Matematika Wajib KELAS XI

Muhamad Suef, M.Si SMA KHADIJAH | JL A. YANI NO 2-4 SURABAYA

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menuangkan sedikit demi sedikit pengetahuan penulis tentang Matematika dalam diktat ini. Sholawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada nabi Muhammad SAW, karena berkat perjuangan beliau kita semua dapat merasakan indahnya beragama, yaitu dengan memeluk agama islam rahmatan lil’alamin. Dalam diktat ini dipaparkan konsep-konsep penting tentang mata pelajaran Matematika Wajib kelas XI. Tidak hanya itu, penulis juga memberikan beberapa contoh mulai dari tingkat kesulitannya mudah sampai sulit supaya kalian bisa memahami materi ini lebih terstruktur. Penulis juga mencantumkan beberapa soal UTBK (tes tulis masuk perguruan tinggi) dengan tujuan supaya siswa mulai terbiasa dengan soalsoal tersebut. Disusunnya diktat ini tentunya dengan harapan untuk memudahkan siswa, khususnya siswa SMA Khadijah dalam mempelajari Matematika Minat. Penulis sarankan untuk kalian yang menggunakan diktat ini sebagai pegangan belajar, maka bacalah buku ini secara runtut dan terstruktur supaya kalian paham betul semua konsepnya. Semoga kita semua senantiasa diberikan ilmu yang bermanfaat dan berguna bagi sekitar. Penulis mengakui bahwasannya diktat ini masih banyak kesalahan, maka sebab itu kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan dari para pembaca sekalian. Semoga diktat ini dapat menjadi teman belajar kalian yang menyenangkan. Jangan pernah berhenti untuk belajar sampai kapanpun. Semoga berhasil dan tercapai semua yang dicita-citakan.

1

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ................................................................................... 1 DAFTAR ISI ............................................................................................... 2 BAB 1. NOTASI SIGMA ............................................................................. 4 1.1. Definisi dan Notasi Sigma ............................................................ 4 1.2. Sifat-Sifat Notasi Sigma ................................................................ 7 BAB 2. PROGRAM LINIER ....................................................................... 13 2.1. Menentukan DP dari suatu SPtLDV ............................................ 17 2.2. Menentukan nilai optimum dengan metode uji titik pojok ....... 21 2.3. Aplikasi program linier ............................................................... 26 2.4. Menentukan SPtLDV dari suatu DP ............................................ 32 BAB 3. MATRIKS ..................................................................................... 35 3.1 Definisi dan notasi matriks ........................................................ 35 3.2 Jenis-jenis matriks...................................................................... 37 3.3 Transpose Matriks ..................................................................... 40 3.4 Kesamaan matriks ..................................................................... 41 3.5 Operasi aljabar pada matriks ..................................................... 43 3.6 Matriks invers .............................................................................. 1 BAB 4. TRANSFORMASI ........................................................................... 6 5.1. Translasi (pergeseran) ................................................................. 6 5.2. Refleksi (pencerminan) ................................................................ 6 5.3. Perputaran (rotasi) ...................................................................... 6

2

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 5.4. Perbesaran (Dilatasi).................................................................... 6 5.5. Komposisi transformasi ............................................................... 6 BAB 5. BARISAN DAN DERET ................................................................... 7 5.1. Barisan dan Deret Aritmetika ...................................................... 8 5.2. Barisan dan Deret Geometri ...................................................... 15 5.3. Aplikasi Barisan dan Deret ......................................................... 24 BAB 6. LIMIT FUNGSI ALJABAR .............................................................. 25 6.1. Definisi limit ............................................................................... 25 6.2. Konsep dasar limit fungsi aljabar ............................................... 25 6.3. Limit fungsi aljabar menuju tak-hingga ...................................... 25 6.4. Aplikasi limit .............................................................................. 25 BAB 7. TURUNAN FUNGSI ALJABAR ...................................................... 26 7.1. Definisi turunan ......................................................................... 26 7.2. Sifat turunan terhadap operasi +, −, ×, : dan ^........................ 26 7.3. Aplikasi turunan ......................................................................... 26 BAB 8. INTEGRAL FUNGSI ALJABAR ....................................................... 27 8.1. Definisi integral .......................................................................... 27 8.2. Metode integral subtitusi .......................................................... 27 8.3. Metode integral parsial ............................................................. 27 8.4. Integral batas ............................................................................. 27

3

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

BAB 1. NOTASI SIGMA 1.1. Definisi dan Notasi Sigma Notasi sigma ditulis dengan lambang huruf besar Yunani ( ∑ ) yang berarti jumlah. Tujuan dari penotasian sigma ini adalah untuk meringkas penulisan dari penjumlahan sederet bilangan dengan pola tertentu. Misalkan diberikan suatu deret bilangan 𝑢𝑖 , jumlahan nilai 𝑢𝑖 dari 𝑖 = 1 sampai 𝑖 = 𝑛 dapat ditulis yaitu 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛 , namun dalam notasi sigma cukup ditulis sebagai ∑𝑛𝑖= 1 𝑢𝑖 . Dengan demikian dari penjelasan notasi sigma tersebut dapat didefinisikan yaitu, ∑𝑛𝑖= 1 𝑢𝑖 ≝ 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛 dengan 𝑖 = 1 adalah batas bawah, 𝑛 adalah batas atas dan 𝑢𝑖 adalah fungsi penjumlahan. Berikut ini diberikan beberapa contoh untuk membantu kalian dalam memahami definisi notasi sigma, Contoh 1.1.1. Berdasarkan definisi notasi sigma, maka dapat diperoleh hasil dari ∑5𝑖= 1 2𝑖 yaitu, ∑5𝑖= 1 2𝑖 = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

∎

Contoh 1.1.2. Berdasarkan definisi notasi sigma, maka dapat diperoleh hasil dari ∑3𝑘 = 2 (2𝑘 + 3𝑘 ) yaitu, ∑3𝑘 = 2 (2𝑘 + 3𝑘 ) = (2(2) + 32 ) + (2(3) + 33 ) = 13 + 33

4

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

= 46

∎

Contoh 1.1.3. Berdasarkan definisi notasi sigma, maka dapat 𝑛−1 diperoleh hasil dari ∑10 ⋅ 𝑦 𝑛 ) yaitu, 𝑛 = 1 (𝑥 𝑛−1 ∑10 ⋅ 𝑦 𝑛 ) = 𝑥 1−1 𝑦1 + 𝑥 2−1 𝑦 2 + 𝑥 3−1 𝑦 3 + ⋯ + 𝑥 10−1 𝑦10 𝑛 = 1 (𝑥

= 𝑦 + 𝑥𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 3 + ⋯ + 𝑥 9 𝑦10

∎

Contoh 1.1.4. Berdasarkan definisi notasi sigma, maka dapat diperoleh hasil dari ∑4𝑖= 1 2 yaitu, ∑4𝑖= 1 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

∎

Contoh 1.1.5. Berdasarkan definisi notasi sigma, maka dapat diperoleh hasil dari ∑6𝑖= 1 3𝑝 yaitu, ∑6𝑖= 1 3𝑝 = 3𝑝 + 3𝑝 + 3𝑝 + 3𝑝 + 3𝑝 + 3𝑝 = 18𝑝

∎

Contoh 1.1.6. Diberikan persamaan ∑8𝑖= 5 𝑝𝑖 = 52. Berdasarkan definisi notasi sigma, nilai 𝑝 dapat diperoleh yaitu, ∑8𝑖= 5 𝑝𝑖 = 52 𝑝(5) + 𝑝(6) + 𝑝(7) + 𝑝(8) = 52 5𝑝 + 6𝑝 + 7𝑝 + 8𝑝 = 52 26𝑝 = 52 𝑝 =

52 26

𝑝 = 2

∎

5

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

Selanjutnya berikut diberikan contoh soal yang sedikit lebih sulit dibandingkan dengan contoh-contoh sebelumnya, yang mana untuk menentukan hasilnya kalian butuh rumus-rumus pada deret Aritmetika dan deret Geometri. Contoh 1.1.7. Berdasarkan definisi notasi sigma, maka dapat diperoleh hasil dari ∑25 𝑖 = 2 (2𝑖 − 3) yaitu, ∑25 𝑖 = 2 (2𝑖 − 3) = (2(2) − 3) + (2(3) − 3) + (2(4) − 3) + ⋯ +(2(25) − 3) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 47 Perhatikan 1 + 3 + 5 + ⋯ + 47 membentuk pola deret Aritmetika dengan 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑢𝑛 = 47 dan 𝑛 = selisih batas + 1 = (25 − 2) + 1 = 24. Kemudian berdasarkan rumus deret Aritmetika, maka dapat kita peroleh hasil dari ∑25 𝑖=2 (2𝑖 − 3) yaitu, ∑25 𝑖 = 2 (2𝑖 − 3) = s𝑛 = =

1 2 1 2

𝑛(𝑎 + 𝑢𝑛 ) (24)(1 + 47)

= 576

∎

Contoh 1.1.8. Berdasarkan definisi notasi sigma, maka dapat 𝑖 diperoleh hasil dari ∑25 𝑖 = 1 3 × 2 yaitu, 𝑖 1 2 3 25 ∑25 𝑖 = 1 3 × 2 = (3 × 2 ) + (3 × 2 ) + (3 × 2 ) + ⋯ + (3 × 2 )

= 6 + 12 + 24 + ⋯ + 3 × 225

6

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

Perhatikan 6 + 12 + 24 + ⋯ + 3 × 225 membentuk pola deret Geometri dengan 𝑎 = 6, 𝑟 = 2 dan 𝑛 = selisih batas + 1 = (25 − 1) + 1 = 25. Kemudian berdasarkan rumus deret Geometri, maka dapat kita 𝑖 peroleh hasil dari ∑25 𝑖 = 1 3 × 2 yaitu, 𝑖 ∑25 𝑖=1 3 × 2

= 𝑠𝑛 = =

𝑎(𝑟 𝑛 −1) 𝑟−1 6(225 −1) 2−1

= 6(225 − 1)

∎

1.2. Sifat-Sifat Notasi Sigma Pada bagian ini akan dibahas mengenai sifat-sifat notasi sigma. Sifat notasi sigma ini dapat kalian gunakan untuk mempermudah pekerjaan kalian dalam menyelesaikan suatu persoalan. Sifat-sifat notasi sigma akan dibahas satu-persatu supaya kalian lebih mudah dalam memahaminya. Sifat notasi sigma yang pertama adalah sigma konstan, sigma konstan dapat dirumuskan sebagai berikut. ∑𝑚 𝑖 = 𝑛 𝑐 = 𝑐 ⋅ (𝑚 − 𝑛 + 1) Contoh 1.2.1. Berdasarkan sifat sigma konstan, maka dapat diperoleh hasil dari ∑200 𝑖 = 21 2 yaitu, ∑200 𝑖 = 21 2 = 2 ⋅ (200 − 21 + 1) = 2 ⋅ 180 = 360

∎

7

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Selanjutnya sifat notasi sigma yang kedua yaitu sigma indeks, sigma indeks dapat dirumuskan sebagai berikut, ∑𝑚 𝑖=𝑛 𝑖 =

1 (𝑚 2

− 𝑛 + 1)(𝑚 + 𝑛)

Contoh 1.2.2. Berdasarkan sifat sigma indeks, maka dapat diperoleh hasil dari ∑200 𝑖 = 21 𝑖 yaitu, ∑200 𝑖 = 21 𝑖 = =

1 2

(200 − 21 + 1)(200 + 21)

1 (180)(221) 2

= 19890

∎

Selanjutnya sifat notasi sigma yang ketiga yaitu sigma skalar. Apabila ada perkalian skalar maka skalar tersebut bisa keluar dari sigma, sebagaimana dituliskan dalam rumus berikut, 𝑚 ∑𝑚 𝑖 = 𝑛 𝑐 ⋅ 𝑢 𝑖 = c ⋅ ∑𝑖 = 𝑛 𝑢 𝑖

Contoh 1.2.3. Berdasarkan sifat sigma skalar dan sigma indeks, maka dapat diperoleh hasil dari ∑50 𝑖 = 1 3𝑖 yaitu, 50 ∑50 𝑖 = 1 3𝑖 = 3 ∑𝑖 = 1 𝑖 1

= 3 ( (50 − 1 + 1)(50 + 1)) 2 1 2

= 3 ( (50)(51)) = 3825

∎

8

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Selanjutnya sifat notasi sigma yang keempat yaitu sigma distributif, yang mana sifat ini berlaku untuk operasi penjumlahan atau pengurangan, sebagaimana dituliskan dalam rumus berikut, 𝑚 𝑚 ∑𝑚 𝑖 = 𝑛 (𝑢𝑖 ± 𝑣𝑖 ) = ∑𝑖 = 𝑛 𝑢𝑖 ± ∑𝑖 = 𝑛 𝑣𝑖

Contoh 1.2.4. Berdasarkan sifat sigma distributif, sigma skalar, sigma indeks dan sigma konstan, maka dapat diperoleh hasil dari ∑25 𝑖 = 2 (2𝑖 − 3) yaitu, 25 25 ∑25 𝑖 = 2 (2𝑖 − 3) = ∑𝑖 = 2 2𝑖 − ∑𝑖 = 2 3 25 = 2 ∑25 𝑖 = 2 𝑖 − ∑𝑖 = 2 3 1

