 3 − 5 ⋅ 3 2 + (15 − 6) ⋅ 6 = 2 ⋅ 3 3 − 5 ⋅ 3 2 + 9 ⋅ 6 b)

1 4 1 5 5 ⋅ 25 + ⋅ 6 125 − ⋅ 20 − ⋅ 45 2 4 3 6 Primeramente factorizamos los radicandos y extraemos todo lo que se pueda: 1 4 1 5 5 1 1 5 5 ⋅ 25 + ⋅ 6 125 − ⋅ 20 − ⋅ 45 = ⋅ 4 5 2 + ⋅ 6 5 3 − ⋅ 5 ⋅ 2 2 − ⋅ 5 ⋅ 3 2 = 4 3 6 2 4 3 6 2 5 1 1 10 15 1 4 2 1 6 3 5 ⋅ 5 + ⋅ 5 − ⋅ 2 ⋅ 5 − ⋅ 3 ⋅ 5 = ⋅ 4 5 2 + ⋅ 6 53 − ⋅ 5 − ⋅ 5 = 4 3 6 2 4 3 6 2

2

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Observar que, en el caso del primer y segundo radical, podemos hacer una simplificación exponente-índice: 1 1 10 15 = ⋅ 5+ ⋅ 5− ⋅ 5− ⋅ 5= 4 3 6 2 Aprovechamos también para simplificar una de las fracciones y terminamos operándolo todo ya que, después de nuestras manipulaciones, todos los términos tienen el mismo radical: 103 ⎛ 3 16 90 ⎞ ⎛ 1 4 15 ⎞ ⎛ 1 1 5 15 ⎞ ⋅ 5 = ⎜ + − − ⎟⋅ 5 = ⎜ − − ⎟⋅ 5 = ⎜ − − ⎟⋅ 5 = − 12 ⎝ 12 12 12 ⎠ ⎝4 3 2 ⎠ ⎝4 3 3 2 ⎠ 3

3. Opera y simplifica al máximo: a)

a2 ⋅ 8 a3 6

a

6

2 ⋅3 4 − 3

b)

5

2 2

Solución. 3

a)

a2 ⋅ 8 a3 6

a5

Como todo está multiplicando en el numerador y también en el denominador, pasamos todos los radicales a índice común. En este caso el índice común es m.c.m. (2, 6, 8) = 24. 3

a2 ⋅ 8 a3 6

a5

=

24

(a )

2 8 24

( )

⋅ 24 a 3

(a )

5 4

3

=

24

a 16 ⋅ 24 a 9 24

a 20

=

Operamos ahora los radicandos según las propiedades de las potencias, llegando a la solución final, que no se puede simplificar extrayendo o mediante exponente-índice: = 3

b)

2 ⋅3 4 − 6

24

a 16 ⋅ 24 a 9 24

a 20

=

24

a 16 ⋅ a 9 24 16+ 9− 20 24 5 = a = a a 20

2 2

Procedemos a hacer la multiplicación por un lado y la división por otro, pasando cada operación a índice común. En el caso de la multiplicación el índice común es m.c.m. (2, 3) = 6 mientras que en el caso de la división el índice común es m.c.m.(3, 6) = 6. 3

2 ⋅3 4 − 6

2 2

= 6 23 ⋅ 6 4 2 −

6 6

22 2

=

Operamos ahora los radicandos según las propiedades de las potencias, factorizando el 4: 6

23 ⋅ 4 2 − 6

2 2 6 3 2 2 6 2−1 6 3 4 6 = 2 ⋅ (2 ) − 2 = 2 ⋅ 2 − 2 = 6 2 7 − 6 2 = 2 3

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Extraemos factores del primer radical y, puesto que tienen los dos términos el mismo radical, restamos llegando a la solución final: = 6 26 ⋅ 2 − 6 2 = 2 ⋅ 6 2 − 6 2 = 6 2 4. Expresa lo más simplificado posible sin calculadora: 3+ 2 2 ⋅3 3− 2 2

3

a)

b)

4

x2 ⋅ 3

1 x

Solución.

