Modelos de procesos y linealización Prof. María Jesús de la Fuente Dpt. Ingeniería de Sistemas y Automática Univ. De Valladolid

ISA, UVA

1

Modelos • Representación aproximada de la realidad • Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos y relaciones que son de interés. • Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,… • Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, que pasa si…., decisiones,... • ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos? ISA, UVA

2

¿Qué es un modelo matemático? • Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de interés del proceso y representan adecuadamente su comportamiento • Siempre son aproximaciones de la realidad • Distintos modelos para distintos objetivos y tipos de procesos • Compromiso entre facilidad de uso y exactitud ISA, UVA

3

Representación adecuada y Proceso u

tiempo ym tiempo

Modelo tiempo ISA, UVA

4

Procesos continuos y de eventos discretos q

h Procesos continuos: Las variables evolucionan continuamente en el tiempo y pueden tomar cualquier valor en un rango dado

Procesos de eventos: Las variables solo cambian en instantes discretos y pueden tomar solo un número finito de valores

ISA, UVA

5

Procesos Continuos / Eventos • Procesos Continuos – Descritos principalmente por DAEs o PDE. – Interés fundamental: la trayectoria de algunas variables

• Procesos de eventos discretos – Descritos principalmente por secuencias de actividades. – Interés fundamental: el comportamiento estadístico de algunas variables. ISA, UVA

6

Modelos estáticos y dinámicos q = kρ h

q

h

Modelo estático: Relaciona las variables en un estado de equilibrio

d h Aρ = q − kρ h d t

Modelo dinámico: Relaciona las variables a lo largo del tiempo ISA, UVA

7

Respuesta dinámica h

q tiempo

ISA, UVA

8

Modelos estáticos y dinámicos • Modelos estáticos – Representan situaciones de equilibrio – Descritos mediante ecuaciones algebraicas – Orientados a diseño

• Modelos dinámicos en tiempo continuo – Representan la evolución temporal – Descritos mediante DAE y PDE – Uso mas general: control, entrenamiento,... ISA, UVA

9

Modelos para control por computador u(kT) Ordenador y(kT)

•

y(t) D/A

Proceso

A/D

modelos en tiempo discreto deben relacionar las variables de entrada y salida en los instantes de muestreo kT Ecuaciones en diferencias y((k+1)T)=f(y(kT),u(kT)) ISA, UVA

10

¿Como obtener modelos?

Mediante razonamientos, usando leyes físicas, químicas, etc

ISA, UVA

Mediante experimentación y análisis de datos 11

Modelos de conocimiento • Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación • Tienen validez general • Requieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes fisico-químicas ISA, UVA

12

Identificación El modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso U U t

Y

Y

Proceso t

Modelo ISA, UVA

13

Modelos de conocimiento Metodología de modelado: ⌦Establecer los límites y objetivos del modelo ⌦Establecer las hipótesis básicas ⌦Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación ⌦Estimar el valor de los parámetros ⌦Validar el modelo

ISA, UVA

14

Tipos de modelos • • • • • • •

Parámetros concentrados Parámetros distribuidos No-lineales Lineales Tiempo Frecuencia …. ISA, UVA

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Conservación de masa Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo = Masa que entra al sistema por unidad de tiempo Masa que sale del sistema por unidad de tiempo + Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo dm = Fi − F0 + G − C dt

Fi

ISA, UVA

G m C

F0

16

Ejemplo: Depósito Conservación de masa

q p0

Acumulación= flujo entrada q - flujo salida F h

p1 F m masa en el depósito A sección del depósito ρ densidad, k constante

dm = qρ − Fρ dt m = Aρh

F = Sv = Sk 1 p1 − p 0

p1 = p 0 + ρgh Aρ

F=k h

dh = qρ − ρk h dt

ISA, UVA

17

Ejemplo: Depósito q

Conservación de masa

h

F m masa en el depósito A sección del depósito ρ densidad, k constante u posición de la válvula