= 2 ( (25 − 2 + 1)(25 + 2)) − 3 × (25 − 2 + 1) 2 1 2

= 2 ( (24)(27)) − 3 × (24) = 648 − 72 = 576

∎

Contoh 1.2.5. Misalkan diberikan ∑50 𝑖 = 1 𝑝𝑖 = 35. Berdasarkan sifat notasi sigma distributif dan sigma konstan dapat diperoleh hasil dari ∑50 𝑖 = 1(2 − 𝑝𝑖) yaitu, 50 50 ∑50 𝑖 = 1(2 − 𝑝𝑖) = ∑𝑖 = 1 2 − ∑𝑖 = 1 𝑝𝑖

= 2 × (50 − 1 + 1) − 35 = 100 − 35 = 65

∎

9

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Selanjutnya sifat notasi sigma yang kelima yaitu sigma sambung batas. Batas pada sigma yang bersambung dapat dijadikan satu sebagaimana rumus berikut, 𝑚 ∑𝑝𝑖= 𝑛 𝑢𝑖 + ∑𝑚 𝑖 = 𝑝+1 𝑢𝑖 = ∑𝑖 = 𝑛 𝑢𝑖

Contoh 1.2.6. Berdasarkan sifat sigma sambung batas, bentuk 50 ∑30 𝑖 = 1 (2𝑖 − 1) + ∑𝑖 = 31(2𝑖 − 1) dapat disederhanakan menjadi, 50 50 ∑30 𝑖 = 1 (2𝑖 − 1) + ∑𝑖 = 31(2𝑖 − 1) = ∑𝑖 = 1 (2𝑖 − 1)

Atau sebaliknya, bentuk ∑50 𝑖 = 1 (2𝑖 − 1) dapat dijabarkan menjadi berbagai macam bentuk yaitu, 18 50 ∑50 𝑖 = 1 (2𝑖 − 1) = ∑𝑖 = 1 (2𝑖 − 1) + ∑𝑖 = 19 (2𝑖 − 1) 41 50 = ∑18 𝑖 = 1(2𝑖 − 1) + ∑𝑖 = 19(2𝑖 − 1) + ∑𝑖 = 42(2𝑖 − 1)

∎ Selanjutnya sifat notasi sigma yang keenam yaitu sigma perubahan batas, berikut adalah rumusnya, 𝑚+𝑝 𝑚−𝑝 ∑𝑚 𝑖 = 𝑛 𝑢𝑖 = ∑𝑖 = 𝑛+𝑝 𝑢𝑖−𝑝 = ∑𝑖 = 𝑛−𝑝 𝑢𝑖+𝑝

Contoh 1.2.7. Berdasarkan sifat sigma perubahan batas, bentuk ∑7𝑖= 1 (𝑖 2 + 2𝑖 − 1) ekivalen (bernilai sama) dengan, 2 ∑7𝑖= 3 (𝑖 2 + 2𝑖 − 1) = ∑7+3 𝑖 = 3+3 ((𝑖 − 3) + 2(𝑖 − 3) − 1) 2 = ∑10 𝑖 = 6 (𝑖 − 6𝑖 + 9 + 2𝑖 − 6 − 1) 2 = ∑10 𝑖 = 6 (𝑖 − 4𝑖 + 2)

10

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Atau bisa juga ekivalen dengan, 2 ∑7𝑖= 3 (𝑖 2 + 2𝑖 − 1) = ∑7−2 𝑖 = 3−2 ((𝑖 + 2) + 2(𝑖 + 2) − 1)

= ∑5𝑖= 1 (𝑖 2 + 4𝑖 + 4 + 2𝑖 + 4 − 1) = ∑5𝑖= 1 (𝑖 2 + 6𝑖 + 7)

∎

Contoh 1.2.8. Berdasarkan sifat sigma perubahan batas dan sigma 15 2 ∑20 distributif, maka bentuk dapat 𝑖 = 6 (𝑖 − 1) + ∑𝑖 = 1 (2𝑖) disederhanakan menjadi, 15 2 ∑20 𝑖 = 6 (𝑖 − 1) + ∑𝑖 = 1 (2𝑖) = 15 2 = ∑20−5 𝑖 = 6−5 ((𝑖 + 5) − 1) + ∑𝑖 = 1 (2𝑖) 15 2 = ∑15 𝑖 = 1 (𝑖 + 10𝑖 + 25 − 1) + ∑𝑖 = 1 (2𝑖) 15 2 = ∑15 𝑖 = 1 (𝑖 + 10𝑖 + 24) + ∑𝑖 = 1 (2𝑖) 2 = ∑15 𝑖 = 1 (𝑖 + 10𝑖 + 24 + 2𝑖) 2 = ∑15 𝑖 = 1 (𝑖 + 12𝑖 + 24)

∎

Selanjutnya untuk memantapkan pemahaman kalian, berikut diberikan beberapa contoh yang agak sedikit lebih sulit, Contoh 1.2.9. Misalkan diberikan ∑20 𝑖 = 1 (2𝑘 − 1) = 100. Berdasarkan sifat sigma konstan maka dapat diperoleh nilai 𝑘 yaitu, ∑20 𝑖 = 1 (2𝑘 − 1) = 100 (2𝑘 − 1)(20 − 1 + 1) = 100 (2𝑘 − 1)(20) = 100 40𝑘 − 20 = 100

11

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 40𝑘 = 100 + 20 40𝑘 = 120 𝑘 = 3

∎

Contoh 1.2.10. Berdasarkan sifat-sifat notasi sigma, bentuk 2 ∑𝑛𝑖= 1(𝑖) + 3𝑛 dapat disederhanakan menjadi, 2 ∑𝑛𝑖= 1(𝑖) + 3𝑛 = ∑𝑛𝑖= 1 2(𝑖) + 3(𝑛 − 1 + 1) = ∑𝑛𝑖= 1 2𝑖 + ∑𝑛𝑖=1 3 = ∑𝑛𝑖= 1 (2𝑖 + 3)

∎

12

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

BAB 2. PROGRAM LINIER Program linier merupakan suatu teori yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi objektif yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier. Dalam pembahasan kali ini, sistem pertidaksamaan linier yang digunakan hanya sebatas satu atau dua variabel saja, namun supaya lebih sederhana maka cukup ditulis sistem pertidaksamaan linier dua variabel (disingkat SPtLDV). Terdapat dua metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum yaitu metode garis selidik dan metode uji titik pojok, namun dalam diktat ini hanya akan dibahas metode uji titik pojok saja. Pertamatama akan dibahas terlebih dahulu yaitu cara menentukan daerah penyelesaian (disingkat DP) dari suatu SPtLDV, kemudian dari DP tersebut dapat kita tentukan semua titik pojoknya yang mana semua titik tersebut akan diuji ke fungsi objektif untuk menentukan nilai optimumnya. Selain itu, di akhir pembahasan penulis juga akan memberikan contoh-contoh yang sifatnya lebih kontekstual. Sebelum kita lanjut ke materi inti, ada satu materi di SMP yang perlu kalian ingat kembali yaitu tentang cara menggambar grafik fungsi linier (fungsi garis). Untuk menggambar grafik fungsi linier dibutuhkan dua titik yang kemudian dihubungkan menjadi sebuah garis. Berikut contohnya, Contoh 2.1. Diberikan fungsi linier 𝑦 = 2𝑥 − 6. Untuk menggambar grafik fungsi 𝑦 = 2𝑥 − 6 dibutuhkan dua titik, supaya lebih mudah maka dapat diambil titik potong terhadap sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦, yaitu • Titik potong sumbu 𝑥, yaitu 𝑦 = 0 0 = 2𝑥 − 6 6 = 2𝑥

13

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 3 = 𝑥 • Titik potong sumbu 𝑦, yaitu 𝑥 = 0 𝑦 = 2(0) − 6 𝑦 = −6 Selanjutnya dari kedua titik potong tersebut dapat dihubungkan sehingga membentuk sebuah garis seperti berikut,

∎ Contoh 2.2. Diberikan fungsi linier 𝑥 + 2𝑦 = 6. Untuk menggambar grafik fungsi 𝑥 + 2𝑦 = 6 dibutuhkan dua titik, supaya lebih mudah maka dapat diambil titik potong terhadap sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦, yaitu • Titik potong sumbu 𝑥, yaitu 𝑦 = 0 𝑥 + 2(0) = 6 𝑥 = 6 • Titik potong sumbu 𝑦, yaitu 𝑥 = 0 (0) + 2𝑦 = 6 2𝑦 = 6 𝑦=3

14

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Selanjutnya dari kedua titik potong tersebut dapat dihubungkan sehingga membentuk sebuah garis seperti berikut,

∎ Contoh 2.3. Diberikan fungsi linier 𝑦 = 2𝑥. Untuk menggambar grafik fungsi 𝑦 = 2𝑥 dibutuhkan dua titik, supaya lebih mudah maka dapat diambil titik potongnya terhadap sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦, yaitu • Titik potong sumbu 𝑥, yaitu 𝑦 = 0 0 = 2𝑥 0 = 𝑥 • Titik potong sumbu 𝑦, yaitu 𝑥 = 0 𝑦 = 2(0) = 0 Karena titik potong terhadap sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦 sama, maka akan dicari titik yang lain. Misalkan 𝑥 = 1, kemudian diperoleh 𝑦 = 2(1) = 2, sehingga diperoleh titiknya (1,2). Selanjutnya dari kedua titik tersebut dapat dihubungkan sehingga membentuk sebuah garis seperti berikut,

15

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

∎ Contoh 2.4. Diberikan fungsi linier 𝑥 = 2. Berbeda dengan dua contoh sebelumnya, untuk menggambar grafik fungsi 𝑥 = 2 maka cukup di gambar langsung saja garis vertikal tepat di 𝑥 = 2, yaitu

∎ Contoh 2.5. Diberikan fungsi linier 𝑦 = −1. Begitupun juga untuk menggambar grafik fungsi 𝑦 = −1, yaitu langsung saja sketsa garis horizontal tepat di 𝑦 = −1, yaitu

16

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

∎

2.1. Menentukan DP dari suatu SPtLDV Pada bagian ini akan dibahas cara menentukan daerah penyelesaian (disingkat DP) dari suatu sistem pertidaksaan linier dua variabel (disingkat SPtLDV). Untuk menentuk DP dari suatu SPtLDV dibutuhkan dua langkah sebagai berikut, • Tentukan dua titik untuk menggambar garis. • Uji sebarang titik di luar garis, apabila bernilai benar maka DP mencakup titik tersebut, sebaliknya apabila bernilai salah maka DP tidak mencakup titik tersebut. Sebelumnya ada yang perlu disepakati bersama untuk memudahkan kita dalam menentukan DP, yaitu untuk DP tidak perlu diarsir (biarkan bersih), sedangkan yang bukan DP diarsir. Berikut diberikan beberapa contoh dalam menentukan DP dari suatu SPtLDV, Contoh 2.1.1. Diberikan SPtLDV yaitu 2𝑥 + 𝑦 ≤ 4, 𝑥 + 2𝑦 > 2, 𝑥 > −1 dan 𝑦 ≤ 3. Daerah penyelesaian SPtLDV tersebut dapat diperoleh yaitu dengan mengikuti langkah-langkah berikut,

17

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI • 2𝑥 + 𝑦 ≤ 4 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟒) dan (𝟐, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai benar, artinya DP mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑥 + 2𝑦 > 2 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟏) dan (𝟐, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑥 > −1 Langsung saja digambar • 𝑦≤3 Langsung saja digambar Sesuai dengan kesepakatan di awal yaitu DP tidak diarsir dan sebaliknya yang bukan DP diarsir. Dengan demikian dapat kita peroleh DP dari SPtLDV tersebut yaitu,

Apabila kalian perhatikan, DP tersebut tampak berbentuk seperti layanglayang. Kemudian semua titik yang ada didalam DP seperti (1,1), (1,2), (0,3) dan lainnya dijamin akan memenuhi SPtLDV, sebaliknya semua titik yang ada di luar DP tersebut seperti (3,0), (2,1), (0,4) dan lainnya dijamin tidak memenuhi beberapa dari SPtLDV. ∎

18

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Contoh 2.1.2. [SNMPTN 2010 kode 744] Diberikan SPtLDV yaitu 2𝑥 − 𝑦 ≥ 2, 𝑥 + 2𝑦 ≥ 6 dan 𝑦 ≥ 0. Daerah penyelesaian SPtLDV tersebut dapat diperoleh yaitu dengan mengikuti langkah-langkah berikut, • 2𝑥 − 𝑦 ≥ 2 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, −𝟐) dan (𝟏, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑥 + 2𝑦 ≥ 6 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟑) dan (𝟔, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑦≥0 Langsung saja digambar Sesuai dengan kesepakatan di awal yaitu DP tidak diarsir dan sebaliknya yang bukan DP diarsir. Dengan demikian dapat kita peroleh DP dari SPtLDV tersebut yaitu,

