MODELO MATEMÁTICO PARA EL CONTROL AUTOMÁTICO DE UN SISTEMA TÉRMICO: TÚNEL DE SECADO CON RECIRCULACIÓN DE AIRE

MARIA ELVIRA SIERRA TORO

UNIVERSIDAD DE LA SABANA FACULTAD DE INGENIERÍA CHÍA 2006

MODELO MATEMÁTICO PARA EL CONTROL AUTOMÁTICO DE UN SISTEMA TÉRMICO: TÚNEL DE SECADO CON RECIRCULACIÓN DE AIRE

MARIA ELVIRA SIERRA TORO Tesis de Grado

Director: Mauricio Restrepo

UNIVERSIDAD DE LA SABANA FACULTAD DE INGENIERÍA CHÍA 2006

Nota de aceptación

__________________________ Firma presidente del jurado

__________________________ Firma del jurado

__________________________ Firma del jurado

Chía Diciembre 14 de 2005

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN 1.

MARCO TEÓRICO

1.1

MODELACIÓN MATEMÁTICA

1.2

SISTEMAS DINÁMICOS

1.3

SISTEMAS TÉRMICOS

1.3.1

El Aire

1.3.2

Humedad

1.3.3

El agua en los Materiales

1.3.4

Secado

1.4

CONTROL

1.4.1

Diseño de Sistemas de Control

1.4.1.1

Función de Transferencia

1.4.1.1.1

Transformada de Laplace

1.4.1.1.2

Definición de la Función de Transferencia

1.4.1.2

Espacio de Estados

1.4.1.3

Función de Transferencia vs. Espacio de Estados

1.4.2 1.5

Mecanismos de Control ESTABILIDAD

1.6

ELECTRICIDAD

2.

MATERIALES Y MÉTODOS

2.1

EXPLICACIÓN DEL PROYECTO

2.2

DISEÑO EXPERIMENTAL

3.

DESARROLLO DEL PROYECTO

3.1

MODELO DE TEMPERATURA

3.2

MODELO DE HUMEDAD

3.3

RESULTADOS

3.4

CONSUMO ENERGÉTICO

4.

ADAPTACIÓN DE LOS RESULTADOS

5.

CONCLUSIONES

6.

RECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFÍA

5

INTRODUCCIÓN Dado los altos costos de funcionamiento del secador de bandejas del laboratorio de Operaciones Unitarias y la dificultad para el manejo de pequeñas muestras, se implementa un túnel de secado con recirculación, de manera que a medida que el aire va ganando temperatura, éste se reutilice y así optimizar gastos de energía, disminuyendo los costos en las operaciones de secado de este tipo de muestras1. Para la automatización y control de este secador una de las técnicas utilizadas es plantear un modelo matemático basado en ecuaciones diferenciales. El proceso de secado involucra muchas variables entre las que se destacan la temperatura, humedad y velocidad del aire, además de las distintas formas de transferencia de calor. Existen en la actualidad modelos matemáticos que describen el proceso de secado, donde las condiciones de temperatura y humedad del aire de entrada son constantes. Estos modelos son sistemas de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. En un túnel de secado con recirculación se espera que las condiciones del aire de entrada sean variables en el tiempo y esta pequeña alteración de las condiciones da lugar a modelos más complejos. El proyecto pretende buscar un modelo y una técnica de solución que se adapte a este sistema, buscando las variables de control y las ecuaciones diferenciales que lo gobiernan, para iniciar el proceso de control y supervisión mediante modelos matemáticos. Con lo anterior se busca básicamente encontrar las funciones de transferencia de cada uno de los elementos que conforman el sistema, de tal manera que se pueda predecir la salida a partir de alteraciones en la entrada. Para la correcta comprensión del proyecto que se presenta, es necesario que el lector tenga conocimientos matemáticos básicos de la teoría de ecuaciones diferenciales, del desarrollo de sistemas de ecuaciones diferenciales y Transformadas de Laplace; al igual que nociones de control y automatización referentes a las funciones de transferencia y espacio de estados en los sistemas dinámicos, ya que, en primer lugar se buscará modelar matemáticamente el comportamiento de un sistema dinámico a partir de la observación de su funcionamiento y de la correcta comprensión de los

Este proyecto forma parte de un programa general de automatización y control del túnel de secado en donde participan estudiantes del programa de Industrial en la parte relacionada con la modelación de las condiciones de funcionamiento y estudiantes del programa de Producción Agroindustrial en lo relacionado con las propiedades de los productos que se someten al proceso de secado. 1

6

parámetros involucrados en el proceso; en segundo lugar, luego de determinar las variables que interfieren, se pretende buscar la relación existente entre las entradas y las

salidas

del

sistema

mediante

una

función

de

transferencia

para

que,

posteriormente, se puedan incluir estas ecuaciones en un controlador que permite mantener el sistema estable en las condiciones deseadas del usuario.

7

1. MARCO TEORICO En esta primera parte del proyecto se encontrará la información básica sobre los temas que fue necesario estudiar para poder iniciar su desarrollo. Como el objetivo principal de este proyecto es describir matemáticamente el comportamiento de un túnel de secado, es necesario que el primer paso sea dar una explicación sobre lo que es la modelación matemática y la forma en que ésta expresa la realidad mediante un conjunto de símbolos. Posteriormente, nos centraremos en los sistemas dinámicos y la forma en que éstos se modelan, enfocándonos principalmente en los sistemas que involucran la transferencia de calor (sistemas térmicos) como el túnel de secado, y sus características principales junto con el comportamiento básico de los parámetros y variables involucradas para finalmente describir el proceso de secado. A partir del modelo encontrado, se pretende implementar un controlador automático que mantenga las principales variables del sistema dentro de los valores óptimos para el proceso de secado. Por esta razón es necesario estudiar el control automático, los mecanismos de control y las formas de implementarlo en un sistema. Esto se logra mediante una función de transferencia, la cual relaciona la transformada de Laplace de las salidas y la de las entradas, o mediante la definición de un espacio de estados, en el cual se relacionan las variables y los parámetros dentro de un espacio definido en el tiempo. En cualquier caso, se hace necesario verificar la estabilidad del sistema para determinar si es controlable. Finalmente, se evalúan los resultados desde el punto de vista de consumo de energía eléctrica para determinar la viabilidad del proyecto en este aspecto; por lo tanto es necesario estudiar esta forma de energía y la manera en que se calcula el ahorro energético.

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1.1 Modelación Matemática El proceso de “imitación de la realidad mediante el lenguaje de las matemáticas se conoce como modelación matemática”2, es decir, la modelación es una representación de un sistema a través de un conjunto de símbolos matemáticos y funciones (ecuaciones matemáticas) mostrando las relaciones entre variables; es la formulación de un problema especificando las variables que intervienen en él. Las variables de un modelo matemático son las incógnitas que se determinan al resolver el problema. Los parámetros son las variables independientes del sistema, es decir, los valores conocidos que relacionan las variables.

Figura 1. Proceso de modelación matemática3

En la figura 1 se presenta un esquema sobre el proceso de modelación matemática. A partir de un sistema real se realiza un modelo partiendo de ciertas hipótesis que permiten determinar los parámetros que se incluyen o descartan en la ecuación, al igual que su estructura. Por ejemplo, en el túnel de secado se asume que el sistema está completamente aislado, por lo tanto, la temperatura del ambiente es un parámetro que no interfiere en el modelo, aunque en realidad sí interfiere en el sistema. Luego de realizar el modelo y sacar las conclusiones matemáticas del mismo (resolver la ecuación), se aplican estos resultados a la realidad, lo que permite realizar explicaciones y predicciones sobre el comportamiento del sistema. Finalmente se 2 3

Nagle Kent - Saff Edward. Fundamentos de Ecuaciones diferenciales. Prentice Hall. 3º Edición. 2002. Giordano, Frank – Weir, Maurice – Fox, William. A First Course in Mathematical Modeling. Thomson USA. 2003

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compara si el resultado hallado se adapta al contexto, de tal manera que se valide la precisión del modelo. Este proceso es cíclico de tal manera que, en caso de ser necesario, se replantee la ecuación incluyendo nuevas variables que surgen a partir de la observación. A continuación se describen los modelos matemáticos con el fin de clasificar el modelo que se va a desarrollar. En la figura 2 se muestra la clasificación de los modelos matemáticos:

Modelos Matemáticos

No Causales

Estáticos

Causales

Dinámicos

Estocásticos

Determinísticos

Parámetros Distribuidos

Parámetros Concentrados

No Lineales

Lineales

Variantes en el tiempo

Invariantes en el tiempo

Discretos

Figura

2.

Continuos

Clasificación

de

modelos

matemáticos

Modelos Causales y No Causales: En un modelo No Causal las salidas del modelo dependen únicamente de las entradas presentes. Por el contrario, en los modelos Causales interfieren también las condiciones de las entradas pasadas (memoria).

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Modelos Estáticos y Dinámicos: Un modelo es estático cuando sus condiciones no cambian en un periodo de tiempo determinado en el que se evalúan; dinámico, cuando se utilizan varios periodos de tiempo para el estudio (Condiciones cambiantes). Modelos Estocásticos y Determinísticos: En los modelos estocásticos los parámetros se desconocen y se les asocia una probabilidad de ocurrencia mediante variables aleatorias. Los determinísticos, contienen parámetros que se conocen con certeza. Parámetros Distribuidos y Concentrados: Los modelos con parámetros distribuidos son representados por ecuaciones diferenciales parciales, y se utilizan si se requiere una lectura de lo que sucede en cada punto del espacio (ondas). Los modelos con parámetros concentrados se representan con ecuaciones diferenciales ordinarias y se aplican cuando el fenómeno se puede describir puntualmente. Modelos Lineales y No Lineales: Un modelo es lineal si cumple con las propiedades de proporcionalidad (si se duplican las entradas, se duplican las salidas) y superposición (Las salidas se pueden conocer calculando por separado el efecto de cada entrada). En general, para modelos no lineales se acostumbra a linealizarlos en un punto determinado. Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo: Si las propiedades (parámetros) del sistema son constantes en el tiempo, el modelo es invariante en el tiempo. Si los parámetros varían (variables de estado), el sistema es variante en el tiempo. Por ejemplo un sistema masa resorte descrito mediante la ecuación diferencial de segundo orden:

y ′′ + 2 λ y ′ + w 2 y = f (t ) Con:

y (0) = y 0 y ′(0) = y1

es un sistema invariante en el tiempo, pues la masa, el coeficiente de amortiguación y la elasticidad del resorte se han considerado como constantes. Los sistemas de masa

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variable como lanzamientos de cohetes, generalmente dan lugar a sistemas variantes en el tiempo. Modelos Discretos y Continuos: Cuando el tiempo es una variable continua (número real positivo) el modelo es continuo. Si el tiempo se toma como variable discreta, es decir como instantes espaciados en forma regular dentro de un intervalo, el modelo es discreto. Los sistemas que dan lugar a ecuaciones muy complejas generalmente se discretizan para obtener una aproximación de la solución. Según estas características, el modelo que se desarrolla es causal, dinámico, determinístico, de parámetros concentrados4, no lineal y variante en el tiempo. Posteriormente se linealizará y se encontrarán las soluciones al modelo.

