Mediador de Matemáticas ISBN: 978-958-8385-58-7 Autor: Hugo Alexander López Velásquez Docente Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas UCO E-mail:
[email protected] Corrector Editor: Juan Carlos Márquez Valderrama ©Todos los derechos reservados. Se autoriza la producción y difusión de este material para propósitos educativos u otros fines no comerciales previa autorización escrita de los titulares de los derechos de autor, siempre que se específique claramente la fuente. Impreso en Divegraficas Ltda. www.divegraficas.com Julio de 2010 Carrera 46 No. 40 B-50 PBX: 57) (4) 531 66 66 Fax: (57) (4) 531 39 72 A.A. Rionegro 008 - AA. Medellín 050956 E-mail: uco.edu.co Rionegro - Antioquia
Presentación El Plan de Desarrollo 2006-2015 de la Universidad Católica de Oriente, en el sector estratégico “Excelencia académica de los pregrados y demás niveles y modalidades del sistema educativo colombiano”, presenta como una de las estrategias: “Implementar en todos los programas el Proyecto Pedagogos como un servicio educativo a los estudiantes, especialmente en los primeros niveles”.1 Este proyecto se desarrolla desde la Dirección Académica y el Grupo de Investigación Pedagogía y Didáctica en coordinación con las Facultades y la Dirección de Bienestar Universitario y Pastoral, con el fin de apoyar a los estudiantes y orientarlos en su proceso de formación integral, así como estimular el desarrollo de habilidades para lograr un mejor aprendizaje. Es un servicio educativo que hace parte del Modelo Pedagógico de la Universidad Católica de Oriente, atiende asuntos relacionados con la formación académica del estudiante, con su vida diaria, con sus aciertos y conflictos como miembro de una comunidad, a través de estrategias como: tutorías, cursos nivelatorios en matemáticas, lectoescritura y técnicas de estudio, monitorias académicas, orientación vocacional, sicológica, familiar y espiritual, apoyo económico, entre otras.
1
Universidad Católica de Oriente. Plan de Desarrollo 2006 -2015. P 51
El Proyecto Pedagogos cuenta para el primer semestre del 2010 con el apoyo del Ministerio de Educación Nacional , mediante Convenio de asociación número 1521 de 2009, suscrito entre la Universidad Católica de Oriente y este Ministerio. Queremos mediante esta propuesta sembrar prácticas efectivas y eficaces de aprendizaje en esta área, motivando no solo a su utilización académica si no a la ejecución cotidiana, enfocándonos en los proyectos universitarios y el desarrollo intelectual. El objetivo principal de este mediador de matemáticas es fortalecer y enseñar a los estudiantes de primer semestre universitario algunos conceptos básicos de esta área tales como: sistemas numéricos, radicales, exponentes y funciones. En cada unidad será expuesto cada tema correspondiente de manera clara y precisa, seguido de algunas situaciones de ejemplo que ilustran tal concepto y finalmente se propone una gran variedad de ejercicios que ayudaran a la comprensión completa de la temática tratada. Ambicionamos finalmente que cuando estos conceptos matemáticos se hayan trabajado y desarrollado, el estudiante se apropie adecuadamente de las matemáticas universitarias. Pbro. Omar Zuluaga Director Académico Director Proyecto pedagogos
Universidad Catolica de Oriente Consejo Directivo: Monseñor Darío Gómez Zuluaga, Monseñor Iván Cadavid Ospina, Presbítero José Omar Zuluaga Arias, Presbítero Edwin Yair Hidalgo Giraldo, Doctor Dagoberto Castro Restrepo, Especialista Elvia Rosa Alzate Botero, Especialista Hilda Elena Jaramillo Zuluaga, Magister Guillermo León Gómez Zuluaga, Magister Luz Marina Rodas Chamorro, Magister Bayron León Osorio Herrera, Magister Jairo Fernando López Yepes,
Administrador Diocesano. Rector Director Académico Director Bienestar Universitario y Pastoral Director de Investigación y Desarrollo Directora de Extensión y Proyección Social Directora Administrativa y Financiera Representante de los Decanos Representante de los Decanos Representante de los Docentes Secretario General.
Agradecimientos A todas las personas que colaboran en este proceso. Desde nuestro compromiso cristiano y educativo, continuamos ofreciendo a nuestros estudiantes una educación de calidad, guiados por la estrella de la evangelización, buscando llegar al puerto de la Verdad a través de la Fe y la Ciencia.
Contenido Unidad 1 Sistemas numéricos ........................................................................................................ 11 Objetivos específicos .......................................................................................................................... 13 Los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales . ................................ 13 Propiedades de los números reales . ................................................................................................ 14 Propiedades de los números negativos . ........................................................................................ 15 Propiedades de las fracciones ............................................................................................................ 16 Definiciones importantes en los números reales . ................................................................ 16 Teorema fundamental de la aritmética ............................................................................................ 17 Orden e intervalos . ............................................................................................................................... 17 Algunas propiedades de orden .......................................................................................................... 18 Recta real . ................................................................................................................................................... 18 Intervalos .................................................................................................................................................... 18 Valor absoluto y distancia ..................................................................................................................... 20 Propiedades de valor absoluto ........................................................................................................... 21 Ejercicios de aplicación A . ................................................................................................................. 21 Ejercicios de aplicación B ................................................................................................................... 26 Ejercicios de aplicación C ................................................................................................................... 30 Ejercicios de aplicación D .................................................................................................................. 31 Unidad 2 Exponentes y radicales .................................................................................................. 35 Objetivos específicos ........................................................................................................................... 37 Potencia n-ésima . .................................................................................................................................. 37 Propiedades de la potenciación ......................................................................................................... 38 Ejercicios de aplicación A.................................................................................................................... 39 Ejercicios de aplicación B.................................................................................................................... 39 Radicales .................................................................................................................................................... 43 MEDIADOR MATEMÁTICAS
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Propiedades de los radicales . .............................................................................................................. 44 Ejercicios de aplicación........................................................................................................................ 44 Extracción de factores fuera del radical .......................................................................................... 46 Ejercicios de aplicación . .................................................................................................................... 46 Introducción de factores dentro del radical .................................................................................. 47 Ejercicios de aplicación . .................................................................................................................... 47 Reducción de radicales al mínimo común índice . ...................................................................... 47 Ejercicios de aplicacion . .................................................................................................................... 48 Radicales semejantes . ........................................................................................................................... 49 Suma y resta de radicales ....................................................................................................................... 49 Multiplicación de radicales .................................................................................................................... 51 División de radicales ................................................................................................................................ 54 Racionalización ........................................................................................................................................ 56 Cantidades conjugadas ........................................................................................................................ 58 Ejercicios de aplicación . .................................................................................................................... 59 Ecuaciones con radicales . .................................................................................................................... 61 Ejercicios de aplicacion . .................................................................................................................... 62
10
Unidad 3 Fundamentos ..................................................................................................................... Objetivos específicos .......................................................................................................................... Expresiones algebraicas . .................................................................................................................. Suma y resta de polinomios ................................................................................................................ Productos notables ................................................................................................................................ Factorización . ......................................................................................................................................... Fórmulas de factorización . .................................................................................................................. Ejemplos ilustrativos . ......................................................................................................................... Ejercicios de aplicación A . ................................................................................................................ Ejercicios de aplicación B .................................................................................................................. Función cuadrática o trinomio de segundo grado ..................................................................... Tipos de solución de la función cuadrática ................................................................................... Ejercicios de aplicación A . ................................................................................................................ Ejercicios de aplicación B ..................................................................................................................
63 65 65 65 66 67 68 70 77 78 79 79 80 81
Unidad 4 Funciones y sus gráficos . .............................................................................................. Objetivos específicos .......................................................................................................................... Producto cartesiano ............................................................................................................................ Plano cartesiano ................................................................................................................................... Ejercicios de aplicación....................................................................................................................... Definición de función . ........................................................................................................................ Operaciones con funciones . ............................................................................................................... Composición de funciones .................................................................................................................. Ejercicios de aplicación . ....................................................................................................................
87 89 89 90 91 93 94 96 99
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Unidad 1 Sistemas numéricos
Objetivos específicos .............................................. 13 Los números naturales, enteros, ........................... 13 racionales, irracionales, reales Definiciones importantes en los . ........................... 16 números reales Orden e intervalos . ................................................. 17
MEDIADOR MATEMÁTICAS
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Objetivos específicos Finalizando esta unidad, el estudiante estará en condición de: 1) Identificar y conocer los conjuntos de números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. 2) Operar de manera adecuada los números reales. 3) Manejar las operaciones elementales con fracciones. 4) Conocer las definiciones de números primos, par e impar para el manejo apropiado de la aritmética elemental. 5) Interpretar la recta real, los intervalos y las relaciones de orden que allí se dan. 6) Apropiar el concepto de distancia y valor absoluto en la recta real.
Los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales •• Los números naturales son: 1, 2, 3, 4, … Representamos por ℕ al conjunto de todos los números naturales, es decir, ℕ = {1,2,3,4,…}.
•• Los números enteros están formados por los números naturales junto con los números negativos y el 0. Denotamos mediante ℤ al conjunto de los números enteros: ℤ ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
Algunas veces, se acostumbra escribir ℤ+ = ℕ.
•• El conjunto de los números racionales se obtiene al formar cocientes de números enteros.
Este conjunto lo denotamos mediante ℚ. Luego, r ∈ ℚ si y solo si r = con p, q ∈ ℤ, q ≠ 0.
Números como
3 5
,
-8 3
, 0,
p q
,
1 100 son ejemplos de números racionales.
Observación ¡Recordar que no es posible dividir por cero, por tanto, expresiones como están definidas!
MEDIADOR MATEMÁTICAS
3 0
ó
0 0
no
13
•• Existen números que no pueden expresarse en la forma pq ,con p, q ∈ ℤ, q ≠ 0. Estos números se denominan irracionales, denotados por ℚ* . Algunos números que pertenecen al conjunto de los números irracionales son: 3, 11, 7, e, π.
•• El conjunto de los números reales se representa por R y consta de la unión de los racionales y los irracionales, es decir, ℝ = ℚ ∪ ℚ* .
Todos los números reales tienen una representación decimal. Si el número es racional, entonces su decimal correspondiente es periódico. Por ejemplo 12 = 0.5000…= 0.5 0, 1 = 0.3333… = 0. 3, 157 = 0.3171717… = 0.317, 9 = 1.285714285714… =1. 285714. 495 3 7 La barra significa que la sucesión de cifras se repite indefinidamente. Si el número es irracional, la representación de decimales no es periódica, por ejemplo = 1.414213562373095…, e = 2.7182818284590452354… En la práctica, se acostumbra aproximar un número irracional por medio de uno racional, por ejemplo 2 ≈ 1.4142, e ≈ 2.71828 Ejercicio: ¿Cómo pasar un decimal periódico a su representación como fraccionario? Propiedades de los números reales En los número reales distinguimos cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. Dichas operaciones poseen las siguientes propiedades: Propiedades para la suma y el producto Propiedad
Suma
Multiplicación
Ejemplo suma
Ejemplo multiplicación
Conmutativa
a+b=b+a
ab = ba
2+8=8+2
5·4=4·5
Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
(1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
(7 · 4) · 2 = 7 · (4 · 2)
a(b + c) = ab + ac
5(8 + 6) = 5 · 8 + 5 · 6 _
Distributiva (b + c)a = ab + ac
_ (8 + 6)5 = 5 · 8 + 5 · 6
Ejemplo 1: Usar la propiedad distributiva para justificar que (a+b) (a+b)=aa+2ab+bb. Solución: (a+b)(a+b)=(a+b)a+(a+b)b=aa+ab+ab+bb=aa+2ab+bb.
14
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Observación •• El número 0 (cero) es especial para la suma; se le llama elemento idéntico o elemento neutro puesto que a + 0 = a para cualquier número real a. •• Todo número real a tiene su negativo, -a, que cumple a + (-a) = 0. •• La sustracción o resta es la operación inversa a la adición o suma. Para restar un número de otro, simplemente sumamos al primero el negativo del otro, así: a - b = a + (-b). Propiedades de los números negativos Propiedad 1 2 3 4 5 6
Fórmula (-1)a = -a -(-a) = a (-a)b = a (-b) = -ab (-a) (-b) = ab - (a + b) = -a - b -(a - b) = b - a
Ejemplo (-1) · 3 = -3 -(-4) = 4 (-6) · 8 = 6 · (-8) = -(6 · 8) (-5) (-4) = 5 · 4 -(12 + 15) = -12 - 15 -(1 - 7) = 7 - 1
La propiedad 6 nos dice que a - b es el negativo de b - a. La propiedad 5 suele usarse con tres o más términos, por ejemplo: -(a+b+c)=-a-b-c. Ejemplo 2: a) -(-x + y) = -(-x)-y = x - y. b) -(x - y + z) = -x - (-y)-z = -x + y - z. Observación •• El número 1 es especial para la multiplicación. Así como 0 en la suma, a este se le llama idéntico o neutro para la multiplicación ya que a · 1 = a. •• Todo número real diferente de cero, tiene un inverso multiplicativo,
1 a
, que satisface
a � a1 � = 1. •• La división es la operación inversa a la multiplicación; para dividir un número por otro, multiplicamos el primero por el inverso multiplicativo del segundo. Si b ≠ 0 , entonces a ÷ b = a · b1 .