Utilizando las propiedades de las operaciones con radicales tendremos: 3 + 2 2 ⋅ 3 3 − 2 2 = 3 (3 + 2 ) ⋅ (3 − 2 2 ) = 3 3 2 − (2 2 ) 2 = 3 9 − 2 2 ⋅ 2 2 =

3

a)

= 3 9− 4⋅2 = 3 9 −8 = 3 1 =1

b)

1 x ⋅ =4 x 2

4

3

x6 =4 x

3

x 5 = 12 x 5

3

5. Racionaliza las siguientes expresiones radicales:

6

a)

5

a −1

b)

9

6 2

c)

a −1

3 2 − 12

Solución Utilizando las propiedades de las operaciones con radicales tendremos: 6

a)

5

9

=

6 32

5

a −1

b)

a −1

=

=

(3

32

a −1

3 2 − 12 =

5

a −1

6 2

c)

6

(

=

⋅

⋅

5

33

5

33

=

a +1 a +1

=

6 5 33 5

3 2 − 2 ⋅3

6 2⋅ 3 2+2 3

)(

)

2 −2 3 ⋅ 3 2 +2

(a − 1) ⋅ (

6 5 33 5

35

6 5 33 = 2 5 33 3

=

) = (a − 1) ⋅ ( a + 1) = (a − 1) ⋅ ( a + 1) = ( a −1 ( a − 1)⋅ ( a + 1) a −1

6 2 2

3 2 ⋅ 5 33

=

a +1

2

=

6 2 3 2 −2 3

=

2

6 2

⋅

3 2+2 3

3 2 −2 3 3 2 +2 3

=

( ) = 6 2 ⋅ (3 2 + 2 3 ) = 6 3) (3 2 ) − (2 3 ) (3 2 )− (2 3 ) =

6 2⋅ 3 2+2 3 2

2

4

2

2

2

2

)

a +1

(

)

2⋅ 3 2+2 3 = 9⋅2 − 4⋅3

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=

(

)

(

)

(

)

6 2⋅ 3 2+2 3 6 2⋅ 3 2+2 3 = = 2⋅ 3 2+2 3 = 18 − 12 6

= 3 22 + 2 2 3 = 3 ⋅ 2 + 2 6 = 6 + 2 6 6. Halla el valor de los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:

⎛ 1 ⎞ a) log 2 ⎜ ⎟ ⎝ 32 ⎠

b) ln 4 e 3

d ) log 3 100

c) log 1 3 9

Solución. Para todos los apartados aplicamos la definición de logaritmo a partir de su paso a potencia: log a b = x ⇔ a x = b Comenzamos con cada apartado: 1 ⎛ 1 ⎞ a) log 2 ⎜ ⎟ = x ⇔ 2 x = 32 ⎝ 32 ⎠

b) ln 4 e 3 = x ⇔ e x = 4 e 3

⇔ 2x =

1 25

⇔ e x = e3/ 4

x

⇔ 2 x = 2 −5

⇔

x=

x

3 4

⇔

⎛ 1 ⎞ x = −5 ⇔ log 2 ⎜ ⎟ = −5 ⎝ 32 ⎠

⇔ ln 4 e 3 =

3 4

( )

x ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ c) log 1 3 = x ⇔ ⎜ ⎟ = 3 ⇔ ⎜ 2 ⎟ = 3 ⇔ 3 − 2 = 3 ⇔ 3 − 2 x = 3 ⇔ − 2 x = 1 ⎝9⎠ ⎝3 ⎠ 9 1 1 ⇔ x=− ⇔ log 1 3 = − 2 2 9

d ) log3 100 = x ⇔ 10x = 3 100 ⇔ 10x = 3 102

⇔ 10x = 102 / 3 ⇔ x =

2 2 ⇔ log3 100 = 3 3

7. Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla al máximo:

a)

A=

4 ⋅ a 2 ⋅ b3 25 ⋅ c 4

b) B =

x7 ⋅ y5 x 2 + y 2 − 2 xy

Solución. a)

4 ⋅ a 2 ⋅ b3 A= 25 ⋅ c 4 Tomando logaritmo decimal, lo primero que aplicamos es la propiedad de la resta de logaritmos: ⎛ 4 ⋅ a 2 ⋅ b3 ⎞ ⎟ = log(4 ⋅ a 2 ⋅ b 3 ) − log(25 ⋅ c 4 ) = log A = log⎜⎜ 4 ⎟ ⎝ 25 ⋅ c ⎠ 5

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Ahora aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos en cada uno de los dos logaritmos: = log 4 + log a 2 + log b 3 − log 25 − log c 4 = Factorizamos el 4 y el 25 y luego aplicamos la propiedad de la potencia: = log 2 2 + log a 2 + log b 3 − log 5 2 − log c 4 = 2 ⋅ log 2 + 2 ⋅ log a + 3 ⋅ log b − 2 ⋅ log 5 − 4 ⋅ log c Por lo tanto, log A = 2 ⋅ log 2 + 2 ⋅ log a + 3 ⋅ log b − 2 ⋅ log 5 − 4 ⋅ log c

b) B =

x7 ⋅ y5 x 2 + y 2 − 2 xy

Tomando logaritmo decimal, lo primero que aplicamos es la propiedad de la resta de logaritmos:

x7 ⋅ y5 log B = log 2 = log x 7 ⋅ y 5 − log x 2 + y 2 − 2 xy = 2 x + y − 2 xy

(

)

