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©2007 Departamento de Fí Física Universidad de Sonora

Estática de Fluidos

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Temario 6. Estática de fluidos Fluidos en reposo (2.5 semanas) 1. 2. 3.

Estados de agregació agregación de la materia y concepto de fluido Caracterí Características de un fluido en reposo Densidad de las sustancias „ Densidad absoluta „ Densidad relativa „ Peso especifico 4. Concepto de presió presión „ Diferencias de presió presión 5. Presió Presión atmosfé atmosférica y sus caracterí características „ Presió Presión manomé manométrica 6. Presió Presión en un fluido incomprensible

Temario Continuación Estática de fluidos Fluidos en reposo (2.5 semanas) 7.

Presió Presión en un fluido comprensible „ ecuació ecuación fundamental de los fluidos en reposo „ variació variación de presió presión atmosfé atmosférica con la altura 8. Medidores de presió presión „ baró barómetro „ manó manómetro 9. Principio de Pascal y principio de Arquí Arquímedes y sus aplicaciones 10. Tensió Tensión superficial

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Temario 7. Dinámica de fluidos Diná Dinámica de fluidos (2.5 semanas) 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Caracterí Características de los fluidos ideales y viscosos Concepto de gasto o flujo volumé volumétrico y su conservació conservación Flujo de masa y ecuació ecuación de continuidad Ecuació Ecuación de Bernoulli para fluidos no viscosos Presió Presión en fluidos no viscosos en movimiento a travé través de tuberí tuberías Aplicació Aplicación de la ecuació ecuación de Bernoulli „ Medidor de Venturi „ Ventura de vací vacío y sus aplicaciones „ Velocidad de salida de un lí líquido por un orificio en un recipiente con diferentes condiciones geomé geométricas „ Elevació Elevación de aviones y otros ejemplos 7. La viscosidad de las sustancias y sus caracterí características „ Comportamiento de visosidad con temperatura

Temario Continuación Dinámica de fluidos Diná Dinámica de fluidos (2.5 semanas) 8. 9. 10. 11.

Ley de HagenHagen-Poiseuille para flujo laminar Perfil de velocidad en ré régimen laminar Número de Reynolds y regimenes de flujo Estudio de objetos movié moviéndose en un fluido viscoso en reposo „ Ley de Stokes „ Velocidad terminal „ Sedimentació Sedimentación en centrifugas

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Mecánica de Fluidos ‰

Hidrostática: Estudio de fluidos en reposo

‰

Hidrodinámica Estudio de fluidos en movimiento „ Aerodinámica: Estudio de gases y del aire.

1. Estados de agregación de la materia y concepto de fluido Una manera sencilla de clasificar a la materia es de acuerdo a su estado de agregació agregación, los cuales principalmente son: gas, lílíquido, y só sólido. GAS

SOLIDO

LIQUIDO

4

Definición de los estados de la materia „

sólidos

Los só sólidos: lidos: Tienen forma y volumen constantes. constantes. Se caracterizan por la rigidez y regularidad de sus estructuras.

„

gases

líquidos „

Los lí líquidos: quidos: No tienen forma fija pero sí volumen. volumen. La variabilidad de forma y el presentar unas propiedades muy especí específicas son caracterí características de los líquidos.

Los gases: gases: No tienen forma ni volumen fijos. fijos. En ellos es muy caracterí característica la gran variació variación de volumen que experimentan al cambiar las condiciones de temperatura y presió presión.

Sustancias que no cumplen con la clasificación de la materia La clasificació clasificación anterior es utilizada para facilitarnos el entendimiento de los los materiales que nos rodean, y es meramente artificial. Esto es, existen sustancias sustancias o materiales, que en un rango de temperatura o presiones, no cumplen con esta clasificaci ón. Algunos clasificació ejemplos son:

Plá Plásticos

Vidrio

Todos estos materiales si los observamos durante un periodo periodo de tiempo muy largo podremos observar como estos fluyen. Es decir, se comportan tanto tanto como só sólidos, como fluidos.