u

Acumulación= flujo entrada q - flujo salida F dm = qρ − Fρ dt m = Aρh A

ISA, UVA

F = uk h

dh = q − uk h dt

V = Ah

Ecuación diferencial no-lineal

Ecuación algebraica 18

Modelos en variables de estado d x(t ) = f ( x(t ), u (t ), v(t ), t ) dt y (t ) = g ( x, u (t ), v(t ), t ) perturbaciones

v u Variables manipuladas

x

y

Respuestas observables

x Estados ISA, UVA

19

Simulación q

h F Integración numérica mediante el método de Euler

Integrando numéricamente el modelo pueden obtenerse los valores del volumen de líquido en función de los valores de q dh 1 uk = q− h dt A A

V = Ah

u ( t )k ⎤ ⎡1 h ( t + Δt ) = h ( t ) + ⎢ q ( t ) − h ( t ) ⎥ Δt A ⎦ ⎣A ISA, UVA

20

Causalidad Causalidad computacional: orden de cálculo de las variables

dh = q−F A dt

q

F=k h

h F Causalidad física: causas y efectos q

h

F

q

h

F

El uso del modelo (¿Qué pasa si..? Control, etc.) requiere una determinada causalidad computacional. ISA, UVA

21

Hipótesis ci q

c

q

h

h

F Mezcla perfecta d Vc = qc i − Fc dt

F Flujo pistón h Ah V c( t ) = c i ( t − ) = c i ( t − ) = ci (t − ) v Av F ISA, UVA

22

Formulación ci q

Concentración ci Volumen V

h

c

d (Vc) ⎫ = qc i − Fc⎪ dt Vc ⎪ = c ⎬ dV V ⎪ = q−F ⎪⎭ dt dV dc +c = qc i − Fc dt dt dc V + c(q − F) = qc i − Fc dt dc = q (c i − c) V dt

V

F Mezcla perfecta ρ constante

ISA, UVA

23

Computabilidad q1

q2

h1

h2 F1

dh A1 1 = q1 − F1 dt F1 = k 1 h 1 − h 2

dh A 2 2 = q 2 + F1 − F2 dt h 1 < h 2 ? F2 = k 2 h 2

F1 = k 1 sgn(h 1 − h 2 ) h 1 − h 2 ISA, UVA

F2

0 ≤ h i ≤ h max

Leyes + restricciones qi ≥ 0 24

Reactor Químico Isotermo Reacción:

A

B FT

Materia prima

AT

A Reactor Productos

A, B ISA, UVA

25

Modelo Matemático Hipótesis: •Mezcla perfecta en el reactor

CAi , Ti

Producto A F

•Temperatura T constante •Volumen constante V d cA − E RT V = FcAi − FcA − Vke cA dt

A⇒B CA CB T

d cB − E RT V = −FcB + Vke cA dt Balance másico del producto A Balance másico del producto B ISA, UVA

26

Presión en un recipiente pf

dm = Fi − F = Fi − aC v p 2 − p f2 Fi dt p ρ m = Vρ p = RT tanque isotermo M VM dp = Fi − aC v p 2 − p f2 RT d t ISA, UVA

a

F

27

Conservación de energía Ti

d(mH) V2 = qρH i − qρH + dt R

q

si H = c e T

V

R

T

m = Ahρ

dT V2 Ah = q (Ti − T) + dt ρc e R Ecuación diferencial no-lineal

T temperatura, V voltaje m masa en el depósito H entalpia, ce calor específico A sección del depósito ρ densidad, R resistencia

Hipótesis: T uniforme en el depósito Aislamiento perfecto densidad constante ISA, UVA

