MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Pruebas de Acceso a la Universidad de Oviedo desde 1994. + 150 “problemas tipo”

ISBN: 84-609-3013-0

José Mª Rosell Tous

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Pruebas de acceso a la Universidad Jose Ma Rosell Tous Octubre - 2004

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Contenidos 1 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 1.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 26

2 Programación lineal 2.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 64

3 Funciones, continuidad, límites y derivadas 3.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 97

4 Integrales 103 4.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5 Probabilidad 123 5.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6 Estadística 143 6.1 Problemas PAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2 Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 A Anexo A.1 Soluciones A.2 Soluciones A.3 Soluciones A.4 Soluciones A.5 Soluciones A.6 Soluciones

Problemas Problemas Problemas Problemas Problemas Problemas

Bloque Bloque Bloque Bloque Bloque Bloque

1 2 3 4 5 6

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167 167 171 176 179 182 184

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Prólogo Este manual recopila y ofrece resueltos los ejercicios y problemas de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales, correspondientes a las pruebas de acceso a la Universidad de Oviedo, en su modalidad de acceso LOGSE; se han incluido todas las pruebas, desde 1994 hasta la actualidad. Las razones que nos han movido a seleccionar las pruebas de la Universidad de Oviedo y no las de otras universidades son variadas: por una parte, son las pruebas a las que han tenido que acudir nuestros alumnos; por otra, presentan, salvo excepciones, una cierta homogeneidad lo que facilita una evaluación sosegada que evita las "sorpresas"; y también, porque presentan ciertas peculiaridades en la forma, que hacen que se ajusten perfectamente a lo que entendemos que pudiera ser una evaluación del curso de 2o de Bachiller de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales. Se ha incluido, también, una amplia colección de problemas propuestos, cuyas soluciones se pueden encontrar en el anexo A del libro. Toda la materia se estructura en 6 bloques de contenido que pueden, o no, hacerse coincidir con las tres evaluaciones correspondientes a un curso; de esta manera, se garantiza que el contenido del programa resulte equilibrado en lo que a diferentes partes de las matemáticas se refiere. Los dos primeros bloques corresponden a álgebra: el primero abarca lo referente a matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales; el segundo se ocupa de una introducción a los problemas de programación lineal bidimensional. El tercero y cuarto bloques corresponden a análisis: el tercero incluye funciones, y su representación, límites y continuidad, derivadas y sus aplicaciones; el cuarto se ocupa del cálculo integral. Los dos últimos bloques estudian la probabilidad y la estadística: el quinto se centra en la probabilidad y el teorema de Bayes, mientras que el sexto y último bloque lo hace en la teoría de muestras, la inferencia estadística y las pruebas de contraste de hipótesis. El tipo de exámen que se propone al finalizar el curso, es el mismo que el que se viene realizando en las distintas convocatorias de exámen de las pruebas PAU: consiste en 6 problemas, al azar, uno por cada uno de los 6 bloques de contenidos, de entre los que el alumno ha de seleccionar y contestar a 4 de ellos. Esperamos que esta sencilla colección ordenada de problemas pueda resultaros de utilidad.

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1 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones 1.1 Problemas PAU Junio 94: Un grupo de personas se reune para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b) Resolver el problema. Solución: Apartado a: Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente,  que fueron de excursión, tendremos:   x + y + z = 20  x + y + z = 20 x + y = 3z ; ordenamos: x + y − 3z = 0   y+1=x −x + y = −1 Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes Ma :  M y la matriz  ampliada con  los términos independientes  1 1 1 1 1 1 20 M =  1 1 −3  Ma =  1 1 −3 0  −1 ¯1 0 −1 1 0 −1 ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ ¯ Como |M | = ¯¯ 1 1 −3 ¯¯ = 8 6= 0 → r(M ) = r(M a) = 3 → S.C.D. ¯ −1 1 0 ¯ Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores¯ de: ¯ ¯ ¯ ¯ 20 1 1 ¯ ¯ 1 20 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ 0 −3 ¯¯ = 56; |Mx | = ¯¯ 0 1 −3 ¯¯ = 64; |My | = ¯¯ 1 ¯ −1 1 0 ¯ ¯ −1 −1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 20 ¯ ¯ ¯ |Mz | = ¯¯ 1 1 0 ¯¯ = 40 ¯ −1 1 −1 ¯ |My | |Mx | |Mz | 56 40 x = |M| = 64 8 = 8; y = |M| = 8 = 7; z = |M| = 8 = 5 Luego, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión.

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Septiembre 94: Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. b) Resolver el sistema. Solución: Apartado a: Si llamamos x, y, z, a la puntuación obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos:    x+y+z =8  x+y+z =8 y =x+2 −x + y = 2 , ordenamos:   y =z−1 y − z = −1 Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes Ma :  M y la matriz  ampliada con  los términos independientes  1 1 1 1 1 1 8 2  M =  −1 1 0  Ma =  −1 1 0 0 1 −1 −1 ¯ 0 1 −1 ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ ¯ |M | = ¯¯ −1 1 0 ¯¯ = −3 6= 0 → r(M ) = r(M a) = 3 → S.C.D. ¯ 0 1 −1 ¯ Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores¯ de: ¯ ¯ ¯ ¯ 8 1 1 ¯ ¯ 1 8 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯¯ = −9; |Mx | = ¯¯ 2 1 0 ¯¯ = −3; |My | = ¯¯ −1 2 ¯ −1 1 −1 ¯ ¯ 0 −1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 8 ¯ ¯ ¯ |Mz | = ¯¯ −1 1 2 ¯¯ = −12 ¯ 0 1 −1 ¯ |M |

|Mz | y −3 −9 −12 x| x = |M |M| = −3 = 1; y = |M | = −3 = 3; z = |M| = −3 = 4 Luego, habrá obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.

Septiembre 94 (bis): Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus ¶términos independientes: µ µ ¶ a −2 4 A= B= a a−1 4 a) Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas. b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos. Solución: Apartado a: El sistema expresado en forma matricial, será:

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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µ

¶ µ ¶ µ ¶ a −2 x 4 · = a a−1 y 4 Efectuando el producto de matrices, y aplicando½la definición de igualdad ax − 2y = 4 de dos matrices, obtendremos el sistema pedido: . ax + (a − 1) y = 4 Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes ampliada µ M y la matriz ¶ µ con los términos ¶ independientes Ma : a −2 a −2 4 M= Ma = a a−1 a a−1 4 Analizamos los valores críticos haciendo |M | = 0 ¯ ¯ ¯ a −2 ¯ ¯ = 0 → a2 + a = 0; a (a + 1) = 0 → a1 = 0; a2 = −1 |M | = ¯¯ a a−1 ¯ • Si a 6= 0

y

a 6= −1

|M | 6= 0 → r(M ) = r(M a) = 2 → S.C.D. (solución única). • Si a = 0 µ ¶ µ ¶ 0 −2 4 0 −2 M= Ma = 0 −1 4 0 −1 |M | = 0 → r(M ) = 1 y r(M a) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz¯Ma un menor complementario de orden 2 y distinto de cero; por ¯ ¯ −2 4 ¯ ¯. Por tanto, S.I. (No soluciones). ejemplo: ¯¯ −1 4 ¯ • Si a = −1 µ ¶ µ ¶ −1 −2 −1 −2 4 M= Ma = −1 −2 −1 −2 4 |M | = 0 → r(M ) = 1 y r(M a) = 1, puesto que no es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementario de orden 2 y distinto de cero. Por tanto, S.C.I. (Infinitas soluciones). Junio 95: Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 ptas/kg., respectivamente. El importe total de la compra fueron 1.160 ptas. El peso total de la misma 9 kg. Además, compró 1 kg. más de naranjas que de manzanas. a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto. b) Resolver el problema. Solución: Apartado a: Si llamamos x, y, z, al número de kg. comprados de patatas, manzanas y naranjas, respectivamente, tendremos:

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

   100x + 120y + 150z = 1160  10x + 12y + 15z = 116 x+y+z =9 simplificamos: x + y + z = 9   y+1=z y − z = −1 Apartado b) Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes Ma :  M y la matriz  ampliada con  los términos independientes  10 12 15 10 12 15 116 1  1 9  M = 1 1 Ma =  1 1 0 ¯1 −1 0 1 −1 −1 ¯ ¯ 10 12 15 ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ = 7 6= 0 → r(M ) = r(M a) = 3 → S.C.D. Como |M | = ¯¯ 1 1 ¯ 0 1 −1 ¯ Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores¯ de: ¯ ¯ ¯ ¯ 116 12 15 ¯ ¯ 10 116 15 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯ = 14; |My | = ¯¯ 1 9 1 ¯¯ = 21; |Mx | = ¯¯ 9 ¯ ¯ ¯ 0 −1 −1 ¯ ¯ −1 1 −1 ¯ ¯ 10 12 116 ¯ ¯ ¯ 9 ¯¯ = 28 |Mz | = ¯¯ 1 1 ¯ 0 1 −1 ¯ |M |

14 28 x| z| x = |M y = |M|y = 21 z = |M |M| = 7 = 2; 7 = 3; |M| = 7 = 4 Por tanto, habrá comprado 2 kg. de patatas, 3 kg. de manzanas y 4 kg. de naranjas.

Septiembre 95: La matriz de coeficientes A, asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales, así comola de sus términos son las siguientes:  independientes  B 1 1 1 12 A =  2 −1 1  B= 6  5 1 −2 2 a) Deduce las ecuaciones del sistema indicando las operaciones hechas. b) Obtén, si es posible, la inversa de las matrices A y B. Razona las respuestas. Solución: Apartado a: El  sistema expresado   en forma  matricial,  será: 1 1 1 x 12  2 −1 1  ·  y  =  6  5 1 −2 z 2 Efectuando el producto de matrices, y aplicandola definición de igualdad  x + y + z = 12 2x − y + z = 6 . de dos matrices, obtendremos el sistema pedido:  5x + y − 2z = 2 Apartado b: • Determinación de A−1 :

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯¯ ¯ - calculamos el determinante: |A| = ¯¯ 2 −1 1 ¯¯ = 17 6= 0 ¯ 5 1 −2 ¯ Como que |A| 6= 0, la matriz A es inversible. - calculamos la matriz adjunta A∗ , reemplazando cada elemento por el valor de su menor adjunto:   1 9 7 A∗ =  3 −7 4 , 2 1 −3 - determinamos de la adjunta:  la matriz traspuesta  1 3 2 (A∗ )T =  9 −7 1  7 4 −3   1 3 2 T 1 1  9 −7 1  - la matriz inversa será: A−1 = |A| (A∗ ) = 17 7 4 −3

• Determinación de B −1 : no es posible pues B no es una matriz cuadrada.

Junio 96: En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4.000 ptas. y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 ptas: a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. b) Resolver el problema. Solución: Apartado a: Tenemos que: - precio de la caja de 250 gr. = 1000 ptas. - precio de la caja de 500 gr. = 2000 ptas. - precio de la caja de 1 kg. = 4000 ptas. Si llamamos x, y, z, al número de cajas envasadas de 250 gr. , 500 gr. y 1 kg.,  respectivamente, tendremos:   x + y + z = 60  x + y + z = 60 x=y+5 simplificamos: x − y = 5   1000x + 2000y + 4000z = 125000 x + 2y + 4z = 125 Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes Ma :  M y la matriz  ampliadacon los términos independientes  1 1 1 1 1 1 60 M =  1 −1 0  Ma =  1 −1 0 5  1 2 4 1 2 4 125

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ ¯ Como |M | = ¯¯ 1 −1 0 ¯¯ = −5 6= 0 → r(M ) = r(M a) = 3 → S.C.D. ¯ 1 2 4 ¯ Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores¯ de: ¯ ¯ ¯ ¯ 60 ¯ 1 60 1 ¯ 1 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ |Mx | = ¯¯ 5 −1 0 ¯¯ = −125; |My | = ¯¯ 1 5 0 ¯¯ = −100; ¯ ¯ ¯ 1 125 4 ¯ ¯ 125 2 4 ¯ ¯ 1 1 60 ¯¯ ¯ |Mz | = ¯¯ 1 −1 5 ¯¯ = −75 ¯ 1 2 125 ¯ |M |

|Mz | y −125 −100 −75 x| x = |M |M| = −5 = 25; y = |M | = −5 = 20; z = |M| = −5 = 15 Por tanto, se habrán envasado 25 cajas pequeñas, 20 medianas y 15 grandes.

Junio 96 (R): El precio de entrada a cierta exposición es de 200 ptas. para los niños, 500 para los adultos y 250 para los jubilados. En una jornada concreta, la exposición fué visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes adultos al de niños y jubilados juntos. La recaudación de dicho día ascendió a 73.500 ptas. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos niños, adultos y jubilados visitaron la exposición ese día. b) Resolver el problema. Solución: Apartado a: Si llamamos x, y, z, al número de niños, adultos y jubilados, respectivamente,  que visitaron ese día la exposición, tendremos:   x + y + z = 200  x + y + z = 200 y =x+z simplificamos: x − y + z = 0   200x + 500y + 250z = 73500 20x + 50y + 25z = 7350 Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M con los  y la matriz ampliada   términos independientes  Ma : 1 1 1 1 1 1 200 0  M =  1 −1 1  Ma =  1 −1 1 20 50 ¯ 25 20 50 25 7350 ¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ |M | = ¯¯ 1 −1 1 ¯¯ = −10 6= 0 → r(M ) = r(Ma ) = 3 → S.C.D. ¯ 20 50 25 ¯ Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores¯ de: ¯ ¯ ¯ ¯ 200 ¯ 1 200 1 ¯ 1 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ −1 1 ¯¯ = −300; |My | = ¯¯ 1 0 1 ¯¯ = −1000; |Mx | = ¯¯ 0 ¯ 7350 50 25 ¯ ¯ 20 7350 25 ¯

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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¯ ¯ ¯ 1 1 200 ¯¯ ¯ 0 ¯¯ = −700 |Mz | = ¯¯ 1 −1 ¯ 20 50 7350 ¯ |My | |Mz | −300 −1000 −700 x| x = |M |M| = −10 = 30; y = |M | = −10 = 100; z = |M| = −10 = 70 Luego, a la exposición, habrán acudido 30 niños, 100 adultos y 70 jubilados. Septiembre 96: Dado el siguiente sistema de ecuaciones:   x+y+z =6 x − 2y + 2z = 5  2x − y + z = 11 a) Obtén su matriz de coeficientes. b) Calcula el determinante de la matriz anterior. c) Sin resolver el sistema, razonar si tendrá solución única. Solución: Apartado a:   1 1 1 Su matriz de coeficientes será: M =  1 −2 2  2 −1 1 Apartado b: El determinante de ¯dicha matriz será: ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ ¯ |M | = ¯¯ 1 −2 2 ¯¯ = −2 − 1 + 4 + 4 + 2 − 1 = 6 ¯ 2 −1 1 ¯ Apartado c: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes M ampliada conlos términos independientes Ma :  y la matriz   1 1 1 1 1 1 6 M =  1 −2 2  Ma =  1 −2 2 5  2¯ −1 1 ¯ 2 −1 1 11 ¯ 1 1 1 ¯ ¯ ¯ Como |M | = ¯¯ 1 −2 2 ¯¯ = 6 6= 0 → r(M ) = r(M a) = 3 → S.C.D. ¯ 2 −1 1 ¯ Por lo que el sistema tendrá una única solución. Junio 97: En un supermercado van a poner en oferta dos marcas de detergente (A y B). El propietario consulta su libro de cuentas para ver las condiciones de una oferta anterior, encontrando la siguiente información: el número total de paquetes vendidos fueron 1.000 unidades; el precio del paquete A 500 ptas; y el importe total de la oferta 440.000 ptas. Pero en sus anotaciones no aparece reflejado claramente el precio del paquete B. a) Plantear un sistema para determinar el número de paquetes vendidos de cada marca. Discutir su compatibilidad.

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

b) Averiguar si el precio del paquete B fue 400 o 408 ptas. ¿cuántos paquetes se vendieron? Solución: Apartado a: Si llamamos x e y al número de paquetes vendidos de las marcas A y B, respectivamente, tendremos: ½ x + y = 1000 , representando el parámetro m el precio del 500x + my = 440000 paquete de marca B. Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes matriz ampliada µ M y la ¶ µ con los términos ¶independientes Ma : 1 1 1 1 1000 M= Ma = 500 m 500 m 440000 Analicemos los valores críticos haciendo: |M | = 0 → m − 500 = 0 → m = 500 · si m 6= 500 → r(M ) = 2 y r(Ma ) = 2 → S.C.D.(solución única) · si m = 500 → r(M ) = 1 y r(Ma ) = 2, pues es posible encontrar en ésta, al menos, un menor¯ complementario de orden 2 distinto de cero. Por ¯ ¯ 1 1000 ¯¯ ¯ ejemplo: ¯ 6= 0 → S.I. (No solución) 500 440000 ¯ Apartado b: Se trata ½ de resolver el sistema para los valores m = 400 y m = 408: x + y = 1000 → {x = 400, y = 600} ½ 500x + 400y = 440000 © ª x + y = 1000 15 000 → x = 8000 23 , y = 23 500x + 408y = 440000 Como el número de paquetes vendido de cada marca debe ser un número entero, el precio del paquete B tiene que haber sido 400 pesetas. En estas condiciones, se habrían vendido 400 paquetes de la marca A y 600 paquetes de la marca B. Septiembre 97: La matriz de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es:   1 1 1 2 A =  2 −1 4 0  −1 1 2 5 a) Obtener las ecuaciones del sistema. b) Calcular el rango de la matriz formada por los coeficientes del sistema. c) Sin resolver el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en qué número. Solución: Apartado a:   x+y+z =2 2x − y + 4z = 0 El sistema asociado a la matriz dada será:  −x + y + 2z = 5

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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El  mismo sistema,  expresado   en  forma  matricial: 1 1 1 x 2  2 −1 4  ·  y  =  0  −1 1 2 z 5 Apartado b: Para calcular el rango de la matriz de los coeficientes del sistema M , calculamos el ¯valor de su determinante |M |: ¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ |M | = ¯¯ 2 −1 4 ¯¯ = −2 + 2 − 4 − 1 − 4 − 4 = −13 6= 0 ¯ −1 1 2 ¯ Como que |M | 6= 0, sabemos que r(M ) = 3 Apartado c: Por el teorema de Rouché-Fröbenius, sabemos que: · si r(M ) = r(Ma ) = no incógnitas → S.C.D. (Solución unica) · si r(M ) = r(Ma ) < no incógnitas → S.C.I. (Infinitas soluciones) · si r(M ) 6= r(Ma ) → S.I. (No soluciones) Como que |M | 6= 0 → r(M ) = r(Ma ) = 3 → S.C.D. Por lo tanto, el sistema admite solución, y ésta será única.

Junio 98: Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. b) Resolverlo. Solución: Apartado a: Si llamamos x, y, z, al número de alumnos matriculados en la primera, segunda tendremos: y tercera sucursal, respectivamente,  x + y + z = 352    x + y + z = 352 x z= x − 4z = 0 , ordenamos: 4    x − y − 2z = −2 x − y + 2 = 2z Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes Ma :  M y la matriz  ampliada con  los términos independientes  1 1 1 1 1 1 352 M =  1 0 −4  Ma =  1 0 −4 0  1 −1 −2 1 −1 −2 −2

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯¯ ¯ Como |M | = ¯¯ 1 0 −4 ¯¯ = −7 6= 0 → r(M ) = r(M a) = 3 → S.C.D. ¯ 1 −1 −2 ¯ Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores¯ de: ¯ ¯ ¯ ¯ 352 1 ¯ 1 352 1 ¯ 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ 0 −4 ¯¯ = −1400; |My | = ¯¯ 1 0 −4 ¯¯ = −714; |Mx | = ¯¯ 0 ¯ ¯ ¯ 1 −2 −2 ¯ ¯ −2 −1 −2¯ ¯ 1 1 352 ¯ ¯ ¯ 0 ¯¯ = −350 |Mz | = ¯¯ 1 0 ¯ 1 −1 −2 ¯ |M |

|Mz | y −1400 −714 −350 x| x = |M |M| = −7 = 200; y = |M| = −7 = 102; z = |M| = −7 = 50 Luego, habrá 200 alumnos matriculados en la primera sucursal, 102 en la segunda y 50 en la tercera.

Septiembre 98: µ La matriz ¶de los coeficientes de un sistema de ecuaciones µ ¶lineales es: 1 a 2 y la de los términos independientes es: . a+1 2 −2 a) Plantear las ecuaciones del sistema. b) Estudiar su compatibilidad en función de los valores de a. ¿En qué casos tiene solución unica?. c) Resolverlo si a = 2. Solución: Apartado a: ½ x + ay = 2 El sistema asociado a las matrices dadas será: . (a + 1)x + 2y = −2 El mismo sistema, matricial: µ ¶ µ expresado ¶ µ en forma ¶ 1 a x 2 · = a+1 2 y −2 Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes ampliada µ M y la matriz ¶ µ con los términos ¶ independientes Ma : 1 a 1 a 2 M= Ma = a+1 2 a + 1 2 −2 Analizamos los valores críticos haciendo |M | = 0 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ a ¯ = 0 → 2 − a2 − a = 0 → a1 = 1 y a2 = −2 |M | = ¯¯ a+1 2 ¯ • Si a 6= 1

|M | 6= 0

y

→

• Si a = 1 µ ¶ 1 1 M= 2 2

a 6= −2

r(M ) = r(Ma ) = 2

Ma =

µ

1 1 2 2 2 −2

S.C.D. (solución única). ¶

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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|M | = 0 → r(M ) = 1 y r(Ma ) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz¯Ma un menor complementario de orden 2 y distinto de cero; por ¯ ¯ 1 2 ¯ ¯. ejemplo: ¯¯ 2 −2 ¯ Por tanto, S.I. (No soluciones).

• Si a = −2 µ ¶ µ ¶ 1 −2 1 −2 2 M= Ma = −1 2 −1 2 −2 |M | = 0 → r(M ) = 1 y r(Ma ) = 1, puesto que no es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementario de orden 2 y distinto de cero. Por tanto, S.C.I. (Infinitas soluciones). Apartado c: Si suponemos que a = 2, tendremos que: ½ x + 2y = 2 , cuya solución es: {x = −2, y = 2} 3x + 2y = −2 Junio 99: Seanlas matrices:      µ ¶ x 1 z 1 1 A=  2x −1  ;B= ;C=  2z  ;D=  0  y 1 −x 1 −z 3 donde x, y, z son desconocidos. a) Calcular las matrices (AB) + C y 3D b) Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y, z. c) Estudiar la compatibilidad del sistema. ¿Cuántas soluciones tiene? d) Encontrar, si es posible, una solución. Solución: Apartado a: Para multiplicar dos matrices, multiplicamos vectorialmente las filas de la primera por cada una de las columnas de la segunda. Para sumar dos matrices sumamos correspondientes.  sus elementos    Así: µ ¶ x 1 z 1 A · B + C =  2x −1  · +  2z  = y −x 1 −z       x+y z x+y+z =  2x − y  +  2z  =  2x − y + 2z  −x + y −z −x + y − z Para multiplicar una matriz por un escalar, multiplicamos cada uno de los elementos de dicho escalar. Así:  la matriz  por  1 3 3D = 3  0  =  0  1 1 3

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Apartado b:



   x+y+z 3 Como que (AB) + C = 3D, tenemos que:  2x − y + 2z  =  0 , −x + y − z 1   x+y+z =3 2x − y + 2z = 0 luego:  −x + y − z = 1 Apartado c: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes Ma :  M y la matrizampliada con  los términos independientes  1 1 1 1 1 1 3 −1 2  −1 2 0  M = 2 Ma =  2 −1 ¯1 −1 −1 1 −1 1 ¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ Como |M | = ¯¯ 2 −1 2 ¯¯ = 0 → r(M ) = 2, puesto que es posible ¯ −1 1 −1 ¯ encontrar en la matriz¯ M un menor complementario de orden 2 y distinto ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ de cero; por ejemplo: ¯¯ 2 −1 ¯ → r(Ma ) = 2, puesto que no es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementario de orden 3 y distinto ¯ ¯ de cero: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 1 3 1 ¯ ¯ 3 1 1 3 ¯¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 −1 0 ¯ = 0 ¯ 2 0 2 ¯=0 ¯ 0 −1 2 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 1 1 ¯ ¯ −1 1 −1 ¯ ¯ 1 1 −1 ¯ Como r(M ) = r(Ma ) = 2 → S.C.I. (Infinitas soluciones). Apartado d: Una de ½ las ecuaciones es combinación lineal de las otras dos; la elimix+y+z =3 namos: −x + y − z = 1 Consideramos la z como constante½y la pasamos, junto a los términos x+y =3−z independientes, al segundo miembro: −x + y = 1 + z Para cada valor de z, obtendremos una posible solución del sistema. Supongamos: ½ z = 0: x+y =3 tendremos: → {x = 1, y = 2} −x + y = 1 Septiembre 99: En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede repostar gasolina en tres estaciones de servicio (A, B y C). El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolina en A ha sido de 120 ptas/litro y el precio de la gasolina en B de 118 ptas/litro, pero ha olvidado el precio en C. (Supongamos que son ”m” ptas/litro). También recuerda que: - la suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B superó

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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en 4680 ptas. al gasto en C. - el número de litro de gasolina consumidos en B fue el mismo que en C. - el gasto de litros en A superó al de B en 1260 ptas. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de ”m”) para determinar los litros consumidos en cada gasolinera. b) Estudiar la compatibilidad del sistema en función de ”m”. ¿Puedes dar algún precio al que sea imposible haber vendido la gasolina en la gasolinera C? Solución: Apartado a: Si llamamos x, y, z, al número de litros que ha repostado en las gasolineras A, B y C, respectivamente, tendremos:   120x + 118y − mz = 4680  120x + 118y = mz + 4680 y=z y−z =0 , ordenamos:   120x = 118y + 1260 120x − 118y = 1260 Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes con los  M y la matriz ampliada  términos independientes Ma : 120 118 −m 120 118 −m 4680 1 −1  1 −1 0  M = 0 Ma =  0 120 −118 0 120 −118 0 1260 Analizamos los valores críticos haciendo |M | = 0 ¯ ¯ ¯ 120 118 −m ¯ ¯ ¯ 1 −1 ¯¯ = 0 → −14160 + 120m − 14160 = 0 → |M | = ¯¯ 0 ¯ 120 −118 0 ¯ → m = 236 • Si m 6= 236

|M | 6= 0 → r(M ) = r(Ma ) = 3 → S.C.D. (solución única). • Si m = 236     120 118 −236 4680 120 118 −236 1 −1 0  1 −1  M = 0 Ma =  0 120 −118 0 1260 120 −118 0 |M | = 0 → r(M ) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M ¯ un menor¯ complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo: ¯ 120 118 ¯ ¯ ; r(M a) = 3, puesto que es posible encontrar en la matriz ¯ ¯ 0 1 ¯ M de orden 3 y distinto de cero; por ejemplo: ¯ ¯ a un menor complementario ¯ 120 118 4680 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 0 ¯¯ ¯ ¯ 120 −118 1260 ¯ Como r(M ) 6= r(Ma ) → S.I. (No solución). Por esta razón, resultaría imposible haber vendido la gasolina a 236 ptas. litro en la gasolinera C.

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Junio 00: Sea 6A + 2I = B una expresión matricial, donde, B, denota una matriz µ ¶ 6 1 cuadrada de orden 2x2, tal que B = e I, la matriz unidad de 3 −1 orden correspondiente. a) ¿Qué dimensión tiene la matriz A? b) Determine los elementos que integran la matriz A, esto es, ai,j ∈ Ap,q . c) Calcule A + 2I. Solución: Apartado a: Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan la misma dimensión; además, su suma es otra matriz de la misma dimensión que las matrices sumandos. Por tanto, la matriz A tiene que tener dimensión 2x2. Apartado b: 1 Como ·µ 6A + 2I = B, 6A¶¸ = B −·µ 2I → A = ¶ − 2I) ¶¸ 6 (B µ ¶ entonces: µ 6 1 1 0 6 1 2 0 A = 16 −2 = 16 − 3 −1 0 1 3 −1 0 2 µ ¶ µ 2 ¶ 1 4 1 3 6 A = 16 = 1 3 −3 − 12 2 Apartado µ c: ¶ µ ¶ µ 8 1 ¶ 1 2 1 0 3 6 3 6 A + 2I = +2 = 1 1 3 0 1 − 12 2 2 2 Septiembre µ 00: ¶ µ ¶ −1 2 1 −1 x 1 Sean A = y B = dos matrices de y 3 5 3 z x+z orden 2x3, en las que x, y, z denotan valores numéricos desconocidos. a) Determine, razonadamente, los valores de x, y, z ∈ < de manera que A = B. b) ¿Es posible el cálculo de AxB?. Razone la respuesta. Solución: Apartado a: Para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensión y, además, que los elementos que ocupen la misma posición en ambas sean i,j = bi,j ).µPor tanto, si: µ iguales (a¶ ¶ −1 2 1 −1 x 1 yB= , entonces: A= y 3 5  3 z x+z 2=x    y=3 A=B → 3=z    Además, se verifica que: 5 = x + z Apartado b: Para que pueda efectuarse el producto AxB , es necesario que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B. Como que la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 2 filas, el producto AxB NO puede

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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efectuarse. Junio 01: Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120.000 ptas. Si la operación es la venta de un piso usado recibe 60.000 ptas. Se desconoce la prima cuando la operación es un alquiler. Este mes el número total de operaciones fue 5. La prima total por venta de pisos fue superior en 200.000 ptas. a la obtenida por alquileres, y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple que por alquileres. a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el número de operaciones de cada tipo realizadas (en función de la prima de alquiler de valor desconocido). b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan podido pagar los alquileres. c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan podido pagar los alquileres. d) Si la prima de alquileres fue de 20.000 ptas. ¿cuántas operaciones de cada tipo se realizaron? Solución: Apartado a: Llamamos x, y, z, al número operaciones de cada tipo que ha realizado y m a la prima desconocida (en miles de pesetas):  x = no ventas de pisos nuevos y = no ventas de pisos usados  z = no alquileres Con lo que tendremos:    x+y+z =5  x+y+z =5 120x + 60y = mz + 200 , ordenamos: 120x + 60y − mz = 200   120x = 3mz 120x − 3mz = 0 Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes con  los términos independientes  M y la matriz ampliada   Ma : 1 1 1 1 1 1 5 M =  120 60 −m  Ma =  120 60 −m 200  120 0 −3m 120 0 −3m 0 Analizamos los valores críticos haciendo|M |=0 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 ¯ ¯ |M | = ¯¯ 120 60 −m ¯¯ = 0 → 60m − 7200 = 0 → m = 120 ¯ 120 0 −3m ¯ • Si m 6= 120

|M | 6= 0 → r(M ) = r(M a) = 3 → S.C.D. (solución única).

