Medición de la calidad del agua. Un índice estocástico aplicado al caso del agua piscícola del río Turia (Valencia) E. Beamonte1 J. Bermúdez2 A. Casino1 E. Veres1 1

[email protected], [email protected], [email protected], Departamento de Economía Aplicada, Universitat de València 2 [email protected], Departamento de Estadística e Investigación Operativa, Universitat de València

Resumen Uno de los problemas que se plantean en el estudio de la calidad del agua consiste en la integración del conjunto de parámetros que la denen en un único valor o índice. Recientemente, han aparecido en la literatura algunos intentos de denición de un índice global para la medición de la calidad del agua prepotable. La presente comunicación traslada ese índice al caso del agua de uso piscícola, efectuando una aplicación del mismo a una estación de control característica del río Turia.

Palabras Clave: Agua de uso piscícola, Calidad del agua, Indicador de calidad. AMS: 62F15, 90A19

1.

Introducción El estudio de la calidad del agua, especialmente la de las aguas superciales y la de la destinada al ocio, es un tema de consideración muy reciente en nuestro país, no tanto en otros países de la Unión Europea que lo han abordado hace ya algunos años. En efecto, esa actitud general existente en nuestro país en los años ochenta, en la que los conictos sociales sobre el agua fueron, sobre todo, de carácter distributivo y relacionados con la cantidad, está dando paso a un incremento de la atención al problema de la calidad (existencia de nitratos, vertido de residuos, contaminación varia, salinización de acuíferos, etc.). Es de prever, por tanto, que en los próximos años estos temas se conviertan en centro de un amplio debate y discusión entre los agentes sociales y económicos y entre los movimientos ecologistas preocupados por la conservación medioambiental. Como ejemplo de este interés, pueden consultarse los estudios de aplicación estadísticos de Beamonte et al. (2002a, 2002b y 2004a). El concepto de calidad del agua -cuya especicación resulta necesariamente compleja, por la gran cantidad de elementos que en él intervienen- está íntimamente ligado al uso de la misma, en cuanto que no es lo mismo las exigencias requeridas por el agua destinada al consumo humano -las mayores-, que las obligadas para el agua de riego, en la que la permisibilidad es evidentemente mayor. Por ello, una calidad determinada ha de hacer referencia a un uso también preestablecido, presentando cada uno de ellos requerimientos especícos 221.

Este trabajo ha sido parcialmente nanciado por la Generalitat Valenciana con cargo al proyecto GV04B-

1

(Poch, 1999). Las categorías más usuales según empleos son las de las aguas prepotables, aguas piscícolas y aguas para el riego. Prescindiendo de un punto de vista agregado (Mateos et al., 1996), el presente trabajo se centrará en el segundo de los empleos citados, el del agua piscícola, es decir, el de las aguas continentales que requieren protección o mejora para ser aptas para la vida de los peces. Los requerimientos especícos sobre la calidad del agua vienen recogidos en la legislación básica de la UE y son de obligatorio cumplimiento para todos los países miembros. La calidad del agua piscícola se dene en función de un conjunto de características físicoquímicas o variables, así como de sus valores de aceptación o de rechazo: son los parámetros de la calidad del agua. Aquellas aguas que cumplen con los estándares preestablecidos para ese conjunto de características consideradas son declaradas aptas y no requieren tratamientos previos para la mejora de su calidad. Un problema adicional de gran importancia que se plantea a la hora de valorar la calidad de un agua concreta consiste en la integración del conjunto de parámetros que la denen en un único valor o índice. Sin embargo, no se conoce en la literatura internacional la existencia de un indicador global que sea de fácil construcción y de sensible aplicación para la mayoría de situaciones y acuíferos (Hueting, 1991). Provencher y Lamontagne (1977) fueron pioneros en la construcción de un indicador que englobaba los distintos parámetros utilizando ciertas funciones de equivalencia -generalmente lineales-, denidas como el grado de concentración que los análisis efectuados presentaban para cada parámetro. Su integración en forma de sumatorio se realiza utilizando ponderaciones de asignación espúrea. Muchos países han intentado utilizarlo -entre ellos España-, si bien no se han obtenido resultados concluyentes. Recientemente, en la literatura nacional han aparecido intentos para la denición de un índice global para la medición de la calidad del agua. Concretamente, en Beamonte et al. (2003 y 2004b) se dene un índice con estos objetivos, aplicado al agua prepotable o destinada al consumo humano. La presente comunicación pretende trasladar ese índice al caso del agua de uso piscícola, efectuando una aplicación del mismo a una estación de control de la Confederación Hidrográca del Júcar.