28

Conservación del momento d (mv) = ∑ Fi dt

d (Iω) = ∑ Ti dt

d2x m 2 = ∑ Fi dt

d 2θ I 2 = ∑ Ti dt

F

Sistema de referencia

m x

ISA, UVA

29

Flujo en una tubería Conservación de cantidad de movimiento Ecuación diferencial no-lineal

d mv = A Δ p 0 − A Δ p v − AfL ρ v 2 − Ah ρ g dt 1 Δp v = 2 2 ρq 2 m = AL ρ q = Av a Cv Δp0 L dq 1 fL − ( 2 2 + 2 ) q 2 − gh = A dt ρ a Cv A

q

a Δpv

h Δp0

ISA, UVA

30

Válvula de regulación Muelle

x

Diafragma

Aire

p Fricción

Aire abre

d2x dx m 2 = (p − p0 )A + Δp vS − kx − k v dt dt Δp v x q = Cv ρ L

x desplazamiento desde la posición de equilibrio L carrera de la válvula

Líquido

p presión de aire ISA, UVA

31

Procesos distribuidos

Ti Δx ISA, UVA

F 32

Proceso distribuido Ts T(x,t)

Ti-1 x

Ti

Ti+1

F

Δx

Se divide el proceso en celdas de ancho Δx en las que T pueda considerarse uniforme Balance de energía en un elemento Limite cuando Δx → 0 ISA, UVA

33

Proceso distribuido Ts T(x,t)

r

Ti-1

Ti

Ti+1

F

Δx Balance energético Ecuaciones en derivadas parciales

d πr 2 Δxρc e Ti = Fρc e Ti −1 − Fρc e Ti + 2πrΔxU(Ts − Ti ) dt d Ti F (T − Ti ) 2U (Ts − Ti ) = 2 i −1 + Δx dt rρc e πr 2 U(Ts − Ti ) (T − Ti ) d Ti F = 2 lim i −1 + lim Δx →0 d t Δx → 0 Δx rρc e πr Δx →0 lim

∂ T( x, t ) F ∂T( x, t ) 2 U(Ts − T( x , t )) =− 2 + rρc e ∂t ∂x πr ISA, UVA

34

Modelos de conocimiento • Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales • Utiles para muchos fines • Requieren ciertos conocimientos • Difíciles de manipular matemáticamente • Se resuelven mediante simulación ISA, UVA

35

Simulación: EcosimPro • • • • • •

Lenguaje de Modelado / Simulación ¿Qué pasa si…? Basado en tecnología orientada a objetos Métodos numéricos y funcionalidades avanzadas ESA: Agencia Europea del Espacio Generador de código C++ con un entorno de desarrollo y ejecución • Librería / Componente / Partición / Experimento • Abierto ISA, UVA

36

EcosimPro

ISA, UVA

37

Entorno Gráfico

ISA, UVA

38

Simulación

ISA, UVA

39

Modelos linealizados • Aproximaciones lineales de las ecuaciones no-lineales • Mas fáciles de manipular matemáticamente pero su rango de validez es limitado A

dh =q−k h dt

A

ISA, UVA

dΔh = β Δq − α Δh dt

40

Linealización Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operación u0, y0, z0, …. f ( u , y, z ) = 0

f (u 0 , y 0 , z 0 ) = 0

f ( u , y, z ) = f ( u 0 , y 0 , z 0 ) +

∂f ∂f ∂f (u − u 0 ) + ( y − y0 ) + (z − z 0 ) + ... ∂z 0 ∂u 0 ∂y 0

∂f ∂f ∂f Δu + Δy + Δz = 0 Δu = u − u 0 ∂u 0 ∂y 0 ∂z 0

Δy = y − y 0

Δz = z − z 0

Ecuación lineal en las nuevas variables Δu, Δy, Δz ISA, UVA

41

Modelo Linealizado del Depósito dh A −q+k h = 0 dt f (h& , h , q ) = 0

q

h F Variables desviación

h& 0 , h 0 , q 0

∂f & & ∂f ∂f (h − h 0 ) + (h − h 0 ) + (q − q 0 ) = 0 & ∂h 0 ∂h 0 ∂q 0 ∂f =A & ∂h 0 A