1.2 Sistemas Dinámicos “Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado”5. Es una cantidad de materia o una región en el espacio elegida para el estudio. Los sistemas se pueden clasificar como cerrados o abiertos. En el primer caso, la masa es constante y únicamente hay flujo de energía con el entorno (masa de control). Por el contrario, si el sistema es abierto, hay flujo de masa y energía al entorno, entonces se trata de un volumen de control. Cuando se habla de un sistema aislado, se hace referencia a que no intercambia materia ni energía. Las características distintivas de un sistema (propiedades) se pueden clasificar como intensivas y extensivas. Las primeras son independientes de la cantidad de masa del sistema, las segundas son dependientes del tamaño. Un sistema dinámico es aquel en el que “los efectos actuales (salidas) son el resultado de causas actuales y previas (entradas)”6, es decir, cuando el sistema tiene “memoria” y los resultados obtenidos no dependen únicamente de la situación actual sino también de las condiciones pasadas; por ejemplo, en el túnel que se va a analizar, el objetivo es el secado de un producto, y su efectividad depende de la temperatura y la humedad dentro del túnel. Pero así mismo, el valor de estas variables depende de los valores

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Los sistemas térmicos se analizan en términos de resistencia y capacitancia, los cuales no se representan bien en parámetros concentrados. Para efectos prácticos se asume que estas son insignificantes. Por esta razón el modelo es de parámetros concentrados. 5 Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderno, 4 Ed. Pearson Educación S. A, Madrid, 2003 6 Eronini – Umez – Eronini. Dinámica de Sistemas de Control. Thomson Learning. México 2001

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iniciales que tenían antes de iniciar el proceso de secado y de todo el comportamiento que haya tenido durante el proceso inmediatamente anterior. En el proceso de modelación matemática de un sistema dinámico se distinguen cuatro etapas, las cuales son: modelado físico, construcción del modelo, solución del modelo y diseño del sistema. Este proyecto está centrado en la etapa de construcción del modelo, es decir la descripción matemática del sistema, analizando las variables y los parámetros que interfieren en el fenómeno; y en la etapa de solución, en la cual se somete el modelo a varias entradas para analizar las salidas y comprobar si el resultado es el esperado, es decir si el modelo se aplica en las pruebas que se realicen.

1.3 Sistemas Térmicos El calor sólo fluye de los cuerpos calientes a los fríos7, con el objetivo de alcanzar el equilibrio térmico. Hay tres formas mediante las cuales el calor puede fluir: la conducción, convección y radiación. La conducción implica el contacto para la transferencia de calor; la convección inicialmente se da por contacto y posteriormente por el movimiento de partículas generado por una diferencia en las densidades (convección simple)8 o por algún mecanismo externo (convección forzada)9; y la radiación es la transferencia a través del espacio. “Un sistema térmico es aquel que involucra el almacenamiento y el flujo de calor. Se modela

matemáticamente

basándose

en

las

leyes

fundamentales

de

la

10

termodinámica” . En el proceso de secado se hace presente el flujo de calor al implementarse como medida para acelerar el procedimiento, pues permite la evaporación del agua que se encuentra dentro del producto. Para comprender con mayor claridad el proceso de secado, es necesario entender el comportamiento del aire y sus propiedades, ya que en este caso actúa como medio de transferencia de calor.

7

Segunda ley de Termodinámica. Los refrigeradores funcionan con este principio: como el aire caliente tiende a estar en la parte más alta ya que es menos denso que el aire frío, las bandejas de los alimentos que requieren una menor temperatura (verduras…) están ubicados en la parte inferior. 9 Se le imprime movimiento al aire de tal manera que se reduzca el gradiente (la diferencia) de temperatura entre dos puntos. 10 Close, Charles – Frederick, Dean. Modeling and Analysis of Dynamical Systems. John Wiley and Sons, USA. 2002 8

13

1.3.1 El Aire El aire es una mezcla de gases. Es un sistema gaseoso que se mantiene unido a la tierra debido a la fuerza de gravedad. Sus características más importantes son: 1. Su peso es menor que el del agua 2. Su densidad es menor que la del agua 3. Su volumen es indefinido (ocupa todo el espacio en el que se encuentre) 4. No existe en el vacío 5. Es incoloro, inodoro e insípido 6. Está compuesto por varios elementos, entre ellos oxígeno, dióxido de carbono y nitrógeno. Las principales propiedades del aire son las siguientes: -

Presión La presión es la medida de la fuerza ejercida por las partículas sobre el espacio en el que están contenidas; está dada por la relación: Fuerza/Área. En el aire, al igual que en los gases ideales, la presión absoluta, o total, será igual a la suma de las presiones parciales (Presión del vapor de agua + Presión del aire seco)

-

Temperatura La temperatura de un fluido en general es una parte importante para describir el comportamiento del mismo. El aire, mientras más caliente esté, mayor es la velocidad que es capaz de alcanzar. La temperatura también influye en la densidad del aire, el aire frío es más denso que el aire caliente, por lo tanto, este último tiende a estar en la parte superior del espacio de control.

-

Densidad La densidad, que es la relación entre la masa y el volumen, nos indica cuánta masa puede contener un espacio determinado, es decir, qué tan comprimidas están las partículas en un objeto. Mediante la densidad se puede determinar el grado de compresión de un fluido. Se dice que un fluido es incompresible si la densidad permanece constante a cualquier temperatura y presión. El aire, al igual que los gases no sigue este principio, ya que una masa determinada puede ocupar un volumen pequeño

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con una presión muy alta, o en un volumen muy grande con una presión muy baja, pues el gas siempre ocupará el total del espacio en el que se encuentre. Igualmente ocurre con la temperatura: a mayor temperatura, mayor volumen ocupa el gas pues las partículas se dilatan. Por lo tanto su densidad no es constante cuando se cambia la presión o la temperatura. Esta relación se ve más claramente con la ley de los gases ideales PV = nRT , entonces sabemos que si aumenta la presión, disminuye el volumen, y si aumenta la temperatura aumentará también el volumen. Si reemplazamos

V = m/δ,

y despejamos δ , tenemos que δ =PVm/nRT, es

decir que a mayor presión, mayor densidad y a mayor temperatura menor densidad. Sin embargo, para efectos prácticos se toma que la densidad del aire en la atmósfera es

1,29 kg / m 3 . En el túnel de secado, la densidad no es constante

ya que, aunque no hay cambios de presión, hay cambios en la temperatura. -

Volumen específico Es el volumen que ocupa la mezcla aire – vapor de agua a una temperatura dada. Se expresa en metros cúbicos por kilogramo (m3/Kg.)

-

Punto de Rocío Es la temperatura a la cual el aire comienza a condensarse en el proceso de enfriamiento a presión constante.

-

Viscosidad La viscosidad es la resistencia a fluir. La viscosidad del aire es muy pequeña, por lo tanto se desprecia.

-

Entalpía La entalpía es una medida de la energía calorífica desarrollada por una reacción química a presión constante. Hace referencia a una variación del contenido de energía interna más el trabajo realizado por las fuerzas externas. En el túnel de secado, al hablar de entalpía se hace alusión al contenido total de calor en la mezcla aire – vapor de agua.

-

Caudal El caudal es la cantidad de aire que fluye, es una forma de medir la velocidad del aire que está circulando mediante la relación velocidad del aire por área

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transversal del ducto. De esta manera tenemos la velocidad con que se mueve una masa de volumen (rapidez del flujo de volumen).

1.3.2 Humedad El aire normal es una mezcla mecánica de aire seco y vapor de agua en estado de vapor sobrecalentado11 a baja presión y baja temperatura.

Llamamos humedad al

contenido de vapor de agua presente en el aire. Cuando el aire no está en capacidad de absorber más vapor de agua, se dice que el aire está saturado. Si a partir de este punto de saturación se suministra más vapor de agua al aire, se formará niebla y se iniciará la condensación; pero si el aire está sobrecalentado, el punto de saturación cambia y el contenido de humedad que el aire está en capacidad de recibir, aumenta. Por esta razón, a la misma temperatura, el aire seco se siente frío, mientras que el aire húmedo se siente caliente. En la figura 3 vemos la masa de aire que puede contener un espacio determinado a -25°C, 0°C y 25°C:

Figura 3. Masa de aire que puede contener un espacio de 1m3 a diferentes temperaturas.

La humedad se puede expresar de tres maneras: -

Humedad Específica:

Relaciona la densidad del vapor de agua y la del aire

δ vapor de agua δ aire 11

Una sustancia se encuentra en estado de vapor sobrecalentado si el agua que contiene no está a punto de condensarse, manteniendo las condiciones de temperatura mayor que la temperatura de saturación y la presión menor a la presión de saturación.

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-

Humedad Absoluta

Relaciona la cantidad de vapor de agua por unidad de volumen de aire

mvapor de agua Vaire También se puede escribir de la forma:

m vapor de aire m aire sec o -

Humedad Relativa

Razón, expresada en porcentaje, de la cantidad de vapor en al aire y la cantidad de vapor que ese aire es capaz de contener a determinada temperatura.

φ=

mvapor de agua m max vapor de agua

Esta última se utiliza para determinar el punto de saturación del aire (cuando la humedad relativa es igual a 100% el aire está saturado). Como se explicó anteriormente, y como se muestra en la figura 4, al calentar el aire, disminuye el porcentaje de humedad relativa.

Figura 4. Humedad relativa del aire en un volumen de 1 m3 y con una masa de 4,8g

Otra forma de obtener la humedad relativa es mediante la medida de la temperatura de bulbo seco y la de bulbo húmedo, recurrir a la carta psicrométrica, en donde se relacionan parámetros como la humedad relativa, la cantidad de agua,

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la entalpía, el volumen específico, etc. En esta carta, de la cual podemos ver un ejemplo en la gráfica 14, la escala horizontal es la temperatura en grados Celsius (°C); la escala vertical de la derecha indica el contenido de agua; las curvas hacen referencia a la humedad relativa; las líneas oblicuas son los volúmenes específicos y finalmente la entalpía aparece casi sobreexpuesta a las líneas de bulbo húmedo.