2.

La calidad del agua piscícola La normativa que recoge las especicaciones que debe satisfacer el agua piscícola es la siguiente: Directiva 78/659/CEE que dene la calidad de las aguas continentales que requieren protección o mejora para ser aptas para la vida de los peces, que ha sido transpuesta a la normativa española por el R.D. 927/1988 y la O.M. 16/12/1988. Decisión 95/337/CE que establece la información que los estados miembros deben remitir a la Comisión de la Unión Europea sobre el cumplimiento de las diversas Directivas relacionadas con la calidad de las aguas y, entre ellas, la 78/659/CEE. 2

De forma resumida, los principales aspectos de la Directiva 78/659/CEE son los siguientes: Los estados miembros deben efectuar una declaración de las aguas salmonícolas y aguas ciprinícolas, que son aquellas aguas continentales, corrientes o estancadas objeto de protección por la Directiva, a n de mejorar su calidad para que vivan o puedan vivir, si se redujera la contaminación, peces pertenecientes a especies indígenas que presentan diversidad natural, o especies cuya presencia se considera deseable, a efectos de la gestión de las aguas, por parte de las autoridades competentes de los estados miembros. Se jan 14 parámetros que miden otras tantas características físico-químicas para valorar la calidad del agua para la vida de los peces. Para cada parámetro y tipo de agua (salmonícola o ciprinícola) se jan unos valores según el tipo de agua declarada. Se distingue entre valores imperativos (I) -que afectan a 9 parámetros- y guía (G). Aquéllos son obligatorios, mientras que éstos son aconsejables. También se aceptan excepciones (O) sobre los límites de admisibilidad de ciertos parámetros, debido a las condiciones geológicas por las que discurre el agua o por las condiciones medioambientales propias del país o zona considerada. Los parámetros y sus valores de admisibilidad se recogen en la Tabla 1. Se determinan las frecuencias mínimas de muestreo y los métodos de análisis para cada parámetro, así como el procedimiento de cálculo para establecer el cumplimiento de los límites de calidad. Y así, la frecuencia mínima de muestreo o de inspección para todos los parámetros es mensual, si bien en los que se pudieran producir variaciones diurnas signicativas, o de existir vertidos que alteraran la composición del agua, la frecuencia anterior puede aumentarse, incluso, a más de dos tomas diarias. La Directiva Marco sobre el Agua 2000/60/CE, de inminente aplicación, enfatiza la exigencia de calidad para las aguas continentales. Incrementa sustancialmente el número de parámetros denitorios de la calidad, introduciendo parámetros biológicos -diatomeas, macrotos, etc.- para denirla y obliga a los Organismos de Cuenca a establecer redes de control de la calidad biológica de las aguas, en paralelo a las que ya existían para los parámetros físico-químicos (Pujante, 2003). La Decisión 95/337/CE exige determinar el número, longitud y supercie total de ríos y lagos designados como aguas salmonícolas y ciprinícolas, especicando los detalles geográcos correspondientes. Para ello, ICONA (1991) realizó un estudio previo, basado en criterios cientícos, en el que se denieron las zonas de especial interés piscícola, empleando como criterio de especial importancia el de la existencia de especies autóctonas. En el ámbito de la Confederación Hidrográca del Júcar son cuatro los tramos de interés para la protección de la vida piscícola declarados a las autoridades medioambientales de la UE, todos ellos catalogados como ciprinícolas. Son el tramo de Lorcha, en el río Serpis; 3

Parámetro

Aguas salmonícolas G I 1,5

3

Temperatura

21,5 (O)

28 (O)

10 (O)

10 (O)

pH

6 − 9 (O)

6 − 9 (O)

(o C)

G

Aguas ciprinícolas I

Oxígeno

50 % ≥ 9

50 % ≥ 9

50 % ≥ 8

50 % ≥ 7

disuelto (mg/l)

100 % ≥ 7

100 % ≥ 5

100 % ≥ 5

100 % ≥ 4

Materias en suspensión (mg/l)

25 (O)

25 (O)

3

6

Demanda bioquímica de oxígeno (mg/l) Fósforo total (mg/l)