k ∂f = ∂h 0 2 h 0

∂f = −1 ∂q 0

dΔh k + Δh − Δq = 0 dt 2 h 0

Δh = h - h0 Δq = q - q0

Ecuación diferencial lineal ISA, UVA

42

Simulación 5.0

8

4.8

7

4.6 4.4

h h_l

4.2 4.0 0

10

20

30

6 h h_l

5 4

40

0

10

TIME

20

30

40

TIME

Respuestas del modelo no –lineal y linealizado para 2 saltos en q 5.5

7.0

5.4

6.5

5.3 6.0 q 5.5

5.2 5.1 5.0 0

10

20

30

40

q

5.0 0

TIME

10

20

30

40

TIME

ISA, UVA

43

Modelo Linealizado del Depósito dΔh k A + Δh − Δq = 0 dt 2 h 0

q

h F Variables desviación Δh = h - h0 Δq = q - q0

A2 h 0 dΔh 2 h0 + Δh = Δq k dt k dΔh τ + Δh = KΔq dt A2 h 0 2 h0 τ= K= k k

El valor de los coeficientes depende del punto de linealización ISA, UVA

44

Modelos linealizados las variables u e y son cambios sobre un punto de operación U0 , Y0 U

U0 t

u ( t ) = U( t ) − U 0 ( t ) y( t ) = Y( t ) − Y0 ( t )

U

Y

Y

Y0

Proceso t

El rango de validez está limitado a un entorno del punto de operación ISA, UVA

45

Flujo en una tuberia Ecuación diferencial no-lineal

Δp0 L d q 1 = − ( 2 ρ A d t a C f ( q& , q , Δ p 0 , a ) = 0 ∂f ∂ q& +

( q& − q& 0 ) + 0

∂f ∂Δp0

∂f ∂q

2 v

+

fL )q A2

2

− gh

(q − q0 ) + 0

(Δ p0 − (Δ p0 )0 ) + 0

∂f ∂a

(a − a0 ) = 0 0

q

a Δpv

ISA, UVA

h Δp0

46

Modelo linealizado del flujo d q A Δp 0 1 fL − ( 2 2 + 2 )q 2 − gh ] = [ dt L ρ a Cv A ⎫ ⎧ 2 2⎫ d Δq A Δ ( Δp 0 ) ⎧ 1 fL = [ − ⎨( 2 2 + 2 ) 2 q ⎬ Δ q + ⎨ 3 2 q ⎬ Δ a ] dt L ρ ⎩ a Cv A ⎭0 ⎩ a C v ⎭0 d Δq + Δq = ⎧A 1 ⎫ dt fL ( ) 2 q + ⎨ ⎬ 2 2 2 L a C A ⎩ ⎭0 v 1

=

⎧ 2 ⎫ [ Δ ( Δp 0 ) + ⎨ 3 2 ρq 2 ⎬ Δa ] ⎧ ⎫ 1 fL ⎩a Cv ⎭0 ( ) 2 q ρ + ⎨ ⎬ 2 2 2 ⎩ a Cv A ⎭0 d Δq τ + Δq = K 1Δ ( Δp 0 ) + K 2 Δa dt 1

ISA, UVA

47

Cambios del punto de operación τ

d Δq + Δ q = K 1Δ ( Δ p 0 ) + K 2 Δ a dt

τ=

1 ⎧A ⎫ 1 fL ( β + + ) 2 q ⎨ ⎬ 2 2 2 L a C A v ⎩ ⎭0

⎧ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ q K2 = ⎨ 2 2 ⎬ fLa Cv ⎪ ⎪ a (β a 2 C 2 + 1 + )⎪ v ⎪⎩ A2 ⎭0

q

t

τ crece en puntos de operación con apertura alta K2 decrece en puntos de operación con apertura alta ISA, UVA

48

Modelo linealizado dT V2 Ah = q (Ti − T ) + dt ρc e R f (T& , T, q, V) = 0

si Ti y h = cte.

