GUIA 3

M´ etodos cualitativos en ecuaciones diferenciales Es equivocado pensar que el objetivo principal del estudio de las ecuaciones diferenciales consiste en encontrar artificios del c´alculo que permitan resolverlas. En el cap´ıtulo anterior presentamos una selecci´on de t´ecnicas que permiten resolver algunas ecuaciones diferenciales. Como en toda selecci´on la lista no es completa. Existen tratados en donde se elaboran tablas de soluciones de manera an´aloga a las tablas de antiderivadas (ver [1] en las referencias bibliogr´aficas al final de esta gu´ıa). La pericia para resolver ecuaciones diferenciales va perdiendo poco a poco importancia con la llegada de los computadores y el dise˜ no de software especializado para computaci´on simb´olica. La tendencia actual es dejar al computador este tipo de tareas de c´alculo. Un programa como Mathematica1 puede resolver mediante instrucciones sencillas casi todas las ecuaciones diferenciales tratadas en este curso. Si Mathematica despierta su curiosidad consulte las referencias [3], [4] y [5] al final de esta secci´on. Mathematica no es el u ´nico programa para estos menesteres. Maple V2 , por ejemplo, goza de aceptaci´on en el medio universitario. Sin quitarle importancia a este tipo de programas debe quedar claro que ni el m´as refinado de los software ni el m´as ingenioso de los matem´aticos puede resolver en t´erminos de funciones elementales todas las ecuaciones diferenciales, ni siquiera las m´as importantes de ellas. El problema m´as que de habilidad es de principio. En casos tan simples como dx 1 = − + t, dt x se desconocen soluciones cl´asicas (v´ease referencia bibliogr´afica [2]). La b´ usqueda de recetas para resolver todas las ecuaciones diferenciales en t´erminos de funciones elementales es una b´ usqueda sin esperanzas. Ante este hecho se presentan algunas alternativas: los m´etodos cualitativos, los m´etodos num´ericos, y los m´etodos de aproximaci´on. No es parte de los objetivos de estas notas un estudio detallado al respecto. Se quiere sin embargo ilustrar estos m´etodos en algunos casos particulares.

1.

M´ etodos Cualitativos

En muchos problemas, m´as que c´alculos cuantitativos puntuales, lo que interesa es el comportamiento cualitativo de las soluciones en t´erminos de las condiciones iniciales o de valores de los par´ametros. Saber que una soluci´on es creciente, que es c´oncava o que tiene un l´ımite en el infinito puede ser de ayuda en el entendimiento de un modelo. Ocurre, que bajo ciertas circunstancias, podemos obtener tal informaci´on sin resolver expl´ıcitamente la ecuaci´on diferencial. 1 2

Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research Inc. Maple V es una marca registrada de Waterloo Maple Inc.

1

R1 xE = R2

a b

a 2b

xI = 0 R3 Figura 1: Soluciones de la ecuaci´on (1)

1.1.

El modelo de Verhulst

Resumiremos los principales resultados concernientes al modelo de Verhulst para la din´amica de poblaciones dx = x (a − b x), (1) dt tratado en la Gu´ıa de aplicaciones. Sabemos que la ecuaci´on (1) satisface las hip´otesis del teorema Fundamental, que las funciones constantes xE (t) = ab y xI (t) = 0 son soluciones (soluciones de equilibrio) de (1) y que los gr´aficos de xE y xI (ver figura 1) son rectas horizontales que dividen el plano tx en tres regiones n o n a ao R1 = (t, x) | < x , R2 = (t, x) | 0 < x < , R3 = {(t, x) | x < 0} , b b tales que el gr´afico de cualquier soluci´on no constante x = x(t) de (1) permanece confinado en una y s´olo una de estas regiones. M´as a´ un, pudimos determinar cu´ando es creciente, y cu´ando es decreciente la soluci´on x = x(t) de (1) a partir de la condici´on inicial x(t0 ) = x0 . El objetivo principal de esta secci´on es obtener informaci´on adicional relevante de las soluciones x = x(t) de (1) sin conocerlas expl´ıcitamente. Podemos por ejemplo determinar la concavidad de las soluciones. Derivando (1) con respecto a t obtenemos ¢ d ¡ dx d2 x 2 = . (2) a x (t) − b x (t) = (a − 2b x (t)) dt2 dt dt Recuerde que la soluci´on estar´a confinada a la regi´on a la pertenece la condici´on inicial (t0 , x0 ). Tal como hicimos en la Gu´ıa de aplicaciones estudiaremos los siguientes casos Si ab < x0 , sabemos que el gr´afico de la soluci´on x = x(t), t ∈ I est´a contenido en R1 y que la soluci´on x = x(t) es estrictamente decreciente. Esto significa que ab < x(t), 2 y por lo tanto a − 2b x (t) > 0. Por eso al reemplazar en (2) tenemos ddt2x > 0. Por lo tanto la funci´on x = x(t) es c´oncava hacia arriba. Si 0 < x0 < ab , vimos en la Gu´ıa de aplicaciones que 0 < x(t) < ab y dx > 0. Teniendo dt en cuenta (2) se puede ver que la soluci´on x = x(t), t ∈ I, es c´oncava hacia abajo a a < x(t) < ab , y c´oncava hacia arriba si se cumple que 0 < x(t) < 2b . siempre que 2b 2