Gráfica 1. Ejemplo de tabla psicrométrica

Este método, gracias a su facilidad y amplio campo de acción, es el más utilizado en los cálculos de secado.

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1.3.3 El agua en los Materiales Los elementos tienen una porción de agua en su interior, ya que su constitución es básicamente agua y materia sólida. El contenido de humedad es una manera de medir cuánta agua tiene un producto en comparación con la masa del producto mismo. La cantidad de agua se puede expresar en base seca o en base húmeda. La primera nos indica la cantidad de agua en relación a la masa seca del material, mientras que la segunda sería la cantidad de agua en el total del producto; su relación es no lineal con la cantidad de agua eliminada, ya que la masa total del producto no permanece constante sino que disminuye a medida que se pierde agua. El agua contenida en un producto se presenta en distintas formas, de acuerdo con los niveles de hidratación del producto, es decir, por la fuerza de la unión que haya entre las moléculas de agua y el producto, ya que el agua está adsorbida, bien sea debido a fuerzas de atracción molecular, o ligada al producto. Esta relación entre el agua y el producto se conoce como sorción. Una parte del agua está fuertemente ligada al producto. Esta parte se conoce como capa monomolecular. Puede estar combinada con la sustancia por medio de enlaces químicos, siendo un componente del producto. Esta forma de agua sólo se puede eliminar en procesos que rompan los enlaces bajo ciertas condiciones de temperatura y presión. La capa inmediatamente superior a la monomolecular, se conoce como polimolecular. Está constituida por varias capas monomoleculares ligadas a la materia de forma electromagnética y forman agua semi-ligada que está adherida fuertemente. Adicionalmente, se encontrará agua líquida bajo tensión osmótica. Esta es agua solvente que retienen diferentes sustancias en las células débilmente adsorbida. Es fácil de eliminar con el proceso de secado. Finalmente, en el producto encontraremos cierta cantidad de agua libre ubicada en las partes porosas. Esta cantidad de agua se conoce como agua de impregnación o agua libre. Las paredes celulares la retienen mecánicamente en el producto sin afectar las moléculas. Este tipo de agua es la más fácil de evaporar en el secado. La humedad relativa en equilibrio del producto (también conocida como actividad de agua, aw), es la relación entre la presión de vapor ejercida por el producto y la presión de vapor saturado de agua a la misma temperatura. Los valores varían entre cero y

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uno para productos en los que el agua está fácilmente disponible: Si la humedad relativa del producto es inferior al 20%, se considera que el agua está fuertemente ligada y no participará en reacciones; si está en el rango 20 - 80% el agua está débilmente ligada y el proceso de secado es sencillo; y mayor a 80% el agua está libre para secar, inclusive a bajas temperaturas. Adicionalmente, la cantidad de agua en un producto también se puede determinar tomando una muestra y secándola hasta que su peso sea constante. En este momento, el producto ha liberado toda el agua que tenía menos la que está ligada. La diferencia entre ambos pesos (peso inicial menos peso final) nos dirá cuánta agua se ha liberado. La humedad del producto estará en equilibrio cuando la presión de vapor de agua que proviene de la humedad del producto sea igual a la presión de vapor de agua del ambiente. Es decir, el contenido de humedad en equilibrio dependerá de las condiciones de temperatura y humedad del aire y del tipo de producto. También influirá la manera en que se llegue al equilibrio (adsorción o desorción), sin embargo, en este caso siempre será desorción. En un producto, con la misma humedad relativa, a medida que aumenta la temperatura del aire, disminuye el contenido de humedad en equilibrio, al igual que la humedad en el aire. Por el contrario, si aumenta la humedad relativa, aumentará también el contenido de humedad en equilibrio.

1.3.4 Secado Cuando se calienta un producto, las moléculas de agua más próximas a la superficie tienden a pasar de un estado líquido a gaseoso (evaporación), filtrándose de esta manera en el aire que se encuentra contiguo al producto. La cantidad de moléculas que se evaporan depende de la temperatura a la que se encuentre el producto y del área de contacto con el aire. Así mismo depende del porcentaje de agua presente en el aire, y de la temperatura a la que se encuentre el aire, ya que mientras más alta sea la temperatura, mayor capacidad tiene éste de absorber agua12. El proceso de secado por convección consiste básicamente en retirar el agua de los materiales. Para lograr este fin, se le suministra energía en forma de calor, mediante un aumento en la presión de vapor del agua presente hasta lograr la evaporación del agua ubicada en la superficie del producto. Esta evaporación produce un descenso en 12

Ver concepto de humedad relativa

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la temperatura de la superficie del producto, ya que se consume energía en el cambio de estado líquido al gaseoso, por lo tanto se necesita mayor calor para poder conservar la presión de vapor en el nivel adecuado. El agua que se evapora es reemplazada por otra que proviene del interior del producto mediante procesos de difusión, convección y flujo capilar. Este desplazamiento de agua del interior a la superficie tiene un límite, debido a la presencia de agua ligada en el interior del producto. Por esta razón, a medida que avanza el proceso, la velocidad de secado disminuye hasta que finalmente es cero13. Este fenómeno se aprecia en la gráfica 2, en la cual se mide la masa de un producto durante una prueba de secado. Vemos como el cambio de la masa es más significativo al inicio de la prueba que al final.

BANANO 20.4HZ 50V

3

2.5

prueba 1 prueba 2

PESO/ PESO INICIAL

2

prueba 3

1.5

1

0.5

0 TIEMPO 0

TIEMPO 0,5

TIEMPO 1

TIEMPO 1,5

TIEMPO 2

TIEMPO 2,5

TIEMPO 3

TIEMPO 3,5

TIEMPO 4

TIEMPO

Gráfica 2. Ejemplo curva de secado de banano en el secador con recirculación14.

13

Como la diferencia entre la presión de vapor del túnel y la presión superficial del producto es la que permite la evaporación de la humedad del producto, cuando estas dos se equilibran no ocurrirá más este fenómeno. 14 Tomado del Proyecto de grado de Adriana Rico

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El aumento del caudal del aire tiene una gran influencia sobre el tiempo de secado, pues la velocidad de desplazamiento del aire es directamente proporcional al flujo de aire por unidad de masa del producto que hay que secar. Finalmente, vemos como el proceso de secado consiste básicamente en calentar el aire a una temperatura que permita la evaporación del agua del producto que se desea secar y retirar el aire húmedo para que éste no se sature de humedad y pueda seguir absorbiendo vapor de agua. En el túnel de secado que se estudia, el aire no es retirado sino que recircula, de tal manera que se alcancen mayores temperaturas en un tiempo menor. Es importante entonces calcular, de acuerdo al volumen, cuál es el punto de saturación de humedad de tal manera que la propuesta de recirculación sea viable.15

1.4 Control “El control automático ha desempeñado un papel vital en el avance de la ingeniería y la ciencia. Como los avances en la teoría y la práctica de control automático proporcionan los medios para conseguir un comportamiento óptimo de los sistemas dinámicos, mejorar la productividad, simplificar el trabajo de muchas operaciones manuales repetitivas y rutinarias, así como de otras actividades, la mayoría de ingenieros y científicos deben tener un buen conocimiento de este campo”16. El control automático es el mecanismo mediante el cuál los sistemas mantienen su equilibrio. Para poder controlar un sistema se debe determinar primero cual va a ser la variable a controlar, es decir, la condición que se mide y se controla; y la variable manipulada, la cual es la condición que el controlador modifica para alterar el valor de la variable controlada. La automatización de un proceso es la operación de este por sí mismo, sin la mediación del hombre (no manual). En los sistemas de automatización, el control de las máquinas lo realizan éstas mismas mediante la intervención de sensores que permiten detectar cualquier alteración dentro del sistema, y el mismo sistema realiza los ajustes necesarios para que el funcionamiento sea el adecuado.

Cuando se

automatiza un sistema, se busca que éste funcione de manera apropiada y práctica, en el menor tiempo posible, es decir, facilitar su funcionamiento.

15

16

Ver 2. DESARROLLO DEL PROYECTO Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderno, 4 Ed. Pearson Educación S.A. Madrid, 2003.

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El control en general implica la manipulación, regulación y seguimiento de un proceso. En el caso de control automático, lo que se plantea es que estas actividades sean realizadas con la mínima intervención humana. El fin último del control automático es mantener la variable controlada ante cualquier perturbación. Este proceso se llama regulación. Para controlar un sistema es necesario comprenderlo. Para facilitar esta comprensión, se realizan gráficas en las que se muestran las entradas, las salidas, el proceso y el control que se implementa. En la figura 5 se muestra un ejemplo de estas gráficas, conocido como diagrama de bloques.

Voltaje

Proceso

Temperatura

Figura 5. Diagrama de bloques representando un sistema de lazo abierto al que se le imprime un voltaje (entrada) para obtener una temperatura (salida).

El control de un sistema puede ser en lazo cerrado o abierto. El primero nos indica que la salida (resultado) será comparada con la entrada y de allí se obtendrá un error que determina si se debe realizar alguna acción para corregirlo, es decir, usar la diferencia entre los valores reales de la variable y los deseados para controlar (realimentación). El segundo sistema de control, implica que la salida no será medida ni realimentada para compararla con la entrada, sino que opera con base en el tiempo. En el túnel de secado, se realizará un control en lazo cerrado para la temperatura pues se estará controlando su valor; pero para el proceso de secado se utilizará un control de lazo abierto ya que se dejará el producto en la cámara de secado durante un tiempo determinado. Un sistema de control automático de lazo cerrado funciona de la siguiente manera: a través de algún instrumento de medición, preferiblemente sensores, se recibe información de la variable que está siendo controlada. Esta información es traducida en señal eléctrica, y enviada a un computador, en donde se compara el valor con la cantidad esperada. Si estos valores no coinciden, el computador genera una nueva señal como instrucción de tal manera que se activa un actuador (válvula, bomba,

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interruptor…) y se regula la operación. En la figura 6 vemos un diagrama de bloques como ejemplo de un sistema de control de lazo cerrado.

Figura 6. Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado de control industrial17.

1.4.1 Diseño de Sistemas de Control Existen dos aproximaciones para el análisis y diseño de sistemas de control. La primera es la técnica del dominio de la frecuencia o transformada de Laplace. Esta se basa en convertir la ecuación diferencial que rige el sistema a una función de transferencia que relaciona las entradas con las salidas. La segunda técnica es la del dominio del tiempo, la cual cubre dos desventajas de la primera aproximación: Es aplicable a sistemas no lineales y a sistemas variantes en el tiempo. A continuación se presentan detalladamente estas dos maneras de resolver un sistema.