∂f & & ∂f ∂f ∂f (T − T0 ) + (T − T0 ) + (q − q 0 ) + (V − V0 ) = 0 & ∂T 0 ∂T 0 ∂q 0 ∂V 0

Ti

q

Ah

2V0 dΔT = −q 0 ΔT + (Ti − T0 )Δq + ΔV dt ρc e R

(T − T0 ) 2V0 Ah dΔT + ΔT = i Δq + ΔV q0 q 0 dt ρc e Rq 0

V

R

T

τ

dΔT + ΔT = K1Δq + K 2 ΔV dt

ISA, UVA

49

Semejanza formal q

a

h

Δpv Ti

V

τ

q

R

Δp0

T

d Δq + Δ q = K 1Δ ( Δ p 0 ) + K 2 Δ a dt

dΔT τ + ΔT = K1Δq + K 2 ΔV dt ISA, UVA

50

Modelo linealizado del reactor d cA − E RT V = FcAi − FcA − Vke cA dt d cB − E RT V = −FcB + Vke cA dt

Dos ecuaciones

Producto A

CAi

F

A⇒B

f1 (c& A , c A , F, c Ai ) = 0

CA CB T

f 2 (c& B , c B , c A , F) = 0

F

ISA, UVA

51

Modelo linealizado (1) d cA − E RT Punto de operación: V = FcAi − FcA − Vke cA dt F0 , cA0 , cB0 , cAi0 Desarrollando en serie de Taylor..... −E dΔcA V = −(F0 + Vke RT0 )ΔcA + (cAi0 − cA0 )ΔF + F0ΔcAi dt −E dΔcA F0 (c − c ) F = −( + ke RT0 )ΔcA + Ai0 A0 ΔF + 0 ΔcAi V V dt V

dΔcA = a11ΔcA + b11ΔF + d11ΔcAi dt

Valor calculado en el punto de operación ISA, UVA

52

Punto de linealización Si el punto de linealización corresponde a una operación en equilibrio:

−E dcA V = FcAi − FcA − Vke RTcA = 0 dt −E dc V B = −FcB + Vke RTcA = 0 dt

Si cAi0 = 8 y cA0 = 0.8 ⇒ cB0 = 7.2 Si F0 = 26.66 y V = 80 ⇒ ke-E/RT = 2.999 −E dΔcA V = −(F0 + Vke RT0 )ΔcA + (cAi0 − cA0 )ΔF + F0ΔcAi dt −E dΔcA F0 (c − c ) F = −( + ke RT0 )ΔcA + Ai0 A0 ΔF + 0 ΔcAi = −3.332ΔcA + 0.09ΔF + 0.333ΔcAi V V dt V

ISA, UVA

53

Modelo linealizado (2) d cB − E RT V = −FcB + Vke cA dt Mediante un desarrollo en serie en torno al punto de operación: −E F0 c B0 dΔcB RT0 = ke ΔcA − ΔcB − ΔF = 2.999ΔcA − 0.333ΔcB − 0.09ΔF dt V V

dΔcB = a 21ΔcA + a 22ΔcB + b21ΔF dt dΔcA = a11ΔcA + b11ΔF + d11ΔcAi dt

ISA, UVA

54

Modelo en variables de estado dΔcA = a11ΔcA + b11ΔF + b12ΔcAi dt dΔcB = a 21ΔcA + a 22ΔcB + b21ΔF dt

⎡d ΔcA ⎤ ⎢ d t ⎥ ⎛ a11 0 ⎞⎡ΔcA ⎤ ⎛ b11 b12 ⎞⎡ ΔF ⎤ ⎟⎟⎢ ⎟⎟⎢ ⎥ + ⎜⎜ ⎥ = ⎜⎜ ⎢ ⎥ d c Δ a a c b 0 c Δ Δ B ⎥ ⎝ 21 22 ⎠⎣ B ⎦ ⎝ 21 ⎢ ⎠⎣ Ai ⎦ ⎢⎣ d t ⎥⎦

