Story Transcript
Matem´ aticas del Grado en Biolog´ıa
´ Juan Ruiz Alvarez
Marcos Marv´ a Ruiz
10 de diciembre de 2014
ii
´Indice general
1. Funciones lineales, polin´ omicas y racionales.
1
1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Funciones lineales y sus gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1. Definici´ on de funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2. Propiedas de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.3. Interpretaci´ on de la pendiente de una recta . . . . . .
4
1.3. Funciones polin´ omicas y racionales . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1. Definici´ on de funci´on polin´omica . . . . . . . . . . . .
4
1.4. Polinomio interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.1. Polinomio interpolador de Lagrange . . . . . . . . . .
9
1.4.2. Comentarios sobre ra´ıces de polinomios . . . . . . . .
9
1.5. Definici´ on de funci´ on racional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2. Funciones potenciales y exponenciales
13
2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2. Funciones potenciales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2.1. Alometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
iii
´INDICE GENERAL
iv
2.3. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3.1. Propiedades de funciones exponenciales . . . . . . . .
16
2.3.2. Funci´ on de exponencial de base e . . . . . . . . . . . .
16
2.4. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5. Funciones logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5.1. Propiedades de logaritmos: . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5.2. Relaci´on entre las funciones exponenciales y logar´ıtmicas 18 2.5.3. Relaci´on entre logaritmos y funciones potenciales en distintas bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.6. Escala Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.6.1. Tipos de representaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6.2. Transformaci´on en funciones lineales . . . . . . . . . .
21
2.6.3. Representaci´on de funciones exponenciales en escala semilogar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.6.4. Representaci´on de funciones potenciales en escala loglog o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3. Funciones trigonom´ etricas y oscilaciones
25
3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.2. Funciones peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.2.1. Funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.2.2. Funci´ on sin(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.3. Funci´ on cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3. Funci´ on tg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.4. F´ ormula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
´INDICE GENERAL 3.5. Oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Sucesiones y ecuaciones en diferencias.
v 34 37
4.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.1.1. Notaci´ on expl´ıcita y recursiva . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2. Comportamiento a largo plazo de una sucesi´on: L´ımite . . . .
39
4.2.1. L´ımite de una sucesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.3. Ecuaciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.3.1. Puntos fijos de ecuaciones recursivas . . . . . . . . . .
40
4.4. Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5. L´ımites y continuidad
43
5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.2. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.2.1. Recordatorio sobre l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3. Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.4.1. Continuidad por la derecha y por la izquierda . . . . .
48
5.5. Operaciones con funciones continuas . . . . . . . . . . . . . .
48
5.6. Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.7. Teorema del valor intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.8. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6. Derivaci´ on 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51 52
´INDICE GENERAL
vi
6.2. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.2.1. Recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.3. Tasas de cambio: Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.3.1. Velocidad Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.3.2. Velocidad instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.4. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.5. Derivaci´ on impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6.6. Tasas de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7. Valores extremos
57
7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.2. Teorema de los valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.3. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.3.1. Pasos para encontrar extremos locales . . . . . . . . .
59
7.4. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.5. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.6. Optimizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.6.1. Puntos cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8. Aproximaci´ on polin´ omica
63
8.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8.2. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8.2.1. Polinomio de Taylor en x = 0: Serie de McLaurin . . .
64
8.2.2. Polinomio de Taylor en el punto x = a . . . . . . . . .
65
´INDICE GENERAL
vii
8.3. M´etodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Integraci´ on
66
67
9.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
9.2. Primitivas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
9.2.1. Peque˜ na colecci´ on de primitivas . . . . . . . . . . . . .
69
9.3. Problema del ´ area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
9.4. Integrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
9.4.1. Interpretaci´ on geom´etrica de las integrales definidas .
70
9.4.2. Propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . . .
70
9.5. Teorema fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . .
71
9.6. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9.7. Aplicaciones de la integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9.7.1. C´ alculo de ´ areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9.7.2. Cambio acumulativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9.7.3. Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
10.Ecuaciones en diferencias
75
10.1. Introducci´ on: un ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
10.2. Ecuaciones lineales y afines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
10.2.1. Ecuaciones lineales.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
10.2.2. Ecuaciones afines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
10.3. Ecuaciones aut´ onomas no lineales de primer orden: clasificaci´ on de puntos fijos y gr´aficos de tela de ara˜ na. . . . . . . . .
86
´INDICE GENERAL
viii
10.3.1. Comportamiento cualitativo de una ecuaci´on: puntos fijos y comportamiento asint´otico. . . . . . . . . . . . 11.Ecuaciones diferenciales
87 95
11.1. Introducci´ on: un ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
11.2. Ecuaciones diferenciales y sus soluciones: forma est´andar de una ecuaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
11.3. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
11.4. Soluci´ on de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . .
97
11.4.1. Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . .
98
11.4.2. Definici´on de soluci´on general y soluci´on particular . .
99
11.5. Soluci´ on de una ecuaci´on con segundo miembro dependiente s´ olo de t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
11.6. Ecuaciones aut´onomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.7. M´etodos gr´ aficos para analizar el comportamiento a largo plazo y la estabilidad de las soluciones de una ecuaci´on diferencial102 11.7.1. Campos de pendientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.7.2. M´etodo de las isoclinas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.8. Un m´etodo num´erico para encontrar la soluci´on de una ecuaci´ on diferencial de primer orden en un punto: el m´etodo de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11.9. M´etodos anal´ıticos para estudiar el comportamiento a largo plazo y la estabilidad de las soluciones de una ecuaci´on diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11.9.1. Equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11.9.2. Estabilidad: Lineas de fase
. . . . . . . . . . . . . . . 107
11.9.3. Clasificaci´on de puntos de equilibrio . . . . . . . . . . 108
´INDICE GENERAL
ix
11.9.4. Teorema de linealizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 11.10.Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 11.10.1.Resoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales . . . . . 110 11.10.2.Aplicaci´ on: Modelo de un compartimento . . . . . . . 112 12.Funciones de varias variables
115
12.1. Introducci´ on: un ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 12.2. Funciones reales de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . 116 12.3. Propiedades y representaci´on gr´afica . . . . . . . . . . . . . . 118 12.4. Gr´ afica de una funci´ on de dos variables . . . . . . . . . . . . 119 12.4.1. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12.4.2. Superficies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 12.5. L´ımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 12.6. Derivadas parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 12.7. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 12.7.1. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . 128 12.7.2. La regla de la cadena
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.8. C´ alculo de extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12.9. Linealizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 12.9.1. Optimizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
x
´INDICE GENERAL
Cap´ıtulo 1
Funciones lineales, polin´ omicas y racionales.
1
´ 2CAP´ITULO 1. FUNCIONES LINEALES, POLINOMICAS Y RACIONALES.
1.1.
Introducci´ on
En este tema se introducir´a el concepto de funci´on y sus propiedades. As´ı como diversos tipos de funciones relevantes en el campo de la Biolog´ıa.
1.2.
Funciones lineales y sus gr´ aficas
1.2.1.
Definici´ on de funci´ on
Definici´ on: Una funci´on f es una regla que asigna a cada elemento x del conjunto A exactamente un elemento y del conjunto B. El elemento y se denomina i magen (o valor) de x mediante f , y se indica como f (x). El conjunto A se denomina d ominio de f , el conjunto B se denomina codominio de f y el conjunto f (A) r ecorrido de f . Para definir una funci´on se emplea la notaci´on: f:
A →B x
→ f (x)
Es frecuente llamar a x v ariable independiente y a y v ariable dependiente.
1.2.2.
Propiedas de las funciones
Igualdad Dos funciones f y g son iguales si y s´olo si 1. f y g est´ an definidas en el mismo dominio y 2. f (x) = g(x) para todos los elmentos x del dominio.
Paridad Una funci´ on f : A → B se dice que es
´ 1.2. FUNCIONES LINEALES Y SUS GRAFICAS
3
1. par si f (x) = f (−x) para todo x ∈ A. 2. impar si f (x) = −f (−x) para todo x ∈ A.
Funci´ on compuesta Definici´ on: La funci´ on compuesta f ◦ g (tambi´en llamada composici´on de f y g), se define como: (f ◦ g)(x) = f [g(x)] Para todo x perteneciente al dominio de g para el que g(x) pertenezca al dominio de f .
Funci´ on lineal Definici´ on: Una funci´ on lineal es del tipo: f (x) = m · x + c 1. Su nombre proviene del hecho de que su gr´afica es una linea recta. 2. La pendiente m representa la relaci´on constante entre el incremento de las x y de las y. 3. Si u ´nicamente conocemos dos pares de datos, tan solo podemos establecer una relaci´ on lineal entre dichas variables. Ejemplo: Si unicamente disponemos de 2 pares de datos, tan solo podemos establecer una relacion lineal entre x e y: x y
y = b0 +
a0 b0
a1 b1
b1 − b0 · (x − a0 ) a1 − a0
´ 4CAP´ITULO 1. FUNCIONES LINEALES, POLINOMICAS Y RACIONALES. Ejemplo: ¿Mantienen los datos x e y mostrados en la siguiente tabla una relaci´ on lineal?: x y
-2 -3
-1 -1
0 1
1 3
2 5
(Ayuda: prueba a sustituir los valores de x en la siguiente funci´on y = 1 + 2 · x).
1.2.3.
Interpretaci´ on de la pendiente de una recta
La pendiente es igual a la tangente del ´angulo que forma la recta con el eje x.
m=
1.3. 1.3.1.
∆x sin(α) = ∆y cos(α)
Funciones polin´ omicas y racionales Definici´ on de funci´ on polin´ omica
Las funciones polin´ omicas son las funciones elementales m´as simples. Definici´ on:Una funci´on polin´omica es una funci´on de la forma f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn donde n es un entero no negativo y a0 , a1 , ..., an son constantes (reales y an 6= 0). El coeficiente an se denomina primer coeficiente y el valor de n es el grado de la funci´on polin´omica. El mayor dominio posible de f es R Funciones cuadr´ aticas Son del tipo y = ax2 + bx + c. Las gr´aficas de este tipo de funciones son par´ abolas .
´ 1.3. FUNCIONES POLINOMICAS Y RACIONALES
5
Si disponemos de 3 datos, haciendo uso de ellos, podemos ajustar una relaci´on de segundo grado. Si consideramos los datos mostrados en la siguiente tabla: x y
-1 0
1 -6
5 6
Podemos sustituir los valores de x y de y en la expresi´on y = ax2 + bx + c, obteniendo el sistema de ecuaciones siguiente: = a−b+c 0 −6 = a + b + c 6 = 25a + 5b + c Resolviendo el sistema matricial (por ejemplo usando el m´etodo de Gauss) 0 a 1 −1 1 1 1 1 · b = 6 −6 c 25 5 1 Obtenemos que a = −1, b = 3, c = 4 y, por tanto: y = −x2 + 3x + 4 Ahora podr´ıamos preguntarnos en qu´e casos unos cuantos pares de datos quedan ajustados por una relaci´ on cuadr´atica. Para responder a esta pregunta, podemos hacer uso de las diferencias de primer orden y de segundo orden. Las diferencias de primer orden se definen como la diferencia entre dos datos consecutivos. Las solemos representar por ∆y o ∆x, donde ∆y = y1 − y0 y ∆x = x1 − x0 que es igual a h si los datos est´an equiespaciados. Las diferencias de segundo orden se definen como la diferencia de dos diferencias de primer orden consecutivas, ∆2 y = ∆y1 − ∆y0 . Si los datos mantienen una relaci´on cuadr´atica, las diferencias de segundo orden de las ordenadas (y), suponiendo las abscisas (x) equidistantes, deben ser constantes: En la tabla vemos que los datos son equidistantes.
´ 6CAP´ITULO 1. FUNCIONES LINEALES, POLINOMICAS Y RACIONALES. x y ∆x ∆y ∆2 y
0 0.8 -
0.1 0.705 0.1 -0.095 -
0.2 0.620 0.1 -0.085 0.01
0.3 0.545 0.1 -0.075 0.01
0.4 0.480 0.1 -0.065 0.01
0.5 0.425 0.1 -0.055 0.01
Ahora estamos en disposici´on de mostrar una f´ormula que nos proporcione una expresi´ on cuadr´ atica para datos que mantengan una relaci´on cuadr´ atica y que sean equidistantes. Siendo la distancia entre las abscisas h y y0 , ∆y0 , ∆2 y0 los n´ umeros que aparecen en primer lugar en cada fila de la tabla anterior, la f´ ormula de la funci´on cuadr´atica se puede escribir como: y = y0 +
x − x0 (x − x1 )(x − x0 ) 2 ∆y0 + ∆ y0 h 2h2
Y para nuestro ejemplo:
y = 0,8 +
x (x − 0,1)x (−0,095) + 0,01 0,1 0,02
Que simplificando resulta en, y = 0,8 − 0,95x − 0,05x + 0,5x2 = 0,5x2 − x + 0,8
Polinomios de grado n Las funciones polin´ omicas o polinomios son funciones del tipo: y = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn =
n X
ai xi
i=0
y por lo tanto engloban a las funciones estudiadas en apartados anteriores (lineales y cuadr´ aticas). Si disponemos de n + 1 pares de datos (x, y), podemos ajustar una relaci´on de grado ≤ n. Consideremos el ejemplo mostrado en la siguiente tabla: Vemos que disponemos de 4 pares de datos (x, y). Con estos datos, podemos ajustar un polinomio que pase por cada uno de los puntos mostrados y que como m´aximo tenga grado 3.
´ 1.3. FUNCIONES POLINOMICAS Y RACIONALES x y
-2 -6
2 6
3 24
7
5 120
Si planteamos un sistema de ecuaciones para un polinomio del tipo y = ax3 + bx2 + cx + d, vemos que tenemos 4 inc´ognitas, que es el m´aximo n´ umero de inc´ ognitas que podemos resolver disponiendo de 4 pares de datos. El sistema que obtenemos es:
−6 6 24 120
= = = =
a · (−2)3 + b · (−2)2 + c · (−2) + d a · (2)3 + b · (2)2 + c · (2) + d a · (3)3 + b · (3)2 + c · (3) + d a · (5)3 + b · (5)2 + c · (5) + d
Resolviendo este sistema obtenemos: y = x3 − x
Ahora puedes reflexionar acerca de si una f´ormula del tipo:
y = y0 +
x − x0 (x − x1 )(x − x0 ) 2 (x − x2 )(x − x1 )(x − x0 ) 3 ∆y0 + ∆ y0 + ∆ y0 2 h 2h 6h3
Ser´ıa aplicable en el caso anterior. (Pista: ¿Son los datos equidistantes?)
¿Cuando un conjunto de pares de datos (x, y) quedan ajustados por una relaci´ on polin´ omica de grado n? Podemos considerar que un grupo de pares de datos (x, y) mantienen una relaci´on polin´ omica de grado n cuando las diferencias de orden n de las ordenadas (y), suponiendo las abscisas (x) equidistantes, son constantes.
´ 8CAP´ITULO 1. FUNCIONES LINEALES, POLINOMICAS Y RACIONALES. Con la notaci´ on seguida en apartados anteriores, es cierta la f´ormula: x − x0 (x − x1 )(x − x0 ) 2 ∆y0 + ∆ y0 h 2h2 (x − x2 )(x − x1 )(x − x0 ) 3 ∆ y0 + ... 6h3 (x − xn−1 )(x − xn−2 )...(x − x0 ) n ∆ y0 n!hn
y = y0 + + +
Ejemplo: Consideremos el ejemplo mostrado en la siguiente tabla: x y ∆x ∆y ∆2 y ∆3 y
-2 -30 -
-1 -10 1 20 -
0 -2 1 8 -12 -
1 0 1 2 -6 6
2 2 1 2 0 6
3 10 1 8 6 6
4 30 1 20 12 6
Queremos econtrar la expresi´on de un polinomio de grado n ≤ 6 que pase por todos los puntos de la tabla. Para ello, vemos que los datos de la tabla estan equiespaciados en el eje x. Por lo tanto, podemos usar directamente la f´ ormula mostrada en (1.1):
y = −30 + 20(x + 2) −
12 6 (x + 1)(x + 2) + x(x + 1)(x + 2) → 2 6
y = −30 + 20x + 40 − 6x2 − 18x − 12 + x3 + 3x2 + 2x → y = x3 − 3x2 + 4x − 2
1.4.
Polinomio interpolador
Cuando buscamos un polinomio de grado ≤ n que ajuste n + 1 pares de datos (x, y), el polinomio que cumple estas restricciones es el denominado polinomio interpolador. Cuando solo disponemos de 2 pares de datos (x0 , y0 ) y (x1 , y1 ), al proceso de encontrar un dato nuevo que se encuentre en el intervalo (x0 , x1 ) se le denomina interpolacion lineal (como explicaremos a continuaci´on, en el caso de querer encontrar un dato que
1.4. POLINOMIO INTERPOLADOR
9
caiga fuera del intervalo (x0 , x1 ), dicho proceso se denominar´ıa extrapolaci´ on). Si tenemos 3 pares de datos, interpolaci´ on cuadr´ atica, etc... La extrapolaci´ on consiste en utilizar el polinomio interpolador para predecir valores de y fuera del dominio encerrado por las abscisas (x) mayor y menor del conjunto de datos.
1.4.1.
Polinomio interpolador de Lagrange
En general, podemos expresar el polinomio interpolador de Lagrange que pasa por n puntos del tipo (xn , yn ) como: f (x) = + + +
(x − x1 ) · (x − x2 ) · ... · (x − xn ) · y0 (x0 − x1 ) · (x0 − x2 ) · ... · (x0 − xn ) (x − x0 ) · (x − x2 ) · ... · (x − xn ) · y1 (x1 − x0 ) · (x1 − x2 ) · ... · (x1 − xn ) (x − x0 ) · (x − x1 ) · (x − x3 ) · ... · (x − xn ) · y2 + ... (x2 − x0 ) · (x2 − x1 ) · (x2 − x3 ) · ... · (x2 − xn ) (x − x1 ) · ... · (x − xn−1 ) · yn (xn − x1 ) · (xn − x2 ) · ... · (xn − xn−1 )
Vemos que el polinomio interpolador de Lagrange asegura de una forma sencilla que dicho polinomio pase por todos los puntos (xn , yn ) seleccionados. (Si no ves por qu´e este polinomio pasa por todos los puntos seleccionados, trata de sustituir el valor x = x0 en el polinomio interpolador, es decir, obt´en f (x0 ). Ver´as que los coeficientes que acompa˜ nan a y0 , y1 , ..., yn est´ an escogidos de forma que sean cero excepto en x0 , x1 , ..., xn respectivamente).
1.4.2.