17

Ogata Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderno

24

1.4.1.1 Función de Transferencia 1.4.1.1.1 Transformada de Laplace Una ecuación diferencial se puede resolver mediante varios métodos dependiendo del tipo de ecuación que sea (separable, exacta, homogénea, de Bernoulli, coeficientes constantes…). También se puede resolver mediante métodos numéricos como por ejemplo el método de Euler, basado en la suposición de que la recta tangente de la curva proporciona una buena aproximación local de la función; el método de las series de Taylor, el cual aproxima mediante polinomios de orden superior; o el método de Runge-Kutta, el cual busca el punto medio. Otro método de solución es mediante transformadas. Esta es una manera sencilla de resolver problemas de ecuaciones diferenciales, ya que transforma la ecuación en un problema simple de álgebra, con resultados fáciles de encontrar. Una vez encontrada la solución algebraica, se aplica la inversa de la transformada, con lo que se recuperan las soluciones de la ecuación inicial. El mecanismo de funcionamiento es sencillamente cambiar la variable de derivación e integración a una función de la variable compleja s, las funciones trigonométricas de seno y coseno, y las exponenciales en funciones de s, mediante el operador ∞

L{ f (t )} = ∫ e − st f (t )dt 0

Puesto que se integra respecto a t, el resultado es una función de s que denotamos F(s). Así mismo, permite sustituir las operaciones de derivación e integración por operaciones algebraicas en el plano complejo mediante las propiedades: Si

F ( s ) = L{ f (t )} entonces

L{ f ′(t )} = sF ( s ) − f (0) y

 t  F ( s ) L ∫ f (u )du  = s  0 

25

La transformada de Laplace es un operador integral18 que utiliza únicamente la parte real de la variable s Este método permite la utilización de gráficos para predecir el comportamiento de un sistema sin la necesidad de resolver la ecuación diferencial del mismo. Es aplicable únicamente a ecuaciones diferenciales LINEALES19. En la figura 7 vemos como el resolver una ecuación mediante transformadas de Laplace es más sencillo que resolverla por el método tradicional.

Figura 7. Comparación de los métodos

de

solución

de

ecuaciones diferenciales

Esta forma de resolver un sistema es también conocida como el dominio de la frecuencia, ya que se obtienen soluciones de la forma e ist = cos( st ) + isen ( st ) ; en donde s será la frecuencia de la gráfica.

18

Un operador es una variable que reemplaza una función. Como en las transformadas de Laplace están presentes las integrales, su operador es un operador integral 19 Una ecuación es lineal cuando los coeficientes, o bien son constantes, o dependen únicamente de la variable independiente.

26

1.4.1.1.2 Definición de Función de Transferencia El control de un sistema se realiza a partir de su función de transferencia, la cual se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación), suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero. Esto es aplicable siempre y cuando el sistema esté descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo.

G(S ) =

L[output ] L[input ]

Condiciones

iniciales

cero

La función de transferencia, al relacionar las entradas con las salidas, muestra las características dinámicas del sistema y permite analizar las alteraciones que se presentarían en la salida mediante un cambio en la entrada. Sin embargo, no muestra las características físicas del sistema (comportamiento interno del proceso).

1.4.1.2

Espacio de Estados

El estado de un sistema es el conjunto de valores que toman las variables en un momento determinado. Cuando un sistema pasa de un estado a otro, ocurre un

proceso. Este proceso puede ser a temperatura constante, entonces se le conoce como isotérmico; o a presión constante, conocido como isobárico. Cuando el proceso se desarrolla dentro de un espacio constante, se le llama isométrico. Si durante el proceso el sistema regresa a su estado inicial (retorno al origen), el sistema es cíclico. “El estado de un sistema dinámico es el conjunto de la mínima cantidad de variables de estado necesarias para describir el comportamiento del sistema. Las variables de estado son las variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Una vez que la entrada para t ≥t0 está dada y el estado inicial en t = t0 está especificado, el estado está determinado completamente. El espacio de estados es el espacio ndimensional cuyos ejes de coordenadas están formados por las variables de estado. Cualquier estado se puede representar como un punto en el espacio de estados”20. Por ejemplo, en un sistema en el que interfieran la temperatura y la humedad como funciones del tiempo, el espacio de estados es bidimensional de la forma: 20

Ogata Katsuhico. Ingeniería de Control Moderno

27

Gráfica 3. Espacio de estados de dos dimensiones

La gráfica 3 muestra un espacio de estados bidimensional cuyas coordenadas (x,y) representan funciones de la temperatura y la humedad en un tiempo determinado. Este método también es conocido como el dominio del tiempo y permite modelar sistemas que sean no lineales, variantes en el tiempo o con condiciones iniciales diferentes a cero. Así mismo, permite resolver sistemas que sean aplicables también al método de la función de transferencia. Su desventaja frente a este último es que la interpretación de los datos es más compleja ya que los cálculos son más difíciles y no permite la utilización de gráficos que den una orientación física. Por lo tanto, únicamente los sistemas que contienen múltiples entradas y múltiples salidas, y se describen a través de ecuaciones diferenciales no lineales y/o variantes en el tiempo, se representan mediante un espacio de estados cuyas entradas y salidas son matrices que involucran las variables de entrada o salida y las variables de estado. Sea un sistema con r entradas, u1(t), u2(t),…, ur(t) y m salidas y1(t), y2(t),…, ym(t). Si se definen las n variables de estado x1(t), x2(t),…, xn(t), entonces el sistema se puede describir mediante:

28

dx1 = f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u n ; t ) dt dx2 = f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ; u1 , u 2 ,..., u n ; t ) dt . . . dx n = f n ( x1 , x 2 ,..., x n ; u1 , u 2 ,..., u n ; t ) dt 1.4.1.3

Función de Transferencia vs. Espacio de Estados

El modelo planteado para el túnel de secado podría ser no lineal. En este caso, se buscaría linealizarlo y obtener la función de transferencia. Si esta solución no es posible, se solucionará mediante el método de espacio de estados. A continuación se presenta un ejemplo de la aplicación de estas dos formas de resolver un sistema: Sea una ecuación

ay ′′ + by ′ + cy = g (t ) Dominio de la Frecuencia: Si F (S ) y G (S ) son las transformadas de Laplace de f (t ) y g (t ) , y aplicamos las propiedades de la transformada a la ecuación anterior, se obtiene:

[as 2 + bs + c]F ( s ) = G ( s )

21

Dado que la funcion de transferencia se ha definido como:

H (s) =

F ( s) G ( s)

Entonces:

H (s) =

21

1 as 2 + bs + c

Aplicando la transformada de Laplace

29

Dominio del Tiempo (Espacio de Estados): Para la misma ecuación diferencial dada anteriormente, se procede de la siguiente forma: En primer lugar se definen las variables de estado x1 y x 2 :

x1 = y

x2 = y'

Al derivar cada una de éstas, se obtiene:

x'1 = y '

x'1 = x 2

Por tanto, se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales:

 x'1 = x 2   1  x' 2 = a [g (t ) − bx 2 − cx1 ]

Si x representa el vector

[x1 , x2 ]T

de las variables de estado, y x ′ = [x1′ , x 2′ ] , el T

sistema anterior se puede escribir en forma matricial: •

x = Ax + Bu y = Cx + Du Donde:

0  A= c  a

 0    B= 1     ag (t ) 

1   b −  a

C = [1 0]

30

D=0

 x1  x=   x 2 

u=1

La matriz A(t) se denomina la matriz de estado, B(t) es la matriz de entrada, C(t) matriz de salida y D(t) es la matriz de transmisión directa. Adicionalmente, x es el vector de estados; u es la entrada e y es la salida. Vemos entonces la complejidad de éste método frente al del dominio de la frecuencia. 1.4.2 Mecanismos de Control: Un mecanismo de control es un tipo de instrumento que se implementa para poder controlar el sistema de acuerdo a las propiedades y necesidades del mismo. Existen 4 tipos principales de controladores, los cuales pueden ser utilizados simultáneamente de tal manera que se optimice el control: Dos posiciones (on / off): Se utiliza cuando no se requiere un control muy preciso ni constante en el tiempo. Este tipo de control lo que hace es que cuando ve que la variable de control no está dentro de los límites establecidos activa o desactiva (apaga/prende, abre/cierra…) el actuador. Genera grandes oscilaciones dentro del sistema. Proporcional (P): Si la acción que se debe ejecutar es proporcional al error encontrado, es decir que existe una relación lineal entre el valor de la variable controlada y el valor final. El control es continuo y el actuador puede tomar posiciones intermedias. Es de la forma:

u (t ) = k p e(t ) ,

donde e(t ) representa la entrada y u (t ) la salida. Integral (I): El control integral reduce la diferencia entre el valor que se busca y el valor de la variable controlada. Es un control continuo en el tiempo. En este tipo de control se reajusta la salida del controlador hasta que se alcance el valor de la variable de control deseado. Este tipo de control genera largas oscilaciones dentro del sistema, ya que acelera la respuesta (alcanza el valor deseado en un tiempo muy corto, lo cual se

31

presta para errores pues este valor puede ser superior, generando de esta manera oscilaciones). Este controlador es de la forma:

du = k i e(t ) dt es decir, t

u (t ) = k i ∫ e(w)dw 0

Derivativo (D): Este tipo de control es de previsión. Tiene gran sensibilidad, por lo tanto su respuesta es inmediata. El control derivativo anticipa el error y actúa en función del pronóstico, corrigiendo el error antes de que éste sea demasiado grande. El control es continuo en el tiempo. Su forma es:

u (t ) = k d Se

pueden

combinar

los

últimos

tres

de(t ) dt tipos

y

trabajar

con

un

control

proporcional/integral/derivativo (P-I-D) de tal forma que se complementen y cada uno supla las imperfecciones que tiene el otro: La acción del integrador es reducir la diferencia que genera el proporcional y la del derivativo las oscilaciones, estabilizando el sistema. En este controlador la salida sería de la forma

u (t ) = k p e(t ) +

kp Ti

t

∫ e(u )du + k pTd 0

de(t ) dt

En todos los controladores presentados, vemos que se encuentra un parámetro k. Este parámetro es k =

1

τ

; siendo τ el tiempo en el que se pretende estabilizar el sistema.