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

• Si m = 120     1 1 1 1 1 1 5 M =  120 60 −120  Ma =  120 60 −120 200  120 0 −360 120 0 −360 0 |M | = 0 → r(M ) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz ¯M un menor ¯ complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo: ¯ 1 ¯ 1 ¯ ¯ ¯ 120 60 ¯ r(M a) = 3, puesto que es posible encontrar en la matriz ¯ Ma un menor¯ ¯ 1 1 5 ¯¯ ¯ complementario de orden 3 y distinto de cero; por ejemplo: ¯¯ 120 60 200 ¯¯ ¯ 120 0 0 ¯ Como r(M ) 6= r(Ma ) → S.I. (No solución). Por esta razón, resultaría imposible que las primas por alquileres fueran 120.000 ptas. Apartado c: Resolvemos el sistema en¯función de m: ¯ ¯ 1 1 1 ¯¯ ¯ ¯ |M | = ¯ 120 60 −m ¯¯ = 60m − 7200 ¯ 120 0 −3m ¯ ¯ ¯ ¯ 5 1 1 ¯¯ ¯ −300m x| |Mx | = ¯¯ 200 60 −m ¯¯ = −300m → x = |M |M| = 60m−7200 ¯ ¯ 0 0 −3m ¯ ¯ ¯ 1 5 1 ¯¯ ¯ |M | |My | = ¯¯ 120 200 −m ¯¯ = 600m − 24 000 → y = |M|y = 600m−24000 60m−7200 ¯ ¯ ¯ ¯ 120 0 −3m ¯ 1 1 5 ¯¯ ¯ −12000 z| |Mz | = ¯¯ 120 60 200 ¯¯ = −12 000 → z = |M |M| = 60m−7200 ¯ 120 0 0 ¯ Apartado d: Si la prima de alquileres hubiera sido de 20.000 ptas, tendríamos: m = 20 −300m x| x = |M |M| = 60m−7200 = 1 y=

|My | |M| |Mz | |M|

=

600m−24000 60m−7200 = −12000 60m−7200 = 2

2

= z= Con lo que habría vendido 1 piso nuevo, 2 pisos usados y realizado 2 alquileres. Septiembre 01: Seanlas matrices:      µ ¶ a 1 1 z x A=  1 a  ;B= ;C=  1  ;D=  z  y 1 0 0 z a) Sabiendo que AB = 2C − D, plantea un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (representadas por x, y, z) donde a es cierto valor desconocido.

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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b) Si se supiera que el sistema tiene solución, ¿podríamos descartar algún valor de a? c) Si se supiera que el sistema tiene solución única, ¿podríamos descartar algún valor de a? d) ¿Hay algún valor de a para el que el sistema tenga más de una solución? Solución: Apartado a: Como sabemos que AB= 2C− D,    tendremos:      µ ¶ a 1 1 z ax + y 2−z  1 a  x = 2  1  −  z  →  x + ay  =  2 − z  y 1 0  0 x −z  z  ax + y = 2 − z  ax + y + z = 2 x + ay = 2 − z → x + ay + z = 2 Luego, :   x = −z x+z =0 Discutimos el sistema, analizando el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada:     a 1 1 a 1 1 2 M = 1 a 1  Ma =  1 a 1 2  1 0 1 0 ¯ 1 0 1 ¯ ¯ a 1 1 ¯ ¯ ¯ |M | = ¯¯ 1 a 1 ¯¯ = a2 − a = 0 → {a = 0} , {a = 1} ¯ 1 0 1 ¯ • Si a 6= 0 y a 6= 1:

r(M ) = r(Ma ) = 3 • Si a = 0:   0 1 1 M = 1 0 1  1 0 1 ¯ ¯ r(M ) = 2 pues ∃ ¯¯ ¯ ¯ ¯ r(Ma ) = 3 pues ∃ ¯¯ ¯



 0 1 1 2 Ma =  1 0 1 2  1 0 1 0 ¯ 0 1 ¯¯   6= 0   1 0 ¯ ¯  0 1 2 ¯¯ → S.I.  1 0 2 ¯¯ 6= 0     1 0 0 ¯

• Si a = 1:    1 1 1 1 M = 1 1 1  Ma =  1 1 0 1 1 ¯ ¯ ¯ 0 1 ¯ ¯ 6= 0 r(M ) = 2 pues ∃ ¯¯ ¯ ¯ 1 0 ¯ ¯ 0 1 ¯ ¯= r(Ma ) = 2 pues ∃ ¯¯ 6 0 1 0 ¯

 1 1 2 1 1 2  0 1 0    → S.C.I.   

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Apartado b: Si el sistema tiene solución, es un sistema compatible. Podemos descartar el  valor a = 0 porque, entonces:  y+z =2 x+z =2 la 2a y 3a ecuación son contradictorias.  x+z =0 Apartado c: Si el sistema tiene solución única, es un sistema compatible determinado. Podemos descartar, además del anterior valor a = 0, el valor a = 1 porque, entonces:   x+y+z =2 x+y+z =2 la 1a y 2a ecuación son iguales y quedan menos  x+z =0 ecuaciones que incógnitas. Apartado d: Si el sistema tiene más de una solución, es un sistema compatible indeterminado. a = 1 Junio 02: En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con vitaminas y anticaspa. Se sabe que el precio al que se vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3 euros. Se desconoce el precio al que se vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los 3 tipos de champú el mes pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56 euros inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto. Además, el dinero total obtenido en ventas con el champú de vitaminas y el anticaspa fue el mismo que el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de los demás. a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú anticaspa, que puedes llamar por ejemplo m) donde las incógnitas ( x, y, z) sean las unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de champú. b) ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un estudio de la compatibilidad del sistema? c) Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado del apartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros 2. Solución: Apartado a: Llamamos x, y, z, al número de unidades de cada tipo que ha vendido y m al precio desconocido del champú anticaspa  x = no unidades champú normal y = no unidades champú con vitaminas  z = no unidades champú anticaspa

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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Con  lo que tendremos:   2x + 3y + mz = 112  2x + 3y + mz = 112 2x + 56 = 3y + mz , ordenamos: 2x − 3y − mz = −56   3y + mz = 28m 3y + mz = 28m Apartado b:     2 3 m 2 3 m 112 M =  2 −3 −m  ; Ma =  2 −3 −m −56  0 3 ¯ m 0 3 m 28m ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 3 m ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 −3 −m ¯ = 0 → r (M ) = 2, pues ∃ ¯ 2 3 ¯ 6= 0 ¯ ¯ 0 3 ¯ ¯ ¯ 0 3 m ¯¯ ¯ ¯ 2 3 112 ¯¯ ¯ ¯ 2 −3 −56 ¯ = −336m + 1008 = 0 → {m = 3} ¯ ¯ ¯ 0 3 28m ¯ • Si m = 3:

r(M ) = r(Ma ) = 2 < no incógnitas → S.C.I. (Infinitas soluciones) • Si m 6= 3: r(M ) = 2 6= r(Ma ) = 3 → S.I. (no hay solución) Apartado c: Como que m = 3 y sabemos  que z = 20, el sistema se convierte en:   2x + 3y + mz = 112  2x + 3y + 3z = 112 2x − 3y − mz = −56 → 2x − 3y − 3z = −56 →   3y + mz = 28m 3y   + 3z = 84  2x + 3y + 60 = 112  2x + 3y = 52 2x − 3y − 60 = −56 → 2x − 3y = 4 → {x = 14, y = 8} →   3y + 60 = 84 3y = 24

Septiembre 02:



     −1 2 −1 0 0 1 2  , B =  a  , C =  0 , Sean las matrices A =  1 3 −3 a a 0 donde a es desconocido. a) Sea el sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es A y de términos independientes B. ¿Puede para algún valor de a no tener solución este sistema? ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución única? b) Si la matriz de coeficientes es A pero la de términos independientes es C, ¿es posible que para algún valor de a el sistema no tenga solución? Encuentra un valor de a para el que el sistema tenga más de una solución y calcula dos de ellas. Solución:

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1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Apartado a: El  sistema será:  −x + 2y − z = 0 x + y + 2z = a , siendo:  3x − 3y + az = a    −1 2 −1 −1 2 −1 0 1 2  , Ma =  1 1 2 a  M = 1 3 −3 a 3 −3 a a |M | = −3a + 12 = 0 → {a = 4} • Si a 6= 4: r(M ) = r(Ma ) = 3 = no de incógnitas → S.C.D. (Solución única) • Si a = 4: r(M ) = r(Ma ) = 2 < no de incógnitas → S.C.I. (Infinitas soluciones) Apartado b: El  sistema será homogéneo:  −x + 2y − z = 0 x + y + 2z = 0 , siendo:  3x − 3y + az = 0    −1 2 −1 −1 2 −1 0 1 2  , Ma =  1 1 2 0  M = 1 3 −3 a 3 −3 a 0 Un sistema homogéneo siempre es compatible y tiene, al menos, la solución trivial {x = 0, y = 0, z = 0}. Cuando |M | = 0 → r(M ) = r(Ma ) = 2 < no de incógnitas → S.C.I. (Infinitas soluciones) • Si a = 4:   −x + 2y − z = 0 © x + y + 2z = 0 → x = −5z 3 ,y =  3x − 3y + 4z = 0 - si z = 0 → {x © = 0, y = 0, z−1= 0} ª - si z = 1 → x = −5 3 ,y = 3 ,z = 1 - si . . . /. . . Junio 03:

−z 3 ,z

=z



ª

 1 2 1 La matriz de coeficientes de un sistema es  1 a a  y la de tér1 4a 1   1 minos independientes  1 . 2a a) ¿Para qué valor o valores de a el sistema no tiene solución?

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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b) Para cierto valor de a un individuo encontró 2 soluciones del sistema. ¿Cuánto valía a? ¿tenía más soluciones el sistema? c) Encuentra un valor de a para que el sistema tenga una única solución y, para dicho valor, resuélvelo. Solución: Se trata de analizar la compatibilidad del sistema en función del valor del parámetro a. Para ello escribimos la matriz de los coeficientes M y la matriz ampliada con los Ma :   términos independientes  1 2 1 1 2 1 1 M = 1 a a  Ma =  1 a a 1  1 4a 1 1 4a 1 2a Analizamos los ¯ ¯ 1 2 ¯ |M | = ¯¯ 1 a ¯ 1 4a • Si a 6=

1 2

valores ¯ críticos haciendo |M | = 0 1 ¯¯ © ª a ¯¯ = −4a2 + 6a − 2 = 0 → a = 12 , {a = 1} 1 ¯

y a 6= 1

|M | 6= 0 → r(M ) = r (Ma ) = 3 → S.C.D. (solución única) • Si a = 12    1 2 1 M =  1 12 21  Ma =  1 2 1 r(M ) = 2, puesto que es posible

 1 1  1 en la matriz¯ M un ¯menor ¯ 1 2 ¯ ¯. complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo: ¯¯ 1 12 ¯ r (Ma ) = 2, puesto que no es posible encontrar en la matriz Ma un menor complementario de orden 3 y distinto de cero. Por tanto, S.C.I. (infinitas soluciones) 1 2 1 1 12 21 1 2 1 encontrar

• Si a = 1     1 2 1 1 2 1 1 M = 1 1 1  Ma =  1 1 1 1  1 4 1 1 4 1 2 r(M ) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz¯ M ¯ 1 complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo: ¯¯ 1 r (Ma ) = 3, puesto que es posible encontrar en la matriz ¯Ma ¯ 1 ¯ complementario de orden 3 y distinto de cero ; por ejemplo: ¯¯ 1 ¯ 1 Por tanto, S.I. (no soluciones)

un ¯menor 2 ¯¯ . 1 ¯ un menor ¯ 2 1 ¯¯ 1 1 ¯¯ 4 2 ¯

22

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Apartado a: Para que el sistema no tenga solución, ha de ser incompatible; por tanto a = 1. Apartado b: Para que el sistema admita dos soluciones, ha de admitir infinitas y ser compatible indeterminado; por tanto a = 12 . Apartado c: Para que el sistema tenga solución única ha de ser compatible determinado; por tanto a 6= 1 ∧ a 6= 12 . Supongamos a = 0:     1 2 1 1 2 1 1 M = 1 0 0  Ma =  1 0 0 1  1 0 1 1 0 1 0  x + 2y + z = 1 © ª x=1 El sistema será: → x = 1, y = 12 , z = −1,  x+z =0 Septiembre 03: Sean  las matrices:    µ ¶ 1 1 x 0 0 x 0 z A =  0 0 ,B = , C =  0 −y −z  , 0 y 0 1 1 0 0 0     1 0 D =  1  , E =  a . 1 a a) Sabiendo que (AB − C) D = 2E, plantea un sistema de 3 cuaciones y 3 incógnitas (representadas por x, y, z) en función de a. b) ¿Para algún valor de a el sistema tiene solución única? c) Para a = 0 encuentra una solución del sistema con z 6= 0. Solución: Apartado a: Efectuamos las  operaciones indicadas   para poder  plantear el sistema: µ ¶ 1 1 x y z x 0 z AB =  0 0  = 0 0 0  0 y 0 1 1 x y  z     x y z x 0 0 0 y z AB − C =  0 0 0  −  0 −y −z  =  0 y z  x y z xy z  0 0 0 0 y z 1 y+z (AB − C) D =  0 y z   1  =  y + z  x y  z 1 x+y+z    0 0 2E = 2  a  =  2a  a 2a Por tanto, para que se cumpla (AB − C) D = 2E

1. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

23

    y+z 0  y+z =0  y + z  =  2a  → y + z = 2a  x+y+z 2a x + y + z = 2a Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes ampliada  M y la matriz   con los términos  independientes Ma : 0 1 1 0 1 1 0 M = 0 1 1  Ma =  0 1 1 2a  1 1 1 1 1 1 2a Analizamos los valores críticos haciendo |M | = 0 ¯ ¯ ¯ 0 1 1 ¯ ¯ ¯ |M | = ¯¯ 0 1 1 ¯¯ = 0 ¯ 1 1 1 ¯ 

• Si a 6= 0

r(M ) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz¯ M un ¯menor ¯ 0 1 ¯ ¯ complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo: ¯¯ 1 1 ¯ r(Ma ) = 3, puesto que es posible encontrar ¯en la matriz¯ Ma un menor ¯ 0 1 0 ¯ ¯ ¯ complementario de orden 3 y distinto de cero: ¯¯ 0 1 2a ¯¯ = 2a ¯ 1 1 2a ¯ Como r(M ) 6= r(Ma ) → S.I. (No solución). • Si a = 0

r(M ) = 2, puesto que no varía. r(Ma ) = 2, puesto que no es posible encontrar un menor   complementario 0 1 1 0 de orden 3 y distinto de cero en Ma =  0 1 1 0  1 1 1 0 Como r(M ) = r(Ma ) 0 En el punto de abscisa x = 100 el salto es positivo; el valor de la función pasa de 1 a 1.2 Por lo tanto, la función G(x) , que determina el gasto en ocio, es siempre creciente con los ingresos.

72

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

Apartado c: Como que la función es creciente, se trata de determinar la tendencia de la función cuando x aumenta indefinidamente, es decir: 30x limx→∞ G(x) = limx→∞ 2x+2300 = 15. La función presenta una asíntota horizontal G(x) = 15; por lo tanto, ninguna familia½realiza un gasto en ocio superior a las 15000 ptas. 0.02x − 1 si 0 ≤ x ≤ 100 G(x) = 30x si 100 < x 2x+2300 20

2

15

1.5 G(x) 1

0

G(x) 10 5 20

40

60

x80

100

120

140

-0.5 -1 -1.5

0

1000

2000

x

3000

4000

5000

-5

Junio 94-B: Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x) en miles de ptas., viene dada en función de la cantidad que se invierta, x en miles de ptas., por medio de la siguiente expresión: R(x) = −0.001x2 + 0.5x + 2.5 a) Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan. b) ¿Qué rentabilidad obtendría? Solución: Apartado a: Se trata de determinar un valor de x para el que la función R(x) presente un máximo. Para ello, podemos: - Tener en cuenta que se trata de una parábola y determinar su eje y orientación: −0.5 · eje parábola: x = −b → x = 250 2a = −0.002 = 250 · orientación: a = −0.001 < 0 →”hacia abajo” o convexa. por tanto, la cantidad a invertir que hace máxima la rentabilidad es 250.000 ptas. - Determinar el valor de x que anule la primera derivada: R0 (x) = −0.00 2x + 0.5 = 0, lo que se verifica para: {x = 250} y comprobar que es un máximo analizando el signo de la segunda derivada: R00 (x) = −0.00 2 < 0 → Máximo. por tanto, la cantidad a invertir que hace máxima la rentabilidad es 250.000 ptas. Apartado b: Se trata de determinar el valor de la función para x = 250.

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

R(x) = −0.001x2 + 0.5x + 2.5

;

73

R(250) = 65 (miles de pesetas).

80 70 60 50 R(x) 40 30 20 10 0

100

200

300 x

400

500

600

Septiembre 94: La puntuación obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparación ( x, expresado en horas) en los siguientes términos:½ x si 0 ≤ x ≤ 15 3 G(x) = 2x si 15 < x 0.2x+3 a) Estudiar el crecimiento de esta función. Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen, justificar que no aprobará, esto es, que obtendrá menos de 5 puntos. b) Justificar que la puntuación nunca puede ser superior a 10 puntos. Solución: Apartado a: Se trata de una función definida a tramos. - En el intervalo [0, 15] la función es continua y creciente; se trata de una recta de pendiente 13 . - En el intervalo (15, ∞) la función es continua, puesto que el valor que anula el denominador se encuentra fuera del intervalo: 0.2x + 3 = 0 → {x = −15}; tambien es creciente puesto que la primera derivada es positiva: 2x 10x 150 G(x) = 0.2x+3 = x+15 → G0 (x) = (x+15) 2 Bastará con analizar lo que sucede en el punto de unión x = 15 ½ = 5 limx→15− G(x) = limx→15− x3 = 15 3 2x limx→15+ G(x) = limx→15+ 0.2x+3 = 30 6 =5 Como que los límites laterales son iguales, y coinciden con el valor de la función en el punto, la función es continua en todo su dominio. G(15) = 15 3 =5 Como que la función es continua y creciente, se comprueba que a valores x < 15 corresponderán notas menores a 5 puntos, por lo que el estudiante no aprobará.

74

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

5 4 G(x) 3 2 1 0

5

10

15 x

20

25

30

Apartado b: 2 2x Se trata de determinar: limx→∞ G(x) = limx→∞ 0.2x+3 = 0.2 = 10 Por lo que la puntuación nunca puede ser superior a 10 puntos; la función presenta una asíntota horizontal en G(x) = 10 Junio 95: La producción de cierta hortaliza en un invernadero, Q(x) en kg., depende de la temperatura, x en o C, según la expresión: 2 Q(x) = (x + 1) (32 − x) a) Calcular razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero. b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría? Solución: Apartado a: Se trata de determinar un valor de x para el que la función Q(x) presente un máximo. Q(x) = (x + 1)2 (32 − x) = −x3 + 30x2 + 63x + 32 Para ello, derivamos la función y la igualamos a cero: Q0 (x) = −3x2 + 60x + 63 = 0, cuyas soluciones son : {x = −1} , {x = 21} Para determinar si se trata de máximos, mínimos o puntos de inflexión, analizamos el signo de la segunda derivada: Q00 (x) = 60 − 6x Q(−1) = 66 > 0 → Mínimo Q(21) = −66 < 0 → Máximo Por lo que la temperatura óptima a mantener en el invernadero es de 21o C. Apartado b: Se trata de determinar el valor de la función para x = 21. 2 Q(x) = (x + 1) (32 − x) = −x3 + 30x2 + 63x + 32 Q(21) = 5324 Por lo que la producción de hortaliza obtenida sería 5324 kg.

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

75

5000 4000 Q(x) 3000 2000 1000

-5

0

5

10

x

15

20

25

Septiembre 95: El tipo de interés anual, I(t) en %, ofrecido por una entidad financiera depende del tiempo, t en años, que esté dispuesto a mantener la inversión a través de la siguiente expresión: I(t) = t90t 2 +9 a) Calcular razonadamente cuántos años le conviene pactar a un inversor que trate de optimizar el tipo de interés. b) Si una inversión se mantuviese a muy largo plazo, ¿ el tipo de interés podría llegar a ser negativo? Justifica la respuesta. Solución: Apartado a: Se trata de determinar un valor de t para el que la función I(t) = t290t +9 presente un máximo. Para ello, derivamos la función y la igualamos a cero: 2 90·(t2 +9)−90t·2t −9 I 0 (t) = = −90 (tt2 +9) 2 = 0 → {t = −3} , {t = 3} (t2 +9)2 Para determinar si se trata de máximos, mínimos o puntos de inflexión, analizamos el signo de la segunda derivada: 2 2 2t·(t2 +9) −(t2 −9)·2(t2 +9)·2t = 180t (tt2 −27 I 00 (t) = −90 (t2 +9)4 +9)3

I 00 (−3) = 53 > 0 → Mínimo I 00 (3) = −5 3 < 0 → Máximo Por lo que el tiempo t óptimo a mantener la inversión es de 3 años. En estas condiciones, el tipo de interés será: I(3) = 390·3 2 +9 = 15% Apartado b: La función es continua en todo su dominio y a partir de t = 3 es decreciente; además, no presenta más máximos o mínimos que los calculados. Sin embargo, como limt→∞ I(t) = limt→∞ t90t 2 +9 = 0 presenta una asíntota horizontal I(t) = 0; por ello, el interés irá disminuyendo paulatinamente, pero no alcanzará nunca valores negativos.

76

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

15

10 I(t) 5

0

10

20 t

30

40

-5

Junio 96: En un colectivo se ha observado que el gasto en cierto producto, G(x) en miles de ptas., está relacionado con el salario, x en cientos de miles de ptas., por medio de la siguiente expresión: G(x) = x20x 2 +1 a) Calcular razonadamente la cuantía del salario a la que corresponde el mayor gasto. b) ¿Cómo se comporta el gasto cuando el salario es suficientemente alto? Solución: Apartado a: Se trata de determinar un valor de x para el que la función G(x) presente un máximo. Para ello, derivamos la función, la igualamos a cero y determinamos los puntos críticos: 2 20(x2 +1)−20x(2x) −1 G0 (x) = = −20 (xx2 +1) 2 (x2 +1)2 0 Para que G (x) valga cero, será suficiente que se anule el numerador: x2 − 1 = 0 → {x = 1} , {x = −1} La solución x = −1 carece de sentido físico en este problema; por ello, verificamos únicamente la solución x = 1. Para comprobar que se trata de un máximo, analizamos el signo de la segunda derivada: 2 2 2x(x2 +1) −(x2 −1)2(x2 +1)2x −3 = 40x (xx2 +1) G00 (x) = −20 3 (x2 +1)4 00 G (1) < 0 → Máximo en x=1 Luego el gasto será máximo cuando el salario sea 100.000 ptas. Apartado b: Se trata de determinar limx→∞ G(x) = limx→∞ x20x 2 +1 = 0 Es decir, cuando el salario sea lo suficientemente alto, el gasto en ese producto tenderá a cero.

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

77

10

6 G(x) 4 2

-2

0

2

4

x

6

8

10

-2

Junio 96-R: El precio alcanzado por cierto tipo de obras de arte en una subasta, P (x) en miles de ptas., está relacionado con el número de asistentes que estén interesados en ½ su adquisición, a través de la siguiente expresión: 5x + 50 si 0 ≤ x ≤ 10 P (x) = 38x+700 si 10 < x 9 a) Estudiar la continuidad de P (x) en el punto x = 10. ¿ Qué ocurre con el precio si el número de interesados es ”ligeramente” superior a 10?. b) Estudiar el crecimiento del precio. Calcular el precio de salida, x = 0, y justificar que se trata del precio más bajo que puede alcanzar una obra en la subasta. Solución: Apartado a: ½ limx→10− P (x) = limx→10− ¡(5x + 50)¢ = 100 = 120 limx→10+ P (x) = limx→10+ 38x+700 9 Como los límites laterales son distintos, la función es discontinua en x = 10. Se trata de una discontinuidad inevitable de salto 20. Por ello, existe una diferencia importante entre el precio que alcanza una obra de arte en la subasta, según que el número de asistenetes sea ”ligeramente” inferior o superior a 10 personas. Apartado b: En cada uno de los tramos considerados, la función es continua y creciente; el primer tramo se corresponde con una recta de pendiente 5 y el segundo tramo con otra recta de pendiente 38 9 . Por otra parte, comprobamos que la primera derivada de la función es positiva: ½ 5 si 0 ≤ x ≤ 10 P 0 (x) = 38 si 10 < x 9 Por ello, el precio alcanzado por la obra de arte, aumentará siempre con el número de asistentes a la subasta. El precio mínimo se alcanzará cuando el número de asistentes sea nulo: P (0) = 50 (50.000 ptas.)

78

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

140 120 100 80 P(x) 60 40 20 0

2

4

6

x8

10

12

14

Septiembre 96: Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C(x) en pesetas, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la siguiente expresión: C(x) = 10x2 + 2000x + 250000 El precio de venta de cada juguete es de 8000 ptas. a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios? Solución: Apartado a: La función de ingresos vendrá dada por los ingresos totales de las ventas. Así: I(x) = 8000x Apartado b: La función de beneficios vendrá dada por los ingresos totales de las ventas menos los costes de fabricación. Así: ¡ ¢ B(x) = 8000x − C(x); 8000x − 10x2 + 2000x + 250000 = −10x2 + 6000x − 250 000 Apartado c: Se trata de encontrar un máximo en la función de beneficios y de determinar su valor: B 0 (x) = −20x + 6000 = 0 → {x = 300} B 00 (x) = −20 < 0 → Máximo B(300) = −10 · 3002 + 6000 · 300 − 250000 = 650 000 Es decir: los beneficios serán máximos al fabricar 300 juguetes, y en estas condiciones alcanzarán las 650 000 pesetas.

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

79

2e+06 1.8e+06

I(x)

C (x)

1.6e+06 1.4e+06 1.2e+06 1e+06 800000

B(x)

600000 400000 200000 0

100

200

300 x

400

500

600

Junio 97: En cierto colectivo de hogares se ha observado empíricamente que el gasto mensual en alquiler de películas de vídeo ( G(t) en miles de ptas.) depende el tiempo dedicado mensualmente a ver Tv. ( t, en horas) en los siguientes términos:  si 0 ≤ t < 20  0 0.1t si 20 ≤ t ≤ 100 G(t) =  40t−1000 si 100 < t 2t+100 a) Justifica que la función G(t) es discontinua en t = 20. ¿Existe una diferencia importante entre el gasto de los hogares, según que el tiempo dedicado a ver Tv. sea ”ligeramente” inferior o superior a 20 horas?. Razona la respuesta. b) Justifica que en cualquier hogar en que se vean más de 100 horas de Tv. al mes, el gasto en alquiler de vídeos supera las 10.000 ptas. Solución: Apartado a: ½ limt→20− G(t) = limt→20− 0 = 0 limt→20+ G(t) = limt→20+ 0.1t = 2 Como los límites laterales son distintos, la función es discontinua en el punto t = 20. Se trata de una discontinuidad inevitable de salto 2. Por ello, existe una diferencia importante entre el gasto de los hogares que ven ”ligeramente” más o menos de 20 horas mensuales de Tv. Esa diferencia es, precisamente, el salto de la discontinuidad; es decir 2000 ptas. Apartado b: ½ limt→100− G(t) = limt→100− 0.1t = 10 limt→100+ G(t) = limt→100+ 40t−1000 2t+100 = 10 G(100) = 0.1 × 100 = 10 Luego la función es continua en t = 100 puesto que los límites laterales son iguales y coinciden con el valor de la función en el punto. 20t−500 Por otra parte, cuando t > 100, tenemos que: G(t) = 40t−1000 2t+100 = t+50 .

80

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

1500 G0 (t) = 20(t+50)−(20t−500) = (t+50) 2 > 0. Como la primera derivada es (t+50)2 positiva, la función es creciente. Por ello, el gasto mensual en alquiler de vídeos tiene que superar las 10 (miles de ptas.) que es el valor que adopta la función en t = 100.

12 10 8 G(t) 6 4 2 0

20

40

60

t 80

100

120

140

Septiembre 97: En una empresa, la relación entre la producción ( x, expresada en miles de toneladas) y los costes medios de fabricación ( C(x), expresados en miles de ptas.) es del tipo: C(x) = ax2 + bx + c. a) Sabiendo que dichos costes ascienden a 43.000 ptas si la producción es de 1.000 tm., que son 36.000 ptas. si se producen 2.000 tm., y que la derivada segunda de dicha función es igual a 2, determinar la función de costes medios. b) Obtener razonadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de C(x). c) A la vista de los resultados del apartado anterior, calcular razonadamente la producción óptima de la empresa y sus costes medios. Solución: Apartado a: Se trata de determinar los parámetros a, b y c en la función: C(x) = ax2 + bx + c. C 0 (x) = 2ax + b; C 00 (x) = 2a Sabemos que:  · si x = 1, entonces C(x) = 43  43 = a + b + c · si x = 2, entonces C(x) = 36 36 = 4a + 2b + c → →  · la derivada segunda de la función vale 2 2a = 2 → {a = 1, b = −10, c = 52} Por lo que la función de costes medios será: C(x) = x2 − 10x + 52. Apartado b: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento podemos:

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

81

- tener en cuenta que se trata de una parábola y determinar su eje y su orientación: 10 · el eje de la parábola viene dado por x = −b 2a = 2 = 5 · la orientación viene dada por el signo de: a = 1 > 0 → cóncava por tanto, la parábola será decreciente en (−∞, 5) y creciente en (5, ∞) - o bien, analizar el signo de la primera derivada de la función: C(x) = x2 − 10x + 52; C 0 (x) = 2x − 10, que se anula en x = 5 · si x ∈ (−∞, 5), entonces C 0 (x) < 0 → función decreciente · si x ∈ (5, +∞), entonces C 0 (x) < 0 → función decreciente Apartado c: La producción óptima que haga mínimos los costes medios de fabricación; se situará en el eje de la parábola o, lo que es lo mismo, en el valor de x que anule la primera derivada, es decir, en x = 5 (miles de toneladas). Aunque no resultaría necesario, dada la orientación de la parábola, podemos verificar que se trata de un mínimo analizando el signo de la segunda derivada de la función: C 00 (x) = 2 > 0 → mínimo. En x = 5, los costes medios de producción, resultan ser: C(5) = 52 − 50 + 52 = 27 (miles de ptas.)

80 60 C(x) 40 20

0

2

4

x 6

8

10

Junio 98: Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15.5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión ( F (x) representa el número de fotografías por minuto cuando ½ la máquina tiene x años ): 15.5 − 1.1x si 0 ≤ x ≤ 5 F (x) = 5x+45 si x > 5 x+2 a) estudiar la continuidad de la función F .