Apabila kalian perhatikan, DP tersebut tampak tidak berbentuk bidang apapun, sebab DP tersebut tidak bertepi, dalam artian DP tersebut sangat luas sekali. Kemudian semua titik yang ada didalam DP seperti (6,1), (4,3), (7,0) dan lainnya dijamin akan memenuhi SPtLDV, sebaliknya

19

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI semua titik yang ada di luar DP tersebut seperti (0,0), (1,1), (1, −2) dan lainnya dijamin tidak memenuhi beberapa dari SPtLDV. ∎ Contoh 2.1.3. Diberikan SPtLDV yaitu 2𝑦 − 𝑥 ≤ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 3 dan 𝑦 ≥ −1. Daerah penyelesaian SPtLDV tersebut dapat diperoleh yaitu dengan mengikuti langkah-langkah berikut, • 2𝑦 − 𝑥 ≤ 0 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟎) dan (𝟐, 𝟏) o Uji titik (0,1) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟏) • 𝑥+𝑦 ≤ 3 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟑, 𝟎) dan (𝟎, 𝟑) o Uji titik (0,0) bernilai benar, artinya DP mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑦 ≥ −1 Langsung saja digambar Sesuai dengan kesepakatan di awal yaitu DP tidak diarsir dan sebaliknya yang bukan DP diarsir. Dengan demikian dapat kita peroleh DP dari SPtLDV tersebut yaitu,

20

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Apabila kalian perhatikan, DP tersebut tampak berbentuk seperti segitiga. Kemudian semua titik yang ada didalam DP seperti (1,0), (2,0), (2,1) dan lainnya dijamin akan memenuhi SPtLDV, sebaliknya semua titik yang ada di luar DP tersebut seperti (0,1), (2,2), (2, −2) dan lainnya dijamin tidak memenuhi beberapa dari SPtLDV. ∎

2.2. Menentukan nilai optimum dengan metode uji titik pojok Pada bagian ini akan dibahas terkait bagaimana cara menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) fungsi objektif yang memenuhi suatu SPtLDV. Ada dua metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik, namun dalam diktat ini penulis hanya menggunakan metode uji titik pojok saja. Secara garis besar langkah-langkah metode uji titik pojok dapat dituliskan yaitu, • Cari DP dari SPtLDV. • Tentukan semua titik pojok dari DP tersebut. • Uji semua titik pojok ke fungsi objektif sehingga diperoleh nilai optimum. Perlu diperhatikan bahwasannya tidak semua persoalan mempunyai nilai maksimum dan minimum, bisa jadi hanya mempunyai nilai minimum saja atau hanya mempunya nilai maksimum saja. Ciri dari suatu persoalan mempunyai nilai maksimum dan minimum yaitu apabila DPnya tertutup, namum apabila DPnya terbuka maka bisa jadi hanya mempunyai nilai maksimum saja atau nilai minimum saja. Lebih jelasnya akan diberikan dalam contoh berikut, Contoh 2.2.1. [UTBK-SBMPTN 2019] Dengan metode uji titik pojok, nilai minimum dan nilai maksimum dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20 − 𝑥 − 2𝑦 untuk 𝑥 dan 𝑦 memenuhi SPtLDV 𝑦 − 2𝑥 ≤ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 6 dan 𝑦 ≥ 2 yaitu, • 𝑦 − 2𝑥 ≤ 0

21

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟎) dan (𝟏, 𝟐) o Uji titik (0,1) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟏) • 𝑥+𝑦 ≤ 6 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟔) dan (𝟔, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai benar, artinya DP mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑦≥2 Langsung saja digambar Sesuai dengan kesepakatan di awal yaitu DP tidak diarsir dan sebaliknya yang bukan DP diarsir. Dengan demikian dapat kita peroleh DP dari SPtLDV tersebut yaitu,

Kemudian dengan menggunakan metode uji titik pojok, maka dapat diperoleh titik pojok dari DP di atas yaitu A, B dan C dengan koordinat masing-masing titik tersebut yaitu, • Koordinat titik A sudah jelas tampak pada gambar yaitu A(1,2). • Tampak jelas pada gambar bahwa titik B memiliki koordinat 𝑦 = 2, kemudian subtitusikan 𝑦 = 2 ke 𝑥 + 𝑦 = 6 sehingga diperoleh 𝑥 = 4, dengan demikian dapat diperoleh koordinat titik B(4,2).

22

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI • Titik C merupakan perpotongan garis 𝑥 + 𝑦 = 6 dan 𝑦 − 2𝑥 = 0, maka titik C dapat diperoleh dengan cara mengeliminasi kedua persamaan garis tersebut yaitu, 𝑥+𝑦 = 6 −2𝑥 + 𝑦 = 0 − 3𝑥 = 6 𝑥 = 2 ; 𝑦 = 4 dengan demikian diperoleh koordinat titik C(2,4). Selanjutnya dari ketiga titik pojok tersebut akan diuji ke 𝑓(𝑥, 𝑦) = 20 − 𝑥 − 2𝑦 untuk menentukan nilai optimumnya yaitu, • A(1,2) → 𝑓(1,2) = 20 − 1 − 2(2) = 15 • B(4,2) → 𝑓(4,2) = 20 − 4 − 2(2) = 12 • C(2,4) → 𝑓(2,4) = 20 − 2 − 2(4) = 10 Karena DP tersebut tertutup, maka dapat dipastikan memiliki nilai maksimum dan nilai minimum. Berdasarkan hasil uji semua titik pojok di atas maka diperoleh nilai minimumnya terletak di koordinat (2,4) yaitu 10, sedangkan nilai maksimumnya terletak pada koordinat (1,2) yaitu 15. ∎ Contoh 2.2.2. Dengan metode uji titik pojok, nilai minimum dan nilai maksimum dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 untuk 𝑥 dan 𝑦 memenuhi SPtLDV 2𝑥 + 𝑦 ≥ 4, 𝑥 + 𝑦 ≥ 6, 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0 yaitu, • 2𝑥 + 𝑦 ≥ 4 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟒) dan (𝟐, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑥+𝑦 ≥ 3 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟑) dan (𝟑, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑥≥0

23

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Langsung saja digambar • 𝑦≥0 Langsung saja Digambar Sesuai dengan kesepakatan di awal yaitu DP tidak diarsir dan sebaliknya yang bukan DP diarsir. Dengan demikian dapat kita peroleh DP dari SPtLDV tersebut yaitu,

Kemudian dengan menggunakan metode uji titik pojok, maka dapat diperoleh titik pojok dari DP di atas yaitu A, B dan C dengan koordinat masing-masing titik tersebut yaitu, • Koordinat titik A sudah jelas tampak pada gambar yaitu A(0,4). • Titik B merupakan perpotongan garis 2𝑥 + 𝑦 = 4 dan 𝑥 + 𝑦 = 3, maka titik B dapat diperoleh dengan cara mengeliminasi kedua persamaan garis tersebut yaitu, 2𝑥 + 𝑦 = 4 𝑥+𝑦 = 3 − 𝑥 = 1 ; 𝑦 = 2 dengan demikian diperoleh koordinat titik B(1,2).

24

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI • Koordinat titik C sudah jelas tampak pada gambar yaitu C(3,0). Selanjutnya dari ketiga titik pojok tersebut akan diuji ke 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 untuk menentukan nilai optimumnya yaitu, • A(0,4) → 𝑓(0,4) = 0 + 2(4) = 8 • B(1,2) → 𝑓(1,2) = 1 + 2(2) = 5 • C(3,0) → 𝑓(3,0) = 3 + 2(0) = 3 Karena DP tersebut terbuka ke atas, maka dapat dipastikan hanya memiliki nilai minimum saja. Berdasarkan hasil uji semua titik pojok di atas maka diperoleh nilai minimumnya terletak di koordinat (3,0) yaitu 3, sedangkan nilai maksimumnya tidak ada sebab terletak pada koordinat (∞, ∞). ∎ Contoh 2.2.3. Dengan metode uji titik pojok, nilai minimum dan nilai maksimum dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 untuk 𝑥 dan 𝑦 memenuhi SPtLDV 𝑥 − 2𝑦 ≥ 2 dan 𝑥 + 2𝑦 ≤ 2 dan 𝑥 ≥ 0 yaitu, • 𝑥 − 2𝑦 ≥ 2 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, −𝟏) dan (𝟐, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑥 + 2𝑦 ≤ 2 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟏) dan (𝟐, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai benar, artinya DP mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑥≥0 Langsung saja Digambar Sesuai dengan kesepakatan di awal yaitu DP tidak diarsir dan sebaliknya yang bukan DP diarsir. Dengan demikian dapat kita peroleh DP dari SPtLDV tersebut yaitu,

25

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

Kemudian dengan menggunakan metode uji titik pojok, maka dapat diperoleh titik pojok dari DP di atas yaitu A dan B dengan koordinat masing-masing titik tersebut yaitu, • Koordinat titik A sudah jelas tampak pada gambar yaitu A(0, −1). • Koordinat titik B sudah jelas tampak pada gambar yaitu B(2,0). Selanjutnya dari kedua titik pojok tersebut akan diuji ke 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 untuk menentukan nilai optimumnya yaitu, • A(0, −1) → 𝑓(0, −1) = 0 + (−1) = −1 • B(2,1) → 𝑓(2,1) = 2 + 1 = 3 Karena DP tersebut terbuka ke bawah, maka dapat dipastikan hanya memiliki nilai maksimum saja. Berdasarkan hasil uji semua titik pojok di atas maka diperoleh nilai maksimumnya terletak di koordinat (2,1) yaitu 3, sedangkan nilai minimumnya terletak pada koordinat (−∞, −∞). ∎

2.3. Aplikasi program linier Pada bagian ini akan dibahas tentang aplikasi program linier dalam kehidupan sehari-hari. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, bahwasannya tujuan dari program linier adalah untuk menentukan nilai optimum suatu persoalan, maka sudah barang pasti banyak permasalahan yang berkaitan dengan program linier. Berikut diberikan

26

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI beberapa contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan menggunakan program linier, Contoh 2.3.1. [UM STIS 2011] Diberikan suatu persoalan dalam kehidupan sehari-hari yaitu, “Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp150.000 dan kelas ekonomi Rp100.000. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah sebanyak?” Dari persoalan di atas dapat kita ubah ke dalam bentuk model matematika yaitu dengan memisalkan banyak penumpang di kelas utama adalah 𝑥 dan banyak penumpang di kelas ekonomi adalah 𝑦 sehingga diperoleh bentuk SPtLDV-nya yaitu, • Karena pesawat hanya mempunyai tempat duduk sebanyak 48 kursi, maka 𝑥 + 𝑦 ≤ 48. • Karena setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg, sedangkan pesawat hanya mampu membawa bagasi 1440 kg, maka 60𝑥 + 20𝑦 ≤ 1440 atau bisa disederhanakan menjadi 3𝑥 + 𝑦 ≤ 72. • Karena banyaknya penumpang di kelas utama dan kelas ekonomi tidak mungkin negatif, maka 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. • Karena yang diharapkan adalah pendapatan maksimum, sedangkan harga tiket kelas utama sebesar Rp 150.000 dan harga tiket kelas ekonomi sebesar Rp 100.000, maka dapat diperoleh fungsi objektif pendapatan yaitu 𝑓(𝑥, 𝑦) = 150.000𝑥 + 100.000𝑦. Kemudian akan dicari DP dari SPtLDV di atas yaitu,

27

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI • 𝑥 + 𝑦 ≤ 48 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟒𝟖) dan (𝟒𝟖, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai benar, artinya DP mencakup (𝟎, 𝟎) • 3𝑥 + 𝑦 ≤ 72 o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟕𝟐) dan (𝟐𝟒, 𝟎) o Uji titik (0,0) bernilai benar, artinya DP mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑥≥0 Langsung saja Digambar • 𝑦≥0 Langsung saja Digambar Sesuai dengan kesepakatan di awal yaitu DP tidak diarsir dan sebaliknya yang bukan DP diarsir. Dengan demikian dapat kita peroleh DP dari SPtLDV tersebut yaitu,

Kemudian dengan menggunakan metode uji titik pojok, maka dapat diperoleh titik pojok dari DP di atas yaitu A, B, C dan D dengan koordinat masing-masing titik tersebut yaitu, • Koordinat titik A sudah jelas tampak pada gambar yaitu A(0,48).

