Medici´ on de resistencia por el m´ etodo de amper´ımetro-volt´ımetro Objetivos Determinar el valor de una resistencia por el m´etodo de amper´ımetro volt´ımetro. Discutir las incertezas propias del m´etodo y las correspondientes a los instrumentos digitales de medici´on.

1.

Introducci´ on

La importancia de la medici´on de la resistencia el´ectrica surge del hecho de que los elementos resistivos forman parte de pr´acticamente todos los circuitos y sistemas el´ectricos desarrollados en el mundo. Existen varios m´etodos para determinar el valor de una resistencia. En este trabajo se utilizar´a un m´etodo indirecto: la medici´on por amper´ımetro-volt´ımetro. Si por una resistencia sometida a una diferencia de potencial circula una corriente, por Ley de Ohm podemos determinar: VO RO = IO donde el sub´ındice O hace referencia a valor observado o medido. Existen dos posibles conexiones para determinar el valor de una resistencia: conexi´on corta y conexi´on larga (corta o larga hace referencia al lazo voltim´etrico, como se ver´a a continuaci´on).

1.1.

Conexi´ on Corta RA A +

RV VV

R

− IV

I

Figura 1: Configuraci´on en conexi´on corta En este caso (Figura 1), la corriente IO que se lee del amper´ımetro es la suma entre la corriente que efectivamente pasa por la resistencia y la que circula por el volt´ımetro: IO = I + IV . El volt´ımetro mide efectivamente la ca´ıda de potencial V en R. Por lo tanto, el valor de resistencia que se obtiene a partir de las lecturas de los instrumentos es: RO =

VO V = = IO I + IV 1

I V

1 +

IV V

=

1 R

1 + R1V

Resulta que el valor observado de resistencia obtenido con este m´etodo es: RO =

RRV R + RV

Esta resistencia es la resistencia equivalente al paralelo de RV con R ya que la corriente medida es la que circula por ese equivalente y la tensi´on medida es la que cae sobre el paralelo. Como puede verse entonces, este m´etodo tiene asociado un error ya que no estamos midiendo efectivamente la resistencia que nos interesa. Este error aparece por el simple hecho de que los instrumentos no son ideales (tienen una cierta resistencia interna), es por eso que lo denominamos error metodol´ogico. Sabiendo que el valor real de la resistencia es R, puede encontrarse su valor a partir de RO y conociendo RV : RO RV R= RV − RO . El error metodol´ogico que se comete es emet = R − RO

1.2.

Conexi´ on Larga RA A +

RV VV

R

−

IO

Figura 2: Configuraci´on en Conexi´on Larga En esta conexi´on (Figura 2), la corriente IO que lee el instrumento es la que efectivamente circula por la resistencia (I) pero la lectura del volt´ımetro es la suma de la ca´ıda de tensi´on en la resistencia V y la ca´ıda de tensi´on en el amper´ımetro VA : VO = V + VA . Por lo tanto, el valor de resistencia que se obtiene a partir de las lecturas de los instrumentos es: V + VA V VA VO = = + = R + RA IO I I I Resulta que el valor observado de resistencia obtenido con este m´etodo es: RO =

RO = R + RA Esta resistencia es la resistencia equivalente serie de R y RA ya que la tensi´on medida es la que cae sobre la serie y la corriente medida es la que circula por el equivalente. Al igual que en el caso anterior, no estamos midiendo el valor de resistencia que realmente nos interesa. Este error se debe a la no idealida de los instrumentos utilizados. 2

Sabiendo que el valor real de la resistencia es R, puede encontrarse su valor a partir de RO y conociendo RA : R = RO − RA El error metodol´ogico que se comete es: emet = R − RO

2. 2.1.

Errores en las mediciones Error metodol´ ogico

Como ya se dijo, ambas conexiones tienen asociado un error metodol´ogico. Para ambos casos, el error metodol´ogico que se comete es emet = R − RO Y en forma porcentual R − RO · 100 % RO El error metodol´ogico puede disminuirse si se elige el m´etodo adecuado en funci´on del valor de resistencia. Se dijo ya que la conexi´on corta mide el paralelo de la resistencia del vol´ımetro con la resistencia a medir y que la conexi´on larga mide la serie de la resistencia del amper´ımetro. El paralelo de dos resistencias siempre es menor a la menor de las resistencias, por esto, la conexi´on corta ser´a conveniente cuando la resistencia a medir sea mucho m´as peque˜ na que RV . En cambio, la serie de dos resistencias siempre es mayor a la mayor de ellas, en funci´on de esto, la conexi´on larga ser´a la apropiada cuando se desee medir una resistencia mucho mayor que RA Si bien puede minimizarse, el error metol´ogico dada una conexi´on determinada para la medici´on de una resistencia no puede eliminarse. Sin embargo, s´ı puede corregirse en la expresi´on final del resultado, esto es, informando R en lugar de RO . En otras palabras, como ya se dijo anteriormente, podemos decir que la resistencia que medimos fue: emet % =

R = RO − RA

si se us´o conexi´on larga

RO RV si se us´o conexi´on corta RV − RO ¿Es siempre necesario realizar la correcci´on del valor le´ıdo? Responderemos a esto luego de considerar los errores instrumentales. R=

2.2.