•• Se acostumbra escribir ba en lugar de a · b1 . La expresión ba se denomina fracción de a dividido b. Además, identificamos: ba ; donde a es el numerador y b es el denominador. MEDIADOR MATEMÁTICAS
15
A continuación enunciaremos las propiedades de las fracciones, es decir, veamos cómo se operan las fracciones y un ejemplo de cada una de ellas. Propiedades de las fracciones a b
Ejemplo
a) b)
a b
ac 2 3 6 · dc = bd 5 · 7 = 35 7 4 7 ÷ dc = ba · dc 2 ÷ 3 = 2 ·
c)
a c
+
b c
= a+b c
d)
a b
+
c d
=
e)
ac bc
=
a b
8·9 3·9
=
8 3
f)
a b
=
c d
→ ad = bc
2 3
=
6 9
ad+bc bd
3 4
= 12 2
3 2
+
9 2
= 3+9 2 =
1 3
+
5 2
= 1·2+5·3 = 3·2
21 8
17 6
→2·9=3·6
En la mayoría de los casos, en lugar de usar (la propiedad d) para sumar fraccionarios, se usa el método del Mínimo Común Múltiplo (mcm), esto es, se escriben las fracciones de manera que tengan el menor denominador común posible, como se ilustra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 3: Evalúe:
3 + 7 . 64 48
Solución: Al factorizar cada denominador se tiene que 64 = 26 y 48 = 24 · 3. Luego, para encontrar el mcm efectuamos el producto de los factores que hay en esta factorización usando sólo la potencia más alta de cada factor, es decir, el mcm es 26 · 3 = 192. De donde 3 7 64 + 48
3·3 7·4 9 28 = 64·3 + 48·4 = 192 + 192 =
37 192 .
Cabe observar que el mcm casi siempre es menor que el producto de los denominadores.
Definiciones importantes en los números reales •• La igualdad a = 2k, donde k ∈ ℤ, significa que es un número par. Por ejemplo, 6 es de la forma 2k con k = 3, 0 es de la forma 2k con k = 0, -8 es de la forma 2k con k = -4. 16
MEDIADOR MATEMÁTICAS
•• La igualdad a = 2k + 1, donde k ∈ ℤ, significa que es un número impar. Por ejemplo, 3 es de la forma 2k +1 con k = 1, -7 es de la forma 2k + 1 con k = -4.
•• Un entero positivo d se llama Máximo Común Divisor (MCD) de los enteros a y b, si d es el mayor de los divisores comunes de a y b, donde a ≠ 0 o b ≠ 0.
Ejemplo 4: a) El máximo común divisor de 24 y 30 es 6. b) El máximo común divisor de 7 y 18 es 1. c) El máximo común divisor de 0 y 12 es 12. •• Dos enteros son primos relativos si y solo si el máximo común divisor de a y b es 1. Por ejemplo, 7 y 18 son primos relativos. •• Un número racional ba está en forma reducida si y solo si a y b son primos 7 relativos. Por ejemplo, 18 está en forma reducida. En cambio, 16 12 no está en forma reducida. Todo número racional puede representarse en forma 9 reducida. Por ejemplo, 18 8 = 4
•• Un entero positivo p ≠ 1 es un número primo si sus únicos divisores positivos son 1 y el mismo p. Por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 523 son números primos. En cambio, 6, 8, 9, 20 no son primos. Todo entero mayor que 1, que no sea primo, se denomina número compuesto. Teorema fundamental de la aritmética Todo número mayor que 1 puede descomponerse como un producto de factores primos, repetidos o no, y estos primos son únicos, salvo cambio de lugar de los factores en el producto. Ejemplo 5: 2924 = 22 X 17 X 3. Orden e intervalos Los números reales están ´´ordenados´´. Decimos que a es menor que b y escribimos a < b, si b − a es un número positivo. De manera equivalente, decimos que b es mayor que a y escribimos b > a. El símbolo a ≤ b(o b ≥ a) quiere decir que a < b o a = b y se lee ´´ a es menor que o igual a b´´. Por ejemplo: 3 < 5 pues 5−3 es positivo, 4 ≤ 4 pues 4 = 4 pero 4 ≮ 4. MEDIADOR MATEMÁTICAS
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Algunas propiedades de orden 1. Si a ∈ ℝ, entonces a2 = a · a ≥ 0 y a2 = 0 solo si a = 0. 2. Como 1≠ 0, entonces 1 = 12 > 0, entonces 1 > 0. 3. Para a, b, c ∈ℝ, se tiene que: • Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c • a = b o a < b o b < a. • a ≤ b si y solo si a + c ≤ b + c. • Si a ≤ b y c > 0, entonces ac ≤ bc. • Si a ≤ b y c < 0, entonces ac ≥ bc. Por ejemplo, 3 < 8 y 3(−3) > 8(−3) pues − 9 > − 24 Recta real Usando lo anterior, podemos identificar los números reales con los puntos sobre una línea recta, para lo cual, geométricamente, a < b significa que a está a la izquierda de b. Los números positivos están a la derecha de un punto escogido previamente como el 0 y los negativos a la izquierda, así .
Las flechas indican que los números continúan en ambas direcciones hasta el ´´infinito´´. Intervalos En ciertos conjuntos de números reales, llamados intervalos, se presenta con mucha frecuencia el cálculo y corresponden geométricamente a segmentos de recta. Si a < b, entonces el intervalo abierto desde a hasta b consta de todos los números entre a y b y se denota como (a, b). Así, c ∈ (a,b) si a < c y c < b. Se acostumbra unir esto como a < c < b. Es de observar que a ∉ (a, b) y b ∉ (a,b). Se denomina intervalo cerrado desde a hasta b a un intervalo que incluye los extremos y se denota [a,b]. Usando la notación de conjuntos, escribimos: (a,b) = {x ∈ℝ / a < x < b},
18
[a,b] = {x ∈ℝ / a ≤ x ≤ b}
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Los intervalos pueden incluir un solo punto extremo o se podrían prolongar hasta el infinito en una dirección o en ambas direcciones. En la siguiente tabla se resumen todos los tipos de intervalos.
Ejemplo 6: Considerar los siguientes intervalos: a) [-3,8] b) (5, 12] c) (−∞, 2). Representarlos en forma de conjunto y geométricamente. Solución: a) [-3,8] = { x / −3 ≤ x ≤ 8}. Geométricamente:
b)
(5, 12] = { x / 5 < x ≤ 12}. Geométricamente:
MEDIADOR MATEMÁTICAS
19
c)
(−∞,2) = {x / x < 2}. Geométricamente:
Como los intervalos son conjuntos, podemos hablar de la unión, la intersección y demás operaciones entre conjuntos cuando tenemos intervalos. Por ejemplo: [5,9] ∪ (3,6) = (x / 5 ≤ x ≤ 9) ∪ {x / 3 < x < 6} = {x / 3 < x ≤ 9}. Geométricamente:
Observemos también que [5,9] ∩ (3,6) = {x / 5 ≤ x < 6}. En la gráfica anterior también podemos verificar esto último geométricamente. Valor absoluto y distancia El valor absoluto de un número a denotado por |a|, es la distancia desde a hasta 0 sobre la recta real. Geométricamente, supongamos que a y b son positivos entonces:
La distancia es siempre posible positiva o cero de modo que, para cualquier número real a, tenemos |a| ≥ 0. Con lo cual:
|a| = �
a si a ≥ 0 −a si a ≤ 0
Si a es negativo, −a entonces es positivo. Ejemplo 7: a) b) 20
|8| = 8 |−7| = −(−7) = 7 MEDIADOR MATEMÁTICAS
c) d) e)
|0| = 0 |3 − e| = 3 − e (ya que e < 3 ⇒ 3 − e > 0) |2 − π| = −(2 − π) = π − 2 (ya que 2 < π ⇒ π − 2 > 0).
Propiedades del valor absoluto
Ahora, nos podemos preguntar, dados dos números reales a y b, ¿cuál es la distancia entre ellos? Observemos, por ejemplo, la siguiente gráfica:
Vemos que la distancia entre − 2 y 3 es 5. Este valor se obtiene de |3 − (− 2)| = 5, o bien, |- 2 − 3| = 5. Con esto, vamos a decir que la distancia entre a y b es: d(a, b) = |b − a| = |a − b|
Observemos que d(0, a) = |a|. Ejercicios de aplicación A 1. Observa los siguientes dibujos, responde y anota la fracción: Hay partes pintadas de un total de : la fracción es
MEDIADOR MATEMÁTICAS
21
Hay partes pintadas de un total de : la fracción es _____
Hay partes pintadas de un total de : la fracción es
Hay partes pintadas de un total de : la fracción es
Hay partes pintadas de un total de : la fracción es
2). Cuenta las partes que están pintadas (numerador) y luego completa: El dibujo representa la fracción
___ 10
22
MEDIADOR MATEMÁTICAS
El dibujo representa la fracción
___ 3
El dibujo representa la fracción
___ 8
3. Cuenta el total de partes de cada figura (denominador) y luego completa: El dibujo representa la fracción 5
El dibujo representa la fracción 7
El dibujo representa la fracción 3
Elige la letra de la respuesta correcta. Para las preguntas 1 y 2 usa el siguiente dibujo:
1.
¿Cuántas partes forman el entero? A.C.-
2.
1 parte 4 partes
B.D.-
3 partes 5 partes
¿Cuántas partes están pintadas? A.1 parte B.-
3 partes
MEDIADOR MATEMÁTICAS
23
C.-
4 partes
D.-
5 partes
B.D.-
7 partes 9 partes
B.D.-
6 partes no está aquí
Para las preguntas 3 y 4 usa el dibujo:
3.
¿Cuántas partes forman el entero? A.C.-
4.
4 partes 8 partes
¿Cuántas partes están pintadas? A.C.-
5 partes 3 partes
Para las preguntas 5 y 6 encuentra la parte que está pintada: 5.
A.C.-
un cuarto tres cuartos
B.D.-
dos cuartos cuatro cuartos
A.C.-
cuatro octavos seis octavos
B.D.-
cinco octavos siete octavos
6.
Para las preguntas 7 y 8, encuentra la fracción que está pintada:
24
MEDIADOR MATEMÁTICAS
7.
A.- C.-
1/6 5/6
B.- D.-
2/6 no está aquí
A.- C.-
1/10 8/10
B.- D.-
7/10 9/10
8.
Para las preguntas 9 y 10, encuentra la fracción en números: 9.
6 de 7 A.- C.-
10.
1/7 6/7
B.- D.-
1/6 7/6
B.- D.-
1/2 no está aquí
Dos tercios A.- C.-
1/3 3/2
11. Un rectángulo se subdivide en 4 rectángulos interiores como lo indica el dibujo; el área de tres de ellos está indicada. ¿Cuál es el área del cuarto rectángulo? ¿Cuál es el perímetro del rectángulo inicial? a cm2 b cm2 MEDIADOR MATEMÁTICAS
c cm2 25
12. ¿Para qué valor de n, la expresión
2n ____ 5n − 2
es –2?
13. Demuestra, sin hacer la división numérica entre el numerador y el denominador, que _____________ = 123 ___ es correcta. la igualdad 123.123.123.123 457.457.457.457
14. Demuestra que
a + b _____ _____ − a −b b b
15. Calcula el valor de
457
= 2; b ≠ 0. ¿Por qué b debe ser distinto de cero?
1 − _____ 1 _____ n−1 n+1
para los valores permitidos de n, ¿cuáles son estos?
16. Considerar las fracciones ba y ac . ¿Qué condiciones cumplen b y c para que Propone algún ejemplo numérico. 17. Si ba y dc son dos fracciones en que que se ubiquen entre ambas. 18. Si en la fracción
a b
a b
<
c d
a b
<
a c
, determina a lo menos dos fracciones
, b se duplica, ¿qué cambio se produce en el valor de la fracción?
