MMC en la producción del petróleo

Ejemplos de aplicación

Conclusiones

Método de Volumen Finito en la Simulación de Yacimientos Seminarios de Modelación Matemática y Computacional : 6to Ciclo

Luis Miguel de la Cruz Unidad de Investigación en Cómputo Aplicado–DGSCA–UNAM [email protected] www.dci.dgsca.unam.mx/lmcs

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Conclusiones

Contenido

1

MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto

2

Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases

3

Conclusiones

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Conclusiones

Proceso general de la MMC La modelación matemática y computacional (MMC) consiste de la construcción de modelos matemáticos de fenómenos que ocurren en la naturaleza y en procesos industriales, y de la solución de éstos mediante el uso de técnicas numéricas y computacionales

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1

MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto

2

Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases

3

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Conclusiones

Modelo Físico Un yacimiento petrolero está constituido de un material sólido y poroso (la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidos que se separan en tres fases: agua, aceite y gas. En la fase agua sólo hay H2O, pero tanto en la fase de aceite como en la fase de gas hay muchos hidrocarburos de distinta composición

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Modelo Físico

En la simulación de yacimientos petroleros (SYP) I

Rasgos geológicos y estructurales del yacimiento. F

I

Distribución de las propiedades petrofísicas de roca y fluidos. F

I

Fallas, delimitación de unidades geológicas, tipos de rocas y su distribución, etc. Porosidad, permeabilidad, saturación, etc.

Tipo de modelo F F F F

Una, dos o tres fases (petróleo, agua, aceite). Composicional Modelos térmicos. Reacciones químicas

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Modelo Físico En un sistema multifásico, se tienen dos o más fluidos llenando un volumen, los cuales son inmiscibles y están separados por una interfase bien definida, a cada fluido se le llama fases. Las fases se dividen en mojadoras (wetting) y no mojadoras (non-wetting).

En general se considera el agua como fase mojadora y el petróleo (aceite) como fase no mojadora. LMCS (UNAM)

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Modelo Físico

Un medio poroso consiste de una matriz sólida y de los poros. La porosidad se define como: φ= φe =

Volumen del espacio del poro Volumen representativo (VR)

Volumen del espacio del poro disponible VR φe ≤ φ

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Modelo Físico Las interacciones entre un fluido y la matriz sólida, en un medio poroso, se toman en cuenta mediante la conductividad hidráulica, que para dos o más fluidos se escribe como K = kr α k

ρα g µα

En esta relación k es la permeabilidad intrínseca de la roca y kr α es la permeabilidad relativa de la fase α. µα es la viscosidad. En general k es un tensor. En un sistema anisotrópico donde el sistema de coordenadas coincide con las direcciones del flujo principales se tiene: „ k=

kxx 0

0 kyy

« ( en 2D)

Si el medio es isotrópico kxx = kyy . LMCS (UNAM)

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Conclusiones

Modelo Físico La saturación de cada fase es: Sα =

Volumen de la fase α dentro en VR Volumen del espacio del poro en VR

Se asume que el VR se llena completamente por las fases de tal manera que se cumple: X Sα = 1 α

En la interfase entre un fluido mojador y uno no mojador ocurren fuerzas interfaciales, las cuales se rigen por la presión capilar: pc = pn − pw LMCS (UNAM)

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Modelo Físico En la explotación y modelación de un yacimiento petrolero se tienen tres etapas: Producción primaria (10 – 12 %) I

I

Se bombea a través de pozos aprovechando la presión natural del yacimiento. Se modela el movimiento de una o dos fases.

Producción secundaria I I

Se inyecta agua para desplazar al petróleo Se modelan tres fases: agua, aceite y gas (al caer la presión parte del petróleo pasa a ser gas)

Producción terciaria (EOR) I

I

Se inyecta vapor, aditivos químicos, calor, y se hace combustión in situ. Se modela el movimiento del vapor y los aditivos químicos; los cambios de composición química de las fases; el transporte y difusión del calor; la combustión in situ del petróleo.

Prod. secundaria + prod. terciaria 40 % LMCS (UNAM)

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Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases

3

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Conclusiones

Modelo Matemático La formulación matemática que se presenta a continuación se hace usando el método axiomático presentado en: 1

2

Allen, Herrera, y Pinder, “Numerical modeling in science and engineering”, John Wiley, 1988. Herrera y Pinder, “General principles of mathematical computational modeling”, John Wiley, a ser publicado.