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2. Características de un fluido en reposo ¿ Qué Qué son los fluidos ?

z

Fluidos son cualquier cosa que fluye (gases o liquidos). liquidos). No importa el “tamañ tamaño” de la muestra

Fz

Fx

A

F

nˆ

Fy

Decimos que un material fluye, si al aplicá aplicársele una fuerza externa F, la componente tangencial a la superficie es diferente de cero, cero, o no esta equilibrada. De la figura, Fx y Fz son tangenciales y Fy es normal o perpendicular a la cara del cubo.

y

x

Fluido en reposo o estacionario es aquel en donde la a fuerza aplicada es normal o perpendicular a la superficie del material

3. Densidad de las sustancias En un material homogéneo se define como su masa por unidad de volumen

densidad =

masa m →ρ= volumen V

Densidad de Algunos Materiales GASES

~ 1 kg/m3

LIQUIDOS

~ 1000 kg/m3

SOLIDOS

~10,000 kg/m3

Aire (100C)

1.29 kg/m3

Agua (200C)

998 kg/m3

Aluminio

2,700 kg/m3

CO2 (100C)

1.98 kg/m3

Aceite de Olivo

915 kg/m3

Cobre

8960 kg/m3

Helio(100C)

.178 kg/m3

Mercurio(00C)

13,595 kg/m3

Plomo

11,300 kg/m

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Ejemplo: Sustancia

Densidad

¿Cuál de los dos bloques de 10.0cm3 de Aluminio y de Plomo, posee más masa?

(103 kg/m3 Aluminio

2.70

Cobre

8.92

Oro

19.30

Magnesio

1.75

Fierro

7.86

Platino

21.45

Plomo

11.30

mientras que el plomo es de 11.3gr/cm3. Esto es, cada una de las piezas posee una masa

Uranio

18.70

Masa=densidad x volumen

Al

Pb

Resp.: El Aluminio tiene una densidad de 2.70gr/cm3,

Al: masa = 2.70gr/cm3 x 10cm3 = 27.0gr

<

Pb: masa = 11.3gr/cm3 x 10cm3 = 113.0gr

Peso específico El peso especifico D de un cuerpo se define como la razó razón de su peso W a su volumen V. Las unidades son newton por metro cú /m3). y libra cúbico (Nw (Nw/m 3 por pie cú /ft ) cúbico (lb (lb/ft D =

W V

W = DV

La relació relación del peso especí específico y la densidad de masa de un material es

ρ=

m V

⇒ m = ρV

asi tenemos

D=

mg = ρg V

7

Densidad relativa De una sustancia es la razó razón de la densidad de esta sustancia a la del agua y es, por tanto, un nú número abstracto

D=

mg = ρg V

4. Concepto de presión Definiremos la presió presión en cualquier punto como la razó razón de la fuerza aplicada sobre una superficie, en donde A es el área.

P=

F A

„

La presió presión es un escalar que tiene unidades Fuerza/á Fuerza/área = Nw/m Nw/m2

„

Si fuerza es constante, la presió presión aumenta al disminuir el área

A1 = Area del pie A2 = Area de las raquetas F =W

P1 > P2

P1 P2 La persona se hunde menos Con raquetas que sin ellas

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Dispositivo para medir la presión F El Resorte obedece la ley de Hooke

A

F=-kX

El dispositivo consiste de un pistó pistón conectado a un resorte. resorte. La fuerza aplicada sobre el pistó pistón F1 es igual a la fuerza obtenida utilizando la ley de Hooke. Hooke. Así Así el desplazamiento nos indica la fuerza por unidad de área (del pistó pistón)

5. Presión atmosférica y sus características Si la superficie de un fluido esta expuesta al aire, aire, la presió presión sobre la superficie (Po) es igual a la presió presión atmosfé atmosférica a la altura del lugar donde se encuentre. encuentre.

Al nivel del mar, la presió presión atmosfé atmosférica es Po = 1.013x105 N/m2 = 1.0 atm = 101.3kPa = 76cm de Hg. = 30 in de Hg = 2 116 lb/ft2

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6. Presión en un fluido incomprensible Definiremos la presió presión en cualquier punto como la razó razón de la fuerza aplicada sobre una superficie, en donde A es el área.