0,2

0,4

Nitritos (mg/l)

0,01

0,03

Compuestos

Criterio

Criterio

fenólicos (mg/l)

de sabor

de sabor

Hidrocarburos

Criterios visuales

Criterios visuales

de origen

de sabor y de salud

de sabor y de salud

petrolífero

de los peces

de los peces

Amoníaco no ionizado (mg/l)

0,005

0,025

0,025

0,005

0,04

1

0,2

1

Amonio total (mg/l) Cloro residual total (mg/l)

0,005

0,005

Cinc total (mg/l)

0,3

1

Cuadro 1: Parámetros y límites de calidad.

el tramo de Villar de Olalla, en el Júcar; el tramo de Chulilla, sobre el río Turia; y, nalmente, el tramo de Olba, sobre el Mijares. Existen otras zonas denidas como piscícolas de interés regional, cuya calidad también se controla a través de las 185 estaciones de control para el agua piscícola, y cuya información, en cualquier momento, podría incorporarse al informe facilitado a las autoridades europeas.

3.

Asignación de la calidad de un agua concreta Para comprobar el nivel de calidad de un agua concreta se tienen en cuenta los porcentajes de muestras que cumplen las especicaciones acerca de los límites de los valores imperativos (I) y guía (G) de cada parámetro. Se utiliza el criterio general de que, al menos, el 95 % de las muestras de cada parámetro deben cumplir con los límites de calidad pro4

puestos. Dado que el 95 % sobre 12 es un valor no entero, la condición anterior se adapta, en un muestreo normal de 12 tomas anuales, en que basta que una sola muestra no verique la calidad exigida para que el agua consiguiente sea catalogada como de calidad no apta, lo que supone un percentil real del 91.7 %. Existen tres parámetros para los que se exige un cumplimiento de los límites de calidad en todas las muestras: la temperatura, el oxígeno disuelto y las materias en suspensión, si bien se aceptan posibilidades de excepción en la temperatura -en caso de vertidos térmicosy en las materias en suspensión -en caso de crecidas, inundaciones o catástrofes naturales-, que deben justicarse en caso de observación de valores anómalos. En su conjunto, un agua concreta será declarada no apta cuando lo sea por uno sólo de sus parámetros. El percentil 95 para las muestras cumplidoras de los límites establecidos -o, consecuentemente, el percentil 5 % para las aguas no válidas- se congura, pues, como el nivel esencial sobre el que pivota la posterior declaración de validez para la calidad del agua de uso piscícola. Para el caso de las estaciones de control sobre las que, por cualquier motivo, se haya realizado un muestreo reducido, el porcentaje de cumplimiento ha de ser del 100 %, lo que implica que todas las medidas deben estar dentro de las especicaciones de calidad de la normativa. El cumplimiento o incumplimiento de la calidad para un agua determinada se dene sólo con relación a los valores imperativos y aún entre ellos se debe tener en cuenta los criterios de excepcionalidad previstos en la normativa. El cumplimiento o incumplimiento con relación a los valores guía lo es simplemente a título informativo, no precisando de la justicación detallada que sí se exige en el caso de los imperativos. A n de englobar las exigencias de calidad de todos los parámetros en un solo valor o indicador, Beamonte et al. (2004b) denen un índice global de calidad aplicado al agua prepotable. Las exigencias y salvaguardias sanitarias asociadas a este uso del agua obligan a ser mucho más cuidadosos a la hora de establecer sus parámetros de calidad -21 características imperativas-, así como los límites admisibles, que en el caso del agua para uso piscícola. De hecho, las tres categorías de calidad admisibles para el agua prepotable -A1, A2 y A3 en la terminología comunitaria- quedan reducidas a una única condición de idoneidad para el agua destinada a la vida de los peces. En lo que sigue, vamos a adaptar el índice global de calidad antes citado, tanto desde un punto de vista estrictamente administrativo como bajo una perspectiva probabilística, aplicándolo a una estación de control de la Confederación Hidrográca del Júcar.

4.

