MATERIALES DIELÉCTRICOS O AISLANTES 1.- Introducción Idealmente son unos materiales donde todos los electrones de valencia de los átomos o moléculas, que se aglutinan para formar el agregado macroscópico (sólido, líquido o gas), participan en el enlace, quedando fuertemente ligados a los núcleos, de modo que no existen electrones de conducción (portadores de carga libres) capaces de desplazarse por el volumen del material. En los dieléctricos reales, dependiendo de las condiciones de trabajo del material, pueden romperse algunos enlaces y establecerse corrientes muy pequeñas, llamadas corrientes de fuga. Salvo que digamos lo contrario estos medios se comportarán idealmente no existiendo corrientes de fugas. Con carácter general podemos decir que dada una distribución cualquiera de
N
M carga se definen los centros de acción de las qi > 0 , ri + i =1 y q j < 0 , r j−

{

}

{

}j =1

cargas positivas y negativas respectivamente por los vectores de posición M

N

∑ ∑


r+ =


y r− =

i =1 N

qi

i =1

∑ ∑


q j rj−


qi ri +

j =1 M

qj

j =1

En el caso de los átomos que forman la estructura de los dieléctricos tenemos las siguientes características M = N , qi = + q , q j = − q , y por tanto se verifica


1 r+ = N

N

∑ i =1



1 ri + y r − = N

N

∑ r j−


i =1

Dependiendo de la relación entre estos dos vectores de posición que definen los centros de acción de la carga positiva y negativa se induce una primera clasificación de los medios dieléctricos.

a.- Si se verifica que r + = r − cada átomo o molécula del material no presenta momento dipolar. A estas sustancias se les llama MEDIOS DIELÉCTRICOS APOLARES cuyos materiales más representativos suelen ser sustancias sólidas





Si Eext = 0 ⇒ pa = 0; ∆pi = dpi = 0




Si Eext ≠ 0 ⇒ ∆pi = dpi ≠ 0 . Se dice que el dieléctrico se polariza (Polarización electrónica o molecular)

b.- Si se verifica que r + ≠ r − cada átomo o molécula del material presenta momento dipolar. A estas sustancias se les llama MEDIOS DIELÉCTRICOS POLARES cuyos elementos más representativos suelen ser sustancias fluidas





Si Eext = 0 ⇒ pa ≠ 0; ∆pi = dpi = 0


Si Eext ≠ 0 ⇒ ∆pi = dpi ≠ 0 . Se dice que el dieléctrico se polariza (Polarización por orientación) Dichos mecanismos pueden verse esquemáticamente en el cuadro siguiente.

En resumen, todos los procesos de polarización nos llevan a poder asociar a algunos o a todos los elementos de volumen del material unos momentos dipolares

eléctricos ∆V ↔ ∆p = pi

∑ i∈∆V

En la figura siguiente se muestra el proceso de polarización para un átomo de hidrógeno.

¿Cuál es el efecto neto de situar un medio dieléctrico en una región donde existe
un campo eléctrico E0 ? Las cargas eléctricas no pueden moverse por el volumen del material por acción del campo eléctrico, proceso que si era posible en los medios conductores, sino que este sólo puede desplazar ligeramente las cargas de un material apolar u orientar los dipolos de un medio polar. En esencia se crean y/u orientan dipolos en el mismo sentido del
campo eléctrico inicial que actúan conjuntamente y generan un campo eléctrico Edipolar que se opone al inicial pero que no es lo suficientemente intenso para anularlo como ocurría en los medios conductores. Las cargas que forman los dipolos, ya hayan sido creados u orientados, se denominan cargas de polarización o cargas ligadas ya que no pueden abandonar las inmediaciones del átomo al que pertenecen; dichas cargas las nombraremos mediante variables con prima. En consecuencia en el medio dieléctrico
habrá un campo eléctrico ED ≠ 0 que es



ED = E0 + Edipolar < E0
2.- Polarización eléctrica P

Si un campo eléctrico actúa sobre un medio material dieléctrico entonces se generan u orientan dipolos que quedan colocados de modo que sus momentos dipolares sean, predominantemente, paralelos al campo eléctrico en cada punto. La orientación en los casos reales no es total ya que las fuerzas de cohesión de los distintos elementos del material pueden impedir el giro total de las moléculas o la temperatura siempre da lugar a cierto desorden debido a la agitación que confiere la energía térmica. Se dice entonces

que el material se polariza lo que en términos prácticos se traduce en la asignación a los diferentes elementos del material de un momento dipolar asociado.
∆V ↔ ∆p = r dq′ [1]

