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Matem´aticas Financieras Dr. Daniel A. Jaume
Prof. Gonzalo Molina
Esta versi´on: December 16, 2012
Contents 1 Valor tiempo del dinero 1.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Funciones del dinero . . . . 1.1.2 Trueque . . . . . . . . . . . 1.1.3 Un esquema del surgimiento 1.2 Valor-tiempo del dinero . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . del dinero . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . fiduciario . . . . . .
2 Sistemas de capitalizaci´ on simple 2.1 Sistema de capitalizaci´on simple . . . . . . . . . 2.2 Equivalencia de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Equivalencia financiera de dos series de capitales 2.3.1 Tasa media . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Vencimiento medio . . . . . . . . . . . . . 3 Descuento 3.0.3 3.0.4 3.0.5 3.0.6
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1 1 2 2 3 4
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9 9 16 19 27 32
Simple 36 Descuento simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Equivalencia de tasas de descuento simple. . . . . . . . . 40 Equivalencia entre tasas de descuento y de capitaliaci´on simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Equivalencia financiera revisada . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Sistemas de capitalizaci´ on compuesta 4.1 Sistema de capitalizaci´on compuesta . . . . 4.2 Tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Equivalencias de tasas compuestas . 4.2.2 Breve diccionario de tasas nominales 4.3 Equivalencia de capitales . . . . . . . . . . . 4.3.1 Tasa media . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Vencimiento medio . . . . . . . . . . 4.4 Capitalizaci´ on subper´ıodica . . . . . . . . . 4.4.1 Convenio discreto o de truncamiento 4.4.2 Convenio exponencial o continuo . . 4.4.3 Convenio lineal . . . . . . . . . . . . ii
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45 45 54 54 60 61 66 71 74 75 75 76
CONTENTS 5 Descuento 5.0.4 5.0.5 5.0.6
iii compuesto 80 Equivalencia de tasas de descuento compuesto. . . . . . . 85 Equivalencia entre tasas de descuento y capitalizaci´on. . . 87 Descuento Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Capitalizaci´ on Continua 6.1 Capitalizaci´ on continua . . . . . . . . . . . . 6.2 Equivalencia de capitales . . . . . . . . . . . . 6.3 Tasa media continua . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Equivalencia entre tasas continuas y discretas 6.5 Vencimiento medio continuo . . . . . . . . . . 6.6 Descuento continuo . . . . . . . . . . . . . . .
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93 93 100 103 106 108 109
7 Composici´ on de tasas 7.1 Rentabilidad real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Efecto de las comisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Efecto de las comisiones cobradas al principio de la operaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Efecto de las comisiones cobradas al final de la operaci´on 7.3 Tasas negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Depreciaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Impuestos, seguros y comisiones varias . . . . . . . . . . . 7.3.3 Impuestos sobre la renta financiera y su efecto sobre la rentabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Tipo de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Tasa de devaluaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Tasas de devaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 ´ındice de precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Inflaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Indexaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Composici´ on de tasa en el sistema continuo . . . . . . . . . . . .
111 111 114
8 Rentas 8.1 Rentas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Rentas constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Rentas vencidas o pospagables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 M´etodos n´ umericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 M´etodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 M´etodo de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Rentas prepagables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Rentas perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1 Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables) . . 8.7.2 Rentas perpetuas constantes adelantadas (prepagables) 8.8 Rentas diferidas y anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9 Rentas aritm´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155 155 158 159 168 170 170 175 178 183 183 186 187 190
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114 116 118 119 122 122 125 133 133 141 147 153 153
iv
CONTENTS 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14
Rentas geom´etricas . . . . . . . . . . . . . Rentas variables en progresi´on geom´etrica Inflaci´ on: su efecto sobre rentas . . . . . . Otros tipos de rentas. . . . . . . . . . . . Rentas a capitalizaci´on continua . . . . .
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201 201 210 214 214
9 Pr´ estamos 9.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Pr´estamos comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Pr´estamos a inter´es sobre saldos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216 216 216 220
10 Pr´ estamo franc´ es 223 10.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.2 Usufructo y nuda propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 10.3 Per´ıodo de gracia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10.4 CFT: costo financiero total. Efecto de impuestos, gastos y seguros 240 10.5 Cancelaci´ on anticipada total o parcial . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.6 Adelanto de cuotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.7 Punitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 10.8 Pr´estamo franc´es a interes variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 10.9 Inflaci´ on y su efecto sobre los pr´estamos . . . . . . . . . . . . . . 265 10.10Devaluaci´ on y su efecto sobre los pr´estamos . . . . . . . . . . . . 265 11 Pr´ estamo alem´ an 266 11.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 12 Pr´ estamo americano 12.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . 12.2 Cuadro de Marcha . . . . . . 12.3 Variantes habituales . . . . . 12.3.1 Fondo de amortizaci´on 12.3.2 Fondo de amortizaci´on
. . . . . . . . . . . . . . . en renta en renta
. . . . . . . . . . . . . . . . . . constante variable .
A Variaci´ on proporcional A.1 Variaci´ on proporcional directa. . . . . . . . . A.2 Series de fracciones equivalentes. . . . . . . . A.2.1 Reparto simple directo. . . . . . . . . A.3 Variaci´ on proporcional inversa. . . . . . . . . A.3.1 Reparto simple inverso: . . . . . . . . A.4 Variaci´ on proporcional conjunta o compuesta. A.4.1 Reparto compuesto. . . . . . . . . . .
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273 273 278 279 280 281
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284 284 286 288 290 291 293 293
B Relaciones recursivas 298 B.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 B.2 Relaciones recursivas lineales de primer orden a coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
CONTENTS B.3 B.4 B.5 B.6 B.7
Caso I: g (k) = cte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso g 6= cte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso g (k) es un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso III: g (k) es una funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . Caso IV: g (k) combinaci´ on de un polinomio y una funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.8 Ejercitaci´ on general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v 300 303 304 307 309 310
C Soluciones 312 C.1 Soluciones del capitulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 D Diccionarios de f´ ormulas
313
E Tabla de d´ıas
314
vi
CONTENTS
Chapter 1
Valor tiempo del dinero 1.1
Introducci´ on
El tema de este libro es el valor-tiempo del dinero: escencialmente un peso hoy no vale lo mismo que un peso dentro de un a˜ no, en el sentido de la cantidad de bienes y servicios que podemos adquirir es diferente. Esto se debe principalmente a dos factores: el costo de oportunidad y la inflaci´on. Pero, ¿Qu´e es el dinero? Definici´ on 1.1 El dinero es todo aquello que constituye un medio de cambio o de pago com´ unmente aceptado. Caracter´ısticas: 1. Carece de valor intr´ınseco: nos interesa porque podemos usarlo para adquirir bienes y servicios. 2. El estado es el u ´nico que puede imprimirlo: moneda de curso legal. 3. No son s´ olo monedas y billetes: (a) Monedas y billetes, (b) Dep´ ositos a la vista o cuentas corrientes (cheques y tarjetas d´ebito) y tarjetas de cr´edito, (c) Bonos y acciones, (d) Dep´ ositos a plazos. (e) Rentas (sueldos, jubilaciones, becas, etc.), (f) Instrumentos financieros (futuros, opciones, seguros, etc.), (g) Bienes (casas, autos, propiedades, muebles, etc.) Los tipos de “dinero” listados arriba, est´an ordenado de m´as l´ıquidos a menos l´ıquidos. Un valor es m´ as l´ıquido cuanto m´as f´acil sea intercambiarlo por bienes y servicios. 1
2
CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO
1.1.1
Funciones del dinero
Las funciones que cumple el dinero son tres: 1. Es un dep´ osito de valor. 2. Es una unidad de medida o cuenta. 3. Es un medio de cambio. Decimos que el dinero es un dep´ osito de valor pues nos permite transferir poder adquisitivo espacial y temporalmente. El dinero que ganamos en un lugar puede ser usado para adquirir bienes y servicios en otro lugar, y el dinero ganado hoy puede ser intercambiado por bienes y servicios en alg´ un momento del futuro. Decimos que el dinero es una unidad de medida o cuenta pues es en t´erminos de dinero que se expresan los precios y las deudas. El dinero es el patron con el que medimos las transacciones econ´omicas. Decimos que el dinero es un medio de cambio, todas las personas e instituciones aceptan intercambiar bienes y servicios por dinero. Es claro que no todos los bienes conservan su valor el tiempo, por ejemplo las manzanas reci´en cosechadas tienen claramente un valor (pueden ser intercambiadas por otros bienes y servicios), pero despu´es de un tiempo es poco probable que algui´en acepte intercambiar sus bienes por lo que quede de nuestras viejas manzanas. Por otro lado si deseamos adquirir alg´ un bien en alg´ un punto lejano a nuestro lugar de residencia, algunos bienes son m´as transportables que otros, por ejemplo, es m´as f´acil mover oro que sandias (considereando la relaci´on peso/valor). Es claro que podr´ıamos usar oro como dep´osito de valor, pero este es muy incomodo como unidad de medida y cuenta, pues todos deber´ıamos disponer de equipos (balanzas) y conocimientos de metalurg´ıa (pues el oro viene con distintos grados de pureza), para poder intercambiar la cantidad adecuada de oro por los bienes y servicios que deseamos adquirir.
1.1.2
Trueque
La mejor forma de entender las funciones del dinero es imaginar como era el mundo antes de su aparici´on, lo que se conoce como econom´ıa de intercambio o trueque. El dinero es una eficaz herramienta que surgi´o de manera natural a medida que las sociedades fueron desarrollando econom´ıas cada vez m´as complejas. Las primeras sociedades ten´ıan una econom´ıa de trueque: los bienes eran intercambiados directamente por otros bienes. La principal desventaja de este tipo de econom´ıas es que requiere de una doble coincidencia de deseos (temporal y espacial) para que dos agentes intercambien bienes. Por ejemplo, si yo hoy tengo peras y deseo cuchillos, debo hallar (espacial) algui´en que hoy quiera peras y que hoy tenga cuchillos (temporal). Esto lleva de manera natural a: 1. una baja divisi´ on del trabajo (poca especializaci´on),
´ 1.1. INTRODUCCION
3
2. una econom´ıa sencilla: s´ olo se pueden hacer transacciones muy sencillas. 3. es dific´ıl trasladar valor temporalmente, e inclusve espacialmente. El dinero permite transacciones indirectas, y en este sentido es muy superior al trueque, donde debe existir una doble coincidencias de deseos para realizar intercambios.
1.1.3
Un esquema del surgimiento del dinero fiduciario
El dinero que no tiene valor intr´ınseco se denomina dinero fiduciario, ya que se establece como dinero por decreto. Esto es lo normal en casi todos los paises de mundo, aunque hist´ oricamente las econom´ıas utilizaron durante mucho tiempo mercanc´ıas con valor intr´ınseco a modo de dinero: semillas de cacao, conchas de mar, aceite de oliva, sal, plata, oro, etc.. Estos son ejemplos de lo que se denomina dinero mercanc´ıa. No es dif´ıcil de entender como surje un dinero mercanc´ıa como el oro: facilita el intercambio (todo el mundo esta dispuesto a aceptarlo por su valor intr´ınseco), es f´ acil de transportar (con respecto a la relaci´on peso/valor) y adem´as sirve para trasladar valor en el tiempo al conservar generalmente su valor en el tiempo. Es m´ as dificil entender como surje el dinero fiduciario. ¿Qu´e hizo que la gente comenzara a valorar algo que carece de valor intr´ınseco: esos pedazos de papel que llamamos dinero? En realidad el proceso tomo varios siglos, pero se puede resumir al siguiente esquema. En una econom´ıa que usa oro como dinero mercanc´ıa, la gente debe llevar consigo bolsas con oro. Para efectuar una transacci´on comprador y vendedor deben concordar en el peso y la pureza del oro a ser intercambiado por el servicio o mercanc´ıa. Este proceso de pesado y verificaci´on de la pureza lleva su tiempo y requiere de conocimientos de metalurg´ıa. Para simplificar la operaci´ on y reducir sus costes el gobierno decide acu˜ nar monedas de oro de un peso y pureza conocidos. Est´an monedas son m´as f´aciles de llevar y usar que el oro en bruto. Al poco tiempo todo el mundo usa las monedas y casi no circula oro sin acu˜ nar. Luego, el gobierno y los bancos empiezan a emitir certificados de oro: trozos de papel que dicen que Juan Perez tiene 12 kg. de oro el banco tal o cual, o certificados de oro del gobierno que dicen, por ejemplo, vale por medio kilo de oro. La gente empieza a aceptar estos papeles, y los van a canjar por oro (al banco o al ayuntamiento). Una vez que la gente comienza a verificar la veracidad de estas promesas de pago, y al ser m´as f´aciles de guardar y llevar, estos certificados se vuelven tan valiosos como el mismo oro y a la larga nadie lleva oro, sino estos certificados oficiales respaldados por oro: los certificados se convierten en el patron monetario. Ya solo resta un paso para el surgimiento del dinero fiduciario: si nadie se molesta en canjear los billetes por oro, el respaldo del oro deja de ser relevante. Mientras todo el mundo continue aceptando los billetes de papel, estos tendr´an valor y servir´an de dinero.
4
CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO
1.2
Valor-tiempo del dinero
La matem´ atica financiera se ocupa de modelar el efecto del tiempo sobre el valor nominal del dinero. Es lo que llamaremos el valor-tiempo del dinero. El siguiente par de ejemplos clarifica la cuesti´on: Ejemplo 1.2 Tener hoy $ 1.000 es mejor que tener (hoy) s´ olo $ 50. Ejemplo 1.3 Es mejor tener $ 100 hoy que tener $ 100 dentro de un a˜ no. De este par de ejemplos podemos concluir: Conclusi´ on 1.4 De dos montos disponibles al mismo instante de tiempo, preferimos el mayor. Conclusi´ on 1.5 De dos montos iguales disponibles en diferentes momentos, preferimos el monto disponible antes. Problema 1.6 En base a las conclusiones anteriores. ¿Qu´e es mejor? $ 100 hoy o $ 75 dentro de un a˜ no. El problema surge al comparar montos distintos disponibles en diferentes momentos del tiempo (donde el monto futuro es mayor que el monto presente): ¿Qu´e es mejor, $1.000 hoy, o $1.350 dentro de un a˜ no? Todo depende del agente considerado y de su costo de oportunidad. El costo de oportunidad hace referencia al hecho de que cada vez que optamos por una cosa, hay un universo de alternativas que desechamos. La alternativa desechada de mayor rendimiento es el costo de oportunidad en el que incurrimos al tomar una decisi´ on. Volviendo a nuestro problema de decidir que es mejor, si $ 1.000 hoy o $ 1.350 dentro de un a˜ no. Si el agente puede invertir los $ 1.000 de hoy y ganar con certeza $ 500 extras al cabo de un a˜ no, a fin de a˜ no tendr´a $ 1.500, lo que es mejor que los $ 1 350. Para este agente $ 1.000 pesos hoy son mejores que $ 1.350 dentro de un a˜ no (su costo de oportunidad es mayor que el rendimieno ofrecido al agente). Para otro agente los $ 1.000 hoy son lo mismo que $ 1.350 dentro de un a˜ no, en el sentido de que el puede invertir estos $ 1.000 en alguna otra opci´ on de inversi´on y obtener la misma ganancia de $ 350 al cabo de un a˜ no. Este agente es indiferente entre $ 1.000 hoy o $ 1.350 a fin de a˜ no. Para finalizar, para un tercer agente $ 1.000 hoy es una peor inversi´on que recibir $ 1.350 a fin de a˜ no, pues todas las otras alternativas de inversi´on que posee le reportan al cabo de un a˜ no menos de $ 350 de ganancia. En el an´ alisis anterior la noci´on suyacente es la de equivalencia finaciera: Definici´ on 1.7 Dos capitales C1 y C2 , impuestos en momentos t1 y t2 , respectivamente, son financieramente equivalentes para un agente dado, si el
1.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO
5
agente es indiferente entre ellos: el valor del capital C1 al momento t2 es igual a C2 (rec´ıprocamente el valor del capital C2 al momento t1 es igual a C1 ): C2 al momento t1
= C1
C1 al momento t2
= C2
C1
C2
t1
t2
(C1 , t1 )
equivalentes
(C2 , t2 )
Nota 1.8 Cada cantidad de dinero debe ser informada junto con el instante de tiempo en que esta disponible, i.e., en matem´ aticas financieras (impl´ıcitamente) trabajamos con pares (monto, tiempo) Para medir el rendimiento de una inversi´on introducimos otro concepto fundamental ,la noci´ on de tasa de inter´ es. Recordemos que una tasa es una medida de la magnitud relativa de cambio: Si una cantidad cambia de Ci a Cf en un per´ıodo de tiempo dado, la tasa de cambio es t :=
Cf − Ci . Ci
Graficamente t= Ci
Cf −Ci Ci
Cf
Cuando pasamos de Ci a Cf , podemos pensar que cada unidad pasa de 1 a 1 + t pues (1 + t) Ci = Cf . (1.1) Ejemplo 1.9 Al invertir $ 1.000, obtenemos una ganancia de $ 1.350, tenemos que la tasa de rendimiento asociada es 1.350 − 1.000 = 0, 35 1.000 Observe que la tasa es una magnitud adimensional, aunque impl´ıcitamente est´ a asociada a una unidad de tiempo: t=
el per´ıodo de tiempo entre Ci y Cf . Ejemplo 1.10 Continuando con el ejemplo anterior, si los $ 1.000 pasan a $ 1.350, en un d´ıa, o en un mes, o en un a˜ no, son tres situaciones muy distintas, aunque les corresponda la misma tasa. Por eso agregaremos la informaci´ on temporal y hablaremos de una tasa 0,35 diaria, o de una tasa 0,35 mensual, o de una tasa 0,35 anual.
6
CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO t = 0.35 $1000
$1350 1 d´ıa t = 0.35
$1000
$1350 1 mes t = 0.35
$1000
$1350 1 a˜ no
Definici´ on 1.11 Un k-per´ıodo de tiempo, es una unidad temporal que cabe k veces el a˜ no. Por ejemplo, un 12-per´ıodo es un mes: 12 meses hacen un a˜ no, un 365per´ıodo es un d´ıa: pues en un a˜ no caben 365 d´ıas, un 6-per´ıodo es un bimestre: 6 bimestres hacen un a˜ no, etc. k-per´ıodo 1-per´ıodo 2-per´ıodo 3-per´ıodo 4-per´ıodo 6-per´ıodo 12-per´ıodo 52-per´ıodo 360-per´ıodo 365-per´ıodo
tiempo a˜ no, semestre, cuatrimestre, trimestre, bimestre, mes, semana, d´ıa comercial, d´ıa civil.
Nota 1.12 Observe que en t a˜ nos entran k·t
k-per´ıodos,
por ejemplo, en 3 a˜ nos hay 12 · 3 = 36 12-per´ıodos, i.e., 36 meses; en 2.5 a˜ nos hay 52 · 2, 5 = 130 52-per´ıodos, i.e., 130 semanas. Definici´ on 1.13 Una tasa k-per´ıodica t, es una tasa t que actua sobre un k-per´ıodo, i.e., nos dice cuanto cambia una unidad en un k-per´ıodo de tiempo. Diremos que una tasa k-per´ıodica capitaliza k veces en un a˜ no. Tambi´en se suele decir que la tasa tiene frecuencia de capitalizaci´on k. Por ejemplo una tasa
1.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO
7
mensual, capitaliza 12 veces en el a˜ no o, lo que es lo mismo, tiene frecuencia de capitalizaci´ on 12. En el d´ıa a d´ıa, las tasas son informadas como porcentajes (i.e., numeradores de cocientes de denominador 100) junto con una unidad temporal. Por ejemplo una tasa mensual del 22,3 % hace referencia a una tasa 0, 223 12-per´ıodica. Para hallar la tasa asociada a una tasa tporcentual informada porcentualmente hacemos tporcentual t= 100 En matem´ atica financieras usaremos i(k) para denotar una tasa k-per´ıodica. Las m´ as usadas son: i anual, i(2) semestral, i(3) cuatrimestral, (4) i trimestral, i(6) bimestral, i(12) mensual, i(52) semanal, i(360) diaria comercial, i(365) diaria civil. Nota 1.14 Observar que en lugar de i(1) para la tasa anual se usa simplemente i. Definici´ on 1.15 Dados un capital original Co en un instante de tiempo to y un capital final Cf en un instante de tiempo posterior tf . Llamaremos inter´ es I a la diferencia I := Cf − Co Si tf − to es un k-per´ıodo, hay una tasa k-per´ıodica asociada: i(k) =
Cf − Co Co
De donde se deduce una relaci´ on inmediata entre el inter´es I y la tasa k-per´ıodica i(k) : I = Co i(k) Sea i(k) la tasa k-per´ıodica que podemos obtener, para cualquier capital C disponible el d´ıa de hoy podemos hallar un capital equivalente un k-per´ıodo en el futuro Cf o un k-per´ıodo hacia el pasado Cp . Cf = 1 + i(k) C Cp
=
C 1 + i(k)
Cuando movemos un capital hacia el futuro en matem´aticas financeras se habla de capitalizaci´ on. Mientras que si lo movemos hacia el pasado se habla de actualizaci´ on.
8
CHAPTER 1. VALOR TIEMPO DEL DINERO
Capitalizaci´on
Actualizaci´on
Cp
C un k-per´ıodo hacia el pasado
Cf un k-per´ıodo hacia el futuro
Pero t´ıpicamente debemos movermos m´as de un per´ıodo, hacia atr´as o hacia adelante. Cuando debemos calcular los intereses de varios per´ıodos surge un interrogante natural: Los intereses de un per´ıodo deben ser considerados o no para el c´ alculo de los intereses del per´ıodo siguiente. El c´omo se hace esto recibe el nombre de ley financiera.
Chapter 2
Sistemas de capitalizaci´ on simple 2.1
Sistema de capitalizaci´ on simple
El sistema de capitalizaci´ on simple es la ley financiera que establece que los intereses generados en un per´ıodo dado no son considerados para el c´alculo de los intereses del per´ıodo siguiente. Definici´ on 2.1 Se llama capitalizaci´ on simple a la ley financiera que establece que los intereses de cada per´ıodo se calculan sobre el mismo capital inicial o principal. Dado un capital inicial C0 , una tasa de capitalizaci´on p-per´ıodica i(p) y n p-per´ıodos tenemos que los intereses de cada per´ıodo son iguales: I1 = I2 = · · · = In = C0 i(p) El inter´ es total IT es, por definici´on, la suma de los intereses de cada uno de los per´ıodos considerados: IT
n X
:=
Ih
h=1
nC0 i(p)
=
Dado h ∈ {1, ..., n}, el capital acumulado hasta el momento h, es el capital acumulado hasta el per´ıodo anterior, h − 1, m´as los intereses generados: Ch = Ch−1 + C0 i(p) , con la condici´ on inicial C0 := Co (a la izquierda es capital a momento cero, a la derecha tenemos el capital inicial u original). Por lo que usando la teor´ıa de 9
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
10
relaciones recursivas ya desarrollada, caso g (k) = cte, con A = 1, concluimos que: Ch
= C0 + C0 i(p) h = C0 1 + hi(p)
(2.1)
para 0 ≤ h ≤ n.
$
Cn In
Cn−1 In−1
In−1
C3
IT I3
I3
I3
I2
I2
I2
I2
I1
I1
I1
I1
I1
C0
C0
C0
C0
C0
C2 C1 C0 C0 0
1
2
3
n−1
n
tiempo
En particular Cn = C0 1 + ni(p)
(2.2)
la cual es la f´ ormula habitual en la literatura.
Nota 2.2 Note que en la f´ ormula (2.2) existe una relaci´ on temporal entre los
´ SIMPLE 2.1. SISTEMA DE CAPITALIZACION
11
capitales Cn y C0 . Esta en el futuro (a la derecha) del capital C0
z}|{ Cn
=
C0 |{z}
1 + ni(p)
Esta en el pasado (a la izquierda) del capital Cn
Nota 2.3 Se puede deducir de la formula (2.2) con un argumento inductivo: El capital al final del primer per´ıodo, C1 , es la suma de C0 , el capital al inicio del per´ıodo, m´ as C0 i(p) , los intereses generados durante este per´ıodo: C1 = C0 + C0 i(p) Similarmente C2 , el capital al final del segundo per´ıodo, es la suma de C1 , el capital al inicio del per´ıodo, m´ as C0 i(p) , los intereses generados durante este per´ıodo C2 = C1 + C0 i(p) pero como C1 = C0 + C0 i(p) , obtenemos C2
= C0 + C0 i(p) + C0 i(p) = C0 + 2C0 i(p)
An´ alogamente C3 , el capital al finalizar el tercer per´ıodo, es la suma de C2 , el capital al comienzo del per´ıodo, m´ as C0 i(p) , los intereses generados durante este per´ıodo: C3 = C2 + C0 i(p) y ya que C2 = C0 + 2C0 i(p) , obtenemos C3 = C0 + 3C0 i(p) De estas expresiones podemos inferir inductivamente que el capital acumulado al momento n ser´ a Cn = C0 + nC0 i(p) (2.3) i(k) Cn−1
Cn
n−1
n
tiempo (modificar dibujo)
La f´ ormulas (2.1) y (2.2) nos indican como se traslada un capital de un instante de tiempo dado a otro de forma financieramente equivalente. Por ejemplo,
12
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
a una tasa mensual del 1,2 %, $ 200 pesos son financieramente equivalentes a $ 216,8 en 7 meses (usando capitalizaci´on simple): 216, 8 = 200 (1 + 7 · 0, 012) Nota 2.4 En la f´ ormula (2.2) aparecen 4 variables relacionadas: capital inicial capital final tiempo tasa
C0 Cn n i(p)
Unas observaciones al respecto: 1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo que tenemos problemas donde debemos hallar el capital final Cn (se les suele llamar problemas de capitalizaci´ on), una variaci´ on de este tipo de problemas es hallar el inter´es total generado. Problemas donde debemos hallar el capital inicial C0 (se les suele llamar problemas de actualizaci´ on). Problemas donde debemos hallar el tiempo n, y finalmente problemas donde debemos hallar la tasa i(p) . 2. Dimensionalmente hablando, C0 y Cn son dinero. El tiempo y la tasa deben ser dimensionalmente compatibles: si la tasa es k-per´ıodica, el tiempo debe estar dado en p-per´ıodos, por ejemplo, si la tasa es mensual, n debe ser una cantidad de meses. Similarmente si n es una cantidad de trimestres, la tasa debe ser trimestral: una i(4) . Ejemplo 2.5 Calcular el capital final o montante de $ 2.500.000 al 15 % anual, colocado durante a) 20 d´ıas, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 a˜ nos, e) t pper´ıodos. Todo el problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos de tiempo y la tasa. Por ahora s´olo podemos convertir los distintos per´ıodos de tiempo a a˜ nos: Ejemplo 2.6 a) 20 d´ıas son 20 C20 d´ıas = C 365
a˜ nos
b) 3 meses son
3 12
3 C3 meses = C 12
20 365
a˜ nos, por lo que al cabo de 20 d´ıas tendremos 20 = 2.500.000 1 + 0, 15 = 2520547, 9452 pesos. 365
a˜ nos, por lo que al cabo de 3 meses tendremos 3 0, 15 = 2593750 pesos. a˜ nos = 2.500.000 1 + 12
c) 4 cuatrimestres son dremos C4 cuatrimestres = C 34
4 3
a˜ nos
a˜ nos, por lo que al cabo de 4 cuatrimestres ten 4 = 2.500.000 1 + 0, 15 = 3.000.000 pesos. 3
´ SIMPLE 2.1. SISTEMA DE CAPITALIZACION
13
d) Al cabo de 5 a˜ nos tendremos C5 a˜nos = 2.500.000 (1 + 5 · 0, 15) = 4.375.000 pesos. e) En general si tenemos t p-per´ıodos, tenemos pt a˜ nos, por lo que tendremos t t Ct p−per´ıodos = C k a˜nos = C0 1 + i p Ejemplo 2.7 Hoy extraemos del banco $ 281.300. ¿Cu´ al fue el capital original, o principal, si nos han pagado una tasa mensual del 32% y el dep´ osito fue pactado a 15 meses? Sabemos que Cn = C0 1 + ni(p) de donde
Cn (2.4) 1 + ni(p) y como hay compatibilidad temporal entre la tasa y la unidad temporal, ambas son mensuales: C0 =
C0
= =
281.300 1 + 15 · 0, 32 48.500
i.e., debimos depositar hace 15 meses la suma de $ 48.500 a una tasa mensual del 32% para poder extraer hoy $ 281.300. Ejemplo 2.8 Determinar el inter´es total obtenido al depositar $ 15.000 a plazo fijo por el t´ermino de 6 bimestres a una tasa bimestral del 14%. Otra forma de definir el inter´es total: es la diferencia entre el capital final y el capital inicial. IT = Cfinal − Coriginal Veamos que esta definici´ on es equivalente a la dada previamente: = Cn − C0 = C0 1 + ni(p) − C0
IT
= C0 ni(p)
(2.5)
Reemplazando IT
=
15.000 · 6 · 0, 14
=
12.600
Esto nos dice que un plazo fijo de $ 15.000 a 6 bimestres, a una tasa bimestral del 14% producen un inter´es total de $ 12.600.
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
14
Ejemplo 2.9 Hallar el capital que produce unos intereses de $ 12.787,5 al cabo de 75 d´ıas, a una tasa diaria del 0,31%. Del problema anterior sabemos que IT = C0 ni(p) (donde n es una cantidad de p-per´ıodos). Luego C0 =
IT ni(p)
(2.6)
reemplazando C0
12.787.5 75 · 0, 0031 55.000
= =
Por lo tanto unos $ 55.000 producen un inter´es de $ 12.787,5 al cabo de 75 d´ıas, a una tasa diaria del 0,31%. Ejemplo 2.10 Depositamos en un banco $ 450.000 y al cabo de 18 meses nos entregan $ 820.601,52. ¿Cu´ al es la tasa mensual que nos pag´ o el banco? Como
Cn = C0 1 + ni(p)
tenemos que i(p) =
Cn − C0 nC0
(2.7)
Luego i(12)
= =
820.601, 52 − 450.000 18 · 450.00 0.045753274
i.e., el banco nos pag´ o una tasa mensual del 4,5753274%. Ejemplo 2.11 Durante cuantos d´ıas hay que imponer un capital de $ 3.500.000 a una i(4) = 0, 2455, para obtener no menos de $ 5.100.000. Como
Cn = C0 1 + ni(p)
de donde depejamos n n=
Cn − C0 C0 i(p)
Ahora nosotros deseamos 9.100.000 ≤ 3.500.000 (1 + n · 0, 2455)
(2.8)
´ SIMPLE 2.1. SISTEMA DE CAPITALIZACION
15
luego n ≥ ≥
9.100.000 − 3.500.000 3.500.000 · 0, 2455 6.517311609
luego debemos imponer el capital al menos 7 d´ıas. Nota 2.12 El sistema de capitalizaci´ on simple esta pr´ acticamente en desuso. En la actualidad la capitalizaci´ on compuesta es el sistema m´ as usado (en sus versiones discreta y continua), el cual ser´ a estudiado en los capitulos subsiguientes. Ejercicio 2.13 Calcular el capital final o montante que se obtendr´ a al colocar $ 25.500 a 6 meses a una tasa anual del 12,5%. ¿A cu´ anto ascienden los intereses totales? Ejercicio 2.14 Calcular el montante que producir´ a un capital de $ 724.230, colocado al 7% semestral durante 4 a˜ nos. Ejercicio 2.15 Determinar el inter´es obtenido por una empresa que efectu´ o un dep´ osito a plazo fijo por el t´ermino de 30 d´ıas, con excedentes de fondos por $ 80.000 a una tasa del 11 % anual. Ejercicio 2.16 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 22.300.000 impuestos al 3% trimestral durante 36 meses. Ejercicio 2.17 Hallar el capital necesario para producir un inter´es de $ 1.030 en una colocaci´ on por un plazo de 50 d´ıas en una entidad bancaria al 18 % anual. Ejercicio 2.18 Los intereses al cabo de un a˜ no, calculados seg´ un el a˜ no civil, de un C capital ascienden a $ 784.720 ¿A cu´ anto ascender´ an seg´ un el a˜ no comercial (suponer i(360) = i(365) )? Ejercicio 2.19 Hace 87 d´ıas invertimos una cierta suma de dinero al 0,02% diario a inter´es simple. Hoy nos entregan $ 75.420,50 ¿Cu´ al fue el monto invertido originalmente? Ejercicio 2.20 Depositamos en un banco $ 150.000 y al cabo de 8 meses nos entregan $ 160.672,50. ¿Cu´ al es la tasa de inter´es que nos pag´ o el banco? Ejercicio 2.21 Un inversor reembolsar´ a $ 499.500,50 por un dep´ osito concertado a 90 d´ıas por $ 300.700. Averiguar la tasa anual pactada. Ejercicio 2.22 Hallar la tasa anual necesaria para que un dep´ osito por $ 11.000 redit´ ue al inversor en 180 d´ıas, la mitad de la colocaci´ on. Ejercicio 2.23 ¿Cu´ al es la tasa de inter´es p-per´ıodica que nos permite duplicar el capital al cabo de n p-per´ıodos?
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
16
Ejercicio 2.24 ¿Cu´ anto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un capital al 5% bimestral? Ejercicio 2.25 ¿Cu´ antos per´ıodos son necesarios para duplicar un capital a una tasa p-per´ıodica i(p) ? Y para triplicarlo. Y para obtener un m´ ultiplo dado. Ejercicio 2.26 Una empresa con excedentes de fondos por $ 200.000 efect´ ua dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 d´ıas al 1,5% mensual, y otra durante 15 d´ıas al 1,25% mensual. Averiguar los importes de los dep´ ositos, sabiendo que las inversiones producen igual inter´es. Ejercicio 2.27 Ud. posee $ 355.000. Decide invertilos en dos proyectos que le pagar´ an respectivamente el 1,2 % bimestral y el 2,1% trimestral. Qu´e porcentaje de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en concepto de intereses al cabo de 6 meses. Si ahora deseamos que ambos proyectos nos paguen los mismos intereses totales a lo largo de 1 a˜ no ¿cu´ anto deberemos poner en cada uno de los proyectos? Ejercicio 2.28 Un capital por $ 38.000 se impuso a inter´es simple durante 7 d´ıas al 11,2%; luego el mismo capital por el t´ermino de 15 d´ıas al 11,7%; y por u ´ltimo se consigui´ o colocarlo 30 d´ıas al 13,5%. Calcular el inter´es total y la tasa real de la operaci´ on citada. Ejercicio 2.29 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes alternativas: 1. Mercado de financiamiento oficial, $ 86.000 al 12%. 2. Mercado de financiamiento marginal, $ 72.000 al 18,5%. Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montos iguales. Ejercicio 2.30 Se desea saber c´ omo influir´ a una comisi´ on de gastos fija sobre el rendimiento de una inversi´ on. A este efecto se nos comenta que, cualquiera sea la inversi´ on, la comisi´ on ascender´ a a $ 3.000. ¿Qu´e incidencia tendr´ a sobre nuestra inversi´ on de $ 2.000.000 al 12%?, i.e., ¿Cu´ al es la tasa real de la operaci´ on?. ¿Y si la inversi´ on fuera de $ 500.000 al mismo tipo?
2.2
Equivalencia de tasas
Consideremos las siguientes operaciones: colocar $ 100 al 12% anual durante un a˜ no, colocar los mismos $ 100 al 1% mesual tambi´en durante un a˜ no. Ambas producen id´entico capital final o montante. 100 (1 + 0, 12) = 112 = 100 (1 + 12 · 0, 01) . Este es un ejemplo de tasa equivalentes, uno de los conceptos fundamentales de matem´ aticas financieras:
2.2. EQUIVALENCIA DE TASAS
17
Definici´ on 2.31 Diremos que dos tasas i(p) y i(q) , son equivalentes, bajo una ley financiera dada, si aplicadas a un mismo capital inicial, producen id´entico capital final durante un mismo intervalo de tiempo, aunque tengan distinta frecuencia de capitalizaci´ on (p 6= q). ip t a˜ nos
C0
Cf
q
i
Ahora podemos deducir la ecuaci´on fundamental de equivalencia de tasas en el sistema de capitalizaci´ on simple: Supongamos que un capital inicial C0 es impuesto durante t a˜ nos, donde t > 0 es un n´ umero real (no necesariamente entero). La tasa p-per´ıodica i(p) y la tasa q-per´ıodica i(q) , con p, q ∈ Z+ , son equivalentes si producen id´entico capital final: C0 1 + tpi(p) = Cf = C0 1 + tqi(q) , Al simplificar nos queda pi(p) = qi(q) . Por lo tanto: Proposici´ on 2.32 Dados p, q ∈ Z+ , en el sistema de capitalizaci´ on simple dos tasas i(p) y i(q) , son financieramente equivalentes si cumplen la siguiente relaci´ on de proporcionalidad: pi(p) = qi(q) .
(2.9)
Ejemplo 2.33 ¿Cu´ al es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del 7%? Una tasa mensual es una i(12) , mientras que una trimestral es una i(4) (recordar que hay 4 trimestres en un a˜ no). Usando la ecuaci´on (2.9) de equivalencias de tasas: 12i(12)
=
12i(12)
4 · 0, 07 0, 28 = 12 = 0, 02333333 . . .
i(12) i(12)
4i4 ,
=
Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1.000 durante 6 meses a una tasa trimestral del 7%, que ponerlos a una tasa mensual del 2.33333...%. 1000 (1 + 2 · 0, 07) = 1.140 = 1.000 (1 + 6 · 0, 02333333 . . .) ,
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
18
O que es lo mismo poner $ 500 durante 8 meses con cualquiera de estas dos tasas: 8 500 1 + 0, 07 = 593.33333 . . . = 500 (1 + 8 · 0, 02333333 . . .) 3 Nota 2.34 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la propia deduci´ on de f´ ormula (2.9), la equivalencia de tasas en capitalizaci´ on simple es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas producen igual montante al cabo de t1 a˜ nos, producir´ an igual montante al cabo de t2 a˜ nos. Ejercicio 2.35 Dada una i(2) = 0, 03, hallar la i(k) equivalente para k ∈ {1, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}. Ejercicio 2.36 Dada una tasa de inter´es anual del 25%. Hallar las tasas subper´ıodicas equivalentes, i.e., hallar i(k) equivalente a la tasa dada para k ∈ {2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}. Expresar los resultados usando porcentajes. Ejercicio 2.37 Demostrar que si i(365) y i(360) son equivalentes (a capitalizaci´ on simple) entonces 72 i(365) = (360) 73 i Ejercicio 2.38 Dados p, q ∈ Z+ , y un n´ umero real c > 0. Si i(p) = c = i(q) , para cualquier C0 > 0 (dinero) y cualquier t > 0 (tiempo en a˜ nos) demostrar que C0 1 + tpi(p) < C0 1 + tqi(q) , si y s´ olo si p < q. Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuencia produce mayor montante. Un problema habitual es comparar entre diferentes inversiones, y decidir cual tiene mayor rendimiento. Consideremos las siguientes inversiones: 1. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes. 2. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un a˜ no. 3. Invertir $ 5.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes. 4. Invertir $ 900 nos da una ganacia de $ 450 al cabo de 2 meses.
2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 19 Es facil concluir que la inversi´on 1 rinde m´as que la inversi´on 2 y que la inversi´ on 3, pero es m´ as dificil decidir si rinde m´as o menos que la inversi´on 4. En general, lo mejor es comparar tasas de rendimiento de cada una de las operaciones consideradas. La inversi´on 1 tiene una tasa mensual de rendimiento (12)
t1
= 0, 25
mientras que la tasa de rendimiento de la inversi´on 4 es bimestral (6)
t4 = 0, 5 (6)
Para decidir cual es mejor, hayamos la mensual equivalente a t2 6t4
(6)
=
12t4
(12)
6 · 0, 5
=
12t4
(12)
luego (12)
t4
= 0, 25
Como ambas operaciones tienen el mismo rendimiento mensual (medido por sus respectivas tasas mensuales de rendimiento) (12)
t1
(12)
= 0.25 = t4
,
Decimos que ambas inversiones rinden lo mismo. Ejercicio 2.39 Cu´ al inversi´ on es mejor
1) 2)
Opci´ on 1 $ 1.100 producen una ganacia de $ 250 un mes. $ 1.200 producen una ganacia de $ 450 un a˜ no.
Opci´ on 2 $ 850 producen una ganacia de $ 460 en dos meses. $ 6.500 producen una ganania de $ 500 en 20 semanas
Ejercicio 2.40 ¿Qu´e oferta es m´ as conveniente para una persona que desea comprar una casa: $ 40.000 iniciales y $ 60.000 al cumplirse los 6 meses o $ 60.000 iniciales y $ 40.000 al cumplirse el a˜ no? La tasa a usar es del 6% anual.
2.3
Equivalencia financiera de dos series de capitales
Una vez que sabemos calcular el equivalente financiero de un capital para distintos momentos, podemos verificar cuando dos series de capitales son financieramente equivalentes, este u ´ltimo es el segundo concepto fundamental de las matem´ aticas financieras.
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
20
Definici´ on 2.41 Una serie de capitales A1 , A2 , . . . , An disponibles en los momentos ta1 , ta2 , . . . , tan , es equivalente a la serie de capitales B1 , B2 , . . . , Bm disponibles en los momentos tb1 , tb2 , . . . , tbm , a una fecha focal f , para un agente dado (tasa), bajo una ley financiera dada (sistema), si n X
Aj al momento f =
j=1
j=1
A1
Bj al momento f.
(2.10)
j=1
Pm
B1
m X
Bj al momento f
B2 A2
B3
f
A3
Pn
j=1
Bm An
Aj al momento f
El equivalente financiero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasa p-per´ıodica i(p) en el sistema de capitalizaci´on simple es sgn(f −tj ) Aj al momento f = Aj 1 + |f − tj | i(p) Nota 2.42 Definimos la funci´ on signo como: 1 si x > 0 0 si x = 0 sgn (x) := −1 si x < 0 De donde, si f > tj (capitalizaci´on) Aj al momento f = Aj 1 + (f − tj ) i(p) si f = tj Aj al momento f = Aj y si f < tj (actualizaci´on) Aj al momento f =
Aj 1 + (tj − f ) i(p)
En todas las f´ ormulas anteriores f y tj estan expresados en p-per´ıodos, para que sean compatibles con la tasa usada. En particular para el sistema de capitalizaci´on simple tenemos que la definici´on de equivalencia de capitales toma la forma
2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 21 Definici´ on 2.43 Una serie de capitales A1 , A2 , . . . , An disponibles en los momentos ta1 , ta2 , . . . , tan , es equivalente a la serie de capitales B1 , B2 , . . . , Bm disponibles en los momentos tb1 , tb2 , . . . , tbm , a una fecha focal f , para una tasa p-per´ıodica i(p) , en el sistema de capitalizaci´ on simple si n X
m sgn(f −tbh ) sgn(f −taj ) X Aj 1 + f − taj i(p) . = Bh 1 + f − tbh i(p)
j=1
h=1
(2.11)
Nota 2.44 Es claro que despejar f de la ecuaci´ on (2.12) es casi siempre imposible, y son necesarios m´etodos num´ericos para hallar f , en particular suele ser u ´til usar soft m´ atematico como Matlab, Maple V, Mathematica, o Derive, en cualquiera de sus versiones. (los valores de f1 y f2 se obtubieron con Maple V Release 4, version 4.00c (1996), student edition).
El problema t´ıpico (el cual no implica el uso de computadoras) es: dada una serie de capitales, hallar una segunda serie financieramente equivalente. En el sistema de capitalizaci´ on simple, lo matem´aticamente correcto es llevar todos los capitales al origen de la serie conocida, porque no se deben usar los intereses en los c´ alculos, lo cual no siempre es posible, ya que muchas veces desconoceremos la fecha de orig´en de la operaci´ on.
Ejemplo 2.45 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y u ´ltimo de $ 500 a los 9 meses. Por razones de flujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2.5% mensual. Calcular el monto del u ´ltimo pago usando la siguientes fechas focales: el origen, a los 6 meses, a los 10 meses.
Debemos igualar los valores de ambas operaciones a la fecha focal dada: valor de la valor de la operaci´ on original = operaci´on nueva a la fecha focal f a la fecha focal f
Fecha focal el origen: f = 0
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
22
Serie (operaci´on) nueva
fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3
4
5
$ 400
6
7
8
$ 300
9
10
meses
$ 500
Serie (operaci´on) original Nota 2.46 Convendremos en dibujar las series originales debajo del eje temporal, y pondremos las series nuevas sobre el mencionado eje. Tenemos que actualizar todos los capitales al momento cero: 300 500 400 + + 1 + 3 · 0.025 1 + 6 · 0.025 1 + 9 · 0.025
=
1041.125854
=
500 C + 1 + 5 · 0.025 1 + 10 · 0.025 C 444.4444445 + , 1.25
de donde concluimos que C = 745.8517624. Fecha focal a los seis meses: f = 6
fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3 $ 400
4
5
6 $ 300
7
8
9
10
meses
$ 500
Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos ser´ an capitalizados (los que est´an disponibles antes de los 6 meses), otros ser´an actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6
2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 23 meses no cambian 400 (1 + 3 · 0.025) + | {z } Capitalizaci´ on
+
300 |{z}
Sin cambios
500 1 + 3 · 0.025 {z } |
=
500 (1 + 0.025) +
1195.116279
=
512.500 +
C 1 + 4 · 0.025
Actualizaci´ on
C , 1.1
de donde C = 750.877907 Ejemplo 2.47 Finalmente tomaremos como fecha focal a los 10 meses: f = 10. fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3 $ 400
4
5
6
7
8
$ 300
9
10
meses
$ 500
Todos los capitales, salvo C, deben ser capitalizados: 400 (1 + 7 · 0.025) + 300 (1 + 4 · 0.025) + 500 (1 + 0.025)
=
500 (1 + 5 · 0.025) + C
1312.5
=
562.500 + C,
de donde C = 825. Ejercicio 2.48 ¿Con qu´e cantidad se cancela hoy d´ıa, un pr´estamo que se consigui´ o dos meses antes habi´endose firmado dos documentos; uno con valor nominal de $ 600 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 750 de valor nominal y vencimiento a 5 meses del pr´estamo?. Suponga intereses del 20% anual. (Respuesta: $ 1 296.63). Ejercicio 2.49 Una deuda de $ 2 000 con intereses del 5% anual vence en un a˜ no. Si el deudor paga $ 600 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento. (Respuesta: $ 573.22). Ejercicio 2.50 El se˜ nor X debe $ 500 con vencimiento en 2 meses, $ 1 000 con vencimiento en 5 meses y $ 1 500 con vencimiento en 8 meses. Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un inter´es del 6% anual, tomando como fecha focal la fecha del u ´ltimo pago: 10 meses.
24
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION Problemas con almanaque
Ejercicio 2.51 El 10 de enero del corriente a˜ no se otorga un pr´estamo amparado con dos pagar´es con vencimientos al 15 de marzo y al 3 de mayo, por $ 1 300 y $ 800 respectivamente. Poco despu´es, se conviene en cancelarlo con tres pagos: el primero por $ 500 el 20 de febrero, el segundo por $ 1 000 el 30 de abril y el tercero el d´ıa 10 de junio, ¿De qu´e cantidad es este u ´ltimo pago si se cargan intereses del 30% mensual y se establece el 15 de marzo como fecha de referencia?, ¿A cu´ anto asciende el monto del pr´estamo?. Ejercicio 2.52 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12 725, $ 11 022 y $ 8 774, con vencimiento los d´ıas 15 de mayo, 4 de junio y 25 de junio, respectivamente, por uno u ´nico el d´ıa 1 de junio; ¿a cu´ anto ascender´ a el capital si se aplica un 6% anual a la operaci´ on? A˜ no civil. Fecha de operaci´ on: 15 de mayo. (Respuesta: $ 32 516). Ejercicio 2.53 Deseamos sustituir dos pagares de $ 14 500 y $ 12 300, con vencimientos el 12 de abril y el 15 de junio, respectivamente, por otros tres de igual monto, con vencimientos 10 de mayo, 10 de junio y 10 de agosto. Resolver el problema usando: fecha focal 8 de enero 12 de abril 10 de junio 10 de agosto 15 de septiembre 8 de enero 8 de enero 12 de abril 12 de abril
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
tasa 1.2% mensual, 1.2% mensual, 1.2% mensual, 1.2% mensual, 1.2% mensual, 0.05% diario (365), 0.05% diario (360), 2.4% mensual, 0.6% mensual.
De la f´ ormula (2.11) es claro que en el sistema de capitalizaci´on simple dos series de capitales pueden ser equivalentes para algunas fechas focales y para otras no. Ejemplo 2.54 Usando una tasa anual i = 0.45 (es decir una tasa del 45 % anual), veamos a que fechas focales la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100 000 a los dos a˜ nos y $ 150 000 a los 4 a˜ nos, es equivalente a la serie de $ 350 000 a los 3 a˜ nos y $ 400 000 a los 5 a˜ nos. El esquema de las series de capitales es $ 350000 0 $ 130000
1
2 $ 100000
3
$ 400000 4
$ 150000
5
a˜ nos
2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 25 El valor de la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100 000 a los 2 a˜ nos y $ 150 000 a los 4 a˜ nos, a la fecha focal f (en a˜ nos) usando la tasa anual i = 0.45 es V1 (f ) := 130000 (1 + 0.45 |f |)
sgn(f −2)
sgn(f )
+ 100000 (1 + 0.45 |f − 2|) sgn(f −4)
+150000 (1 + 0.45 |f − 4|)
El valor de la serie de capitales: $ 250 000 dentro de 3 a˜ nos y $ 450 000 dentro de 5 a˜ nos, a la fecha focal f (en a˜ nos) usando la tasa anual i = 0.45 es V2 (f ) := sgn(f −3)
350000 (1 + 0.45 |f − 3|)
sgn(f −5)
+ 400000 (1 + 0.45 |f − 5|)
Por ejemplo, si escogemos como fecha focal dos a˜ nos hacia adelante a partir de hoy, f = 2, tenemos el siguiente flujo
f =2 $ 350000 0 $ 130000
1
2
$ 400000
3
$ 100000
4
5
a˜ nos
$ 150000
De donde deducimos los siguientess valores para V1 y V2 V1 (2)
V2 (2)
=
sgn(2)
130000 (1 + 0.45 |2|)
+ 100000 (1 + 0.45 |2 − 2|)
+150000 (1 + 0.45 |2 − 4|)
sgn(2−4)
=
130000 (1 + 2 · 0.45) + 100000 +
=
425947.3684 sgn(2−3)
350000 (1 + 0.45 |2 − 3|) 350000 400000 = + 1 + 0.45 1 + 3 · 0.45 = 411592.0763
=
sgn(2−2)
150000 1 + 2 · 0.45 sgn(2−5)
+ 400000 (1 + 0.45 |2 − 5|)
La siguente gr´ afica muestra los valores de las funciones V1 y V2 , en rojo la primera y en azul punteada la segunda, para fechas focales entre 0 y 6 a˜ nos. Notar que las unidades del eje y son cientos de miles de pesos.
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
26
$ en 100000
V2 (f ) 11
V1 (f ) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 f en a˜ nos 0
f1
1
2
3
4
f2
5
6
S´ olo existen dos fechas focales tales que V1 (f ) = V2 (f ) , y ellas son (dadas en a˜ nos) f1
=
0.23877905,
f2
=
4.27194599.
Pues V1 (0.23877905) = 283357.5590 = V2 (0.23877905) , y V1 (4.27194599) = 851621.5493 = V2 (4.27194599) ,
(2.12)
2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 27 Nota 2.55 En el sistema de capitalizaci´ on simple, la equivalencia financiera depende fuertemente de la fecha focal escogida.
2.3.1
Tasa media
Consideremos el siguiente ejemplo Ejemplo 2.56 Ud. tiene $ 100.000 invertidos al 18% anual, $ 250.000 al 8% semestral y % 75.000 al 2% mensual. ¿Qu´e tasa diaria deber´ıa ofrecerle una entidad financiera para que ud. coloque todo su capital, $ 425.000, en la misma? Esto no es m´ as que un problema de equivalencia financiera de capitales, donde la incognita es una tasa (en principio, el tiempo tambi´en parece ser una incognita, pero veremos que en sistema simple, este tipo de problemas es independiente del tiempo).
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!! Al cabo de t a˜ nos, las inversiones originales generan la siguiente cantidad de dinero 100.000 (1 + t · 0, 18) + 250.000 (1 + t · 2 · 0, 08) + 75.000 (1 + t · 12 · 0, 02) La operaci´ on nueva genera al cabo de t a˜ nos 425.000 1 + t · 365i(365) si queremos que ambas produscan igual capital final, tenemos que 100.000 (1 + t · 0, 18)+250.000 (1 + t · 2 · 0, 08)+75.000 (1 + t · 12 · 0, 02) = 475.000 1 + t · 365i(365) de donde 100.000 · 0, 18 + 250.000 · 2 · 0, 08 + 75.000 · 12 · 0, 02 = 425.000 · 365i(365) Por lo que la tasa que buscamos, conocida como la tasa media diaria de la operaci´ on, es i(365)
= =
100.000 · 0, 18 + 250.000 · 2 · 0, 08 + 75.000 · 12 · 0, 02 425.000 · 365 0, 000489927477841
Por lo tanto, la entidad financiera debe ofrecerle al menos un 0,0489927477841% diario para que ud. reciba el mismo monto final. Veamos que efectivamente, ambas operatorias producen el mismo ingreso. Por ejemplo en un a˜ no, sus inversiones originales le reportan $ 501.000 pues 100.000 (1 + 0, 18) + 250.000 (1 + 2 · 0, 08) + 75.000 (1 + 12 · 0, 02) = 501.000 Obtendr´ a la misma suma con la segunda operatoria 425.000 (1 + 365 · 0, 000489927477841) = 501.000
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
28
Se invita al lector a calcular el ingreso de ambas operatorias a 2, 2,5, 3 y 5 a˜ nos (o cualquier otro intervalo de tiempo), los ingresos producidos por ambas operatorias deberian ser iguales (si no fuera el caso, ¡cometi´o un error!). Es interesante comparar la tasa media de la operaci´on, contra la tasa promedio de la misma. En este caso la tasa promedio diaria se consigue promediando las tasas diarias equivalentes a las tasas originales 0, 18 = 0, 0004931506849 365 0, 16 (365) (365) 365i2 = 2 · 0, 08 =⇒ i2 = = 0, 0004383561643 365 0, 24 (365) (365) = 0, 0006575342465 365i3 = 12 · 0, 02 =⇒ i3 = 365 Luego la tasa promedio diaria de la operaci´on es (365)
365i1
(365)
i1
(365)
+ i2
= 1 · 0, 18
(365)
+ i3
=
3
=
=⇒
(365)
i1
=
0, 0004931506849 + 0, 0004383561643 + 0, 0006575342465 3 0, 0005296803651
En este caso se observa que la tasa promedio de la operaci´on es ligeramente superior a la tasa media de la misma. La operaci´ on financiera anterior ocurre con relativa frecuencia, por lo que amerita el desarrollo de f´ormulas generales. En general una serie n capitales Cj , con j = 1, . . . , n, colocados a las tasas qj -per´ıodicas i(qj ) , con j = 1, . . . , n, durante t a˜ nos, es equivalente a una colocar la suma de todos los capitales C=
n X
Cj
j=1 (p)
a la tasa media equivalente p-per´ıodica imedia
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! n X
(p) Cj 1 + tqj i(qj ) = C 1 + tpimedia
j=1
de donde n X j=1
Cj + t
n X
(p)
Cj qj i(qj )
=
C + tCpimedia
Cj pj i(pj )
=
Cpimedia
j=1 n X
(p)
j=1
despejando la tasa media obtenemos n X (p)
imedia =
qj Cj i(qj )
j=1
pC
(2.13)
2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 29 Nota 2.57 Observe que la f´ ormula para la tasa media de una serie de capitales es independiente del tiempo t. Depende de los capitales Cj y de las tasas qj per´ıodicas i(qj ) , con j = 1, . . . , n. Si se observa con atenci´ on la f´ ormula anterior, se puede concluir que la tasa media es un promedio pesado de las tasas p-per´ıodicas equivalentes a las tasas dadas: n X Cj qj (qj ) (p) i imedia = C p j=1 qj (qj ) es la tasa p-per´ıodica p i Cj factores C , los cuales suman 1
donde cada factor pesos son los
n X Cj j=1
C
=
equivalente a la tasa i(qj ) , y los
n 1 X Cj = 1 C j=1
Por lo que es inmediato que qj (qj ) qj (qj ) (p) min i ≤ imedia ≤ max i 1≤j≤n 1≤j≤n p p En el caso del ejemplo 2.56 tenemos qj (qj ) 0, 18 2 · 0, 08 12 · 0, 02 min i = min , , 1≤j≤n p 365 365 365 = min {0, 0004931506849, 0, 0004383561643, 0, 0006575342465} = max
1≤j≤n
qj (qj ) i p
0, 0004383561643 0, 18 2 · 0, 08 12 · 0, 02 = max , , 365 365 365 = max {0, 0004931506849, 0, 0004383561643, 0, 0006575342465}
=
0, 0006575342465
y se verifica que (p)
0, 0004383561643 ≤ imedia = 0, 000489927477841 ≤ 0, 0006575342465 (p)
Nota 2.58 Adem´ as, dados q1 , q2 ∈ Z, es evidente que las tasas medias imedia y (q) imedia (calculadas con respecto a una misma serie de capitales) son equivalentes: n X (p)
pimedia =
Cj qj i(qj )
j=1
(q)
C
= qimedia
(2.14)
En general una serie de n capitales Cj , con j = 1, . . . , n, a las tasas qj per´ıodicas i(qj ) , con j = 1, . . . , n, tambi´en tiene un tasa promedio p-per´ıodica
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
30
asociada la cual no es otra cosa que el promedio de las tasas p-per´ıodicas equivalentes a las tasas dadas: n
(p)
ipromedio =
1 X qj (qj ) i n j=i p
Para el ejemplo anterior la tasa mensual promedio es 1 1 4 (12) ipromedio = 0, 07 + 0, 041 = 0, 00975 2 12 12 En este caso la tasa media, 0, 010925, resulta ser mayor que la tasa promedio, 0, 00975. La pregunta que surge de manera natural es ¿Existe alguna relaci´on entre tasa media y tasa promedio? Veremos que en realidad la tasa media (en sistema simple) es un promedio pesado (o ponderado) de las tasas originales, donde los pesos vienen dados por los tama˜ nos relativos de los Cj respecto de C. Por ejemplo, veremos que la tasa media y la tasa promedio coinciden en el caso Cj = n1 C. Dada una serie de operaciones consistentes de colocar n capitales Cj , con j = 1, . . . , n, a las tasas qj -per´ıodicas i(qj ) , con j = 1, . . . , n, si llamamos Cmin := min {C1 , . . . , Cn }, y Cmax := max {C1 , . . . , Cn }, como para todo j = 1, . . . , n Cmin ≤ Cj ≤ Cmax tenemos que n X (p)
imedia
=
pC n X qj Cj (qj ) = i p C j=1 ≥
Como
n X qj j=1
qj Cj i(qj )
j=1
p
n Cmin X qj (qj ) i C j=1 p
(p)
i(qj ) = nipromedio
Tenemos que Cmin (p) i C promedio De manera similar se puede probar que (p)
imedia ≥ n
(p)
imedia ≤ n
Cmax (p) i C promedio
2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 31 Por lo que siempre se cumple que n
Cmin (p) Cmax (p) (p) i ≤ imedia ≤ n i C promedio C promedio
de donde se deduce con facilidad que si C1 = C2 = · · · = Cn = C/n, entonces (p) (p) imedia = ipromedio . En el caso del ejemplo 2.56 tenemos n
n
Cmin (p) i C promedio
Cmax (p) i C promedio
75.000 · 0, 0005296803651 425.000 = 0, 0002804190168 250.000 = 3· · 0, 0005296803651 425.000 = 0, 0009347300559 =
3·
Ejercicio 2.59 Consideremos la siguiente modificaci´ on del ejemplo 2.56: Ud. tiene $ 140.000 invertidos al 18% anual, $ 142.000 al 8% semestral y % 143.000 al 2% mensual. Se pide calcular: Tasa media diaria, tasa diaria m´ınima, tasa (365) min (365) ipromedio , y 3 Cmax diaria m´ axima, tasa promedio diar´ıa, 3 CC C ipromedio . Ordenar estas cantidad de mayor a menor. Ejemplo 2.60 Tenemos dos opciones de inversi´ on: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 35% del mismo al 7% anual, y el 65% restante al 4,1% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 1,25 mensual. ¿Cu´ al de las opciones es la m´ as ventajosa? En esta situaci´ on debemos comparar dos inversiones, una de las cuales involucra m´ as de una tasa. Una forma de resolver este problema, es sustituir las dos operaciones por una equivalente: Es decir, dado un intevalo de tiempo de (12) t a˜ nos, queremos hallar una tasa media imedia 12-per´ıodica (mensual), que nos produzca la misma ganancia: (12) 0.35C (1 + t · 0, 07) + 0.65C (1 + 4t · 0, 041) = C 1 + 12t · imedia despejando (12)
imedia =
0, 35 · 1 · 0, 07 + 0, 65 · 4 · 0, 041 = 0, 010925 12
Se puede observar que el valor de la tasa media (en el sistema de capitalizaci´on simple) es independiente del tiempo. Ahora es claro que la segunda opci´on (no dividir el capital) es la m´ as conveniente: (12)
i2
(12)
= 0, 0125 > 0, 010925 = imedia
En el fondo esto no es m´ as que sustituir dos rectas (en t) por su suma, la cual es a su vez una recta:
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
32 $
(12)
C(1 + t · imedia )
C 0.60C(1 + t · 0.07) 0.40C(1 + 4t · 0.041) 0.6C 0.4C
t (a˜ nos)
Ejercicio 2.61 Tenemos $ 100.000 para invertir. Se nos presentan tres opciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 2,5% mensual. La segunda en comprar $ 60.000 en bonos del estado que pagan un 8,2% trimestral y el resto en el banco al 1,8% mensual. La tercera consiste en comprar obligaciones de empresas privadas: $ 30.000 en opciones de la empresa A, que rinden un 21% semestral, $ 40.000 en opciones de la empresa B, que rinden un 4,8% bimestral y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 38,5% anual. ¿Cu´ al de las opciones es la m´ as ventajosa? Ejercicio 2.62 Tenemos dos opciones de inversi´ on: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 30% del mismo al 18% anual, y el 70% restante al 6,5% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 0,5% semanal. ¿Cu´ al de las opciones es la m´ as ventajosa?
Poner m´as ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2.3.2
Vencimiento medio
Este es un caso particular de equivalencia financiera, en el que sustituimos una serie de capitales por un u ´nico pago igual a la suma algebraica de los capitales involucrados. Dada una tasa p-per´ıodica y una fecha focal f , deseamos hallar la fecha m en la cual podemos sustituir una serie de capitales C1 , C2 , . . . , Cn disponibles
2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 33 en los momentos t1 , t2 , . . . , tn , por un u ´nico pago C=
n X
Cj
j=i
Dicha fecha focal es conocida como vencimiento medio: n X
sgn(f −tj ) sgn(f −m) Cj 1 + |f − tj | i(p) = C 1 + |f − m| i(p)
j=i
En la f´ ormula anterior los intervalos de tiempo son medidos en p-per´ıodos, para que sean compatibles con la tasa usada.
Falta poner ejemplos resueltos donde la incognita es un capital (?), o la tasa de inter´es. Como se puede ver, usando capitalizaci´on simple, el vencimiento medio depende de cada una de las variables involucradas (salvo en casos excepcionales, no hay simplificaci´ on de variables), y para calcular el valor de m tenemos que analizar cada caso, y eventualmente necesitaremos emplear m´etodos n´ umericos. Razonando financieramente es intuitivo que el vencimiento medio se encuentra entre el primero y el u ´ltimo momento en que los capitales vencen, porque se debe dar una compensaci´ on de intereses. Ejemplo 2.63 Deseamos sustituir tres pagos, de $ 200, $ 300 y $ 500, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un a˜ no, respectivamente, por u ´nico pago de $ 1000. Hallar el vencimiento medio para fecha focal hoy hoy 6 meses 1 a˜ no 2 a˜ nos hoy vencimiento medio
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
tasa 2% mensual, 1% mensual, 1% mensual, 1% mensual, 32% anual, 1% diario comercial (360), 1% mensual.
Para resolver este problema planteamos la ecuaci´on de equivalencia financiera en general sgn(f )
200 (1 + |f − 0| i)
+300 (1 + |f − 6| i)
sgn(f −6)
sgn(f −12)
+500 (1 + |f − 12| i)
1) fecha focal: f = 0, tasa: 2% mensual 200 +
500 300 + 1 + 6 · 0, 02 1 + 12 · 0, 02 871, 0829494 1.000
sgn(−m1 )
=
1.000 (1 + 0, 02 |m1 |)
=
(1 + 0, 02 |m1 |)
sgn(−m1 )
sgn(f −m)
= 1.000 (1 + |f − m| i)
´ SIMPLE CHAPTER 2. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
34 Como
871, 0829494 1000 entonces el exponente sgn (−m1 ) debe ser −1, y por lo tanto podemos asegurar que m1 > 0, 871, 0829494 1 = , 1000 1 + 0, 02m1 1 + 0, 02 |m1 | > 1 >
de donde m1 = 7, 399814833 meses. 2) fecha focal: f = 0, tasa: 1% mensual 200 +
300 500 + 1 + 6 · 0, 01 1 + 12 · 0, 01 929, 4474394 1000
sgn(−m2 )
=
1.000 (1 + 0, 01 |m2 |)
=
(1 + 0, 01 |m2 |)
sgn(−m2 )
Como
929, 4474394 1.000 el exponente sgn (−m2 ) debe ser −1, y adem´as podemos asegurar que vm2 > 0, por lo tanto 929, 4474394 1 = 1.000 1 + 0, 01m2 1 + 0, 01 |m2 | > 1 >
de donde m2 = 7, 590806926 meses. Observando los resultados 1) y 2) vemos que en capitalizaci´on simple, el vencimiento medio depende de la tasa usada. 3) fecha focal: f = 6, tasa: 1% mensual 500 1 + 6 · 0, 01 983, 6981132 1.000
200 (1 + 6 · 0, 01) + 300 +
=
1.000 (1 + 0, 01 |6 − m3 |)
=
(1 + 0, 01 |6 − m3 |)
sgn(6−m3 )
sgn(6−m3 )
Como
983, 6981132 1.000 el exponente sgn (6 − m3 ) debe ser −1, y adem´as podemos asegurar que 6−m3 < 0, por lo tanto 871, 0829494 1 = , 1.000 1 + 0, 02 (m3 − 6) 1 + 0, 01 |6 − m3 | > 1 >
de donde vm3 = 7, 657204236 meses. Observando los casos 2) y 3) podemos asegurar que el vencimiento medio depende de la fecha focal usada.
