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INECUACIONES

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1. INTRODUCCIÓN Imaginen que queremos abrir una nueva librería en el centro de la ciudad. Y que tenemos un presupuesto de 800 $ como máximo para comprar los libros. Esto no significa que lo tengamos que gastar todo obligatoriamente. Es decir, podemos gastarnos 800 $, porque 800 es igual que 800. O 650 $ porque 650 es menor que 800. Pero, en cambio, no podemos gastarnos 1.352 $ porque 1.352 es mayor que 800. Precisamente porque los números reales están ordenados podemos establecer este tipo de relaciones de comparación. Si no, nos sería imposible. El lenguaje matemático tiene sus propios símbolos para expresar las relaciones de comparación: •

El símbolo < se lee menor que.

•

El símbolo ≤ se lee menor o igual que.

•

El símbolo = se lee igual que.

•

El símbolo > se lee mayor que.

•

El símbolo ≥ se lee mayor o igual que.

2. IGUALDADES, DESIGUALDADES E INECUACIONES Estas mismas relaciones de comparación pueden definirse en situaciones que involucran cantidades desconocidas. Así aparece la necesidad de utilizar el lenguaje algebraico. Si una manera de representar conexiones de este tipo es mediante las igualdades, otra hace uso de las llamadas desigualdades. •

Las igualdades son expresiones con dos miembros que están relacionados con el signo =. Pueden ser: •

Igualdades numéricas, que están formadas sólo por números. 13 = 12 + 1

•

Identidades, que están formadas por números y letras, y se cumplen para cualquier valor de las incógnitas. 7x + x = 9x − x

•

Ecuaciones, que están formadas por números y letras, y se cumplen sólo para determinados valores de las incógnitas. 3x = 2 − 4x

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Las desigualdades, por su parte, son exspresiones con dos miembros que están relacionados mediante los signos o ≥. Pueden ser: •

Desigualdades numéricas, que están formadas sólo por números. 6 < 10 + 1

•

Inecuaciones, que están formadas por números y letras. x − 10 ≥ 5x

2.1. Características de las inecuaciones Puesto que en este tema trabajamos específicamente con inecuaciones, es conveniente que definamos sus partes y características. La siguiente expresión, una inecuación, servirá para ilustrar las definiciones: 2x3 + 11 ≤ −12 − 7x •

Miembro: cada una de las expresiones algebraicas a lado y lado de la desigualdad. 2x3 + 11 y −12 − 7x

•

Término: cada uno de los monomios que forman parte de los miembros. 2x3, 11, −12 y −7x

•

Grado: grado del término de mayor grado que aparece en la inecuación. Se trata de una inecuación de grado 3 o de tercer grado.

•

Incógnitas: valores desconocidos que quedan representados con letras. En este caso, sólo x. Para representar las incógnitas, podemos utilizar indistintamente cualquier letra. Pero la x es la más utilizada y, en caso de que aparezcan otras incógnitas, se añaden la y, la z, etc.

•

Solución: todos los posibles valores numéricos de las incógnitas que hacen que la desigualdad sea cierta.

De hecho, las inecuaciones pueden: •

No tener solución. x − 1 > x + 1 no se cumple para ningún valor de x. Porque si restamos la unidad a una cantidad determinada, la estamos disminuyendo, pero si a la misma cantidad le sumamos la unidad, la aumentamos.

•

Tener una o varias soluciones. x2 ≤ 0 sólo se cumple cuando la x vale 0. Porque ningún número elevado al cuadrado es negativo.

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•

Tener infinitas soluciones, que es lo más frecuente. x < 7 se cumple para x = 6, x = 5, x = −48… y para cualquier número real que sea menor que 7.

La forma de describir las inecuaciones es análoga a la que utilizamos para las ecuaciones. Y, por lo tanto, podemos recuperar todo lo que ya sabemos y adaptarlo según convenga.

2.2. Transformaciones algebraicas En general, resolver inecuaciones consiste en transformarlas desde su forma inicial a otras equivalentes, hasta llegar a una que nos permita hallar la solución. Así pues, es importante determinar qué transformaciones está permitido efectuar sobre una desigualdad y cómo aplicarlas.