∫

∆V

La expresión [1] depende del tamaño del elemento escogido, y nosotros estamos interesados en magnitudes puntuales, para ello realizamos un proceso de paso al límite y
definimos la magnitud POLARIZACIÓN ELÉCTRICA P como


Cm ∆p P = lim [ P] = 3 = C m −2 , que en cada punto tiene la dirección y sentido del ∆V →0 ∆V m momento dipolar asociado a dicho punto. Ejemplo: Sea un dieléctrico polarizado de volumen V tal que todos sus dipolos tienen igual

momento dipolar e igual orientación p = q′ δ y sea N el número de átomos susceptibles de formar dipolos. Esto nos quiere decir que el material está uniformemente polarizado (mismo valor de la polarización en todos sus puntos), ¿Cuánto es el valor de la

∆p
N p
polarización? P = = = n q′ δ , siendo n el nº de átomos por unidad de volumen. ∆V ∆V En una situación más general y dependiendo del tipo de dieléctrico y de la forma del campo eléctrico aplicado, la distribución dipolar generada y por tanto la carga de polarización (o ligada) q′ puede presentarse en dos formas en volumen, con densidad

ρ ′ ( r ) , o en superficie, con densidad σ ′ ( r ) .





Si P ( r ) = P0 (Uniforme) ⇒ ∃ σ ′ ( r ) y ∃ ρ ′ ( r ) {ρ ′ ( r ) = 0} q′ ≡ 




Si P ( r ) ≠ P0 ( No Uniforme) ⇒ ∃ σ ′ ( r ) y ∃ ρ ′ ( r )  2.1.- Densidades de carga de polarización

En la figura siguiente se muestra un material dieléctrico isótropo y homogéneo ocupando la mitad del espacio entre las placas de un condensador plano ideal. Como el campo eléctrico aplicado es uniforme y todos los puntos del medio son equivalentes la polarización es uniforme y el efecto conjunto es que las cargas positivas y negativas de polarización se van compensando en el volumen del medio pero no así en las superficies pues allí ya no pueden compensarse pues no tienen con qué hacerlo. En consecuencia habrá una densidad superficial de carga ligada σ ' que será a su vez uniforme.

2.1.a.- ¿Cuánto vale la densidad superficial de carga de polarización?

Para verlo más claramente vamos a trabajar con el siguiente sistema Sea un condensador de láminas plano paralelas, área de placa S y distancia entre ellas d, cargado, con carga Q, aislado (no conectado a baterías) cuyo medio entre placas es el vacío.
σ

En estas condiciones entre placas existe un campo eléctrico, E0 = u donde u

ε0

es un vector dirigido desde la carga positiva a la negativa. En las condiciones dadas introducimos un medio dieléctrico homogéneo que llena todo el espacio entre placas; ¿qué sucede?
El dieléctrico se polariza y lo hará de modo uniforme ya que E0 es uniforme y el medio es homogéneo; por lo tanto no habrá densidad volúmica de carga de polarización, pues la carga neta de carga ligada será nula para cada zona elemental del dieléctrico, y sólo habrá densidad superficial de carga de polarización que no puede compensarse con nada. ¿Cuánto vale dicha densidad de carga σ ' ?

 q′ la carga desplazada de cada átomo del dieléctrico  n el nº de átomos por unidad de volumen  Sean 
, entonces la carga total δ el desplazamiento de la carga / forma un ángulo α  con la normal n
a la superficie del dieléctrico desplazada, Q’, existente en una capa superficial del dieléctrico de área S y altura h → 0 (observar la figura rodeada por una elipse) será



Q′ Q′ = q′ n S h = q′n S δ cos α ⇒ σ ′ = = q′n δ cos α = P⋅ n , σ ′ = P⋅ n [2] S

Los casos más habituales y de los que hablaremos en la asignatura son aquellos
en los que α = 0 y σ ′ = P .

Esta carga de polarización, crea un campo eléctrico Edipolar = E ∗ que se opone al campo externo, de modo que el campo en el dieléctrico (y por tanto en el condensador)




será ED = EC = E0 + Edipolar < E0 , ¿Cuánto vale? El campo resultante es uniforme ya que el original y el dipolar lo son por lo que aplicamos el teorema de Gauss sobre una superficie cilíndrica cuyo eje es perpendicular a las placas y tiene una base en una placa (medio conductor) y la otra en el dieléctrico,










qenc,SC = E ⋅ dS = E ( E = 0 ) ⋅ dS + E ⋅ dS + E ⋅ dS E ⊥ dS ∀dS ∈SL y como

ε0

∫ SC

∫

∫

∫

BP

BD

SL

(

)