82

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

b) comprobar que el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina. Justificar que si tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotografías por minuto. c) justificar que por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de 5 fotografías por minuto. Solución: Apartado a: Se trata de una función definida a tramos. En el interior de cada uno de los intervalos la función es continua. Bastará con analizar el punto de unión x½= 5. limx→5− F (x) = limx→5− 15.5 − 1.1x = 15.5 − 5.5 = 10 70 limx→5+ F (x) = limx→5+ 5x+45 x+2 = 7 = 10 F (5) = 15.5 − 5.5 = 10 Como los límites laterales son iguales y, además, coinciden con el valor de la función en x = 5, la función es continua en ese punto. Apartado b: Se trata de comprobar que la función es decreciente en todo su dominio: - En el primer tramo bastará con observar que se trata de una recta de pendiente negativa. - Para analizar el segundo tramo, calculamos la derivada de la función: 35 F 0 (x) = 5(x+2)−(5x+45) = − (x+2) 2 si x > 5 (x+2)2 y observamos que, independientemente del valor que adopte x, la derivada será siempre negativa. Por tanto, el número de fotografías por minuto decrecerá siempre con la antigüedad de la máquina. Para justificar que si tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotografías por minuto, bastará con calcular F (5) = 15.5 − 5.5 = 10 y recordar que la función es decreciente. Apartado c: Para justificar que nunca revelará ³ menos ´ de 5 fotografías por minuto, 5x+45 bastará con determinar: limx→∞ x+2 = 5 y constatar que la funcion presenta una asíntota horizontal F (x) = 5

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

83

20

15

F(x) 10

5

0

2

4

6

x8

10

12

14

Septiembre 98: Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una función de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada. Tales costes (en ptas.) vienen dados por la siguiente expresión ( C(x) representa el coste si el volumen de agua, en millones de metros cúbicos, es x) : C(x) = x3 + x2 − 8x + 73 a) encontrar el volumen diario de agua óptimo que debe mantenerse para minimizar costes. b) calcular el coste mínimo diario que supone el mantenimiento de la instalación. Si un día la presa tiene almacenados 3 millones de metros cúbicos de agua, ¿cuánto se ha gastado de más respecto del coste mínimo? Solución: Apartado a: Se trata de encontra un valor de x que haga mínima la función C(x): Para ello, derivamos la función, la igualamos a cero y determinamos los puntos críticos. C(x) = x3 + x2 − 8x + 73 → C 0 (x) = 3x2 + 2x − 8 © ª 3x2 + 2x − 8 = 0 cuyas dos soluciones son: {x = −2} , x = 43 En estos puntos, podemos encontrar un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Como que en este problema las soluciones negativas no tienen una interpretación física, analizamos únicamente la solución x = 43 . Para ello, estudiamos el signo de la segunda derivada de la función en ese punto: C 00 (x) = 6x + 2; C 00 ( 43 ) = 8 + 2 = 10 > 0 Como la segunda derivada en el punto es positiva, en x = 43 tendremos un mínimo. Por tanto, el volumen diario de agua óptimo que debe mantenerse para minimizar costes es de 43 millones de metros cúbicos. Apartado b: C(x) = x3 + x2 − 8x + 73; C( 43 ) = 1795 27 = 66. 481 El coste mínimo diario que supone el mantenimiento de la instalación,

84

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

viene dado por: C( 43 ) = 1795 27 = 66. 481 pesetas. El día en el que la presa almacene 3 millones de metros cúbicos, el coste diario de mantenimiento será: C(3) = 85; por ello, se gastarán: 85 − 66.481 = 18.519 ptas. de más.

120 100 80 C(x) 60 40 20 -4

-2

0

2 x

4

Junio 99: Se ha investigado el tiempo ( T , en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas ( x, en días), obteniéndose que: ½ 300 si 0 ≤ x ≤ 30 x+30 T (x) = 1125 + 2 si x > 30 (x−5)(x−15) a) Justificar que la función T es continua en todo su dominio. b) ¿Se puede afirmar que cuánto más se entrene un deportista menor será el tiempo en realizar la prueba? ¿ Algún deportista tardará más de 10 minutos en finalizar la prueba? c) Por mucho que se entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto? ¿y en menos de 2?. Solución: Apartado a: Se trata de una función definida a tramos. En el interior de cada uno de ellos la función es continua, puesto que los valores que anulan el denominador se encuntran fuera de cada intervalo; bastará con analizar el punto de unión ½ x = 30. 300 limx→30− T (x) = limx→30− x+30 =5 1125 +2=3+2=5 limx→30+ T (x) = limx→30+ (x−5)(x−15) 300 = 5, y coincide La función existe en x = 30, su valor es T (30) = 30+30 con el valor de los límites laterales que son iguales. Por ello, la función es continua en todo su dominio. Apartado b: Se trata de comprobar que la función es decreciente en cada tramo; para

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

85

ello analizaremos el signo de la primera derivada: 300 - tramo 1: T 0 (x) = − (x+30) 2 → negativa en [0, 30]

−1125(2x−20) - tramo 2: T 0 (x) = (x 2 −20x+75)2 → negativa en (30, ∞) Como que la función es decreciente, sí se puede afirmar que cuanto más se entrene el deportista menor será el tiempo que tarde en realizar la prueba. 300 = 10, podemos decir que ningún deportista tarComo T (0) = 0+30 dará más de 10 minutos en realizar la prueba; incluso si no entrena nada en absoluto. Apartado c: Para averiguar cuál será el menor tiempo posible para realizar la prueba, bastará recordar que la función es decreciente y determinar: 1125 limx→∞ (x−5)(x−15) +2=2 Por lo que ningún deportista podrá realizar la prueba en menos de 2 minutos por mucho que se entrene y, por supuesto, tampoco en menos de 1 minuto.

12 10 8 T(x) 6 4 2 0

20

40

x

60

80

100

Septiembre 99: Un individuo ha invertido en acciones de cierta compañía durante los últimos 10 años. El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido más beneficios obtenidos, en miles) viene dado por la siguiente expresión ( x en años): © F (x) = (x − 2)2 (1 − 2x) + 252x + 116 si 0 ≤ x ≤ 10 a) Determinar los intervalos de tiempo en que la cartera creció y aquellos en que decreció. b) El individuo retira sus ingresos transcurridos 10 años. ¿Cuál hubiera sido el mejor momento para haberlo hecho? ¿Cuánto pierde por no haberlo retirado en el momento óptimo? Solución: Apartado a: Tenemos una función polinómica por lo que es continua en todo su do-

86

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

minio. Se trata de determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Para ello, bastará con analizar el signo de la primera derivada: 2 F (x) = (x − 2) (1 − 2x) + 252x + 116 = −2x3 + 9x2 + 240x + 120 0 2 F (x) = −6x + 18x + 240 = −6 (x + 5) (x − 8) = 0 F 0 (x) = 0 → {x = −5} , {x = 8} Como x = −5 no tiene sentido físico en este problema, analizamos sólo los intervalos: · intervalo [0, 8): F 0 (x) > 0 → F (x) es creciente → la cartera creció. · intervalo (8−10]: F 0 (x) < 0 → F (x) es decreciente → la cartera decreció. Apartado b: Dado que la función es continua, que a la izquierda de x = 8 es creciente, y que a la derecha de x = 8 es decreciente, la función debe de presentar un máximo en x = 8. Podemos verificarlo comprobando el signo de la segunda derivada en ese punto: F 00 (x) = −12x + 18; F 00 (8) = −96 + 18 = −78 < 0 → máximo El mejor momento para retirar su inversión hubiera sido a los 8 años. Para averiguar la pérdida sufrida, comparamos el valor de la cartera a los 8 y a los 10 años, determinando los valores de la función en esos puntos: si F (x) = (x − 2)2 (1 − 2x) + 252x + 116 F (8) = 1592 F (10) = 1420 Luego, habrá perdido: 1592 − 1420 = 172 (miles de pesetas). 1800 1600 1400 1200 1000 F(x) 800 600 400 200 0

2

Junio 00:

4

½

x

6

8

10

x+1 si x ≤ 1 , responda razonada3 − ax2 si x > 1 mente a las siguientes cuestiones: a) ¿Para qué valores de a la función F (x) es continua en x = 1? b) Si F (x) es continua cuando x → x0 entonces no existe limx→x0 F (x) ¿es cierto? Solución: Apartado a: Dada la función F (x) =

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

87

Para que una función sea continua en un punto es preciso que: · la función exista y esté definida en ese punto: F (1) = 1 + 1 = 2 · los ½ límites laterales existan y coincidan con el valor de la función: limx→1− F (x) = limx→1− ¡(x + 1) =¢ 1 + 1 = 2 ; limx→1+ F (x) = limx→1+ 3 − ax2 = 3 − a12 = 3 − a luego, habrá de cumplirse que: 2 = 3 − a → a = 1 Septiembre 00: Determine e identifique los valores óptimos de la función f (x) = 3x2 e−4x . Solución: Se trata de encontrar máximos y/o mínimos en la función dada. Para ello derivamos, igualamos a cero y determinamos los puntos críticos: f (x) = 3x2 e−4x → ¡ ¢ −4x 2 −4x f 0 (x) = 6xe−4x +3x2 −4e−4x = 6xe = −6xe−4x (−1 + 2x) ª e © −12x 1 −4x −6xe (−1 + 2x) = 0 → {x = 0} , x = 2 Comprobamos que se trate de máximos o mínimos analizando el signo de la segunda derivada en cada punto: 2 −4x f 0 (x) = 6xe−4x − 12x ¡ e −4x→ ¢ ¡ ¢ 00 −4x f (x) = 6e + 6x −4e − 24xe−4x − 12x2 −4e−4x = = 6e−4x − 48xe−4x + 48x2 e−4x · f 00 (0) ¡ ¢= 6 > 0 → En x = 0 se presenta un mínimo. · f 00 12 = −6e−2 < 0 → En x = 12 se presenta un máximo. Los valores óptimos de la función f (x) = 3x2 e−4x serán: · f (0) = 0 → A (0, 0)¡ ¢ · f ( 12 ) = 34 e−2 → B 12 , 34 e−2 La representación gráfica de la función f (x) = 3x2 e−4x será: 0.5

0.3 f(x) 0.2 0.1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4 x 0.6

0.8

1

-0.1

Junio 01: El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en función del tiempo de uso ( x en años) viene dado por la siguiente expresión:

88

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

3x f (x) = 8.5 + 1+x x≥0 2 a) ¿Hay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? ¿y en que decrece? ¿cuáles son? b) ¿En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? ¿Cuánto vale? c) Por mucho que pase el tiempo, ¿puede llegar a ser el rendimiento inferior al que el producto tenía cuando era nuevo? Solución: Apartado a: Se trata de analizar el crecimiento de la función f (x) dada; para ello analizamos los signos que adopta la primera derivada: 3(1+x2 )−3x(2x) 3(1−x2 ) 3x 3−3x2 0 f (x) = 8.5 + 1+x = (1+x 2 → f (x) = 2 )2 2 )2 = (1+x2 )2 (1+x ¡ ¢ 1 − x2 = 0 → {x = −1} , {x = 1} (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞) f 0 (x) < 0 f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0 Por tanto: Decrecimiento Crecimiento Decrecimiento Si consideramos únicamente el intervalo en el que la función está definida (0, 1) (1, ∞) f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0 x ≥ 0: Crecimiento Decrecimiento Apartado b: Se trata de encontrar un máximo en la función anterior. Para ello: ¡ ¢ 3(1−x2 ) f 0 (x) = 0 → (1+x2 )2 = 0 → 1 − x2 = 0 → {x = −1} , Consideramos únicamente la solución {x = 1} que se encuentra dentro del dominio de definición de la función. Teniendo en cuenta el análisis del crecimiento desarrollado en el apartado anterior, podemos afirmar que, en x = 1, la función presenta un máximo. Su valor será: 3x 3 f (x) = 8.5 + 1+x 2 → f (1) = 8.5 + 1+12 = 10 Apartado c: El rendimiento que el producto tenía cuando era nuevo viene dado por el valor que adopta la función en x = 0: 3x 0 f (x) = 8.5 + 1+x 2 → f (0) = 8.5 + 1+02 = 8. 5 El rendimiento crece hasta alcanzar el valor máximo de 10 al cabo de 1 año. A partir de ese momento, la función es decreciente; la tendencia será: 3x limx→∞ f (x) = limx→∞ 8.5 + 1+x 2 = 8. 5 La función presenta una asíntota horizontal f (x) = 8.5. Por ello, el rendimiento no podrá ser inferior a ese valor. 3x La representación gráfica de la función f (x) = 8.5 + 1+x 2 será:

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

89

10 8 6 f(x) 4 2

-4

-2

0

2

x

4

Septiembre 01: La cotización en pesetas de cierta moneda en los últimos 5 años y medio se ajusta bastante bien a la siguiente función ( C(t) indica la cotización en el tiempo t medido en años): C(t) = (−t2 + 1) (t − 9) − 16t + 59 0 ≤ t ≤ 5.5 a) Encuentra el intervalo o intervalos de tiempo en que la cotización creció, y aquél o aquéllos en que decreció. b) ¿En qué momentos hubo una cotización más baja y más alta? ¿cuáles fueron esas cotizaciones? c) ¿Tiene la función C(t) algún punto de inflexión? Esboza un dibujo de dicha función. Solución: Apartado a: Se trata de analizar el crecimiento de la función C(t) dada; para ello analizamos ¡ los signos ¢ que adopta la primera derivada: C(t) = −t2 + 1 (t − 9) − 16t + 59 = −t3 + 9t2 − 15t + 50 → 0 2 ¡→ C 2(t) = −3t + ¢ 18t − 15 −3t + 18t − 15 = 0 → {t = 1} , {t = 5} (−∞, 1) (1, 5) (5, ∞) 0 0 C (t) < 0 C (t) > 0 C 0 (t) < 0 Por tanto: Decrecimiento Crecimiento Decrecimiento Si consideramos únicamente el intervalo en el que la función está definida (0, 1) (1, 5) (5, 5.5) C 0 (t) < 0 C 0 (t) > 0 C 0 (t) < 0 0 ≤ t ≤ 5.5: Decrecimiento Crecimiento Decrecimiento Apartado b: Se trata de encontrar un máximo y un mínimo en la función anterior. Para ello: C 0 (t) = 0 → {t = 1} , {t = 5} Comprobamos que se trate de máximos o mínimos analizando el signo

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3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

de la segunda derivada en cada punto: C 00 (t) = −6t + 18 · C 00 (1) = 12 > 0 → En x = 1 se presenta un mínimo. · C 00 (5) = −12 < 0 → En x = 5 se presenta un máximo. Los valores máximo y mínimo de la función C(t) = −t3 + 9t2 − 15t + 50 serán: · C(1) = −1 + 9 − 15 + 50 = 43 → A (1, 43) · C(5) = −125 + 225 − 75 + 50 = 75 → B (5, 75) Apartado c: La función C(t) es polinómica, por tanto, continua en todo su dominio. Al presentar un mínimo en t = 1 y un máximo en t = 5, tiene que presentar, forzosamente, un punto de inflexión entre ambos. Para determinarlo, igualamos a 0 la segunda derivada: C 00 (t) = −6t + 18 = 0 → {t = 3} La representación gráfica de la función C(t) = −t3 + 9t2 − 15t + 50 será:

80 60 C(t) 40 20

0

1

2

3

t

4

5

6

7

Junio 02: El porcentaje de ocupación de una cafetería entre las 13 y las 21 horas se explica bastante bien por la siguiente función ( P (x) representa el porcentaje de ocupación a ¡las x horas). ¢ P (x) = x2 − 55x (x + 1) + 1015x − 5542 13 ≤ x ≤ 21 a) Indica los intervalos de tiempo en que la ocupación crece y aquellos en que decrece. b) Dibuja la función. ¿Cuándo se alcanza el porcentaje de ocupación más alto? ¿y el más bajo? ¿cuánto valen? c) ¿La función tiene algún máximo o mínimo relativo que no sea absoluto? Solución: Apartado a: Se trata de analizar el crecimiento de la función P (x) dada; para ello analizamos los signos que adopta la primera derivada:

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

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¡ ¢ P (x) = x2 − 55x (x + 1) + 1015x − 5542 = x3 − 54x2 + 960x − 5542 P 0 (x) = 3x2 − 108x + 960 P 0 (x) = 0 → 3x2 − 108x + 960 = 0 → {x = 16} , {x = 20} (−∞, 16) (16, 20) (20, ∞) P 0 (x) < 0 P 0 (x) > 0 Por tanto: P 0 (x) > 0 Crecimiento Decrecimiento Crecimiento Si consideramos únicamente el intervalo en el que la función está definida (13, 16) (16, 20) (20, 21) P 0 (x) < 0 P 0 (x) > 0 13 ≤ x ≤ 21: P 0 (x) > 0 Crecimiento Decrecimiento Crecimiento Apartado b: Se trata de una función polinómica, por tanto continua en todo su dominio, que presenta un máximo en x = 16 y un mínimo en x = 20. Determinamos el¡ valor que¢ adopta la función P (x) en esos puntos: P (x) = x2 − 55x (x + 1) + 1015x − 5542 P (16) = 90 → máximo en A (16, 90) P (20) = 58 → mínimo en B (20, 58) Además, sabemos que la función corta al eje de ordenadas en −5542, puesto que P (0) = −5542. La representación ¡ ¢gráfica de la función P (x) = x2 − 55x (x + 1) + 1015x − 5542 será: 5

0

10

x

15

20

100

80 -2000 P(x)

60 P(x) 40

-4000

20

0

12

14

16

18 x

20

22

24

Apartado c: No, puesto que la derivada es una función polinómica de grado 2, que únicamente puede presentar, como máximo, dos raíces: el máximo y el mínimo absolutos que hemos encontrado. Septiembre 02: Según cierta teoría médica el peligro de un virus se mide en función del tiempo que lleva en el organismo mediante la siguiente expresión ( P (t) es el peligro para ½ un tiempo de t minutos) t2 0≤t≤5 P (t) = 50t−62.5 t>5 0.5t+5 a) Estudia la continuidad del peligro como función del tiempo. b) El peligro del virus ¿crece a medida que permanece más tiempo en el

92

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

organismo? c) Por mucho tiempo que lleve en el organismo, ¿puede superar el virus una peligrosidad de 95? ¿y de 100? Solución: Apartado a: Se trata de una función definida a tramos. En el interior del primer intervalo, la función es continua; es una parábola. En el interior del segundo intervalo, la función también lo es, puesto que el valor que anularía el denominador 0.5t+5 = 0 → {t = −10} se encuentra fuera del intervalo. Bastará con analizar el punto de unión t = 5. Para que una función sea continua en un punto es preciso que: · la función exista y esté definida en ese punto: P (5) = 52 = 25 · los ½ límites laterales existan y coincidan con el valor de la función: limt→5− P (t) = limt→5− 52 = 25 limt→5+ P (t) = limt→5+ 50·5−62.5 0.5·5+5 = 25 Por tanto la función es continua en todo su dominio. Apartado b: Se trata de analizar el crecimiento de la función. En el intervalo 0 ≤ t ≤ 5 la función es continua y pasa de adoptar el valor 0 al valor 25. Para analizar el crecimiento en el intervalo t > 5, analizamos el signo de la primera derivada. 100t−125 1125.0 P (t) = 50t−62.5 → P 0 (t) = (t+10.0) 2 > 0 → Creciente. 0.5t+5 = t+10 Por lo tanto, el peligro del virus crece a medida que permanece más tiempo en el organismo. Apartado c: Se trata de determinar la tendencia de la función cuando t → ∞ limt→∞ P (t) = limt→∞ 100t−125 = 100 t+10 1 = 100 Por tanto el virus puede llegar a superar la peligrosidad de 95, pero no llegará a alcanzar una peligrosidad de 100. La función presenta una asíntota horizontal P (t) = 100 ½ t2 0≤t≤5 La representación gráfica de la función P (t) = 50t−62.5 t>5 0.5t+5 será:

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

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100 80 60 40 20

0

20

40

t

60

80

100

Junio 03: El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma según la siguiente función (el peso P en toneladas; t representa la ½ edad en2años de la plancha): 50 − t 0≤t≤3 P(t)= 20t 56 − t+1 t>3 a) ¿Es el peso una función continua con la edad? Según vaya pasando el tiempo ¿la plancha cada vez aguantará menos peso? b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra, la plancha siempre aguantará más de 40 toneladas. ¿Estás de acuerdo? c) Esboza un dibujo de la gráfica de P (t) cuidando la concavidad y convexidad de la función. Solución: Apartado a: En el interior del primer intervalo [0, 3] la función es continua; se trata de una parábola. En el interior del segundo intervalo (3, ∞) también lo es, puesto que el valor de t que anula el denominador. t + 1 = 0, es decir, {t = −1} queda fuera del intervalo. Bastará ½ con analizar lo que sucede en2el punto de unión t = 3 limt→3− P (t) = limt→3− 50 − t = 50 − 9 = 41 20t limt→3+ P (t) = limt→3+ 56 − t+1 = 56 − 60 4 = 41 Como que los límites laterales son iguales y su valor coincide con el de la función en ese punto, la función es continua en t = 3. Además, decreciente en todo su dominio de definición: ½ la función es [0, 3] : P 0 (t) = −2t < 0 20 (3, ∞) : P 0 (t) = − (t+1) 2 < 0 Por lo que aguantará cada vez menos peso según vaya pasando el tiempo. Apartado b: Se trata de determinar el valor de limt→∞ P (t) :

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3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

20t limt→∞ P (t) = limt→∞ 56 − t+1 = 56 − 20 = 36 La función presenta una asíntota horizontal P (t) = 36, por lo que la plancha siempre aguantará más de 36 toneladas aunque no más de 40. Apartado c: La concavidad o convexidad de una función viene dada por el signo de su segunda ½ derivada: [0, 3] : P 00 (t) = −2 40 (3, ∞) : P 00 (t) = (t+1) 3 Por tanto se producirá un cambio de concavidad en el punto de unión {t = 3}

50 40 30 P(t) 20 10 0

2

4

t

6

8

10

Septiembre 03: La gráfica de la velocidad de un autobús en los 6 minutos previos a un accidente quedó recogida en el tacómetro, y se ajusta bastante bien a la siguiente función. V (t) es la velocidad en el tiempo t ( t en minutos, de 0 a 6): V (t) = 24t − 15t2 + 2t3 + 100 0≤t≤6 a) Especifica los intervalos de tiempo en los que la velocidad aumentó y aquellos en que disminuyó. b) Dibuja la gráfica de la velocidad, especificando, si los hay, los puntos de inflexión. ¿En qué momentos se alcanza la mayor y menor velocidad? c) Especifica (si los hay) los máximos y mínimos relativos y absolutos. Solución: Apartado a: Una función polinómica es continua en todo su dominio; se trata de analizar el crecimiento de la función: V (t) = 24t − 15t2 + 2t3 + 100 → V 0 (t) = 6t2 − 30t + 24 = 6 (t − 1) (t − 4) V 0 (t) = 0 → 6 (t − 1) (t − 4) = 0 → {t = 1} , {t = 4} (0, 1) (1, 4) (4, 6) V 0 (t) > 0 V 0 (t) < 0 V 0 (t) > 0 Por tanto: Crecimiento Decrecimiento Crecimiento

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

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Apartados b y c: Los puntos de inflexión se presentarán al anularse la segunda derivada: 0 2 00 V (t) = 24t−15t2 +2t3 +100 → © V (t) ª= 6t −30t+24 → V (t) = 12t−30 5 00 V (t) = 0 → 12t − 30 = 0 → t = 2 Teniendo en cuenta la continuidad de la función podemos decir que en t = 1 presenta un máximo y en t = 4 un mínimo relativos, así como que en t = 52 presenta un punto de inflexión:

140 120 100 80 60 40 20 -1

0

1

2

3

t

4

5

6

7

  V (1) = 111 → M (1, 111) V (4) = 84 → m¡(4, 84)¢ V (t) = 24t − 15t2 + 2t3 + 100 →  5 195 V ( ) = → I 52 , 195 2 2 2 ½ V (0) = 100 Además, sabemos que: → V (6) = 136 La menor velocidad se presenta en t = 4 y es 84, mientras que la mayor velocidad se presenta en t = 6 y es 136. Se corresponden con el mínimo y máximo absolutos. Junio 04: El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente función indicará en cada momento (t, en meses) el porcentaje de pacientes que podrá sere operado sin necesidad de entrar en½lista de espera: t2 − 8t + 50 si 0 ≤ t ≤ 10 P(t)= 38t−100 si t > 10 0.4t a) ¿A partir de qué momento crecerá este porcentaje? Por mucho tiempo que pase ¿a qué porcentaje no se llegará nunca? b) Haz un esbozo de la gráfica de la función P a lo largo del tiempo: Solución: Apartado a: Antes de analizar el crecimiento de la función, estudiemos su continuidad: Se trata de una función definida a tramos. En el interior del primero

96

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

la función es continua, puesto que se trata de una parábola; en el interior del segundo también lo es, puesto que el valor que anula el denominador (x = 0) se encuentra fuera del intervalo de definición. Bastará, por tanto, con analizar el punto de unión t = 10. ½ limt→10− P (t) = limt→10− t2 − 8t + 50 = 100 − 80 + 50 = 70 limt→10+ P (t) = limt→10+ 38t−100 = 380−100 = 70 0.4t 4 La función existe en t = 10, su valor es P (10) = 100 − 80 + 50 = 70, y coincide con el valor de los límites laterales que son iguales. Por ello, la función es continua en todo su dominio. Se trata, ahora, de de estudiar el creciemiento de la función: −b 8 - tramo ½ 1: t = 2a = 2 = 4 → como a > 0 se presenta un mínimo en decreciente en: [0, 4) t=4→ creciente en: (4, 10] 38·0.4t−(38t−100)·0.4 0 - tramo 2: P (t) = = 250.0 > 0 para t > 10 → 0.16t t creciente en (10, ∞) Analicemos ahora si la función presenta alguna asíntota horizontal: limt→∞ P (t) = limt→∞ 38t−100 = 95 0.4t Visto todo lo anterior, podemos asegurar que el porcentaje de operados sin entrar en lista de espera crecerá indefinidamente a partir de mes t = 4, pero que nunca llegará a superar el 95%. Apartado b: 100 80 60 P(t) 40 20

0

5

10

t

15

20

25

Septiembre 04: Una cadena de televisión ha presentado un nuevo progama para la franja de las 11 a las 15 horas. El share o porcentaje de audiencia de la primera emisión vino dado por la siguiente función, donde S(t) representa el share en el tiempo t, en horas. Para que el programa siga emitiéndose el share ha tenido que alcanzar, en algún momento el 30% S(t) = −t3 + 36t2 − 420t + 1596 11 ≤ t ≤ 15 a) Indica cuándo creció el share y cuándo decreció ¿El programa seguirá

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

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emitiéndose? b) Dibuja la gráfica del share. Solución: Apartado a: Antes de analizar el crecimiento de la función, estudiemos su continuidad: se trata de una función continua en todo su dominio por tratarse de una función polinómica. Para estudir el crecimiento de la función, analizamos el signo de la primera derivada: S(t) = −t3 +36t2 −420t+1596 → S 0 (t) = −3t2 +72t−420 = −3 (t − 10) (t − 14) S 0 (t) = 0 → {t = 10} , {t = 14}   en: (−∞, 10) S 0 (t) < 0 la función es decreciente en: (10, 14) S 0 (t) > 0 la función es creciente  en: (14, ∞) S 0 (t) < 0 la función es decreciente Visto lo anterior, la función presenta un mínimo en: S(10) = −4 → A(10, −4) Visto lo anterior, la función presenta un máximo en: S(14) = 28 → B(14, 28) Por lo tanto, al no haber alcanzado el 30% de share, el programa no seguirá emitiéndose. Apartado b: S(t) = −t3 + 36t2 − 420t + 1596 40 30 S(t) 20 10

0

10

11

12

t 13

14

15

16

-10

3.2 Problemas propuestos B3-01: Calcula el valor que debe de tener k para que cada una de las siguientes funciones sea continua:

98

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

a) f (x) =

½

x + 1 si x ≤ 2 k − x si x > 2

b) g(x) =

½

x + k si x ≤ 0 x2 − 1 si x > 0

B3-02: Determina el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua:½ 4 ½ x2 −1 x −1 si x 6= 1 si x < 1 x−1 x−1 a) f (x) = b) g(x) = k si x = 1 k si x ≥ 1 B3-03: En la función f (x) = ax4 + bx2 + c , determina los valores que han de tener a, b, c, para que la función tenga un máximo en (0, 4) y un punto de inflexión para x = 1.