2.2.1. Sumar y restar números o expresiones algebraicas Si en una desigualdad se suma la misma cantidad a los dos miembros, ésta continúa siendo verdadera. 7>3⇒ ⇒ 7 + 5 > 3 + 5 ⇒ 12 > 8 ⇒ 7 + 2x > 3 + 2x ⇒ 7 + (x2 − 1) > 3 + (x2 − 1) ⇒ 7 + x2 − 1 > 3 + x2 − 1 ⇒ 6 + x2 > 2 + x2

Con la resta, que puede entenderse como la suma del opuesto, pasa lo mismo.

2.2.2. Multiplicar y dividir por números Si en una desigualdad se multiplican los dos miembros por un mismo número positivo, ésta continúa siendo verdadera. 6 −36

Como consecuencia de este comportamiento diferente de las desigualdades cuando se multiplican por cantidades positivas o negativas, se debe evitar multiplicar por incógnitas, ya que, por definición, su valor es desconocido y tanto podría ser positivo como negativo. En la división, que es equivalente a la multiplicación por el inverso, se deben aplicar las mismas normas.

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2.3. Interpretación de un gráfico Existe otra manera de estudiar las desigualdades: a partir de la representación gráfica correspondiente. Se trata de un método mucho más visual. 5>1 Podemos considerar los dos miembros como funciones, y1 = 5 y y2 = 1, y representarlas en unos ejes de coordenadas.

La desigualdad se ve claramente; ya que, para cualquier valor de x, y1 siempre es mayor que y2. (Para x = −7, y1 = 5 y y2 = 1; para x = 0, y1 = 5 y y2 = 1; para x = 9, y1 =5 y y2 = 1; etc.).

3. Inecuaciones polinómicas de primer grado Las inecuaciones polinómicas de primer grado, como su nombre indica, están formadas por polinomios de primer grado. Estas inecuaciones también se denominan inecuaciones lineales.

3.1. Resolución de inecuaciones polinómicas de primer grado y una incógnita 3.1.1. Método algebraico Para resolver algebraicamente inecuaciones de primer grado con una incógnita, podemos seguir el mismo procedimiento que con las ecuaciones y, en consecuencia, definir un método general, que se resume en los siguientes pasos: •

Eliminar los denominadores.

•

Eliminar los paréntesis.

•

Agrupar los términos con x en un miembro y los términos independientes en el otro.

•

Aislar la incógnita.

Veamos la aplicación de este método con algunos ejemplos.

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Inecuación simple. 5x − 7 > 8 Como no tenemos ni denominadores ni paréntesis, agrupamos directamente todos los términos con x en un miembro y todos los términos independientes en el otro. 5x − 7 + 7 > 8 + 7 ⇒ 5x > 15 Dividimos entre el coeficiente que multiplica a la x.

Cuando una inecuación tiene infinitas soluciones, éstas pueden expresarse de diferentes maneras: •

Como desigualdad. x > 3. Es lo que hemos hecho.

•

Como intervalo. (3, +∞)

Estos intervalos pueden incluir sus extremos o no incluirlos, según si aparece o no el igual en la desigualdad asociada. En función de esto, se debe utilizar la notación correspondiente. •

Cuando ninguno de los dos extremos son solución, el intervalo es abierto y se escribe con paréntesis. (a, b)

•

Cuando los dos extremos son solución, el intervalo es cerrado y se escribe con corchetes. [a, b]

•

Cuando un extremo es solución y el otro no, el intervalo no es ni abierto ni cerrado y se escribe con un corchete en el extremo que es solución y con un paréntesis en el que no lo es. [a, b) o (a, b] La solución de esta inecuación es x > 3. O, lo que es lo mismo, todos los números reales mayores que 3, sin incluir a éste; en consecuencia: (3, +∞).

•

Como parte de la recta de los números reales.

Se debe tener en cuenta que cuando un extremo no es solución se indica con una circunferencia y que cuando sí lo es se indica con un círculo. La solución de la inecuación, x > 3, sería:

(

Inecuación con paréntesis. 3 · (x + 2) ≤ − (−2 − 2x)

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Eliminamos los paréntesis. 3x + 6 ≤ 2 + 2x Ya tenemos una inecuación simple. Para resolverla agrupamos todos los términos con x en un miembro y todos los términos independientes en el otro, y aislamos la x. 3x − 2x + 6 − 6 ≤ 2 − 6 + 2x − 2x ⇒ x ≤ −4 Inecuación con denominadores.

Con el mínimo común múltiplo, que es 4, amplificamos las fracciones.

Multiplicamos por este nuevo denominador.