28

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI • Titik B merupakan perpotongan garis 3𝑥 + 𝑦 = 72 dan 𝑥 + 𝑦 = 48, maka titik B dapat diperoleh dengan cara mengeliminasi kedua persamaan garis tersebut yaitu, 3𝑥 + 𝑦 = 72 𝑥 + 𝑦 = 48 − 2𝑥 = 24 𝑥 = 12 ; 𝑦 = 36 dengan demikian diperoleh koordinat titik B(12,36). • Koordinat titik C sudah jelas tampak pada gambar yaitu C(24,0). • Koordinat titik D sudah jelas tampak pada gambar yaitu D(0,0). Selanjutnya dari keempat titik pojok tersebut akan diuji ke 𝑓(𝑥, 𝑦) = 150.000𝑥 + 100.000𝑦 untuk menentukan nilai optimumnya yaitu, • • • •

A(0,48) → 𝑓(0,48) = 150.000(0) + 100.000(48) = 4.800.000 B(12,36) → 𝑓(12,36) = 150.000(12) + 100.000(36) = 5.400.000 C(24,0) → 𝑓(24,0) = 150.000(24) + 100.000(0) = 3.600.000 D(0,0) → 𝑓(0,0) = 150.000(0) + 100.000(0) = 0

Karena DP tersebut tertutup, maka dapat dipastikan memiliki nilai maksimum dan nilai minimum. Berdasarkan hasil uji semua titik pojok di atas maka diperoleh pendapatan maksimumnya sebesar Rp5.400.000,00 yaitu ketika terdapat 12 penumpang kelas utama dan 36 penumpang kelas ekonomi. Sedangkat pendapatan minimumnya sebesar Rp0,00 yaitu Ketika tidak ada penumpang sama sekali baik di kelas utama maupun di kelas ekonomi. ∎ Contoh 2.3.2. [UM STIS 2011] Diberikan suatu persoalan dalam kehidupan sehari-hari yaitu,

29

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI “Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari, anak tersebut memerlukan 25 vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per butir dan tablet II Rp8.000,00 per butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah …” Dari persoalan di atas dapat kita ubah ke dalam bentuk model matematika. Perhatikan dalam persoalan tersebut terdapat variabel tablet I, tablet II, vitamin A dan vitamin B. Untuk menentukan variabel mana yang akan dimisalkan 𝑥 dan 𝑦 maka kalian dapat memperhatikan fungsi objektifnya yaitu berkaitan dengan pengeluaran minimum, yang mana pengeluaran ditentukan berdasarkan harga pembelian tablet I dan tablet II, sehingga dapat dimisalkan banyak tablet I yang dibeli adalah 𝑥 dan banyak tablet II yang dibeli adalah 𝑦. Kemudian berdasarkan persoalan di atas maka dapat diperoleh tabel berikut, Tablet I (𝑥) Tablet II (𝑦)

Vitamin A 5 unit 10 unit ≥ 25 unit

Vitamin B 3 unit 1 unit ≥ 5 unit

Kemudian berdasarkan tabel di atas dapat diperoleh SPtLDV nya yaitu 5𝑥 + 10𝑦 ≥ 25 dan 3𝑥 + 𝑦 ≥ 5, selain itu sudah jelas bahwa jumlah tablet I dan tablet II yang dibeli tidak mungkin negatif sehingga diperoleh 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. Kemudian karena harga tablet I sebesar Rp4000 dan tablet II sebesar Rp8000 maka dapat diperoleh fungsi objektif pengeluaran yaitu 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4000𝑥 + 8000𝑦. Kemudian akan dicari DP dari SPtLDV tersebut yaitu, • 5𝑥 + 10𝑦 ≥ 25 𝟏 𝟐

o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟐 ) dan (𝟓, 𝟎)

30

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI o Uji titik (0,0) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟎) • 3𝑥 + 𝑦 ≥ 5 𝟓

o Dua titik untuk menggambar garis yaitu (𝟎, 𝟓) dan ( , 𝟎) 𝟑

o Uji titik (0,0) bernilai salah, artinya DP tidak mencakup (𝟎, 𝟎) • 𝑥≥0 Langsung saja Digambar • 𝑦≥0 Langsung saja Digambar Sesuai dengan kesepakatan di awal yaitu DP tidak diarsir dan sebaliknya yang bukan DP diarsir. Dengan demikian dapat kita peroleh DP dari SPtLDV tersebut yaitu,

Kemudian dengan menggunakan metode uji titik pojok, maka dapat diperoleh titik pojok dari DP di atas yaitu A, B dan C dengan koordinat masing-masing titik tersebut yaitu, • Koordinat titik A sudah jelas tampak pada gambar yaitu A(0,5). • Titik B merupakan perpotongan garis 3𝑥 + 𝑦 = 5 dan 5𝑥 + 10𝑦 = 25, maka titik B dapat diperoleh dengan cara mengeliminasi kedua persamaan garis tersebut yaitu,

31

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 3𝑥 + 𝑦 = 5 5𝑥 + 10𝑦 = 25

× 10 ×1

30𝑥 + 10𝑦 = 50 5𝑥 + 10𝑦 = 25 − 25𝑥 = 25 𝑥 = 1 ; 𝑦 = 2 dengan demikian diperoleh koordinat titik B(1,2). • Koordinat titik C sudah jelas tampak pada gambar yaitu C(5,0). Selanjutnya dari ketiga titik pojok tersebut akan diuji ke 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4000𝑥 + 8000𝑦 untuk menentukan nilai optimumnya yaitu, • A(0,5) → 𝑓(0,5) = 4000(0) + 8000(5) = 40.000 • B(1,2) → 𝑓(1,2) = 4000(1) + 8000(2) = 20.000 • C(5,0) → 𝑓(5,0) = 4000(5) + 8000(0) = 20.000 Karena DP tersebut terbuka ke atas, maka dapat dipastikan hanya memiliki nilai minimum saja. Berdasarkan hasil uji semua titik pojok di atas maka diperoleh pengeluaran minimumnya Rp20.000,00 yaitu ketika membeli 1 tablet I dan 2 tablet II, atau bisa juga membeli 5 tablet I saja. Sedangkan pengeluaran maksimumnya tidak ada, sebab terserah mau beli obat seberapa banyakpun tidak masalah, dalam artian obat sebanyak itu nantinya akan diminum seperlunya dan sisanya dapat disimpan. ∎

2.4. Menentukan SPtLDV dari suatu DP Pada bagian 2.1 kalian sudah mempelajari cara menentukan DP dari SPtLDV, sebaliknya pada bagian ini kalian akan mempelajari bagaimana cara menentukan SPtLDV dari suatu DP. Langkah-langkah untuk menentukan DP dari suatu SPtLDV yaitu, • Menentukan persamaan garis

32

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI • Uji titik yang terletak pada DP untuk menentukan tanda pertidaksamaannya. Berikut diberikan contoh untuk memperkuat pemahaman kalian, Contoh 2.4.1. [Soal UNBK 2018] Diberikan DP sebagai berikut,

Tampak DP di atas dibatasi oleh empat garis, yaitu garis I, II, III dan IV. Masing-masing garis tersebut mewakili suatu pertidaksamaan yaitu, • Garis I o Karena garis I memotong sumbu 𝑦 di 4 dan memotong sumbu 𝑥 di 8, maka dapat diperoleh persamaan garisnya yaitu, 4𝑥 + 8𝑦 = 4 × 8 4𝑥 + 8𝑦 = 32 𝑥 + 2𝑦 = 8 o Kemudian uji titik (1,1) ke persamaan garis tersebut, sehingga diperoleh tanda pertidaksamaannya yaitu, 1 + 2(1) … 8 3 ≤ 8 dengan demikian diperoleh pertidaksamaan yang mewakili garis I yaitu 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8

33

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI • Garis II o Karena garis II memotong sumbu 𝑦 di 6 dan memotong sumbu 𝑥 di 4, maka dapat diperoleh persamaan garisnya yaitu, 6𝑥 + 4𝑦 = 6 × 4 6𝑥 + 4𝑦 = 24 3𝑥 + 2𝑦 = 12 o Kemudian uji titik (1,1) ke persamaan garis tersebut, sehingga diperoleh tanda pertidaksamaannya yaitu, 3(1) + 2(1) … 12 5 ≤ 12 dengan demikian diperoleh pertidaksamaan yang mewakili garis II yaitu 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12. • Garis III Garis III merupakan garis vertikal tepat di 𝑥 = 0, kemudian karena DP terletak di sebelah kanan garis III maka dapat diperoleh 𝑥 ≥ 0. • Garis IV Garis IV merupakan garis horizontal tepat di 𝑦 = 0, kemudian karena DP terletak di sebelah atas garis IV maka dapat diperoleh 𝑦 ≥ 0. Dengan demikian dapat diperoleh SPtLDV yang memenuhi DP tersebut yaitu 𝑥 + 2𝑦 ≤ 8, 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12, 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. ∎

34

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

BAB 3. MATRIKS 3.1

Definisi dan notasi matriks

Matriks merupakan sekumpulan bilangan-bilangan yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk bangun segi empat. Biasanya matriks dinotasikan menggunakan tanda kurung “( )” atau tanda kurung siku “[ ]”, namun dalam diktat ini matriks akan selalu dinotasikan menggunakan tanda kurung “( )“. Pada umumnya, nama matriks ditulis sebagai huruf kapital dan elemen matriks ditulis sebagai huruf biasa. Berikut adalah contoh penulisan matriks, 𝑎𝟏,1 𝑎𝟐,𝟏 𝐴𝑚×𝑛 = ( ⋮ 𝑎𝒎,𝟏

𝑎𝟏,𝟐 … 𝑎𝟐,𝟐 … ⋮ ⋱ 𝑎𝒎,𝟐 …

↓ ↓ kolom kolom … 1 2

𝑎𝟏,𝒏 → baris 1 𝑎𝟐,𝒏 → baris 2 ⋮ ) ⋮ 𝑎𝒎,𝒏 → baris 𝑚 ↓ kolom . 𝑛

.

dengan 𝐴𝑚×𝑛 adalah matriks 𝐴 yang memiliki ordo (ukuran) yaitu 𝑚 baris dan 𝑛 kolom yang ditulis sebagai 𝑚 × 𝑛. Kemudian 𝑎𝑖,𝑗 merupakan elemen matriks 𝐴 yang terletak pada baris ke 𝑖 dan kolom ke 𝑗, misalkan 𝑎2,1 merupakan elemen matriks 𝐴 yang terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 1. Berikut diberikan contoh terkait dengan penulisan matriks, Contoh 3.2.1.

Diberikan matriks 𝐴 yaitu, 2 𝐴2×3 = ( 1

−1 0,5

0 ) √2

Matriks 𝐴 memiliki ordo 2 × 3 yang artinya matriks 𝐴 memiliki 2 baris dan 3 kolom. Elemen matriks 𝐴 pada baris ke 1 kolom ke 1 dinotasikan sebagai

35

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 𝑎1,1 = 2, sedangkan elemen matriks 𝐴 pada baris ke 1 kolom ke 2 dinotasikan sebagai 𝑎1,2 = −1, begitu seterusnya sehingga diperoleh 𝑎1,3 = 0, 𝑎2,1 = 1, 𝑎2,2 = 0,5 dan 𝑎2,3 = √2. ∎ Selain itu matriks juga dapat digunakan untuk merepresentasikan suatu tabel sebagaimana contoh berikut, Contoh 3.2.2. Tabel berikut menunjukkan jumlah produksi dan konsumsi minyak pada tahun 2012 untuk lima negara yang berbeda dalam satuan ribu-barel per hari, Negara Saudi Arabia Amerika Serikat Cina Nigeria Norwegia

Produksi 11.153 10.128 4.289 2.528 2.007

Konsumsi 2.986 18.949 8.924 279 221

Dari tabel di atas dapat direpresentasikan ke dalam bentuk matriks 𝐴 dengan ordo 5 × 2 yaitu, 11.153 10.128 𝐴 = 4.289 2.528 ( 2.007

2.986 18.949 8.924 . 279 221 )

Dalam hal ini 𝑎2,1 = 10.128 merepresentasikan banyaknya produksi minyak di Amerika Serikat, 𝑎4,2 = 279 merepresentasikan banyaknya konsumsi minyak di Nigeria, begitu seterusnya. ∎

36

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

3.2

Jenis-jenis matriks

Berdasarkan ordonya, matriks dibedakan menjadi matriks baris, matriks kolom, matriks persegi, matriks tegak dan matriks datar. Pengertian masing-masing matriks tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut, • Matriks baris Matriks baris merupakan matriks yang hanya terdiri dari satu baris saja, atau dengan kata lain ordonya 1 × 𝑛. Contoh 3.2.1. Diberikan matriks 𝐴 = (−1 0 3), matriks 𝐴 merupakan matriks baris sebab hanya terdiri dari satu baris, atau dengan kata lain memiliki ordo 𝟏 × 3. ∎ • Matriks kolom Matriks kolom merupakan matriks yang hanya terdiri dari satu kolom saja, atau dengan kata lain ordonya 𝑛 × 1. 2 Contoh 3.2.2. Diberikan matriks 𝐴 = ( ), matriks 𝐴 merupakan 1 matriks kolom sebab hanya terdiri dari satu kolom, atau dengan kata lain memiliki ordo 2 × 𝟏. ∎ • Matriks persegi Matriks persegi merupakan matriks yang memiliki banyak baris dan kolom yang sama, atau dengan kata lain ordonya 𝑛 × 𝑛. 2 −1 Contoh 3.2.3. Diberikan matriks 𝐴 = ( ), matriks 𝐴 merupakan 0 1 matriks persegi sebab memiliki banyak baris dan kolom yang sama, atau dengan kata lain memiliki ordo 𝟐 × 𝟐. ∎ • Matriks tegak Matriks tegak merupakan matriks yang memiliki baris lebih banyak dari kolomnya, atau dengan kata lain ordonya 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑚 > 𝑛.

37

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 1 2 Diberikan matriks 𝐴 = ( 0 1 ), matriks 𝐴 merupakan 3 −5 matriks tegak sebab memiliki banyak baris lebih banyak dari kolomnya, yaitu 𝟑 × 𝟐. ∎

Contoh 3.2.4.

• Matriks datar Matriks datar merupakan matriks yang memiliki baris lebih sedikit dari kolomnya, atau dengan kata lain ordonya 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑚 < 𝑛. 1 0 3 −3 Contoh 3.2.5. Diberikan matriks 𝐴 = ( ), matriks 𝐴 2 −1 4 9 merupakan matriks datar sebab memiliki banyak baris lebih sedikit dari kolomnya, yaitu 𝟐 × 𝟒. ∎ Kemudian berdasarkan elemen-elemen penyusunnya, matriks dibedakan menjadi matriks nol, matriks diagonal, matriks skalar, matriks identitas, matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah dengan penjelasan sebagai berikut, • Matriks nol Matriks nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai 0. Secara umum matriks nol dinotasikan sebagai 𝑂. 𝟎 𝟎 𝟎 Contoh 3.2.6. Diberikan matriks 𝑂 = ( ), matriks 𝑂 𝟎 𝟎 𝟎 merupakan matriks nol sebab semua elemennya bernilai 0. ∎ • Matriks diagonal Matriks diagonal merupakan matriks persegi yang semua elemen di atas dan di bawah diagonal utamanya bernilai 0. Secara umum matriks diagonal dinotasikan sebagai 𝐷. 1 𝟎 Contoh 3.2.7. Diberikan matriks 𝐷2×2 = ( ) dan 𝐷3×3 = 𝟎 2 2 𝟎 𝟎 ( 𝟎 −1 𝟎 ), matriks 𝐷2×2 dan 𝐷3×3 merupakan matriks diagonal 𝟎 𝟎 3

38

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI sebab semua elemen di atas dan di bawah diagonal utamanya bernilai 0. ∎ • Matriks skalar Matriks skalar merupakan matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen yang lainnya bernilai 0. Contoh 3.2.8.

Diberikan matriks 𝐴2×2 = (

−𝟏 𝟎

𝟎 ) dan 𝐴3×3 = −𝟏

𝟐 𝟎 𝟎 ( 𝟎 𝟐 𝟎 ), matriks 𝐴2×2 dan 𝐴3×3 merupakan matriks skalar sebab 𝟎 𝟎 𝟐 semua elemen diagonal utamanya sama yaitu −1 dan 2, sedangkan elemen yang lainnya bernilai 0. ∎

• Matriks identitas Matriks identitas merupakan matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan yang lainnya bernilai 0. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan sebagai 𝐼. Contoh 3.2.9.

Diberikan matriks 𝐼2×2 = (

𝟏 𝟎

𝟎 ) dan 𝐼3×3 = 𝟏

𝟏 𝟎 𝟎 ( 𝟎 𝟏 𝟎 ), matriks 𝐼2×2 dan 𝐼3×3 merupakan matriks identitas 𝟎 𝟎 𝟏 sebab semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan yang lainnya bernilai 0. ∎ • Matriks segitiga atas Matriks segitiga atas merupakan matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai 0.

39

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Contoh 3.2.10.

Diberikan matriks 𝐴2×2 = (

1 𝟎

3 ) dan 𝐴3×3 = 2

1 √2 1 ( 𝟎 −1 0 ), matriks 𝐴2×2 dan 𝐴3×3 merupakan matriks segitiga 𝟎 𝟎 2 atas sebab semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai 0. ∎ • Matriks segitiga bawah Matriks segitiga bawah merupakan matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai 0. 1 𝟎 Contoh 3.2.11. Diberikan matriks 𝐴2×2 = ( ) dan 𝐴3×3 = 2 −1 √3 𝟎 𝟎 ( 4 0,2 𝟎 ), matriks 𝐴2×2 dan 𝐴3×3 merupakan matriks segitiga 8 3 1 bawah sebab semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai 0. ∎

3.3

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan matriks baru yang diperoleh dengan cara menukar elemen baris menjadi elemen kolom atau sebaliknya. Misalkan diberikan matriks 𝐴 dengan ordo 𝑚 × 𝑛, maka transpose dari matriks 𝐴 dinotasikan sebagai 𝐴𝑇 dengan ordo 𝑛 × 𝑚. Berikut diberikan contoh terkait transpose matriks, 2 −1 3 ) dengan 5 2 0 ordo 2 × 3, maka diperoleh transpose matriks 𝐴 dengan menukar elemen 2 5 𝑇 baris menjadi elemen kolom yaitu, 𝐴 = ( −1 2 ) dengan ordo 3 × 2. 3 0 2 −1 3 Sebaliknya, transpose matriks 𝐴 = ( ) dapat juga diperoleh 5 2 0 Contoh 3.5.1.

Misalkan diberikan matriks 𝐴 = (

40

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI dengan menukar 2 yaitu 𝐴𝑇 = (−1 3

elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris 5 2). ∎ 0

Selanjutnya suatu matriks dikatakan simetris apabila matriks tersebut sama dengan transpose matriksnya. Berikut ini diberikan contoh matriks simetris, 2 −1 Contoh 3.5.2. Diberikan matriks 𝐴 = ( ), matriks 𝐴 merupakan −1 3 2 −1 matriks simetris sebab 𝐴𝑇 = ( ) = 𝐴. ∎ −1 3

3.4

Kesamaan matriks

Dalam bagian ini akan dibahas terkait kesamaan matriks. Dua matriks dikatakan sama apabila memiliki ordo dan elemen-elemen seletak yang sama. Misalkan diberikan matriks 𝐴 dan matriks 𝐵, apabila matriks 𝐴 sama dengan matriks 𝐵 maka dapat diperoleh, 𝐴 = 𝐵 𝑎𝟏,1 𝑎𝟐,𝟏 ( ⋮ 𝑎𝒎,𝟏

𝑎𝟏,𝟐 … 𝑎𝟏,𝒏 𝑏𝟏,1 … 𝑎𝟐,𝟐 𝑎𝟐,𝒏 𝑏𝟐,𝟏 ⋮ ) = ( ⋮ ⋮ ⋱ 𝑎𝒎,𝟐 … 𝑎𝒎,𝒏 𝑏𝒎,𝟏

𝑏𝟏,𝟐 … 𝑏𝟏,𝒏 𝑏𝟐,𝟐 … 𝑏𝟐,𝒏 ) ⋮ ⋮ ⋱ 𝑏𝒎,𝟐 … 𝑏𝒎,𝒏

dengan 𝑎1,1 = 𝑏1,1 , 𝑎1,2 = 𝑏1,2 , 𝑎2,1 = 𝑏2,1 dan seterusnya. Berikut diberikan contoh terkait dengan kesamaan matriks, Contoh 3.4.1. Diberikan matriks 𝐴 dengan ordo 3 × 4. Apabila matriks 𝐵 sama dengan matriks 𝐴, maka ordo matriks 𝐵 juga sama dengan ordo matriks 𝐴 yaitu 3 × 4. ∎

41

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 2 0 2𝑥 0 ) dan 𝐵 = ( ). 1 𝑦 + 𝑥 1 3 Apabila matriks 𝐴 sama dengan matriks 𝐵 maka dapat diperoleh nilai 2𝑥 − 𝑦 yaitu, 𝐴 = 𝐵 . 2 0 2𝑥 0 ( ) = ( ) 1 𝑦+𝑥 1 3 Contoh 3.4.2.

Diberikan matriks 𝐴 = (

• 2𝑥 = 2 𝑥=1 • 3=𝑦+𝑥 3=𝑦+1 2=𝑦 Sehingga diperoleh nilai 2𝑥 − 𝑦 = 2(1) − 2 = 0.

∎

2𝑥 − 𝑦 𝑧 0 0 1 𝑥 − 𝑦). Apabila 0 0 1 matriks 𝐴 merupakan matriks identitas, maka dapat diperoleh nilai 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 yaitu, Contoh 3.4.3.

Diberikan matriks 𝐴 = (

𝐴 = 𝐼 (

2𝑥 − 𝑦 0 0

𝑧 1 0

0 1 𝑥 − 𝑦) = ( 0 0 1

0 0 1 0) . 0 1

• 2𝑥 − 𝑦 = 1 𝑥−𝑦 = 0 – 𝑥=1; 𝑦=1 • 𝑧=0 Sehingga diperoleh nilai 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 + 1 + 0 = 2.

∎

42

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 𝑥−𝑦 0 0 0 2 0 ). Apabila matriks 𝑧 0 2𝑥 𝐴 merupakan matriks skalar, maka dapat diperoleh nilai 𝑥𝑦𝑧 yaitu, Contoh 3.4.4.

Diberikan matriks 𝐴 = (

(

𝑥−𝑦 0 𝑧

0 0 2 0 2 0 ) = (0 2 0 0 0 2𝑥

0 0) . 2

• 2𝑥 = 2 𝑥 = 1 • 𝑥−𝑦 = 2 1−𝑦 = 2 1−2 = 𝑦 −1 = 𝑦 • 𝑧 = 0 Sehingga diperoleh nilai 𝑥𝑦𝑧 = (1)(−1)(0) = 0.

∎

1 𝑥 ). Apabila matriks 𝐴 2 3 merupakan matriks simetris, maka dapat diperoleh nilai 𝑥 yaitu, Contoh 3.4.5.

Diberikan matriks 𝐴 = (

( Tampak bahwa 𝑥 = 2.

3.5

1 2

𝐴 = 𝐴𝑇 𝑥 1 ) = ( 3 𝑥

2 ) 3

∎

Operasi aljabar pada matriks

Pada bagian ini akan dibahas operasi aljabar pada matriks yaitu operasi penjumlahan dan pengurangan matriks dengan matriks, operasi perkalian skalar dengan matriks dan operasi perkalian matriks dengan matriks. Perlu diketahui, dalam matriks tidak dikenal istilah operasi pembagian matriks dengan matriks.

43

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI • Operasi penjumlahan matriks dengan matriks Syarat dua matriks dapat dijumlahkan adalah jika ordo kedua matriks sama. Kemudian menjumlahkan dua matriks dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks tersebut. Berikut diberikan contoh cara menjumlahkan dua matriks yaitu, 2 1 −1 0 Contoh 3.5.1. Diberikan matriks 𝐴 = ( ) dan 𝐵 = ( ). Hasil 3 4 2 3 penjumlahan matriks 𝐴 dan 𝐵 dapat diperoleh yaitu, 2 1 −1 0 )+( ) 3 4 2 3 2 + (−1) 1 + 0 = ( ) 3+2 4+3 1 1 = ( ) ∎ 5 7

𝐴+𝐵 = (

Contoh 3.5.2. Setiap awal minggu, pak Suef mengirimkan hasil produksi kuenya ke beberapa toko. Banyaknya kue yang dikirim dalam dua minggu pertama di bulan Oktober dapat dilihat dalam tabel berikut, Nama kue Minggu 1 Minggu 2

Toko 1 Toko 2 Toko 1 Toko 2

Kue A

Kue B

Kue C

15 12 10 15

0 20 0 20

10 23 10 20

Kemudian misalkan matriks 𝐴 menyatakan banyaknya kue yang dikirim pada minggu 1 dan matriks 𝐵 menyatakan banyaknya kue yang dikirim pada minggu 2, maka dapat diperoleh matriks 𝐴 dan 𝐵 yaitu, 𝐴=(

15 12

0 20

10 10 ) dan 𝐵 = ( 15 23

0 20

10 ) 20

44

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Selanjutnya jumlah pengiriman kue ke masing-masing toko dalam dua minggu pertama bulan Oktober dapat diperoleh yaitu, 15 12 25 = ( 27

𝐴+𝐵 = (

0 20 0 40

10 10 )+( 15 23 20 ) 43

0 20

10 ) 20

dari hasil di atas, tampak bahwa jumlah pengiriman kue paling banyak terletak di 𝑎2,3 = 43, yaitu pengiriman kue 𝐶 ke toko 2. Sedangkan jumlah pengiriman kue paling sedikit terletak di 𝑎1,2 = 0, yaitu pengiriman kue 𝐵 ke toko 1. ∎ • Operasi pengurangan matriks dengan matriks Syarat dua matriks dapat dikurangkan adalah jika ordo kedua matriks sama. Kemudian mengurangkan dua matriks dapat dilakukan dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks tersebut. Berikut diberikan contoh cara mengurangkan dua matriks yaitu, 2 1 −1 0 Contoh 3.5.3. Diberikan matriks 𝐴 = ( ) dan 𝐵 = ( ). Hasil 3 4 2 5 pengurangan matriks 𝐴 dan 𝐵 dapat diperoleh yaitu, 2 1 −1 0 )−( ) 3 4 2 5 2 − (−1) 1 − 0 = ( ) 3−2 4−5 3 1 = ( ) ∎ 1 −1