2.3. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 35 7) f = m (fecha focal igual al vencimiento medio), tasa 1% mensual: sgn(m)
200 (1 + |m| i)
+300 (1 + |m − 6| i)
sgn(m−6)
+500 (1 + |m − 12| i)
sgn(m−12)
Usando m´etodos n´ umericos (y Maple V Release 4, version 4.00c (1996), student edition): m = 7, 711838862 meses. Ejercicio 2.64 En el ejemplo anterior hallar m4 , m5 , y m6 . Ejercicio 2.65 Se desea sustituir 12 pagos mensuales de $ 1.000, por un u ´nico pago de $ 12.000. Suponer una tasa anual del 18,5%. Usar como fechas focales: el origen, 6 meses, 1 a˜ no y el propio vencimiento medio. Ejemplo 2.66 Si a los 7,46666666 meses se sustituyeron 3 pagos de $ 1.000, a los cero, seis y doce meses, respectivamente, por un u ´nico pago de $ 3.000. Utilizando una tasa del 5% mensual ¿Cu´ al fue la fecha focal usada? Ejercicio 2.67 Si en el problema anterior sabemos que la sustituci´ on fue a los 6 meses y se uso el origen como fecha focal.¿Cu´ al fue la tasa usada?
Poner m´as ejercicios!!!!!!!!!!!!!!
= 1.000
Chapter 3
Descuento Simple En las operaciones comerciales habitualmente no se usa la actualizaci´on para calcular el valor actual de un capital futuro. El m´etodo usado se conoce como descuento (comercial). Este es el caso t´ıpico de lo que ocurre con los cheques a fechas. El poseedor de un cheque (documento, plazo fijo, etc.) el cual tiene un nominal N , podr´ a hacerlo efectivo en t a˜ nos (esta cantidad no tiene porque ser entera), pero por alg´ un motivo necesita dinero hoy (para pagar una deuda, por una oportunidad de inversi´on, etc.). Entonces acude a un intermediaro finaciero (banco, financiera, un “prestamista” en el peor de los casos), y cambia el cheque por una suma en efectivo E, donde E < N. D
N E
hoy
dentro de t a˜ nos
La diferencia entre el E efectivo que recibe, y el nominal N del documento entregado, recibe el nombre de descuento D = N − E.
(3.1)
En esta operaci´ on se puede pensar que el intermediario financiero se ha cobrado los intereses al principio de la operaci´on. La tasa que se usa es llamada tasa de descuento d, la cual tiene la particularidad que se aplica sobre el nominal N . 36
37
3.0.3
Descuento simple
En el sistema de capitalizaci´ on simple lo que nos descuentan por cada p-per´ıodo adelanto es N d(p) Supongamos que se quiere adelantar un documento de nominal N , unos n pper´ıodos con un intermediario financiero que cobra una tasa de descuento pper´ıodica d(p) . Si llamamos Ej al efectivo que recibiremos en el per´ıodo j, tenemos la siguiente relaci´ on recursiva Ej = Ej+1 − N d(p) j < n, En = N Donde la condici´ on inicial es En = N (al momento n hacemos efectivo el documento, no necesitamos descontarlo). d(k)
Dk
Dk+1
D1
D = D0
En = N Ek
Ek+1
E1
E = E0
0
1
k
k+1
n
Usando la teor´ıa de relaciones recursivas que hemos desarrollado concluimos que la forma para el efectivo en el momento j, para j < n, es Ej = h0 + jN d(p) , donde h0 es una constante que se ajusta usando la condici´on inicial En = N : N h0
= En = h0 + nN d(p) = 1 − nd(p) N
luego Ej = N 1 − (n − j) d(p) , para j ≤ n,
38
CHAPTER 3. DESCUENTO SIMPLE
en particular E = E0 = N 1 − nd(p)
(3.2)
La cual es la ecuaci´ on fundamental del sistema de descuento simple para una tasa de descuento p-per´ıodica d(p) . En t´erminos de la tasa de descuento y el nominal, el descuento es D = nN d(p)
(3.3)
Nota 3.1 Si n es suficientemente grande, el descuento comercial puede ser tan grande que anule el efectivo E = E0 = 0 = N 1 − nd(p) , (3.4) Esto ocurre si n= Si n >
1 d(p)
1 . d(p)
el efectivo es de hecho negativo.
Ejemplo 3.2 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 d´ıas de nominal $ 1 .000. Qu´e efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de descuento diario de 2,1%. ¿Cu´ antos d´ıas hay que adelantar el documento para que el efectivo sea nulo? El efectivo que recibiremos se calcula con (3.4) E = 1000 (1 − 5 · 0, 021) = 895 de donde D = 1000 − 895 = 105 Finalmente
1 = 47, 619047619 0.021 i.e., si adelantamos un documento m´as de 47 d´ıas lo u ´nico que nos dan son las gracias (de hecho nos piden adem´as del documento, ¡dinero extra!). Observe que el valor actual de $ 1.000, calculado con una tasa efectiva diaria del 2,1% es 1000 = 904, 98 C0 = 1 + 5 · 0, 021 nanulaci´on =
Esto no es casualidad, si una tasa de descuento (simple) p-per´ıodica d(p) es igual (c´ omo n´ umero real) a una tasa (efectiva simple) p-per´ıodica i(p) d(p) = x = i(p) y son aplicadas sobre un capital de nominal N disponible dentro de t a˜ nos para calcular su valor al d´ıa de hoy
39
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! tenemos que N (p) = C > E = N 1 − tpd 0 1 + tpi(p) Es claro que si E es no.positivo la desigualdad se cumple trivialmente pues siempre C0 > 0. Si E > 0, entonces tpd(p) < 1. Y la desigualdad se deduce del siguiente hecho: si 0 < ax < 1, entonces 1<
1 1 − (ax)
2
2
(Pues, si 0 < ax < 1, entonces 0 < (ax) < 1, y por lo tanto 2
0 < 1 − (ax) < 1 de donde deducimos que 1<
1 1 − (ax)
2
=
1 (1 − ax) (1 + ax)
que es la desigualdad requeridad). Lo que implica que 1 1 C0 = = 2 >1 (p) (p) E 1 + tpi 1 − tpd 1 − (ax) donde hacemos tp = a y d(p) = x = i(p) , y la condici´on tpd(p) < 1 garantiza que 0 < ax = tpd(p) < 1. De donde podemos deducir que C0 > E. Ejercicio 3.3 ¿Cu´ al fue el descuento y el efectivo de una letra con vencimiento a 3 meses si se aplic´ o una tasa de descuento del 4,5% mensual y su nominal ascend´ıa a $ 5.000? Ejercicio 3.4 Sabiendo que el descuento sobre un cheque a 12 d´ıas es de $ 230. Calcular el nominal si la tasa de descuento diaria aplicada es del 5%. Ejercicio 3.5 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 60 d´ıas de nominal $ 5.000. Que efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de descuento diario de 1%. ¿Cu´ antos d´ıas hay que adelantar un documento a esta tasa para que efectivo sea nulo? Ejercicio 3.6 Adelantamos 10 d´ıas un cheque a fecha de nominal $ 3.500, y nos entregan $ 3.150. ¿Cu´ al fue la tasa de descuento diario que nos aplicaron?
Poner m´as ejercicios!!!!!!!!
40
CHAPTER 3. DESCUENTO SIMPLE
3.0.4
Equivalencia de tasas de descuento simple.
Con respecto a las tasas de descuento surgen naturalmente dos preguntas, dada una tasa de descuento q-per´ıodica d(q) : 1. ¿Cu´ al es la tasa de descuento p-per´ıodica equivalente? 2. ¿Cu´ al es la tasa efectiva p-per´ıodica equivalente? Por definici´ on de equivalencia de tasas, dados un efectivo E, un nominal N , un per´ıodo de descuento de t a˜ nos, y dos tasas descuento d(p) y d(q) , con p, q ∈ Z, se dicen que son equivalentes si producen igual efectivo N 1 − qtd(q) = E = N 1 − ptd(p) , de donde concluimos la ecuaci´on fundamental de equivalencia de tasas de descuento simple qd(q) = pd(p) .
(3.5)
d(p) t a˜ nos
E
N
(q)
d
Como antes, usaremos d, en lugar de d(1) , para designar una tasa de descuento anual Ejemplo 3.7 Dada una tasa de descuento anual del 10% hallar la tasa d(p) , para k ∈ {2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}, equivalente. Por ejemplo, la tasa de decuento cuatrimestral equivalente es d
=
3d(3)
0, 10
=
3d(3) ,
de donde d(3) = 0, 03333333 . . . Ejercicio 3.8 Dada una tasa de descuento bimestral del 3,5% hallar la tasa d(p) , para k ∈ {1, 2, 3, 4, 12, 52, 360, 365}, equivalente.
Poner m´as ejercicios!!!!
41
3.0.5
Equivalencia entre tasas de descuento y de capitaliaci´ on simples.
Por definici´ on de equivalencia de tasas, dados un efectivo E, un nominal N , un per´ıodo de descuento de t a˜ nos, y p, q ∈ Z, la tasa de capitalizaci´on p-per´ıodica i(p) y la tasa de descueno q-per´ıodica d(q) , se dicen que son equivalentes si producen igual efectivo N N 1 − qtd(q) = E = 1 + pti(p) de donde llegamos a la relaci´ on fundamental de equivalencia entre tasas de capitalizaci´ on simple y de descuento simple (3.6) 1 − qtd(q) 1 + pti(p) = 1. Claramente esta equivalencia no es independiente del tiempo t considerado. i(p) t a˜ nos
E
N
(q)
d
Ejemplo 3.9 Dada una tasa de descuento mensual del 8% hallar la tasa de capitalizaci´ on simple diaria (comercial) i(360) equivalente para una operaci´ on a 2 meses. De (3.6)
2 (12) d 1 + 60i(360) 12 (1 − 2 · 0, 08) 1 + 60i(360)
1 − 12 ·
=
1.
=
1.
de donde
1 −1 0, 84 i(360) = = 0, 0031746 60 Ejercicio 3.10 Completar la siguiente tabla de tasa equivalentes 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
tasa 1 d(2) =? d(2) =? d(12) = 0, 023 d(12) = 0, 023 d(365) = 0, 01 d(360) =? d(360) =? d = 0, 18 d = 0, 18
tasa 2 i(6) = 0, 06 i(6) = 0, 06 i(4) =? i(4) =? i(360) = 0, 011 i(360) = 0, 035 i(360) = 0, 035 i =? i =?
tiempo 3 meses, 10 meses, 6 meses, 6 d´ıas, ¿? d´ıas, 5 d´ıas, 180 d´ıas, 1 a˜ nos 1/2 a˜ no.
42
CHAPTER 3. DESCUENTO SIMPLE
Poner m´as ejercicios 3.0.6
Equivalencia financiera revisada
Es posible usar descuento como ley financiera en la equivalencia financiara. T´ıpicamente esto se hace cuando la fecha focal f escogida no es posterior a ninguno de los capitales de las series de capitales involucradas, pero en realidad las u ´nica limitaci´ on que existe es lo que acuerden las partes involucradas. De hecho se puede usar un sistema para capitalizar y otro para descontar, e inclusive se puede usar una tasa para actualizar (o descontar) y otra para capitalizar. Aqui un ejemplo. Ejemplo 3.11 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y el u ´ltimo de $ 500 a los 9 meses. Por razones de flujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Calcular el monto del segundo pago si
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
fecha focal en meses f = 0 (hoy) f =6 f =5 f =6 f =6 f =6 f =6
sistema usado para actualizar descuento descuento descuento descuento simple descuento simple
tasa usada para actualizar d(12) = 0, 03 d(12) = 0, 02 d(12) = 0, 02 d(12) = 0, 025 i(12) = 0, 025 d(12) = 0, 03 i(12) = 0, 05
sistema usado capitalizar — descuento descuento simple descuento simple descuento
tasa usada para capitalizar — d(12) = 0, 02 d(12) = 0, 05 i(12) = 0, 025 d(12) = 0, 025 i(12) = 0, 02 d(12) = 0, 03
Debemos igualar lo valores a la fecha focal dada de ambas operaciones: valor de la valor de la on nueva operaci´ on original = operaci´ a la fecha focal f a la fecha focal f 1) Fecha focal el origen: f = 0 Tenemos que descontar todos los capitales al momento cero: 400 (1 − 3 · 0, 03) + 300 (1 − 6 · 0, 03) + 500 (1 − 9 · 0, 03)
=
500 (1 − 5 · 0, 03) + C (1 − 10 · 0, 023)
975
=
425 + 0, 77C
de donde concluimos que C = 714, 285714286 Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 714,28571 al usar como fecha focal el origen y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 3%. 2) Fecha focal a los seis meses: f = 6
43 Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, usando descuento 400 + 300 + 500 (1 − 3 · 0, 02) = 1 − 3 · 0, 02 1195, 5 =
500 + C (1 − 4 · 0, 02) 1 − 1 · 0, 02 510, 2 + 0, 92C,
de donde C = 744, 891304348 Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 744,8913 al usar como fecha focal 6 meses y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 3%. 3) Fecha focal a los cinco meses: f = 5 Usaremos descuento, pero con diferentes tasas para descontar d(12) = 0.02 y capitalizar d(12) = 0.05: 400 + 300 (1 − 1 · 0, 02) + 500 (1 − 4 · 0, 02) = 500 + (1 − 5 · 0, 02) C 1 − 2 · 0, 05 1198, 4 = 500 + 0, 9C de donde C = 775, 55556 Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 775,55556 al usar como fecha focal el 5to mes y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 2% para descontar y una tasa de descuento del 5% para capitalizar. 4) Fecha focal a los seis meses: f = 6 Usaremos descuento para actualizar, con tasa de decuento d(12) = 0, 025 y sistema simple para capitalizar, con una tasa i(12) = 0, 025: 400 (1 + 3 · 0, 025) + 300 + 500 (1 − 3 · 0, 025)
=
500 (1 + 1 · 0, 025) + C (1 − 5 · 0, 025)
1192, 5
=
512, 5 + 0, 875C
de donde C = 777, 142857143 Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 777,14286 usar como fecha focal el 6to. mes y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 2,5% para actualizar y una tasa (efectiva) simple del 2,5% para capitalizar. 7) Fecha focal a los seis meses: f = 6 Usaremos sistema simple para actualizar, con una tasa i(12) = 0, 05, y descuento para capitalizar, con tasa de decuento d(12) = 0, 03: 400 500 + 300 + 1 − 3 · 0, 03 1 + 3 · 0, 05
=
1174, 3
=
de donde C = 823, 55
500 C + 1 − 1 · 0, 03 1 + 5 · 0, 05 C 515, 46 + 1, 25
44
CHAPTER 3. DESCUENTO SIMPLE
Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 823,55 al usar como fecha focal el 6to. mes y utilizar una tasa (efectiva) simple mensual del 5% para actualizar y una tasa de descuento mensual del 3% para capitalizar. Ejercicio 3.12 Resolver los casos 5) y 6) del ejemplo anterior. Ejercicio 3.13 El se˜ nor Y debe $ 600 con vencimiento en hoy, $ 10.000 con vencimiento en 5 meses y $ 15.000 con vencimiento en 10 meses. Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 12 meses. Determinar el importe de dichos pagos si
1) 2) 3) 4) 5) 6)
fecha focal en meses f = 0 (hoy) f =6 f =6 f =6 f =6 f =0
sistema usado para actualizar descuento descuento descuento simple simple simple
tasa usada actualizar d(12) = 0, 037 d(12) = 0, 037 d(12) = 0, 037 i(12) = 0, 037 i(12) = 0, 037 i(12) = 0, 037
sistema usado capitalizar — descuento simple descuento simple simple
tasa usada capitalizar — d(12) = 0, 037 i(12) = 0, 037 d(12) = 0, 037 i(12) = 0, 037 i(12) = 0,037
¿Cu´ al de las 6 operaciones propuestas es la m´ as conveniente para el deudor? ¿Cu´ al es la m´ as conveniente para el acreedor? Nota 3.14 En el problema anterior, una cuesti´ on importante es hallar las fechas focales que minimizen (en el caso del deudor) o maximizen (en el caso del acreedor) los pagos, dentro del rango de tiempo de la operaci´ on en cuesti´ on. Por ejemplo, al graficar los pagos en funci´ on de la fecha focal tenemos los siguientes valores aproximados para los valores extremos para las operaciones 2) y 6)
2) 6)
fecha focal de pago m´ınimo f =0 f = 12
Pago m´ınimo 671.4375862 921.3632458
fecha focal de pago m´ aximo f = 12 f =0
Pago m´ aximo 1298.980462 1389.201350
De donde podemos concluir que, comparando entre 2) y 6), al deudor le conviene proponer un esquema de pago como el planteado en 2) pero con el origen como fecha focal, mientras que al acreedor le conviene proponer el esquema de pago 6), tambi´en con el origen como fecha focal.
Poner m´as ejercicios!!!!!!!!!!!
Chapter 4
Sistemas de capitalizaci´ on compuesta 4.1
Sistema de capitalizaci´ on compuesta
En el cap´ıtulo anterior consideramos la ley financiera de capitalizacion simple en la cual los intereses generados en un per´ıodo dado no son considerados para el c´ alculo de los intereses del per´ıodo siguiente. En este cap´ıtulo estudiaremos la ley financiera que surge al agregar al capital los intereses generados en un per´ıodo de tiempo dado para el c´ alculo de los intereses del per´ıodo siguiente, es lo que llamaremos capitalizaci´ on compuesta. Hoy en d´ıa la capitalizaci´ on compuesta es el sistema m´as usado por las instituciones financieras, por ello que este cap´ıtulo es de suma importancia para el estudio de la materia; aunque cada vez es m´as frecuente el uso del sistema de capitalizaci´ on continuo, el cual ser´a estudiado en el cap´ıtulo siguiente. Dado un capital inicial C0 , impuesto durante n p-per´ıodos a una tasa pperi´ odica i(p) , deseamos obtener una expresi´on anal´ıtica para Cn , el capital acumulado al momento n. Procederemos de manera inductiva observando en detalle que ocurre en los primeros pasos, a fin de inferir una expresi´on para Cn . Nota 4.1 Recordar que Ck es el capital disponible al momento k, es decir que Ck es simultaneamente el capital al final del per´ıodo k y el capital al inicio del per´ıodo k + 1. (poner dibujo) Usaremos la siguiente convenci´ on (coherente con el resto de la literatura). Asi cuando hablemos de un capital al per´ıodo k es equivalente a el capital al momento k, es decir un capital al final de per´ıodo k. (poner dibujo) El capital al final del primer per´ıodo, C1 , es la suma de C0 , el capital al 45
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
46
inicio del per´ıodo, m´ as C0 i(p) , los intereses generados durante este per´ıodo: C1
= C0 + C0 i(p) = C0 1 + i(p)
Similarmente C2 , el capital al final del segundo per´ıodo, es la suma de C1 , el capital al inicio del per´ıodo, m´as C1 i(p) , los intereses generados durante este per´ıodo C2
= C1 + C1 i(p) = C1 1 + i(p)
pero como C1 = C0 1 + i(p) , obtenemos C2 = C0 1 + i(p) 1 + i(p) 2 = C0 1 + i(p) An´ alogamente C3 , el capital al finalizar el tercer per´ıodo, es la suma de C2 , el capital al comienzo del per´ıodo, m´as C2 i(p) , los intereses generados durante este per´ıodo: C3
= C2 + C2 i(p) = C2 1 + i(p)
2 y ya que C2 = C1 1 + i(p) , obtenemos 3 C3 = C0 1 + i(p) De estas expresiones podemos inferir inductivamente que el capital acumulado al momento n ser´ a n Cn = C0 1 + i(p) (4.1) i(k) Cn−1
Cn
n−1
n
tiempo (modificar dibujo)
Ejemplo 4.2 Si depositamos $ 100 000 al 3 % mensual ¿Cu´ anto retiraremos del banco al cabo de 18 meses? El enunciado del ejemplo puede ser reformulado de la siguiente manera: Capitalizar $ 100 000 durante 18 meses al 3 % mensual. Por lo cual podemos
´ COMPUESTA 4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACION
47
usar la formula (4.1). En este caso C0
=
$ 100 000
p
=
12
n
=
18 meses
luego C18
18
=
100 000 (1 + 0.03)
=
170 243.306124
Recuerde que las tasas deben ser usadas en notacion decimal. Es decir, se debe usar 0.03 en lugar de 3 %. El m´etodo inductivo empleado para deducir la expresi´on (4.1) es propio de las ciencias experimentales, y nos permite obtener una expresion plausible para Cn , el capital acumulado hasta el momento n. Desde un punto de vista formal no hay garant´ıa de que la formula anterior sea correcta. A trav´es de un modelo recursivo podemos describir formalmente el funcionamieto de la capitalizaci´ on compuesta. Esto nos permitir´a usar la teor´ıa de recursividad desarrollada en el cap´ıtulo 2 para verificar la validez de la formula (4.1). Definici´ on 4.3 Se llama capitalizaci´ on compuesta a la ley financiera que establece que los intereses generados en un per´ıodo de tiempo dado son agregados al capital al principio del mismo para el c´ alculo de los intereses del per´ıodo siguiente. De acuerdo a la ley de capitalizaci´on compuesta, el capital al momento k + 1 es el capital al per´ıodo k Dado un capital inicial C0 , y una tasa de capitalizaci´on p-peri´odica i(p) , tenemos que el inter´es del n-´esimo p-per´ıodo de tiempo es: In = Cn−1 i(p) . El capital acumulado hasta el momento n (la cantidad de p-per´ıodos), es el capital acumulado hasta el per´ıodo anterior, el per´ıodo n − 1, m´as los intereses generados: Cn
= =
Cn−1 + Cn−1 i(p) Cn−1 1 + i(p) ,
con condici´ on inicial C0 = Co . Usando la teor´ ıa de relaciones recursivas desarrollada (caso g (n) = cte = 0, con A = 1 + i(p) 6= 1 y B = 0) para resolver Cn = Cn−1 1 + i(p) C0 = Co
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
48
concluimos que: n
Cn = C0 (1 + ip ) .
(4.2)
Cn $
In
Cn−1
In−1
In−1
I3
I3
I3
I2
I2
I2
I2
I1
I1
I1
I1
I1
C0
C0
C0
C0
C0
IT
C3
C2 C1 C0 C0 0
1
2
3
n−1
n
tiempo
La f´ ormula (4.2) sirve para obtener capitales financieramente equivalentes hacia el futuro. (poner dibujo)
´ COMPUESTA 4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACION
49
Pero tambi´en podemos usarla para obtener capitales financieramente equivalentes hacia el pasado (poner dibujo) para hacerlo basta despejar C0 de (4.2): C0 =
Cn n 1 + i(p)
Por ejemplo, a una tasa mensual del 1.2 %, $ 1 000 pesos dentro de un a˜ no son financieramente equivalentes a $ 866.626222411 hoy pues: 12
1000 = Choy (1 + 0.012)
,
despejando obtenemos Choy
=
Choy
=
1000 12
(1 + 0.012) 866.626222411.
Choy
1000 tiempo dentro de 1 a˜ no
hoy
Nota 4.4 En la f´ ormula (4.2) aparecen 4 variables relacionadas: capital inicial capital final tiempo tasa
C0 , Cn , n, i(p) .
Unas observaciones al respecto: 1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo que tenemos problemas donde debemos hallar el capital final Cn (se les suele llamar problemas de capitalizaci´ on), una variaci´ on de este tipo de problemas es hallar el inter´es total generado. Problemas donde debemos hallar el capital inicial C0 (se les suele llamar problemas de actualizaci´ on). Problemas donde debemos hallar el tiempo n, y finalmente problemas donde debemos hallar la tasa i(p) . 2. Dimensionalmente hablando, C0 y Cn son dinero. El tiempo y la tasa deben ser dimensionalmente compatibles: si la tasa es p-per´ıodica, el tiempo debe estar dado en p-per´ıodos, por ejemplo, si la tasa es mensual, n debe ser una cantidad de meses. Similarmente si n es una cantidad de trimestres, la tasa debe ser trimestral: una i(4) . Nota 4.5 En Argentina habitualmente se usa TEA para designar la tasa efectica anual i, y TEM para designar la tasa efectiva mensual i(12) : T EA T EM
≡ ≡
i i(12)
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
50
Ejemplo 4.6 Calcular el capital final o montante de $ 2 500 000 al 15 % anual, colocado durante a) 20 d´ıas, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 a˜ nos, e) t kper´ıodos. Soluci´ on. Todo el problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos de tiempo y la tasa. Por ahora s´olo podemos convertir los distintos per´ıodos de tiempo a a˜ nos: 20 a˜ nos, por lo que al cabo de 20 d´ıas tendremos a) 20 d´ıas son 365 20 C20 d´ıas = C 365
b) 3 meses son
20
a˜ nos
3 12
3 C3 meses = C 12
= 2500000 (1 + 0.15) 365 = 2 519 218.96888 pesos.
a˜ nos, por lo que al cabo de 3 meses tendremos 3
a˜ nos
= 2500000 (1 + 0.15) 12 = 2 588 895.19085 pesos.
c) 4 cuatrimestres son dremos C4 cuatrimestres = C 34
4 3
a˜ nos, por lo que al cabo de 4 cuatrimestres ten4
a˜ nos
= 2500000 (1 + 0.15) 3 = 3 012 107.46538 pesos.
d) Al cabo de 5 a˜ nos tendremos 5
C5 a˜nos = 2500000 (1 + 0.15) = 5 028 392.96875 pesos. e) En general si tenemos t k-per´ıodos, tenemos Ct k-per´ıodos = C kt
t k
a˜ nos, por lo que tendremos t
a˜ nos
= C0 (1 + i) k .
Ahora resolveremos el resto de los problemas tipo, en cada caso, se da la f´ ormula correspondiente. Ejemplo 4.7 Hoy extraemos del banco $ 23 650.50. ¿Cu´ al fue el capital original si nos han pagado una TEA del 18% y el dep´ osito fue pactado de 6 meses? Sabemos que
n Cn = C0 1 + i(p) ,
de donde C0
= = =
Cn n 1 + i(p) 23650.50
(4.3)
1
(1 + 0.18) 2 21772.
Ejemplo 4.8 Determinar el inter´es total obtenido al depositar $ 5 000 a plazo fijo por el t´ermino de 3 meses a una TEM 4.3%.
´ COMPUESTA 4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACION
51
Por definici´ on IT = Cfinal − Coriginal Es decir n = C0 1 + i(p) − C0 n = C0 1 + i(p) − 1
IT
(4.4)
Reemplazando IT
=
3 5000 (1 + 0.043) − 1
=
673.13
Ejemplo 4.9 Hallar el capital que produce unos intereses de $ 1 110 al cabo de 45 d´ıas, a una tasa diaria del 0.25%. Del problema anterior sabemos que n IT = C0 1 + i(p) − 1 (donde n es una cantidad de p-per´ıodos). Luego C0 =
1+
IT n (p) i
−1
,
(4.5)
reemplazando C0
= =
1110 (1 + 0.0025) 9334.4
45
−1
Ejemplo 4.10 Depositamos en un banco $ 5 000 y al cabo de 30 meses nos entregan $ 8 672.50. ¿Cu´ al es la TEM que nos pag´ o el banco? Como
n Cn = C0 1 + i(p) ,
tenemos que r (p)
i
=
n
Cn − 1. C0
Luego r
i
12
i.e., una TEM del 1.18527%.
8672.50 −1 5000 = 0.018527, =
30
(4.6)
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
52
Ejemplo 4.11 Durante cuantos d´ıas hay que imponer un capital de $ 3 000 a una i(365) = 0.0078, para obtener no menos de $ 4 100. Como
n Cn = C0 1 + i(p) ,
tomando logaritmos a ambos lados log Cn = n log 1 + i(p) de donde depejamos n=
log Cn − log C0 . log 1 + i(p)
(4.7)
Ahora nosotros deseamos 4100 ≤ 3000 (1 + 0.0078)
n
como la funci´ on logaritmo es mon´otona creciente log 4100 ≤ log 3000 + n log (1 + 0.0078) , luego n
log 4100 − log 3000 log (1 + 0.0078) ≥ 40.204, ≥
luego debemos imponer el capital al menos 41 d´ıas. Nota 4.12 Una funci´ on f : R → R se dice mon´ otona creciente sobre un intervalo I ⊂ dom (f ) si x < y impica que f (x) < f (y), con x, y ∈ I. Si adem´ as f es diferenciable sobre el interior de I y f 0 > 0 en I (i.e., f 0 (x) > 0 para toda x ∈ I), entonces f es mon´ otona creciente. Por ejemplo d M (log x) = > 0, para x > 0 dx x donde M = x > 0.
1 ln 10 .
Por lo tanto log es una funci´ on mon´ otona creciente para
Ejercicio 4.13 Calcular el capital final o montante que se obtendr´ a al colocar $ 25 500 a 6 meses a una TEA del 12.5 %. ¿A cu´ anto ascienden los intereses totales? Ejercicio 4.14 Calcular el montante que producir´ a un capital de $ 724 230, colocado al 7 % semestral durante 4 a˜ nos. Ejercicio 4.15 Determinar el inter´es obtenido por una empresa que efectu´ o un dep´ osito a plazo fijo por el t´ermino de 30 d´ıas, con excedentes de fondos por $ 8000 a una tasa del 11 % anual.
´ COMPUESTA 4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACION
53
Ejercicio 4.16 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 230500 impuestos a una TEM del 1.23 % durante 4 meses. Ejercicio 4.17 Hallar el capital necesario para producir un inter´es de $130 en una colocaci´ on por un plazo de 50 d´ıas en una entidad bancaria al 12 % anual. Ejercicio 4.18 Hace 87 d´ıas invertimos una cierta suma de dinero al 0.02% diario. Hoy nos entregan $ 75420.50 ¿Cu´ al fue el monto invertido originalmente? Ejercicio 4.19 Depositamos en un banco $ 15000 y al cabo de 8 meses no entregan $ 16672.20. ¿Cu´ al es la tasa de inter´es que nos pag´ o el banco? Ejercicio 4.20 Un inversor reembolsar´ a $ 4 995,50 por un dep´ osito concertado a 90 d´ıas por $ 3 700. Averiguar la TEA pactada. Ejercicio 4.21 Hallar la TEA necesaria para que un dep´ osito por $ 11 000 redit´ ue al inversor en 180 d´ıas, la mitad de la colocaci´ on. Ejercicio 4.22 ¿Cu´ al es la tasa de inter´es k-per´ıodica que nos permite duplicar el capital en t k-per´ıodos? Ejercicio 4.23 ¿Cu´ anto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un capital al 5% bimestral? Ejercicio 4.24 ¿Cu´ antos per´ıodos son necesarios para duplicar un capital a una tasa k-per´ıodica i(k) ? Ejercicio 4.25 Una empresa con excedentes de fondos por $ 20 000 efect´ ua dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 d´ıas al 1.5 % mensual, y otra durante 15 d´ıas a una TEM del 1.25%. Averiguar los importes de los dep´ ositos, sabiendo que las inversiones producen igual inter´es. Ejercicio 4.26 Ud. posee $ 355 000. Decide invertilos en dos proyectos que le pagaran respectivamente el 1.2 % bimestral y el 2.1 % trimestral. Qu´e porcentaje de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en concepto de intereses, es decir, a los 6 meses los intereses que le paga cada uno de los proyectos deben ser iguales. Si ahora deseamos ambos proyectos nos paguen los mismos intereses totales a lo largo de 1 a˜ no ¿cu´ anto deberemos colocar en cada uno de los proyectos? Ejercicio 4.27 Un capital por $ 3 800 se impuso a inter´es simple durante 7 d´ıas al 11.2 % anual; luego el capital acumulado se impuso por el t´ermino de 15 d´ıas al 11.7% anual; y por u ´ltimo se consigui´ o colocarlo 30 d´ıas a una TEA 13.5 %. Calcular el inter´es total y la tasa real de la operaci´ on citada. (Respuesta: I = $ 68.93, i = 12.73 %). Ejercicio 4.28 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes alternativas:
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
54
1. Mercado de financiamiento oficial, $ 8 600 a una TEA del 12 %. 2. Mercado de financiamiento marginal, $ 7 200 al 18.5 % anual. Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montos iguales. (Respuesta: n = 4.6667 a˜ nos ≈ 4 a˜ nos y 8 meses). Ejercicio 4.29 Se desea saber c´ omo influir´ a una comisi´ on de gastos fija sobre el rendimiento de una inversi´ on. A este efecto se nos comenta que, cualquiera sea la inversi´ on, la comisi´ on ascender´ a a $ 3 000. ¿Qu´e incidencia tendr´ a sobre nuestra inversi´ on de $ 2 000 000 al 12 % anual?, es decir, ¿Cu´ al es la tasa real de la operaci´ on?. ¿Y si la inversi´ on fuera de $ 500 000 al mismo tipo?
4.2 4.2.1
Tasas Equivalencias de tasas compuestas
Tenemos las siguientes opciones de inversi´on: colocar $ 1.000 al x% anual durante un a˜ no, o colocar los mismos $ 1.000 al y% mensual durante un a˜ no. Como nos interesa tener un mayor capital final, la pregunta es ¿Qu´e opci´on de inversi´on nos conviene? Deduciremos ahora la ecuaci´on fundamental de equivalencia de tasas en el sistema de capitalizaci´on compuesto: Supongamos que un capital inicial C0 es impuesto durante t a˜ nos, donde t > 0 es un n´ umero real (pero no necesariamente entero). La tasa p-per´ıodica i(p) y la tasa q-per´ıodica i(q) , con p, q ∈ Z+ , son equivalentes si producen id´entico capital final: i(p) t a˜ nos
C0
Cf
(q)
i
pt qt C0 1 + i(p) = Cf = C0 1 + i(q) Al simplificar nos queda
1 + i(p)
p
q = 1 + i(q)
Acabamos de demostrar: Proposici´ on 4.30 Dados p, q ∈ Z+ , en el sistema de capitalizaci´ on compuesta dos tasas i(p) y i(q) , son financieramente equivalentes si cumplen la siguiente relaci´ on: p q 1 + i(p) = 1 + i(q) (4.8)
4.2. TASAS
55
Ejemplo 4.31 ¿Cu´ al es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del 7%? Usando la ecuaci´ on (4.8) de equivalencia de tasas en capitazaliaci´on compuesta para i(12) y i(4) : 12 4 1 + i(12) = 1 + i(4) despejando i(12) i
(12)
q
=
12
q
i(12)
=
i(12)
=
12
1 + i(4)
4
−1
4
(1 + 0, 07) − 1
0, 02280912177
Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1.000 durante 6 meses a una tasa trimestral del 7 %, que ponerlos a una tasa del 2,280912177 % mensual 2
1000 (1 + 0, 07) = 1.144, 9 = 1.000 (1 + 0, 02280912177)
6
O que es lo mismo poner $ 500 (o cualquier otra suma) durante 8 meses (o cualquier otro intervalo de tiempo) con cualquiera de estas dos tasas: 8
500 (1 + 0, 07) 3 = 598, 86199408 = 500 (1 + 0, 02280912177)
8
Nota 4.32 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la propia deduci´ on de f´ ormula (4.8), la equivalencia de tasas en capitalizaci´ on compuesta es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas producen igual montante al cabo de t1 a˜ nos, ser´ an equivalentes y verificar´ an (4.8). Por lo tanto producir´ an igual montante al cabo de t2 a˜ nos, para cualquier t2 6= t1 : pt2 h p i t2 C0 1 + i(p) = C0 1 + i(p) h q it2 = C0 1 + i(q) qt2 = C0 1 + i(q) Similarmente, la equivalencia de tasas en capitalizaci´ on compuesta es independiente del monto inicial usado. Ejercicio 4.33 Dada una i(2) = 0, 03, hallar la i(k) equivalente para k ∈ {1, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365} Ejercicio 4.34 Dada una tasa de inter´es anual del 25 %. Hallar las tasas subper´ıodicas equivalentes, i.e., hallar i(k) equivalente a la tasa dada para k ∈ {2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}. Expresar los resultados usando porcentajes.
56
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
Ejercicio 4.35 Dados p, q ∈ Z+ , y un n´ umero real c > 0. Si i(p) = c = i(q) , para cualquier C0 > 0 (dinero) y cualquier t > 0 (tiempo en a˜ nos) demostrar que tp tq C0 1 + i(p) < C0 1 + i(q) , si y s´ olo si p < q. Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuencia produce mayor montante. Ejercicio 4.36
Poner m´ as ejercicios!!!!
Tasas nominales T´ıpicamente, al ciudadano promedio, una tasa del 0, 023 % diario, no le dice mucho (no alcanza a percibir si es mucho o poco) una forma de lidiar con este problema es calcular TEA equivalente: i = 0, 087564016. Pues una tasa anual del 8,7564016 % es m´ as informativa que una tasa del 0, 023 % diario. Otra forma de hacerlo es informar la tasas de manera seudo-anualizada: multipicando la tasa por las veces que capitaliza en el a˜ no, en nuestro caso 0, 023% · 365 = 8, 395% Esta costumbre informar las tasas efectivas de forma anual (multipicando la tasa por las veces que capitaliza en un a˜ no), es lo que da origen a lo que se conoce como tasas nominales. Est´as son de caracter meramente informativo y deben ser convertidas a tasas efectivas para poder usar las f´ormulas ya deducidas. Definici´ on 4.37 Dada una tasa efectiva k-per´ıodica i(k) , con k > 1, la tasa nominal de capitalizaci´ on k-per´ıodica correspondiente es J (k) = ki(k)
(4.9)
Nota 4.38 En Argentina la tasa nominal m´ as usada es la tasa nominal de capitalizaci´ on mensual: J (12) . Esta habitualmente recibe el nombre de tasa nominal anual TNA. Ejemplo 4.39 Hallar las tasas nominales asociadas a las siguientes tasas efectivas 1) i(2) = 0, 04 2) i(3) = 0, 12 3) i(4) = 0, 025 4) i(6) = 0, 012 (12) 5) i = 0, 076 6) i(52) = 0, 003 7) i(360) = 0, 01 8) i(365) = 0, 002
4.2. TASAS
57
1) Usando la f´ ormula (4.9) la tasa nominal semestral (o de capitalizaci´on semestral) asociada a la tasa efectiva semestral i(2) = 0, 04 es J (2) = 2i(2) = 2 · 0, 04 = 0, 08 T´ıpicamente las tasas nominales son expresadas en forma porcentual: la tasa nominal semestral es del 8 %. 5) En este caso, queremos hallar la tasa nominal mensual J (12) asociada a una tasa efectiva mensual i(12) = 0.076. Recordar que en Argentina la J (12) es llamada T N A, tasa nominal anual. Usando la f´ormula (4.9) la TNA asociada a la tasa efectiva mensual i(12) = 0.076 es T N A = J (12) = 12i(12) = 12 · 0.076 = 0.912 Es decir, una TNA del 91,2 % esta asociada (informa o hace referencia) a una TEM del 7,6%. Ejercicio 4.40 Hallar el resto de las tasas nominales asociadas a las tasas efectivas dadas en el ejemplo anterior. Ejemplo 4.41 Hallar la tasa efectiva asociada a una TNA del 21,5%. Recordando que una TNA es una J (12) , tenemos que la tasa efectiva asocida a una TNA es una i(12) (mensual). Usando la f´ormula (4.9) T N A = J (12) = 12i(12) de donde
0, 215 J (12) = = 0, 017917 12 12 Ejercicio 4.42 Hallar las tasas efectivas asociadas a las siguientes tasas nominales 1) J (2) = 31% 2) J (3) = 18% 3) J (4) = 25% 4) J (6) = 12% 5) T N A = 41% 6) J (52) = 46% 7) J (360) = 31% 8) J (365) = 10% i(12) =
Ejemplo 4.43 Hallar la TNA equivalente a una tasa nominal trimestral del 18%. Este ejercicio consta de tres pasos: 1. Hallar la tasa efectiva asociada a la J (4) : la tasa efectiva trimestral i(4) . J (4)
=
i(4)
=
4i4 , 0, 18 J (4) = = 0, 045 4 4
58
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION 2. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) i(12) equivalente a la i(4) .
1 + i(12)
12
i(12)
=
4 1 + i(4) q 4 12 1 + i(4 ) − 1 q 12 4 (1 + 0, 045) − 1
=
0, 01478
= =
3. Hallar la TNA asociada a la i(12) encontrada. J (12) = 12i(12) = 12 · 0, 01478 = 0, 17736 Luego, una TNA del 17,736% en equivalente a una tasa nominal trimestral del 18%.
J (p)
Deseamos hallar
J (q)
1
i(p)
3
2
i(q)
Del ejemplo anterior es f´acil deducir dos tasas nominales J (p) y J (q) son equivalentes si p q J (p) J (q) 1+ = 1+ (4.10) p q Ejercicio 4.44 Hallar la TNA equivalente a una tasa nominal bimestral del 23,5%. Ejercicio 4.45 Hallar la tasa nominal diaria (comercial) equivalente a una TNA del 31,2%. La principal ventaja (para los acreedores) de informar la tasa de forma nominal es que siempre es un n´ umero menor que la tasa efectiva anual equivalente: Ejemplo 4.46 Un comercio cobra una TNA del 18%. ¿C´ ual es la TEA que realmente estamos pagando? Primero calculamos la TEM asociada a la TNA: i(12) =
0, 18 J (12) = = 0, 015 12 12
4.2. TASAS
59
luego calculamos la TEA equivalente a la TEM 12 (1 + i) = 1 + i(12) 12 i = 1 + i(12) −1 =
(1 + 0, 015)
=
0, 19562
12
−1
Efectivamente, dada una tasa nominal J (k) , la TEA equivalente es k J (k) (k) = 1+ ieq J −1 k La cual, fijada k > 0, es una funci´ valor de J (k) . on del (k) (k) Ahora, verificar que ieq J > J , es equivalente a comprobar que ieq J (k) − J (k) > 0 (4.11) Consideremos la funci´ on f : R2 → R, x k −1−x f (x, k) := 1 + k es claro que siempre que k > 1 f (0, k) = 0 ∂f x k−1 (x, k) = 1+ − 1 > 0, para toda x > 0 ∂x k B´ asicamente, porque todas las funciones de la forma xα para α > 0, son estrictamente crecientes y como xk > 0 tenemos que 1 + xk > 1. Por lo tanto, si k > 1, tenemos que x k − 1 − x > 0, para toda x > 0 f (x, k) = 1 + k de donde podemos concluir (4.11). Nota 4.47 Aca estamos usando que si f es diferenciable y para alg´ un a ∈ R se cumple que 1. f (a) ≥ 0 2. f 0 (x) > 0 para todo x > a Entonces podemos concluir que f (x) > 0 para todo x > a. Ejercicio 4.48 Hallar la TEA equivalente a una J (k) = 30% para k ∈ {2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365, 8.760, 525.600} Ejercicio 4.49 Hallar la TEA equivalente a una J (k) = 12% para k ∈ {2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365, 8.760, 52.5600}
poner m´as ejercicios!!!!!!!!!!!!
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
60
4.2.2
Breve diccionario de tasas nominales
Existe una multitud de expresiones que se usan para expresar una tasa nominal. Por ejemplo para designar una J (3) del 23 % se suele decir: 1. 23 % nominal anual capitalizable trimestralmente. 2. 23 % nominal capitalizable trimestralmente. 3. 23 % nominal trimestral (forma empleada en este libro). 4. 23 % anual capitalizable trimestralmente. 5. 23 % anual a trimestre vencido (o simplemente 23 % ATV). 6. 23 % capitalizable trimestralmente. 7. 23 % trimestre vencido (o simplemente TV). Siendo muy facil de confundir la u ´ltima con una tasa efectiva. Inclusive algunos autores hablan de tasas nominales no anuales. Por ejemplo 19 % semetral capitalizable bimestralmente es una forma de referirse a una tasa bimestral, informada de manera semestral, por lo que la tasa efectiva asociada a esta tasa nominal es i(2) = 0, 095 =
0, 19 2 = 0, 19 3 6
En general una tasa t % p-per´ıodo capitalizable q-per´ıodicamente hace referencia a una tasa q-per´ıodica, informada de maneral p-per´ıodica: i(q) =
t (las veces que entra un q-per´ıodo en un p-per´ıodo) 100
donde generalmente las veces que entra un q-per´ıodo en un p-per´ıodo =
p q
Como ocurre en el siguiente ejemplo: una tasa del 20 % cuatrimestral capitalizable mensualmente, hace referencia a una tasa mensual i(52) = 0, 2
3 = 0, 05 12
Pero este no siempre es el caso. Por ejemplo, una tasa de 15 % mensual capitalizable semanalmente, hace referencia a una tasa semanal i(52) = 0.15
1 = 0, 0375 4
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
61
y no a 0.15
12 = 0.34615385 52
Como regla general, si no aparece la palabra nominal, la aparici´on de dos unidades temporales asociadas a la tasa es un buen indicio de que la tasa que nos estan informado es una tasa nominal, donde la unidad temporal menor, nos indica la tasa efectiva a la que esta asociada la tasa nominal en cuesti´on.
4.3
Equivalencia financiera de dos o m´ as series de capitales en capitalizaci´ on compuesta
Ya que sabemos calcular el equivalente financiero de un capital para distintos momentos en capitalizaci´ on compuesta, podemos verificar cuando dos series de capitales son financieramente equivalentes con dicho sistema (recordamos que ´este es el segundo concepto fundamental de matem´aticas financieras). Una serie de capitales A1 , A2 , . . . , An disponibles en los momentos ta1 , ta2 , . . . , tan , es equivalente a la serie de capitales B1 , B2 , . . . , Bm disponibles en los momentos tb1 , tb2 , . . . , tbm , a una fecha focal f , para un agente dado (tasa), bajo una ley financiera dada (sistema) si n X
Aj al momento f =
j=1
j=1
A1
Bj al momento f
j=1
Pm
B1
m X
Bj al momento t
B2 A2
B3
t
A3
Pn
j=1
Bm An
Aj al momento t
(MODIFICAR DIBUJO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) El equivalente financiero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasa p-per´ıodica i(p) en el sistema de capitalizaci´on compuesto es f −taj Aj al momento t = Aj 1 + i(p) Donde el intervalo de tiempo entre t y taj es medido en p-per´ıodos, para que sea dimensionalmente compatible con la tasa i(p) usada.
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
62
Nota 4.50 Si f ≥ taj , entonces debemos capitalizar el capital Aj desde taj hasta f f −taj Aj al momento t = Aj 1 + i(p) capitalizaci´ on Aj 1 + i(k)
Aj taj
f −taj
f
Modificar dibujooooo!!!!!!!!!!!!! Pero si f < taj , entonces debemos actualizar el capital Aj desde desde taj hacia f Aj al momento t
f −taj = Aj 1 + i(p) Aj
=
1 + i(p)
taj −f
actualizaci´ on Aj
ta −f
(1+i(k) ) j
Aj taj
f
(MODIFICAR DIBUJO) Proposici´ on 4.51 Dada una tasa efectiva p-per´ıodica i(p) , la serie de capitales A1 , A2 , . . . , An disponibles en los momentos ta1 , ta2 , . . . , tan es financieramente equivalente a la serie de capitales B1 , B2 , . . . , Bm disponibles en los momentos tb1 , tb2 , . . . , tbm , a la fecha focal f en el sistema de capitalizaci´ on compuesta si n m f −taj f −tbj X X Aj 1 + i(p) = Bj 1 + i(p) (4.12) j=1
j=1
donde todos los datos temporales deben ser expresados en p-per´ıodos. Ejemplo 4.52 La se˜ norita Viviana desea sustituir el siguiente esquema de pagos: $ 150.000 hoy, $ 150.000 a los dos a˜ nos y $ 150.000 a los 4 a˜ nos, por dos pagos iguales, el primero al a˜ no, y el segundo a los 3 a˜ nos. Hallar el nominal de los montos a pagar usando una tasa anual i = 0, 35, y como fecha focal el origen. Volver a resolver el problema usando como fechas focales 2 a˜ nos y 4 a˜ nos.
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES C 0
C
1
$ 150000
63
2
3
$ 150000
4
5
a˜ nos
$ 150000
El valor del primer esquema de pago: $ 150.000 hoy, $ 150.000 a los 2 a˜ nos y $ 150-000 a los 4 a˜ nos, a la fecha focal f (en a˜ nos) usando la tasa anual i = 0, 35 es f −2
f
150.000 (1 + 0, 35) + 150.000 (1 + 0, 35)
f −4
+ 150.000 (1 + 0, 35)
,
El valor del segundo esquema de pago: $ x dentro de 1 a˜ no y $ x dentro de 3 a˜ nos, a la fecha focal f (en a˜ nos) usando la tasa anual i = 0, 35 es f −1
x (1 + 0, 35)
f −3
+ x (1 + 0, 35)
Por ejemplo, usando como fecha focal el origen, f = 0, tenemos por (4.12) 150.000 +
150.000 2
(1 + 0, 35)
+
150.000
=
4
(1 + 0, 35) 277.464, 76
=
x x + 1 + 0, 35 (1 + 0, 35)3 1, 1471822848 x,
luego x = 241.866, 20 pesos. Si ahora usamos como fecha focal f = 2 a˜ nos 2
150.000 (1 + 0, 35) + 150.000 +
150.000 2
(1 + 0, 35) 505679, 5267
x 1 + 0, 35 2, 090740741 · x
= x (1 + 0, 35) + =
luego x = 241.866, 20 pesos. Hemos obtenido el mismo resultado con una u otra fecha focal (Se insta al lector volver a calcular el monto de los nuevos pagos usando cualquier otra fecha focal que se le ocurra, deber´ıa obtener siempre x = 241.866.20 pesos). El ejemplo anterior sugiere que la equivalencia financiera en capitalizaci´on compuesta es independiente de la fecha focal elegida. Veamos que este siempre es el caso. Dada una tasa efectiva p-per´ıodica i(p) , supongamos que la serie de capitales A1 , A2 , . . . , An , disponibles en los momentos ta1 , ta2 , . . . , tan es financieramente equivalente a la serie de capitales B1 , B2 , . . . , Bm , disponibles en los momentos tb1 , tb2 , . . . , tbm , a la fecha focal f1 , bajo capitalizaci´on compuesta: Al momento
n X j=1
Aj 1 + i(p)
f1 −tj
|
f1 {z ↓ =
}
m X l=1
f1 −tl Bl 1 + i(p) .
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
64
Veamos que las mismas son equivalentes a cualquier otra fecha focal f2 6= f1 n n f2 −taj X X Aj al momento f2 = Aj 1 + i(p) j=1
=
j=1 n X
f2 −f1 +f1 −taj Aj 1 + i(p)
j=1
=
n X
f2 −f1 f1 −taj Aj 1 + i(p) 1 + i(p)
j=1
=
1 + i(p)
n f2 −f1 X
f1 −tj Aj 1 + i(p)
j=1
|
n X
{z
}
Aj al momento f1
j=1
=
1 + i(p)
m f2 −f1 X
f1 −tbj Bj 1 + i(p)
j=1
|
m X
{z
}
Bj al momento f1
j=1
=
m X
f2 −f1 f1 −tbj Bj 1 + i(p) 1 + i(p)
j=1
=
=
m X j=1 m X
f1 −tbj +f2 −f1 Bj 1 + i(p) f2 −tbj Bj 1 + i(p)
j=1
=
m X
Bj al momento f2
j=1
Por lo tanto en capitalizaci´on compuesta se puede usar cualquier fecha como fecha focal en la equivalencia financiera sin alterar el resultado final. Ejemplo 4.53 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y u ´ltimo de $ 500 a los 9 meses. Por razones de flujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por dos: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2,5% mensual. Debemos igualar los valores a una fecha focal dada de ambas operaciones: valor de la valor de la operaci´on original = operaci´on nueva a la fecha focal f a la fecha focal f
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
65
Usando como fecha focal: f = 6 meses fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3
4
$ 400
5
6 $ 300
7
8
9
10
meses
$ 500
Debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos ser´an capitalizados (los que est´ an disponibles antes de los 6 meses), otros ser´an actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6 meses no cambian C 500 3 = 500 (1 + 0, 025) + 400 (1 + 0, 025) + 300 + 3 4 (1 + 0, 025) (1 + 0, 025) C 1.195, 055956 = 512, 5 + 1, 10381289062 de donde C = 753, 4140631 Ejercicio 4.54 Una deuda de $ 2.000 vence en un a˜ no. Si el deudor paga $ 600 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento si la tasa convenida para la operaci´ on es una TEM del 2,85%. Ejercicio 4.55 El se˜ nor Ignacio debe $ 25.000 con vencimiento en 2 meses, $ 10.000 con vencimiento en 5 meses y $ 15.000 con vencimiento en 8 meses. Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo una TNA del 26%. Ejercicio 4.56 ¿Con qu´e cantidad se cancela hoy d´ıa, un pr´estamo que se consigui´ o dos meses antes habi´endose firmado dos documentos; uno con valor nominal de $ 6.000 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 7.500 de valor nominal y vencimiento a 5 meses del pr´estamo?. Suponga intereses del TEA de 20%. Problemas con almanaque Ejercicio 4.57 El 10 de enero del corriente a˜ no se otorga un pr´estamo amparado con dos pagar´es con vencimiento al 15 de marzo y al 3 de mayo por $ 1.300 y $ 800 respectivamente. Poco despu´es, se conviene en cancelarlo con tres pagos: el primero por $ 500 el 20 de febrero, el segundo por $ 1.000 el 30 de abril y el tercero el d´ıa 10 de junio, ¿De qu´e cantidad es este u ´ltimo pago si se cargan intereses del 30% bimestral, ¿A cu´ anto asciende el monto del pr´estamo?
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
66
Ejercicio 4.58 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12.725, $ 11.022 y $ 8.774, con vencimiento los d´ıas 15 de mayo, 4 de junio y 25 de junio, respectivamente, por uno u ´nico el d´ıa 1 de junio; ¿a cu´ anto ascender´ a el capital si se aplica una TNA del 25,6% anual a la operaci´ on?. Ejercicio 4.59 ¿Con qu´e cantidad se cancela hoy d´ıa, un pr´estamo que se consigui´ o dos meses antes habi´endose firmado dos documentos; uno con valor nominal de $ 60.000 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 75.000 de valor nominal y vencimiento a 5 meses del pr´estamo?. Suponga una TEA 20%. Ejercicio 4.60 Deseamos sustituir dos pagares de $ 145.000 y $ 123.000, con vencimientos el 12 de abril y el 15 de junio, respectivamente, por otros tres de igual monto, con vencimientos 10 de mayo, 10 de junio y 10 de agosto. Resolver el problema usando: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Ejercicio 4.61
4.3.1
tasa TEA del 21%, TNA del 21%, TEM 1,8%, 2,2% efectiva bimestral, 2,2% nominal bimestral, 0,05% efectiva diaria civil (365), 0,05% efectiva diaria comercial (360), 2,4% efectiva trimestral, 2,4% nominal trimestral.
poner m´ as ejercicios!!!!!!!!!!!
Tasa media
Consideremos el siguiente ejemplo Ejemplo 4.62 Ud. tiene $ 130.000 invertidos al 18% anual, $ 150.000 al 8% semestral y % 145.000 al 2% mensual por el t´ermino de 2 a˜ nos. ¿Qu´e tasa diaria (durante 2 a˜ nos) deber´ıa ofrecerle una entidad financiera para que ud. coloque todo su capital, $ 425.000, en la misma? Este no es m´ as que un problema de equivalencia financiera de capitales, donde la incognita es una tasa.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!! Al cabo de 2 a˜ nos, las inversiones originales generan el siguiente monto 2
4
24
130.000 (1 + 0, 18) + 150.000 (1 + 0, 08) + 145.000 (1 + 0, 02) La operaci´ on nueva genera al cabo de 2 a˜ nos 730 (365) 425.000 1 + imedia
= 618.308, 7451
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
67
si queremos que ambas operaciones sean equivalentes, tenemos que 730 (365) 618.308, 7451 = 425.000 1 + imedia de donde (365) imedia
r
= =
618.308, 7451 −1 425.000 0, 000513692 730
Por lo que la tasa que buscamos, conocida como la tasa media diaria de la (365) operaci´ on es imedia = 0, 000513692. Por lo tanto, la entidad financiera debe ofrecerle al menos un 0, 000513692% diario. Con esta tasa ambas operatorias producen el mismo ingreso al cabo de dos a˜ nos. Veamos que para otros horizontes temporales estas operaciones dan diferentes montos. Ahora, al cabo de un a˜ no, las tasas originales producen 2
12
130.000 (1 + 0, 18) + 150.000 (1 + 0, 08) + 145.000 (1 + 0, 02)
= 512.255, 0603
mientras que con la segunda operatoria 365
425.000 (1 + 0, 000513692)
= 512.621, 9364
Por lo que se ve, que para tiempos inferiores a los dos a˜ nos, estas operatorias dan diferentes. Por otro lado, al cabo de 5 a˜ nos, las tasas originales producen 5
10
60
130.000 (1 + 0, 18) +150.000 (1 + 0, 08) +145.000 (1 + 0, 02)
= 1.096.996, 722
mientras que con la segunda operatoria 1825
425.000 (1 + 0, 000513692)
= 1.085.001, 189
Es interesante comparar la tasa media de la operaci´on, contra la tasa promedio de la misma. En este caso la tasa promedio diaria se consigue promediando las tasas diarias equivalentes a las tasas originales 365 1 (365) (365) 1 + i1 = 1 + 0, 18 =⇒ i1 = (1 + 0, 18) 365 − 1 = 0, 000453567 365 2 (365) (365) 2 1 + i2 = (1 + 0, 08) =⇒ i2 = (1 + 0, 08) 365 − 1 = 0, 000421793 365 12 (365) (365) 12 = (1 + 0, 02) = (1 + 0, 02) 365 − 1 = 0, 000651257 1 + i3 =⇒ i3 Luego la tasa promedio diaria de la operaci´on es (365)
i1
(365)
+ i2
3
(365)
+ i3
= =
0, 000453567 + 0, 000421793 + 0, 000651257 3 0, 0005088723333
68
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
En este caso se observa que la tasa promedio de la operaci´on es superior a la tasa media de la misma. La operaci´ on financiera anterior ocurre con relativa frecuencia, por lo que amerita el desarrollo de f´ormulas generales. En general dada una serie de operaciones consistente de colocar n capitales Cj , con j = 1, . . . , n, a las tasas qj -per´ıodicas i(qj ) , con j = 1, . . . , n, durante t a˜ nos, deseamos sustituir este conjunto de inversiones por una u ´nica inversi´on por la suma total de los capitales involucrados C=
n X
Cj
j=1
que produzca el mismo rendimiento en t-a˜ nos. Cn
Cn 1 + i(pn )
pn t
C2
C2 1 + i(p2 )
p2 t
C1
C1 1 + i(p1 )
p1 t
hoy
dentro de t a˜ nos ! kt n P (k) Cj 1 + imedia
tiempo
n P
! Cj
j=1
j=1
(p)
La tasa media equivalente p-per´ıodica imedia es la tasa que produce la equivalencia financiera entre estas operaciones n X
tqj tp (p) Cj 1 + i(qj ) = C 1 + imedia
j=1
de donde podemos despejar la tasa media equivalente v u X u1 n q j t (p) t imedia (t) = pt Cj 1 + i(qj ) −1 C j=1
(4.13)
Nota 4.63 Observe que la f´ ormula para la tasa media de una serie de capitales en el sistema compuesto depende del tiempo t, los capitales Cj y de las tasas qj -per´ıodicas i(qj ) , con j = 1, . . . , n. Usando un poco de C´alculo se puede probar que en el sistema compuesto la tasa media tiende a la tasa m´as alta a medida que el horizonte temporal de la operaci´ on tiende se hace m´as largo v ( ) u X n qpj u 1 q t (p) j t lim i (t) = lim pt −1 Cj 1 + i(qj ) − 1 = max 1 + i(qj ) t→∞ media t→∞ 1≤j≤n C j=1
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
69
i.e., para el ejemplo que venimos trabajando, a medida que aumentamos el tiempo de la operaci´ on la tasa media diaria tiende 0, 000651257 (p)
imedia (2)
=
0, 000513692
(p) imedia (5) (p) imedia (10) (p) imedia (100)
=
0, 000519720
=
0, 000530070
=
0, 000621801 .. .
=
0, 000651257
(p)
imedia (∞)
(p)
Nota 4.64 Adem´ as, dados p, q ∈ Z, es evidente que las tasas medias imedia y (q) imedia (calculadas con respecto a una misma serie de capitales) son equivalentes:
1+
(p) imedia
p
v u X n q u qj t 1 (q) t t Cj 1 + i(qj ) = 1 + imedia = C j=1
(4.14)
Ejemplo 4.65 Tenemos dos opciones de inversi´ on: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 60% del mismo al 7% anual, y el 40% restante al 4.1% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 1.25 mensual. ¿Cu´ al de las opciones es la m´ as ventajosa?
En esta situaci´ on debemos comparar dos inversiones, una de las cuales involucra m´ as de una tasa. Usaremos tasa media para resolverla. Dado un intervalo (12) tiempo de t a˜ nos, queremos hallar una tasa media imedia 12-per´ıodica (mensual), que nos produzca la misma ganancia: t
4t
0.60C (1 + 0.07) + 0.40C (1 + 0.041)
12t (12) = C 1 + imedia
despejando (12)
imedia =
q
12t
t
4t
0.60 (1 + 0.07) + 0.40 (1 + 0.041) − 1 = 0.00896666 . . . (4.15)
Claramente la tasa media resulta una funci´on del tiempo. Podemos graficar (12) imedia (t) y verificar que (12)
imedia (t) ≤ 0.0125 para todo t ≤ 78 a˜ nos
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
70
tasa mensual
0.0150 0.0125 0.0100 0.0075 0.0050 0.0025 tiempo en a˜ nos 0
50
100
150
200
78.51865948 a˜ nos Ahora es claro que la segunda opci´on (no dividir el capital) es la m´as conveniente si: (12) (12) i2 = 0.0125 > imedia En general no se puede despejar t de la expresi´on (4.15), por lo que se deben usar m´etodos num´ericos para hallar el tiempo de “equilibrio” (la cantidad de a˜ nos a la que somos indiferentes entre una o otra opci´on). Usando Maple student edition, hallamos que para este ejemplo el tiempo de equilibrio es t = 78.51865948 a˜ nos Ejercicio 4.66 Tenemos dos opciones de inversi´ on: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 30 % del mismo al 18 % anual, y el 70 % restante al 6.5 % trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 0.5 % semanal. ¿Cu´ al de las opciones es la m´ as ventajosa? Ejercicio 4.67 Actualmente tenemos $ 25.000 en el banco A, que nos paga una TEA del 13.5 %, $ 13.000 en LEBAC’s (letras del Banco Central) que pagan una TNA del 15.7 % y $ 35.000 en bonos de la empresa B que pagan un 8.1% semestral. Qu´e redimiento anual nos deber´ıa ofrecer el banco C a tres a˜ nos para que depositemos en ´el todo nuestro capital. Ejercicio 4.68 Actualmente disponesmos de $ 75.000 en acciones de una empresa de soft que historicamente han obtenido un redimiento del 8.1 % anual.
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
71
Debido a la volatilidad del mercado decidimos partir nuestro capital en dos: en bonos de bajo riesgo, que ofrecen un redimiento semestral de 2.4 %, y en una compa˜ nia financiera que nos ofrece un rendimiento mensual del 1.3 %. ¿Qu´e porcentaje de nuestros fondos debemos invertir en cada opci´ on para obtener el mismo rendimiento al cabo de un a˜ no que la inversi´ on original? Ejercicio 4.69 Tenemos $ 100.000 para invertir. Se nos presentan tres opciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 2,5% mensual. La segunda en comprar $ 60.000 en bonos del estado que pagan un 8,2% trimestral y el resto en el banco al 1,8% mensual. La tercera consiste en comprar obligaciones de empresas privadas: $ 30.000 en opciones de la empresa A, que rinden un 21% semestral, $ 40.000 en opciones de la empresa B, que rinden un 4,8% bimestral y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 38,5% anual. ¿Cu´ al de las opciones es la m´ as ventajosa? Ejercicio 4.70 Tenemos dos opciones de inversi´ on: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 30% del mismo al 18% anual, y el 70% restante al 6,5% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 0,5% semanal. ¿Cu´ al de las opciones es la m´ as ventajosa?
Poner m´as ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4.3.2
Vencimiento medio
Este es un caso particular de la equivalencia financiera, en el que sustituimos una serie de capitales por un u ´nico pago igual a la suma algebraica de los capitales involucrados. Definici´ on 4.71 Dada una tasa p-per´ıodica i(p) la fecha m a la cual la serie de capitales C1 , C2 , . . . , Cn disponibles en los momentos t1 , t2 , . . . , tn es equivalente a la suma algebraica, C, de dichos capitales C=
n X
Cj
j=i
se llama vencimiento medio de la serie considerada.
(Poner dibujo !!!!!!) Como en el sistema compuesto la equivalencia financiera puede realizarse a cualquier fecha focal sin alterar el resultado, tomando f = 0 en (4.12) tenemos n X
−tj −m Cj 1 + i(p) = C 1 + i(p)
j=i
Aplicamos logar´ıtmo en ambos miembros y obtenemos log
n X j=1
−tj Cj 1 + i(p) = log C − m log 1 + i(p)
72
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
Luego, despejamos m log C − log m=
n X j=1
Cj 1 + i(p)
tj (4.16)
log 1 + i(p)
En la f´ ormula anterior los datos temporales se suponen expresados en p-per´ıodos, para que sean compatibles con la tasa i(p) usada. Ejemplo 4.72 La se˜ norita Marisa desea sustituir tres pagos, el primero de $ 400, $ 300 el segundo y el u ´ltimo tambi´en de $ 300, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un a˜ no, respectivamente, por un u ´nico pago de $ 1.000. Hallar el vencimiento medio para 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
tasa TEM del 4% TEA del 18,5% TNA del 14,8% J (3) = 0, 14 i(3) = 0, 045 0,1% efectiva diaria comercial (360) 0,1% efectiva diaria civil (365)
1) Tasa: TEM del 4%, log 1000 − log 400 + m1
6
(1 + 0.04) log (1 + 0.04)
= =
300
+
!