An´alogamente, si x0 < 0, se demuestra que la soluci´on x = x(t), t ∈ I, es estrictamente decreciente y c´oncava hacia abajo. La figura 1 resume el an´alisis de crecimiento y concavidad de las soluciones de (1). Tal como se se˜ nal´o en la Gu´ıa de aplicaciones, el intervalo de definici´on³ I de x = x(t) ´ depende de x0 y de t0 . Por ejemplo, si t0 = 0 y x0 > ab , entonces I = a1 ln b xb 0x−a , ∞ , 0 mientras que I = (−∞, ∞) si 0 ≤ x0 ≤ ab . Recuerde que mediante c´alculo directo se obtiene l´ımt →∞ x(t) = ab siempre que x0 > 0.

1.2.

Ecuaciones diferenciales aut´ onomas

La t´ecnica empleada en el modelo de Verhulst puede extenderse a una clase relativamente amplia de ecuaciones diferenciales. Definici´ on 1. Diremos que una ecuaci´on diferencial de primer orden es aut´onoma si se puede expresar en la forma dx = f (x), (3) dt donde f :Ω → R es una funci´on de valor real definida en un intervalo abierto Ω. Por ejemplo, la ecuaci´on de Verhulst (1) es aut´onoma, mientras la ecuaci´on diferencial = (sen t) x no lo es. N´otese que para una ecuaci´on aut´onoma las condiciones del teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones se reducen a exigir que la funci´on f tenga derivada cont´ınua en Ω, de modo que en adelante supondremos v´alido el siguiente dx dt

Supuesto. Suponderemos que f en (3) tiene derivada continua en el intervalo abierto Ω. Soluciones maximales. Dados t0 ∈ R y x0 ∈ Ω se garantiza la existencia de una u ´nica soluci´on de (3), definida sobre cierto intervalo I ⊂ R , que satisface la condici´on inicial x(t0 ) = x0 . M´as a´ un, supondremos que I es maximal, en el sentido de que es el mayor intervalo donde la soluci´on del problema de valor inicial est´a definida. Por ejemplo, el intervalo maximal de definici´on del problema de valor inicial, dx = x2 , x(1) = −1, es (0, ∞), aunque la soluci´on dt x(t) = −1/t tambien est´a definida en cualquier subintervalo de (0, ∞). Definici´ on 2. Las soluciones constantes x(t) = c, t ∈ R, de (3) se llaman soluciones de equilibrio o simplemente equilibrios. Interpretando una ecuaci´on diferencial como la descripci´on de un sistema din´amico, los equilibrios son aquellos estados en los que el sistema no cambia con el tiempo. Supongamos que x(t) = c es un equilibrio de (3). Reemplazando en (3) tenemos que para todo n´ umero real t x0 (t) = 0 = f (x(t)) = f (c). De acuerdo con esto, las soluciones de equilibrio c se determinan resolviendo f (c) = 0. Por ejemplo, en el modelo de Verhulst (1) las soluciones de equilibrio se obtienen resolviendo x (a − b x) = 0, de donde resultan xE (t) = ab y xI (t) = 0. 3

Teorema 1. Cualquier soluci´on de (3) es o bien una soluci´on de equilibrio o una funci´on estrictamente mon´otona. Demostraci´on. Sea x(t), t ∈ I, una soluci´on (maximal) de (3). Demostraremos que si x tiene un punto cr´ıtico (punto donde se anula la derivada), entonces x(t) es constante. Para ello, supongamos que x0 (te ) = 0 con te ∈ I y sea xe = x(te ). Puesto que x(t) es soluci´on se tiene: dx = f (x(t)), dt

t ∈ I.