19. ¿Para qué valores enteros positivos de n, la fracción nn +− 93 representa un número entero positivo? 20. ¿Qué valor tomará n para que la fracción nn +− 93 tome el valor 3? 21. Si a y b son enteros y a < b, ordena de menor a mayor las fracciones 22. Resuelve la ecuación xx +− 51 =
a b
;
b a
a b
;
;
b a
.
a b
23. ¿Para qué valores de m, la ecuación m(mx – 1) = 2(2x – 3) tiene solución? 24. Comprueba que la solución de la ecuación fraccionaria
2x + 2 x − 1 1 3 − 4 = 1es 5
.
25. Inventa tres ecuaciones fraccionarias que tengan como solución 2, -5, y a-b, respectivamente. Ejercicios de aplicación B
1. Operar:
3 1 + = 4 2
26
5 3 − = 3 4
MEDIADOR MATEMÁTICAS
3 1 + = 4 2
5 3 − = 3 4
3 1 + = 5 2
3 1 − = 5 3
2. Operadors: 3 2 6 − + = 5 3 7
4 3 2 + − = 5 7 4
1 2 6 + − = 8 5 7
2 4 5 3. Operar:
− + = 6 8 9 2 5 6 − + = 9 9 9
−[3 · 4 − 2 − 3(2 · 3 − 6)] =
4. Hallar el valor de la x: 5. Hallar los
2 6 3 − + = 7 7 7
3 4 2 − + = 5 5 5
3 2 6 − − = 8 8 8
2 x = 8 16
2 de 675 5
MEDIADOR MATEMÁTICAS
27
6. Escribe tres fracciones equivalentes a
4 5
7. ¿Por qué decimos que una fracción es un operador compuesto? 8. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de 458 y 286 9. Operar: 3 5 +2− = 4 3
(
3 1 + 4 2
) : 5 −1 = 3
3 1 2 ⋅ + = 5 2 3
7 2 3 2 ÷ ⋅ ÷ = 3 5 4 3
3 1 2 3 5 − 1 + 2 ⋅ 3 ÷ 4 − 1 =
10. Ordena estos quebrados de mayor a menor:
3 4
6 2
−1 2
5 3
−3 5
3 4
1 2
11. ¿Qué se hace para dividir fraccionarios? 12. ¿Qué se hace para multiplicar fraccionarios?
28
MEDIADOR MATEMÁTICAS
13. Un quebrado se puede convertir en decimal exacto cuando ... 14. Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas:
1 = 2 2 = 5
7 = 4
15. Convierte estos enteros en fraccionarios de forma que su denominador sea 5: 4=
–3 =
7=
16. Escribe una fracción equivalente a –56.
3 7
–5 =
8=
pero de forma que su denominador sea
17. Explica la diferencia entre un número decimal periódico puro y otro periódico mixto y pon un ejemplo de cada uno.
18. Escribe el opuesto y el inverso de − 3 5
Opuesto:
Inverso:
19. Hallar las fracciones generatrices: 3,5 = 0,222 = 3,1222 =
0,75 =
5,666 = 0,23111=
4,17 =
3,125 = 7,231231 = 5,123444 =
20. Para dividir un fraccionario por un número tengo dos procedimientos, que son: 21. Escribe 10 números naturales: 22. Escribe 10 números enteros: 23. Escribe 10 números racionales: 24. ¿Cuáles son las propiedades de la suma de fracciones?:
MEDIADOR MATEMÁTICAS
29
25. ¿Cuáles son las propiedades del producto de fracciones? 26. El opuesto es aquel que ... 27. El inverso es aquel que..... 28. Si dos fracciones son equivalentes, el ........... de .......... es .......... al .......... de .......... 29. En una fracción, el numerador es ....... 30. En una fracción, el denominador es ....... 31. ¿Qué es un número racional? 32. Los números decimales pueden ser.... 33. ¿Cómo se suman fracciones que tienen iguales los denominadores? 34. ¿Cómo se suman fracciones que tienen iguales los numeradores? 35. ¿Cómo se multiplican fracciones? 36. ¿Cómo se dividen fracciones? 37. ¿Cómo se reducen fracciones a común denominador? 38. ¿Te consideras preparado/a para pasar al tema siguiente? Ejercicios de aplicación C 3 1 + = 8 8
;
2.
3 1 − = 8 8
;
3.
10 5 + = 12 12
;
8 5 + = 12 12
4.
10 5 − = 12 12
;
8 5 − = 12 12
1.
30
5 2 + = 8 8
5 1 + = 8 8
;
5 2 − = 8 8
;
5 1 − = 8 8
;
;
4 3 + = 8 8
;
;
4 3 − = 8 8
6 3 + = 12 12 6 3 − = 12 12
;
;
9 5 + = 12 12 9 5 − = 12 12
MEDIADOR MATEMÁTICAS
5.
3 1 + = 8 4
6.
4 3 + = 18 8
7.
5 1 − = 8 4
8.
8 5 + = 20 12
9.
10 5 − = 4 12
10.
9 5 − = 2 12
11.
2 3 7 + + = 20 20 20
12.
6 3 1 + + = 12 4 2
13.
4 5 1 + + = 8 16 2
5 2 + = 12 8
;
3 1 − = 8 16
;
4 3 − = 20 8
;
;
;
10 5 + = 12 6
;
9 5 + = 12 2
;
8 5 − = 12 20 5 0 + = 8 8
5 2 − = 12 8
;
;
6 3 + = 12 18
;
5 1 + = 8 6
;
6 3 − = 12 18
;
;
4 1 − = 7 7
6 1 5 + + = 14 14 14
;
3 2 4 + − = 10 10 10
Ejercicios de aplicación D 1.
Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda. a) Todo número IRRACIONAL se puede expresar como decimal periódico. b) La longitud de la circunferencia ( L= 2 π r) es un número irracional.
MEDIADOR MATEMÁTICAS
31
32
2.
Si representamos en una recta el conjunto ℚ de los números racionales quedan infinitos puntos sin ocupar por un número. ¿Quién crees que ocupará esos puntos? Elige la respuesta correcta. a) Los números naturales. b) Los números enteros. c) Los números irracionales. d) Quedarán vacíos.
3.
Rodea mediante un círculo aquellas expresiones que sean ciertas. a) A todo punto de la recta real le corresponde siempre un número real. b) El valor absoluto de 4 es –4. c) |–19| = 19 ; |19 |= 19
4.
Pon V o F (verdadero o falso) en cada una de las siguientes cuestiones: a) 0 está en el intervalo (0, 4). b) 3/2 está en el intervalo [-1,3). c) 1 está en el intervalo [1,2]. d) En el intervalo (3,1 ; 3,2).
5.
Expresa las siguientes semirrectas mediante un intervalo. a) x ≥ 0 b) x < 2 c) x > -1 d) x ≥ 14
6.
Considera el intervalo [-2,2]. a) Represéntalo sobre la recta real. b) ¿Está π dentro de él? (Recuerda π = 3,14159...). c) ¿Está 0 dentro de él? d) Podrías expresar gráficamente o mediante intervalo una semirrecta que contenga al intervalo que estamos considerando.
7.
Sabrías decir: a) Un número racional que esté dentro de (3/5 ; 4/6). b) Un número racional que esté dentro de [3/5 ; 4/6). c) Un intervalo cerrado que contenga al número ½. d) Un intervalo semiabierto por la izquierda que contenga a -1. e) Un intervalo semiabierto por la derecha que contenga a 0. f) Una semirrecta que tenga por extremo a 3. g) Una semirrecta que contenga a 0. h) Un número irracional contenido en (0, 4). i) Un número irracional contenido en [1,2].
MEDIADOR MATEMÁTICAS
8.
Halla las siguientes respuestas: a) |5 – 2| = b) |3 – 6| = c) |–4| = d) |2| = e) |1– 7| = f) |1 – (1/2)| = g) |(–7) . 2| = h) |5 . (–1)| =
9.
Di si son ciertas o no mediante V o F las siguientes expresiones: a) |–150| = +150 b) |4 – 12 | = –8 c) |(3 . 4) – 20| = –8 d) |3 . (–4)| = 12 e) |1+ (–3)| = 2 f) |–1 – 2 | = –3 g) |1 – 2| = +1 h) |1 + 2| = 3
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33
Unidad 2 Exponentes y radicales
Objetivos específicos .............................................. 37 Potencia n-ésima .................................................... 37 Radicales ................................................................ 43
MEDIADOR MATEMÁTICAS
35
Objetivos específicos Finalizando esta unidad, el estudiante estará en condición de: 1) Identificar y manejar las operaciones de los exponentes. 2) Efectuar operaciones aritméticas con el concepto potencia n-esima de números reales. 3) Comprender el concepto raíz n-esima de un número real. 4) Realizar operaciones algebraicas utilizando las propiedades de los radicales. Potencia n -ésima Un producto de números idénticos se expresa mediante la notación exponencial. Como ilustración vemos que 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36. Definición Si a ∈ ℚ y n ∈ℕ , entonces la potencia n -ésima de a es an = a · a · … · a. n - factores
El número a se denomina base y n es el exponente. Ejemplo 1:
24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
Ejemplo 2:
33 = 3 · 3 · 3 = 27.
Ejemplo 3:
� 13 � =
3
1 3
·
1 3
·
1 3
1 = 27 .
Ejemplo 4:
−74 = −(7 · 7 · 7 ·) = −2401
Ejemplo 5:
(−7)4 = (−7) · (−7) · (−7) · (−7) = 2401
Note que Si a ≠ 0 es un número real y n ∈ℕ, entonces definimos a0 = 1 y a−n =
1 an .
0
Ejemplo 6: � 13 � = 1 Ejemplo 7: 40 = 1
Ejemplo 8: 4−2 =
1 42
1 = 16.
1 Ejemplo 9: −5−2 = −51 2 = −25.
MEDIADOR MATEMÁTICAS
37
Ejemplo 10: x−2 =
1 x2.
Propiedades de la potenciación Veamos a continuación las propiedades de los exponentes y un ejemplo de cada propiedad. Propiedades
Ejemplos
a) am · an · = am + n m b) aan = am−n
33 · 32 = 33+2 = 35 = 243 27 25
= 27−5 = 22 = 4
c)
(am)n = amn
(22)3 = 22·3 = 26 = 64
d)
(a · b)n = an · bn
(2 . 3)3 · = 23 · 33 = 8 · 27 = 216
e)
�b� =
f) g)
a
n
−n
�ba� = a−m b−n
4
an bn
−2
bn an
�23� =
= abm
3−3 4−2
n
Ejemplo 11: Ejemplo 12:
2
�3� = =
42 33
42 32 32 22
=
16 9
=
9 4
= 16 27
23 · 22 =23+2 = 25 = 32 47 45
= 47−5 = 42 = 16
Ejemplo 13:
(32)3 = 32·3 = 36 = 729
Ejemplo 14: Ejemplo 15:
�2� =
Ejemplo 16:
(2 · x)3 = 23 · x3 = 8x3
3
3
33 23
=
27 8
x−2 · x7 = x−2+7 = x5
Observación Con la ayuda de las leyes de los exponentes podemos simplificar expresiones algebraicas, de la siguiente manera: Ejemplo 17: (4a7 b−3)2 (2a−3 b9)3 = (16a14 b−6) (8a−9 b27) = 128a5b21.