P=

F A

La fuerza en este caso es el peso W de la persona, es decir: F=W Manteniendo la fuerza constante, se puede aumentar la presió presión sobre la nieve: 1. Quitando las raquetas de los pies de la persona. Esto hace que el área sobre el que se aplica el peso disminuya, aumentando. Si nos paramos sobre los dedos, la presió presión aumenta enormemente.

Dependencia de la presión con la profundidad A medida que se desplaza el aparato de medida hacia el fondo de un tanque conteniendo un fluido incompresible, se tiene que la fuerza sobre el resorte es mayor

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Continuación Dependencia de la presión con la profundidad Debido a la gravedad la presió presión depende de la profundidad. Para poder demostrar esto. Consideremos una pequeñ pequeña porció porción del fluido que se encuentra en el tanque (elemento (elemento de volumen), volumen), de área A, en equilibrio está estático.

∑ Fx = 0

La ecuació ecuación de las fuerzas horizontales, implican que las fuerzas se anulan a pares. Es decir, que todos los puntos que se encuentran a la misma profundidad tienen la misma presió presión.

Continuación Dependencia de la presión con la profundidad Hay tres fuerzas en esta direcció dirección. ¾

El peso (W=mg (W=mg)) La fuerza, F1, sobre la cara superior.

¾

La fuerza, F2, sobre la cara inferior.

¾

y1 F1

y2

F2 − F1 = W W

F2

F 2 − F1 =

( P1

− P2

)A

= ρ ( y 2 − y1 ) A g

P2 = P1 + ρ g ( y 2 − y 1 )

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Continuación Dependencia de la presión con la profundidad

y1

y2

F1

P2 = P1 + ρ g ( y 2 − y 1 ) Haciendo.

h = y 2 − y1 W

F2

Se tiene.

P2 = P1 + ρ g h La presió presión en cualquier punto depende únicamente de la altura de la columna de fluido por encima del punto.

Presión versus profundidad Para un fluido en un contenedor abierto • La presión es la misma a profundidades iguales y es independendiente de la forma del recipiente. • El nivel del fluido es el mismo en todos los contenedores interconectados (suponiendo que no hay fuerzas externas sobre las superficies).

y p(y)

• ¿Por qué en equilibrio la presión por debajo de la superficie depende solo de la profundidad? •

Imaginemos un tubo que conecte dos regiones a la misma profundidad.

• Si la presión fuera diferente, el fluido fluiría a traves del tubo. Sin embargo, si el fluido se desplaza, entonces el sistema NO se encuentra en equilibrio, así el nivel en los tubos cambiaria.

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Ejercicio para reflexionar „

¿Qué Qué pasara si dos fluí fluídos inmiscibles de densidades ρ1 y ρ2 respectivamente, respectivamente, son vertidos en un tubo en forma de U? ρ2 y ρ1

„

Compare las densidades de los fluidos

A) ρ1 < ρ2

B) ρ1 = ρ2

C) ρ1 > ρ2

Ejercicio para reflexionar La presión en la interface debe de ser igual P1=P2 La presión depende solo de las alturas y de la densidad del fluido

Las presiones para: y2

Fluido 2

Fluido 1

Δp = ( P1 − Patm ) = g ρ1 y1

p

ρ2 y ρ1

y1

Δp = ( P2 − Patm ) = g ρ 2 y2

Despejando “y” de las ecuaciones anteriores h ≡ y2 − y1 =

Si

h>0

Δp ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ g ⎝ ρ 2 ρ1 ⎠ C) ρ1 > ρ2

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Fuerzas contra un dique Ejemplo: Ejemplo:

„

¿ Cuá Cuál es la fuerza que soporta el muro de una presa? presa?

Respuesta: La presión depende únicamente de la profundidad „

Dique „

La presió presión en la parte baja de la presa es mayor que en la superior El muro de la presa puede ser mas ancha en su base.

„

La presió presión en el muro no depende de la longitud de la presa, presa, si no de la profundidad. profundidad.