En este método se identifican: I

I

“Propiedades extensivas”: aquellas que se pueden expresar como una integral de volumen. “Propiedades intensivas” : cualquier extensiva por unidad de volumen. Z

E(t) =

ψ(x, t)dx B(t)

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Ejemplos de aplicación

Conclusiones

Modelo Matemático Al transcurrir el tiempo las propiedades extensivas solamente varían por que se producen en el interior del sistema o porque entran por la frontera. Z Z dE = g(x, t)dx + τ (x, t) · ndx dt B(t) ∂B(t) g(x, t) es la “generación” de la propiedad extensiva τ (x, t) es el vector de “flujo” de la propiedad extensiva Ecuación diferencial de balance (ec. gral. de transporte): ∂ψ + ∇ · (v ψ) = ∇ · τ + g ∂t

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Conclusiones

Modelo Matemático Este proceso es sistemático: 1 2

3

4

Identificar una familia de propiedades extensivas. Se expresa la condición de balance de cada una de ellas en términos de las propiedades intensivas correspondientes. Las propiedades asociadas a una misma fase se mueven con la misma velocidad. Se incorporan leyes constitutivas.

Modelo unificado de los sistemas multifásicos ∂ψ α + ∇ · (v α ψ α ) = ∇ · τ α + g α ∂t α = 1, . . . , m

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Conclusiones

Modelo Matemático: recuperación secundaria

Modelo de petróleo negro (beta). I

I

I I

I I I

Tres fases: agua, aceite y gas. Estas fases están separadas en los poros. En la fase aceite hay dos componentes: aceite no volátil y gas disuelto. En las otras fases hay una sola componente. Hay intercambio entre las fases aceite y gas: el gas disuelto puede pasar a ser gas. El medio está completamente saturado. El medio está en equilibrio térmico. No hay difusión.

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Conclusiones

Modelo Matemático: recuperación secundaria Propiedades extensivas: I I I I

La masa del agua La masa del aceite no volatil (fase aceite) La masa del gas disuelto (fase aceite) La masa del gas

Propiedades extensivas Z w M (t) = φSw ρw dx B(t) Z o ¯ M (t) = φSo ρ¯o dx B(t) Z M dg (t) = φSo ρdg dx B(t) Z g M (t) = φSg ρg dx

Propiedades intensivas ψ w = φSw ρw dx ψ¯o = φSo ρ¯o dx ψ¯dg = φSo ρ¯dg dx ψ g = φSg ρg dx ρo = ρ¯o + ρ¯dg

B(t) LMCS (UNAM)

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Conclusiones

Modelo Matemático: recuperación secundaria Ecuaciones de balance global Z dM w (t) = g w dx dt B(t) Z ¯ o (t) dM ¯ o dx = g dt B(t) Z “ ” dM dg (t) g dg + ggo dx = dt B(t) Z “ ” dM g (t) = g dg + gog dx dt B(t)

Ecuaciones diferenciales de balance ∂(φSw ρw ) + ∇ · (φSw ρw v w ) ∂t ∂(φSo ρ¯o ) + ∇ · (φSo ρ¯o v o ) ∂t ˜ S ρ¯o ) ∂(φSo R + ∇ · (φSo ρ¯dg v o ) ∂t ∂(φSg ρg ) + ∇ · (φSg ρg v g ) ∂t

=

gw

=

¯o g

=

g dg + ggo

=

g g + gog

g

Sw + So + Sg = 1 y ggo + go = 0 Las g α corresponden a la extracción de cada fase; ggo es la masa de g gas que se disuelve en la fase aceite; go es la masa de gas disuelto que se volatiliza pasando a la fase gas. LMCS (UNAM)

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Modelo Matemático: recuperación secundaria Velocidad de Darcy para flujo multifásico u α = φSα v α ,

α = w, o, g

Sustituyendo la velocidad de Darcy se obtiene: ∂(φSw ρw ) + ∇ · (ρw u w ) = g w ∂t ∂(φSo ρ¯o ) ¯o + ∇ · (¯ ρo u o ) = g ∂t ˜ S ρ¯o ) ∂φ(Sg ρg + So R ˜ S u ) = gg + R ˜Sg ¯o + ∇ · (ρg u g + ρ¯o R o ∂t

Sw + So + Sg = 1 LMCS (UNAM)

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Modelo Matemático: recuperación secundaria Ley de Darcy : Flujo multifásico uα = −


kkr α ∇pα + ρα γ¯ µα

donde γ¯ representa la fuerza de la gravedad. Solubilidad: ˜ S ρ¯o ρdg = R Presiones capilares: pcgo (Sg ) = pg − po pcow (Sw ) = po − pw

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1

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Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases

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Modelo discreto

Modelo petróleo negro: 9 ecs. por nodo de la malla y el mismo número de incógnitas, (ρw , ρo , ρg , Sw , So , Sg , u w , u o , u g ). Modelo composicional: 2 × Nc + 9 ecuaciones en cada nodo, con el mismo número de incógnitas. Nc es el número de componentes. Para 80,000 nodos: I I

Petróleo negro: ≈ 7,2 × 105 Composicional: Nc = 5; ≈ 1,5 × 106 .