38
MEDIADOR MATEMÁTICAS
De esta manera simplificamos la expresión de la izquierda (4a7 b−3)2(2a−3 b9)3 en la expresión de la derecha 128a5 b2. Ejercicios de aplicación A 1)
En cada uno de los siguientes ejercicios utilice leyes de exponentes para transformar la expresión dada en una fracción simple con exponentes positivos. a)
(2a b) (− 3ab) −2
−3
a8 R: 72b 5
−2
a− 4
−2 −2 b) a − b a −1 + b −1
c) 2)
5( x − 6)
−1
R:
+ 5 x ( x − 6)
−2
b−a ab
R:
10x − 30
( x − 6) 2
En cada caso, haga todo el procedimiento para eliminar los exponentes negativos y simplifique hasta su mínima expresión. a)
b −2 + a −2 a +b
b)
b −a a −2 − b −2
c)
b −2 − a −2 b −1 − a −1
d)
a +b b −2 − a −2
Ejercicios de aplicación B Calcula: 1)
0 3
R: 0
2)
1 5
R: 1
3) 8 0
R: 1
4) 5 1
R: 5
MEDIADOR MATEMÁTICAS
39
R: 1 3 R: 1 16
5) 3 – 1 6) 4 – 2 7) 2 3 · 2 2
R: 32
8) 3 · 3 2
R: 27
9) 6 3 ÷ 6 2
R: 6
10) 7 2 ÷ 7 3
R:
11) (2 3) 2
R: 64
12) (3 2)2
R: 81
13) 42 · 33
R: 432
14) 2 3 · 3 3
R: 216
15) 12 3 ÷ 4 3
R: 27
16) 3 2 ÷ 15 2
R: 1 25
−3 17) � 1 � 16 −2 18) � 3 � 5
R: 8 R:
19) 0,25 −2
−2
40
R: 28
25 ) (− 1) − 1 + 1 − 3 − (− 1) − 2
R: − 3 R: − 1
25 9
R: 25
23 ) − 1 2 + (− 1) 3 − (− 1) 4
26 ) (− 1) − 3 (− 1) − 5 − 1 − 1
R:
22 ) (− 2) 2 + (− 2) 3 − (− 2 ) 5
24) (− 1) 3 1 5 (− 1) 2
25 9
R: 16
20) 0,75 −3 21) 0,2
1 7
R: − 1 R: 0
MEDIADOR MATEMÁTICAS
27) 5 + 3 2
R: 14
28) 4 5 2
R: 100
29) 2 3 5 – 1
R: 39
30) 2 3 (5 – 1)
R: 32
31) 6 4 2 – 3
R: 93
32) 6 (4 2 – 3)
R: 78
33) 7 + 3 2 8
R: 79
34) (7 + 3 2) 8
R: 128
35) (2 9 − 2 3) − 3 2
R: 56
36) (3 4 − 3 2) − 2 3
R: 9
37) (9 10 4) 2
R: 8,110 9
38) (2 10 – 1) 3
R: 8 · 10 – 3
39) 0,08 2
R: 6,4 · 10 – 3
40) 0,002 5
R: 3,2 · 10 – 14
41) 6.000 2
R: 3,6 · 10 7
42) 700 3
R: 3,43 · 10 8
43) 5.000 3
R: 1,25 · 10 11
44) 200 5
R: 3,2 · 10 11
45) 80.000 2
R: 6,4 · 10 9
46) 0,00003 4
R: 8,1 · 10 − 19
47) 0,004 3
R: 6,4 · 10 − 8
0,033 48) 0,0062
3 R: 4
MEDIADOR MATEMÁTICAS
41
49) 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56) 57) 58) 59)
42
2006 40.0003 40 − 3 800 − 2 3 3 � 2 � ·� 5 � 3 5 2 2 � 4 � ÷� 9 � 7 7 3 3 −3 � 2 � ·� 5 � 5 5 2 � 3 � ÷� 9 � 64 4 7 3 � 7 � ÷ � 49 � 5 125 −3 3 2 � 2 − 2� · � 4 � 27 3 2 3 −2 2 � 4− 1 � · � 25 � 5 64 −5 2 −2 2 � 32 � ÷� 93 � 4 2 4 3 −1 − 3 � 5− 3 � ÷ � 25 � 7 49
R: 1
R: 10
R: 8 27 R: 16 81 R: 8 27 R: 12 R: 175 R: 1 32
R: 1 5
R: 18
R: 25
60) a 3 ∙ a 2
R: a 5
61) b 4 ∙ b − 3
R: b
62) c − 1 ∙ c
R: 1
63) d 6 ÷ d 2
R: d 4
64) e 5 ÷ e − 2
R: e 7
65) 2 2 a 3 b ∙ 2 3 a − 2 b − 1
R: 32 a
66) 3 5 p − 3 q 2 ∙ 3 − 3 p q
R:
67) 5 4 r 3 s − 2 ÷ 5 2 r 2 s − 3
R: 25 r s
68) 4 − 1 j k − 2 ÷ 4 − 4 j 2 k − 1
R:
69) (a 5 − a 3) ÷ (a 3 + a 2)
R: a (a − 1)
70) (c 5 + c 2) · (c 3 + c 2)
R: c 2 − c + 1
9q3 p2 64 jk
MEDIADOR MATEMÁTICAS
71) (d 6 − d 3) ÷ (d 4 − d 3)
R: d 2 + d + 1
72) (x 6 − x 2) ÷ (x 3 + x 2 + x + 1)
R: x 2 (x − 1)
73) (y 7 − y 3) ÷ (y 3 − y 2 + y − 1)
R: y 3 (y + 1)
74)
t2 (3t −1 + t 0 + 2t −2) t (t + 4 + 4t −1)
R:
−1 + 6d 2 + d 3) 75) d (9d 2 d (1 − 9 d −2 )
t+t t+2
R: d + 3 d−3
Radicales Definición de raíz: se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número o expresión algebraica que elevada a una potencia “n”, reproduce la expresión dada. Elementos de la raíz:
Radical: se llama radical a toda raíz indicada de una cantidad. Observación La cantidad sub-radical o radicando (también es usual llamarlo discriminante) debe ser mayor o igual a cero si el índice es par. Si la raíz es exacta tenemos una cantidad racional. Ejemplos:
25;
4a2;
3
27 ;
3
64m3 ; etc
Si la raíz es inexacta tenemos una cantidad irracional o radical propiamente dicha. Ejemplos:
2 ;
3a ; 3 15 ; 3 3a2 ; etc
En general, tenemos lo siguiente: Para un número real a y un entero positivo n,
n
an = �
|a| si n es par a si n es impar
MEDIADOR MATEMÁTICAS
43
Por ejemplo: ••
2
( −5 )
= − 5 = 5, ya que ( −5 )
••
5
••
( −2 ) 5 = −2
3
••
6 =6
4
( − 3)
2
=
25 = 5
3
4
= − 3 = 3 , ya que
4
( − 3)
4
=
4
81 = 3
Propiedades de los radicales Sean m, n números enteros positivos y a, b > 0. Entonces: 1.
n
a
a
1
n
2. ( n a ) n 3. 4.
n
n
6.
am
a n
ab n
5.
n
an
m
n
an b
a
n
a
b
n
b
m n
mn
a
a
a
Ejercicios de aplicación 1)
Verificar: 4
25 x y
a) b) 3
c)
44
27 y
3 4
18
2x
=
2
2
2
= 5x y 3
y
6
=
12
2x
2
MEDIADOR MATEMÁTICAS
d)
5
e) f) 2)
x
23
4
x =x
15
x
11
27 − 81 + 12 = 5 3 − 9 2 x − 3 y 2 x + 3 y = 4x − 9 y
Verificar que: a) b) c) d)
−b
−1
( a + b)
−1
a
−1
x
2 n−3
x
3n+1
.
2
b −a
=
x
n+5
x
n− 2
2
ab =x
3−n
x0 − y0 =0 x0 + y0 x
e)
1
3
+y
3x
33
1
3
81 x
x 5
2
3
−x
= 3x
1
3
36
y
1
3
+y
2
3
=x+y
5
3 x
Observación Para no cometer errores debemos tener en cuenta lo siguiente:
El grado de un radical lo indica el índice de la raíz.
MEDIADOR MATEMÁTICAS
45
Extracción de factores fuera del radical Pueden extraerse factores fuera del radical, cuando los factores de la cantidad sub-radical contienen un exponente igual o mayor que el índice del radical. Ejercicios de aplicación Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:
46
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Introducción de factores dentro del radical Esta operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical, se elevan los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, esta cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si la hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical. Ejercicios de aplicación Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él:
Reducción de radicales al mínimo común índice Esta operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común, luego elevamos cada cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical. MEDIADOR MATEMÁTICAS
47
Ejemplos: 2, 3 3, 6 5 1. Los índices son 2, 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices. De 2, 3 y 6 el m.c.m. es 6. 2. Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical. 6
2
6
3
6
6
(0)
3
(0)
2
(0)
1
Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices. 6
23
6
32
6
51
3. Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical. 6
8
6
9
6
5
Ejercicios de aplicación Reducir al mínimo común índice los siguientes radicales:
48
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Radicales semejantes Son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes. Ejemplos: 1 2
. 3 ; 5 . 3 ; 3 . 3 ; etc. 8
Suma y resta de radicales Esta operación se efectúa primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumar algebraicamente sus coeficientes acompañados del radical común, y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera. Observación Se recuerda que solamente se pueden sumar o restar radicales si dichos radicales son únicamente semejantes. Ejercicios de aplicación Sumar los siguientes radicales indicados:
MEDIADOR MATEMÁTICAS
49
50
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Multiplicación de radicales a) Para multiplicar radicales del mismo índice, se multiplican previamente los signos, luego los coeficientes entre sí y finalmente, bajo un mismo radical común, las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical, si los hubiera. Ejercicios de aplicación Multiplicar los siguientes radicales indicados:
MEDIADOR MATEMÁTICAS
51
b) Para multiplicar radicales compuestos del mismo índice, se multiplican como el producto de 1 polinomio por 1 monomio o el producto de 2 polinomios. Ejercicios de aplicación Multiplicar los siguientes radicales indicados:
52
MEDIADOR MATEMÁTICAS
c) Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice, primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice. Ejercicios de aplicación Multiplicar los siguientes radicales indicados:
MEDIADOR MATEMÁTICAS
53
División de radicales a) Para dividir radicales del mismo índice, se dividen previamente los signos, luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera. Ejercicios de aplicación Dividir los siguientes radicales indicados:
54
MEDIADOR MATEMÁTICAS
b) Para dividir radicales de distinto índice, primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice. Ejercicios de aplicación Dividir los siguientes radicales indicados:
MEDIADOR MATEMÁTICAS
55
Racionalización Es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador. Primer caso: cuando el radical del denominador es de 2º grado, es decir que posee como radical una raíz cuadrada. Ejemplos: 1.
2. 56
MEDIADOR MATEMÁTICAS
3.
4.
Observación Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador, en este caso por sí mismo. Segundo caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2º grado, es decir radicales de 3º, 4º, 5º y más grados. Ejemplos: 1.
2.
3.
4.
MEDIADOR MATEMÁTICAS
57
Observación Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical, pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical. Tercer caso: cuando el radical del denominador es un binomio. Ejemplos: 1.
2.
3.
4.
Observación Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador. Cantidades conjugadas Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciándose solamente en el signo del 2º término del 2º binomio.
58
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Ejercicios de aplicación Racionalizar el denominador (primer caso) de los siguientes cocientes:
Racionalizar el denominador (segundo caso) de los siguientes cocientes:
MEDIADOR MATEMÁTICAS
59
Racionalizar el denominador (tercer caso) de los siguientes cocientes:
60
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Ecuaciones con radicales Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el valor de “x” se encuentra bajo el signo radical; por eso recibe el nombre de ecuación irracional. Ejemplo: 3 ∙ x + 1 = 10
Comprobación
3 ∙ x = 10 − 1
3 ∙ x + 1 = 10
3∙ x=9
3 ∙ 9 + 1 = 10
MEDIADOR MATEMÁTICAS
61
2
3 ∙ 3 + 1 = 10
9x = 81 x = 81 9 x=9
9 + 1 = 1 − 10
�3· x� = (9)2
10 = 10
Ejercicios de aplicación Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
62
x−8=2 5 = 3x + 1 4x + 5 = 5 3 + 2x = 8 2∙ x−3=−2 11 = 7 + 10 − 4x
7) 8 ∙ x − 1 = 3 8) 7 x = 14 9) 2x − 7 + 9 = 10 10) 2 ∙ 5x − 3 = 7 11) 5x + 1 = 6 12) 3 ∙ x + 1 = 10
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Unidad 3 Fundamentos
Objetivos específicos .............................................. 65 Expresiones algebraicas . ........................................ 65 Factorización . ......................................................... 67
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63
Objetivos específicos Al concluir esta unidad, el estudiante estará en la capacidad de: 1) Identificar y manipular adecuadamente las expresiones algebraicas. 2) Realizar operaciones aritméticas de suma y resta de polinomios. 3) Operar y resolver las expresiones algebraicas que involucran productos notables. 4) Factorizar las expresiones algebraicas, utilizando los casos de factorización mas útiles. 5) Solucionar la ecuación cuadrática.
Expresiones algebraicas Una variable es una letra que representa a cualquier número de un conjunto de números dado. Tomando algunas variables como x, y, z y combinándolas usando suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíces, obtenemos expresiones algebraicas. Por ejemplo: 3x2 + 4x − 5,
x+z y2 + x
,
y − 4z z+y
Son expresiones algebraicas. Una de las expresiones algebraicas más comunes es un polinomio. Definición: un polinomio en la variable x es una expresión de la forma anxn +an−1xn−1 +… +a1x + a0. Donde a0, a1, …, an son números reales, llamados coeficientes del polinomio, y n es un entero no negativo. Si an ≠ 0, se dice que el polinomio es de grado n. Ejemplo 1: 7x5 − 3x4 + 2x2 + x +1 es un polinomio en la variable x de grado 5. Observar que x3 no aparece; esto es porque su coeficiente es 0. Suma y resta de polinomios Al sumar o restar polinomios, se suman o restan los términos semejantes, esto es, los términos en la misma variable y con el mismo exponente.