„

La fuerza

F = Pi A

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Respuesta: La presión depende únicamente de la profundidad „

„

„

Supongamos que la altura total y el ancho de la cortina de la presa son H y w. Eligamos una banda de altura dy y a una profundidad h La presió presión en esa banda es:

P = g ρ h = g ρ ( H − y) „

La fuerza en cada franja es:

dF = PdA = [ ρ g ( H − y ) ] wdy „

Asi, Asi, la fuerza total sobre el muro es H

F = ∫ dF = ∫ PdA = ∫ [ ρ g ( H − y )] wdy = 0

1 ρ gwH 2 2

Presión atmosférica en función de la altitud Se puede tener una idea de la variació variación de la presió presión de la atmosfé atmosféra terrestre con la altura si suponemos que la densidad ρ es proporcional a la presió presión P. Esto serí sería casi cierto si la temperatura del aire fuese la misma a cualquier cualquier altitud. Supongamos que la gravedad g no varia con la altura, se tiene

dp = −ρg dy

dp p = − g ρo dy po

evaluando

como ρ es proporcional a p, se tiene

así así que

ρ p = ρo po

En donde ρo y po son los valores de la densidad y presió presión al nivel del mar

Integrando desde la ρ dp = − g o dy altura del mar y=0, p po po=0

⎛ p⎞ ρ ln ⎜ ⎟ = − g o y po ⎝ po ⎠

despejando

ρ dp ∫p p = y∫ − g poo dy o o p

y

⎛ ρ ⎞ p = po exp ⎜ − g o y ⎟ po ⎠ ⎝

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Continuación Presión atmosférica ⎛ ρ ⎞ p = po exp ⎜ − g o y ⎟ po ⎠ ⎝

si hacemos

a=g

ρo po

= 0.116km −1

1.0

0.8

0.6

p = po exp ( − ay )

nivel del mar

Presión atmosférica (Atm)

1.2

0.4

0.2

0.0 0

10

20

30

Altura (kms)

8. Medidores de presión

Presión manométrica Evangelista Torricelli Nacido en 1608, sucedió sucedió a Galileo como profesor de filosofí filosofía y matemá matemáticas en Florencia. Sus investigaciones en fí física le llevaron a descubrir la presió presión atmosfé atmosférica y a inventar el baró barómetro. Formulo el “principio de Torricelli” Torricelli”, relativo a la salida de los cuerpos lí líquidos por un orificio de una pared delgada. Falleció Falleció en 1647.

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Barométro de Torricelli P1 ≈ 0.0

Este consiste en un tubo largo de vidrio que se llena con mercurio y se invierte en una cubeta con mercurio. El espacio que queda por encima de la columna de mercurio contienen solamente vapor de mercurio, cuya presió presión es tan pequeñ pequeña que puede despreciarse.

P2 = P1 + ρ gh

P2 = Patm

Donde P2=Patm y P1=0

Patm = ρ gh

Barométro de Torricelli P1 ≈ 0.0

h=

Patm ρg

De esta manera se puede determinar la presió presión atmosfé atmosférica del lugar o ciudad.

P2 = Patm

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Manométro de tubo abierto 9 Este consiste en un tubo en forma de U que contiene un lí líquido, de tal manera que un extremo del tubo está está abierto a la atmó atmósfera y el otro está está conectado al sistema (deposito) cuya presió presión P queremos medir.

P − P0 = ρ gh 9 Por lo tanto, la presió presión manomé manométrica es proporcional a la diferencia de alturas entre las columnas lí líquidas del tubo en U. 9 Si el recipiente contiene un gas a presió presión, se usa como lí líquido denso como el mercurio. 9 Si el gas está está a muy baja presió presión se usa agua como lí líquido.