32

1.5

Estabilidad

“Un sistema es estable si, y solo si, a toda señal de entrada que sea una función acotada, corresponde una señal de salida también función acotada”22. En la mayoría de sistemas a controlar, la salida corresponde a la respuesta de un impulso inmediato, es decir que la entrada sería la función Delta de Dirac23, la cual se caracteriza por ser de la forma:

0 t 〉 0 ∞ t = 0

δ (t ) = 

Es decir que se aplica una entrada muy grande en un tiempo muy pequeño. Las principales propiedades de esta función son: ∞

∫ δ (t )dt = 1 0

L{δ (t )} = 1 Por lo tanto, la función de transferencia para un sistema donde la función de entrada es δ(t) será:

H (s) =

1 G(s)

Aplicando esta definición a la teoría de control, tenemos que un sistema será estable siempre y cuando la función de respuesta al impulso24 h(t ) , siendo h(t ) = L−1 {H (t )} permanece acotada cuando t → ∞ . Es decir que en una ecuación de segundo orden

ay ′′ + by ′ + c = 0 , la estabilidad sólo se dará si las partes reales de las raíces de la ecuación auxiliar asociada, ar 2 + br + c = 0 , son menores que cero, pues de esta rt

manera tendríamos una ecuación de la forma y (t ) = C1e 1 + C 2 e

r2t

y como r1 ≤ 0 y

r2 ≤ 0 sería una exponencial decreciente acotada con límite en y=0. 22

Club.telepolis,com/ohcop/adobleve.html En el sentido estricto, δ(t) no es una función, pertenece a un conjunto de funciones generalizadas llamadas distribuciones. 24 Función resultado de la inversa de la transformada de Laplace de la función de transferencia 23

33

Por otro lado, la estabilidad implica que la función de respuesta al impulso tiende a cero h(t ) → 0 , cuando el tiempo tiende a infinito, t → ∞ . Esto es posible únicamente si las partes reales de las raíces de la ecuación auxiliar ar 2 + br + c = 0 , son menores rt

que cero, ya que la solución sería de la forma y (t ) = C1e 1 + C 2 e

r2t

y como r1 ≤ 0 y

r2 ≤ 0 , la exponencial estaría acotada en y = 1 , es decir que la función de transferencia es igual a 1, H (t ) = 1 . Finalmente, concluimos que un sistema es estable cuando permanece en equilibrio a través del tiempo, es decir, si puede mantener su funcionamiento y trabajar de manera efectiva. Cuando un sistema oscila, se puede considerar como inestable. Si un sistema es realimentado, la estabilidad es de vital importancia en su estudio, ya que se necesita que sea estable para que sea controlable. Los instrumentos del sistema alteran la estabilidad del mismo; por ejemplo, un controlador integral genera amplias oscilaciones al acelerar la respuesta.

1.6 Electricidad Los átomos están compuestos de pequeñas partículas clasificadas, de acuerdo a su carga, en neutrones (carga neutra), protones (carga positiva) y electrones (carga negativa). Los dos primeros (neutrones y protones) se encuentran ubicados en el núcleo del átomo; mientras que los electrones giran en torno a este en órbitas con trayectorias definidas. De acuerdo al número de electrones que tenga un elemento, este será más estable o menos estable. En los menos estables, un electrón puede pasar fácilmente de un átomo a otro, lo cual genera una corriente eléctrica. De esta manera, la electricidad no es otra cosa que electrones en movimiento. La electricidad puede ser estática o fluir. La electricidad estática es la que se presenta cuando un objeto cargado positivamente se encuentra con otro con una carga contraria y se genera un choque que produce una descarga eléctrica. La electricidad con la que funcionan las máquinas y electrodomésticos no es estática sino que ha fluido a lo largo de un conductor para llegar hasta el mecanismo. Vemos entonces como la electricidad puede ser trasladada de un objeto a otro o de un lugar a otro a través de un medio conductor por el que pasará la corriente eléctrica. Dependiendo del tipo de material y su resistencia, la conducción será más o menos efectiva, por ejemplo, la electricidad fluye más fácilmente a través del cobre que del plástico. El voltaje no es otra cosa que

34

la diferencia de potencial entre dos puntos, generando una medida de la intensidad electrica. La energía eléctrica puede ser generada mediante energías renovables: solar, energía térmica generada por el calor del sol; eólica, a partir del el movimiento del viento como en los molinos..., o bien mediante la energía del agua (transformación de la energía hidráulica), energía nuclear (del átomo), y energía térmica25 (energía calorífica para producir vapor que empuja turbinas). En estas tres últimas, se sigue un proceso similar: generar calor y vapor de agua en una caldera bien sea mediante la combustión de algún combustible fósil (planta termoeléctrica), mediante energía atómica (planta nuclear) o energía hidráulica (planta hidráulica). El vapor es sometido a altas presiones y se lleva a una turbina, la cual está conectada a un generador26, así, cuando la turbina gira, el generador transforma la energía cinética en energía eléctrica. En la planta se genera energía eléctrica de hasta 400 mil voltios, ya que altos voltajes facilitan el flujo de la energía eléctrica a través de los cables de alta tensión27. Posteriormente, por medio de transformadores, se reduce el voltaje a 120v o 240v para que pueda ser utilizado en las casas y en las industrias. La energía eléctrica que se consume en un establecimiento se mide en Kilovatio-hora (KW-h). El Watt es la unidad de potencia (Joule / segundo), que expresa la cantidad de energía que se consume en un tiempo determinado. Esta medida se registra en un medidor, cuya lectura es efectuada cada mes por un empleado de la compañía eléctrica y de acuerdo a esto se efectúa el pago del consumo electrónico, basándose en que el costo de KW-hora industrial es de $128. El KW-hora se calcula multiplicando la potencia del electrodoméstico por la cantidad de horas que dura prendido, es decir: Consumo energético = P hora ; Y la potencia es igual al voltaje por la corriente: P=IV.

25

En una planta termoeléctrica se consume algún combustible fósil y se produce calor y vapor que permiten mover los generadores. 26 El generador tiene el mismo principio de un motor eléctrico, pero su funcionamiento es contrario: en vez de utilizar energía eléctrica para hacer girar el motor, el eje de la turbina hace girar el motor para producir energía eléctrica. 27 La energía eléctrica viaja a la velocidad de la luz.

35

2. MATERIALES Y MÉTODOS Esta segunda parte estará centrada en el desarrollo del proyecto mismo. Por esta razón, el primer paso es explicar en que consiste. Posteriormente, se entrará en el desarrollo, empezando por el diseño experimental del proyecto y continuando con los modelos matemáticos implementados. En esta parte, se analizarán individualmente las dos variables más influyentes dentro del proceso: la temperatura y la humedad, para finalmente analizar los resultados. Un último análisis se realiza para observar si existe ahorro de energía del sistema en comparación con un túnel abierto. 2.1 Explicación del Proyecto Debido a la poca funcionalidad del secador del Laboratorio de Operaciones Unitarias para el secado de pequeñas muestras (altos costos de energía), se planteó la posibilidad de crear un nuevo secador más pequeño y con recirculación de aire de tal manera que se alcancen temperaturas más altas en un menor tiempo a un menor costo. El objetivo principal del proyecto es encontrar un modelo matemático que determine la temperatura del producto en distintas condiciones de funcionamiento, de tal manera que se pueda diseñar un sistema de control de la planta.

36

Figura 8. Esquema de túnel con recirculación

El funcionamiento del secador, construido con láminas de aluminio y forrado con fibra de vidrio, se muestra en la figura 8. En esta planta el aire es impulsado por un ventilador hacia unas resistencias. Allí se calienta mediante procesos de conducción y convección. Posteriormente pasa a la cámara en donde se encuentra el producto, al cual le cede calor y al mismo tiempo absorbe parte del contenido de agua que contiene. Finalmente, sigue la trayectoria del túnel y nuevamente pasa por el ventilador. La toma de datos se realizó siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura 9:

Figura 9. Proceso de toma de datos

37

Mediante un datalogger el cual registraba la temperatura en cuatro puntos dentro del túnel (entrada resistencias, salida resistencias, producto y parte posterior del túnel), como se muestra en la figura 10, en donde se encontraban ubicadas cuatro termocuplas, las cuales son básicamente sensores que al calentarse emiten un pequeño voltaje el cual posteriormente se registra en el datalogger.

3

4 2 1

1.

Entrada a las resistencias

2.

Salida Resistencias

3.

Producto

4.

Parte Posterior del Túnel

Figura 10. Esquema del túnel de secado

mostrando

los

puntos

en

donde se toman los datos.

Inicialmente, los registros no eran precisos, por lo que se hizo necesario instalar un polo a tierra que estabilizara el voltaje que emitían. Los datos, registrados cada tres segundos durante 3 horas, se graficaron permitiendo de esta manera un mejor análisis de los resultados obtenidos.

2.2

Desarrollo del Proyecto

Luego de haber sido construido el secador, se comenzaron a realizar pruebas con lo que se comprobó que su funcionamiento no era óptimo pues había muchas pérdidas de calor a lo largo del túnel. Por esta razón se decidió sellar el túnel con silicona (Abril

38

21 de 2004). Aún así, la temperatura que se alcanzaba, 40°C, no era lo suficientemente alta como para justificar el esquema de recirculación del aire. Por lo tanto se rediseñó el túnel, diminuyendo los codos y la distancia que el aire debía recorrer, y modificando la caja en donde debe ir el producto (Mayo 5 de 2004). Finalmente se procedió a forrarlo con un material aislante de fibra de vidrio de dos centímetros de espesor (Mayo 12 de 2004), con lo que se logró alcanzar temperaturas de hasta 100°C. Durante todo este proceso se tomaron datos para comparar con las condiciones anteriores y verificar si efectivamente el cambio generaba un mejor rendimiento. A continuación se muestra una secuencia de fotos en donde se puede apreciar la evolución del túnel de secado: ANTIGUO

MEJORADO

CAJA DE SECADO

Sensor de humedad

Sensor de temperatura

39

Comparación de Resultados 90.00

80.00

70.00

Temperatura (°C)

60.00

primera silicona cambio caja forrada

50.00

40.00

30.00

20.00

10.00

0.00 -50.00

50.00

150.00

250.00

350.00

450.00

550.00

Tiempo (s)

Gráfica 4. Ejemplo de pruebas tomadas durante todo el proceso de cambio del túnel, en donde se aprecian las mejoras.

En la gráfica 4 vemos como mejoraban los resultados a medida que se implementaban los arreglos en el túnel de secado, no solo en cuanto a mayores temperaturas alcanzadas, sino también en el comportamiento de los datos, ya que se presentaban menos oscilaciones. 2.2.1 Diseño Experimental Una vez se probó que el comportamiento del túnel era ideal, se comenzó a procesar la información obtenida a partir de los datos que se tomaban, realizando diversas pruebas en las que se iba variando las condiciones de funcionamiento (Velocidad del aire, generada por el ventilador28; y temperatura de la resistencia, producida por el voltaje implementado).