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Modelo discreto En general no existe solución analítica del modelo matemático. Se usan métodos numéricos para aproximar las soluciones bajo diferentes circunstancias. El problema se transforma en un modelo discreto: I

Discretización del espacio

I

Discretización de las ecuaciones matemáticas continuas.

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Modelo discreto: espacio En los métodos numéricos tradicionales se requiere de la construcción de una malla sobre el dominio físico de estudio. En SYP la generación de la malla es un proceso muy complejo, pues las mallas son irregulares y con fallas. Otra opción son los métodos libres de malla.

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Modelo discreto: ecuaciones Algunos métodos de discretización de las ecuaciones son: Diferencias finitas (MDF), Volumen finito (MVF), Elemento finito (MEF), Métodos espectrales, Métodos libres de malla, entre otros. En años recientes el método de MVF, originalmente desarrollado para mallas estructuradas, ha sido adaptado a mallas no estructuradas para geometrías complejas. Debido a esto el MVF ha sido utilizado en SNY, y de acuerdo con varios autores, es actualmente una buena opción a MDF y MEF. Bondades del MVF I I I I I

Menos grados de libertad Conservativo Más fácil de implementar que MEF. Menos esfuerzo computacional que MEF. Más preciso que MDF.

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Método de Volumen Finito (MVF) Existen dos posibilidades para ubicar las variables sobre la malla:

(a) Cell-Centered (CC) (b) Vertex-Centered (VC) LMCS (UNAM)

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Método de Volumen Finito (MVF) El MVF se deriva del método de residuos pesados: L(φ) = 0

Ecuación diferencial

φ¯ = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + am x m

Una solución aproximada

La substitución de φ¯ produce un residuo ¯ R = L(φ) Se desea que este residuo sea pequeño en algún sentido Z WRdx = 0 Ω

donde W es un función de peso y la integración se realiza sobre el dominio de interés Ω. LMCS (UNAM)

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Método de Volumen Finito (MVF)

Diferentes versiones del método resultan de la selección de diferentes tipos de funciones de peso. La función de peso más simple es ( 1 si x está en el volumen de control Wi (x) = 0 en otro caso Esta variante del método de residuos pesados es conocida como método de volumen de control o de volumen finito. Esta formulación implica que la integral del residuo sobre cada volumen de control debe ser cero.

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Método de Volumen Finito (MVF)

El método de volumen finito ha sido usado con éxito en la aproximación de soluciones de una amplia variedad de problemas en dinámica de fluidos, electromagnetismo, modelos biológicos y muchas otras áreas gobernadas por leyes de conservación. Los esquemas numéricos resultantes del FVM poseen propiedades de conservación locales intrínsecas.

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Etapas del MVF 1

Generación de la malla. El dominio de estudio se discretiza en un número de volúmenes de control no sobrepuestos, de tal manera que existe un volumen rodeando a cada punto de la malla.

2

Integración. Se realiza una integración de las ecuaciones gobernantes del problema sobre cada volumen de control del dominio de estudio.

3

Discretización. Se discretiza cada uno de los diferentes términos resultantes de la integración usando diferentes esquemas numéricos. Esto produce un sistema algebraico de ecuaciones.

4

Solución. Se utiliza algún algoritmo para resolver el sistema algebraico de ecuaciones. Dado que las matrices son en general dispersas, se prefieren algortimos iterativos. LMCS (UNAM)

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Malla del dominio

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MVF : Integración La ecuación general de transporte se puede escribir como sigue: ∂ψ ∂ ∂ ∂ + (uψ) + (v ψ) + (wψ) = ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ “ ∂ψ ” ∂ “ ∂ψ ” ∂ “ ∂ψ ” Γ + Γ + Γ + Sψ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

Integrando la ecuación anterior en un volumen de control, ∆V , y en un intervalo de tiempo, ∆t, se obtiene Z

Z ∆V

k

k +1

Z k +1 Z h i ∂ψ ∂ ∂ ∂ dtdV + (uψ) + (v ψ) + (wψ) dVdt = ∂t ∂y ∂z k ∆V ∂x Z k +1 Z h “ ” “ ” i ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ “ ∂ψ ” Γ + Γ + Γ + Sψ dVdt ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z k ∆V ∂x

donde k ≡ t y k + 1 ≡ t + ∆t. LMCS (UNAM)