(

)

Ahora aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos en cada uno de los dos logaritmos. Observar que el denominador no se puede desarrollar puesto que los términos están sumándose o restándose y los necesitábamos multiplicando: = log x 7 + log y 5 − log( x 2 + y 2 − 2 xy ) = Observamos ahora que el denominador es el resultado de una resta al cuadrado (producto notable): = log x 7 + log y 5 − log( x − y ) 2 = Aplicamos la propiedad de la potencia:

= 7 ⋅ log x + 5 ⋅ log y − 2 ⋅ log( x − y ) Por lo tanto, log B = 7 ⋅ log x + 5 ⋅ log y − 2 ⋅ log( x − y ) 8. Quita los logaritmos en las siguientes expresiones:

a ) ln S = 4 ln x − ln 2 + 3 ln y − 2 ln z

b) log T = log( x + y ) + log( x − y ) − 1

Solución.

a ) ln S = 4 ln x − ln 2 + 3 ln y − 2 ln z Aplicamos la propiedad de la potencia de logaritmo: ln S = ln x 4 − ln 2 + ln y 3 − ln z 2 6

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Aplicamos la propiedad de la suma y resta de logaritmos (lo que está sumando estará en el numerador mientras que lo que resta estará en el denominador): ⎛ x4 ⋅ y3 ⎞ ⎟ ln S = ln⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ 2⋅ z ⎠

Puesto que los dos miembros tienen el mismo logaritmo, los eliminamos: S=

x4 ⋅ y3 2⋅ z2

b) log T = log( x + y ) + log( x − y ) − 1 Puesto que log10 = 1 entonces: log T = log( x + y ) + log( x − y ) − log 10 Aplicamos la propiedad de la suma y resta de logaritmos (lo que está sumando estará en el numerador mientras que lo que resta estará en el denominador): ⎛ ( x + y) ⋅ ( x − y) ⎞ log T = log⎜ ⎟ 10 ⎝ ⎠ Puesto que los dos miembros tienen el mismo logaritmo, los eliminamos: T=

( x + y )( x − y ) 10

⇔

T=

x2 − y2 10

9. Sabiendo que ln 2 = 0´69 y que ln 5 = 1´61, calcula sin hacer uso de la calculadora:

a) ln 20

b) ln

4 25

c) ln 10

d ) ln 3

1 50

Solución. a) ln20.

Utilizando la propiedad de la suma de logaritmos: ln 20 = ln(5 ⋅ 4) = ln (5 ⋅ 2 2 ) = ln 5 + ln (2 2 ) = Utilizando la propiedad de la potencia dentro del logaritmo: = ln 5 + ln (2 2 ) = ln 5 + 2 ⋅ ln 2 = Sustituyendo por los valores determinados en el enunciado llegamos a la solución: = 1´61 + 2 ⋅ 0´69 = 1´61 + 1´38 = 2´99

b) ln

2 . 25

Utilizando la propiedad de la resta de logaritmos: ln

2 = ln 2 − ln 25 = 25 7

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Utilizando la propiedad de la potencia dentro del segundo logaritmo: = ln 2 − ln (5 2 ) = ln 2 − 2 ⋅ ln 5 = Sustituyendo por los valores determinados en el enunciado llegamos a la solución: = 0´69 − 2 ⋅ 1´61 = 0´69 − 3´22 = −2´53

c) ln 10 . Utilizando la propiedad de la potencia en logaritmos: ln 10 = ln 101 / 2 =

1 ⋅ ln 10 = 2

Utilizando la propiedad de la suma de logaritmos: =

1 1 ⋅ ln(2 ⋅ 5) = ⋅ (ln 2 + ln 5) = 2 2

Sustituyendo por los valores determinados en el enunciado llegamos a la solución: = d ) ln 3

1 50

1 ⋅ (0´69 + 1´61) = 1´15 2

.

Utilizando la propiedad de la resta de logaritmos: 1 ln 3 = ln 1 − ln 3 50 = 50 Puesto que ln1 = 0 entonces, aplicamos la propiedad de la potencia: 1 = 0 − ln 3 50 = − ln 501 / 3 = − ⋅ ln 50 = 3 Utilizamos ahora la propiedad de la suma de logaritmos:

(

)

1 1 1 = − ⋅ ln 50 = − ⋅ ln(5 2 ⋅ 2) = − ⋅ ln 5 2 + ln 2 = 3 3 3 Aplicamos nuevamente la propiedad de la potencia sobre ln52: 1 = − ⋅ (2 ⋅ ln 5 + ln 2) = 3 Sustituyendo por los valores determinados en el enunciado llegamos a la solución: 1 = − ⋅ (2 ⋅ 1´61 + 0´69) = −1´30 3

8