Un índice global determinista para la calidad del agua piscícola El criterio administrativo para valorar la calidad de un agua piscícola es muy simple, en cuanto que responde a la determinación dicotómica de aptitud o no aptitud. Sin embargo, es posible establecer una gradación dentro de las situaciones de no aptitud, al denir el

5

número de parámetros que no satisfacen los límites de calidad exigidos como medida de la calidad del agua. Así pues, y considerando sólo los k parámetros con valores imperativos que son los que tienen incidencia real en la clasicación de la calidad, para una muestra de agua M , denimos su valor(M ) como el número n ≤ k de parámetros que están dentro de sus respectivos límites de calidad Dadas dos muestras de agua, M1 y M2 , cuyas calidades respectivas vienen dadas por valor(M1 ) = n1 y valor(M2 ) = n2 , decimos que M1 es de mejor calidad que M2 , denotándolo M1 > M2 , si y sólo si n1 > n2 . Serán de igual calidad, M1 = M2 , si y sólo si n1 = n2 . La denición anterior permite ordenar, de peor a mejor, todas las posibles calidades del agua de uso piscícola, permitiendo crear un índice de calidad que coincida con el rango que ocupa el valor de la muestra estudiada. Así pues, en esta situación dicotómica de aptitud, el índice de calidad de un agua piscícola M coincidirá con su valor de calidad, I(M ) = valor(M ). El rango de valores del índice es el conjunto de enteros pertenecientes al intervalo [0, k], correspondiendo a 0 la peor calidad y a k la mejor. Su lectura inversa es inmediata. Un valor del índice k1 supone, por la misma denición, que el agua analizada tiene k1 parámetros con valores imperativos dentro de los límites de calidad, frente a los k − k1 que no los cumplen. De todos los valores del índice anterior solamente el máximo k implica la aptitud del agua para la vida de los peces. Todos los demás casos exigirían una justicación y análisis de las causas de incumplimiento. A n de expresar la calidad de un agua piscícola en términos relativos, lo que facilita la comparación de las calidades de aguas distintas, proponemos relativizar la denición de I(M ) dividiendo su valor por el número de parámetros k . De esta forma, en escala de 0 a 1 -o de 0 a 100, si se expresa en porcentaje-, deniremos en lo que sigue el índice de calidad para una muestra M de agua piscícola a partir de la expresión

Ia(M ) =

valor(M ) valor(M ) o Ia(M ) = 100, k k

para la que un valor 0 está expresando la peor de las calidades posibles, frente al valor 1 (o 100) que indica la mejor calidad.

5.

Un índice global considerando incertidumbre Sea Y la variable aleatoria que representa a un parámetro de medición de la calidad del agua de determinada estación de control. Para clasicar su aptitud de calidad habrá que comparar Y con el límite de calidad establecido en la normativa. Sea φ la probabilidad de que el valor de Y se encuentre dentro de los niveles de calidad exigidos. El criterio que plantea la normativa es equivalente a estimar φ mediante las correspondientes frecuencias relativas de los datos observados. Si el estimador de φ es igual a 1, o al menos superior a 0.95 para aquellos parámetros que admiten alguna observación de mala calidad, el nivel de calidad se considera apto. En caso contrario, el agua no es apta 6

para el uso piscícola. Este criterio administrativo admite que existe incertidumbre en el problema, al utilizar las observaciones para estimar φ si bien se olvida de la incertidumbre inherente al estimador puntual, proporcionando una clasicación rotunda, que parece no admitir la más mínima duda. En concreto, el criterio administrativo está basado en observaciones mensuales para una clasicación anual. Además, los parámetros temperatura, oxígeno disuelto y materias en suspensión serán considerados de buena calidad si y sólo si las doce observaciones están en el rango establecido en la normativa, esto es, si φb = 1, tal como se recoge en la Tabla 1 (al oxígeno disuelto también se le exige que al menos la mitad de las observaciones supere cierto valor intermedio). Al resto de los indicadores se les exige que al menos once de las doce observaciones pertenezcan al rango de valores establecido en la normativa, esto es, que φb ≥ 11/12. Alternativamente, nuestra propuesta consiste en proponer una clasicación dada mediante una probabilidad p -la probabilidad de que, dadas las observaciones disponibles, las próximas doce observaciones cumplan las condiciones exigidas por la normativa y comentadas en el párrafo anterior-, admitiendo la incertidumbre presente en el problema. Esto es fácil de abordar desde una perspectiva bayesiana, considerando a la probabilidad desconocida φ como una variable aleatoria, obteniendo su distribución nal una vez observados los datos y calculando la distribución predictiva asociada a las próximas doce observaciones. A partir de esa distribución predictiva se calcula inmediatamente la probabilidad p. Cada muestra de agua M tendrá asociado, por tanto, un vector de calidad, que es el vector de probabilidades p = (p1 , . . . , pk ), donde cada una de sus componentes es la probabilidad p asociada a su respectivo parámetro imperativo. Denimos entonces el valor probabilístico de dicha muestra como la suma de las componentes del vector de calidad asociado, k X valor probabilí stico(M ) = 10 p = pi , i=1

donde 1 es el vector columna unidad. Ese valor probabilístico de calidad dene el índice probabilístico de calidad, bien expresado en escala de 0 a 1, o de 0 a 100, y en donde k es el número de parámetros con valores imperativos