300 12
(1 + 0.04)
4
Ejercicio 4.73 Hallar el resto de los vencimientos medios requeridos en el ejemplo anterior. Nota 4.74 Razonando financieramente es intuitivo que el vencimiento medio se encuentre entre el primer y el u ´ltimo momento en que los capitales vencen, pues se debe dar una compensaci´ on de intereses. Ejemplo 4.75 Sustituir el siguiente esquema de pago: 4 cuotas semestrales de $1.000, comenzando el dia de hoy, a una tasa i(2) del 15%; a) por un solo pago al d´ıa de hoy, b) por un solo pago dentro de 2 a˜ nos. En ambos casos se desea sustituir dicho esquema por un u ´nico pago. Para ello recurriremos a la f´ormula (4.12) y tomando como fecha focal a f = 0, nos queda 1.000 +
1.000 1.000 1.000 C + + = t 2 3 (1 + 0, 15) (1 + 0, 15) (1 + 0, 15) (1 + 0, 15)
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
73
(Poner Dibujo) a) Se desea realizar el pago hoy, por lo tanto t = 0, entonces 1.000 +
1.000 1.000 1.000 + + 3 = Ca (1 + 0, 15) (1 + 0, 15)2 (1 + 0, 15)
donde se obtiene Ca = 3.283, 225117 b) En este caso, t = 4 1.000 +
1.000 1.000 Cb 1.000 + = + 2 3 4 (1 + 0, 15) (1 + 0, 15) (1 + 0, 15) (1 + 0, 15)
despejando Cb 4
3
2
Cb = 1000 (1, 15) + 1000 (1, 15) + 1000 (1, 15) + 1000 (1, 15) y obtenemos Cb = 5.742, 38125 Con estos resultados es claro que si sustituimos dicho esquema por un solo pago hoy d´ıa de $ 4.000, la suma algebraica de las cuotas, pagar´ıamos de m´as; por el contrario si lo sustituimos por un pago de $ 4.000 dentro de dos a˜ nos, momento final del esquema, pagar´ıamos de menos. De hecho, dada una serie de capitales C1 , C2 , . . . , Cn disponibles en los momentos t1 < t2 < . . . < tn respectivamente, tenemos que P Cj al momento tn
z
}|
{ z }| { 0
Cj al momento t1
siempre que usemos una tasa positiva. Lo que demuestra que m ∈ (t1 , tn ) Ejercicio 4.76 El se˜ nor Nicol´ as desea sustituir 12 pagos mensuales de $ 1.000, por un u ´nico pago de $12.000. Suponer una TEA del 18,5%. Hallar el vencimiento medio. Ejercicio 4.77 La se˜ norita Ana acuerda con su acreedor sustituir el siguiente esquema de pago: 3 pagos de $ 10.000, a los cero, seis y doce meses, respectivamente, por un u ´nico pago de $ 30.000 a los 7 meses. ¿Cu´ al fue la TNA usada? Ejercicio 4.78
poner m´as ejercicios!!!!!!!!!!!!
Nota 4.79 El problema de hallar la tasa que produce un esquema de vencimiento medio dado, requiere el uso de m´etodos num´ericos.
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
74
4.4
Capitalizaci´ on subper´ıodica
Hasta el momento no nos hemos preocupado por la discretitud del tiempo, intr´ınseca de las f´ ormulas desarrolladas. Ejemplo 4.80 Se deposita durante 6 meses y 19 d´ıas unos fondos por $ 10 000 a una TEA del 19.5 %, ¿Cu´ al es el monto del capital acumulado? Este tipo de situaciones se puede resolver de varias maneras. Una es convertir el tiempo a a˜ nos 6
10.000 (1 + 0, 195) 12
19 + 365
= 10.000 (1, 195)
0,55205479452
= 11.033, 44778
donde 0, 55205479452 a˜ nos = 6 meses y 19 d´ıas O conseguir una tasa diaria equivalente (1 + 0, 195)
=
365 1 + i(365)
i(365)
=
0, 00048819087
y pasar todo el tiempo a d´ıas: 10.000 (1 + 0, 00048819087)
199
= 11.019, 99522
Ahora, surjen de maneral natural una serie de preguntas asociadas a este ejemplo: 1. ¿De donde surge la diferencia de $ 13,45456 entre ambos procedimientos si conceptualmente son equivalentes? 2. ¿Por qu´e podemos usar exponentes no enteros en la f´ormula de capitalizaci´ on (discreta por naturaleza)? 3. ¿Cu´ al de los dos procedimientos es mejor? 4. ¿Existen otras formas de manejar estas situaciones? Analizaremos esto con cierto grado de detalle en esta secci´on. Pero desde un punto financiero, todo depende de lo que convengan las dos partes involucradas en la operaci´ on financiera. Hay unas tres formas generales de abordar el problema (la mayor´ıa con una que otra variante). Las que bautizaremos como convenios: 1. Convenio discreto o de truncamiento 2. Convenio lineal 3. Convenio Exponencial
´ SUBPER´IODICA 4.4. CAPITALIZACION
4.4.1
75
Convenio discreto o de truncamiento
Este es el sistema que habitualmente usan los bancos en Argentina para manejar cajas de ahorro. La filosof´ıa del sistema es que los intereses se capitalizan s´olo al final del per´ıodo, y por lo tanto, dada una tasa p-per´ıodica i(p) el capital acumulado despu´es de t p-per´ıodos es igual al capital acumulado despues de btc p-per´ıodos
poner dibujo con la capitalizaci´on escalonada. Por lo que la f´ ormula de capitalizaci´on toma la forma btc C0 1 + i(p) Para el caso del ejemplo (4.80) tenemos que Ca los 6 meses y 19 d´ıas
b0.55205479452c
=
10.000 (1 + 0.195)
=
10 000 (1 + 0.195)
=
10 000
0
Esto muestra una de las desventajas del m´etodo discreto, la cual es m´as y m´as evidente mientras menor sea la frecuencia de capitalizaci´on usada. Si utilizamos tasas subper´ıodicas equivalentes (i.e. tasas cuya frecuencia de capitalizaci´on sea menor que la originalmente dada) este m´etodo se aproxima cada vez m´as al resultado obtenido al usar exponentes no enteros. En la pr´actica se usa asociado a tasas mensuales. Ejemplo 4.81 Si depositamos $ 5 000 en una caja de ahorro que paga una TEM del 1.2%. ¿Cu´ al ser´ a el monto acumulado al cabo de 9 meses y 26 d´ıas? Bueno, en este caso, como escencialmente las cajas de ahorro operan a sistema truncado, tenemos que el capital acumulado a los largo de 9 meses y 26 d´ıas es 9 9+ 26 5 000 (1 + 0.012)b 30 c = 5 000 (1 + 0.012) = 5 566.6590
4.4.2
Convenio exponencial o continuo
Este es lo que hemos estado haciendo hasta ahora. Consiste en hacer caso omiso de la discretitud temporal de las f´ ormulas. Una variante, es utilizar alguna tasa subper´ıodica equivalente, para capitalizar la parte subper´ıodica. Ambas formas deber´ıan dar el mismo resultado. Entonces, por qu´e en el ejemplo (4.80) hubo una diferencia de m´ as de $ 13. La respuesta es sencilla: esa diferencia surge del p´esimo sistema que tenemos en matem´aticas financieras para medir el tiempo: las unidades no son claramente convertibles, por ejemplo 1. Un a˜ no tiene 12 meses y 365 d´ıas. Cada mes tiene 30 d´ıas, por lo que un a˜ no deber´ıa tener ¡360 d´ıas!
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
76
2. Un a˜ no tiene 12 meses y cada mes tiene 4 semanas, luego un a˜ no tiene 48 semanas. Ahora como cada semana tiene 7 d´ıas el a˜ no debe tener ¡336 d´ıas! 3. Un mes tiene 4 semanas, y cada semana tiene 7 d´ıas, luego todos los meses tienen ¡28 d´ıas! 4. En matem´ aticas financieras se usa que el a˜ no tiene 52 semanas, y como cada semana tiene 7 d´ıas, el a˜ no debe tener ¡364 d´ıas! No hay forma satisfactoria de solucionar esta ensalada. Un pobre intento de soluci´ on es convenir en realizar todas las conversiones v´ıa a˜ nos. Por ejemplo 6 meses y 19 d´ıas son unos 6 meses y 19 d´ıas =
19 6 + a˜ nos = 0.55205479452 a˜ nos 12 365
y una vez que tenemos anualizado el tiempo, convertir el mismo: 0.55205479452 a˜ nos = 0.55205479452
365 d´ıas = 201.5 d´ıas 1
y con esta cantidad de d´ıas operar: 10 000 (1 + 0.00048819087)
201.5
= 11033.44980
Lo que nos da un resultado mucho m´as pr´oximo al original. Este es el m´etodo de conversi´on temporal que los autores se atreven a recomendar. Nota 4.82 Las conversiones entre meses, bimestres, trimestres, cuatrimestres, semestres, a˜ nos, lustros, decadas, siglos, etc. Funcionan a la perfecci´ on y de la manera natural.
4.4.3
Convenio lineal
Este m´etodo es t´ıpicamente el usado en operaciones de cr´edito. Pues debido a la convexidad de las funciones exponenciales, cualquier cuerda que une dos puntos sobre una funci´ on convexa, queda por arriba de la funci´on convexa, y v´ıa el lema de las tres cuerdas, es f´acil demostrar que mientras m´as ”larga” (fijado el punto de la izquierda) son las cuerdas consideradas, mayor es la diferencia entre la cuerda y la funci´on exponencial. Esto se traduce en un mayor capital acumulado (en el caso de operaciones de cr´edito, es sin´onimo de un pago mayor). Todo convenio lineal trata de capitalizar de manera compuesta durante la parte entera del per´ıodo de tiempo y luego moverse a trav´es de rectas (cuerdas) en lugar de la funci´ on exponencial subyacente, por el lapso de tiempo que resta.
Poner dibujo con las tres cuerdas y numerarlas 1, 2, y 3 de acuerdo con el caso Existen tres variantes del convenio lineal:
´ SUBPER´IODICA 4.4. CAPITALIZACION
77
1. Convenio lineal equivalente. 2. Convenio lineal proporcional. 3. Convenio lineal anualizado. Y cada variante se puede obtener geom´etricamente (Proporcionalidad de los lados hom´ ologos de tri´ angulos semejantes) o financieramente (obteneniendo una tasa simple subperiodica adecuada “equivalente” o, mejor dicho, asociada y utilizando sistema simple). Convenio lineal equivalente Este convenio coincide con el convenio exponencial. Simplemente se trata de hallar la tasa simple subper´ıodica equivalente para el lapso de tiempo correspondiente y utilizarla para capitalizar el capital acumulado durante la parte no entera de tiempo.
Poner aqui dibujo He aqui un ejemplo: Ejemplo 4.83 Se pide un pr´estamo por $ 25 000 para remodelar la cocina del quincho de una de nuestras casas de fin de semana. El banco nos cobra una TEM del 3.4 % y utiliza convenio lineal equivalente. ¿Cu´ al es el monto que debemos entregar para cancelar la deuda 5 meses y 9 d´ıas m´ as tarde? Si usaramos convenio exponencial (y conversi´on anualizada del tiempo), deber´ıamos entregar 25 000 (1 + 0.034)
9 5+ 365
12 1
= 29 842.77404
Ahora, para usar el convenio lineal equivalente, debemos hallar la tasa simple diaria equivalente para 9 d´ıas a la TEM del 3.4 % 9 12 (365) 1 + 9isimple = (1 + 0.034) 365 1 (365)
isimple
=
0.00110468082556
Luego debemos entregar a los 5 meses y 9 d´ıas la suma de 5
25 000 (1 + 0.034) (1 + 9 · 0.00110468082556) = 29 842.77404
Poner ejercicios?¡ o al final? Convenio lineal proporcional Dada una cantidad t de p-per´ıodos, el convenio lineal proporcional conciste en utilizar la cuerda que une los puntos btc , Cbtc y dte , Cdte
Poner dibujo
´ COMPUESTA CHAPTER 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACION
78
Esto se puede hacer de dos formas, geom´etricamente (via semejanza de triangulos): Cdte − Cbtc x = t − btc 1 Por lo que x = Cdte − Cbtc (t − btc) Por lo que el Ct
= Cbtc + Cdte − Cbtc (t − btc) btc dte btc (p) (p) (p) = C0 1+i + 1+i − 1+i (t − btc) btc n h i o = C0 1 + i(p) 1 + 1 + i(p) − 1 (t − btc) btc h i = C0 1 + i(p) 1 + (t − btc) i(p)
Financieramente, podemos llegar a la misma expresi´on calculando la tasa (p) simple p-periodica isimple equivalente a i(p) y luego capitalizando en sistema simple Cbtc el capital acumulado hasta el momento dte por el tiempo que resta: t − btc. btc h i (p) Ct = C0 1 + i(p) 1 + (t − btc) isimple nos) la equivalencia de Esta dos f´ ormulas son iguales pues a un p-per´ıodo ( p1 a˜ tasas intrasistemas nos da que la tasa simple equivalente es exactamente igual a la tasa compuesta p-per´ıodica i(p) p p1 1 (p) = 1 + i(p) 1 + p isimple p (p)
isimple
=
i(p)
Ejemplo 4.84 Si en el caso del ejemplo (4.83) el banco usar´ a el convenio lineal proporcional. ¿Cu´ anto deber´ıamos pagar para cancelar la deuda a los 5 meses y 9 d´ıas m´ as tarde? En este caso, debemos aplicar la formula anterior, convirtiendo los 9 d´ıas a meses via anualizaci´ on 9 12 5 0.034 C5 meses y 9 d´ıas = 25 000 (1 + 0.034) 1 + 365 1 = 29 846.26516 Convenio lineal anualizado Es muy similar a la versi´on financiera del convenio lineal proporcional, pero la equivalencia de tasas intrasistemas se plantea a un a˜ no btc h i (p) Ct = C0 1 + i(p) 1 + (t − btc) isimple
´ SUBPER´IODICA 4.4. CAPITALIZACION
79
(p)
donde isimple se obtiene a partir de
(p)
1 + pisimple
(p) isimple
= =
1 + i(p)
p
1 + i(p) p
p
−1
Ejercicio 4.85 Si en el caso del ejemplo (4.83) el banco usar´ a el convenio lineal anualizado. ¿Cu´ anto deber´ıamos pagar para cancelar la deuda a los 5 meses y 9 d´ıas m´ as tarde? En este caso debemos debemos hallar primero la tasa simple mesual equibalente, a un a˜ no, a la TEM del 3.4 % 12
(p)
isimple
= =
(1 + 0.034) − 1 12 0.041136818422
Luego, convirtiendo los 9 d´ıas a meses via anualizaci´on 9 12 5 0.041136818422 C5 meses y 9 d´ıas = 25 000 (1 + 0.034) 1 + 365 1 = 29 908.664243 En cada uno de los casos, la conversi´on del tiempo puede realizarse sin anualizar, lo que cambia ligeramente los resultados.
Poner ejercicios!!!!
Chapter 5
Descuento compuesto En las operaciones comerciales habitualmente no se usa la actualizaci´on para calcular el valor actual de un capital futuro. El m´etodo usado se conoce como descuento (comercial). Este es el caso t´ıpico de lo que ocurre con los cheques a fechas. El poseedor de un cheque (documento, plazo fijo, etc.) el cual tiene un nominal N , podr´ a hacerlo efectivo en t a˜ nos (esta cantidad no tiene porque ser entera), pero por alg´ un motivo necesita dinero hoy (para pagar una deuda, por una oportunidad de inversi´on, etc.). Entonces acude a un intermediaro finaciero (banco, financiera, un “prestamista” en el peor de los casos), y cambia el cheque por una suma en efectivo E, donde E < N. D
N E
hoy
dentro de t a˜ nos
La diferencia entre el E efectivo que recibe, y el nominal N del documento entregado, recibe el nombre de descuento D = N − E.
(5.1)
En esta operaci´ on se puede pensar que el intermediario financiero se ha cobrado los intereses al principio de la operaci´on. La tasa que se usa es llamada tasa de descuento d, la cual tiene la particularidad que se aplica sobre el nominal N . 80
81 El sistema de descuento compuesto se caracteriza por calcular el descuento con base en cada per´ıodo. Supongamos que se quiere adelantar un documento de nominal N , unos n p-per´ıodos con un intermediario financiero que cobra una tasa de descuento compuesta p-per´ıodica d(p) . d( k)
Dj
Ej+1 Ej
j
j+1
per´ıodo j + 1
El descuento compuesto en el per´ıodo j + 1 se cobra al principio del per´ıodo j + 1, i.e., en el momento j, pero se calcula sobre el efectivo al final del per´ıodo, i.e., en el momento j + 1: Dj = Ej+1 d(p) Como el efectivo Ej que recibiremos en el momento j es igual al efectivo Ej+1 , disponible en el momento j + 1, menos el correspondiente descuento, el cual se calcula sobre Ej+1 , tenemos la siguiente relaci´on recursiva
Ej En
= =
Ej+1 − Ej+1 d(p) , N.
0 ≤ j < n,
Donde la condici´ on inicial es En = N (al momento n hacemos efectivo el documento, no necesitamos descontarlo).
82
CHAPTER 5. DESCUENTO COMPUESTO Dn−1 Dk+1
D
Dk D0
D1 En−1
E0 = E
Ek+1
Ek
E1
1
k
N = En
n−1
k+1
n
tiempo
Esta u ´ltima relaci´ on recursiva puede ser reescrita ( 1 Ej = Ej+1 , 0 ≤ j < n, 1 − d(p) En = N. Observe que ambas relaciones recursiva est´an definidas s´olo para los j ∈ Z tales que 0≤j≤n Esto obedece razones financieras. Hoy (j = 0), y no antes, queremos descontar un documento que vence en n k-per´ıodos. Por otro lado a partir del per´ıodo n el efectivo que recibiremos por nuestro documento es siempre el mismo: Ej = N para j ≥ n Usando la teor´ıa de relaciones recursivas que hemos desarrollado, caso g (j) = cte = 0, con 1 6= 1, A= 1 − d(p) concluimos que el la forma para el efectivo en el momento j, para 0 ≤ j ≤ n, es Ej =
h0 1 − d(p)
j
donde h0 es una constante que se ajusta usando la condici´on inicial En = N : N
=
h0
=
h0 n 1 − d(p) n 1 − d(p) N En =
luego n−j Ej = N 1 − d(p) , para 0 ≤ j ≤ n,
83 en particular
n E = E0 = N 1 − d(p)
Esto nos da la ecuaci´ on fundamental del sistema de descuento compuesto para una tasa de descuento p-per´ıodica, la cual nos permite calcular el efectivo E que recibiremos al descontar un nominal N , unos n p-per´ıodos con un intermediario financiero que cobra una tasa de descuento compuesta p-per´ıodica d(p) . n E = N 1 − d(p) (5.2) En t´erminos de la tasa de descuento y el nominal, el descuento total compuesto es n (5.3) D = N 1 − 1 − d(p) Nota 5.1 El descuento compuesto nunca anula al efectivo (siempre y cuando la tasa de descuento sea razonable, i.e., d(p) ∈ (0, 1)). Como para todo n ∈ Z+ n n+1 1 > 1 − d(p) > 1 − d(p) > 0, y lim
n→∞
1 − d(p)
n
= 0.
Tanto el efectivo, como el descuento son funciones exponenciales del tiempo de descuento (ambas crecientes en j): Ej
<
Ej+1
Dj
<
Dj+1
Mientras que el descuento total es creciente en n (tiempo total descontado): n n+1 N 1 − 1 − d(k) < N 1 − 1 − d(k) Ejemplo 5.2 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 d´ıas de nominal $ 1 000. Qu´e efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de descuento diario del 2.1%. ¿Cu´ anto nos han descontado? El efectivo que recibiremos se calcula con (5.2) 5
E = 1000 (1 − 0.021) = 899.32 de donde D = 1000 − 899.32 = 100.68 Observe que el valor actual de $ 1000, calculado con una tasa efectiva diaria del 2.1% es 1000 C0 = 5 = 901.3 (1 + 0.021)
84
CHAPTER 5. DESCUENTO COMPUESTO
Ejemplo 5.3 ¿Cu´ antos d´ıas hay que descontar un documento para obtener un efectivo menor o igual a la mitad del nominal a una tasa de descuento d(360) = 0.01? Como deseamos hallar el tiempo de descuento n, aplicando logaritmo en la f´ ormula (5.2) obtenemos log E = log N + n log 1 − d(p) Luego n=
log E − log N log 1 − d(p)
(5.4)
En la cual remplazando los valores dados en el ejemplo quedar´ıa n N ≤ N 1 − d(360) 2 de donde n
≥
n
≥
n
≥
log N2 − log N log (1 − 0.01) log N − log 2 − log N log (1 − 0.01) log 2 − log (1 − 0.01)
En particular n≥−
log 2 = 68.968, log (1 − 0.01)
i.e., si descontamos un documento 69 d´ıas, el efectivo ser´a pr´acticamente la mitad del nominal. Nota 5.4 El tiempo necesario para recibir una fracci´ on dada del nominal, ab N , es independiente del nominal N , depende exclusivamente de la tasa de descuento usada: n a N = N 1 − d(p) b de donde n=
log a − log b log 1 − d(p)
Ejercicio 5.5 ¿Cu´ al fue el descuento y el efectivo de un cheque con vencimiento a 3 meses si se aplic´ o una tasa de descuento del 4.5% mensual y su nominal ascend´ıa a $ 5000?
85 Ejercicio 5.6 El Sr. Ignacio desea adelantar 19 d´ıas un documento de $ 4 580 de nominal. Tiene dos opciones: La primera es descontar el documento en el Banco Gran J, que le cobra una tasa diaria de descuento del 0.75%. La segunda es acudir a la Financiera ”Su Amiga Rosita”, instituci´ on que le cobra una tasa de descuento del 23.9% mensual. ¿Donde debe el Se˜ nor Ignacio descontar su documento? Ejercicio 5.7 Sabiendo que el descuento sobre un cheque a 12 d´ıas es de $ 230. Calcular el nominal si la tasa de descuento diaria aplicada es del 5%. Ejercicio 5.8 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 60 d´ıas de nominal $ 5 000. Qu´e efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de descuento diario de 1.7%. ¿Cu´ antos d´ıas hay que adelantar un documento a esta tasa para el efectivo sea un tercio del nominal? Ejercicio 5.9 La Srta. Mariela ha recibido $ 13 506.80 al descontar un cheque 12 d´ıas en el Banco DAJ, instituci´ on que cobra un tasa diaria de descuento del 0.87%. ¿Cu´ al es el montante del cheque? Ejercicio 5.10 El Se˜ nor Adri´ an recibi´ o $ 1 235.50 al adelantar 7 d´ıas un cheque de $ 14 500. ¿Cu´ al es la tasa diaria de descuento que le aplicaron? ¿Qu´e tasa efectiva diaria transforman los $ 1 235.50 en $ 14 500? Ejercicio 5.11 La se˜ nora Encarnaci´ on adelanto un documento y recibio 56 del nominal del mismo. Si la instituci´ on financiera en la que oper´ o le cobra una tasa de descuento del 2.3 % diario. ¿Cu´ anto tiempo adelanto el documento? Ejercicio 5.12 Completar la siguiente tabla de tiempos necesarios para obtener la fracci´ on dada del nominal, para las tasas de descuentos dadas: p q 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 3 5 4 5
d(365) = 0.05%
5.0.4
d(365) = 0.1%
d(365) = 0.5%
d(365) = 1%
d(365) = 5%
Equivalencia de tasas de descuento compuesto.
Con respecto a las tasas de descuento compuesto surgen las mismas preguntas de siempre: dada una tasa de descuento p-per´ıodica d(p) 1. ¿Cu´ al es la tasa de descuento q-per´ıodica equivalente? 2. ¿Cu´ al es la tasa efectiva q-per´ıodica equivalente?
86
CHAPTER 5. DESCUENTO COMPUESTO
La equivalencia de tasas se suele mirar de izquierda a derecha (del pasado hacia el futuro). Esto funciona muy bien con las tasas efectivas, pero no asi con las tasas de descuento. Es m´as natural plantear la equivalencia de tasas de derecha a izquierda (del futuro hacia el pasado) para los sistemas de descuento: Definici´ on 5.13 Dos tasas de descuento compuestas d(p) y d(q) , con p, q ∈ Z, se dicen que son equivalentes si aplicadas a un mismo nominal N durante un mismo intervalo de t a˜ nos producen el mismo descuento, y por lo tanto el mismo efectivo, aunque tengan distinta frecuencia de descuento: p 6= q. Es decir qt pt N 1 − d(q) = E = N 1 − d(p) A partir de la anterior definici´on deducimos la ecuaci´on fundamental de equivalencia de tasas de descuento compuesto p q (5.5) 1 − d(q) = 1 − d(p) . d(p) t a˜ nos
E
N
(q)
d
Como antes, usaremos d, en lugar de d(1) , para designar una tasa de descuento anual Nota 5.14 Observe que la equivalencia de tasas de descuento dada por (5.5) es independiente del per´ıodo de tiempo t considerado. Ejemplo 5.15 Dada una tasa de descuento anual del 10% hallar la tasa d(k) , para k ∈ {2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}, equivalente. Por ejemplo la tasa de descuento cuatrimestral equivalente es 3 1 − d = 1 − d(3) de donde d(3)
√ 3
=
1−
=
1−
=
0.034511
√ 3
1 − d, 1 − 0.1
Ejercicio 5.16 Dada una tasa de descuento bimestral del 3.5% hallar la tasa d(k) equivalente, para k ∈ {1, 2, 3, 4, 12, 52, 360, 365}.
87
5.0.5
Equivalencia entre tasas de descuento y capitalizaci´ on.
Dados dos capitales C0 = E < N = Cn separados temporalmente por t a˜ nos (Poner Dibujo) Supongamos que la tasa de descuento q-per´ıodica, d(q) , reduce N a E en t a˜ nos qt E = N 1 − d(q) y que la tasa p-per´ıodica, i(p) , transforma C0 en Cn en t a˜ nos pt Cn = C0 1 + i(p) Ahora tenemos qt N 1 − d(q) = E = C0 =
Cn 1 + i(p)
pt =
N 1 + i(p)
pt
de donde llegamos a la relaci´ on fundamental de equivalencia entre tasas de capitalizaci´ on compuesta y de descuento compuesto q p 1 − d(q) 1 + i(p) = 1. (5.6) Claramente esta equivalencia es independiente del tiempo t considerado. i(p) t a˜ nos
E
N
(q)
d
Nota 5.17 despejando d(q) e i(p) de (5.6) obtenemos, respectivamente s 1 (q) p d =1− q 1 + i(p) s (p)
i
=
p
1 q − 1 1 − d(q)
En particular, si tomamos q = p en (5.7) d = = <
1−
1 1+i
i 1+i i
(5.7)
(5.8)
88
CHAPTER 5. DESCUENTO COMPUESTO
Y, si q = p en (5.8) i
1 −1 1−d d = 1−d > d =
Por lo tanto siempre la tasa efectiva equivalente es nominalmente mayor a la tasa de descuento asociada (Insistimos: esto ocurre si ambas tasas tienen la misma frecuencia o unidad temporal). Ejemplo 5.18 Dada una tasa de descuento mensual del 8% hallar la tasa de capitalizaci´ on compuesta diaria (comercial) i(360) equivalente. De (5.8) obtenemos que s (360)
i
=
1
360
1 − d(12) s
= =
12 − 1
1
360
(1 − 0.08) 0.0027833
12
−1
Ejemplo 5.19 Se desean encontrar las tasas de descuento d(52) , d(365) y d(12) equivalentes a una TEM del 13% Usando la f´ ormula (5.7) nos queda s d
(52)
= =
1−
52
1 12
(1 + 0.13) 0.0278100474
de la misma manera calculamos d(365) s (365)
d
= =
1−
365
1 12
(1 + 0.13) 0.0040100521
pero en cuanto a d(12) como tiene la misma frecuancia de capitalizaci´on que nuestra TEM, el c´ alculo es mucho m´as sencillo d(12)
1 1 + i(12) 1 = 1− 1 + 0.13 = 0.1150442478 =
1−
89 De los resultados obtenidos observamos que, para las tasas dadas: d(12) = 0.1150442478 < 0.15 = i(12) y, calculando las tasas equivalentes i(52) y i(365) a nuestra TEM d(52)
=
0.0278100474 < 0.032778513 = i(52)
(365)
=
0.0040100521 < 0.004605486 = i(365)
d
lo cual coincide con el resultado de la nota anterior. Ejercicio 5.20 Completar la siguiente tabla de tasas equivalentes compuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
5.0.6
tasa 1 d(2) d(2) d(12) d(12) d(365) d(360) d(360) d d
= = = = = = = = =
? 0.06 0.023 ? 0.035 ? ? 0.18 ?
tasa 2 i(6) i(6) i(4) i(4) i(365) i(365) i(360) i i
= = = = = = = = =
0.06 ? ? 0.023 ? 0.035 0.035 ? 0.18
Descuento Racional
La operaci´ on de descuento t´ıpica asume conocidos en nominal N , la tasa de descuento y el tiempo de adelanto, y se desea averiguar el efectivo E que se va a recibir. El descuento racional o matem´atico no es otra cosa que el uso de la actualizaci´ on compuesta para el c´ alculo del efectivo: Dado un nominal N , una tasa p-per´ıodica i(p) y un intervalo de n p-per´ıodos (que es el tiempo que deseamos adelantar el documento) buscamos una cantidad de dinero Eracional tal que n Eracional 1 + i(p) = N (5.9) de donde Eracional =
N n 1 + i(p)
(PONER DIBUJO) Por lo tanto el descuento es total es Dracional
= N − Eracional ! 1 n = N 1− 1 + i(p) −n = N 1 − 1 + i(p)
(5.10)
90
CHAPTER 5. DESCUENTO COMPUESTO
Ejemplo 5.21 El se˜ nor Juan de desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 d´ıas de nominal $ 1 000. Qu´e efectivo recibir´ a si acude al Banco Super J de San Luis, el cu´ al usa descuento racional para adelantar documentos, cobrando una tasa efectiva diaria i(365) del 2.1%. ¿A cuanto asciende el descuento que le realizan al Sr. Juan? S´ olo hace falta usar (5.10)
=
−n 1 − 1 + i(k) −5 1000 1 − (1 + 0.021)
=
98.696
Dracional
=
N
Es decir que al Sr. Juan le descuentan $ 98.70, por lo que recibe $ 901.30. Como ya hicimos ver en el ejemplo (5.2), si la tasa que le cobran al Sr. Juan fuera de descuento, recibir´ıa E = 899.32 pues el descuento (comercial) que le aplicar´ıan es D = 100.68 Ejercicio 5.22 ¿Cu´ al fue el descuento racional y el efectivo racional de un cheque con vencimiento a 3 meses si se aplic´ o una tasa efectiva del 4.5% mensual y su nominal ascend´ıa a $ 5000? Ejercicio 5.23 El Sr. Ignacio desea adelantar 19 d´ıas un documento de $ 4 580 de nominal. Tiene dos opciones: La primera es descontar el documento en el Banco Gran J, que le cobra una tasa diaria de descuento comercial del 0.85%. La segunda es acudir a la Financiera ”Su Amiga Rosita”, instituci´ on usa descuento racional y cobra una tasa efectiva del 35.6% mensual. ¿Donde debe el Se˜ nor Ignacio descontar su documento? Ejercicio 5.24 Sabiendo que el descuento sobre un cheque a 12 d´ıas es de $ 230. Calcular el nominal si se aplica descuento racional y una tasa efectiva diaria del 5%. Ejercicio 5.25 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 60 d´ıas de nominal $ 5 000. Qu´e efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica descuento racional y una tasa efectiva diaria del 1.7%. ¿Cu´ antos d´ıas hay que adelantar un documento a esta tasa para el efectivo sea un tercio del nominal? Ejercicio 5.26 La Srta. Mariela ha recibido $ 13 519.08 al descontar un cheque 12 d´ıas en el Banco DAJ, instituci´ on que cobra un tasa diaria de descuento racional del 0.87%. ¿Cu´ al es el montante del cheque? Ejercicio 5.27 La se˜ nora Encarnaci´ on adelanto un documento y recibio 65 del nominal del mismo. Si la instituci´ on financiera en la que oper´ o le cobra una tasa de descuento racional del 2.3 % diario. ¿Cu´ anto tiempo adelanto el documento?
91 Nota 5.28 Supngamos que deseamos descontar un documento por un nominal N , unos n p-per´ıodos a una tasa p-per´ıodica r, el descuento comercial asociado a ella n D (r) = N (1 − (1 − r) ) es siempre mayor que el descuento racional (actualizaci´ on) asociado a la misma: −n Dracional (r) = N 1 − (1 + r) Es decir D (r) > Dracional (r)
(5.11)
Donde para resaltar que estamos observando el comportamiento de descuento en cada sistema con respecto a la misma tasa, escribimos D (r) por D y Dracional (r) por Dracional donde r es la tasa. Verificar (5.11) es equivalente a comprobar que D (r) − Dracional (r) > 0
(5.12)
Si r es una tasa razonable, i.e., r ∈ (0, 1), entonces 0 −1 y sumando 1 1 > 1 − r2 > 0 desarrollando la diferencia de cuadrados 1 > (1 − r) (1 + r) > 0 de donde conseguimos la desigualdad 1 >1−r 1+r Ahora, como para cada n ∈ N, las funciones xn son mon´ otonas crecientes 1 n n > (1 − r) (1 + r) Luego, para toda r ∈ (0, 1) y para toda n ∈ N 1 n n − (1 − r) > 0 (1 + r)
(5.13)
92
CHAPTER 5. DESCUENTO COMPUESTO
Por lo tanto D(r) − Dracional (r)
n −n = N (1 − (1 − r) ) − N 1 − (1 + r) 1 n = N n − (1 − r) (1 + r) | {z } >0 por (5.13)
>
0
lo que demuestra (5.12) para toda r ∈ (0, 1) y para toda n ∈ N. Por lo tanto si un banco cobra un descuento comercial del 6.3% diario y otra instituci´ on cobra un descuento racional del 6.3% diario, conviene realizar el descuento del documento en la segunda instituci´ on.
Chapter 6
Capitalizaci´ on Continua 6.1
Capitalizaci´ on continua
En los ejercicios 4.48 y 4.49 del cap´ıtulo anterior, hallamos la TEA equivalente a una tasa nominal fija a medida que aumentamos la frecuencia de capitalizaci´on (las veces que capitaliza en el a˜ no). Los datos sugieren que a medida que p crece la TEA asociada crece pero se mantiene acotada (si no ha resuelto los ejercicios en cuesti´ on, ¡h´ agalo ahora!) Resolvamos un problema relacionado: Dada una tasa nominal J (p) , el capital final acumulado al cabo de t a˜ nos es Ct = C0
J (p) 1+ p
pt
Si dejamos fijo el valor de la tasa nominal J (p) = J, para todo p > 0, tenemos que el capital final al cabo de t a˜ nos se puede ver como una funci´on de p (la frecuencia de capitalizaci´ on) pt J Ct (p) = C0 1 + p Ahora, sicapitalizamos cada vez m´as veces en el a˜ no, i.e., si hacemos crecer p, p J el factor 1 + p crece pero se mantiene acotado por eJ . Por ejemplo si fijamos 93
´ CONTINUA CHAPTER 6. CAPITALIZACION
94 J = 0.2 (20% nominal)
Frecuencia “anual” semestral cuatrimestral trimestral bimestral mensual semanal diario por hora .. .
p 1 2 3 4 6 12 52 365 8760 .. .
continuamente
∞
p 1 + 0.2 k 1 + 0.2 2 1 + 0.2 2 3 1 + 0.2 3 4 1 + 0.2 4 6 1 + 0.2 6 12 1 + 0.2 12 52 1 + 0.2 12 0.2 365 1 + 365 0.2 8760 1 + 8760 .. . k lim 1 + 0.2 k
k→∞
= = = = = = = = = .. .
Valor 1.2 1.21 1.213629631 1.215506250 1.21742672 1.219391090 1.220934289 1.221335767 1.221399432 .. .
=
1.221402758
Pues
lim
k→∞
0.2 1+ k
k
= e0.2 = 1.221402758
A medida que p crece, la frecuencia de capitalizaci´on aumenta, disminuyendo el tiempo entre dos capitalizaciones consecutiva. Cuando p tiende a infinito, decimos que los intereses se capitalizan en forma instant´anea. Esto se conoce como capitalizaci´ on continua. Ahora el capital final al cabo de t a˜ nos es
Ct = lim C0 p→∞
J 1+ k
pt
= C0 eJt
(6.1)
´ CONTINUA 6.1. CAPITALIZACION
95
$ C0 eJt
C0 1 +
(J 12 ) ) 12
C0 1 + C0 1 + C0 1 +
(J 6 ) ) 6
C0 1 +
6t
(J 4 ) 4
4t
(J 3 ) 3
3t
(J 2 ) 2
2t
C0 (1 + J)t
C0
0 12
1 12
2 12
3 12
4 12
5 12
6 12
7 12
8 12
9 12
10 12
11 12
12 12
A˜ nos
Nota 6.1 Como la tasa efectiva usada en capitalizaci´ on continua es nula: lim
J
p→∞ k
=0
En capitalizaci´ on continua s´ olo se utiliza la tasa nominal J. Definici´ on 6.2 Se denomina capitalizaci´ on continua a la ley financiera por la cu´ al un capital inicial C0 impuesto t a˜ nos a una tasa nominal (anual) J produce un capital final Ct := C0 eJt (6.2)
12t
´ CONTINUA CHAPTER 6. CAPITALIZACION
96 $
J
C0 eJt
C0 A˜ nos t
0 hoy t a˜ nos
Nota 6.3 Observe que en capitalizaci´ on continua, el tiempo t en la f´ ormula (6.2) siempre se debe colocar en a˜ nos, para que sea dimensional compatible con la tasa nominal continua J Ejemplo 6.4 Calcular el montante que producir´ a un capital de $ 200.000 impuesto a capitalizaci´ on continua durante 7 a˜ nos a una tasa nominal continua del 12%. S´ olo debemos aplicar la f´ormula (6.2): C7 = 200.000e0,12·7 = 463.273, 3954 Por lo que al cabo de 7 a˜ nos dispondremos de $ 463.273,40. Ejemplo 6.5 Calcular el montante que producir´ a un capital de $ 10.000 impuesto a capitalizaci´ on continua durante 8 meses a una tasa nominal del 12%. No es m´ as que calcular 8 C 12
8
=
10000e0,12 12
=
10.833
Observe que debimos convertir los 8 meses a f´ ormula de capitalizaci´on continua.
8 12
a˜ nos para poder usarlos en las
´ CONTINUA 6.1. CAPITALIZACION
97
Ejemplo 6.6 Hoy extraemos del banco $ 17.251,75. ¿Cu´ al fue el capital original si nos pagan una tasa nominal continua del 18,5% y el dep´ osito fue pactado por 8 meses? Sabemos que Cn = C0 eJt de donde C0
= Cn e−Jt
(6.3)
=
17.251, 75e
=
15.250
8 −0,185 12
Luego el dep´ osito original fue por $ 15.250. Ejemplo 6.7 Determinar el inter´es total obtenido al depositar $ 5.000 a plazo fijo por el t´ermino de 3 meses a capitalizaci´ on continua con una tasa nominal del 12,3%. Por definici´ on IT = Cfinal − Coriginal Es decir IT
= C0 eJt − C0 = C0 eJt − 1 3 = 5000 e0,123 12 − 1 =
156, 13833
Por lo que el inter´es total obtenido es de $ 156,14. Ejemplo 6.8 Hallar el capital que produce unos intereses de $ 1.110 al cabo de 45 d´ıas, a una tasa nominal continua del 25%. Del problema anterior sabemos que IT = C0 eJt − 1
(6.4)
Luego C0
= = =
IT eJt − 1 1.110
(6.5)
45
e0,25 365 − 1 35.141, 71423
Por lo que el capital buscado es $ 35.141,71. Observe que se podr´ıa haber usado el a˜ no comercial 1.110 C0 = 0,25 45 = 34.652, 86508 360 − 1 e En general este es un punto que debe ser aclarado en cada caso. Cuando no se especifique el lector tiene libertad de usar uno o el otro.
´ CONTINUA CHAPTER 6. CAPITALIZACION
98
Ejemplo 6.9 La se˜ norita Viviana deposita en un banco $ 500.000 y al cabo de 30 meses le entregan $ 867.250. ¿Cu´ al es la tasa nominal que le pag´ o el banco si ´este usa capitalizaci´ on continua? Como Cn = C0 eJt tenemos que J=
1 Cn ln t C0
(6.6)
Luego J
867.250 500.000 0, 2202876750 1
=
30 12
=
ln
i.e., una tasa nominal continua del 22,02876750%. Ejemplo 6.10 Durante cuantos d´ıas hay que imponer un capital de $ 3.000 a una J = 23, 85%, para obtener no menos de $ 4.100. Como Cn = C0 eJt tenemos que t=
ln Cn − ln C0 J
(6.7)
Ahora, nosotros en realidad deseamos hallar el primer t, en d´ıas tal que t
4.100 ≤ 3.000e0,2385 365 como la funci´ on logaritmo es mon´otona creciente ln 4.100 ≤ ln 3.000 + 0, 2385
t 365
luego t ≥ ≥
ln 4.100 − ln 3.000 0, 2385 478, 05769 365
Por lo tanto, debemos imponer el capital al menos 479 d´ıas. Ejercicio 6.11 Calcular el capital final o montante que se obtendr´ a al colocar $ 25.500 a capitalizaci´ on continua durante 3,5 a˜ nos a una tasa nominal del 10,5%. ¿A cu´ anto ascienden los intereses totales?
´ CONTINUA 6.1. CAPITALIZACION
99
Ejercicio 6.12 Determinar el inter´es obtenido por la empresa RAL s.r.l., la cual efectu´ o un dep´ osito a plazo fijo por el t´ermino de 75 d´ıas, con excedentes de fondos por $ 80.000 a una tasa nominal del 11 % anual. Usar capitalizaci´ on continua. Ejercicio 6.13 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 5.300.500 impuestos a capitalizaci´ on continua, a una tasa nominal del 18,33% durante 4 meses, 8 d´ıas y 5 horas. Ejercicio 6.14 Hallar el capital necesario para producir un inter´es de $ 1.500 en una colocaci´ on por un plazo de 150 d´ıas en una entidad bancaria que capitaliza continuamente con una tasa nominal del 21,6%. Ejercicio 6.15 Hace 187 d´ıas el se˜ nor Nicol´ as inverti´ o una cierta suma de dinero al 35,2% nominal, a capitalizaci´ on continua. Hoy le entregan $ 8.541.220,50 ¿Cu´ al fue el monto que inverti´ o originalmente? Ejercicio 6.16 La se˜ norita Viviana deposit´ o en un banco $ 15.000 y al cabo de 8 meses le entregaron $ 15.672,20. ¿Cu´ al es la tasa de inter´es nominal que le pag´ o el banco? Suponer capitalizaci´ on continua. Ejercicio 6.17 Un inversor reembolsar´ a $ 4.995,50 por un dep´ osito concertado a 90 d´ıas por $ 3.700. Averiguar la tasa nominal pactada si se usa capitalizaci´ on continua. Ejercicio 6.18 Hallar la tasa nominal necesaria para que un dep´ osito por $ 11.000 redit´ ue al inversor en 180 d´ıas, la mitad de la colocaci´ on usando capitalizaci´ on continua. Ejercicio 6.19 ¿Cu´ antos a˜ nos son necesarios para duplicar un capital a una tasa nominal J en capitalizaci´ on continua? Ejercicio 6.20 ¿Cu´ anto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un capital al 5% nominal capitalizable continuamente? Ejercicio 6.21 ¿Cu´ al es la tasa de inter´es nominal que nos permite duplicar el capital en t a˜ nos usando capitalizaci´ on continua? Ejercicio 6.22 Una empresa con excedentes de fondos por $ 20.000 efect´ ua dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 d´ıas al 11,5% nominal capitalizable continuamente, y otra durante 15 d´ıas a una TEM del 3,25%. Averiguar los importes de los dep´ ositos, sabiendo que las inversiones producen igual inter´es. Ejercicio 6.23 El se˜ nor Elias posee $ 355.000. Decide invertilos en dos proyectos que le pagar´ an respectivamente el 1,2 % bimestral y el 2,1% trimestral. Qu´e porcentaje de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en concepto de intereses a los 6 meses. Si ahora desea que ambos proyectos le paguen los mismos intereses totales al cabo de 1 a˜ no ¿Cu´ anto deber´ a poner en cada uno de los proyectos?
´ CONTINUA CHAPTER 6. CAPITALIZACION
100
Ejercicio 6.24 Un capital por $ 3.800 se impuso a capitalizaci´ on continua durante 7 d´ıas al 11,2% nominal anual; luego el capital acumulado se impuso a capitalizaci´ on compuesta por el t´ermino de 15 d´ıas con una TNA del 25,7% anual; y por u ´ltimo se consigui´ o colocarlo 30 d´ıas a inter´es simple a una tasa anual del 43,5%. Calcular el inter´es total y la tasa nominal continua equivalente de la operaci´ on citada. Delirio: 1 x+ p
− f (x)
f
f x+
1 p 1 p
J = f (x) 1 + p = Jf (x)
tomando p −→ ∞ tenemos f 0 (x) = Jf (x) Luego f (x) = CeJx Si agregamos la condici´on inicial f (0) = C0 tenemos que f (x) = C0 eJt
6.2
Equivalencia de capitales
Dado un capital A disponible al momento t, en capitalizaci´on continua el valor del mismo a la fecha focal f es: A al momento f = AeJ(f −t) pues si t < f , debemos capitalizar el capital A por f − t a˜ nos A al momento f = AeJ(f −t)
(PONER DIBUJO) mientras que si t > f , debemos actualizar el capital A por t − f a˜ nos: A al momento f = Ae−J(t−f )
(PONER DIBUJO) Esto nos permite concluir:
6.2. EQUIVALENCIA DE CAPITALES
101
Proposici´ on 6.25 Dada una tasa nominal continua J, la serie de capitales A1 , A2 , . . . , An disponibles en los momentos ta1 , ta2 , . . . , tan es financieramente equivalente a la serie de capitales B1 , B2 , . . . , Bm disponibles en los momentos tb1 , tb2 , . . . , tbm , a la fecha focal f en el sistema de capitalizaci´ on continua si n X
J (f −ta j)
Aj e
j=1
=
m X
b
Bj eJ (f −tj )
j=1
donde todos los datos temporales deben ser expresados en a˜ nos.
(PONER DIBUJO) Ejemplo 6.26 La Sra. Yanina desea sutituir el siguiente esquema de pagos: $ 50.000 hoy, $ 60.000 a los cinco a˜ nos y $ 100.000 a los 10 a˜ nos, por dos pagos iguales, el primero al a˜ no, y el segundo a los 6 a˜ nos. Hallar el nominal de los montos a pagar usando una tasa nominal continua J = 13, 5%, y tomando como fecha focal el d´ıa de hoy. Resolver nuevamente el problema usando como fecha focal f = 5 a˜ nos. El valor del primer esquema de pago: $ 50.000 hoy, $ 60.000 a los 5 a˜ nos y $ 100.000 a los 10 a˜ nos, a la fecha focal f (en a˜ nos) usando la tasa nominal J = 13, 5% es 50.000e0,135f + 60.000e0,135(f −5) + 100.000e0,135(f −10) El valor del segundo esquema de pago: $ x dentro de 1 a˜ no y $ x dentro de 6 a˜ nos, a la fecha focal f (en a˜ nos) usando la tasa la tasa nominal J = 13, 5% es xe0,135(f −1) + xe0,135(f −6) Por ejemplo, usando como fecha focal el origen, f = 0 tenemos 50.000 + 60.000e−0,675 + 100.000e−1,35 , = xe−0,135 + xe−0,81 50.000 + 30.549, 39 + 25.924, 03 = 1, 31857397791x 106.473, 41 = x 1, 31857397791 80.748, 91 = x. i.e., los nuevos pagos ser´ an de $ 80.748,91. Ejercicio 6.27 Volver a calcular el monto de los nuevos pagos usando la otra fecha focal propuesta o cualquier otra fecha focal que se le ocurra al lector. Deber´ıa obtener siempre x = 80.748, 91. La equivalencia financiera en capitalizaci´on continua, al igual que en capitalizaci´ on compuesta, es independiente de la fecha focal elegida.
´ CONTINUA CHAPTER 6. CAPITALIZACION
102
Ejercicio 6.28 Verificar que este es el caso: comprobar que la equivalencia financiera en capitalizaci´ on continua es independiente de la fecha focal elegida. Ejemplo 6.29 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 40.000 dentro de tres meses, el segundo de $ 30.000 dentro de 6 meses y u ´ltimo de $ 50.000 a los 9 meses. Por razones de flujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por dos: uno de $ 50.000 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa del 25% nominal continua. Debemos igualar los valores a la fecha focal dada de ambas operaciones: valor de la valor de la operaci´on original = operaci´on nueva a la fecha focal f a la fecha focal f Usando como fecha focal: f = 6 meses
fecha focal
C
$ 500 0
1
2
3
4
$ 400
5
6
7
8
$ 300
9
10
meses
$ 500
Debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos ser´an capitalizados (los que est´an disponibles antes de los 6 meses), otros ser´an actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los capitales disponibles a los 6 meses no cambian 40.000e0,25· 12 + 30.000 + 50.000e0,25·(− 12 )
=
50.000e0,25 12 + Ce0,25·(− 12 )
42.580 + 30000 + 46.971
=
51.053 + 0, 920044414629C
3
3
1
4
de donde C=
68.499 = 74.451 0, 920044414629
Por lo que el a los 10 meses deberemos pagar $ 74.451. Ejercicio 6.30 Una deuda de $ 2.000 con una tasa nominal continua 18.5% vence en un a˜ no. Si el deudor paga $ 900 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento.
6.3. TASA MEDIA CONTINUA
103
Ejercicio 6.31 El se˜ nor Denis debe $ 25.000 con vencimiento en 6 meses, $ 10.000 con vencimiento en 15 meses y $ 18.500 con vencimiento en 18 meses. Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 9 meses y otro con vencimiento en 18 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo una tasa nominal del 31,5%. Ejercicio 6.32 ¿Con qu´e cantidad se cancela hoy d´ıa, un pr´estamo que consigui´ o dos meses atr´ as la Srta Noelia, habiendo firmado dos documentos; uno con valor nominal de $ 6.000 que vence en dos meses a partir hoy y otro por valor nominal de $ 7.500 y vencimiento a 10 meses del pr´estamo? Suponga intereses continuos del 20,4%. Problemas con almanaque Ejercicio 6.33 El 15 de enero del corriente a˜ no se otorga un pr´estamo amparado con dos pagar´es con vencimiento al 23 de marzo y al 23 de mayo por $ 1.900 y $ 2.000 respectivamente. Poco despu´es, se conviene en cancelarlo con tres pagos: el primero por $ 500 el 22 de febrero, el segundo por $ 1.000 el 22 de abril y el tercero el d´ıa 22 de junio, ¿Cu´ al es el monto de este u ´ltimo pago si se cargan intereses del 30% nominal? ¿A cu´ anto asciende el monto del pr´estamo? Ejercicio 6.34 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12.725, $ 11.022 y $ 8.774, con vencimiento los d´ıas 15 de mayo, 12 de junio y 29 de julio, respectivamente, por uno u ´nico pago el d´ıa 1 de julio; ¿A cu´ anto ascender´ a el capital si se aplica una tasa nominal continua del 26%?.
6.3
Tasa media continua
Como ya vimos, se le llama tasa media a la tasa que produce el mismo efecto final que un grupo de tasas dadas actuando simult´aneamente. Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 6.35 Ud. tiene $ 100.000 invertidos al 18%, $ 250.000 al 8% y % 75.000 al 2%, donde todas las tasas son nominales anuales continuas y todas las inversiones son por 3 a˜ nos. ¿Qu´e tasa nominal (anual) continua deber´ıa ofrecerle una entidad financiera para que ud. coloque todo su capital, $ 425.000, en la misma (por tres a˜ nos)? Este no es m´ as que un problema de equivalencia financiera, donde la incognita es una tasa (en principio, el tiempo tambi´en parece ser una incognita, pero veremos que en sistema continuo, este tipo de problemas es independiente del horizonte temporal).
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!! Planteemos la oparatoria a 3 a˜ nos. Al cabo de 3 a˜ nos, las inversiones originales generan la siguiente cantidad de dinero 100.000e0,18·3 + 250.000e0,08·3 + 75.000e0,02·3
´ CONTINUA CHAPTER 6. CAPITALIZACION
104
La operaci´ on nueva genera al cabo de t a˜ nos 425.000eJ·3 si queremos que ambas operaciones sean equivalentes, tenemos que 100.000e0,18·3 + 250.000e0,08·3 + 75.000e0,02·3 = 425.000eJ·3 Por lo que la tasa nominal continua J que buscamos, conocida como la tasa media continua de la operaci´on, es
J
= =
1 100.000e0,18·3 + 250.000e0,08·3 + 75.000e0,02·3 ln 3 425.000 0, 36901324
Por lo tanto, la entidad financiera debe ofrecerle al menos una tasa nominal continua del 0, 36901324 %. Esta tasa, produce igual rentabilidad en tres a˜ nos que a las otras tres inversiones en conjunto. Esto no ocurre a otras fechas. A dos a˜ nos tenemos que las tres inversiones en conjunto producen un montante de $ 1.217.318,74, pues 100.000e0,18·2 + 250.000e0,08·2 + 75.000e0,02·2 = 1.217.318, 74 mientras que si invertimos $ 425.000 al 36,901324% obtenemos un montante de $ 889.016,40 pues 425.000e0,36901324·2 = 889.016, 3698 A tres a˜ nos ambas inversiones producen el mismo montante $ 1.285.790,38 100.000e0,18·3 +250.000e0,08·3 +75.000e0,02·3 = 1285790.38 = 425.000e0,36901324·3 Mientras que a 7 a˜ nos tenemos que las tres inversiones en conjunto producen un montante de $ 1.652.915,623, pues 100.000e0,18·7 + 250.000e0,08·7 + 75.000e0,02·7 = 1.652.915, 623 mientras que si invertimos $ 425.000 al 36,901324% obtenemos un montante de $ 5.626.156,741 pues 425.000e0,36901324·7 = 5.626.156, 741 En general, la serie de capitales Ck , con k = 1, . . . , n, los cuales hoy son colocados a las tasas nominales continuas Jk , con k = 1, . . . , n, durante t a˜ nos, es equivalente a colocar hoy la suma de todos los capitales C=
n X k=1
Ck ,
6.3. TASA MEDIA CONTINUA
105
a la tasa nominal continua media Jmedia durante t a˜ nos, la cual realiza la igualdad en la siguiente ecuaci´ on: n X
Ck eJk t = CeJmedia
k=1
despejando la tasa media obtenemos Jmedia
1 = ln t
n 1 X C k eJ k t C
! .
(6.8)
k=1
Nota 6.36 Observe que la f´ ormula para la tasa media en capitalizaci´ on continua depende del tiempo t, los capitales Ck y de las tasas nominales Jk , con k = 1, . . . , n. Ejemplo 6.37 A la Se˜ norita Noelia se le ofrecen dos opciones de inversi´ on: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 70% del mismo al 8% nominal anual, y el 30% restante al 12% nominal anual. La segunda consite en colocar todo el capital al 10% nominal anual. ¿A que horizonte temporal una opci´ on es mejor que la otra? Calculemos primero la tasa media de la primera operaci´on. Dado un intervalo tiempo de t a˜ nos, queremos hallar una tasa Jmedia , que nos produzca la misma ganancia: 0.70CeJ1 t + 0.30CeJ1 t = CeJmedia ·t reemplazando y despejando Jmedia =
1 ln 0.70e0.08t + 0.30e0.12t t
Nuevamente la tasa media resulta una funci´on del tiempo. Podemos graficar Jmedia (t): tasa 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025
Jmedia (t)
0
20
40
60
42.36489302
80
100
120
140
160
180
200
A˜ nos
´ CONTINUA CHAPTER 6. CAPITALIZACION
106
De la cual se puede ver que Jmedia (t) ≤ 0.10 para todo t ≤ 42.36489302 a˜ nos. Ahora es claro que la segunda opci´on (no dividir el capital) es la m´as conveniente si: t ≤ 42.36489302 a˜ nos. En general no se puede despejar t de la expresi´on (4.15), por lo cual se deben usar m´etodos num´ericos para hallar el tiempo de “equilibrio” (la cantidad de a˜ nos a la que somos indiferentes entre una o otra opci´on). Para este ejemplo, usando Maple student edition, hallamos que el tiempo de equilibrio es t = 42.36489302 a˜ nos. Ejercicio 6.38 Tenemos $ 100.000 para invertir. Se nos presentan tres opciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 10.8% nominal. La segunda en comprar $ 65.000 en bonos del estado que pagan un 12% nominal y el resto en el banco al 5% nominal. La tercera consiste en comprar obligaciones de empresas privadas: $25.000 en opciones de la empresa A, que rinden un 14%, $ 40.000 en opciones de la empresa B, que rinden un 10% y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 9% anual. ¿Cu´ al de las opciones es la m´ as ventajosa a 10 a˜ nos? ¿Existe un tiempo de equilibrio en el cual seamos indiferentes entre las tres opciones? Ejercicio 6.39 Al se˜ nor Gonzalo se le ofrecen dos opciones de inversi´ on: La primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 35% del mismo al 18% nominal, y el 65% restante al 6,5% nominal. La segunda consiste en colocar todo el capital al 9,4% nominal. ¿Cu´ al de las opciones es la m´ as ventajosa a 5 a˜ nos? ¿Cu´ al es el tiempo de equilibrio?
´ EJERCICIOS!!!!!!!!!!!!!!! ! PONER MAS 6.4
Equivalencia entre tasas continuas y discretas
A la se˜ norita Georgina se le ofrecen dos opciones: Imponer su capital a una TEA del 12% o imponerlo a una tasa nominal continua del 11,5%. ¿Cu´al opci´on es mejor? Si dispusieramos de f´ormula para convertir tasas continuas en discretas y viceversa podr´ıamos responder esta pregunta (Si es verdad, hay otras formas de resolver el problema). Esto se puede lograr facilmente aplicado la definici´on de equivalencia de tasas: La tasa efectiva p-per´ıodica i(p) (discreta) y la tasa nominal continua J, son financieramente equivalentes si aplicadas un capital inicial C0 , durante t a˜ nos, producen id´entico capital final Cf : pt C0 eJt = Cf = C0 1 + i(p)
6.4. EQUIVALENCIA ENTRE TASAS CONTINUAS Y DISCRETAS
107
i(k) t a˜ nos
C0
Cf
J De donde llegamos a la relaci´ on fundamental de equivalencia entre tasa discretas y continuas Proposici´ on 6.40 La tasa efectiva p-per´ıodica i(p) (discreta) y la tasa nominal continua J, son financieramente equivalentes si p eJ = 1 + i(p) (6.9) Nota 6.41 Depejando de la u ´ltima expresi´ on obtenemos J = p ln 1 + i(p) i(p)
= e
1 pJ
−1
(6.10) (6.11)
Adem´ as, como se puede apreciar de las f´ ormulas anteriores, esta equivalencia de tasas es independiente del tiempo. Para responder a la pregunta que se esta haciendo Georgina, calculemos la tasa nominal continua equivalente a una TEA del 12% J = ln (1 + 0, 12) = 0, 1133286853 Por lo tanto es mejor la otra inversi´on. A modo confirmatorio, calculemos la TEA equivalente a la J = 0.115: i(p) = e0.115 − 1 = 0.12187 > 0, 12 Ejercicio 6.42 Hallar la tasa nominal continua equivalente a una TNA del 18%. Ejercicio 6.43 Hallar la tasa nominal continua equivalente a una i(p) = 0.02 con p ∈ {1, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}. Ejercicio 6.44 Dada una J = 0.30, hallar la i(p) equivalente para p ∈ {1, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}. Ejercicio 6.45 Hallar la tasa nominal continua equivalente a una nominal trimestral (J (4) ) del 24%. Ejercicio 6.46
Poner m´as ejercicios
´ CONTINUA CHAPTER 6. CAPITALIZACION
108
6.5
Vencimiento medio continuo
Dada una tasa nominal continua J, deseamos hallar el vencimiento medio m, en el cual podemos sustituir una serie de capitales C1 , C2 , . . . , Cn disponibles en los momentos t1 ≤ t2 ≤ . . . ≤ tn , por un u ´nico pago C=
n X
Ck .
k=1
Como en el sistema continuo la equivalencia financiera puede realizarce a cualquier fecha focal sin alterar el resultado, eligiendo f = 0 tenemos n X
Ck e−Jtk = Ce−Jm
k=1
Luego 1 m= J
ln C − ln
n X
! −Jtk
Ck e
(6.12)
k=1
Razonando financieramente es intuitivo que el vencimiento medio se debe hallar entre t1 y tn , pues debe haber una compensaci´on de intereses. Ejemplo 6.47 El Se˜ nor Paul desea sustituir tres pagos, de $ 4.000, $ 3.000 y $ 3.000, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un a˜ no, respectivamente, por un u ´nico pago de $ 10.000. Hallar el vencimiento medio para las siguientes tasas nominales 1) 2) 3) 4)
tasa nominal 4% 8%, 31%, 42%
1) Tasa nominal del 4%, 6 ln 10.000 − ln 4000 + 3.000e−0.04 12 + 3.000e−0.04 vmedio
= =
0.04 0.4465537 a˜ nos,
i.e., pr´ acticamente 163 d´ıas. Ejercicio 6.48 Hallar el resto de los vencimientos medios requeridos en el ejemplo anterior. Ejercicio 6.49 La empresa Gonz´ alez s.r.l. de desea sustituir 6 pagos bimestrales de $ 150.000 , por un u ´nico pago de $900.000. Suponer una tasa nominal del 24.5%. Hallar el vencimiento medio.
6.6. DESCUENTO CONTINUO
109
Ejercicio 6.50 La f´ abrica de pastas La Nona, S.A. sutituy´ o el siguiente esquema de pagos:3 pagos de $ 75.000, hoy, a los seis y doce meses, respectivamente, por un u ´nico pago de $ 225.000 dentro de 8 meses. ¿Cu´ al fue la tasa nominal continua usada? Ejercicio 6.51
6.6
´ EJERCICOS PONER MAS
Descuento continuo
En ´esta secci´ on demostraremos que en capitalizaci´on continua actualizar y descontar son la misma operaci´ on. Las tasas de descuento no suelen informarse de manera anual, pues t´ıpicamente son muy altas pero, a fin de poder desarrollar el descuento continuo, las introduciremos. Dada una tasa de descuento p-per´ıodica d(p) , la tasa de descuento nominal correspondiente es H (p) = pd(p) Por ejemplo la tasa de descuento nominal equivalente a una tasa efectiva de descuento diario d(365) del 1,1% es H (365) = 365d(365) = 365 · 0, 011 = 4, 015 i.e., una tasa nominal de descuento del 401,5%. Ahora, dada una tasa de descuento nominal que descuenta p veces en el a˜ no, tenemos que el efectivo E correspondiente a descontar un nominal N durante t a˜ nos es pt H (p) E =N 1− p Si ahora fijamos la tasa nominal H (p) = H para todo p ∈ Z+ y pensamos al efectivo como una funci´on de p pt H E (p) = N 1 − p al hacer tender p hacia ∞ obtenemos el siguiente efectivo E
=
lim E (p) pt H = lim N 1 − p→∞ p p→∞
= N e−Ht
Poner dibujo!!!!!!
´ CONTINUA CHAPTER 6. CAPITALIZACION
110 Luego
N = EeHt de donde podemos deducir que actualizar y descontar son la misma operaci´on en capitalizaci´ on continua (por eso los libros de finanzas suelen hablar siempre de descuento).
Chapter 7
Composici´ on de tasas 7.1
Rentabilidad real
Hay muchas situaciones donde debemos tener en cuenta m´as de una tasa para poder tomar una decisi´ on financieramente acertada. Por ejemplo, cuando la inflaci´ on es grande, cuando se opera con monedas de diferentes naciones, cuando se cobran comisiones, cuando se pagan impuestos, etc. Consideremos la siguiente situaci´on Ejemplo 7.1 Disponemos de $ 250.000. Hoy el d´ olar cuesta $ 4,15, adem´ as el banco con el que operamos nos paga una tasa en d´ olares del 6,3 %. Por otro lado, se estima que la tasa de devaluaci´ on anual del peso respecto del d´ olar ser´ a del 3,7 %. Si compramos d´ olares, y los depositamos en este banco por 2 a˜ nos, ¿Cu´ al ser´ a nuestra rentabilidad en pesos? La respuesta no es simplemente sumar ambas tasas: 6, 3% + 3, 7% = 10% Veamos en detalle la operaci´ on para obtener la tasa real de rendimiento: 1. Primero compramos 60.240,96 d´olares, pues c´omo cada d´olar nos cuesta $ 4, 15: $ 250.000 = U $ 60.240, 96386 4, 15 2. Luego capitalizamos por dos a˜ nos la cantidad de d´olares que adquirimos a la tasa en d´ olares que nos ofrecen: 2
U $ 60.240, 96386 (1 + 0.067) = U $ 68.583, 67467 3. Luego usamos la tasa anual de devaluaci´on del peso con respecto al d´olar para hallar el precio del d´ olar frente al peso dentro de dos a˜ nos: 2
4, 15 (1 + 0, 037) = 4, 46278 111
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
112
4. Luego usamos el tipo de cambio que acabamos de encontrar para obtener una suma en pesos: U $ 68.583, 67467 · 4, 46278 = $ 306.073, 94436 5. Por lo que la tasa de rendimiento anual en pesos es la tasa que convierte $ 250.000 en $ 306.073, 94436 en dos a˜ nos: $ 306.073, 94436 = $ 250.000 (1 + r)
2
Por lo que la tasa anual de rendimiento es r = 10, 6479 %
Dibu: del esquema de la operaci´on Si observamos en detalle la operaci´on anterior podemos ver la relaci´on entre las tasas originales y la tasa real de rendimiento del 10, 6479 % : 2
306.073, 94436
=
250.000 (1 + r)
68.583, 67467 · 4, 46278
=
250.000 (1 + r)
2
=
250.000 (1 + r)
2
=
250.000 (1 + r)
=
250.000 (1 + r)
68.583, 67467 · 4, 15 (1 + 0, 037) 2
60.240, 96386 (1 + 0, 067) · 4, 15 (1 + 0, 037) 250.000 2 2 (1 + 0, 067) · 4.15 (1 + 0, 037) 4, 15
2 2 2
2
Cancelando, obtenemos 2
2
=
(1 + r)
0, 067 + 0, 037 + 0, 067 · 0, 037
=
r
0, 106479
=
r
(1 + 0, 067) (1 + 0, 037)
2
Por lo tanto, si tenemos m´as de una tasa actuando simult´aneamente, el efecto conjunto no es la mera suma de las tasas (en el sistema compuesto). Adem´ as, el ejemplo anterior muestra que si bien las tasas act´ uan de manera simult´ anea sobre un capital, no hay p´erdida de generalidad en suponer que las tasas act´ uan secuencialmente.