En particular para t = te , se tiene que x0 (te ) = f (x(te )) = 0. En consecuencia, la funci´on constante y(t) = xe , t ∈ R, es una soluci´on de equilibrio de (3). Tenemos que tanto x como la soluci´on constante y son soluciones de (3) que satisfacen la misma condici´on inicial en t = te . Se sigue entonces del Teorema Fundamental que x(t) = y(t) = xe . El teorema anterior no es v´alido para ecuaciones diferenciales no aut´onomas. Para muestra obs´ervese que la funci´on x(t) = e1−cos t , t ∈ R, es soluci´on de dx = (sen t) x. Sin embargo, dt x = x(t) no es creciente ni decreciente ni constante. Como ejercicio se propone esbozar el gr´afico de x(t) = e1−cos t . Determinar el intervalo de definici´on de una soluci´on (maximal) de una ecuaci´on diferencial aut´onoma es un problema no trivial. El siguiente resultado es de gran ayuda en ese respecto. Teorema 2. Sean Ω = (α, β), x0 ∈ Ω y t0 ∈ R. Si x = x(t), t ∈ (a, b) es la soluci´on maximal de (3) que satisface x(t0 ) = x0 , entonces los l´ımites l´ım x(t) y

t→a+

l´ım x(t)

t→b−

existen (sin perjuicio de que puedan ser infinitos). M´as a´ un, si los l´ımites anteriores se denotan por A y B respectivamente, entonces A debe tomar uno de los valores α o β si a 6= −∞. An´alogamente B debe tomar uno de los valores α o β si b 6= ∞. Demostraci´on. Los l´ımites existen pues el Teorema 1 garantiza que x es una funci´on m´onotona. La figura 2 ilustra el caso en que x es estrictamente creciente. Suponga que b 6= ∞ y que α < B < β. El Teorema Fundamental de existencia y unicidad establece la existencia de una soluci´on x˜ = x˜(t) que satisface x˜(b) = B, definida en un intervalo abierto que contiene a b. En particular, x˜ est´a definida en un intervalo de la forma (b, b + ²) para alg´ un ² > 0. En ese caso podr´ıa construirse una soluci´on y = y(t) de la ecuaci´on, que estar´ıa definida en (a, b + ²), de acuerdo con la siguiente f´ormula:   x(t) si a < t < b, y(t) = B, si t = b,   x˜(t) si b < t < b + ². En efecto, como y coincide con x en (a, b) y con x˜ en (b, b + ²), se tiene que y = y(t) es soluci´on en dichos intervalos. De otro lado, y es derivable en t = b y y 0 (b) = f (y(b)) puesto que l´ım− y 0 (t) = l´ım− f (x(t)) = f (B) = l´ım+ f (˜ x(t)) = l´ım+ y 0 (t). t→b

t→b

t→b

4

t→b

β B t0

b

b+²

gr´afico de x gr´afico de x ˜ x0

Figura 2: Ilustraci´on en el Teorema 2 De donde y 0 (b) = f (B) = f (y(b)). Dado que el intervalo I = (a, b) es maximal se concluye que B = α o B = β. An´alogamente se demuestra que si a 6= −∞, entonces A debe tomar uno de los valores α o β. = x (1 − x) de (1). Como ilustraci´on del teorema 2 consideremos el caso particular, dx dt En este caso α = −∞ y β = ∞. Para 0 < x0 < 1, sea x = x(t), t ∈ I = (a, b), la soluci´on que satisface x(t0 ) = x0 . Como sabemos, el gr´afico de x est´a contenido en R2 (ver figura 1). Por consiguiente 0 < x(t) < 1, a < t < b, de lo que se sigue (con la notaci´on del teorema 2) 0 ≤ B ≤ 1. En consecuencia b = ∞. An´alogamente se muestra que a = −∞, con lo que podemos determinar que I = R sin c´alculos expl´ıcitos. Teorema 3. Si c ∈ Ω y x = x(t) es una soluci´on de (3) tal que l´ımt→∞ x(t) = c o l´ımt→−∞ x(t) = c, entonces x(t) = c, t ∈ R, es una soluci´on de equilibrio. Demostraci´on. Todo lo que hay que probar es que f (c) = 0. Digamos que f (c) > 0. Entonces existen un ² > 0 y un δ > 0 tal que f (x) > ² > 0 si |x − c| < δ. Como l´ımt→∞ x(t) = c, existe un t0 ∈ R tal que |x(t) − c| < δ si t ≥ t0 . Por el Teorema Fundamental del C´alculo se tiene Z t Z t 0 x(t) = x(t0 ) + x (ξ) dξ = x(t0 ) + f (x(ξ)) dξ. t0