28

Esta velocidad del aire la representamos mediante la frecuencia del motor del ventilador (a mayor frecuencia mayor velocidad), expresada en Hertz (Hz)

40

V Hz

30

50

70

90

110

0 20.4 30 60

Tabla 1. Diseño experimental mostrando cada prueba que se realizó.

La tabla 1 muestra el diseño experimental que se siguió para el proceso de la toma de datos. Cada casilla de esta tabla es una prueba diferente para verificar el comportamiento de la temperatura en el producto y en las resistencias con las condiciones dadas de voltaje y frecuencia durante un tiempo determinado no menor a tres horas. Un ejemplo de estas pruebas se presenta en la gráfica 5.

Temperatura resistencias (°C)

60 50 40

30v 50v

30

70v 110v

20 10 0 0.00

2000.00

4000.00

6000.00

8000.00

tiempo (s)

Gráfica 5. Ejemplo de prueba realizada con una frecuencia constante y variando el voltaje de las resistencias.

41

3. MODELACIÓN MATEMÁTICA Inicialmente se buscó realizar una aproximación mediante un modelo de tercer orden del secado de un material húmedo en una cámara aislante con circulación de aire tomado del libro “Dinámica de Sistemas de Control”29, modificándolo a las condiciones de recirculación mediante la sustitución de parámetros constantes por ecuaciones que describieran su comportamiento en el tiempo. Este modelo fue seleccionado ya que tenía en cuenta una gran cantidad de factores que intervienen en el proceso de secado, lo cual lo consolidaba como uno de los modelos más completos que se podían encontrar. El modelo planteado por el libro, basado en el método del espacio de estados, tiene en cuenta como variables:

x1 : Contenido promedio de humedad (sobre una base seca) del producto. Cuánta agua tiene el producto respecto al producto seco.

x 2 : Dos veces la razón de pérdida de humedad30. Medida de la tasa de salida de la humedad. Es equivalente a la derivada de x1.

x3 : Temperatura del material húmedo. Es la temperatura del producto.

d  −1  x1 =  x2 dt  2m 

(

)

[1]

(

)

d x 2 = 8λ 2 m x1 − (5λ )x 2 − 8λ 2 m q e dt

[2]

 c a + w2 cv d 1  H x3 = −   x 2 +  dt Ce   2   1 + w2

[3]

 •  c + cv   m(T2 − x3 ) +  w  x 2 x3   2   

29

Eronini – Umez – Eronini. Dinámica de Sistemas de Control. Thomson Learning. México 2001 Esta variable es multiplicada por dos, para que sea simplificable con los parámetros del modelo, de tal manera que se faciliten los cálculos 30

42

En donde:

m : Masa en seco del material húmedo. Hace referencia al peso del producto cuando su contenido de humedad es cero. Este valor se puede encontrar en tablas dependiendo del tipo de producto que se desee secar

q e : Contenido de humedad en equilibrio Depende de las condiciones del aire pues la humedad en equilibrio es el contenido de humedad de un producto después de estar expuesto a un medio en condiciones de temperatura y humedad relativa controladas durante un periodo de tiempo prolongado, es decir el equilibrio del ambiente y el producto en términos de humedad.

H : Calor latente de vaporización Es la cantidad de calor que se le debe agregar a un kilogramo de agua para evaporarla.

Ce : Capacidad de calor húmedo equivalente del material Es la cantidad de calor que se le debe agregar a un kilogramo de producto a secar para que su temperatura aumente en un grado centígrado

c a : Calor específico del aire seco a presión constante Es la cantidad de calor que se le debe agregar a un kilogramo de aire seco para que su temperatura aumente en un grado centígrado

cv : Calor específico de la humedad a presión constante Es la cantidad de calor que se le debe agregar a un kilogramo de mezcla aire-vapor de agua para que su temperatura aumente en un grado centígrado. Es variable dependiendo del contenido de humedad que tenga el aire.

c w : Calor específico del agua a presión constante Es la cantidad de calor que se le debe agregar a un kilogramo de agua para que su temperatura aumente en un grado centígrado

43

m& : Caudal Indicador de la velocidad del fluido en relación al área transversal del ducto por el que circula.

T2 : Temperatura del aire Temperatura utilizada para el proceso.

w : Cociente de humedad Relación de la masa de vapor de agua con la masa de aire seco. Es equivalente a la humedad absoluta. En esta parte del modelo se involucra la ecuación hallada para la humedad.

λ : Nivel de pérdida de humedad x1 , x2 y x 3 son las variables de estado, es decir las variables que determinan el estado de este sistema dinámico. “Este modelo supone una gran tasa inicial de pérdida de humedad (evaporación limitada de humedad), 4 λ, que es cuatro veces el nivel de pérdida de humedad λ, que se limita por la difusión de humedad dentro del material sólido, de modo que el proceso global de pérdida de humedad sigue un comportamiento sobre-amortiguado de segundo orden.”31 Como x 2 es la derivada de x1 ( x 2 = x1′ ), las ecuaciones [1] y [2] se pueden escribir de la forma

d 2 x1 dt

2

+ 5λ

dx1 + 4λ 2 x1 = 4λ 2 q e dt

[4]

y la ecuación auxiliar sería de la forma:

r 2 + 5λr + 4λ2 = 0 ;

[5]

entonces

r=

31

− 5λ ±

(5λ )2 − 4(4λ2 ) 2

;

[6]

Eronini – Umez- Eronini. Dinámica de sistemas de control. Thomson Learning. México 2001

44

es decir que las soluciones de la ecuación auxiliar serían: r=-4λ y r=-λ ; Como la expresión que se encuentra dentro del radical es positiva, tendremos que la solución general de esta ecuación homogénea asociada será de la forma:

x1 (t ) = C1e

−4 λ t

+ C 2 e − λ t + x1 p

[7]

Siendo C1 y C2 las constantes producto de las condiciones iniciales. Esta solución, que sigue un comportamiento sobre-amortiguado (como se muestra en la gráfica 6), nos indica que no habrá oscilaciones dentro del sistema sino que rápidamente tiende a estabilizarse como se muestra en la gráfica que se presenta a continuación:

Gráfica 6. Ejemplo de comportamiento sobre-amortiguado.

El modelo que se presentó se clasifica como causal, ya que la cantidad de humedad que sale depende de la cantidad de humedad que ha entrado en el sistema durante todo el proceso; dinámico, pues se estudia en varios periodos de tiempo; determinístico, ya que los parámetros que interfieren en el modelo (temperatura del aire, flujo másico, etc.), se conocen con certeza; de parámetros concentrados, pues el

45

fenómeno se puede representar puntualmente; y no lineal por la presencia del término

x 2 x3

32

.

Las primeras hipótesis nos llevan a pensar que la temperatura del aire (T), la humedad (w), la humedad en equilibrio (qe) el calor específico de la humedad, y el nivel de pérdida de humedad no serán constantes en el tiempo debido a la recirculación. Un modelo más general de este sistema sería de la forma:

dx1 = ax 2 dt

[8]

dx 2 = bx1 + cx 2 + f (t ) dt

[9]

dx3 = kx 2 + g (t ) + h(t ) x3 + x 2 x3 dt

[10]

En comparación con el modelo anterior, en este se está considerando que los parámetros q e , T2 y c w son funciones del tiempo puesto que la recirculación del aire implica un cambio en las condiciones de temperatura y humedad. De todas formas, es posible obtener una solución analítica del sistema de ecuaciones independiente de las funciones f(t), g(t) y h(t) como se muestra a continuación: Como:

dx 2 1 ″ = x1 dt a

[11]

Entonces:

1 ″ c ′ x1 − bx1 − x1 = f (t ). a a

[12]

Sustituyendo por los valores reales de los parametros:

″ ′ x1 + 5λx1 + 4λ2 x1 = 4λ2 f (t ) ;

32

[13]

Ver Marco Teórico, 1.1 Modelación Matemática

46

Esta última es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea cuya solución es de la forma:

x1 = C1 y1 + C 2 y 2 + y p C1 y C 2 dependen de las condiciones iniciales y y p es la solución particular de la ecuación. Una vez conocido x1 , al derivar esta variable obtenemos x 2 ; y conocida ésta última, la tercera ecuación del sistema se convierte en una ecuación lineal de primer orden en x3 cuya solución es relativamente fácil de calcular. A continuación se presenta un análisis de la temperatura y la humedad del túnel a través del tiempo:

3.1 MODELO DE TEMPERATURA Se busca una primera aproximación del modelo manejando el túnel vacío, únicamente para comprobar el comportamiento de la temperatura, para lo cual se pusieron termocuplas en dos partes del túnel (cámara de producto y zona de resistencias). Como podemos ver en la gráfica 7, desde las primeras pruebas realizadas se determinó que la temperatura se comportaba de manera exponencial, y el límite cuando el tiempo tiende al infinito será la temperatura máxima.