1 σ −σ ′ E  dS ∀dS ∈ BD obtenemos ED B = (σ B − σ ′ B ) ⇒ ED =

ε0

ε0








σ − σ ′ σ − P⋅ n σ − P ED = = = ε0 ε0 ε0

[3]

La expresión anterior nos conduce a una argumentación circular de la que no se puede salir al menos que no hagamos alguna hipótesis razonable ya que no podemos
calcular ED sin conocer P , pero este valor depende del desplazamientoδ, que a su vez depende del valor del campo eléctrico. La cuestión se complica todavía más ya que el campo ED depende del módulo y la frecuencia del campo original, de la presión y de la temperatura, de las propiedades microscópicas del dieléctrico, relacionadas con el nivel de impurezas. Por esto hay que conocer alguna relación entre la polarización y el campo

eléctrico en el dieléctrico P = f ED . En este nivel de estudios sólo veremos los medios

( )

dieléctricos lineales que son materiales homogéneos (misma composición en todos los puntos del material) tal que para el rango de valores de los campos eléctricos aplicados

la función P = f ED es lineal, es decir la relación entre las magnitudes es o bien una

( )

constante o bien una matriz.



 P = k ED ⇒ Dieléctricos isótropos ⇒ P  ED

/      P = k E ⇒ Dieléc. anisótropos ⇒ P  ED [ ] i ij D j    

 Px   k xx k xy k xz   ED x    P  = k  y   yx k yy k yz   ED y   Pz   k zx k zy k zz   ED z  En esta asignatura sólo trabajaremos con medios dieléctricos lineales e isótropos, para estos la constante de proporcionalidad se suele escribir en términos de la constante

dieléctrica del vacío, en la forma P = ε 0 χ e ED , siendo χ e > 0 un nº adimensional positivo que se llama SUSCEPTIBILIDAD ELÉCTRICA (que es una propiedad macroscópica de los dieléctricos). De la expresión [3]
σ − P σ − ε 0 χ e ED ED = = ⇒ ε 0 (1 + χ e ) ED = σ ⇒ ε 0 ε r ED = σ ⇒ ε ED = σ , siendo

ε0 ε0 ε r = 1 + χ e > 1 otra constante llamada permitividad dieléctrica relativa del medio y ε = ε 0 ε r > ε 0 otra constante llamada permitividad absoluta del medio.

σ σ = donde hemos substituido las cargas de ε0 εr ε polarización (difíciles de evaluar y medir) por un parámetro macroscópico ε que nos Todo ello nos conduce a ED =

mide sus efectos. Todo lo anterior nos lleva a que, en nuestro condensador aislado, se verifican los siguientes hechos: σ σ E a.- El ED = = = 0 disminuye εr veces respecto al que existía en el vacío.

ε0 εr

ε

εr

b.- La diferencia de potencial ∆ϕD = ED d =

E0 d

εr

=

∆ϕ0

εr

disminuye εr veces respecto

a la diferencia de potencial que existía en el vacío. Q Q c.- La capacidad del condensador CD = = ε r = C0ε r aumenta εr veces ∆ϕD ∆ϕ0 respecto a la capacidad sin dieléctrico. Así la capacidad de un condensador de placas plano paralelas cuyo espacio entre placas está lleno de un material dieléctrico de S S [4] permitividad relativa εr es CD = C0ε r = ε r ε 0 = ε d d Si la polarización es no uniforme, 2.b.- ¿Cómo se calcula la densidad volúmica de carga de polarización ρ ′ ? El desarrollo teórico del cálculo no lo vamos a realizar y tan sólo daremos su valor y su significado físico. Se puede demostrar que dicha densidad de carga ligada viene dada por la relación


ρ ′ ( r ) = −∇ ⋅ P [5] que nos dice que las líneas del campo vectorial polarización nacen en carga negativa de polarización, mientras que mueren en carga de polarización positiva.
3.- Desplazamiento eléctrico D

Los conductores no pueden formar dipolos eléctricos por lo que se les asigna, al igual que al vacío, una εr = 1, y en consecuencia siempre usamos ε0 cuando tratamos con dichos medios. Las ecuaciones fundamentales de electrostática, tanto en vacío como en medios conductores, eran