t0

Por eso x(t) > x(t0 ) + ² (t − t0 ) ,

t ≥ t0 ,

lo que contradice l´ımt→∞ x(t) = c. A una contradicci´on an´aloga se llega si f (c) < 0.

5

1.3.

Equilibrios y estabilidad

Definici´ on 3. Un equilibrio c de la ecuaci´on diferencial (3) es estable si toda soluci´on x = x(t) de (3) que en el instante inicial t0 toma un valor x0 suficientemente cercano a c, permanece pr´oxima a c para todo t > t0 . Es decir, |x0 − c| peque˜ no implica

|x(t) − c| peque˜ no

para todo t > t0 ,

equivalentemente, para todo ² > 0 existe δ > 0, δ = δ(²), tal que |x0 − c| < δ

implica

|x(t) − c| < ² para todo t > t0 .

Si adem´as se tiene l´ımt→∞ x(t) = c, se dice que el equilibrio es asint´oticamente estable. Los equilibrios que no son estables se llaman equilibrios inestables. Ejemplo 1. x = 0 es el u ´nico equilibrio de x0 = x. Adem´as x(t) = x0 et−t0 es la u ´nica soluci´on que en el tiempo t0 toma el valor x0 . No importa que tan cercano est´e el valor inicial x0 de 0, se tiene ½ ∞ si x0 > 0 t−t0 = l´ım x(t) = l´ım x0 e −∞ si x0 < 0 t→∞ t→∞ Esto implica que x = 0 es un equilibrio inestable.

Ejemplo 2. x = 0 es una soluci´on de equilibrio de x0 = −x. Se verifica que x(t) = x0 e−(t−t0 ) es la soluci´on que en el tiempo t0 toma el valor x0 . Sin importar el valor de x0 se tiene l´ımt→∞ x(t) = 0. Esto muestra que 0 es un equilibrio asint´oticamente estable. Ejemplo 3. En general, x = 0 es el u ´nico equilibrio de x0 = a x. El equilibrio ser´a estable si a < 0 e inestable si a > 0 (Ver Figuras 3 y 4). a>0

a 0 se tiene l´ımt→∞ x(t) = ab , lo que prueba la estabilidad del equilibrio xE . Presentaremos una interpretaci´on demogr´afica de la estabilidad del equilibrio ab . Si la poblaci´on inicial es ab entonces la poblaci´on conserva este valor a medida que pasa el tiempo (esto es claro de la definici´on de soluci´on equilibrio). Imaginemos ahora que se produce una perturbaci´on que afecta a la 6

f (x)

c+δ x c−δ

x0

c

Figura 5: poblaci´on por un tiempo muy corto, digamos un virus, y el n´ umero de habitantes se reduce a 0 < x0 < ab . Si el efecto que produce la mortalidad cesa en el tiempo t0 , y si no se present´o extinci´on total, entonces se presentar´a una recuperaci´on asint´otica. Esto se pone de manifiesto con la relaci´on l´ımt→∞ x(t) = ab . La ecuaci´on de Verhulst tiene otro equilibrio xI (t) = 0, t ∈ R, el cual es inestable. Invitamos al lector a que lo demuestre.

1.4.