47

55,00

50,00

45,00

40,00 Producto °C Resistencia 35,00

30,00

25,00

20,00 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Gráfica 7. Ejemplo gráfica de calentamiento en el tiempo comparando Temperatura en la resistencia y la Temperatura en el producto

A partir de los resultados hallados se modeló la temperatura del producto con base en la ley de Newton para la transferencia de calor, la cual indica que la razón de pérdida de calor de un cuerpo que se encuentra a una mayor temperatura que el ambiente, es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el ambiente y el cuerpo en un momento específico.

du = −λ (u − u s ) dt

[14]

Donde λ es un parámetro de proporcionalidad positivo (λ > 0); u es la temperatura del cuerpo y us es la temperatura del ambiente. El signo negativo de la ecuación nos indica que si la temperatura del cuerpo es superior a la del ambiente (u > us) el proceso no es de calentamiento sino de enfriamiento. La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

u (t ) = u s − (u s − u 0 )e − λt

[15]

48

Vemos cómo este resultado es adaptable al comportamiento exponencial planteado anteriormente. En la teoría, para el desarrollo de este problema, se realizan una serie de hipótesis que simplifican los cálculos. La primera de éstas es asumir que el aire que rodea el cuerpo se encuentra en continuo movimiento, retirando de esta manera el calor que ha ganado el ambiente. Por esta razón tenemos una temperatura ambiente constante. Sin embargo, en el túnel de secado, el aire irá ganando calor a medida que recircule, por lo cual la diferencia entre las dos temperaturas será variante en el tiempo. A partir de este razonamiento, se plantea un modelo matemático en el cual se modifica la ley de Newton y se busca la razón de cambio de las dos temperaturas, reuniéndolos finalmente en una sola ecuación diferencial que permita calcular de una manera más exacta, la temperatura del cuerpo en un tiempo t .

u s = f (t ) Entonces la ecuación anterior se convierte en:

du = −λ(u − f (t )) dt

[16]

La cual se puede escribir como una ecuación lineal de primer orden

du + λu = λf (t ) dt

[17]

La solución de esta ecuación diferencial depende obviamente de f(t) y es de la forma:

u (t ) =

1

µ

[ ∫ µ λ f (t ) dt + c]

[18]

Donde µ es un parámetro de integración de la forma:

µ = eλ t Es decir:

[

u (t ) = e − λ t λ ∫ e λ t f (t ) dt + c

]

[19]

49

Por esta razón, en primer lugar se procede a determinar la función que rige el calentamiento de las resistencias del túnel de secado. A partir de las gráficas obtenidas de manera experimental, se plantea un modelo de primer orden dado por:

f (t ) = Tm − αe − βt

[20]

Donde: Tm: Temperatura máxima que alcanza la resistencia

α y β : Parámetros Finalmente se aplicó de nuevo la ley de Newton para encontrar la temperatura del producto, tomando la temperatura de las resistencias, no como una constante, sino como una función del tiempo, a partir de la ecuación hallada para modelar el comportamiento de la resistencia. De acuerdo a esto, el modelo hallado es el siguiente:

du = −λ (u (t ) − u s (t )) dt

[21]

Es decir33:

u (t ) = Tm −

αλ − βt  αλ  −λt + u 0 − Tm + e e λ−β λ − β  

[22]

Para obtener los valores de los parámetros α y β, tomamos logaritmo natural en la ecuación f(t):

ln (Tm − f (t ) ) = ln α − β t

[23]

Mediante una regresión lineal, usando los datos para f(t) es posible hallar α y β . Para hallar el valor de λ tomamos la ecuación diferencial

du = −λ (u − f (t ) ) dt

33

[24]

Reemplazando los valores de us(t)en la ecuación [21] y solucionando la ecuación diferencial

50

A partir de los datos se obtuvo una aproximación de la derivada mediante un cociente de diferencias para determinar los valores de λ de acuerdo con la ley de Newton:

du u k +1 − u k −1 ≈ = −λ (u − f (t ) ) dt 2 ∆t

[25]

Finalmente se buscó relacionar los parámetros encontrados (α, β, λ) con la frecuencia y el voltaje aplicados en cada prueba, asumiendo que la temperatura depende del voltaje, la velocidad del aire y del tiempo. Por esta razón se aplican pruebas dejando la velocidad del aire constante y analizando el fenómeno de transferencia para varios voltajes. De igual manera, se deja constante el voltaje y se varía la velocidad del aire. Los resultados encontrados inicialmente nos indican que no hay una relación aparente entre ellos. Sin embargo sabemos que la ecuación es muy sensible a cualquier cambio en los parámetros (especialmente a λ, y en menor medida a α), y que los resultados arrojados por la ecuación no son tan exactos como los experimentales (prueba y error). La adaptación de este modelo al túnel de secado se verificó mediante el método de error cuadrático medio, obteniendo un promedio de 20,7, lo cual es considerablemente bajo si tenemos en cuenta que cada prueba tenía más de 1.500 datos. La gráfica 8, presentada a continuación, nos muestra un ejemplo de la adaptación de los datos del modelo a los datos experimentales:

51

45,00

40,00

35,00

30,00

25,00 datos experimentales datos modelo 20,00

15,00

10,00

5,00

0,00 0

200

400

600

800

1000

1200

Gráfica 8. Comparación datos del modelo y datos experimentales.

El problema de hallar los parámetros en un modelo como este es sin lugar a dudas un problema de optimización. En este caso se pretende que el error cuadrático medio sea mínimo. Por esta razón se procedió a dejar el término β constante en un valor de 0,3; el cual era adaptable en todos los casos, y ajustar los valores de λ. Estos últimos eran muy similares en las pruebas a diferentes velocidades, por lo cual se decidió mantenerlos constantes. Después de este procedimiento el error se redujo a 17,2, es decir un 17% con respecto al valor inicial. En las gráficas 8 a 13 se relacionan los parámetros encontrados experimentalmente con el voltaje aplicado en una frecuencia determinada:

52

Frecuencia 20,4 Hz 150 100 50 0 20

70

Voltaje

120

Frecuencia 30 Hz 50

α

40 30 20 10 0 20

70

voltaje

120

Gráfica 9 y 10. Ejemplo de gráficos realizados para relacionar el parámetro α con el voltaje

53

Frecuencia 20,4 Hz 0,0015 0,001 0,0005 0 20

70

120

Voltaje

Frecuencia 30 Hz 0,0008

β

0,0006 0,0004 0,0002 0 20

40

60 80 Voltaje

100

120

Gráfica 11 y 12. Ejemplo de gráficos realizados para relacionar el parámetro β con el voltaje

54

λ

Frecuencia 20,4 Hz 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0

λ

20

70 Voltaje

120

Frecuencia 30 Hz

0,00012 0,0001 0,00008 0,00006 0,00004 0,00002 0 20

70 Voltaje

120

Gráfica 13 y 14. Ejemplo de gráficos realizados para relacionar el parámetro λ con el voltaje

55

Los resultados hallados en esta primera parte fueron utilizados para crear un controlador PI de la temperatura del túnel, el cual permite establecer la temperatura a la cual se desea secar y mantenerla constante. Su mecanismo de funcionamiento consiste básicamente en calentar las resistencias con el mayor voltaje aplicable y a medida que la temperatura va alcanzando el valor indicado, reducir el voltaje hasta que finalmente se estabiliza; es decir, regular el funcionamiento de la resistencia de acuerdo al voltaje aplicado mediante un controlador sobre este último. Para poder implementar este controlador es necesario encontrar la función de transferencia del sistema: Para la salida:

du + λu = λf (t ) dt

[26]

Trasformada de Laplace de la ecuación [26]:

s U ( s) − u (0) + λ U ( s) = λ F ( s )

[27]

es decir:

U ( s ) [s + λ ] = u (0) + λF ( s )

[28]

entonces:

U (s) =

u (0) + λ F ( s) s+λ

[29]

Para la entrada:

f (t ) = Tm − α e − β t

[30]

Transformada de Laplace de la ecuación [30]:

F (s) =

Tm α − s s+β

[31]

56

Por lo tanto, la función de transferencia del sistema es:

H ( s) =

U ( s) F (s)

[32]

es decir:

H ( s) =

u0 + λ F ( s) ( s + λ ) F ( s)

[33]

H ( s) =

u0 1 + ( s + λ ) F (s) ( s + λ )

[34]

Un proyecto de grado paralelo, tomó este resultado e implementó el controlador de temperatura. Simultáneamente se realizó un programa en Labview para poder supervisar el controlador a través de la Intranet de la Universidad. En la figura 11 se muestra la página principal de este programa, en donde se puede apreciar el comportamiento de las variables controladas en el tiempo:

Figura 11. Programa a través del cual se verifica el control de la temperatura34 34

Tomado de la tesis de maestría del profesor Mauricio Agudelo Otálora

57

Una vez se implementó el controlador de temperatura en el túnel de secado35, la temperatura se volvía constante dentro de la ecuación, ya que se modelará a partir del estado estacionario, es decir, cuando el sistema ya está regulado. Por esta razón, en la ecuación planteada inicialmente se tomará como una constante.

3.2 MODELO DE HUMEDAD Posteriormente se procedió a tomar datos de humedad a partir de la relación bulbo seco, bulbo húmedo, la cual consiste básicamente en tomar dos temperaturas: una con un termómetro normal y otra con un termómetro rodeado de un algodón humedecido permanentemente a través de una mecha que está en contacto con una vasija con agua. El algodón que rodea el termómetro húmedo, para evaporar parte del agua que contiene, necesita calor, el cual adquiere del bulbo, de tal manera que este se enfría y se genera un descenso en la temperatura del termómetro. Una vez son conocidas estas temperaturas, se introducen estos datos en una calculadora psicrométrica que funciona bajo el mismo principio que la tabla, relacionando los parámetros entre sí. La intención de la primera prueba era saturar de agua el aire. Por esta razón se realizó tomando como producto el agua. Los resultados hallados permitieron determinar que en periodos de tiempo muy largos, el túnel no alcanzaba a tener una humedad relativa del 100%, es decir que el punto de saturación no se alcanzaba como podemos apreciar en la gráfica 15; sin embargo el aire si absorbía agua, ya que se apreciaba una diferencia considerable entre la masa inicial y la masa final del producto.

35

Con la implementación del controlador, la prueba cambia: se deja que el aire recircule sin producto adentro, hasta que se alcanza la temperatura deseada, momento en el cual se introduce el producto y se toma como tiempo cero.

58

Humedad

%humedad

100 90 80 70 60 50 40

Oct-10 Oct-12

10

210 tiempo (min) Gráfica 15. Dos resultados de la humedad

relativa

en

el

tiempo

dentro del túnel

Posteriormente se realizó la misma prueba secando melón y banano. La diferencia de masas en el proceso de secado es la que se presenta a continuación en las tablas 2 y 336: TIEMPO (min) 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330

PESO (gr) 25.03 14.93 11.36 9.02 6.71 5.04 4.07 3.28 2.7 2.2 6.03 1.89

Tabla 2.

Datos de peso en el proceso de

secado de melón a 60 Hz y 30 voltios 36

Tomado del proyecto de Grado de la Ingeniera Adriana Rico

59

TIEMPO (min) 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330

PESO (gr) 23.48 20.69 18.22 16.11 14.59 12.99 11.61 10.53 9.04 8.3 7.8 7.79

Tabla 3. Datos de peso en el proceso de secado de banano a 20.4 Hz y 30 voltios

A continuación se presenta una secuencia de fotos en la que se muestra el proceso de secado de banano:

60

La lógica y los conocimientos previos nos permiten plantearnos una primera suposición que la humedad inicialmente decrecería y finalmente crecería de manera exponencial asintótica con

lim t→∞

=100%, pero vemos como los resultados nos indican que la

humedad se mantenía relativamente constante en pruebas de secado de hasta 8 horas. Una hipótesis para explicar este fenómeno es que el túnel, al no ser completamente hermético, tiene pérdidas de aire lo suficientemente grandes como para permitir que el aire se renueve, impidiendo que la humedad aumente más allá de cierto nivel. Esta irregularidad del túnel en realidad favorece en la práctica pues no habilita la saturación del aire, de tal manera que el secado es efectivo. Sería interesante entonces plantear un punto de equilibrio para la recirculación del aire, de tal manera que se alcancen altas temperaturas y niveles de humedad óptimos37. Aun así, sabemos que el parámetro es estable en el sistema pues sus oscilaciones son pequeñas y a gran escala puede considerarse como un valor constante.