𝐴−𝐵 = (

Contoh 3.5.4. Setiap awal minggu, pak Suef mengirimkan hasil produksi kuenya ke beberapa toko. Kemudian setiap akhir minggunya pak Suef mengecek sisa kue yang tidak laku terjual di masing-masing toko. Banyaknya kue yang dikirim dan sisa kue yang tidak laku terjual dapat dilihat dalam tabel berikut,

45

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Nama kue Banyak kue Sisa kue

Kue A

Kue B

Kue C

15 12 6 0

0 20 0 1

10 23 1 5

Toko 1 Toko 2 Toko 1 Toko 2

Kemudian misalkan matriks 𝐴 menyatakan banyaknya kue yang dikirim dan matriks 𝐵 menyatakan banyaknya kue yang tidak laku terjual, maka dapat diperoleh matriks 𝐴 dan 𝐵 yaitu, 𝐴=(

15 12

0 20

6 10 ) dan 𝐵 = ( 0 23

0 1 ) 1 5

Selanjutnya untuk mengetahui banyaknya kue yang terjual di masingmasing toko dapat diperoleh yaitu, 15 12 9 = ( 12

𝐴−𝐵 = (

0 20 0 19

6 10 )−( 0 23 9 ) 18

0 1 ) 1 5

dari hasil di atas, tampak bahwa penjualan kue terlaris terletak di 𝑎2,2 = 19, yaitu kue B di toko 2. ∎ • Operasi perkalian skalar dengan matriks Mengalikan skalar dengan matriks dapat dilakukan dengan cara mengalikan skalar dengan setiap elemen pada matriks tersebut. Berikut diberikan contoh perkalian skalar dengan matriks. 1 Contoh 3.5.5. Diberikan matriks 𝐴 = ( 1 2

2 0 −3 √2 ), dapat diperoleh

hasil dari 2𝐴 yaitu, 1 2𝐴 = 2 ( 1 2

2 0 −3 √2 )

46

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

= ( = (

2(1)

2(2)

2(0)

1 2( ) 2

2(−3)

2(√2)

2 1

4 0 ) −6 2√2

)

∎

Contoh 3.5.6. Setiap awal minggu, pak Suef mengirimkan hasil produksi kuenya ke beberapa toko dengan jumlah yang selalu sama. Banyaknya kue yang dikirim ke masing-masing toko dapat dilihat dalam tabel berikut, Nama kue Toko 1 Toko 2

Kue A 15 12

Kue B 20 0

Kue C 0 23

Kemudian misalkan matriks 𝐴 merepresentasikan banyaknya kue yang dikirim pak Suef ke masing-masing toko, maka dapat diperoleh matriks 𝐴 yaitu, 𝐴=(

15 12

20 0

0 ) 23

Selanjutnya banyaknya kue yang dikirim ke masing-masing toko selama tiga minggu dapat diperoleh yaitu, 15 20 0 ) 12 0 23 45 60 0 = ( ) ∎ 36 0 69

3𝐴 = 3 (

• Operasi perkalian matriks dengan matriks Syarat dua matriks dapat dikalikan adalah jika banyak kolom pada matriks pertama sama dengan banyak baris pada matriks kedua. Konsep dari perkalian matriks dengan matriks adalah baris dikali kolom. Berikut diberikan contoh terkait perkalian matriks dengan matriks.

47

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 2 1 1 0 3 ) dan 𝐵 = ( ). 3 4 2 −1 2 Tampak bahwa matriks 𝐴 dan 𝐵 masing-masing memiliki banyak baris dan kolom yang sama yaitu 2, sehingga dapat diperoleh hasil dari perkalian matriks 𝐴 dan 𝐵 dengan menggunakan konsep baris dikali kolom yaitu, Contoh 3.5.7. Diberikan matriks 𝐴 = (

2 1 1 0 3 )( ) 3 4 2 −1 2 (2)(1) + (1)(2) (2)(0) + (1)(−1) = ( (3)(1) + (4)(2) (3)(0) + (4)(−1)

𝐴𝐵 = (

= (

4 11

−1 −4

8 ) 17

(2)(3) + (1)(2) ) (3)(3) + (4)(2)

∎

Contoh 3.5.8. Setiap awal minggu, pak Suef mengirimkan hasil produksi kuenya ke beberapa toko. Setiap jenis kue dipatok dengan harga yang berbeda-beda sesuai dengan biaya produksinya. Banyaknya kue yang dikirim ke masing-masing toko dan harga setiap jenis kuenya dapat dilihat dalam tabel berikut, Nama kue Toko 1 Toko 2 Harga

Kue A 15 12 5000

Kue B 20 0 6000

Kue C 0 23 4500

Kemudian misalkan matriks 𝐴 menyatakan banyaknya kue yang dikirim oleh pabrik ke masing-masing toko dan matriks 𝐵 menyatakan harga setiap jenis kue, maka dapat diperoleh matriks 𝐴 dan 𝐵 yaitu, 𝐴=(

15 12

20 0

0 ) dan 𝐵 = ( 5000 23

6000

4500 )

Selanjutnya besar pendapatan di masing-masing toko berdasarkan banyaknya pengiriman kue dapat diperoleh yaitu,

48

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 5000 0 ) ( 6000 ) 23 4500 15(5000) + 20(6000) + 0(4500) = ( ) 12(5000) + 0(6000) + 23(4500)

𝐴𝐵𝑇 = (

= (

15 12

20 0

195000 ) 163500

dari hasil di atas, tampak bahwa pendapatan terbesar berada di toko 1. ∎ Selanjutnya untuk operasi aljabar pada matriks juga berlaku operasi campuran dengan mendahulukan, − Tanda kurung − Operasi perkalian − Operasi penjumlahan atau pengurangan Berikut diberikan beberapa contoh terkait dengan operasi campuran pada matriks, Contoh 3.5.9. Diberikan matriks 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 yaitu, 𝐴=(

2 3 1 0 ),𝐵=( 0 1 −1 3

2 2 ) dan 𝐶 = ( 0 1 3

1 −1 ) 2

Dari ketiga matriks di atas dapat diperoleh 2𝐴 + 𝐵𝐶 yaitu, 2𝐴 + 𝐵𝐶 = 2 ( 4 0 4 = ( 0 = (

2 0

2 1 0 2 ) ( 0 −1 ) 3 1 3 2 6 2+0+6 1+0+4 )+( ) −2 + 0 + 3 −1 − 3 + 2 2 6 8 5 )+( ) 2 1 −2 3 1 )+( 1 −1

49

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI = (

12 1

11 ) 0

∎

Contoh 3.5.10. Diberikan matriks 𝐴, 𝐵, 𝐶 dan 𝐷 sebagai berikut, 𝐴=(

−3 𝑎 1 3 1 ), 𝐵 = ( ), 𝐶 = ( 2 4 𝑏 −2 4

−3 −1 ) dan 𝐷 = ( 2 −2

2 ) 1

Apabila matriks 𝐴, 𝐵, 𝐶 dan 𝐷 memenuhi 2𝐴𝑇 − 𝐵 = 𝐶𝐷, maka dapat 1 2

diperoleh nilai dari 2𝑎 + 𝑏 yaitu, 2𝐴𝑇 − 𝐵 = 𝐶𝐷 1 3 2 ( 6

2(

2 −3 𝑎 1 −3 −1 2 )−( ) = ( )( ) 4 𝑏 −2 4 2 −2 1 4 −3 𝑎 −1 + 6 2 − 3 )−( ) = ( ) −4 − 4 8 + 2 8 𝑏 −2 5 4−𝑎 5 −1 ( ) = ( ) 6−𝑏 10 −8 10

• 4 − 𝑎 = −1 4+1 =𝑎 5 =𝑎

• 6 − 𝑏 = −8 6+8 =𝑏 14 = 𝑏 1 2

dengan demikian dapat diperoleh nilai dari 2𝑎 + 𝑏 yaitu, 1 2

1 2

2𝑎 + 𝑏 = 2(5) + (14) = 10 + 7 = 17 ∎ 4 3 ). Apabila 𝐴2 − 𝑥𝐴 + 𝑦𝐼 = O, 2 5 maka dapat diperoleh nilai dari 𝑥 + 𝑦 yaitu, Contoh 3.5.11. Diberikan matriks 𝐴 = (

𝐴2 − 𝑥𝐴 + 𝑦𝐼 = O

50

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 3 4 3 1 0 0 )−𝑥( ) + 𝑦( ) = ( 5 2 5 0 1 0 𝑦 0 16 + 6 12 + 15 4𝑥 3𝑥 0 ( )−( )+( ) = ( 0 𝑦 8 + 10 6 + 25 2𝑥 5𝑥 0 (

4 2

3 4 )( 5 2

(

22 18

27 4𝑥 )−( 31 2𝑥 (

𝑦 3𝑥 )+( 0 5𝑥

22 − 4𝑥 + 𝑦 18 − 2𝑥

0 ) 0 0 ) 0

0 0 0 ) = ( ) 𝑦 0 0

27 − 3𝑥 0 0 ) = ( ) 31 − 5𝑥 + 𝑦 0 0

• 27 − 3𝑥 = 0 27 = 3𝑥 9 = 𝑥 •

22 − 4𝑥 + 𝑦 = 22 − 4(9) + 𝑦 = 22 − 36 + 𝑦 = −14 + 𝑦 = 𝑦 =

0 0 0 0 14

Kemudian dapat diperoleh misalkan 𝑥 + 𝑦 = 9 + 14 = 23.

3.6

∎

Matriks invers

Invers matriks merupakan kebalikan dari matriks. Misalkan diberikan matriks 𝐴, maka invers dari matriks 𝐴 dinotasikan sebagai 𝐴−1 . Apabila matriks 𝐴 dikalikan matriks 𝐴−1 maka menghasilkan matriks identitas, yang artinya 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼. Pada diktat ini hanya akan dibahas terkait invers matriks 2 × 2 saja. 𝑎 𝑏 Misalkan diberikan matriks 𝐴 = ( ), invers matriks 𝐴 dapat diperoleh 𝑐 𝑑 yaitu, 𝐴−1 =

1 det 𝐴

⋅ adj 𝐴

1

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 𝑑 −𝑏 ). Berikut diberikan contoh −𝑐 𝑎 bagaimana cara memperoleh invers matriks 2 × 2, dengan det 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 dan adj 𝐴 = (

1 2 ). Berdasakan konsep invers 3 5 di atas, maka dapat diperoleh determinan dan adjoin dari matriks 𝐴 yaitu, Diberikan matriks 𝐴 = (

Contoh 3.6.1.

det 𝐴 = 1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 3 = −1 adj 𝐴 = (

5 −2 ) −3 1

sehingga dapat diperoleh invers matriks 𝐴 yaitu, 𝐴−1 =

1 det 𝐴

⋅ adj 𝐴

5 −2 ) −3 1 −5 2 = ( ) ∎ 3 −1 =

1

−1

⋅(

Contoh 3.6.2.

Diberikan matriks 𝐴 = (

2 𝑥

−3 ). Apabila det 𝐴 = 1, maka 5

dapat diperoleh nilai dari 𝑥 yaitu, det 𝐴 2 ⋅ 5 − (−3) ⋅ 𝑥 10 + 3𝑥 3𝑥 𝑥

= = = = =

1 1 1 −9 −3

∎

Selanjutnya apabila suatu matriks tidak memiliki invers, maka matriks tersebut disebut sebagai matriks singular. Misalkan matriks 𝐴 merupakan matriks singular, maka det 𝐴 = 0. Berikut diberikan contoh terkait sifat matriks singular,

2

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 3𝑥 − 2 1 ). Apabila matriks 𝐴 𝑥2 1 merupakan matriks singular, maka dapat diperoleh nilai 𝑥 yaitu, Contoh 3.6.3.

Diberikan matriks 𝐴 = (

det 𝐴 (3𝑥 − 2) ⋅ 1 − 𝑥 2 ⋅ 1 3𝑥 − 2 − 𝑥 2 0 0

= = = = =

0 0 0 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) 𝑥=2⋁𝑥=1 ∎

Kemudian berikut diberikan sifat-sifat determinan matriks terhadap operasi transpose, invers, perkalian matriks dengan matriks dan perkalian skalar dengan matriks, • det 𝐴𝑇 = det 𝐴 • det 𝐴−1 =

1 det 𝐴

• det(𝐴 ⋅ 𝐵) = det 𝐴 ⋅ det 𝐵 • det(𝑘 ⋅ 𝐴) = 𝑘 𝑛 ⋅ det 𝐴 dengan 𝑛 adalah ordo matriks 𝐴𝑛×𝑛 Berikut diberikan contoh untuk lebih memahami sifat-sifat determinan di atas, Contoh 3.6.4. Diberikan matriks 𝐴 dan 𝐵 yang memiliki ordo 3 × 3 dengan det 𝐴 = 2 dan det 𝐵 = 3. Berdasarkan sifat-sifat determinan di atas maka dapat diperoleh beberapa hal berikut, • det 𝐴𝑇 = det 𝐴 = 2 • det 𝐴−1 =

1 det 𝐴

=

1 2

• det(𝐴 ⋅ 𝐵) = det 𝐴 ⋅ det 𝐵 = 2 ⋅ 3 = 6

3

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI • det(2𝐴) = 23 ⋅ det 𝐴 = 8 ⋅ 2 = 16 • det(𝐴 ⋅ 𝐵−1 ) = det 𝐴 ⋅ det 𝐵 −1 = det 𝐴 ⋅

1 det 𝐵

= 2⋅

1 3

=

2 3

• det(2𝐴𝑇 𝐵) = 23 det 𝐴𝑇 det 𝐵 = 8 det 𝐴 det 𝐵 = 8 ⋅ 2 ⋅ 3 = 48 Kemudian berikut juga diberikan sifat-sifat invers matriks yaitu, • 𝑋𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝑋 = 𝐵𝐴−1 • 𝐴𝑋 = 𝐵 ⇒ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 Berikut diberikan contoh untuk lebih memahami sifat-sifat invers matriks di atas, Contoh 3.6.5.