B3-04: Hallar los coeficientes a, b, c, d, en la función: f (x) = ax3 +bx2 +cx+d, sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto de inflexión (1, 0) es y = −3x + 3, y que la función tiene un extremo relativo en x = 0. B3-05: Un rectángulo mide 8 dm. de largo y 4 dm. de ancho. De cada esquina se recorta un cuadrado de lado x con el fin de hacer una caja sin tapa. Se pide: a) Calcule el volumen de la caja en función de x. b) Halle x para que el volumen sea máximo. c) Halle dicho volumen máximo. B3-06: Una empresa que fabrica un determinado producto ha determinado que el beneficio que obtiene al fabricar x unidades del mismo viene dado por la 2 100x 1600 función: f (x) = −x 90 + 90 − 90 , ( f (x) en miles de euros). a) Representar gráficamente dicha función. b) ¿Cuántas unidades hay que fabricar para que no se produzcan pérdidas? c) ¿Cuál es el mayor beneficio posible? ¿Cuántas unidades deben fabricarse para obtenerlo? B3-07: Una tienda de juguetes ha comprobado que el número de compradores de un cierto juego depende del precio del mismo, segun la función: n(p) = 2000 − 8p, donde n(p) es el número de compradores cuando p es el precio del juego. Obtener: a) La función que expresa los ingresos diarios (I) de esta empresa en función del precio del juego (p). b) El precio del juego que hace máximos dichos ingresos. c) ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos máximos? Justifica la respuesta. d) ¿Qué sucederá si la tienda tiene "muchísimos" compradores. B3-08: El número de socios de una cierta ONG viene dado por la función n(x) = 2x3 − 15x2 + 24x + 26 dónde x indica el número de años desde su fundación. Calcula:

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

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a) representa gráficamente esa función. b) el número de socios iniciales en el momento fundacional. c) en que año ha habido el menor número de socios. ¿cuántos fueron? d) el cuarto año se produjo un cambio en la junta directiva; ¿influyó en el número de socios? B3-09: Sea la función: h(x) = 2x3 + bx2 + ax − 5. a) Halla los valores de a y b de forma que h(x) tenga un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2. B3-10: Se ha encontrado que el número de litros de agua que necesita semanalmente un determinado cultivo, desde el momento en que se planta (t = 0) hasta el√ momento en que se seca (t = 4), viene dado por la expresión: f (t) = −2t2 + 8t; (t = a˜ nos). Determina: √ a) en qué momento el cultivo requiere 6 litros de agua semanales. b) en qué momento las necesidades de agua del cultivo serán máximas, y cuál será su valor. B3-11: El número de personas, en miles, afectadas por una enfermedad infec30t ciosa, viene dado por la función: f (t) = t2 −2t+4 , donde t es el tiempo transcurrido en días desde que se inició el contagio. a) ¿Cuál es la tasa de cambio de número de personas afectadas correspondientes al cuarto día? b) ¿En qué día se tiene el máximo número de enfermos? ¿Cuántos son éstos? c) ¿Sería correcto afirmar que la enfermedad se irá extinguiendo con el transcurso del tiempo? Justifícalo razonadamente. B3-12: a) Enunciar la regla de Barrow y comentar su aplicación. R1 b) Aplicarla para calcular −1 e2x dx c) Determinar el área comprendida entre las curvas y = e2x , y = e−2x , el eje OX, y los valores de abscisa x = 1, x = −1. B3-13: Sea una función f ; sabemos que la representación gráfica de su derivada es una recta que pasa por los puntos (0, 2) y (2, 0). Sea otra función g; sabemos que la representación gráfica de su derivada es una parábola que corta al eje OX en (0, 0) y (4, 0) y tiene por vértice (2, 1). Utilizando las gráficas de tales derivadas: a) estudia el crecimiento y decrecimiento de f y g. b) determina, si existen, máximos y mínimos de f y g . B3-14: En un centro de entrenamiento de deportistas de alta competición han determinado que el rendimiento de uno de ellos (en %) frente a un determinado tiempo t de esfuerzo muscular, viene dado por la siguiente función:

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3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

  −t (t − 20) si 0 ≤ t < 15 75 si 15 ≤ t < 30 R(t)=  100 − 56 t si 30 ≤ t a) Representa dicha función. b) ¿en qué momento alcanza el deportista su máximo rendimiento? c) ¿cuál será el rendimiento del deportista a los 60 minutos de comenzar el entrenamiento? d) ¿qué se puede decir del rendimiento del deportista si el entrenamiento se prolonga indefinidamente?. Justifica todas las respuestas. B3-15:  2  x + 2x + 1 si x < −1 2x + 2 si −1 ≤ x ≤ 2 , se pide: Sea la función: f (x) =  −x2 + 8x si x > 2 a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Represéntala gráficamente y, a la vista de su gráfica, determina sus máximos y mínimos, así como el crecimiento y decrecimiento. B3-16: Una empresa ha estimado que los ingresos y los gastos anuales (en pesetas) que genera la fabricación y venta de x unidades de un determinado producto, vienen dados por las funciones: ½ I(x) = 28x2 + 36000x G(x) = 44x2 + 12000x + 700000 Determina, justificando las respuestas: a) la función que define el beneficio anual. b) el número de unidades que hay que vender para que el beneficio sea máximo. c) el valor de dicho beneficio máximo. d) ¿qué sucedería con las funciones de ingresos, gastos y beneficios si la producción alcanzara una ”infinidad” de unidades? B3-17: x2 Sea la función f (x) = 4−x . Determinar: a) su dominio de definición. b) sus asíntotas. c) máximos y mínimos. d) intervalos de crecimiento y decrecimiento. e) área encerrada por la curva, la asíntota correspondiente, y las rectas x = k, x = 2k, siendo k el punto en el que la función tiene un máximo relativo. B3-18: Deseamos compar 18 ordenadores y en el mercado hay de dos tipos. Sabemos que el beneficio que podemos obtener de su uso viene dado por el producto del número de ordenadores de un tipo que se compra por el cuadrado del número de ordenadores del otro tipo que se adquiere. Determina el número de ordenadores de cada tipo que debemos comprar para que el beneficio sea máximo.

3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

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B3-19: x2 Considera la función: y = x+a Determina para qué valores del parámetro a la función es creciente en el punto de abscisa x = 1. B3-20: a) Indica si puede haber dos funciones con la misma derivada. En caso afirmativo pon un ejemplo. b) Determina la función f (x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto (2, 4) y que su derivada es f 0 (x) = x14 + 2x B3-21: Dada la función f (x) = x2 − 23 x3 , calcular los puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad y convexidad, asíntotas. Representar gráficamente f (x). B3-22: Los economistas de una empresa han determinado que, para un periodo de tiempo fijo, la función de coste de almacenamiento de ¡un cierto mate¢ rial, depende de las toneladas del mismo. Así: C(x) = 50 50 + 6x + 120 x , representa el coste en euros, siendo x las toneladas de material. a) ¿Qué cantidad de materiales hace que el coste sea mínimo? b) ¿Cuáles son las asíntotas de esta función? c) Representar dicha función para los valores de x ≥ 0 B3-23: Los beneficios totales que se obtienen al vender cierto producto, dependen del precio de venta del mismo, pues éste condiciona el número de unidades que se venderán. Se ha determinado que, si el precio al que vende cada artículo es x euros, sus beneficios vendrán dados por la fórmula: B(x) = 12x − 2x2 − 12, en miles de euros por día. a) Representa la función precio-beneficio. Indica a qué precios podría venderse el artículo sin sufrir pérdidas. b) ¿A qué precio se obtiene la ganancia máxima? ¿A cuánto asciende? B3-24: Sea la función: f (x) = 3x − x3 a) esboza su gráfica a partir del máximo, del mínimo y del punto de inflexión. b) halla el área de la región finita que dicha función delimita con el eje de abscisas x. B3-25: En una ciudad se declara una enfermedad contagiosa. El número de enfermos a lo largo del pasado mes de enero ha venido dado por la función y(t) = 100 + 200e0.2t , dónde t representa el número de días transcurridos a partir del 1 de enero. a) ¿Cuántos enfermos había el citado 1 de enero? b) Calcula la expresión algebraica de la función que representa la velocidad de evolución del número de enfermos al cabo de t días.

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3. Funciones, continuidad, límites y derivadas

c) Determina la fecha en la cual la velocidad de evolución del número de enfermos ha sido igual a 295.56 enfermos/día.

4 Integrales 4.1 Problemas PAU Septiembre 94: Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b]. a) Explicar el enunciado de la regla de Barrow y su aplicación. b) Sea f (x) = 3x2 − 6x, justificar cuál de las siguientes funciones: U (x) = 3x3 + 3x2 ; V (x) = x3 − 3x2 es primitiva de la anterior. ¢ R4¡ 2 c) Calcular 0 3x − 6x dx Solución: Apartado a: La regla de Barrow nos dice que si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x), se verifica que: Rb f (x) = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a

Es decir, ”la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] es igual al valor que toma una primitiva F (x) en el punto b, menos el que toma en el punto a”. Apartado b: ¢ R R¡ 2 3 2 F (x) = f (x)dx = 3x − 6x dx = 3 x3 − 6 x2 + C = x3 − 3x2 + C Como dos funciones primitivas de una función dada únicamente pueden diferir en una constante, encontramos que sólo V (x) = x3 − 3x2 puede ser primitiva de f (x) Apartado c: Aplicando la regla de Barrow, tendremos que: ¢ £ ¤4 R4¡ 2 3x − 6x dx = x3 − 3x2 0 = 16 − 0 = 16 0 Junio 95: a) Enunciar la regla de Barrow y comentar su aplicación. b) Sea la función F (x) = x4 + ax3 + bx. Calcular a y b, sabiendo que: 1) el punto (1, 2) pertenece a la gráfica de F (x); 2) F (x) es función primitiva de cierta función f (x) cuya integral en el intervalo [1, 2] es igual a 10. Solución: Apartado a: La regla de Barrow nos dice que si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x), se verifica que: Rb f (x) = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a

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4. Integrales

Es decir, ”la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] es igual al valor que toma una primitiva F (x) en el punto b, menos el que toma en el punto a”. Apartado b: · Como el punto (1, 2) pertenece a la función F (x) = x4 + ax3 + bx F (1) = 2 → 2 = 1 + a + b → a + b = 1 R2 · Como f (x)dx ¢= [F¡ (x)]21 = F (2) − F¢(1) = 10 1 ¡ 4 3 2 + a · 2 + b · 2 − 14 + a · 13 + b · 1 = 10 16 + 8a + 2b − 1 − a½− b = 10 → 7a + b = −5 a+b=1 Resolviendo el sistema: , tendremos: {a = −1, b = 2} 7a + b = −5 Septiembre 95: a) Explicar el concepto de función primitiva. b) Sea f (x) = e2x − 2x2 + 8, justificar si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g(x) = e2x − 4x + 8 h(x) = 2e2x − 4x ¢ R1¡ c) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para calcular: 0 2e2x − 4x dx Solución: Apartado a: Sean f (x) y F (x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F (x) es una función primitiva de f (x) si F (x) tiene por derivada a f (x). Es decir: F (x) es primitiva de f (x)

⇔

F 0 (x) = f (x)

Apartado b: Para que f (x) sea primitiva de g(x) es necesario que: f 0 (x) = g(x) Para que f (x) sea primitiva de h(x) es necesario que: f 0 (x) = h(x) Comprobémoslo: f 0(x) = 2e2x − 4x = h(x) Por tanto, f (x) es una primitiva de h(x). Apartado c: La regla de Barrow nos dice que si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x), se verifica que: Rb b f (x) = [F (x)]a = F (b) − F (a) a

Es decir, ”la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] es igual al valor que toma una primitiva F (x) en el punto b, menos el que toma en el punto a”. ¢ £ ¤1 R 1 ¡ 2x 2e − 4x dx = e2x − 2x2 + 8 0 = e2 − 3 0 Junio 96: Dada la función: f (x) = (x + 1) (3x − 2) a) Calcular una primitiva de f (x)

4. Integrales

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b) Justificar que la función: F (x) = x3 + 2x2 + 2 no es primitiva de f (x) R1 c) Enunciar la regla de Barrow y calcular: 0 (x + 1) (3x − 2) dx Solución: Apartado a: 2 fR (x) = (x +R1)¡(3x − 2) = 3x 2 ¢ +x− 2 f (x)dx = 3x + x − 2 dx = x3 + 12 x2 − 2x + C Apartado b: El conjunto de primitivas de la función dada ha de ser de la forma: x3 + 12 x2 − 2x + C La función F (x) = x3 +2x2 +2 no puede ser una primitiva de f (x) puesto que tiene un coeficiente diferente para el término en x2 y no tiene término en x. Apartado c: La regla de Barrow nos dice que si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x), se verifica que: Rb b f (x) = [F (x)]a = F (b) − F (a) a

Es decir, ”la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] es igual al valor que toma una primitiva F (x) en el punto b, menos el que toma en el punto a”. ¢ £ ¤1 R1 R1¡ (x + 1) (3x − 2) dx = 0 3x2 + x − 2 dx = x3 + 12 x2 − 2x 0 = 0¡ ¢ = 1 + 12 − 2 − (0) = − 12 Junio 96-R: a) ¿Qué se entiende por función primitiva? b) Sea f (x) = 2x4 − x3 + 2. Deducir razonadamente si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g(x) = 8x3 − 3x2 ; h(x) = 4x3 + 3x2 + 2 ¢ R2¡ c) Enunciar la regla de Barrow y calcular: 0 8x3 − 3x2 dx Solución: Apartado a: Sean f (x) y F (x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F (x) es una función primitiva de f (x) si F (x) tiene por derivada a f (x). Es decir: F (x) es primitiva de f (x)

⇔

F 0 (x) = f (x)

Apartado b: - f (x) es una primitiva de g(x), puesto que f 0 (x) = g(x) - f (x) no es una primitiva de g(x), puesto que f 0 (x) 6= g(x) Apartado c: La regla de Barrow nos dice que si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x), se verifica que: Rb f (x) = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a

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4. Integrales

Es decir, ”la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] es igual al valor que toma una primitiva F (x) en el punto b, menos el que toma en el punto a”. i2 £ h 4 R2¡ 3 ¢ ¤2 x x3 2 − 3x − 3 = 2x4 − x3 0 = 8x dx = 8 4 3 0 0 ¡ ¢ = 2 · 24 − 23 − (0) = 24

Junio 97: a) Enunciar la regla de Barrow. b) Dada la función: f (x) = ax3 + bx + c, calcular los valores de a, b y c, sabiendo que: 1) F (x) = x4 − 2x2 + cx es una primitiva de f (x). 2) la integral de f (x) en el intervalo [0, 1] es igual a 1. Solución: Apartado a: La regla de Barrow nos dice que si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x), se verifica que: Rb f (x) = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a

Es decir, ”la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] es igual al valor que toma una primitiva F (x) en el punto b, menos el que toma en el punto a”. Apartado b: Como que: F (x) = x4 − 2x2 + cx es una primitiva de f (x), tendremos que: F’(x) = f(x); es decir: 4x3 − 4x + c = ax3 + bx + c → {a = 4; b = −4} Como que: la integral de f (x) en el intervalo [0,1] es igual a 1, tendremos que: = 1; ¡ 4F(1) - F(0) ¢ es¡decir: ¢ 1 − 2 · 12 + c · 1 − 04 − 2 · 02 + c · 0 = 1 → {c = 2} Septiembre 97: Dada la función: f (x) = x3 + x22 a) Calcular una primitiva de f (x) b) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para obtener la integral de f (x) en el intervalo [1, 2] Solución: Apartado a: Calcular una primitiva en determinar: ¢ consiste R R ¡ 3 de2 f(x) R R f (x)dx = x + x2 dx = x3 dx + x22 dx = 14 x4 − x2 + K 1 4 2 siendo K una constante cualquiera; por ejemplo, si k=5: 4x − x +5 Apartado b: La regla de Barrow nos dice que si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x), se verifica que: Rb f (x) = [F (x)]ba = F (b) − F (a) a

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Es decir, ”la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] es igual al valor que toma una primitiva F (x) en el punto b, menos el que toma en el punto a”. R2 R2¡ ¢ £ ¤2 f (x)dx = 1 x3 + x22 dx = 14 x4 − x2 1 = 19 4 1

Junio 98: Dada la función: f (x) = x + xa3 , donde a es una constante, se pide: a) Encontrar una primitiva de f . b) Si F es una primitiva de f , ¿puede serlo también G(x) = F (x) + 2x? R2 c) Encontrar a sabiendo que: 1 f (x)dx = 1.5 Solución: Apartado a: Para encontrar una primitiva de f (x), determinaremos: ¢ R R¡ R R 2 f (x)dx = x + xa3 dx = xdx + xa3 dx = x2 − 2xa2 + K Cualquier función de la forma anterior, siendo K una constante, será 2 primitiva de f(x). Por ejemplo: x2 − 2xa2 + 3 Apartado b: Si F es una primitiva de f , entonces G(x) = F (x)+2x no puede serlo. Dos primitivas de una función dada únicamente pueden diferir en una constante. H(x) = F (x) + 2 , en cambio, sí que lo sería. Apartado c: R2 R2¡ ¢ Sabemos que: 1 f (x)dx = 1, 5. Es decir: 1 x + xa3 dx = 1, 5. hPor2 tanto:i2 ³ 2 ´ ³ 2 ´ x a 2 a 1 a − = 1, 5 → − − − 2 2x2 2 2·22 2 2·12 = 1, 5 → {a = 0} 1

Septiembre 98: Dada la función: f (x) = 4e4x + a, donde a es una constante, se pide: a) Justificar si las siguientes funciones son o no primitivas de f : F1 (x) = 4e4x + ax F2 (x) = e4x + ax R1 b) Encontrar a, sabiendo que: 0 f (x)dx = e4 Solución: Apartado a: Determinar una Rprimitiva calcular: ¡ 4x de¢ f(x) significa R R R f (x)dx = 4e + a dx = 4e4x dx + adx = e4x + ax + K Como las distintas primitivas de una función dada únicamente pueden diferir en una constante, constatamos que: F1 (x) no puede ser primitiva de f (x), mientras que F2 (x) sí que lo es. Apartado b: R1 Sabemos que: 0 f (x)dx = e4 Por tanto:¢ R 1 ¡ lo 4x £ ¤1 ¡ ¢ ¡ ¢ 4e + a dx = e4x + ax 0 = e4 + a − e0 + 0 = 0 = e4 + a − 1 = e4 → {a = 1}

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Junio 99: x Dada la función: f (x) = ae 3 + x12 (x 6= 0), donde a es una constante: R2 a) Calcular 1 f (x)dx en función de a. b) Se sabe que F es una primitiva de f . Calcular a si F (1) = 0 y F (2) = 12 . Solución: Apartado a:R ¡ ¢ R R R x x x f (x)dx = ae 3 + x12 dx = ae 3 dx + x12 dx = 3a · e 3 − x1 + K ³ ´ ³ ´ R2 £ ¤ x 2 1 2 f (x)dx = 3a · e 3 − x1 1 = 3a · e 3 − 12 − 3a · e 3 − 11 = 1 ³ 2 ´ 2 1 1 = 3a · e 3 − 3a · e 3 + 12 = 3a e 3 − e 3 + 12 Apartado b: x Por ser F (x) una primitiva de f (x), tendremos que: F (x) = 3a·e 3 − x1 +K ¾ 1 1 - si F (1) = 0: 3a · e 3 − 11 + K = 0; 3a · e 3 − 1 + K = 0 → 2 2 - si F (2) = 12 : 3a · e 3 − 12 + K = 12 ; 3a · e 3 − 1 + K = 0 1 2 → 3a · e 3 = 3a · e 3 → {a = 0}

Septiembre 99: x Dada la función: f (x) = xe 2 : a) Calcular una primitiva de f . R2 b) Calcular 0 f (x)dx. c) Si F y G son primitivas de f , y H = F − G, ¿es posible que la derivada de H sea la función x2 ? Solución: Apartado a: Calcular una primitiva de f (x) significa calcular: R R x f (x)dx = xe 2 dx Para resolver dicha integral es necesario recurrir al método de integración por partes: R R udv = uv − vdu Efectuamos los siguientes cambios de variable: ½ u=x → du =R dx x x x dv = e 2 dx → v = e 2 dx = 2e 2 Aplicamos la fórmulaRde integración por partes: R x x x x x xe 2 dx = x · 2e 2 − 2e 2 dx = 2xe 2 − 4e 2 + k Cualquier valor real de k nos proporciona una primitiva; por ejemplo: x x 2xe 2 − 4e 2 + 5 Apartado b: ³ ´ ¡ £ ¢ R2 x x ¤2 2 2 2 − 4e 2 2 − 4e 2 f (x)dx = 2xe = 2 · 2e − 2 · 0 · e0 − 4e0 = 0 0 (4e − 4e) − (0 − 4) = 4 Apartado c: Si F y G son dos primitivas de f , entonces únicamente difieren en una constante.

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La función H = F − G será también, por tanto, una constante. Como la derivada de una función constante es cero, resulta imposible que la derivada de H sea la función x2 . Junio 00: Enuncie la regla de Barrow y aplíquela a la función f (x) = ex (x + 1) en el intervalo [0, 1]. Solución: La regla de Barrow nos dice que si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y F (x) es una primitiva de f (x), se verifica que: Rb a

f (x) = [F (x)]ba = F (b) − F (a)

Es decir, ”la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] es igual al valor que toma una primitiva F (x) en el punto b, menos el que toma en R el punto a”. R Así: f (x)dx = ex (x + 1) dx Para resolver dicha integral es necesario recurrir al método de integración por partes: R R udv = uv − vdu Efectuamos los siguientes cambios de variable: ½ u = (x + 1) → du =R dx dv = ex dx → v = ex dx = ex Aplicamos la fórmula de integración R x R por partes: (e (x + 1)) dx = (x + 1) · ex − ex dx = (x + 1) · ex − ex + C = = xex + ex − ex + C = xex + C Por R 1 xtanto: 1 e (x + 1) dx = [xex ]0 = e − 0 = e 0

Septiembre 00: Determine la función primitiva y el área bajo la curva, en el intervalo [1, e], de la función f (x) = ln(x). Solución: R R Calculamos: f (x)dx = ln(x)dx Para resolver dicha integral es necesario recurrir al método de integración por partes: R R udv = uv − vdu Efectuamos los siguientes cambios de variable: ½ u = ln x → du =R x1 dx dv = dx → v = dx = x Aplicamos la fórmulaR de integración por partes: R ln xdx = x · ln x − x · x1 dx = x · ln x − x + C = x (ln x − 1) Como que la función logarítmo no adopta valores negativos en en intervalo R e [1, e], para determinare el área pedida bastará con calcular: ln xdx = [x (ln x − 1)]1 = e (ln e − 1) − 1 (ln 1 − 1) = 0 − (−1) = 1 1

110

4. Integrales

Junio 01: Sea f (x) = x2 + bx donde b es una constante. a) Encuentra b, sabiendo que hay una primitiva F de f con F (0) = 2 y F (3) = 20. Encuentra también la expresión de F . b) Dibuja la curva f (x) cuando b = −1 y halla el área delimitada por dicha curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 0 y x = 2. Solución: Apartado a: Determinamos una primitiva de f (x) R R 3 2 F (x) = f (x)dx = (x2 + bx)dx = x3 + b x2 + C¾ - si F (0) = 2: 0 + 0 + C = 2 → C=2 → 9 - si F (3) = 20: 27 + b + 2 = 20 → b=2 3 2 3 → F (x) = x3 + x2 + 2 Apartado b: Si b = −1, tendremos que f (x) = x2 − x 1 Se trata de una parábola cuyo eje será: x = −b 2a = 2 1 1 2 1 1 El vértice, por tanto: f ( 2 ) = ( 2 ) − 2 = − 4 Y los puntos de corte de esta parábola con el eje OX serán: x2 − x = 0 → {x = 0} , {x = 1} 3

f(x) 1

-1

-0.5

0

0.5

1x

1.5

2

-1

Por tanto, para calcular el área pedida habra que descomponerla en la suma de dos definidas: ¯R de los valores ¯ ¯absolutos ¯ integrales h 3 h 3 i i 2 1 2 2 ¯ 1 2 ¯ ¯R 2 2 ¯ = ¯ 0 (x − x)dx¯ + ¯ 1 (x − x)dx¯ = x3 − x2 + x3 − x2 0 1 ¯¡ 1 ¢¯ ¯¡ 5 ¢¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = − + =1 6

6

Septiembre 01: x Dada la función f (x) = (x + a) e( 2 +1) , donde a es una constante: a) Encuentra una primitiva de f . R2 b) Calcula a, sabiendo que −2 f (x)dx = 8. Justifica que, para ese valor x de a, 2xe( 2 +1) no es primitiva de f .

4. Integrales

111

Solución: Apartado a: Se trata de resolver la siguiente integral indefinida: R R x f (x)dx = (x + a) e( 2 +1) dx Para resolver dicha integral es necesario recurrir al método de integración por partes: R R udv = uv − vdu Efectuamos los siguientes cambios de variable: ( u=x+a → du = dx R x x x +1) ( 2 dv = e dx → v = e( 2 +1) dx = 2e( 2 +1) Aplicamos la fórmula de integración por partes: R R x x x (x + a) e( 2 +1) dx = (x + a) · 2e( 2 +1) − 2e( 2 +1) dx = x x x = (x + a) · 2e( 2 +1) − 4e( 2 +1) + C = 2e( 2 +1) (x + a − 2) + C Apartado b: R2 Como sabemos que −2 f (x)dx = 8 h x i2 2e( 2 +1) (x + a − 2) = 2e2 a − 2e0 (a − 4) = 2e2 a − 2a + 8 = 8 → −2 ¡ ¢ → 2e2 a − 2a = 0 → a 2e2 − 2 = 0 → {a = 0} x Si a = 0, tendremos que 2xe( 2 +1) no es primitiva de f puesto que dos

primitivas no pueden diferir entre sí más que en una constante, y hemos x x encontrado que (x + a) · 2e( 2 +1) − 4e( 2 +1) + C sí que es una primitiva. Junio 02: Dada la función f (x) = 3ax2 + 2a (x > 0), donde a es una x3 + 5 constante, a) Encuentra el valor de a sabiendo que cierta función F es una primitiva de f y verifica que F (1) = 6 y F (2) = 42. b) Dibuja la función f para el valor de a obtenido en el apartado anterior y encuentra también en ese caso el área limitada por la curva y el eje OX entre x = 1 y x = 2. Solución: Apartado a: Encontremos una primitiva de f (x); para ello: ¢ R R¡ 3 −2 F (x) = f (x) dx = 3ax2 + x2a3 + 5 dx = 3a x3 + 2a x−2 + 5x + C = ax3 − xa2 + 5x + C ¾ - si F (1) = 6: a − a + 5 + C = 6 →C=1 → - si F (2) = 42: 8a − a4 + 10 + C = 42 → a → 8a − 4 + 11 = 42 → {a = 4} Apartado b: Cuando a = 4 la función será: f (x) = 3ax2 + x2a3 + 5 = 12x2 + x83 + 5 Representémosla: • Dominio: (−∞, 0) ∪ (0, ∞)

112

4. Integrales

• Simetrías: 8 8 2 f (x) = 12x2 + x83 + 5; f (−x) = 12 (−x)2 + (−x) 3 + 5 = 12x − x3 + 5 ½ Como que: f (x) 6= f (−x) → No es función par Como que: f (x) 6= −f (−x) → No es función impar

• Crecimiento y decrecimiento: f 0 (x) = 24x −

24 x4

5

= 24 x x−1 → 4

(−∞, 1) f 0 (x) < 0 Decreciente

(1, ∞) f 0 (x) > 0 Creciente

• Máximos y mínimos: 5

f 0 (x) = 0 → 24 x x−1 = 0 → {x = 1} ; f (1) = 12 + 8 + 5 = 25 4 teniendo en cuenta el crecimiento de la función, podemos decir que se presenta un mínimo en (1, 25) • Asíntotas horizontales y verticales: ¢ ¡ 2 · Hor.: limx→∞ f (x) = limx→∞ + x83 +¢5 = ∞ ¡ 12x · Vert.: limx→0 f (x) = limx→0 12x2 + x83 + 5 = ∞

→ →

No hay x=0

• Asíntotas oblicuas:

5

limx→∞ f 0 (x) = limx→∞ 24 x x−1 = ∞ → No las hay 4 La representación gráfica de la función f (x) = 12x2 +

8 x3

+ 5 será:

100 80 60 f(x) 40 20 -4

-2

-20

2 x

4

-40 -60 -80 -100

Septiembre 02: 2 Dada la función f (x) = x3 − 27 + axex , donde a es una constante, a) Encuentra una primitiva de f . b) Si a = 0, dibuja la función f para x ≥ 0 y encuentra el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4.

4. Integrales

113

Solución: Apartado a: R Se trata de determinar f (x)dx´ ³ R R R R R 2 2 3 f (x)dx = x − 27 + axex dx = x3 dx − 27dx + axex dx =

1 4 4x

2

− 27x + 12 aex + C Apartado b: Si a = 0, tenemos que: f (x) = x3 − 27 Representémosla: • Dominio: (−∞, 0) ∪ (0, ∞) • Simetrías:

f½(x) = x3 − 27; f (−x) = (−x)3 − 27 = −x3 − 27 Como que: f (x) 6= f (−x) → No es función par Como que: f (x) 6= −f (−x) → No es función impar • Corte con los ejes: ½ Si x = 0: → f (x) = −27 Si f (x) = 0: → x3 − 27 = 0 → {x = 3}

→ →

(0, −27) (3, 0)

• Crecimiento y decrecimiento: (−∞, ∞) f (x) = x3 − 27 → f 0 (x) = 3x2 > 0 → f 0 (x) > 0 Creciente • Máximos y mínimos: f (0) = 0 − 27 = −27 f 0 (x) = 0 → 3x2 = 0 → {x = 0} ; teniendo en cuenta el crecimiento de la función, podemos decir que se presenta un punto de inflexión en (0, −27), aunque también podemos verificarlo comprobando que la primera derivada que no se anula en x = 0 es de orden 3 (impar): f 00 (x) = 6x → f 00 (0) = 0; f 000 (x) = 6 → f 000 (0) = 6 • Asíntotas horizontales y verticales: ¢ ¡ 3 · Hor.: limx→∞ f (x) = limx→∞ ¢ =∞ ¡ 3x − 27 · Vert.: limx→0 f (x) = limx→0 x − 27 = −27

→ →

No hay No hay

• Asíntotas oblicuas:

limx→∞ f 0 (x) = limx→∞ 3x2 = ∞ → No las hay La representación gráfica de la función f (x) = x3 − 27 será:

114

4. Integrales

40 f(x) 20

-4

-2

0

2

x

4

-20 -40

Para determinar el área pedida: £ ¤3 R3 f (x)dx = 14 x4 − 27x 2 = − 43 2 £1 4 ¤4 67 4 R4 f (x)dx = x − 27x = 4 4 3 3 67 El área vendrá dada por: 43 4 + 4 =

55 2

Junio 03: a) Dada la función f (x) = 25 − x2 + xa2 (x 6= 0), donde a es una constante, encuentra una primitiva de f . Posteriormente, encuentra a para que si f 0 es la derivada de f , entonces f 0 (1) = −2. b) Dibuja la función f (x) = 25 − x2 , y halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 6. Solución: Apartado a: Una primitiva de f Rvendrá dada por: ¡ ¢ R F (x) = f (x)dx = 25 − x2 + xa2 dx = 25x − 13 x3 − xa + C 4 Además, f 0 (x) = −2x − x2a3 = −2 x x+a 3 como que f 0 (1) = −2 → −2 1+a = −2 → {a = 0} 1 Apartado b: f (x) = 25 − x2 = 0 → {x = 5} , {x = −5}

4. Integrales

115

25 20

10 5 -6

-4

-2

0

2

x4

6

-5 -10

Por dada por: ¯R lo tanto, ¯ el¯Rárea pedida ¯ vendrá ¯ ¯ ¯R ¯ ¯ 5 ¯ ¯ 6 ¯ ¯R 5 ¯ ¯ 6 ¯ ¯ 1 f (x)dx¯ + ¯ 5 f (x)dx¯ = ¯ 1 (25 − x2 )dx¯ + ¯ 5 (25 − x2 )dx¯ = ¯h ¯ ¯ ¯ i i ¯ ¯h 3 5¯ 3 6¯ 16 = ¯¯ 25x − x3 ¯¯ + ¯¯ 25x − x3 ¯¯ = 176 3 + 3 = 64 1 5

Septiembre 03: x (x > 0) a) Encuentra la primitiva de la función f (x) = x− x272 +e( 2 +1) que en el 2 valga 15.5. b) Dibuja la función f (x) = x − x272 (x > 0) y encuentra el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 5. Solución: Apartado a: Una primitiva de la función vendrá dada ´ por: R R³ x 1 2 x+1 + C F (x) = f (x)dx = x − x272 + e( 2 +1) dx = 12 x2 + 27 x + 2e Se trata de hacer que: F (2) = 15.5. Por tanto: © ª 1 1 2 27 27 2 2 2 2+1 + C = 15.5 → 2 + 2 2 + 2 + 2e 2 + 2e + C = 15.5 → C = −2e 1 2 x+1 − 2e2 La primitiva pedida será: 12 x2 + 27 x + 2e Apartado b: Sea la función: f (x) = x − x272 · corte con eje OX: f (x) = 0 → x − x272 = 0 → {x = 3} · asíntota vertical en: x = 0 · asíntota oblícua: y = mx + b → y = x 27 m = limx→∞ f (x) x = limx→∞ 1 − x3 ¡= 1 ¢ b = limx→∞ [f (x) − mx] = limx→∞ x − x272 − x = 0 54 Crecimiento de la función: f 0 (x) = 1 + 54x (∀x > 0) x4 = 1 + x3 > 0