Ip(M ) =

valor probabilí stico(M ) valor probabilí stico(M ) o Ip(M ) = 100 k k

En Beamonte et al (2004c) se presenta una solución no paramétrica a la situación aquí planteada, basada en la discretización de la variable aleatoria original Y en las dos categorías, según el límite de calidad normativo. En este trabajo preferimos dar una solución paramétrica, incorporando la información que sobre la distribución de los datos posean los técnicos que recogen la información sobre la calidad del agua. 7

5.1.

El modelo Normal

Sean {x1 , . . . , xn } los datos disponibles de cierto parámetro. De entrada supongamos que el modelo Normal se ajusta a ellos de forma satisfactoria, siendo µ y σ 2 la media y la varianza desconocidas de la distribución Normal. Entonces es suciente conocer a partir de los datos los estadísticos media y cuasivarianza muestrales, x y s2 , junto con el tamaño muestral n. Los estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo Normal son los conocidos

µ ˆ=x ¯=

n 1 X xi n i=1

y

σ ˆ2 =

n n−1 2 1 X s = (xi − x ¯)2 n n i=1

El análisis estadístico es más fácil si seleccionamos la distribución inicial dentro de la familia conjugada del modelo Normal ¶ µ 1 2 2 f(µ, σ ) = N µ|m0 , σ IG(σ 2 |a0 , b0 ), n0 lo que signica que la distribución de µ condicionada a σ se supone Normal, de media m0 y 2 varianza nσ0 , y que la distribución de σ 2 se supone Gamma-Inversa, con parámetros a0 y b0 . Una vez observados los datos, la distribución nal f(µ, σ 2 |x1 , . . . , xn ) viene dada (ver, por ejemplo, DeGroot, 1970, página 169) por µ ¶ µ ¶ n¯ x + n0 m 0 σ2 n n − 1 2 n0 n(m0 − x ¯)2 N µ| , IG σ 2 | + a0 , s + + b0 (1) n + n0 n + n0 2 2 2(n0 + n) donde el primer factor es f(µ|σ 2 , x1 , . . . , xn ) -la distribución nal de µ dada σ 2 -, mientras que el segundo factor es f(σ 2 |x1 , . . . , xn ), -la distribución nal de σ 2 -. En el caso de que no exista información inicial, o que preramos no utilizarla, la distribución inicial no-informativa de Jereys proporciona un resultado similar al de la ecuación (1). En efecto, es un caso particular de dicha ecuación con m0 = n0 = b0 = 0 y a0 = −1/2 (véase por ejemplo DeGroot, 1970, página 196 o Box y Tiao, 1973, página 112). Sea R la variable aleatoria que representa el número de observaciones en el intervalo aceptable de calidad entre N nuevas observaciones. Su distribución es Binomial, de parámetros N y φ, por lo que la probabilidad asociada a aquellos parámetros que exigen que las doce observaciones estén dentro de los límites aceptables de calidad se calcula como p(R = 12 | 12, φ) = φ12 , mientras que para los indicadores en los que se exige que al menos once de las doce observaciones estén dentro de los límites aceptables de calidad resulta p(R ≥ 11 | 12, φ) = φ12 + 12 φ11 (1 − φ). El único caso especial es el del indicador oxígeno disuelto, para el que existen dos criterios que deben darse simultáneamente. Así por ejemplo, utilizando los criterios imperativos ciprinícolas (ver Tabla 1), todas las observaciones de oxígeno disuelto deben ser superiores 8

a 4 y, al menos la mitad de ellas, superiores a 7. Denotemos por R1 al número de observaciones superiores a 4 y por φ1 a la probabilidad de que una observación sea superior a 4. Asímismo, sea R2 el número de observaciones superiores a 7 y φ2 la probabilidad de que una observación sea superior a 7. Finalmente, sea φ2|1 la probabilidad de que una toma de agua con nivel de oxígeno superior a 4 sea también mayor que 7. La probabilidad de aptitud para el oxígeno disuelto vendrá dada por la expresión

p([R1 = 12 | 12, φ1 ] ∩ [R2 ≥ 7 | 12, φ2 ]) = p(R1 = 12)p(R2 ≥ 7 | R1 = 12) = = φ12 1