Comentarios sobre ra´ıces de polinomios
M´ etodo de la bisectriz para aproximar ra´ıces Este m´etod es uno de los m´ as sencillos para encontrar las ra´ıces de una funci´on. En primer lugar encontramos dos valores de x ,a y b, para los que
´ 10CAP´ITULO 1. FUNCIONES LINEALES, POLINOMICAS Y RACIONALES. la funci´ on tiene diferente signo, es decir, y(a) · y(b) < 0. Una vez hecho esto, seguimos los siguientes pasos: 1. Se calcula el punto medio m del intervalo [a, b]. A continuiaci´on se eval´ ua f (m). Si este valor es igual a cero, ya hemos encontrado la ra´ız buscada. 2. En caso contrario, comprobamos si f (m) tiene signo contrario comparado con f (a) o f (b). 3. Escojemos en qu´e intervalo [a, m] o [m, b] hay un cambio de signo. 4. Con este nuevo intervalo continuamos aplicando este algoritmo sucesivamente encerrando la soluci´on en un intervalo cada vez m´as peque˜ no, hasta alcanzar la precisi´on deseada. Ejemplo: Encontrar una ra´ız del polinomio 2x3 − 4x2 + 1 = 0, con dos cifras decimales. Las ra´ıces de este polinomio son 3, puesto que el polinomio es de grado 3 (este dato no es necesario para resolver el problema): x1 ≈ −0,451605 x2 ≈ 0,596968 x3 ≈ 1,85463 Si damos valores a x espaciados por una distancia h0 = 1, obtenemos la siguiente tabla: x y
-1 -5
0 1
1 -1
2 1
Observ´ andola, vemos que encontraremos soluciones en los intervalos (−1, 0), (0, 1) y (1, 2). Tratemos de refinar ahora la soluci´on que se encuentra en el intervalo (1, 2). Calculamos el punto medio de este intervalo m1 = 1,5. El valor de f en ese punto es f (m1 ) = −5 4 , que es negativo, luego podemos continuar con el proceso escogiendo el intervalo [1,5, 2], ya que la funci´on en x = 2 es positiva. Ahora calculamos el punto medio de este intervalo m2 = 1,75. En este punto f (m2 ) = −17 32 , que es negativo, luego escogemos el intervalo [1,75, 2]. Ahora calculamos el punto
´ DE FUNCION ´ RACIONAL 1.5. DEFINICION
11
medio de este intervalo m3 = 1,875 y calculamos el valor de la funci´on en 31 ese punto f (m3 ) = 256 , que es positivo, luego escogemos el intervalo [1,750, 1,875]. El punto medio es m4 = 1,8125 y f (m4 ) = −0,2319, que es negativo, luego escogemos el intervalo [1,8125, 1,875], cuyo punto medio es m5 = 1,8438. El valor de la funci´on en este punto es f (m5 ) = −0,0623, que es negativo, luego escogemos el intervalo [1,8438, 1,875]. El punto medio de este intervalo es m6 = 1,8594 y f (m6 ) = 0,0278, que es positivo, luego escogemos el intervalo [1,8438, 1,8594]. El punto medio de este intervalo es m7 = 1,8516 y f (m7 ) = −0,0176, que es negativo, luego escogemos el intervalo [1,8516, 1,8594]. Puesto que tenemos 2 cifras decimales igual, podemos decir que esas dos cifras son exactas.
1.5.
Definici´ on de funci´ on racional
Definici´ on: Una funci´ on racional se define como el cociente entre dos funciones polin´omicas p(x) y q(x):
f (x) =
p(x) q(x)
para q(x) 6= 0. Ejemplo: La funci´ on y = Ejemplo: En general, y =
1 x
es una funci´on racional.
ax+b cx+d
es una funci´on racional. Si verifica que a b c d 6= 0
Entonces la funci´ on representa una hip´ erbola equil´ atera. Ejemplo: La velocidad V(cm/seg) con la que los m´ usculos de una rana se pueden contraer bajo el est´ımulo de una carga positiva C (Coulombios), se ha comprobado que obedece a la ley emp´ırica V = 0,95
70 − C C + 12
´ 12CAP´ITULO 1. FUNCIONES LINEALES, POLINOMICAS Y RACIONALES. Representar la velocidad en funci´on de la carga. 40
35
30
Velocidad (m/s)
25
20
15
10
5
0 −10
−8
−6
−4
−2 0 2 Carga (Coulombios)
4
6
8
10
Figura 1.1: Representaci´on de la velocidad de respuesta de los m´ usculos de la rana en funci´ on de la carga aplicada.
Cap´ıtulo 2
Funciones potenciales y exponenciales
13
14 CAP´ITULO 2. FUNCIONES POTENCIALES Y EXPONENCIALES
2.1.
Introducci´ on
En este tema se estudiar´an las funciones potenciales y exponenciales, directamente relacionadas con la modelizaci´on matem´atica de procesos naturales. Tambi´en estudiaremos la escala logar´ıtmica, puesto que dicha representaci´ on es ampliamente utilizada tanto en biolog´ıa como en otros campos de la ciencia. Finalmente estudiaremos las funciones inversas.
2.2.
Funciones potenciales
Definici´ on de funci´ on potencial: Una funci´on potencial f es de la forma: f (x) = xr , Siendo r un n´ umero real. Si r pertenece a los n´ umeros enteros, r ∈ Z, las funciones potenciales est´ an perfectamente definidas (excepto cuando x = 0 y r < 0). Si r pertenece a los racionales, r ∈ Q, r = √ una ra´ız: f (x) = xr = xm/n = n xm ,
m n,
entonces la funci´on es
Analizando los comentarios anteriores, podemos ver f´acilmente que las funciones potenciales siempre est´an definidas si x > 0. Ejemplos: Dos ejemplos de funciones potenciales son los siguientes: y = x1/3 , x ∈ R y = x5/2 , x ≥ 0
2.2.1.
Alometr´ıa
Definici´ on: Las funciones potenciales aparecen frecuentemente en las r elaciones de escala entre variables biol´ogicas. Son relaciones del tipo: y ∝ xr
2.3. FUNCIONES EXPONENCIALES
15
(que quiere decir y es proporcional a xr ). En la relaci´on anterior, r es un n´ umero real distinto de 0. La ecuaci´ on anterior se puede expresar en forma de igualdad si se introduce una constante de proporcionalidad: y = kxr La b´ usqueda de estas relaciones es el objetivo de la alometr´ıa. Ejemplo: Ejemplo t´ıpico de funci´on potencial son las alometr´ıas entre los tama˜ nos de las diferentes partes del cuerpo de un ser vivo: El tama˜ no de la cornamenta de un reno crece con la edad. Durante los primeros 5 a˜ nos seg´ un c(t) = 53,2e0,17t y la altura del hombro como h(t) = 88,5e0,1t . Establecer una relaci´ on entre el crecimiento del hombro y el crecimiento de la cornamenta. Soluci´ on: Para establecer una relaci´on entre el crecimiento del hombro, y de la cornamenta del reno, podemos despejar la variable t de una de las dos ecuaciones que nos proporcionan, por ejemplo del crecimiento del hombro, 1 h t= ln . 0,1 88,5 Una vez hecho esto, podemos sustituir t en la ecuaci´on del crecimiento de la cornamenta y simplificar usando las propiedades que conocemos sobre funciones logar´ıtmicas y exponenciales, 0,17 h h 0,17/0,1 ln 88,5 0,1 c = 53,2e = 53,2 = 0,026h1,7 . 88,5 La relaci´ on obtenida se denomina Alometr´ıa.
2.3.
Funciones exponenciales
Definici´ on: Una funci´ on f se denomina funci´on exponencial de base a si, f (x) = ax Siendo a una constante positiva distinta de 1. El dominio mas grande posible de f es R. La forma de la funci´on exponencial depende de la base a. El crecimiento exponencial se produce siempre que a > 1 y el decrecimiento exponencial cuando 0 < a < 1. No hay que olvidar que √ a0 = 1 y que a1/k = k a.
16 CAP´ITULO 2. FUNCIONES POTENCIALES Y EXPONENCIALES
2.3.1.
Propiedades de funciones exponenciales
Las principales propiedades de las funciones exponenciales se presentan a continuaci´ on: Producto de funciones exponenciales. El resultado de multiplicar dos funciones exponenciales con la misma base ser´a otra funci´on exponencial con la misma base y con exponente la suma de los exponentes, ar as = ar+s . Divisi´ on de funciones exponenciales. El resultado de dividir dos funciones exponenciales con la misma base ser´a otra funci´on exponencial con la misma base y con exponente la diferencia de los exponentes, ar = ar−s . as Un exponente negativo equivale a realizar la inversa de la funci´on exponencial 1 a−r = r . a Potencia de una funci´on exponencial. El resultado de elevar una funci´ on exponencial a una potencia ser´a otra funci´on exponencial con la misma base y con exponente el producto de los exponentes, (ar )s = ars .
2.3.2.
Funci´ on de exponencial de base e
El n´ umero e se denomina base exponencial natural. Es la base de los logaritmos naturales o neperianos. Se define como el l´ımite de la sucesi´on: 1 x l´ım 1 + =e x→∞ x La funci´ on exponencial de base e, se puede expresar de dos formas equivalentes: exp(x) = ex
2.4. FUNCIONES INVERSAS
2.4.
17
Funciones inversas
Definici´ on: Sea f : A → B una funci´on inyectiva (es decir, que para cada valor de x tan s´ olo hay un valor de f (x) y viveversa) con recorrido f (A). La funci´ on inversa f −1 tiene como dominio f (A) y como recorrido A, y se define por f −1 (y) = x ⇔ y = f (x) Para ∀y ∈ f (A). Ejemplo La funci´ on inversa del cos(x) en un periodo, x ∈ [0, 2π) es el arcos(x). Puedes reflexionar acerca de por qu´e hemos definido esta funci´on en un periodo. Pista: ¿Es la funci´on cos(x) inyectiva en todo su dominio?. Ejemplo La funci´ on inversa del ln(x) es la funci´on exponencial de base e, ex .
2.5.
Funciones logar´ıtmicas
Definici´ on: La inversa de f (x) = ax se denomina logaritmo en base a y se escribe como f −1 (x) = loga (x) El dominio de f (x) = ax es el conjunto de los n´ umeros reales R y su recorrido es el conjunto de los n´ umeros reales positivos R+ . Como el recorrido de f es el dominio de f −1 , se obtiene que el dominio del f −1 (x) = loga (x) es el conjunto de los n´ umeros reales positivos R+ . Es importante recordar que el logaritmos s´olo est´a definido para x > 0. El logaritmo satisface las siguientes propiedades:
2.5.1.
Propiedades de logaritmos:
Logaritmo del producto, loga (st) = loga (s) + loga (t), independientemente de si s y t son variables o constantes.
18 CAP´ITULO 2. FUNCIONES POTENCIALES Y EXPONENCIALES Logaritmo del cociente, loga
s t
= loga (s) − loga (t),
independientemente de si s y t son variables o constantes. Logaritmo de una potencia, loga (sr ) = r loga (s), independientemente de si s y t son variables o constantes.
2.5.2.
Relaci´ on entre las funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Recordemos la relaci´ on entre la funci´on logaritmo y la exponencial: La composici´ on de una funci´on exponencial de base a y de una funci´ on logaritmo de base a, es la identidad, aloga (x) = x, ∀x > 0 La composici´ on de una funci´on logar´ıtmica de base a y de una funci´ on potencial de base a, es la identidad, loga (ax ) = x, ∀x ∈ R
2.5.3.
Relaci´ on entre logaritmos y funciones potenciales en distintas bases
Cualquier funci´ on exponencial de base a se puede expresar como una funci´ on exponencial de base e. As´ı mismo, cualquier logaritmo en base a se puede escribir en funci´on del logaritmo natural. Las dos igualdades siguientes indican c´ omo: x)
ax = eln(a
= exln(a)
2.6. ESCALA LOGAR´ITMICA
19
loga (x) = ln(x) ln(a) . Esta igualdad se puede probar muy facilmente, asumiendo que x = ac . Aplicando ahora el logaritmo neperiano a x, ln(x) = ln(ac ) = c · ln(a). Entonces, es directo ver que
ln(x) ln(a)
= c = loga (ac ) = loga (x)
Ejemplo: Trata de probar las dos relaciones anteriores. (Pista: para el primer caso, trat de expresar exp(xln(a)) como la potencia de una potencia. Para el segundo caso, puedes suponer que x = ab y ver qu´e resultado obtenemos al aplicar el logaritmo en base a o en base e y compararlos). Ejemplo: Supongamos que un cierto tipo de c´elula se divide en dos cada media hora. Suponiendo que la poblaci´on inicial es P0 y que no existen muertes, tenemos: t(horas) P (individuos)
0 P0
1/2 2P0
1 4P0
3/2 8P0
2 16P0
5/2 32P0
3 64P0
Establecer una relaci´ on potencial para el crecimiento de la poblaci´on de este tipo de c´elulas. Soluci´ on: La relaci´ on que debemos establecer (seg´ un especifica el enunciado) es potencial. Vemos que para t = 0,5 la poblaci´on se ha doblado, para t = 1 se ha multiplicado por 4 y as´ı sucesivamente. Vemos que el factor P0 aparece sin modificar en todas las columnas de la tabla. Por tanto, no forma parte de la base de la funci´on potencial y es un mero factor multiplicativo. El enunciado nos dice que la poblaci´on se dobla cada unidad de tiempo (cada media hora), luego la base de la funci´on exponencial ha de ser 2. Aparte de esto, para t = 0,5, el resultado es el producto de la base y P0 , luego el exponente ha de ir multiplicado por 2. La u ´nica funci´ on potencial que cumple esta secuencia de crecimiento es P (t) = P0 · 22t .
2.6.
Escala Logar´ıtmica
Existen magnitudes cuyo valor en ordenadas (eje y) var´ıa recorriendo varios ´ ordenes de magnitud para una variaci´on peque˜ na de las abscisas (eje
20 CAP´ITULO 2. FUNCIONES POTENCIALES Y EXPONENCIALES x). En estos casos, cuando queremos hacer una representaci´on gr´afica de dicha magnitud, podemos usar la escala logar´ıtmica. En este tipo de representaciones, normalmente se usan logaritmos decimales. En este caso estamos usando una escala en la que las potencias de 10 para el eje de las x o para el eje las y (o para ambas) son equidistantes. En la literatura sobre biolog´ıa se utiliza x y no log(x) para etiquetar los n´ umeros en la escala logar´ıtmica. Tambi´en podemos representar f (x) en escala logar´ıtmica tanto para el eje x como para el eje y . Este tipo de representaci´on se denomina log-log. Si solo el eje x o el eje y est´a representado en escala logar´ıtmica, entonces la representaci´on se llama semilogar´ıtmica en x o en y. Ejemplo: Representar la funci´on exponencial f (x) = 20,1x en escala lineal y logar´ıtmica. Soluci´ on: En la figura 2.6, se representa la funci´on del enunciado en escala lineal. Es conveniente observar que la funci´on var´ıa de 0 a 14 · 1029 para valores de x de 0 a 1000.
29
14
x 10
12
f(x) (escala lineal)
10
8
6
4
2
0
0
100
200
300
400
500 600 x (escala lineal)
700
800
900
1000
Figura 2.1: Representaci´on de la funci´on f (x) = 20,1x en escala lineal tanto para el eje x como para el eje y.
En la figura 2.2 se representa la misma funci´on en escala logar´ıtmica, tanto para el eje x tanto para el eje y. Vemos que este tipo de representaci´on permite realizar una mejor observaci´on de la variaci´on de la funci´on en el intervalo seleccionado.
2.6. ESCALA LOGAR´ITMICA
21
35
10
30
10
25
f(x) (escala logaritmica)
10
20
10
15
10
10
10
5
10
0
10
0
10
1
2
10
10
3
10
x (escala logaritmica)
Figura 2.2: Representaci´ on de la funci´on f (x) = 20,1x en escala logar´ıtmica tanto para el eje x como para el eje y.
2.6.1.
Tipos de representaciones
Podemos clasificar las representaciones en tres tipos diferentes, seg´ un a qu´e eje aplicamos la representaci´ on logar´ıtmica: Escala lineal, donde no se aplica la representaci´on logar´ıtmica a ninguno de los ejes. Escala log-log, donde aplicamos la representaci´on logar´ıtmica a los dos ejes. Escala log-lineal o semilogar´ıtmica, donde aplicamos la representaci´on logar´ıtmica a uno de los dos ejes, (generalmente se aplica al eje x).
2.6.2.
Transformaci´ on en funciones lineales
Si partimos de una funci´ on exponencial o potencial, la representaci´on en escala logar´ıtmica (log-log) o semilogar´ıtmica, puede proporcionarnos una herramienta muy conveniente para el an´alisis del crecimiento de este tipo de funciones. Ejemplo: Supongamos que queremos representar la funci´on f (x) = 20,1x , mostrada en escala lineal en la figura 2.6. Si en lugar de representar la funci´on f (x), representamos la funci´on log(f (x)), aplicando las
22 CAP´ITULO 2. FUNCIONES POTENCIALES Y EXPONENCIALES propiedades de los logaritmos a dicha funci´on obtenemos, log(f (x)) = log(20,1x ) = 0,1 · xlog(2) = 0,03 · x. Es decir, que si representamos el log(f (x)) en funci´on de x, la representaci´ on de esta funci´on ser´ıa una recta, tal y como se muestra en la figura 2.3. Si en lugar de representar el log(f (x)), modificamos el espaciado del eje x de forma logar´ıtmica, obtendr´ıamos la representaci´on mostrada en la figura 2.4. Es importante que nos fijemos en que, en esta u ´ltima figura, en el eje y ahora aparecen potencias de 10 en cada uno de los ticks del eje. 70
60
50
log(f(x))
40
30
20
10
0
0
100
200
300
400
500 600 x (escala lineal)
700
800
900
1000
Figura 2.3: Representaci´on de la funci´on log(f (x)) = log(20,1x ) = 0,03 · x en escala lineal tanto para el eje x como para el eje y. 35
10
30
10
25
f(x) (escala logaritmica)
10
20
10
15
10
10
10
5
10
0
10
0
100
200
300
400
500 600 x (escala lineal)
700
800
900
1000
Figura 2.4: Representaci´on de la funci´on f (x) = 20,1x en escala logar´ıtmica para el eje y (o en escala semilogar´ıtmica en y).
2.6. ESCALA LOGAR´ITMICA
23
Ejemplo: La representaci´ on de la funci´on y = log(f (x)) = 1,5 + 0,5x aparece la figura 2.5 en escala lineal. Econtrar la funci´on f (x) y representarla. Soluci´ on: Sabiendo que la funci´on exponencial de base 10, es la inversa de la funci´ on logaritmo decimal, podemos decir que,
y = log(f (x)) = 1,5 + 0,5x → 10log(f (x)) = f (x) = 101,5+0,5x = 101,5 · (100,5 )x ≈ 31,62 · 3,162x Con lo que podemos decir que la funci´on f (x) es exponencial.
Figura 2.5: Representaci´ on de la funci´on y = log(f (x)) = 1,5 + 0,5x
2.6.3.
Representaci´ on de funciones exponenciales en escala semilogar´ıtmica
Si partimos de una funci´ on exponencial f (x) = b · ax y la representamos en un gr´afico semilogar´ıtmico en y, representar´ıamos: y = log(f (x)) = log(b · ax ) → y = log(b) + log(a)x Con lo que obtendr´ıamos una funci´on lineal en x. Esto quiere decir que si representamos la funci´ on f (x) = b · ax en escala semilogar´ıtmica en y, obtendr´ıamos una recta. Tambi´en obtendr´ıamos una recta si representamos el log(y) en funci´ on de x, tal y como hemos visto en ejemplos anteriores.
24 CAP´ITULO 2. FUNCIONES POTENCIALES Y EXPONENCIALES
2.6.4.
Representaci´ on de funciones potenciales en escala log-log o logar´ıtmica
Si partimos de una funci´on potencial f (x) = b · xa , aplicando una transformaci´ on logar´ıtmica, obtendr´ıamos: y = log(f (x)) = log(b · xa ) → y = log(b) + a · log(x) Por lo tanto, si representamos esta funci´on en un gr´afico logar´ıtmico o log-log, obtendr´ıamos una recta. Del mismo modo, si representamos el log(y) en funci´ on del log(x), tambi´en obtendr´ıamos una recta, tal y como se ha visto en ejemplos anteriores.