Agrupamos todos los términos con x en un miembro y todos los términos independientes en el otro. x − 4x + 6 − 6 ≥ 4 − 6 + 4x − 4x ⇒ −3x ≥ −2 Dividimos entre el coeficiente que multiplica a la x. Como se trata de un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

3.1.2. Interpretación de un gráfico Las inecuaciones de primer grado con una incógnita pueden resolverse igualmente a partir de la interpretación de un gráfico. Los pasos que se deben seguir son: •

Representar las funciones correspondientes a los dos miembros de la inecuación en unos mismos ejes de coordenadas.

•

Determinar con el gráfico los valores de x que hacen que se verifique la desigualdad. Inecuación simple. 5x − 7 > 8 Identificamos las dos funciones que hemos de representar. y1 = 5x − 7 y2 = 8

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Construimos una tabla de valores para cada una de ellas. x

y1

x

y2

2

3

0

8

3

8

5

8

El gráfico de una función igual a un polinomio de primer grado siempre es una recta y, por lo tanto, con dos de sus puntos ya queda definida. Dibujamos.

El enunciado impone que y1 > y2, y vemos que esto se cumple para cualquier valor de x que sea mayor que 3. x>3 Inecuación con paréntesis. 3 · (x + 2) ≤ − (−2 − 2x) En principio, no es necesario que hagamos ninguna transformación previa. Tal vez podría ser útil, dependiendo del caso, pero nunca es imprescindible. Además, se debe tener en cuenta que esto puede hacer que cambie la forma del gráfico resultante, aunque no influye en la solución, como es lógico. Identificamos directamente las dos funciones. y1 = 3 · (x + 2) y2 = − (−2 − 2x) Elaboramos las tablas de valores correspondientes. x

y1

x

y2

−3

−3

0

2

−2

0

−1

0

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Dibujamos las rectas.

La desigualdad se verifica para y1 ≤ y2, y en el gráfico vemos que, entonces, la x tiene que ser menor o igual que –4. x ≤ −4 Inecuaciones con denominadores.

Identificamos directamente las dos funciones.

Elaboramos las tablas de valores correspondientes. x 0 2

y1 1,5 2

x 0 1

y2 1 2

Dibujamos las rectas.

Si el método algebraico da una solución exacta, la interpretación de un gráfico tiene ciertas limitaciones ligadas a la graduación de los ejes. Así, tenemos que conformarnos diciendo que para que y1 ≥ y2 la x debe ser menor o igual que, aproximadamente, 0,7. x ≤ 0,7 En el punto de corte de todos estos gráficos, las dos funciones y, por lo tanto, los dos miembros de la inecuación, se igualan. Las ecuaciones también pueden resolverse a partir de la interpretación de un gráfico, buscando, precisamente, este punto de corte.

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4. SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Un sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más inecuaciones que se verifican simultáneamente. En un primer momento puede sorprender la idea de dos inecuaciones con una única incógnita. Con las ecuaciones, esto no tendría ningún sentido, tal como justificamos en temas anteriores. En cambio, como la solución de una inecuación es un conjunto de valores prácticamente siempre, el hecho de añadir más inecuaciones implica ir reduciéndo dicho conjunto, ya que una misma variable aquí también representa lo mismo en todas las inecuaciones que forman el sistema. Resolución de sistemas con una incógnita

4.1.1. Método algebraico Para definir un método de resolución de sistemas podemos tomar un ejemplo concreto y, a partir de él, determinar cómo llegar a una generalización.

La idea es trabajar con cada inecuación por separado y después interpretar el resultado. Resolvemos la primera inecuación. Por tanto, agrupamos todos los términos con x en un miembro y todos los términos independientes en el otro. 2x − 4 ≥ 0 ⇒ 2x − 4 + 4 ≥ 0 + 4 ⇒ 2x ≥ 4 Dividimos entre el coeficiente que multiplica a la x.

Resolvemos la segunda inecuación de la misma forma. −x + 2 ≥ −1 ⇒ −x + x + 2 + 1 ≥ −1 + 1 + x ⇒ 3 ≥ x ⇒ x ≤ 3 La solución final del sistema debe verificar las dos inecuaciones. Por lo tanto, hemos de buscar todos los valores de x que coincidan en los dos intervalos que hemos hallado. Si la primera inecuación es cierta para valores mayores o iguales que 2 y la segunda para valores menores o iguales que 3, las dos condiciones se cumplen a la vez para las x entre 2 y 3, ambos incluidos. 2≤x≤3

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Como conclusión, deducimos que los pasos fundamentales en la resolución de un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita son: •

Resolver cada inecuación por separado.