Diberikan persamaan matriks berikut, 𝑋(

1 1

2 6 ) = ( 4 −2

−4 ) 4

Matriks 𝑋 dapat diperoleh dengan menggunakan sifat invers matriks yang pertama yaitu, 𝑋(

1 1

2 6 −4 ) = ( ) 4 −2 4 6 −4 1 2 −1 )( ) −2 4 1 4 1 6 −4 4 −2 ( )⋅ ( ) 1⋅4−2⋅1 −1 −2 4 1 1 6 −4 4 −2 ( )( ) 2 −2 4 −1 1 1 28 −16 ( ) 2 −12 8 14 −8 ( ) ∎ −6 4

𝑋 = ( 𝑋 = 𝑋 = 𝑋 = 𝑋 = Contoh 3.6.6.

Diberikan persamaan linier dua variabel yaitu,

4

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

2𝑥 − 3𝑦 = −4 𝑥 + 2𝑦 = 5 Bentuk persamaan linier dua variabel di atas dapat dirubah ke dalam bentuk matriks yaitu, (

2 1

𝑥 −4 −3 )( 𝑦 ) = ( ) 2 5

Kemudian dengan sifat invers matriks maka dapat diperoleh penyelesaian 𝑥 dan 𝑦 yaitu, (

2 1

𝑥 −3 )( 𝑦 ) 2 𝑥 (𝑦) 𝑥 (𝑦) 𝑥 (𝑦) 𝑥 (𝑦)

= (

−4 ) 5

−3 −1 −4 ) ( ) 2 5 1 −4 2 3 = ( )( ) 2⋅2−(−3)⋅1 −1 2 5 1 7 = ( ) 7 14 1 = ( ) 2 = (

2 1

Dengan demikian diperoleh penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel di atas yaitu 𝑥 = 1 dan 𝑦 = 2. ∎

5

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

BAB 4. TRANSFORMASI 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Translasi (pergeseran) Refleksi (pencerminan) Perputaran (rotasi) Perbesaran (Dilatasi) Komposisi transformasi

6

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

BAB 5. BARISAN DAN DERET

Barisan dan deret merupakan dua konsep dengan definisi yang berbeda. Secara umum barisan didefinisikan sebagai sekumpulan dari bilangan yang disusun secara berurutan dengan mengikuti pola tertentu. Setiap dari bilangan tersebut disebut sebagai suku dan untuk suku ke-𝑛 dinotasikan sebagai 𝑢𝑛 . Misalkan dari suatu barisan terdapat suku pertama, suku kedua, suku ketiga sampai suku ke-𝑛 maka barisan tersebut dapat dinotasikan sebagai, 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , ⋯ , 𝑢𝑛 Selanjutnya untuk deret didefinikan sebagai jumlahan 𝑛 suku pertama dari suatu barisan dan dinotasikan sebagai 𝑠𝑛 . Berikut dapat dijabarkan dari penulisan 𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 sampai 𝑠𝑛 yaitu, • 𝑠1 = 𝑢1 • 𝑠2 = 𝑢1 + 𝑢2 • 𝑠3 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 ⋮ • 𝑠𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛 . Dalam diktat ini akan dibahas dua macam barisan dan deret yaitu Aritmetika dan Geometri. Selanjutnya juga akan dibahas aplikasi dari kedua barisan dan deret tersebut, yaitu bunga tunggal, bunga majemuk, pertumbuhan, penurunan dan Anuitas.

7

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

5.1. Barisan dan Deret Aritmetika Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki pola tertentu yaitu selisih antara dua bilangan yang berdekatan nilainya sama. Rumus umum suku ke-𝑛 (𝑢𝑛 ) dari barisan Aritmetika yaitu, 𝑢𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 dengan 𝑎 sebagai suku pertama dan 𝑏 sebagai beda antar dua suku berurutan. Secara umum 𝑏 dapat dirumuskan yaitu 𝑏 = 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑢3 − 𝑢2 = ⋯ = 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1 . Untuk lebih memahami rumus suku ke-𝑛 barisan Aritmetika di atas, maka berikut diberikan beberapa contoh yaitu, Contoh 5.2.1. Diberikan barisan Aritmetika yaitu −1, 2, 5, 8, 11, … dengan 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 3. Kemudian rumus suku ke-𝑛 barisan tersebut dapat diperoleh yaitu, 𝑢𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 = −1 + (𝑛 − 1)3 = −1 + 3𝑛 − 3 = 3𝑛 − 4 Selanjutnya suku ke-63 dari barisan tersebut dapat diperoleh yaitu, 𝑢63 = 3(63) − 4 = 185.

∎

Contoh 5.2.2. Diberikan barisan Aritmetika yaitu 5, 3, 1, −1, −3, … dengan 𝑎 = 5 dan 𝑏 = −2. Berdasarkan rumus suku ke-𝑛 barisan Aritmetika maka dapat diperoleh −31 merupakan suku ke … 𝑢𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 −31 = 5 + (𝑛 − 1)(−2)

8

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI −31 = 5 − 2𝑛 + 2 −31 = 7 − 2𝑛 2𝑛 = 7 + 31 2𝑛 = 38 𝑛 = 19

∎

Contoh 5.2.3. Diberikan suku ketiga dan suku kelima dari suatu barisan aritmetika berturut-turut yaitu 5 dan 13. Suku pertama dan beda dari barisan tersebut dapat diperoleh yaitu, 𝑢3 = 5 ⇒ 𝑎 + 2𝑏 = 5 𝑢5 = 13 ⇒ 𝑎 + 4𝑏 = 13 − −2𝑏 = −8 𝑏 = 4 ; 𝑎 = −3 Kemudian misalkan akan dicari suku ke-10 dari barisan tersebut yaitu, 𝑢𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑢10 = −3 + (10 − 1)4 = 33

∎

Contoh 5.2.4. Diberikan barisan Aritmetika yang memenuhi persamaan 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 = 54. Dengan menjabarkan persamaan tersebut maka dapat diperoleh suku ketiga barisan tersebut yaitu, 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 = 54 (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 3𝑏) = 54 3𝑎 + 6𝑏 = 54

9

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 𝑎 + 2𝑏 = 18 𝑢3 = 18

∎

Contoh 5.2.5. Diberikan suatu barisan berbentuk 𝑥, 𝑥 + 2, 3𝑥 + 2 , …. Apabila barisan tersebut memenuhi barisan aritmetika, maka dapat diperoleh nilai 𝑥 yaitu, 𝑏 = 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑢3 − 𝑢2 (𝑥 + 2) − (𝑥) = (3𝑥 + 2) − (𝑥 + 2) 2 = 2𝑥 1 = 𝑥 Sehingga untuk 𝑥 = 1 maka dapat diperoleh barisan 𝑥, 𝑥 + 2, 3𝑥 + 2 , … menjadi 1, 3, 5, …. Dengan demikian tampak bahwa 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 2. Kemudian dapat diperoleh misalkan suku ke-8 yaitu 𝑢𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑢8 = 1 + (8 − 1)2 = 15

∎

Selanjutnya akan dibahas yaitu deret Aritmetika. Deret Aritmetika dinotasikan sebagai 𝑠𝑛 dan didefinisikan yaitu jumlahan 𝑛 suku pertama dari suatu barisan Aritmetika. Rumus umum dari deret Aritmetika dapat diberikan yaitu, 𝑠𝑛 =

1 2

𝑛(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) atau

𝑠𝑛 =

1 𝑛(𝑎 2

+ 𝑢𝑛 )

10

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI dengan 𝑠𝑛 adalah jumlah 𝑛 suku pertama dan 𝑢𝑛 adalah suku terakhir. Berikut diberikan beberapa contoh terkait rumus deret Aritmetika di atas. Contoh 5.2.6. Diberikan deret aritmetika yaitu −1 + 3 + 7 + ⋯ dengan 𝑎 = −1 dan 𝑏 = 4. Berdasarkan rumus deret Aritmetika maka dapat diperoleh rumus jumlahan 𝑛 suku pertamanya yaitu, 𝑠𝑛 = =

1 𝑛(2𝑎 2 1 2

+ (𝑛 − 1)𝑏)

𝑛(2(−1) + (𝑛 − 1)4)

=

1 𝑛(−2 + 2

=

1 𝑛(4𝑛 2

4𝑛 − 4)

− 6)

= 2𝑛2 − 3𝑛 Kemudian dapat diperoleh jumlah 100 suku pertama deret Aritmetika tersebut yaitu, 𝑠100 = 2 ⋅ 1002 − 3 ⋅ 100 = 20000 − 300 = 19700

∎

Contoh 5.2.7. Diberikan barisan Aritmetika 3 , 1 , −1 , … , −23 dengan 𝑎 = 3, 𝑏 = −2 dan 𝑢𝑛 = −23. Berdasarkan rumus barisan Aritmetika maka dapat diperoleh banyak sukunya yaitu, 𝑢𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 −23 = 3 + (𝑛 − 1)(−2) −23 = 3 − 2𝑛 + 2 −23 = 5 − 2𝑛 2𝑛 = 5 + 23

11

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 2𝑛 = 28 𝑛 = 14 Kemudian dapat diperoleh jumlah dari seluruh barisan Aritmetika tersebut yaitu, 𝑠𝑛

=

1 𝑛(𝑎 2

=

1 ⋅ 2

+ 𝑢𝑛 )

14 ⋅ (3 + (−23))

= 7(−20) = −140

∎

Contoh 5.2.8. Diberikan jumlah suku kedua dan suku kelima suatu barisan aritmetika sama dengan 0. Sedangkan selisih antara suku keempat dan ketiga yaitu 2. Suku pertama dan beda dari berisan tersebut dapat diperoleh yaitu, 𝑢2 + 𝑢5 = 0 ⇒ (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 4𝑏) = 0 2𝑎 + 5𝑏 = 0

… pers 1

𝑢4 − 𝑢3 = 2 ⇒ (𝑎 + 3𝑏) − (𝑎 + 2𝑏) = 2 𝑏 = 2

… pers 2

Kemudian subtitusikan pers 2 ke pers 1, sehingga diperoleh nilai 𝑎 yaitu, 2𝑎 + 5(2) = 0 2𝑎 + 10 = 0 2𝑎 = −10 𝑎 = −5 Kemudian dapat diperoleh jumlahan 20 suku pertamanya yaitu, 𝑠𝑛 =

1 2

𝑛(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

12

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 𝑠20 =

1 2

⋅ 20 ⋅ (2(−5) + (20 − 1)2)

= 10(−10 + 38) = 280

∎

Selanjutnya dibahas suku tengah dari suatu barisan Aritmetika. Rumus umum suku tengah dari barisan Aritmetika yaitu, 𝑢𝑡 =

𝑎 + 𝑢𝑛 2

dengan 𝑢𝑡 sebagai suku tengah dan 𝑢𝑛 sebagai suku terakhir. Untuk lebih memahami rumus suku tengah barisan Aritmetika di atas, maka berikut diberikan beberapa contoh yaitu, Contoh 5.2.9. Diberikan barisan aritmetika yaitu 4, 1, −2, …, −14 dengan 𝑎 = 4 dan 𝑢𝑛 = −14. Suku tengah dari barisan aritmetika tersebut dapat diperoleh yaitu, 𝑢𝑡 = =

𝑎 + 𝑢𝑛 2 4 + (−14) 2

= −5 Perhatikan, apabila dikerjakan secara manual maka juga dapat diperoleh 𝑢𝑡 = −5 yaitu, 4 , 1 , −2 , −𝟓 , −8 , −11 , −14

∎

Selain rumus di atas, suku tengah dari barisan Aritmetika juga dapat diberikan yaitu, 1 2

𝑢𝑡 = 𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑏

13

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

Berikut diberikan contoh untuk memahami rumus di atas, Contoh 5.2.10. Diberikan barisan aritmetika dengan suku pertama −3 dan beda 4. Apabila suku tengah dari barisan tersebut adalah 13, maka dapat diperoleh banyak suku pada barisan tersebut yaitu, 1 2