116

4. Integrales

100 80 60 40 20 0 -20

20

40

x

60

80

100

-40 -60 -80 -100

Como la función se anula en x = 3 , para calcular el área pedida habra que determinar el valor absoluto de dos integrales definidas: ¢ £ ¤3 R3 R3¡ f (x)dx = 1 x − x272 dx = 12 x2 + 27 x 1 = −14 1 ¢ £ ¤5 22 R5 R5¡ f (x)dx = 3 x − x272 dx = 12 x2 + 27 x 3 = 5 3 92 El area será: 14 + 22 5 = 5 = 18.4 Junio 04: a) Encuentra la primitiva de la función f (x) = 27 − x3 + 3e2x−1 que en el 1 valga 26’75 b) Dibuja la función f (x) = 27 − x3 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = −3 y x = 5. Solución: Apartado a: Una primitiva de la Rfunción vendrá dada¢ por: ¡ R F (x) = f (x)dx = 27 − x3 + 3e2x−1 dx = 27x − 14 x4 + 32 e2x−1 + C Se trata de hacer que: F (1) = 26.75. Por tanto: 27 · 1 − 14 · 14 + 32 e2−1 + C = 26.75 → 27 − 14 + 32 e + C = 26.75 → {C = −4. 077} La primitiva pedida será: 27x − 14 x4 + 32 e2x−1 − 4. 077 Apartado b: Determinamos los puntos de corte de la función f (x) = 27 − x3 con el eje OX: f (x) = 0 → 27 − x3 = 0 → {x = 3} Como la función se anula en x = 3 , para calcular el área pedida habra que determinar el valor absoluto de dos integrales definidas: i3 h ¢ R3 R3 ¡ x4 3 f (x)dx = = 162 27 − x dx == 27x − 4 −3 −3 −3 i h 5 ¢ R5 R5¡ 4 f (x)dx = 3 27 − x3 dx = 27x − x4 = −82 3 3 El area será: 162 + 82 = 244 Septiembre 04:

4. Integrales

117

60 40 f(x) 20 -4

-2

0

2

4

x

6

-20 -40 -60

FIGURE 4.1.

a) Dada la función f (x) = xa + 3x2 − x3 , encuentra a para que si f 0 es la derivada de f , entonces f 0 (−1) = −10 b) Dibuja la función f (x) = 3x2 − x3 . Encuentra el área limitada por la curva y el eje X entre x = −1 y x = 2. Solución: Apartado a: 2 f (x) = xa + 3x2 − x3 → f 0 (x) = −a x2 + 6x − 3x −a 0 f (−1) = −10 → −10 = (−1)2 + 6 (−1) − 3 (−1)2 → −10 = −a 1 −6−3 → {a = 1} Apartado b: Representemos la función: f (x) = 3x2 − x3 • Dominio: (−∞, ∞) • Por ser una función polinómica, es continua en todo su dominio. • Simetrías: 2

3

f½(x) = 3x2 − x3 ; f (−x) = 3 (−x) − (−x) = 3x2 + x3 Como que: f (x) 6= f (−x) → No es función par Como que: f (x) 6= −f (−x) → No es función impar • Crecimiento y decrecimiento: f 0 (x) = 6x−3x2 = 3x (2 − x) → • Máximos y mínimos:

(−∞, 0) f 0 (x) < 0 Decreciente

(0, 2) f 0 (x) > 0 Creciente

(2, ∞) f 0 (x) < 0 Decreciente

118

4. Integrales

4 f(x) 2

0

-1

1

2

x

3

-2 -4

FIGURE 4.2.

f 0 (x) = 0 → 6x − 3x2 = 0 → {x = 0} ; {x = 2} f (0) = 0 − 0 = 0 f (2) = 12 − 8 = 4 teniendo en cuenta el crecimiento de la función, podemos decir que se presenta un mínimo en (0, 0) y un máximo en (2, 4) • Asíntotas horizontales y verticales: ¡ ¢ · Hor.: limx→∞ f (x) = limx→∞ 3x2 − x3 = ∞ · Vert.:

→ →

No hay No hay

• Asíntotas oblicuas:

¡ ¢ limx→∞ f 0 (x) = limx→∞ 6x − 3x2 = ∞ → No las hay Como la función se anula en x = 0 , para calcular el área pedida habra que determinar el valor absoluto de dos integrales definidas: i0 h ¢ R0 R0 ¡ 2 x4 3 3 f (x)dx = − x − = 54 3x dx = x 4 −1 −1 −1 i h R2¡ R2 ¢ 4 2 f (x)dx = 0 3x2 − x3 dx = x3 − x4 =4 0 El area será:

5 4

+4=

21 4

0

4.2 Problemas propuestos B4-01: Sea la función f (x) = 3x−6 x+2 que representa los beneficios expresados en millones de euros que obtiene una determinada empresa, siendo x los años de vida de la misma. Se pide: a) Representa gráficamente la función.

4. Integrales

119

b) En el momento de fundación de la empresa, ¿hubo pérdidas o beneficios? ¿a cuánto ascendieron? c) ¿En qué año deja la empresa de tener pérdidas? d) ¿Están limitados los beneficios? Si lo están, ¿cuál es el límite? e) ¿A cuánto ascienden los beneficios acumulados durante los tres primeros años? B4-02: ½ −x2 + 6x si 0 ≤ x ≤ 5 Sea la función g(x)= . Se pide: −x + 10 si 5 < x ≤ 10 a) Represéntala gráficamente. b) Calcula la superficie del recinto comprendido entre dicha función y el eje de abscisas. B4-03: x2 Sea la función: f (x) = 3−x . Determinar: a) Su dominio de definición. b) Sus asíntotas. c) Máximos y mínimos. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. e) Área encerrada entre la curva, la asíntota correspondiente, y las rectas x = 6, x = 9. B4-04: Sea la función: y = 4x3 − 4x a) Calcular una primitiva de la función. b) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x3 − 4x y el eje de abscisas. c) ¿Es posible que el resultado del apartado anterior sea 0? B4-05: La variación de los costes de mantenimirento de un grupo de maquinaria de construcción viene dada por la función v(t) = 8 + 8t + 4t2 , donde t se mide en años, y v en miles de euros/año. Se pide: a) Dibuja la gráfica de la función e interprétala. b) Halla el área encerrada bajo la curva anterior, el eje de abscisas, entre los valores t = 0 y t = 4. ¿Qué representa este resultado? B4-06: Sea la función f (x) = 2x3 + bx2 + ax − 5 a) Hállense los valores de a y b de forma que f tenga un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2. B4-07: R 1 x2 a) Calcular: 0 x+2 dx. ¿cuál el el significado geométrico de esa integral? √ b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función y = x, y las rectas x = 0, x = 1, y = 0 B4-08: ½ (x − 3)2 si x ≥ 0 Hallar el área encerrada entre la curva: y = y 3x + 9 si x < 0

120

4. Integrales

el eje de abscisas B4-09: Sabemos que una función f (x) está definida en el intervalo [0, 6] y que la gráfica de su derivada f 0 (x) es la línea quebrada que une los puntos (0, 2) , (2, −2) y (6, 2). Halla razonadamente los intervalos de crecimiento de f (x) y sus extremos relativos. De una función f (x) se sabe que está definida en el intervalo [0, 4] y que la gráfica de su derivada f 0 (x) es la línea quebrada que une los puntos (0, 1) , (2, −1) y (4, 1). Hallar razonadamente los intervalos de crecimiento de f (x) y sus extremos relativos. B4-10: Determinar una función f (x) sabiendo que f 000 (x) = 12x; f 00 (0) = 2; 0 f (0) = 1 y f (0) = 0. B4-11: Una función verifica que y 00 = 3. Determínala, sabiendo que su gráfica pasa por el punto (2, 0) y que la pendiente de la tangente a la curva en ese punto es 8. B4-12: a) Calcular el área limitada por la gráfica de la función y = ln x y la recta x = e, que se encuentra por encima del eje de abscisas. b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función y = x ln x y la recta x = e, que se encuentra por encima del eje de abscisas. B4-13: Encuentra la ecuación de la curva que pasa por los puntos P (1, 0) y Q (e, e), sabiendo que su derivada segunda es f 00 (x) = 2 ln x + 1. B4-14: Se sabe que la gráfica de una función f pasa por el punto (1, 1) y que f 0 (1) = 2. Se conoce también que su derivada segunda es la función f 00 (x) = 3. Determina, razonadamente, la función f . B4-15: Calcula, en cada caso, la función f (x) que cumple las condiciones indicadas: a) f (0) = 1 y f 0 (x) = ex cos ¡ x ¢ b) f (0) = 0 y f 0 (x) = x ln x2 + 1 B4-16: Calcula el área del recinto limitado por la curva y = x12 , el eje OX y las rectas y = x, x = 3 B4-17: Una exposición está abierta al público de 8 a 14h. Se ha determinado que el ritmo al que acuden los visitantes viene dado por la función: r(t) = −2t2 + 12t visitantes/hora. Si t representa el número de horas transcurridas desde la apertura de la exposición, determina: a) ¿Qué significa r(t)?

4. Integrales

121

b) Representa la función r(t) c) ¿Qué valor de r corresponde a las 10 horas? ¿Y a las 13 horas? d) ¿Qué unidades tendrá el producto r(t) · dt ? ¿Qué significa? R6 e) ¿Cómo interpretas 0 r(t) · dt ? f ) Calcula el valor de la integral anterior. B4-18: Un depósito de agua de 3000 litros se vacía por un desague por el que fluye el siguiente caudal: C(t) = −0.15t + 30, donde t se mide en minutos. a) Calcula el volúmen de agua que ha salido del depósito a los 10 minutos. b) Halla el volumen total de agua que ha salido del depósito al llegar al instante t. c) Calcula el instante en que se vacía el depósito. B4-19: 3 Halla una primitiva de la función y = (2x + 1) que tome el valor 300 para x = 12 B4-20: En una epidemia se ha detectado que tras la administración de un fármaco antibiótico los casos graves disminuyen a un ritmo de g(t) = 10e−0.02t personas/hora, donde t se mide en horas. Sabemos que el fármaco se ha administrado a las 8 horas de la mañana y que a las 11 horas había aún 250 personas graves. Determina cuántos enfermos graves habrá a las 16 horas. B4-21: El valor de un automovil decrece a un ritmo dado por (1200t − 4000) en =/año, siendo t el tiempo en años. Si el valor del vehículo nuevo era de C 15.000 C = ¿ cuál será su valor al cabo de 3 años? B4-22: Sabemos que un polinomio de grado dos P (x) = x2 + ax + b verifica que R3 se anula para x = 3 y, además, se sabe que 0 P (x)dx = 6. Determina los coeficientes a y b. B4-23: A las 8 horas de la mañana surge un rumor en una ciudad que se propaga 3 a un ritmo de e 2 t +500 personas/hora. Sabiendo que t representa el número de horas transcurridas desde la aparición del rumor, calcula el número de personas que lo habrán oido entre las 9 y las 12 horas de la mañana. B4-24: Rb Sabiendo que a f (x)dx = 0, ¿podemos asegurar que a = b? Si la respuesta es afirmativa, demostrarlo; si es negativa, poner un ejemplo. B4-25: Determina el valor de a, de modo que el área de la región del plano limitada por el eje OX y la gráfica de la función f (x) = ax2 − x3 valga 12 unidades cuadradas.

122

4. Integrales

5 Probabilidad 5.1 Problemas PAU Junio 94: En cierta floristería recibieron cantidades iguales de rosas y gladiolos, de color blanco o amarillo. El 60% de los gladiolos son de color amarillo, mientras que el 70% de las rosas son de color blanco. a) Si elegimos una rosa, ¿qué probabilidad tenemos de que sea de color amarillo? b) Si cogemos dos gladiolos, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto color? c) ¿Qué proporción de flores son de color blanco? Solución: Si se reciben igual cantidad de rosas y gladiolos: P (Rosa) = P (Gladiolo) = 0.5 Si el 60% de los gladiolos son amarillos, el 40% restante serán blancos. Si el 70% de las rosas son blancas, el 30% restante serán amarillas. Representamos el enunciado del problema mediante un diagrama en árbol:

Rosas 0,5 0,5 Gladiolos

0,7 0,3

0,4

Blanco

Amarillo Blanco

0,6 Amarillo

Apartado a: P (Am/Rosa) = 0.3 Apartado b: P (Bl/Gladiolo)·P (Am/Gladiolo)+P (Am/Gladiolo)·P (Bl/Gladiolo) = = 0.4 · 0.6 + 0.6 · 0.4 = 0.48 Apartado c: P (Bl) = P (Bl/Rosa) + P (Bl/Gladiolo) =

124

5. Probabilidad

= 0.5 · 0.7 + 0.5 · 0.4 = 0.35 + 0.20 = 0.55

→

55%

Junio 95: En una máquina se han fabricado 100 piezas, de las cuales 15 han presentado algún defecto. a) Calcular la proporción de piezas que no son defectuosas. b) Calcular la probabilidad de que si examinamos dos piezas, ambas resulten defectuosas. c) Si probamos dos piezas y la primera es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda no lo sea? Solución: Si 15 piezas han resultado defectuosas, las 85 restantes habrán resultado no defectuosas. Apartado a: ¯ = 1 − 0.15 = 0.85 → 85% Como P (D) = 0.15 → P (D) Apartado b:

14/99

Def. 15/100

85/99

85/100

15/99

No Def.

Def.

No Def. Def.

84/99 No Def

P (D ∧ D) = P (D) · P (D/D) = Apartado c: ¯ P (D/D) = 85 99

15 100

·

14 99

=

7 330

Junio 96: Un estuche contiene 15 lápices de color rojo y 10 de color azul. a) Si elegimos uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea rojo? b) Si extraemos dos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean azules? c) Si elegimos dos, calcular la probabilidad de que el primero sea azul y el segundo rojo. Solución: Apartado a: P (R) = 15 25 Apartados b y c:

5. Probabilidad

14/24

Rojo

10/24

15/25 10/25

15/24

Azul

125

Rojo

Azul Rojo

9/24 Azul

P (A ∧ A) = P (A) · P (A/A) = P (A ∧ R) = P (A) · P (R/A) =

10 25 10 25

· ·

9 24 15 24

= =

3 20 1 4

Junio 96 (R1): Un restaurante tiene contratados a dos camareros (Javier y Ana) para atender el servicio de comedor. Ana pone el servicio el 70% de los días y se confunde al colocar la cubertería sólo el 5% de los días. Javier, por el contrario, coloca mal alguna pieza el 25% de los días que pone el servicio. a) Esta mañana, el encargado del restaurante va a pasar revista al servicio; ¿cuál es la probabilidad de que encuentre algún servicio mál colocado? b) Por desgracia, el encargado encontró unos cubiertos mal ubicados y desea conocer la probabilidad de que haya sido Javier. Solución: Si Ana pone el servicio el 70% de los días, Javier lo pone el 30% restante.

Ana 0,7 0,3 Javier

0,95 0,05

0,75

Bien

Mal Bien

0,25 Mal

Apartado a: P (M al) = P (M al ∧ Ana) + P (M al ∧ Javier) = 0.7 · 0.05 + 0.3 · 0.25 = = 0.035 + 0.075 = 0.11 Apartado b: ∧ Mal) P (Javier/M al) = P (Javier = 0.3·0.25 P (Mal) 0.11 = 0.681

126

5. Probabilidad

Junio 96 (R2): Cierta persona compra todos los días el diario local, adquiriéndolo independientemente en uno de los dos quioscos (A,B) que están más próximos a su casa; el 80% de los días lo compra en el quiosco A. a) Calcular la proporción de días que compra el diario en el quiosco B. b) ¿Cuál es la probabilidad de que compre el diario dos días consecutivos en el quiosco A? c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos días consecutivos compre el diario en quioscos distintos? Solución: Apartado a: Si el 80% de los días compra el periódico en el quiosco A, el 20% restante lo hará en el B. A A

0,8 0,2

0,8 0,2

0,8 B

B A

0,2 B

Apartado b: P (A ∧ A) = P (A) · P (A) = 0.8 · 0.8 = 0.64 Apartado c: P (A ∧ B) + P (B ∧ A) = P (A) · P (B) + P (B) · P (A) = = 0.8 · 0.2 + 0.2 · 0.8 = 0.16 + 0.16 = 0.32 Junio 97: La probabilidad de que un aficionado al fútbol acuda al campo municipal a ver un partido es del 90% cuando se celebra en un fin de semana (sábado o domingo) y del 50% si tiene lugar en un día laborable (lunes a viernes). a) Si el próximo fin de semana hay partido, ¿cuál es la probabilidad de que este aficionado no vaya al campo a verlo? b) Cierto partido se celebrará la próxima semana en un día aún sin determinar. Calcular la probabilidad de que el aficionado acuda a verlo al campo. c) Si el aficionado acudió a ver un partido, ¿cuál es la probabilidad de que éste se celebrara en fin de semana?. Solución: Apartado a:

5. Probabilidad

127

Si en un fin de semana, la probabilidad de que acuda es 0.9, la de que no acuda será: P (N o/F S) = 1 − 0.9 = 0.1 Si Fin S.

0,9 0,1

2/7 5/7

0,5

Lab.

No Si

0,5 No

Apartado b: Si suponemos equiprobable que el partido se celebre cualquier día de la semana: P (Si) = P (Si ∧ F S) + P (Si ∧ Lab) = 27 · 0.9 + 57 · 0.5 = 0. 614 Apartado c: 2 y Si) 7 ·0.9 P (F S/S´ı) = P (FPS(S´ = 2 ·0.9+ = 0.418 5 ı) ·0.5 7

7

Septiembre 97: En una caja están guardados 20 relojes, de los cuales hay 15 que funcionan correctamente. a) Si se extrae un reloj al azar, ¿cuál es la probabilidad de que funcione bien? b) Si se extraen dos relojes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos funcionen bien? c) Si se extraen dos relojes al azar sucesivemente, y el primero no funciona correctamente, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo tampoco? Solución: Representamos la situación del problema mediante un diagrama en árbol:

128

5. Probabilidad

Bien Bien 15/20 5/20 Mal

14/19 5/19

15/19

Mal Bien

4/19 Mal

Apartado a: P (Bien) = 15 20 = 0. 75 Apartado b: P (Bien ∧ Bien) = P (Bien) · P (Bien/Bien) = Apartado c: 4 P (M al/M al) = 19 = 0.210

15 20

·

14 19

=

21 38

= 0.552

Junio 98: El 25% de las familias de cierta comunidad autónoma española no sale fuera de la misma durante las vacaciones de verano. El 65% veranea por el resto de España, y el 10% restante se va al extranjero. De los que se quedan en su comunidad, sólo un 10% no utiliza el coche en sus desplazamientos. Esta cantidad aumenta al 30% entre los que salen por el resto de España, y al 90% entre los que viajan al extranjero. a) Calcula el porcentaje de familias de esa comunidad que utiliza el coche en sus desplazamientos de vacaciones de verano. b) Una familia no usa coche en sus vacaciones de verano. ¿ Cuál es la probabilidad de que salga de su comunidad moviéndose por el resto de España?. Solución: Representamos los datos del enunciado sobre un diagrama en árbol: Comunidad 0,10

No Coche

0,90

Si Coche

España 0,30

No Coche

0,25 0,65

0,70

0,10 Extranj.

0,90 0,10

Si Coche No Coche Si Coche

5. Probabilidad

129

Apartado a: P (Coche) = P (C ∧ Com.) + P (C ∧ Esp.) + P (C ∧ Ext.) = = 0.25 · 0.90 + 0.65 · 0.70 + 0.10 · 0.10 = 0.225 + 0.455 + 0.01 = 0.690 Apartado b: P (N o Coche) = P (C¯ ∧ Com.) + P (C¯ ∧ Esp.) + P (C¯ ∧ Ext.) = = 0.25 · 0.10 + 0.65 · 0.30 + 0.10 · 0.90 = 0.025 + 0.195 + 0.09 = 0.310 o bien: P (N oCoche) = 1 − P (Coche) = 1 − 0.690 = 0.310 P (Esp./N oCoche) =

¯ ∧ Esp.) P (C ¯ P (C)

=

0.65·0.30 0.310

= 0. 629

Septiembre 98: Un grupo de 40 personas acaba de tomar un autobús. De los 40, sólo 10 son fumadores. Entre los fumadores, el 70% se marea y entre los no fumadores esta cantidad baja al 40%. a) Como el trayecto es largo se permite fumar a quien lo desee. 2 individuos se han sentado juntos y no se conocen. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean fumadores?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajero no se maree? Solución: Apartado a: Analizando únicamente si fuman o no, para dos individuos tendremos que: Fuma Fuma 10/40 30/40 No Fuma

9/39 30/39

10/39

No Fuma Fuma

29/39 No Fuma

9 3 P (F uma ∧ F uma) = P (F ) · P (F/F ) = 10 40 · 39 = 52 = 0.057 Apartado b: Representamos la situación del problema mediante un diagrama en árbol:

130

5. Probabilidad

Mareo Fuma 10/40 30/40 No Fuma

0,7 0,3

0,4

No Mareo Mareo

0,6 No Mareo

P (N o M areo) = P (F uma y N o M areo) + P (N o F uma y N oM areo) = 30 = 10 40 · 0.3 + 40 · 0.6 = 0.525 Junio 99: En una oficina, el 70% de los empleados son asturianos. De entre los asturianos, el 50% son mujeres, mientras que de los no asturianos sólo son hombres el 20%. a) ¿Qué porcentaje de empleados no asturianos son mujeres? b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer. c) Fernando trabaja en dicha oficina. ¿Cuál es la probabilidad de que sea asturiano? Solución: Representamos los datos del enunciado mediante un diagrama en árbol: H Asturianos 0,7 0,3 No Asturianos

0,5 0,5

0,2

M H

0,8 M

Apartado a: ¯ = 1 − 0.2 = 0.8 P (M/A) Apartado b: ¯ = P (M ) = P (M ∧ A) + P (M ∧ A) = 0.7 · 0.5 + 0.3 · 0.8 = 0.35 + 0.24 = 0.59 Apartado c: P (H) = 1 − 0.59 = 0.41

5. Probabilidad

P (A/H) =

P (A ∧ H) P (H)

=

0.7·0.5 0.41

131

= 0.853

Septiembre 99: Una ciudad ha remodelado su paseo marítimo, y en un periódico ha aparecido una encuesta realizada a 200 personas acerca de si el resultado ha sido satisfactorio o no. De los 200 encuestados, 120 viven en la ciudad. Además, el porcentaje de los que viven en la ciudad y les han gustado las obras es del 30%, el mismo de los que no viven en la ciudad y también les han gustado. a) Si se elige una encuesta de las 200, y ésta se ha hecho a un habitante de la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que le gusten las obras?. b) Si se elige una encuesta de las 200, y el individuo afirma que le gustan las obras, ¿qué probabilidad hay de que viva en la ciudad?. Solución: Representamos el problema mediante una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan: ¡ ¢ ¯ Gustan Obras (G) No gustan Obras G Total 30 Ciudad (C)¡ ¢ 200 = 60 60 120 100 30 No Ciudad C¯ 200 = 60 20 80 100 Total 120 80 200 Apartado a: 60 P (Gustan Obras/Ciudad) = 120 = 0.5 Apartado b: 60 P (Ciudad/Gustan Obras) = 120 = 0.5 Junio 00: Dos jóvenes aficionados a los juegos de azar se encuentran realizando un solitario con una baraja española de 40 cartas. Extraen una carta de dicha baraja y desean saber cuál es la probabilidad de ”obtener rey” condicionado al suceso ”obtener figura”. Caracterice ambos sucesos. Solución: Nota: Entendemos el enunciado como "extraida una carta de una baraja, y conocido que ha resultado ser una figura, calcular la probabilidad de que se trate de un rey". favorables 4 1 P (Rey) = casos casos p osibles = 12 = 3 o bien, como que se trata de una probabilidad condicionada, aplicamos el teorema de Bayes: 4 ∧ F igura) 4 1 P (Rey/F igura) = P (Rey = 40 12 = 12 = 3 P (F igura) 40

Septiembre 00: En un país de la antigua Europa del Este se ha constituido una comisión parlamentaria integrada por diez miembros, de los cuales siete pertenecen al partido gobernante y el resto al partido de la oposición. Entre los siete miembros del partido gobernante hay cuatro varones y dos, entre los del partido de la oposición. El presidente de la comisión se elige por sorteo entre sus integrantes. Celebrado el sorteo, se sabe que el presidente elegido ha sido un hombre. ¿Qué partido tiene más posibilidades de dirigir la comisión?

132

5. Probabilidad

Solución: Se trata de determinar las siguientes probabilidades y compararlas: P (Gob/Hom) y P (Opo/Hom). Para ello, podemos ayudarnos con la siguiente tabla: Gobierno Oposición Hombre 4 2 6 P (Gob/Hom) = 46 = 23 → P (Opo/Hom) = 26 = 13 Mujer 3 1 4 7 3 10 Luego, si sabemos que ha resultado elegido un hombre, el partido del gobierno es el que más probabilidades tiene de dirigir la comisión. Junio 01: Se ha hecho un estudio de un nuevo tratamiento sobre 120 personas aquejadas de cierta enfermedad. 30 de ellas ya habían padecido esta enfermedad con anterioridad. Entre las que la habían padecido con anterioridad, el 80% ha reaccionado positivamente al nuevo tratamiento. Entre las que no la habían padecido, ha sido el 90% el que reaccionó positivamente. a) Si elegimos 2 pacientes al azar ¿cuál es la probabilidad de que los 2 ya hayan padecido la enfermedad? b) Si elegimos un paciente al azar ¿cuál es la probabilidad de que no reaccione positivamente al nuevo tratamiento? c) Si un paciente ha reaccionado positivamente, ¿cuál es la probabilidad de que no haya padecido la enfermedad con anterioridad? Solución: Apartado a: P (Antes S´ı ∧ Antes S´ı) = P (Antes) · P (Antes/Antes) = 30 29 29 = 120 · 119 = 476 Apartado b:

Antes Si 30/120 90/120 Antes No

0,8 0,2

0,9 0,1

+

+

-

P (−) = P (Antes S´ı ∧ −) + P (Antes N o ∧ −) = 30 90 = 120 · 0.2 + 120 · 0.1 = 0.125 Apartado c:

5. Probabilidad

P (Antes N o/+) =

P (Antes N o ∧ +) P (+)

=

90 120 ·0.9 30 90 120 ·0.8+ 120 ·0.9

133

= 0.771

Septiembre 01: Se ha realizado una pequeña encuesta a un grupo de estudiantes de informática. Entre sus conclusiones está que un 40% ha recibido ya algún cursillo de informática. Además, el 20% de los que recibieron con anterioridad algún cursillo de informática tiene ordenador en casa. Un 10% de estudiantes tiene ordenador en casa y no recibió con anterioridad un cursillo de informática. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga ordenador en casa y haya recibido un cursillo de informática con anterioridad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga ordenador en casa? c) Si un estudiante tiene ordenador en casa, ¿cuál es la probabilidad de que ya haya recibido un cursillo de informática? Solución: Representamos los datos del enunciado mediante una tabla de contingencia o un diagrama en árbol: Ordenador Si Ordenador No Cursillo Si 0.2 × 0.4 0.4 Cursillo No 0.1

Curso 0,4

0,2

Ordenador

No Ordenador 0,1 Ordenador

No Curso No Ordenador

Apartado a: P (Curso ∧ Ordenador) = 0.4 · 0.2 = 0.08 Apartado b: P (Ordenador) = P (Curso ∧ Ordenador)+P (N o Curso ∧ Ordenador) = = 0.4 · 0.2 + 0.1 = 0.18 Apartado c: ∧ Ordenador) P (Curso/Ordenador) = P (Curso = 0.08 P (Ordenador) 0.18 = 0.444

134

5. Probabilidad

Junio 02: En cierto curso de un centro de enseñanza el 62.5% de los alumnos aprobaron Matemáticas. Por otro lado, entre quienes aprobaron Matemáticas, el 80% aprobó también Física. Se sabe igualmente que sólo el 33.3% de quienes no aprobaron Matemáticas aprobaron Física. a) ¿Qué porcentaje consiguió aprobar ambas asignaturas a la vez? b) ¿Cuál fue el porcentaje de aprobados en la asignatura de Física? c) Si un estudiante no aprobó Física, ¿qué probabilidad hay de que aprobara Matemáticas? Solución:

Mat 0,625 0,375 No Mat

0,8 0,2

0,333

Fis

No Fis Fis

0,667 No Fis

Apartado a: P (M at ∧ F is) = P (M at) · P (F is/M at) = 0.625 · 0.8 = 0.5 → 50% Apartado b: P (F is) = P (M at ∧ F is) + P (N o M at ∧ F is) = = 0.625 · 0.8 + 0.375 · 0.333 = 0.6248 → 62.48% Apartado c: ∧ N oF is) 0.625·0.2 P (M at/N o F is) = P (Mat = 0.625·0.2+0.375·0.667 = 0.333 P (No F is) Septiembre 02: El 70% de los solicitantes de un puesto de trabajo tiene experiencia y además una formación acorde con el puesto. Sin embargo, hay un 20% que tiene experiencia y no una formación acorde con el puesto. Se sabe también que entre los solicitantes que tienen formación acorde con el puesto, un 87.5% tiene experiencia. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante no tenga experiencia? b) Si un solicitante tiene experiencia, ¿cuál es la probabilidad de que su formación sea acorde con el puesto? c) Calcula la probabilidad de que un solicitante tenga formación acorde con el puesto. Solución:

5. Probabilidad

135

Representamos los datos del enunciado mediante una tabla de contingencia o un diagrama en árbol: Exper. Si Exper. No Form. Si 70 x = 80 Form. No 20 100 Apartado a: ¯ = 1 − P (E) = 1 − 0.9 = 0.1 P (E) Apartado b: ∧ E) P (F/E) = P (F = 0.7 P (E) 0.9 = 0.777 Apartado c: 87.5 100 x = 70 → {x = 80} 80 P (F ) = 100 = 0.8 Junio 03: Un grupo de amigos ha estado hablando de sus gustos musicales. La música clásica gusta al 20% de ellos. Se sabe también que el porcentaje de los que les gusta la música moderna entre quienes les gusta la clásica es del 75% y el porcentaje de los que les gusta la música moderna entre quienes no les gusta la clásica es del 87.5% a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un individuo del grupo le guste la música moderna? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a un individuo del grupo le guste tanto la música clásica como la moderna? c) Si a un individuo le gusta la moderna ¿cuál es la probabilidad de que también le guste la clásica? d) Si a un individuo no le gusta la moderna ¿cuál es la probabilidad de que sí le guste la clásica? Solución: Representamos la situación mediante un diagrama en árbol:

Moderna

Clásica

Si Si

0.25

0.2 0.8

0.75

No

No Si

0.875 0.125

No

136

5. Probabilidad

Apartado a: P (M ) = P (C ∧ M ) + P (C¯ ∧ M ) = 0.2 × 0.75 + 0.8 × 0.875 = 0.85 Apartado b: P (C ∧ M ) = 0.2 × 0.75 = 0.15 Apartado c: 0.15 P (C/M ) = P P(C∧M) (M ) = 0.85 = 0.176 Apartado d: ¯ ) = 1 − P (M ) = 1 − 0.85 = 0.15 P (M ¯ ) = 0.2 × 0.25 = 0.05 P (C ∧ M ¯ ¯ ) = P (C∧¯M) ˆ P (C/M = 0.05 0.15 = 0.3 P (M ) Septiembre 03: En un grupo de matrimonios se ha observado que en el 50% la mujer tiene estudios universitarios. En un 30% de los matrimonios tanto el hombre como la mujer los tienen. Finalmente, en el 37.5% de los matrimonios en los que el marido tiene estudios universitarios la mujer los tiene. a) ¿Qué probabilidad hay de que en un matrimonio el marido tenga estudios universitarios? b) ¿En qué porcentaje de matrimonios en los que la mujer tiene estudios universitarios el marido también los tiene? c) ¿En qué porcentaje de matrimonios el marido no tiene estudios universitarios y la mujer sí? Solución: Apartado a: Representamos la situación mediante un diagrama de Venn: P (M ) = 0.5; P (H ∧ M ) = 0.3 → P (solo M ) = 0.2 P (H ∧ M ) = 0.375 · P (H) → 0.3 = 0.375 · P (H) → P (H) = 0.8 P (solo H) = P (H) − P (H ∧ M ) → P (solo H) = 0.8 − 0.3 = 0.5 Con estudios universitarios H M

0.5

0.3

0.2

Apartado a: P (H ∧ M ) = 0.375 · P (H) → 0.3 = 0.375 · P (H) → P (H) = 0.8 Apartado b: ) 0.3 P (H/M ) = P (H∧M P (M) = 0.5 = 0.6 Apartado c: P (M ) = 0.5; P (H ∧ M ) = 0.3 → P (solo M ) = 0.2

5. Probabilidad

137

Junio 04: En un grupo de personas, al 50% les han puesto alguna vez una multa de tráfico. Por otro lado, al 12‘5% no les han puesto nunca una multa pero sí han sufrido alguna vez un accidente. Finalmente, al 60% de quienes nunca han tenido un accidente no les han puesto nunca una multa. a) ¿Qué porcentaje no han tenido nunca un accidente ni les han puesto una multa? b) ¿Que porcentaje no han tenido nunca un accidente? c) Entre las personas que nunca han tenido una multa, ¿qué porcentaje no han tenido nunca un accidente? Solución: Representamos la situación mediante una tabla de doble entrada: Accidente Si Accidente No Multa Si 25 25 50 Multa No 12.5 37.5 50 37.5 62.5 100 0.6x = 37.5 → {x = 62. 5} Apartado a: Un 37.5% no ha tenido nunca un accidente ni se le ha puesto una multa. Apartado b: Un 62.5% no ha tenido nunca un accidente. Apartado c: ¯ ¯ ¡ ¢ ¯ M ¯ = P (A∧M ) = 12.5 = 0.25 P A/ ¯) 50 P (M De entre los que no han tenido nunca una multa, un 25% tampoco ha tenido nunca un accidente. Septiembre 04: En un grupo de amigos el 80% están casados. Entre los casados, el 75% tienen trabajo. Finalmente, un 5% no están casados y tampoco tienen trabajo. a) ¿Que porcentaje no tiene trabajo? b) Si uno tiene trabajo, ¿qué probabildad hay de que esté casado? c) ¿Qué porcentaje están casados entre los que no tienen trabajo? Solución: Representamos la situación mediante una tabla de doble entrada: Trabajo Si Trabajo No Casados Si 0.75 · 80 = 60 20 80 Casados No 15 5 20 75 25 100 Apartado a: Un 25% no tiene trabajo Apartado b: ) 60 4 P (C/T ) = P P(C∧T (T ) = 75 = 5 = 0.8 Apartado c:

138

5. Probabilidad

¡ ¢ P C/T¯ =

P (C∧T¯ ) P (T¯)

=

20 25

=

4 5

= 0.8

De entre los que no tienen trabajo, un 80% están casados.