Cap´ıtulo 3
Funciones trigonom´ etricas y oscilaciones
25
´ 26CAP´ITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y OSCILACIONES
3.1.
Introducci´ on
En este tema se introducir´a el concepto de funci´on trigonom´etrica. Veremos las representaciones gr´aficas de este tipo de funciones as´ı como sus propiedades. Tambi´en analizaremos distintos procesos naturales modelados mediante funciones trigonom´etricas.
3.2.
Funciones peri´ odicas
Definici´ on: Se dice que una funci´on f (x) es peri´ odica si existe una constante positiva T y un n´ umero entero k tal que: f (x ± k · T ) = f (x) Para ∀x ∈ dom(f ). Si T es el n´ umero m´as peque˜ no que cumple esta propiedad se denomina periodo de f (x).
3.2.1.
Funciones trigonom´ etricas
Las funciones trigonom´etricas son ejemplos de funciones peri´odicas. Las funciones trigonom´etricas m´as habituales son las siguientes: sin(x), cos(x) y tg(x) = cosec(x) =
1 sin(x) ,
sin(x) cos(x) .
sec(x) =
1 cos(x) ,
cotg(x) =
cos(x) sin(x) .
Tambi´en son importantes las funciones inversas, arcsin(x), arccos(x), arctg(x). As´ı mismo, tambi´en es importante conocer las funciones hiperb´olicas (sinh(x), cosh(x), ...). En este curso, estudiaremos principalmente: sin(x), cos(x), tg(x).
´ 3.2. FUNCIONES PERIODICAS
3.2.2.
27
Funci´ on sin(x)
La funci´ on sin(α), donde α est´ a representado en la figura 3.1, se define como el cociente entre el cateto a y la hipotenusa h, es decir sin(α) = ha . h a α b
Figura 3.1: Tri´angulo rect´angulo. En general, la expresi´ on de una funci´on Seno, vendr´a dada por: f (x) = A sin(ωx + φ0 ) Donde: A es la amplitud. φ0 es la fase inicial. El periodo es T =
2π ω .
La frecuencia angular es ω =
2π T .
A pesar de que hemos escrito f (x) con una fase unicial φ0 , podemos interpretar esta fase inicial de otra manera. Para ello, podemos expresar f (x) como sigue, f (x) = A sin(ω(x +
φ0 ω ))
= A sin(ω(x + x0 ))
Vemos que, en este caso, el argumento de la funci´on sin, es ω(x + x0 ). para esta funci´ on, cuando x toma valores, vemos que el argumento del sin siempre se ver´ a aumentado en una cantidad ωxo , si la comparamos con la funci´on sin(x). Para que el argumento del sin(ω(x + x0 )) sea cero, es necesario que x tomo el valor −x0 , luego podemos concluir que al sustituir x por x + x0 , hemos desplazado la se˜ nal a la izquierda. La figura 3.3, muestra la representaci´ on de la funciones sin(ω(x + x0 )), sin(ω(x − x0 )) y sin(ω(x − x0 )) (en dichas gr´ aficas aparecen representadas en funci´on de φ, ¿es esto un error?. Si reflexionas sobre ello, ver´as que si ω es la frecuencia angular y se expresa en rads/s y x es el tiempo y se expresa en s, su producto dar´ a como resultado rads, que es una medida de ´angulo. Para
´ 28CAP´ITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y OSCILACIONES encontrar una equivalencia entre las dos representaciones, podemos decir que φ = ω · (x ± x0 )). Es posible desplazar cualquier funci´on peri´odica usando esta t´ecnica.
0.8
0.6
0.4
sin(φ)
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
0
pi/2
pi φ
3pi/2
2pi
Figura 3.2: Representaci´on de la funci´on sin(φ) en el intervalo −π/2 < φ < π/2.
3.2.3.
Funci´ on cos(x)
La funci´ on cos(α), donde α est´a representado en la figura 3.1, se define como el cociente entre el cateto b y la hipotenusa h, es decir cos(α) = hb En general, la expresi´ on de una funci´on Coseno, vendr´a dada por: f (x) = A cos(ωx + φ0 ) Donde: A es la amplitud. φ0 es la fase inicial. El periodo es T =
2π ω .
´ 3.2. FUNCIONES PERIODICAS
29
1 sin(φ) sin(φ−π/2) sin(φ+π/2)
0.8
0.6
0.4
f(φ)
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1 −2pi
−3pi/2
−pi
−pi/2
0 φ
pi/2
pi
3pi/2
2pi
Figura 3.3: Representaci´ on de las funciones sin(φ), sin(φ−π/2) y sin(φ+π/2)
´ 30CAP´ITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y OSCILACIONES La frecuencia angular es ω =
2π T .
Al igual que en el caso de la funci´on sin(ωx + φ0 ), podemos desplazar la se˜ nal hacia la derecha o la izquierda, sin m´as que sustituir x por x + x0 o por x − x0 respectivamente. La figura 3.5, muestra la representaci´on de la funciones cos(ω(x + x0 )), cos(ω(x − x0 )) y cos(ω(x − x0 )). (En este caso podemos hacer el mismo comentario acerca de las representaciones. Podemos asumir que φ = ω · (x ± x0 ))
Figura 3.4: Representaci´on de la cos(φ) en el intervalo −π/2 < φ < π/2.
3.3.
Funci´ on tg(x)
La funci´ on tg(α), donde α est´a representado en la figura 3.1, se define como el cociente entre el cateto a y el cateto b, es decir tg(α) = ab En general, la expresi´ on de una funci´on Tangente, vendr´a dada por: 0) f (x) = A cos(ωx+φ = A tg(ωx + φ0 ) Donde: sin(ωx+φ0 ) A es la amplitud.
´ TG(X) 3.3. FUNCION
31
1 cos(φ) cos(φ−π/2) cos(φ+π/2)
0.8
0.6
0.4
f(φ)
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−2pi
−3pi/2
−pi
−pi/2
0 φ
pi/2
pi
3pi/2
2pi
Figura 3.5: Representaci´ on de las funciones cos(φ), cos(φ − π/2) y cos(φ + π/2)
´ 32CAP´ITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y OSCILACIONES φ0 es la fase inicial. El periodo es T =
2π ω .
La frecuencia angular es ω =
2π T .
En la figura 3.6, podemos ver la representaci´on de la funci´on tg(φ) en el intervalo −π/2 < t < π/2 (un periodo).
Figura 3.6: Representaci´on de la tan(φ) en el intervalo −π/2 < φ < π/2.
3.4.
F´ ormula de Euler
Leonard Euler fue el primero en proponer la igualdad eiφ = cos(φ) + i sin(φ), donde i es la unidad imaginaria. A trav´es de esta f´ ormula podemos encontrar las relaciones trigonom´etricas que conocemos. Como ejemplo, demostremos la f´ormula cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b). Para empezar, de la f´ormula de
´ 3.4. FORMULA DE EULER Euler, sabemos que cos(φ) = cos(a + b) =
eiφ +e−iφ , 2
33 por lo tanto,
eia eib + e−ia e−ib ei(a+b) + e−i(a+b) = = 2 2
Se puede verificar f´ acilmente que esta expresi´on es equivalente a =
eia + e−ia eib + e−ib eia − e−ia eib − e−ib − = cos(a + b) 2 2 2i 2i
De la misma manera, podemos probar que, cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) Adem´ as, tambi´en nos ser´ a muy u ´til conocer la f´ormula fundamental de la trigonometr´ıa: cos2 (a) + sin2 (a) = 1. Usando la f´ ormula de Euler es inmediato probar esta igualdad. Usando estas igualdades, es f´ acil llegar a expresiones del tipo: cos(2a) = cos2 (a) + sin( a) sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) Ejercicio: Tratar de demostrar las igualdades anteriores. Soluci´ on Este ejercicio puede resolverse sin m´ as que sustituir a = b en las f´ormulas de cos(a + b) y sin(a + b). Ejercicio: Encontrar las expresiones de cos(ωt + π/2), cos(ωt − π/2), sin(ωt + π/2), sin(ωt − π/2). Soluci´ on: Utilizando las f´ ormulas del coseno de la suma y la diferencia, es muy f´acil probar que: cos(ωt + π/2) = − sin(ωt)
´ 34CAP´ITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y OSCILACIONES cos(ωt − π/2) = sin(ωt) sin(ωt − π/2) = − cos(ωt) sin(ωt + π/2) = cos(ωt)
3.5.
Oscilaciones
En general, las oscilaciones se expresan en funci´on del sin(x) o del cos(x) como, f (x) = A cos(ωt + φ0 ) + C ´o f (x) = A sin(ωt + φ0 ) + C Puesto que dichas oscilaciones se componen de una funci´on seno o coseno m´as una constante, los par´ ametros ser´an los mismos que se han descrito con anterioridad: A es la amplitud (diferencia entre el m´aximo y la media). φ0 es la fase inicial (si es una funci´on cos(t) es el tiempo del primer m´ aximo, si es una funci´on sin(t), ser´a el tiempo del primer m´ınimo). El periodo es T =
2π k
(tiempo entre m´aximos).
C es el valor medio de la funci´on. La frecuencia angular es ω =
2π T .
Ejemplo La poblaci´ on de peque˜ nos p´ajaros dentro de cierto ´area, se ha descubierto que var´ıa entre 1000 y 1500 individuos a lo largo del a˜ no. El m´ınimo ocurre el 31 de Marzo. El m´aximo, 6 meses despu´es. Sabiendo que la poblaci´ on puede expresarse matem´aticamente como una funci´on trigonom´etrica, encontrar dicha expresi´on. Soluci´ on Sabemos que la funci´ on poblaci´ on de p´ ajaros en un a˜ no, p(t), es peri´odica con periodo T = 12meses. Podemos expresar p(t) como una funci´on seno o coseno desplazadas. Si la tratamos de expresar mediante una funci´on seno, sabemos que el primer m´ınimo del seno se produce para un valor de su argumento igual a φ = 3π/2 o φ = −π/2. Por lo tanto, podemos decir que para t = 3 meses, debemos tener que el argumento del sin(phi) es igual a φ = −π/2 o φ = 3π/2. Si ω = 2π/12, puesto que T = 12meses, la funci´on tendr´ a el siguiente aspecto, 2π p(t) = A sin (t − t0 ) 12
35
3.5. OSCILACIONES para obtener φ = −π/2 (por ejemplo) en t = 3 meses, simplemente sustituimos y despejamos, 2π −π (3 − t0 ) = 12 2
Despejando obtenemos que t0 = 0, luego la fase inicial es 0 y 2π p(t) = C + A sin 12 t . S´ olo nos queda calcular la amplitud A y el valor medio C. Podemos calcular ambos datos a partir del dato de variaci´on de la poblaci´ on entre 1000 y 1500 individuos a lo largo del a˜ no. Seg´ un este dato, la amplitud valdr´ a A = 1500−1000 = 250 y el valor medio 2 C = 1500+1000 1250. De este modo, la funci´on que buscamos es, 2 π p(t) = 1250 + 250 sin t 6
´ 36CAP´ITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y OSCILACIONES
Cap´ıtulo 4
Sucesiones y ecuaciones en diferencias.
37
38 CAP´ITULO 4. SUCESIONES Y ECUACIONES EN DIFERENCIAS.
4.1.
Sucesiones
Definici´ on de sucesi´ on Una funci´on f (x) con dominio los n´ umeros naturales dom(f ) = N y recorrido los reales im(f ) = R:
f:
N →R n → f (n),
se denomina sucesi´ on. Se utilizar´a tambi´en la notaci´on an = f (n) para denotar el t´ermino n o t´ermino general de la sucesi´on y escribiremos {an } para indicar la sucesi´ on completa. Se pueden enumerar los valores de la sucesi´ on en orden creciente del ´ındice n: a1 , a2 , a3 , ..., an Ejemplos de sucesiones: La sucesi´ on an = (−1)n , n = 0, 1, 2, 3, ... toma los valores: 1, −1, 1, −1, 1, −1, ... La sucesi´ on an = n2 , n = 0, 1, 2, 3, ... toma los valores: 0, 1, 4, 9, 16, ... Comentario: Cuando se observan varios t´erminos de una sucesi´on, es posible escribir el t´ermino general an .
4.1.1.
Notaci´ on expl´ıcita y recursiva
En general se pueden usar dos notaciones diferentes para sucesiones: Expl´ıcita, en la forma: an = f (n), n = 0, 1, 2, ...
´ L´IMITE39 4.2. COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO DE UNA SUCESION: Recursiva, en la forma: an+1 = f (an ), n = 0, 1, 2, ... Donde f (an ) es una funci´ on de an . Si el valor de an+1 s´olo depende del valor una unidad de tiempo atr´as, en este caso an , la ecuaci´on recursiva se llama ecuaci´ on recursiva de primer orden. (Si dependiera de an y an−1 se llamar´ıa ecuaci´ on recursiva de 2o orden). Con el fin de especificar el valor de los t´erminos sucesivos de una ecuaci´ on recursiva, es necesario conocer un t´ermino inicial a0 si n=0´ o a1 si n = 1.
4.2.
Comportamiento a largo plazo de una sucesi´ on: L´ımite
En esta secci´ on estudiaremos cual es el comportamiento a largo plazo de algunas sucesiones. Para ello haremos uso de los l´ımites.
4.2.1.
L´ımite de una sucesi´ on
Llamamos l´ımite de una sucesi´ on al valor de dicha sucesi´on cuando n tiende a infinito. Ejemplo: Encontrar los l´ımites de las siguientes sucesiones cuando n → ∞ an = (−1)n , n = 0, 1, 2, 3, ... En este caso, vemos que la funci´on toma alternativamente valores iguales a 1 y a −1. Es, por tanto, una serie oscilante, con lo que no tiene l´ımite cuando n → ∞. an = 2n , n = 0, 1, 2, 3, ... En este caso vemos que cuando n → ∞, an → ∞. an = n+1 ımite del t´ermino general, n , n = 0, 1, 2, 3, .... Si obtenemos el l´ obtenemos, n+1 l´ım an = l´ım = 1. n→∞ n→∞ n
40 CAP´ITULO 4. SUCESIONES Y ECUACIONES EN DIFERENCIAS.
4.3.
Ecuaciones recursivas
Si expresamos an como una ecuaci´on recursiva, nos podr´ıamos plantear como calcular su l´ımite. Veamos un primer ejemplo: Ejemplo: Calcule an con n = 1, 2, ..., 5, cuando an viene dado por la ecuaci´ on recursiva, 1 3 an+1 = an + 4 4 con a0 = 2. Para calcular el l´ımite de esta sucesi´on podr´ıamos obtener los sucesivos t´erminos de la misma: 1. a1 = 41 a0 +
3 4
=
5 4
2. a2 = 14 a1 +
3 4
=
17 16
3. a3 =
65 64
4. a4 =
257 256
= 1,25. = 1,0625.
=≈ 1,0156. =≈ 1,0039.
5. Por lo tanto, observando la sucesi´on anterior podemos concluir que el n t´ermino general de la sucesi´on es an = 4 4+1 n .
4.3.1.
Puntos fijos de ecuaciones recursivas
Definici´ on de punto fijo: Un punto fijo es un punto tal que si a0 es igual al punto fijo, entonces todos los valores sucesivos de an son iguales al punto fijo. Ejemplo: Encontrar un punto fijo para las ecuaciones recursivas an+1 = 41 an + 34 y an+1 = a3n . Soluci´ on: Para encontrar un punto fijo x, sabemos que si an = x, entonces an+1 = x. Por lo tanto, para encontrar los puntos fijos de la ecuaci´on recursiva an+1 = 14 an + 43 , hacemos an = an+1 = x y tratamos de resolver la ecuaci´ on resultante: x 3 x= + , 4 4
4.4. ECUACIONES EN DIFERENCIAS
41
de esta ecuaci´ on obtenemos que el u ´nico punto fijo de la ecuaci´on es 1. Para la segunda ecuaci´ on recursiva propuesta, podemos proceder de la misma manera. Si an = an+1 = x obtenemos, x=
3 , x
√ la ecuaci´on recursiva de donde obtenemos x = ± 3, con lo que √ para √ an+1 = 14 an + 43 hay dos puntos fijos en 3 y − 3. Comentario: Un punto fijo es s´olo un candidato al l´ımite de la sucesi´on. Dependiendo del valor inicial, la sucesi´on an puede converger o no. Si se sabe que la sucesi´ on converge, su l´ımite debe ser uno de los puntos fijos.
4.4.
Ecuaciones en diferencias
Como se mencion´ o anteriormente, una ecuaci´on recursiva de la forma Nt+1 = f (Nt ), se denomina recursiva de primer orden, ya que para obtener el valor Nt+1 , es necesario conocer el valor en el instante de tiempo anterior Nt . Las ecuaciones recursivas se suelen llamar tambi´en ecuaciones en diferencias. Este nombre proviene de escribir la ecuaci´on en la forma Nt+1 − Nt = g(Nt ). Al estudiar modelos de crecimiento poblacional se utilizan ecuaciones en diferencias y frecuentemente el inter´es se encuentra en el comportamiento de la poblaci´ on a largo plazo (tama˜ no final constante, oscilaci´on predecible, fluctuaci´ on aleatoria, etc). En temas posteriores avanzaremos en el conocimiento de este tipo de ecuaciones.
42 CAP´ITULO 4. SUCESIONES Y ECUACIONES EN DIFERENCIAS.
Cap´ıtulo 5
L´ımites y continuidad
43
CAP´ITULO 5. L´IMITES Y CONTINUIDAD
44
5.1.
Introducci´ on
En este tema hablaremos sobre los conceptos de l´ımite y continuidad de una funci´ on. Dichos conceptos ser´an muy importantes en temas posteriores, sobre todo cuando estudiemos derivabilidad de funciones, ya que l´ımites y continuidad est´an directamente relacionados con el concepto de derivada y de derivabilidad. En la u ´ltima parte del tema tambi´en haremos un peque˜ no repaso de resoluci´on de inecuaciones.
5.2.
L´ımites
5.2.1.
Recordatorio sobre l´ımites
Definici´ on informal: El l´ımite de f (x) cuando x tiende a c, es igual a L, significa que f (x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L, siempre que x est´e suficientemente cerca de c (pero no sea igual a c). Esto se indica como: l´ım f (x) = L x→c
o f (x) → L cuando x → c. Si l´ımx→c f (x) = L y L es un n´ umero finito, se dice que el l´ımite existe y que f (x) converge a L. Si el l´ımite no existe, se dice que f (x) diverge cuando x → c. Conviene aclarar que x siempre ser´a cercano a c pero nunca igual. Por lo tanto, no vale u ´nicamente con sustituir x por c. De hecho, muchas veces el valor de f (c) es irrelevante para calcular l´ımx→c f (x). En otros casos, dicho valor c s´ı es relevante ya que nos proporcionar´a pistas acerca de como resolver dicho l´ımite. Veremos ejemplos en los que f (c) no est´ a definida. Cuando calculamos el l´ımite l´ımx→c f (x), podemos hacerlo por la derecha o por la izquierda. Utilizaremos la notaci´on siguiente: L´ımite por la derecha: l´ımx→c+ f (x) cuando x se acerca a c por la derecha. L´ımite por la izquierda: l´ımx→c− f (x) cuando x se acerca a c por la izquierda.
