Matem´aticas Financieras Lecci´on 2 Conceptos b´asicos Manuel Le´ on Navarro

Colegio Universitario Cardenal Cisneros

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Capital Financiero Capital financiero: Medida de un activo expresada por su cuant´ıa y por su vencimiento o momento de disponibilidad. Representaci´on: dos coordenadas (C ,t) donde: C mide la cuant´ıa del capital expresada en unidades monetarias t es el momento de disponibilidad del capital o vencimiento. Representaci´on gr´afica

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Capital Financiero - continuaci´on Otra representaci´on

perspectiva objetiva perspectiva subjetiva Espacio financiero E E = {(C ; t)∀C , t ∈ R}

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Leyes Financieras Comparaci´on de Capitales =⇒ Leyes Financieras Dos capitales (C1 , t1 ) y (C2 , t2 ) y dado un momento del tiempo p =⇒ valor equivalente Vi Relaci´on de la forma (C1 , t1 ) ∼ (V1 , p) y (C2 , t2 ) ∼ (V2 , p) Preferencia por el capital con valor equivalente mayor:

Ley que M. permite encontrar ViMatem´ : aticas Empresariales I Le´ on

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Tipos de Leyes Financieras En funci´on de si el valor p es anterior o posterior a t: Leyes de capitalizaci´on. Si p > t y se denota por L(t, p)

Leyes de descuento. Si p < t y se denota por A(t, p)

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Figura: Descuento

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Leyes Financieras - Ejemplo Indicar el orden de preferencia de los capitales siguientes: (100.000;2013), (110.000;2015) y (120.000;2016) si la ley utilizada es A(t, p) = 1 − 0,05(t − p) y se utiliza p = 2012. Para determinar el orden de preferencia hay que encontrar las cuant´ıas equivalentes en p = 2012. As´ı para el primero V1 = 100,000 · [1 − 0,05(2013 − 2012)] = 95,000 Para el segundo V2 = 110,000 · [1 − 0,05(2015 − 2012)] = 93,500 y para el tercero V3 = 120,000 · [1 − 0,05(2016 − 2012)] = 96,000 (120,000; 2016)  (100,000; 2013)  (110,000; 2015) M. Le´ on

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Leyes Financieras - Ejercicio

Dados dos capitales (100;2016) y (200,2018). ¿Se puede decir que hoy son equivalentes si se utiliza la ley financiera F (C , t, p) = Ce p−t ?

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Leyes Financieras: Propiedades 1 2

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V = F (C , t, p) > 0 ∀ C , t y p. Debe ser homog´enea de grado 1 respecto a la cuant´ıa F (λC , t, p) = λF (C , t, p). Implicaci´ on: F (C , t, p) = C · F (1, t, p) = C · F (t, p). La ley F (t, p) se le denomina ley financiera unitaria.

Debe cumplir que si p = t, entonces F (C , t, t) = F (C , p, p) = C (Propiedad reflexiva). Propiedad de subestimaci´ on de capitales futuros respecto a los actuales a igualdad de cuant´ıa =⇒ creciente con p y decreciente con t. Adem´as, si la ley es de descuento =⇒ A(t, p) < 1 si la ley es de capitalizaci´ on =⇒ L(t, p) > 1

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Debe ser continua en p y en t

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Leyes Financieras: Ejemplo Comprobar que la funci´on matem´atica F (C , t, p) =

C ·a b + d · (t − p)

con t ≥ p

Puede ser utilizada como ley de descuento para los valores positivos de a, b, d. 1) funci´on positiva =⇒ Con t > p entonces t − p > 0 =⇒ denominador positivo. Como C , a > 0 numerador =⇒ positivo =⇒ cociente positivo. 2) Homog´enea de grado 1 respecto a C :

F (λC , t, p) =

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C ·a λC · a =λ· = λ · F (C , t, p) b + d · (t − p) b + d · (t − p)

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Leyes Financieras: Ejemplo (cont.) 2’) Homog´enea de grado 1 respecto a C (Implicaci´ on): a C ·a = C· = C ·F (1, t, p) = C ·F (t, p) b + d · (t − p) b + d · (t − p)

F (C , t, p) =

3) propiedad reflexiva: C ·a C ·a a = =C· b + d · (t − t) b+d ·0 b Que ser´a igual a C si a = b 4) subestimaci´on de capitales futuros (creciente en p y decreciente en t): F (C , t, t) =

∂F (C , t, p) a·d = >0 ∂p [a + d · (t − p)]2 ∂F (C , t, p) a·d =− 0 ⇒a·d >0 10 / 14

Leyes Financieras: Ejemplo (cont.)

5) Para que sea ley de descuento (F (C , t, p) < 1: a Con t > p =⇒ d · (t − p) > 0 =⇒ a+>0 a

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Leyes Financieras: Ejercicio

Comprobar que la expresi´on matem´atica F (C , t, p) = C [a + b · (p − t)] puede ser utilizada como ley financiera, indicando en cualquier caso que propiedades se cumplen y cuales no.

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Leyes Financieras: Clasificaci´on

Leyes estacionarias (diferencia del tiempo entre el que ocurre cada operaci´on, z = p − t)=⇒ F (z) o tambi´en F (t). Leyes sumativas, cuando en el intervalo considerado no se acumulan los intereses para generar nuevos intereses (Ejemplos: capitalizaci´on simple y el descuento comercial). Leyes multiplicativas, cuando en el intervalo se acumulan los intereses. (Ejemplos: capitalizaci´ on y el descuento compuestos).

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Magnitudes Derivadas A partir de C y t surgen otros conceptos derivados: Factor: n´ umero por el que hay que multiplicar a la cuant´ıa en t1 para obtener la cuant´ıa en t2 o viceversa(funci´ on de t1 , t2 y p). Caso capitalizaci´ on 1 2 3

Factor de capitalizaci´ on: Obtiene C2 multiplicando a C1 por dicho factor Factor de contracapitalizaci´ on: Obtiene C1 conocido C2 montante Es la cuant´ıa del final de la operaci´ on (M = C2 )

Caso descuento 1 2

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Factor de descuento: Obtiene C1 multiplicando a C2 por dicho factor Factor de contradescuento: Obtiene C2 multiplicando a C1 por dicho factor valor descontado Es la cuant´ıa del inicio de la operaci´ on (C1 )

R´edito es el incremento o disminuci´ on por unidad monetaria al pasar de t1 a t2 . 1 Capitalizaci´ on =⇒ C2C−C 1 C2 −C1 Descuento =⇒ C2

Tanto o tipo de inter´es R´edito por unidad de tiempo (dividido entre la amplitud del intervalo (t1 ; t2 )) M. Le´ on Matem´ aticas I Tanto instant´ aneo es el l´ ımite delEmpresariales tanto cuando el intervalo (t ; t )14 / 14