Poner dibujo?????
(p )
(p )
(p )
Definici´ on 7.2 Dadas unas n tasas efectivas i1 1 , i2 2 , . . . , in n , llamaremos tasa real r(p) a la tasa p-per´ıodica que produce un efecto equivalente sobre un capital inicial C0 durante un per´ıodo de tiempo de t a˜ nos que la aplicaci´ on (p1 ) (p2 ) (pn ) simult´ anea de las tasas i1 , i2 , . . . , in : C0
n Y k=1
(p )
1 + ik k
pk t
pt = C0 1 + r(p)
(7.1)
7.1. RENTABILIDAD REAL
113
De la definici´ on se puede deducir la ecuaci´on fundamental para el c´alculo de tasas reales (p )
(p )
(p )
Proposici´ on 7.3 Dadas unas n tasas efectivas i1 1 , i2 2 , . . . , in n de aplicaci´ on simult´ anea, la tasa real p-per´ıodica r(p) asociada a las mismas satisface: n Y
(p )
1 + ik k
pk
p = 1 + r(p)
(7.2)
k=1
Ejemplo 7.4 Compramos un propiedad inmobiliaria por $ 350.000. Se espera que el valor de las propiedades de la zona aumenten a un ritmo del 5% anual. Adem´ as, a causa de la inflaci´ on, se espera que los inmuebles aumenten a un 15% anual. ¿Cu´ al es el rendimiento anual “real” de la inversi´ on? La respuesta no es 20 % anual, el efecto es compuesto: 350000 (1 + 0.05) (1 + 0.15)
=
350000(1 + 0.05 + 0.15 + 0.0075) {z } |
=
350000 (1 + 0, 2075)
esta es la tasa real
la tasa “real” es del 20. 75 % anual. Observe que habr´ıamos obtenido el mismo resultado usando la f´ ormula fundamental de tasas reales (7.2): 1+r
=
(1 + 0.05) (1 + 0.0075)
r
=
0, 2075
Ejemplo 7.5 Siguiendo con los ejemplos inmobiliarios, decidimos comprar un sal´ on comercial aleda˜ no al centro por unos $ 750.000. Estimamos que la inflaci´ on anual rondar´ a el 0,45 % mensual por los pr´ oximos 5 a˜ nos. Adem´ as, como la ciudad est´ a en expansi´ on, el costo de las locales comerciales est´ a aumentando a un 4 % semestral. Finalmente la apertura de un supermercado y la creaci´ on de una escuela, ambos en las inmediaciones del local est´ an aumentando el valor de los inmuebles de la zona en un 3 % anual. ¿Cu´ al es la tasa redimiento trimestral de nuestra inversi´ on?¿Cu´ al ser´ a el valor (aproximadamente) del local al cabo de 4 a˜ nos? Hallar la tasa de rendimiento no es m´as que aplicar la f´ormula (7.2)
1 + r(4)
4
= (1 + 0.0045)
12
2
(1 + 0.04) (1 + 0.03)
de donde r(4) = 0.04129983381 Por lo que la tasa de rendimiento trimestral de nuestra inversi´on es del 4,129983381%. El valor estimado de la propiedad al cabo de 4 a˜ nos ser´a de $ 1.228.755,79488 pues 12 750.000 (1 + 0, 04129983381) = 1.228.755, 79488
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
114
Ejercicio 7.6 Compramos una casa en un barrio por $ 85.000. Por efecto de la inflaci´ on el valor de las propiedades sube un 0,52% mensual. Y debido a la inaguraci´ on de un parque p´ ublico las propiedades de la zona est´ an aumentando su valor un 3,5% anualmente. ¿Cu´ al es el valor de mercado de nuestra casa pasados 8 a˜ nos? Ejercicio 7.7 Compramos un propiedad inmobiliaria por $ 550.500. Se espera que el valor de las propiedades de la zona aumenten a un ritmo del 6,1% anual. Adem´ as, a causa de la inflaci´ on, se espera que aumenten a un 7% anual. ¿Cu´ al es el rendimiento anual real de la inversi´ on? Ejercicio 7.8 En mayo de 2008, compramos un cami´ on en $ 730.700, para alquilarselo a una empresa minera que nos paga mesualmente el 1,82% del valor del veh´ıculo. A causa de la inflaci´ on el precio de este tipo de veh´ıculos sube en promedio un 8,7 % anual. ¿Cu´ al es el rendimiento de la inversi´ on a mayo de 2010? Ejercicio 7.9 Un banco nos ofrece un pr´estamo a una tasa del 24,7% anual, m´ as un seguro del 0,8% mensual, m´ as el impuesto varios que son del orden del 2,73% trimestral. ¿Cu´ al es la tasa diaria real del pr´estamo? Ejercicio 7.10
7.2
´ EJERCICOS PONER MAS
Efecto de las comisiones
Es esta secci´ on analizaremos el efecto de las comisiones sobre la rentabilidad de las inversiones. En l´ıneas generales, las comisiones disminuyen la rentabilidad de una inversi´ on. Las comisiones pueden ser cobradas de varias formas. Pueden ser un monto fijo, un porcentaje de la inversi´on inicial, porcentaje de la ganancias, o una combinaci´ on de los anteriores. Similarmente, las comisiones, pueden se cobradas al principio o al final de la operaci´on. Una inversi´ on por un monto Cinicial , la cual produce al cabo de t a˜ nos, un monto Cfinal , tiene una tasa de rendimiento p-per´ıodica tal que pt Cfinal − Cinicial Cinicial 1 + i(p) = Cinicial
PONER DIBUJO!!!!!!!!!!! 7.2.1
Efecto de las comisiones cobradas al principio de la operaci´ on
Este es el caso m´ as habitual. Analizaremos por separado el efecto de las comisiones de monto fijo y las comisiones porcentuales (sobre la inversi´on inicial).
7.2. EFECTO DE LAS COMISIONES
115
Comencemos con las comisiones de monto fijo. Si se invierte un capital C0 durante n p-per´ıodos, a una tasa i(p) , pero nos cobran una comisi´on fija c tenemos que la cantidad efectivamente invertida es C0 − c y lo que recibiremos es n Cfinal = (C0 − c) 1 + i(p) (7.3)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! La tasa p-per´ıodica real r(p) es la que transforma en n p-per´ıodos nuestra inversi´ on C0 en Cfinal n Cfinal = C0 1 + r(p) (7.4) Igualando (7.3) y (7.4) n n (C0 − c) 1 + i(p) = 1 + r(p) Obtenemos la siguiente expresi´ on s c n (p) 1+i 1− = 1 + r(p) C0
(7.5)
de donde resultan obvias las siguientes observaciones: 1. El rendimiento real es menor que el rendimiento declarado: r(p) < i(p) . 2. El impacto de la comisi´ on fija depende de el monto invertido inicialmente C0 y del horizonte temporal de la inversi´on. Fijada n, Mientras m´as grande sea la inversi´ on inicial, menor ser´a la diferencia entre r(p) y i(p) . Similarmente, Fijada C0 , mientras mayor sea el horizonte temporal (n) de la operaci´ on, menor ser´ a la diferencia entre r(p) y i(p) . Esto se puede expresar sucintamente: r(p) % i(p) , cuando n → ∞ o cuando C0 → ∞ donde % indica que la convergencia es mon´otona creciente.
PONER 4 O 5 EJERCICIOS!!!!!!!!!!!!!!!!! Ahora analizaremos las comisiones porcentuales. En este caso, el comisionista cobra un porcentaje fijo t sobre la inversi´on realizada. Por lo si se invierte un capital C0 durante n p-per´ıodos, a una tasa i(p) , pero nos cobran C0 t en conceptos de comisi´ on. luego que la cantidad efectivamente invertida es C0 (1 − t) y lo que recibiremos es n Cfinal = C0 (1 − t) 1 + i(p) (7.6)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
116
Al igual que antes la tasa p-per´ıodica real r(p) es la que transforma al cabo de n p-per´ıodos nuestra inversi´on C0 en el capital Cfinal n Cfinal = C0 1 + r(p) (7.7) Igualando (7.6) y (7.7) n n (1 − t) 1 + i(p) = 1 + r(p) Obtenemos la siguiente expresi´on p 1 + i(p) n (1 − t) = 1 + r(p)
(7.8)
(7.9)
de donde resultan obvias las siguientes observaciones: 1. El rendimiento real es menor que el rendimiento declarado: r(p) < i(p) . 2. El impacto de la comisi´on porcentual no depende de el monto invertido inicialmente C0 , pero si depende del horizonte temporal de la inversi´on. Mientras mayor sea el horizonte temporal (n) de la operaci´on, menor ser´a la diferencia entre r(p) y i(p) . Esto se puede expresar sucintamente: r(p) % i(p) , cuando n → ∞
poner 4 o 5 ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!! 7.2.2
Efecto de las comisiones cobradas al final de la operaci´ on
Comencemos con las comisiones de monto fijo. Si se invierte un capital C0 durante n p-per´ıodos, a una tasa i(p) , pero nos cobran una comisi´on fija c tenemos que la cantidad efectivamente recibida al final de la inversi´on es Cfinal = Cn − c donde n Cn = C0 1 + i(p) (7.10)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! La tasa p-per´ıodica real r(p) es la que transforma al cabo de n p-per´ıodos nuestra inversi´ on C0 en Cfinal = Cn − c n Cfinal = Cn − c = C0 1 + r(p) (7.11) Reemplazando (7.10) en (7.11) n n C0 1 + i(p) − c = C0 1 + r(p) Obtenemos la siguiente expresi´on n n c 1 + i(p) − = 1 + r(p) C0 de donde resultan obvias las siguientes observaciones:
(7.12)
7.2. EFECTO DE LAS COMISIONES
117
1. El rendimiento real es menor que el rendimiento declarado: r(p) < i(p) . 2. El impacto de la comisi´ on fija depende de el monto invertido inicialmente C0 y del horizonte temporal de la inversi´on. Fijada n, Mientras m´as grande sea la inversi´ on inicial, menor ser´a la diferencia entre r(p) y i(p) . Similarmente, Fijada C0 , mientras mayor sea el horizonte temporal (n) de la operaci´ on, menor ser´ a la diferencia entre r(p) y i(p) . Esto se puede expresar sucintamente: r(p) % i(p) , cuando n → ∞ o cuando C0 → ∞
PONER 4 O 5 EJERCICIOS!!!!!!!!!!!!!!!!! Ahora analizaremos las comisiones porcentuales. En este caso hay dos variantes, pues la comisi´ on se puede cobrar sobre el monto final total, o sobre la ganacia obtenida. Consideremos el caso donde el comisionista cobra un porcentaje fijo t sobre el monto final Cfinal . Si se invierte un capital C0 durante n p-per´ıodos, a una tasa i(p) , nos cobran Cfinal t en conceptos de comisi´on. Luego la cantidad de dinero que efectivamente se recibe es Cfinal (1 − t) donde n Cn = C0 1 + i(p) (7.13)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Al igual que antes la tasa p-per´ıodica real r(p) es la que transforma al cabo de n p-per´ıodos nuestra inversi´ on C0 en el capital que efectivamente recibimos Cfinal = Cn (1 − t) n Cfinal = Cn (1 − t) = C0 1 + r(p) (7.14) Reemplazando (7.13) y (7.14) n n 1 + i(p) (1 − t) = 1 + r(p) Esta expresi´ on coincide con (7.8) por lo que para el inversor es lo mismo que la comisi´ on porcentual la cobren sobre la inversi´on inicial que sobre el capital final, i.e. al final de la operaci´ on recibe la misma cantidad de dinero: n C0 (1 − t) 1 + i(p) Nota 7.11 Observemos que si el comisionista cobra una comisi´ on porcentual t, recibe C0 t al principio de la operaci´ on (momento 0)si la comisi´ on la cobra sobre la inversi´ on inicial al principio de la operaci´ on, mientras que recibe Cn t al final de la operaci´ on (momento n)si la comisi´ on la cobra sobre el monto final. Si bien son sumas distintas de dinero, son financieramente equivalentes a la tasa i(p) : n C0 t 1 + i(p) = Cn t pues Cn = C0 1 + i(p)
n
.
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
118
Analizaremos ahora el caso donde el comisionista cobra el porcentaje t sobre las ganancias obtenidas por el inversor: ganacias = Cfinal − Cinicial Si se invierte un capital C0 durante n p-per´ıodos, a una tasa i(p) , y nos cobran una comisi´ on porcentual t sobre las ganacias, en lugar de recibir n Cn = C0 1 + i(n) recibimos Cfinal
= Cn − (Cn − C0 ) t = C0 1 + i(n) (1 − t) + t
(7.15)
Luego la tasa de rentabilidad real p-periodica para el inversionista, r(p) , es aquella que transforma al cabo de n p-per´ıodos la inversi´on inicial C0 en el monto final Cfinal n Cfinal = C0 1 + r(p) (7.16) Igualando (7.15) y (7.16) n n C0 1 + i(n) (1 − t) + t = C0 1 + r(p) Obtenemos la siguiente expresi´on n n 1 + i(n) (1 − t) + t = 1 + r(p)
(7.17)
de donde resultan obvias las siguientes observaciones: 1. El rendimiento real es menor que el rendimiento declarado: r(p) < i(p) . 2. El impacto de la comisi´on porcentual no depende de el monto invertido inicialmente C0 , pero si depende del horizonte temporal de la inversi´on. Mientras mayor sea el horizonte temporal (n) de la operaci´on, menor ser´a la diferencia entre r(p) y i(p) . Esto se puede expresar sucintamente: r(p) % i(p) , cuando n → ∞
poner 4 o 5 ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!! 7.3
Tasas negativas
Si bien en la deducci´ on de la f´ormula de capitalizaci´on compuesta n Cn = C0 1 + i(p)
7.3. TASAS NEGATIVAS
119
no hay ninguna restricci´ on sobre los valores que puede tomar la tasa p-per´ıodica i(p) , hasta ahora hemos asumido que la tasa es positiva. Es decir, matem´aticamente, la tasa i(p) puede ser nula o inclusive negativa. Pero ¿Cu´ al es el significado financiero de una tasa no-positiva? Para empezar, si i(p) = 0 (no hay costo de oportunidad), no hay matem´aticas financiera y todo se trivializa. $ 100 hoy son equivalentes a $ 100 pesos dentro de quince a˜ nos, y a $ 100 hace 6 a˜ nos. El caso i(p) < 0 tiene un significado financiero: corresponde a depreciaciones, el pago de impuestos, seguros, comisiones y servicios varios.
7.3.1
Depreciaci´ on
La mayor´ıa de los bienes que adquirimos comienzan a perder valor ni bien est´an en nuestras manos (por el desgaste que produce el uso, por la acci´on de los elementos naturales, o inclusive por obsolecencia). Definici´ on 7.12 La depreciaci´ on es la p´erdida de valor que sufren los activos fijos (como edificios, maquinaria, mobiliario, equipos de computo, veh´ıculos, etc.) a lo largo de su vida u ´til, haciendo que la misma resulte limitada. No daremos un tratamiento completo del tema y nos limitaremos a presentar el m´etodo de depreciaci´ on de porcentaje fijo, el cual corresponde a usar capitalizaci´ on compuesta con una tasa negativa. La idea es simple, utilizaremos una tasa fija a lo largo de la vida u ´til del activo fijo en cuesti´ on, para ir reduciendo el valor del mismo, per´ıodo a per´ıodo de acuerdo con la tasa de deprecicaci´on dada. Veamos un ejemplo Ejemplo 7.13 Una Universidad compra una camioneta todo terreno por unos $ 215.000 para su el departamento de Geolog´ıa. Se sabe que la tasa de depreciaci´ on para este tipo de veh´ıculos es del 5,5 % anual. ¿Cu´ al es el valor del veh´ıculo al cabo de 5 a˜ nos? Una tasa de depreciaci´ on del 5,5% anual, nos dice que el bien en cuesti´on pierde el 5,5% de su valor en un a˜ no, si a principio de a˜ no el bien val´ıa $ 215.000, al final del a˜ no valdr´ a $ 203.175 pues {z } |215.000
−
Valor del bien a principios del a˜ no
|
215.000 · 0, 055 | {z }
= 215.000 (1 − 0, 055) = 203.175
Valor p´erdido al cabo de un a˜ no
{z
Valor al final del a˜ no
}
PONER DIBU!!!!!!!!!!!! Al siguiente a˜ no, la situaci´ on es similar, pero ahora el valor del bien a principios del a˜ no es $ 203.175, luego, al finalizar el segundo a˜ no, el valor del bien ser´ a de $ 193.016,25, pues 2
203.175−203.175·0, 055 = 203.175 (1 − 0, 055) = 215.000 (1 − 0, 055) = 193.016, 25
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
120
Porner dibujoooo!!!!!!!!!! Ahora es claro que al final del tercer a˜ no el valor del bien ser´a de $ 183.365,4375 pues 3 215.000 (1 − 0, 055) = 183.365, 4375 Finalmente es claro que el valor de la camioneta al cabo de 5 a˜ nos ser´a $ 162.030,7725 pues 5
215.000 (1 − 0, 055) = 162.030, 7725 Proposici´ on 7.14 Dado un activo fijo de valor C0 y la tasa p-per´ıodica i(p) de depreciaci´ on del mismo, el valor del activo fijo al cabo de t a˜ nos es pt (7.18) Ct = C0 1 − i(p)
PONER DIBU!!!!!!!!!!!!!!!! Nota 7.15 La tradici´ on establece que las tasas (en matem´ aticas financiera) son siempre informadas de forma positiva, por lo que el signo de las misma, queda expl´ıcito en las f´ ormulas. Cuando digamos que una tasa es negativa, en realidad queremos decir que usaremos la f´ ormula (7.18). Ejemplo 7.16 En abril de 2006, compramos un auto en $ 36.700. Sabemos que los veh´ıculos de este tipo se deprecian (pierden valor) a una tasa del 4,5% anual. En mayo de 2008 decidimos vender el auto ¿Qu´e precio debemos cobrar? Han pasado 25 meses desde la compra del auto, por lo que teniendo encuenta la deprecicaci´ on su precio ser´a de $ 33.343,13 pues 1 2+ 12
36.700 (1 − 0, 045) | {z
= 33.343, 1343
}
factor de depreciaci´ on
Consideremos ahora el efecto de la inflaci´on. Ejemplo 7.17 En abril de 2006, compramos un auto en $ 36.700. Sabemos que los veh´ıculos de este tipo se deprecian (pierden valor) a una tasa del 4,5% anual. Pero a causa de la inflaci´ on suben un 18% anual. En mayo de 2008 decidimos vender el auto ¿Qu´e precio debemos cobrar? Han pasado 25 meses desde la compra del auto, su precio ser´a efecto de la inflaci´ on
36.700 (1 − 0, 045) {z |
1 2+ 12
z }| { 2+ 1 (1 + 0, 18) 12
=
}
factor de depreciaci´ on
1
36.700(1−0, 045 + 0, 18 + (−0, 045) · 0, 18)2+ 12 {z } | esta es la tasa real 1 2+ 12
=
36.700 (1 + 0.1269)
=
47.071, 78
7.3. TASAS NEGATIVAS
121
Es decir, nuestra compra a rendido un 12,69%, por lo que al cabo del 25 meses (gracias a la inflaci´ on), el auto “vale m´as” de lo que pagamos originalmente aunque tenga m´ as de dos a˜ nos de uso. Del ejemplo anterior resulta claro que la f´ormula para hallar la tasa real cuando act´ uan de manera simult´ anea un grupo de tasas no cambia si alguna(s) de las tasas consideradas es negativa. Pero por razones did´acticas la reestableceremos: (p )
(p )
(p )
Proposici´ on 7.18 Dada una serie de n tasas efectivas i1 1 , i2 2 , . . . , in n y (q ) (q ) (q ) una serie de m tasas negativas i1 1 , i2 2 , . . . , imm de aplicaci´ on simult´ anea, (p) llamaremos tasa real a la tasa p-per´ıodica r que produce un efecto equivalente sobre un capital inicial C0 durante un per´ıodo de tiempo de t a˜ nos: C0
n Y k=1
(p )
1 + ik k
m pk t Y
(qj )
1 − ij
qj t
pt = C0 1 + r(p)
j=1
De donde podemos deducir la ecuaci´ on fundamental para el c´ alculo de tasas reales n m pk Y q p Y (q ) j (p ) 1 + ik k 1 − ij j = 1 + r(p) (7.19) k=1
j=1
Nota 7.19 De la f´ ormula anterior resulta claro que la tasa real que producen una serie de tasas aplicadas simult´ aneamente no depende del tiempo, ni los montos iinvolucrados, s´ olo depende de las tasas. Ejercicio 7.20 Hace 3 a˜ nos compramos un cami´ on en $ 730.000, para alquilarselo a una empresa minera que nos paga mesualmente el 2,82% del valor del veh´ıculo. Sabemos que los veh´ıculos de este tipo se deprecian a una tasa del 6,5% anual . Pero a causa de la inflaci´ on suben en promedio 8% anual. ¿Cu´ al es el rendimiento de la inversi´ on? Ejercicio 7.21 La se˜ norita Viviana adquiri´ o un autom´ ovil por unos $ 65.000 para ser utilizado como taxi. Si al cabo de 5 a˜ nos lo vende por $ 45.000. 1. ¿Cu´ al es la tasa mensual de depreciaci´ on que us´ o? 2. Si ahora consideramos que la inflaci´ on anual fue del 12 %, ¿Cu´ al es la tasa anual de depreciaci´ on usada? Ejercicio 7.22 Una empresa adquiera un centro de copiado (all-in-one) por unos $ 12.500. Cu´ al es el valor del mismo al cabo de 3 a˜ nos si 1. La tasa de depreciaci´ on de este equipo es del 1,5 % mensual. 2. Si adem´ as consideramos que la inflaci´ on es del 5 % anual. Ejercicio 7.23
Poner m´as ejercicios!!!!!!!!!!!!
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
122
7.3.2
Impuestos, seguros y comisiones varias
Las tasas impositivas, los seguros y las comisiones porcentuales tambi´en actuan como tasas negativas, i.e., debemos usar la f´ormula (7.18). Ejemplo 7.24 El se˜ nor Elias adquiri´ o un auto por $ 70.000, a fin de utilizarlo como remis. El estima que la inversi´ on le rinde un 35 % anual. A lo cual le debe descontar el 2 % mensual en concepto de impuestos municipales y un 5 % anual para el pago del seguro obligatorio. ¿Cu´ al es el rendimiento diario real de la inversi´ on? Se nos est´ a pidiendo que hallemos la tasa real diaria de la operaci´on, la cual se puede calcular facilmente usando (7.19):
1 + r(365)
365
r(365)
12
=
(1 + 0.35) (1 − 0.02)
=
0.000017476
(1 − 0.05)
i.e., el rendimiento diario de la inversi´on del Sr. Elias es del 0,0017476% diario. Ejercicio 7.25 Compramos una casa en un barrio por $ 75.000. Por efecto de la inflaci´ on el valor de las propiedades suben un 0.52% mensual. Pero debido a la contaminaci´ on creciente de un rio aleda˜ no, las propiedades de la zona est´ an disminuyendo su valor un 3% anualmente. ¿Cu´ al es el valor de mercado de nuestra casa pasados 5 a˜ nos? Ejercicio 7.26 Compramos un propiedad inmobiliaria por $ 550.500. Se espera que el valor de las propiedades de la zona aumenten a un ritmo del 6,1% anual. Adem´ as, a causa de la inflaci´ on, se espera que aumenten a un 7% anual. Si descontamos el impuesto inmoviliario, el cual es del 1,1% anual. ¿Cu´ al es el rendimiento anual real de la inversi´ on? Ejercicio 7.27 En mayo de 2001, compramos un cami´ on en $ 73.700, para alquilarselo a una empresa minera que nos paga mesualmente el 0,82% del valor del veh´ıculo. Sabemos que los veh´ıculos de este tipo se deprecian a una tasa del 6,5% anual . Pero a causa de la inflaci´ on suben en promedio 8% anual. Si descontamos los impuestos que pagamos, los cuales son del orden del 2,1% anual, cual es el rendimiento de la inversi´ on a mayo de 2008. Ejercicio 7.28
7.3.3
Poner m´as ejercicios
Impuestos sobre la renta financiera y su efecto sobre la rentabilidad.
Si bien hoy por hoy en la Argentina no se cobran impuestos sobre los intereses ganados por dep´ ositos, ni operaciones de bolsa, es de esperar que en un futuro no muy lejando dicho impuesto se implemente
7.3. TASAS NEGATIVAS
123
Nota 7.29 Uno de los autores sostiene que es inmoral que se cobre i.v.a. y no se cobre impuesto sobre la renta financiera. Los impuestos sobre los intereses ganados pueden ser implementados de diferentes maneras. Analizaremos primero el caso en que los impuestos se cobran per´ıodo a per´ıodo. Si imponemos un capital C0 a una tasa p-per´ıodica i(p) durante unos n pper´ıodos, sabemos que los intereses ganados durante el per´ıodo k son Ik = Ck i(p) Sea τ la tasa impositiva que el gobierno aplica sobre los intereses ganados en un p-per´ıodo. Por lo que per´ıodo a per´ıodo, el estado se queda con Ik τ ingresando a la cuenta del inversionista Ikgravado = Ik − Ik τ = Ck i(p) (1 − τ ) en lugar de Ik = Ck i(p) . Esto nos lleva a la siguiente relaci´on recursiva gravado Ck+1 = Ckgravado + Ckgravado i(p) (1 − τ ) = Ckgravado (1 +
i(p) − i(p) τ ) | {z } tasa real despu´es de impuestos
Por lo que, con la condici´ on inicial C0 = inversi´ on. Tenemos que el capital acumulado al cabo de n p-per´ıodos es n Cngravado = C0 1 + i(p) (1 − τ ) (7.20) y la tasa de rendimiento real p-per´ıodica es r(p) = i(p) (1 − τ )
(7.21)
Poner dibujo!!! Ejemplo 7.30 Un banco nos ofrece por nuestros dep´ ositos una tasa del 16 % anual. Pero debemos pagar en concepto de impuestos sobre los inter´eses un 5.5%, en cada capitalizaci´ on. ¿Cu´ al es la tasa anual real que recibimos? En nuestro caso la tasa real despu´es de impuestos es r = 0, 16 (1 − 0, 055) = 0, 1512 i.e., nuestra inversi´ on en realidad nos rinde un 15,12% anual.
Poner ejercicios
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
124
Otra forma de cobrar impuestos sobre los intereses ganados en dep´ositos, consiste de aplicar una tasa impositiva τ sobre el inter´es tot al ganado por el inversionista. Si imponemos un capital C0 a una tasa p-per´ıodica durante unos n p-per´ıodos, sabemos que los intereses totales ganados est´an dados por n
IT = C0 ((1 + i) − 1) Sobre este monto el estado cobra la tasa impositiva τ ITgravado
= =
IT (1 − τ ) n C0 1 + i(p) − 1 (1 − τ )
Por lo que el capital que recibiremos ser´a = C0 + ITgravado n h n i o = C0 1 + 1 + i(p) − 1 (1 − τ ) n o n = C0 1 + i(p) (1 − τ ) + τ
Cngravado
Por lo que la tasa real p-per´ıodica satisface n n 1 + r(p) = 1 + i(p) (1 − τ ) + τ
(7.22)
la cual claramente depende de la duraci´on de la inversi´on. Ejemplo 7.31 El banco Holand´es nos ofrece por nuestros dep´ ositos una tasa del 3.5 % mensual. Pero debemos pagar en concepto de impuestos sobre los intereses un 12 % sobre los intereses totales ganados. ¿Cu´ al es la tasa mensual real de rendimiento si la operaci´ on es pactada a 6 meses?¿Cambia el rendimiento real si la operaci´ on hubiera sido pactada a 18 meses? No hay m´ as que aplicar (7.22). Averiguemos el rendimiento real mesual por el dep´ osito a 6 meses
1 + r(12)
6
r(12)
6
=
(1 + 0, 035) (1 − 0, 12) + 0, 12
=
0, 03110296367
En cambio, el rendimiento a los 18 meses es
1 + r(12)
18
r(12)
18
(1 − 0, 12) + 0, 12
=
(1 + 0, 035)
=
0, 03172824625
Este ejemplo muestra algo que ya dijimos, que el rendimiento real despu´es de impuestos sobre los intereses totales depende de la duraci´on de la operaci´on.
7.4. TIPO DE CAMBIO
125
De hecho, cuando n se hace cada vez m´as grande la tasa real se aproxima a la nominal, pues q n r(p) = n 1 + i(p) (1 − τ ) + τ − 1 y tomando l´ımite cuando n tiende a infinito q n (p) lim r = lim n 1 + i(p) (1 − τ ) + τ − 1 = i(p) n→∞
n→∞
Tambi´en se puede probar siempre que la si τ < 100 %, la convergencia es mon´ otona creciente: a m´ as tiempo, mayor rendimiento real. Nota 7.32 En ambos casos, es financieramente evidente que el rendimiento despu´es de impuestos debe ser menor que el rendimiento nominal: r(p) < i(p) Ejercicio 7.33 Un banco nos ofrece por nuestros dep´ ositos una tasa mensual del 1,2%. Pero debemos pagar en concepto de impuestos sobre los intereses un 4,5% anual. ¿Cu´ al es el rendimiento mensual real de nuestra inversi´ on?
Poner 4 o 5 ejercicios m´as!!!!!!!!!!! 7.4
Tipo de cambio
En esta secci´ on estudiaremos con alg´ un detalle el funcionamiento de las operaciones finacieras que involucren m´as de una moneda. En nuetro camino descubriremos que las tasas adem´as de tener una unidad temporal asociada, tambi´en tienen asociadas una unidad monetaria. Otra noci´on importante ser´a el tipo de cambio entre dos monedas, el cual especifica el precio de una moneda en t´erminos de la otra (en un momento dado). Ejemplo 7.34 Estamos interesados en invertir $ 500.000 por el t´ermino de 1 a˜ no. Se nos ofrecen dos opciones: 1. Realizar un dep´ osito a plazo fijo en d´ olares el cual paga una tasa del 6,7 % anual. 2. Realizar un plazo fijo en pesos a una tasa del 15,5 % anual. ¿Cu´ al es la mejor inversi´ on? La respuesta depende fuertemente de la variaci´on en el valor del d´ olar frente al peso. Para empezar la tasa del 6,7 % anual en d´olares s´olo puede ser aplicada a montos en d´ olares. Por lo tanto debemos convertir a d´olares nuestros $ 50 000. Supongamos que el tipo de cambio vendedor hoy es $ 4.3 por d´olar
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
126
¿Qu´e significa esto? Un tipo de cambio vendedor de $ 4.3 por d´olar nos indica que debemos pagar 4.3 pesos por cada d´olar que deseemos adquirir. Si disponemos de $ 50 000, podemos comprar 50 000 $ = 11 627.91 U$S 4.3 $/U$S Dep´ ositando estos U$S 11 627.91 a la tasa en d´olares del 6.7 % anual, al cabo de un a˜ no tendremos 11 627.91 (1 + 0.067) = 12 406.98 U$S Mientras que si depositamos nuestros $ 50 000 al 15.5 % anual obtendremos 50 000 (1 + 0.155) = 57 750 $. ¿Cu´ al inversi´ on es mejor? Como ya dijimos, esto depende del precio comprador del d´ olar frente al peso al cabo de un a˜ no. Ahora, ¿Qu´e significa un tipo comprador de 4.10 pesos por d´olar? Es el precio al que nos compran los dolares, por cada d´ olar que entreguemos, recibiremos $ 4.10. 1. Si al cabo de un a˜ no el precio del d´olar comprador es de 4.3 pesos por d´ olar, los U$S 12 406.98 equivaldr´an a 12406.98 U$S · 4.3 $/U$S = 53 350.01 $. Por lo que ser´ıa una mejor inversi´on realizar el dep´osito en pesos. 2. Si al cabo de un a˜ no el precio del d´olar comprador 4.74 pesos por d´olar, los U$S 12 406.98 equivaldr´an a 12 406.98 U$S 4.75 $/US$ = 58 933.14 $. Por lo que ser´ıa una mejor inversi´on hacer el dep´osito en d´olares. Una pregunta interesante es: ¿A qu´e tipo de cambio comprador futuro ser´ıamos indiferentes entre ambas inversiones? El tipo de cambio de “equilibrio” es el que transforma U$S 12 406.98 en $ 57 750: tipo de cambio $/U$S =
57 750 $ = 4.654639 $/U$S 12 406.98 U$S
Esto nos dice que si el tipo de cambio comprador futuro es superior a 4.654639 $/U$S, entonces conviene comprar relizar el d´eposito en d´olares, y si el tipo de cambio comprador futuro es inferior a 4.654639 $/U$S, conviene realizar el dep´osito en
7.4. TIPO DE CAMBIO
127
pesos (El problema es que nadie sabe a ciencia cierta cual ser´a el valor del tipo de cambio futuro). Hemos estado usando de manera intuitiva lo que se conoce como forma directa de expresar los tipos de cambio, la cu´al es de hecho es la utilizada Argentina, asi como en la mayor´ıa de los pa´ıces del mundo. En este caso, el tipo de cambio indica cuantas unidades de moneda nacional son necesarias para comprar una unidad de moneda extranjera. La cotizaci´ on de una moneda se suele representar en dos precios. El menor precio, representa el precio comprador, o de demanda (bid). Se denomina comprador porque es el precio que las casas de cambio nos pagan al comprarnos las divisas. El precio m´ as alto es el precio vendedor, o de oferta (offer). Se denomina vendedor porque es el precio que las casas de cambio nos cobran al vendernos las divisas. El est´ andar internacional ISO 4217 fue creado por la ISO con el objetivo de definir c´ odigos de tres letras para todas las monedas del mundo. Esto elimina las confusiones causadas por algunos nombres de divisas como d´olar, franco, peso o libra, que son utilizados en numerosos pa´ıses pero tienen tipos de cambio muy diferentes. Las dos primeras letras del c´odigo son las dos letras del c´odigo del pa´ıs de la moneda seg´ un el est´ andar ISO 3166-1 y la tercera es normalmente la inicial de la divisa en s´ı. La siguiente tabla contiene los c´odigos de las monedas m´ as usadas en Argentina C´ odigo ARS AUD BOB BRL CAD CLP CNY EUR GBP ILS INR JPY MXN PEN PYG USD UYU ZAR
Moneda Peso argentino Dolar australiano Boliviano Real Dolar canadiense Peso chileno Yuan renminbi Euro Libra esterlina Nuevo sh´equel israel´ı Rupia india Yen japon´es Peso mexicano Nuevo sol peruano Guaran´ı paraguayo Dolar estadounidense Peso Uruguayo Rand sudafricano
Pa´ıs Argentina Australia Bolivia Brasil Canad´a Chile China Eurozona Gran Breta˜ na Israel India Jap´on M´exico Per´ u Paraguay USA Uruguay Sud´africa
Agregar s´ımbolos a la tabla!!!!!!!!!!! Utilizaremos tanto el estandar ISO 4217 como los s´ımbolos habituales para las monedas de mayor circulaci´ on.
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
128
Definici´ on 7.35 Dadas dos monedas XXX y Y Y Y , llamaremos tipo de cambio vendedor XXX/Y Y Y al momento t al precio en XXX que debemos pagar para adquirir una unidad de la moneda Y Y Y . El cual ser´ a simbolizado XXX/Y Y Y
vt
Similarmente llamaremos tipo de cambio comprardor XXX/Y Y Y al momento t al precio en XXX que nos pagan al vender una unidad de la moneda Y Y Y . El cual ser´ a simbolizado XXX/Y Y Y
ct
Ejemplo 7.36 Si hoy el tipo de cambio vendedor del peso (argentino) con respecto al d´ olar es 3.15 $/U $S entonces hoy debemos entregar 3.15 pesos para obtener un d´ olar. Ejemplo 7.37 Si el 11 de agosto de 1999 el tipo de cambio comprador del yen (moneda de Jap´ on) con respecto al dolar fue de 110 U/U $S entonces el 11 de agosto de 1999 necesitabamos nos entregaban U 110 por cada d´ olar que vend´ıamos. Ejemplo 7.38 El la pizzarra de una casa de cambio vemos el tipo de cambio entre el peso y el euro 4.77/4.82 $/e en este caso el menor es el tipo de cambio comprador, y el mayor es el tipo de cambio vendedor. Es decir, si hoy queremos comprar un euro en esta casa de cambios deberemos entregar 4.82 $. En cambio si deseamos vender un euro, recibiremos 4.77 $. Nota 7.39 Se llama spread es la diferencia entre el precio comprador y el vendedor. Por ejemplo, si la cotizaci´ on EUR/USD es 1.2025/1.2028, entonces el spread es EUR 0.0003. El spread suele variar de acuerdo al lugar donde se realice el cambio y de acuerdo al monto. Usualmente los particulares recurren a las casas de cambio para cambiar peque˜ nas cantidades de divisas. Los inversores, en cambio, realizan transacciones de mayores cantidades de divisas en otras instituciones que ofrecen un menor spread, o en las mismas casas de cambio o bancos, pero a un menor spread. Ejemplo 7.40 Si hoy entregamos 594 coranas suecas (SEK en c´ odigo ISO 4217) para adquirir 100 USD, ¿Cu´ al es el tipo de cambio vendedor SEK/USD? 594 SEK = 5.94 SEK/USD 100 USD Es decir necesitamos entregar 5.94 coronas suecas por cada d´ olar. SEK/USD
choy
=
7.4. TIPO DE CAMBIO
129 U/£
Ejemplo 7.41 Por ejemplo si choy = 207 U/£ tenemos que £ 300 (libras esterlinas, moneda de Gran Breta˜ na) nos permiten adquirir 300 £ · 207 U/£ = 42 849 U $/£
Ejemplo 7.42 Si vhoy = 6.11 $/£ (i.e., hacen falta $ 6.11 para adquirir una libra esterlina), entonces $ 17 000 nos permiten adquirir 1 = 2 782.32406 £. 6.11 $/£
17000 $ Aqui, podemos considerar que
1 6.11 $/£
£/$
vhoy =
Ejemplo 7.43 Si hoy en una casa de cambios el tipo de cambio comprador AUD/INR (AUD es el c´ odigo ISO 4217 para el d´ olar australiano y INR es el c´ odigo ISO 4217 para la rupia ind´ u) es AUD/INR
choy
= 267.5 AUD/INR
¿Cu´ al es hoy el tipo de cambio comprador INR/AUD? Un momento de reflexi´ on nos indica que INR/AUD
choy
=
1 AUD/INR choy
Esta relaci´ on se cumple en general XXX/Y Y Y
ct
XXX/Y Y Y
vt
= =
1 Y Y Y /XXX ct
1 Y Y Y /XXX vt
Otro momento de reflexi´ on nos permite ver que los tipos de cambios son transitivos: Dadas tres monedas, AAA/BBB
=
AAA/BBB
=
ct vt
AAA/CCC CCC/BBB ct AAA/CCC CCC/BBB vt vt
ct
Remarcamos que ambas ecuaciones requieren que todos los tipos de cambios sean a la misma fecha. Ejemplo 7.44 En la pizarra de una casa de cambio leemos: 845.23/865.7 6.89/6.99 .../...
CLP/ARS ARS/GBP CLP/GBP
donde CLP es peso chileno, ARS es peso argentino y GBP es la libra esterlina (Gran Breta˜ na). Completar la tabla.
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
130
No hay m´ as que la trasitividad de los tipos de cambios: CLP/GBP
choy
CLP/ARS ARS/GBP choy
= choy =
845.23 CLP/ARS · 6.89 ARS/GBP
=
5 823.637 CLP/GBP
por lo que hoy, en esta casa de cambios debemos entregar 5 823.637 pesos chilenos por cada libra esterlina que adquiramos. Ejercicio 7.45 Con 400 d´ olares canadiense hoy se puede adquirir U$S 390, o 3063 d´ olares de Hong Kong, o U 39390 (yenes), o 9165 rublos. ¿Calcular los diferentes tipos cambios? Ejercicio 7.46 La siguiente tabla brinda los tipos de cambio (comprador) entre el peso y diferentes monedas al d´ıa XX Moneda (Pa´ıs o Zona) Euro (Eurozona) Kuna (Croacia) Rublo (Rusia) Libra esterlina (Inglaterra) Franco Suizo Real (Brasil) Peso (Chile) Guaran´ı (Paraguay) Boliviano (Bolivia) Peso (Uruguay) Nuevo peso (M´exico) D´ olar (USA) D´ olar (Canada) Yen (Jap´ on) Rupee (India) Renimbi (China) Shekel (Israel) Rand (Sud´ africa) Dirham (Marruecos)
S´ımbolo e
£
U$S U
Tipo $/X abril 2008 5.18 0.686 0.1341 6.21 3.241 1.86 0.0069 0,000725 0.419 0,1573 0.299 3.14 3.08 0.0311 0.07536 0.4484 0.8921 0.3981 0.43175
Tipo $/X abril 20XX
3.70
1. Con $ 5000 ¿Cu´ antos X podemos adquirir? (reemplaze X, por cada una de las monedas de la tabla) 2. Si estamos en Argentina y disponemos de 1 450 300 rublos, ¿Cu´ antos X podemos adquirir? (reemplaze X, por cada una de las monedas de la tabla)
poner unos cuantos ejercicos m´ as... al estilos d elos ejemplos. Ejercicio 7.47
7.4. TIPO DE CAMBIO
131
Dados un par de monedas XXX y Y Y Y , si tenemos un capital inicial de C0 unidades de una moneda XXX, y deseamos invertirlo a una tasa denominada en moneda Y Y Y , p-per´ıodica, durante t a˜ nos (p)
iY Y Y el rendimiento de la inversi´ on en t´erminos de la moneda de origen XXX, deY Y Y /XXX pende de los tipos de cambio Y Y Y /XXX vendedor al inicio v0 y el XXX/Y Y Y tipo de cambio XXX/Y Y Y comprador al cabo de t a˜ nos ct : tp XXX/Y Y Y (p) Y Y Y /XXX ct , (7.23) 1 + iY Y Y Ct = C0 v0 {z } | Convierte XXX en YYY
| |
{z
Calcula en rendimiento en YYY
}
{z
Convierte YYY en XXX
}
La cual llamaremos primera forma para capitalizaci´on compuesta bi-monetaria. Ejemplo 7.48 Hace tres a˜ nos dispon´ıamos de $ 250 000, y los invertimos en obligaciones de una empresa holandesa que nos ofreci´ an un rendimiento del 9.7% anual. El tipo de cambio vendedor fue de 3.95 $/e. Hoy el tipo de cambio comprador es 5.196 $/e ¿Cu´ al fue el rendimiento en pesos de la operaci´ on? Para hallar el capital en pesos acumulado al d´ıa de hoy, s´ olo necesitamos aplicar la f´ ormula de capitalizaci´ on compuesta bi-monetaria (primera forma) tp (p) EU R/ARS ARS/EU R Choy = Chace tres a˜nos vhace tres a˜nos 1 + iEU R ct ARS/EU R
Pero nosotros no tenemos vhace tres a˜nos , si el tipo de cambio rec´ıproco. Por lo tanto 1 1 EU R/ARS vhace tres a˜nos = ARS/EU R = = 0.253164556962 e/$ / 3.95 $/e v hace tres a˜ nos
Ahora Choy
3
=
250 0000 $ · 0.253164556962 e/$ / (1 + 0.097) · 5.196 $/e
=
434 142.14 $.
Asi el rendimiento de la operaci´ on (los intereses totales) son rendimiento =
Cf − Co
=
434 142.14 $ − 250 000 $
=
184 142.14 $.
Ejercicio 7.49 En octubre de 2006, compramos U 12 500 000 en obligaciones de una empresa japonesa denominadas en yenes que ofrec´ıan un rendimiento $/U del 4.25% anual. Hoy el tipo de cambio comprador es choy = 0.02987. ¿Cu´ antos pesos tenemos hoy?
132
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
Ejercicio 7.50 El tipo de cambio entre el d´ olar y el real es de 1.7 reales por d´ olar. Si la tasa de inter´es en d´ olares es del 5.5% anual y la tasa de inter´es en reales es del 8.8% anual ¿Cu´ al ser´ a dentro de {6 meses, 1 a˜ no, 5 a˜ nos} el tipo de cambio futuro de equilibrio entre ambas monedas.
poner 3 o 4 ejercicos m´as???????????? Nota 7.51 Como precio que es, el tipo de cambio cumple un importante papel como orientador de recursos. Si bien existe una gran cantidad de pares de monedas para construir tipos de cambio, casi siempre se publica la relaci´ on de las monedas respecto al d´ olar de Estados Unidos. Otras monedas que se suelen utilizar como referencia son el euro (Comunidad Econ´ omica Europea) y el yen (Jap´ on). En 2007 el 95% de las operaciones con modedas extranjeras en la Rep´ ublica Argentina fue realizada en d´ olares, el 4% en euros y el restante 1% en unas 56 monedas distintas. En lo que se refiere a la distribuci´ on del volumen operado por monedas en el a˜ no 2008, el d´ olar estadounidense mantuvo su liderazgo frente al resto de las monedas, principalmente en las entidades financieras. En estas u ´ltimas se verific´ o que el 95% del total operado con clientes se concentr´ o en d´ olares estadounidenses, el 4% en euros y el 1% restante en otras 59 diferentes monedas. En cambio, en las casas y agencias de cambio, la participaci´ on de la moneda estadounidense agrupa un poco menos del 85% del total, subiendo las participaciones de euros y reales a 12% y el 3%, respectivamente. Otras monedas muy usadas en Argentina (por razones geogr´ aficas) son el peso chileno, el peso uruyuayo, y el guaran´ı (moneda de Paraguay).
Nota 7.52 Se pueden utilizar diferentes convenciones para expresar el tipo de cambio. En el mercado forex, se utiliza una simbolog´ıa de pares de monedas. Cada divisa est´ a representada por tres letras, por ejemplo USD representa al D´ olar estadounidense, EUR al euro, JPY al yen japon´es, MXN al peso mexicano, y ARG al peso argentino. Un par de monedas se puede formar con cualquier par de divisas, por ejemplo USDEUR o USDMXN. Las primeras tres letras representan la moneda base. USDJPY = 107 indica que hacen falta 107 Yenes para comprar un D´ olar. Es decir, el precio de la primera divisa en t´erminos de la segunda. Existen otras dos formas de representar el tipo de cambio. La forma directa y la forma indirecta. La forma directa es la mas utilizada, y en este caso el tipo de cambio indica cuantas unidades de moneda nacional son necesarias para comprar una unidad de moneda extranjera (Usada en Argentina). Por ejemplo, si leemos en un peri´ odico argentino que el tipo de cambio del real es 1.82, nos indica que se deben pagar 1.82 pesos para obtener un real. La forma indirecta es utilizada en Inglaterra, y tambi´en en Australia, Nueva Zelanda y Canad´ a.
´ 7.5. TASA DE DEVALUACION
7.5 7.5.1
133
Tasa de devaluaci´ on Tasas de devaluaci´ on
En algunos pa´ıses, se utiliza un u ´nico tipo de cambio, y lo que se cobra es la una comisi´ on porcentual, esto ocurre por ejemplo en Espa˜ na
CHEQUEAR!!!!!!!!!!!!!!!.
Ejemplo 7.53 La se˜ nora Eliana, se encuentra de vacaciones en Barcelona, y decide cambiar unos $ 15 000 por euros para ir de compras. En el banco, la cotizaci´ on era del peso era 0.32 e/$, adem´ as el banco cobra una comisi´ on del 1.56 % sobre las operaciones con divisas. ¿Cu´ al es el monto de euros que recibio la se˜ nora Eliana? En principio la cuenta es sencilla: 15 000 $ · 0.32 e/$ = 4 800 e Y sobre este monto, el banco le cobra una comisi´on del 0.56 %: 4 800 (1 − 0.0156) = 4 725.12 e Por lo que la se˜ nora Eliana podr´ a gastar unos 4 725.12 e. Ejemplo 7.54 Una empresa Espa˜ nola debe cancelar una deuda en d´ olares para lo cual acude a un intermediario financiero y cambia e 2 500 000. Si la cotizaci´ on del d´ olar era 0.78 e/U $ y el intermediario cobra una comisi´ on del 0.8 %, ¿Cu´ antos d´ olares obtuvo la empresa? De nuevo la cuenta es sencilla: 2 500 000 e = 3 205 128.205 U $ 0.78 e/U $ Sobre esta suma el intermediario finaciero cobra su comisi´on: 3 205 128.205 U $ · (1 − 0.008) = 3 179 487.179 Por lo que la empresa recibe 3 179 487.179 U$ por sus 2 500 000 e En general, en los sistemas de cambio con precio u ´nico, adem´as del tipo de cambio, debemos tener en cuenta las comisiones correspondientes, las cuales pueden variar de instituci´ on a instituci´on, y dentro de una misma casa de cambios podemos encontrar variaciones en las comisiones de acuerdo con el par de monedas involucradas y el tipo de operaci´on (compra o venta de divisas). Existe una correspondencia entre los sistema de tipo de cambio u ´nico con comisi´ on, y los sistemas con tipo comprador y tipo vendedor. Ejemplo 7.55 Encuentre el tipo comprador del banco en el que oper´ o la se˜ nora Eliana y el tipo vendedor de la instituci´ on financiera donde opero la empresa espa˜ nola
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
134
El tipo comprador ce/$ que estamos buscando, es el precio en euros al que le reciben los pesos a la se˜ nora Eliana. Si entrego $ 15 000 y recibio 4 725.12 e tenemos que 4 725.12 e ce/$ = = 0.315008 e/$ 15 000 $ Recordamos que ce/$ da el precio en euros al que el banco compra el peso argentino: vamos al banco (espa˜ nol) con una moneda extranjera (en este caso pesos) y deseamos moneda local ( en este caso euros). Para hallar la relaci´on entre ambos tipos de cambio observamos que 15 000 $ · ce/$ = 4 725.12 e = 15 000 $ · 0.32 e/$ (1 − 0.0156) Por lo que
ce/$ = 0.32 e/$ (1 − 0.0156)
Similarmente en el caso de la empresa. El tipo vendedor v e/U $ que estamos buscando es el precio en euros al que venden los d´olares. La empresa entreg´o e 2 500 000 y recibi´ o 3 205 128.205 U$, por lo que v e/U $ =
2 500 000 e = 0.786290322701 e/$ 3 179 487.179 U $
Recordamos que v e/$ da el precio en euros al que la instituci´on financiera vende los d´ olares. Para hallar la relaci´on entre ambos tipos de cambio observamos que 3 179 487.179 U $ · v e/$ e/$
3 205 128.205 U $ · (1 − 0.008) · v 2 500 000 e · (1 − 0.008) · v e/$ 0.78 e/U $ de donde obtenemos v e/$ =
=
2 500 000 e
=
2 500 000 e
=
2 500 000 e
0.78 e/U $ (1 − 0.008)
Dados un par de monedas XXX e Y Y Y , denotaremos por XXX/Y Y Y
ct
(σ c , σ v )
al tipo de cambio u ´nico con comisiones σ c para las operaciones de compra de moneda Y Y Y (pagando con moneda XXX) y σ v para las operaciones de venta de divisas Y Y Y (cobrando en moneda XXX). A veces escribiremos simplemente XXX/Y Y Y
ct
especialmente si las tasas de las comisiones son claras del contexto. Si ambas comisiones son iguales usaremos: XXX/Y Y Y
ct
(σ)
´ 7.5. TASA DE DEVALUACION
135
De los ejemplos anteriores podemos deducir que: ce/$
XXX/Y Y Y
= ct
v e/$
=
(1 − σ c )
XXX/Y Y Y ct
(1 − σ v )
Estas relaciones nos permiten convertir un tipo de cambio en el otro. dados un par de monedas XXX e Y Y Y , y un tipo de cambio unicosi unaEl an´ alisis anterior tambi´en se puede hacer en t´erminos de la tasa de devaluaci´ on anual de una moneda frente a otra.
Poner 4 o 5 ejercicos de cada tipo...inclusive algunos hallando las comisiones Introdujimos los tipos de cambio unicos pues nos permiten definir de manera natural la noci´ on de tasa de devaluaci´on. XXX/Y Y Y
Definici´ on 7.56 Dadas dos monedas XXX e Y Y Y , sea c0 (σ c0 , σ v0 ) XXX/Y Y Y el tipo de cambio u ´nico al comienzo de un per´ıodo de t a˜ nos, y ct (σ ct , σ vt ) el tipo de cambio unico al final del mismo, la tasa de devaluaci´ on p-per´ıodica de la moneda XXX respecto de la moneda Y Y Y es la tasa p-per´ıodica que realiza la igualdad XXX/Y Y Y
c0
(p)
1 + δ XXX/Y Y Y
pt
XXX/Y Y Y
= ct
(7.24)
Ejemplo 7.57 Si hace un a˜ no el tipo de cambio del peso frente al euro fue $/e
chace un a˜no = 4.3 $/e y el tipo de cambio hoy es $/e
choy = 4.75 $/e Hallar la tasa de devaluaci´ on anual del peso respecto del euro. Por lo tanto la tasa de devaluaci´on anual del peso frente al euro fue $/e
=
δ $/e
=
chace un a˜no 1 + δ $/e
$/e
choy
$/e
= =
$/e
choy − chace un a˜no $/e
chace un a˜no 4.75 $/e − 4.3 $/e 4.3 $/e 0.104651162791
i.e., una tasa de devaluaci´ on anual del 10.4651162791%.
136
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
Ejercicio 7.58 La siguiente tabla contiene los tipos de cambio entre el peso y diferentes monedas de mayo de 2008: Pa´ıs o Zona Eurozona Croacia Rusia Inglaterra Suiza Brasil Peso (Chile) Guaran´ı (Paraguay) Boliviano (Bolivia) Peso (Uruguay) Nuevo peso (M´exico) D´ olar (USA) D´ olar (Canada) Yen (Jap´ on) Rupee (India) Renimbi (China) Shekel (Israel) Rand (Sud´ africa) Dirham (Marruecos)
Moneda Euro Kuna Rublo Libra esterlina Franco Suizo Real
S´ımbolo e
£
U$S U
Cambio $/e mayo 2008 4.98 0.788 0.1421 6.25 3.01 2.1 0.0059 0,000725 0.556 0,1432 0.305 3.05 2.98 0.0298 0.067 0.434 0.8921 0.3071 0.4300
1. Completar la tabla anterior con las cotizaciones de las diferentes monedas (si a´ un existen) al d´ıa de hoy. 2. Hallar la tasa de devaluaci´ on mensual del peso frente a las diferentes monedas dadas. 3. Dar la lista de monedas con respecto a las cuales el peso se depreci´ o (ordenar de mayor a menor depreciaci´ on). 4. Dar la lista de monedas con respecto a las cuales el peso se apreci´ o (ordenar de mayor a menor). 5. Dar la lista de monedas con respecto a las cuales el peso no vari´ o. Dados un par de monedas XXX y Y Y Y , si tenemos un capital inicial de C0 unidades de una moneda XXX, y deseamos invertirlo a una tasa denominada (p) en moneda Y Y Y , p-per´ıodica iY Y Y , durante t a˜ nos. Queremos ver cual es el efecto de la devaluaci´ on de la moneda XXX con respecto a la moneda Y Y Y sobre el rendimiento de la inversi´on en t´erminos de la moneda XXX. Si la tasa de devaluaci´ on estimada de la moneda XXX con respecto a la moneda Y Y Y (q) en los pr´ oximos t a˜ nos es δ XXX/Y Y Y (una tasa q-per´ıodica) y el tipo de cambio
Cambio $/e hoy
´ 7.5. TASA DE DEVALUACION
137 XXX/Y Y Y
u ´nico al inicio de la operaci´ on fue c0 Ct
= C0
(1 − σ v0 ) XXX/Y Y Y c0
(p)
1 + iY Y Y
pt
(σ c0 , σ v0 ) tenemos que
XXX/Y Y Y
c0
(q)
1 + δ XXX/Y Y Y
qt
(1 − σ ct )
pt qt (p) (q) = C0 (1 − σ v0 ) 1 + iY Y Y 1 + δ XXX/Y Y Y (1 − σ ct ) reordenado podemos obtener la segunda forma para capitalizaci´on compuesta bi-monetaria pt qt (p) (q) Ct = C0 1 + iY Y Y 1 + δ XXX/Y Y Y (1 − σ v0 ) (1 − σ ct ) A partir de la cual podemos obtener una expresi´on para la rentabilidad real k-per´ıodica r(k) de la operaci´ on
1 + r(k)
k
p q 1 (p) (q) = 1 + iY Y Y 1 + δ XXX/Y Y Y [(1 − σ v0 ) (1 − σ ct )] t
Ambas f´ ormulas dependen de la comisi´on sobre las compras de divisas σ ct al final del per´ıodo de t a˜ nos. Para la mayor´ıa de las aplicaciones se puede suponer que σ ct = σ c0 , pues no suelen haber grandes variaciones en las comisiones cobradas. Ejemplo 7.59 ¿Cu´ al es el rendimiento a un a˜ no de $ 50 000, en bonos italianos que pagan un 6.7% anual, sabiendo que la tasa de devaluaci´ on del peso respecto del euro ser´ a del 10.4% anual y que la comisi´ on por la compra o venta de divisas suele ser del 2.5 %? Aplicando la segunda forma de capitalizaci´on compuesta bi-monetaria: Cf
2 1 + δ $/e (1 − σ)
=
C0 1 + i$/e
=
50 000 (1 + 0.067) (1 + 0.10465) (1 − 0.025)
=
55 990.2915
2
Adem´ as podemos hallar la tasa anual real de rendimiento en pesos 1+r
=
2 (1 + ie ) 1 + δ $/e (1 − σ)
=
(1 + 0.067) (1 + 0.104) (1 − 0.025)
=
0.11980583
de donde se puede apreciar el fuerte efecto de la comisiones sobre la rentabilidad. Ahora veamos un ejemplo m´ as complicado
De aqui para abajo hay que arreglar las cosas para que vayan en el nuevo lenguaje... verificar los ejemplos y poner unos ejercicios extras!!!!!!!!!!!!!!
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
138
Ejemplo 7.60 Tenemos U$S 35 000, y los invertimos en pesos por 95 d´ıas a una tasa diaria del 0.35% en pesos. Si hoy el tipo de cambio es 0.3 U$S/$, y se estima que dentro de 95 d´ıas el tipo de cambio ser´ a 0.26 U$S/$. ¿Cu´ al ser´ a el rendimento en d´ olares de la operaci´ on? ¿Cu´ al es la tasa mensual real en d´ olares? Primero calculamos la tasa devaluaci´on del dolar respecto del peso ( 95 a˜nos) dU365 $S/$
= =
0.27 − 0.3 0.3 −0.1 .
Las tasas de devaluaci´on negativas, indican una apreciaci´on de la primera moneda respecto de la segunda, en este caso del d´olar frente al peso, en estos casos se suele hablar de una tasa de apreciaci´on. El rendimento de la operaci´on en d´olares es Cf
=
35000 (1 + 0.0035)
=
43899.68 .
95
(1 − 0.1)
Hay muchas formas de obtener la tasa diaria real en d´olares, por ejemplo despejando la tasa en la f´ormula de capital final: 95 (365) 43899.68 = 35000 1 + rd´olares , de donde (365) rd´olares
r
43899.68 −1 35000 0.00238768 . 95
= =
95 Otra consiste en pasar la tasa de devaluaci´on 365 a˜ nos-per´ıodica a diaria y aplicar la f´ ormula para hallar la tasa real 95 95 (365) 1 + i( 365 a˜nos) = 1 + dU $S/$ 95 (365) (1 − 0.1) = 1 + dU $S/$ ,
de donde (365)
dU $S/$
= =
√
95
1 − 0.1 − 1
−0.001108443282 .
Luego la tasa diaria real en d´olares es (365)
rd´olares
(365)
(365)
= i(365) + dU $S/$ + i(365) dU $S/$ =
0.0035 − 0.001108443282 + 0.0035 (−0.001108443282)
=
0.00238768
´ 7.5. TASA DE DEVALUACION
139
Ejemplo 7.61 Se supone que la tasa de devaluaci´ on mensual del peso respecto del dolar ser´ a del 0.5%, durante los pr´ oximos dos a˜ nos. Si disponemos de $ 100 000, y los queremos invertir en obligaciones a 9 meses de una empresa dada, denominadas en d´ olares, las cuales pagan un 2.5% trimestral. ¿Cu´ al ser´ a el montante en pesos? ¿Cu´ al ser´ a la TEA de rendimiento? Para calcular el montante solo debemos usar la f´ormula de capitalizaci´on compuesta bi-moneraria Cf
3
=
100000 (1 + 0.025) (1 + 0.005)
=
112633.13
9
La tasa de rendimiento a 9 meses es 9 i( 12
a˜ nos)
= =
112633.13 − 100000 10000 0.12633129727
La TEA equivalente es (calculada a 9 meses) 9 9 (1 + i) 12 = 1 + i( 12
a˜ nos)
de donde i
r 9
9 1 + i( 12
a˜ nos)
12
=
−1 q 9 12 (1 + 0.12633129727) − 1
=
0.17189365443
=
Ejercicio 7.62 Cu´ al es el rendimiento a un a˜ no de $20 000, en bonos espa˜ noles que pagan un 7.2% anual, sabiendo que la tasa de devaluaci´ on anual del peso respecto del euro ser´ a del 8.5%. Ejercicio 7.63 Tenemos $ 35 000, y los invertimos en reales por 65 d´ıas a una tasa diaria del 0.25%. Si hoy el tipo de cambio es 2.4 reales/$, y se estima que dentro de 95 d´ıas el tipo de cambio ser´ a 0.28 reales/$. ¿Cu´ al ser´ a el rendimento en pesos de la operaci´ on? ¿Cu´ al es la tasa diaria en pesos? Ejercicio 7.64 Se supone que la tasa de devaluaci´ on mensual del euro respecto del dolar ser´ a del -1.1%, durante los pr´ oximos dos a˜ nos. Si disponemos de U$S 100 000, y los invertirmos en obligaciones a 9 meses de una empresa, denominadas en euros, las cuales pagan un 1.58% bimestral. ¿Cu´ al ser´ a el montante en d´ olares? ¿Cu´ al ser´ a la TEA de rendimiento en d´ olares? Ejercicio 7.65 Supongase que hace 9 meses, ud. dipon´ıa de e 10 000, y los invirtio en Argentina (en pesos) a una TNA del 14.6%. Si el tipo de cambio hace nueve meses era 3.95 $/e y hoy es 4.52 $/e. ¿Cu´ al fue la TNA de rendimiento en euros?.
140
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
Nota 7.66 Reg´ımenes Cambiarios: se refiere al modo en que el gobierno de un pa´ıs maneja su moneda con respecto a las divisas extranjeras y como se regulan las instituciones del mercado de divisas. El r´egimen cambiario influye decisivamente en el valor del tipo de cambio y en las fluctuaciones del mismo. Existes tres reg´ımenes b´ asicos, que se explican a continuaci´ on: el tipo de cambio flotante (libre o sucia), el tipo de cambio fijo y el r´egimen de crowling-peg. Tipo de Cambio Flotante: Este r´egimen suele denominarse tambi´en de tipo de cambio libre o flexible. Bajo tipo de cambio flotante, el tipo de cambio se determina sin intervenci´ on del gobierno en el mercado de divisas. Es decir, que el tipo de cambio es el resultado de la interacci´ on entre la oferta y la demanda de divisas en el mercado cambiario. En ning´ un pa´ıs existe el r´egimen de flotaci´ on pura, debido a la gran volatilidad cambiaria y a los efectos en la econom´ıa real. Es por esto, que los bancos centrales suelen intervenir en el mercado cambiario para evitar las fuertes fluctuaciones del tipo d e cambio. Cuando el Banco Central interviene ofreciendo o demandando divisas, el r´egimen se denomina de flotaci´ on sucia. En ese caso, a pesar de que haya un r´egimen de tipo de cambio libre, en la pr´ actica el valor del tipo de cambio se mantiene estable en el tiempo. Tipo de Cambio Fijo: En este caso, el valor de la moneda se fija con respecto a otra moneda, a una canasta de monedas, o a otra medida de valor, por ejemplo el oro. En los pa´ıses latinoamericanos ha sido usual que el tipo de cambio est´e fijo con respecto al d´ olar. Los tipos de cambio fijos son criticados porque, al ser un precio r´ıgido, pueden generar rigideces y desequilibrios en la econom´ıa. El tipo de cambio ha sido usualmente utilizado como un ancla nominal. En una econom´ıa abierta, los precios de los bienes transables no pueden ser muy diferentes de los precios internacionales de estos bienes. La fijaci´ on del tipo de cambio, puede ser u ´til para disminuir la inflaci´ on. Esto se ve reforzado debido a que, si existe una fuerte convicci´ on de que el compromiso de mantener el tipo de cambio se va a cumplir, se pueden eliminar las expectativas de devaluaci´ on. La experiencia hist´ orica de los pa´ıses con poca influencia en el mercado internacional de divisas indica que los tipos de cambio fijos funcionan durante un cierto per´ıodo de tiempo atenuando la inflaci´ on, pero los desequilibrios que se generan se van acumulando con el tiempo, por lo que la salida del tipo de cambio fijo suele ir acompa˜ nada de otros fen´ omenos, como fuertes depreciaciones de la moneda, p´erdidas de dep´ ositos bancarios y salidas de capitales. Estos fen´ omenos suelen influir negativamente en la tasa de crecimiento (devaluaci´ on en M´exico 1994 ( Efecto Tequila), devaluaci´ on Argentina en Diciembre de 2001). Crawling Peg: Bajo un sistema de Crowling Peg, el tipo de cambio se ajusta de modo progresivo y controlado de acuerdo a una tasa como la inflaci´ on o la tasa de inter´es, o una combinaci´ on de las mismas, o bien de acuerdo a un cronograma establecido por el gobierno, como lo fue la famosa “Tablita Cambiaria” en Argentina. La principal caracter´ıstica del Crowling Peg es que el tipo de cambio se ajusta con peque˜ nas variaciones porcentuales, en vez de hacerlo mediante grandes devaluaciones.