⎡Δc A ⎤ Δc B = (0 1)⎢ ⎥ ⎣ Δc B ⎦

ISA, UVA

dx = Ax + Bu dt y = Cx 55

Reactor isotermo ⎡d ΔcA ⎤ ⎢ d t ⎥ ⎛ − 0.33 0 ⎞⎡ΔcA ⎤ ⎛ 0.09 0.333⎞⎡ ΔF ⎤ ⎟⎢ ⎥ + ⎜ ⎟⎢ ⎥ =⎜ ⎢ ⎥ Δ d c c c Δ Δ 3 0 . 33 0 . 09 0 − − B ⎠⎣ Ai ⎦ ⎠⎣ B ⎦ ⎝ ⎥ ⎝ ⎢ ⎢⎣ d t ⎥⎦ ⎡ΔcA ⎤ ΔcB = (0 1)⎢ ⎥ c Δ ⎣ B⎦

Producto A CAi

F

Reactor isotermo A⇒B CA CB T

ISA, UVA

F

56

Modelos en variables de estado dΔh k 1 =− Δh + Δq dt A 2A h 0

q h

a

q

h Δp0

dx = Ax + Bu dt y = Cx

dΔh = αΔh + β Δq dt Δ h = 1 .Δ h

d Δq τ + Δq = K 1 Δ(Δp 0 ) + K 2 Δa dt d Δq − 1 ⎛ K1 = Δq + ⎜ τ dt ⎝ τ

K 2 ⎞ ⎡Δ(Δp 0 )⎤ ⎟⎢ τ ⎠ ⎣ Δa ⎥⎦

Δq = 1Δq ISA, UVA

57

Modelos en variables de estado dx = Ax + Bu dt y = Cx + Du

Solución analítica:

x variables de estado: conocido su valor en el instante inicial y los valores de u(t) a lo largo del tiempo, puede determinarse el valor de las salidas a lo largo del tiempo t

x(t ) = e A(t −t0 ) x(t 0 ) + ∫ e A(t − τ ) Bu (τ)dτ t0

ISA, UVA

58

Equivalencia dx = Ax + Bu dt y = Cx z = Px

x = P -1z

dz = PA ( P -1z) + PBu dt y = C P -1z

u

y

dz = [PAP -1 ] z + [PB ]u dt

y = [CP -1 ] z

Existen muchas representaciones equivalentes entrada-salida ISA, UVA

59

Autovalores dx = Ax + Bu dt y = Cx

dz = [PAP -1 ] z + [PB ]u dt

y = [CP -1 ] z

A − λI = 0

PAP −1 − λI = 0 PAP −1 − λPP −1 = 0

Los autovalores son invariantes en representaciones equivalentes

P(A − λI)P −1 = 0 P A − λI P −1 = 0 A − λI = 0 ISA, UVA

60

Modelo de Respuesta Impulsional t

y( t ) = Ce At x (0) + ∫ Ce A ( t −τ ) Bu (τ)dτ 0

si u es un impulso unitario y el estado inicial es nulo : t

y(t) = ∫ Ce A ( t − τ ) Bδ(τ)dτ = Ce At B = g ( t ) 0

δ(t)

respuesta impulsional

t

y ( t ) = ∫ g ( t − τ) u ( τ ) d τ

g(t)

0

∞

y ( t ) = ∫ g ( t − τ ) u ( τ ) dτ ISA, UVA

0

61

Modelo de Respuesta Impulsional t

y ( t ) = ∫ g ( t − τ) u ( τ ) d τ 0

∞

y ( t ) = ∫ g ( t − τ ) u ( τ ) dτ 0

t−τ=σ

dτ = −dσ

⎧τ = 0 ⇒ σ = t ⎨ ⎩τ = t ⇒ σ = 0 t

y( t ) = ∫ g (σ)u ( t − σ)dσ 0

δ(t)

g(t)

∞

y ( t ) = ∫ g ( σ ) u ( t − σ ) dσ 0

ISA, UVA

62

Transformada de Laplace f(t)

f(t) función temporal f(t) = 0 para t < 0

t

∞

L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt 0

s = σ + jω variable compleja de Laplace

si f(t) = g ( t ) L[f ( t )] = L[g ( t )] F(s) = G (s)