5.2 Problemas propuestos B5-01: La urna S contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y la urna T contiene 3 bolas blancas y dos negras. Tomamos al azar una bola de S y, sin mirarla, la introducimos en T. A continuación extraemos con reemplazamiento dos bolas de T. Hallar la probabilidad de que: a) sean del mismo color b) sean de distinto color B5-02: Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: hipotecarios, para industria y personales. Se sabe que el 30% de los créditos que concede son hipotecarios, el 50% para industria y el 20% restante son personales. Han resultado impagados el 20% de los créditos para vivienda, el 25% de los créditos para industria y el 50% de los créditos para consumo. Se pide: a) Representar la situación mediante un diagrama en árbol. b) Seleccionado un crédito al azar, calcular la probabilidad de que se pague. c) Un determinado crédito ha resultado impagado; calcular la probabilidad de que sea un crédito de vivienda. B5-03: En una población se sabe que el 30% escucha los informativos por la Radio; el 60% por la Televisión; y el 20% los escucha por los dos medios de comunicación. Si se elige una persona al azar, determina la probabilidad de que: a) escuche alguno de los medios de comunicación. b) escuche la Radio sabiendo que no ve la Televisión. c) escuche sólo uno de los dos medios. B5-04: En un trayecto entre dos ciudades próximas, un automovilista ha de atravesar tres zonas que están en obras y en las que se regula el tráfico mediante semáforos. La probabilidad de encontrar la luz en rojo para cada uno de los tres semáforos es, respectivamente, 0.3 , 0.7 y 0.5. Se pide la probabilidad de que el conductor: a) encuentre los tres semáforos en rojo. b) encuentre los tres semáforos en verde c) encuentre en rojo uno de ellos y los otros dos en verde. B5-05: En un determinado barrio de la ciudad se ha observado que el 70% de sus habitantes tiene más de 50 años y que de éstos el 60% es propietario de la

5. Probabilidad

139

vivienda en la que habita. También se sabe que el porcentaje de propietarios es del 30% entre aquellos que no superan los 50 años. Se pide: a) Calcula la probabilidad de que un vecino, que ha sido elegido al azar, sea propietario de la vivienda en la que habita. b) Elegido un vecino al azar, resulta ser propietario de la vivienda en la que habita. Calcula la probabilidad de que tenga más de 50 años. B5-06: Probamos una vacuna contra la gripe en un grupo de 400 personas, de las que 180 son hombres y 220 mujeres. De las mujeres, 25 cogen la gripe y de los hombres 23. Determina las siguientes probabilidades: a) que al seleccionar una persona al azar resulte que no tiene gripe. b) que al seleccionar una persona al azar resulte ser una mujer que no tiene gripe. c) que seleccionada una persona que no tiene gripe, resulte ser un hombre. d) que seleccionada una mujer, resulte no tener gripe. B5-07: En un grupo de 100 personas, 50 escucha las noticias por radio, 70 ven las noticias en Tv. y 30 escuchan la radio y ven la Tv. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) escucha la radio o ve la Tv. b) no escucha la radio y no ve la Tv. c) escucha la radio pero no ve la Tv. B5-08: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupa un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que entre el resto de empleados, únicamente el 20% ocupa un puesto directivo. Calcula las siguientes probabilidades: a) que al seleccionar un empleado al azar resulte ser un ingeniero que no ocupa un cargo directivo. b) que al seleccionar un empleado al azar resulte no ser ni ingeniero ni economista, pero ocupar un cargo directivo. c) que al seleccionar un cargo directivo al azar, resulte ser economista. d) que al seleccionar un cargo directivo al azar, resulte ser ingeniero o economista. B5-09: El 15% de los habitantes de un país padece cierta enfermedad. Para diagnosticar la misma, se dispone de un procedimiento que no es completamente fiable, ya que da positivo en el 90% de los casos de personas realmente enfermas, pero también da positivo en el 5% de personas sanas. Determina la probabilidad de que: a) esté sana una persona cuyo diagnóstico ha sido positivo. b) esté enferma una persona cuyo diagnóstico ha sido negativo. B5-10:

140

5. Probabilidad

Un monedero (A) contiene 2 monedas de 1 C = y tres monedas de 2 C =; otro monedero (B) contiene 4 de 1 C = y 3 de 2 C =. a) si elegimos un monedero al azar y extraemos de él 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que ambas monedas sean de 1 C =? b) si, tras elegir un monedero al azar, extraemos 2 monedas de él y resultan ser dos monedas de 1 C =, cuál será la probabilidad de que hayamos elegido el monedero A? B5-11: Tres aviones disparan simultáneamente sobre un blanco, siendo independientes los disparos de uno y otro, y siendo la probabilidad de que un avión acierte el blanco igual a 0.6. Calcular la probabilidad de que el blanco sea destruido. B5-12: Una caja contiene 100 piezas, entre las cuales hay 20 defectuosas en cuanto a su longitud, 12 defectuosas en cuanto a la anchura y 15 defectuosas en cuanto a su altura. Por otra parte, sabemos que hay 7 piezas defectuosas en longitud y altura, 4 en longitud y anchura, 5 en anchura y altura y 2 piezas defectuosas en sus tres dimensiones. Se pide: a) Dibujar un diagrama de Venn representando la situación. b) Probabilidad de que una pieza tomada al azar presente un solo defecto. c) Probabilidad de que una pieza tomada al azar sea defectuosa solo en longitud. B5-13: De 150 pacientes, 90 tienen una enfermedad cardíaca, 50 tienen cáncer y 20 tienen ambas enfermedades. a) Representar la situación mediante un diagrama de Venn. b) Determinar la probabilidad de que una persona tomada al azar tenga una sola de las dos enfermedades. B5-14: Se tienen 2 urnas que contienen 13 y 15 bolas respectivamente. La urna I contiene 5 Blancas y 8 Negras, mientras que la urna II contiene 6 Blancas y 9 Rojas. Se toma, al azar, una bola de la urna I y se pasa a la urna II. A continuación, se toma, al azar, una bola de la urna II y se pasa a la urna I. Extraemos, al azar, una bola de la urna I. Calcula la probabilidad de que sea Roja. B5-15: Tres máquinas A, B y C han producido, respectivamente, 70, 20 y 10 piezas iguales que se encuentran en un cajón. Cada una de estas máquinas presenta una probabilidad de producir una pieza defectuosa de 0.10, 0.20 y 0.40, respectivamente. Extraemos al azar una pieza del cajón. Se pide: a) probabilidad de que resulte ser defectuosa. b) si resulta ser una pieza defectuosa, probabilidad de que proceda de la máquina A. B5-16:

5. Probabilidad

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Una máquina se compone de dos elementos M y N . La probabilidad de que el funcionamiento de M sea defectuoso es 0.05, y la de que el funcionamiento de N sea defectuoso es 0.03. La máquina funciona correctamente siempre que lo hacen ambos elementos y también en el 30% de los casos en que ambos son defectuosos. Calcula la probabilidad de que la máquina no funcione correctamente. B5-17: Los habitantes de una ciudad reparten sus votos entre el partido A y el B. El 55% de los habitantes son menores de 30 años; de ellos el 80% son del partido B. De los mayores de 30 años, sólo lo son el 10%. Elegimos una persona al azar: a) calcula la probabilidad de que sea del partido A. b) que resulta ser del partido A; calcula la probabilidad de que tenga menos de 30 años. B5-18: Una fábrica produce ejes y cojinetes que ajustan entre sí. El porcentaje de cojinetes defectuosos es el 5% y el de ejes el 2%. Son utilizables cuando ambos son Correctos y en el 50% de los casos en que ambos son Incorrectos. Calcula la probabilidad de que sean utilizables. B5-19: Seleccionadas 4 personas al azar, calcula la probabilidad de que tengan diferentes fechas de cumpleaños. B5-20: A partir de los datos del censo de un país, se conoce que, para una persona tomada al azar: P (Blanca) = 0.8; P (M ujer/Blanca) = 0.52; P (Soltera/M ujer ∧ Blanca) = 0.4 Calcula la probabilidad de que una persona, tomada al azar, resulte ser mujer, soltera y blanca. B5-21: Amelia, Javier y Ramón, sortean, al azar, el orden en que van a entrar, de uno en uno, por una puerta. a) calcula la probabilidad de que los dos últimos en entrar sean hombres. b) determina si son independientes los sucesos S 1 y S 2 , siendo: S 1 : ”la mujer entra antes que alguno de los hombres” S 2 : ”los dos hombres entran consecutivamente” B5-22: En un determinado lugar hay tres lugares de diversión a los que suelen ir un grupo de tres amigos. Las probabilidades de que vayan al primero, segundo o tercero son, respectivamente, 0.3, 0.5 y 0.7 Halla la probabilidad de que el grupo de amigos vaya: a) sólamente a uno de los lugares. b) únicamente a dos de los lugares. c) a los tres lugares. B5-23: La probabilidad de que tenga lugar el contrario de un suceso A es 1/3;

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5. Probabilidad

la probabilidad de un suceso B es 3/4; y la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos A y B es 5/8. Determina: a) probabilidad de que se verifique el suceso A o el suceso B. b) probabilidad de que no se verifique A y no se verifique B. c) probabilidad de que ocurra A sabiendo que se ha verificado B. d) independencia de los sucesos A y B. B5-24: Se tienen dos urnas U1 y U2 cuyo contenido en bolas Rojas, Azules y Verdes es: - en la urna U1 : 4 bolas Azules, 3 bolas Rojas y 3 Verdes. - en la urna U2 : 4 bolas Rojas, 5 Azules y 1 Verde. Se lanzan tres monedas y, si se obtienen exactamente dos caras, se extrae una bola de la urna U1 ; en otro caso, se extrae de la urna U2 . Se pide: a) Efectuar un diagrama para el experimento de lanzar las 3 monedas. b) Calcular la probabilidad de que la bola extraida sea Azul. B5-25: a) Explica qué quiere decir que dos sucesos son independientes y qué quiere decir que son incompatibles. ¿Dos sucesos con probabilidades no nulas pueden ser independientes e incompatibles a la vez?. Justifica la respuesta. b) Calcula la probabilidad P (A ∪ B) sabiendo que: P (A) = 0.3, P (B) = 0.4 y P (A/B) = 0.2.

6 Estadística 6.1 Problemas PAU Junio 94: En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. a) Explicar qué procedimiento de selección sería más adecuado utilizar: muestreo con o sin reposición. ¿Por qué? b) Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2.500 niños, 7.000 adultos y 500 ancianos, posteriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando un muestreo estratificado. b1. Definir los estratos b2. Determinar el tamaño muestral correspondiente a cada estrato. Solución: Apartado a: Todas las fórmulas que hemos estudiado de teoría del muestreo y de inferencia estadística presuponen que las poblaciones son infinitas o que, si no lo son, el muestreo aleatorio se realiza con reposición. Sin embargo, si la población es suficientemente grande, y la muestra cumple las condiciones de aplicación de las pruebas o tests: ”es preferible seleccionar la muestra sin reposición, para evitar la posibilidad de que algún elemento se tenga que tener en cuenta más de una vez” Apartado b1: Para efectuar un muestreo aleatorio estratificado, será necesario que la muestra refleje fielmente los estratos existentes en la población; deben considerarse los estratos formados por: niños, adultos y ancianos. Apartado b2: El tamaño muestral de cada estrato deberá ser proporcional a la presencia del mismo en la población  original: Total: 2500 + 7000 + 500 = 10 000    2500 Niños 10000 = 0.25 → 25% - Población: 7000 Adultos:  10000 = 0.70 → 70%   500  Ancianos: 10000 = 0.05 → 5% Total: 100    25 Niños 100 100 = 25 - Muestra : 70 Adultos:  100 100 = 70   5 Ancianos: 100 100 = 5

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Luego, la muestra debe estar formada por 25 niños, 70 adultos y 5 ancianos.

Junio 95: Una asociación deportiva está interesada en conocer los deportes preferidos por niños y adolescentes. Se plantea realizar una encuesta a 100 escolares en un colegio que cuenta con 1.000 en total. a) Comentar las características de la muestra si el entrevistador entrevista a los 100 primeros niños que localice a la entrada. ¿Se puede proponer algún otro método de selección más adecuado?. Razonar las respuestas. b) La dirección del colegio facilita los datos siguientes sobre las edades (x) de los estudiantes: Edad n o alumnos 0 0.42 ”el 42% ha aumentado” 2. El nivel de significación impuesto es del 5% y se trata de una prueba unilateral, por tanto Zα = 1.645: 3. Calculamos el Intervalo de Confianza para una proporción: ∧ 450 La proporción observada en la muestra es: p = 1000 = 0. 45 r ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p ∧ IC = p ± Zα = 0.45 ± 1.645 · 0.45·0.55 = (0.424, 0.475) n 1000 4. Elegimos entre H0 y H1 : Como que la proporción a contrastar (0.42) se encuentra fuera del Intervalo de Confianza calculado, rechazamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 5% que el porcentaje del 42% se ha mantenido en la población. Apartado b: · errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera. · errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa. La probabilidad de concluir erróneamente que el % se ha mantenido, sería la probabilidad de aceptar la hipótesis nula siendo ésta falsa. Esta probabilidad de denomina β y determina la potencia de la prueba que es (1 − β). Estaríamos cometiendo un error de tipo II. H0 verdadera H0 falsa Decisión Correcta Error tipo II Aceptar H0 : p=1−α p=β Error tipo I Decisión Correcta Rechazar H0 : p=α p=1−β Junio 00: A partir de la información que recoge las pautas de consumo diario de cigarrillos de la población femenina, las autoridades sanitarias desean adoptar las medidas oportunas con objeto de reducir dicho consumo. Consumo cigarrillos 0 - 5 5 - 10 10 - 15 15 - 25 25 - 35 Pob. femenina (miles) 2 10 15 7 2 a) Determine el consumo más frecuente. b) Calcule el consumo medio y su desviación típica.

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c) La media y desviación típica del consumo masculino ha sido de 15 y 4, respectivamente. Un consumo de 17 cigarrillos, ¿en que población destaca más? ¿por qué? Solución: Apartado a: El consumo más frecuente se corresponde con la moda de esta distribución, que es el intervalo Mo = (10 − 15) cigarrillos, o si se prefiere, con la marca de clase de dicho intervalo: Mo = 12.5 cigarrillos. Apartado b: Para calcular la media y la desviación típica, nos ayudamos de la siguiente tabla: xi fi xi · fi x2i · fi 0-5 2.5 2 5 12.5 5-10 7.5 10 75 562.5 10-15 12.5 15 187. 5 2343.75 15-25 20 7 140 2800 25-35 30 2 60 1800 36 467.5 7518.75 x ¯=

P

xi ·fi = 467.5 36 = 12. 986 Pn 2 xi ·fi −x ¯2 = 7518.75 − 36 √n

12. 9862 = 40. 218 → s2 = → s = 40.218 = 6.341 Apartado c: Podemos presuponer una distribución normal en el consumo de cigarrillos tanto de los hombres como de las mujeres, y tipificar en cada caso el valor de 17 cigarrillos, mediante el cambio de variable: Z = X−µ σ Hombres Mujeres x ¯ = 15 x ¯ = 12.986 s=4 s = 6.341 17−12.986 Z = 17−15 = 0.5 Z = = 0.633 4 6.341 De esta manera, comprobamos que el consumo de 17 cigarrillos destaca más entre las mujeres, dado que ese valor supera a la media en 0.633 veces la desviación típica. Septiembre 00: La empresa informática DEPALE, S.A. lanza al mercado un nuevo producto cuya vida útil se estima en 4.6 años, en promedio, con una desviación típica de 1.6 años. La empresa decide realizar una promoción inicial con objeto de estimular las ventas. La promoción consiste en ofertar una garantía de sustitución del producto, sin coste adicional, si se detectase algún defecto durante el primer año de vida. Suponiendo que la duración de este producto sigue una distribución normal, determine la probabilidad de tener que reclamar su sustitución después de adquirirlo. {N (0, 1) → F (2.25) = 0.9878} Solución:

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Comenzamos tipificando la variable, mediante el cambio de variable: Z = X−µ → Z = 1−4.6 σ 1.6 = −2. 25 La probabilidad que se nos pide será: p (Z ≤ −2.25) = 1− p (Z ≤ 2.25) = 1 − 0.9878 = 0.0122 Junio 01: Una empresa de automóviles está estudiando algunas mejoras que ha incluido en la nueva generación de su gama de utilitarios. Hasta ahora, los kilómetros que uno de estos automóviles podía recorrer -con un uso normalsin que fueran necesarias reparaciones importantes seguía una Normal con media 220 (en miles de kilómetros) y desviación típica 15 (en miles de kilómetros). Las mejoras parecen haber surtido efecto, puesto que con 100 automóviles de la nueva generación se ha obtenido una media de 225 (en miles de kilómetros) sin ningún tipo de problema grave. Suponiendo que la desviación típica se ha mantenido: a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que las mejoras no han surtido efecto o incluso que han emperorado la situación, frente a que sí han surtido efecto como parecen indicar los datos. Si se concluyera que la media sigue igual o incluso bajó, y sin embargo esta conclusión fuera falsa, ¿cómo se llama el error cometido? b) Con un nivel de significación del 1%, ¿a qué conclusión se llega? Nota: Algunos valores de la distribución Normal de media 0 y desviación típica 1: F (100) = 1; F (3.33) = 0.999; F (2.33) = 0.99; F (0.01) = 0.504 Solución: Apartado a: 1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa: H0 : µ ≤ 220 ”las mejoras no han surtido efecto” H1 : µ > 220 ”las mejoras si han surtido efecto” 2. Aceptamos el nivel de significación impuesto y que se trata de una prueba unilateral: α = 0.01 → Zα = 2.33 3. Determinamos el Intervalo de Confianza para una media: IC = x ± Zα √σn = 225 ± 2.33 · √15 = (221. 51, 228. 50) 100 4. Elegimos entre H0 y H1 : Como que la media a contrastar (220) se encuentra fuera del Intervalo de Confianza calculado, rechazamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que las mejoras no han surtido efecto; concluimos, por tanto, que la nueva generación de automóviles ha supuesto una mejora. Apartado b: · errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera. · errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa. En este caso: Si se concluyera que la media sigue igual o incluso bajó, y sin embargo

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esta conclusión fuera falsa, estaríamos cometiento un error de tipo II H0 verdadera H0 falsa Decisión Correcta Error tipo II Aceptar H0 : p=1−α p=β Error tipo I Decisión Correcta Rechazar H0 : p=α p=1−β Septiembre 01: Una de las entradas a cierta ciudad sufría constantemente retenciones de tráfico, de forma que el tiempo de espera en la cola formada por el semáforo allí instalado seguía una Normal de media 10 minutos y desviación típica 4 minutos. Con el fin de descongestionar ese punto y bajar la media de tiempo de espera, se habilitó una vía de acceso auxiliar. Transcurrida una semana se hizo un pequeño estudio sobre 36 vehículos y se obtuvo que el tiempo medio de espera en el citado semáforo fue de 8.5 minutos. Las autoridades municipales mostraron su satisfacción y dijeron que la medida había funcionado, pero la opinión pública, sin embargo, defiende que la situación sigue igual. Suponiendo que la desviación típica se ha mantenido: a) Plantea un test para contrastar la hipótesis defendida por la opinión pública frente a la de los responsables municipales. Si se concluye que la media de tiempo de espera bajó y realmente no lo hizo, ¿cómo se llama el error cometido? b) ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%? Nota: Algunos valores de la función de distribución Normal de media 0 y desviación típica 1: F (36) = 1; F (2.25) = 0.99; F (1.645) = 0.95; F (0.05) = 0.5199 Solución: Apartado a: 1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa: · H0 : µ ≥ 10 ”el tiempo de espera no ha disminuido” · H1 : µ < 10 ”el tiempo de espera sí ha disminuido” 2. Aceptamos el nivel de significación impuesto y que se trata de una prueba unilateral: α = 0.05 → Zα = 1.645 3. Determinamos el Intervalo de Confianza para una media: IC = x ± Zα √σn = 8.5 ± 1.645 · √436 = (7. 403, 9. 596) 4. Elegimos entre H0 y H1 : Como que la media a contrastar (10) se encuentra fuera del Intervalo de Confianza calculado, rechazamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo de espera no ha disminuido; concluimos, por tanto, que la medida adoptada ha funcionado y ha disminuido el tiempo de espera. Apartado b: · errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera. · errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa.

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En este caso: Si se concluye que la media de tiempo de espera bajó y realmente no lo hizo, estaremos cometiendo un error tipo I. H0 verdadera H0 falsa Decisión Correcta Error tipo II Aceptar H0 : p=1−α p=β Error tipo I Decisión Correcta Rechazar H0 : p=α p=1−β Junio 02: En un hospital se observó que los pacientes abusaban del servicio de urgencias, de forma que un 30% de las consultas podían perfectamente haber esperado a concertar una cita con el médico de cabecera, porque no eran realmente urgencias. Puesto que esta situación ralentizaba el servicio, se realizó una campaña intensiva de concienciación. Transcurridos unos meses se ha recogido información de 60 consultas al servicio, de las cuales sólo 15 no eran realmente urgencias: a) Hay personal del hospital que defiende que la campaña no ha mejorado la situación. Plantea un test para contrastar esta hipótesis frente a que sí la mejoró. Si se concluye que la situación no ha mejorado y realmente sí lo hizo, ¿cómo se llama el error cometido? b) ¿A qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior con un nivel de significación del 1%? Nota: Algunos valores de la función de distribución Normal de media 0 y desviación típica 1: F (0) = 0.5; F (0.01) = 0.5; F (0.85) = 0.80; F (2.33) = 0.99; F (60) = 1 Solución: Apartado a: 1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa: · H0 : p ≥ 0.30 "el porcentaje del 30% no ha disminuido” · H1 : p < 0.30 ”el porcentaje del 30% sí ha disminuido” 2. El nivel de significación impuesto es del 1% y se trata de una prueba unilateral, por tanto Zα = 2.33: 3. Calculamos el Intervalo de Confianza para una proporción: ∧ 1 La proporción observada en la muestra es: p = 15 60 = 4 = 0.25 r ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p ∧ 0.25·0.75 IC = p ± Zα = 0.25 ± 2.33 · = (0.119, 0.380) n 60 4. Elegimos entre H0 y H1 : Como que la proporción a contrastar (0.30) se encuentra dentro del Intervalo de Confianza calculado, aceptamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 1% que, tras la campaña, el porcentaje de consultas que no eran urgencias, del 30%, haya disminuido. Apartado b: · errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera.

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· errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa. En este caso, al concluir que el porcentaje no ha disminuido, si realmente sí lo hubiera hecho, estaríamos cometiendo un error tipo II H0 verdadera H0 falsa Decisión Correcta Error tipo II Aceptar H0 : p=1−α p=β Error tipo I Decisión Correcta Rechazar H0 : p=α p=1−β Septiembre 02: El alcalde de una ciudad prometió, en su programa, oponerse a la construcción de una central de tratamiento de ciertos residuos, puesto que en aquel momento sólo un 10% de los ciudadanos estaban a favor de la central. En los últimos días se ha encuestado a 100 personas de las cuales 14 están a favor de la central. El alcalde afirma sin embargo que el porcentaje de ciudadanos a favor sigue siendo del 10% o incluso ha disminuido. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis defendida por el alcalde, frente a que sucedió lo contrario, como parecen indicar los datos. Si se concluyera que el % ha aumentado y esta conclusión fuera falsa, ¿cómo se llamaría el error cometido? b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 5%. Nota: Algunos valores de la función de distribución Normal de media 0 y desviación típica 1: F (100) = 1; F (1.33) = 0.91; F (1.645) = 0.95; F (0.05) = 0.5199 Solución: Apartado a: 1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa: · H0 : p ≤ 0.10 ”el porcentaje del 10% ha disminuido o se mantiene” · H1 : p > 0.10 ”el porcentaje del 10% ha aumentado” 2. El nivel de significación impuesto es del 5% y se trata de una prueba unilateral, por tanto Zα = 1.645: 3. Calculamos el Intervalo de Confianza para una proporción: ∧ 14 = 0.14 La proporción observada en la muestra es: p = 100 r ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p ∧ IC = p ± Zα = 0.14 ± 1.645 · 0.14·0.86 = (0.083, 0.197) n 100 4. Elegimos entre H0 y H1 : Como que la proporción a contrastar (0.10) se encuentra dentro del Intervalo de Confianza calculado, aceptamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 5% que, en la actualidad, el porcentaje de quienes se muestran favorables a la central, el 10%, haya aumentado. Apartado b: · errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera.

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· errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa. En este caso, si se hubiera concluido que el % ha aumentado y esta conclusión fuera falsa, el error cometido sería un error tipo I H0 verdadera H0 falsa Decisión Correcta Error tipo II Aceptar H0 : p=1−α p=β Error tipo I Decisión Correcta Rechazar H0 : p=α p=1−β Junio 03: Un 43% de la población adulta de cierta ciudad sabía realizar el cambio entre euros y pesetas correctamente. Mediante una campaña informativa se ha pretendido elevar ese porcentaje y parece que se han cumplido sus objetivos a la vista del resultado de una encuesta a 110 personas: de ellas 55 sabían realizar bien tales operaciones. Sin embargo hay quien duda de la efectividad de la campaña. a) Plantear un test para contrastar que la campaña no ha surtido efecto frente a que sí lo ha hecho. Si se concluye que el porcentaje se mantuvo y realmente subió ¿cómo se llama el error cometido? b) ¿A qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior a un nivel de significación del 1%? Nota: Algunos valores de la función de distribución de la Normal de medioa 0 y desviación típica 1: F (110) = 1; F (2.33) = 0.99; F (1.48) = 0.93; F (0.01) = 0.504 Solución: Apartado a: 1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa: · H0 : p ≤ 0.43 ”el porcentaje del 43% no ha aumentado” · H1 : p > 0.43 "el porcentaje del 43% ha aumentado” 2. El nivel de significación impuesto es del 1% y se trata de una prueba unilateral, por tanto Zα = 2.33: 3. Calculamos el Intervalo de Confianza para una proporción: ∧ 55 La proporción observada en la muestra es: p = 110 = 12 = 0.5 r ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p ∧ IC = p ± Zα = 0.5 ± 2.33 · 0.5·0.5 n 110 = (0.389, 0.611) 4. Elegimos entre H0 y H1 : Como que la proporción a contrastar (0.43) se encuentra dentro del Intervalo de Confianza calculado, aceptamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 1% que, tras la campaña, el porcentaje de personas que sabía realizar el cambio entre euros y pesetas correctamente haya aumentado. Apartado b: · errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera. · errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa.