7.6. ´INDICE DE PRECIOS
7.6
141
´ındice de precios
Definici´ on 7.67 def de canasta Definici´ on 7.68 Se llama ´ındice de precios a un indicador que tiene por objeto medir las variaciones, a trav´es del tiempo, en los precios de un conjunto definido de bienes y servicios (canasta) a trav´es de un promedio ponderado (o pesado) de los mismos. Cada pa´ıs tiene un servicio estad´ıstico encargado de elaborar distintos incides de precios. En Argentina, es el INDEC (Instituto Nacional de Estad´ısticas y Cencos), a trav´es del Centro de Estad´ısticas e Censos. El INDEC elabora varios ´ındices de precios, entre ellos: 1. IP C: ´ Indice de Precios al Consumidor. Este ´ındice mide la variaci´on de precios minoristas de un conjunto de bienes y servicios que representan el consumo de hogares representativos de un per´ıodo espec´ıfico. 2. IP IM : ´ Indice de Precios Internos al por Mayor. Este ´ındice mide la variaci´ on promedio de los precios a los cuales el productor, el importador directo o el comerciante mayorista coloca sus productos en el mercado argentino (sin importar el pa´ıs de origen de los productos) 3. IP BP : ´ Indice de Precios B´ asicos al Productor. Este ´ındice mide la variaci´ on promedio de los precios a los cuales el productor local vende su producci´ on, sin importar a que mercado. 4. IP IB: ´ Indice de Precios Internos B´ asicos al por Mayor. Este ´ındice es similar al IP IM , s´ olo que los precios considerados no incluyen el impuesto al valor agregado: IVA, los impuestos a los combustibles e internos. 5. ICC: ´ Indice del Costo de la Construcci´ on. Este ´ındice mide la variaci´on promedio que experiementa el costo de la construcci´on privada de los edificios destinados a vivienda. Para ello mensualmente se valorizan los elementos necesarios para la construcci´on de modelos de vivienda que se consideran representativos de un per´ıodo base y una regi´on determinada. Esta informaci´ on, y mucho m´ as, se puede hallar en la p´agina del INDEC http://www.indec.mecon.ar/ Ejercicio 7.69 Se deja como ejercicio que el lector descargue de la pagina del INDEC la tabla con el IPC hist´ orico. Todo ´ındice de precios mide como evolucionan en promedio los precios de una dada canasta de bienes y/o servicios, pero no cu´anto vale dicha canasta. Cuando un ´ındice sube, refleja una disminuci´on del poder de compra del dinero en funci´on de los precios medios de la canasta de bienes y servicios en cuesti´on, cuando baja, refleja un aumento del poder de compra del dinero en estos t´erminos. Por eso
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
142
se elije un per´ıodo base, generalmente el a˜ no que se determina la estructura de ponderaciones del ´ındice, y se le asigna al valor base de 100. Por ejemplo el IPC base 1999=100 mide la evoluci´on de los precios de los bienes y servicios que consumen los hogares residentes en el aglomerado Gran Buenos Aires. El conjunto de bienes y servicios cuyos precios son recopilados para el c´ alculo del IPC constituye la canasta del ´ındice, que es representativa de los gastos de consumo de los hogares residentes en la Ciudad de Buenos Aires y en 24 partidos del Gran Buenos Aires (GBA). El IPC no considera todos los gastos de los consumidores que tienen que ver con el mantenimiento de su nivel de vida. Excluye, por ejemplo, los pagos de intereses y amortizaciones de pr´estamos, y los impuestos no incluidos en los precios de los bienes. Con el transcurso del tiempo, el conjunto de bienes y servicios considerados en los ´ındices de precios pueden ir perdiendo representatividad. Los hogares van cambiando su estructura de consumo: dejan de consumir determinados bienes o servicios o los reemplazan por otros; los productores van modificando los tipos de bienes que ofrecen; cambian las caracter´ısticas de las viviendas que se construyen y en las t´ecnicas empleadas en la construcci´on de las mismas, ect. Por estos cambios los ´ındices van perdiendo su capacidad para representar la realidad y se vuelve necesario modificar su base. Por ejemplo el IPC base 1974=100 consideraba s´ olo los hogares residentes en el GBA cuyo tama˜ no oscilaba entre 2 y 7 miembros, que percibieran un ingreso familiar entre $ 250 y $ 2 500 (pesos ley 18.188 de 1970) y cuyo jefe de hogar fuera una asalariado de la industria o el comercio. Con el transcurso del tiempo, esa poblaci´on dej´o de ser representativa del conjunto de los hogares del GBA: hacia 1980, s´olo el 20% de los hogares del GBA reun´ıa esas caracter´ısticas. Por eso en la revisi´on de 1988 del IPC la poblaci´ on de referencia fue ampliada para incluir los hogares de 2 o m´as miembros, sin importar su nivel de ingresos, ni el perfil del jefe del hogar. El IPC se empez´ o a elaborar en 1914, y su base de c´alculo fue actualizada 7 veces desde entonces (1914, 1943, 1960, 1974, 1988, 1999 y 2008). Un ´ındice de precios puede ser usado para calcular la inflaci´on o deflaci´on de un per´ıodo de tiempo, y el valor real de un monto nominal a un momento dado para un sector determinado de la econom´ıa. Definici´ on 7.70 DEFINICION DE INFLACION Ejemplo 7.71 Calcular la inflaci´ on del mes de enero de 2008. Para hallar inflaci´ on de un mes dado, calculamos la tasa de variaci´on entre IPC de mes anterior, y el IPC del mes en cuesti´on: π 2002
= = =
enero diciembre IP C2008 − IP C2007 diciembre IP C2007 204.37 − 202.49 202.49 0.00922844
7.6. ´INDICE DE PRECIOS
143
Una inflaci´ on del 0.922844% (¿!). Esto quiere decir en promedio los bienes y servicios aumentaron casi un 1% en enero de 2008, esto no implica que no haya productos que aumentaron m´ as y otros que aumentaron menos.
Ejercicio 7.72 Completar la siguiente tabla con la inflaci´ on mensual de 20XX
20 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
tasa de inflaci´ on
Ejemplo 7.73 Calcular la inflaci´ on anual para el consumidor promedio durante el a˜ no 2002.
Para hallar inflaci´ on de un a˜ no, calculamos la tasa de variaci´on entre IPC de diciembre el a˜ no anterior, y el IPC de diciembre a˜ no en cuesti´on:
π 2002
= = =
diciembre diciembre IP C2002 − IP C2001 diciembre IP C2001 137.57 − 97.60 97.60 0.40953
La inflaci´ on del 2002 fue casi un 41%.
Ejercicio 7.74 Completar la siguiente tabla con la inflaci´ on anual de 1997 a
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
144
2009. De una estimaci´ on (personal) para la inflaci´ on de 2010 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)
A˜ nos 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
tasa de inflaci´ on
Ejemplo 7.75 Calcular la inflaci´ on anual para la construcci´ on durante el a˜ no 2002. Para hallar inflaci´ on de un a˜ no, calculamos la tasa de variaci´ on entre ICC de diciembre el a˜ no anterior, y el ICC de diciembre a˜ no en cuesti´ on: on π construcci´ 2002
= = =
diciembre diciembre ICC2002 − ICC2001 diciembre ICC2001 134.2 − 95 95 0.41263
Por lo que la inflaci´ on para la construcci´ on fue ligeramente superior a la inflaci´ on para el consumidor medio. Ejemplo 7.76 Hallar la inflaci´ on total desde mayo de 2003 hasta marzo de 2004. Para hallar inflaci´ on de un per´ıodo de tiempo dado, calculamos la tasa de variaci´ on entre IPC de mes anterior al inicio del per´ıodo, y el IPC del u ´ltimo mes del per´ıodo de tiempo en cuesti´ on: π mayo de 2003 a marzo de 2004
= = =
marzo abril IP C2004 − IP C2003 abril IP C2003 144.20 − 141.07 141.07 0.022188
Ejercicio 7.77 Calcular la inflaci´ on del mes de octubre de 2001. Ejercicio 7.78 Calcular la inflaci´ on del mes de junio de 2006.
7.6. ´INDICE DE PRECIOS
145
Ejercicio 7.79 Hallar la inflaci´ on total desde julio de 2000 hasta septiembre de 2005. Ejercicio 7.80 Hallar la inflaci´ on total desde agosto de 2004 hasta enero de2006. Ejercicio 7.81 Si la inflaci´ on del m´es de febrero de 2008 fue del 0.9% ¿Cuanto febrero ?. vale el IP C2008 Al tener en cuenta la inflaci´ on se suele hablar de valores nominales y valores reales. Definici´ on 7.82 Un valor nominal es una cantidad dada de dinero a una fecha determinada. Por ejemplo $ 500 pesos hoy, $ 100 000 el 16 de ocubre de 1995, etc. Definici´ on 7.83 Dada una canasta de bienes y servicios, cada valor nominal tiene asociado un valor real igual a la cantidad de canastas que se pueden adquirir con el nominal dado. Ejemplo 7.84 En enero de 1996 ganaba $ 860, en enero de 2008 gan´e $ 2 750. En principio parece que en enero de 2008 estoy ganando tres veces m´ as. ¿Es esto correcto?. En t´erminos nominales si, pero en t´erminos reales, i.e., en t´erminos de la cantidad de bienes y servicios que puedo adquirir, el razonamiento anterior es completamente err´ oneo. Para analizar el poder adquisitivo de un valor nominal en el tiempo, hay que considerar cuantas canastas de bienes se pueden adquirir con ese nominal en el momento en cuesti´on: enero En enero de 1996 gan´e $ 860 y cada canasta costaba IP C1996 = 100.9494. Por lo que pod´ıa adquirir 860 = 8.5191 canastas. 100.9494 Es decir: $ 860 en enero de 1996 ten´ıan un valor real de 8.5191 canastas. enero En enero de 2008 gan´e $ 2 750 y cada canasta costaba IP C2008 = 204.37. Por lo que pod´ıa adquirir 2750 = 13.456 canastas. 204.37 Es decir: $ 2 750 en enero de 2008 ten´ıan un valor real de 13.456 canastas. Por lo que en t´erminos reales, en enero de 2008 pod´ıa consumir casi un 60% m´ as que en enero de 1996, y no tres veces m´as (200%). Es decir, estoy mejor, pero no tanto como se pod´ıa creer en un principio. Por lo tanto cuando hablemos de t´erminos reales, debemos pensar en la cantidad de canastas que podemos adquirir.
146
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
Para realizar una analisis dimensional debemos considerar que el IPC tiene como unidades $ canastas Los IPC sirven para mover en el tiempo el poder adquisitivo real de un nominal de dinero. Ejemplo 7.85 En julio de 2001, ganabamos $ 1 500 por mes. Suponiendo que nuestros ingresos se mantienen constantes en t´erminos reales, cuanto ganabamos en octubre de 2007. De nuevo la soluci´ on pasa por hallar el n´ umero de canastas. En julio de 2001, ganabamos $ 1 500, y una canasta de bienes “costaba” julio IP C2001 = 98.86
Por lo que pod´ıa adquirir 1500 = 15.173 canastas 98.86 Ahora, en octubre de 2007 cada canasta costaba octubre IP C2007 = 198.93
Mantener costante los ingresos en t´erminos reales, significa que debo ser capaz de adquirir la misma cantidad de canastas. Por lo que en octubre de 2007 debo ganar 15.173 · 198.93 = 3018.4 pesos Ejercicio 7.86 En febrero de 2003, pague $ 2 por un caf´e con medialunas en el buffet de la Universidad. ¿Cu´ anto deber´ıa costar aproximadamente ese mismo caf´e con medialunas en octubre de 2007? Ejemplo 7.87 El 15 de agosto de 2007 compramos una heladera por $ 2 100, cuanto hubieramos pagado (aproximadamente) en febrero de 2003 por la misma heladera (suponiendo que los precios de los electrodom´esticos evolucionaron al ritmo del IPC). Simplemente debemos ver cuantas canastas son equivalentes al precio de la heladera. En agosto de 2007 una canasta costaba agosto IP C2007 = 196.01
Por lo tanto el costo de la heladera era equivalente a 2100 = 10.714 canastas. 196.01
´ 7.7. INFLACION
147
Por lo tanto hacen falta 10.714 canastas para comprar la heladera, i.e., esta heladera cuesta en t´erminos reales 10.714 canastas, cualquiera sea el momento del tiempo. Como en febrero de 2003 cada canasta costaba febrero IP C2006 = 172.80
En febrero de 2003 habr´ıamos necesitado aproximadamente 10.714 · 172.80 = 1851.40 pesos para comprar la misma heladera.
´ SOBR ELA CONSTRUCCION ´ DE SECCION INDICERS DE PRECIOS... PROPONER QUE EL ALUMNO CONSTRUYA SU PROPIO INDICE DE PRECIOS. Ejercicio 7.88 En julio de 2007 compr´e mi primer auto (0 Km) por $ 42 700. ¿Cu´ anto hubiera pagado (aproximadamente) en agosto de 2002 por un auto similar? Ejercicio 7.89 Al pedir pr´estados $ 2 500 el 1ero. de enero de 2002, nos comprometimos a devolver el montante m´ as unos intereses reales de 8% anual. ¿Cu´ anto debemos devolver el 1ero. de enero de 2004? Ejercicio 7.90 Nuestra madre nos prest´ o a principio de julio de 2003 $ 20 000, a principios de abril de 2005 le devolvemos a nuestra santa madre los $20 000 que gentilmente nos pr´esto. ¿Cu´ anto deber´ıamos haberle devuelto por lo menos a la pobre santa? Ejercicio 7.91 Continuaci´ on del ejercicio (7.105) de la secci´ on anterior: 1. Calcule la inflaci´ on entre marzo de 2001 y abril de 2008. 2. ¿Cu´ al fue el porcentaje nominal de aumento de su sueldo? 3. Dar la TEM nominal de aumento de su sueldo. 4. Si en abril de 2008 Ud. gan´ o $ 2 130, ¿Cu´ al fue su sueldo en marzo de 2001?
7.7
Inflaci´ on
Suponga cuando cumplio 20 a˜ nos, su padre le regala $ 1000 en bonos del estado que pagan un 13% anual y vencen en 45 a˜ nos. Si bien ahora ud. no puede usar el dinero, cuando venzan, los bonos rendiran $ 244 641.40 pues 45
1000 (1 + 0.13)
= 244641.4019 ,
148
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
La mala noticia es que todo costar´a mucho m´as caro. Por ejemplo, si los precios de los bienes y servicios suben tambi´en a un 13% anual cuando ud. tenga 65 a˜ nos, i.e., 45 a˜ nos despu´es de recibir los bonos, podr´a comprar ”lo mismo” que pod´ıa comprar con $ 1000 cuando ten´ıa 20 a˜ nos. En esta situaci´on se dice que un sentido “real”, no se ha ganado ning´ un inter´es. El ejemplo anterior muestra que si deseamos tomar decisiones financieramente adecuadas a largo plazo, debemos tener en cuenta la inflaci´on, y no s´olo los intereses. Definamos pues, que entenderemos por inflaci´on Definici´ on 7.92 Llamaremos inflaci´ on a la tasa con que var´ıa el nivel de precios de una canasta dada de bienes y servicios de una econom´ıa a lo largo de un per´ıodo de tiempo determinado. Una tasa de inflaci´ on p-per´ıodica ser´ a denotada π (p) Observe que esta definici´on de tasa de inflaci´on es un poco m´as amplia que la habitual: aumento porcentual del nivel de precios en un per´ıodo dado de tiempo. En el caso de ser positiva nuestra tasa de inflaci´on, ambas nociones coinciden. Pero nuestra inflaci´ on puede ser negativa, es lo que se conoce como deflaci´ on: reducci´ on porcentual del nivel de precios. Al tener en cuenta la inflaci´on se suele hablar de tasas nominales y tasas reales. La tasa de inter´es nominal es la tasa efectiva denominada en pesos, o cualquier otra moneda. El aumento del poder adquisitivo es la tasa de inter´es real. Usaremos i para denotar tasas nominales y r para denotar tasas reales. Nota 7.93 En esta secci´ on la t´ermino nominal tiene un sentido diferente del usado anteriormente. Para evitar confusiones recalcamos que todas las tasas usadas ser´ an efectivas. Ejemplo 7.94 Suponga que dispone de $ 1 000 hoy, y que adem´ as la canasta de bienes y servicios b´ asica cuesta hoy $ 245. Si el banco le paga una TEA del 9.5% (una tasa nominal) y inflaci´ on esperada del 6.1% anual. ¿Cu´ al es el rendimiento real a un a˜ no que le ofrece el banco? Hoy tiene $ 1000, y como la canasta de bienes y servicios hoy cuesta $ 245, hoy su poder adquisitivo real es de 1000 = 4.0816 245 canastas de bienes y servicios. Al cabo de un a˜ no sus $ 1 000 se transforman en $1 095 pues 1000 (1 + 0.095) = 1095. Mientras que una canasta de bienes y servicios pasa a costar 245 (1 + 0.061) = 259.95,
´ 7.7. INFLACION
149
Por lo que su poder adquisitivo al cabo de un a˜ no es 1095 = 4.2123 259.95 Luego la tasa de inter´es real es la que convierte nuestro poder adquisitivo de 4.0816 canastas en 4.2123 canastas al cabo de un a˜ no: 4.0816 (1 + r)
=
r
=
r
=
4.2123 4.2123 −1 4.0816 0.032022
La tasa real es del 3.2022% anual, y no del 3.4% = 9.5% − 3.1%, como se podr´ıa haber supuesto. Volvamos a plantear el problema anterior en t´erminos generales: al comienzo de un per´ıodo de t a˜ nos, se dispone de una cantidad C de dinero y el costo de la canasta de bienes y servicios b´ asicos es b, si nos pagan una tasa nominal i(p) y la inflaci´ on esta dada por una tasa π (p) , tenemos que la tasa real r(p) es la que tranforma el poder aquisitivo al inicio del per´ıodo en el poder adquisitivo al final del mismo pt pt C 1 + r(p) C (p) = 1+r pt b b 1 + π (p) Simplificando y reordenando llegamos a famosa f´ormula de Fisher 1 + r(k) 1 + π (k) = 1 + i(k) .
(7.25)
O despejando la tasa real i(k) − π (k) . (7.26) 1 + π (k) La f´ ormula de Fisher es independiente del per´ıodo de tiempo considerado, el monto disponible C y el precio b de la canasta de bienes y servicios b´asicos. r(k) =
Nota 7.95 De la forma despejada de la f´ ormula de Fisher se puede ver que cuando la tasa de inflaci´ on es baja, la diferencia entre la tasa nominal y la tasa de inflaci´ on da una buena aproximaci´ on para la tasa real. Ejemplo 7.96 ¿Cu´ al es la tasa de inter´es real anual si la tasa nominal es una TEA del 12.9% y la tasa de inflaci´ on es del 7.3% al a˜ no? Usando la f´ ormula de Fisher: (1 + r) (1 + 0.073) = 1 + 0.129, de donde r
1 + 0.129 −1 1 + 0.073 = 0.05219
=
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
150
Ejemplo 7.97 El Sr. Elias cobrar´ a una beca de $ 10.000 dentro de 6 meses. Si la inflaci´ on mensual estimada es del 1,7 % mensual. ¿Cu´ al es el valor en t´erminos del poder adquisitivo al d´ıa de hoy de esos $ 10.000 dentro de 6 meses? Llamemos p0 al precio de la canasta de bienes y servicios al d´ıa de hoy. El precio de la canasta de bienes y servicios dentro de 6 meses ser´a p6 = p0 (1 + 0, 017)
6
Con $ 10.000 podemos comprar dentro de 6 meses la siguiente cantidad de canastas: $10.000 $10.000 = 6 p6 p0 (1 + 0, 017) Para comprar hoy la misma cantidad de canastas necesitamos una cantidad x de dinero tal que x 10.000 = 6 p0 p0 (1 + 0, 017) de donde concluimos que x=
10.000 (1 + 0, 017)
6
= 9038, 040487
Esto nos indica que con $ 10.000, dentro de 6 meses, podremos comprar aproximadamente lo mismo que hoy podr´ıamos comprar con $ 9.038,040487. Ejemplo 7.98 El Sr. Adri´ an guardo $ 5.000 es un lugar secreto, y luego se olvido de donde habia puesto el dinero. Al cabo de 5 meses los encontro en el bolsillo de un viejo saco. Si la inflaci´ on mensual durante esos 5 meses fue inflaci´ on mensual π1 π2 π3 π4 π5
tasa porcentual 1, 8 2, 3 3.1 1.9 2.5
Se pide 1. Calcular el valor de estos $ 5.000, en t´erminos de pesos de hace 5 meses. 2. Calcular el poder de compra de estos $ 5000, hace 5 meses en t´erminos de pesos de hoy. Con estos $ 5.000 disponibles ahora, podemos adquirir lo mismo (casi lo mismo) que con $ 4.458,5 hace 5 meses pues $ 5.000 (1 + π 1 ) (1 + π 2 ) (1 + π 3 ) (1 + π 4 ) (1 + π 5 )
= = =
$ 5.000 (1 + 0, 018) (1 + 0, 023) (1 + 0, 031) (1 + 0, 019) (1 + 0, 0 $ 5.000 1, 12145054517 $ 4.458, 51136
´ 7.7. INFLACION
151
Es decir, $ 5.000 hoy valen (aproximadamente) lo mismo que $ 4.458,5 pesos de hace 5 meses. Por otro lado, con $ 5.000 hace 5 meses el Sr. Adri´an pod´ıa comprar bienes y servicios equivalentes (aproximadamente) a los que puede adquirir hoy con $ 5.607,25 pues $ 5.000 (1 + π 1 ) (1 + π 2 ) (1 + π 3 ) (1 + π 4 ) (1 + π 5 ) = $ 5.000·1, 12145054517 = $ 5.607, 252726 Es decir,los $ 5.000 de hace seis meses son equivales, i.e.,tienen el mismo poder de compra, que $ 5.607,25 pesos de hoy. Los ejemplos anteriores nos dicen que si queremos saber el valor en t´erminos de pesos de hoy, o pesos constantes (expresi´on que significa: pesos con el mismo poder de compra que el peso hoy) de una cantidad futura de dinero, debemos actualizarlos a la tasa de inflaci´on dada (si es conocida). En general, dada una tasa de inflaci´ on p-per´ıodica π (p) , el valor al d´ıa de hoy de un capital C disponible dentro de t a˜ nos es C 1 + π (p)
pt
(7.27)
Correspondientemente, si queremos saber el valor en pesos de hoy de una cantidad pasada de dinero, debemos capitalizarlos a la tasa de inflaci´on dada (si es conocida). En general, dada una tasa de inflaci´on p-per´ıodica π (p) , el valor al d´ıa de hoy de un capital C disponible hace de t a˜ nos es pt C 1 + π (p) (7.28) Ejercicio 7.99 ¿Cu´ al es la tasa de inter´es real mensual si la tasa nominal es una TEM del 1.9% y la tasa de inflaci´ on mensual es 1.4%? Ejercicio 7.100 ¿Cu´ al es la tasa de inter´es real anual si la tasa nominal es una TEM del 0.9% y la tasa de inflaci´ on mensual es 1.2%? Ejercicio 7.101 ¿Cu´ al es la tasa de inter´es real anual si la tasa nominal es una tasa efectiva trimestral del 10% y la tasa de inflaci´ on diaria es del 0.04%? Ejercicio 7.102 Si un banco nos paga una TEA del 25.5% y la inversi´ on rinde en t´erminos reales s´ olo un 5.6% al a˜ no, ¿Cu´ al es la tasa anual de inflaci´ on? Ejercicio 7.103 Al sacar un pr´estamo, el banco A nos cobra una TEM fija del 2.3%, mientras que el banco B, nos cobra una tasa efectiva mesual variable: π (12) + 0.011. Se pide decidir donde conviene obtener un cr´edito si 1. La inflaci´ on anual se estima en 8%. 2. La inflaci´ on anual se estima en un 21%. 3. Hallar la tasa de inflaci´ on de equilibrio: la tasa de inflaci´ on esperada que nos hace indiferentes entre el banco A y el banco B.
152
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
Ejercicio 7.104 En la siguiente tabla se da un a˜ no dado Mes 1) Enero 2) Febrero 3) Marzo 4) Abril 5) Mayo 6) Junio 7) Julio 8) Agosto 9) Septiembre 10) Octubre 11) Noviembre 12) Diciembre
la tasa de inflaci´ on mes a mes de Tasa 1.1% 2.3% 0.7% 0.5% 0.8% 0.95% 1.2% 1.4% 1.7% 1.6% 2.1% 2.5%
Se pide 1. Hallar la tasa de inflaci´ on anual y la mesual equivalente a esta. 2. Hallar la tasa de inflaci´ on mensual promedio. Comparar con la tasa mesual hayada en el item anterior. 3. Si un banco paga un 2.5% mensual, cual es la tasa real que paga el banco cada mes. 4. Calcular el rendimiento nominal y real de colocar $ 5 000 en dicho banco desde el 1ero de enero hasta el 31 de agosto. 5. Si un televisor cost´ o $ 1 870 en Noviembre, ¿Cu´ anto costaba en abril? 6. En enero un obrero cobraba $ 750 al mes, si en diciembre este mismo obrero cobraba $ 875. ¿En t´erminos reales esta mejor o peor?. Dar el tasa de variaci´ on real del sueldo del obrero. 7. Si deseamos obtener una retabilidad real del 8% anual, de cuanto debe ser la tasa anual nominal de rendimiento de una inversi´ on. 8. Otro banco se compromete brindar una rentabilidad real de 1.5% mensual. ¿Cu´ ales son las tasas mensuales que ofrece?. Dar la TEA real que ofrece el banco. 9. En que banco conviene invertir nuestros ahorros cada mes, ¿y de manera anual? 10. Ud en enero de este saco un pr´estamo de $ 10 000. Le cobran un 12% anual y debe devolver el nominal m´ as los intereses en enero del a˜ no siguiente. ¿Cu´ al fue la tasa real del pr´estamo?
´ 7.8. INDEXACION
153
Ejercicio 7.105 En marzo de 2001 su sueldo mensual le alcanzaba para comprar 1 Televisor y medio. En Abril de 2008 su sueldo le alcanza para comprar 2.1 Televisores. 1. ¿Cu´ al fue el porcetaje de aumento de su sueldo?. 2. Suponiendo que su sueldo aument´ o un porcentaje fijo cada mes, ¿Cu´ al fue la TEM de aumento? 3. ¿Las tasas anteriores son reales o nominales?
poner m´as ejercicios.... del estilo de los u ´ltimos ejemplos
Ejercicio 7.106
Nota 7.107 La inflaci´ on (positiva) tiene causas muy complejas y variadas de acuerdo con las pol´ıticas econ´ omicas implementadas en cada pa´ıs. Sin embargo un f´enomeno com´ un a todos los procesos inflacionarios es un aumento del circulante (monedas y billetes) sin el aumento equivalente en la producci´ on de bienes y servicios. Cuando aumenta el circulante, la gente tiene m´ as dinero en sus bolsillos para gastar, lo que aumenta la demanda de bienes y servicios en general, si esto no se corresponde con un aumento de la oferta, los precios inevitablemente suben. La deflaci´ on (inflaci´ on negativa), es un fen´ onemo menos habitual. La u ´ltima deflaci´ on en USA se dio en 1955 y en Argentina hubo deflaci´ on en 1999 (−1.810449933%), en 2000 (−0.7337073802%), y en 2001 (−1.543427822%). Las deflaciones prolongadas (uno o m´ as a˜ nos) son s´ıntoma de per´ıodos de contracci´ on econ´ onica (depresi´ on).
7.8
Indexaci´ on
7.9
Composici´ on de tasa en el sistema continuo
Dadas un grupo n de tasas nominales (positiva o negativa) J1 , J2 , . . . , Jn de aplicaci´ on simult´ anea, cuyas tasas efectivas p-per´ıodicas asociadas son (p)
ik = (p)
(p)
Jk pk (p)
El error que cometemos al usar i1 + i2 + · · · + in intuitivamente disminuye al aumentar la frecuencia de capitalizaci´on: (p)
(p)
i1 + i2 + · · · + in(p) ≈ a la tasa real si p es grande.
´ DE TASAS CHAPTER 7. COMPOSICION
154
Dadas n tasas nominales J1 , . . . , Jn de aplicaci´on simult´anea sobre un capital C0 por unos t a˜ nos. Consideremos como evoluciona nuestra aproximaci´on pt Jn J1 C0 1 + + ··· + p p a medida que aumentamos la frecuencia de capitalizaci´on: pt J1 Jn lim C0 1 + + ··· + p→∞ p p
=
pt J1 + · · · + Jn lim C0 1 + p→∞ p
= C0 e(J1 +···+Jn )t
Poner dibujo!!!! Esto sugiere que en capitalizaci´on continua la aplicaci´on de simult´anea de dos o m´ as tasas equivale a sumar las mismas: Dadas n tasas nominales continuas J1 , . . . , Jn todas de aplicaci´on simult´anea sobre un capital C0 , el capital total acumulado al cabo de t a˜ nos es Ct = C0 e(J1 +···+Jn )t Esta nos permite demostrar formalmente la f´ormula (7.1). Dado un grupo (p) (p) (p) uen simult´aneamente de n tasas efectivas p-per´ıodicas i1 , i2 , . . . , in que act´ sobre un capital C0 . El capital Ct acumulado al cabo de t a˜ nos se puede obtener, al plantear la situaci´ on en capitalizaci´on compuesta. Para hacer esto convertimos las tasas efectivas compuestas en tasas nominales continuas equivalentes: p (p) 1 + ik = eJk para k ∈ {1, . . . , n} de donde
p (p) Jk = ln 1 + ik
para k ∈ {1, . . . , n}
Luego Ct
= C0 e(J1 +···+Jn )t
p
p
(p) ln 1+i1 +···+ln(1+i(p) t n ) = C0 e pt pt (p) · · · 1 + i(p) = C0 1 + i1 n
Poner ejercicios!!!!! al menos unos 4 o 5.
Chapter 8
Rentas 8.1
Rentas generales
A lo largo del resto del libro utilizaremos capitalizaci´on compuesta como ley financiera por defecto, salvo que expl´ıcitamente se diga lo contrario. Esto se corresponde uso predominante en Argentina del sistema compuesto. El siguiente ejemplo muestra la situaci´on t´ıpica que deseamos analizar ahora Ejemplo 8.1 Se obtiene de un banco un pr´estamo por $ 125.000 a pagar en 10 a˜ nos, en cuotas mesuales consecutivas e iguales, pagando la primera dentro de un mes. Si el banco nos cobra una TEM del 0,34 %, ¿cu´ al es el monto de la cuota mensual que debemos pagar?
$ 125.000 =
120 X k=1
C (1 + 0, 0034)
0
k
C
C
C
C
C
1
2
3
119
120
Hoy En todo pr´estamo lo que debemos pagar debe ser financieramente equivalente al desembolso del pr´estamo (a la tasa pactada). Para hallar el monto que se debe pagar al banco cada mes es conveniente plantear la correspondiente equivalencia financiera. Trabajaremos con capitalizaci´on compuesta, y como da lo mismo usar 155
156
CHAPTER 8. RENTAS
una u otra fecha focal, usaremos el origen como tal: $ 125.000 =
C C C + + ··· + 120 (1 + 0, 0034) (1 + 0, 0034)2 (1 + 0, 0034)
de donde podemos despejar C C=
125.000 1 1 1 + ··· + + 2 120 (1 + 0, 0034) (1 + 0, 0034) (1 + 0, 0034)
Es claro que ser´ıa muy u ´til disponer de una f´ormula para calcular 1 1 1 + + ··· + 120 (1 + 0, 0034) (1 + 0, 0034)2 (1 + 0, 0034) (que no sea realizar los 120 cocientes y luego sumarlos). La situaci´ on del ejemplo anterior, con alguna variaci´on, es suficientemente frecuente en la actividad econ´omica (sueldos, alquileres, seguros, pr´estamos, servicios, etc.) como para desarrollar f´ormulas adecuadas para el manejo de sucesiones de capitales disponibles a lo largo del tiempo. Definici´ on 8.2 Una renta (finita) es una sucesi´ on de n capitales C1 , C2 , . . . , Cn , llamados t´ erminos, disponibles a los momentos t1 < t2 < · · · < tn (estamos asumiendo que n es un entero positivo). De una renta t´ıpicamente nos interesa calcular VA (to ), su valor actual a un momento to dado, y V F (tf ), su valor final a un momento tf dado, con to ≤ t1 < · · · < tn ≤ tf Capitalizaci´on
to
VA (to )
C1
C2 C3
C4
Cn−1
Cn
t1
t2
t4
tn−1
tn
t3
VF (tf )
tf
Actualizaci´on
Dada una tasa de inter´es p-per´ıodica i(p) , el valor actual (al momento to ) de una renta consistente de n capitales C1 , C2 , . . . , Cn disponibles a los momentos t1 < t2 < · · · < tn (usando p-per´ıodos para medir el tiempo), es igual a la suma
8.1. RENTAS GENERALES
157
de los valores actuales al momento to de cada uno de los t´erminos que componen la renta
VA (to )
= =
n X k=1 n X k=1
to −tk Ck 1 + i(p) Ck t −to 1 + i(p) k
(8.1) (8.2) (8.3)
Ya que todas las diferencias to − tk , con k ∈ {1, . . . , n}, no positivas. Similarmente, el valor final de la renta al momento tf es igual a la suma de los valores (capitalizados) al momento tf de cada uno de los t´erminos de la renta n tf −tk X VF (tf ) = Ck 1 + i(p) (8.4) k=1
en este caso todas las diferencias tf − tk , con k ∈ {1, . . . , n}, son no negativas. Al capitalizar el valor actual VA (to ) de la renta al momento to durante tf −to p-per´ıodos a la tasa p-per´ıodica i(p) obtenemos el valor final V !F (tf ) de la renta ! n tf −to to −tk tf −to X VA (to ) 1 + i(p) = Ck 1 + i(p) 1 + i(p) k=1
= =
n X k=1 n X
to −tk tf −to Ck 1 + i(p) 1 + i(p) tf −tk Ck 1 + i(p)
k=1
= VF (tf ) Obviamente, si actualizamos VF (tf ) unos tf − to p-per´ıodos obtenemos el valor actual VF (tf ) t −to = VA (to ) 1 + i(p) f Esto nos dice que si hallamos una expresi´on para el valor actual de una renta, autom´ aticamente diponemos de una expresi´on para el valor final de la misma y viceversa. Nota 8.3 Una notaci´ on m´ as precisa ser´ıa n X to −tk V A to , t1 , . . . , tn , C1 , . . . , Cn , n, i(p) = Ck 1 + i(p) k=1
pero en general, como los valores de t1 , . . . , tn , C1 , . . . , Cn , n, i(p) ser´ an claros del contexto preferimos usar simplemente V A (to ) o inclusive s´ olo V A (si tambi´en es claro del contexto el valor de to ).
158
CHAPTER 8. RENTAS
Es claro que para encontrar f´ormulas que simplifiquen el c´alculo de (8.3) y (8.4), tanto la sucesi´ on de capitales como la sucesi´on de momentos deben poseer ambas cierta regularidad. La regularidad en la sucesi´on de momentos se consigue al imponer que la distancia temporal entre dos t´erminos consecutivos (entre los momentos a los que se imponen los mismos) se mantenga constante a lo largo de la renta: tk+1 − tk = cte para 1 ≤ k ≤ n − 1. En la mayor´ıa de los casos esta distancia temporal ser´a un mes, pero puede ser una cantidad cualquiera, pero fija, de p-per´ıodos (por ejemplo 15 d´ıas, mes y medio, un trimestre, etc.) donde p esta dado por la frecuencia de capitalizaci´on de la tasa efectiva i(p) que actua sobre la renta. Con respecto a la regularidad sobre los montos de los t´erminos, estudiaremos cuatro casos: constantes, variables en progresi´on aritm´etica y variables en progresi´ on geom´etrica.
8.2
Rentas constantes
Consideremos una renta de n t´erminos a una tasa p-per´ıodica i(p) . Analizaremos el caso donde todos los t´erminos (capitales) de la renta son iguales C1 = C2 = · · · = Cn = C de ahi el nombre de rentas constantes. Actualizaci´on
V A (to )
to
C
C
C
C
C
1
2
3
n−1
n
Con esta regularidad (8.3) se puede reescribir V A (to ) = C
n X k=1
1 1+
t −to i(p) k
(8.5)
Si consideremos que la sucesi´on temporal de las imposiciones tiene un paso constante unitario de un p-per´ıodo (por ejemplo, si la tasa es mensual, tenemos una sucesi´ on de meses) tk+1 − tk = 1 p-per´ıodo, para 1 ≤ k ≤ n − 1 o lo que es lo mismo tk = t1 + (k − 1) para 1 ≤ k ≤ n − 1
8.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES
159
Luego la ecuaci´ on (8.5) toma la forma V A (to )
= =
C C
n X k=1 n X k=1
1 1+
t −to i(p) k
1 + i(p)
1 t1 +k−to −1
(Recordar que to est´ a medido en p-per´ıodos).
8.3
Rentas vencidas o pospagables
El modelo de rentas que vamos a estudiar ahora se corresponde perfectamente con situaciones tales como el cobro de un sueldo, o el pago de algunos servicios (luz, gas, etc.). Primero se trabaja o brinda el servicio, y luego se realizan las imposiciones correspondientes (pagos o cobros). Es decir, las imposiciones se hacen al final del cada per´ıodo. Por este motivo estas rentas reciben el nombre de rentas vencidas o pospagables (En Argentina y Latinoam´erica en general se habla de rentas vencidas, en Espa˜ na de rentas pospagables). El valor actual corresponde calcularlo un per´ıodo de tiempo antes de la imposici´ on del primer capital: to = t1 − 1 Esto es claro a partir del ejemplo del cobro de un sueldo: uno comienza a trabajar en el momento to y reci´en recibe el primer pago en el momento t1 = to + 1 El compromiso asumido en la operaci´on financiera comienza en to . El valor final, por otro lado, corresponde calcularlo al mismo momento de la imposici´ on del u ´ltimo capital, ya que en ese momento t´ermina el compromiso asumido: tf = tn Comenzaremos analizando la situaci´on to = 0 y por lo tanto t1 = 1, t2 = 2, . . . , tn = n V A(to )
Actualizaci´ on a la tasa i(p)
C
C
C
C
C
C
0 1 1 p-per´ıodo
2
3
n−2
n−1
n
Inicio
Final
160
CHAPTER 8. RENTAS En este caso la ecuaci´on (8.6) toma la forma
V A (0) = C
n X k=1
1 1 + i(p)
V F (n) = V A(0) 1 + i(p)
n
Actualizaci´on
V A(0)
0
k .
V F (n)
C
C
C
C
C
C
1
2
3
n−2
n−1
n
Capitalizaci´on
Ahora todo el problema se reduce a encontrar un f´ormula cerrada para la expresi´ on n X k=1
1 1 + i(p)
k .
Usando el hecho que (8.6) es una serie geom´etrica, por (B.6) n X k=1
1 1 + i(p)
k
=
=
=
n−1 X 1 1 (p) 1 + i k=0 1 + i(p) k 1 n 1− 1 + i(p) 1 1 1 + i(p) 1− 1 + i(p) −n 1 − 1 + i(p) i(p)
(8.6)
8.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES
V A(0) =
n X
161
C k
k=1
0
(1+i(p) )
C
C
C
C
C
1
2
3
n−1
n
V F (n) =
n X
C 1 + i(p)
k
k=1
Ahora podemos dar la f´ ormula para calcular el valor actual de una renta constante vencida (o pospagable) de n t´erminos de monto C a una tasa i(p) que comienza en el momento 0 y t´ermina en el momento n: −n 1 − 1 + i(p) (8.7) V A (0) = C i(p) A partir de (8.7) podemos obtener, como ya se˜ nalamos, una expresi´on para el valor final de una renta vencida al momento tf = tn = n n n 1 + i(p) − 1 (p) V F (n) = V A (0) 1 + i =C (8.8) i(p) Nota 8.4 Se debe notar que la u ´ltima f´ ormula se puede deducir a partir de la teor´ıa de relaciones recursivas. Consideremos una renta de n t´erminos constantes de monto C a una tasa p-per´ıodica i(p) , impuestos consecutivamente con un paso temporal de un p-per´ıodo. Sea V F (k) valor “final” acumulado de la renta despu´es de imponer el k-´esimo t´ermino (con k ∈ {1, . . . , n}) Es claro que el valor final (k + 1)-´esimo es igual al valor final k-´esimo, m´ as los intereses generados, m´ as el t´ermino (k + 1)-´esimo de la renta V F (k + 1) = V F (k) 1 + i(p) + C La soluci´ on de esta relaci´ on recursiva es V F (k)
= =
k 1 − 1 + i(p) h0 (1 + k) + C 1 − 1 + i(p) k 1 + i(p) − 1 k h0 (1 + k) + C i(p) k
162
CHAPTER 8. RENTAS
donde h0 es una constante que podemos ajustar usando alguna condici´ on inicial. En nuestro caso es claro que V F (1) = C luego C
= V F (1) 1 1 + i(p) − 1 = h0 (1 + k) + C i(p) (p) +C = h0 1 + i 1
lo que implica que h0 = 0. Luego k 1 + i(p) − 1 V F (k) = C para k ≥ 1 i(p) Otra condici´ on inicial adecuada resulta del hecho que V F (0) = 0 (no se ha realizado ninguna imposici´ on al momento cero). En los problemas de rentas t´ıpicamente aparecen 4 variables C, i(p) , n y V A o V F seg´ un el caso. El problema tipo es dadas tres de ellas calcular el valor de la cuarta. Despu´es de un momento de reflexi´on (y tal vez una cuantas pruebas) vemos que si n > 5, en general, es imposible despejar i(p) de la f´ormula (8.7) o la f´ ormula (8.8). Esto implica el uso de m´etodos n´ umericos para hallar la tasa i(p) aplicada en una renta dada. M´as adelante daremos una breve introducci´on a los m´etodos num´ericos de Newton-Raphson y de la secante, pero desde ya queremos dejar asentado que no nos openemos al uso de soft espec´ıfico (Maple, Matlab, Excel, Derive, etc.) o al uso de calculadoras financieras o cient´ıficas para hallar la tasa asociada a un esquema de renta. Ejemplo 8.5 Terminemos de resolver el ejemplo (8.1) Todos los meses, por los pr´oximos 10 a˜ nos, debemos pagar $ 1.270,32 pues C
=
=
=
125.000 1 1 1 + + ··· + 120 (1 + 0, 0034) (1 + 0, 0034)2 (1 + 0, 0034) 125.000 1 − (1 + 0, 0034) 0, 0034 $1.270, 32
−120
Ejemplo 8.6 Un programa de televisi´ on anuncia un premio $ 300.000, consistente un sueldo fijo a mes vencido de $ 2.500 mensuales durante 10 a˜ nos. ¿Realmente el premio consiste de $ 300.000?. Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0,85% mensual, que prefiere, el esquema de sueldos o $ 200.000 en efectivo (en caso de ganar el concurso correspondiente).
8.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES
163
Todo lo que necesitamos saber es el valor actual de este esquema de pagos a la tasa que ud. puede conseguir: V A(hoy) = 2.500
1 − (1 + 0, 0085) 0, 0085
−120
= 187.602, 16
Esto nos dice que el premio de “$ 300.000” en realidad hoy vale $ 187.602,16, y por lo tanto si hoy nos ofrecen $ 200.000 en efectivo deber´ıamos aceptarlos (esta oferta es a´ un m´ as conveniente si incluimos en el an´alisis la inflaci´on esperada). Ejemplo 8.7 Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los dep´ osita al 0,85% mensual, ¿Cu´ al es el monto que puede retirar del banco mes a mes por los pr´ oximos 10 a˜ nos?
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! poner dibujo Rent10!!! Ahora, lo que conocemos es el valor actual de una renta (vencida) constante mensual de 120 t´erminos y deseamos saber el importe C de los t´erminos. A partir de −n 1 − 1 + i(p) V A (0) = C i(p) podemos despejar f´ acilmente C: C= En particular C=
V A (0) i(p) −n 1 − 1 + i(p)
200.000 · 0.0085 1 − (1 + 0.0085)
−120
(8.9)
= 2665.21458
Ejemplo 8.8 Si ud toma los $ 200.000 del premio los dep´ osita al 0,85% mensual, ¿Durante cu´ anto tiempo podr´ a extraer mensualmente $ 2.500?
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! En este caso, de la expresi´ on C=
V A (0) i(p) −n 1 − 1 + i(p)
deseamos hallar n. Primero acomodamos un poco las cosas de manera tal que podamos aplicar logaritmos (este es el procedimiento usual para despejar alguna variable que aparece en un exponente) −n C − V A (0) i(p) = C 1 + i(p) C − V A (0) i(p) C
log C − V A (0) i(p) − log C
−n 1 + i(p) = −n log 1 + i(p) =
164
CHAPTER 8. RENTAS
de donde obtenemos log C − log C − V A (0) i(p) n= log 1 + i(p)
(8.10)
En particular n=
log 2.500 − log (2.500 − 200.000 · 0, 0085) = 134.62001 log (1 + 0, 0085)
Por lo que podriamos retirar $ 2.500 por 134 meses (11 a˜ nos y dos meses), y al finalizar a´ un nos sobrar´ıa un poco de dinero en la cuenta (¿Cu´anto?). Ejemplo 8.9 Don M´ aximo puede ahorrar al final de cada mes $700. La tasa que puede conseguir es del 0,75% mensual. ¿Cu´ al es el monto acumulado del que dispondr´ a Don M´ aximo al cabo de 3 a˜ nos?
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!! En este caso debemos hallar el valor final de una renta. Como no sabemos exactamente cuanto depositar´a Don M´aximo al final de cada mes (pueden ser $ 700, o $ 754, o $ 800), calcularemos dos valores finales, uno suponiendo que mes a mes deposita $ 700 y el otro suponiendo que mes a mes deposita $ 800. El capital acumulado por Don M´aximo estar´a entre estos dos valores. Comencemos con la renta de $ 700: 60
V F (60) = 700
(1 + 0.0075) 0.0075
−1
= 700 · 75, 4241369253 = 52.796, 89585
Ahora calculemos el valor final de la renta de $ 800 60
V F (60) = 800
(1 + 0.0075) 0.0075
−1
= 800 · 75, 4241369253 = 63.339, 30954
Es decir, Don M´ aximo dispondr´a al cabo de 5 a˜ nos de un capital entre $ 52.796,90 y $ 63.339.31. Nota 8.10 El ejemplo anterior muestra porque los factores −n n 1 − 1 + i(p) 1 + i(p) − 1 y i(p) i(p) suelen ser llamados multiplicadores. Ellos dan el valor actual (al momento 0) y el valor final (al momento n), respectivamente, de una renta unitaria (C = $ 1), de n t´erminos consecutivos con paso unitario p-per´ıodico (iniciada al momento 1 y finalizada al momento n) a una tasa p-per´ıodica i(p)
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! El nombre de multiplicador proviene del siguiente hecho obvio: el valor actual y el valor final de cualquier renta constante de t´ermino C (de n t´erminos consecutivos con paso unitario p-per´ıodico, iniciada al momento 1 y finalizada al momento n, a una tasa p-per´ıodica i(p) ) se calcula mutiplicado C por el correspondiente multiplicador.
8.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES
165
Ejemplo 8.11 Ud desea comprarse un LED de 64”. Cuanto debe ahorrar (al menos) mes a mes durante los pr´ oximos 3 a˜ nos si el LED cuesta unos $ 26.000, y la tasa que ud puede conseguir es del 0,4% mensual.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! En este caso, tenemos una renta de la que conocemos una cota inferior para el valor valor final de la renta: este no debe ser inferior a $ 26.000, y queremos determinar el valor de los t´erminos C de la renta n 1 + i(p) − 1 26.000 ≤ V F (n) = C i(p) de donde debemos despejar C C=
V F (n) i(p) 26.000i(p) n n ≥ 1 + i(p) − 1 1 + i(p) − 1
(8.11)
por lo tanto en nuestro caso C≥
26.000 · 0, 004 (1 + 0, 004)
36
−1
= 672, 91079
Por lo que deberemos ahorrar cada mes al menos $ 672,92. Ejemplo 8.12 Suponga que ud puede ahorrar $ 550 cada mes, y los puede depositar a un 0,37% mensual. ¿Cu´ anto tiempo deber´ a ahorrar para poder comprarse un auto que cuesta unos $ 32.000?
Poner Dibujo!!!!!!!!!!!!!!!! En este caso, tenemos una renta de la que conocemos una cota inferior para el valor valor final de la renta: este no debe ser inferior a $ 32.000, y queremos un n tal que n 1 + i(p) − 1 32.000 ≤ V F (n) = C i(p) despejemos n de la igualdad V F (n) i(p) +1 C
log V F (n) i(p) + C − log C
n 1 + i(p) = n log 1 + i(p)
=
de donde obtenemos n=
log V F (n) i(p) + C − log C log 1 + i(p)
En particular, si realizamos el despeje de n partiendo de la desigualdad log 32.000i(p) + C − log C n≥ log 1 + i(p)
(8.12)
166
CHAPTER 8. RENTAS
de donde obtenemos n≥
log (32.000 · 0.0037 + 550) − log 550 = 52.79162 log (1 + 0.0037)
Es decir necesitamos ahorrar al menos 53 meses. Nota 8.13 Observe (8.7) calcula el valor actual de la renta dada un p-per´ıodo antes de la imposici´ on del primer capital. Por ejemplo si tenemos un renta bimestral cuyo primer t´ermino esta disponible en el mes 5, la f´ ormula (8.7) nos da el valor actual de la renta (una cantidad de dinero) al mes 3. Nota 8.14 El n que aparece en las f´ ormulas anteriores coincide siempre con el n´ umero de t´erminos de la renta, y como veremos m´ as adelante no tiene porque coincidir con el per´ıodo al que es impuesto el u ´ltimo t´ermino. Las dos observaciones anteriores son importantes a la hora de entender cabalmente el siguiente ejemplo. Ejemplo 8.15 Ud. esta ahorrando $ 250 al final de cada mes para su jubilaci´ on. En este momento tiene 30 a˜ nos y espera jubilarse a los 65 a˜ nos. Despu´es de retirarse espera vivir hasta los 85 a˜ nos. ¿Cu´ anto podr´ a retirar mes a mes del banco una vez que se jubile si este le paga una TNA del 6.2%? En este problema tenemos dos rentas relacionadas: el valor final de la primera es el valor actual de la segunda.
PONER DIBUJO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Comenzaremos calculando el valor final de la primer renta o renta de ahorro 35·12 0.062 −1 1+ 12 = 373039.91 V Fahorro = 250 0.062 12 Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilaci´on V Fahorro = V Ajubilaci´on donde esta igualdad se da a los 420 meses (dentro de 35 a˜ nos, es decir cuando tenga 75 a˜ nos). La segunda renta comienza en el per´ıodo 421 y t´ermina en el per´ıodo 660 por lo que el n´ umero de t´erminos es 660 − 421 + 1 = 240 = 20 · 12 Ahora
373039.91 = V Ajubilaci´on
−20·12 0.062 1− 1+ 12 = Cjubilaci´on 0.062 12
8.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES
167
de donde Cjubilaci´on = $ 2 715.79 Lo cual no parec´ıa tan mal en 2001, pero ya en 2010 era es mucho. Nota 8.16 Uno de los autores sostiene que la edad m´ınima de jubilaci´ on para el a˜ no 2030 rondar´ a los 75 a˜ nos (para los hombres). Tambi´en sostiene que las mujeres deber´ıan jubilarse a la misma edad que los hombres. Ejercicio 8.17 Al comprar una casa se nos ofrecen las siguientes alternativas: 1. Pago al contado hoy de $ 180 000. 2. 120 pagos mensuales de $ 3000 comenzando a pagar dentro de un mes. ¿Cu´ al es m´ as conveniente para nosotros si la tasa que podemos conseguir es una TEA del 9%? Ejercicio 8.18 Su hijo se va a la universidad. Cu´ anto debe depositarle en diciembre si ud. desea que ´el pueda extraer $ 850 cada mes durante el resto del a˜ no que viene. Suponer que el banco le paga una TNA del 7.5%. Ejercicio 8.19 Si su capacidad de ahorro es de $ 650 por mes y puede obtener una TEA 6.4%. ¿Cu´ antos meses le tomar´ a formar un capital de al menos $ 50 000?. Suponer que ud deposita el dinero a fin de mes. Ejercicio 8.20 Ud. desea comprar una moto que cuesta $ 15 000. Si ud. puede invertir sus ahorros a una TNA del 10%. ¿Cu´ anto deber´ a ahorrar por mes para poder comprar la moto en 18 meses? Suponer que ud deposita el dinero a fin de mes. Ejercicio 8.21 Ud ha estado ahorrando al final de cada a˜ no $ 3 000 durante los u ´ltimos 15 a˜ nos en un banco que le paga una TNA del 9.2%. ¿Cuanto podr´ a retirar mensualmente durante los pr´ oximos 5 a˜ nos? Ejercicio 8.22 Ud esta ahorrando $ 350 al final de cada mes para su jubilaci´ on. En este momento tiene 35 a˜ nos y espera jubilarse a los 65 a˜ nos. Despu´es de retirarse espera vivir hasta los 82 a˜ nos. ¿Cu´ anto podr´ a retirar mes a mes del banco una vez que se jubile si este le paga una TEA del 5%? Ejercicio 8.23 Como ud. es argentino, sabe que la jubilaci´ on que obtenga no ser´ a mucho. Por lo que decide que cuando cumpla 40 a˜ nos, depositar´ a $ 5 000 en una cuenta de ahorro y cada mes, agregar´ a unos $ 250 a la misma, hasta que cumpla 65 a˜ nos. Despu´es esperar´ a hasta 68 a˜ nos, y luego se dar´ a la gran vida por unos dos a˜ nos. ¿Cu´ anto deber´ a sacar mes a mes para que la vida loca le dure hasta los 70 a˜ nos? Suponer una TEM 0.49%. Ejercicio 8.24 Don M´ aximo puede ahorrar al final de cada mes entre 700 y 800 pesos. La tasa que puede conseguir es del 0,85% mensual. ¿Cu´ al es el monto acumulado del que dispondr´ a Don M´ aximo al cabo de 4 a˜ nos?
Poner m´as ejercicios, 2 o 3 de cada tipo y un par m´as de rentas relacionadas. Ejercicio 8.25
168
CHAPTER 8. RENTAS
8.4
Multiplicadores
Ahora estudiaremos un poco el comportamiento de los multiplicadores de valor actual y de valor final: −n n 1 − 1 + i(p) 1 + i(p) − 1 y i(p) i(p) Demostraremos que ambos son crecientes en n y mon´otonos en i(p) (el primero es decreciente y el segundo creciente). Recordemos que los multiplicadores son expresiones compactas de ciertas sumas (potencialemente largas) que nos dan el valor actual y el valor final de una renta vencida o pospagable unitaria (C = $ 1) de n t´erminos iniciada en el momento 0. De hecho el valor actual es −n n 1 − 1 + i(p) X 1 si i(p) 6= 0 k = i(p) (p) k=1 1 + i n si i(p) = 0 Adem´ as (usando L´Hostipal) 1 − 1 + i(p) i(p) i(p) →0
−n
lim
−n−1 =n = lim n 1 + i(p) i(p) →0
Una observaci´ on similar vale para el multiplicador de valor final n n k 1 + i(p) − 1 X si i(p) 6= 0 1 + i(p) = (p) i k=1 n si i(p) = 0 y similarmente lim i(p) →0
n n−1 1 + i(p) − 1 = lim n 1 + i(p) =n (p) i i(p) →0
De aqui en m´ as consideremos tasas positivas: i(p) > 0. Bajo este supuesto es evidente ( financieramente) que para cada n ≥ 2 1 − 1 + i(p) i(p)
−n
n 1 + i(p) − 1 1 si k (p) (p) i1 i2
entonces
Esto es f´ acil de ver en las correspondientes expresiones abiertas, pues el valor (p) (p) actual de cada uno de los t´erminos es menor a la tasa i2 que a la tasa i1 : para cada 1 ≤ k ≤ n 1 1 k > k (p) (p) 1 + i1 1 + i2 luego −n (p) 1 − 1 + i1 (p) i1
=
>
=
n X
1 k (p) k=1 1 + i1 n X
1 k (p) k=1 1 + i2 −n (p) 1 − 1 + i2 (p)
i2 Por otro lado, fijado n, el multiplicador n 1 + i(p) − 1 i(p)
(p)
(p)
es una funci´ on creciente estrictamente creciente de i(p) : si i1 < i2 n n (p) (p) 1 + i1 −1 1 + i2 −1 < (p) (p) i1 i2
entonces
170
CHAPTER 8. RENTAS (p)
pues el valor al momento n de cada uno de los t´erminos es mayor a la tasa i2 (p) que a la tasa i1 : para cada 1 ≤ k ≤ n
(p)
1 + i1
k
k (p) < 1 + i2
Similarmente, fijada i(p) , ambos multiplicadores son funciones estrictamente crecientes de n, pues simplemente sumamos m´as t´erminos.
8.5 8.5.1
M´ etodos n´ umericos M´ etodo de Newton-Raphson
El m´etodo de Newton-Raphson (o simplemente Newton) es uno de los m´etodos num´ericos m´ as efectivos para resolver el problema f (x) = 0 Este m´etodo funciona muy bien para funciones dos veces diferenciables. Sea p una ra´ız de la ecuaci´ on anterior: f (p) = 0 y supongamos que tenemos una aproximaci´on pk de la ra´ız p: pk ≈ p por lo que se puede esperar (por la continuidad de f ) que f (pk ) ≈ 0 Newton-Raphson nos dice que podemos obtener una mejor aproximaci´on partiendo de pk y realizando la siguiente iteraci´on: pk+1 = pk −
f (pk ) f 0 (pk )
(8.14)
Poner dibujo. Si bien ni la deducci´on, ni la convergencia del m´etodo son dif´ıciles de probar, remitimos al lector interesado a [?]. Para nuestro caso particular, dada una renta pospagable de valor actual o inicial V A, de n t´erminos de montante C, deseamos hallar la tasa p-per´ıodica i pactada (no usaremos i(p) pues recargar´ıamos de notaci´on las f´ormulas de la secci´ on las cuales de por si son un poco abtrusas).
Poner dibujo Ahora
−n
VA=C
1 − (1 + i) i
´ ´ 8.5. METODOS NUMERICOS
171
Para poder usar Newton, debemos colocar las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al definir −n
1 − (1 + i) −VA i El m´etodo de Newton requiere la derivada de f respecto de la tasa de inter´es h i −n−1 −n ni (1 + i) − 1 − (1 + i) df (i) f 0 (i) = =C di i2 f (i) = C
En la iteraci´ on necesitaremos el cociente f (i) /f 0 (i): −n
f (i) f 0 (i)
1 − (1 + i) −VA i h i −n−1 −n ni (1 + i) − 1 − (1 + i) C
= C
=
=
i2 VA −n 1 − (1 + i) − i i C −n −n−1 (1 + i) + ni (1 + i) −1 n V A (1 + i) n (1 + i) − 1 − i C i ni n 1+ − (1 + i) 1+i
Luego como la f´ ormula de iteraci´ on es ik+1 = ik −
f (ik ) , para k ≥ 0 f 0 (ik )
tenemos que ik+1 = 1 +
1+
n V A (1 + ik ) n ik − (1 + ik ) C ik nik n 1+ − (1 + ik ) 1 + ik
(8.15)
esta f´ ormula recursiva genera una sucesi´on que converge a la ra´ız p buscada. El criterio habitual de parada, es fijar un nivel de tolerancia ε, y parar cuando el factor de correcci´ on ff0(i(ikk)) es menor en valor absoluto que ε: n V A (1 + ik ) n 1 + ik − (1 + ik ) C |ik+1 − ik | = ik < ε nik n 1+ − (1 + ik ) 1 + ik Notaci´ on 8.26 Aqu´ı, v´ıa algebra obtenemos una f´ ormula que nos permite plantear la tabla de Newton-Raphson con s´ olo tres columnas. Generalmente la tabla de Newton-Raphson tiene cinco columnas: k, ik , fk , fk0 y ffk0 . La forma general es k la usada en rentas prepagables.
172
CHAPTER 8. RENTAS
Ejemplo 8.27 El Sr. Daniel tom´ o un pr´estamo por $ 20.000 a devolver en 24 cuotas mensuales consecutivas de $ 2.500. ¿Qu´e tasa mensual esta pagando? Utilizaremos Newton para hallar una aproximaci´on de la tasa mensual asociada a esta renta. Fijaremos un nivel de tolerancia ε = 0, 00000001 = 1 · 10−8 Es decir, pararemos cuando el t´ermino de correcci´on sea menor que ε. Para facilitar la presentaci´ on construimos la siguiente tabla: f (ik ) f 0 (ik ) 0, 052367249 0, 038181752 0, 014096162 0, 001376066 0, 000011411 7, 74082 · 10−10 −
k
ik
0 1 2 3 4 5
0, 01 0, 062367249 0, 100549001 0, 114645163 0, 116021229 0, 116032642
Donde 0, 062367249
=
0, 100549001
=
f (i0 ) = 0, 01 + 0, 052367249 f 0 (i0 ) f (i1 ) = 0, 062367249 + 0, 038181752 i2 = i1 − 0 f (i1 )
i1 = i0 −
y asi sucesivamente. La tasa mensual que buscamos es i = 0, 116032642 pues f (i5 ) −10 < 1 · 10−8 = ε f 0 (i5 ) = 7, 74082 · 10 Comprobemos que esta tasa funciona bien: −24
2.500
1 − (1 + 0, 116032642) 0, 116032642
= 20.000, 0000947
Un problema no trivial con el m´etodo de Newton es la elecci´on de una buena semilla i0 , tanto para garantizar la convergencia del mismo, como para reducir el n´ umero de interaciones. Un buen criterio ad hoc para nuestro problema es comprobar que la semilla i0 satisfaga −n
1 − (1 + i0 ) VA ≈ C i0
En el ejemplo del Sr. Daniel V A/C = 8, y si escogemos i0 = 0, 01, obtenemos −24
1 − (1 + 0, 01) 0, 01
= 21, 2433872576
´ ´ 8.5. METODOS NUMERICOS
173
mientras que si hubieramos elegido i0 = 0, 10 −24
1 − (1 + 0, 15) 0, 15
= 6, 43377144806
lo que nos indica i0 = 0, 10 es una mejor semilla para realizar las iteraciones. Usando esta semilla necesitamos 3 iteraciones para alcanzar el nivel de precisi´on deseado: f (ik ) f 0 (ik ) 0, 014546475 0, 001473075 1, 30917 · 10−5 1, 01861 · 10−9 −
k
ik
0 1 2 3
0, 1 0, 114546475 0, 116019550 0, 116032642
En el caso de tener como dato el valor final de la renta V F , las f´ormulas anteriores deben ser modificadas pues debemos partir de n
(1 + i) − 1 i Dada una renta pospagable de valor final V F , de n t´erminos de montante C, si deseamos hallar la tasa p-per´ıodica i para poder usar Newton, debemos colocar las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al definir VF =C
n
(1 + i) − 1 −VF i El m´etodo de Newton requiere la derivada de f f (i) = C
n−1
f 0 (i) = C
ni (1 + i)
En la iteraci´ on necesitaremos el cociente
n
− [(1 + i) − 1] i2
f (i) ermino f 0 (i) (t´
de correcci´on):
n
f (i) f 0 (i)
(1 + i) − 1 −VF i n−1 n ni (1 + i) − [(1 + i) − 1] C i2 VF n i (1 + i) − 1 − C i n−1 n ni (1 + i) − [(1 + i) − 1] VF n i (1 + i) − 1 − C n−1 ni 1 + ni (1 + i) − (1 + i) C
=
=
=
Por lo tanto la relaci´ on recursiva buscada es: VF n 1+ ik − (1 + i) C ik+1 = ik + n−1 n ik 1 + nik (1 + ik ) − (1 + ik )
(8.16)
174
CHAPTER 8. RENTAS
(para las personas de poca fe, en la nota ?? al final de esta secci´on est´a la correspondiente deducci´on) Ejemplo 8.28 El Sr. Ignacio desea ahorrar unos $ 14.000 para comprase un telivisor LED de 40” y un home-theater con Blue-ray. Para tal fin deposita a principio de cada mes $ 600. Si al cabo de 18 meses a juntado suficiente dinero, cual fue la tasa que obtuvo del banco. Lo primer que debemos hacer es hallar una semilla adecuada. En este caso buscamos que n (1 + i0 ) − 1 VF ≈ C i0 Ahora V F/C = 23, 3333333. Probamos con i0 = 0, 5: 18
(1 + 0, 5) 0, 5
−1
= 2.953, 78376
lo cual claramente est´ a muy lejos del valor buscado. Ahora, ¿tenemos que subir o bajar la tasa semilla para lograr una mejor aproximaci´on? La respuesta es n sencilla, debido a la monoton´ıa del multiplicador (1+i)i −1 , como la primera apr´ oximaci´ on fue por exceso, debemos probar con una tasa m´as peque˜ na. Veamos que ocurre con i0 = 0, 05 18
(1 + 0, 05) 0, 05
−1
= 28, 13238467
la cual es una mejor aproximaci´on inicial. Ahora usando la f´ormula iterativa (8.16) obtenemos la siguiente tabla f (ik ) f 0 (ik ) −0, 01828357 −0, 002077465 −2, 37185 · 10−5 −3, 04451 · 10−9 −
k
ik
0 1 2 3
0, 05 0, 03171643 0, 029638966 0, 029615247
donde hemos usado como criterio de parada ε = 1 · 10−8 . Comprobemos que esta tasa da una buena aproximaci´on de la tasa buscada en este problema: 18
600
(1 + 0, 029615247) 0, 029615247
−1
= 14.000, 0003835
Poner 6 a 10 ejercicios, una mitad con VA y la otra con VF
´ ´ 8.5. METODOS NUMERICOS
8.5.2
175
M´ etodo de la secante
El m´etodo de secante, es una variaci´on del m´etodo de Newton, que se aplica para resolver el problema f (x) = 0 cuando se desea evitar el uso de la derivada de la funci´on con la que vamos a trabajar (ya sea porque la derivada es compleja, ya sea porque no se sabe derivar). Por ejemplo, la derivada de una funci´on relativamente simple, suele ser compleja, por ejemplo d x2 cos x2 ln x3 = 2 cos x2 ln x3 − 2x3 sin x2 ln x3 + 3x cos x2 dx volviendo tedioso el uso de Newton-Raphson. El m´etodo de la secante se deriva a partir del m´etodo de Newton, sustituyendo la derivada por la aproximaci´on de esta que produce el uso de una secante
Poner dibujo... mirar Burden pag 59
Si bien en general su convergencia es m´as lenta que la del m´etodo de Newton (lo que se suele traducir en varios renglones m´as en las tablas correspondientes), funciona muy bien para funciones convexas continuas (como suele ser el caso en Matem´ aticas financieras). Sean pk y pk+1 aproximaciones de la ra´ız p del problema f (p) = 0. El M´etodo de la secante nos dice que podemos obtener una mejor aproximaci´on pk+2 y realizando la siguiente iteraci´on: pk+2 = pk+1 −
f (pk+1 ) (pk+1 − pk ) f (pk+1 ) − f (pk )
(8.17)
para k ≥ 0, la cual se puede obtener a partir de la grafica ?????????? o de la f´ ormula iterativa de Newton usando la aproximaci´on de la derivada f 0 (pk ) ≈
f (pk+1 ) − f (pk ) pk+1 − pk
Ni la deducci´ on, ni la convergencia del m´etodo son dif´ıciles de probar. Remitimos al lector interesado a [?]. A diferencia del Newton, necesitamos dos semillas para comezar la iteraci´on, y la elecci´ on de un buen par de semillas i0 e i1 , garantiza la convergencia del m´etodo y reduce el n´ umero de interaciones. Para nuestro caso particular, dada una renta pospagable o vencida de valor actual V A, y n t´erminos de montante C, deseamos hallar la tasa p-per´ıodica i pactada.