Cambio de variable t ⇒ s ISA, UVA

63

Transformada de Laplace si f(t) = g ( t ) L[f ( t )] = L[g ( t )] F(s) = G (s)

Cambio de variable t ⇒ s

Resolución del problema en el dominio s X(s) Interpretación y expresión de la solución en el dominio t x ( t ) = L−1 [X (s ) ] =

j∞

st X ( s ) e ds ∫

− j∞

ISA, UVA

Cambio de variable s ⇒ t 64

Ejemplo f(t)=k

f(t) función salto f(t) = 0 para t < 0

t

f(t) = k para t >= 0 ∞

∞

L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt = ∫ ke −st dt = −k 0

0

e

− st ∞

s

0

=

k s

Tablas de transformadas de las funciones mas comunes

ISA, UVA

65

Tabla de Transformadas

ISA, UVA

66

Tabla de transformadas

ISA, UVA

67

Propiedades de la T. Laplace ∞

L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt 0

L[af ( t ) + bg ( t )] = aF(s) + bG (s) ⎡ df ( t ) ⎤ L⎢ = sF(s) − f (0) ⎥ ⎣ dt ⎦ L[f ( t − d )] = e −sd F(s) lim f ( t ) = lim sF(s) t →∞

⎡ d 2 f (t) ⎤ df (0) 2 L⎢ = s F(s) − s − f ( 0) 2 ⎥ dt ⎣ dt ⎦

Transformada inversa

s →0

⎡∞ ⎤ L ⎢ ∫ f (τ)g ( t − τ)dτ⎥ = F(s)G (s) ⎣0 ⎦ ISA, UVA

f ( t ) = L−1 [F(s ) ] =

j∞

st F ( s ) e ds ∫

− j∞

68

Propiedades I ∞

L[f ( t )] = F(s) = ∫ f ( t )e −st dt 0

L[af ( t ) + bg ( t )] = aF(s) + bG (s) ∞

∞

∞

L[af ( t ) + bg ( t )] = ∫ [af ( t ) + bg ( t )]e dt = a ∫ f ( t )e dt + b ∫ g ( t )e −st dt = aF(s) + bG (s) −st

0

⎡ df ( t ) ⎤ L⎢ = sF(s) − f (0) ⎥ dt ⎣ ⎦

∫ u dv = uv − ∫ v du ∞

−st

0

0

∞

df ( t ) −st ⎡ df ( t ) ⎤ L⎢ = e dt ∫ ⎥ dt dt ⎣ ⎦ 0 df ( t ) dt u = e −st ⇒ v = f ( t ) du = −se −st dt dv = dt

[

df ( t ) −st ⎡ df ( t ) ⎤ −st L⎢ = e dt = e f (t) ∫ ⎥ ⎣ dt ⎦ 0 dt

∞

∞

] + ∫ f (t )se 0

−st

dt = −f (0) + sF(s)

0

ISA, UVA

69

Propiedades t

d ∫ f ( τ)dτ 0

dt

= f (t)

⎡ d t f ( τ)dτ ⎤ ∫ ⎥ = L[f ( t )] = F(s) L⎢ 0 ⎢ ⎥ dt ⎣ ⎦

⎡ d t f ( τ)dτ ⎤ t 0 t ∫ 0 ⎡ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ L = sL ∫ f ( τ)dτ − ∫ f ( τ)dτ = sL ∫ f ( τ)dτ⎤ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 0 ⎢ ⎥ dt ⎣ ⎦ t 1 L ⎡ ∫ f ( τ)dτ⎤ = F(s) ⎢⎣ 0 ⎥⎦ s

ISA, UVA

70

Propiedades II L[f ( t − d )] = e − sd F(s) ∞

L[f ( t − d )] = ∫ f ( t − d )e −st dt

t − d = τ t = 0 ⇒ τ = − d; t = ∞ ⇒ τ = ∞

∞

∞

∞

∞

0

−d

0

0

0

−st −s ( τ + d ) −sd −sτ −sd − sτ −sd f ( t − d ) e dt = f ( τ ) e d τ = f ( τ ) e e d τ = e f ( τ ) e d τ = e F(s) ∫ ∫ ∫ ∫