9. Principio de Pascal y principio de Arquímedes y sus aplicaciones

Blaise Pascal Nació el 19 de Junio 1623 en Clermont (Hoy Clermont-Ferrand), y murió el 9 de Agosto de 1662 en Auvergne, Francia

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Principio de Pascal “ La presión aplicada a un fluido incomprensible encerrado se trasmite sin disminución a cada punto del fluido y de las paredes del recipiente”

F1

A1

F2 Fluido

A2

Principio de Pascal “ La presión aplicada a un fluido incomprensible encerrado se trasmite sin disminución a cada punto del fluido y de las paredes del recipiente”

A1

F1

F2 Fluido

A2 donde

F P1 = 1 A1

F P2 = 2 A2

F2 = ? P2 = ?

19

Principio de Pascal F2 = ?

F1 A1 P1 = F1 / A1

A2 P2 = ?

Fluido

Sin embargo debido a que la fuerza F1, es aplicada sobre el embolo de área A1, y el cual transmite toda la presión sobre el fluido y este a su vez al embolo de área A2, por lo que la fuerza F2

F1 F2 = A1 A2

F2 = F1

A2 A1

Principio de Pascal F2 = ?

F1 A1 P1 = F1 / A1 Fluido

A2 P2 = ?

Caso particular: Si consideramos que las areas A1 y A2 son circulares, se tiene que F2 puede expresarse como

F2 = F1

A2 A1

= F1

π r22 π r12

⎛r ⎞ = F1 ⎜ 2 ⎟ ⎝ r1 ⎠

2

Area = π idiamétro

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Ejemplo práctico 9 Una persona quiere aplicar su propio peso (980 N) para levantar un automó automóvil de 1357 kg de masa, que se encuentra en un gato hidrá hidráulico de 15cm de diamé diamétro. tro. ¿Cuá Cuánto deberá deberá valen el diamé diamétro del tubo para que la persona pueda lograr su cometido?

Ejemplo práctico 9 Una persona quiere aplicar su propio peso (980 N) para levantar un automó automóvil de 1357 kg de masa, que se encuentra en un gato hidrá hidráulico de 15cm de diamé diamétro. tro. ¿Cuá Cuánto deberá deberá valen el diamé diamétro del tubo para que la persona pueda lograr su cometido?

9 Si la presió presión aplicada por la persona al fluido es transmitida enteramente para levantar al automó automóvil, entonces se tiene

F2 = F1

A2 A1

9 donde nos queda

A1 = A2

F1 F2

9 sustituyendo

d1 = d 2

980 N 13300 N

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Empuje – ¿Por qué los barcos flotan?

TITANIC

„ „ „

Evidentemente hay que considerar que el agua esta fuera del barco Evitar iceberg a la deriva Aunque son dificiles de detecta porque el 90 % estan sumergidos

Flotación 9 La flotació flotación es un fenó fenómeno muy conocido: un cuerpo sumergido en agua parece pesar menor que en el aire. SI el cuerpo es menos denso denso que el fluido, flota. 9 El cuerpo humano normalmente flota en el agua

9 Un globo lleno de helio flota en aire.

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Principio de Arquímedes 9 Si un cuerpo está está parcial o totalmente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.

¿Cuál es la razón física entonces? FB = m f g

FB = m f g

Centro de masa

Wobj = mobj g

9Cuando hay objeto la fuerza de empuje es contrarestada por su peso.

FB = ρ f Vsumer g 9Cuando el objeto es retirado del fluido, el volumen que ocupaba será será remplazado por el fluido, debido al peso del fluido que rodeaba al cuerpo.

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¿Cuál es la razón física entonces? FB = m f g

FB = m f g

Centro de masa

Wobj = mobj g

9La fuerza que es ejercida sobre el cuerpo es

FB = ρ f Vsumer g

FB = ρ f Vsumer g 9La fuerza neta ejercida sobre el objeto esta dada por

Fobj = FB − Wobj = ρ f Vsumer g − ρ objVobj g

10. Tensión superficial La fuerza de tensión superficial causa que la superficie de un líquido se comporte como una hoja elástica

Insecto en la superficie del agua

Las moléculas en la superficie del agua, NO pueden compensar las fuerzas debido a las otras moleculas del solvente

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Suspendidos por la tensión superficial

Medición de la fuerza de la tensión superficial Película de jabón

Tensión superficial es una fuerza por unidad de longitud

γ=

F d

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Películas de jabón

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