5.2. L´IMITES
45
Para que el l´ımite de una funci´ on exista, ambos l´ımites laterales deben existir y deben ser iguales. Ejemplo: Calcular los siguientes l´ımites: l´ımx→2 x2 l´ımx→3
x2 −9 x−3
l´ımx→0
|x| x
l´ımx→0
1 x2
l´ımx→0 sin
π x
Soluci´ on: Para calcular el primer l´ımite, puesto que la funci´on x2 no presenta ninguna discontinuidad en 2, el l´ımite ser´a, l´ım x2 = 4.
x→2 2
−9 La funci´ on xx−3 tiene un cero en el denominador en x = 3, por lo tanto, para resolver este l´ımite podemos tratar de simplificar dicha expresi´ on,
x2 − 9 (x − 3)(x + 3) = l´ım = l´ım (x + 3) = 6 x→3 x − 3 x→3 x→3 x−3 l´ım
Para resolver este l´ımite, es conveniente expresar la funci´on |x| como −x x < 0 |x| = (5.1) x x≥0 Es simple ver que en x = 0 la funci´on |x| x presenta una indeterminaci´ on. Podemos intentar simplificar dicho l´ımite, pero para ello debemos hacer uso de la forma expl´ıcita de la funci´on |x|, ya que esta tiene distinta definici´ on para x < 0 y x ≥ 0. En este caso, podemos calcular los l´ımites laterales de dicha funci´on: l´ım
x→0−
|x| −x = l´ım = l´ım −1 = −1. x x→0− x x→0−
CAP´ITULO 5. L´IMITES Y CONTINUIDAD
46
Ahora podemos calcular el l´ımite por la derecha: l´ım
x→0+
|x| x = l´ım = l´ım 1 = 1. + x x→0 x x→0−
Vemos que ambos l´ımites laterales son diferentes, con lo que podemos concluir que el l´ımx→0 |x| x no existe. El l´ımx→0
1 x2
tiende a infinito en el punto x = 0. El c´ alculo de el l´ımx→0 sin πx es un poco m´as sutil. Sabemos que sin(ωt) es una funci´on que invariablemente toma valores pertenecientes al intervalo [−1, 1] (o lo que es lo mismo, su imagen es π Im(sin(x)) = [−1, 1]). Por lo tanto, el l´ımx→0 sin x pertenecer´a a dicho intervalo, pero est´a indeterminado. Luego estel´ımite no existe.
5.3.
Propiedades de los l´ımites
Sea a una constante y supongamos que l´ımx→c f (x) y l´ımx→c g(x) existen. Se cumplen entonces las siguientes reglas: l´ımx→c af (x) = a l´ımx→c f (x). l´ımx→c [f (x) + g(x)] = l´ımx→c f (x) + l´ımx→c g(x). l´ımx→c [f (x) · g(x)] = l´ımx→c f (x) · l´ımx→c g(x). l´ımx→c
f (x) g(x)
=
l´ımx→c f (x) l´ımx→c g(x) ,
suponiendo que l´ımx→c g(x) 6= 0.
La primera y la segunda propiedad pueden expresarse m´as c´omodamente a partir de la expresi´ on l´ımx→c (af (x) + bg(x)) = a l´ımx→c f (x) + b l´ımx→c f (x). Podemos concluir que la operaci´ on l´ımx→c f (x) es una operaci´on lineal. Adem´ as de las propiedades anteriores, si f (x) es un polinomio, entonces su l´ımite ser´ a el valor de dicho polimimio en c: l´ım f (x) = f (c)
x→c
47
5.4. CONTINUIDAD Si f (x) es una funci´ on racional, es decir, un funci´on del tipo: f (x) =
p(x) q(x)
siendo p(x) y q(x) polinomios y q(c) 6= 0, entonces el l´ımite cuando x tiende a c ser´ a el valor de dicha funci´ n en c: l´ım f (x) = l´ım
x→c
5.4.
x→c
p(x) p(c) = = f (c) q(x) q(c)
Continuidad
Definici´ on: De manera informal, podemos decir que una funci´on es continua en todo su dominio si podemos recorrer todos los puntos de su gr´afica sin levantar el l´ a‘piz del papel. Como tan solo en unas pocas ocasiones podremos observar todo el dominio de una funci´on, podemos hacer uso de la definici´ on de continuidad de una funci´on en un intervalo, que es equivalente a la anterior. De manera informal, podemos decir que una funci´ on es continua en un intervalo abierto (a, b) (por intervalo abierto (a, b) entendemos aquel que no incluye los extremos a y b) si podemos recorrer todos los puntos de su gr´afica sin levantar el l´a‘piz del papel en dicho intervalo. Para comprobar si una funci´ on es continua en un punto x = c, es necesario verificar que dicha funci´ on cumple las tres condiciones siguientes en dicho punto:
f (x) est´ a definida en x = c. Existe el l´ımite l´ımx→c f (x). Para ello ser´a necesario verificar que los l´ımites laterales l´ımx→c− f (x) y l´ımx→c+ f (x) existen y son iguales. l´ımx→c f (x) es igual a f (c).
Si falla alguna de las tres condiciones, diremos que la funci´on no es continua o es discontinua en x = c.
CAP´ITULO 5. L´IMITES Y CONTINUIDAD
48
5.4.1.
Continuidad por la derecha y por la izquierda
La continuidad lateral est´a directamente relacionada con los l´ımites laterales de la funci´ on en c. Definici´ on: Se dice que una funci´on es continua por la derecha en x = c si l´ım f (x) = f (c)
x→c+
. y continua por la izquierda en x = c si l´ım f (x) = f (c)
x→c−
.
5.5.
Operaciones con funciones continuas
Sea a una constante y sean las funciones f y g continuas en x = c. Entonces las funciones siguientes son continuas en x = c: a · f (x) f (x) + g(x) f (x) · g(x). f (x) g(x)
con tal de que g(c) 6= 0. En el caso de que g(x) se anule en alg´ un punto, habr´ a que examinar cada caso particular para determinar si es (x) posible simplificar la expresi´on fg(x) y determinar si es continua o no. Teorema: Si g(x) es continua en x = c con g(c) = L y f (x) es continua en x = L, entonces la composici´on de funciones (f ◦ g)(c) es continua en x = c. En particular, podemos decir que:
l´ım (f ◦ g)(x) = l´ım f [g(x)] = f [g(c)] = f (L)
x→0
x→c
49
5.6. TEOREMA DEL SANDWICH
5.6.
Teorema del Sandwich
Teorema: Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x en un intervalo abierto que contenga a c (excepto probablemente en c) y l´ım f (x) = l´ım h(x) = L
x→c
x→c
entonces l´ım g(x) = L
x→c
5.7.
Teorema del valor intermedio
Teorema Sea f una funci´ on continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si L es un n´ umero real tal que f (a) < L < f (b) o f (b) < L < f (a), existe al menos un n´ umero c en el intervalo abierto (a, b) tal que f (c) = L.
5.8.
Inecuaciones
Esta secci´ on se limita u ´nicamente a un repaso sobre el concepto de inecuaci´ on que el alumno debe conocer de bachiller. Procedamos a repasar dicho concepto con un ejemplo Ejemplo: Resolver la inecuaci´on: x
x−2 >0 (x − 4)(x + 1)
Soluci´ on: Para resolver esta inecuaci´on es neceario analizar el signo de cada uno de los componentes de la funci´on racional anterior. Esta tarea es f´acil si nos servimos de una tabla: La soluci´ on de esta inecuaci´ on ser´an los puntos del dominio de f (x) para los cuales la imagen es mayor que cero. Estos puntos son x ∈ {(−∞, −1) ∪ (0, 2) ∪ (4, +∞)}
CAP´ITULO 5. L´IMITES Y CONTINUIDAD
50
x (x+1) (x-2) (x-4)
x < −1 -
−1 ≤ x < 0 + -
0≤x 0 tal que f (c) ≤ f (x)∀x ∈ (c − δ, c + δ) ∩ D. Ejemplo: Soluci´ on: El Teorema de Fermat nos habla sobre el comportamiento de la derivada en los extremos de una funci´ on continua f en puntos interiores al intervalo (a, b). Teorema de Fermat: Si f tiene un extremo local en un punto interior c y f 0 (c) existe, entonces f 0 (c) = 0. Ejemplo: Soluci´ on:
7.3.1.
Pasos para encontrar extremos locales
1. Encontrar f 0 (x) = 0. 2. No suponer que los puntos donde f 0 (x) = 0 son extremos locales: son solo candidatos. 3. Comprobar los puntos donde la derivada no est´a definida. 4. Comprobar los extremos del dominio. Ejemplo: Soluci´ on:
7.4.
Teorema del valor medio
Teorema del valor medio Si f es una funci´on continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), existe al menos un
CAP´ITULO 7. VALORES EXTREMOS
60 n´ umero c ∈ (a, b), tal que:
f (b) − f (a) = f 0 (c) b−a Ejemplo: Soluci´ on:
7.5.
Teorema de Rolle
Teorema de rolle: Si f es una funci´on continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) y f (a) = f (b), entonces existe un n´ umero c ∈ (a, b), tal que f 0 (c) = 0. Ejemplo: Soluci´ on:
7.6.
Optimizaci´ on
Los conceptos analizados con anterioridad pueden utilizarse con el fin de optimizar un problema determinado. Dichos problemas de optimizaci´on consisten en encontrar un valor de la variable independiente (x) que maximice o minimice una cierta funci´on. Ejemplo: Soluci´ on:
7.6.1.
Puntos cr´ıticos
Los puntos donde la primera derivada es igual a cero se denominan puntos cr´ıticos. Para buscar puntos cr´ıticos seguimos los siguientes pasos 1. Obtenes los puntos donde f 0 (c) = 0. 2. Obtener los puntos c donde f 0 (c) no existe. 3. Obtener los extremos del dominio de f .
´ 7.6. OPTIMIZACION
61
Puntos cr´ıticos: Una funci´ on continua tiene un m´ınimo local en c si la funci´on es decreciente a la izquierda de c y creciente a la derecha de c. Una funci´on tiene un m´ aximo local en c si la funci´on es creciente a la izquierda de c y decreciente a la derecha de c. Ejemplo: Soluci´ on:
62
CAP´ITULO 7. VALORES EXTREMOS
Cap´ıtulo 8
Aproximaci´ on polin´ omica
63
64
8.1.
´ POLINOMICA ´ CAP´ITULO 8. APROXIMACION
Introducci´ on
El objetivo principal de este tema es el de presentar c´omo aproximar una funci´ on a partir de sus derivadas. El Teorema de Taylor nos proporciona la base te´ orica necesaria para llevar a cabo esta tarea. Asumiendo que y = f (x) es derivable una vez en el punto x = a, entonces podemos expresar la aproximaci´on lineal de dicha funci´on en el punto x = a, o lo que es lo mismo, la recta tangente a la funci´on f (x) en el punto x = a, ser´ a: L(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) Si ahora asumimos que y = f (x) es derivable dos veces en x = a, entonces en lugar de aproximar f (x) por una recta, la podemos aproximar mediante una par´ abola. La aproximaci´ on cuadr´ atica de f en x = a ser´a: L(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a)
8.2.
(x − a)2 2!
Polinomio de Taylor
Los polinomios son funciones relativamente simples, continuas y derivables en todo R. Por ello es a menudo conveniente ser capaz de aproximar funciones complicadas con polinomios que tengan caracter´ısiticas similares a la funci´ on dada.
8.2.1.
Polinomio de Taylor en x = 0: Serie de McLaurin
El polinomio de Taylor de grado n en x = 0 para la funci´on f (x) se expresa como Pn (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 f (4) (0) 4 f (n) (0) n x + x + x + ... + x . 2! 3! 4! n!
A trav´es de dicho polinomio, podemos expresar una aproximaci´on de la funci´ on f (x) hasta orden n, si la funci´on es derivable n veces, en un entorno del punto x = 0.
8.2. POLINOMIO DE TAYLOR
8.2.2.
65
Polinomio de Taylor en el punto x = a
Si queremos obtener una aproximaci´on de orden n de la funci´on f (x) en un entorno del punto x = a, podemos usar la expresi´on:
Pn (x) = f (a)+f 0 (a)(x−a)+
f 00 (a) f 000 (a) f (4) (a) f (n) (a) (x−a)2 + (x−a)3 + (x−a)4 +...+ (x−a)n . 2! 3! 4! n!
Dicha expresi´ on recibe el nombre de Desarrollo en Serie de Taylor de la funci´on f (x) cerca del punto x = a. Ejemplo: Obtener una aproximaci´on de la soluci´on de la ecuaci´on sin(x) = cos(x) utilizando el desarrollo en serie de taylor. Soluci´ on: El desarrollo en serie de taylor de primer orden de la funci´on sin(x) alrededor del punto x = 0 es: sin(x) ≈ sin(0) + cos(0) · (x − 0) = x El desarrollo en serie de taylor de primer orden de la funci´on cos(x) alrededor del punto x = 0 es: cos(x) ≈ cos(0) − sin(0) · (x − 0) = 1 Igualando ambas expresiones, obtenemos que x = 1. El valor de las funciones cos(x) y sin(x) es: cos(1) = 0,5403..., sin(1) = 0,8414.... Ahora podemos usar el punto x = 1 para desarrollar las funciones anteriores y tratar de obtener una aproximaci´on mejor: sin(x) ≈ sin(1) + cos(1) · (x − 1) ≈ 0,84 + 0,54 · (x − 1) = 0,30 + 0,54x y cos(x) ≈ cos(1) − sin(1) · (x − 1) = 0,54 − 0,84 · (x − 1) = 1,38 − 0,84x Igualando ambas expresiones obtenemos que 0,30 + 0,54x = 1,38 − 0,84x. Despejando x, obtenemos que x = 0,782. La verdadera soluci´on es √ 2 x = 2 = 0,7071.... Vemos que aplicando este proceso podemos aproximarnos cada vez m´ as a la soluci´on.
66
8.3.
´ POLINOMICA ´ CAP´ITULO 8. APROXIMACION
M´ etodo de Newton-Raphson
El m´ etodo de Newton-Raphson se utiliza para calcular num´ericamente las raices de una funci´on, dada una aproximaci´on inicial x0 . Supongamos que queremos calcular la soluci´on de f (x) = 0, dada una aproximaci´ on inicial x0 . Partiendo del desarrollo de Taylor de f hasta orden 2 en x = 0: f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) Sustituyendo ahora f (x) = 0 y x = x0 y despejando: 0 = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x1 − x0 ) → x1 = x0 −
f (x0 ) f 0 (x0 )
Podemos ahora expresar la ecuaci´on anterior como una ecuaci´on recursiva: xn+1 = xn −
f (xn ) f 0 (xn )
Que nos permite determinar cuando dos valores sucesivos son iguales hasta la precisi´ on requerida. Analizando la ecuaci´ on anterior, podemos ver que pueden surgir problemas 0 si f es muy peque˜ na o si dos soluciones est´an muy pr´oximas.
Cap´ıtulo 9
Integraci´ on
67
´ CAP´ITULO 9. INTEGRACION
68
9.1.
Introducci´ on
El objetivo principal de este tema es el de presentar la operaci´on de integraci´ on, su interpretaci´on geom´etrica y sus aplicaciones. En temas anteriores hemos estudiado expresiones del tipo: dy = f (x) dx Este tipo de expresiones se denominan ecuaciones diferenciales. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario encontrar funciones y que cumplan que y 0 = f (x). Si es posible encontrar dicha funci´on y, entonces existe una familia completa de funciones con esta propiedad. Todas ellas estar´ an relacionadas por una traslaci´on vertical. Para obtener dicha funci´ on y es necesario llevar a cabo una operaci´on de integraci´on: Z y = f (x)dx + C Para seleccionar una de estas funciones, ser´a necesario especificar una condici´ on inicial, que consiste en un punto (x0 , y0 ) de la gr´afica de la funci´ on. Esta funci´ on seleccionada, se denominar´a soluci´ on del problema de valor inicial, y nos permitir´a despejar la constante C de la ecuaci´ on anterior. Si sabemos que y = y0 cuando x = x0 , entonces R sabremos que C = y0 − f (x)dx . x=x0
9.2.
Primitivas de funciones
Definici´ on: Una funci´on F se denomina primitiva de f en un intervalo l si F 0 (x) = f (x) para ∀x ∈ l. Corolario: Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), con f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f (x) es constante en [a, b]. Corolario: Si F (x) y G(x) son primitivas de la funci´on continua f (x) en un intervalo I, entonces existe una constante C, tal que G(x) = F (x) + C, ∀x ∈ I
´ 9.3. PROBLEMA DEL AREA
9.2.1.
69
Peque˜ na colecci´ on de primitivas
Las principales primitivas que manejaremos durante el curso viene recogida en la siguiente tabla: Funci´ on kf (x) f (x) + g(x) xn , n 6= −1 1 x eax
sin(ax) cos(ax)
9.3.
Primitiva kF (x) F (x) + G(x) 1 n+1 n−1 x ln|x| eax − a1 cos(ax) 1 a sin(ax)
Problema del ´ area
Definici´ on de suma finita: Sean a1 , a2 , ..., an n´ umeros reales y n un n´ umero entero positivo. Entonces podemos expresar la suma de todos estos n´ umeros mediante la siguiente expresi´on: n X
ak = a1 + a2 + ... + an
k=1
Dicha suma de n´ umeros presentar´a las siguientes propiedades:
1. Regla del valor constante:
Pn
k=1 1
= n.
P P 2. Regla de la constante multiplicativa: nk=1 c · ak = c · nk=1 ak , siendo c una constante que no depende de k. 3. Regla de la suma:
Pn
k=1 (ak
+ bk ) =
Pn
k=1 bk
+
Pn
k=1 ak
Ejercicio: Tratar de demostrar las propiedades anteriores.
´ CAP´ITULO 9. INTEGRACION
70
9.4.
Integrales de Riemann
Definici´ on: Sea P = [x0 , x1 , x2 , ..., xn ], n = 1, 2, 3, ... una secuencia de particiones de [a, b] con ||P || → 0. Sea ∆xk = xk − xk−1 y ck ∈ [xk−1 , xk ]. Definimos la integral indefinida de f entre a y b como, Z b n X f (x)dx = l´ım f (ck )∆xk , a
||P ||→0
k=1
si el l´ımite existe, en cuyo caso se dice que f es integrable (en el sentido de Riemann), en el intervalo [a, b]. Teorema: Todas las funciones continuas son integrables en el sentido de Riemann. Es decir, si f (x) es continua en [a, b], entonces Z b f (x)dx a
existe.
9.4.1.
Interpretaci´ on geom´ etrica de las integrales definidas
Si reflexionamos acerca de la interpretaci´on geom´etrica de la integral definida, podemos realizar las siguientes observaciones: Si f es integrable en el intervalo [a, b] y f (x) ≥ 0 en [a, b], entonces Rb on entre la gr´afica de f y el eje x desde a f (x)dx = el area de la regi´ a hasta b. Rb Si f es integrable en [a, b], entonces a f (x)dx = [´area por encima del eje x]-[´ area por debajo del eje x].
9.4.2.
Propiedades de la integral de Riemann
Si asumimos que f es integrable en el intervalo [a, b]. Entonces, Ra a
f (x)dx = 0 y
´ 9.5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Ra b
f (x)dx = −
Rb a
71
f (x)dx
Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a, b] Si k es una constante, entonces b
Z
Z a
a
Rb
a [f (x)
+ g(x)]dx =
Rb a
b
f (x)dx
kf (x)dx = k
f (x)dx +
Rb a
g(x)dx
Si f es integrable en un intervalo que contiene los tres n´ umeros a, b y c, entonces Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a
a
c
Asumamos que f y g son integrales en el intervalo [a, b] Si f (x) ≥ 0 en [a, b], entonces
Rb a
Si f (x) ≤ g(x) en [a, b], entonces
f (x)dx ≥ 0. Rb a
f (x)dx ≤
Rb a
g(x)dx.
