MATEMATICAS APLICADAS

CLASE 4

DISCUSIÓN DEL CASO

PREGUNTA • Si fueras un alto ejecutivo de una empresa en la cual existen evidencias que la relacionan a otra compañía o persona para que esta última obtenga de forma ilegal algún beneficio. Menciona ¿Cuáles son los motivos principales de esta situación?, ¿Quiénes son los personajes que se ven afectados?

INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto, es un sistema que capitaliza los intereses, por lo tanto, hace que se paga por concepto de intereses se incremente mes a mes, puesto que la base para el cálculo del interés se incrementa cada vez que se liquidan los respectivos intereses. El interés compuesto es aplicado en sistema financiero; se utiliza en todos los créditos que hacen todos los bancos sin importar su modalidad. La razón de la existencia de este sistema, se debe al supuesto de la reinversión de los intereses por parte del prestamista.

INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto es más flexible y real, ya que valora periodo a periodo el dinero realmente comprometido en la operación financiera y por tal motivo es el tipo de interés más utilizado en las actividades económicas. Se utiliza en la Ingeniería Económica, Matemáticas Financieras, Evaluación de Proyectos y Sistemas Financieros.

INTERÉS COMPUESTO

Definición: Es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a calcular los intereses, es decir, hay capitalización de intereses. La suma total obtenida se conoce con el nombre de : monto compuesto o valor futuro.

INTERÉS COMPUESTO Subdivisión: a) b)

Interés compuesto discreto. Se aplica con intervalos de tiempos finitos. Interés compuesto continuo. Se aplica en una forma continua, o sea que los intervalos de tiempo son infinitesimales.

Aspectos importantes: •

• •

•

Tasa de interés. Es el valor del interés que se expresa como un porcentaje. Ejemplo: 5%, 10%, 20% Periodo de aplicación. Es la forma como se aplicará el interés. Ejemplo: 5% mensual, 10% semestral compuesto y 20% anual compuesto. Base de aplicación. Es la cantidad de dinero sobre la cual se aplicará el interés para cada periodo. Ejemplo: 20% anual compuesto trimestralmente sobre el saldo mínimo. Forma de aplicación. Es el momento en el cual se causa el interés. Ejemplo: 2% mensual por adelantado, 18% anual por trimestre vencido.

INTERÉS COMPUESTO FORMULA: I=Pin

I ~ interés P ~ capital inicial i ~ tasa de interés n ~ número de periodos

INTERÉS COMPUESTO Ejemplo: Una persona invierte hoy la suma de $100,000.00 en un CDT (certificado de depósito a término) que paga el 7% cuatrimestral, se solicita mostrar la operación de capitalización durante a dos años. Periodo

Capital inicial (P)

Interés

Monto (F)

0

$

100,000.00

$ 100,000.00

1

$

100,000.00 $ 7,000.00 $ 107,000.00

2

$

107,000.00 $ 7,490.00 $ 114,490.00

3

$

114,490.00 $ 8,014.30 $ 122,504.30

4

$

122,504.30 $ 8,575.30 $ 131,079.60

5

$

131,079.60 $ 9,175.57 $ 140,255.17

6

$

140,255.17 $ 9,817.86 $ 150,073.04

INTERÉS COMPUESTO Comparación entre el interés simple y compuesto Ejemplo: Suponga que una persona invierte $1,000.00 a un interés del 2.5% mensual durante 12 meses, al final de los cuales espera obtener el capital y los intereses obtenidos. Suponer que no existen retiros intermedios. Calcular la suma final recuperada.| Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

Capital inicial simple compuesto 1,000.00 $ 1,000.00 1,000.00 $ 1,025.00 1,000.00 $ 1,050.63 1,000.00 $ 1,076.89 1,000.00 $ 1,103.81 1,000.00 $ 1,131.41 1,000.00 $ 1,159.69 1,000.00 $ 1,188.69 1,000.00 $ 1,218.40 1,000.00 $ 1,248.86 1,000.00 $ 1,280.08 1,000.00 $ 1,312.09