MEDIADOR MATEMÁTICAS
65
Ejemplo 2: a) Evalúe (3x2 + x + 1) + (2x2 − 3x − 5) b) Evalúe (3x2 + x + 1) − (2x2 − 3x − 5) Solución: a) (3x2 + x + 1) + (2x2 − 3x − 5) = (3x2 + 2x2) + (x − 3x) + (1 − 5) = 5x2 − 2x − 4 b) (3x2 + x + 1) − (2x2 − 3x − 5) = 3x2 + x + 1 − 2x2 + 3x + 5 = x2 + 4x + 6 Observación Para multiplicar polinomios u otras expresiones algebraicas, debemos usar repetidamente la propiedad distributiva de los números reales y las leyes de los exponentes. Ejemplo 3: a) (3x − 4) (x2 + x) = 3x ∙ x2 + 3x ∙ x − 4x2 − 4x = 3x2 + 3x3 + 3x2 − 4x2 − 4x = 3x3 − x2 − 4x b) (√t + 2) (5 − 2 √t) = 5√t − 2(√t)2 + 10 − 4√t = √t − 2t + 10
Hay ciertos productos tan frecuentes que es necesario memorizarlos. Productos notables Sean A y B números reales o expresiones algebraicas. Entonces: 1. 2. 3. 4. 5.
(A + B) (A − B) = A2 − B2 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A − B)2 = A2 − 2AB + B2 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A − B)3 = A3 − 3A2B + 3AB2 − B3
Todos pueden ser verificados haciendo el producto. Ejemplo 4: a) b) c) 66
1 2 �c + c � 1 1 �√a − � �√a + ) b b (1 − 2y)3
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Solución: a)
b)
c)
Haciendo A = c y B = 1 , en la fórmula 2, nos queda: c 2 1 1 1 2 c 1 1 �c + c � = c2 + 2(c) � c � + � c � = c2 + 2 c + c2 = c2 + 2 + c2 Haciendo A = √a y B = 1 , en la fórmula 1 obtenemos: b 2 �√a − 1 � �√a + 1 � = (√a)2 − � 1 � = a − 12 b b b b
Haciendo A = 1 y B = 2y, en la fórmula 5, obtenemos: (1 − 2y)3 = 13 − 3(1)2 (2y) + 3 (1) (2y)2 − (2y)3 = 1 − 6y + 12y2 − 8y3
Factorización En los ejemplos anteriores vimos cómo expandir una expresión usando la propiedad distributiva. En muchas ocasiones, es necesario realizar el procedimiento inverso para llevar una expresión a términos más simples. Este procedimiento es llamado factorización. El caso más simple es cuando todos los términos tienen un factor común. Ejemplo 5: Factorizar las expresiones a)
−2x3 + 16x
b)
−7x4y2 + 14xy3 + 21xy4
c)
(z + 2)2 − 5(z + 2)
Solución: a)
Observar que 16 = 2 ∙ 8 entonces, tanto 2 como x están en ambos factores. Así, − 2x3 + 16x = 2x(−x2 + 8) = − 2x(x2 − 8).
b)
Aquí son factores comunes 7, x y y2. Luego, − 7x4 y2 + 14xy3 + 21xy4 = − 7xy2 (x3 − 2y − 3y2).
c)
(z +2)2 − 5(z + 2) = (z + 2)[(z + 2) − 5] = (z + 2)(z − 3).
Para factorizar un trinomio (suma o resta de tres términos) de la forma x2 + bx + c observamos que (x + r) (x + s) = x2 + (r + s)x + rs. Luego, se necesitan encontrar r y s tales que b = r + s y c = rs.
MEDIADOR MATEMÁTICAS
67
Ejemplo 6: Factorizar x2 − 6x + 5. Solución: Observar que 5 = 5 ∙ 1 ó 5 = − 5(−1) y −6 = −5 + (−1). Luego, r = −5 y s = −1. De donde, x2 − 6x + 5 = (x − 5)(x − 1). Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c con a ≠ 1, buscamos factores de la forma px + r y qx + s tales que ax2 + bx + c = (px + r) (qx + s) = pqx2 + 2(ps + qr) x + rs. Luego necesitamos p, q, r, s tales que pq = a, ps + qr = b y rs = c. Si todos estos números son enteros, no hay demasiadas posibilidades. Ejemplo 7: Factorizar 6y2 + 11y − 21. Solución: Podemos escribir a = 6 como 6 ∙ 1 ó 3 ∙ 2 ó − 6(−1)y c = −21 como 3(−7) ó −3 ∙ 7. Observar que,11= 6 ∙ 3 + 1(−7). Con esto, 6y2 + 1 y −21 = (6y −7) (y + 3). Podemos verificar la igualdad haciendo el producto, esto es (6y − 7)(y + 3) = 6y2 +1 8y - 7y - 21 = 6y2 + 11y -21. Ejemplo 8: Factorizar (3x + 2)2 + 8(3x + 2) + 12. Observar (∙)2 + 8 (∙) + 12, tiene la forma del ejemplo 6. Entonces (∙)2 + 8 (∙) + 12 = ((∙) + 6) ((∙) + 2) = (3x + 2)2 + 8 (3x + 2) + 12 = (3x + 2 + 6) (3x + 2 + 2) = (3x + 8 (3x + 4) Fórmulas de factorización 1. 2. 3. 4. 5.
A2 − B2 = (A + B) (A − B) A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 − 2AB + B2 = (A − B)2 A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2) A3 − B3 = ( A − B)(A2 + AB − B2)
(Diferencia de cuadrados) (Cuadrado perfecto) (Cuadrado perfecto) (Suma de cubos) (Diferencia de cubos)
Ejemplo 9: Observemos cómo se usan las fórmulas anteriores: 68
MEDIADOR MATEMÁTICAS
a) (x + 3)2 − 4 = [(x + 3) − 2] [(x + 3) + 2] = (x + 1) (x + 5) b) 27x3 + y3 = (3x + y) �(3x)2 − 3xy + y2 � = (3x + y) (9x2 − 3xy + y2)
c) (25)3 − 125t6 = (25 − 5t2) �(25)2 + 25(5t2) + 25t4 � = (25 − 5t2) (625 + 125t2 + 25t4)
d) x5/2− x1/2 = x1/2[x2 − 1] = x1/2 (x + 1) (x − 1) Ejemplo 10: Factorizar la expresión x−3⁄2 + 2x−1⁄2 + x1⁄2. Solución:
Así como en la parte d) del ejemplo anterior, tomamos como factor la potencia x con el exponente más pequeño, con lo cual x −3⁄2 + 2x−1⁄2 + x1⁄2 = x−3⁄2(1 + 2x + x2 ) = x−3⁄2 (1 + x)2 Un trinomio es un cuadrado perfecto si es de la forma A2 + 2AB + B2 o bien, A2 − 2AB + B2. Así, para saber si una expresión dada es un cuadrado perfecto, se debe tener en cuenta que si llamamos a los extremos del trinomio A2 y B2 entonces, el término de la mitad es 2AB o −2AB. Por ejemplo, consideramos 25s2 − 10st + t2, aquí A2 = 25s2, B2 = t2 y − 2(5s) (t) = −10st. Luego, 25s2 − 10st + t2 = (5s − t)2. Los polinomios con al menos 4 términos se pueden factorizar por agrupación, como se ilustra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 11: Factorizar la expresión 3x3 − x2 + 6x − 2 Solución: Agrupamos los términos de a dos de tal manera que 3x3 − x2 + 6x − 2 = (3x3 − x2 ) + (6x − 2) = x2 (3x − 1) + 2(3x − 1) = (3x − 1)(x2 + 2) Ejercicio ¿Cómo se factorizan las siguientes expresiones? MEDIADOR MATEMÁTICAS
69
a) b)
An - 1, donde n ∈ ℕ x4 + ax2 + b, donde a, b ∈ℤ.
Ejemplos ilustrativos Fracciones algebraicas 1. Compruebe en cada caso si las fracciones dadas son equivalentes: a)
x+ 2 1 y 3x + 6 3
b)
x2 + x x + 1 y x x2
c)
3x 3 y x2 - x x - 2
d)
3x - 3 1 y 2 9 x - 9 3x - 3
Solución: a) Sí; b) Sí; c) No; d) No 2. Calcule: a)
1 3 1 + 3x 2x x
b)
3 2 1 - 2 + 2 x2 3x x
c)
x 3 x x-1
1 1 x - 1 x+ 1
d)
Solución: 2 2 2 54xb) +2-+3-3x + 534x +5-34x 2 2 3-3xxc) x2 +- 33x2- 3 d) x ++4x x -+-33x a) 5 2 2 2 2 2 2 2 xx (x - 1) +(x1 -x1)+1 x +1x 2 +1 6x 6x6 x6x 6 6x x (xx-x1) x 6x x(x 6- 1) 3. Saque factor común y luego simplifique:
a)
5x + 5 3x + 3
b)
x 2 - 3x 2x - 6
2+ x c) x 2 x -1
d)
12x 4 x 2 + 2x
Solución: a) 5/3; b) x/2; c)
x 6 ; d) x-1 2x + 1
4. Recuerde los productos notables, descomponga en factores y simplifique:
a)
x2 - 1 x+ 1
b)
e)
70
x2 - 16 x 2 + 8x + 16
x2 - 1 (x - 1 )2 f)
c) x (x + 2) x 2 + 4x + 4
x2 - 4 2x - 4 g) x
d) 2
- 6x + 8 x2 - 9
x 2 + 4x + 4 x2 - 4 2-9 h) x4 x - 81
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Solución:
a) x-1; b)
1 x+ 1 x+ 2 x+ 2 x-4 x x-3 ; c) ; d) ; e) ; f) 1; g) ; h) 2 x +9 x-1 2 x-2 x+ 4 x+ 2 x+ 3
5. Descomponga en factores el dividendo y el divisor y después simplifique: a)
x2 + 3x x2 + x - 6
b)
x 2 + 2x - 3 x3 - x 2
c)
x3 + 4 x2 + 3x x2 + x - 6
b)
x+ 2 x2 - 4 . x (x + 2 )2
d)
x2 + 2x - 3 x 2 + 4x - 5
Solución: a)
x+ 3 x2 + x x x+ 3 ; b) 2 ; c) ; d) ; x-2 x-2 x+ 5 x
6. Opere y simplifique:
1 4 1 a) - x ÷ + 2 x x 2 1 1 + . x c) ÷ x x+ 1 x + 1 x
x+ 2 x+ 1 3 + e) . 2 x2 2 x x 2 x
2 1 2 d) x . ÷ 2 x x+ 2
Solución:
a) 4-2x; b)
x-2 x2 + x + 2 ; c) 3x+2; d) x2 +2x; e)- 2 x x (x - 2)
7. Reduzca a una sola fracción y resuelva: a) c)
2 2 x2 + - 2 = 0 x+ 1 x-1 x -1
x+ 3 2 2 = 0 x - 2x + 1 x - 1 x + 1 2
x+ 2 x+ 1 x+ 5 + =0 x+ 1 x+ 2 x+ 2
Solución: a) x=2, x=0; b) x=3, x= -1/3; c) x= 0
MEDIADOR MATEMÁTICAS
71
8. Haga las operaciones indicadas y simplifique: x+ y x- y a) x+ y x- y
x y . y x
1 1 x+ y + b) xy x y
2xy . x+ y
x 1 x+ 1 c) . x x x - 1 x+ 1 Solución: a) 4; b)
4y 3x + 1 ; c) x+ y x
9. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
1+ x x 3x + 5 x 2 = 2 x - 3 x+ 2 x - x-6
b)
x+ 1 x 3 + = 2 x -1 x-1 x+ 1
c)
x2 x+ 2 = - 2 x 2 + 2x + 1 x+ 1
d)
x+ 1 x 7x + 2 + = 2 x-2 x+ 2 x -4
Solución: a) x=1, x=-2/5; b) x=0, x=-1/2; c) x=-4; d) x=3, x=0 10. Opere: a)
x-1 1 1 - 2 + x - 3 x - 4x + 3 x-1
b)
1 3 x+ 1 + - 2 x+ 2 x-1 x + x- 2
c)
x 3 x-1 - 2 x - x - 2 x + 1 x - 3x + 2
d)
x 3 x+ 2 - 2 x - 1 x+ 1 x + x - 2
2
2