[6]  E ⋅ dl = 0 ⇔ ∇ × E = 0 ⇔ E = −∇ϕ  Γ , 



q ρ ρ enc,SC 2  E ⋅ dS = ⇔ ∇⋅E = ⇔ ∇ ϕ =− [7]  ε0 ε0 ε0  SC Las ecuaciones fundamentales, ¿tienen que cambiarse para los dieléctricos? Solo habrá que modificar [7] que es dónde intervienen las propiedades de los medios a través de la permitividad, ¿Cómo hacer la modificación? Distinguiendo en la carga encerrada entre cargas libres (aquellas que tienen libertad de movimientos como sucedía con la carga que utilizábamos para electrizar conductores) y cargas de polarización (las que no tienen libertad de movimientos por las estructuras eléctricas),

∫ ∫

∫ ∫ ε ε ε ∫ ε E ⋅ dS = q + q′ = q + ∫ ρ ′ dV = q − ∫ ∇ ⋅ P dV = q − ∫ P⋅ dS ε ∫ (ε ) ∫

qenc,SC qlibre + qligada q + q′ E ⋅ dS = = = ⇒ ε0 0

SC




0

0



E ⋅ dS = q + q′

SC














0

SC

V

SC

V




E + P ⋅ dS =q ⇒ 0

SC




D⋅ dS = q / D =



E +P 0

SC


A la magnitud vectorial D se le llama desplazamiento eléctrico y el teorema de Gauss para él nos dice que su flujo a través de una superficie cerrada solo depende de la carga libre encerrada por dicha superficie, es decir




D = ε0E + P y D⋅ dS = qlibre enc,SC [8]

∫ SC

Es primordial utilizar esta forma del teorema de Gauss siempre que intervengan los medios dieléctricos ya que lo que se conoce a priori es la carga libre y no la carga de polarización. En el caso más general la carga libre también esta distribuida con una densidad ρ

∫ ρ dV . De esto, y aplicando el teorema de la divergencia a [8] ∫ D⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ D dV = q = ∫ ρ dV ∀ V limitado por SC ,

en el volumen encerrado por SC qlibre enc,SC =

V











libre enc,SC

SC

V

V

de lo que se infiere la igualdad punto a punto de las integrales de volumen; por tanto

∇ ⋅ D = ρ [9] que nos dice que las líneas de desplazamiento eléctrico nacen en carga libre positiva y mueren en carga libre negativa.
Por otro lado, calculando divergencias a ambos lados en la definición de D







ρ + ρ′ [10], ∇ ⋅ D ( = ρ ) = ε 0∇ ⋅ E + ∇ ⋅ P ( = − ρ ′ ) ⇒ ∇ ⋅ E =

ε0

que nos dice que las líneas del campo eléctrico nacen en cargas positivas, ya sean libres o ligadas, y mueren en cargas negativas, ya sean libres o de polarización. Si tratamos con medios dieléctricos isótropos y homogéneos podemos sustituir las cargas de polarización por la permitividad del medio







D = ε 0 E + P = ε 0 E + ε 0 χ e E = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E [11]

Calculando divergencias





ρ ∇ ⋅ D(= ρ ) = ε ∇ ⋅ E ⇒ ∇ ⋅ E =

ε

[12]

4.- Condiciones frontera en la interface dieléctrico – dieléctrico

Consideremos 2 medios dieléctricos en contacto por medio de una superficie de separación SS, de permitividades ε1 y ε 2 respectivamente, ¿cómo están relacionados los

campos E y D a un lado y a otro de la superficie SS?

En un punto cualquiera de SS podemos descomponer los campos E y D en dos componentes, una perpendicular a la superficie y otra tangente a la superficie, es decir


 E = E t + E n 


D = D t + D n

A) Teniendo en cuenta que el campo electrostático es conservativo, si hallamos la circulación del campo eléctrico a lo largo de un rectángulo que tiene cada una de sus bases en cada uno de los dos dieléctricos y una altura, que es perpendicular a la SS en la zona considerada, tan pequeña como queramos, debe valer cero y podemos deducir que “las componentes tangenciales de los campos eléctricos a uno y otro lado de SS deben ser iguales”

E1 t = E 2 t ≡ la componente tangencial de E se conserva

B) Calculando el flujo del desplazamiento eléctrico sobre una superficie cilíndrica cerrada con bases localizadas cada una en un medio, cuyo eje es perpendicular a SS en el punto considerado y de altura tan pequeña como queramos, podemos deducir que “la componente normal del desplazamiento eléctrico sufre una discontinuidad, de valor la densidad superficial de carga libre sobre SS, al pasar de un lado a otro de la interface dieléctrico - dieléctrico”

D1n − D 2n = σ Si, como es habitual, no hay carga libre sobre SS (σ = 0 ) , entonces D1n = D 2n ≡ la componente normal de D se conserva