Si m ≤ f (x) ≤ M en [a, b], entonces Z m(b − a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b − a) a
9.5.
Teorema fundamental del C´ alculo
Teorema: Si f es continua en el intervalo [a, b], entonces la funci´on F definida como Z x F (x) = f (u)du, a ≤ x ≤ b a
Es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y se cumple que d F (x) = f (x) dx
´ CAP´ITULO 9. INTEGRACION
72
9.6.
Regla de Barrow
Supongamos que f es una funci´on continua en el intervalo [a, b], entonces Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a) a
Siendo F (x) una primitiva de f (x), es decir F 0 (x) = f (x). Regla de Leibniz: Si g(x) y h(x) son funciones derivables y f (u) es continua, con u entre g(x) y h(x), entonces d dx
9.7. 9.7.1.
Z
h(x)
f (u)du = f [h(x)]h0 (x) − f [g(x)]g 0 (x)
g(x)
Aplicaciones de la integraci´ on C´ alculo de ´ areas
Si f (x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo [a, b] con f (x) > g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces el ´area de la regi´on comprendida entre las curvas y = f (x) e y = g(x) desde a hasta b es igual a Rb ´ Area= a [f (x) − g(x)]dx
9.7.2.
Cambio acumulativo
Consideremos una poblaci´on cuya din´amica de credimiento viene dada por el problema de valor inicial dN = f (t), con N (0) = N0 , dt de donde podemos decir que Z N (t) =
t
f (u)du + C. 0
´ 9.7. APLICACIONES DE LA INTEGRACION
73
Resolviendo el problema de valor inicial, obtenemos Z t dN N (t) − N (0) = du, 0 du que podemos interpretar como el cambio acumulativo o neto del tama˜ no de la poblaci´ on entre 0 y t.
9.7.3.
Valor Medio
Supongamos que f (x) es una funci´on continua en el intervalo [a, b]. El valor medio de f en el intervalo [a, b] es
V M (f ) =
1 b−a
Z
b
f (x)dx a
Teorema del Valor medio para integrales definidas: Sea f (x) una funci´on continua en el intervalo [a, b]. Existe un n´ umero c ∈ [a, b], tal que Z f (c)(b − a) =
b
f (x)dx a
74
´ CAP´ITULO 9. INTEGRACION
Cap´ıtulo 10
Ecuaciones en diferencias
75
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS
76
10.1.
Introducci´ on: un ejemplo.
Vamos a empezar con un ejemplo sencillo pero que contiene los ingredientes esenciales de este tema. Recomendamos no avanzar en el cap´ıtulo hasta tener bien claro este ejemplo, al que haremos referencia a lo largo de las siguientes p´aginas. Ejemplo Un paciente reci´en ingresado en un hospital recibe una dosis de 2 miligramos de antibi´ otico cada 8 horas. Entre toma y toma, su organismo es capaz de eliminar un tercio de la cantidad de antibi´otico que hab´ıa en su cuerpo. Suponemos que al ingresar no hab´ıa nada de antibi´otico en su cuerpo. 1. Vamos a describir la cantidad de antibi´ otico (en mg) que hay en el cuerpo del paciente justo despu´es de ingerir cada nueva dosis. Llamaremos xk a los mg de antibi´otico tras la dosis n´ umero k. Vamos a calcular dicha cantidad para las primeras dosis: Inicialmente no hay antibi´otico en su cuerpo, de modo que podemos poner x0 = 0. Tras la primera dosis tiene ex´actamente 2 mg. Es decir, x1 = 2. Tras la segunda dosis,en su organismo hay dos tercios de los 2 mg que ten´ıa (ha eliminado un tercio) m´as lo que acaba de ingerir, es decir, 2 7 x2 = 2 + 2 = 3 3 o, lo que es lo mismo, 2 x2 = x1 + 2. 3 Tras la tercera dosis, de nuevo tendr´an dos tercios de lo que ten´ıa (ha eliminado un tercio) m´as lo que acaba de ingerir, es decir, 2 7 23 x3 = · + 2 = , 3 3 9 que escribimos como 2 x3 = x2 + 2. 3
´ UN EJEMPLO. 10.1. INTRODUCCION:
77
F´ıjate en que podr´ıamos seguir as´ı indefinidamente, y en que podemos escribir, en general, 2 xn+1 = xn + 2. 3
(10.1)
As´ı, conocida la cantidad inicial (mg) de antibi´otico, (cero si no hab´ıa tomado nada antes de ingresar, o la que fuera, en caso de haberse medicado antes), podemos determinar c´omo evoluciona la cantidad de antibi´ otico en sangre. Este tipo de expresi´on (10.1) se conoce como ecuaci´ on recursiva o ecuaci´ on en diferencias. Adem´as, para averiguar la cantidad de antibi´otico en sangre lo que se hace es aplicar la misma regla (multiplicar la cantidad actual por 2/3 y sumar 2) todo el tiempo: por eso se llama tambin proceso iterativo. As´ı, iterando, una vez conocida la cantidad inicial podemos determinar la cantidad de medicamento que hay en el organismo en cualquier momento. Este m´etodo tiene el inconveniente de para determinar cu´ anto medicamento habr´a dentro de, por ejemplo, 3 d´ıas (24 periodos de 8 horas, es decir, calcular x24 ), necesitamos conocer x1 , x2 ,· · · , x23 .
2. A continuaci´ on, vamos a proporcionar un m´etodo gr´afico que permite hacerse una idea de la evoluci´on de xn sin necesidad de calcular cada t´ermino. Este procedimiento es importante y lo usaremos m´as adelante para abordar problemas m´as complejos. De momento, nos permitir´ a responder cuestiones como ¿Se estabiliza la cantidad de antibi´ otico en sangre? ¿aumentar´a peligrosamente? ¿ser´a suficiente? La soluci´ on est en los llamados diagramas de tela de ara˜ na. 2 a) En unos ejes coordenados, trazar las rectas y = x e y = x + 2. 3 b) Elegir un valor x0 que representa la cantidad inicial de antibi´ otico presente en el organismo. En el ejemplo x0 = 0, pero no hay problemaen suponer que x0 6= 0. Nos ayudaremos de las dos rectas para ”dibujar” los sucesivos valores que toma xn a partir de x0 .
78
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS y=x
y = 23 x + 2
2 x0
Es decir,vamos a representar sucesivamente x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), . . . c) A continuaci´on, calculamos x1 = f (x0 ). Si usamos la gr´afica de 2 la recta y = x + 2, es sencillo localizar en el eje vertical el valor 3 x1
y=x
y = 23 x + 2
f (x0) = x1 2 x0
d ) Este paso es crucial. Vamos a localizar x1 en el eje de abcisas: traza un segmento horizontal que pasa por (0, x1 ) y llega hasta la recta y = x. Ese punto tiene coordenadas (x1 , x1 ).
´ UN EJEMPLO. 10.1. INTRODUCCION:
79 y=x
y = 23 x + 2
f (x0) = x1 2
(x1, x1) x0 x1
Si trazamos un segmento vertical desde el punto (x1 , x1 ) hasta el eje hortizontal localizamos x1 . e) Igual que con x1 , se hay que situar x2 = f (x1 ) en el eje vertical 2 usando la gr´ afica de y = x + 2 3
y=x
y = 23 x + 2
f (x1) = x2 f (x0) = x1 2 x0 x1
f ) Para situar x2 en el eje horizontal, traza un segmento horizontal desde (0, x2 ) hasta la recta y = x. . . y continua con el proceso como en los pasos anteriores para determinar gr´aficamente x3 (y sucesivos)
80
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS y=x
y = 23 x + 2 f (x2) = x3 f (x1) = x2 f (x0) = x1 2 x0 x1 x2
Si has entendido el procedimiento, parece claro que xn tiende a 2 aproximarse al punto de corte de las rectas y = x e y = x + 2. Ese 3 es un punto especial, llamado punto de equilibrio de la ecuaci´on. Enseguida veremos porqu´e: ese punto cumple que 2 x = x + 2, 3 y la soluci´ on de esta ecuaci´on es x∗ = 6. Supongamos que x1 = 6. 2 Resulta que x2 = f (x1 ) = 6 + 2 = 6, pero entonces 3 2 x3 = f (x2 ) = 6 + 2 = 6, y as´ı sucesivamente. Por eso se llama 3 tambi´en punto fijo del sistema. En el contexto del problema, 6 es un euilibrio porque cada 8 horas el organismo elimina 1/3 de esos 6 mg (es decir, elimina 2 mg y quendan 4), de modo que al ingerir la dosis de 2 mg vuelve a haber 6. Y as´ı indefinidamente. Vamos a poner nombre a los conceptos que surgido hasta ahora. Esta formalizaci´ on ser´ au ´til cuando trabajemos con relaciones m´as complicadas que una recta. Definici´ on Sea f : R → R una funci´on continua. Un ecuaci´ on en diferencias aut´ onoma de primer orden es una ecuaci´ on de la forma xn+1 = f (xn )
con valor inicial x0
(10.2)
10.2. ECUACIONES LINEALES Y AFINES.
81
Su soluci´ on es la sucesi´ on de num´eros en la que cada t´ermino es la imagen mediante f del t´ermino anterior, de decir, x0 , x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), · · · , xn = f (xn−1 ), · · · . Una soluci´ on de equilibrio o punto fijo es una valor x tal que x = f (x) Para cada elecci´ on particular del primer t´ermino de x0 (condici´on inicial) tenemos una soluci´ on particular. La soluci´ on general es el conjunto de todas las soluciones particulares y constituye una familia de sucesiones que depende de un par´ ametro (la condici´ on inicial a0 ). Ejemplo: La siguiente es una ecuaci´on en diferencias aut´onoma no lineal xn+1 = x2n − 2 sus puntos de equilibrio son las soluciones de la ecuaci´on x = x2 − 2 que equivale a resolver x2 − x − 2 = 0 y cuyas soluciones son x = −1, 2. Esos son los equilibrios o puntos fijos. Puedes comprobarlo; por ejemplo, para x0 = 2 tenemos que x1 = x20 − 2 = 22 − 2 = 2 = x0 , y as´ı sucesivamente. Los ejemplos de soluci´ on particular y general aparecer´an un poco m´as adelante.
10.2.
Ecuaciones lineales y afines.
La definici´ on (10.2) admite que f sea cualquier funci´on; en el ejemplo introductorio hemos empleado la funci´on m´as sencilla: una recta. Vamos a completar el estudio de este caso que, aunque sencillo, es muy importante. Diremos que la ecuaci´ on en diferencias es
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS
82
una ecuaci´ on lineal si f (x) = rx, r ∈ R. una ecuaci´ on af´ın si f (x) = rx + g, r, g ∈ R. una ecuaci´ on no lineal en el resto de los casos. En esta secci´ on nos ocuparemos de las dos primeras. En concreto, veremos c´ omo calcular su soluci´on general. c´ omo determinar el comportamiento de las suluciones para valores de n muy grandes.
10.2.1.
Ecuaciones lineales.
Como hemos dicho, se trata de ecuaciones de la forma xn+1 = rxn
con r ∈ R.
(10.3)
Vamos a calcular los primeros t´erminos a partir del valor inicial x0 : tenemos x1 = rx0 , x2 = rx1 = r2 x0 , ········· xn = rxn−1 = · · · = rn x0 , ········· y as´ı sucesivamente, de donde tenemos que la soluci´on general de (10.3) es xn = r n x0
con x0 ∈ R.
Sus soluciones particulares son las que se obtienen para cada valor concreto de x0 . Adem´ as, si nos preguntamos por el comportamiento a largo plazo de las soluciones de estas ecuaciones, tenemos Proposici´ on: Dada la ecuaci´on en diferencias xn+1 = rxn , con valor inicial x0 se cumple:
83
10.2. ECUACIONES LINEALES Y AFINES. |r| < 1 ⇒ l´ım rn x0 = 0. n→∞
|r| > 1 ⇒ l´ım |rn x0 | = ∞. n→∞
r = −1 ⇒ (−1)n x0 = x0 , −x0 , · · · x0 es un 2-ciclo. r = 1, entonces todas las soluciones son equilibrios.
10.2.2.
Ecuaciones afines.
Ahora analizamos el compartamiento de las soluciones de ecuaciones de la forma xn+1 = rxn + g con r, s ∈ R. (10.4) de nuevo podemos determinar los primeros elementos de la soluci´on a partir del valor inicial x0 : x1 = rx0 + g, x2 = rx1 + g = r(rx0 + g) + g = r2 x0 + rg + g x3 = rx2 + g = r3 x0 + r2 g + rg + g ··· xn = rxn−1 + g = rn x0 + rn−1 g + rn−2 g + · · · + rg + g,
(10.5)
¿ves la tendencia? el u ´ltimo t´ermino xn lo podemos escribir, de forma abreviada, como n−1 X rk g (10.6) xn = r n x0 + k=0
Pn
la expresi´ on k=0 es la forma sint´etica de indicar que debemos considerar los valores de rk s para k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 y sumarlos todos. Es decir, es la forma compacta de expresar xn tal y como aparece en (10.5). Sin embargo, independientemente de c´omo lo expresemos, presenta el inconveniente de que para conocer el valor del t´ermino, digamos, 45 necesitamos conocer el valor de todos t´erminos anteriores. Afortunadamente, en el caso de las ecuaciones afines esto tiene soluci´on. Proposici´ on: Dada la ecuaci´ on en diferencias xn+1 = rxn + g, con valor inicial x0 se cumple: xn = x0 r n + g
1 − rn 1−r
(10.7)
84
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS
Demostraci´ on: Hemos visto en (10.5) que xn = rn x0 + rn−1 g + rn−1 g + · · · + rg + g podemos sacar factor com´ un g y tenemos xn = rn x0 + g rn−1 + rn−1 + · · · + r + 1
(10.8)
Vamos a concentrarnos en la suma de los t´erminos que hay entre par´entesis. La multiplicamos por (1 − r) rn−1 + rn−1 + · · · + r + 1 (1−r) = rn−1 +rn−1 +· · ·+r+1−rn −rn−1 −· · ·−r2 −r podemos cancelar los sumandos que tienen la misma potencia pero signo contrario rn−1 + rn−1 + · · · + r + 1 − rn − rn−1 − · · · − r2 − r = 1 − rn Resumiendo, tenemos rn−1 + rn−1 + · · · + r + 1 (1 − r) = 1 − rn de donde podemos despejar rn−1 + rn−1 + · · · + r + 1 =
1 − rn 1−r
Si sustuimos esta expresi´on en (10.8) tenemos (10.7). As´ı, hemos conseguido una expresi´on para la soluci´on xn de la ecuaci´on af´ın homog´enea (10.4) que depende de n, y no del valor anterior de dicha soluci´ on. Es decir, no necesitamos conocer xn−1 para calcular xn . Si calculamos el l´ımite cuando n tiende a infinito conoceremos el comportamiento a largo plazo (asint´otico) de la soluci´on. Es, en cierto sentido, equivalente a dibujar su diagrama de tela de ara˜ na. Veamos un par de ejemplos antes de seguir adelante. Ejemplo: Continuando con el ejemplo inicial, 2 xn+1 = xn + 2 3 tenemos, usando la f´ ormula (10.7) n n n 1 − 32 2 2 xn = 0 · +2 =6 1− 2 3 3 1− 3
10.2. ECUACIONES LINEALES Y AFINES.
85
Ya sabemos que el punto fijo de este sistema es x∗ = 6 y, al calcular n 2 =6 l´ım xn = l´ım 6 1 − n→∞ n→∞ 3 tenemos anal´ıticamente el mismo resultado que obtuvimos con el diagrama de tela de ara˜ na: que la soluci´ on tiende a 6 mg de antibi´otico. Ejemplo: Considera ahora xn+1 = 3xn − 2
con x0 = 5
gracias a la f´ ormula (10.7) xn = 5 · 3n + (−2)
1 − 3n = 5 · 3n + (1 − 3n ) = 1 + 4 · 3n 1−3
Podemos calcular su punto de equilibrio resolviendo x = 3x − 2 ⇔ x∗ = 1 Sin embargo, ahora l´ım xn = l´ım 1 + 4 · 3n = +∞
n→∞
n→∞
Es decir, la soluci´ on tiende a alejarse del punto de equilibrio. Proposici´ on: Dadas la ecuaci´ on en diferencias xn+1 = rxn + g, con valor inicial x0 y su soluci´ on xn (que se escribe como (10.7) se cumple: 1. Si |r| < 1 entonces l´ım xn = g n→∞
1 1−r
2. Si r = 1 entonces l´ım xn = (signo de g)∞ n→∞
3. Si r > 1 entonces l´ım xn = +∞ n→∞
4. Si r < −1 entonces no existe l´ım xn n→∞
5. Si r = −1 entonces xn = −r + g, r + g, −r + g, · · · Demostraci´ on: Basta considerar la expresi´on (10.7) para la soluci´on de una ecuaci´ on af´ın homog´enea y calcular su l´ımite para los distintos valores de r.
86
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS
Ecuaciones afines no homog´ eneas. Supongamos que el t´ermino independiente en la ecuaci´on (10.4) depende de n. Si vamos al ejemplo inicial, ser´ıa el caso en el que la dosis depende del tiempo (periodo de 8 horas). Una ecuaci´on af´ın no homog´enea es de la forma xn+1 = rxn + g(n). (10.9) donde g(n) depende de n (y por eso se dice que la ecuaci´on es no homog´enea). Si seguimos el razonamiento que nos llev´o a (10.6), tenemos que en este caso la soluci´ on general viene dada por xn = rn x0 +
n−1 X
rk g(k)
(10.10)
k=0
10.3.
Ecuaciones aut´ onomas no lineales de primer orden: clasificaci´ on de puntos fijos y gr´ aficos de tela de ara˜ na.
Nos ocuparemos ahora de ecuaciones como las de (10.1) en las que f puede ser cualquier funci´ on. La definici´on de punto de equilibrio es la misma. Hemos visto que un punto de equilibrio puede atraer a las soluciones (como en el ejemplo introductorio) o no (como en el ejemplo). Con las ecuaciones lineales y afines fuimos capaces de calcular su soluci´on general en funci´ on de n y, usando l´ımites, determinar c´omo se compartaba a largo plazo la soluci´ on. Esto es de inter´es, por ejemplo, para enfermos cr´ onicos que se medican de por vida. Sin embargo, este procedimiento no es posible para casi todas las ecuaciones que no son lineales. Es decir, Cuando iterar una funci´on m´as complicada que una recta da lugar a situaciones m´as complejas. Por ejemplo, veremos que hay puntos de equilibrio que no son ni (totalmente) estables ni (totalmente) inestables. Estos equilibrios tienen su lectura en t´erminos ecol´ ogicos, como el conocido efecto Alle´e. Ahora nos ocuparemos de proporcionar un criterio anal´ıtico (basado en
´ ´ DE PUNTO 10.3. ECUACIONES AUTONOMAS NO LINEALES DE PRIMER ORDEN: CLASIFICACION c´alculos) para determinar la estabilidad de los puntos de equilibrio. Y para ello nos inspiraremos en lo que sabemos sobre las ecuaciones en diferencias afines aut´ onomas.
10.3.1.
Comportamiento cualitativo de una ecuaci´ on: puntos fijos y comportamiento asint´ otico.