Criterios para la estabilidad de equilibrios

Presentaremos ahora un criterio para identificar los equilibrios estables e inestables de una ecuaci´on aut´onoma. Teorema 4. Si c es un equilibrio de (3) y si f 0 (c) < 0 (respectivamente f 0 (c) > 0), entonces x(t) ≡ c es un equilibrio asint´oticamente estable (respectivamente inestable). Rec´ıprocamente, todo equilibrio estable x(t) ≡ c (respectivamente inestable) satisface f 0 (c) ≤ 0 (respectivamente f 0 (c) ≥ 0). Demostraci´on. Sea c un equilibrio de (3) y supongamos que f 0 (c) < 0. Entonces f es estrictamente decreciente en un intervalo (c − δ, c + δ), c es el u ´nico equilibrio de f en ese intervalo y f (x) > 0 si c − δ ≤ x ≤ c. Dados ahora c − δ < x0 < c y t0 arbitrario, sea x(t), t ∈ I, I = (a, b), la soluci´on maximal de (3) que satisface x(t0 ) = x0 . Dado que x0 (t0 ) = f (x0 ) > 0, el teorema 1 garantiza que x es estrictamente creciente en I. De otro lado, el gr´afico de x no puede interceptar al gr´afico de la soluci´on constante x = c. Por eso x(t) ≤ c para todo t ∈ I = (a, b). Si B = l´ım− x(t), entonces x0 < B ≤ c y se tendr´ıa, de acuerdo con el teorema t→b

2, que b = ∞. En ese caso B debe ser un equilibrio de acuerdo con el teorema 3. Pero x = c es la u ´nica soluci´on de equilibrio en (c − δ, c + δ), por lo que B = c y l´ımt→∞ x(t) = c. A una conclusi´on an´aloga se llega si c ≤ x0 ≤ c + δ, de donde se sigue que x = c es asint´oticamente estable Ahora mostraremos que la estabilidad del equilibrio c implica f 0 (c) ≤ 0. Para facilitar la argumentaci´on supondremos que c es un equilibrio asint´oticamente estable de (3) lo que implica que no existen otros equilibrios cerca de c. Sea δ > 0 lo suficientemente peque˜ no 7

x

2/π

R0 1/2

1/ π

solucion de equilibrio

c1 t

Figura 6: Gr´afico de la soluci´on de (4) para garantizar que l´ımt→∞ x(t) = c, si x = x(t) es una soluci´on de (3), que satisface x(t0 ) = x0 ∈ (c − δ, c + δ). Si x0 ∈ (c − δ, c), un argumento an´alogo al presentado en la primera parte del teorema muestra que x = x(t) tiene que ser estrictamente creciente de modo que dx = f (x(t)) ≥ 0 pata todo t > t0 . Ahora, como x = x(t) asume todos los valores dt entre x0 y c se tiene que f (x) > 0 para todo x en el intervalo (x0 , c). Teniendo en cuenta que f es derivable se concluye que f 0 (c) ≤ 0. Lo anterior se ilustra en la figura 5.

1.5.

Un ejemplo

El Teorema Fundamental garantiza que existe una u ´nica soluci´on del problema de valor inicial 1 1 x0 (t) = sen , x(0) = . (4) x 2 El asunto es ¿cu´al es esa soluci´on? Desde luego que se puede aplicar la rutina conocida de separaci´on de variables y obtener Z

x(t) 1 2

1 du = t. sen u1

Pero esto es cambiar un problema por otro de igual dificultad, puesto que no conocemos una expresi´on para esta u ´ltima integral en t´erminos de funciones elementales. Queda pues en pie la pregunta inicial. La ecuaci´on (4) es aut´onoma con f (x) = sen x1 , x > 0. Existe un n´ umero infinito de 1 soluciones de equilibrio dadas por las constantes cn = nπ , n ∈ N. Consideremos ahora las franjas Rn delimitadas por dos rectas horizontales que corresponden a los gr´aficos de dos soluciones de equilibrio consecutivas cn y cn+1 . Por convenci´on escribiremos © ª R0 := (t, x) ∈ R2 : x > c1 .

La uni´on de todas estas franjas (incluida la franja R0 ) es todo el semiplano R2+ . As´ı, cualquier soluci´on, que no sea soluci´on de equilibrio, ser´a una funci´on mon´otona y su gr´afico 8

estar´a confinado en alguna de estas franjas. Consideremos ahora la soluci´on x = x(t) que un el teorema 1 x ser´a estrictamente creciente. satisface la condici´on inicial x0 = 12 . Seg´ Sea I = (a, b) el dominio de definici´on de x. Mostraremos que b = ∞. Por contradicci´on, supongamos que b < ∞ de modo que l´ım− x(t) = ∞, de acuerdo al teorema 2. Ahora bien, t→b

sabemos que

0 < x0 (t) = sen

1 < 1, x(t)

0 < t < b.