•

Buscar la intersección de las soluciones.

•

Comprobar el resultado.

4.1.2. Interpretación de un gráfico Para resolver gráficamente un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita, el procedimiento a seguir se basa en los siguientes pasos: •

Representar las funciones correspondientes a los cuatro miembros de las dos inecuaciones en unos mismos ejes de coordenadas, a partir de una tabla de valores.

•

Determinar con el gráfico los valores de x que hacen que se verifique cada inecuación.

•

Buscar la intersección de las soluciones.

•

Comprobar el resultado.

Comprobemos que todo esto funciona resolviendo gráficamente el sistema de ecuaciones del apartado anterior:

Identificamos las cuatro funciones que hemos de representar. y1 = 2x − 4; y2 = 0 y3 = −x + 2; y4 = −1 Construimos una tabla de valores para cada una de ellas. x 0 2

y1 −4 0

x 0 1

y2 0 0

x 0 2

y3 2 0

x 0 1

y4 −1 −1

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Las dibujamos.

Analizamos por separado cada desigualdad: •

La primera impone que y1 ≥ y2, y vemos que esto pasa para x ≥ 2.

•

La segunda impone que y3 ≥ y4, y vemos que esto pasa para x ≤ 3.

Como todas las desigualdades deben verificarse simultáneamente, la x tiene que tomar un valor entre 2 y 3, ambos incluidos. 2≤x≤3 A lo mejor, dibujar cuatro rectas en unos mismos ejes complica la interpretación del gráfico. Por esto, y en este caso, sería una buena idea pasar previamente todos los términos a un mismo miembro en las dos inecuaciones. Así, las cuatro rectas se reducen a dos.

Hacemos las transformaciones algebraicas convenientes. 2x − 4 ≥ 0 −x + 2 ≥ −1 ⇒ −x + 2 + 1 ≥ −1 + 1 ⇒ −x + 3 ≥ 0 Identificamos las dos funciones que debemos representar. y1 = 2x − 4 y2 = −x + 3 Elaboramos las tablas de valores. x

y1

x

y2

0

−4

0

3

2

0

3

0

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Las dibujamos.

Para que el sistema se verifique, y1 ≥ 0 y y2 ≥ 0 y, por lo tanto, la x debe estar, igualmente, entre 2 y 3, ambos incluidos. 2≤x≤3

5. INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR Las inecuaciones polinómicas de grado superior están formadas por polinomios de grado 2 o mayor.

5.1. Resolución de inecuaciones polinómicas de grado superior 5.1.1. Método algebraico En inecuaciones de este tipo, independientemente del grado, podemos pasar todos los términos a un mismo miembro. De esta forma, la resolución se reduce a un estudio del signo de este miembro. −13x > 7x2 − 2 −13x + 13x > 7x2 − 2 + 13x ⇒ 0 > 7x2 + 13x − 2 7x2 + 13x − 2 < 0 Más allá del valor numérico del polinomio en función de la x, nos interesa únicamente determinar cuándo se hace negativo. Sabemos que este paso de positivo a negativo lo marca el 0 (por definición; > 0 y < 0, respectivamente). Y esto significa que son precisamente los ceros de un polinomio los que fijan los límites de los intervalos de la solución. 7x2 + 13x − 2 = 0

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Buscamos, naturalmente, estas raíces.

y x2 = −2 Aprovechamos que acabamos de calcular las raíces para descomponer el polinomio en sus factores; es decir, para factorizarlo. Esto nos permite reescribir la ecuación de la siguiente manera:

Construimos una tabla y estudiamos el signo del nuevo polinomio a través de los signos de sus factores en los diferentes intervalos en que las raíces del polinomio dividen la recta numérica. (−∞, −2)

x+2

−

−

+

−

+

+

+

−

+

La conclusión es que:

Para hallar las raíces de polinomios con grado superior hemos de recurrir necesariamente a la regla de Ruffini, aunque sólo nos dará raíces enteras. La resolución de inecuaciones polinómicas de grado superior queda bastante limitada dadas las herramientas que tenemos actualmente para encontrar ceros. De todas formas, podemos hablar de un método general, cuyos pasos son: •

Transformar la inecuación en otra equivalente que tenga un miembro con forma de polinomio y otro igual a 0.

