MMII_L3_C5: Problema de la cuerda finita: Métodos directo y de las imágenes. Guión: En esta lección se estudia el problema de una cuerda finita, por lo tanto, es el problema con dos condiciones de contorno. Como métodos de cálculo desarrollaremos el método directo y el de las imágenes. El método directo es el mismo que se estudió en la clase de la cuerda semi infinita con condiciones de contorno mixtas Dirichlet-Newmann, solo que ahora pueden aparecer en cualquiera de las dos condiciones de contorno. El método de las imágenes lo emplearemos preferentemente cuando las condiciones de contorno sean de tipo Dirichlet o Newmann. Los libros recomendados son los apuntes de “Métodos Matemáticos II” de la Escuela y el ya mencionado de Tijonov-Samasrki. Ejercicio recomendado 1: utt

4 x, x

con:

u( x, 0)

f ( x)

x

- uxx = 0,

0,

0,1 , t

0

1 4

4 x 2, x

1 1 , 4 2

0, resto

ut ( x, 0)

g ( x)

x, x

ux (0, t )

h1 (t )

t, t

0,1 ; 0; ux (1, t )

h2 (t )

t, t

0

Se pide: 1. Obtener la solución por zonas para resolver el apartado siguiente. 1 5 2. Dibujar la solución u(x,t) para los valores de t igual a , 1 y 2 2 _______________ 1

Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a

clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran posibles erratas, y a la consulta de la bibliografía recomendada.

1

Ejercicio recomendado 2:

u( x,0)

con:

ut ( x,0)

utt - uxx = x,

x

x3 6

2, x

f ( x ); f ( x )

g ( x ) 0, x

u(0, t ) h1 (t ) 0, t

0,5 , t

0

2,3

0, resto

0,1 ; 25 , t 2

0; ux (5, t ) h2 (t )

0

Se pide: 1. Aplicando el método de las imágenes, obtener la expresión genérica de la solución en términos de las funciones extendidas. 2. Obtener la solución por zonas para resolver el apartado siguiente. Ejercicio recomendado 3:

utt

uxx

0, x

u( x,0) 2, x

Dado el modelo:

0,1 , t

0

0,1 ; ut ( x,0) 0, x

u(0, t ) ux (0, t ) 1, t

0,1

0; u(1, t ) 1, t

0

Se pide la solución en u(x,3/4).

Notas de clase de la cuerda finita Problema de cuerda finita homogéneo:

utt

c 2uxx

t

0,

x

0, l ,

u(0, t )

h1 (t ),

t

0

u (l , t )

h2 (t ),

t

0

t

0

l

u( x,0)

f ( x ),

x

0, l

ut ( x,0)

g ( x ),

x

0, l

x

La FF busca soluciones, u C 2 , por lo que será necesario que

f , h1 , h2

C2 , y g

C1 en sus correspondientes dominios de definición, mientras que la

condición de compatibilidad de los datos, para condiciones de contorno Dirichlet (ccD) a ambos lados de la cuerda finita, se expresa como:

x

0

f (0)

h1 (0)

g (0)

h1´(0)

cf ´´(0)

h1´´(0)

x

l

f (l )

h2 (0)

g (l )

h2 ´(0)

cf ´´(l )

h2 ´´(0)

2

Por el método directo: Igual como hicimos en el caso de la cuerda semi infinita, resolveremos para el caso de CCD. De acuerdo con lo que vimos, y para el caso que las singularidades en los datos se concentren en x = 0 y en x = l. la solución quedará dividida en zonas que se representan t

en la figura:

7 5

6 4

2

3

1 -l 1

0

x

l

,

0

1

, es la parte de la perturbación inicial que se desplaza hacia la derecha

( x ct ) con velocidad c.

( x ct ) , es la parte de la perturbación inicial que se desplaza hacia la izquierda con velocidad c. Como se observa en la figura, hay zonas que dependen de una, de las dos o de ninguna de las CCD, por lo que las soluciones serán: la solución será la dada por la FD’A:

Zona 1: no le afectan las CCD u1 ( x, t ) 0

( )

0

( x ct )

f( ) 2

0

( x ct ) , donde:

1 g ( s)ds ; 2c 0

0

f( ) 2

( )

1 g ( s)ds , 2c 0

0,l

Zona 2: sólo le afecta la CCD de la izquierda; la solución será uII y donde

1

II

1

0

1

,

se determina imponiendo la condición de contorno correspondiente:

uII (0, t )

h1 (t )

ct

1

0

( )

(ct ) h1 (

1

c

)

( ct ) 0

(

h1 (t ); ),

l, 0

, por lo que la solución en la zona 2 será uII ( x, t )

0

( x ct )

1

( x ct ) ; si se

desarrolla esta expresión, se comprueba que coincide con la solución obtenida para la zona 2 en el caso de la cuerda semiinfinita con condiciones similares. Zona 3: se ve afectada por la CCD de la derecha; la solución de esta zona resulta

3

uIII

III

III

0

, donde

1

1

tiene por dominio de definición (l,2l) y se calcula

imponiendo la CCD, teniendo en cuenta que tomaremos l 1

l

( ) h2 (

c

)

0

(2l

) , la solución es: uIII ( x, t )

ct 1

( x ct )

l , 2l por lo que 0

( x ct )

Zona 4: se ve afectada por las dos CCD, pero las funciones incógnita en esta caso serían uIV ( x, t )

1

,y

1

1

, que ya están calculadas, de forma que:

( x ct )

1

( x ct )

Zona 5: se ve afectada por las dos CCD, pero en este caso, la función incógnita por dominio de definición el intervalo (-2l,-l) por lo que

-2

tiene

se determinará imponiendo

de nuevo la condición de contorno correspondiente, mientras que la función incógnita será la conocida

1

.