3.3 RESULTADOS Luego de haber controlado la temperatura dentro del túnel y de comprobar que la humedad se mantenía constante, vemos que el modelo tomado del libro de Eronini Umez Eronini es aplicable a las condiciones de recirculación del túnel de secado. Igualmente, este modelo permitió un mejor estudio del sistema, ya que facilitó el análisis de las variables que interfieren en el proceso. En cuanto al modelo de la temperatura, se realiza una ley de Newton para la transferencia de calor adaptándola a las condiciones de funcionamiento del sistema que se estudia, y a partir de esta ecuación encontramos la función de transferencia del sistema, la cual posteriormente se aplica a un controlador de tal manera que el proceso de secado se puede realizar a la temperatura deseada y esta permanece constante. Finalmente, en cuanto a la humedad, vemos como oscila en el tiempo, sin embargo, estas oscilaciones son relativamente pequeñas, por lo tanto la consideramos constante. Este comportamiento es contradictorio a lo esperado, ya que la lógica nos indica que si el aire está absorbiendo agua, llegará un punto en el que se sature. Sabemos que el 37

Ver recomendaciones.

61

aire efectivamente absorbe agua ya que la masa del producto cambia en el tiempo, pero el aire no se satura de humedad. La explicación más acertada de este fenómeno es que hay pérdidas a lo largo del túnel y estas permiten la entrada de aire seco, de tal manera que el aire dentro del túnel se renueva y de esta manera se evita la saturación de humedad del aire.

3.4 CONSUMO ENERGÉTICO Un último cálculo se realizó para verificar el ahorro de energía del túnel generado por la realimentación del aire. En esta prueba se midió el voltaje implementado para mantener la temperatura constante tanto con el túnel abierto como con el túnel cerrado como se puede ver en las tablas 4 y 5.

TUNEL CERRADO Temperatura modelo

Deseada 30 35 40 45 50

28,9 33,8 39,3 43,7 48,9

Voltaje

Tiempo en el que alcanza la temperatura

10-48 15-53 20-76 36-90 20-84

3 4 7 9 14

termómetro 31,6 36,9 42,7 47,2 53,4

30,5 36 41,5 46 52

Tabla 4. Registro de la Temperatura, el voltaje y el tiempo en el túnel cerrado (recirculación)

TUNEL ABIERTO Temperatura modelo

Deseada 30 35 40 45 50

Voltaje

28,9 33,8 38,9 40,9

termómetro

28,9 29 29-52 36,9 37 45-93 43,4 41 75-110 43,7 43 80-110 No alcanza a llegar a esta temperatura

Tiempo en el que alcanza la temperatura

3 7 15 30

Tabla 5. Registro de la Temperatura, el voltaje y el tiempo en el túnel abierto

62

Temperatura °C 30 35 40 45 50

Cerrado Voltaje V 10-48 15-53 20-76 36-90 20-84

Abierto Voltaje V 29-52 45-93 75-110 80-110 N/A

Tabla

6.

Comparación

de

voltaje

requerido para alcanzar una temperatura determinada con el túnel abierto y el túnel cerrado

Se puede apreciar en la tabla 6 que con el túnel cerrado se requiere un menor voltaje para alcanzar una temperatura determinada. De acuerdo a estos datos, se verifica la potencia requerida para secar un producto a 40°C de acuerdo a la ecuación [35]:

P = I ×V

[35]

siendo P la potencia; I la corriente y V el voltaje.

Antes de estabilizar el sistema

Túnel Abierto Túnel Cerrado

Corriente (A)

Voltaje (V)

Potencia (W)

Tiempo periodo estacionario (min)

Consumo (W-hora)

3,2 3

110 104

352 312

15 7

88 36,4

63

Sistema Estable Corriente (A)

Voltaje (V)

Potencia (W)

Túnel Abierto

3,2

115

368

Consumo en 5 Horas 1840

Túnel Cerrado

2

70

140

700

Tabla 7. Consumo de potencia durante el periodo de estabilización y en 5 horas de secado comparando el túnel abierto con el túnel cerrado38

Vemos entonces como el consumo total39 de vatios-hora es mucho menor con el túnel cerrado que con el túnel abierto (176,4 W-hora con el túnel cerrado y 456 W-hora), lo cual implica que cada hora se ahorrarían $3640, ya que con el túnel cerrado el valor es de $22,6/hora, mientras que con el túnel abierto es de $58,4

38

Se realizan los cálculos tomando un promedio ponderado, ya que ni el voltaje ni la corriente son constantes. 39 Antes y después de la estabilidad 40 De acuerdo al valor del KW-Hora Industrial ($128)

64

4. ADAPTACIÓN DE LOS RESULTADOS La primera parte del proyecto consistió en la modelación de la temperatura, de tal manera que un proyecto de grado paralelo a este pudiera realizar un control de esta variable dentro del túnel de secado. A partir de la estabilidad que generó este control, se procede a modelar la humedad dentro del túnel de tal manera que esta sea así mismo, controlable. A raíz de estas pruebas se determina que la humedad dentro del túnel puede ser considerada constante, sin embargo se adapta un modelo del libro “Dinámica de Sistemas y Control”. Como la humedad dentro del túnel es constante, no se hace necesario implementar un controlador para esta variable dentro del túnel, sin embargo, los resultados hallados de las pruebas de humedad nos permiten dictaminar cuánto tiempo tarda el aire en absorber cierta cantidad de agua, dato que permite establecer el tiempo de secado. A partir de este punto, se puede utilizar el controlador de lazo abierto para la duración del proceso de secado. Finalmente se calcula el consumo de energía, comparando el túnel abierto con el cerrado y vemos como este último es más económico.

65

5. CONCLUSIONES Mediante el anterior estudio se demuestra la viabilidad del proyecto, así mismo como su funcionalidad. De igual manera se cumple con un objetivo primordial, el cual es básicamente modelar un sistema térmico a través de una ecuación matemática general la cual fue validada y solucionada. Igualmente, se buscó modelar de manera particular las dos principales variables que intervienen en el sistema: la temperatura y la humedad. Por esta razón se buscó implementar un modelo de secado de tercer orden para un túnel de aire sin recirculación, adaptándolo a las condiciones del sistema. La primera aproximación se realizó a través de una modificación a la ley de Newton para la transferencia de calor y a partir de los resultados hallados se pudo implementar un controlador en el túnel que mantuviera esta variable constante. En el caso de la humedad, fue imposible modelarla ya que las pérdidas a lo largo del túnel no permitían que tuviera un comportamiento definido. Sin embargo, este hecho no obstaculizó el procedimiento, sino que por el contrario, permitió secar bajo condiciones óptimas (sin saturar el aire de agua). Para poder alcanzar estos resultados fue necesario cumplir los objetivos específicos planteados para el proyecto: 1

Se identificaron las variables físico-químicas que intervienen en la transferencia de calor en el proceso de secado.

2

Se mejoró el diseño del túnel con el fin de optimizar las condiciones de funcionamiento al disminuir las pérdidas de calor a través del aislamiento térmico.

3

Se establecieron las ecuaciones diferenciales que gobiernan la transferencia de calor en el sistema, lo que facilitó el conocimiento de las condiciones de funcionamiento del túnel.

4

Se determinaron, mediante la experimentación, los coeficientes necesarios para establecer los parámetros que rigen dichas ecuaciones, como α, β, λ.

Finalmente, se realizó una comparación de tiempos de secado y de ahorro de costos de consumo energético, lo cual verificó que el secador con recirculación de aire era más económico y práctico que el secador tradicional. Vemos entonces cómo mediante la formulación de un modelo matemático se logra controlar un sistema estable con condiciones de entrada cambiantes. A partir de este momento, cuando el sistema es controlable, se aprecia que la recirculación del aire en

66

un túnel de secado no sólo es viable sino que es más efectiva siempre y cuando se mantengan controladas la temperatura y la humedad.

67

6. RECOMENDACIONES Sería interesante que la facultad continuara con este estudio buscando básicamente que el túnel de secado con recirculación de aire fuera cada vez más funcional. Un siguiente proyecto podría ser el estudio a fondo del comportamiento de la humedad dentro del sistema, buscando los niveles óptimos para el secado e implementando un nuevo controlador para esta variable mediante compuertas que determinen el punto ideal de renovación del aire sin incurrir en grandes pérdidas de temperatura. Así mismo, buscar que el proceso sea completamente adiabático para que de esta manera no existan pérdidas de calor ni de aire a lo largo del túnel. Finalmente también sería interesante un proyecto que realice un balance de materia y energía de tal manera que se pueda describir el proceso desde varios puntos de vista que converjan en un resultado ideal.

68

BIBLIOGRAFÍA 1. Eronini – Umez- Eronini. Dinámica de sistemas de control. Thomson Learning. México 2001. 2. Ogata Katsuhiko. Ingeniería de control Moderno, 4a Ed. Pearson Educación S.A. Madrid. 2003 3. Fulford, Glenn. Modeling with differential and difference equations. Cambridge University Presss. Melbourne. 1997. 4. J. P. Holman. Transferencia de calor. CECSA. México 1989. 5. Close, Charles – Frederick, Dean. Modeling and Analysis of Dynamical Systems. John Wiley and Sons, USA. 2002. 6. Icropera, Frank – Dewitt, David. Fundamentals of Heat and Mass Transfer. John Wiley and Sons, New York. 1996 7. Mooney Douglas - Swift Randall. A course in mathematical modeling. The mathematical Association of America. USA. 1999 8. Bender Edward A. An Introduction to Mathematical Modeling. Dover Publications, Inc. New York. 2000. 9. Zill Dennis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Thomson. 7º Edición. 2002 10. Nagle Kent - Saff Edward. Fundamentos de Ecuaciones diferenciales. Prentice Hall. 3º Edición. 2002. 11. Lomen David - Lovelock David. Ecuaciones diferenciales a través de gráficas modelos y datos. CECSA. México. 2000. 12. Rutherford Aris. Mathematical Modeling 13. Von Der Becke, Carlos. Glosario, Actividad Acuosa [online]. Mayo 1999. [citado Agosto

de

2005].

Disponible

en

la

red:

14. Giordano, Frank – Weir, Maurice – Fox, William. A First Course in Mathematical Modelling. Thomson USA. 2003

69