Problema Introductorio La Wyndor Glass Co. Produce artículos de vidrio de alta calidad, incluidas ventanas y puertas de vidrio que incluyen trabajo manual y la mejor hechura. Aunque los productos son costosos, llenan un nicho de mercado al ofrecer la mejor calidad disponible en la industria para los clientes más exigentes.
Problema Introductorio La compañía cuenta con tres plantas: La planta 1 fabrica marcos de aluminio y herrería. La planta 2 fabrica marcos de madera. La planta 3 fabrica el vidrio y ensambla ventanas y puertas.
Problema Introductorio Debido a las ventas decrecientes de ciertos productos, la alta dirección decidió reorganizar la línea de productos de la compañía. Se están descontinuando las líneas de productos no rentables, disponiendo capacidad de producción para lanzar dos nuevos productos: Una puerta de cristal de 8 pies con marco de aluminio y una ventana colgante con doble marco de madera de 4x6 pies
Problema Introductorio La puerta de 8 pies precisa alguna capacidad de producción en las plantas 1 y 3, mas no en la planta 2. La ventana de marco doble de 4x6 pies sólo requiere las plantas 2 y 3.
Problema Introductorio Las instalaciones de producción de la planta 1 necesarias para el nuevo tipo de puertas estarán disponibles 4 horas por semana. Las instalaciones de producción de la planta 2 estarán disponibles para el nuevo tipo de ventanas alrededor de 12 horas por semana. Las instalaciones requeridas por ambos tipos de productos en la planta 3 estarán disponibles aproximadamente 18 horas por semana.
Problema Introductorio La capacidad productiva de cada planta usada de hecho por cada producto depende de su tasa de producción. Se estima que cada puerta requerirá 1 hora de tiempo de producción en la planta 1 y 3 horas en la planta 3. Para cada ventana, se requerirán alrededor de dos horas en la planta 2 y 2 horas en la planta 3.
Problema Introductorio Analizando los datos de costo y la decisión de precios, el departamento de contabilidad estima las ganancias de los dos productos. Las proyección es que la ganancia unitaria será de $300 para las puertas y $500 para las ventanas.
Problema Introductorio La administración quiere conocer ¿cuál debe ser la cantidad de unidades de puertas y de ventanas a producir por semana de manera tal que se maximice la ganancia?
Variables de decisión • x: Cantidad de puertas a producir en una semana. • y: Cantidad de ventanas a producir en una semana.
Función Objetivo • Ganancia: monto total obtenido por la venta de las puertas y ventanas producidas en una semana. • Ganancia = 300x + 500y • Se desea Maximizar.
Restricciones Disponibilidad de horas para la producción en cada planta: • Planta 1: 1*x ≤ 4 • Planta 2: 2*y ≤ 12 • Planta 3: 3*x + 2*y ≤ 18 No negatividad 0≤x 0≤y
Modelo matemático completo Maximizar 300x + 500y Sujeta a x≤4 y≤6 3x + 2y ≤ 18 0≤ x, 0≤ y
Interpretación Gráfica del modelo • Las variables de decisión forman el sistema de ejes coordenados. • Las restricciones “enmarcan” la Región Factible. • La Función objetivo igual una constante es una isocuanta y se obtiene igualando la expresión a una constante.
Solución Gráfica del modelo • Representar todas las restricciones y hallar la región donde todas se interceptan, esta será la región factible. • Trazar isocuantas de la función objetivo, comenzando por valores cercanos a c y seguir hasta que se obtenga una isocuanta mas allá de la cual no exista ninguna otra que se intercepte con la región factible. • La solución del problema estará en el punto o los puntos de intercepción de esa isocuanta con la región factible.
Ejemplo: Considere ahora que por la introducción de nuevos equipos y la calificación de los obreros que ensamblan las ventanas es posible reducir el tiempo de producción en la planta 2 de dos horas a una. A continuación se representa el modelo matemático para esta nueva situación y se resuelve gráficamente.
Modelo matemático completo Maximizar 300x + 500y Sujeta a x≤4 y ≤ 12 3x + 2y ≤ 18 0≤ x, 0≤ y Note que la única restricción que cambia es la segunda o sea La que se impone sobre la capacidad de producción de la segunda planta