Poner dibujo Ahora
−n
VA=C
1 − (1 + i) i
176
CHAPTER 8. RENTAS
Para poder usar el m´etodo de la secante, debemos colocar las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al definir −n
f (i) = C
1 − (1 + i) i
−VA
Ejemplo 8.29 El Sr. Daniel tom´ o un pr´estamo por $ 20.000 a devolver en 24 cuotas mensuales consecutivas de $ 2.500. ¿Qu´e tasa mensual esta pagando? Utilizaremos el m´etodo de la secante para hallar una aproximaci´on de la tasa mensual asociada a esta renta. Fijaremos un nivel de tolerancia ε = 0.00000001 = 1 · 10−8 Para hallar un par de semillas adecuadas el mismo criterio ad hoc que usamos en Newton funciona: comprobar que la semilla i0 satisfaga −n
1 − (1 + i0 ) VA ≈ C i0
Como V A/C = 8, eligiendo i0 = 0, 10, tenemos que 1 − (1 + 0, 1) 0, 1
−24
≈ 8, 985
lo que nos indica i0 = 0, 10 una buena semilla para realizar las iteraciones, pero necesitamos una segunda semilla ¿C´omo podemos escogerla? Una buena opci´on es tomar la segunda semilla como una correcci´on de la primera en la direcci´on que corresponde, en este caso, i0 = 0, 10 nos da 8, 985 (aproximadamente), la segunda ra´ız deber´ıa movernos hacia 8, como el multiplicador 1 − (1 + i) i
−n
es una funci´ on decreciente de i (si n se mantiene constante), la segunda semilla deber´ıa ser mayor a 0, 10, por ejemplo, podemos tomar i1 = 0, 11. Usando estas semillas necesitamos 5 iteraciones para alcanzar el nivel de precisi´on deseado:
k
ik
f (ik )
0 1 2 3 4 5
0, 1 0, 11 0, 115468622 0, 116012535 0, 116032575 0, 116032643
2461, 86005 870, 3414445 78, 73376828 2, 797850786 0, 009371666 1, 11977 · 10−6
f (ik ) − f (ik−1 ) −1591, 518606 −791, 6076762 −75, 9359175 −2, 78847912 −0, 009370546
Por lo que la tasa buscada es i(12) = 0, 116032643
f (ik ) (ik − ik−1 ) f (ik ) − f (ik−1 ) − −0, 005468622 −0, 000543912 −2, 00404 · 10−5 −6, 73528 · 10−8 −8, 04861 · 10−12
´ ´ 8.5. METODOS NUMERICOS
177
El m´etodo de la secante funciona igual de bien en los casos donde deseamos hallar la tasa en una relaci´ on de valor final: n
VF =C
(1 + i) − 1 i
Dada una renta pospagable de valor final V F , y n t´erminos de montante C, si deseamos hallar la tasa p-per´ıodica i que satisface la igualdad anterior, colocamos las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al definir n
g (i) = C
(1 + i) − 1 −VF i
y aplicamos el m´etodo de la secante a g ik = ik−1 −
g (ik−1 ) (ik−1 − ik−2 ) g (ik−1 ) − g (ik−2 )
Ejemplo 8.30 El Sr. Ignacio desea ahorrar unos $ 14.000 para comprase un telivisor LED de 40” y un home-theater con Blue-ray. Para tal fin deposita a principio de cada mes $ 600. Si al cabo de 18 meses a juntado suficiente dinero, cual fue la tasa que obtuvo del banco. Lo primer que debemos hacer es hallar un par de semillas adecuadas. En este caso buscamos que n VF (1 + i) − 1 ≈ C i Ahora V F/C = 23, 3333333. Veamos que ocurre con i0 = 0, 05 18
(1 + 0, 05) 0, 05
−1
= 28, 13238467 n
Para hallar la segunda semilla por la monoton´ıa del multiplicador (1+i)i −1 (el cual es creciente en i, si mantenemos constante n), como la primera apr´oximaci´on fue por exceso, debemos probar con una tasa m´as peque˜ na. La cual posiblemente nos de una mejor aproximaci´ on, por ejemplo i1 = 0, 02. Ahora usando la f´ormula iterativa que el m´etodo de la secante nos da, obtenemos la siguiente tabla:
k
ik
g (ik )
g (ik ) − g (ik−1 )
g (ik ) (ik − ik−1 ) g (ik ) − f (ik−1 )
0 1 2 3 4 5
0, 05 0, 02 0, 028575894 0, 029670281 0, 029614934 0, 029615244
2879, 430804 −1152, 612573 −130, 4412944 6, 948273059 −0, 039127869 −1, 16511 · 10−5
−4032, 043377 1022, 171278 137, 3895674 −6, 987400928 0, 039116217
−0, 008575894 −0, 001094387 5, 5347 · 10−5 −3, 09931 · 10−7 −9, 23156 · 10−11
178
CHAPTER 8. RENTAS
donde hemos usado como criterio de parada ε = 1 · 10−8 . Comprobemos que esta tasa es una buena aproximaci´on de la tasa buscada en este problema: 18
600
(1 + 0, 029615244) 0, 029615244
−1
= 14.000, 0000051
Poner 6 a 10 ejercicios, una mitad con VA y la otra con VF..... o decir, rehacer los ejercicios de Newton Raphson 8.6
Rentas prepagables
Las rentas vencidas (pospagables) no describen de manera satisfactoria el flujo de fondos que originan operaciones financieras como los alquileres y los seguros. Se paga el alquiler y luego se ocupa el inmueble. El valor actual de la renta resulta natural calcularlo al momento que se impuso el el primer capital, que es el momento en el cual se inicia la operci´on. Por otro lado, el valor final de la renta debe ser calculado un per´ıodo despu´es del pago del u ´ltimo t´ermino. La propiedad no esta disponible (para el propietario) sino hasta despu´es de un per´ıodo del momento del pago del u ´ltimo t´ermino. Con los seguros ocurre lo mismo: el compromiso comienza al momento de realizarse el primer pago y se extiende un per´ıodo m´as alla del u ´ltimo pago. En ambos casos podemos asumir que las imposiciones se realizan al comienzo de cada per´ıodo, de ahi el nombre de rentas prepagables. En latinoam´erica se le suele llamar rentas adelantadas, nosotros preferimos llamar as´ı a otro tipo de rentas, en esto seguimos el uso habitual en Espa˜ na.
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Dada una renta prepagable constante de de n t´erminos de montante C disponibles a los momentos 0, 1, 2, . . . , n − 1 (p-periodos) y una tasa p-per´ıodica i(p) es claro que V Aprepagable (0) = V Apospagable (−1) 1 + i(p) Por lo tanto 1 − 1 + i(p) V Aprepagable (0) = C i(p)
−n
1 + i(p)
(8.18)
Mientras que el valor final es V Fprepagable (n) = V Fpostpagable (n − 1) 1 + i(p) Por lo tanto n 1 + i(p) − 1 (p) V Fprepagable (n) = C 1 + i i(p)
(8.19)
8.6. RENTAS PREPAGABLES
179
Ejemplo 8.31 Una empresa de seguros nos cobra una prima de $ 185 por mes por un seguro contra todo riego para automotores. Sabiendo el valor actual de un a˜ no de seguro se corresponde con el 5% del valor del veh´ıculo, calcular el precio del veh´ıculo. Suponer una TNA del 8,3%.
poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Para hallar el valor del veh´ıculo necesitamos el valor actual de la renta constante prepagable
V Aprepagable (0)
0, 083 1− 1+ 12 = 185 0, 083 12 = 2.108, 75
−12 0, 083 1+ 12
Por lo tanto el autom´ ovil vale $ 42.174, 95 = 20 · 2.108, 75 En general los esquemas de ahorro tambi´en se adecuan al esquema de rentas prepagables ya que la mayor´ıa de la gente ahorra a principio de mes. Ejemplo 8.32 La Sra. Agustina, deposita a principio de mes $ 350 en una cuenta de ahorro que paga una TEM del 0,5%. Hace ya 4 a˜ nos y 5 meses que la Sra. Agustina comenz´ o a ahorrar. ¿Cu´ al es el monto del que ahora dispone?
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!! No hay m´ as que aplicar la f´ ormula (8.19) con n = 4 · 12 + 5 = 53 53
V Fprepagable (53) = 350
(1 + 0, 005) 0, 005
−1
(1 + 0, 005) = 21.285, 8420266
La Sra. Agustina dispone de $ 21.285,84. Ejemplo 8.33 Ud. ha empezado a ahorrar $ 1.450 cada mes para comprarse un dpto. que cuesta unos $ 145.000. En este momento tiene 40 a˜ nos, cuantos a˜ nos tendr´ a cuando pueda comprar el dpto. Suponga que puede obtener TEA del 0,5%. ¿Y con una TEM del 0,8%? En este caso, buscamos un n que nos garantize que el valor final de la renta no sea inferior a $ 145.000: debemos despejar n de la f´ormula (8.19) n 1 + i(p) − 1 V Fprepagable (n) = C 1 + i(p) (p) i n V Fprepagable (n) i(p) (p) + 1 = 1 + i C 1 + i(p)
180
CHAPTER 8. RENTAS
de donde log V Fprepagable (n) i(p) + C 1 + i(p) − log C 1 + i(p) n= log 1 + i(p) Reemplazando V Fprepagable (n) por $ 145.000, y el signo = por ≥ n≥
log [145.000 · 0, 005 + 1.4501 + 0, 005] − log 1.450 (1 + 0, 005) = 80, 9628061817 log (1 + 0, 005)
por lo que al cabo de 6 a˜ nos y 9 meses dispondr´a de los fondos necesarios (en realidad tendr´ a $ 145.080). Por otro lado si consigue una TEM del 0,7% necesitar´ a n≥
log [145.000 · 0, 007 + 1.450 (1 + 0, 007)] − log 1.450 (1 + 0, 007) = 75, 65812128 log (1 + 0, 007)
Necesitar´ a 6 a˜ nos y 4 meses para reunir los fondos necesarios. Nota 8.34 Para hacer un an´ alisis a largo plazo necesitamos introducir de una u otra forma los efectos de la inflaci´ on. Los modelos de rentas variables (sobre todo las variables en forma geom´etrica) ser´ an el marco adecuado para incluir la inflaci´ on. Ejemplo 8.35 El valor actual de una renta constante prepagable es de $ 20.000. Si la renta constaba de 24 pagos mensuales de $ 3.500 ¿Cu´ al es la tasa aplicada a la operaci´ on? En general, suele ser imposible despejar i(p) de las f´ormulas (8.18) y (8.19), por lo que debemos volver a recurrir a Newton-Raphson. En este caso, a partir de (8.18) debemos obtener una funci´on de i (usaremos i en lugar de i(p) ) cuyas ra´ıces nos den la soluci´on del problema. Esto se logra definiendo −n
1 − (1 + i) (1 + i) − V A i El esquema iterativo de Newton-Raphson requiere de la derivada de la funci´on g: h i −n−1 −n −n ni (1 + i) − 1 − (1 + i) 1 − (1 + i) dg (i) = C + C (1 + i) di i i2 h i C −n = 2 (1 + i) (ni + 1) − 1 i y el esquema iterativo toma la forma g (i) = C
g (ik ) , para k ≥ 0 g 0 (ik )
ik+1
= ik −
ik+1
1 − (1 + ik ) (1 + ik ) − V A ik = ik − h i C −n (1 + i ) (ni + 1) − 1 k k i2k
−n
C
(8.20)
8.6. RENTAS PREPAGABLES
181
La semilla adecuada para iniciar la iteraci´on es una i tal que VA 1 − (1 + i) ≈ C i
−n
(1 + i)
Sabemos que 20.000/3.500 ≈ 5, 7, comencemos con i = 0.5 tenemos 1 − (1 + 0, 5) 0, 5
−24
(1 + 0, 5) = 2.9998
Como este valor esta por debajo de 5,7 podemos obtener una mejor semilla usando una tasa m´ as chica, por ejemplo tomando i = 0, 2 1 − (1 + 0, 2) 0, 2
−24
(1 + 0, 2) = 5, 9245
Fijando un nivel de tolerancia ε = 1 · 10−5 k 0 1 2 3
ik 0, 2 0, 209071425 0, 209447107 0, 209447708
g (ik ) 735, 8385805 28, 18093889 0, 044909815
g 0 (ik ) −81116, 09903 −75012, 64964 −74773, 74137
g (ik ) /g 0 (ik ) −0, 009071425 −0, 000375682 −6, 00609 · 107
La tasa buscada parece ser i = 0, 209447708, veamos que tan buena aproximaci´ on es: −24
3.500
1 − (1 + 0, 209447708) 0, 209447708
(1 + 0, 209447708) = 19.999, 99983
(La semilla i0 = 0, 5 requiere de 11 renglones en la tabla anterior para hallar esta misma tasa). Ejemplo 8.36 El valor final de una renta constante prepagable es de $ 2.000.000. Si la renta constaba de 24 pagos mensuales de $ 2.000 ¿Cu´ al es la tasa aplicada en la operaci´ on? En este caso, a partir de (8.19) debemos obtener una funci´on de i cuyas raices nos den la soluci´ on del problema. Esto se logra definiendo n
g (i) = C
(1 + i) − 1 (1 + i) − V F i
El esquema iterativo de Newton-Raphson requiere de la derivada de la funci´on dg (i) di
= C =
1 − (1 + i) i
−n
n−1
+ C (1 + i)
C n [(1 + i) (ni − 1) + 1] i2
ni (1 + i)
n
− [(1 + i) − 1] i2
182
CHAPTER 8. RENTAS
y el esquema iterativo toma la forma −n
C ik+1 = ik −
1 − (1 + ik ) (1 + ik ) − V F ik C n [(1 + ik ) (nik − 1) + 1] i2k
(8.21)
La semilla adecuada para iniciar la iteraci´on es una i tal que n
VF (1 + i) − 1 ≈ (1 + i) C i Sabemos que 2.000.000/2.000 = 1000, comencemos con i = 0.5 tenemos 24
(1 + 0, 5) 0, 5
−1
(1 + 0, 5) ≈ 50499
Como este valor esta por arriba de 400, podemos obtener una mejor semilla usando una tasa m´ as chica, por ejemplo tomando i = 0, 25 24
(1 + 0, 25) 0, 25
(1 + 0, 25) ≈ 1053
Fijando un nivel de tolerancia ε = 1 · 10−5 k 0 1 2 3
ik 0, 25 0, 246827725 0, 24674453 0, 246744475
g (ik ) 107582, 3681 2681, 905985 1, 783717507
g 0 (ik ) 33913317, 89 32236330, 33 32193459, 29
g (ik ) /g 0 (ik ) 0, 003172275 8, 31951 · 10−5 5, 54062 · 10−8
La tasa buscada parece ser i = 0, 246744475. Veamos que tan buena aproximaci´ on es: 24
2.000
(1 + 0, 246744475) 0, 246744475
−1
(1 + 0, 246744475) = 2.000.008, 86852
(La semilla i0 = 0, 5 requiere de 8 renglones en la tabla anterior para hallar esta misma tasa). Ejercicio 8.37 Un empresa que alquila maquinaria para movimientos de suelo desea saber cuanto debe cobrar al mes como m´ınimo para amortizar el costo de adquisici´ on de una m´ aquina en 5 a˜ nos. La misma cost´ o $ 300.000. Suponer una TEM del 0,7%. Ejercicio 8.38 Si en el problema anterior decidimos tener en cuenta los gastos de mantenimiento y operaci´ on, los cuales ascienden a $ 50.000 al a˜ no ¿Cu´ anto debe cobrar ahora como m´ınimo?
8.7. RENTAS PERPETUAS
183
Ejercicio 8.39 En cuanto tiempo amortizamos la compra de un cami´ on que cost´ o $ 650.000 si lo alquilamos a $ 3.500 por mes. Suponer una TEA del 10,7%.
Poner m´as ejercicios!!! y con al menos 4 sobre tasas (dos para usar VA y dos para usar VF) Ejercicio 8.40
8.7
Rentas perpetuas
Hay un n´ umero de situaciones que generan un flujo infinito de fondos: 1. Dep´ ositar una suma de dinero, y retirar solamente los intereses generados. 2. Los presupuestos de ciertas agencias del estado. 3. Los dividendos provenientes de acciones de una compa˜ nia. 4. Las rentas inmobiliarias (los ingresos que produce una propiedad al ser alquilada), etc. Llamaremos rentas perpetua a toda renta que conste de una sucesi´on infinita de t´erminos.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Este tipo de rentas no tiene un valor final (no tiene mucho sentido hablar de una cantidad infinita de dinero disponible m´as alla del fin de los tiempos), pero es posible calcular su valor actual (si la tasa es positiva, ya que el aporte de los t´erminos muy lejanos tiende a cero).
8.7.1
Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)
Analizaremos el caso de una renta constante perpetua vencida: el compromiso comienza en el momento 0 (cero) y no tiene fecha de finalizaci´on, los t´erminos se imponen a per´ıodo vencido (t1 = 1), y la renta esta sujeta a una tasa p-per´ıodica i(p) (dimensionalmente compatible con la unidad temporal usada para medir los per´ıodos entre imposiciones). Es claro que V A (0)
=
∞ X k=1 1 ∞ X
= C
C + i(p)
k
1
k 1 + i(p) 1 1 = C (p) 1 1+i 1− 1 + i(p) C = (p) i k=1
184
CHAPTER 8. RENTAS
Esta es la f´ ormula fundamental de rentas perpetuas V A (0) =
C i(p)
(8.22)
Nota 8.41 En la deducci´ on anterior hemos usado la conocida f´ ormula para la suma de una serie geom´etrica: ∞ X
ark−1 = a
k=1
1 si |r| < 1 1−r
con 0 0 esto no ocurre. −n rn 1 + i(p) Ejemplo 8.86 (Continuaci´ on del ejemplo (??)) Como acabamos de ver, en 12 meses el Sr. Ignacio no alcanza a ahorrar lo necesario para comprarse la PS3. ¿Cu´ antos meses deber´ıa durar este esquema de pagos para que el Sr. Ignacio pueda comprarse su preciada PS3? En este caso buscamos un n tal que rn − 1 + i(p) C r−i−1
n ≥ 3200
de donde
Ejemplo 8.87 (Continuaci´ on del ejemplo (8.59)) De cu´ anto debe ser el t´ermino inicial para que el valor actual de la renta sea del $ 3 600. En este caso la incognita es C (recordar C =?, TEM 1.2 %, b = 40, n = 12 y V A (0) = 3600) 3600
=
V A (0)
=
1 − 1 + i(p) C i(p)
=
1 − (1 + 0.012) C 0.012
−n +
b i(p) 1 + i(p)
−12
=
+
n−1
! n−1 1 + i(p) −1 n−1 − i(p) 1 + i(p) 12−1
40
0.012 (1 + 0.012) 11.1141448677 · C + 2381.9390949
12−1
(1 + 0.012) 0.012
−1
12 − 1 − 1 + 0.012
Por lo tanto C = 109.595557697 Lo que implica que el Sr. Daniel pagarle al Sr. Ignacio $ 109.60 el primer mes, y luego ir incrementando en $ 40 cada cuota hasta la cuota 12. Ejemplo 8.88 (Continuaci´ on del ejemplo (8.59)) Al 5to mes, al Sr. Ignacio le ofrecen una PS3 en $ 2 150, ¿Cuando podr´ a comprar la PS3?
!
208
CHAPTER 8. RENTAS
La incognita ahora es el tiempo n (recordar C = 100, TEM 1.2 %, b = 40, n =? y V F (n) ≥ 2150), necesario para juntar al menos $ 2 150. Como ya dijimos, no se puede despejar n de las f´ormulas (8.26) y (8.30). Por lo que aplicaremos Newton-Raphson para ! n−1 1 + i(p) −1 n−1 − − V F (n) i(p) 1 + i(p)
n 1 + i(p) − 1 1 + i(p) + b (p) f (n) = C (p) i i Por lo tanto 0
f (n) =
b C + 2 (p) i i(p)
!
1 + i(p)
n
b ln 1 + i(p) − (p) i
Para aplicar Newton-Raphson completamos la siguiente tabla, donde hemos establecido como criterio de parada ε = 0.01, y una buena semilla para la ra´ız puede ser obtenida a partir del hecho que n X
a + b (k − 1)
=
k=1
an + b
n X
(k − 1)
k=1
=
(a − b) n + b
n (n + 1) 2
luego 2150 ≤ (100 − 40) n + 40
n (n + 1) 2
la ra´ız k
nk
f (nk )
f 0 (nk )
nk+1 = nk −
f (nk ) f 0 (nk )
|nk − nk+1 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ejemplo 8.89 Un programa de televisi´ on anuncia un premio $ 300 000, consistente un sueldo fijo a mes vencido de $ 2 500 mensuales durante 10 a˜ nos. ¿Realmente el premio consiste de $ 300 000?. Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0.85% mensual, y la inflaci´ on mensual estimada es del 0.7%. mensual.
´ GEOMETRICA ´ 8.11. RENTAS VARIABLES EN PROGRESION
209
Como antes s´ olo debemos calcular el valor actual del esquema de sueldos. Debemos usar la f´ ormula (8.36) ya que la inflaci´on actua como un factor de actualizaci´ on (ver nota ([?]) : −120
V A (0) = 2500
(1 + 0.007)
1 1+0.007
−120
(1 + 0.0085) − 0.0085 − 1
−1
= 136427.76
Al tener en cuenta la inflaci´ on, inclusive es mejor que nos den la “mitad” del premio en efectivo que en 120 mensualidades (suponiendo una tasa de inflaci´on anual constante del 8,7 %, si la inflaci´on es mayor, el valor actual del premio inclusive ser´ a menor. Observe que si hubieramos usado la tasa de inflaci´on como una tasa de descuento, hubieramos cometido un error, pero uno peque˜ no: 120
V A (0) = 2500
−120
(1 − 0.007) (1 + 0.0085) −0.007 − 0.0085
−1
= 136147.74
Por eso a veces en estos tipos de problemas se suele pensar la tasa de inflaci´on como una tasa de descuento (este error disminuye a medida que aumentamos la frecuencia de capitalizaci´ on ¿Por qu´e?). Ejemplo 8.90 Ud. empieza a ahorrar unos $ 450 por mes, pero como esta conciente de la inflaci´ on, ud. incrementa cada mes lo ahorrado en un 1%. Suponiendo una TEM del 1.1%, ¿Cu´ anto tendr´ a ahorrado en dos 2 a˜ nos? S´ olo debemos calcular el valor final de una renta geom´etrica 24
V F (24) = 450
24
(1 + 0.01) − (1 + 0.011) 0.01 − 0.011
= 13733.08263
Ejemplo 8.91 Si la inflaci´ on anual estimada para los pr´ oximos 2 a˜ nos es del 9.5% anual, ¿Cu´ al es el valor real (en pesos de hoy) de los $ 11 063.86 que tendremos en dos a˜ nos? Simplemente hay que deflactar los $ 11 063.86 dos a˜ nos a la tasa anual de inflaci´ on 11063.86 2 = 9927.38 (1 + 0.095) i.e., con los $ 11 063.86 podr´ a comprar dentro de dos a˜ nos, m´as o menos lo mismo que podr´ıa aquirir hoy con $ 9 927.38. 0.007591534 450 1 + 0.007591534 : 11355. : 10080.0 : −77. 623
24 24 1+0.001 − (1 + 0.011) 1+0.007591534 1+0.001 1+0.007591534 − 0.011 − 1
210
CHAPTER 8. RENTAS
Ejercicio 8.92 Ud comienza ahorrando $ 1, al siguiente mes ahorra $ 2, al siguiente $ 4, y asi sucesivamente. Si Usted gana $ 4 500 por mes, ¿cu´ antos meses pasar´ an hasta que el nivel de ahorro requerido por este esquema supere sus ingresos? Si le pagan una TNA del 13.3 % ¿Cu´ anto habr´ a ahorrado hasta ese momento? Ejercicio 8.93 Cu´ anto debe depositar en diciembre para que su hijo pueda retirar a principios de enero $ 650, pero como estima que este a˜ no habr´ a una inflaci´ on de al menos un 1% mensual, ud. desea que al siguiente mes pueda retirar un 1.5% m´ as, y as´ı sucesiamente hasta fin de a˜ no. Suponer que le pagan una TEM del 0.85%. Ejercicio 8.94 Suponga que usted tiene un contrato por 5 a˜ nos con una empresa, ´esta le ofrece tres opciones: 60 sueldos mensuales de $ 8 000, o 5 pagos anuales de $ 90 000 comenzando hoy, o un u ´nico pago de $ 300 000 hoy. Ud estima que la inflaci´ on promedio de los pr´ oximos 5 a˜ nos ser´ a del 8% anual, y que puede obtener una TEA del 10.5% para sus ahorros. Sabiendo esto, que esquema de pago le resulta m´ as atractivo. Ejercicio 8.95 Ud. empieza a ahorrar unos $ 350 por mes, pero como esta conciente de la inflaci´ on, ud. incrementa cada mes lo ahorrado en un 0.5%. Adem´ as al comienzo de cada a˜ no aumenta en $ 100 la cantidad ahorrada a diciembre del a˜ no anterior. Suponiendo una TEM del 0.9%, ¿Cu´ an
Ejercicio 8.96 }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} tendr´ a ahorrado en 5 a˜ nos?
8.12
Inflaci´ on: su efecto sobre rentas
En esta secci´ on estudiaremos el efecto de la inflaci´on sobre las rentas. Caracterizaremos el efecto de la inflaci´on sobre el valor actual de una renta, y estudiaremos como dise˜ nar una renta constante en poder adquisitivo. Comenzaremos con el efecto de la inflaci´on sobre el valor actual de una renta vencida constante de n t´erminos. Dada una operaci´ on financiera con un horizonte temporal de t a˜ nos (tiempo que resta para la finanlizaci´on de la misma). Supongamos que disponemos de una estimaci´ on de la inflaci´on para los pr´oximos t a˜ nos, dada por la una tasa p-per´ıodica de inflaci´ on esperada π (p) . La inflaci´on socaba el poder adquisitivo del dinero, por lo tanto, ajusta hacia abajo el valor actual de cualquier flujo de fondos futuro. La forma de realizar esta correcci´on es expresar todos los capitales en pesos constantes (al d´ıa de hoy). Como ya vimos, el valor en pesos de hoy (pesos constantes) de una capital C disponible dentro de t a˜ nos es C 1 + π (p)
pt
´ SU EFECTO SOBRE RENTAS 8.12. INFLACION:
211
Por lo que el flujo de fondos de una renta vencida constante de n t´erminos de capital C se traduce a una renta geom´etrica cuyos terminos son de la forma C 1 + π (p)
k , con k = 1, . . . , n
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! De aqui que el valor actual de la renta sujeta a una tasa efectiva i(p) y a una inflaci´ on esperada π (p) se puede calcular usando (8.36) −n 1 + π (p) 1 + i(p) −1 V A (0) = C −1 (p) (p) 1+π −i −1 Ejemplo 8.97 Analicamos de nuevo el ejemplo del programa de televisi´ on, agregando la inflaci´ on esperada para los pr´ oximos 10 a˜ nos (ejemplo 8.6): Un programa de televisi´ on anuncia un premio $ 300.000, consistente un sueldo fijo a mes vencido de $ 2.500 mensuales durante 10 a˜ nos. ¿Realmente el premio consiste de $ 300.000? Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0,85% mensual y ud. estima que la inflaci´ on mensual de los pr´ oximos 10 a˜ nos sera del 0,75% mensual, que prefiere, el esquema de sueldos o $ 200.000 en efectivo (en caso de ganar el concurso correspondiente). Habiamos calculado que el valor actual de la renta de sueldos considerando la tasa del 0,85% mensual y sin tener en cuenta la inflaci´on era de $ 187.602,16. Ahora veamos la correcci´ on a la baja que debemos hacer al tener encuenta la inflaci´ on: −120
V A(hoy) = 2.500
[(1 + 0, 0075) (1 + 0, 0085)] (1 + 0, 0075)
−1
−1
− 0, 0085 − 1
= $133.632, 619721
Esto nos dice que el premio de “$ 300.000” en realidad hoy vale un aproximado de $ 13.3632,6, y por lo tanto si hoy le ofrecen $ 200.000 en efectivo deber´ıa aceptarlos gustoso. La estimaci´ on de la inflaci´ on futura o esperada esta fuera del alcance de este libro, y en general la supondremos dada (aunque advertimos al lector que esta no es una tarea menor). Nota 8.98 El an´ alisis anterior es bastante incompleto, cada vez que se trabaja con una variable macroecon´ omica futura (como la inflaci´ on) se debe hacer al menos lo que se conoce como an´ alisis de sensibilidad. Adem´ as estimar la inflaci´ on es un arte dif´ıcil, y hasta los mejores analistas suelen cometer errores groseros. En materia de predicci´ on del comportamiento de varias variables macroecon´ omicas a´ un nos falta un largo camino por recorrer y las t´ecnicas actuales no son del todo satisfactorias. De todas formas informamos al lector que podr´ a encontrar algunas t´ecnicas para realizar estimaciones para la inflaci´ on futura y an´ alisis de sensibilidad en libros (o cursos) de evaluaci´ on de proyectos de inversi´ on, econometr´ıa, o finanzas.
212
CHAPTER 8. RENTAS
Ejemplo 8.99 El gobierno dona a una entidad sin fines de lucro $ 60.000, en tres cuotas mensuales y consecutivas, depositando la primera a principios del mes que viene. Deseamos estimar el valor actual de la misma, estimando que la inflaci´ on mensual ser´ a π 1 2, 7% π 2 1, 8% π 3 3, 1% y que la entidad puede obtener una TEM del 2,4% por sus dep´ ositos. Hay tres formas de resolver este problema, cada una dar´a un resultado diferente, pero como hablamos de estimaciones, no hay razones para preferir uno al otro. El primer m´etodo consiste simplemente de sumar el valor actualizado y deflactado de cada t´ermino
V A (0)
=
20.00 20.000 20.000 + + (1 + 0, 024) (1 + 0, 027) (1 + 0, 024)2 (1 + 0, 027) (1 + 0, 018) (1 + 0, 024)3 (1 + 0, 027) ( 19.474, 2 19.129, 86 18554, 66 + + 3 (1 + 0, 024) (1 + 0, 024)2 (1 + 0, 024) 19.017, 77 + 18.243, 66 + 17.280, 38
=
54.541, 80
= =
El segundo m´etodo consiste en tomar una inflaci´on mensual promedio (12)
π media =
0, 027 + 0, 018 + 0, 031 = 0, 0253333333 3
para usar luego la f´ ormula de valor actual geom´etrico V A (0)
= =
20.000
[(1 + 0, 0253333333) (1 + 0, 024)]
(1 + 0, 0253333333) 55.850, 88
−1
−3
−1
− 0, 024 − 1
Un tercer m´etodo consiste en hallar la tasa mensual equivalente, i.e., la que satisface 3 1 + π (12) = (1 + 0, 027) (1 + 0, 018) (1 + 0, 031) de donde π (12)
=
p 3 1, 077896066 − 1
=
0, 02531889851
y volver a usar la f´ ormula de valor actual geom´etrico V A (0)
= =
20.000
[(1 + 0, 02531889851) (1 + 0, 024)]
(1 + 0, 02531889851) 55.851, 64
−1
−3
−1
− 0, 024 − 1
´ SU EFECTO SOBRE RENTAS 8.12. INFLACION:
213
En cualquier caso, podemos decir que el valor actual de esta renta, considerando la inflaci´ on esperada, ronda los $ 55.000. Ahora veremos como dise˜ nar una renta con poder adquisitivo constante. Supongamos que deseamos una renta (vencida) de n t´erminos, cada uno de los cuales debe tener el mismo poder adquisitivo que un capital C hoy. Para hacer esto necesitamos tener una estimaci´on de la inflaci´on a lo largo del horizonte temporal de la renta.
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Si estimamos la inflaci´ on en π (p) la renta deber´a tener t´erminos forma k C 1 + π (p) para 1 ≤ k ≤ n pues el valor al d´ıas de hoy de cada uno de estos t´erminos es C. Por lo que podemos aplicar la teor´ıa de rentas geom´etricas, donde la f´ormula que mejor se ajusta es la (8.34) n −n 1 + π (p) 1 + i(p) −1 V A (0) = C (p) (p) π −i Ejemplo 8.100 Cu´ anto debemos depositar hoy, principios de diciembre, para que nuestro hijo pueda retirar a principios de cada mes el a˜ no que viene el equivalente a $ 850 de hoy, si usted estima que durante el pr´ oximo a˜ no la inflaci´ on mensual rondr´ a en el 3.5%. La tasa que podemos obtener por nuestros ahorros es una TEM del 1.5%. El flujo de fondos de esta renta es
poner dibujo!!!!!!!!!!!! Para averiguar cuanto debemos depositar debemos calcular el valor actual de la misma, para lo cual no hay m´as que aplicar la f´ormula que acabamos de desarrollar 12
V A (0)
= =
−12
(1 + 0, 035) (1 + 0, 015) 0, 035 − 0, 015 11.213, 1498
850
−1
Por lo que debemos depositar a principios de diciembre aproximadamente $ 11.213 para que nuestro v´ astago tenga una nivel de vida constante (equivalente a $ 850 de hoy) durante el a˜ no que viene (¡m´as vale que apruebe todos los parciales!). Nota 8.101 Unas palabras de advertencia: hoy por hoy, con el desarrollo que tiene la econom´ıa, estimar la inflaci´ on futura (a largo plazo) es virtualmente imposible. Basta chequear los pron´ osticos contra la inflaci´ on medida efectivamente. Por lo que se debe ser muy cuidadoso con los an´ alisis a largo plazo, y de una u otra forma, hay que incorporar el riesgo. La parte de la matem´ atica financiera que se ocupa del riesgo, ser´ a motivo de un segundo volumen dentro de muchos, muchos a˜ nos.
214
CHAPTER 8. RENTAS
8.13
Otros tipos de rentas.
8.14
Rentas a capitalizaci´ on continua
En esta secci´ on desarrollaremos f´ormulas para manejar rentas a capitalizaci´on continua. Comencemos con la las rentas pospagables o vencidas. El valor actual de una renta constante vencida (o pospagable) de n t´erminos de monto C a una tasa nominal continua J que comienza en el momento 0 y t´ermina en el momento n, midiendo el tiempo en p-per´ıodos es
poner dibujo V A (0) =
n X
n
k
Ce−J p = C
1 − e−J p J
ep − 1
k=1
Similarmente
n
V F (n) = V A (0) eJt = C
eJ p − 1 J
ep − 1
poner un par de ejemplos Ejercicio 8.103 poner unos ejercicios Ejemplo 8.102
El valor actual de una renta prepagable constante de n t´erminos de montante C disponibles a los momentos 0, 1, 2, . . . , n − 1 (p-per´ıodos) a una tasa nominal continua J es n 1 − e−J p Jp e V A (0)prepagable = C J ep − 1 Mientras que el valor final es n
V F (n)prepagable = C
eJ p − 1 J p
J
ep
e −1
poner dibujo!!!!!!!!!!!!! poner un par de ejemplos Ejercicio 8.105 poner unos ejercicios Ejemplo 8.104
El valor actual de una renta aritm´etica pospagable a inter´es continuo no es m´ as que sumar el valor actual de cada uno de los t´erminos involucrados. Supongamos que tenemos una sucesi´on de n capitales sujetos a una ley aritm´etica como la expreseda en (8.23), sobre la que actua una tasa nominal anual continua J. Supongamos que los t´erminos est´an disponibles a los p-per´ıodos 1, 2, . . . n .
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
´ CONTINUA 8.14. RENTAS A CAPITALIZACION
215
El valor actual de esta renta es V A (0)
1
2
3
n
= Ce−J p < + (C + b) e−J p + (C + 2b) e−J p + · · · + (C + (n − 1) b) e−J p n n−1 1 2 1 1 − e−J p = C J + be−J p e−J p + 2e−J p + · · · + (n − 1) e−J p ep − 1
Como m X 1 rm − 1 k m = − m 2 k m−1 r r r (r − 1) (r − 1)
k=1
tenemos que 1
2
e−J p + 2e−J p + · · · + (n − 1) e−J
n−1 p
=
1 eJ
n−2 p
n−1
n−1 eJ p − 1 1 2 − J n−1 J 1 e p e p −1 eJ p − 1
Luego V A (0) = C
−J n p
J n−1 p
−J n p
n−1 e −1 (n − 1) e + b e−J p 2 − 1 1 eJ p − 1 e −1 eJ p − 1
1−e
J p
poner un par de ejemplos Ejercicio 8.107 poner unos ejercicios Ejemplo 8.106
Supongamos que tenemos una sucesi´on de n capitales sujetos a una ley geom´etrica sobre la que actua una tasa nominal anual continua J. Supongamos que los t´erminos est´ an disponibles a los p-per´ıodos 1, 2, . . . n .
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! El valor actual de este tipo de renta no es otra cosa que la suma de los valores actuales (al momento 0) de cada uno de los t´erminos V A (0)
1
2
3
n
1 −J p
= Ce = C
1 − rn e−J p 1
1 − re−J p n 1 − rn e−J p 1
eJ p − r Por lo que el valor final es n
V F (n) = C
eJ p − r n 1
eJ p − r
poner un par de ejemplos Ejercicio 8.109 poner unos ejercicios Ejemplo 8.108
n
= Ce−J p + rCe−J p + r2 Ce−J p + · · · + rn−1 Ce−J p n−1 2 1 1 = Ce−J p 1 + re−J p + r2 e−J p + · · · + rn−1 e−J p
Chapter 9
Pr´ estamos 9.1
Introducci´ on
En mayor o menor medida todos sabemos que es un pr´estamo. Igual damos la siguiente definici´ on para establecer un marco com´ un de referencia: Definici´ on 9.1 Se llama pr´ estamo a la operaci´ on financiera consistente en la entrega de una cantidad dada de dinero (C0 ), llamado principal (o deuda), por parte de una persona (f´ısica o jur´ıdica), llamado prestamista o acreedor, a otra persona (f´ısica o jur´ıdica), llamado prestatario o deudor, qui´en se compromete a amortizar el principal Nota 9.2 Se llama amortizar al proceso financiero mediante el cual se cancela, generalmente de manera gradual, una deuda por pagos per´ıodicos, lo cuales pueden ser iguales o diferentes. De todo el espectro posible de esquemas de reembolsos de pr´estamos slo estudiaremos dos variantes, de acuerdo a como son cobrados los intereses: 1. Pr´ estamos comerciales: son los pr´estamos donde se aplica la tasa directamente sobre el capital inicial (durante el per´ıodo de tiempo pactado para el pr´estamo) y el monto de las cuotas del reembolso se calculan dividiendo este monto por el n´ umero de t´erminos 2. Pr´ estamos a inter´ es sobre saldos: son los pr´estamos donde la tasa se aplica sobre, lo que se conoce como, capital pendiente (que es el dinero que efectivamente se debe despu´es de cada pago).
9.2
Pr´ estamos comerciales
En la Argentina el sistema de pr´estamo comercial es usado principalmente por peque˜ nos comercios y algunas instituciones financieras (conocidad precisamente 216
´ 9.2. PRESTAMOS COMERCIALES
217
con ese nombre: financieras). El mayor inconveniente deudor (tambin llamado pr´estatario) con estos sistemas es que no reconocen los pagos parciales efectuados, lo que lleva a que no exista equivalencia financiera (a la tasa declarada) entre el total financiado (o monto prstado) y el flujo de capitales que amortiza la deuda. Analicemos la siguiente situacin: Ejemplo 9.3 Una tienda anuncia que s´ olo cobra un recargo del 20% anual sobre las compras en cuotas. Ud. realiza una compra por $ 1.000, y desea pagarla en 12 cuotas mensuales y consecutivas. La due˜ na de la tienda le plantea el siguiente esquema de pago: “Son $ 1.000, m´ as un recargo del 20%, nos da $ 1.200, ahora lo dividimos por el n´ umero de cuotas lo que nos da doce cuotitas mensuales de $ 100”. Del ejemplo es claro que los elementos que conforman un pr´estamo comercial son: 1. Importe del pr´estamo (o deuda): C0 . 2. Tasa de inter´es (directa) p-per´ıodica cobrada: δ (p) . 3. Duraci´ on de la operaci´ on (expresada en a˜ nos): t 4. N´ umero de cuotas: n 5. Monto de cada uno de los pagos: a El monto de cada uno de los n pagos es determinado por la expresi´on pt C0 1 + δ (p) a :=
(9.1)
n
Por ejemplo, esta fue la cuenta que hizo la due˜ na de la tienda del ejemplo anterior 1.000 (1 + 0, 2) 1.200 a= = = $ 100 12 12 Si consideramos la renta generada y calculamos su valor actual con la tasa √ mensual equivalente i(12) = 12 1 + 0.2 − 1 = 0, 0153094705, obtenemos 100
1 − (1 + 0, 0153094705) 0, 0153094705
−12
= $ 1088, 65075816
Lo cual nos da la primera advertencia: a la tasa declarada la renta generada y el desembolso del pr´estamo (o deuda) no son financieramente equivalentes. Veamos que siempre ocurre que el valor actual de la renta es mayor que el desembolso del pr´estamo (o monto de la deuda). Por razones claridad (y sin p´erdida de generalidad), podemos suponer que el n´ umero de cuotas n coincide con la cantidad de q-per´ıodos que caben en
´ CHAPTER 9. PRESTAMOS
218
t a˜ nos (la duraci´ on de la operaci´on) para alg´ un q de los habituales, i.e., q ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}. De hecho, as ocurre casi siempre en las operaciones a pr’estamo comercial. Por ejemplo 12 cuotas en un a˜ no nos dice que las cuotas son mensuales, mientras que 12 cuotas en 3 a˜ nos nos dice que las cuotas son trimestrales, 9 cuotas en a˜ no y medio nos indica que las cuotas son bimestrales. Por lo tanto asumiremos que frecuencia de los subper´ıodos × tiempo en a˜ nos
=
n´ umeros de cu
qt = n (p)
Dada δ , la tasa de inter´es (directa) p-per´ıodica cobrada, calculamos la tasa directa q-per´ıodica asociada r p (q) δ = q 1 + δ (p) − 1 Con ambas tasa podemos calcular a pues qt pt C0 1 + δ (q) C0 1 + δ (p) = a= n n Ahora, el valor actual de la renta asociada es siempre mayor que C0 : −qt 1 − 1 + δ (q) a
> C0 δ (q) Para corroborarlo basta con hacer unas cuentas −n −qt 1 − 1 + δ (q) 1 − 1 + δ (q) = a a δ (q) δ (q) −n n C0 1 + δ (q) 1 − 1 + δ (q) = n δ (q) n (q) −1 C0 1 + δ = (q) n δ{z | } >n
>
C0
(1+x)n −1 x
Recordar que el multiplicador > n si n > 1 y x > 0 ver 8.13. (q) Por otro lado, la tasa q-per´ıodica i a la cual la renta de n t´erminos a tiene un valor actual de C0 es siempre mayor que la tasa directa q-per´ıodica δ (q) equivalente a la tasa (directa) declarada pues −qt −qt 1 − 1 + δ (q) 1 − 1 + i(q) a > C0 = a i(q) δ (q)
´ 9.2. PRESTAMOS COMERCIALES
219
de donde obtenemos que −qt 1 − 1 + δ (q) δ (q)
1 − 1 + i(q) > i(q)
−qt
de donde se puede concluir que i(q) > δ (q) Recordar que este multiplicador, fijado n, es una funci´on estrictamente decreciente de la tasa (ver seccin 8.4. Verifiquemos que la tasa declarada es menor que la tasa efectiva real en el ejemplo que venimos trabajando. Primero encontramos la tasa efectiva mensual (real) de la renta generada por el esquema de pagos, i.e., la tasa i12 que verifica: −12 1 − 1 + i(12) = 1.000 100 i(12) C´ omo ya sabemos, es necesario usar m´etodos n´ umericos (Newton-Raphson o secante) para hallarla: i(12) = 0, 0292285407616 > 0, 0153094705 = δ (12) Lo que nos una tasa anual i = 0, 412998984 > 0, 2 = δ Finalmente los t´erminos de la renta tendri´an que ser de $ 91,86 para que a la tasa declarada el valor actual de la renta sea $ 1.000, pues 1.000 · 0, 0153094705 −12
1 − (1 + 0, 0153094705)
= $91, 8568229987
Ejercicio 9.4 El Sr. Nicol´ as solicita un pr´estamo de $ 15.000 en su obra social, la cual utiliza el sistema comercial y cobra una tasa anual del 26.5 %. Plantear el pr´estamos para 12, 18, 24, 36, y 60 meses (cuotas mensuales). En cada caso dar el valor actual de la renta generada y averiguar la tasa real que cobra la obra social. Ejercicio 9.5 La Srta. J´esica compro unos zapatos en la zapater´ıa top del momento. Los zapatos cuestan $ 650. Gonzalo, el vendedor, le dice “no te preocupes querida, los podes pagar en 6 cuotitas mensuales de $ 120”. Si la tienda usa inter´es directo ¿Cu´ al es el inter´es directo semestral cobrado?. Ejercicio 9.6 A la Srta. J´esica le es m´ as facil pagar pagar $ 30 cada semana, en lugar de los $ 120 por mes. El due˜ no de la tienda acepta sin ninguna queja ¿Por qu´e? (Calcular la tasa real de ambas operaciones o el valor actual de cada una de las rentas generadas).
Agregar m´as ejercicios.
´ CHAPTER 9. PRESTAMOS
220
9.3
Pr´ estamos a inter´ es sobre saldos
Los elementos que componen un pr´estamo a inter´es sobre saldos son: 1. C0 el importe del pr´estamo (llamado principal o deuda). 2. n n´ umero de cuotas en las que se devolver´a el pr´estamo m´as los intereses generados. 3. a1 , a2 , . . . , an sucesi´on de t´ erminos amortizativos, son lo pagos acordados que el prestatario realiza a fin de cancelar el pr´estamo m´as los intereses generados. 4. t0 , t1 , t2 , . . . tn sucesi´on de plazos en los que el dinero cambia de manos. t0 es el momento en el cual el pr´estamista le entrega la cantidad C0 al prestatario. El resto de los tiempos corresponden a la sucesi´on de t´erminos amortizativos (los pagos realiza el prestario). 5. i1 , i2 , . . . , in la sucesi´on de intereses que se aplican en cada uno de los per´ıodos: ik corresponde al inter´es cobrado en el per´ıodo k recordar que el per´ıodo k comienza en el momento tk−1 y termina en el momento tk .
PONER DIBU>!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! En un pr´estamo t´ıpico, dada C0 , la sucesi´on de tiempos t0 , t1 , t2 , . . . tn y la sucesi´ on de intereses a ser aplicados i1 , i2 , . . . , in , el problema es determinar el monto de los pagos que deber´a abonar el prestatario, los cuales deben generar un flujo de fondos financieramente equivalente a la candidad prestada C0 : a2 an a1 + + ··· + C0 = 1 + i1 (1 + i1 ) (1 + i2 ) (1 + i1 ) (1 + i2 ) · · · (1 + in ) n X ah (9.2) = h Y h=1 (1 + ik ) k=1
Cada t´ermino amortizativo ah tiene en principio dos componentes: una destinada a cancelar los intereses generados en el correspondiente per´ıodo, y la otra a destinada a disminuir el monto de la deuda, las cuales reciben los nombres de cuota de inter´ es y cuota de capital (o de amortizaci´ on) respectivamente Cuota de inter´es Se encarga de cancelar los intereses
ah |{z}
=
z}|{ Ih
+
Ah |{z}
T´ermino amortizativo
Cuota de capital
Es lo que efectivamente
Se encarga ir cancelando
paga el prestatario
el capital adeudado
(9.3)
´ ´ SOBRE SALDOS 9.3. PRESTAMOS A INTERES
221
De la definici´ on de cuota de inter´es se deduce Ih
=
(saldo al pricipio del periodo anterior) por (el inter´es del per´ıodo) (9.4)
=
(saldo al momento h − 1) ih
(9.5)
Por definici´ on de cuota de capital, si deseamos alguna vez cancelar el pr´estamo, debe ocurrir que C0 = A1 + A2 + · · · + An (9.6) El monto adeudado al momento h es conocido como capital pendiente Ch , es la cantidad de dinero que se debe luego de pagar el t´ermino amortizativo ah . Como per´ıodo a per´ıodo se deben cancelar los intereses generados, para cada 1 ≤ h ≤ n se cumple que Ch := C0 − A1 − A2 − · · · − Ah = Ah+1 + Ah+2 + · · · + An
(9.7)
de donde se deduce con facilidad la siguiente relaci´on recursiva Ch = Ch−1 − Ah
(9.8)
Otra forma recursiva de para calcular el capital pendiente al momento h resulta de la siguiente observaci´ on: lo que se debe al momento h debe ser igual a lo que se deb´ıa en el per´ıodo anterior h − 1, capitalizado al per´ıodo h, menos el pago realizado: Ch = Ch−1 (1 + ih ) − ah (9.9) Tambi´en podemos calcular el capital pendiente al momento h actualizando todos los pagos que restan por realizar Ch =
n X j=h
aj j Y
(9.10)
(1 + ik )
k=h
Ahora podemos reescribir la ecuaci´on (9.4) para la cuota de inter´es en t´erminos del capital pendiente al per´ıodo anterior Ih = Ch−1 ih
(9.11)
Nota 9.7 Esta es la raz´ on por la cual decimos que estos sistemas de pr´estamos cobran los intereses sobre saldos. Se llama total amortizado al per´ıodo h a la suma de las cuotas de amortizaci´ on pagadas hasta el momento h M h = A1 + A2 + · · · + Ah
(9.12)
Por lo tanto, para todo momento h (entre 0 y n) se debe cumplir que la suma entre el capital pendiente y el total mortizado debe ser igual al capital prestado C0 = Ch + Mh
´ CHAPTER 9. PRESTAMOS
222
Aqui se est´ a impl´ıcito que M0 = 0. Si los intereses cobrados al prestamista permanecen constantes: i1 = i2 = · · · = in = i el c´ alculo del monto de cada uno de los t´erminos amortizativos se simplifica al suponer constante alguna de la partes de (9.3): an = In + An esto da origen a tres tipos de pr´estamos dentro de los que cobran los intereses sobre saldos. 1. Pr´ estamo Franc´ es: en este caso se dejan constantes los t´erminos amortizativos ah (los pagos a realizar). 2. Pr´ estamo Alem´ an: en este caso se dejan constantes las cuotas de capital Ah . 3. Pr´ estamo Americano: en este caso se dejan constantes las cuotas de inter´es Ih . Existen una gran cantidad de variantes, variables y situaciones que modifican este esquema inical de pr´estamo a inter´es sobre saldo. Las principales (pero no las u ´nicas) son: 1. Per´ıodo de gracia. 2. Efectos de los impuestos. 3. Efectos de gastos varios: costos administrativos, honorarios varios (para peritos, notarios, escribanos, por nombrar algunos), etc. 4. Efectos de los seguros. 5. Adelanto de cuotas y cancelaci´on anticipada. 6. Efecto de eventuales atrasos (mora) y los punitorios correspondientes. 7. Efecto de la inflaci´on. 8. Efecto de la devaluaci´on o apreciaci´on de las monedas involucradas en la operaci´ on (directa o indirectamente). Analizaremos el efecto de las mismas con cierto grado de detalle para el pr´estamo franc´es, pues este es el sistema m´as usado en nuestro Argentina.
Chapter 10
Pr´ estamo franc´ es 10.1
Introducci´ on
Recordemos que como hip´ otesis inicial de trabajo vamos a suponer que la tasa de inter´es cobrada por el prestamista (acreedor) es constante a lo largo de todo el pr´estamo, lo cual nos permitir´ a aplicar las f´ormulas desarrolladas para rentas constantes. El sistema franc´es es el m´ as habitual en Argentina, ya que son constantes cada uno de los pagos que realiza el prestatario a1 = a2 = · · · = an = a
(10.1)
lo cual es lo preferido por la mayor´ıa de la poblaci´on (por alg´ un motivo psicol´ ogico m´ as alla de los conocimientos de los autores). Los elementos que componen un t´ıpico pr´estamo franc´es son: 1. C0 el capital pr´estado (deuda). 2. i la tasa de inter´es cobrada por el prestamista. 3. a la cuota de amortizaci´ on. 4. n la cantidad de pagos que debe realizar el prestatario.
poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Para simplificar la notaci´ on supondremos que la tasa aplicada y los per´ıodos a los que son impuestos cada uno de los capitales son temporalmente compatibles (si las cuotas son mensuales, el inter´es es mensual, y en general si las cuotas son p-per´ıodicas, la tasa considerada ser´a p-per´ıodica). Como en todo pr´estamo a inter´es sobre saldos, el capital pr´estado debe ser financieramente equivalente al valor actual de la renta generada por la sucesi´on de t´erminos amortizativos, la primera relaci´on que tenemos es 223
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
224
−n
1 − (1 + i) i de donde podemos despejar el valor de la cuota de amortizaci´on C0 = a
a=
C0 i
(10.2)
(10.3)
−n
1 − (1 + i)
Es claro que si los t´erminos de amortizativos son constantes, tenemos que la sucesi´ on de cuotas de inter´es es estrictamente decreciente I1 > I2 > · · · > In , (pues per´ıodo a per´ıodo el saldo adeudado va decreciendo) y la sucesi´on de cuotas de amortizaci´ on debe ser estrictamente creciente: A1 < A2 < · · · < An .
PONER DIBU Para un an´ alisis completo de cualquier esquema de pr´estamo, debemos tener f´ ormulas para calcular el resto de las cantidades significativas: cuotas de inter´es y amortizaci´ on, capital pendiente y total amortizado. Sabemos que Ah = Ch − Ch−1 Aplicando la f´ ormula (9.9) obtenemos la siguiente relaci´on recursiva entre los capitales pendientes de dos per´ıodos consecutivos Ch = Ch−1 (1 + i) − a
(10.4)
Si escribimos la recursi´on para los per´ıodos h y h − 1 Ch
= Ch−1 (1 + i) − a
Ch−1
= Ch−2 (1 + i) − a
Restado estas ecuaciones obtenemos
Ch − Ch−1 = Ch−1 − Ch−2 (1 + i) | {z } | {z } Ah
Ah−1
de donde se deduce la siguiente relaci´on recursiva entre las cuotas de amortizaci´ on en sistema franc´es Ah = Ah−1 (1 + i) para 2 ≤ h ≤ n
(10.5)
cuya soluci´ on general es h−1
Ah = A1 (1 + i)
(10.6)
´ 10.1. INTRODUCCION
225
Para conocer el valor de todas las cuotas de amortizaci´on s´olo necesitamos calcular el valor de A1 A1 = C0 − C1 = C0 − [C0 (1 + i) − a] = a − C0 i
(10.7)
En particular, usando (10.3) y (10.7) A1
C0 i
−n − C0 i 1 − (1 + i) i = C0 n (1 + i) − 1
=
de donde obtenemos
n
(1 + i) − 1 i Para hallar el capital pendiente Ch adem´as de la f´ormula recursiva (10.4) pod emos usar las f´ ormulas (9.7) y (9.10). M´ etodo restropectivo: considerando el flujo de fondos hasta el momento h, de las ecuaciones (9.7), (10.6) y (10.3) se tiene C 0 = A1
Ch
= C0 − A1 − A1 (1 + i) − · · · − A1 (1 + i)
h−1
h
(1 + i) − 1 i h (1 + i) − 1 = C0 − C0 n (1 + i) − 1
= C 0 − A1
n
= C0
(1 + i) − (1 + i) n (1 + i) − 1
h
(10.8)
poner dibujo M´ etodo prostectivo: considerando el flujo de fondos del momento h en adelante, de las ecuaciones (9.10) y (10.6) se tiene Ch
h
h+1
= A1 (1 + i) + A1 (1 + i) n−h
h
= A1 (1 + i)
(1 + i)
+ · · · A1 (1 + i)
n−1
−1
i Para calcular el total amortizado usamos (9.12), (10.6) y (10.3): Mh
=
A1 + A1 (1 + i) + · · · + A1 (1 + i)
=
A1
(10.9)
h−1
h
=
(1 + i) − 1 i h (1 + i) − 1 C0 n (1 + i) − 1
(10.10)
Para calcular la cuota de inter´es basta usar (9.11) y (10.8) o (10.9): n
Ih = Ch−1 i = C0
h−1
(1 + i) − (1 + i) n (1 + i) − 1
i
(10.11)
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
226
Ejemplo 10.1 Ud. acude a un banco y pide un pr´estamo de $ 25.000 a devolver en 5 a˜ nos en cuotas mensuales, por el m´etodo franc´es. La TNA que le cobra el banco es del 22,5%. Primero calcularemos el valor del termino amortizativo (lo que ud. debe pagar mes a mes), de acuerdo con (10.3)
a =
=
0, 225 25.000 12 −12·5 0, 225 1− 1+ 12 697, 59862786
i.e., ud. debe pagar unos $ 697,60 cada mes, comenzando un mes despu´es de que el banco le entregara los $ 25.000. Para calcular el calor de una cuota de capital primero calculamos el valor de la primera cuota de capital y luego usamos (10.6). Por ejemplo para hallar el valor de la cuota de capital A41 calculamos A1 A1 = a − C0 i = 697, 59862786 − 25.000
0, 225 = 228, 84862786 12
y luego A41 40
A41 = A1 (1 + i)
0, 225 = 228, 84862786 1 + 12
40 = 481, 11974739
El mismo resultado se puede obtener de un s´olo paso usando Ah = C0
i h−1 (1 + i) n (1 + i) − 1
(10.12)
de donde A41
0, 225 40 0, 225 12 = 25.000 1+ = 481, 11974739 60 12 0, 225 1+ −1 12
Para calcular el valor de una cuota de inter´es dada, por ejemplo la cuota I37 , usamos (10.11) 60 37−1 0, 225 0, 225 − 1+ 1+ 0, 225 12 12 = 250, 932833256 I37 = 25.000 60 12 0, 225 1+ −1 12 Podemos calcular el capital pendiente en cualquier momento usando (10.8) 60 23 1 + 0.225 − 1 + 0.225 12 12 C23 = 25000 = 18494.0299904 60 − 1 1 + 0.225 12
´ 10.1. INTRODUCCION
227
El total amortizado hasta el per´ıodo 23 es M23 = C0 − C23 = 6505, 9700096 Hubieramos obtenido lo mismo usando (10.10) 23 0, 225 1+ −1 12 M23 = 25.000 = 6505, 9700096 60 0, 225 1+ −1 12 Ejercicio 10.2 La Srta. Noelia saco un pr´estamo a sola firma de $ 2.500 en la financiera ”Su amigo Adri´ an”, la cual trabaja con sistema frances y cobra una TNA del 42,7 %. El prestamo dura 1 a˜ no y se conviene realizar el reembolso del mismo en 12 cuotas mensuales. Se pide: 1. ¿Cu´ anto es el monto de los t´erminos amortizativos? 2. ¿A cu´ anto ascienden las cuotas de amortizaci´ on A1 , A6, y A11 ? 3. ¿Cu´ al es el monto de las cuotas de inter´es I1 e I8 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente C8 ? 5. ¿En qu´e momento el capital pendiente es inferior a $ 1.000? 6. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado M3 ? 7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1500? Ejercicio 10.3 Una empresa acude a un banco y pide pr´estados $ 2.000.000. Se conviene una TEM del 1,04 %. Si se usa sistema franc´es, el pr´estamo dura 3 a˜ nos, y la cuotas son bimestrales. 1. ¿Cu´ anto es el monto de los t´erminos amortizativos? 2. ¿A cu´ anto ascienden las cuotas de amortizaci´ on A1 , A10, y A18 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I5 e I14 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente C6 ? 5. ¿En que momento el capital pendiente es inferior a $ 1.000.000? 6. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado M12 ? 7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1.500.000 ? Ejercicio 10.4 El Sr. Juan paga cada mes la suma de $ 3.174,18 para cancelar un pr´estamo a sistema franc´es que obtuvo del Banco Cooperativo de la Paz. Sabiendo que la tasa de la operaci´ on es una TEA del 19,5662 % y que la misma fue pactada a 5 a˜ nos, se pide
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
228
1. Monto del pr´estamo solicitado por el Sr. Juan. 2. ¿A cu´ anto ascienden las cuotas de amortizaci´ on A1 , A30, y A60 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I1 , I20 e I40 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente al final de cada a˜ no, tomando a˜ no por medio (C12 , C24 , C36 , C48 y C60 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a la mitad del monto del pr´estamo solicitado? 6. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado a principio de cada a˜ no (M0 , M12 , M24 , M36 y M48 )? 7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera los dos tercios del monto del pr´estamo solicitado? Ejercicio 10.5 La Sra. Melina desea renovar la cocina de su departamento, para lo cual solicita un prestamo personal a una TNA del 30 %, el cual reembolsar´ a en 36 cuotas mensuales de $ 1.061,9. Se pide 1. Monto del pr´estamo solicitado por la Sra. Melina. 2. ¿A cu´ anto ascienden las cuotas de amortizaci´ on A1 , A12 , A24, y A36 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I1 , I6 e I18 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente al final de cada a˜ no (C12 , C24 , y C36 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a un cuarto del monto del pr´estamo solicitado? 6. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado a principio de cada a˜ no (M0 , M12 , M24 , y M36 )? 7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera la mitad del monto del pr´estamo solicitado? Ejercicio 10.6 Ud. trabaja en el departamento financiero de una empresa de venta de productos para el hogar. La empresa tiene como eslog´ an ”la cuota m´ as baja del mercado”. Acaban de entrar al cat´ alogo los siguientes productos C´ odigo
Producto
Precio de lista
Precio contado
1102 1303 1304 1505 1755
Super phone Multiprocesadora A Microondas Wave Heladera Mamut Cocina Le˜ nita
2.299,99 399,99 649,99 3.799,99 1.599,99
1.999,99 324,99 619,99 3.499,99 1.299,99
Valor de la cuota
Ud. debe fijar el monto y el n´ umero de cuotas mensuales de cada uno de los productos de acuerdo con las siguientes directivas:
N´ umero de cuotas
´ 10.1. INTRODUCCION
229
1. La cuota no debe superar los $ 75 ni ser inferior a $ 20. 2. El n´ umero de cuotas debe ser el menor posible. 3. Ud. debe usar las siguientes tasas dependiendo del n´ umero n de cuotas del plan Para TEA 1) 1 ≤ n ≤ 12 35 % 2) 12 < n ≤ 24 38.5 % 3) 24 < n ≤ 36 43.7 % 4) 36 < n ≤ 48 48.5 % 5) 48 < n ≤ 60 55.8 % 6) n > 60 65.7 % Ejercicio 10.7 Calcular la cantidad de cuotas mensuales necesarias para saldar una deuda de $ 500.000.000, si se sabe que la tasa convenida es una TNA del 18 % y el monto de cada cuota es de $ 7.535.426,69. Ejercicio 10.8 El Sr. Gonzalo desea solicitar un pr´estamo de $ 20.000. C´ omo su presupuesto es limitado, s´ olo puede pagar cuotas mensuales no mayores de $ 600. El Banco local ofrece las siguientes tasas fijas para pr´estamos convenidos a diferentes plazos: TEA Plazo 21 % 1 a˜ no 23 % 2 a˜ nos 26,5 % 3 a˜ nos 28,7 % 5 a˜ nos 32,8 % 10 a˜ nos Si el Sr. Gonzalo desea tomar el pr´estamo de menor duraci´ on posible, ¿Qu´e plazo escoger´ a? Ejercicio 10.9 Un banco otorga pr´estamos a una TEM del 1,2 %. Se sabe que la cuota de amortizaci´ on 55 de un pr´estamo es de $ 717,57, y que la cuota de inter´es 54 es de $ 867,74. Calcular el desembolso del pr´estamo y el n´ umero de cuotas (sistema franc´es). Ejercicio 10.10 Un banco otorga pr´estamos a una TEM del 2,5 %. Se sabe que la cuota de amortizaci´ on 30 de un pr´estamo es de $ 225,72, y que la cuota de inter´es 32 es de $ 248,15. Calcular el desembolso del pr´estamo y el n´ umero de cuotas (sistema franc´es).
poner m´as ejercicios!!!!!!!!!!! 2 m´ as de cada caso!!! Ejercicio 10.11
Los prestamos suelen ser informados mediante la confecci´on de lo que se conoce como cuadro de marcha o de amortizaci´ on. Hay muchas formas de llenar un cuadro de marcha en cualquier sistema de pr´estamo. Generalmente
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
230
constan de 6 columnas (al menos), y tantas filas como per´ıodos tenga el pr´estamo (m´ as una para el momento inicial). De izquierda a derecha, las columnas corresponden: a los per´ıodos (de 0 a n), t´ermino amortizativo ah , cuota de inter´es Ih , cuota de amortizaci´ on o capital Ah , total amortizado Mh , y capital pendiente Ch . Los datos necesarios para llenar cualquier cuadro de marcha de un pr´estamo dado, son los mismos que se necesitan para confeccionar un pr´estamo: 1. C0 el capital pr´estado. 2. i la tasa que se cobra. 3. n la cantidad de per´ıodos que dura el pr´estamo. Ahora damos el esquema gen´erico para completar un cuadro de marcha, los n´ umeros entre par´entesis indican el orden que usan los autores para llenar el cuadro (el cu´ al, repetimos, no es el u ´nico). n 0 1 2 3 4 .. . n−1 n
a (2) (2) (2) (2)
a a a a
.. . (2) (2)
a a
Ih
Ah
Mh
-
-
-
I1 = C0 i I2 = C1 i (11) I3 = C2 i (15) I4 = C3 i
A1 = a − I1 A2 = a − I2 (12) A3 = a − I3 (16) A4 = a − I4
(5) M1 = A1 M 2 = M 1 + A2 (13) M3 = M2 + A3 (17) M4 = M3 + A4
Ch C0 (6) C1 = C0 − A1 (10) C2 = C1 − A2 (14) C3 = C2 − A3 (18) C4 = C3 − A4
.. .
.. .
.. .
.. .