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

Intereses simple compuesto 25.00 $ 25.00 25.00 $ 25.63 25.00 $ 26.27 25.00 $ 26.92 25.00 $ 27.60 25.00 $ 28.29 25.00 $ 28.99 25.00 $ 29.72 25.00 $ 30.46 25.00 $ 31.22 25.00 $ 32.00 25.00 $ 32.80

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

Monto final o futuro simple compuesto 1,025.00 $ 1,025.00 1,050.00 $ 1,050.63 1,075.00 $ 1,076.89 1,100.00 $ 1,103.81 1,125.00 $ 1,131.41 1,150.00 $ 1,159.69 1,175.00 $ 1,188.69 1,200.00 $ 1,218.40 1,225.00 $ 1,248.86 1,250.00 $ 1,280.08 1,275.00 $ 1,312.09 1,300.00 $ 1,344.89

INTERÉS COMPUESTO Valor futuro Se puede encontrar a partir de un valor presente dado, para lo cual, se debe especificar la tasa de interés y el número de periodos. Periodo

Capital inicial

Interés

Capital final

1

P

P*i

F1 = P + Pi = P (1+i)

2

P (1 + i)

P(1+i)i

F2 = P (1+i) + P (1+i)i = P (1+i)2

3

P (1 + i)2

P(1+i)2i

F3 = P (1+i)2 + P (1+i)2i = P (1+i)3

:

:

:

:

:

:

:

:

N

P (1 + i)n-1

P (1 + i)n-1 i

Fn = P (1+i)n

INTERÉS COMPUESTO – VALOR FUTURO FORMULA: F = P (1 + i ) n F ~ Monto o valor futuro P ~ Valor presente o actual i ~ tasa de interés n ~ número de periodos

F i

1 P

2

3 4

n-2

n-1

n

INTERÉS COMPUESTO – VALOR FUTURO Ejemplo: ¿Cuánto dinero se tiene dentro 6 meses en una cuenta de ahorros que tiene un interés del 2% mensual si se invierte en una institución $400,000.00? F = P (1 + i ) n = 400,000 (1 + .02 ) 6 = $450,465.00 F~? P ~ $400,000.00 i ~ 2% mensual n~6

INTERÉS COMPUESTO – VALOR FUTURO Ejemplo: Se invierten en una cuenta ahorros $150,000.00, se desea saber cuánto se puede retirar al año, si se tiene una tasa mensual del 3%.

INTERÉS COMPUESTO – VALOR FUTURO Ejemplo: Se invierten en una cuenta ahorros $150,000.00, se desea saber cuánto se puede retirar al año, si se tiene una tasa mensual del 3%. F = P (1 + i ) n = 150,000 (1 + .03 ) 12 = $213,864.00 F~? P ~ $150,000.00 i ~ 3% mensual n ~ 12

INTERÉS COMPUESTO – VALOR FUTURO Ejemplo: Una persona se propone ahorrar $150,000.00 en julio y $210,000.00 en noviembre en una institución financiera. Si le ofrecen una tasa del 4% mensual, ¿cuánto dinero tendrá el 1°de noviembre?

INTERÉS COMPUESTO – VALOR FUTURO Ejemplo: Una persona se propone ahorrar $150,000.00 en julio y $210,000.00 en septiembre en una institución financiera. Si le ofrecen una tasa del 4% mensual, ¿cuánto dinero tendrá el 1°de noviembre? F1 = P (1 + i ) n = 150,000 (1 + .04 ) 4 = $175,479.00 F2 = P (1 + i ) n = 210,000 (1 + .04 ) F1 ~ ? P ~ $150,000.00 i ~ 4% mensual n~4

2

F2 ~ ? P ~ $210,000.00 i ~ 4% mensual n~2

= $227,136.00 Ft = F1 + F2 = $402,615.00

INTERÉS COMPUESTO – VALOR PRESENTE FORMULAS: P = F (1 + i )

-n

n = ln (F/P) ln (1 + i)

