MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor 1) Se descomponen los números en factores primos. 2) Se toman los factores comunes con menor exponente. 3) Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.

Método abreviado para hallar el M.C.D. El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos se puede hallar rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados entre un factor común; los cocientes nuevamente entre un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre sí. El m.c.d. es el producto de los factores comunes. Por ejemplo: Hallar el m.c.d. de 3430, 2450, 980, 4410

3430

2450

980

4410

10

343

245

98

441

7

49

35

14

63

7

7

5

2

9

m.c.d.

=

10

X

2

7

=

490

Ejemplo práctico 01: Hallar el M.C.D. de (72, 90,120) Solución: 1. Factorizamos cada número 72=23 x 32 90=2 x 32 x 5 120=23 x 3 x 5 2. Factores comunes a todos elevados al menor exponente Los factores son 2 y 3 3. M.C.D. (72, 90,120)=2 x 3=6 Respuesta: M.C.D. (72, 90,120) = 6

Ejemplo práctico 02: Hallar el M.C.D. de (24,36) Solución: Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8,12 Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18 Como 24 y 36 tienen varios divisores en común: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y el mayor de ellos es 12, por tanto el M.C.D. (24,36)=12 Respuesta: M.C.D. (24,36)=12

Ejemplo práctico 03: Hallar el M.C.D de 1800, 420, 1260 y 108

1800

2

420

2

1260

2

108

2

900

2

210

2

630

2

54

2

450

2

105

3

315

3

27

3

225

3

35

5

105

3

9

3

75

3

7

7

35

5

3

3

25

5

1

7

7

1

5

5

1

1 3

1800 =

2

420

=

2

1260 =

2

108

2

=

Factores comunes

2 2 2

=

2

X

3

X

3

X

3

X

3

1 2

2

X

5

X

5

X

7

X

51

X

7

x

3

1

1 1

3

2

2

Respuesta: El M.C.D. es 22 x 3 = 12

Ejemplo práctico 04: María quiere dividir una cartulina de 40 cm. de largo y 30 cm. de ancho en cuadrados iguales, tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningún trozo de cartulina. ¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado? Solución.1º Para que no le sobre ningún trozo, calculamos los divisores del 40 y del 30: divisores del 40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40 divisores del 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 2º Como el ancho y el largo de un cuadrado son iguales, buscamos los divisores comunes: Divisores comunes del 40 y del 30: 1, 2, 5 y 10

3º Para que el cuadrado sea tan grande como se pueda, escogemos el máximo divisor común. m.c.d. (30, 40) = 10 Respuesta: Cada cuadrado hará 10 cm. de lado.

Ejemplo práctico N° 5 Carlos y Luis tienen 25 cuencas blancas, 15 cuencas azules y 90 cuencas rojas y quieren hacer el mayor numero de collares iguales sin que sobre ninguna cuenca. ¿Cuantos collares iguales pueden hacer? ¿Que numero de cuencas de cada color tendrá cada collar? Solución: El número de collares iguales será el m.c.d. ya que se busca un divisor común a 25, 15 y 90. Entonces 25 5 1

5 5

25 15 90

15 5 1

= = =

3 5

52 2

x

3 3

90 45 15 5 1

2 3 3 5

X X

5 5

El M.C.D. = 5 Se pueden hacer 5 collares iguales. Para hallar el número de cuentas en cada collar se tiene: 25 : 5 = 5 cuencas blancas 15 : 5 = 3 cuencas azules 90 : 5 = 18 cuencas rojas

Ejercicio práctico N° 06 Se compra en una florería 24 rosas y 36 claveles. ¿Cuantos centros de mesa se puede elaborar si se coloca la máxima cantidad de flores sin que sobre ninguna?¿Cuantas rosas y claveles se colocan en cada centro de mesa?

Si todos los centros de mesa son iguales, el máximo número de centros que podemos realizar utilizando ambas flores son 12. Para buscar el número menor a 24 y 36 y que sea divisible por ambos, se utiliza el M.C.D. Hemos utilizado el m.c.d. ya que buscamos un número menor a 24 y 36 y que sea divisible entre ambos. 36 ÷12 = 3 claveles en cada centro 24÷12 = 2 rosas en cada centro 24

2

36

2

12

2

18

2

6

2

9

3

3

3

3

3

1 24 36

1 = =

2

3 2

2

x x

3 3

2

Ejercicio práctico N° 07 En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 lts., 360 lts. y 540 lts. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. Solución: 250 125 25 5 1

250 = 360 = 540 = M.C.D. =

2 5 5 5

2 3 2

360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

X

5 2 3

2

X X

2

X

2

540 270 135 45 15 5 1

3

3

3

X x

5 5

5

=

10

Capacidad de las garrafas = 10 litros. Número de garrafas de T1 = 250/10 = 25

2 2 3 3 3 5

Número de garrafas de T2 = 360/10 = 36 Número de garrafas de T3 = 540/10 = 54 Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.

Ejercicio práctico N° 08 Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. Solución: Calculamos el máximo común divisor.

12028 6014 3007 97 1

2 2 31 97

12772 2 6386 2 3193 31 103 103 1 2

12028 =

2

12772 =

2

2

M.C.D. =

2

2

X

31

X

97

X

31

X

103

X

31

=

124

m. c. d. (12 028, 12 772) = 124 El M.C.D. nos da el número de naranjas que entrará en cada caja. El valor es 124 naranjas en cada caja. Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103 Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97 Respuesta: Cajas necesarias = 103 + 97 = 200

Ejercicio práctico N° 09 Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? Solución: a) La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y además debe ser el mayor divisor común; luego hay que calcular el m.c.d. (256, 96).

256 128 64 32 16 8 4 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

96 48 24 12 6 3 1

2 2 2 2 2 3

256 = 28 36 = 25 x 3 M.C.D. = 25 = 32 La longitud del lado del cuadrado es de 32 cm. b) Área de la plancha de madera 256 x 96 = 24.576 cm2 Área de uno de los cuadrados 32 x 32 = 1.024 cm2 De la plancha de madera se obtienen 24 576 ÷ 1.024 = 24 cuadrados

Ejercicio práctico N° 10 El m.c.d de 600 y 1000 es : a. 100

b. 200

c. 250

d. 500

Se tiene: 600 y 1 000 600 300 150 75 25 5 1

2 2 2 3 5 5

600 = 23 x 3 x 52 1000 = 23 x 53 M.C.D. = 23 x 52 = 200

1000 500 250 125 25 5 1

2 2 2 5 5 5

e. 600