Las ecuaciones en diferencias se utilizan con frecuencia para modelar fen´omenos naturales (como en el ejemplo inicial). La Naturaleza es compleja y, aunque los modelos simplifican la realidad, en muchas ocasiones son dif´ıciles de analizar. Como hemos dicho, en general, la u ´nica posibilidad para resolver una ecuaci´on en diferencias es, a partir del valor inicial, iterar la funci´ on que la define. En este caso, un aspecto de inter´es es conocer el comportamiento cualitativo del sistema. En el ejemplo introductorio y con ayuda del diagrama de tela de ara˜ na, es f´ acil convencerse de que 1. la ecuaci´ on tiene un u ´nico punto de equilibrio (que podemos calcular expl´ıcitamente). 2. independientemente de la cantidad inicial de antibi´otico que hubiera en el organismo, ´esta tiende a largo plazo (asint´oticamente) a la cantidad de equilibrio. Estos son, en esencia, los ingredientes de un estudio cualitativo del sistema. Vamos a poner apellidos a los puntos fijos de una ecuaci´on. Esta nomenclatura se usa tambi´en con las ecuaciones diferenciales. Los puntos de equilibrio que atraen o que repelen a las soluciones se llaman, respectivemente, sumidero (equilibrio estable) o fuente (equilibrio inestables). La idea que hay detr´as es que si la condici´on inicial est´a ”cerca” del equilibrio, la soluci´ on correspondiente tiende a dicho equilibrio (sumidero) o se aleja de ´el (fuente). A continuaci´on tienes las definiciones formales: Definici´ on 1. (Clasificaci´ on de puntos fijos I). Sea x∗ un punto fijo de xn+1 = f (xn ) Decimos que
(10.11)
88
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS x∗ es un sumidero o equilibrio estable si existe δ > 0 tal que |x0 − x∗ | < δ implica l´ım xn = x∗ . n→∞
x∗ es una fuente o equilibrio inestable si existe δ > 0 tal que |x0 − x∗ | < δ implica l´ım |xn − x∗ | > ,
n→∞
para cierto 0 < .
La estabilidad de un equilibrio de una ecuaci´on aut´onoma general puede conocerse, en primera instancia, analizando el diagrama de tela de ara˜ na. La forma de producirlo es an´aloga al caso de la recta. En la siguiente figura aparece en diagrama asociado a la ecuaci´on en diferencias xn+1 =
(xn )2 + 1 . 2
Sin embargo, hay otro m´etodo que no depende de hacer una representaci´on gr´ afica. Ya sabemos c´ omo trabajar en caso de que f sea una recta. Y tambi´en sabemos c´ omo aproximar una funci´on derivable en un punto mediante su recta tangente. Las siguientes figuras son un gr´afico de lamisma funci´on en la que hacemos zoom sobre el punto de equilibrio. F´ıjate que, cerca (muy cerca) del equilibrio, la gr´ afica de la funci´on parece una recta.
´ ´ DE PUNTO 10.3. ECUACIONES AUTONOMAS NO LINEALES DE PRIMER ORDEN: CLASIFICACION
Esto sugiere que, efectivamente, al menos para valores iniciales al punto de equilibrio las cosas van a funcionar de lamismaformaal iterar f (x) que al iterar su recta tangente al punto de equilibrio, cuya ecuaci´on es y(x) − f (x∗ ) = f 0 (x∗ )(x − x∗ ) ⇔ y(x) = f 0 (x∗ )x + x∗ (1 − f 0 (x∗ )). (10.12) Decir que la recta tangente (10.12) aproxima a f cerca de x∗ significa x ≈ x∗ ⇒ f (x) ≈ f 0 (x∗ )x + x∗ (1 − f 0 (x∗ )). Por tanto, xn+1 = f (xn ) ≈ f 0 (x∗ )xn + x∗ (1 − f 0 (x∗ )) ← recta af´ın. Cerca de un equilibrio, podemos estudiar la evoluci´on de las soluciones de una ecuaci´ on no lineal a trav´es de su linealizaci´on. Conocemos criterios de estabilidad sencillos para ecuaciones afines. Conviene tener en mente lo siguiente. Cuando la ecuaci´on en diferencias es af´ın, xn+1 = rxn + g,resulta que f (x) = rx + g y que f 0 (x) = r. Cuando |r| < 1 sabemos que el equilibrio de a ecuaci´ones un sumidero y, por
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS
90
contra, si |r| > 1 tenemos un sumidero. Adem´as,en el caso de una ecuaci´on no lineal, aproximamos la funci´on por su recta tangente en el punto de equilibrio. Por eso el siguiente criterio para el caso general no deber´ıa resultar soprendente Teorema(Clasificaci´ on de puntos fijos I). Considera la ecuaci´ on xn+1 = f (xn ) y su soluci´on de equilibrio x∗ . Entonces: si |f 0 (x∗ )| < 1 ⇒ x∗ es un sumidero. si |f 0 (x∗ )| > 1 ⇒ x∗ es una fuente. si |f 0 (x∗ )| = 1 ?? no podemos afirmar nada. Ejemplo: Calcula los puntos de equilibrio y su estabilidad de la siguiente ecuaci´ on en diferencias aut´onoma no lineal xn+1 =
2xn 1 + xn
sus puntos de equilibrio son las soluciones de la ecuaci´on x=
2x 1+x
que equivale a resolver x(1 + x) = 2x, es decir x2 − x = 0 y cuyas soluciones son x = 0, 1. Esos son los equilibrios o puntos fijos. Para determinar su estabilidad necesitamos conocer el valor de la derivada de 2x f (x) = en cada uno de ellos. Como 1+x f 0 (x) =
2 (1 + x)2
tenemos 1. f 0 (0) = 2 > 1 por tanto el equilibrio x∗ = 0 es inestable, es una fuente. 1 2. |f 0 (1)| = < 1 por tanto el equilibrio x∗ = 1 es nestable, es un 2 sumidero. A continuaci´ on se incluye tambi´en el diagrama de tema de ara˜ na
´ ´ DE PUNTO 10.3. ECUACIONES AUTONOMAS NO LINEALES DE PRIMER ORDEN: CLASIFICACION
Nos vamos a detener en un ejemplo relacionado con el caso |f 0 (x∗ )| = 1. Ejemplo: F´ıjate en los diagramas de tela de ara˜ na de la ecuaci´on en diferencias (xn )2 + 1 xn+1 = . 2 Cuando la condici´ on inicial la tomamos a la izquierda del equilibrio (pero mayor que cero) la soluci´ on tiende al equilibrio. Por contra, cuando la condici´ on inicial est´ a a la derecha del equilibrio la soluci´on se aleja de ´el.
Este es un ejemplo de equilibrio que no es ni estable ni inestable, sino semiestable por la izquierda.
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS
92
Conviene llamar la atenci´on sobre algunos hechos relacionados con las x2 + 1 derivadas primera y segunda de f (x) = : 2 x2 + 1 es tangente a la recta y = x en el punto de 2 ∗ equilibrio x (¿puedes calcular su valor?). Eso quiere decir que la derivada de f ese punto vale 1. Adem´as, para valores de x algo menores que x∗ la derivada de f (x) es menor que 1 y para valores de x mayores que x∗ la derivada de f (x) es mayor que 1. Por eso es estable por la izquierda de x∗ e inestable por su derecha. La curva y =
Lo anterior est´ a relacionado con el hecho de que f (x) es convexa. Y la curvatura de una funci´on se estudiacon el signo de su segunda derivada. Con estas ideas frescas en la cabeza, podemos pasar a formalizar los conceptosque acaban de aparecer. Definici´ on: (Clasificaci´ on de puntos fijos II). Sea x∗ un punto fijo de xn+1 = f (xn ). Decimos que x∗ es un semiestable por la izquierda si existe δ > 0 tal que • x0 ∈ (x∗ − δ, x∗ ) implica l´ımn→∞ xn = x∗ . • x0 ∈ (x∗ , x∗ + δ) implica l´ımn→∞ xn 6= x∗ . x∗ es un semiestable por la derecha si existe δ > 0 tal que • x0 ∈ (x∗ − δ, x∗ ) implica l´ımn→∞ xn 6= x∗ . • x0 ∈ (x∗ , x∗ + δ) implica l´ımn→∞ xn = x∗ . Observaci´ on: si f 00 (x∗ ) < 0 ⇒ f es c´oncava y f 0 decrece cerca de x∗ . si f 00 (x∗ ) > 0 ⇒ f es convexa y f 0 crece cerca de x∗ . Ejemplo: Podemos comprobar, para la ecuaci´on del ejemplo anterior x2 + 1 xn+1 = n que 2
´ ´ DE PUNTO 10.3. ECUACIONES AUTONOMAS NO LINEALES DE PRIMER ORDEN: CLASIFICACION 1. Sus puntos de equilibrio son las soluciones de x=
x2 + 1 2
es decir, hay que resolver 2x = x2 + 1 ⇔ x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. x2 + 1 2. Si f (x) = , entonces f 0 (x) = x y se cumple que f 0 (1) = 1, es 2 decir, el primer criterio no permite decidir sobresu estabilidad. 3. Como f 00 (x) = 1 > 0, resulta que f (x) esconvexa y el segundo criterio de estabilidad dice que el equilibrio es semiestable por la izquierda. Esto es algo que hab´ıamos comprobado usando el diagrama de tela de ara˜ a en un ejemplo anterior.
94
CAP´ITULO 10. ECUACIONES EN DIFERENCIAS
Cap´ıtulo 11
Ecuaciones diferenciales
95
96
11.1.
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
Introducci´ on: un ejemplo.
En el modelo m´ as simple de crecimiento de poblaciones, la velocidad de crecimiento en cualquier instante es proporcional al tam˜ no de la poblaci´on en dicho instante. Si N (t) es el tama˜ no de la poblaci´on en el instante t, t ≥ 0, entonces podemos expresar matem´aticamente esta relaci´on como dN = rN (t), t ≥ 0 dt Como mencionamos en temas anteriores, este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones aparecen frecuentemente en el modelado de procesos biol´ogicos. En este tema consideraremos ecuaciones del tipo dy = f (x)g(y) dx Esta ecuaci´ on diferencial es de primer orden, ya que solo aparece una derivada. M´ as espec´ıficamente, este tipo de ecuaciones se denomina de variables separadas, por motivos que veremos m´as adelante. Normalmente, este tipo de ecuaciones se dividen en dos tipos: dy = f (x), dx
dy = f (y) dx
Las segundas se usan frecuentemente en modelos biol´ogicos.
11.2.
Ecuaciones diferenciales y sus soluciones: forma est´ andar de una ecuaci´ on
La forma estandar de una ecuaci´on diferencial de primer orden viene dada por la expresi´ on: dy = f (t, y) dt
11.3. PROBLEMA DE VALOR INICIAL
97
La soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ser´a una funci´on que sustituida en la variable dependiente, satisface la igualdad para todos los valores de la variable independiente.
11.3.
Problema de valor inicial
Tal y como se mencion´ o en temas anteriores, un problema de valor inicial viene dado por una ecuaci´ on diferencial y un valor inicial para la variable dependiente. Por ejemplo, si la variable dependiente y depende de la variable independiente t, el valor inicial y(t0 ) estar´a dado en t = t0 : dy = f (t, y) dt y(t0 ) = y0 Ejemplo: Resolver el siguiente problema de valor inicial.
y 0 = t3 − 2 sin(t) y(0) = 3 Soluci´ on: y(t) =
11.4.
t4 4
+ 2 cos(t) + c
Soluci´ on de ecuaciones diferenciales
Volvamos al modelo de crecimiento de la introducci´on: dN = rN (t), t ≥ 0 dt Una posible soluci´ on de esta ecuaci´on es: N (t) = N0 ert , t ≥ 0
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
98
Para comprobarlo, podemos derivar N (t): dN = rN0 ert = rN (t), t ≥ 0 dt Vemos que en cualquier punto (t, N (t)) de la gr´afica de N (t), la pendiente es igual a rN (t). Una ecuaci´ on de primer orden indica el comportamiento de la derivada de la funci´ on. Por lo tanto, para encontrar la soluci´on de dicha ecuaci´on, tendremos que integrar una vez ambos miembros de la ecuaci´on. Como no siempre es posible integrar una funci´on, no siempre es posible obtener anal´ıticamente en forma expl´ıcita la soluci´on de una ecuaci´on diferencial.
11.4.1.
Ecuaciones de variables separadas
Comentaremos ahora un m´etodo general para resolver ecuaciones de la forma dy = f (x)g(y) dx 1. Dividimos ambos miembros por g(y) (suponiendo que g(y) 6= 0): 1 dy = f (x) g(y) dx 2. Separamos las variables de forma que cada una quede en un miembro de la ecuaci´ on. Para ello tratamos dx y dy como si fueran variables normales. Una vez hecho esto, integramos : Z Z 1 dy = f (x)dx g(y) Ejemplos de ecuaciones de variables separables dy dt
= f (t)
dy dt
= f (y) (Ecuaci´on aut´onoma).
dy dt
=
t+1 ty+t
´ DE UNA ECUACION ´ CON SEGUNDO MIEMBRO DEPENDIENTE SOLO ´ 11.5. SOLUCION DE T99 Ejemplo de ecuaci´ on no separable: dy dt
11.4.2.
= xy + 1
Definici´ on de soluci´ on general y soluci´ on particular
Soluci´ on general: Es la soluci´ on de la ecuaci´on diferencial cuando no nos proporcionan un valor inicial con el que despejar las constantes de integraci´ on. Z dy = f (t), y(t) = f (t)dt + C dt Soluci´ on particular: Es la soluci´on proporcionada al resolver del problema de valor inicial y, por tanto, en dicha soluci´on no aparece ninguna constante. dy = f (t) dt y(t0 ) = y0 Z t y(t) = f (t)dt + y0
(11.1) (11.2) (11.3)
t0
Ejemplo: Resolver la ecuaci´ on diferencial de variables separadas, dy = 1 − t + e−t , dt
11.5.
y(0) = 1
Soluci´ on de una ecuaci´ on con segundo miembro dependiente s´ olo de t
En muchas aplicaciones, la variable independiente representa el tiempo. Si la velocidad de variaci´ on de una funci´on depende s´olo del tiempo, la ecuaci´ on diferencial resultante se denomina ecuaci´ on diferencial puramente temporal. Dicha ecuaci´on es de la forma, dy = f (t), t ∈ I dt
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
100
Siendo I el intervalo (t0 , t) y t el tiempo. Seg´ un se vi´o en temas anteriores, la soluci´ on de la ecuaci´on diferencial anterior se puede expresar como, Z
t
y(t) − y(t0 ) =
Z
x
f (u)du → y(t) = t0
f (u)du + y(t0 ) t0
Ejemplo: Suponga que el volumen V (t) de una c´elula en el instante t var´ıa de acuerdo con dV = sin(t), con V (0) = 3. dt Calcule V (t).
11.6.
Ecuaciones aut´ onomas
Muchas de las ecuaciones que modelan situaciones biol´ogicas son de la forma, dy = g(y) dx Donde el miembro derecho no depende expl´ıcitamente de x. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales aut´ onomas. Podemos resolverlas por separaci´on de variables: Z
dy = g(y)
Z dx
Estudiaremos dos casos: 1. Casos en los que el segundo miembro de la ecuaci´on toma la forma g(y) = k(y − a). Ejemplo de este caso es el modelo Maltusiano de crecimento poblacional dN dt = rN (t). Es importante notar que en este modelo la velocidad de crecimiento de la poblaci´on es directamente proporcional al n´ umero de individuos de dicha poblaci´on. Representa el crecimiento t´ıpico de una poblaci´on sin depredadores naturales.
´ 11.6. ECUACIONES AUTONOMAS
101
Para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo, podemos operar para separar las variables en cada miembro de la ecuaci´on e integrar: Z Z dy dy = k(y − a) → = kdx → y = Cekx + a dx y−a Si conocemos un punto (x0 , y0 ) de la soluci´on, entonces podemos despejar C. Para obtener este resultado, hemos dividido por (y − a). Esto solo se dy puede hacer si y 6= a. Si y = a, entonces dx = 0 y la funci´on constante y = a es la soluci´on. 2. Casos en los que el segundo miembro de la ecuaci´on toma la forma g(y) = k(y − a)(y − b). Ejemplo de este caso es la ecuaci´on log´ıstica dN N dt = rN (1 − k ), con N (0) = N0 . Vemos que en este caso la velocidad de crecimiento poblacional tambi´en es directamente proporcional al n´ umero de individuos de dicha poblaci´on, pero est´a limitada por un t´ermino que representa los recursos del ecosistema donde la poblaci´ on est´ a creciendo. Vemos que la velocidad de crecimiento disminuye al aumentar la poblaci´on (debido al t´ermino (1 − Nk )) hasta llegar a ser cero cuando N = k. En ese punto, el crecimiento de la poblaci´ on se estanca al estar limitada por los recursos naturales existentes en el medio. Para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo, tambi´en debemos operar para separar las variables en cada miembro de la ecuaci´on e integrar. Sin embargo la integraci´on no ser´a tan sencilla como en el caso anterior. Al separar las variables obtenemos lo siguiente: dy = k(y − a)(y − b) → dx
Z
dy = (y − a)(y − b)
Z kdx
Aqu´ı se presentan dos posibilidades a) Si a = b, Z
dy = (y − a)2
Z kdx
En este caso, la integral es f´acilmente resoluble. El resultado es 1 1 − (y−a) = kx, de donde podemos despejar el valor y = − kx +a
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
102
b) Si a 6= b, descomponemos en fraciones simples: Z
dy = (y − a)(y − b)
Z
A B ( + )dy = (y − a) (y − b)
Z kdx
En este caso, tendremos que despejar los valores de A y B. Sabemos que igualando los denominadores obtenemos A(y − b) + B(y − a) = 1. De esta expresi´on podemos obtener un sitema de dos ecuaciones ecuaciones con dos inc´ognitas que, una 1 1 vez resuelto, proporciona los valores A = a−b y B = b−a . Por lo tanto, la ecuaci´on diferencial queda, 1 a−b
Z
1 1 dy + y−a b−a
Z
1 dy = kx, y−b
que integrando resulta, 1 1 ln(y − a) − ln(y − b) = kx. a−b a−b Despejando el valor de y, obtenemos, ln
11.7.
y−a y−b
kx
kx kx y−a a − be a−b = → = e a−b → y = kx . a−b y−b 1 − e a−b
M´ etodos gr´ aficos para analizar el comportamiento a largo plazo y la estabilidad de las soluciones de una ecuaci´ on diferencial
Desafortunadamente, muchas veces es imposible obtener una soluci´on expl´ıcita a una ecuaci´ on diferencial. Es decir, es imposible obtener una f´ ormula que relacione x e y. A pesar de esto, podemos llegar a conocer mucho acerca de la soluci´on mediante m´etodos gr´aficos y mediante m´etodos num´ericos.
´ ´ 11.7. METODOS GRAFICOS PARA ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO Y LA EST
11.7.1.
Campos de pendientes.
Tal y como su nombre indica, los campos de pendientes nos muestran el valor de las pendientes de las rectas tangentes a la soluci´on de una ecuaci´ on diferencial. Para cada valor de (x, y), obtendr´ıamos el valor de una pendiente. Este m´etodo nos permite encontrar las soluciones de una ecuaci´ on diferencial de forma gr´ afica. Para ello, para cada valor de (x, y) representamos el valor de la pendiente a trav´es de un peque˜ no segmento. Para hacer esta repreentaci´ on, tan solo tenemos que darnos cuenta de que la ecuaci´ on diferencial nos proporciona el valor de la derivada de y en cada punto del plano XY . Dicha derivada es, precisamente, la pendiente de la recta tangente a la soluci´ on en cada punto. El campo de pendientes representa todos los posibles valores de la soluci´on general en el plano XY . Para seleccionar la soluci´ on particular, tendremos que examinar la soluci´on general cerca del valor inicial proporcionado. Ejemplo: El campo de pendientes de la funci´on y 0 = x + y, est´a representado en la figura 11.1 con el valor inicial y(0) = 1 marcado en rojo.