= F (1 + i ) n

i=

F ~ Monto o valor futuro P ~ Valor presente o actual i ~ tasa de interés n ~ número de periodos

1 n

F P

F i

1 P

2

3 4

n-2

n-1

n

-1

INTERÉS COMPUESTO – VALOR PRESENTE Ejemplo: En una empresa, se desea cambiar una maquinaria en 2.5 años por una de mayor capacidad. Si en esa fecha se puede vender en $300,000.00 y la de mayor capacidad estará costando $1’200,000.00. ¿Cuánto capital se debe de invertir en una institución financiera que paga el 3% mensual si de desea comprar la nueva maquinaria?

P = F (1 + i ) -n = 900,000 (1 + .03 ) -30 = $370,788.08 F ~ $1’200,000.00 - $300,000.00 = $900,000.00 P~? i ~ 3% mensual n ~ 2.5 años = 30 meses

INTERÉS COMPUESTO – VALOR PRESENTE Ejemplo: Calcule P en el siguiente diagrama de flujo si i=10% 900 500 700 2

P=?

4

6

INTERÉS COMPUESTO – VALOR PRESENTE Ejemplo: Calcule P en el siguiente diagrama de flujo si i=10% 900 500 700 2

4

6

P=?

P = F (1 + i ) -n = 500(1 + .10) -2+ 700(1 + .10) -4 + 900(1 + .10) -6= $1,399.36 F ~ F1=$500 ; F2=$700 ; F3=$900 P~? i ~ 10% mensual n ~ n1=2 ; n2=4 ; n3=6

INTERÉS COMPUESTO – VALOR PRESENTE PROBLEMAS: 1. 2.

3.

4.

¿Qué capital es necesario invertir hoy en una institución que capitaliza el 3% mensual a fin de obtener en dos años $2’000,000.00 Una persona desea invertir hoy en una institución financiera para retirar $2’500,000.00 dentro de 2 años. ¿Cuál será la suma a depositar si el rendimiento reconocido es de 7.01% trimestral? ¿A cuánto tiempo $1’500,000.00 es equivalente $600,000.00 hoy, sabiendo que el interés que gana el dinero es del 2.5% mensual? Hace un año se hizo un depósito de $500,000.00 en una corporación, y hoy el saldo en la cuenta es de $750,000.00. ¿Cuál es la tasa de interés mensual que ofrece la corporación?

INTERES COMPUESTO - DESCUENTO

Descuento: Es la operación financiera que tiene por objeto el cambio de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la fórmula de descuento compuesto. Es un descuento que opera con base en el interés compuesto. Si el proceso de capitalización es la suma periódica de los intereses, el descuento compuesto debe ser todo lo contrario.

INTERES COMPUESTO - DESCUENTO FORMULAS: F = P(1+i)n

Vn=VT (1+d)n

D = Vn – VT

D = Vn [ 1 – (1+d)-n]

VT = Vn / (1+d)n

D ~ Descuento comercial o interés cobrado por adelantado Vn ~ Es el valor nominal del documento = valor futuro d ~ Tasa de descuento n ~ Número de periodos VT ~ Valor transaccional

INTERÉS COMPUESTO – DESCUENTO Ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de $4’500,000.00 por 5 meses a un tipo de descuento del 15%. Vn = $4’500,000.00 n = 5 meses d = 15% anual

D = Vn [ 1 – (1+d)-n] = 4500000 [ 1 – (1+0.15)-5/12] = $254,569.38

INTERÉS COMPUESTO – DESCUENTO PROBLEMAS: 1. 2.

Los intereses de descontar $3’500,000.00 a una tasa del 12% ascienden a $420,000.00. Calcular el plazo del descuento. El Sr. Rocha tiene en su poder una letra de $2’500,000.00 que vence dentro de 6 meses y reconoce intereses al 8% mensual. Si quiere negociar con el banco, el cual le acepta la letra con un descuento del 3.5%. ¿Cuál es el precio de la letra y el descuento aplicado?