Solución:
a)
3x + 4 - 3x + 5 2 - 3x 1 ; b) 2 ; c) 2 ; d) 2 x - x-2 x -1 x + x-2 x-1
11. Simplifique: 9 + 6x + x 2 3 x 2 - x3 · 3 x 2 + x3 9 - x2 a) 2 x 2 - 8x + 8 2x - 4 ÷ x-2 3/4 + 2/8 72 c)
x2 + 2 x + 1 4 x2 - 4 x · x +1 x2 − 1 2x 2 + 14 x + 20 x −5 ÷
2 + 6x + 5 3 - 2x x-2 b) x · + x x 2 - 4x x 2 - 5x + 4 x 2 - 4
2 x - 8x - 10 x -1 MEDIADOR · MATEMÁTICAS 2
2 d) x + 2x + 1 2x + 2 ÷
2
x-1 x+ 1
· 3 x 2 + x3 9 - x2 a) 2 x 2 - 8x + 8 2x - 4 ÷ x-2 3/4 + 2/8
2 + 6x + 5 3 - 2x x-2 b) x · + x x 2 - 4x x 2 - 5x + 4 x 2 - 4
x2 + 2 x + 1 4 x2 - 4 x · 2 −1 x +1 x c) 2x 2 + 14 x + 20 x −5 ÷ x3 − 50 + 2 x 2 - 25 x 2 x3 - 20 x 2 + 50x
2 x 2 - 8x - 10 x2 - 1 · 2 x-1 d) x + 2x + 1 2x + 2 x+ 1 ÷ x 2 + x - 2 x3 - 4 x 2 - 7x + 10
x3 - 6 x2 + 11x - 6 x 2 + 2x - 3 x2 + x - 2 . ÷ x2 - 3x + 2 x 2 + 4x + 4 x2 - 9 e) 2 x 2 - 2x 3 2 + 12x + 12 _ x 3 x 2 + 3x - 6 2x
f)
x + x - 6x x - 9 x - 5x + 6 _ g) ÷ x 3 + 6 x 2 + 9x x2 + x x2 + x
x y h) x2 - y 2 xy - y 2
a2 - 1 - a2 + 1 2+ 1 a2 - 1 ÷ a2 + 1 _ a2 - 2a + 1 i) a a - 1 a + 1 a (a - 1 )2 a+ 1 a - 1
a+ b a-b j) a+ b 1a-b
3
2
2
2
x+ 3 x+ 3 x-3 3 x+ 3 _ x x+ 3 3- x - 1 x-3 3x
1+
1+
1+
Solución: a) 1; b) x
4
x (x - 3) + 2 x3 + 5 x2 + 10x + 18 ; c) 1; d) 1; e) 1; f) ; g) 1; 3 (x - 1) (x - 4) (x + 2)
h) 1; i)
a a2 ; j) 2 2 b ( a +1 )
12. Simplifique: a) a
2
+ 6a + 9 a2 + 9 ÷ a2 - 9 a 4 - 81 c)
b)
16 - x4 ÷ (32 - 8 x 2 ) = 4x + 8
36 3x x+y x+y e) ÷ = 6 1 x−y x2 − y2 2y MATEMÁTICAS y -1 3- y MEDIADOR g)
y-1
-
3y
-
y
2 a2 - 4ab+ 2 b2 a-b ÷ 3x - 6 4x - 8 d)
16 - x 4 ÷ (32 + 8 x 2 ) = 4x + 8
2-4 x-2 f) x ÷ = a2 - b2 a + b
=
h)
y y y - 2 = y - 2 y - 3y + 2 y - 1
73
e)
g)
x+y x+y : = 6 1 x−y x2 − y2 2y y -1 3- y = y-1 3y y
2-4 x-2 f) x : = 2- 2 a+ b a b
h)
y y y - 2 = y - 2 y - 3y + 2 y - 1
Solución: a) (a+3)2; b) 8(a-b)/3; c)
f)
2 2- x 4 + x2 ; d) ; e) ; x (x + y) 32 32 (x + 2)
2 (4 y 2 - 5y + 4) x +2 ; g) ; h) 0 3y (y - 1) a-b
13. Opere y simplifique cuando sea posible: a)
2 3+ x 1 - x = 3 - x - x - 3 9 - x2
x 2 − 3x − 10 x2 − 4 · 3 2 c) x − 2 x − 4 x + 8 x − 5 = x + 2 6x − 2x 2 · 3 − x 2x 2 − 4x e)
2 x2 + 5x + 2 = 2 x3 + x2 - 8x - 4
b)
1 2y + 1 y + 2 + = y+1 y -y y -1
d)
x4 - 3 x3 = x4 - 6 x3 + 9 x 2
f)
2x + 6 x+ 5 x-1 + = 2x - 6 x 2 - 3x x 2 - 4x + 3
2
Sol:ución: a)
3 - x - 12 5x + 12 y 3 + y 2 + 2y + 1 x 1 ; b) ; c) 1; d) ; e) ; f) x y(y - 1)(y + 1) (x + 3) (3 - x) x-3 x-2 2x(x - 3)(x - 1)
14. Divida y compruebe: a) z5-2z4-3z3+6z 2+2z-4: z2-2 b) x5-3x 2-1: x 2-1 c) y6-3y4+3y 3+2: y 3-y+1
Solución: a) z3-2z2 – z + 2; b) C: x3 + x – 3, R: x – 4; c) C: y3 – 2y + 2, R: – 2y2 + 2y
74
MEDIADOR MATEMÁTICAS
15. Halle a para que x3 – ax + 125 sea divisible entre x + 5. Solución: a=0 16. Halle el valor que toma el polinomio p(x) = x2 – 6x + 1 para x =2. Solución: p(2) = –7 17. Opere y simplifique: a)
x-1 x 1 = x + 2x + 1 x + 1 x - 1 2
2+ x 1 1 c) x + = x+ 1 x - 1 x2 - 1
e)
2+ 1 1 1 x - x + = x + 1 x2 - 1 x - 1 x+ 1
g)
x+ 2 2 3x + = 2- x x-1 x x2 - 1
b)
x 1 x-1 + + = x-1 x -x x2 - 1
d)
x x x + = x+ 1 x - 1 x2 - 1
f)
x-1 3(x - 1) 2x + = x x+ 1 x2 + x
2
Solución: a)
2+ x - 2 3x + 1 - x3 - 3x ; b) ; c) x ( x2 + 2x + 1) (x - 1) x2 - 1 x2 - 1
d) -
x - x-3 - 2+ x+ 2 ; e) 2 ; f) x x2 - 1 x -1 x2 + x
2 2+ x+ 2 ; g) x x ( x2 - 1)
18. Opere y simplifique si es posible: x x + x+ 1 = a) x - 1 x x x+ 1 x - 1
x 2 - 2x + 1 - x 2 - 1 x+ 1 = b) x - 1 x 1 + x-1 x2 - 1
x 2 + 3x + 2 x 2 - x + 1 2x - 2 x 2 _ 2 x 1 (x + 1 )2 (x 1 ) MATEMÁTICAS = c) MEDIADOR 2 + 2x + 1 2 - 2x + 1 x + x 2-1 (x + 1 )2 x
x 2 - 1 + x 2 + 2x + 1 x+ 1 = d) x + 1 1 1 x 2 - 3x + 2 x 2 + x - 6
75
x-1 x+ 1 = x 1 + x-1 x2 - 1
+ x+ 1 = a) x - 1 x x x+ 1 x - 1
b)
2x - 2 x 2 _ x 2 + 3x + 2 x 2 - x + 1 2 x 1 (x + 1 )2 (x 1 ) = c) 2 + 2x + 1 2 - 2x + 1 x + x 2-1 (x + 1 )2 x
x 2 - 1 + x 2 + 2x + 1 x+ 1 = d) x + 1 1 1 x 2 - 3x + 2 x 2 + x - 6
e)
3x + 1 x 2 - 2x + 1 x 2 + 2x - 3 + = x-1 2x 3x
x 2 + 2x + 1 x2 - x + 1 − x −1 ( x - 1) 2 = f) x +1 x 2 + 2x +1 + x +1 x2 - 1
g)
x-1 x-1 x-3 + = x-1 x+ 3 x+ 1
h)
x-2 2x 3 + = 2-1 x + 1 (x - 1 )2 x
Solución: a) -x; b) 0; c) x
3
x (x + 3) ( x 2 - 3x + 2) - 3 x2 - x - 3 4 2 + 31x + 1 ; d) ; e) x ; 2 x2 + 3 x2 + 3
2 + 4x + 11 2 3 - 3 x 2 - 4x - 1 - 2 + 2x - 2 ; g) x ; h) x f) x (x + 3) (x + 1) ( x 2 - 1) (x - 1) x2
19. Opere y simplifique: x 2 + 3x + 2 x+ 2 a) = (x + 2)(x + 1)
2-1 3x - 3 x-3 b) x + = 2 x+ 2 x+ 3 x + 5x + 6
c)
x-1 x-3 x-3 + = x+ 2 x + 3 x 2 + 5x + 6
d)
x - 1 3x - 3 2x - 2 + = x+ 2 x+ 3 x+ 2
e)
x-2 x-1 x+ 2 + = x+ 1 x+ 3 x+ 1
f)
3 2 2x + = x-1 x + 1 x2 - 1
Solución: a)
3+ 6 2+ x - 6 2 + 6x + 1 3 (x - 1) 1 2 x2 - 6 x ; b) x ; c) ; d) ; e) x ; (x + 3) (x + 2) x+ 2 (x + 3) (x + 1) x 2 + 5x + 6 x 2 + 5x + 6
2 2 + 5x - 5 f) x x2 - 1 76
MEDIADOR MATEMÁTICAS
20. Opere y simplifique: a)
x 3 2 + = 2 x-1 x+ 1 x - 1
b)
3x x + 2 3x - 1 = x - 1 x + 1 x2 - 1
3 2 x + x + 1 x2 - 1 x-1 = c) x+ 5 x-5
x 3 2 + 2 x-1 x+ 1 x -1 = d) 2 x − 25 x 2 − 4x - 5
3 2 x + 2 x-1 e) x + 1 x - 1 = 2 - 6x + 5 x x2 - 1
f)
1 x 1 + + = 2 2 x - 1 (x - 1 ) x -1
Solución: a)
2 x2 2 2 - x+ 3 x-5 x+ 5 x+ 5 ; b) x ; c) ; d) 1; e) ; f) x+ 1 x+ 1 x-5 (x - 1 )2 (x + 1) x2 - 1
Ejercicios de aplicación A Factorización por factor común
(
1. − 35m2 n 3 − 70m3
) )
2 3 Respuesta: - 35m n − 2m Respuesta: - x 3 1 + x 2 − x 4
2. - x 3 + x 5 − x 7 3. - 9a 2 − 12ab + 15a 3 b 2 − 24ab3
( Respuesta: - 3a(3a − 4ab + 5a b − 8b ) Respuesta: - 8 x y (2 xy − 1 − 3x y − 5 y ) Respuesta: - 31a x(3axy − 2 x y − 4) 2
4. − 16 x 3 y 2 − 8 x 2 y − 24 x 4 y 4 − 40 x 2 y 3 5. - 93a 3 x 2 y − 62a 2 x 3 y 2 - 124a 2 x 6. − 3x( x − 2) − 2 y ( − 2 + x ) 7. − 1 − x + 2a(1 − x )
2
2
2
2
Respuesta: - ( x − 2(3x − 2 y ) Respuesta: - (1 − x )(1 + 2a )
8. − 3a 2 b + 6ab − 5a 3b 2 + 8a 2 bx + 4ab 2 m
2
(
3
2
2
)
Respuesta: - ab 3a + 6 − 5a 2 b + 8ax + 4bm
Factorización por diferencia de cuadrados
1. − a 2 b 8 − c 2 2. − 25x 2 y 4 − 121 3. − 49 x 2 y 6 z10 − a12 4. − 4 x 2 n −
1 9
MEDIADOR MATEMÁTICAS
5. − 4 x 2 − ( x + y ) 2
6. − ( a + x ) 2 − ( x + 2) 2
( )( ) Respuesta: - (5xy + 11)(5xy − 11) Respuesta: - (7 xy z + a )(7 xy z − a ) Respuesta: - ab 4 + c ab 4 − c 2
3
2
5
6
3
5
1 1 Respuesta: - 2 x n + 2 x n − 3 3 Respuesta: - (3x + y )( x − y )
Respuesta: - ( a + 2 x + 2)( a − 2)
6
77
( )( ) Respuesta: - (5xy + 11)(5xy − 11) Respuesta: - (7 xy z + a )(7 xy z − a )
1. − a 2 b 8 − c 2
Respuesta: - ab 4 + c ab 4 − c
2. − 25x 2 y 4 − 121
2
3. − 49 x 2 y 6 z10 − a12 4. − 4 x 2 n −
3
1 9
8. − a 2 n b 4 n −
1 25
6
3
5
6
Respuesta: - (3x + y )( x − y )
6. − ( a + x ) 2 − ( x + 2) 2 b12 x 81
5
1 1 Respuesta: - 2 x n + 2 x n − 3 3
5. − 4 x 2 − ( x + y ) 2
7. − 49a10n −
2
Respuesta: - ( a + 2 x + 2)( a − 2) b 6 x 5n b 6 x 7a − Respuesta: - 7a 5n + 9 9 1 1 Respuesta: - a n b 2 n + a n b 2 n − 5 5
Ejercicios de aplicación B Factorización por cuadrado perfecto 1) 49m6 − 70am3 n 2 + 25a 2 n 4
5) 121 + 198x 6 + 81x 12
2) a 2 + 24am2 x 2 + 144m4 x 4
6) 1 + 14 x 2 y + 49 x 4 y 2
3)
1 25x 4 x 2 + − 25 36 3
7) a 2 + 2 a ( a + b ) + ( a + b ) 2
4) − 4m( n − m) + 4m2 + ( n − m) 2
8) a 4 − a 2 b 2 +
b2 4
Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c 1) a 2 − 13a + 40
5) a 2 + 7a − 60
2) n 2 + 28n − 29
6) a 2 14a + 33
3) n 2 − 6n − 40
7) x 2 − 5 x − 36
4) m2 + 13m − 30
8) a 2 − 2a − 35
Factorización por completación de cuadrados
1) x 2 + 54x + 648 15 7 x+ 4 8 2 3) x + 6 x − 216 2) x 2 +
4) a 2 − 66a + 1080
5) m2 − 8m − 1008 6) n 2 + 43m + 432 7) m2 − 41m + 400 8) x 2 + 50 x + 336
Factorización de cocientes de potencia iguales
78
1) m8 − n8
4) x 6 − y 6
2) 66a 6 − 7296
5) x 7 − 128
3) 16 4 − 814
6) a 5 + b 5 c 5 MEDIADOR MATEMÁTICAS
Función cuadrática o trinomio de segundo grado (ax2 + bx + c). Para la factorización de este caso se procede de la siguiente manera: ax2 + bx + c = 0 −b ± b2 − 4 ac
x1,2 =
2a
ax2 + bx + c = a(x − x1) (x − x2)
Se iguala toda la expresión a cero (0). Se calculan los dos valores de x, utilizando la ecuación cuadrática. Se aplica la fórmula general.
