1 Dadas las matrices , calcula X para que se verifique: A + X − B = I. Solución: X=I+B−A= 2 Dadas las matrices , determina la dimensión de las siguientes matrices producto: • C·A • B·A • D·B • C·B Solución: • (C·A)3x4 • (B·A)7x4 • (D·B)1x3 • No existe el producto C·B puesto que el número de columnas de C no coincide con el número de filas de B. 3 Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1,5, 2 y 2,5 centÃ-metros con los precios respectivos siguientes: Clavos A 0,02 0,03 0,04 0,05 € Clavos B 0,03 0,04 0,06 0,07 € Clavos C 0,04 0,06 0,08 0,10 € Sabiendo que en un minuto se producen: De 1 cm de longitud 100A 50Q 700H De 1,5 cm de longitud 200A 20Q 600H De 2 cm de longitud 500A 30Q 400H De 2,5 cm de longitud 300A 10Q 800H Se pide: • Resumir la información anterior en dos matrices M y N. M será una matriz 3 x 4 que recoja la producción por minuto y N una matriz 4 x 3 que recoja los precios. • Calcular los elementos de la diagonal principal de la matriz M · N y dar su significado. • Hacer lo mismo con la matriz N · M. Solución: 1

a) b) M · N es una matriz de 3 x 3. Su elemento a11 = 100 · 0,02 + 200 · 0,03 + 500 · 0,04 + 300 · 0,05 = 43 €, representa que se producen 43 € de clavos de aluminio por minuto. Su elemento a22 = 50 · 0,03 + 20 · 0,04 + 30 · 0,06 + 10 · 0,07 = 4,8 €, representa que se producen 4,8 € de clavos de cobre por minuto. Su elemento a33 = 700 · 0,04 + 600 · 0,06 + 400 · 0,08 + 800 · 0,10 = 17,60 €, representa que se producen 17,60 € de clavos de acero por minuto. c) N · M es una matriz de 4 x 4 Su elemento a11 = 0,02 · 100 + 0,03 · 200 + 0,04 · 700 = 31,5 €, representa que se producen 31,5 € de clavos de 1 cm por minuto. Su elemento a22 = 0,03 · 200 + 0,04 · 20 + 0,06 · 600 = 42,8 €, representa que se producen 42.8 € de clavos de 1,5 cm por minuto. Su elemento a33 = 0,04 · 500 + 0,06 · 30 + 0,08 · 400 = 53,8 €, representa que se producen 53,8 € de clavos de 2 cm por minuto. Su elemento a44 = 0,05 · 300 + 0,07 · 10 + 0,10 · 800 = 95,7 €, representa que se producen 95,7 € de clavos de 2,5 cm por minuto. 4 Dada la matriz , se pide: • Calcular (A − I)2 · (A − 5I) siendo I = • Obtener At y razonar si existe la inversa de A. Solución: a) (A − I)2 · (A − 5I) = b) At = luego la matriz A tiene inversa 5 Calcular una matriz X que verifique la igualdad: A · X = B, siendo A ¿Verifica también la matriz X la igualdad X · A = B? Solución: A−1 = El producto de matrices no es, en general conmutativo, i por tanto A · X ≠X · A:

2

6 Dada la matriz A = comprobar que A2 = 2A − I. Siendo I la matriz identidad. Utilizando la fórmula anterior calcular A4. Solución: A2 = 2A − I = Luego son iguales. A4 = A2 · A2 = 7 Obtener los valores de x, y y z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial. Solución: Operando se obtiene: 8 Sean las matrices A = • Determinar la matriz cuadrada M, tal que M · A = B • Comprobar que M2 = I, deducir la expresión de Mn Solución: Planteando un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: b) se comprueba M2 = M · M = , por tanto 9 Se considera la matriz , donde a y b son números reales. a) Calcular el valor de a y b para que A2 = b) Para los valores obtenidos en el apartado anterior, calcular A3 y A4. c) Sea n un número natural cualquiera. Dar la expresión de An en función de n. Solución: a) A2 = A · A = De (a + b)2 = 1, (a − b)2 = 1 y 2a = 2, se obtiene a = 1 y b = 0. b) La matriz obtenida en el apartado anterior es A = A3 = A · A2 = A4 = A · A3 = c) Observando los resultados obtenidos se puede afirmar que An =

3

10 Dadas las matrices a) calcular A · B y B · A b) Comprobar que (A + B)2 = A2 + B2 Solución: a) b)(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 = A2 + B2, dado que AB = − BA También puede comprobarse efectuando las operaciones matriciales. 11 Se considera la matriz Hallar los valores de p y q que hacen que A2 = A. En este caso razonar, sin calcular, el valor de A10 Solución: La igualdad se cumple cuando p = 0 y q = 1. Si la matriz verifica A2 = A, entonces A10 = A. 12 Dadas las matrices siguientes: yB= • Calcular A2 + 2 AB + B2 • Calcular (A + B)2 Solución: a) A2 + 2 AB + B2 = b) (A + B)2 = 13 Dadas las matrices determinar si existe una matriz C que cumpla B·C = A. Solución: El sistema es incompatible, por tanto no existe la matriz C. 14 Indicar todos los productos de dos matrices diferentes que se pueden hacer con las matrices siguientes: Solución: A · C; A · D B · A; B · C; B · D

4

C · B D · E E · A; E · C; E · D 15 Sean las matrices a) Calcular la matriz P que verifique B·P − A = Ct. b) determinar la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A·M·C c) Determinar la dimensión de la matriz N para que Ct · N sea una matriz cuadrada. Solución: a) B·P − A = Ct. ⇒ B−1 ·B·P = B−1 ·(Ct + A) ⇒ P = B−1 ·(Ct + A) b) A es de dimensión 2x3 y C es de dimensión 3x2. Para poder realizar el producto A·M, M de be tener tres filas. Para poder realizar el producto M·C, M debe tener tres columnas. Luego M debe ser de dimensión 3x3. c) La matriz C tiene dimensión 3 x 2 luego su transpuesta tendrá dimensión 2 x 3, y para que sea posible el producto Ct · N, N debe tener tres filas. Si además queremos que la matriz producto sea cuadrada N ha de tener dos columnas y asÃ- la matriz será de dimensión 2x2. 16 a) Determina la matriz X para que tenga solución la ecuación C(A + X)B = I, donde A, B y C son matrices con inversa de orden n e I es la matriz identidad de orden n. b) Aplica el resultado anterior para Solución: 17 Sea A = a) Calcula A2 b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que Solución: a) b) 18 Determinar La matriz X que verifica la ecuación: BX − A = 2X, siendo: Solución: BX − 2X = A ⇒ (B − 2I)X = A ⇒ X = (B − 2I)−1- A 19 Hallar todas las matrices a, b, c ∈ â„œ que satisfacen la ecuación matricial X2 = 2X. 5

Solución: Se obtienen los siguientes resultados: Si a = 0, b ∈ â„œ, c = 2 Si a = 2, b ∈ â„œ, c = 0 20 Sabiendo y que a) ¿Cuáles son las dimensiones de A y B? b) Calcular las matrices A y B. Solución: • La dimensión de las matrices A y B es 2 x 3. • 21 Dadas las matrices Calcular la matriz X que verifica: AXB= 2C Solución: X= 22 Determinar todas las matrices A tales que . Solución: .

6