12 X 12 i )φ2|1 (1 − φi2|1 )12−i ( i i=7

Si el modelo Normal no fuera apropiado para ciertos indicadores de calidad del agua, podría serlo después de una adecuada transformación normalizadora de los datos. Por ejemplo, si la distribución de los datos no fuera simétrica, con una cola a la derecha implicando que ciertos valores altos no son improbables, una transformación logarítmica de esos datos podría ser una apropiada transformación de normalización. De hecho, en nuestra experiencia, dicha transformación es muy efectiva. Las distintas probabilidades de aptitud para los parámetros imperativos resultan variables aleatorias que, dentro de un contexto bayesiano, pueden estimarse fácilmente por Monte Carlo. Repitiendo el proceso para todos los parámetros, queda denido el valor probabilístico del agua concreta estudiada, del que se obtiene el índice probabilístico de calidad Ip(M ).

5.2.

Un modelo mixto log-Normal

Cuando el parámetro imperativo usado para denir la calidad del agua toma valores cero en algunas de las muestras, muchas veces no somos capaces de determinar si es debido a que, efectivamente, el parámetro no está presente en la muestra o a que su valor, al ser muy pequeño, no llega a ser medido por el correspondiente instrumento o aparato de medición. Consecuentemente, un modelo estadístico razonable debería incluir una masa probabilística positiva, π > 0, en estos casos. La alternativa que proponemos es usar el modelo log-Normal -para asegurar la normalidad de los datos- sobre una mixtura de variables, la variable Y que es la variable que representa al parámetro, y la variable Z , que sigue una distribución Bernouilli tomando el valor 1 si Y = 0 y 0 si Y > 0, siendo p(Z = 1) = π . La variable Z nos permite separar la parte discreta de la variable aleatoria Y de su parte continua; de hecho la distribución condicional de Y |Z = 1 es discreta, con sólo un valor posible para Y, el valor 0 con probabilidad 1, y la distribución condicional de Y |Z = 0 es continua sobre la recta real positiva. El esquema bayesiano desarrollado hasta ahora puede volver a aplicarse, adaptado a esta nueva situación, para así obtener nalmente la estimación de la probabilidad a utilizar en el cálculo del índice estocástico. 9

Como antes, vamos a seguir suponiendo que la distribución continua Y |Z = 0, posiblemente después de una adecuada transformación normalizadora, es Normal. De hecho, seguiremos suponiendo que la transformación logarítmica es la transformación normalizadora apropiada, si bien cualquier otra transformación podría analizarse de idéntica manera. Por tanto, supondremos que la variable aleatoria Y |Z = 0, en escala logarítmica, es Normal con media µ y varianza σ 2 . De ahí que el modelo propuesto para la variable aleatoria Y sea un modelo mixto, ni discreto ni continuo. Lo llamaremos distribución mixta log-Normal y la denotaremos como M LN (Y |π, µ, σ 2 ). Sea {y1 , . . . , ym } una muestra aleatoria de tamaño m de una distribución mixta logNormal M LN (Y |π, µ, σ 2 ), elegida de manera que {y1 , . . . , yn } son todos datos distintos de cero, y sea xi = log y1 , i = 1, . . . , n ≤ m, con x ¯ y sx la media y desviación estándar muestrales de esos n logaritmos. Entonces, la función de verosimilitud viene dada por ½ ¾ n n o n−1 2 m−n n −n 2 l(π, µ, σ|y1 , . . . , ym ) ∝ π (1 − π) σ exp − s (¯ x − µ) exp − 2σ 2 x 2σ 2 La anterior función puede optimizarse fácilmente para hallar los estimadores máximo q m−n n−1 verosímiles. Estos son π ˆ= m , µ ˆ=x ¯yσ ˆ= n sx . La familia conjugada de distribuciones para el modelo mixto log-Normal es de la forma f(π, µ, σ 2 ) = Be(π|u0 , v0 ) N(µ|m0 , σ 2 /n0 ) IG(a0 , b0 ). Esto es, π se supone independiente de µ y de σ , y sigue una distribución Beta con parámetros u0 y v0 , y la distribución conjunta de (µ, σ 2 ) es la distribución Normal-Gamma Inversa ya utilizada antes. De ahí, las distribuciones nales son tales que π sigue siendo independiente de µ y de σ , con distribución