Integrando esta u ´ltima desigualdad se tiene x(t) < 1/2 + t, para todo 0 < t < b, lo cual es contradictorio. El tipo de concavidad de la soluci´on se sigue de µ ¶ 1 2 1 1 0 00 x (t) = − cos . 2 x (t) = − 2 sen x (t) (x(t)) x (t) 2 (x(t)) La soluci´on es c´oncava hacia arriba cuando x(t) < π2 , y c´oncava hacia abajo cuando para x(t) > π2 . Esta informaci´on se recopila en la figura 6 Dado que la soluci´on x = x(t) es estrictamente creciente los l´ımites cuando t → ∞ y t → −∞ existen. Debido a que no existen soluciones de equilibrio xc (t) = c con c > π1 , se tiene, en virtud del teorema 2, que l´ım x(t) = ∞,

l´ım x(t) =

t→∞

t→−∞

1 . π

Problemas. 1. Muestre que la funci´on sen t no puede ser soluci´on de ecuaci´on diferencial alguna de = f (x), donde f satisface las hip´otesis del Teorema Fundamental. Muestre la forma dx dt que x(t) = sen t satisface dx √ = 1 − x2 . dt ¿Hay alguna contradicci´on en esto? 2. La ecuaci´on diferencial du = n u2/3 − k u, dt

(n, k > 0 constantes)

para una funci´on u = u(t) es un caso particular de la ecuaci´on de Von Bertalanffy que modela el tama˜ no de ciertos peces. a) Haga ver que el Teorema fundamental de existencia y unicidad no es aplicable aqu´ı para garantizar la existencia de una soluci´on que satisface la condici´on inicial u(0) = 0. b) Determine las soluciones de equilibrio y mediante un an´alisis cualitativo esboce las gr´aficas de las soluciones. 9

c) ¿Puede usted encontrar dos soluciones distintas que satisfagan la misma condici´on inicial u(0) = 0 ? 3. Clasifique los equilibrios de las siguientes ecuaciones diferenciales como estables o inestables. a) x0 = x1/2 , b) x0 = −x4 , c) x0 = x sen x2 , d) x0 = x2 , e) x0 = −x3 , f) x0 = x sen x, 0 2 g) x = x(x + 1)(x − 2)(x + 3) . ¡ ¢ 4. Trazar un gr´afico cualitativo de la soluci´on de x0 = sen x1 , x(0) = 41 . ¡ ¢ 5. Determine la estabilidad o inestabilidad de todos los equilibrios de x0 = sen x1 .

= a x3 − b x2 , donde a y b son constantes positivas, hallar las 6. Dada la ecuaci´on dx dt soluciones de equilibrio y determinar su estabilidad. Mediante un an´alisis cualitativo trace un bosquejo de las curvas soluci´on, especificando los puntos de inflexi´on.

2.

M´ etodos num´ ericos Se busca una aproximaci´on x e de la soluci´on x = x(t) del problema de valor inicial x0 (t) = f (t, x(t)),

x(t0 ) = x0 .

Supondremos que f : J × Ω → R es una funci´on continuamente diferenciable, y que x(t) est´a definida en un intervalo [a, b]. Primero se definir´a la aproximaci´on x e en n puntos equidistantes t0 , t1 , ..., tn = b, con con a = t0 , tj+1 = tj + h, para j = 0, 1, . . . , n − 1 y h = b−a . El n n´ umero h se conoce como longitud de paso. Luego, en los valores intermedios t ∈ ( tj+1 , tj ) se puede definir la aproximaci´on x e mediante alg´ un m´etodo de interpolaci´on. En esta secci´on nos limitaremos a mostrar algunas ideas generales con ayuda de ejemplos. El lector interesado puede encontrar en [6] mayores detalles.

2.1.

El m´ etodo de Euler

La definici´on de derivada nos indica como hallar la aproximaci´on x e. En efecto, se tiene x(t + h) − x(t) . h→0 h

x0 (t) = l´ım

Esto justifica la aproximaci´on x(t + h) ≈ x(t) + h x0 (t). Si x = x(t) es soluci´on de la ecuaci´on diferencial, entonces x(t + h) ≈ x(t) + h f (t, x (t)) . 10

Figura 7: Soluci´on de x0 = x, x(0) = 2 y su aproximaci´on dediante el m´etodo de Euler.