Errores instrumentales

Hasta ahora siempre se trabaj´o con instrumentos en los cuales se pod´ıa realizar la lectura sobre la escala del instrumento (salvando el caso de la balanza) y para los cuales consider´abamos como incerteza la apreciaci´on. En el caso de los instrumentos digitales, no podemos decir que estemos apreciando un valor sobre la escala; en lugar de esto, el fabricante indica que, seg´ un el alcance en que se trabaje,

3

el error est´a formado por un porcentaje de la lectura sumado a una cierta cantidad de d´ıgitos; estos ”d´ıgitos”se refieren a la m´ınima indicaci´on que puede realizar el instrumento. As´ı: ∆X = %lectura + n d´ıgitos En las Tablas1 que se presentan al final de la gu´ıa (Secci´on 6) est´an las incertezas correspondientes a los mult´ımetros utilizados (tomadas de los manuales): Ejemplo. Con un mult´ımetro BAW, se efect´ ua una medici´on de tensi´on en la escala 200 mV y se obtiene el valor 143.3 mV. Determinar el error instrumental. Para el alcance de 200.0 mV, seg´ un la Tabla, corresponde 0, 5 % de la lectura y 2 d´ıgitos: ∆V =

0, 5 143.3 mV + 2 0.1 mV = 7.265 mV 100

Por lo tanto, expresando correctamente: V = (143 ± 7) mV

Conociendo los errores en las lecturas de tensi´on y corriente ∆VO y ∆IO , respectivamente, puede propagarse la incerteza en la expresi´on de: VO IO El valor que se determina de ∆RO es la incerteza asociada al c´alculo de RO a partir de la Ley de Ohm y de los valores medidos VO e IO pero no tiene en cuenta el m´etodo utilizado. RO =

2.3.

Resultado final

A continuaci´on se presentar´a un criterio que permite establecer c´omo se informar´a el valor final de la resistencia con su incerteza. Se dispone de los valores RO (la resistencia medida), R (la resistencia corregida), emet % (el error metodol´ogico) y ∆RO (la incerteza del valor medido). Ya se mencion´o que RO y ∆RO no tienen en cuenta el m´etodo utilizado ni su error; de todas formas, si el error metodol´ogico porcentual es bastante menor2 que el error relativo ε % O · 100 %), podemos decir que no es necesario incorporar la correcci´on metodol´ogica. En ( ∆R RO otras palabras, ∆RO · 100 % es correcto informar RO ± ∆RO RO ¿Qu´e ocurre si no se cumple lo anterior? Si el error metodol´ogico porcentual no es mucho menor que la incerteza relativa de RO pero a´ un as´ı es peque˜ no (digamos, por ejemplo, menor al 5 %) entonces se corrige el valor de resistencia: si emet % < 0, 1

1

Las Tablas est´ an tomadas de los manuales del instrumento, es all´ı donde el fabricante provee las especificaciones del mismo. 2 Por bastante menor consideremos, por ejemplo, 1/10. T´engase en cuenta que este valor es un criterio que se adopta.

4

si 0, 1

∆RO · 100 % < emet % < 5 % es correcto informar R ± ∆RO RO

Por u ´ltimo, si el error metodol´ogico es importante (digamos, mayor al 5 %) entonces habr´a que informar el valor corregido de resistencia pero tambi´en habr´a que considerar la incerteza que le corresponde a la correcci´on: si emet % > 5 % es correcto informar R ± ∆R Donde ∆R se obtiene propagando la incerteza en las expresiones de R considerando ∆RO , ∆RA y ∆RV : R = RO − RA

si se us´o conexi´on larga

RO RV RO − RV

si se us´o conexi´on corta

R=

3.

Metodolog´ıa de trabajo

3.1.