In−1 = C n−2 i In = C n−1 i
An−1 = a − I n−1 An = a − I n
Mn−1 = M n−2 +An−1 Mn = M n−1 +An = C 0
Cn−1 = C n−2 −An−1 Cn = C n−1 −An = 0
(3) (7)
(4) (8)
(9)
(1)
Nota 10.12 Algunas observaciones 1. Una vez calculado el t´ermino amortizativo, se llena toda la segunda columna. 2. La columna de las cuotas de inter´es debe ser decrececiente. 3. La columna de las cuotas de capital debe ser creciente (de forma geom´etrica con raz´ on (1 + i)) 4. La columna del total amortizado debe ser estrictamente creciente comenzando en 0 (cero) y finalizando en C0 . 5. La columna del capital pendiente debe ser estrictamente decreciente comenzando en C0 y terminando en 0 (cero). En general, si se redondea a dos cifras, las dos u ´ltimas condiciones no se cumplen. En dicho caso si el error no supera una cota preestablecida (por ejemplo para este libro: 5 centavos) se considera correcto. Si el error fuera mayor se debe aumentar la cantidad de decimales considerados. Los autores recomiendan trabajar al menos con 5 (cinco) decimales.
´ 10.1. INTRODUCCION
231
Ejemplo 10.13 Hacer el cuadro de marcha de un pr´estamo franc´es a 6 meses por $ 5.000, a una TEM del 1,2%. n 0 1 2 3 4 5 6
a
Ih
Ah
Mh
868, 6812195 868, 6812195 868, 6812195 868, 6812195 868, 6812195 868, 6812195
60 50, 29582537 40, 47520064 30, 53672841 20, 47899452 10, 30056782
808, 6812195 818, 3853941 828, 2060188 838, 1444910 848, 2022249 858, 3806516
808, 6812195 1.627, 066614 2.455, 272632 3.293, 417123 4.141, 619348 5.000
Ch 5000 4.191, 318781 3.372, 933386 2.544, 727368 1.706, 582877 858, 3806516 0
Algoritmo 10.14 A continuaci´ on damos el algoritmo para llenar el cuadro de marcha franc´es Paso 1: C´ alculo del t´ermino amortizativo: a=
C0 i −n
1 − (1 + i)
=
5000 · 0, 012 1 − (1 + 0, 012)
−6
= 868, 68
Paso 2: Llenado de la primera fila: 1. C´ alculo de la cuota de inter´es I1 I1 = C0 i = 5000 · 0, 012 = 60 2. C´ alculo de la cuota de capital A1 A1 = a − I1 = 868, 6812195 − 60 = 808, 6812195 3. C´ alculo del total amortizado M1 M1 = M0 + A1 = A1 = 808, 6812195 (Recordar que hemos tomado M0 = 0) 4. C´ alculo del capital pendiente C1 C1 = C0 − A1 = 5000 − 808, 6812195 = 4191, 318781 Paso 3: Mientras h ≤ n, una vez completada la fila h − 1, llenar la fila h : 1. C´ alculo de la cuota de inter´es Ih Ih = Ch−1 i 2. C´ alculo de la cuota de capital Ah Ah = a − I h
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
232
3. C´ alculo del total amortizado Mh Mh = Mh−1 + Ah 4. C´ alculo del capital pendiente Ch Ch = Ch−1 − A1 Nota 10.15 Es claro que el uso de una planilla de c´ alculo facilita la confecci´ on de cualquier cuadro de marcha. Por lo que se recomienda su uso siempre que sea posible. Ejercicio 10.16 Hacer el cuadro de marcha para un pr´estamo franc´es a 12 a˜ nos por $ 10.000.000, para el cual se han pactado 12 pagos anuales consecutivos y una TEA del 23%. Ejercicio 10.17 Escoger al menos tres de los pr´estamos planteados en los ejercicios del (10.2) al (10.10) y realizar el correspondiente cuadro de marcha
10.2
Usufructo y nuda propiedad
Consideremos la siguiente situaci´on Ejemplo 10.18 La Sra. Rosa sac´ o un pr´estamo a sistema franc´es por $15.000 a pagar en 60 cuotas mensuales iguales y consecutivas de $ 485,30 a una TEM del 2,5 %. A los 18 meses la Sra. Rosa recibe una herencia por $ 750.000 por lo que decide dejar a su marido y cancelar su deuda. La situaci´ on del mercado a cambiado y la tasa vigente para estas operaciones a los 18 meses de tomado el (12) pr´estamo es una im = 1, 1 % mensual. En primer lugar, la Sra. Rosa debe a los 18 meses la suma de $ 12.530,76 pues 60
C18
= =
15.000
(1 + 0, 025)
− (1 + 0, 025) 60
(1 + 0, 025) 12.530, 76473
18
−1
Pero a los 18 meses, para el acreedor (pr´estamista) es mejor seguir recibiendo la renta que le origina el pr´estamo concedido que los $ 12.530,76 que le devolver´ıa (12) la Sra. Rosa pues a la tasa que ahora puede pretar dinero (im = 0, 011) el valor actual de la renta que espera recibir es de $ 16.252,54 pues V A(18)
= =
1 − (1 + 0, 011)−(60−18) 0, 011 16.252, 53866 485, 30
10.2. USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD
233
Si el contrato firmado por la Sra. Rosa le permite al pr´estamista ejercer el derecho a recibir lo que se llama valor actual de mercado del pr´estamo convenido, entonces la Sra. Rosa, deber´a desembolsar $ 16.252,54 para cancelar el pr´estamo a los 18 meses de otorgado Observe que si la tasa de mercado fuera del 3,2%: i(12) m = 0, 032 Entonces el valor de mercado a los 18 meses del pr´estamo tomado por la Sra. Rosa es $ 11 126.26 pues V A(18)
= =
1 − (1 + 0, 032)−(60−18) 0, 032 11.126, 26066 485, 30
En este caso el pr´estamista prefiere que la Sra. Rosa le devuelva $ 12.530,76 en lugar del valor de mercado del pr´estamo. En general, dado un pr´estamo por C0 , convenido a n per´ıodos, a una tasa pactada i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n per´ıodos). Si nos encontramos en un momento cualquiera k (fecha de valoraci´on), 0 ≤ k ≤ n − 1, los t´erminos amortizativos pendientes ak+1 , . . . , an representan para el acreedor (prestamista) un derecho de cobro futuro y para el deudor (prestatario) una obligaci´on de pago. Si al momento k se quisiera cancelar anticipadamente la deuda, el prestatario (deudor) deber´ıa entregar en principio Ck , el capital pendiente al momento k. Sin embargo, puede ocurrir que las condiciones del mercado hayan cambiado desde el momento en que se concert´o la operaci´on al d´ıa de hoy. En este sentido, para determinar si esta cancelaci´ on resulta o no conveniente para el acreedor (pr´estamista), ser´ıa necesario valorar los t´erminos amortizativos pendientes con un nuevo criterio, ajustado a las condiciones actuales del mercado, esto es, valorarlos a la tasa im que puede obtener hoy el pr´estamista en el mercado. Esto es importante pues el acreedor (titular del capital pendiente) puede transferir total o parcialmente los derechos de los pr´estamos por ´el concedidos. Definici´ on 10.19 Dado un pr´estamo por C0 , convenido a n per´ıodos, a una tasa pactada i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n per´ıodos). El valor al momento 0 ≤ k ≤ n − 1 de la sucesi´ on de t´erminos amortizativos ak+1 , . . . , an a una tasa im dada, recibe el nombre de valor actual de mercado del pr´estamo al momento k n X ah V AMk (im ) = (10.13) h−k h=k+1 (1 + im )
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
234
Representa la cantidad que el deudor tendr´a que pagar para cancelar su deuda o, desde el punto de vista del prestamista, lo que deber´ıa recibir por transferir los derechos futuros que el pr´estamo supone, en las condiciones actuales del mercado. Criterio 10.20 Suponiendo que el pr´estamista por contrato tiene la facultad de ejercer el derecho a recibir el valor actual de mercado del pr´estamo por ´el concedido. Si el prestatario desea cancelar anticipadamente el pr´estamo. El prestamista ejercer´ a el derecho cada vez que im > i donde im es la tasa de mercado al momento de la cancelaci´ on anticipada, mientras que i es la tasa a la que fue otorgado el pr´estamo.(¿Por qu´e?). Nota 10.21 En los contratos, siempre se deja establecido el m´etodo para calcular la tasa de mercado, por ejemplo: la tasa de referencia del Banco Central m´ as un punto porcentual, o el promedio de las TNA de los bancos de la plaza, etc. En un sentido estricto, el pr´estamista o acreedor recibe dos rentas del prestatario o deudor: la renta de las cuotas de amortizaci´on y la renta de las cuotas de inter´es. Por lo que el puede transferir los derechos sobre una o ambas rentas a un tercero, esto da orig´en a los conceptos de usufructo y nuda propiedad. Definici´ on 10.22 Dado un pr´estamo por C0 , convenido a n per´ıodos, a una tasa i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n per´ıodos). El valor al momento 0 ≤ k ≤ n − 1 de la sucesi´ on de cuotas de inter´es Ik+1 , . . . , In a una tasa im dada, recibe el nombre de usufructo al momento k Uk (im ) =
n X
Ih h−k
h=k+1 (1 + im )
(10.14)
El usufructo representa el “fruto” (r´edito, ganacia o utilidad) pendiente al momento k que el pr´estamista obtendr´a por haber otorgado el pr´estamo. Definici´ on 10.23 Dado un pr´estamo por C0 , convenido a n per´ıodos, a una tasa i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n per´ıodos). El valor al momento 0 ≤ k ≤ n − 1 de la sucesi´ on de cuotas de amortizaci´ on Ak+1 , . . . , An a una tasa im dada, recibe el nombre de nuda propiedad al momento k Nk (im ) =
n X
Ah h−k
h=k+1
(1 + im )
(10.15)
10.2. USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD
235
La nuda propiedad es el valor actual de la parte de la propiedad (dinero) al momento k que el pr´estamista ha cedido (temporalmente) al prestario. Como para cada k se cumple que ak = Ak + Ik es claro que V AMk (im ) = Uk (im ) + Nk (im )
(10.16)
La f´ ormulas anteriores son generales y funcionan para cualquier pr´estamo a inter´es sobre saldos. Pero toman formas particulares en cada sistema. Dado un pr´estamo por C0 , por sistema franc´es, convenido a n per´ıodos, a una tasa pactada i (dimensionalmente compatible con la unidad temporal de los n per´ıodos). El valor actual de mercado al per´ıodo k, 1 ≤ k ≤ n − 1, a la tasa de mercado im (con la misma unidad temporal que i) es V AM Fk (im )
n X
=
a
h=k+1
(1 + im )
n−k X
1
= a
h−k
h
(1 + im )
h=1
Entonces −(n−k)
V AM Fk (im )
= a
1 − (1 + im ) im
(10.17) −(n−k)
= C0
1 − (1 + im ) i 1 − (1 + i)−n im
(10.18)
El usufructo y la nuda propiedad son un poco m´as complicados de calcular. El usufructo en sistema franc´es al per´ıodo k es U Fk (im )
=
n X
Ih h−k
h=k+1
(1 + im )
n
=
C0 i n X
(1 + im )
h=k+1
k
=
h−1
(1 + i) − (1 + i) n (1 + i) − 1
C0 i (1 + im ) n (1 + i) − 1
h−k
n X
(1 + i)
h=k+1
(1 + im )
h−1
n h
−
(1 + i)
!
h
(1 + im )
Por lo tanto n
U Fk (im ) = C0
i (1 + i) n (1 + i) − 1 (1 + im )n−k
(1 + i )n−k − 1 m − im
k−n 1+i − 1 1 + im im − i (10.19)
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
236
Mientras que la nuda propiedad en sistema franc´es es N Fk (im )
=
n X
Ah
h=k+1 (1 n X
+ im )
= A1
h−k
(1 + i)h−1 h−k
(1 + im ) n−k 1+i 1− 1 + im = A1 (1 + i)k im − i h=k+1
(10.20)
de donde podemos concluir N Fk (im ) = C0 (1 + i)k
i (1 + i)n − 1
1−
1+i 1 + im im − i
n−k (10.21)
Concideremos ahora el siguiente ejemplo Ejemplo 10.24 La financiera ”Su amigo Adri´ an” desea abrir una nueva sucursal. Por lo que necesita fondos por $ 2.500.000. En este momento dispone de $ 1.150.000 en efectivo para invertir. Como no desea descapitalizarse, el resto de los fondos planea obtenerlos vendiendo con un 10 % de descuento el usufruto de los siguientes pr´estamos que ha concedido h 1) 2) 3)
C0 $ 2.000.000 $ 1.000.000 $ 400.000
(12)
ih 0,015 0,008 0,01
nh 120 60 36
Hoy: kh 23 45 20
Suponer que la tasa de mercado es i(12) m = 0, 007 El problema nos pide calcular 1 2 3 U F23 (0.007) + U F45 (0.007) + U F20 (0.007) (1 − 0.1) Ahora usando (10.19) y recordando que C01 = 2.000.000, i = 0, 015, n = 120, 1 k = 23 e im = 0, 007, tenemos que U F23 (0, 007) es igual a 23−120 1 + 0.015 1 + 0.015 120 − 120−23 2000000 · 0.015 1 + 0.015 −1 1 + 0.007 1 + 0.007 (1 + 0.007) − 120 0.007 0.007 − 0.015 (1 + 0.015) − 1 1 + 0.007 Por lo tanto 1 U F23 (0, 007) = 1.304.204, 826
10.2. USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD
237
De manera similar calculamos 2 U F45 (0, 007)
=
18.574, 76627
3 U F20
=
16.333, 33841
(0, 007)
Por lo tanto 1 2 3 U F23 (0.007) + U F45 (0.007) + U F20 (0.007) (1 − 0.1) = 1.339.112, 931 de los cuales utiliza $ 1.350.000, sobrandole $ 10.887,07. Tambi´en podemos calcular el valor de mercado de cada uno de los pr´estamos considerados, por ejemplo −(n−k)
1 V AM F23 (0.07)
= C0
i 1 − (1 + im ) 1 − (1 + i)−n im
−(120−23)
= =
1 − (1 + 0, 007) 0, 015 1 − (1 + 0, 015)−120 0, 007 2.531.216, 584
2.000.000
Ejercicio 10.25 Calcular el valor de mercado de los restantes pr´estamos La nuda propiedad del primer pr´estamo es n−k 1+i 1− i 1 + im 1 N F23 (0.007) = C0 (1 + i)k n (1 + i) − 1 im − i 120−23 1 + 0, 015 1− 0, 015 1 + 0, 007 = 2.000.000(1 + 0, 015)k 120 (1 + 0, 015) − 1 0, 007 − 0, 015 = 1.227.011, 758
Y se verifica que (10.16) 1 1 U23 (0, 007) + N F23 (0, 007)
=
1 V AM F23 (0, 007)
1.304.204, 826 + 1.227.011, 758
=
2.531.216, 584
Ejercicio 10.26 Calcular la nuda propiedad de los pr´estamos restantes y verificar que se cumple(10.16). Ejercicio 10.27 Ud. es trabaja para la financiera “”Pedro, su mejor amigo”. El gerente desea saber cual es el valor actual de la siguiente cartera de pr´estamos h 1) 2) 3) 4)
$ $ $ $
C0 2.500.000 1.500.000 3.400.000 5.050.000
(12)
ih 0,021 0,012 0,011 0,018
nh 120 60 36 120
Hoy: kh 32 22 16 75
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
238
Suponer que la TEM de mercado al d´ıa de hoy es del 1 %. El gerente quiere la informaci´ on desglosada: capital pendiente, valor actual de mercado, usufructo y nuda propiedad. Ejercicio 10.28 Volver a realizar el ejercicio anterior, suponiendo que la tasa de mercado es una TEM del 1,8 %
10.3
Per´ıodo de gracia
Definici´ on 10.29 Diremos que existe un per´ıodo de gracia de duraci´ on d ≥ 2 cuando existen d per´ıodos de tiempo entre el desembolso del pr´estamo y el pago del primer t´ermino amortizativo. Los per´ıodos de gracias no modifican sustancialmente el esquema de pr´estamo. Su u ´nico efecto sobre las f´ormulas dadas hasta ahora es la sustituci´on de C0 por d−1 C0 (1 + i) . Pues tomar un pr´estamo hoy por C0 a la tasa i, y comenzar a pagarlo al momento d es financieramente equivalente a tomar un pr´estamo por d−1 C0 (1 + i) en el momento d − 1, a la misma tasa i (ambos con la misma catidad de cuotas). Nota 10.30 PONER DIBU Por razones de completitud daremos las f´ormulas asociadas, las cuales son d−1 las mismas que antes, pero cambiando C0 por C0 (1 + i) y teniendo en cuenta un peque˜ no ajuste sobre los sub´ındices. T´ermino amortizativo: a=
C0 i (1 + i)
d−1 −n
1 − (1 + i)
Sigue valiendo que la relaci´on recursiva entre las cuotas de amortizaci´on Ah = Ah−1 (1 + i) por lo cual h−1
Ah = A1 (1 + i)
Debemos notar ahora que A1 est´a disponible en el momento d, A2 en el momento d + 1, y en general Ah est´a disponible en el momento d + h − 1 Una observaci´ on similar vale para el resto de las cantidades significativas Ih , Ch y Mh est´an disponibles en el momento d + h − 1 El valor de A1 es A1
=
a − C0 i (1 + i)
=
C0
d−1
d−1
i (1 + i) n (1 + i) − 1
10.3. PER´IODO DE GRACIA
239
El capital pendiente es n
d−1
Ch = C0 (1 + i)
(1 + i) − (1 + i) n (1 + i) − 1
h
El total amortizado es h
Mh = C0 (1 + i)
d−1
(1 + i) − 1 n (1 + i) − 1
Finalmente la cuota de inter´es es n
d−1
Ih = Ch−1 i = C0 (1 + i)
h−1
(1 + i) − (1 + i) n (1 + i) − 1
i
Ejemplo 10.31 Un banco nos ofrece un pr´estamo de $ 20 000 a 5 a˜ nos, a pagar en cuotas mensuales consecutivas he iguales por el m´etodo franc´es. La TNA que nos cobran es del 18%. Nos ofrecen 3 meses de gracias. Se pide calcular: a, A23 , I18 , M50 , y C30 . Confeccionar el cuadro de marcha. T´ermino amortizativo: a=
C0 i (1 + i)
d−1 −n
1 − (1 + i)
=
20000 ·
0.18 12
1− 1+
0.18 3−1 12 0.18 −60 12
1+
= 512.22
Ahora confeccionaremos el cuadro de marcha n 0 1 2 3 .. .
h
0 1
a 512.22 .. .
Ih 309.675 .. .
Ah 203.1525 .. .
Mh 203.1525 .. .
Ch 20000 20300 20604.5 20401.3475 .. .
Ejemplo 10.32 Nota 10.33 PONER DIBU Ejercicio 10.34 Calcular el resto de datos requeridos en el problema anterior y terminar el cuadro de marcha. Ejercicio 10.35 Una empresa recibe un pr´estamo por $ 5 000 000 para la compra de un nuevo equipo de producci´ on, la empresa espera amortizar el prestamo con las ganacias que le reporte la nueva maquinaria, por lo que solicita un per´ıodo de gracia de 6 meses, el cu´ al le es otorgado. El pr´estamo es acordado por sistema franc´es, a pagar en 3 a˜ nos en cuotas cuatrimestrales con una TEA del 19.5%. Calcular: a, A5 , I9 , M6 , y C2 . Confeccionar el correspondiente cuadro de marcha.
240
10.4
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
CFT: costo financiero total. Efecto de impuestos, gastos y seguros
En todo pr´estamo (legal) existen varios factores que influyen sobre la rentabilidad real que obtendr´ a el acreedor o pr´estamista, y sobre el costo real para el prestatario o deudor (conocido como CFT, costo financiero total, en Argentina, ver nota 10.36). En los pr´estamos a tasa fija los principales factores son: impuestos, seguros, comisiones y gastos operativos. Como marco de trabajo supongamos un pr´estamo a inter´es sobre saldos por C0 , a una tasa i, pactado a n per´ıodos. Por ahora no especificaremos el sistema. Efecto de los impuestos Los impuestos pueden impactar sobre ambos agentes: prestamista y prestatario. Pero en general el agente con m´as poder transfiere la carga impositiva al otro agente en el contrato, por lo que t´ıpicamente el prestatario (deudor) es quien t´ermina pagando los impuestos asociados a un pr´estamo. El estado suele cobrar impuestos cada vez que el dinero cambia de manos, por lo que habr´ a una serie de impuestos iniciales (sellados, impuestos provinciales varios, etc) los cuales son cobrados al momento de otorgar el pr´estamo. Llamaremos G a la suma de estos. Adem´as el estado cobra otros impuestos en cada cuota de amortizaci´on, los cuales pueden constar de una suma fija g (sellados) y un par de tasas impositivas: τ A y τ I las cuales actuan sobre la cuota de capital Ah y la cuota de inter´es Ih , las cuales t´ıpicamente suelen ser constantes a lo largo de un pr´estamo. Por lo que si consideramos los impuestos, el deudor en lugar de C0 recibir´ a C0d = C0 − G y en lugar de pagar cada per´ıodo ah , debe entregar adh = Ah (1 + τ A ) + Ih (1 + τ I ) + g, para 1 ≤ h ≤ n Por ejemplo en Argentina, el estado cobra IVA (impuesto sobre el valor agragado) sobre las cuotas de inter´es: τ I = 21%; y no cobra (a´ un) impuestos sobre las cuotas de capital: τ A = 0%. Efecto de los seguros Agregaremos ahora el efecto de los seguros. T´ıpicamente todo pr´estamo obliga al deudor o pr´estatario a tomar uno o varios seguros (de vida, contra incendios, contra todo riesgo, etc) en favor del pr´estamista o acreedor. El seguro impacta directamente sobre el pr´estatario (deudor). Eventualmente el pr´estatario deber´ a pagar al momento inicial el costo de contratar el seguro, esta suma de dinero debe ser agregada a la suma G. Luego, per´ıodo a per´ıodo, deber´a pagar, eventualmente, un costo fijo el cual se agrega a g, m´as un costo variable dado por una tasa σ, la cual se cobra sobre el capital pendiente. Al tener en cuenta el efecto de los seguros sobre el pr´estatario (deudor), tenemos que en lugar de C0 recibir´a C0d = C0 − G
10.4. CFT: COSTO FINANCIERO TOTAL. EFECTO DE IMPUESTOS, GASTOS Y SEGUROS241 donde ahora G no s´ olo incluye los impuestos iniciales, sino tambi´en costo inicial de contratar un seguro. Por otro lado en lugar de pagar cada per´ıodo ah , debe entregar adh = Ah (1 + τ A ) + Ih (1 + τ I ) + σCh + g, para 1 ≤ h ≤ n ahora g no s´ olo incluye los impuestos per´ıodicos (sellados), si los hubira, sino tambi´en costo cualquier costo fijo mensual asociados a la la contrataci´on de un seguro. Efectos de los gastos operativos El efecto de los gastos operativos impacta siempre sobre ambos agentes. En el caso del prestatario (deudor), representa el costo (certificados, gastos de otorgamiento, honorarios de peritos y notarios, gastos de evaluaci´on, costo de apertura y mantenimiento de una cuenta, etc) en los que se incurre para tomar el pr´estamo y realizar los pagos per´ıodicos. La suma de estos costos iniciales debe ser agregada a G. Por otro lado pagar cada cuota le costar´a al prestatario una cantidad g (costo de mantenimiento de cuenta, costo de traslado para pagar cada cuota, etc). Al agregar a nuestro an´ alisis el efecto de estos gastos operativos, el prestatario recibir´ a en lugar de C0 la suma de C0d = C0 − G
(10.22)
donde G es la suma de todos los montos que el prestatario debe pagar al momento inicial: impuestos, seguros y gastos. Finalmente, en cada per´ıodo en lugar de ah el prestatario deber´ a desembolsar adh = Ah (1 + τ A ) + Ih (1 + τ I ) + σCh + g, para 1 ≤ h ≤ n
(10.23)
donde g es la suma de todos los montos que el deudor de pagar per´ıodicamente: sellados (imopuestos), cargos fijos de seguros, mantenimiento de cuenta, etc. En el caso del prestamista, llamaremos GP al costo operativo inicial en el que incurre por otorgar el pr´estamo (horas hombre, formularios, publicidad y gastos operativos generales). Adem´ as el cobro de cada t´ermino amortizativo tiene un costo operativo g que representa el costo de impresi´on y env´ıo de las facturas, horas hombre, etc. Al considerar estos factores, el pr´estamista deber´a desembolsar en lugar de C0 la suma de (10.24) C0p = C0 + GP Mientras que en cada per´ıodo, recibir´a la suma de aph = ah − gp , para 1 ≤ h ≤ n
(10.25)
Teniendo en cuenta esta informaci´on surgen las siguientes preguntas ¿Cu´ al es la tasa que realmente t´ermina pagando el pr´estatario (CFT)? ¿Cu´ al es la tasa real que t´ermina ganando el prestamista?
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
242
Nota 10.36 El Banco Central de la Rep´ ublica Argentina, BCRA, llama costo financiero total CFT, a la tasa rd que t´ermina pagando el pr´estatario. El Costo Financiero Total (CFT) es la principal variable que se debe tener en cuenta al elegir un pr´estamo personal, prendario o hipotecario, ya que es el mejor indicador del costo global que deber´ a afrontar el cliente. Si bien la tasa informada por cada instituci´ on financiera es una variable importante a la hora de elegir un pr´estamo, cuando se eligen alternativas de financiaci´ on es mejor comparar los CFT, ya que una tasa m´ as baja no significa un CFT m´ as bajo, pues al incluir los costos adicionales en los c´ alculos, puede ocurrir que la instituci´ on que ofrece una tasa m´ as baja tenga un CFT mayor. El BCRA establece que el CFT se debe expresar en forma de tasa efectiva anual, en tanto por ciento con dos decimales. Adem´ as ha decretado que los bancos est´ an obligados a exponer en pizarras, colocadas en sus sucursales, informaci´ on sobre tasas de inter´es de las l´ıneas de cr´edito ofrecidas como as´ı tambi´en el CFT. Similarmente, cuando los bancos hacen publicidad de sus cr´editos deben adjudicarle al CFT mayor o igual importancia -en t´erminos de tama˜ no y tiempoque la asignada a la TNA, la cantidad de cuotas y/o su importe. Para el caso de operaciones pactadas a tasa variable, el CFT se calcula en base a la tasa vigente al momento de su concertaci´ on, y deber´ a quedar claro que este costo se modificar´ a cada vez que var´ıe la tasa de inter´es. La tasa real rd del pr´estamo para el prestatario (deudor) es la tasa que produce la equivalencia finaciera entre lo que efectivamente recibe C0d y el valor actual de la renta generada con los t´erminos que realmente paga: ad1 , ad2 , . . . , adn C0d =
n X
adh h
h=1
(1 + rd )
(10.26)
Similarmente, la tasa real rp del pr´estamo para el prestamista (acreedor) es la tasa efectiva que realiza la equivalencia financiera entre el capital que efectivamente deseembolsa C0p y la renta que efectivamente recibe, i.e., la renta de t´erminos ap1 , ap2 , . . . , apn C0p =
n X h=1
aph (1 + rp )
h
(10.27)
Es claro que siempre se cumple que C0d < C0 < C0p y que para cada 1 ≤ h ≤ n aph < ah < adh De las desigualdades anteriores se puede concluir que la tasa real rd que paga el deudor o prestatario es siempre mayor que la tasa declarada i, y que la tasa real rp que gana el acreedor o pr´estamista es siempre menor que i: rp < i < rd
(10.28)
10.4. CFT: COSTO FINANCIERO TOTAL. EFECTO DE IMPUESTOS, GASTOS Y SEGUROS243 Como (recordar que adh > ah ) n X
ah
h=1
(1 + i)
h
= C0 >
C0d
=
n X h=1
adh (1 + rd )
h
>
n X
ah h
h=1
(1 + rd )
Por la monoton´ıa de las funciones potenciales, podemos concluir que 1 1 > 1+i 1 + rd de donde es f´ acil deducir que i < rd . Similarmente, como (recordar que aph < ah ) n X
ah h
h=1
(1 + i)
= C0 < C0p =
n X
aph h
h=1
(1 + rp )
<
n X
ah h
h=1
(1 + rp )
de donde se deduce que rp < i. Las f´ ormulas (10.26) y (10.27) toman formas particulares en cada sistema de pr´estamo. Veamos como son en el sistema franc´es. Analizaremos primero lo que ocurre con el deudor en un pr´estamo por sistema franc´es por un monto C0 , a una tasa efectiva i, pactado a n per´ıodos (tasa y per´ıodos dimensionalmente compatibles). Consideraremos los t´erminos que efectivamente debe desembolsar el pr´estatario: adh = Ah (1 + τ A ) + Ih (1 + τ I ) + σCh + g, para 1 ≤ h ≤ n donde g es el agregado de todas las sumas fijas que se le cobran per´ıodo a per´ıodo al pr´estatario (sellados, costos fijos por seguros, mantenimiento de cuenta, etc). Por lo tanto C0d
= =
n X h=1 n X
adh (1 + rd )
h
Ah (1 + τ A ) + Ih (1 + τ I ) + σCh + g h
(1 + rd )
h=1
Recordando que en el sistema franc´es C0 i n (1 + i) − 1
A1
=
Ah Ih
= A1 (1 + i) n h−1 = A1 (1 + i) − (1 + i)
Ch
= A1
h−1
n
h
(1 + i) − (1 + i) i
tenemos que C0d es igual la suma de las siguientes partes
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
244
C0d = amortizaci´ on + inter´ es + seguros + gastos donde parte amortizativa parte de inter´es
= A1 (1 + τ A ) = A1 (1 + τ I )
n h−1 X (1 + i) h
h=1 n X
(1 + rd ) n
h
(1 + rd )
h=1
parte de los seguros
h−1
(1 + i) − (1 + i)
n n h σA1 X (1 + i) − (1 + i) h i (1 + rd )
=
h=1
parte de los gastos fijos
=
g
n X h=1
1 (1 + rd )
h
Ahora como n h−1 X (1 + i) h
h=1
(1 + rd )
h n 1 X 1+i 1+i 1 + rd h=1 n 1+i 1− 1 1+i 1 + rd 1+i 1 + i 1 + rd 1− 1 + rd n 1+i 1− 1 + rd rd − i
=
=
= y n X h=1
−n
1 (1 + rd )
h
=
1 − (1 + rd ) rd
Obtenemos la siguiente expresi´on
1+i 1− 1 + i 1 + rd C0d = A1 τ A − τ I − σ i rd − i
n
1 − (1 + r )−n σ d n +g + A1 (1 + i) 1 + τ I + i rd (10.29) Como es claro de la f´ormula anterior, debemos usar Newton-Raphson o m´etodo de la secante para hallar la tasa rd que efectivamente paga el prestatario o deudor. Por eso damos la expresi´on para la derivada respecto de rd que se debe usar en el esquema de Newton-Raphson: n n 1+i 1+i n 1− 1+i 1 + rd 1 + rd − A1 (1 + i)n 1 + τ I + σ + g A1 τ A − τ I − σ − 2 (1 + rd ) (rd − i) i i (rd − i) (10.30)
n (1 +
10.4. CFT: COSTO FINANCIERO TOTAL. EFECTO DE IMPUESTOS, GASTOS Y SEGUROS245 Esperamos que con el siguiente ejemplo el lector pueda sacar algo en limpio.
Ejemplo 10.37 La Srta. Georgina desea sacar un pr´estamo personal por $ 5.000 a sistema franc´es, a pagar en un a˜ no de forma mensual. Ella acude a dos Bancos: Banco del Sur y Banco del Norte. En la siguiente tabla a recogido toda la informaci´ on relevante: Items TEM Gastos de otorgamiento y evaluaci´ on Gastos de Apertura de cuenta Gastos de mantenimiento de cuenta Seguro mensual sobre saldo
Sur 1,1% $ 200 $ 25 $7 0,5%
Norte 1,35% Sin cargo $ 45 Sin cargo 0,65%
La Srta. Georgina quiere saber el CFT de cada una de las opciones. Para lo cual hay que tener en cuenta que el estado nacional cobra IVA del 21% sobre las cuotas de inter´es y el estado provincial cobra un impuesto al inicio (”sellados”) del 1.5% del monto solicitado.
Los gastos iniciales en los que incurrir´ıa la Srta. Georgina son Items Gastos de otorgamiento y evaluaci´on Gastos de Apertura de cuenta Primera cuota de seguro Sellados provinciales G (suma de los gastos iniciales)
Sur $ 200 $ 25 $ 25 $ 75 $ 325
Norte Sin cargo $ 45 $ 32.5 $ 75 $ 152.5
Otros datos relevantes para el pr´estamo de la Stra. Georgina son Items i (TEM) τA τ I (IVA) σ (seguros) g (gastos fijos mensuales)
Sur 0,011 0 0,21 0,005 $7
Norte 0,0135 0 0,21 0,0065 Sin cargo
A continuaci´ on daremos los cuadros de marcha de las dos opciones (este paso no es necesario en general, pero clarifica la exposici´on) y el c´alculo del CFT. Cuadro de marcha del pr´estamo del Banco Sur (en este cuadro se hicieron las cuentas con 5 decimales, pero se volcaron los resultados con dos decimales a fin de simplificar la lectura del cuadro).
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
246
Seguro σCh
h
a
Ah
Ih
Ih (1 + τ I )
Ch
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
447,06 447,06 447,06 447,06 447,06 447,06 447,06 447,06 447,06 447,06 447,06 447,06
392,06 396,37 400,73 405,14 409,59 414,10 418,65 423,29 427,91 432,62 437,38 442,19
55 50,69 46,33 41,92 37,46 32,96 28,40 23,80 19,14 14,43 9,68 4,86
66,55 61,33 56,06 50,72 45,33 39,88 34,37 28,79 23,16 17,47 11,71 5,89
5000 4607,94 4211,58 3810,85 3405,71 2996,12 2582,02 2163,37 1740,11 1312,19 879,57 442,19 −2, 4 · 10−11
Mh
23,04 21,06 19,05 17,03 14,98 12,91 10,82 8,70 6,56 4,40 2,21 −1, 2 · 10−13
0 392,06 788,42 1189,15 1594,29 2003,88 2417,98 2836,63 3259,89 3687,81 4120,43 4557,81 5000
T´erm real
gastos fijos 325 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
488 485 482 479 476 473 470 467 464 461 458 455
Usaremos Newton-Raphson para hallar el CFT de cada opci´on. Para realizar el c´ alculo del CFT del Banco Sur necesitaremos las calcular las contantes 1 + 0.011 1+i = 392, 0556788 0 − 0.21 − 0.005 A1 τ A − τ I − σ i 0.011 = −262, 4990977 σ 0.005 n 12 A1 (1 + i) 1 + τ I + + g = 392, 0556788 (1 + 0.011) 1 + 0.21 + +7 i 0.011 = 751, 1444981 Luego la funci´ on f del esquema de Newton-Raphson es 1− f (rk ) = −262, 4990977
1 + 0, 011 1 + rk rd − 0, 011
12 −12
+751, 1444981
1 − (1 + rk ) rk
−4675
y su derivada es 12 12 1 + 0, 011 1 + 0, 011 1− 12 1 + rk 1 + rk 0 − f (rk ) = −262, 4990977 −751, 1444981 2 (1 + rk ) (rk − 0, 011) (rd − 0, 011)
Por lo que podemos conseguir el siguiente esquema iterativo, donde hemos usado como criterio de parada un nivel de correcci´on de 0,0001 y como semilla una tasa un poco mayor a la tasa del pr´estamo, en este caso usamo i0 = 0, 015.
−12−
12 (1 + rk ) rk
10.4. CFT: COSTO FINANCIERO TOTAL. EFECTO DE IMPUESTOS, GASTOS Y SEGUROS247
k
ik
f (ik )
f 0 (ik )
0 1 2 3
0, 015 0, 030161925 0, 031284399 0, 031289944
481, 0656965 31, 12811474 0, 152256433
−31728, 53642 −27731, 70231 −27460, 95625
f (ik ) f 0 (ik ) 0, 015161925 0, 001122474 5, 54447 · 10−6 −
Vale la pena destacar que usando m´etodos un poco m´as sofisticados se pueden hallar otras tasas que igualan C0d con la renta de los adh , las mayor´ıa de ellas son compejas, pero no todas (no es sorprendente desde el punto de vista matem´ atico que existan varias tasas y que la mayor´ıa sean complejas). x1
= −1, 780945411
x2
= −1, 684774678 − 0, 3795459427 i
x3
= −1, 684774678 − 0, 3795459427 i
x4
= −1, 418029169 − 0, 6693482554 i
x6
= −1, 418029169 + 0, 6693482554 i
x7
= −1, 040854227 − 0, 7996930283 i
x8
= −1, 040854227 + 0, 7996930283 i
x9
= −0, 6372049230 − 0, 7358225463 i
x9
= −0, 6372049230 + 0, 7358225463 i
x10
= −0, 2920477297 − 0, 4821554719 i
x11
= −0, 2920477297 + 0, 4821554719 i
x12
=
0, 03128994420
La pregunta importante es, con cual debemos quedarnos. Bueno, son faciles de descartar las soluciones complejas. Como estamos buscando una tasa positiva, tambi´en es facil descartar las tasas negativas. Adem´as la tasa que buscamos debe ser mayor que la declarada por el banco. Con un poco de suerte, s´olo habr´a una tasa entre i y 1, y esa es la tasa que buscamos, la cual es la que habitualmente nos brindar´ a Newton-Raphson si usamos como ra´ız la tasa declarada por el banco o una ligeramente mayor. Como ya se explico el CFT es una tasa efectiva anual, de hecho, el CFT del Banco Sur, para este pr´estamo es la TEA equivalenta a la tasa mensual real: 12 CF T = 1 + r(12) −1 =
(1 + 0, 03128994420)
=
0, 447336105
12
−1
Por lo que el CFT para la Srta. Georgina en el Banco Sur es del 44,7336105%. Mientras que la TEA equivalente a la tasa declara por el banco es del 14,0286196% pues 12 i = (1 + 0, 011) − 1 = 0, 140286196
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
248
Por otro lado el cuadro de marcha del pr´estamo del Banco Norte es:
h
a
Ah
Ih
Ih (1 + τ I )
Ch
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
454,13 454,13 454,13 454,13 454,13 454,13 454,13 454,13 454,13 454,13 454,13 454,13
386,63 391,85 397,14 402,50 407,93 413,44 419,02 424,68 430,41 436,22 442,11 448,08
67,50 62,28 56,99 51,63 46,20 40,69 35,11 29,45 23,72 17,91 12,02 6,05
81,67 75,36 68,96 62,47 55,90 49,23 42,48 35,63 28,70 21,67 14,54 7,32
5.000 4.613,37 4.221,53 3.824,39 3.421,89 3.013,96 2.600,52 2.181,50 1.756,82 1.326,41 890,19 448,08 0,00
Seguro σCh 29,99 27,44 24,86 22,24 19,59 16,90 14,18 11,42 8,62 5,79 2,91 0,00
Mh 0 386,63 778,47 1.175,61 1.578,11 1.986,04 2.399,48 2.818,50 3.243,18 3.673,59 4.109,81 4.551,92 5.000,00
gastos fijos 152,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T´ermino real adh 505,29 501,65 497,95 494,21 490,42 486,58 482,68 478,73 474,73 470,67 466,56 462,40
Usaremos Newton-Raphson para hallar el CFT del Banco Norte. Como antes, calculamos primero in par de constantes A1
1+i τA − τI − σ i
= =
n
A1 (1 + i)
σ 1 + τI + +g i
= =
1 + 0, 0135 386, 6276444 0 − 0, 21 − 0, 0065 0, 0135 −269, 858936 0, 0065 12 386, 6276444 (1 + 0, 0135) 1 + 0, 21 + +7 0, 0135 775, 1485007
Luego la funci´ on f del esquema de Newton-Raphson para operaci´on con el Banco Norte es 1− f (rk ) = −269, 858936
1 + 0, 0135 1 + rk rd − 0, 0135
12 −12
+775, 1485007
1 − (1 + rk ) rk
−4.847, 50
y su derivada 12 12 1 + 0, 0135 1 + 0, 0135 1− 12 1 + rk 1 + rk f 0 (rk ) = −269, 858936 − +775, 1485007 2 (1 + rk ) (rk − 0, 0135) (rd − 0, 0135)
Por lo que podemos conseguir el siguiente esquema iterativo, donde hemos usado como criterio de parada un nivel de correcci´on de 0,0001 y como semilla
−12−
12 (1 + rk ) rk
10.4. CFT: COSTO FINANCIERO TOTAL. EFECTO DE IMPUESTOS, GASTOS Y SEGUROS249 una tasa un poco mayor a la tasa del pr´estamo, en este caso usamos i0 = 0, 015. k
ik
f (ik )
f 0 (ik )
0 1 2 3
0, 015 0, 028642582 0, 029542582 0, 029546147
442, 7907442 25, 87845723 0, 101704077
−32456, 52095 −28753, 8384 −28528, 19155
f (ik ) f 0 (ik ) 0, 013642582 0, 0009 3, 56504 · 10−6 −
El CFT del Banco Norte, es la TEA equivalenta a la tasa mensual real obtenida por Newton-Raphson: CF T
12
=
=
(1 + 0, 029546147)
=
0, 4182240266
(12)
1 + rd
−1 12
−1
Por lo que el CFT para la Srta. Georgina en el Banco Sur es del 41,82240266%. Mientras que la TEA equivalente a la tasa declara por el banco es del 17,4586585% pues 12 i = (1 + 0, 0135) − 1 = 0, 174586585 El siguiente cuadro resume toda la informaci´on relevante para tomar una decisi´ on: TEM TEA TNA (12) rd CFT
Sur 1.1 % 14,0286196% 13,2% 3,128994420% 44,7336105%
Norte 1.35 % 17,4586585 % 16.2 % 2,9546147% 41,82240266%
De esta manera, aunque el Banco Sur declare una tasa m´as baja, el efecto de los restantes costos hace que la opci´on m´as conveniente para la Srta. Georgina sea el Banco Norte. Se debe notar, que en ambos casos, al tener en cuenta todos los factores la tasa que efectivamente paga la Srta. Georgina, la tasa efectiva (12) mensual que real para el deudor rd , es muy superior a la tasa i(12) declarada por los bancos.
Ejemplo 10.38 Una empresa acude a un banco y pide pr´estados $ 500 000. Se conviene una TEM del 1.04%. Si se usa sistema franc´es, el pr´estamo dura 1 a˜ no, a pagar en cuotas mensuales. Los gastos de otorgamiento son de $ 250 m´ as un sellado de $ 100. Es estado cobra unos impuestos sobre los pr´estamos del 0.5% del monto otorgado. Sobre las anualidades el estado cobra un impuesto
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
250
del 1%, y un sellado de $ 5. El costo interno de otorgamiento para el banco es de $ 500, y cobrar cada anualidad le cuesta $ 35. ¿Cual´es son las tasas reales de la operaci´ on? Primero calcularemos el monto que efectivamente recibe la empresa: = C0 (1 − t0 ) − s0
c0 C
=
500000 (1 − 0.005) − (250 + 100)
=
497150
Mientras que el banco desembolsa C0
=
C0 + c0
=
500000 + 500
=
500500
Los t´erminos amortizativos que debe pagar la empresa son (a = $ 44 536.7466196): b a = = = =
a (1 + t) + s a (1 + 0.01) + 5 500000 · 0.0104 1 − (1 + 0.0104) 44987.1140858
−12
(1 + 0.01) + 5
mientras que los que recibe el banco son a
=
a−c
=
44 536.7466196 − 35
=
44531.7466196
La tasa real que debe pagar la empresa es (deudor) la que produce c0 C
1 − 1 + idr = b a idr
−n
1 − 1 + idr 497150 = 44987.1140858 idr −12 1 − 1 + idr 11.0509422554 = idr
−12
Lo que nos da una tasa idr = 0.0129089158023 usando m´etodos n´ umericos. Es decir la tasa que realmente paga la empresa es del 1.2908916 % mensual (y no la del 1.04% que le dice el banco).
10.4. CFT: COSTO FINANCIERO TOTAL. EFECTO DE IMPUESTOS, GASTOS Y SEGUROS251 Por otro lado la tasa que realmente gana el banco es la que produce −n
1 − (1 + iar ) iar
C0
=
a
500500
=
44531.7466196
11.2391729046
=
1 − (1 + iar ) iar
1 − (1 + iar ) iar
−12
−12
Al resolver n´ umericamente, obtenemos iar = 0.0102238824627 La tasa que realmente gana el banco es del 1.02238824627% mensual (y no la del 1.04%). Nota 10.39 Recomendaciones del Banco Central de la Rep´ ublica Argentina para contratar un pr´ estamo: 1. La tasa de inter´es no es el u ´nico dato a tener en cuenta para elegir un pr´estamo. Al costo de la tasa deben sumarse los gastos adicionales y los seguros, de lo que resulta el Costo Financiero Total (CFT). El CFT es la verdadera carga financiera de un pr´estamo y es el dato en base al cual deben compararse las ofertas de las distintas entidades. 2. Se puede optar entre una tasa de inter´es que se mantenga estable a lo largo del pr´estamo (tasa fija) o que var´ıe peri´ odicamente (tasa variable). En este u ´ltimo caso, el cliente debe conocer cu´ al ser´ a el par´ ametro para ajustarla. 3. Si la entidad percibe gastos de administraci´ on, se debe analizar cu´ al es el costo y c´ omo se aplica (en porcentaje de la cuota, en porcentaje del saldo de deuda o un monto fijo, etc.). 4. Tambi´en debe analizarse, siguiendo iguales criterios, si la entidad cobra gastos de otorgamiento. 5. Si el pr´estamo incluye la contrataci´ on de un seguro de vida, se debe analizar de qu´e forma es cobrado por la entidad. Seg´ un la ley, el cliente tiene derecho a elegir entre tres diferentes aseguradoras. 6. Si el tomador del pr´estamo es consumidor final deber´ a pagar el IVA sobre los intereses abonados cada mes, lo que impactar´ a en la cuota. 7. Si el pr´estamo contempla la posibilidad de una cancelaci´ on anticipada, parcial o total, es conveniente conocer cu´ al es su costo. 8. Algunas entidades financieras obligan a contratar productos adicionales junto con el pr´estamo (cajas de ahorro, cuentas corrientes, tarjetas de cr´edito). A la hora de decidir, su costo debe a˜ nadirse al de la cuota.
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
252
9. Muchas entidades financieras ofrecen ventajas para sus clientes con ”cuentassueldos”. Estos beneficios deben contemplarse en la comparaci´ on con otras entidades. 10. Todas las condiciones informadas por la entidad financiera al momento de ofrecer el pr´estamo deben figurar en el contrato. Es importante revisarlo minuciosamente, con el fin de evitar firmar cl´ ausulas sobre las que el cliente no tiene conocimiento. Ejercicio 10.40 Hacer el cuadro de marcha (para el prestatario) del pr´estamo anterior (agregar las siguientes columnas: tasas, gastos fijos, b a; a continuaci´ on de la columna de cuotas de capital). Ejercicio 10.41 Un banco le ofrece un pr´estamo de $ 50 000 a una TEA del 21% por sistema franc´es, a pagar en 5 a˜ nos en cuotas mensuales consecutivas. Los gastos de otorgamiento son de $ 350 m´ as un sellado de $ 150. Es estado cobra unos impuestos sobre los pr´estamos del 1.5% del monto otorgado. Sobre las anualidades el estado cobra un impuesto del 5%, y un sellado de $ 10. Adem´ as el costo mensual del seguro obligatorio es de $ 39. El costo interno de otorgamiento para el banco es de $ 300, y cobrar cada anualidad le cuesta $ 25. ¿Cu´ ales son las tasas reales de la operaci´ on?
10.5
Cancelaci´ on anticipada total o parcial
Cancelaci´ on parcial: una variante que perminten ciertos contratos es adelantar una cantidad cualquiera de capital, no s´olo una cantidad entera de cuotas. En general si se dispone de una cierta cantidad de dinero al momento t + f , donde f es una fracci´ on de per´ıodo, todo lo que hay que hacer es cancelar los intereses generados y descontar del capital pendiente el resto del dinero. Por lo que el nuevo capital pendiente ser´a e = Ct (1 + i)f − adelanto C Para recalcular el pr´estamo debemos pactar una tasa y un per´ıodo de tiempo, lo habitual es mantener la tasa original, y mantener la cantidad de pagos que restaban por realizar. Ejemplo 10.42 En el caso del pr´estamo de la empresa, supongamos ahora que a lo 2 a˜ nos 7 meses y 19 d´ıas decide adelantar $ 410 000, pues el contrato le permite realizar cancelaciones parciales. Bueno, s´ olo debemos calcular la deuda actual e C
f
= Ct (1 + i) − adelanto 19
=
2676421.769 (1 + 0.015) 30 − 410000
=
2291778.32
´ ANTICIPADA TOTAL O PARCIAL 10.5. CANCELACION
253
y ahora recalculamos el pr´estamo para con i
=
n e
= n−t+1
0.015
=
84 − 31 + 1
=
54
Por ejemplo, la cuota de amortizaci´ on ahora ser´ a a
= = =
e Ci −e n
1 − (1 + i) 2291778.32 · 0.015 1 − (1 + 0.015) 62224.94690
−54
La cancelaci´ on total no es m´ as que un caso particular de la cancelaci´on parcial. Si en el momento t + f , decidimos cancelar el pr´estamo, entonces adelanto = Ct (1 + i)
f
Ejercicio 10.43 Ud. pide un pr´estamo a un banco de $ 80 000 para arreglar la cocina de su casa (¡menuda cocina!). Pacta con el banco pagar en cuotas mensuales por el t´ermino de 6 a˜ nos a una TEA del 24.3%. A los 4 a˜ nos, 9 meses y 7 d´ıas ud. decide adelantar $ 5500. 1. Recalcular el pr´estamo. 2. Recalcular el pr´etamo usando n = 6 meses. Compensaci´ on por adelantos Puede ocurrir que la situaci´ on econ´omica sea tal que el adelanto de capital p´erjudique al pr´estamista. Esto ocurre cuando la tasa actual ia que puede obtener el pr´estamista es m´ as baja que la tasa convenida i ia < i. En dicho caso el pr´estamista puede solicitar (si as´ı el contrato lo estipulara) una compensaci´ on. La forma sencilla de hacer esto es actualizar el flujo de fondos futuro a la tasa actual. Ejemplo 10.44 Volviendo al caso del pr´estamo de la empresa, supongamos ahora que a los 2 a˜ nos 7 meses y 19 d´ıas decide adelantar $ 410 000, pero la tasa actual que cobra puede ganar el banco es una TEM del 0.85%. Recalcular el pr´estamo:
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
254
En este caso, debemos usar la nueva tasa para actualizar el flujo de pagos y hallar lo que llamaremos deuda compensada # " −n+t+1 1 − (1 + ia ) a deuda compensadat+f = 1+ 1−f ia (1 + ia ) ! −84+31+1 73562.43293 1 − (1 + 0.0085) = 1+ 1− 19 0.0085 (1 + 0.0085) 30 =
3145402.862
Nota 10.45 PONER DIBU Ahora le decontamos a la deuda Nota 10.46 Poner dibu
10.6
Adelanto de cuotas
Adelanto de cuotas: es la opci´on que a veces (dependiendo del contrato) tiene el prestatario de pagar antes de la fecha de vencimiento las cuotas de capital. Seg´ un el contrato firmado, la cuotas adelantadas corresponden a uno u otro extremo del esquema de pago. Llamaremos adelanto inverso, al contrato que le da la opci´on al prestatario de adelantar cuotas de capital comenzando la u ´ltima An , siguiendo con la An−1 y as´ı sucesivamente. Llamaremos adelanto directo, al contrato que le da la opci´on al prestatario de adelantar las sucesivas cuotas de capital, comenzado con la siguiente que le toque amortizar, m´ as los intereses generados hasta el momento. En ambos caso, una vez efectivizado el adelanto de las cuotas se recalcula el pr´estamo con el nuevo capital pendiente, la misma tasa o una nueva (si correspondiera) y el n´ umero de per´ıodos que corresponda o un nuevo (si fuese posible repactar el n´ umero y la frecuencia de los per´ıodos de amortizaci´on). En general el adelanto de cuotas esta excento de gastos e impuestos. Desarrollaremos las f´ormulas necesarias con un ejemplo Ejemplo 10.47 Una empresa pide un pr´estamo por $ 3 500 000 para construir un nuevo sal´ on de ventas. Pacta con el banco un prestamo fr´ ances mensual a una tasa TEM del 1.5% por el t´ermino de 7 a˜ nos. Transcurrido 2 a˜ nos y 7 meses, y debido un aumento significativo en las ventas, la empresa dispone de $ 410 000 para adelantar cuotas de capital. Si el contrato firmado es de adelanto inverso, ¿cu´ antas cuotas puede adelantar la empresa? ¿Qu´e monto necesitaria para adelatar las u ´ltimas 10 cuotas? Debemos hallar k tal que n X h=k
Ah ≤ adelanto <
n X h=k−1
Ah
(10.31)
10.6. ADELANTO DE CUOTAS
255
Recordando que Ah = A1 (1 + i)
h−1
tenemos que A1
n X
(1 + i)
h−1
≤ adelanto < A1
h=k k−1
A1 (1 + i)
(1 + i)
(1 + i)
k−1
h−1
(1 + i)
h=k−1
n−k X
h=0 n−k+1
A1 (1 + i)
n X
h
k−2
n−k+1 X
k−2
(1 + i)
≤ adelanto < A1 (1 + i)
(1 + i)
h
h=0
−1
i
n−k+2
≤ adelanto < A1 (1 + i)
Como A1 = C0
−1
i
i n (1 + i) − 1
tenemos C0
k−1 h k−2 h i i (1 + i) (1 + i) n−k+1 n−k+2 (1 + i) − 1 ≤ adelanto < C (1 + i) − 1 0 n n (1 + i) − 1 (1 + i) − 1
de donde h
k−1
(1 + i)
(1 + i)
n−k+1
n
i −1
(1 + i) − (1 + i)
≤
k−1
≤
h i adelanto n k−2 n−k+2 [(1 + i) − 1] < (1 + i) (1 + i) −1 C0 adelanto n n k−2 [(1 + i) − 1] < (1 + i) − (1 + i) C0
por lo que (1 + i)
k−1
n
≥ (1 + i) −
adelanto n k−2 [(1 + i) − 1] > (1 + i) C0
Luego n n log (1 + i) − k≥
adelanto C0
n
[(1 + i) − 1]
o +1>k−1
log (1 + i)
(10.32)
En particular 84 log (1 + 0.015) − k≥
410000 3500000
84
(1 + 0.015)
log (1 + 0.015)
lo que equivale a k ≥ 79.136 > k − 1 Por lo que k = 80
−1
+1>k−1
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
256
Es decir, con $ 410 000 la empresa puede adelantar las u ´ltimas 5 cuotas de capital, desde A80 hasta A84 : n´ umero de cuotas adelantadas = n − k + 1
(10.33)
Para comprobarlo, calculamos A79 A80 A81 A82 A83 A84
= = = = = =
67275, 9487 68285, 08793 69309, 36425 70349, 00471 71404, 23978 72475, 30338
y observamos que 84 P
Ah = 351823, 0001
h=80
mientras que 84 P
Ah = 419098, 9488
h=79
Ahora veremos que ocurre de aqui en adelante (estamos en el mes 31: 2 a˜ nos y 7 meses despu´es de desembolsado el pr´estamo). Lo primero que necesitamos saber es cuanto debemos ahora: deuda actual = capital pendiente−la suma de las cuotas de capital adelantadas Es decir, si al momento t adelantamos las cuotas de capital Ak , Ak+1 , . . . , An , el nuevo capital pendiente ser´a n ft = Ct − P Ah C
(10.34)
h=k
Haciendo las sustituciones correspondientes ft C
= = =
k−1 h n t i (1 + i) (1 + i) − (1 + i) n−k+1 − C (1 + i) − 1 0 n n (1 + i) − 1 (1 + i) − 1 nh i h io C0 n t k−1 n−k+1 (1 + i) − (1 + i) − (1 + i) (1 + i) − (10.35) 1 n (1 + i) − 1 h i C0 k−1 t (1 + i) − (1 + i) n (1 + i) − 1
C0
Ahora, con $ 410 000 la empresa puede adelantar las u ´ltimas 5 cuotas en el momento 31, por lo que g C 31
=
C31 −
84 P
Ah
h=80
=
2676421.769 − 351823.0001
=
2324598.7689
10.6. ADELANTO DE CUOTAS
257
Lo mismo puede ser obtenido usando 3500000 80−1 31 ft = (1 + 0.015) − (1 + 0.015) = 2324598.7689 C 84 (1 + 0.015) − 1 Este monto es la deuda actual, y debemos recalcular el pr´estamo, tomando como monto inicial los $ 2 324 598.7689, usando la tasa y la cantidad de per´ıodos que convengan las partes (t´ıpicamente se mantiene la tasa original y la cantidad de per´ıodos que se usa es la natural: los que restan: n´ umero de n´ umero n´ umero de n´ umero de per´ıodos = total cuotas − t´erminos − que faltan per´ıodos pagados adelantadas Es decir n e :=
n´ umero de per´ıodos = n − t − (n − k + 1) = k − t − 1 que faltan
Por ejemplo en este caso n e = 80 − 31 − 1 = 48 Por lo que si mantenemos la tasa, y la cantidad de per´ıodos, la empresa debe pagar por los pr´ oximos 48 meses la suma de i
ft e a = C
−e n
1 − (1 + i) 0.015 g = C 31 −48 1 − (1 + 0.015) 0.015 = 2324598.7689 −48 1 − (1 + 0.015) = 68285.0879255
Lo cual es menos que el t´ermino a = 73562.43293 que originalmente deb´ıa pagar mes a mes la empresa. Para hallar el monto necesario para adelantar las u ´ltimas 10 cuotas de capital usamos n P Ah = adelanto (10.36) h=k
donde k = n + 1 − el n´ umero de cuotas que se quieren adelantar En nuestro caso k = 84 + 1 − 10 = 75
(10.37)
´ ´ CHAPTER 10. PRESTAMO FRANCES
258 Como n P
Ah = C 0
h=k
k−1 h i (1 + i) n−k+1 (1 + i) −1 n (1 + i) − 1
tenemos que k−1
h i (1 + i) n−k+1 (1 + i) −1 n (1 + i) − 1
adelanto = C0
(10.38)
En particular 75−1
adelanto = 3500000
(1 + 0.015)
84
(1 + 0.015)
−1
(1 + 0.015)
84−75+1
− 1 = 678406, 332592
El lector puede comprobar que efectivamente es da la suma de las u ´ltimas 10 cuotas de capital. Ejemplo 10.48 En la misma situaci´ on de ejemplo anterior, pero ahora el contrato estipula que el adelanto de las cuotas de capital debe ser directo. En este caso el dato: “Transcurrido 2 a˜ nos y 7 meses”, es crucial, pues nos dice estamos en el mes 31 y que la primera cuota que tenemos para adelantar es la A32 . En general si estamos en el momento t, la primer cuota que podemos adelantar es la At+1 . Ahora el problema es hallar k tal que k X
Ah ≤ adelanto <
h=t+1
k+1 X
Ah
(10.39)
h=t+1
de donde k X
A1
h−1
(1 + i)
≤
h=t+1 t
A1 (1 + i)
adelanto < A1
k+1 X
h−1
(1 + i)
h=t+1
k−t−1 X
h
(1 + i)
≤
adelanto < A1 (1 + i)
t
h=0 t
h
(1 + i)
h=0 k−t
A1 (1 + i)
k−t X
(1 + i) i
−1
k−t+1
≤
adelanto < A1 (1 + i)
t
(1 + i)
Luego (1 + i)
k−t
≤
i adelanto k−t+1 + 1 < (1 + i) t A1 (1 + i)
sustituyendo A1 n
k−t
(1 + i)
≤
(1 + i) − 1 adelanto k−t+1 + 1 < (1 + i) t C0 (1 + i)
i
−1
10.6. ADELANTO DE CUOTAS
259
Luego log k≤
n (1 + i) − 1 adelanto + 1 t C0 (1 + i) +t · · · > In , al igual que la sucesi´ on de t´erminos de amortizativos: a1 > a2 > · · · > an . 266
´ 11.1. INTRODUCCION
267
Nota 11.1 PONER DIBU Para un an´ alisis completo debemos tener f´ormulas para calcular el resto de las cantidades significativas: t´erminos amortizativos, cuotas de inter´es, capital pendiente y total amortizado. Sabemos que A = Ch−1 − Ch de donde es f´ acil deducir la siguiente relaci´on recursiva entre los capitales pendientes de todo pr´estamo alem´ an: Ch = Ch−1 − A tenemos que C0 (n − h) (11.2) n lo que nos dice que el capital pendiente forma una renta aritm´etica decreciente de t´ermino inicial C0 y paso −A. Observe que a mitad del pr´estamo (en h = n/2) se debe ex´ actamente la mitad (esto no ocurre nunca en el sistema franc´es ¿por qu´e?). Para calcular la cuota de inter´es basta recordar Ch = C0 − hA =
Ih = iCh−1 = i
C0 (n − h + 1) n
(11.3)
Nuevamente obtenemos una renta aritm´etica decreciente de t´ermino inicial C0 i y paso −Ai El total amortizado es tambi´en muy f´acil de expresar: Mh = hA = h
C0 n
(11.4)
Lo que nos da una renta aritm´etica creciente de t´ermino inicial A, y paso A. Un poco m´ as complejo resulta el c´alculo de los t´erminos amortizativos. Sabemos que al final del per´ıodo h el t´ermino amortizativo es igual a los intereses generados durante el per´ıodo h m´ as la cuota de amortizaci´on: ah
= Ch−1 i + A =
(C0 − (h − 1) A) i + A
= C0 i + (1 + i − hi)A C0 = (1 + (n − h + 1) i) n
(11.5)
(11.6)
Por lo tanto, recordando (11.1) ah = A + (n − h + 1) iA = C0 i + A − (h − 1) Ai
(11.7)
de donde resulta claro que los t´erminos amortizativos en un pr´estamo alem´an forman una renta aritm´etica decreciente de t´ermino inicial C0 i + A y paso −Ai.
´ ´ CHAPTER 11. PRESTAMO ALEMAN
268
Ejemplo 11.2 Ud. acude a un banco y pide un pr´estamo de $ 24 000 a devolver en 5 a˜ nos en cuotas mensuales, por el sistema alem´ an. La TNA que le cobra el banco es del 18%. Primero calcularemos el valor de la cuotas de amortizaci´on usando (11.1) A
24000 60 400
= =
i.e., ud. cancela $ 400 cada mes del capital adeudado. Ahora podemos dar las expresiones para el resto de las cantidades significativas. Comencemos con los t´erminos amortizativos, seg´ un (11.7) 0.18 ah = 400 1 − (60 − h + 1) 12 Asi, como Ai = 6 y a1 = 400 (1 + 60 · 0.015) = 760 tenemos que a2 a3 a4
= = = .. .
754 748 742
a59 a60
= =
412 406
El capital pendiente al per´ıodo h, dado por (11.2), es Ch = C0 − hA = 24000 − 400h Por ejemplo, el capital pendiente a los 12, y a los 30 meses es C12
=
19200
C30
=
12000
El total amortizado viene dado por Mh = hA Por ejemplo, a los 15 y a los 45 meses es M15
=
15 · 400 = 6000
M45
=
45 · 400 = 18000
La cuota de inter´es correspondiente ser´a Ih
=
Ch−1 i
=
(24000 − 400 (h − 1)) 0.015
=
366 − 6h
´ 11.1. INTRODUCCION
269
Por ejemplo, la cuota de capital a los 30 y 48 meses es I30
=
186
I48
=
78
Ejercicio 11.3 La Srta. No´elia saco un pr´estamo a sola firma de $ 2 500 en la financiera ”Su amigo Adri´ an”, la cual trabaja con sistema alem´ an y cobra una TNA del 38.6 %. El prestamo dura 1 a˜ no y se conviene realizar el reembolso del mismo en 12 cuotas mensuales. Se pide: 1. ¿Cu´ anto es el monto de las distintas cuotas de maortizaci´ on? 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a6, y a11 ? 3. ¿Cu´ al es el monto de las cuotas de inter´es I1 e I8 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente C8 ? 5. ¿En qu´e momento el capital pendiente es inferior a $ 1 000? 6. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado M3 ? 7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1 500? Ejercicio 11.4 Una empresa acude a un banco y pide pr´estados $ 2 000 000. Se conviene una TEM del 1.04 %. Si se usa sistema alem´ an, el pr´estamo dura 3 a˜ nos, y la cuotas son bimestrales. 1. ¿Cu´ anto es el monto de las cuotas de amortizaci´ on? 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a10, y a18 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I5 e I14 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente C6 ? 5. ¿En que momento el capital pendiente es inferior a $ 1 000 000? 6. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado M12 ? 7. ¿En que momento el total amortizado supera los $ 1 500 000 ? Ejercicio 11.5 El Sr. Juan paga cada mes los interes generados por un pr´estamo que obtuvo del Banco Cooperativo de Oeste, m´ as una suma fija de $ 550 para cancelar capital. Sabiendo que la tasa de la operaci´ on es una TEA del 22.5 % y que la misma fue pactada a 5 a˜ nos, se pide 1. Monto del pr´estamo solicitado por el Sr. Juan. 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a30, y a60 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I1 , I20 e I40 ?
270
´ ´ CHAPTER 11. PRESTAMO ALEMAN
4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente al final de cada a˜ no (C12 , C24 , C36 , C48 y C60 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a la mitad del monto del pr´estamo solicitado? 6. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado a principio de cada a˜ no (M0 , M12 , M24 , M36 y M48 )? 7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera los dos tercios del monto del pr´estamo solicitado? Ejercicio 11.6 La Sra. Florencia desea renovar la cocina de su departamento, para lo cual solicita un prestamo personal a tres an˜ nos, a una TNA del 30 %, el cual reembolsar´ a por sistema alem´ an cancelando cada mes $ 300 de capital. Se pide 1. Monto del pr´estamo solicitado por la Sra. Florencia. 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a12 , a24, y a36 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I1 , I6 e I18 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente al final de cada a˜ no (C12 , C24 , y C36 )? 5. ¿A partir de que cuota el capital pendiente es inferior a un cuarto del monto del pr´estamo solicitado? 6. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado a principio de cada a˜ no (M0 , M12 , M24 , y M36 )? 7. ¿A partir de que cuota el total amortizado supera la mitad del monto del pr´estamo solicitado? Los datos necesarios para llenar el cuadro de marcha de un pr´estamo alem´an dado, son los mismos que siempre se necesitan para confeccionar un pr´estamo: 1. C0 el capital pr´estado. 2. i la tasa que se cobra. 3. n la cantidad de per´ıodos que dura el pr´estamo. Ahora damos el esquema gen´erico para completar un cuadro de marcha, los n´ umeros entre par´entesis indican el orden que usa el autor para ir llenado el
´ 11.1. INTRODUCCION
271
cuadro (el cual no es u ´nico). n 0 1 2 3 4 .. .
a (4) a1 = A + I1 (8) a = A + I2 (12) a = A + I3 (16) a = A + I4 .. .