Así se sigue con todas las zonas hasta que se obtiene la solución general para todas las zonas. Ver apuntes de la Escuela.

Ejercicio recomendado: Obtener la solución de la cuerda finita cuando tenemos condiciones de contorno Newmann (CCN) a ambos lados, o cuando tenemos condiciones de contorno mixtas.

Método de las imágenes: Partiendo de las mismas hipótesis que en el caso de la cuerda semi infinita. Se resolverá con dos CCD homogéneas. Igual se podría hacer con dos CCN o con CCN en un lado y CCD en el otros, etc. El PCH equivalente en la cuerda infinita (PChE) se define por extensión simétrica o antisimétrica de las funciones datos iniciales, de acuerdo con el tipo de condiciones de contorno que se tengan en cada caso. La justificación del cumplimiento de las CC homogéneas se haría de la misma forma como se hizo en el caso de la cuerda semi infinita. Vamos a considerar el caso con CCD en ambos lados: Partiendo del dominio de definición de problema iremos considerando las CCD a uno y otro lado, tomando en cada caso la extensión antisimétrica, empezando en el origen y extendiendo el análisis a toda la recta real. Se obtiene que la solución es la extensión antisimétrica en x respecto al origen y periódica de periodo 2l,

4

t

-f(-s) -g(-s)

f(s) g(s)

-l

-f(-s) -g(-s) l

x

2l

El valor de las funciones f y g (y de F en su caso) vendrá dado por la expresión, en el caso de f: f

f a ( x 2kL)

f ( x 2kL) f ( x 2kL)

,

x

2k 1 L, 2k 1 L

Ej1_L3_c5: Como ejemplo se va a representar el caso f

x

x

k

0, L , con dos

CCD. La función extendida del PCHA es de la forma:

f L s=x+4L

s=x+2L

-4L

-2L

s=x-2L

s=x

s=x-4L

2L

4L

x

-L , donde s son coordenadas locales de la zona en la que se está, y x-2kL coordenadas globales de los ejes de la figura. Para el mismo valor de las funciones dato y con dos CCN. La función f extendida viene definida por:

f

s

f ( x k 2 L)

f ( x k 2 L) , f ( x k 2 L)

x

2k 1 L, 2k 1 L ,

, que representada queda de la forma:

k

f

L s=-(x+2L)

s=x+2L

s=-(x-2L) s=-x

-3L

-2L

-L

s=x

s=x-2L L

2L

3L

x

Ejercicio recomendado: Hacer la extensión de f=1-x tanto para CCN, como para CCD.

5

Ej2_L3_c5:

utt

uxx

x cos(t )

u ( x, 0) 1

ut ( x, 0) 0

u (0, t ) 0

u (1, t ) cos(t )

buscando soluciones particulares se encuentra que

( x, t )

x cos(t ) es una solución de

la ecuación que verifica las condiciones siguientes: ( x, 0) x 0 t ( x, 0) ( o, t ) 0 (1, t ) cos(t )

por lo que es una solución que homogeniza la ecuación y las condiciones de contorno; así pues, haciendo el cambio u

y aprovechando la linealidad de la ecuación se

v

obtiene un nuevo problema dado por:

Lv

0

v( x, 0) 1 x vt ( x, 0) 0

f g

v(0, t ) 0 h1 v(1, t ) 0 h2 Resolviendo por el método de las imágenes, de forma que se hace una extensión antisimétrica y periódica de la función f, a la que se llama f resulta ser:

f=-3-x

f=-1-x

f=-1-x

f=1-x

f=1-x -x

f=3-x

x

La solución de este nuevo problema viene dada por la fórmula de D´Alambert con g=0, por lo que resulta v( x, t )

1 f ( x t) 2 t

f ( x t ) quedando dividida en zonas:

10 8

9 7

5

6 t2

4 2

3 1

t1

x

6

Se observa que, con la forma de la solución, se cumple que la solución no se divide realmente en tantas zonas, ya que v1 v2

v4

v5

v8

v10

....

v3

v6

v7

v9

...... 1 x, y

x . Esto se podía haber visto debido a la discontinuidad

en los datos, puesto que f (0) 1 h1 (0)

0 ; esta discontinuidad origina una onda de

choque que se prolonga “rebotando en las paredes” de la zona donde existe la solución. Si se representa la solución para distintos valores de t: v

v t=t1

t=t2

1-t1

t1

x

1-t2

x

t2

-t1 -t2

Ejercicio recomendado: Hacer lo mismo en el caso que: F=f=g=h1=h2=1, CCD y CCN.

7