Primera parte

Armar el circuito correspondiente a la conexi´on corta, con el potenci´ometro en el m´aximo valor de resistencia. Una vez que el docente haya supervisado el circuito. Energizar el circuito y registrar los valores de corriente y tensi´on; modificar el valor del potenci´ometro para obtener otra corriente y registrar nuevamente los valores. Repetir seis veces. Calcular los seis valores de RO con su inerteza ∆RO y completar una Tabla como la siguiente con todos los valores obtenidos: VOi ( )

Rango

∆VOi ( )

IOi ( )

Rango

∆IOi ( )

ROi ( )

∆ROi ( )

Se tomar´a como resultado final de RO al promedio de los seis valores: 6

1X RO = ROi 6 i=1 Y como ∆RO se elegir´a el mayor valor de entre los ∆ROi . Con el valor de RO hallar el valor corregido R y determinar el error metodol´ogico emet y el error metodol´ogico porcentual emet % . Tomar como dato: RA = 5 Ω, ∆RA = 10 % para el mult´ımetro BAW y RA = 40 Ω, ∆RA = 10 % para cualquiera de los otros mult´ımetros. Comparar los resultados seg´ un lo indicado en la Secci´on 2.3 y efectuar las correcciones que sean necesarias para informar el resultado final de la medici´on (seg´ un lo explicado en la Secci´on 2.3). No olvidar expresar el resultado correctamente. Determinar el error relativo expresado en forma porcentual ε % . 5

Repetir el procedimiento para conexi´on larga, construyendo una Tabla similar a la anterior. Para corregir el valor de resistencia, utilizar como dato RV = 10 MΩ (∆RV = 10 %) para el mult´ımetro BAW y RV = 1 MΩ, ∆RV = 10 % para los otros mult´ımetros. VOi ( )

Rango

∆VOi ( )

IOi ( )

Rango

∆IOi ( )

ROi ( )

∆ROi ( )

Comparar los resultados obtenidos para cada uno de los m´etodos.

3.2.

Segunda parte

Una vez concluida la primera parte, construir (a mano, en papel milimetrado) una gr´afica de tensi´on en funci´on de corriente y ubicar los puntos obtenidos tanto para conexi´on corta como para conexi´on larga (utilizar dos colores diferentes). No olvidar indicar la escala utilizada. Verificar la relaci´on existente entre ambas magnitudes para ambos casos.

4.

Elaboraci´ on del informe Confeccionar un informe donde conste:

1. T´ıtulo 2. Objetivos 3. Materiales e Instrumentos: incluir modelo (con cantidad de d´ıgitos) y n´ umero de serie. 4. Procedimiento: el procedimiento no es una receta para que otra persona realice la experiencia sino un detalle de los pasos seguidos durante el trabajo. Comentarios, variantes o criterios adoptados deben anotarse aqu´ı. 5. Observaciones: aqu´ı deben incluirse las tablas que deben estar acompa˜ nadas por observaciones sobre las mismas, comentarios y c´alculos propios a la obtenci´on de las incertezas de los instrumentos, c´alculos para la obtenci´on de la incerteza en el valor observado de resistencia, etc. Deber´a incluirse tambi´en el an´alisis de los errores metodol´ogicos. Los resultados finales se deben incluir aqu´ı (recordar que el error relativo de una medici´on nos da informaci´on sobre la calidad de esta, incluir comentarios al respecto). Las gr´aficas tambi´en deben presentarse en esta secci´on junto al an´alisis correspondiente. 6. Conclusiones: debe resumirse todo lo que se hizo incluyendo los resultados obtenidos. Deber´a incluirse una evaluaci´on de los m´etodos utilizados, analizando principales fuentes de incerteza y posibles maneras de mejorar la experiencia. En la Secci´on 5 hay una serie de cuestiones que deber´an ser planteadas y analizadas, recordar que no es un cuestionario sino una gu´ıa. 6

5.

Cuestiones ¿Por qu´e el m´etodo de amper´ımetro-volt´ımetro es un m´etodo de medici´on indirecta? Analizar el signo del error metodol´ogico (comparando conexi´on corta y conexi´on larga). Comparar el resultado obtenido para ambas conexiones ¿En qu´e caso conviene utilizar conexi´on corta y en qu´e caso conexi´on corta? ¿Puede eliminarse el error metodol´ogico? Se desea determinar el valor de una resistencia desconocida, ¿qu´e conexi´on utilizar´ıa? ¿Se puede confiar en el resultado obtenido utilizando la conexi´on elegida?

6.

Errores Instrumentales Mult´ımetros BAW, Artekit, Mastech, Caltek Alcance 200 mV 2000 mV 20 V 200 V 500 V

% lectura 0,5 % 0,5 % 0,5 % 0,5 % 0,8 %

Cant. de d´ıgitos 2 2 2 2 2

Alcance 200 µA 2000 µA 20 mA 200 mA 10 A

% lectura 1% 1% 1% 1,2 % 2%

Cant. de d´ıgitos 2 2 2 2 5

Mult´ımetros Zurich, Pro’s Kit, Uni-T Alcance 200 mV 2000 mV 20 V 200 V 1000 V

% lectura 0,8 % 0,8 % 0,8 % 0,8 % 0,8 %

Cant. de d´ıgitos 2 2 2 2 2

Alcance 200 µA 2000 µA 20 mA 200 mA 10 A

% lectura 1% 1% 1% 1% 1%

Cant. de d´ıgitos 7 7 7 7 7

7