Factorizar el polinomio 2x2 + 5x − 3 2x2 + 5x − 3 = 0 a = 2 b =5 c = −3 − 5 ± 52 − 4. 2.( − 3) x1,2 = 2. 2 x1,2
− 5 ± 25 + 24 = 2. 2
Igualamos a cero y determinamos los valores de a, b y c. Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática Resolviendo lo que está dentro de la raíz: 52 = 25 –4 . 2 . (–3) = -8 . (–3) = + 24
x1,2 =
− 5 ± 49 2. 2
52 – 4 . 2 . (–3) = 25 + 24 = 49
x1,2 =
−5 ±7 4
Extraemos la cantidad sub-radical por ser un cuadrado perfecto.
x1 =
−5 +7 2 1 = = 4 4 2
x2 =
− 5 − 7 − 12 = = −3 4 4
1 2 x 2 + 5x − 3 = 2 x − .( x + 3) 2
Obtenemos dos valores de x, uno sumando 7 y el otro restándolo. Así obtenemos: x1 =
1 2
x2 = −3
Reemplazamos los valores en la fórmula general. Recuerda que x-(-3) = x + 3
Tipos de solución de la función cuadrática Las ecuaciones cuadráticas pueden presentar distintos tipos de solución: MEDIADOR MATEMÁTICAS
79
•• Números reales y distintos •• Números reales e iguales (también llamadas raíces dobles) •• Números complejos conjugados. Para determinar el tipo de solución, también llamado naturaleza de las raíces, se analiza el radicando de la fórmula de resolución. Dicho radicando recibe el nombre de discriminante, y se denota con la letra griega delta (∆). Entonces:
∆ = b 2 − 4ac
El discriminante permite determinar la naturaleza de las raíces sin resolver la ecuación: •• Si ∆ > 0 las raíces son números reales y distintos. •• Si ∆=0 las raíces son números reales e iguales. •• Si ∆ 0). Calcule: a) La cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó. b) ¿En qué momento la población de iguanas se extingue? Respuestas: a) 11 años b) Se extingue aproximadamente a los 26 años y 3 meses. Ejercicios de aplicación B Función cuadrática Ecuación cuadrática 1.
Para y = –2(x + 2)(x – 1), determine: a) las intersecciones con el eje X b) las coordenadas del vértice MEDIADOR MATEMÁTICAS
81
c) la intersección con el eje Y d) bosqueje la curva 2.
Para y = ½( x – 2)2 – 4, determine: a) el eje de simetría b) las coordenadas del vértice c) la intersección con el eje Y d) bosqueje la curva
3.
Para y = 2x2 + 6x – 3: a) convierta la función a la forma a(x – h)2 + k b) determine las coordenadas del vértice c) encuentre la intersección con el eje Y d) bosqueje la curva.
4.
Escriba la ecuación de cada una de las curvas siguientes:
a)
b) 4
y
10
3
8
2
6
1 –4
–3
–2
y
–1 –1
1
2
3
4
4 x
2
–3
–2
2
4
6
x
–2
–4
c)
d)
6
y
4
y
3
4
2 1
2
1
–2
–1
1 –2
5.
82
2
3
4 x
2
3
4
5
6
x
–1 –2
Solamente usando el discriminante determine la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones: MEDIADOR MATEMÁTICAS
a) 6x2 + 5x – 4 = 0 c) x2 + x + 6 = 0
6.
Determine en cada caso el valor de m para que la ecuación tenga: a) 1 sola raíz c) mx2 + 2x + 3 = 0
b) 9x2 + 6x + 1 = 0 d) x2 − 4 √2 x + 8 = 0
b) 2 raíces diferentes d) x2 – 5x + m = 0
b) ninguna raíz real.
7.
Encuentre, algebraicamente, los puntos de intersección de las siguientes curvas:
a) y = x2 + 2x – 3; y = x – 1
8.
Encuentre, gráficamente, los puntos de intersección de las siguientes curvas:
a) y = −x2 + 4x – 2; y = 5x – 6
9.
La altura A metros, de una pelota lanzada verticalmente t segundos después del lanzamiento está dada por A(t) = 36t – 2t2.
b) xy = 4; y = x + 3
b) y = x2 – 5x + 2; y = x – 7
a) ¿Cuánto se demora la pelota en alcanzar la máxima altura? b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza la pelota? c) ¿Cuánto se demora la pelota en llegar nuevamente al suelo? 10. Un fabricante de barquillos encuentra que el costo $C de hacer x barquillos por día está dado por C(x) = x2 – 24x + 244. a) ¿Cuántos barquillos debe producir por día para minimizar el costo de producción? b) ¿Cuál es el costo mínimo? c) ¿Cuál es el costo si un día no produce barquillos? 11. La temperatura Tº Celsius en un invernadero, t horas después del anochecer (7 p.m.) está dada por T(t) = ¼ t2 – 5t + 30, (t ≤ 20) a) ¿Cuál es la temperatura del invernadero al anochecer? b) Un cierto tipo de geranios no sobrevive en temperaturas menores a 2ºC, ¿se pueden cultivar estas plantas en el invernadero? Explique. c) ¿A qué hora la temperatura en el invernadero es de 9ºC? 12. Las torres OP y RQ, de 50 m de altura, sujetan un puente colgante que va de P a Q. Hay una distancia de 60 m entre las torres y la altura mínima del puente es de 30 m. El peso del puente hace que éste tenga una forma aproximada de una parábola. Encuentre:
MEDIADOR MATEMÁTICAS
83
a) las coordenadas del vértice de la parábola. b) la ecuación de la parábola. c) ¿cuál es la altura del puente directamente sobre el punto X si XR = 10 m?
P 50 m
50 m
Q
O 60 m
R
X
13. Se usan 600 m de alambre para construir 6 gallineros como muestra la figura. a) encuentre y en función de x. b) encuentre el área de un gallinero en función de x. c) ¿cuál es el área máxima de cada gallinero?
x
/ /
//
/ //
//
//
/
//
//
/ /
// // //
y
/ /
14. Una canaleta rectangular se construye doblando una lámina metálica de 24 cm de ancho como se muestra en la figura.
x cm
x cm
a) Encuentre el área, en función de x, del corte transversal de la canaleta. b) ¿Cuánto debe medir x para que el volumen de agua que pasa por la canaleta sea el mayor posible?
24 cm Respuestas:
84
1.
a) x = 1; x = -2
b) y = 9/2; x = −1/2
2.
a) x = 2
b) (2, −4)
c) y = –2
3.
a) y = 2(x + 3/2)2 – 15/2
b) (−3/2, 15/2)
c) y = –3
4.
a) y = −(x + 1)(x – 3) c) y = −(x-2)2 + 4
b) y = 2(x − 2)2 d) y = –2(x − 2)2 + 3
5.
a) 2 raíces distintas c) ninguna raíz real
b) 1 raíz real d) 1 raíz real
6.
a) m = 1/3; m < 1/3; m > 1/3
b) m = 25/4; m < 25/4; m > 25/4
7.
a) (–2, -3); (1, 0)
b) (–4, -1); (1, 4)
MEDIADOR MATEMÁTICAS
8.
a) (1.56, 1,81); ( –2.56, -18,8)
b) (3, –4)
9.
a) t = 9 s
b) 162 m
c) t = 18 s
b) C = $100
c) C = $244
10. a) x = 12
11. a) 30ºC b) Sí, temperatura mínima es de 5ºC c) 1 a.m., 9 p.m. (6 y 14 horas desde el anochecer) 12. a) (30, 30) 13. a) y =
600 − 8x 9
14. a) A(x) = 24x – 2x2
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b) y = (1/45)(x – 30)2 + 30 b) A(x) =
600x − 8x 2 9
c) 38.9 m (3 cs) c) 1250 m2
b) x = 6 cm
85
Unidad 4 Funciones y sus gráficas
Objetivos específicos .............................................. 89 Producto cartesiano . .............................................. 89 Plano cartesiano ..................................................... 90 Definición de función .............................................. 93
MEDIADOR MATEMÁTICAS
87
Objetivos específicos Al concluir esta unidad, el estudiante estará en capacidad de: 1) Realizar el producto cartesiano de dos conjuntos. 2) Ubicar parejas ordenadas en el plano cartesiano. 3) Comprender el concepto de función y la relación de variables dependiente e independiente. 4) Realizar operaciones con funciones, tales como suma y resta de funciones, producto y división de funciones. 5) Entender el significado de multiplicar un número por una función. 6) Comprender la operación composición de funciones. 7) Realizar ejercicios del cálculo de la imagen de una función compuesta. Producto cartesiano Antes de introducir el concepto de función veremos los conceptos de producto cartesiano y plano cartesiano. Es frecuente encontrar, tanto en matemáticas como en otras ciencias, y aun en la vida real, que algunas cantidades se expresan en términos de otras: El costo de un viaje está relacionado con la distancia a recorrer, el costo de una casa depende de la ubicación, etc. El producto cartesiano de los conjuntos A y B, que denotaremos A x B, es el conjunto de todas las parejas tales que el primer elemento está en A y el segundo elemento en B. Estas parejas las denotamos (a, b), donde, a ∈A y b ∈B. Así, el conjunto A x B = {(a, b)/ a ∈A y b ∈ B}. A los elementos los llamaremos pares ordenados o parejas ordenadas, ya que nos importa el orden en que colocamos las componentes de la pareja o par ordenado. Observación •• (a, b) ≠ (b, a); (Ejemplo: (3,4) ≠ (4,3)) •• A x B ≠ B x A
MEDIADOR MATEMÁTICAS
89
Ejemplo: Si es el conjunto de computadoras: Alpha1 (C1) y Alpha 2 (C2) y el conjunto de softwares: Educativo (E), Financiero (F) y Científico (C), entonces A x B = {(C1, E), (C1, F), (C1, C), (C2, E), (C2, F), (C2, C)}. Cada pareja indica la relación entre la computadora y el software, que puede ser de eficiencia o de costo, entre otras.
Plano cartesiano Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, llamado también plano cartesiano, está formado por dos rectas coordenadas perpendiculares (rectas reales, usualmente una horizontal y la otra vertical), llamadas ejes coordenados, que se interceptan en un punto llamado origen. La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y. Generalmente se escoge la dirección positiva del eje x hacia la derecha y la dirección positiva del eje y hacia arriba. Los ejes con sus direcciones dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.
A cada punto P del plano le corresponde una pareja ordenada o par ordenado de números reales (a, b), donde a es el punto de corte sobre el eje x de la recta perpendicular a este eje, que pasa por el punto (a, b), y b es el punto de corte sobre el eje y de la recta perpendicular a este eje, que pasa por (a, b). Los números a y b se llaman componentes o coordenadas de (a, b) en x y en y respectivamente.