•

Buscar las raíces del polinomio.

•

Elaborar una tabla con los intervalos según estos valores.

•

Estudiar el signo del polinomio.

•

Interpretar los resultados.

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5.1.2. Interpretación de un gráfico De hecho, para resolver gráficamente cualquier tipo de inecuación, el procedimiento que se debe seguir es siempre el mismo que ya se ha descrito. Hay que representar en unos ejes de coordenadas las funciones correspondientes a los dos miembros y determinar la solución con el gráfico. El método queda, por lo tanto, limitado a aquellas funciones que sabemos dibujar. −13x > 7x2 − 2 Representamos la función asociada al primer miembro. y1 = −13x Como se trata de un polinomio de primer grado, la función que debemos dibujar es una recta. x1 0 1

y2 0 −13

Representamos la función asociada al otro miembro en los mismos ejes. y2 = 7x2 − 2 Como se trata de un polinomio de segundo grado, la función que debemos dibujar es una parábola. Para hacerlo, necesitamos un mínimo de tres puntos, uno de los cuales debe ser el vértice. Los otros dos puntos los buscamos a la derecha y a la izquierda del vértice. x

y2

0

2

1

5

−2

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El enunciado impone que y1 > y2 y, dadas las limitaciones del gráfico, sólo podemos decir que esta desigualdad se cumple, aproximadamente, para cualquier valor de x entre –1,8 y 0. −1,8 < x < 0

6. INECUACIONES RACIONALES Las inecuaciones racionales están formadas por fracciones algebraicas.

6.1. Resolución de inecuaciones racionales 6.1.1. Método algebraico Para resolver las inecuaciones racionales, seguimos el mismo procedimiento que en los casos anteriores. Sólo hay una novedad: se deben eliminar de la respuesta los valores que anulen al denominador, ya que dividir por 0 no es una operación permitida. Pasamos todos los términos a un mismo miembro y hacemos un estudio del signo.

Sacamos factor común.

Sin necesidad de hacer ningún cálculo, se ve fácilmente que la raíz del numerador es 1 y la raíz del denominador es 3. x1 = 1 i x2 = 3 Construimos una tabla y estudiamos el signo de la fracción a través de los signos del numerador y del denominador. (−∞, 1)

(1, 3)

(3, +∞)

x−1

−

+

+

x−3

−

−

+

+

−

+

La respuesta es:

Es necesario remarcar que hemos incluido 1 en la respuesta, pero no 3, puesto que 3 anula al denominador.

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Así pues, el método de resolución de las inecuaciones racionales puede resumirse en los siguientes pasos: •

Pasar todos los términos a un mismo miembro y escribirlo como una única fracción, dejando un 0 en el otro miembro.

•

Buscar las raíces tanto del numerador como del denominador.

•

Elaborar una tabla de valores con los intervalos según todos estos valores.

•

Estudiar el signo de la fracción.

•

Interpretar los resultados.

7. REcapitulemos •

Una inecuación es una desigualdad algebraica que sólo se cumple para valores determinados de x.

•

Las inecuaciones se pueden resolver algebraicamente o a partir de la interpretación de un gráfico.

•

Cuando se suma o se resta una misma cantidad en los dos miembros de una desigualdad, la desigualdad continúa siendo cierta.

•

Cuando se multiplican o se dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, la desigualdad continúa siendo cierta. Pero, en cambio, si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se dividen por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Esto hace que no sea aconsejable multiplicar y dividir las inecuaciones por incógnitas.

•

Para resolver una inecuación de primer grado se debe transformar esta inecuación en otra equivalente en que la x esté aislada.

•

En un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita se debe resolver cada inecuación por separado y después buscar la intersección de las soluciones.

•

Para resolver algebraicamente una inecuación polinómica se deben seguir los siguientes pasos: transformarla en otra inecuación con un miembro polinómico y otro igual a 0, buscar las raíces del polinomio, elaborar una tabla con los intervalos según estos valores y estudiar el signo del polinomio en cada intervalo para determinar la solución.

•

Una inecuación racional se resuelve de manera análoga: se transforma en otra equivalente con un miembro igual a una fracción algebraica y otro igual a 0, se buscan las raíces del numerador y del denominador de la fracción algebraica, se elabora una tabla con los intervalos según estos valores y se estudia el signo de la fracción en cada intervalo para determinar la solución. Hay que prestar atención a los valores de x que anulen el denominador y descartarlos de la solución.

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