Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares Parte 2: Las Familias de Matrices Gaussianas y Circulares

Eduardo Duéñez Departmento de Matemáticas Universidad de Texas en San Antonio

Escuela de Matrices Aleatorias CIMAT, 19–23 Noviembre 2012

Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

La Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) La Familia Gaussiana Unitaria (GUE) La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE)

Familias Gaussianas de Matrices Aleatorias

Familia Gaussiana Ortogonal (GOE): Sistemas físicos invariantes bajo inversión de la dirección del tiempo, espin total entero. Familia Gaussiana Unitaria (GUE): Sistemas no invariantes bajo inversión de la dirección del tiempo. Familia Gaussiana Simpléctica (GSE): Sistemas invariantes bajo inversión de la dirección del tiempo, espin total medio entero.

Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

La Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) La Familia Gaussiana Unitaria (GUE) La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE)

Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) GOEN = {H = (xjk ) = matriz real simétrica N × N: xjk = xkj } 1 xjk = xkj = variable Gaussiana de varianza 2 − δjk Y FDP conjunta: p(H) = pjk (xjk ): 1≤j≤k ≤N 2 1 pjk (xjk ) = √ e−xjk , (j 6= k ) π 1 2 pkk (x) = √ e−xkk /2 . 2π Todas las entradas son variables independientes. Observe que p(H) ∝ exp(− 21 Tr H 2 ). Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

La Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) La Familia Gaussiana Unitaria (GUE) La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE)

¿Qué hace al GOE “ortogonal”? La medida de probabilidad del GOE es invariante bajo similitudes ortogonales: Si g ∈ O(N) es fija, entonces g actúa por conjugación en GOE(N): Si H es real simétrica N × N también lo es ˜ := gHg T . H La medida de probabilidad es invariante bajo tal conjugación: ˜ porque la traza es invariante bajo similitudes. p(H) = p(H) ˜ El jacobiano de la transformación H 7→ H es (det g)N+1 = 1, porque |det g| = 1.

Desafío Verifica directamente que el jacobiano es (det g)N+1 . Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

La Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) La Familia Gaussiana Unitaria (GUE) La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE)

Familia Gaussiana Unitaria (GUE)

GUEN = {H = (zjk ) = matriz hermitiana compleja N × N: zjk = z kj } zjk = z kj = variable aleatoria gaussiana compleja. FDP conjunta: p(H) =

Y

pjk (zjk ):

1≤j≤k ≤N

2 −2|zjk |2 e , π 1 2 pkk (xkk ) = √ e−xkk , π pjk (zjk ) =

(j 6= k ) √ zkk = xkk + 0 −1 ∈ R.

Todas las entradas son variables aleatorias independientes. Observe que p(H) ∝ exp(− Tr H 2 ). Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

La Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) La Familia Gaussiana Unitaria (GUE) La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE)

¿Qué hace al GUE “unitario”? La medida de probabilidad del GUE es invariante bajo similitudes unitarias: Si g ∈ U(N) es fija, entonces g actúa por conjugación en GUE(N): Si H es real simétrica N × N también lo es ˜ := gHg † . H La medida de probabilidad es invariante bajo tal conjugación: ˜ porque la traza es invariante bajo similitudes. p(H) = p(H) ˜ es |det g|2N = 1, El jacobiano de la transformación H 7→ H porque |det g| = 1.

Desafío Verifica directamente que el jacobiano es |det g|2N . Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

La Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) La Familia Gaussiana Unitaria (GUE) La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE)

Matriz de Estructura Definición Sea N un entero positivo. Defínase la matriz de estructura J de tamaño 2N × 2N así:   0N×N −IN×N J2N := , IN×N 0N×N donde 0N×N y IN×N denotan la matriz cero e identidad, respectivamente, de tamaño N × N. Note que J es una matriz ortogonal antisimétrica: J −1 = J T = −J.

Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

La Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) La Familia Gaussiana Unitaria (GUE) La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE)

Dual de una Matriz de 2N × 2N Definición La matriz dual de una matriz compleja H de 2N × 2N es la matriz: H R := JH T J −1 . Donde J = J2N y H T es la matriz transpuesta de H. Si la matriz H está dada en términos de sus bloques de N × N:    T  A B D −B T R H= ⇒ H = . C D −C T AT

Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

La Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) La Familia Gaussiana Unitaria (GUE) La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE)

La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE) Definición El Familia Gaussiana Simpléctica GSEN consiste de todas las matrices complejas H2N×2N tales que H es hermitiana: H = H † , y H es autodual: H = H R . En términos de bloques de N × N,   ¯ A −B H= ¯ B A donde AN×N es compleja hermitiana y BN×N es compleja antisimétrica. Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

La Familia Gaussiana Ortogonal (GOE) La Familia Gaussiana Unitaria (GUE) La Familia Gaussiana Simpléctica (GSE)

La FDP Conjunta de las Entradas de Matrices en GSE Sea

 H=

¯ A −B ¯ B A



 =

X + iY U + iV

−U + iV X − iY



donde A es hermitiana y B antisimétrica o, equivalentemente, X es real simétrica, mientras que Y , U, V son reales antisimétricas. Las entradas Xjj (1 ≤ j ≤ N) son variables gaussianas de media 0 y varianza 1/4. Las entradas Xjk , Yjk , Ujk , Vjk (1 ≤ j < k ≤ N) son variables gaussianas de media 0 y varianza 1/8. Todas las variables mencionadas son independientes. Observe que p(H) ∝ exp(− Tr H 2 ). Eduardo Duéñez

Matrices Aleatorias en Familias Gaussianas y Circulares

Familias Gaussianas FDP Conjunta de los Eigenvalores La Integral de Selberg Familias Circulares

FDP Conjunta de los Eigenvalores de GOE Derivación de la FDP de los Eigenvalores de GOE La FDP Conjunta de los Eigenvalores de GβE

Notación y Convenciones Una matriz H en GOE(N) o GUE(N) tiene N eigenvalores reales λ1 , . . . , λN . Una matriz H en GSE(N) tiene N pares de eigenvalores reales λ1 , . . . , λN (cada uno con multiplicidad 2). Denotaremos por Λ = (λ1 , . . . , λN ) al vector de eigenvalores de la matriz H (en cualquier orden). Abusando notación, a veces denotaremos por Λ a la matriz diagonal N × N con los eigenvalores en la diagonal y por L al conjunto de tales matrices diagonales. Q Van(Λ) := 1≤j