11.7.2.
M´ etodo de las isoclinas.
Una is´ oclina es una linea que une los puntos con igual pendiente de una funci´on. De esta manera, el m´etodo de las isoclinas nos permite encontrar gr´aficamente las posibles soluciones de una ecuaci´on diferencial. Si representamos el campo de pendientes de una ecuaci´on diferencial es muy f´acil representar las isoclinas, sin m´as que unir los puntos del espacio que presentan igual pendiente de la recta tangente a la soluci´on. Ejemplo: Las isoclinas de la funci´on y 0 = x + y, est´an representadas en la figura 11.2.
104
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
Figura 11.1: Campo de pendientes de la funci´on y 0 = x + y, con el valor inicial y(0) = 1 marcado en rojo.
´ ´ 11.7. METODOS GRAFICOS PARA ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO Y LA EST
Figura 11.2: Isoclinas de la funci´on y 0 = x + y.
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
106
11.8.
Un m´ etodo num´ erico para encontrar la soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial de primer orden en un punto: el m´ etodo de Euler.
La idea b´ asica de este m´etodo es que los campos de pendientes pueden usarse para encontrar aproximaciones num´ericas de las soluciones de ecuaciones diferenciales en un punto determinado del espacio. Por lo tanto, podemos decir que el m´etodo de Euler es un m´etodo num´erico para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Se basa en la discretizaci´ on de la derivada a trav´es del desarrollo en Serie de Taylor:
f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) → f 0 (x0 ) ≈
f (x) − f (x0 ) y − y0 = x − x0 x − x0
Una vez obtenida una aproximaci´on de la derivada cerca del punto x0 , podemos sustituir dicha expresi´on en la ecuaci´on diferencial que queremos resolver. Si esta ecuaci´on tiene, por ejemplo, la expresi´on: dy = g(x, y) dx Sustituimos
dy dx
por su valor discretizado:
y − y0 yn+1 − yn = g(x, y) → = g(x, y) → yn+1 = yn + ∆x · g(xn , yn ) x − x0 xn+1 − xn De esta forma, podemos obtener el valor de y para cualquier valor de x, siempre y cuando dispongamos de un valor inicial que sustituir en la ecuaci´ on recursiva anterior. Ejemplo: Utiliza el m´etodo de Euler para aproximar el problema de valor inicial dy = x − y2, dx con y(1) = 0, en x = 1,2. Para ello utiliza ∆x = 0,1.
´ 11.9. METODOS ANAL´ITICOS PARA ESTUDIAR EL COMPORTAMIENTO A LARGO PLAZO Y LA ES
11.9.
M´ etodos anal´ıticos para estudiar el comportamiento a largo plazo y la estabilidad de las soluciones de una ecuaci´ on diferencial
En secciones anteriores hemos estudiado las ecuaciones au´onomas. Estas ecuaciones tienen un miembro derecho que solo depende de la variable y. Un ejemplo era la ecuaci´ on del modelo log´ıstico, dN N = rN 1 − , dt K con una condicion inicial N (0) = N0 . En esta ecuaci´on, si N = K o si N = 0, entonces dN dt = 0, lo que implica que N (t) = cte. Las soluciones constantes forman una clase especial de soluciones de las ecuaciones aut´ onomas que se denominan puntos de equilibrio o simplemente equilibrios.
11.9.1.
Equilibrios
Si consideramos ecuaciones aut´ onomas de la forma dy = g(y), dx los puntos de equilibrio nos proporcionan informaci´on acerca del comportamiento a largo plazo de la soluci´on de una ecuaci´on diferencial aut´onoma. Si y0 satisface la ecuaci´ on g(y0 ) = 0, entonces y0 es un equilibrio de dy = g(y) dx
11.9.2.
Estabilidad: Lineas de fase
(Analizar diagramas comentados en clase)
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
108
11.9.3.
Clasificaci´ on de puntos de equilibrio
Podemos clasificar los puntos de equilibrio de la siguiente manera: y0 es un sumidero si cualquier soluci´on con y0 suficientemente pr´ oximo a y0 tiende hacia ´el cuando t aumenta. y0 es una fuente si cualquier soluci´on con y0 suficientemente pr´ oximo a y0 se aleja de ´el cuando t aumenta. Si un punto de equilibrio no es ni un sumidero ni una fuente, se denomina nodo. Los nodos se pueden clasificar en semiestables a la derecha o semiestables a la izquierda.
11.9.4.
Teorema de linealizaci´ on
Supongamos que y0 es un punto de equilibrio de la ecuaci´on diferencial dy on diferenciable continuamente. Entonces, dt = f (y) donde f es una funci´ Si f 0 (y0 ) < 0, entonces y0 es un sumidero. Si f 0 (y0 ) > 0, entonces y0 es una fuente. Si f 0 (y0 ) = 0 o si f 0 (y0 ) no existe, entonces necesitamos informaci´on adicional para determinar el tipo de y0
11.10.
Ecuaciones diferenciales lineales
En temas anteriores hemos estudiado t´ecnicas para encontrar soluciones expl´ıcitas de ecuaciones diferenciales de variables separadas. Aunque muchos problemas interesantes conducen a ecuaciones de tipo diferencial, la mayor parte de ellas no pueden separarse. En este tema estudiaremos uno de los procedimientos usuales para resolver ecuaciones diferenciales lineales. De forma general, estas ecuaciones ser´an del tipo: dy = g(t) · y + r(t) dt
11.10. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
109
Podemos ver que el miembro derecho de esta ecuaci´on se corresponde con la ecuaci´ on de una recta en funci´on de y. Es decir, una ecuaci´on diferencial de primer orden es lineal si puede escribirse en la forma, dy = g(t) · y + r(t) dt donde g(t) y r(t) son funciones arbitrarias que dependen de t. Un ejemplo puede ser, dy = t2 · y + cos(t) dt Donde g(t) = t2 y r(t) = cos(t). A veces es necesario alguna operaci´on previa para determinar si una ecuaci´ on es de tipo lineal. Por ejemplo,
ty + 2 =
dy − 3y dt
puede reescribirse como, dy = (t + 3)y + 2. dt Algunas ecuaciones caen en varias categor´ıas simultaneamente. Por ejemplo, dy = −2y + 8 dt es lineal con g(t) = −2, r(t) = 8. La ecuaci´on tambi´en es separable por ser una ecuaci´ on aut´ onoma. La palabra lineal en el nombre de la ecuaci´on se refiere al hecho de que la variable dependiente y aparece en la ecuaci´on elevada solo a la primera potencia. La ecuaci´ on dy = y2 dt
110
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
No es lineal ya que no puede ser reescrita en la forma
dy dt
= g(t) · y + r(t).
Otros ejemplos de ecuaciones lineales son, dP = e2t P − sin(t), dt dw = sin(t) · w. dt Un ejemplo de ecuaci´ on no lineal es, dz = t sin(z). dt
11.10.1.
Resoluci´ on de ecuaciones diferenciales lineales
Para resolver una ecuaci´on diferencial lineal ser´a necesario encontrar un factor integrante. Para ello la reescribimos primero como dy(t) + a(t) · y(t) = r(t), dt donde a(t) = −g(t). Esto se parece a la derivada de un producto, que tiene la forma d(g(x) · h(x)) dg(x) dh(x) = · h(x) + g(x) · . dx dx dx Para tener la derivada de un producto, podemos multiplicar toda la ecuaci´ on diferencial por la funci´on µ(t), µ(t)
dy(t) + µ(t)a(t)y(t) = µ(t)r(t) dt
Aplicando la regla del producto para la derivada, enunciada anteriormente, obtenemos, d(µ(t) · y(t)) dµ(t) dy(t) = y(t) + µ(t) dt dt dt Ahora debemos preguntarnos c´omo encontrar µ(t). Para encontrarlo disponemos de dos condiciones:
d(µ(t) · y(t)) dµ(t) dy(t) = y(t) + µ(t) dt dt dt
11.10. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
111
d(µ(t) · y(t)) dy(t) = µ(t) + µ(t)y(t)a(t) dt dt Puesto que queremos que µ(t) satisfaga ambas condiciones, hacemos
µ(t)
dy(t) dµ(t) dy + y(t) = µ(t) + µ(t)y(t)a(t) dt dt dt
Cancelando el primer t´ermino, que aparece en ambos miembros, obtenemos: dµ(t) y(t) = µ(t)y(t)a(t), dt que es otra ecuaci´ on diferencial de variables separadas y cuya soluci´on es, µ(t) = e
R
adt
,
donde hemos elegido como constante de integraci´on 0, de forma arbitraria. Una vez que conocemos µ(t), podemos reescribir la ecuaci´on inicial
µ(t)
dy + µ(t)a(t)y(t) = µ(t)r(t) dt
como, d(µ(t) · y(t)) = µ(t)r(t). dt Integrando ahora ambos miembros de la ecuaci´on, obtemos que Z
y, por tanto
µ(t) · y(t) =
µ(t)r(t)dt
1 y(t) = µ(t)
µ(t)r(t)dt.
Z
112
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
Siguiendo esta estrategia hemos encontrado una funci´on µ(t), denominada factor de integraci´ on o factor integrante que nos permite obtener una soluci´ on para la ecuaci´on diferencial inicial. El motivo es que si multiplicamos la ecuaci´on original por este factor, podemos resolverla por integraci´ on. Atendiendo a las indicaciones dadas con anterioridad, para calcular la soluci´ on expl´ıcita de una ecuaci´on lineal del tipo, dy + a(t)y = r(t), dt procedemos seg´ un los siguientes pasos: 1. Calculamos el factor de integraci´on µ(t) = e
R
a(t)dt
.
2. Multiplicamos ambos miembros de la ecuaci´on diferencial lineal por dicho factor de integraci´on. 3. Procedemos a su integraci´on. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuaci´on diferencial dy 2 + y =t−1 dt t
11.10.2.
Aplicaci´ on: Modelo de un compartimento
Ejemplo de modelo de un compartimento: Supongamos un estanque que inicialmente tiene un volumen inicial v0 . En el instante inicial t = 0 el agua del estanque est´a limpia. El estanque tiene 2 corrientes de entrada que fluyen hacia ´el, la A y la B. Una tercera corriente C, fluye fuera del estanque. Supongamos que de la corriente A fluye un volumen VA por d´ıa hacia el estanque. De la corriente B fluye un volumen VB por d´ıa hacia el estanque. A trav´es de la corriente C se desaloja el agua que entra traves de A y B, de forma que el volumen de agua que hay en el estanque es siempre constante. El agua aportada por la
11.10. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
113
corriente A est´ a contaminada. El contaminante tiene una concentraci´on en el agua de CA . Asumimos que la concentraci´on de contaminante en cada instante de tiempo es constante dentro del estanque (el agua est´a bien mezclada con el contaminante). Aparte de esto, un d´ıa empieza a arrojarse al estanque un volumen Vt de tierra, que va reduciendo el volumen del estanque d´ıa a d´ıa. Para que el estanque no se desborde, se ajusta el volumen que sale por C a VC . ¿Cual es la cantidad de contaminante que hay en el interior del estanque en un instante t?
114
CAP´ITULO 11. ECUACIONES DIFERENCIALES
Cap´ıtulo 12
Funciones de varias variables
115
116
12.1.
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Introducci´ on: un ejemplo.
Hasta ahora hemos manejado u ´nicamente funciones de una u ´nica variable independiente: y = f (x) Sin embargo, enmuchas ocasiones el comportamiento de una variable depende de m´ as de dos o m´as variables. Un ejemplo geom´etrico es el del volumen de un cilindro circular recto, que depende de su radio r y de su altura h como sigue V (r, h) = πr2 h, que es una funci´ on de 2 variables. O el volumen de un s´olido rectangular, que es una funci´ on de 3 variables V (l, w, h) = lwh. La notaci´ on para las funciones de 2 o m´as variables es similar a la utilizada para una variable. Por ejemplo, z = f (x, y) = x2 + xy, indica que la variable z depende de las variables independientes x e y, y que esa dependencia est´a descrita por la funci´on f . La situaci´on es an´aloga para funciones de 3 variables w = f (x, y, z) = x + 2y − 3z y as´ı sucesivamente. Nos centraremos en el estudio de algunos aspectos de las funciones de dos variables independientes.
12.2.
Funciones reales de dos variables
Las funciones de una variable est´an definidas en intervalos que son, grosso modo, tramos de la recta real. Considerar dos variables independientes x e y nos lleva a trabajar en el plano real. Nos referimos al conjunto de pares
12.2. FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES
117
de n´ umeros (x, y) en los que tanto x como y son n´ umeros reales. Escribiremos (x, y) ∈ R2 para referirnos a cada uno de los puntos del plano. Definici´ on: Sea D un conjunto de puntos del plano. Entonces Si a cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un u ´nico n´ umero real f (x, y), se dice que f es funci´ on de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) es el recorrido de f . Para la funci´ on z = f (x, y), llamamos variables independientes a x e y, y variable dependiente a z. Definiciones an´ alogas se aplican a funciones de 3, 4 o, en general, n variables. Los dominios estar´ an constituidos por conjuntos de valores (x1 , x2 , · · · , xn ), con cada xi ∈ R. Ejemplo: dominio de varias funciones el dominio de la funci´ on f (x, y) = x2 + y 2 es R2 , ya que dados x e y reales sus cuadrados est´an definidos y podemos sumarlos. Sin embargo, el dominio de la funci´on, f (x, y) = ln(xy) es x · y ∈ R+ , ya que el argumento del logaritmo debe ser estr´ıctamente positivo. Esto incluye las regiones del plano en las que tanto x como y son, simult´aneamente, positivos o negativos.
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
118
p Ejemplo: El dominio de f (x, y) = 16 − x2 − y 2 es el conjunto de puntos los que el radicando es no nulo, es decir, que la funci´on est´a definida en la regi´ on A = (x, y) ∈ R2 ; 16 ≥ x2 + y 2 Por otro lado, el recorrido de esta funci´on es [0, 4], ya que cuando x e y son tales√ que 16 − x2 − y 2 = 0 la funci´on vale 0, cuando x = y = 0 la funci´on vale 16 = 4. Adem´ as, para cualquier valor z0 entre 0 y 4 existen puntos (x, y) tales que f (x, y) = z0 . Veamos esta u ´ltima afirmacin; recuerda que z0 es cualquier n´ umero entre 0 y 4, es decir, que lo podemos suponer conocido: p f (x, y) = z0 ⇔ 16 − x2 − y 2 = z0 ⇔ 16−x2 −y 2 = z02 ⇔ 16−z02 = x2 +y 2 . Y resulta que la igualdad pde m´as a la derecha describe a los puntos de la circumferencia de radio 16 − z02 , que est´a en el conjunto A.
12.3.
Propiedades y representaci´ on gr´ afica
Las funciones de varias variables se pueden combinar igual que las de una variable; formalmente, las podemos sumar (restar), multiplicar o dividir: Suma o diferencia: (f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y) Producto: (f · g)(x, y) = f (x, y) · g(x, y) Cociente:
f (x, y) f (x, y) = , g g(x, y)
g(x, y) 6= 0
Sin embargo, no es posible formar la composici´on de funciones de varias variables. Por ejemplo, consideremos las funciones de dos variables z1 = f (x, y) = x + 3y
z2 = g(x, y) = x2 − cos(x + y).
Ante la idea de componerlas, digamos, de aplicar g al resultado de aplicar f al par de puntos (x, y), de inmediato encontramosuna dificultad
´ ´ DE DOS VARIABLES 12.4. GRAFICA DE UNA FUNCION
119
insalvable: una vezque tenemos z1 = f (x, y), ¿d´onde sustituimos z1 en g,en la primera o en la segunda variable? Sin embargo, si g es una funci´ on de una sola variable, puede formarse la funci´on compuesta (g ◦ h)(x, y) = g(h(x, y)) puesto que el resultado de aplicar f es un n´ umero real y esta g precisa de un u ´nico argumento.
12.4.
Gr´ afica de una funci´ on de dos variables
Al igual que ocurr´ıa con las funciones de una variable, podemos aprender mucho sobre una funci´ on de dos variables dibujando su gr´afica. Conayuda de los ordenadores, representar una funci´on es una tarea sencilla. Definici´ on La gr´ afica de una funci´on de 2 variables es el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen z = f (x, y), con (x, y) en el dominio de f . Puede interpretarse geom´etricamente como una superficie en el espacio. p Ejemplo: ¿Cual es el recorrido de f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 ? Describir la gr´afica de f .
12.4.1.
Curvas de nivel
Otra forma de visualizar una funci´on de 2 variables consiste en utilizar las curvas de nivel o l´ıneas de contorno, a lo largo de las cuales el valor de f (x, y) es constante. Una curva de nivel es una curva en el plano OXY sobre la que la funcin toma un valor constante. Seguro que una b´ usqueda (de im´agenes) r´apida en Google u otro buscador del t´ermino curva de nivel. Ejemplos de curvas de nivel conocidas, son las isobaras que marcan puntos de presi´ on constante, o las isotermas, que marcan puntos de temperatura constante. Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivel correspondiendo a l´ıneas de altura constante sobre el nivel del mar. Los mapas de este tipo se llaman mapas topogr´ aficos. Un mapa de contorno permite interpretar la variaci´ on de z respecto de x e y gracias al espaciado
120
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
entre las curvas de nivel. Una separaci´on grande entre las curvas significa que z var´ıa lentamente, mientras que curvas de nivel muy juntas quieren decir que z cambia muy deprisa. Ejemplo: Dibujar un mapa de contorno para la superficie p f (x, y) = 64 − x2 − y 2 , utilizando curvas de nivel f (x, y) = c.
12.4.2.
Superficies de nivel
Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se a˜ nade una dimensi´ on. Si f es una funci´on de 3 variables y c una constante, la gr´afica de la ecuaci´ on f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la funci´on f . Ejemplo: Describir las superficies de nivel de la funci´on f (x, y, z) = 4x2 + y 2 + z 2 Se trata de las superficies de la forma f (z, y, z) = k, con k in constante arbitraria (positiva). Por ejemplo, para k = 1 tenemos p f (x, y, z) = 4x2 + y 2 + z 2 = 1 ⇔ ± 1 − 4x2 − y 2 = z
12.5.