𝑢𝑡 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 1

13 = −3 + (𝑛 − 1)4 2

13 = −3 + 2(𝑛 − 1) 13 = −3 + 2𝑛 − 2 13 = 2𝑛 − 5 18 = 2𝑛 9 = 𝑛 Perhatikan, apabila dikerjakan secara manual maka juga akan diperoleh banyak sukunya yaitu 𝑛 = 9, −3 , 1 , 5 , 9 , 𝟏𝟑 , 17 , 21 , 25 , 29

∎

Selanjutnya dibahas suku sisipan pada barisan Aritmetika. Misalkan diberikan suatu barisan Aritmetika dengan beda 𝑏. Apabila disetiap suku barisan tersebut disisipkan 𝑝 suku sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru dengan beda 𝑏 ′ yaitu, 𝑏′ =

𝑏 𝑝+1

dengan 𝑏 adalah beda barisan yang lama, 𝑏 ′ beda barisan yang baru setelah disisipkan 𝑝 suku. Berikut diberikan contoh,

14

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI Contoh 5.2.11. Diberikan barisan Aritmetika 3, 9, 15, … dengan 𝑎 = 3 dan 𝑏 = 6. Apabila disetiap suku pada barisan tersebut disisipkan 2 suku sehingga terbentuk barisan Aritmetika baru dengan beda yaitu, 𝑏′ = =

𝑏 𝑝+1 6 2+1

= 2 Dengan demikian dapat diperoleh barisan yang baru setelah disisipkan dua suku tersebut yaitu, 3 , 𝟓 , 𝟕 , 9 , 𝟏𝟏 , 𝟏𝟑 , 15 , ⋯

∎

5.2. Barisan dan Deret Geometri Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan yang memiliki pola tertentu yaitu rasio antara dua bilangan yang berdekatan nilainya sama. Rumus umum suku ke-𝑛 (𝑢𝑛 ) dari barisan Geometri yaitu, 𝑢𝑛 = 𝑎 × 𝑟 𝑛−1 dengan 𝑎 sebagai suku pertama dan 𝑟 sebagai rasio antar dua suku berurutan. Secara umum 𝑟 dapat dirumuskan yaitu 𝑟 =

𝑢2 𝑢1

=

𝑢3 𝑢2

=⋯=

𝑢𝑛 𝑢𝑛−1

.

Untuk lebih memahami rumus suku ke-𝑛 barisan Geometri di atas, maka berikut diberikan beberapa contoh yaitu, Contoh 5.2.1. Diberikan barisan geometri 4, 8, 16, …. dengan 𝑎 = 4 dan 𝑟 = 2. Rumus suku ke-𝑛 barisan tersebut dapat diperoleh yaitu, 𝑢𝑛 = 𝑎 × 𝑟 𝑛−1 = 4 × 2𝑛−1 = 22 × 2𝑛−1

15

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI = 22+𝑛−1 = 2𝑛+1 Kemudian dapat diperoleh misalkan suku ke-20 dari barisan tersebut yaitu, 𝑢20 = 220+1 = 221 Kemudian dapat diperoleh 1024 merupakan suku ke … 𝑢𝑛 = 2𝑛+1 1024 = 2𝑛+1 210 = 2𝑛+1 10 = 𝑛 + 1 9 = 𝑛 ∎ Contoh 5.2.2. 2 9

adalah

Diberikan suatu barisan geometri dengan suku ke-3

dan suku ke-5 adalah

2 81

. Suku pertama dan rasio barisan

tersebut dapat diperoleh yaitu, 𝑢3 = 𝑢5 =

2 9 2

81

⇒ 𝑎𝑟 2 =

2

⇒ 𝑎𝑟 4 =

2

9 81

… pers 1 … pers 2

Kemudian pers 2 dibagi pers 1, sehingga diperoleh 𝑎𝑟 4 𝑎𝑟 2

=

𝑟2 = 𝑟2 =

2/81 2/9 2 81

×

9 2

1 9 1

𝑟 = ±√

9

16

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 𝑟 = ±

1 3 1

1

1

3

3

3

Tampak diperoleh 𝑟 = atau 𝑟 = − . Misalkan kita ambil 𝑟 = maka dapat diperoleh nilai 𝑎 dengan mensubtitusikannya ke pers 1 yaitu, 𝑎𝑟 2 =

2

1 2

2

𝑎( ) 3

=

9

9

1

2

9

9

𝑎( ) =

𝑎 = 2 Dengan demikian dapat diperoleh suku ke-10 dari barisan tersebut yaitu, 𝑢𝑛 = 𝑎 × 𝑟 𝑛−1 1 10−1

= 2×( ) 3

1 9

= 2×( ) 3

= 2×( =

2 19683

1 19683

)

∎

Contoh 5.2.3. Diberikan suatu barisan geometri yang memenuhi u1 × u2 × u3 = 27. Dengan menjabarkan persamaan tersebut maka dapat diperoleh suku kedua barisan tersebut yaitu, 𝑢1 × 𝑢2 × 𝑢3 = 27 𝑎 × 𝑎𝑟 × 𝑎𝑟 2 = 27 𝑎3 𝑟 3 = 27

17

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI (𝑎𝑟)3 = 33 𝑎𝑟 = 3 𝑢2 = 3

∎

Selanjutnya akan dibahas yaitu deret Geometri. Deret Geometri dinotasikan sebagai 𝑠𝑛 dan didefinisikan yaitu jumlahan 𝑛 suku pertama dari suatu barisan Geometri. Rumus umum dari deret Aritmetika dapat diberikan yaitu, 𝑠𝑛 =

𝑎(𝑟 𝑛−1) 𝑟−1

Berikut diberikan beberapa contoh terkait rumus deret Geometri di atas. Contoh 5.2.4. Diberikan deret geometri 2 + 4 + 8 + … dengan 𝑎 = 2 dan 𝑟 = 2. Rumus jumlah 𝑛 suku pertama dari barisan tersebut yaitu, 𝑠𝑛 =

𝑎(𝑟 𝑛 −1) 𝑟−1

=

2(2𝑛 −1) 2−1

= 2 × 2𝑛 − 2 = 2𝑛+1 − 2 Kemudian dapat diperoleh misalkan jumlah 7 suku pertama dari barisan tersebut yaitu, 𝑠7 = 27+1 − 2 = 28 − 2 = 256 − 2 = 254

∎

18

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

Contoh 5.2.5. Diberikan deret geometri yaitu 1 + 2 + 4 + … + 512 dengan 𝑎 = 1, 𝑟 = 2 dan 𝑢𝑛 = 512. Banyaknya suku barisan geometri tersebut dapat diperoleh yaitu, 𝑢𝑛 = 𝑎 × 𝑟 𝑛−1 512 = 1 × 2𝑛−1 29 = 2𝑛−1 9 = 𝑛−1 10 = 𝑛 Kemudian jumlah semua deret tersebut yaitu, 𝑠𝑛 = =

𝑎(𝑟 𝑛 −1) 𝑟−1 1(210−1) 2−1

= 1023

∎

Selanjutnya untuk −1 < 𝑟 < 1, dapat diperoleh jumlah takhingga dari suku-sukunya dengan rumus yaitu, 𝑠∞ =

𝑎 1−𝑟

dengan 𝑠∞ merupakan jumlahan takhingga suku-suku deret Geometri. Supaya lebih jelas maka perhatikan contoh berikut, Contoh 5.2.6. = 4 dan 𝑟 = 𝑠∞ = = =

Diberikan deret geometri yaitu 4 + 2 + 1 + ⋯ dengan 𝑎

1 . Jumlah 2

semua deret geometri tersebut yaitu,

𝑎 1−𝑟 4 1−1/2 4 1/2

19

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI = 8 Dengan demikian diperoleh 4 + 2 + 1 + ⋯ = 8 Contoh 5.2.7.

∎

Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan

memantul kembali dengan ketinggian

4 5

kali tinggi sebelumnya.

Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Berikut diberikan ilustrasi yang menggambarkan lintasan pemantulan bola tersebut,

Jumlah seluruh lintasan bola tersebut dapat diperoleh yaitu, 2𝑠∞ − 𝑎 = 2 ( = 2( = 2(

𝑎 1−𝑟

)−𝑎

25 1 − 4/5 25 1/5

) −25

) −25

= 2(125) − 25 = 225

∎

Selanjutnya dibahas suku tengah dari suatu barisan Geometri. Rumus umum suku tengah dari barisan Geometri yaitu, 𝑢 𝑡 = √𝑎 × 𝑢 𝑛

20

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI dengan 𝑢𝑡 sebagai suku tengah dan 𝑢𝑛 sebagai suku terakhir. Untuk lebih memahami rumus suku tengah barisan Geometri di atas, maka perhatikan contoh berikut, Contoh 5.2.8.

2

2

2

3

9

81

Diberikan barisan Geometri 2 , , , … ,

. Suku tengah

dari barisan tersebut dapat diperoleh yaitu, 𝑢 𝑡 = √𝑎 × 𝑢 𝑛 = √2 ×

2 81

4 81

= √ =

2 9

Perhatikan, apabila dikerjakan secara manual maka juga dapat diperoleh 2 9

𝑢𝑡 = yaitu, 2 2

2, , ,

2

,

2

3 9 27 81

∎

Selain rumus di atas, suku tengah dari barisan Geometri juga dapat diberikan yaitu, 1

𝑢𝑡 = 𝑎 × 𝑟 2 (𝑛−1) Berikut diberikan contoh terkait rumus di atas, Contoh 5.2.9. Diberikan barisan Geometri dengan suku pertamanya 3 dan suku tengahnya 12. Apabila rasionya 2, maka dapat diperoleh banyaknya suku barisan tersebut yaitu, 1

𝑢𝑡 = 𝑎 × 𝑟 2 (𝑛−1)

21

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 1

12 = 3 × 2 2 (𝑛−1) 1

4 = 2 2 (𝑛−1) 1

22 = 2 2 (𝑛−1) 1 (𝑛 2

2 =

− 1)

4 = 𝑛−1 5 = 𝑛 Perhatikan, apabila dikerjakan secara manual maka juga akan diperoleh banyak sukunya yaitu 𝑛 = 5, 3 , 6 , 𝟏𝟐 , 24 , 48

∎

Selanjutnya dibahas suku sisipan pada barisan Geometri. Misalkan diberikan suatu barisan Geometri dengan rasio 𝑟. Apabila disetiap suku barisan tersebut disisipkan 𝑝 suku sehingga terbentuk barisan Geometri yang baru dengan rasio 𝑟 ′ yaitu, 𝑟′ =

𝑝+1

√𝑟

dengan 𝑟 adalah rasio barisan yang lama, 𝑟 ′ beda rasio barisan yang baru setelah disisipkan 𝑝 suku. Berikut diberikan contohnya, Contoh 5.2.10. Diberikan barisan geometri 2, 54, 1458, … dengan 𝑎 = 3 dan 𝑟 = 27. Apabila disetiap dua suku berurutan barisan tersebut disisipkan dua buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri baru, maka rasio barisan geometri yang baru tersebut yaitu, 𝑟′ =

𝑝+1

=

2+1

√𝑟

√27

22

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI 3

= √27 = 3 Dengan demikian diperoleh barisan yang baru setelah disisipkan dua suku tersebut yaitu, 2 , 𝟔 , 𝟏𝟖 , 54 , 𝟏𝟔𝟐 , 𝟒𝟖𝟔 , 1458 , ⋯

∎

Selanjutnya untuk beberapa persoalan dapat mengkombinasikan antara konsep Aritmetika dan Geometri sebagaimana contoh berikut, Contoh 5.2.11. Tiga bilangan membentuk barisan Aritmetika dengan beda 3 yaitu, 𝑎,𝑎+3,𝑎+6 Apabila suku kedua dikurangi 1, maka terbentuk barisan Geometri yaitu, 𝑎,𝑎+2,𝑎+6 Karena membentuk barisan Geometri, maka berdasarkan rumus rasio dapat diperoleh nilai 𝑎 yaitu, 𝑟 =

𝑢2 𝑢1

𝑎+2 𝑎

𝑎2

= =

𝑢3 𝑢2 𝑎+6 𝑎+2

+ 4𝑎 + 4 = 𝑎2 + 6𝑎 4 = 2𝑎 2 = 𝑎

Sehingga untuk 𝑎 = 2 dapat diperoleh tiga bilangan Aritmetika 𝑎 , 𝑎 + 3 , 𝑎 + 6 menjadi 2 , 5 , 8 dengan beda 3. Sedangkan tiga bilangan Geometri 𝑎 , 𝑎 + 2 , 𝑎 + 6 menjadi 2 , 4 , 8 dengan rasio 2. ∎

23

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

5.3. Aplikasi Barisan dan Deret

24

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

BAB 6. LIMIT FUNGSI ALJABAR 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

Definisi limit Konsep dasar limit fungsi aljabar Limit fungsi aljabar menuju tak-hingga Aplikasi limit

25

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

BAB 7. TURUNAN FUNGSI ALJABAR 7.1. Definisi turunan 7.2. Sifat turunan terhadap operasi +, −, ×, : dan ^ 7.3. Aplikasi turunan

26

MATEMATIKA WAJIB | KELAS XI

BAB 8. INTEGRAL FUNGSI ALJABAR 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Definisi integral Metode integral subtitusi Metode integral parsial Integral batas

27