90
MEDIADOR MATEMÁTICAS
Recíprocamente, todo par ordenado (a, b) se representa mediante un punto P que es la intersección de las rectas perpendiculares a los ejes coordenados que pasan, por a en el eje x, y por b en el eje y, respectivamente. Es decir, los elementos de ℝ2 están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano cartesiano, y por ello escribimos P= (a, b). Ejercicios de aplicación 1. En el siguiente sistema cartesiano dibuja el cuadrilátero cuyas coordenadas de sus vértices se indican a continuación.
E =(1, 1), F =(2, 3), G =(3, 4), H =(4, –3).
2. Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano
a) (1, –2)
b) (2, 2)
g) � 1 , − 2 � 4 3
h) (0, 9)
c) � 1 , 4� √3 i) (–1,0)
d) (–4, 2)
e) (–2, –3)
f ) (e, π)
j) (2/3, –1/2)
k) (4/3, –1)
l) (e, –4/5)
3) Dados los siguientes puntos en el plano encontrar sus coordenadas.
MEDIADOR MATEMÁTICAS
91
Función Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor específico de x. Gráficamente mostraremos una correspondencia de este tipo.
Frecuentemente expresamos esta correspondencia por medio de una ecuación. Como ejemplo ilustrativo consideremos la ecuación y = x2 92
MEDIADOR MATEMÁTICAS
La cual define una función con X como el conjunto de todos los números reales, y Y el conjunto de los números no negativos. En la siguiente tabla proporcionaremos algunos de estos valores. x 1
y = x2 1
2
4
3
9
0
0
-1
1
-2
4
-3
9
Definición de función Una función es el conjunto de pares ordenados de números (x, y) en los que no existen dos pares ordenados diferentes con el mismo número x. El conjunto de todos los valores permisibles de x se denomina dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de y recibe el nombre de codominio (o rango) de la función. Ejemplo ilustrativo: Sea ƒ(x) = x2 + 2 Determine: 1) 2)
a) ƒ(3) b) ƒ(3x) c) ƒ(–2) Dominio de ƒ y codominio de ƒ.
d) ƒ(–1)
e) ƒ(4)
Solución: 1) a) b) c) d) e)
ƒ(3) = 32 + 2 = 11 ƒ(3x) = (3x)2 + 2 = 9x2 + 2 ƒ(–2) = (–2)2 + 2 = 6 ƒ(–1) = (–1)2 + 2 = 3 ƒ(4) = 42 + 2 = 18
2)
E n notación de intervalos, el dominio de la función definida por ƒ (x) = x2 + 2 es (–∞, + ∞) y el codominio es [2, + ∞). MEDIADOR MATEMÁTICAS
93
Observación •• Los símbolos x y y denotan variables. Debido a que el valor de y depende de la elección de x, x denota a la variable independiente mientras que y representa a la variable dependiente. •• Si ƒ es la función tal que los elementos de su dominio se representan con x, y los elementos de su codominio se denotan con y, entonces el símbolo ƒ(x) (léase “ƒ de x”) denota el valor particular de y que corresponde al valor de x. •• A los valores de x se les denomina pre-imágenes y a los valores de y se les llama imágenes. Operaciones con funciones 1) Suma de funciones Sean ƒ y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por ƒ + g, a la función definida por (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) Ejemplo ilustrativo: Sean las funciones
ƒ(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x – 4.
Definir la función ƒ + g y calcular las imágenes de los números 2, –3 y 1/5. Solución: La función ƒ+ g se define como (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) =3 x + 1 + 2 x - 4 = 5 x – 3. Ahora calculando las imágenes de los números 2, –3 y 1/5, obtenemos respectivamente (ƒ + g)(2) = 5 · 2 – 3 = 7 (ƒ + g)(–3) = 5(–3) 3 = –18 (ƒ + g)(1/5) = 5 · 1/5 – 3 = –2 Obsérvese que si se calculan las imágenes de ƒ y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. 2) Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real ƒ y g, como la función 94
MEDIADOR MATEMÁTICAS
(ƒ - g)(x) = ƒ(x) - g(x) Para que esto sea posible es necesario que ƒ y g estén definidas en un mismo intervalo. Ejemplo ilustrativo: Sean las funciones
ƒ(x) = 3 x -4, y g(x) = 4 x -2.
Definir la función ƒ – g y calcular las imágenes de los números 2, –1 y 5. Solución: La función ƒ – g se define como (ƒ – g)(x) = ƒ(x) – g(x) =3 x –4 –(4 x –2) = – x –2. Ahora calculando las imágenes de los números 2, –1 y 5, obtenemos respectivamente (ƒ – g)(2) = – 2 –2 = – 4 (ƒ – g)(–1) = –(–1) –2 = –1 (ƒ – g)(5) = –5 – 2 = –7. 3) Producto de funciones Sean ƒ y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de ƒ y g a la función definida por (ƒ∙g)(x) = ƒ(x) ∙ g(x) Ejemplo ilustrativo: Sean las funciones ƒ (x) = x2 y g(x) = x + 1 Hallar (ƒ∙g)(x) y obtener las imágenes de los números 2 y 1. Solución: (ƒ∙g)(x) = ƒ(x) ∙ g(x) = x2 (x + 1) = x3 + x2 Ahora (ƒ∙g)(2) = 23 + 22 = 12 y (ƒ∙g)(1) = 13 + 12 = 2. 4) Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, ƒ y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de ƒ y g a la función definida por (ƒ/g)(x) = ƒ(x)/g(x)
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(La función ƒ/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Ejemplo ilustrativo: Sean las funciones ƒ(x)= x2 y g(x) = x + 1 Hallar (ƒ/g)(x) y obtener las imágenes de los números 3 y 2. Solución: (ƒ/g)(x) = ƒ(x) / g(x) = x2 / (x + 1) = x2 / (x +1) Ahora (ƒ/g)(3) = 32 / (3 + 1) = 9/4 y (ƒ/g)(2) = 22 / (2 + 1) = 4/3. 5) Producto de un número por una función Dado un número real a y una función ƒ, el producto del número por la función es la función definida por (aƒ)(x) = aƒ(x) Ejemplo ilustrativo: Sea ƒ(x) = x ² + x – 2 Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 ∙ ƒ. Solución: •• (3.ƒ)(x) = 3.ƒ(x) = 3.(x ² + x - 2) = 3x ² + 3x – 6 Ahora las imágenes de los números 2, 1 y 0 son respectivamente •• (3.ƒ)(2) = 3.2 ² + 3.2 – 6 = 12 •• (3.ƒ)(1) = 3.1 ² + 3.1 – 6 = 0 •• (3.ƒ)(0) = 3.0 ² + 3.0 – 6 = – 6 6) Composición de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, ƒ y g, se llama composición de las funciones ƒ y g, y se escribe g o ƒ, a la función definida de ℝ en ℝ, por (g o ƒ)(x) = g[ ƒ(x)] . La función (g o ƒ)(x) se lee « ƒ compuesto con g aplicado a x ». ƒ g ℝ→ℝ→ℝ x ↦ ƒ(x) ↦ g[ƒ(x)]
Primero actúa la función ƒ y después actúa la función g, sobre ƒ(x).
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Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos: 1. Se calcula la imagen de x mediante la función ƒ, ƒ(x). 2. Se calcula la imagen mediante la función g, de ƒ(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente. Ejemplo ilustrativo 1 Composición de funciones: Sean las funciones ƒ(x) = x + 3 y g(x) = x ². Calcular g o ƒ y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3. Solución:
(g o ƒ)(x) = g[f(x)] = g[(x + 3)] = (x + 3)² ƒ g ℝ → ℝ → ℝ x ↦ ƒ(x) = x + 3 ↦ g[ƒ(x)] = g(x + 3) = (x + 3)²
La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es: (g o ƒ)(1) = g[ƒ(1)] = g(1 + 3) = g(4) = 4 ² = 16 (g o ƒ)(0) = g[ƒ(0)] = g(0 + 3) = g(3) = 3 ² = 9 (g o ƒ)(-3) = g[ƒ(–3)] = g(–3 + 3) = g(0) = 0 ² = 0 Ejemplo ilustrativo 2 Dadas las funciones ƒ(x) = x ² + 1, y g(x) = 3x – 2, calcular: a) (g o ƒ) (x) b) (f o g) (x) c) (g o ƒ) (1) y (ƒ o g) (–1) d) El original de 49 para la función g o ƒ. Solución: a) La función g o ƒ está definida por: ƒ g ℝ → ℝ → ℝ x ↦ ƒ(x) = x² + 1 ↦ g[ƒ(x)] = g(x² + 1) = 3(x² + 1) - 2 = 3x² + 3 – 2 = 3x² + 1
b) La función ƒ o g está definida por: MEDIADOR MATEMÁTICAS
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g ƒ ℝ → ℝ → ℝ x ↦ g(x) = 3x – 2 ↦ ƒ[g(x)] = (3x – 2)² + 1 = 9x² + 4 – 12x + 1 = 9x² – 12x + 5
Obsérvese que g o ƒ ≠ ƒ o g.
c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores: (g o ƒ)(1) = 91² - 121 + 5 = 9 – 12 + 5 = 2 (g o ƒ)(–1) = 9(–1)² – 12(–1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26 d) El original de 49 para la función g o ƒ será un número x, tal que (g o ƒ)(x) = 49. (g o ƒ) (x) = 3 x² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación: 3x ² + 1 = 49 ; x² = 16 ; x = ± 4 Más ejemplos ilustrativos de operaciones con funciones Ejemplos: 1) Sean las funciones
ƒ(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x – 4.
Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, –3 y 1/5. Solución: La función ƒ + g se define como (ƒ+ g)(x) = ƒ(x) + ƒ(x) = x + 1 + 2 x – 4 = 5 x – 3. (ƒ + g)(2) = 5 · 2 – 3 = 7 (ƒ + g)(–3) = 5(–3) – 3 = –18 (ƒ + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = –2 Obsérvese que si se calculan las imágenes de ƒ y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2, ƒ(2) = 3.2 + 1 = 7 g(2) = 2.2 – 4 = 0
(ƒ + g)(2) = 7 + 0 = 7
2) Dadas las funciones ƒ(x) = x² – 3, y g(x) = x + 3, definir la función (ƒ - g)(x). Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función ƒ – g.
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Solución: (ƒ – g)(x) = ƒ(x) - g(x) = x² – 3 – (x + 3) = x² – 3 – x – 3 = x² – x – 6 (ƒ – g)(1/3) = (1/3)² – 1/3 – 6 = – 56/9 (ƒ – g)(–2) = (–2)² – (–2) – 6 = – 0 (ƒ - g)(0) = (0)² – 0 – 6 = – 6 Calculando las imágenes de los números mediante las funciones ƒ y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado. 3) Dadas las funciones ƒ(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2x + 1, definir la función ƒg. Solución: (ƒg)(x) = ƒ(x) g(x) = (x/2 – 3)(2x + 1) = x² – 11x/2 – 3 4) Dadas las funciones ƒ(x) = – x – 1, y g(x) = 2 x + 3, definir ƒ/g. Calcular las imágenes de los números – 1, 2 y 3/2 mediante ƒ/g. Solución: (ƒ/g)(x) = ƒ(x)/g(x) = (–x – 1)/(2x + 3) La función ƒ/g está definida para todos los números reales, salvo para x = –3/2, donde la función g se anula. (ƒ/g)(–1) = 0/1 = 0 (ƒ/g)(2) = –3/7 (ƒ/g)(3/2) = (–5/2)/6 = –5/12 Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones ƒ y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados. Ejercicios de aplicación 1)
Para ƒ (x) = 3 x2 + 5x + 2; y g (x) = x2 + x, obtener: a) (ƒ + g) (x) = b) (ƒ – g) (x) = c) (ƒ ∙ g) =
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ƒ(x) d) g(x) = e) (ƒ ° g) (x) = 2)
x Para ; ƒ (x) = x - 1 ; y g(x) = 1 + x2, encuentre: a) (ƒ + g) (x) = b) �
g � (x) = ƒ
c) (ƒg)(x) =
d) (ƒ ° g)(x) = 3)
En los siguientes ejercicios se definen las funciones ƒ y g. Determine las funciones resultantes ,
4)
100
,
,
,
a)
f ( x) = x +1
b)
f ( x) = x + 2
g ( x ) = 3x − 6
c)
f ( x) = x − 5
g( x) = x 2 − 1
d)
f ( x) =
e)
f ( x) = x
g( x) = x 2 +1
f )
f ( x) = x + 2
g( x) = 2x 2 − 4x
g)
f ( x) = x + 4
g( x) = x 2 − 4
h)
f ( x) =
x +1 x −1
2x − 6 x −4
g( x) = x − 4
g( x) =
1 x
g( x ) = −5 + 2 x
Para cada una de las funciones del punto anterior encontrar su dominio.
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