L´ımites y continuidad
Al igual que para funciones de una variable, para funciones de varias variables es necesario estudiar conceptos tales como el de l´ımite o continuidad. Como ya hemos comentado, las funciones de varias variables permiten expresar, a trav´es de una f´ormula, una variable (dependiente) en funci´on de otras (independientes). Por ejemplo, la conocida expresi´on P V = nRT permite, para un gas perfecto, relacionar la presi´on P a la que est´a, el volumen V que ocupa y la temperatura T a la que se encuentra (n es el n´ umero de moles y R es la constante universal de los gases (su valor var´ıa en funci´ on de las unidades en las que se expresa.). Podemos expresar el volumen como funci´ on de la presi´on y la temperatura V (P, T ) = nR
T P
12.5. L´IMITES Y CONTINUIDAD
121
As´ı, nos preguntamos, para una temperatura concreta T0 , qu´e sucede si aumenta mucho la presi´ on, es decir, l´ım V (T0 , P )
P →∞
o de qu´e forma deben aumentar presi´on y temperatura para que el volumen no varie. La definici´ on de continuidad en un punto para funciones de varias variables es an´aloga a la de funciones de una variable: se trata de que el valor dela funci´on de dicho punto coincida con el l´ımite de la funci´on en ese punto. Sin embargo, probar rigurosamente que una funci´on devarias variables es continua puedeser una tarea bien compleja, y no vamos a entrar en ella. El motivo es elsiguiente: para funciones de una variable, a cada punto de la recta, esencialmente, s´ olo nos podemos aproximar o por su izquierda o por su derecha (lo que en su momento llamamos l´ımites laterales). Pero cuandoentran en uego varias variables, a cada punto nos podemos acercar por muchos caminos distintos. Y esto complica enormemente las cosas. Aunque no entremos a fondo en la cuesti´on, tenemos la siguiente Definici´ on intuitiva de l´ımite en 2 variables. Decimos que una funci´on de dos variables f (x, y) tiene l´ımite L en un punto (x0 , y0 ), si la funci´on tiende a L sea cual sea la direcci´ on que tomemos al aproximarnos a (x0 , y0 ). Ejemplo: Calcular el l´ımite, x2 − y 2 , (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım
a trav´es de las trayectorias (x, 0) e (0, y). Cuando nos aproximamos por puntos que est´an en el eje OX tenemos que hacer y = 0 y tenemos x2 = 1. (x,0)→(0,0) x2 l´ım
Cuando nos aproximamos por puntos que est´an en el eje OY lo que hacemos es poner x = 0 y tenemos −y 2 = −1. (0,y)→(0,0) y 2 l´ım
122
12.6.
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Derivadas parciales.
x2 y 2 Vamos a considerar la funci´on f (x, y) = 15 − − cuya gr´afica, cuando 9 4 −7 ≤ x ≤ 7, −5 ≤ y ≤ 5 aparece a continuaci´on:
Supongamos que la variable y es constante y vale y = −4. Entonces la x2 (−4)2 x2 funci´ on f pasa a ser f (x, −4) = 15 − − = 11 − , es decir, una 9 4 9 funci´ on de una variable. La hemos representado, en trazo marr´on junto con f (x, y) en la siguiente figura
Podemos, por ejemplo, calcular la tasa de variaci´on de z = f (x, −4) media de f cuando x pasa de valer x0 a valer x1 e y = −4 f (x1 , −4) − f (x0 , −4) x1 − x0
12.6. DERIVADAS PARCIALES.
123
Figura 12.1: Superficie z = f (x, y), curva z = f (x, −4). Tambi´en podemos calcular la tasa de variaci´on instant´anea en x = x∗ cuando y es constante (y = −4). Y la calculamos de la misma manera que lo hicimos para funcionesde una u ´nica variable: l´ım
x→x∗
f (x, −4) − f (x∗ , −4) f (x∗ + ∆x, −4) − f (x∗ , −4) = l´ım ∆x→0 x − x∗ ∆T
Este ejemplo justifica la siguiente definici´on general: Definici´ on Sea f : A ⊂ R2 → R una funci´on y (x0 , y0 ) ∈ A. Si existen los l´ımites f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) := l´ım = l´ım x→x0 ∆x→0 ∂x x − x0 ∆x ∂f (x0 , y0 ) f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) := l´ım = l´ım y→y ∆y→0 ∂y y − y0 ∆y 0 se dice que f admite derivadas parciales respecto de x e y en el punto (x0 , y0 ).
124
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Esta definici´ on significa que para calcular fx debemos considerar y como constante y derivar respecto a x. An´alogamente, para calcular fy debemos considerar x como constante y derivar respecto a y. Para la derivada parcial respecto de x se emplean, por ejemplo, las notaciones ∂f ∂f (x0 , y0 ) = = fx (x0 , y0 ) = Dx f (x0 , y0 ) ∂x ∂x (x0 ,y0 ) y an´ alogamente para las derivadas respecto de la variable y.
Interpretaci´ on geom´ etrica Si y = y0 , entonces z = f (x, y0 ) es la curva de intersecci´on de la superficie z = f (x, y) con el plano y = y0 . Por tanto, fx (x0 , y0 ) es la pendiente de la recta tangente a esa curva en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). x2 y 2 − e 9 4 y = −4. Vamos a calcular la recta tangente a z = f (x, y) en el punto x2 (2, −4) paralela al eje OY . Ha quedado claro que f (x, −4) = 11 − es 9 una funci´ on de una variable; la recta tangente a su gr´afica (la curva marr´ on de la figura 12.1) en el punto (x, z) = (2, 11 − 4/9) es z = 11 − 4/9 − 2x a representada en la siguiente figura (hay 9 (x − 2), y est´ que a˜ nadir la condici´ on y = −4) Volvamos al ejemplo que tra´ıamos, con z = f (x, y) = 15 −
An´ alogamente, si x = x0 , z = f (x0 , y) es la curva de intersecci´on de la superficie z = f (x, y) con el plano x = x0 . Por tanto, fy (x0 , y0 ) es la pendiente de esa curva en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Por lo tanto, fx (x0 , y0 ) y fy (x0 , y0 ) nos proporcionan las pendientes de la superficie en las direcciones x e y. Hasta el momento, hemos representado habitualmente la superficies en el espacio mediante ecuaciones de la forma z = f (x, y), que representa la ecuaci´ on de una superficie S. A partir de ahora, conviene recurrir a una representaci´ on m´ as general de la forma F (x, y, z) = 0.
12.6. DERIVADAS PARCIALES.
125
Figura 12.2: Superficie z = f (x, y) y recta tangente (en negro) a la curva z = f (x, −4) en x = 2
Una superficie dada por z = f (x, y), podemos convertirla a la forma general, sin m´ as que definir F como
F (x, y, z) = f (x, y) − z.
Introducci´ on Puesto que F (x, y) − z = 0, podemos considerar S como la superficie de nivel de F dada por
F (x, y, z) = 0,
que es una ecuaci´ on alternativa de la superficie S. Ejemplo: Describir la superficie de nivel F (x, y, z) = 0 para la funci´on F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 4
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
126
12.7.
Gradiente
El vector gradiente Podemos agrupar las dos (en el caso de una funci´on de dos variables) derivadas parciales de la funci´on f en el punto (x0 , y0 ) en un vector, conocido como gradiente ∇f (x0 , y0 ) := (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 )) . Tambi´en se usa la notaci´on gradf (x, y). Observa que el gradiente es un vector del plano (tiene dos componentes), no del espacio. Aunque no lo demostraremos, se puede probar que el vector gradiente es perpendicular a las curvas de nivel. El vector gradiente indica la direcci´on de m´axima variaci´on de la funci´on T en cualquier punto. Por ejemplo, retomemos la funci´on P (T, V ) = nR V que describe la presi´ on que ejercen n model de un gas ideal confinado en un volumen V a temperatura T . Parece claro que tanto aumentar la temperatura como disminuir el volumen del recipiente hacen crecer la presi´ on. Pero, para una temperatura y volumen dados, ¿en qu´e proporci´on debo hacerlos variar (conjuntamente) para observar na variaci´on en la presi´ on lo m´ as brusca posible? Esa pregunta la podemos responder con el gradiente nR −nRT ∇P (T, V ) = (PT (T, V ), PV (T, V )) = , . V V2 En concreto, el cociente entre las dos componentes del vector gradiente nR V −nRT V2
=
−V 3 T
dos dice en qu proporci´on hay que aumentar temperatura y
volumen para que la variaci´on en la presi´on sea m´axima (lo m´as rpida posible). En realidad el gradiente se puede calcular de una funci´on de cualquier n´ umero de variables, siempre y cuando existan las derivadas parciales. El particular, existe el el gradiente ∇F de F (x, y, z) que tambi´en es perpendicular (normal) a las superficies de nivel. Es necesario darse cuenta de que ∇f (x, y) es un vector en el plano y ∇F (x, y, z) es un vector en el espacio. El vector gradiente marcar´a la direcci´ on de m´ axima variaci´on de la funci´on en cualquier punto.
127
12.7. GRADIENTE Ejemplo: Hallar las derivadas parciales y el gradiente de f (x, y) = 3x − x2 y 2 + 2x3 y Tenemos fx (x, y) = 3−2xy 2 +6xy
fy (x, y) = −2x2 y+2x3
∇f (x, y) = (3−2xy 2 +6x, −2x2 y+2x3 )
Plano tangente De hecho podemos utilizar ∇F para calcular la ecuaci´on del plano tangente a la superficie definida por F (x, y, z) = 0 en el punto (x0 , y0 , z0 ). Definici´ on del plano tangente. Sea F diferenciable en un punto P (x0 , y0 , z0 ) de la superficie S dada por F (x, y, z) = 0, con ∇F (x0 , y0 , z0 ) 6= 0: El plano que pasa por P es normal a ∇F (x0 , y0 , z0 ) se llama plano tangente a S en P . La recta que pasa por P con la direcci´on ∇F (x0 , y0 , z0 ) se llama recta normal a S en P . Ecuaci´ on del plano tangente Si F es diferenciable en (x0 , y0 , z0 ), una ecuaci´ on del plano tangente a la superficie dada por F (x, y, z) = 0 en (x0 , y0 , z0 ) es
Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0 Puesto que F (x, y, z) = f (x, y) − z, entonces Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) − (z − z0 ) = 0
128
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Derivadas direccionales Definici´ on Sea f : A ⊂ R2 → R una funci´on y (x0 , y0 ) ∈ A. Sea ~v = (v1 , v2 ) un vector no nulo de R2 . La derivada en la direcci´on de ~v es, si existe, el l´ımite f (x0 + hv1 , y0 + hv2 ) − f (x0 , y0 ) h→0 h l´ım
Si k~v k = 1 (se dice que el vector es unitario, su longitud es 1) el l´ımite anterior se llama derivada direccional de f en (x0 , y0 ) en la direcci´on de ~v y se denota por D~v f (x0 , y0 ). Por si acaso, si un vector v tiene componentes v = (v1 , v2 ), su m´odulo kvk vale q kvk = v12 + v22 Adem´ as, para cualquier vector v no nulo de componentes v = (v1 , v2 ), el vector v1 v2 , kvk kvk tiene la misma direcci´on y sentido que v, pero longitud 1. Calcular la derivada seg´ un la definici´on puede resultar engorroso. Afortunadamente, el siguiente resultado relaciona el c´alculo de la derivada direccional (un l´ımite) con el gradiente y el producto escalar: Proposici´ on Sea f : A ⊂ R2 → R una funci´on y (x0 , y0 ) ∈ A. Sean ~v = (v1 , v2 ) un vector no nulo de R2 , ∇f (x0 , y0 ) el gradiente de f en (x0 , y0 ) y D~v f (x0 , y0 ) la derivada direccional de f en (x0 , y0 ) seg´ un ~v . Entonces D~v f (x0 , y0 ) = h∇f (x0 , y0 ), (v1 , v2 )i Ejemplo: Para un gas ideal, la presi´on en funci´on del volumen viene dada T P (T, V ) = nR para un n´ umero de moles n. Calcular la derivada V direccional seg´ un ~v = (4, 5) P (T, V ) en el punto T = 3, V = 10.
12.7.1.
Derivadas parciales de orden superior
Al igual que las funciones de una variable, la funcin derivada parcial es a su vez susceptible de ser derivada de nuevo respecto de cualquiera de las variables independientes:
129
12.7. GRADIENTE Derivada parcial segunda respecto a x: ∂2f ∂ ∂f = = fxx ∂x ∂x ∂x2 Derivada parcial segunda respecto a y ∂2f ∂ ∂f = = fyy ∂y ∂y ∂y 2 Derivada parcial cruzada o mixta ∂2f ∂ ∂f = fyx = ∂x ∂y ∂x∂y Derivada parcial cruzada o mixta ∂ ∂f ∂2f = = fxy ∂y ∂x ∂y∂x Igualdad de las derivadas parciales cruzadas
Se verifica lo siguiente: si f es una funci´on de x e y, con fxy , fy,x continuas en un entorno de (x0 , y0 ), entonces, fxy (x, y) = fyx (x, y), en ese entorno. Ejemplo: Calcular todas las derivadas parciales de segundo orden de 1. f (x, y) = 3xy 2 − 2y + 5x2 y 2 fx (x, y) = 3y 2 + 10xy 2 , fxx (x, y) = 10y 2 ,
fy (x, y) = 6xy + 10x2 y,
fxy (x, y) = 6y + 20xy,
fyy (x, y) = 6x + 10x2
2. g(x, y, z) = yex + xln(z) Ejemplo: El ´ area de un paralelogramo de lados adyacentes a y b, con ´angulo α entre ellos, viene dada por A = ab sin(α):
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
130
Calcular el ritmo de cambio de A respecto de a para a = 10, b = 20, y α = π6 . Calcular el ritmo de cambio de A respecto de α para a = 10, b = 20, y α = π6 .
12.7.2.
La regla de la cadena
Proposici´ on Sea f : A ⊂ R2 → R una funci´on de las variables (x, y) ∈ A tal que existen sus derivadas parciales. Supongamos adem´as que x e y dependen a su vez de la variable t de modo que x(t) e y(t) son tambi´en derivables. Entonces 1. La funci´ on f es una funci´on de una s´ola variable (t). 2.
∂f dx ∂f dy d f (t) = + dt ∂x dt ∂y dt
12.8.
C´ alculo de extremos relativos
La noci´ on de extremo relativo se extiende a funciones de varias variables sin problemas (ver figura 12.3).
Figura 12.3: Funci´ on con dos m´aximos y dos m´ınimos relativos. De ellos, uno es m´ aximo absoluto y otro un m´ınimo tambin absoluto
´ 12.8. CALCULO DE EXTREMOS RELATIVOS
131
La idea intuitiva para, por ejemplo, un m´aximo relativo, es que la funci´on toma en ese punto un valor m´ as grande en el los puntos que hay alrededor. Esto se formaliza en la siguiente definici´on. Definici´ on Sea f : A ⊆ R2 → R una funci´on y sea (x0 , y0 ) ∈ A. Decimos que (x0 , y0 ) es un m´aximo relativo de f si exite > 0 tal que f (x0 , y0 ) ≥ f (x, y) para todo x ∈ (x0 − , x0 + ) e y ∈ (y0 , y0 + ). Decimos que (x0 , y0 ) es un m´ınimo relativo de f si exite > 0 tal que f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y) para todo x ∈ (x0 − , x0 + ) e y ∈ (y0 , y0 + ). En los puntos del dominio de f en los que exista un extremo relativo el plano tangente (si existe) a la superficie definida por f debe ser paralelo al plano 0XY , es decir, es de la forma z = z0 . Si f tiene derivadas parciales continua la ecuaci´ on del plano tangente a f en (x0 , y0 ) es fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) − (z − z0 ) = 0 por lo tanto, si existen las derivadas parciales de f y son continuas, es condici´ on necesaria para la existencia de extremos relativo que fx (x0 , y0 ) = 0 = fy (x0 , y0 ). Definici´ on Llamaremos puntos cr´ıticos de f a los puntos (x0 , y0 ) tales que 1. o bien fx (x0 , y0 ) = 0 = fy (x0 , y0 ). 2. o bien no existen una de las derivadas fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 ). Ahora que sabemos qu´e puntos del dominio de f son susceptibles de ser extremo relativo (es decir, los puntos cr´ıticos), necesitamos clasificarlos: Proposici´ on (Clasificaci´ on de puntos cr´ıticos). Sea f : A ⊆ R2 → R una funci´ on con derivadas segundas continuas y sea (x0 , y0 ) ∈ A un punto en el que fx (x0 , y0 ) = 0 = fy (x0 , y0 ). Definimos adem´as la cantidad fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 ) 2 D := fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 )) = fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 ) (recordar que fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ). Entonces: Si D > 0 y fxx (x0 , y0 ) > 0, (x0 , y0 ) es un m´ınimo relativo.
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
132
Si D > 0 y fxx (x0 , y0 ) < 0, (x0 , y0 ) es un m´aximo relativo. Si D < 0, (x0 , y0 ) es un punto de silla. Si D = 0, no podemos afirmar nada, Teorema (Teorema de los valores extremos). Sea f una funci´on continua de dos variables x e y, definida en una regi´on cerrada y acotada R del plano xy. Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor m´ınimo. Existe al menos un punto en R donde f alcanza un valor m´aximo.
12.9.
Linealizaci´ on
Sea F diferenciable en un punto P (x0 , y0 , z0 ) de la superficie S dada por F (x, y, z) = 0, con ∇F (x0 , y0 , z0 ) 6= 0. Podemos hacer una aproximaci´on lineal de la superficie S cerca del punto (x0 , y0 , z0 ) mediante la expresi´on F (x, y, z) = F (x0 , y0 , z0 ) + ∇F (x0 , y0 , z0 )(x − x0 , y − y0 , z − z0 ). Considerando de nuevo que F (x, y, z) = f (x, y) − z, esta expresi´on se transforma en: F (x, y, z) = f (x0 , y0 ) − z0 + (fx (x0 , y0 ), fy (x0 , y0 ), −1) ·
12.9.1.
(x − x0 , y − y0 , z − z0 )
Optimizaci´ on
Optimizaci´ on Una de las posibles aplicaciones de la teor´ıa de extremos para funciones de varias variables es la optimizaci´on. Como ejemplo veremos el m´etodo de los m´ınimos cuadrados. Ejemplo Una caja rectangular se encuentra apoyada sobre el plano XY , con un v´ertice en el origen y el v´ertice opuesto en el plano 6x + 4y + 3z = 24. Calcular el m´ aximo volmen posible de esa caja.
´ 12.9. LINEALIZACION
133
Aplicaci´ on: m´ etodo de M´ınimos cuadrados Regresi´ on mediante el m´etodo de M´ınimos cuadrados En todas las aplicaciones cient´ıficas donde se toman medidas es necesario estimar el error de medida y comparar los resultados obtenidos con el modelo te´orico del proceso f´ısico o biol´ ogico. Para ello se utiliza el m´etodo de regresi´ on por m´ınimos cuadrados. A trav´es de dicho m´etodo se trata de encontrar un modelo de funci´ on que minimice el error cuadr´atico medio de todos los datos. Dicho error tiene la expresi´on: E=
n X
(f (x) − yi )2
i=1
y representa la suma de todos los errores cuadr´aticos medidos con respecto a la funci´ on te´ orica f (x). El caso m´ as simple es el de un modelo lineal. En este caso, buscamos encontrar la expresi´ on de una recta de regresi´ on que minimice el error cuadr´atico anterior. Dicha recta viene dada por la expresi´on f (x) = ax + b, donde P P P n ni xi yi − ni=1 xi ni=1 yi a= P P n ni=1 x2i − ( ni=1 xi )2 y ! n n X 1 X b= yi − a xi n i=1
i=1
Dichas Pn de minimizar el2error cuadr´atico medio Pnexpresiones proceden 2 E = i=1 (f (x) − yi ) = i=1 (axi + b − yi ) ajustando a y b y teniendo en cuenta que f (x) = ax + b. Es decir ∂E ∂a = 0
∂E ∂b
= 0
El resultado es:
∂E ∂a
∂E ∂b
Pn = − yi )2 i + bP i=1 P Pn2xi (ax = 2a i=1 ax2i + 2b ni=1 xi − 2 ni=1 xi yi = 0 Pn Pn Pn = i=1 2 (axi + b − yi ) = 2a i=1 xi + 2nb − 2 i=1 yi = 0
134
CAP´ITULO 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Regresi´ on mediante el m´etodo de M´ınimos cuadrados Si los valores an sim´etricamente distribuidos respecto al eje y, P de x est´ entonces xi = 0 y obtenemos las f´ormulas anteriores P P P n ni xi yi − ni=1 xi ni=1 yi a= P P n ni=1 x2i − ( ni=1 xi )2 y 1 b= n
n X i=1
yi − a
n X i=1
! xi