Be(π|u0 + m − n, v0 + n), mientras que la distribución nal de (µ, σ 2 ) viene dada una vez más por (1). Las expresiones de las estimaciones de las distintas probabilidades de aptitud obtenidas en el apartado anterior son perfectamente aplicables al modelo mixto log-Normal. Atendiendo al carácter de mixtura del modelo, sólo habrá que ponderar dicha estimación con la proporción de ceros en la muestra. Así por ejemplo, la probabilidad de que, dadas las observaciones anteriores, las próximas doce observaciones mixtas log-Normales cumplan las condiciones exigidas por la normativa puede ser estimada mediante π ˆ + p(1 − π ˆ ), donde p es la correspondiente estimación de la probabilidad de aptitud de los datos log-Normales obtenida por Monte Carlo y π ˆ es el estimador Bayes.

6.

Aplicación La estación analizada en este trabajo es la codicada como C302 por la Confederación Hidrográca del Turia y se encuentra ubicada en Gea de Albarracín (Teruel), más concretamente en la cabecera del río Turia. Se trata de un tramo de alto interés piscícola, de fuerte implantación en esta actividad deportiva y de ocio. 10

Los parámetros analizados son todos los imperativos a excepción de los compuestos fenólicos y los hidrocarburos de origen petrolífero por el carácter subjetivo de su medición. Consecuentemente, son siete los parámetros nalmente considerados, de los cuales para tres de ellos, concretamente temperatura, pH y oxígeno disuelto, se admite Normalidad con pvalores respectivos 0,2, 0,2 y 0,081. Para el amonio total y el zinc se admite el modelo mixto log-Normal, con p-valores iguales a 0,2. El parámetro cloro residual sólo cuenta con tres datos no nulos por lo que preferimos considerar para él también el modelo mixto log-Normal, con las colas más pesadas, a n de tener en cuenta posibles outliers. El test utilizado para las pruebas de Normalidad ha sido el de Kolmogorov-Smirnov con corrección de continuidad de Lilliefors. En la tabla 2 se muestran las respectivas probabilidades de aptitud de cada uno de los parámetros analizados. Asímismo, y para su comparación, también se recogen las probabilidades de aptitud obtenidas utilizando el modelo no paramétrico. Paramétrico No paramétrico

temper

o2dis

pH

amonia

amotot

clores

zinc

0.7793

0.9401

0.9985

0.9728

0.9946

0.7553

0.9982

0.7567

0.7583

0.9347

0.9728

0.9874

0.7075

0.9878

Cuadro 2: Probabilidades de aptitud con modelo paramétrico y no paramétrico La mayoría de las probabilidades son bastante parecidas, en este caso incluso mayores para el modelo paramétrico, excepto para el oxígeno disuelto que inuye menos en el modelo paramétrico que en el no paramétrico. Esto es debido a la existencia de un valor ligeramente menor que cuatro y por tanto en zona de no aptitud. El modelo paramétrico contempla esta cercanía al valor límite y ello motiva que la probabilidad de que una observación de oxígeno disuelto caiga en esa zona sea sólo 0,0054. El parámetro amoníaco no ionizado tiene todos sus valores iguales a cero, por ello no se puede estudiar su parte continua y la única solución viable es la no paramétrica. Obviamente, las dos probabilidades resultan iguales. El índice probabilístico de calidad resulta igual a 0,9198, mientras que el obtenido utilizando el modelo no paramétrico era 0,8722, ligeramente menor.

7.

Bibliografía [1] Beamonte, E., Bermúdez, J., Casino, A. y Veres, E. (2002a). Calidad de las aguas: el caso de ciertas estaciones de medición de la calidad del agua prepotable. XVI Reunión de Asepelt-España. [2] Beamonte, E., Bermúdez, J., Casino, A. y Veres, E. (2002b). Calidad del agua prepotable: estudio estadístico de la estación de medición situada en el Canal de Benagéber (Villar del Arzobispo, Valencia). XXVIII Reunión de Estudios Regionales. 11

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