Como t0 y x0 son datos del problema, entonces la aproximaci´on en t1 = t0 + h est´a dada por x(t1 ) = x(t0 + h) ≈ x(t0 ) + h f (t0 , x (t0 )) . Escribiendo x e1 = x(t0 ) + h f (t0 , x (t0 )) se puede calcular la aproximaci´on x e2 de x(t2 ) con t2 = t0 + 2h mediante x(t2 ) = x(t0 + 2h) ≈ x(t0 + h) + h f (t0 + h, x (t0 + h)) ≈x e1 + h f (t1 , x e1 ) .

Escribimos x e2 = x e1 + h f (t1 , x e1 ) . Generalizando se tiene la regla recursiva x e0 = x0 x ej+1 = x ej + h f (tj , x ej ) ,

j = 1, . . . , n − 1.

.

El pr´oximo paso es definir la aproximaci´on x e en todo punto t de [a, b]. Si t = tj definimos x e(tj ) = x ej , y si t ∈ ( tj+1 , tj ) es un valor intermedio definimos x e(t) mediante interpolaci´on lineal. Es claro que la aproximaci´on x e=x e(t) as´ı definida depende de la longitud de paso h, o lo que es lo mismo, depende del n´ umero n de partes en que se haya subdividido el intervalo [a, b]. El siguiente teorema precisa en que sentido x e(t) es una aproximaci´on de x(t). Teorema 5. Existe una constante C > 0 (que depende del intervalo [a, b] y de la funci´on f ) tal que C |x (t) − x e (t)| < , t ∈ [a, b]. n se tiene la estimaci´on equivalente Con h = b−a n |x (t) − x e (t)| <

2.2.

C |h| b−a

t ∈ [a, b].

El m´ etodo de Runge-Kutta

Un m´etodo m´as eficiente se obtiene con la regla recursiva x e0 = x ej+1 =

x0 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) + x ej k1 = ej ) ¢ ¡ h f (tj , x ej + 12 k1 ¢ k2 = h f ¡tj + h2 , x ej + 12 k2 k3 = h f tj + h2 , x k4 = h f (tj + h, x ej + k3 ) , j = 1, . . . , n − 1.

1 6

11

x R-K E

Figura 8: Comparaci´on de los m´etodos De manera an´aloga se define una aproximaci´on x e(t) definida para todo t en [a, b] de la soluci´on x = x(t). Como ilustraci´on se comparar´an los dos m´etodos en la ecuaci´on diferencial x0 = 10 cos (20 t) x(t), x(0) = 2. 10 Con longitud de paso h = 19 , [a, b] = [0, 27 ] en ambos m´etodos. Los resultados se consignan en la figura 8. Para el m´etodo de Runge-Kutta existe una constante C tal que

Referencias

|x (t) − x e (t)| < C |h|4

t ∈ [a, b].

[1] Murphy, G. Ordinary differential Equations and their Solutions. D. Van Nostrand Company, Princeton, New Jersey, 1960. Este es un manual de consulta en donde se rese˜ nan muchos m´etodos para obtener soluciones expl´ıcitas de ecuaciones diferenciales. [2] Lehning, H. From experimentation to solution. Am. Math. Mon., 96 (1989), pg, 631. Es un art´ıculo dedicado a la ecuaci´on diferencial x0 = t − x1 . [3] Wolfram, S. Mathematica a System for Doing Mathematics by Computer. Second Edition. Addinson-Wesley Publishing, 1991. Libro de referencia estandar sobre el programa Mathematica. [4] Gray, T, and Glynn, J. Exploring Mathematics with Mathematica. AddinsonWesley Publishing, 1991. Libro introductorio al programa Mathematica. [5] Gray, A., Mezzino, M., and Pinsky, M. Ordinary Differential Equations with Mathematica. Springer Verlag, 1996. Es un texto de reciente aparici´on en el mercado internacional. Viene acompa˜ nado de un disco compacto (CD) con programas escritos en Mathematica para experimentaci´on num´erica y visualizaci´on de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. [6] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. Numerical Recipes in C. Cambridge, 1992. Libro de referencia para ingenieros y cient´ıficos que deseen aplicar el an´alisis num´erico. 12