Ih
A
Mh
-
-
-
I1 = C0 i I2 = C1 i (11) I3 = C2 i (15) I4 = C3 i .. .
n−1 n
a = A + In−1 a = A + In
In−1 = C n−2 i In = C n−1 i
(5) M = A M2 = M1 + A (13) M3 = M2 + A (17) M4 = M3 + A
Ch C0 (6) C1 = C0 − A (10) C2 = C1 − A (14) C3 = C2 − A (18) C4 = C3 − A
.. .
.. .
.. .
A A
Mn−1 = M n−2 +A Mn = M n−1 +A = C 0
Cn−1 = C n−2 −A Cn = C n−1 −A = 0
(3)
(2)
(7)
(2) (2) (2)
A A A A
(9)
(1)
Nota 11.7 Algunas observaciones 1. Una vez calculada la cuota de amortizaci´ on, se llena toda la cuarta columna. 2. La columna de las cuotas de inter´es debe ser aritmeticamente decrececiente. 3. La columna de las terminos amortizativos debe ser decreciente aritm´eticamente, 4. La columna del total amortizado debe ser estrictamente creciente comenzando en 0 (cero) y finalizando en C0 . 5. La columna del capital pendiente debe ser estrictamente decreciente comenzando en C0 y terminando en 0 (cero). En general, si se redondea a dos cifras, las dos u ´ltimas condiciones no se cumplen. En dicho caso si el error no supera una cota preestablecida (por ejemplo para este libro: 5 centavos) se considera correcto. Si el error fuera mayor se debe aumentar la cantidad de decimales considerados. El autor recomienda trabajar al menos con tres decimales. Ejemplo 11.8 Hacer el cuadro de marcha de un pr´estamo alem´ an a 6 meses por $ 5000, a una TEM del 1.2%. n 0 1 2 3 4 5 6
a
Ih
Ah
Mh
893, 3333333 883, 3333333 873, 3333333 863, 3333333 853, 3333333 843, 3333333
60 50 40 30 20 10
833, 3333333 833, 3333333 833, 3333333 833, 3333333 833, 3333333 833, 3333333
833, 3333333 1666, 666667 2500 3333, 333333 4166, 666667 5000
Ch 5000 4166, 666667 3333, 333333 2500 1666, 666667 833, 3333333 0
Nota 11.9 Es claro que el uso de una planilla de c´ alculo, como excel, f´ acilita la confecci´ on de cualquier cuadro de marcha. Por lo que se recomienda su uso siempre que sea posible.
´ ´ CHAPTER 11. PRESTAMO ALEMAN
272
En todo pr´estamo a inter´es sobre saldos el valor actual de la renta de los t´erminos amortizativos es igual al capital pr´estado. En el sistema franc´es esto es obvio (¿Por qu´e?), pero en el resto de los sistemas (alem´an y am´ericano) esta afirmaci´ on necesita ser verificada. Veamos que este es el caso en el sistema alem´ an. El valor actual de los t´erminos amortizativos de un pr´estamo alem´an por C0 , a una tasa i, convenido a n per´ıodos (usando (11.7)) es n X h=1
ah (1 + i)
n X C0 i + A − (h − 1) Ai
=
h
h
(1 + i)
h=1
Ahora, la expresi´ on anterior corresponde es exactamente el valor actual de una renta aritm´etica (8.27) −n
V Aaritm´etica (0) =
1 − (1 + i) i
nb b C + + nb − i i
donde C
= C0 i + A
b = −Ai Por lo tanto, recordando que A = C0 /n n X
−n
ah h
h=1
(1 + i)
=
1 − (1 + i) i
=
1 − (1 + i) i
−Ai n (−Ai) C0 i + A + + n (−Ai) − i i
−n
(C0 i + A − A − nAi) + nA | {z } =0
= C0 Ejercicio 11.10 Hacer el cuadro de marcha para un pr´estamo alem´ an a 12 a˜ nos por $ 10 000 000, para el cual se han pactado 12 pagos anuales consecutivos y una TEA del 23%. Ejercicio 11.11 Escoger al menos tres de los pr´estamos planteados en los ejercicios del (12.3) en adelante y realizar el correspondiente cuadro de marcha.
Chapter 12
Pr´ estamo americano 12.1
Introducci´ on
El sistema americano se suele usar cuando se otorgan pr´estamos muy grandes, como los que habitualmente otorgan los organismos internacionales (BID, FMI, Banco Mundial, etc.) a diferentes pa´ıses o empresas. Adem´as nos da el esquema b´ asico para el an´ alisis de las obligaciones y los bonos. Los elementos que componen un t´ıpico pr´estamo americano son: 1. El capital pr´estado: C0 . 2. La tasa de inter´es cobrada por el prestamista: i. 3. La cantidad de t´erminos amortizativos a pagar: n. Nota 12.1 Como siempre, suponemos que existe compatibilidad dimensional entre la frecuencia de capitalizaci´ on de la tasa i y la distancia temporal entre dos t´erminos amortizativos consecutivos, i.e., si la tasa usada es mensual, los pagos son mensuales. Similarmente, si los pagos son trimestrales, la tasa debe ser trimistral. Usamos esta convenci´ on para no sobrecargar notacionalmente las f´ ormulas del sistema americano que deduciremos a continuaci´ on. El sistema americano se caracteriza por mantener constante la cuota de inter´es, i.e. de las dos componentes de cada t´ermino amortizativo ah = Ih + Ah en el sistema americano se mantiene constante Ih . ¿C´omo se logra esto? pues muy sencillo: debiendo siempre lo mismo. Como inevitablemente la primera cuota de inter´es debe ser I1 = C0 i tenemos que C0 i = I1 = I2 = · · · = In = I 273
(12.1)
´ CHAPTER 12. PRESTAMO AMERICANO
274
i an
C0 C0 a1
a2
I 0
I
1
2
an−1
a3 I
I n−1
3
I n
Por lo tanto todas las cuotas de amortizaci´on deben ser todas nulas, salvo la u ´ltima, la cual debe ser igual al monto prestado a fin de cancelar la deuda: 0 si 1 ≤ h ≤ n − 1 , Ah = (12.2) C0 si h = n. Por esta raz´ on los t´erminos amortizativos son todos iguales, salvo el u ´ltimo: C0 i si 1 ≤ h ≤ n − 1, ah = (12.3) (1 + i) C0 si h = n. Similarmente el capital pendiente siempre es igual a C0 , salvo al final, pues siempre debe ocurrir que Cn = 0 (pues se debe cancelar el pr´estamo) C0 si 1 ≤ h ≤ n − 1, Ch = (12.4) 0 si h = n. Por otro lado el total amortizado es siempre nulo, salvo en la u ´ltima cuota: 0 si 1 ≤ h ≤ n − 1, Mh = (12.5) C0 si h = n. Ejemplo 12.2 La Rep´ ublica Argentina decide solicitar al BID un pr´estamo por unos U$ 4.700.000.000 para financiar la construcci´ on de una nueva central nuclear. Ud. como representante oficial de Argentina negocia con el BID y acuerda que el pr´estamo ser´ a a sistema americano, a 5 a˜ nos, y a una tasa del 4.8% nominal trimestral (J (4) ). Primero calcularemos el valor de la cuotas de inter´es usando (12.2) I
=
4.700.000.000
=
$ 20.400.000
0, 048 4
´ 12.1. INTRODUCCION
275
i.e., al final de cada trimestre la Rep´ ublica Argentina debe pagar al BID la suma de U$ 20.400.000. Ahora podemos calcular el resto de las cantidades significativas asociadas con el pr´estamo. Comenzaremos con las cuotas de amortizaci´on. Seg´ un (12.3) $0 si 1 ≤ h ≤ 19, Ah = $ 1.700.000.000 si h = 20. Ahora, seg´ un (12.4) los t´erminos amortizativos son $ 20.400.000 si 1 ≤ h ≤ 19, ah = $ 1.720.400.000 si h = 20. El capital pendiente al per´ıodo h, dado por (12.5), es $ 1.700.000 si 1 ≤ h ≤ 19, Ch = $ 0 si h = 20. El total amortizado seg´ un (12.6) viene dado por $0 si 1 ≤ h ≤ 19, Mh = $ 1.700.000.000 si h = 20. Dado un pr´estamo americano por C0 , a una tasa i, convenido a n per´ıodos, comprobaremos que el valor actual de la renta de los t´erminos amortizativos del mismo es ex´ actamente C0 . Usando (12.4) tenemos n X
ah h
h=1
(1 + i)
= =
n X h=1 n X h=1
I h
+
C0 n (1 + i)
h
+
C0 n (1 + i)
(1 + i) C0 i (1 + i)
−n
=
1 − (1 + i) C0 C0 i + n i (1 + i) −n −n C0 1 − (1 + i) + C0 (1 + i)
=
C0
=
Ejercicios Propuestos Ejercicio 12.3 La Srta. Noelia saco un pr´estamo a sola firma de $ 25.000 en la financiera “Su amigo Adri´ an”, la cual trabaja con sistema americano y cobra una TNA del 58,6 %. El pr´estamo dura 5 a˜ nos y se conviene realizar el pago de los intereses cuatrimestralmente. Se pide: 1. Monto de las distintas cuotas de amortizaci´ on. 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a6, y a15 ?
276
´ CHAPTER 12. PRESTAMO AMERICANO
3. ¿Cu´ al es el monto de las cuotas de inter´es I1 , I7 e I15 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente C8 y el C15 ? 5. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado M4 y el M15 ? Ejercicio 12.4 Un pa´ıs sudamericano pide U$ 500.000.000 al FMI para construir una autopista. Se pacta el pr´etamo por sistema americano a una TEA del 4,5 %. El pr´estamo dura 10 a˜ nos y se conviene realizar el pago de los intereses trimestralmente. Se pide: 1. Monto de la cuota de inter´es. 2. Monto de las distintas cuotas de amortizaci´ on. 3. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a7 , a25, y a60 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente C30 y el C51 ? 5. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado M4 y el M43 ? Ejercicio 12.5 Una empresa acude a un banco y pide pr´estados $ 20.000.000. Se conviene una TEM del 1.3 %. Si se usa sistema americano, el pr´estamo dura 3 a˜ nos, y la cuotas son trimestrales, se pide 1. ¿Cu´ anto es el monto de las cuotas de amortizaci´ on? 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a10, y a12 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I5 e I12 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente C8 y el C12 ? 5. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado M1 y el M12 ? Ejercicio 12.6 La Sra. Melina desea renovar la cocina de su departamento, para lo cual solicita un prestamo personal a tres a˜ nos, a una TNA del 35 %, el cual reembolsar´ a por sistema americano, pagando intereses bimestralmente. Si la primera cuota que paga la Sra Melina asciende a $ 450. Se pide 1. Monto del pr´estamo solicitado por la Sra. Melina. 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a12 , y a18 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I1 , I6 e I18 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente al final de cada a˜ no (C6 , C12 , y C18 )? 5. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado al principio de cada a˜ no (M0 , M12 , y M18 )?
´ 12.1. INTRODUCCION
277
Ejercicio 12.7 El Gobierno de la Provincia de San Luis desea construir una red de subterr´ aneos en la ciudad Capital de la Provincia. Para lo cual solicita al BID un pr´estamo a 15 a˜ nos, a una TEA del 3 %. Este pr´estamo se pacta a sistema americano, con pago cuatrimestral de intereses. Si el 7mo t´ermino amortizativo asciende a U$ 8.500.000. Se pide 1. Monto del pr´estamo solicitado por la provincia de San Luis. 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a20 , y a45 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I1 , I32 e I45 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente al final de cada a˜ no (C3 , C6 , . . . ,C45 )? 5. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado al principio de cada a˜ no (M0 , M3 , . . . ,M44 )? Ejercicio 12.8 La Sra. Viviana desea realizar una series de mejoras en una estancia de su propiedad, para lo cual solicita un pr´estamo para la inversi´ on agropecuaria a 5 a˜ nos, a una TNA del 5,5 %, el cual reembolsar´ a por sistema americano, pagando intereses trimestralmente. Si la primera cuota asciende a $ 15.000. Se pide 1. Monto del pr´estamo solicitado por la Sra. Viviana. 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a12 , y a20 ? 3. ¿Cual es el monto de las cuotas de inter´es I1 , I11 e I20 ? 4. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente al final de cada a˜ no (C4 , C8 , C12 , C16 , y C20 )? 5. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado al principio de cada a˜ no (M0 , M4 , M8 , M12 , M16 , y M20 )? Ejercicio 12.9 Una empresa de soft desea realizar una series de mejoras en sus instalaciones, para lo cual solicita un pr´estamo para pymes al Banco Naci´ on. Se pacta un pr´estamo de $ 2.000.000 a 3 a˜ nos, por sistema americano con pago bimestral de intereses. Si el monto del 3er t´ermino amortizativo es de $ 12.500. Se pide 1. ¿Cu´ al es la TAE cobrada por el banco?. 2. ¿A cu´ anto ascienden los t´erminos amortizativos a1 , a9 , y a18 ? 3. ¿Cu´ al es el monto de las cuotas de inter´es I1 , I11 e I18 ? 4. Monto de las cuotas de amortizaci´ on. 5. ¿A cu´ anto asciende el capital pendiente al final de cada a˜ no (C6 , C12 , y C18 )?
´ CHAPTER 12. PRESTAMO AMERICANO
278
6. ¿A cu´ anto asciende el total amortizado al principio de cada a˜ no (M0 , M6 , y M12 )? Datos para ejercicios • Centarl nuclar $ 4.000.000.000 de euros • Parque e´ olico $ 1.500.000.000 de dolares • 5 km de oleodocto o gasoducto U$ 2.500.000 • Plataforma petrolera mar´ıtima: entre U$ 800 y U$ 1.200 millones. • central hidroelectrica U$ 11.000.000.000 • Autopista: de 1 a 2 millones de km, por monta˜ na de 3 a 4 millones. • f´ abrica de urea $ 1.000 millones de dolares (en tierra del fuego) • miner´ıa $ 30.000 millones dolares una mina de potasio en mendoza. 45 millones de dolares minas de salitre de litio y potasio en la puna • aeropuerto de 15 a 17 millones de d´olares • Hospitales • Universidades • satelite • avion Boing 737 de 75 a 110 millones de dolares, 747 unos 355 millones, 767 de 160 a 200 millones.
12.2
Cuadro de Marcha
Los datos necesarios para llenar el cuadro de marcha de un pr´estamo americano, son los mismos que siempre se necesitan para confeccionar un pr´estamo: 1. C0 el capital pr´estado. 2. i la tasa que se cobra. 3. n la cantidad de per´ıodos que dura el pr´estamo. Ahora damos el esquema gen´erico para completar un cuadro de marcha americano, los n´ umeros entre par´entesis indican el orden que usan los autores para ir llenando el cuadro (hay varias recetas para completar un cuadro de marcha americano, se insta al lector a desarrollar una). Nota 12.10 Algunas observaciones 1. Una vez calculada la cuota de inter´es, se llena toda la segunda columna.
12.2. CUADRO DE MARCHA n 0 1 2 3 .. . n−1 n
a
(4) (4) (4)
(4) (5)
a1 a2 a3
279
Ih
— = I1 = I2 = I3 .. .
An
— (1) (1) (1)
I1 I2 I3
— = C0 i = C0 i = C0 i
(2) (2) (2)
A1 A2 A3
.. .
an−1 = In−1 an = In + C0
(1) (1)
Mh — = 0 = 0 = 0
(6) (6) (6)
.. .
In−1 = C0 i In = C0 i
(2) (3)
Ch
M1 M2 M3
(0)
= 0 = 0 = 0
(8) (8) (8)
.. .
An−1 = 0 A1 = C0
(6) (7)
Mn−1 = 0 Mn = C0
C0 C1 C2 C3
= C0 = C0 = C0 .. .
(8) (9)
Cn−1 = C0 Cn = 0
Table 12.1: Cuadro de marcha de un pr´estamo americano
2. Salvo la segunda columna, correspondiente a la cuota de inter´es, el resto de las columnas se caracteriza por ser constantes para todos los per´ıodos salvo el u ´ltimo. 3. Como siempre, el u ´ltimo capital pendiente debe ser nulo, mientras que el u ´ltimo total amortizado debe ser igual al monto original de la deuda, C0 . Ejemplo 12.11 Hacer el cuadro de marcha de un pr´estamo americano a 6 meses por $ 5.000, a una TEM del 1.2%. n 0 1 2 3 4 5 6
a
Ih
Ah
Mh
60 60 60 60 60 5.060
60 60 60 60 60 60
0 0 0 0 0 5.000
0 0 0 0 0 5.000
Ch 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 0
Ejercicio 12.12 Hacer el cuadro de marcha para un pr´estamo americano a 12 a˜ nos por $ 10.000.000, para el cual se han pactado 12 pagos anuales consecutivos y una TEA del 28%. Ejercicio 12.13 Hacer el cuadro de marcha para un pr´estamo americano a 20 a˜ nos por U$ 100.000.000, para el cual se ha pactado un esquema de pagos cuatrimestrales y una TEA del 13,5%. Ejercicio 12.14 Hacer el cuadro de marcha para un pr´estamo americano a 5 a˜ nos por U1.000.000.000 (U, yenes, moneda oficial de Jap´ on), para el cual se han pactado 10 pagos semestrales consecutivos y una TNA del 8.7%. Ejercicio 12.15 Hacer el cuadro de marcha de al menos 3 de los pr´estamos (ejercicios) de la secci´ on anterior.
´ CHAPTER 12. PRESTAMO AMERICANO
280
12.3
Variantes habituales
12.4
Fondo de amortizaci´ on en renta constante
Una variante habitual en los pr´estamos amenricanos consiste en la constituci´on de un fondo, con el objetivo de acumular hacia el final de la operaci´on una fracci´ on o el total del capital adeudado En lugar de desarrollar f´ormulas para cada caso, prefirimos presentar una serie de ejemplos, modelarlos, y usar las f´ormulas que ya tenemos para calcular las magnitudes requeridas. Ejemplo 12.16 La empresa Vichu s.r.l. desea comenzar a producir hongos secos. Para lo cual solicita un pr´estamo por $ 10.000.000 al KK Bank. El pr´estamo es pactado a 5 a˜ nos por sistema americano a una tasa nominal bimestreal del 18%. Atendiendo al ciclo de producci´on, se acuerda que el pago de los intereses ser´ a bimestral. La empresa por su parte, a fin de garantizar el pago del pr´estamo al cabo de los 5 a˜ nos decide crear, a partir del 3er trimestre de adquirido el pr´estamo, un fondo de amortizaci´on en la financiera Chichocash con el objetivo de acumular fondos por el 75% del capital adeudado. ¿Cu´anto debe depositar trimestre a trimestre la empresa Vichu s.r.l. si la financiera Chichocash le paga una tasa de inter´es trimestral del 1.2 %? ¿Cu´al es el capital pendiente contable al comienzo del 2do trimestre? ¿y a los 3 a˜ nos?
Poner dibujoooooooo!!!!!!!!!!!! Comenzemos averiguando cuanto debe depositar la empresa Vichu s.r.l. para acumular $ 7.500.000 dentro de 5 a˜ nos. Estamos suponiendo que trimestre a trimestre, comenzando en el 3er. trimestre, y t´erminando en el 15vo., la empresa depositar´ a una suma fija (renta constante). Se espera que el valor final de esta renta sea $ 7.500.000.
poner dibujo
Pero esto ya sabemos como se calcula: 18
$ 7.500.000 = C
(1 + 0, 012) 0, 012
−1
Luego C = 375.770, 8171 Por lo que la empresa Vichu s.r.l. deber´a depositar cada trimestre (a partir de 3ero.) $ 375.770,82. Ahora vamos a encontrar el capital pendiente al comienzo del 2do. trimestre. Esto es muy sencillo, pues como no se ha realizado ning´ un dep´osito y el pr´estamo es a sistema americano, el capital pendiente es simplemente $ 10.000.000. Hallar el capital pendiente al los tres a˜ nos requiere de un poco m´as de an´ alisis. Debemos calcular el total acumulado hasta los tres a˜ nos en el fondo de
´ EN RENTA CONSTANTE 12.4. FONDO DE AMORTIZACION
281
amortizaci´ on y restarlo de los $ 10.000.000 que se adeaudan. 10
CC3 a˜nos = 10.000.000 − 375.770, 8171
(1 + 0, 012) 0, 012
−1
Por lo que el capital pendiente contable al cabo de 3 a˜ nos es CC3 a˜nos = $ 6.032.743, 922 Insistimos en llamarlo capital pendiente contable, pues es la deuda contable de la empresa (la diferencia entre lo que se debe y lo ahorrado). Al banco se le deben a´ un los $ 10.000.000.
poner de 10 a 13 ej´ercicios!!!!!!!!!!!!! al menos 2 por cada variante 12.4.1
Fondo de amortizaci´ on en renta variable
Procederemos igual que antes, presentaremos un ejemplo, lo modelaremos, y despu´es usaremos las f´ ormulas que ya tenemos para calcular las magnitudes requeridas. Ejemplo 12.17 Ud. solicit´ o un pr´estamo (para desarrollar un emprendimiento gastron´ omico) por $ 1.000.000 al Banco Supercredito. El pr´estamo es pactado a 10 a˜ nos por sistema americano con pago trimestral de intereses, a una i(4) del 4,5%. Al cabo de 5 a˜ nos, Ud. decide crear un fondo de amortizaci´ on en el Dirichlet Bank con el objetivo de acumular fondos afin de poder afrontar el pago del capital adeudado. Ud. deposita inicialmente $ 4.000, al siguiente mes $ 4.300, al siguiente $ 4.600 y as´ı sucesivamente (´el u ´ltimo dep´ osito lo realiza un mes antes de la cancelaci´ on del pr´estamo) ¿A cu´ anto asciende el u ´ltimo dep´ osito?¿De cu´ anto dispone en el Dirichlet Bank el d´ıa que debe cancelar el pr´estamo, si el banco le paga una tasa de inter´es mensual 0.8 %? ¿Cu´ al es el capital pendiente contable al comienzo del 4to. a˜ no? ¿y al comienzo del 8vo. a˜ no?
Poner dibujoooooooo!!!!!!!!!!!! Comenzaremos averiguando cuanto acumul´o en el Dirichlet Bank. Del enunciado del problema podemos ver que sus dep´ositos generan una renta aritm´etica, con un paso de $ 100 y 59 t´erminos. El monto del u ´ltimo dep´ osito es de $ 21.400 pues 4.000 + 58 · 300 = 21.400 Por otro lado, el total acumulado hasta al periodo 119 es de $ 900.982,611. 59 59 300 59 · 300 (1 + 0, 008) (1 + 0, 008) − 1 4.000 + + 59 · 300 − V F (59) = 0, 008 0, 008 0, 008 = 900.982, 611
´ CHAPTER 12. PRESTAMO AMERICANO
282
Luego debemos capitalizar un mes esta cantidad de dinero: 900.982, 611 (1 + 0, 008) = 908190.4719 Por lo que ud dispondr´a de $ 908.190,4719 en el Dirichlet Bank para afrontar el pago de pr´estamo (le faltan unos $ 91.809,5281 los cuales deber´a conseguirlos o tenerlos!)
poner dibujo Ahora vamos a encontrar el capital pendiente contable al comienzo del 4to. a˜ no. Esto es muy sencillo, pues como no se ha realizado ning´ un dep´osito y el pr´estamo es a sistema americano, el capital pendiente es simplemente $ 1.000.000. Hallar el capital pendiente al comienzo del 8vo. a˜ no, al igual que antes, requiere de un poco m´as de an´alisis. Debemos calcular el total acumulado en el fondo de amortizaci´ on y restarselo al $ 1.000.000 que se adeaudan. El capital acumulado en el fondo de amortizaci´on de los 5 a los 8 a˜ nos es de $ 373.442,280 pues 36
(1 + 0, 008) − 1 V F (36) = 0, 008 = 373.442, 280
36 300 36 · 300 (1 + 0, 008) 4.000 + + 36 · 300 − 0, 008 0, 008
Por lo que el capital pendiente contable es de $ 626.557,720 pues CC8 a˜nos = 1.000.000 − 373.442, 280 = 626.557, 720 Insistimos, el capital pendiente contable, es la deuda contable de la empresa (la diferencia entre lo que se debe y lo ahorrado). Al banco a´ un se le debe $ 1.000.000.
poner de 10 a 13 ej´ercicios!!!!!!!!!!!!! (dos para cada variante...poner algunos con rentas geometricas
Appendix A
Variaci´ on proporcional A.1
Variaci´ on proporcional directa.
Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es directamente proporcional a la variable x si para alguna constante k ∈ R se cumple que y = kx, la constante k suele ser llamada constante de proporcionalidad (directa). Observemos que si duplicamos la variable x, se duplica el valor de la variable y (similarmente, si la variable x reduce su valor a la mitad, lo propio ocurre con la variable y), por ejemplo si y = 3x entonces x= y=
1 3
2 6
4 12
8 24
es decir x0 kx0 = y0
−→ −→
x1 = 2x0 y1 = kx1 = k (2x0 ) = 2kx0 = 2y0
y ambas cambian al mismo ritmo: x1 2x0 2kx0 2y0 y1 = =2= = = . x0 x0 kx0 y0 y0 En general: x0 kx0 = y0
−→ −→
x1 , y1 = kx1 ,
kx1 y1 x1 = = . x0 kx0 y0 Esto no es otra cosa que la conocida “regla de tres simples directa”. 283
284
´ PROPORCIONAL APPENDIX A. VARIACION
Ejercicio A.1 Tres l´ıneas de producci´ on producen 15.500 pa˜ nales descartables por hora, si agregamos dos l´ıneas de producci´ on adicionales. Cuantos pa˜ nales descartables ser´ an producidos en una hora. Ejercicio A.2 Cuatro personas ejecutaron un trabajo por el cual cobraron $ 16.500. ¿Cu´ anto le corresponde a cada uno si una de las personas trabajo 14 d´ıas, otra 12 d´ıas, otra 10 d´ıas y la u ´ltima trabaj´ o 7 d´ıas? Ejercicio A.3 Si un autom´ ovil recorre 100 km con 6.5 litros de gasolina. ¿Qu´e distancia recorrer´ a con 25 litros (bajo las mismas condiciones de velocidad y resistencia al avance)? Ejercicio A.4 Un campamento militar con 300 hombres tiene provisiones para 35 d´ıas. Si se quiere que las provisiones duren 12 d´ıas m´ as, ¿cu´ antos hombres habr´ a que retirar del campamento? Ejercicio A.5 Un restaurant, de una ciudad tur´ıstica, necesita 5 personas para servir 850 almuerzos durante cualquier d´ıa de la temporada baja. Durante la temporada alta se estima que el n´ umero de almuerzos diarios a servir sube a 12.500. ¿Cu´ antas personas m´ as deber´ a contratar? Ejercicio A.6 Bajo ciertas condiciones, la distancia de frenado (con las ruedas trabadas) es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. En un accidente un veh´ıculo deja unas huellas de rayado (o patinaje) de 51 m. El conductor declara que conduc´ıa a 55 km/h. Se sabe que a 60 km/h un auto de las caracter´ısticas del veh´ıculo siniestrado deja unas huellas de rayado de 19 m de longitud. ¿A qu´e velocidad se desplazaba el auto antes de comenzar a frenar? Ejercicio A.7 Dadas unas condiciones de luz, el tiempo necesario para lograr una buena fotograf´ıa es directamente proporcional al cuadrado del n´ umero f de la lente de la camara (este n´ umero indica la dimensi´ on de la abertura del diafragma). Los valores habituales de difragma son: f /1.4, f /2, f /2.8, f /4, f /5.6, f /8, f /11, f /16 y f /22. En esta escala, cada abertura permite el paso de la mitad de luz que la anterior. Si con una abertura f /11 y sol brillante se 1 segundos de exposici´ on. Bajo las mismas logra una buena fotograf´ıa con 125 condiciones de luz, llenar el cuadro de tiempo de exposiciones para diferentes aberturas: f /x segundos f /1.4 f /2 f /2.8 f /4 f /5.6 f /8 1 f /11 125 f /16 f /22
A.2. SERIES DE FRACCIONES EQUIVALENTES.
A.2
285
Series de fracciones equivalentes.
Llamaremos serie de fracciones equivalentes una expresi´on de la forma α2 αn α1 = = ··· = =λ β1 β2 βn con αi β i 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n (i.e., son todos no nulos). Tambi´en diremos que la serie de n´ umeros α’s son proporcionales a la serie de n´ umeros β’s. El valor com´ un λ se llama raz´ on de proporcionalidad. La expresi´on anterior se puede reescribir como n ecuaciones (relaciones de proporcionalidad): αi = λβ i , para i = 1, 2, . . . , n. Multiplicando las igualdades anteriores por n n´ umeros reales ki , para i = 1, 2, . . . , n: ki αi = λki β i , para i = 1, 2, . . . , n. Al sumar las igualdades anteriores obtenemos n X
ki αi = λ
i=1
n X
ki β i .
i=1
Si la expresi´ on anterior es no nula, podemos obtener una nueva fracci´on equivalente a las dadas n X ki αi i=1 n X
= λ.
(A.1)
ki β i
i=1
Dado un par de series num´ericas proporcionales, el procedimiento anterior nos permite generar una infinidad de nuevas fracciones equivalentes. Notaci´ on A.8 Usaremos la notaci´ on de sumatoria habitual: n X
αi := α1 + α2 + · · · + αn .
i=1
Ejemplo A.9 Por ejemplo las siguientes fracciones son equivalentes 3 6 = , 5 10 entonces, tambi´en son equivalentes a las dadas 9 3 6 15 = = = , 15 5 10 25 Adem´ as, podemos generar otras fracciones equivalentes con diferente raz´ on de proporcionalidad. Por ejemplo a partir de 9 3 = 15 5
´ PROPORCIONAL APPENDIX A. VARIACION
286 obtenemos
9 15 18 = = 6 3 5
entre otras. Ejemplo A.10 En general si
a c = b d entonces las siguientes son equivalentes a las anteriores a±c a c ma + nc = = = b±d b d mb + nd para cualesquiera valores de m y n. Adem´ as podemos formar las siguientes fracciones equivalentes con raz´ on de proporcionalidad diferente a+c b+d = , a−c b−d entre otras. Ejercicio A.11 Hallar 5 fracciones equivalentes a las dadas, y generar 3 pares adicionales de fracciones equivalentes (con razones de proporcionalidad diferentes) 2 a = . 7 2+b Estas relaciones simplifican la resoluci´on de ciertas ecuaciones Ejemplo A.12 Resolver 2 5 = 3+x 3−x Por la relaci´ on (A.1) cualesquiera de estas fracciones es equivalente a la fracci´ on que se obtiene al sumar numerador con numerador y denominador con denominador: 2+5 7 2 = = 3+x (3 + x) + (3 − x) 6 Ahora es m´ as f´ acil despejar x 2 3+x
=
2
=
12 7
=
12 −3 7 9 − 7
7 6 7 (3 + x) 6 3+x
= x = x
A.2. SERIES DE FRACCIONES EQUIVALENTES.
287
Ejercicio A.13 Resolver 2−x x = 2+x 1−x Ejercicio A.14 Resolver x−2 1+x = x x+4 Ejercicio A.15 Resolver a c = , b+x b−x x a−x 2) = , b+x c−x 1)
x+a x+b = , x x−b x+a x 4) = . x x−b 3)
El reparto proporcional es la distribuci´on de una cantidad atendiendo a un criterio de proporcionalidad con respecto a una o varias series de n´ umeros. Este puede ser simple o compuesto, directo o inverso, dependiendo de la cantidad de series de n´ umeros involucradas y su relaci´on de proporcionalidad con la cantidad a repartir. En lo que sigue supondremos siempre que el reparto se hace entre n agentes, por lo que las series de n´ umeros tendr´an longitud n.
A.2.1
Reparto simple directo.
Es cuando la serie de datos es proporcional a la serie de inc´ognitas. • Datos 1. Cantidad a repartir: Q. 2. Serie de n´ umeros con respecto a la cual se hace el reparto proporcional: α1 , α1 , . . . , αn . • Inc´ ognitas 1. Cantidades a ser repartidas: x1 , x1 , . . . , xn . • Relaciones: 1. Se debe repartir Q, i.e.: n X
xi = Q.
i=1
2. Las series de las α’s y de las x’s deben ser directamente proporcionales: xi = λαi para i = 1, 2, . . . , n
´ PROPORCIONAL APPENDIX A. VARIACION
288
Sumando estas ecuaciones podemos expresar la constante de proporcionalidad en funci´ on de la cantidad a repartir Q y la serie de los α’s n X
xi
=
i=1
n X
λαi
i=1 n X
Q = λ
αi ,
i=1
de donde λ=
Q . α1 + . . . + αn
Lo que nos permite escribir x2 xn Q x1 = = ... = = α1 α2 αn α1 + . . . + αn Ejemplo A.16 Un emprendimiento agr´ıcola report´ o unas ganancias netas de $ 875 000. Esta cantidad debe ser repartida entre 5 socios, los cuales aportaron $ 15 000, $ 17 000, $ 38 000, $ 51 000 y $ 25 000 respectivamente. ¿Cu´ anto recibe cada socio? Soluci´ on: Es claro que quien m´ as aport´ o, m´ as debe recibir. Estamos en un caso de reparto proporcional simple directo. Tenemos entonces que Q =
875000
=
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ,
x1
=
15000λ,
x2
=
17000λ,
x3
=
38000λ,
x4
=
51000λ,
x5
=
25000λ,
donde 875000 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = = λ. 15000 + 17000 + 38000 + 51000 + 25000 146000 Por lo tanto x1
=
89.897, 26 $
x2
=
101.883, 56 $
x3
=
227.739, 73 $
x4
=
305.650, 68 $
x5
=
149.828, 77 $
´ PROPORCIONAL INVERSA. A.3. VARIACION
A.3
289
Variaci´ on proporcional inversa.
Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si para alguna k ∈ R yx = k, donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad (inversa). Observe que si duplicamos la variable x el valor de la variable y debe reducirse a la mitad x0
−→
x1 = 2x0 ,
y0 x0 = k
−→
y1 x1 = k ⇒ y1 =
k 1 k = = y0 x1 2x0 2
y ambas variables cambian a ritmos rec´ıprocos k k x1 kx1 1 2x0 y0 x0 x0 = = = = y1 . 2= = = k k x0 x0 kx0 y1 y0 x1 2x0 lo que implica que y1 1 = y0 2 En general: x0 −→ x1 , y0 x0 = k −→ y1 x1 = k, k x1 kx1 y0 x0 = = = = k x0 kx0 y1 x1 Esto no es otra cosa que la conocida “regla de
1 y1 . y0 tres simple inversa”.
Ejemplo A.17 Tres alba˜ niles levantan una pared en 4 d´ıas, ¿Cuanto tardar´ an 5 alba˜ niles? Se puede suponer que m´ as alba˜ niles terminaran el trabajo en menos d´ıas, asumiendo que todos los alba˜ niles tienen la misma productividad y no hay efectos de interferencia, podemos suponer una proporcionalidad inversa, lo cual es razonable (hasta cierto punto), entre los d´ıas de obra y la cantidad de obreros (d´ıas de obra) (n´ umero de alba˜ niles) = k Para determinar k, utilizamos las condiciones iniciales: (4 d´ıas de obra) (3 alba˜ niles) = k luego k = 12 (d´ıas de obra) (alba˜ niles)
´ PROPORCIONAL APPENDIX A. VARIACION
290
Ahora, si disponemos de 5 alba˜ niles d´ıas de obra =
12 (d´ıas de obra) (alba˜ niles) = 2.4 (d´ıas de obra) (5 alba˜ niles)
Es decir 5 alba˜ niles deber´ıan terminar la obra en 2 d´ıas, 9 horas y 36 minutos. Ejercicio A.18 Dos grifos (surtidores) iguales llenan una piscina con agua en 14 horas. ¿Cu´ anto tiempo se emplear´ a en llenar la piscina si usamos otros 5 grifos iguales? Ejercicio A.19 Un libro tiene 550 p´ aginas de 285 cm2 cada una. Se desea reeditarlo usando p´ aginas A4 (197 mm por 210 mm). Si el tipo de letra usado es el mismo, ¿cu´ antas p´ aginas tendr´ a la nueva edici´ on? Ejercicio A.20 Una rueda dentada de 40 dientes engrana con otra de 52 dientes. Si la primera rueda gira a 75 rpm (revoluciones por minuto), ¿A cu´ antas rpm gira la segunda?
A.3.1
Reparto simple inverso:
Es cuando la serie de datos es inversamente proporcional a la serie de inc´ognitas. • Datos 1. Cantidad a repartir: Q. 2. Serie de n´ umeros con respecto a la cual se hace el reparto proporcional inverso: α1 , α2 , . . . , αn . • Inc´ ognitas 1. Cantidades a ser repartidas: x1 , x1 , . . . , xn . • Relaciones: 1. Se debe repartir Q, i.e.: n X
xi = Q.
i=1
2. Las series de las α’s y de las x’s deben ser inversamente proporcionales: αi xi = λ para i = 1, 2, . . . , n o de manera equivalente xi = λ
1 para i = 1, 2, . . . , n αi
´ PROPORCIONAL INVERSA. A.3. VARIACION
291
Sumando estas n ecuaciones se puede deducir el valor de λ en funci´on de los datos n X
xi
=
i=1
n X
λ
i=1 n X
Q = λ
i=1
Por lo tanto λ=
1 αi 1 αi
Q 1 1 + ... + α1 αn
Esto nos permite escribir α 1 x1 = α 2 x2 = . . . = α n xn =
Q , 1 1 + ... + α1 αn
o equivalentemente x1 x2 xn Q = = ... = = . 1 1 1 1 1 + ... + α1 α2 αn α1 αn Ejemplo A.21 Para fomentar la productividad una empresa decide repartir un bono de $ 1 000 entre 4 empleados de acuerdo con el tiempo que tardan en realizar una determinadad tarea. Si los tiempos son 45 minutos, 1 hora 5 minutos, 2 horas y 2 horas 15 minutos. ¿Cu´ anto recibe cada empleado? Soluci´ on: Qui´en tarda menos en hacer la tarea es m´ as productivo y por lo tanto debe recibir una mayor parte del bono. Estamos en un caso de reparto proporcional inverso. Llevando todos los tiempos a minutos tenemos que Q =
1000
= x1 + x2 + x3 + x4 , 45x1
= λ,
65x2
= λ,
120x3
= λ,
135x4
= λ,
Lo cual puede ser reescrito como x1 x2 x3 x4 = = = , 1 1 1 1 45 65 120 135 de donde
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 1000 = = λ. 1 1 1 1 749 + + + 45 65 120 135 14040
´ PROPORCIONAL APPENDIX A. VARIACION
292 Por lo tanto
A.4
x1
=
416.56 $,
x2
=
288.38 $,
x3
=
156.21 $,
x4
=
138.85 $.
Variaci´ on proporcional conjunta o compuesta.
Dadas dos series de variables y1 , y2 , . . . , yn y x1 , x2 , . . . , xm diremos que satisfacen una relaci´ on de proporcionalidad conjunta o compuesta si n Y
yi = k
i=1
m Y
xj .
j=1
donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad conjunta. Notaci´ on A.22 Usaremos la notaci´ on de productoria habitual: n Y
αi := α1 α2 · · · αn .
i=1
A.4.1
Reparto compuesto.
Es cuando hay m´ as de una serie de datos los cuales tienen una relaci´on de proporcionalidad conjunta con la serie de incognitas. • Datos 1. Cantidad a repartir: Q. 2. m series de n´ umeros con respecto de las cuales el reparto es directamente proporcional: αk1 , αk2 , . . . , αkn , para k = 1, 2, . . . , m. 3. t series de n´ umeros con respecto de las cuales el reparto es inversamente proporcional: β j1 , β j2 , . . . , β jn , para j = 1, 2, . . . , t • Incognitas: Cantidades a ser repartidas: x1 , x2 , . . . , xn . • Relaciones:
´ PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA. A.4. VARIACION
293
1. Se debe repartir Q, i.e.: n X
xi = Q
i=1
2. Las series son conjuntamente proporcionales: xi
t Y
β ji = λ
j=1
m Y
αki , para i = 1, 2, . . . , n
k=1
Observe que hemos planteado una ecuaci´on para cada agente.
Clarificar que en esta ecuaci´on se fija el agente y se mueven las series.!!!!!!!!!!!!!!! Estas u ´ltimas relaciones pueden ser reescritas a modo de fracciones equivalentes: t t t Y Y Y x2 β j2 xn β jn x1 β j1 j=1 m Y
=
αk1
k=1
j=1 m Y
j=1
= ... =
m Y
αk2
k=1
= λ,
αkn
k=1
o, de manera equivalente x2 xn x1 = λ, = m = ... = m m Y Y Y k k k α1 α2 αn k=1 t Y j=1
β j1
k=1 t Y
k=1 t Y
β j2
j=1
β jn
j=1
de donde se puede deducir que la constante de proporcionalidad λ es Q m Y
λ=
n X k=1 i=1
t Y
, αki β ji
j=1
Ejemplo A.23 El departamento de matem´ aticas de una universidad divide su presupuesto anual de $ 289.000 entre tres ´ areas. Las ´ areas que atienden m´ as alumnos son las que reciben m´ as presupuesto: el A1 atiende 230 alumnos, el A2 atiende 720 alumnos, y el A3 atiende 173 alumnos. Por otro lado a fin de equilibrar las ´ areas, mientras mayor es el n´ umero de miembros de un ´ area, menor debe ser su parte de presupuesto anual: el A1 tiene 12 docentes, el A2 tiene 21 docentes, y el A3 tiene 15 docentes. Por otro lado las ´ areas m´ as productivas
´ PROPORCIONAL APPENDIX A. VARIACION
294
(n´ umero de trabajo publicados) reciben m´ as presupuesto: el A1 tiene 13 trabajos publicados este a˜ no, el A2 tiene 6 trabajos publicados, y el A3 tiene 35 trabajos publicados. ¿Cu´ anto recibe cada ´ area? Soluci´ on: Es claro estamos en un caso de reparto proporcional compuesto. Series directamente proporcionales a las cantidades a repartir x1 , x2 , y x3 : 1. N´ umero de alumnos: 230, 720, y 173. 2. N´ umero de trabajos publicados: 13, 6, y 35. Serie inversamente proporcional a las cantidades a repartir 1. Cantidad de docentes en el ´ area: 12, 21, y 15 Tenemos entonces que Q = =
donde λ=
289000 x1 + x2 + x3 ,
12x1
=
230 ∗ 13 ∗ λ,
21x2
=
720 ∗ 6 ∗ λ,
15x3
=
173 ∗ 35 ∗ λ.
x1 + x2 + x3 289000 = . 36059 230 ∗ 13 720 ∗ 6 173 ∗ 35 + + 42 12 21 15
Por lo tanto x1
=
83873.24 $,
x2
=
69246.51 $,
x3
=
135880.25 $.
Regla de compa˜ n´ıa Se denomina as´ı al sistema de reparto proporcional compuesto de beneficios entre socios. Principalmente se tiene en cuenta dos factores: 1. El tiempo durante el que ha estado invertido un capital. 2. La cantidad de capital invertido. Ambas variables son directamente proporcionales a la cantidad a repartir. Ejercicio A.24 Una f´ abrica produce 5 000 camisas en 4 d´ıas utilizando 25 trabajadoras. ¿C´ uantas camisas se producir´ an en 3 d´ıas con 32 trabajadoras?. Si se necesitan producir 18 000 camisas en 9 d´ıas, ¿Cu´ antas trabajadoras se necesitan?. Si hay una huelga y s´ olo trabajan 7 empleadas, ¿Cu´ antos d´ıas ser´ an necesarios para producir 3 000 camisas?
´ PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA. A.4. VARIACION
295
Ejercicio A.25 Un grupo de 5 cosechadores, trabajando 6 horas diarias, levantan la cosecha de una finca en 3 d´ıas. ¿Cu´ antos cosechadores se necesitar´ an para levantar la cosecha en no m´ as de dos d´ıas, trabajando 8 horas diarias? Ejercicio A.26 Un campamento militar con 250 hombres, tiene provisiones para 30 d´ıas a raz´ on de 3 comidas diarias por hombre. Si se suman 53 hombres, ¿cuantos d´ıas durar´ an las provisiones si cada hombre come s´ olo dos veces por d´ıa? Ejercicio A.27 Tres profesores de ingl´es de un instituto impartieron clases particulares a un grupo de ejecutivos de una empresa. El instituto cobro $ 15 000 por el servicio. El instituto se queda con el 15 %, y reparte el resto en funci´ on del n´ umero de d´ıas y las horas diarias de clases. El primer profesor trabaj´ o 2 horas diarias durante 40 d´ıas, el segundo, una hora diaria durante 20 d´ıas, y el tercero trabaj´ o 3 horas diarias durante 30 d´ıas. ¿A cu´ anto ascienden los honorarios de cada uno? Ejercicio A.28 Tres productos P1 , P2 , y P3 , tardan 3, 4 y 5 horas, respectivamente, para ser fabricados. Se sabe que el costo de fabricaci´ on de cada uno de los productos es directamente proporcional al tiempo empleado. Sabiendo que cuesta $ 1500 fabricar el producto P2 ,¿Cu´ anto cuesta fabricar los otros productos? Si el costo de un cuarto producto de caracter´ısticas similares es $ 2 100, ¿Cu´ anto tiempo se emplea para fabricarlo? Ejercicio A.29 Una empresa de transporte utiliza un cuadro tarifario directamente proporcional al peso del paquete, y a la distancia entre el origen y el destino del mismo. Sabemos el costo de enviar un paquete de 5 kg, una distancia de 150 km es: $ 12. ¿Cu´ anto costar´ a enviar un paquete de 8 kg, 90 km? Si nos cobraron $ 35 por enviar un paquete 30 km ¿Cu´ anto pesaba el mismo? Si nos cost´ o $ 10 enviar un paquete de 15 kg ¿A que distancia lo mandamos?. Ejercicio A.30 Una empresa fabrica 5 productos, los cuales le proporcionan los mismos ingresos. Se producen 320 unidades diarias del producto P1 , 220 unidades diarias del producto P2 , 110 unidades diarias del producto P3 , 420 unidades diarias del producto P4 , y 52 unidades diarias del producto P5 . ¿Qu´e precios relativos les corresponden a cada uno de los productos? Ejercicio A.31 Para ser socio de una compa˜ n´ıa de seguros hay que aportar $ 500 000. Este a˜ no la compa˜ n´ıa report´ o una ganancia neta de $ 1 250 600, sabiendo que son 5 socios, que los dos primeros colocaron el capital durante el mismo tiempo, el tercero coloco el capital el triple del tiempo que los dos primeros, y los que restan colocaron el capital la mitad del tiempo que el tercero ¿Cu´ anto le tocada a cada uno? Ejercicio A.32 Una empresa report´ o una ganancia anual neta de $ 17 000 000. Los socios tiene como regla, ahorrar el 18% de las ganancias, y repartir el resto. Si son 9 socios, de los cuales 3 son socios fundadores, lo cuales aportaron
´ PROPORCIONAL APPENDIX A. VARIACION
296
$ 250 000 hace tres a˜ nos al fundar la empresa. Dos a˜ nos atras, se agregaron 2 socios m´ as, quienes contribuyeron con $ 300 000 (lo que ayudo a financiar una expanci´ on de la empresa). Hace un a˜ no atras se agregaron otros dos socios quienes aportaron $ 1 000 000 y $ 150 000 (los que fueron usados para informatizar la empresa). Hace 6 meses se incorparon el resto de los socios, quienes aportaron $ 300 000 cada uno (lo que fue usado para abrir una nueva sucursal en Brasil). ¿Cu´ anto le toca a cada uno de los socios?. Ejercicio A.33 Una empresa repartir´ a proporcionalmente un premio de $ 80 000 entre sus cuatro gerentes regionales. A fin de fomentar las ganancias, mientras m´ as ventas tenga una regi´ on mayor ser´ a el premio. A fin de fomentar la productividad, mientras menor sea la cantidad de personal, mayor ser´ a el premio. A fin de fomentar la lealtad a la empresa, mientras m´ as antig¨ uedad, mayor ser´ a el premio, y a fin de fomentar una pol´ıtica de austeridad, mientras menores sea los gastos de la sucursal, mayor ser´ a la parte del premio que reciben. Los datos est´ an arreglados en la siguiente tabla Sucursal Sucursal Sucursal Sucursal
Norte Sur Este Oeste
Ventas en $ 7 560 050 6 890 300 4 230 650 12 560 890
Personal 15 13 8 16
Antiguedad en a˜ nos 5 8 9 4
Gastos en $ 1 950 000 2 150 000 2 500 000 3 000 500
¿Cu´ anto recibe cada uno de los gerentes? Ejercicio A.34 La cantidad de pintura necesaria para pintar una columna cil´ındrica var´ıa conjuntamente con el radio y la altura de la columna. Compare la cantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 7 m de alto y 60 cm de radio, con la cantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 9 m de alto y 50 cm de radio.
Appendix B
Relaciones recursivas B.1
Introducci´ on
El siguiente ejemplo ilustra la situaci´on t´ıpica que queremos resolver. Ejemplo B.1 Una persona realiza un dep´ osito a plazo fijo de $ 10.000 por 6 meses. El banco le paga una tasa del 1,25 % mensual. ¿Cu´ anto tendr´ a al final del sexto mes?. Soluci´ on: Denotaremos con fk al monto acumulado hasta el mes k. Es claro que el monto fk acumulado hasta el mes k, depende del monto acumulado hasta el mes anterior: fk−1 . La relacci´ on es fk
= fk−1 + 0, 125fk−1 =
(B.1)
(1 + 0, 0125) fk−1
Adem´ as sabemos que f0 = 10.000
(B.2)
Luego: f1 f2 f3 f4 f5 f6
= = = = = =
(1 + 0, 0125) 10.000 (1 + 0, 0125) 10.125 (1 + 0, 0125) 10.251, 5625 (1 + 0, 0125) 10.379, 7070312 (1 + 0, 0125) 10.509, 4533691 (1 + 0, 0125) 10.640, 8215362
= = = = = =
10.125 10.251, 5625 10.379, 7070312 10.509, 4533691 10.640, 8215362 10.773, 8318054
Es decir, tendr´ a $ 10.773,83. T´ıpicamente trabajaremos con funciones a valores reales cuyo dominio es Z. Dada f :Z→R para cada k ∈ Z, denotaremos fk := f (k) 297
298
APPENDIX B. RELACIONES RECURSIVAS
Nota B.2 La siguiente figura muestra la posici´ on de cada uno de los fk en la recta. Observe que el 1er. per´ıodo comienza en el cero y t´ermina en el uno, y en general el k−´esimo per´ıodo empieza en el momento k − 1 y t´ermina en el momento k, i.e., cada intervalo o per´ıodo recibe el nombre de su extremo derecho.
f0
f1
f2
f3
fk−1
fk
fk+1
0
1
2
3
k−1
k
k+1
1er per´ıodo
k-´esimo per´ıodo
La ecuaci´ on (B.1) es un ejemplo de una relaci´ on recursiva. La ecuaci´on (B.2) es un ejemplo de condiciones iniciales. Definici´ on B.3 Decimos que una funci´ on f : A → R, con A ⊂ Z, se define recursivamente siempre que B alg´ un conjunto finito de valores, generalmente el primero o los primeros, se especifiquen, los que llamaremos condiciones iniciales, R los valores restantes de la funci´ on est´ an definidos en t´ermino de valores previos. Una f´ ormula que hace esto recibe el nombre de f´ ormula o relaci´ on recursiva. Ejemplo B.4 Las siguientes son ejemplos de relaciones recursivas: 1. fk+1 − fk = 3, con k ∈ Z+ y f0 = 2 2. senkfk + cos (k − 1) fk−1 + sen (k − 2) fk−2 = 0, con k ∈ Z+ Definici´ on B.5 Una soluci´ on de una relaci´ on recursiva es toda funci´ on que satisfaga la relaci´ on de recurrencia en cuesti´ on. Ejemplo B.6 La funci´ on k (k − 1) +C 2 donde C es una constante arbitraria, es una soluci´ on de la relaci´ on recursiva fk =
fk+1 − fk = k, pues para k ∈ Z fk+1 − fk
= = =
(k + 1) k k (k − 1) − 2 2 k2 + k − k2 − k 2 k
B.2. RELACIONES RECURSIVAS LINEALES DE PRIMER ORDEN A COEFICIENTES CONSTANTES.299
B.2
Relaciones recursivas lineales de primer orden a coeficientes constantes.
B´ asicamente trabajaremos con relaciones recursivas de la forma a1 fk+1 + a0 fk = g (k) donde a1 , a2 son constantes no nulas arbitrarias, y g una funci´on, g : Z → R. Nosotros analizaremos los siguientes casos: cuando g es un polinomio en k, o una funci´ on exponencial en k, o una combinaci´on lineal de un polinomio en k con una exponencial en k. Ejemplo B.7 La relaciones recursivas con la que trabajaremos ser´ an de similares a 1. 2fk+1 + 5fk = 2k, 1 2. − (fk − fk−1 ) = fk + k 2 , 2 1 3 3. 6fk+1 + fk = e−k , 4 3 4. k 3 − fk = 3k − fk+1 . Ejemplo B.8 Todos los meses ud. ahorra $ 550, los cuales deposita en una cuenta de ahorro que le paga el 0,5 % de inter´es mensual. Hallar la relaci´ on recursiva que describe la situaci´ on: La relaci´ on recursiva es fk = 1, 005fk−1 + 550 con la condici´ on inicial f0 = 550
B.3
Caso I: g (k) = cte.
Esta es la situaci´ on m´ as simple. Queremos resolver la relaci´on recursiva a1 fk+1 + a0 fk = c
(B.3)
donde a1 , a2 , y c son constantes arbitrarias, con a1 6= 0. La relaci´on anterior puede reescribirse fk+1 = Afk + B donde A
= −
B
=
a0 a1
c a1
300
APPENDIX B. RELACIONES RECURSIVAS
Ahora usaremos el m´etodo inductivo para conjeturar la forma de la soluci´on: f1
=
Af0 + B
f2
=
Af1 + B
=
A (Af0 + B, ) + B
=
A2 f0 + B (1 + A)
=
Af2 + B
= =
A A2 f0 + B (1 + A) + B A3 f 0 + B 1 + A + A2 .. .
=
Afk−1 + B
=
Ak f0 + B 1 + A + · · · + Ak−1
f3
fk
Ahora hay dos situaciones: A = 1 o A 6= 1. Si A = 1 es claro que fk = f0 + kB Por otro lado, si A 6= 1, la expresi´on 1 + A + · · · + Ak−1 es una serie geom´etrica de raz´on A, para la cu´al es facil hallar una versi´on cerrada: llamemos S a la suma de la serie S = 1 + A + A2 + · · · + Ak−2 + Ak−1
(B.4)
multipliquemos ambos miembros por A AS = A + A2 + A3 + · · · + Ak−1 + Ak
(B.5)
Si hacemos (B.4) menos (B.5) obtenemos S − AS
=
S
=
1 − Ak 1 − Ak 1−A
(B.6)
Por lo tanto si A 6= 1 la soluci´on de la relaci´on recursiva (B.3) debe ser fk = Ak f0 + B
1 − Ak . 1−A
Resumiendo, el m´etodo inductivo sugiere que la soluci´on de la relaci´on recursiva (B.3) debe ser de la forma k 1 − Ak si A 6= 1, A f + B 0 fk = (B.7) f + kB 1 − A si A = 1. 0
B.3. CASO I: G (K) = CT E.
301
Para probarlo debemos usar inducci´on dos veces: una para A 6= 1, y otra para A = 1. Haremos la primera (la otra queda como tarea para el lector). Verificaremos que si A 6= 1, y fk es una soluci´on de la relaci´on recursiva (B.3), 1 − Ak entonces fk tiene la forma fk = Ak f0 + B . 1−A Paso base: k = 1 esto no es m´ as que la f´ormula de recursi´on: f1 = Af0 + B = A1 f0 + B
1 − A1 1−A
Hip´ otesis inductiva: supongamos que la relaci´on recursiva es cierta para k−1, i.e.: 1 − Ak−1 fk−1 = Ak−1 f0 + B 1−A Ahora veamos que ocurre lo propio para k fk
= Afk−1 + B 1 − Ak−1 k−1 +B = A A f0 + B 1−A A − Ak +1 = Ak f0 + B 1−A = Ak f0 + B
1 − Ak . 1−A
Ejemplo B.9 Todos los meses la srta. Viviana ahorra $ 550, y los deposita en una cuenta de ahorro que le paga el 0,5 % de inter´es mensual. Hace 8 meses que comenzo a ahorrar. ¿Cu´ anto tiene ahorrado?¿Cuantos meses m´ as deber´ a ahorrar para poder comprarme un televisor de LED de 42” que cuesta $ 8.500? Ya hemos hallado la relaci´ on recursiva que describe esta situaci´on: fk = 1, 005fk−1 + 550 f0 = 550 Como A = 1, 005 6= 1 y B = 550, por (B.7) tenemos que fk
=
1 − 1, 005k 1 − 1, 005 k 550 · 1, 005 + 110.000 1, 005k − 1
=
110.550 · 1, 005k − 110.000
=
550 · 1, 005k + 550
Por lo tanto, a los 8 meses la srta. Viviana tendr´a (pesos) f8 = 110.550 · 1, 0058 − 110.000 = 5.050, 1637
302
APPENDIX B. RELACIONES RECURSIVAS
Para averiguar cuantos meses m´as deber´a ahorrar para tener por lo menos $ 8.500, debemos plantear la siguiente desigualdad donde la inc´ognita es k 8.500 < fk = 110.550 · 1, 005k − 110.000 Es decir
118.500 < 1, 005k 110.550 como el logaritmo es una funci´on mon´otona creciente, al tomar logaritmos de ambos lados no se altera el sentido de la desigualdad anterior: 118.500 < k log (1, 005) log 110.550
por lo tanto
118.500 log 110.550 14, 92370427 = log (1, 005)
0, b 6= 1. La soluci´ on homog´enea asociada se calcula como antes. La soluci´on particular es βbk , si A 6= b, pk = βkbk , si A = b. donde A = − aa10 , y el coeficiente β es hallado usando el m´etodo de los coeficientes indeterminados. Ejemplo B.15 Resolver la relaci´ on recursiva fk+1
=
4fk + 3 2k , con k ≥ 1,
f0
=
1.
La relaci´ on recursiva homog´enea asociada es fk+1 − 4fk = 0, por lo tanto la soluci´ on homog´enea asociada es hk = h0 4k . Como A = − (−4) 6= 2, la soluci´ on particular debe ser de la forma pk = β2k .
´ EXPONENCIAL B.6. CASO III: G (K) ES UNA FUNCION
307
Usando el m´etodo de los coeficientes indeterminados 3 · 2k
= pk+1 − 4pk = β2k+1 − 4β2k = −2β2k .
Luego 3 β=− . 2 Por lo tanto la soluci´ on general es 3 fk = h0 4k − 2k . 2 Ahora ajustamos el valor de h0 para que se satisfaga la condici´ on inicial: 3 1 = f0 = h0 − , 2 luego h0 = Por lo tanto
5 . 2
5 k 3 k 4 − 2 . 2 2
fk =
Ejemplo B.16 Resolver la relaci´ on recursiva fk+1 − 3fk
=
12 · 3k , con k ≥ 1,
f0
=
2.
La soluci´ on homog´enea asociada es hk = h0 3k . Como A = − (−3) = 3, la soluci´ on particular asociada debe ser de la forma pk = βk3k . Usando el m´etodo de los coeficientes indeterminados 12 3k
= pk+1 − 3pk = β (k + 1) 3k+1 − 3βk3k = β3k+1 ,
de donde β = 4. Por lo tanto la soluci´ on general es de la forma fk = h0 3k + 4k3k .
308
APPENDIX B. RELACIONES RECURSIVAS
Usando la condici´ on inicial, ajustamos el valor de h0 2 = f0 = h0 . Luego la soluci´ on general es fk = 2 · 3k + 4k3k . Ejercicio B.17 Resolver las siguientes relaciones recursivas 1. 3fk+1 − 6fk = 3 · 2k , con f0 = 2. 3fk+1 − fk =
2 . 3
1 , con f2 = 5. 3k
Ejercicio B.18 Ud. invierte $ 180 000. Esa inversi´ on de duplica cada a˜ no, pero ud. retira al cabo del primer a˜ no $ 10 000, del segundo a˜ no $ 20 000, del tercero $ 40 000, del cuarto $ 80 000, etc. Establecer una relaci´ on recursiva que describa el problema. ¿Cuanto tendr´ a al cabo del 7mo. a˜ no?
B.7
Caso IV: g (k) combinaci´ on de un polinomio y una funci´ on exponencial
Ahora resolveremos relaciones recursivas de la forma a1 fk+1 + a0 fk = Pn (k) + cbk ,
(B.11)
donde Pn (k) = αn k n + αn−1 k n−1 + · · · + α1 k + α0 , es un polinomio de grado n, y b > 0 y b 6= 1. De nuevo todo el problema es hallar una soluci´ on particular, pues la homog´enea asociada no ofrece dificultad. La soluci´ on particular propuesta debe ser de la misma clase que g si A ∈ / {1, b} , β n k n + β n−1 k n−1 + · · · + β 1 k + β 0 + βbk , k β n k n + β n−1 k n−1 + · · · + β 1 k + β 0 + βbk , si A = 1, pk = β n k n + β n−1 k n−1 + · · · + β 1 k + β 0 + βkbk , si A = b. donde A = − aa01 . Ejercicio B.19 Resolver las siguientes relaciones recursivas: fk+1 − 2fk = 3 · 4k + 4k, 1. f0 = 4. ( 2 k 3 + k − 1, fk+1 − fk = 2. 5 f1 = 4. fk+1 − 3fk = 4 · 3k − 2k, 3. f0 = 2.
´ GENERAL B.8. EJERCITACION
B.8
309
Ejercitaci´ on general
Ejercicio B.20 Decidir si la funciones propuestas son o no soluci´ on de las relaciones recursivas dadas (c reprsenta una constante abitraria)
1 2 3 4 6 7 8 9 10 11
Funci´ on propuesta fk = 3 fk = c fk = −3 · 5k fk = c3k fk = 2ck fk = k fk = c + k (k + 1) c fk = 1 + ck 1 k+1 fk = 3 +1 2 fk = 3 2k+1 − 1
Relaci´ on recursiva fk − fk−1 = 0, fk − fk−1 = 0, fk = 5fk−1 , fk = 3fk−1 , fk = cfk−1 , fk+1 − fk = 1, fk+2 − fk+1 = 2k + 3, fk = 3fk − 1, fk fk+1 = , 1 + fk fk + 2fk−1 − 1 = 0.
Ejercicio B.21 Hallar la soluci´ on de cada una de las siguientes relaciones recursivas fk+1 − fk = 1, 1. f0 = 4. (
2fk+1 − fk
=
f0
=
2. 3.
fk+1 f0
= =
−2fk , 4.
1 fk+1 − 4 fk 3 3 4. f0
=
6, 2 . 3
=
4fk − fk+1 f1
= =
1, 2.
(
4fk+1 − fk
=
f3
=
3, 1 . 2
5.
6.
fk+1 + fk f0
(
fk+1 − 3fk
=
f0
=
7.
8.
3, 1 . 2
= =
3k + 1, 2. 5k 2 , 1 . 2
310
APPENDIX B. RELACIONES RECURSIVAS
fk+1 f1
fk+1 − fk f2
2fk+1 − 2fk f3
= =
3k − 1, 0.
(
2fk+1 + 3fk
=
f0
=
5 · 2k , 1 . 2
9. 10. 11.
12.
fk + 4k, 0. 2k 2 + k, 1.
= =
fk+1 − 2fk f0
= =
6 · 2k , 1.
fk+1 + 3fk f1
= =
2 · 4k − k, 0.
(
3fk − fk−1
=
f1
=
1 , 3k 0.
3fk + fk+1
=
f0
=
1 , 3k 2.
2fk−1 − fk f1
= =
4k−1 − 3k + 8, 4.
13. 14.
15. ( 16. 17.
= =
Ejercicio B.22 Una persona tiene hoy $ 40 000 y a partir de la segunda semana gasta cada semana la tercera parte de lo que ten´ıa la semana anterior. ¿Cu´ antas semanas tarda en tener menos de $ 10? ¿Cu´ antas semanas tarda en gastar todo su capital?. Ejercicio B.23 Una compa˜ n´ıa de seguros ofrece a sus inversionista el siguiente esquema de pagos: cada a˜ no el inversionista tendr´ a un acumulado igual a 5/4 de lo que ten´ıa el a˜ no anterior, pero le descuentan cada a˜ no una doceava parte del total acumulado. ¿Cu´ anto tendr´ a al cabo de 8 a˜ nos una persona que invierte $ 3 000 000? ¿Cu´ anto tiempo tardar´ a en duplicar su capital un inversionista cualquiera? Ejercicio B.24 Se invierten hoy $ 6 000 000. Est´ a inversi´ on rinde un 12% trimestralmente, i.e., cada trimestre se agrega el 12% del capital acumulado hasta el trimestre anterior. Al comienzo del segundo trimestre se agregan $ 25 000, al comienzo del tercero $ 30 000, del cuarto $ 35 000, y as´ı sucesivamente. Adem´ as al finalizar cada trimestre se retiran $ 75 000. ¿Cu´ al ser´ a el total acumulado al cabo de 5 a˜ nos? ¿Cu´ anto tiempo tardar´ a en triplicar su capital el inversionista?
Appendix C
Soluciones C.1
Soluciones del capitulo 1
(8.37)
311
Appendix D
Diccionarios de f´ ormulas
312
Appendix E
Tabla de d´ıas
313
Bibliography [1] Dumrauf, Guillermo L., 2006, Finanzas Corporativas. Alfaomega, M´exico. [2] Joseph W. Kitchen, 1992, C´ alculo. McGraw Hill. M´exico. [3] Joanna Place, 2005. An´ alisis b´ asico de bonos. Ensayos 72. Centro de estudios monetarios latinoamericanos. M´exico. http://www.cemla.org/ensayos.htm
314
Index equivalentes fracciones, 3 proporcional directamente, 1 reparto proporcional, 5 simple directo, 5
315