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En este caso, al concluir que el porcentaje no ha aumentado, si realmente sí lo hubiera hecho, estaríamos cometiendo un error tipo II

Aceptar H0 : Rechazar H0 :

H0 verdadera Decisión Correcta p=1−α Error tipo I p=α

H0 falsa Error tipo II p=β Decisión Correcta p=1−β

Septiembre 03: Una cadena de establecimientos comerciales lleva unos meses ofreciendo a sus clientes un descuento en sus compras siempre que estas se realicen utilizando la tarjeta propia de la cadena. Hasta que comenzaron los descuentos, la proporción de compras que se efectuaban con la tarjeta era del 18%. Recientemente se ha tomado una muestra de 150 compras de las cuales 39 han sido realizadas con la tarjeta. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que los descuentos no han tenido efecto en el uso de la tarjeta, frente a que han aumentado su uso, como parecen indicar los datos. Si se concluyera que la proporción de compras realizadas con la tarjeta se mantuvo y esta conclusión fuera falsa ¿cómo se llama el error cometido? b) Explica claramente a que conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 1%. Nota: Algunos valores de la función de distribución Normal de media 0 y desviación típica 1: F (150) =1;F (39) =1;F (2.55) =0.995;F (2.33) =0.99;F (0.26) =0.603 Solución: Apartado a: 1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa: · H0 : p ≤ 0.18 ”los descuentos no han tenido efecto” · H1 : p > 0.18 ”los descuentos sí han tenido efecto” 2. El nivel de significación impuesto es del 1% y se trata de una prueba unilateral, por tanto Zα = 2.33: 3. Calculamos el Intervalo de Confianza para una proporción: ∧ 39 = 0.26 La proporción observada en la muestra es: p = 150 r ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p ∧ IC = p ± Zα = 0.26 ± 2.33 · 0.26·0.74 = (0.176, 0.343) n 150 4. Elegimos entre H0 y H1 : Como que la proporción a contrastar (0.18) se encuentra dentro del Intervalo de Confianza calculado, aceptamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 1% que el porcentaje del 18% que utilizaba tarjeta para efectuar sus compras haya aumentado. Apartado b: · errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera. · errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa.

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En este caso, si se concluyera que la proporción de compras realizadas con la tarjeta se mantuvo y esta conclusión fuera falsa, el error cometido sería un error tipo II H0 verdadera H0 falsa Decisión Correcta Error tipo II Aceptar H0 : p=1−α p=β Error tipo I Decisión Correcta Rechazar H0 : p=α p=1−β Junio 04: En los últimos años, el consumo familiar diario de cierta ciudad en electricidad (en kw) seguía una Normal de media 6’3 con desviación típica de 1’2. Sin embargo, desde hace unos meses las tarifas eléctricas han experimentado varias reducciones, y se piensa que esto ha podido repercutir en un aumento del consumo. Recientemente, para una muestra de 47 familias se ha obtenido un consumo medio diario de 6’8. Suponiendo que el consumo sigue siendo aproximadamente Normal y que la desviación típica se ha mantenido: a) Plantea un test para contrastar que el abaratamiento de las tarifas no ha influido en el consumo, frente a que ha tenido la repercusión que se piensa, como parecen indicar los datos. Si se concluyera que la media de consumo se ha mantenido y realmente subió ¿cómo se llama el error cometido? b) ¿A qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior con un nivel de significación del 1%? Nota: algunos valores de la distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(6’8)=1, F(2’86)=0’998, F(2’33)=0’99, F(0’01)=0’504 Solución: Apartado a: 1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa: · H0 : µ ≤ 6.3 ”el consumo de kw. no ha aumentado” · H1 : µ > 6.3 ”el consumo de kw. sí ha aumentado” 2. Aceptamos el nivel de significación impuesto y que se trata de una prueba unilateral: α = 0.01 → Zα = 2.33 3. Determinamos el Intervalo de Confianza para una media: IC = x ± Zα √σn = 6.8 ± 2.33 · √1.2 = (6. 392, 7. 207) 47 4. Elegimos entre H0 y H1 : Como que la media a contrastar (6.3) se encuentra fuera del Intervalo de Confianza calculado, rechazamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que el consumo se haya mantenido; concluimos, por tanto, que la reducción de las tarifas ha incrementado el consumo de kw. Apartado b: · errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera.

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· errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa. En este caso, si se hubiera concluido que la media de consumo se ha mantenido mientras que realmente hubiera subido, estaríamos cometiendo un error tipo II. H0 verdadera H0 falsa Decisión Correcta Error tipo II Aceptar H0 : p=1−α p=β Error tipo I Decisión Correcta Rechazar H0 : p=α p=1−β Septiembre 04: Se cree que el comportamiento de ciertos microorganismos marinos se ha visto afectado por un vertido residuos, reduciéndose en particular el tiempo de vida de dichos microorganismos. Antes del vertido ese tiempo seguía una Normal de media 45 días y desviación típica 4 días. Unas semanas después del vertido se contabilizó el tiempo de vida de una muestra de 50 microorganismos, obteniéndose una media de 43 días de vida. Suponiendo que el tiempo de vida sigue siendo aproximadamente Normal y que la desviación tipica se ha mantenido, a) Plantea un test par contrastar la hipótesis de que el vertido de residuos no les ha afectado frente a que ha influido en la forma en que se cree. Si se concluyera que sí afectó y esta conclusión fuera falsa ¿cómo se llama el error cometido? b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 3%. Nota: algunos valores de la distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(3’54)=1, F(1’82)=0’97, F(0’03)=0’51 Solución: Apartado a: 1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa: · H0 : µ ≥ 45 ”el tiempo de vida no ha disminuido” · H1 : µ < 45 ”el tiempo de vida sí ha disminuido” 2. Aceptamos el nivel de significación impuesto y que se trata de una prueba unilateral: α = 0.03 → Zα = 1.82 3. Determinamos el Intervalo de Confianza para una media: IC = x ± Zα √σn = 43 ± 1.82 · √450 = (41. 97, 44. 03) 4. Elegimos entre H0 y H1 : Como que la media a contrastar (45) se encuentra fuera del Intervalo de Confianza calculado, rechazamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 3%, que el tiempo de vida no ha disminuido; concluimos, por tanto, que el vertido ha influido, disminuyendo el tiempo de vida de los microorganismos. Apartado b: · errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera.

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· errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa. En este caso, si se concluyera que el vertido afectó a los microorganismos reduciendo su tiempo de vida y esta conclusión fuera falsa, estaríamos cometiendo un error tipo I. H0 verdadera H0 falsa Decisión Correcta Error tipo II Aceptar H0 : p=1−α p=β Error tipo I Decisión Correcta Rechazar H0 : p=α p=1−β

6.2 Problemas propuestos B6-01: Se ha tomado una muestra en 40 aves rapaces que habitan en cierto ecosistema. Se ha detectado que 18 de ellas eran portadoras de una enfermedad transmitida a través de los conejos. Si sabemos que la población de aves rapaces en dicho ecosistema es de 2.500 unidades, determina, con un nivel de confianza del 90%, el número de aves rapaces enfermas. B6-02: Una muestra aleatoria de 100 alumnos que terminan el bachiller de Ciencias Sociales, revela que su media de edad es 18,1 años. Determina, con un nivel de confianza del 95%, la edad media de los estudiantes que finalizan dicho bachillerato, si sabemos que la desviación típica en dicha población es 0.4 años. B6-03: De las 6.000 piezas de plástico que se fabrican diariamente en una empresa, se escoge una muestra al azar compuesta por 150 unidades. En esta muestra se observan 100 unidades cuya terminación y acabado superan el control de calidad de la propia empresa. El gerente de la empresa mantiene que, al menos un 80% de la producción de la misma superará dicho control de calidad. Plantear y resolver una prueba de contraste de hipótesis que permita, con un nivel de confianza del 95%, aceptar o no dicha información. B6-04: El gerente de un centro de salud con especialidades, afirma que el tiempo medio de espera para la realización de una mamografía es igual o inferior a 25 días. Se quiere contrastar esta información, con un nivel de confianza del 99%. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 200 pacientes y se determinan los siguientes datos: tiempo medio de espera=27 días; desviación típica=15. Plantear y resolver un contraste de hipótesis para valorar la afirmación del gerente del centrol. B6-05: Se desea hacer una encuesta para medir, con un 95% de nivel de confianza, la proporción de jóvenes del barrio que practica algún deporte. Real-

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izamos una encuesta piloto sobre 200 jóvenes seleccionados al azar y obtenemos que 120 de ellos practican algún deporte. ¿Cuál deberá ser el tamaño de la muestra para garantizar que el error máximo no supera el 0.02? B6-06: Una empresa desea medir el tiempo de duración de uno de sus productos, un cierto modelo de radio; se sabe que la desviación típica de ese tiempo de duración en la población es 2 años. ¿De qué tamaño ha de tomarse la muestra de radios para tener una confianza del 99% y que el error de estimación no supere el medio año? B6-07: Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que la desviación típica de la población es de 20 mg/cc. a) Obtén un intervalo de confianza, con un nivel de significación del 10%, para estimar el nivel de glucosa en sangre de la población. b) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior? c) En las condiciones anteriores, ¿resulta aceptable la hipótesis de que la media en la población de glucosa en sangre es de 100 mg/cc? Justifica las respuestas. Nota: Algunos valores de la función de distribución Normal de media = 0 desviación típica 1 son: F(1000)=1; F(2,33)=0,99; F(1,28)=0,90; F(1,645)=0,95 B6-08: Hemos tomado una muestra aleatoria de 50 conejos en un criadero industrial. Se ha encontrado que 14 de ellos presentaban una enfermedad que, probablemente, adquirían a través del pienso con que se alimentaba. sabemos que la población de conejos en el criadero es de 5000 unidades; determina, con un nivel de significación del 5%, el número de conejos enfermos. B6-09: Hemos tomado una muestra aleatoria de 200 personas que acudían a un cierto mercado a realizar sus compras de comestibles. Hemos encontrado que su media de edad es 43.2 años. con una desviación típica de 18.6 años. Determina, con un nivel de significación del 10%, la edad media de las personas que acuden a ese mercado a realizar sus compras. B6-10: Una empresa de conservas de bonito envasa diariamente 2500 latas. Se selecciona una muestra al azar compuesta por 100 latas. En esta muestra se observan 90 latas cuyo contenido neto en bonito es mayor que los 200 gramos que se indican en la etiqueta. El director de la fábrica conservera mantiene que, al menos un 95% de las latas que se producen en la misma contiene más que los 200 gramos indicados. Plantear y resolver una prueba de contraste de hipótesis que permita, con un nivel de significación del 5%, aceptar o no dicha información. B6-11:

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El director de la cooperativa de RadioTaxis de una ciudad, así como el concejal del ayuntamiento responsable del tema, manifiestan que el servicio funciona adecuadamente y que el tiempo medio de espera desde que se produce una llamada telefónica es igual o inferior a los 12 minutos. Algunos usuarios de esa ciudad no están demasiado convencidos de ello y desean contrastar esta información, con un nivel de significación del 5%. Para ello, toman una muestra aleatoria de 300 llamadas y calculan la siguiente información: tiempo medio de espera=14 minutos; desviación típica=5. Plantear y resolver un contraste de hipótesis para valorar la afirmación del director de la cooperativa y del concejal.. B6-12: En una ciudad se ha remodelado una avenida central y se han colocado unas farolas modernistas que han causado cierta polémica. Se desea hacer una encuesta para medir, con un 1% de nivel de significación, la proporción de personas favorables a la colocación de dichas farolas. ¿Cuál deberá ser el tamaño de la muestra para garantizar que el error máximo no supera los tres puntos? B6-13: Una empresa de neumáticos está ensayando un nuevo modelo para lanzar al mercado. Desea realizar un muestreo para estimar la vida media, en km., de este nuevo neumático con un nivel de significación del 5% y con la garantía de que el error de estimación no supere los 3.000 km. Se desconoce la desviación típica, pero por las similitudes del proceso de fabricación con otros modelos, puede suponerse que es de 20.000 km. ¿Qué tamaño deberá de tener la muestra? B6-14: Se ha tomado una muestra aleatoria de 75 jóvenes de 18 años a los que se ha medido su altura; se ha obtenido una media muestral de 169.7 cm. Se sabe que la desviación típica de alturas en la población de referencia es de 4.2 cm. a) Obtén un intervalo de confianza, con un nivel de significación del 5%, para estimar la altura de los jóvenes de 18 años en dicha población. b) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior? c) En las condiciones anteriores, ¿resulta aceptable la hipótesis de que la altura media en la población de 172 cm.? Justifica las respuestas. Nota: Algunos valores de la función de distribución Normal de media = 0 desviación típica 1 son: F(1000)=1; F(2,33)=0,99; F(1,28)=0,90; F(1,645)=0,95 B6-15: Una empresa fabrica cojinetes de bolas; se ha tomado una muestra al azar de 200 cojinetes hechos por una determinada máquina, obteniendo una media de 2.05 cm. de radio y una desviación típica de 0.1 cm. El director de calidad de la empresa sostiene que el radio medio de los cojinetes que se fabrican es de 2 cm. Contrasta esta afirmación mediante un test de

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hipótesis para un grado de confianza del 95%. B6-16: Se sabe que el contenido de fructosa de cierto alimento sigue una distribución normal, cuya varianza es conocida, teniendo un valor de 0.25. Se desea estimar el valor de la media poblacional mediante el valor de la media de una muestra, admitiendose un error máximo de 0.2 con una confianza del 95%. ¿Cuál ha de ser el tamaño de la muestra? B6-17: En un Instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. Se seleccionó una muestra aleatoria del 15% de los alumnos, y se les preguntó si utilizaban la cafetería del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos. Con una confianza del 99%: estima el porcentaje de alumnos que utilizan la cafetería del instituto y determina el error máximo cometido con dicha estimación B6-18: Una compañia de electrodomésticos desea estimar la proporción de familias de una determinada ciudad que poseen horno microondas. Para ello tienen que tomar una muestra aleatoria de n familias. Calcula el valor mínimo de n para garantizar que, con un nivel de confianza del 95%, el error en la estimación sea menor que 0.05. B6-19: Un sindicato realiza una encuesta entre 64 los trabajadores de una cierta población; encuentra los siguientes resultados: el tiempo medio de duración de un empleo es de 6.5 años, con una desviación típica de 4 años. Días después, en la prensa, aparece el siguiente titular "el tiempo medio de duración de un empleo es menor o igual a 6 años". Queremos saber si, con un nivel de significación del 5%, puede justificarse el titular periodístico. B6-20: En un determinado barrio se seleccionó al azar una muestra de 100 personas cuya media de ingresos mensuales resultaba igual a 1060 C = con una desviación típica de 200 C =. Si se toma un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el intervalo de confianza para la media de los ingresos mensuales de toda la población? Si se toma un nivel de significación igual a 0,01, ¿cuál es el tamaño muestral necesario para estimar la media de ingresos mensuales con un error menor de 30 C =? B6-21: Se desea estimar la proporción p de individuos daltónicos de una población a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamaño n. a) Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel de confianza del 0.95, el error cometido en la estimación sea inferior al 3.1%. b) Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos y el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es del 35%, determina, usando un nivel

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de significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de daltónicos de la población. B6-22: En su propaganda, una empresa asegura que las bombillas que fabrica tienen una duración media de 1600 horas, al menos. A fin de contrastar este dato, se tomó una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniendose una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas. ¿Puede aceptarse la información de los folletos con un nivel de confianza del 95%? B6-23: En una comunidad autónoma se desea estudiar el número medio de hijos por mujer a partir de los datos disponibles en cada municipio. Se supone que este número sigue una distribución normal con desviación típica igual a 0.08. El valor medio de estos datos para 36 municipios resulta ser igual a 1.17 hijos por mujer. Se desea contrastar, con un nivel de significación de 0.01, si el número medio de hijos por mujer en la comunidad es de 1.25. a) ¿Cuáles son la hipótesis nula y la alternativa en el contraste de hipótesis? b) Determínese la región crítica del contraste. c) ¿Es posible aceptar la hipótesis con el nivel de significación indicado? B6-24: A partir de la información suministrada por una muestra aleatoria de 100 familias de cierta ciudad se ha determinado el intervalo de confianza al 99% para el gasto medio mensual por familia (en euros) en electricidad. Este intervalo resulta ser: (42, 58). Determina, justificando las respuestas: a) La estimación puntual que daríamos para el gasto mensual por familia en electricidad en esa ciudad. b) ¿Qué número de familias tendríamos que seleccionar al azar como mínimo para garantizarnos, con una confianza del 99%, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a 3 euros? B6-25: La altura de los jóvenes de una cierta comunidad autónoma se distribuye según una ley normal de media desconocida y varianza 25 cm 2 . Se ha seleccionado una muestra aleatoria y, para un nivel de confianza del 95%, se ha construido un intervalo de confianza para la media poblacional cuya amplitud es de 2.45 cm. a) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada? b) Determina el límite superior y el inferior del intervalo de confianza si la muestra tomada dio una altura media de 170 cm.

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Anexo A.1 Soluciones Problemas Bloque 1 B1-01:   x + y + z = 60000 x = 2 (y + z) → {x = 40000, y = 15000, z = 5000}  0.05x + 0.1y + 0.2z = 4500 B1-02:  ½  x−4+1=x−3 x−3=y+1 y−1+2=y+1 → → {x = 5 + z, y = 1 + z} y+1=z+2  z+4−2=z+2 Resulta un S.C.I. El enunciado se cumplirá siempre que en el hotel haya unnúmero de que sea múltiplo de  huéspedes   3 y mayor o igual a 6. x 5 6 7 8 9 ...  y   1 2 3 4 5 ...       z  =  0 1 2 3 4 ...  T otal 6 9 12 15 18 . . . B1-03:   24x + 24 · 0.7y + 24 · 0.6z = 12768 x + y + z = 600 → {x = 400, y = 120, z = 80}  y + z = x2 B1-04: Representamos los vuelos   desde A (filas) hasta B (cols.): 1 1 2 0 X1 =  0 1 1 2  0 0 1 0 Representamos  los vuelos desde B (filas) hasta C (cols.): 2 2  2 2   X2 =   2 2  2 2 Representamos  los vuelos directos desde A (filas) hasta C (cols.): 1 0 X3 =  0 0  0 0 Los vuelos del país A al C, necesiten o no efectuar transbordo en el país B, serán:

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Appendix A. Anexo

      2 2 9 8 1 0 1 1 2 0  2 2  = 8 8 X3 +X1 ·X2 =  0 0  +  0 1 1 2  ·   2 2  2 2 0 0 0 0 1 0 2 2 B1-05:    nudo A:  x2 + 300 + 60 = x1 nudo B: → x3 = 40 + 80 + x2   nudo C: x1 + 160 = x3 + x4   300 + 60 = x1 x3 = 40 + 80 · cortar tráfico en AB significa: x2 = 0 →  x1 + 160 = x3 + x4 {x3 = 120, x1 = 360, x4 = 400} → SI   x2 + 300 + 60 = 0 x3 = 40 + 80 + x2 · cortar tráfico en AC significa: x1 = 0 →  160 = x3 + x4 {x4 = 400, x2 = −360, x3 = −240} → N O   x2 + 300 + 60 = x1 0 = 40 + 80 + x2 · cortar tráfico en CB significa: x3 = 0 →  x1 + 160 = x4 {x4 = 400, x2 = −120, x1 = 240} → N O B1-06:   x + y + z = 42000 1.2x + 1.5y + 2z = 64000 → {x = 12000, y = 20800, z = 9200}  x = 0.4 (y + z) B1-07:   0 0 1 AT = A−1 =  1 0 0  0 1 0   1 0 0 ¡ ¡ ¢ ¢ 2003 2003 A · AT = A · A−1 = (I)2003 = I =  0 1 0  0 0 1 B1-08: · a 6= −1 y a 6= 2 → S.C.D. · a 6= −1 → S.I. · a 6= 2 → S.I. B1-09:  µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 2 a b a + 2c b + 2d   =  c d µ 0 1 ¶µ c d ¶ µ ¶ → a b 1 2 a 2a + b   =  c d 0 1 c 2c + d  → c=0   a + 2c = a µ ¶  b + 2d = 2a + b → a = d a b →B= c=c 0 a    d = 2c + d B1-10: 

 

→

→

→

Appendix A. Anexo

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µ

¶ µ ¶ µ ¶ n2 −n x 1 · = n2 (2n − 1) −1 y 4n · si n 6= 0 ∧ n 6= 1 ∧ n 6= − 12 → → |M | 6= 0 → r(M ) = r(Ma ) = no incógnitas = 2 → S.C.D. (Solución única) · si n = 0 → |M | = 0 → r(M ) = 1 y r(Ma ) = 2 → S.I. (No solución) · si n = 1 → |M | = 0 → r(M ) = 1 y r(Ma ) = 2 → S.I. (No solución) · si n = − 12 → |M | = 0 → r(M ) = 1 y r(Ma ) = 1 → S.C.I. (Infinitas soluciones) ½ © ª 4x − 2y = 1 n=2→ → x = 34 , y = 1 12x − y = 8 B1-11:    6x − 9y + 2z = 5  6x − 9y + 2z = 5 2x − 3y + z = 4 ; 2x − 3y + z = 4 S.I.: S.C.I.:   6x − 9y + 2x = 6 4x − 6y + 2z = 8 B1-12:   x + y + z = 3900 y = 2x → {x = 650, y = 1300, z = 1950}  y 2 = z 3 B1-13:   7x + 5y + 6z = 18750 z = 27 y → {x = 1000, y = 1750, z = 500}  3x + z = 2y B1-14:    0 1 1 1 −1 −1 2  C −1 =  0 0 1  ; D−1 =  −1 2 3 1 1 −2 2 3 2 2 2     −3 2 2 2 1 0 −4 −1 0 0 1 → C · D =  1 −1 0   −1 1 −1  =  3 0 1 0 2 0 1 −1 1 −1  1  − 2 − 12 − 12 2 2  (C · D)−1 =  1 3

D−1 · C −1

2

5 2

3 2

 1 −1 −1 0 2  0 =  −1 2 1 −2 2 3 2

1 0 3 2

  1 1 −2 1 = 1 1 2

3 2

B1-15:  x + y + z = 90  x + 0.75 ∗ y + 0.5 ∗ z = 64 → {x = 31, y = 14, z = 45}  z = (x + y) B1-16: ¡ ¢ X = −1 −1 −1 ; Y : no existe. B1-17: µ ¶ µ ¶ µ ¶ a −1 x 2−a · = 2 − (a + 1) y 2

− 12 2 5 2

 − 12 2  3 2

170

Appendix A. Anexo

· si a 6= 1 y a 6= −2 → S.C.D. · si a = 1 → S.C.I. · si a = 2 → S.I. B1-18:     2 3 1 7 1 2 7  A =  −1 −2 5  ; B =  −6 6 6 1 −6 2 −3 −2 B1-19: · si a 6= −1∧a 6= 2 → S.C.D. (solución única y trivial) → {x = y = z = 0} · si a = −1∨ a = 2 → S.C.I. (infinitas soluciones)  4x − 4z = 0 x−y+z =0 a = −1 → → {x = z, y = 2z, z = z}  −x + y − z = 0   4x − 4z = 0 x − y − 2z = 0 a=2→ → {x = z, y = −z, z = z}  −x − 2y − z = 0 B1-20:       1 −1 1 x 6  −1 −1 a − 4  ·  y  =  7  1 1 2 z 11 · Si a 6= 2 → S.C.D. (solución única). · Si a = 2→ S.I. (no solución).  x−y+z =6 © ª −x − y − z = 7 → x = − 37 a=3→ , y = − 13 , z = 18 2 2  x + y + 2z = 11 B1-21:   x + y + z = 400 x + y + 2z = 600 → {x = 100, y = 100, z = 200}  2x + 3y + 5z = 1500 B1-22:   x − 9y + 5z = 33 © ª x + 3y − z = −9 → x = − 12 k + 32 , y = 12 k − 72 , z = k  x−y+z =5 a) Es un sistema compatible e indeterminado con infinitas soluciones. b) Cualquiera de las tres ecuaciones es combinación lineal de las otras dos, por lo que puede ser eliminada y obtenerse un sistema equivalente. B1-23: −1 XABµ− XC = 2C ¶ → X (AB − C) = 2C → X = 2C (AB − C) −1 1 X= −3 52 B1-24: ½ © ª x + y + z = 22 a) → x = 14 k + 11, y = − 54 k + 11, z = k 2y + 3z = 2x

Appendix A. Anexo

  x + y + z = 22 2y + 3z = 2x b) → {x = 12, y = 6, z = 4}  x = 2y B1-25: ¯ ¯ H : x → x+5 → x+5−4 ¯ ¯ ½M : y → y + 6 → y + 6 + 2 y + 6 = 2 (x + 5) → {x = 9, y = 22} → {xf = 10, yf = 30} y + 8 = 3 (x + 1)

A.2 Soluciones Problemas Bloque 2 B2-01:

 300x + 400y     ¯ 3x + 3y ≤ 120  ¯ x = no bibliotecas pino 3x + 6y ≤ 180 → Sea:¯¯ y = no bibliotecas castaño   x ≥ 0    y≥0 → {x = 20, y = 20} ; Beneficios: 14000C = B2-02:  40x + 60y     ¯ 6x + 6y ≥ 30  ¯ x = kg. pienso P1 5x + 10y ≥ 35 → Sea: ¯¯ y = kg. pienso P2   x≥0    y≥0 → {x = 3, y = 2} ; Coste: 240 C =. B2-03:  2x + 1.5y    ¯  0.5x + 0.25y ≤ 20  ¯ x = no empanadas grandes 0.25x + 0.25y ≤ 15 → Sea: ¯¯ y = no empanadas pequeñas   x ≥ 0    y≥0 → {x = 20, y = 40} ; Beneficio: 100 C =. B2-04:  8x + 12y    ¯  4x + 2y ≤ 440  o ¯ x = n de cajas A 0.25x + 0.5y ≤ 65 → Sea: ¯¯ o y = n de cajas B   x ≥0    y≥0 → {x = 60, y = 100} ; Ventas: 1680 C = B2-05:

171

172

Appendix A. Anexo

 90x + 150y     ¯ 300x + 500y ≤ 7000  o ¯ x = n televisores tipo TV1 x + y ≤ 20 → Sea: ¯¯ o y = n televisores tipo TV2   x ≥ 0    y≥0 → {x = 0, y = 14} ; {x = 5, y = 11} ; {x = 10, y = 8} ; {x = 15, y = 5} ; Beneficio: 2100 C = B2-06:  2000x + 3000y     1000x + 2000y ≥ 80000  ¯  ¯ x = no días trabajo planta P1  3000x + 2000y ≥ 160000 Sea: ¯¯ → 5000x + 2000y ≥ 200000 y = no días trabajo planta P2     x≥0    y≥0 → {x = 40, y = 20} ; Coste: 140 000 C = B2-07: ¯ ¯ x = no rompecabezas pequeños Sea: ¯¯ y = no rompecabezas grandes  4.5x + 6y     x ≤ 400    y ≤ 300 → {x = 200, y = 300} ; Beneficio: 2700 C = x + y ≤ 500     x≥0     y≥0 6x + 4.5y     x ≤ 400    y ≤ 300 → {x = 400, y = 100} →Beneficio: 2850 C = x + y ≤ 500     x≥0    y≥0 B2-08:  1000x + 500y     x ≥ 50    ¯  x ≤ 75  ¯ x = no motos modelo A y ≥ x Sea: ¯¯ → y = no motos modelo B   x + y ≤ 400     x≥0    y≥0 → {x = 75, y = 325} ; Beneficio: 237 500 C = B2-09:

Appendix A. Anexo

173

 0.12x + 0.08y     x + y ≤ 30000   ¯  ¯ x== x ≤ 12000 C a invertir en fondo A → Sea: ¯¯ y ≤ 2x y== C . a invertir en fondo B     x≥0    y≥0 → {x = 12 000, y = 18 000} ; Beneficio: 2880 B2-10:  60x + 80y    ¯  2y ≤ x + 800  ¯ x = no de estanterías 3x + 2y ≤ 2400 → Sea: ¯¯ y = no de archivadores   x ≥ 0    y≥0 → {x = 400, y = 600} ; Beneficio: 72 000 C = B2-11: ¯ ¯ x = no de días a pasar en la costa Sea: ¯¯ y = no de días a pasar  en la montaña  x+y x + y         100x + 200y ≤ 2000  x + 2y ≤ 20  x ≤ 10 x ≤ 10 → {x = 10, y = 5} →     x ≥ 0 x ≥ 0       y≥0 y≥0 En estas condiciones, el coste de las vacaciones será: 100x + 200y = 100 · 10 + 200 · 5 = 2000 C =. Por tanto, sí agotará todo su presupuesto. B2-12:  2.5x + 4y     x + y ≤ 150    ¯  0.25x + 0.5y ≤ 50  o ¯ x = n de pizzas N x ≤ 125 → Sea: ¯¯ o y = n de pizzas E   y ≤ 125     x≥0    y≥0 → {x = 100, y = 50} ; Beneficio: 450 C =. Contratar más personal implicaría eliminar las restricciones x ≤ 125 , y ≤ 125 que resultan ser superfluas en este problema; luego no cambiaría el resultado obtenido. B2-13:  0.1x + 0.5y     3x + 4y ≥ 12  ¯  ¯ x = no comprimidos X  2x + y ≥ 4 Sea: ¯¯ → 4x + 3y ≥ 8 y = no comprimidos Y     x≥0    y≥0 → {x = 4, y = 0} ; Coste: 0.4 C =

174

Appendix A. Anexo

B2-14:

 40x + 50y     ¯ 3x + y ≤ 180  o ¯ x = n de lotes A x + 2y ≤ 160 → Sea: ¯¯ o y = n de lotes B    x≥0   y≥0 → {x = 40, y = 60} ; Ventas: 4600 C = B2-15:  450x + 600y     x  ¯  + y ≤ 500 ¯ x = no coches gasolina  x ≤ 400 → Sea: ¯¯ y ≤ 300 y = no coches diesel     x≥0    y≥0 → {x = 200, y = 300} ; Ganancias: 270 000 C = B2-16:  2500x + 2000y     x + y ≤ 300    ¯  1.5x + y ≤ 400  ¯ x = no ha. cultivo A x ≥ 100 Sea: ¯¯ → y = no ha. cultivo B   y ≥ 50     x≥0    y≥0 → {x = 200, y = 100} ; Beneficios: 1100 000 C = B2-17:  70x + 90y     x ≤ 12    ¯  y ≤ 12  ¯ x = no joyas de oro 2x + y ≤ 22 → Sea: ¯¯ y = no joyas de plata   x + 2y ≤ 26     x ≥ 0    y≥0 → {x = 6, y = 10} ; Beneficio: 1320 C = B2-18:  600x + 800y     40x + 50y ≥ 400    ¯  x ≤ 8  o ¯ x = n autobuses normales y ≤ 10 → Sea: ¯¯ o y = n autobuses grandes   x + y ≤ 9     x≥0    y≥0 → {x = 5, y = 4} ; Coste: 6200 C = B2-19:

Appendix A. Anexo

 4.5x + 6y     x ≤ 400   ¯  ¯ x = no anillos sencillos y ≤ 300 → Sea: ¯¯ x + y ≤ 500 y = no anillos con adornos     x≥0    y≥0 → {x = 200, y = 300} ; Ingresos: 2700 C = B2-20:  1000x + 600y     y ≤ 18 − 2x  ¯   ¯ x = no de ventas 2x + 3y ≤ 26 Sea: ¯¯ → x + y ≤ 16 y = no de alquileres     x≥0    y≥0 → {x = 7, y = 4} ; Comisiones: 9400 C = B2-21:  30x + 20y     x + y ≤ 12  ¯   ¯ x = no toneladas arena x ≥6 Sea: ¯¯ → y ≥ 3 y = no toneladas cemento     x≥0    y≥0 → {x = 9, y = 3} ; Transporte: 330 C = B2-22:  30x + 50y     x + y ≤ 60  ¯   ¯ x = no horas informática básica x + y ≥ 36 Sea: ¯¯ → y ≥ 6 y = no horas informática avanzada     x≥0    y≥0 → {x = 30, y = 6} ; Coste curso: 1200 C = B2-23:  7.5x + 6y     ¯ 0.1x + 0.07y ≤ 39  ¯ x = kg. abono A 0.05x + 0.08y ≤ 24 → Sea: ¯¯ y = kg. abono B   x≥0    y≥0 → {x = 320, y = 100} ; Beneficio: 3000 C = B2-24:  1000x + 1200y     150x + 200y ≥ 1800  ¯  ¯ x = no barcos tipo A  y ≤ 6 Sea: ¯¯ → 6x + 8y ≤ 96 y = no barcos tipo B     x≥0    y≥0 → {x = 4, y = 6} ; Coste: 11 200 C =

175

176

Appendix A. Anexo

B2-25:

 0.2x + 0.3y     x + y ≤ 110000     ¯ x ≤ 80000  ¯ x== C invertidos en A y ≤ 70000 → Sea: ¯¯ y== C invertidos en B    y ≤ 1.5x     x≥0   y≥0 → {x = 44000, y = 66000, } ;Rendimiento: 28600 C =

A.3 Soluciones Problemas Bloque 3 B3-01: a) {k = 5}; b) {k = −1} B3-02: a) {k = 4}; b) {k = 2} B3-03: Indeterminado. c = 4; 12a + 2b = 0 → → {a = 0, b = 0, c = 4; a = 1, b = −6, c = 4; a = 2, b = −12, c = 4 . . .} B3-04: {a = 1, b = −3, c = 0, d = 2} B3-05: a) V 2x)ª(4 − 2x) © = x (8 − √ b) x = 2 − 23 3 c) V = 12.317 dm3 . B3-06: a) Es una parábola; eje: x = 5; V (50, 10); ¡ ¢ Cortes con OX: (20, 0) y (80, 0) ;Corte con OY: 0, − 160 9 b) [20, 80] c) x = 50; f (50) = 10 B3-07: a) I(p) = (2000 − 8p) p = 2000p − 8p2 b y c) p = 125; I(125) = 125 000 d) A partir de 250 compradores los ingresos serán negativos y habrá pérdidas. B3-08: a) Continua; máximo en (1, 37); mínimo en (4, 10) b) n(0) = 26 c) x = 4; n(4) = 10 d) sí; en x = 4 hay un mínimo; en (4, ∞) la función es creciente. B3-09: a) {a = 12, b = −9} B3-10:

Appendix A. Anexo

177

a) {t = 1} ; {t = 3} √ b) {t = 2} ; f (2) = 2 2 B3-11: 10− 90 (3) a) T M V [4, 3] = f (4)−f = 1 7 = − 20 4−3 7 = −2.857 5 0 o bien: f (4) = − 2 = −2.5 b) {t = 2} ; f (2) = 15 (miles) 30t c) limt→∞ t2 −2t+4 =0 B3-12: R1 ¡ ¢ b) −1 e2x dx = − 12 −1 + e−4 e2 ¡ ¢ ¡ ¢ R0 R1 c) −1 e−2x dx + 0 e2x dx = − 12 + 12 e2 + − 12 + 12 e2 = e2 − 1 B3-13: ½ · en (−∞, 2) f 0 (x) > 0 → f (x) es creciente a) · en (2, +∞) f 0 (x) < 0 → f (x) es decreciente   · en (−∞, 0) g 0 (x) < 0 → g(x) es decreciente · en (0, 4) g 0 (x) > 0 → g(x) es creciente  0 ©· en (4, +∞) g (x) < 0 → g(x) es decreciente b) - en x = 2 : f (x):creciente→decreciente → Máximo relativo ½ - en x = 0 : g(x):decreciente→creciente → Mínimo relativo - en x = 4 : g(x):creciente→decreciente → Máximo relativo B3-14: a) Primer tramo: una parábola; convexa; eje x = 10; V (10, 100). Segundo tramo: una constante; recta horizontal. Tercer tramo: recta de pendiente negativa que corta al eje OX en {t = 120} b) en el vértice de la parábola, es decir en el tiempo t = 10. c) R(60) = 100 − 56 · 60 = 50% d) a los 120 minutos, el rendimiento se anula; además: limt→∞ R(t) = limt→∞ 100 − 56 t = −∞ B3-15: a) en x = −1: función continua y no derivable; en x = 2: función discontinua¯→ no derivable. ¯ mínimo relativo en (-1,0) b) ¯¯ ; además: máximo relativo en (4,16) ¯ ¯ decreciente en (−∞, −1) ∪ (4, ∞) ¯ ¯ creciente en (−1, 2] ∪ (2, 4) B3-16: a) B(x) = I(x) − G(x) = −16x2 + 24 000x − 700 000 b) B 0 (x) = 0 → {x = 750} c) B(750) = 8300 000   limx→∞ I(x) = 28x2 + 36000x = ∞ limx→∞ G(x) = 44x2 + 12000x + 700000 = ∞ d)  limx→∞ B(x) = −16x2 + 24 000x − 700 000 = −∞ Como que los gastos se incrementan de manera más rápida que los ingresos, los beneficios tienden a -∞ (pérdidas). B3-17:

178

Appendix A. Anexo

½

D : (−∞, 4) ∪ (4, ∞) x ∈ 0 f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0 d) Signo f 0 (x) Crecimiento decreciente creciente creciente decreciente B3-18: {x = 12, y = 6} B3-19: 1+2a −1 0 y 0 = x·(x+2a) ; y 0 (1) = (1+a) 2 ; y (1) > 0 → 1 + 2a > 0 → a > 2 (x+a)2 B3-20: a) Dos funciones que se diferencien únicamente en una constante tendrán ¯ ¯ g(x) = 3x2 + 5 → g 0 (x) = 6x siempre la misma derivada. Por ejemplo: ¯¯ h(x) = 3x2 − 7 → h0 (x) = 6x 1 1 2 b) f (x) = − 3x3 + x + 24 B3-21: © ¢ ª ¡ x2 − 23 x3 = 0 → {x = 0} , x = 32 → (0, 0) , 32 , 0 Intervalos (−∞, 0) (0, 1) (1, ∞) Signo f 0 (x) f 0 (x) < 0 f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0 Crecimiento decreciente creciente decreciente ¢ ¡ ¢ ¡1 Intervalos −∞, 12 2, ∞ Signo f 00 (x) f 00 (x) > 0 f 00 (x) < 0 Concavidad convexa (”hacia arriba”) cóncava (”hacia abajo”) No presenta asíntotas de ningún tipo. B3-22: √ √ √ a) x = 2 5 → C(2 5) = 2500 + 1200 5 = 5183. 3 b) x = 0; y = 300x + 2500 B3-23: √ √ ¤ £ a) 3 − 3, 3 + 3 b) x = 3 C =; B(3) = 6 (miles de = C) B3-24: a) mínimo en (−1, en (1,¢2) ; ¡ √−2);¢ máximo¡√ corte con OX: − 3, 0 , (0, 0) , 3, 0 ¯R ¯ ¯R √ ¯ √ ¯ 0 ¯ ¯ 3 ¯ b) ¯ −√3 f (x)dx¯ + ¯ 0 f (x)dx¯ = 6 3 − 92 = 5. 89 B3-25: a) y(0) = 300 enfermos. b) y 0 (t) = 40e0. 2t enfermos/día. c) t = 10 días.→11 de enero a)

Appendix A. Anexo

179

A.4 Soluciones Problemas Bloque 4 B4-01: b) f (0) = −3 millones de euros. c) f (x) = 0 → 3x−6 x+2 = 0 → {x = 2} Dadas las características del enunciado, sólo tiene sentido analizar los intervalos: (0, 2) y (2, ∞) En el intervalo (0, 2): f (x) < 0 →pérdidas. En el intervalo (2, ∞): f (x) > 0 →ganancias. Luego la empresa deja de tener pérdidas al final del segundo año. d) Como que limx→∞ f (x) = limx→∞ 3x−6 x+2 = 3 Existe una asíntota horizontal para y = 3. Por lo tanto, los beneficios estarán limitados a 3 (millones de ³euros). ´ R3 R3 R3 3 12 e) 0 f (x)dx = 0 3x−6 x+2 dx = 0 3 − x+2 dx = [3x − 12 ln (x + 2)]0 = = 9 − 12 ln 5 + 12 ln 2 = −1.995 Luegos los beneficios acumiulados durante los 3 primeros años han supuesto unas pérdidas de: 1.995 millones. B4-02: ) ¢ £ 1 3 ¤ R5¡ 2 100 2 5 + 6x dx = − x + 3x = −x 25 275 3 0 £ 3 ¤10 b) R010 → 100 3 + 2 = 6 (−x + 10) dx = − 12 x2 + 10x 5 = 25 2 5 B4-03: a) < − {4} b) x = 3; y = −x − 3 c) mínimo en (0, 0); máximo en (6, −12)   · en (−∞, 0) : f 0 (x) < 0 → la función es Decreciente · en (0, 6) : f 0 (x) > 0 → la función es Creciente d)  0 ¯R ·³en2 (6, ¯ la función es Decreciente ¯ : ¯R f (x) < 0 → ´ ∞) ¯ 9 x ¯ ¯ ¯ 9 e) ¯ 6 3−x dx¯ − ¯ 6 (−x − 3) dx¯ = 37.738 − 31.5 = 6.238 B4-04: R¡ ¢ 2 a) ¯ 4x3 − 4x dx = ¯x4 − ¯R2x¡ + k ¢ ¢ ¯¯ ¡ R ¯ 0 ¯ ¯ 1 b) ¯ −1 4x3 − 4x dx¯ + ¯ 0 4x3 − 4x dx¯ = 2 R1 ¡ ¢ c) −1 4x3 − 4x dx = 0; lo que no significa que el área sea nula, sino que parte se encuentra por encima y parte por debajo del eje de abscisas. B4-05: a) Se trata de una parábola: eje: x = −1; vértice: V (−1, 4); orientación: ”hacia arriba”; corte con OY: v(0) = 8; corte con OX: no corta a OX. Interpretación: en el instante t = 0 de adquisición de la maquinaria, la variación de los gastos de mantenimiento es de 8.000 C =/año. A partir de ese momento, la variación de los gastos de mantenimiento se incrementa con el tiempo de manera cuadrática. No tiene interpretación física la gráfica corresponiente al intervalo (−∞, 0). i h ¢ R4 R4¡ 2 3 4 b) 0 v(t)dt = 0 8 + 8t + 4t2 dt = 8t + 8 t2 + 4 t3 = 544 3 = 181.33 0

180

Appendix A. Anexo

Este resultado representa los gastos de mantenimiento acumulados en los 4 primeros años. B4-06: © ª a) a = 6, b = − 92 → f (x) = 2x3 − 92 x2 + 6x − 5 B4-07: ´ ¤1 £ R 1 x2 R1³ 4 a) 0 x+2 dx = 0 x − 2 + x+2 dx = 12 x2 − 2x + 4 ln (x + 2) 0 =

= 4 ln 3 − 4 ln 2 − 32 = 0.121 Representa el área comprendida entre la curva, el eje de abscisas y las rectasR x = 0, x = 1. 1√ b) 0 xdx = 23 B4-08: a) −3} ; (x − 3)¯ 2 = 0 → {x = 3} ¯R 3x + 9 = 0 →¯ {x¯= ¯ 0 ¯ ¯R 3 ¯ 2 45 ¯ −3 (3x + 9) dx¯ + ¯ 0 (x − 3) dx¯ = 27 2 +9= 2 B4-09:  - en (0, 1): f 0 (x) > 0 → f (x) es creciente    - en (1, 2): f 0 (x) < 0 → f (x) es decreciente , además:  - en (2, 4): f 0 (x) < 0 → f (x) es decreciente   - en (4, 6): f 0 (x) > 0 → f (x) es creciente la derivada se anula en x = 1 y en x = 4 ½ - en x = 1: f (x) : creciente→decreciente → Máximo - en x = 4: f (x) : decreciente→creciente → Mínimo B4-10: R R f 00 (x) = f 000 (x)dx = 12xdx = 6x2 + c1 ; f 00 (0) = R2 → c1 = 2 →R f¡ 00 (x) = ¢6x2 + 2 f 0 (x) = f 00 (x)dx = 6x2 + 2 dx = 2x3 + 2x + c2 ; 0 0 f (0) = R1 → c2 = 1 → = 2x3 +¢ 2x + 1 R ¡f (x) 0 3 f (x) = f (x)dx = 2x + 2x + 1 dx = 12 x4 + x2 + x + c3 ; f (0) = 0 → c3 = 0 → f (x) = 12 x4 + x2 + x B4-11: y 00 = 3 → y 0 = 3x + c1 ; y0(2) = 8 → c1 = 2 → y 0 = 3x + 2 2 y = 3 x2 + 2x + c2 ; y(2) = 0 → c2 = −10 2 y = 3 x2 + 2x − 10 B4-12: Re e a) 1 ln xdx = [x ln x − x]1 = = (e ln e − e) − (1h ln 1 − 1) = (e ie − e) − (0 − 1) = 1 Re x2 x2 b) 1 x ln xdx = 2 ln x − 4 = 1´ ³ 2 ´ ³ 2 2 2 = e2 ln e − e4 − 12 ln 1 − 14 = 14 e2 + 14 B4-13: f (x) = x2 ln x − x2 + x B4-14: f (x) = 32 x2 − x + 12 B4-15:

Appendix A. Anexo

181

R x 1 x 1 x a) f (x) = © (e cos x) ª dx = 2 e cos x + 2 e sin x + k; 1 f (0) = 1 →R k =¡ 2 ¢ ¢ ¡ ¢ ¡ b) f (x) = ©x ln x2ª+ 1 dx = 12 x2 + 1 ln x2 + 1 − 12 x2 − 12 + k; f (0) = 0 → k = 12 B4-16: R1 R3 xdx + 1 x12 dx = 12 + 23 = 76 0 B4-17: a) La función r(t) representa el ritmo de las visitas, o la velocidad con que acuden los visitantes (visitantes/hora). b) La función r(t) = −2t2 + 12t es una función polinómica de segundo grado, por lo que su representación gráfica es una parábola: eje: x = 3; vértice V (3, 18); corte con el eje OX: (0, 0) ; (6, 0) c) 10 horas→ t = 2; r(2) = 16. 13 horas→ t = 5; r (5) = 10. d) Las unidades del producto r(t) · dt son ”número de visitantes”. Este producto representa el número de personas que entra en la exposición en un tiempo dt. R6 e) La integral definida 0 r(t) · dt representa el area comprendida entre la curva y el eje OX. Su significado es el número de personas que visitan la exposición desde t = 0 hasta t = 6, es decir, a lo largo del día. h i6 ¢ R6 R6¡ 3 f) 0 r(t) · dt = 0 −2t2 + 12t dt = − 2t3 + 6t2 = 72 personas. 0 B4-18: R 10 R 10 a) 0 C(t)dt = 0 (−0.15t + 30) dt = 292.5 litros Rt Rt b) 0 C(t)dt = 0 (−0.15t + 30) dt = −0.075 t2 + 30.0t Rt c) 0 C(t)dt = 3000 → −0.075 t2 + 30.0t = 3000 → {t = 200} B4-19: R 3 4 4 (2x + 1) dx = 18 (2x + 1) + k = 300 → 18 (1 + 1) + k = 300 → 4 1 → {k = 298} → 8 (2x + 1) + 298 B4-20: R 8El número de animales que se recuperarán entre las 11h. y las 16 h. será: g(t)dt 3R R8 R8 8 g(t)dt = 3 10e−0.02t dt = 10 3 e−0.02t dt = 44. 81 3 Adoptamos como resultado 44 curaciones entre las 11h. y las 16 h. A las 16 horas quedarán, por tanto: 250 - 45 = 205 enfermos graves. B4-21: R3 Depreciación: 0 (1200t − 4000) dt = −6600; Valor a los 3 años: 15000 − 6600 = 8400 C = B4-22: ½ © ª P (3) = 0 → 3a + b = −9 ¡ 27 9 ¢ R3 → a = − 16 ,b = 7 3 P (x)dx = 6 → 3 + 2 a + 3b = 6 0 B4-23: ½ - las 9 horas → t = 1 ; -³ las 12 horas → t=4 ´ R 4 3t 3 e 2 + 500 dt = 23 e6 + 1500 − 23 e 2 = 1766 personas. 1

182

Appendix A. Anexo

B4-24: No podemos que a = b. R 4 asegurar R 2π 3 Ejemplos: −4 x dx = 0; 0 sin xdx = 0. B4-25: 2 3 ax √ ª © √ ª R a ¡− x2 = 30¢→ {x =1 0}4 , {x = a}© − x dx = 12 a = 12 → a = 2 3 , a = −2 3 ax 0

A.5 Soluciones Problemas Bloque 5 B5-01: 67 a) P(ByB)+P(NyN) = 47 64 64 + 37 21 21 + 47 62 62 + 37 21 21 = 126 67 59 b) P(distinto color) = 1 − 126 = 126 B5-02: a) P(Pagado) = 0.3 × 0.8 + 0.5 × 0.75 + 0.2 × 0.5 = 0.715 0.3×0.2 b) P(Vivienda/Impagado) = 1−0.715 = 0.210 B5-03: a) P (R ∪ T v) = P (R) + P (T v) − P (R ∩ T v) = 0.3 + 0.6 − 0.2 = 0.7 ∩ T v) = 0.1 b) P (R/T v) = P (R 0.4 = 0.25 P (T v) c) P (R ∩ T v) + P (R ∩ T v) = P (R) − P (R ∩ T v) + P (T v) − P (R ∩ T v) = = 0.3 − 0.2 + 0.6 − 0.2 = 0.5 B5-04: a) P(R∧R∧R) = 0.3 · 0.7 · 0.5 = 0.105 b) P(V∧V∧V) = 0.7 · 0.3 · 0.5 = 0.105 c) P(uno R y dos V) = 0.3 · 0.3 · 0.5 + 0.7 · 0.7 · 0.5 + 0.7 · 0.3 · 0.5 = 0.395 B5-05: a) P(Prop.) = P(más de 50∧Prop.) + P(menos de 50∧Prop.) = = 0.7 · 0.6 + 0.3 · 0.3 = 0.51 de 50∧Prop.) b) P(más de 50 / Prop.) = P(másP(Prop.) = 0.7·0.6 0.51 = 0.82 B5-06: a) P(No Gripe) = 352 400 = 0.880 b) P(Mujer ∧ No Gripe) = 195 400 = 0.487 c) P(Hombre / No Gripe) = 157 352 = 0.446 d) P(No Gripe / Mujer) = 195 220 = 0. 886 B5-07: 90 a) P(R ∨ Tv.) = 100 = 0.90 10 = 0.10 b) P(R ∧ Tv.) = 100 20 c) P(R ∧ Tv.) = 100 = 0.20 40 = 0.40 d) P(Tv. ∧ R) = 100 B5-08: ¯ = 0.2 · 0.25 = 0.0 5 a) P (I ∧ D) b) P (Otro ∧ D) = 0.6 · 0.2 = 0. 12

Appendix A. Anexo P (E)·P (D/E) 0.2·0.5 = 0.2·0.75+0.2·0.5+0.6·0.2 = 0. 27 P (D) P (I∪E)·P (D/E) 0.2·0.75+0.2·0.5 E)/D) = = 0.2·0.75+0.2·0.5+0.6·0.2 P (D)

183

c) P (E/D) =

d) P ((I ∨ B5-09: a) P (Sana/+) =

P (S∩+) P (+) P (E∩−) P (−)

=

= b) P (Enf./−) = B5-10: a) P (2 monedas de 1 C =) =

0.85·0.05 0.15·0.9+0.85·0.05 0.15·0.1 0.15·0.1+0.85·0.95

= 0. 675

= 0.239 = 0.018

1 2 1 1 4 3 2 · 5 · 4 + 2 · 7 · 6 1 2 1 · · P (A∩1∩1) 7 2 5 4 = 27 27 P (1∩1) = 140

=

27 140

b) P (A / 1C = y 1C =) = B5-11: P(destruir)=1-P(no destruir)=1 − 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.936 B5-12: b) P(1 solo defecto) = P(solo L) + P(solo A) + P(solo H) = 11 5 5 21 = 100 + 100 + 100 = 100 = 0.21 11 c) P(solo L) = 100 = 0.11 B5-13: b) P (una sola enfermedad) = P(solo C1) + P(solo C2) = 70 30 = 150 + 150 = 23 = 0.ˆ6, o bien: b) P (una sola enfermedad) = P (C1) + P (C2) − 2 · P (C1 ∩ C2) = 90 50 20 = 150 + 150 − 2 · 150 = 23 = 0.ˆ6 B5-14: 9 1 7 0 9 P (Roja) = 1 · 16 · 13 + 1 · 16 · 13 = 208 = 0.043 B5-15: a) P(Def.) = P(A)·P(Def./A) + P(B)·P(Def./B) +P(C)·P(Def./C) = = 0.7 · 0.1 + 0.2 · 0.2 + 0.1 · 0.4 = 0.15 (Def./A) ˆ b) P (A/Def.) = P (A)·P = 0.7·0.1 P (Def.) 0.15 = 0.46 B5-16: P (F ) = P (B ∧ B) +0.3 · P (M ∧ M ) = 0.95 · 0.97 + 0.3 · 0.05 · 0.03 = = 0.922 P (F¯ ) = 1 − P (F ) = 1 − 0.92195 = 0.078 B5-17: a) P (A) = P (< 30 ∧ A) + P (> 30 ∧ A) = 0.55 · 0.2 + 0.45 · 0.9 = 0. 515 0.55·0.2 0.11 b) P (< 30/A) = P ( 25 α = 0.01 → Zα = 2.33 x = 27 como que n > 30 → σ ' s IC = x±Zα √σn = 27±2.33· √15 = (24. 529, 29. 471) → µ ∈ (24. 529, 29. 471) 200 Aceptamos la hipótesis nula H0 . B6-05: ³ ´ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ p = 120 = 0. 6 → q = 1 − p = 0.4 → p · q = 0.6 · 0.4 = 0. 24 200 α = 0.05 → Z α2 = 1.96 r ³ ´

∧

∧

∧

p 1− p

IC = p ± Z α2 n El error r máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: ³ ´ ∧ ∧ q ¡ ¢2 0.24 p 1− p 0.6·0.4 E = Z α2 → 0.02 = 1.96 · → 0.02 = n → n = 2305 n n 1.96 B6-06: α = 0.01 → Z α2 = 2.58 IC = x ± Z α2 √σn El error máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: ¡ 0.5 ¢2 E = Z α2 √σn → 0.5 = 2.58 · √2n → 2.58 = n4 → n ' 107 B6-07:

186

½

Appendix A. Anexo

H0 : µ = 100 H1 : µ 6= 100 x = 110 α = 0.10 → Z α2 = 1.645 = (106.71, 113.29) IC = x ± Z α2 √σn = 110 ± 1.645 · √20 100 El error máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: E = Z α2 √σn → E = 1.645 · √20 = 3. 29 100 Rechazamos la hipótesis nula H0 . B6-08: ∧ 7 p = 14 50 = 25 = 0.28 α = 0.05 →-Z α2 = 1.96 r ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p ∧ α IC = p ± Z 2 = 0.28 ± 1.96 · 0.28·0.72 = (0.155, 0.404) → n 50 → p ∈ (0.155, 0.404) ½ 0.155 · 5000 = 775 0.404 · 5000 = 2020 B6-09: x = 43.2 α = 0.10 → Z α2 = 1.645 como que n > 30 → σ ' s IC = x ± Z α2 √σn = 43.2 ± 1.645 · √18.6 = (41.036, 45.364) → 200 → µ ∈ (41.036, 45.364) B6-10: ½ H0 : p ≥ 0.94 H1 : p < 0.94 α = 0.05 → Zα = 1.645 ∧ 90 p = 100 = 0.9 r ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p ∧ 0.9·0.1 IC = p ± Zα = 0.9 ± 1.645 · n 100 = (0.850, 0.949) → → p ∈ (0.850, 0.949) Aceptamos la hipótesis nula H0 . B6-11: ½ H0 : µ ≤ 12 H1 : µ > 12 α = 0.05 → Zα = 1.645 x = 14 como que n > 30 → σ ' s 5 IC = x±Zα √σn = 14±1.645· √300 = (13.525, 14.475) → µ ∈ (13.525, 14.475) Rechazamos la hipótesis nula H0 . B6-12: ³ ´ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ p = 0.5 → q = 1 − p = 0.5 → p · q = 0.5 · 0.5 = 0. 25 α = 0.01 → Z α2 = 2.58

Appendix A. Anexo ∧

r

³ ´ ∧ p 1− p

187

∧

IC = p ± Z n El error r máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: ³ ´ ∧ ∧ q ¡ ¢2 0.25 p 1− p 0.5·0.5 E = Z α2 → 5 = 2.58 · → 0.03 = n → n = 1849 n n 2.58 B6-13: α = 0.05 → Z α2 = 1.96 IC = x ± Z α2 √σn El error máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: √ E = Z α2 √σn → 3000 = 1.96 · 20000 → n ' 171 n B6-14: ½ H0 : µ = 170 H1 : µ 6= 170 x = 169.7 α = 0.05 → Z α2 = 1.96 IC = x ± Z α2 √σn = 169.7 ± 1.96 · √4.2 = (168.75, 170. 65) 75 El error máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: E = Z α2 √σn → E = 1.96 · √4.2 = 0.950 75 Aceptamos la hipótesis nula H0 . B6-15: ½ H0 : µ = 2 H1 : µ 6= 2 x = 2.05 α = 0.05 → Z α2 = 1.96 como que n > 30 → σ ' s IC = x±Z α2 √σn = 2.05±1.96· √0.1 = (2.036, 2.063) → µ ∈ (2.036, 2.063) 200 Rechazamos la hipótesis nula H0 . B6-16: α = 0.05 → Z α2 = 1.96 IC = x ± Z α2 √σn √ √ σ = σ 2 → σ = 0.25 = 0.5 El error máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: 0.5 E = Z α2 √σn → 0.2 = 1.96 · √ → n ' 25 n B6-17: ½ H0 : p = 0.8 H1 : p 6= 0.8 n = 120 α = 0.01 → Z α2 = 2.58 ∧

p=

96 120

α 2

= 0.8 r

³ ´ ∧ p 1− p

q 0.8·0.2 IC = p ± Zα = 0.8 ± 2.58 · n 120 = (0.705, 0.894) → → p ∈ (0.705, 0.894) El error máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: ∧

∧

188

Appendix A. Anexo

r

³ ´ ∧ p 1− p

q E=Z → 2.58 · 0.8·0.2 n 120 = 0.094 B6-18: α = 0.05 → Z α2 = 1.96 ³ ´ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ p = 0.5 → q = 1 − p = 0.5 → p · q = 0.5 · 0.5 = 0.25 r ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p ∧ 0.5·0.5 α IC = p ± Z 2 = 0.5 ± 1.96 · n n El error r máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p 0.5·0.5 α E = Z2 → 0.05 = 1.96 · → n ' 385 n n B6-19: ½ H0 : µ ≤ 6 H1 : µ > 6 α = 0.05 → Zα = 1.645 x = 6.5 como que n > 30 → σ ' s IC = x ± Zα √σn = 6.5 ± 1.645 · √464 = (5.677, 7.322) → µ ∈ (5.677, 7.322) Aceptamos la hipótesis nula H0 , luego puede justificarse el titular. B6-20: a) α = 0.05 → Z α2 = 1.96; x = 1060 como que n > 30 → σ ' s IC = x ± Z α2 √σn = 1060 ± 1.96 · √200 = (1020.8, 1099.2) → 100 → µ ∈ (1020.8, 1099.2) b) α = 0.01 → Z α2 = 2.58 El error máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: √ → n ' 296 E = Z α2 √σn → 30 = 2.58 · 200 n B6-21: ³ ´ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ a) p = 0. 3 → q = 1 − p = 0.7 → p · q = 0.3 · 0.7 = 0. 21 α = 0.05 → Z α2 = 1.96 r ³ ´ α 2

∧

∧

∧

∧

p 1− p

IC = p ± Z α2 n El error r máximo, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p 0.3·0.7 α E = Z2 → 0.031 = 1.96 · → n ' 840 n n b) α = 0.01 → Z α2 = 2.58 r ³ ´ ∧ ∧ q p 1− p ∧ 0.35·0.65 IC = p ± Z α2 = 0.35 ± 2.58 · = (0.196, 0.503) → n 64 → p ∈ (0.196, 0.503) B6-22: ½ H0 : µ ≥ 1600 H1 : µ < 1600 x = 1570 α = 0.05 → Zα = 1.645

Appendix A. Anexo

189

como que n > 30 → σ ' s IC = x ± Zα √σn = 1570 ± 1.645 · √120 = (1550.3, 1589.7) 100 Rechazamos la hipótesis nula H0 . B6-23: ½ H0 : µ = 1.25 H1 : µ 6= 1.25 x = 1.17 α = 0.01 → Z α2 = 2.58 suponemos que σ ' s 0.08 IC = x ± Z α2 √σn = 1.17 ± 2.58 · √ = (1.135, 1.204) → µ ∈ (1.135, 1.204) 36 Rechazamos la hipótesis nula H0 . B6-24: a) La mejor estimación puntual es la media muestral observada; es decir, el centro del IC: 50 C = b) α = 0.01 → Z α2 = 2.58 IC = x ± Z α2 √σn El error máximo, para una muestra de 100 familias, coincidirá con el radio del Intervalo de Confianza: σ E = Z α2 √σn → 8 = 2.58 · √100 → σ = 31.008 σ 31.008 E = Z α2 √n → 3 = 2.58 · √n → n ' 712 B6-25: α = 0.05 → Z α2 = 1.96 IC = x ± Z α2 √σn La amplitud del IC será el doble √ del radio del mismo: 2E = 2Z α2 √σn = 2.45 → 2 · 1.96 · √25 = 2.45 → n = 64 n IC = x ± Z α2 √σn = 170 ± 1.96 ·

√ √25 64

= (168.78, 171.23)