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MVF : Integración Considerando que el valor de ψ prevalece sobre todo el volumen, es posible escribir: Z h i ψIk +1 − ψIk ∆V +

k +1

k +1

Z Cdt =

k

[D + S] dt. k

donde se han agrupado los términos convectivos, difusivos y el fuente en C, D y S, respectivamente. Esquema θ Z

k +1

i h fdt = θf k +1 + (1 − θ)f k ∆t

k k +1

Z =⇒ k

8 k > ˜ :ˆ k +1 f + f k ∆t para θ = 2

1 2

donde θ ∈ [0, 1]. LMCS (UNAM)

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Conclusiones

MVF Ahora, tomando en cuenta que el término fuente se linealiza ¯ mediante S∆V = Su + SP ψPk , se tiene: h

ψIk +1 − ψIk

i ∆V ∆t

h i k +1 k +1 = θ D(ψnb ) − C(ψnb ) + Su + SP ψIk +1

h i k k +(1 − θ) D(ψnb ) − C(ψnb ) + Su + SP ψPk C y D son funciones de ψnb evaluado en el instante k y/o k + 1, dependiendo del valor de θ. La forma de dichas funciones depende de los esquemas numéricos que se usen en la aproximación de los diferentes términos. LMCS (UNAM)

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Conclusiones

Sistema de ecuaciones algebráicas Ecuación general discreta en 3D: aP ψP = aW ψW + aE ψE + aS ψS + aN ψN + aB ψF + aB ψB + Su .

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Ejemplos de aplicación

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Ejemplos de aplicación

1

MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto

2

Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases

3

Conclusiones

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Ejemplos de aplicación

Conclusiones

TUNA::FVM Template Units for Numerical Applications: Finite Volume Method I I I I

Building blocks para el MVF Funciones, Clases, Espacios de nombres en C++ Parametrizados: dimension, precisión, esquemas numéricos Código abierto, GPL.

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TUNA::FVM

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Ejemplos de aplicación

Conclusiones

TUNA::FVM Ecuación general de transporte: ∂ψ + ∇ · (v ψ) = ∇ · τ + g ∂t Versión discreta usando FVM: aP ψP = aW ψW + aE ψE + aS ψS + aN ψN + aB ψF + aB ψB + Su .

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1

MMC en la producción del petróleo Modelo físico Modelo matemático Modelo discreto

2

Ejemplos de aplicación TUNA::FVM Flujo en una fase Flujo en dos fases

3

Conclusiones

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Ejemplos de aplicación

Conclusiones

TUNA::FVM - Extensión

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Test: flujo en una fase Se considera un dominio horizontal de material poroso, donde la presión inicial es p0 . Luego, la presión en un extremo se eleva a pL . La ecuación lineal, 1D, una fase, asumiendo permeabilidad, viscosidad y compresibilidad constantes, es: φµc ∂p ∂2p = 2 k ∂t ∂ x con condiciones dirichlet en los extremos. Los datos para este ejemplo de prueba son: φ = 0,2; µ = 1,0; k = 1,0; c = 10−4 ; L = 100; N = 10; pL = 2; PR = 1; Tm ax = 0,2; p0 = 1 LMCS (UNAM)

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Conclusiones

Usando TUNA::FVM

Construcción de la malla: I I

StructuredMesh mesh(length, num_nodes); float dx = mesh.getDelta(X);

Campos escalares: I

ScalarField1D p ( mesh.getExtentVolumes() );

Sistema lineal: I I

DiagonalMatrix< double, 1> A(num_nodes); ScalarField1D b(num_nodes);

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Conclusiones

Usando TUNA::FVM Ecuación a resolver: I

I I I I

ScalarEquation< CDS > single_phase(p, A, b, mesh.getDeltas()); single_phase.setDeltaTime(dt); single_phase.setGamma(Gamma); single_phase.setDirichlet(LEFT_WALL); single_phase.setDirichlet(RIGHT_WALL);

Ciclo de solución: while (t pressure(p, A, b, mesh.getDeltas()); pressure.setDeltaTime(dt); pressure.setPermeability(permeability); etc... pressure.setNeumann (LEFT_WALL, -injection * mu_w / permeability); pressure.setDirichlet(RIGHT_WALL); pressure.setSaturation(Sw);

Ecuación de saturación I

I I I I

TwoPhaseEquation< MySchemeExp > saturation(Sw, A, b, mesh.getDeltas()); etc... saturation.setDirichlet(LEFT_WALL); saturation.setDirichlet(RIGHT_WALL); saturation.setPressure(p);

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Ejemplos de aplicación

Conclusiones

Usando TUNA::FVM IMPES while (t