∞

lim f ( t ) = lim sF(s) t →∞

s→0

∞

d f ( t ) −st e dt + f (0) dt 0

sF(s) = ∫

∞

d f ( t ) −st d f (t) lim sF(s) = lim ∫ e dt + f (0) = ∫ dt + f (0) = s →0 s →0 d t d t 0 0 ∞

= f ( t ) 0 + f ( 0) = f ( ∞ ) − f ( 0) + f ( 0) = f ( ∞ ) ISA, UVA

71

Propiedades III ⎡∞ ⎤ L ⎢ ∫ f (τ)g ( t − τ)dτ⎥ = F(s)G (s) ⎣0 ⎦ ⎤ ⎡∞ ⎤ ∞ ⎡∞ L ⎢ ∫ f (τ)g ( t − τ)dτ⎥ = ∫ ⎢ ∫ f (τ)g ( t − τ)dτ⎥ e −st dt ⎦ ⎣0 ⎦ 0 ⎣0 t−τ=α t = 0 ⇒ α = − τ; t = ∞ ⇒ α = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡∞ ⎤ −st ⎡ −st −s ( α + τ ) ∫0 ⎢⎣∫0 f (τ)g(t − τ)dτ⎥⎦e dt = ∫0 ⎢⎣∫0 f (τ)g(t − τ)e dτ⎥⎦dt = −∫τ ⎢⎣∫0 f (τ)g(α)e dτ⎥⎦dα =

∞

⎡∞ ⎤ ⎡∞ ⎤∞ − sτ − sα − sτ = ∫ ⎢ ∫ f (τ)e dτ⎥ g (α)e dα = ⎢ ∫ f (τ)e dτ⎥ ∫ g (α)e −sα dα = −τ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦ −τ ∞ ⎡∞ ⎤ = ⎢ ∫ f (τ)e −sτ dτ⎥ ∫ g (α)e −sα dα = F(s)G (s) ⎣0 ⎦0 ∞

ISA, UVA

72

Resolución de LODES Ejemplo: d2y dy du + + = − 0 .5 u 2 y 2 dt dt dt

y(0) = 0;

⎡d 2 y ⎤ ⎡d u ⎤ dy + y ⎥ = L ⎢ − 0 .5 u ⎥ L⎢ 2 + 2 dt ⎣dt ⎦ ⎣d t ⎦ s 2 Y(s) + 2sY (s) + Y (s) = sU (s) − 0.5U(s)

d y ( 0) = 0; u ( t ) = e − 2 t para t ≥ 0 dt

Y (s)(s 2 + 2s + 1) = (s − 0.5)U (s)

s − 0.5 1 s − 0 .5 1 U ( s ) U ( s ) = Y ( s ) = s+2 s 2 + 2s + 1 s 2 + 2s + 1 s + 2 1 ⎤ ⎡ s − 0.5 = ...... y( t ) = L−1 [Y(s)] = L−1 ⎢ 2 ⎥ s + 2 s + 2 s + 1 ⎣ ⎦ do min io t ⇒ do min io s ⇒ do min io t Y (s) =

ISA, UVA

73

Descomposición en fracciones simples ⎡ 1 ⎤ 1 ⎤ ⎡ s − 0.5 −1 s − 0.5 y( t ) = L [Y(s)] = L ⎢ 2 =L ⎢ ⎥ 2 ⎥ s 2 s 2 + + s 2 s 1 + + ( ) s 1 + ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ −1

−1

s − 0.5

1 a b c = + + (s + 1)2 s + 2 s + 2 s + 1 (s + 1)2 a (s + 1) b(s + 1)(s + 2) c(s + 2) 1 = + + (s + 1)2 s + 2 (s + 1)2 (s + 2) (s + 1) 2 (s + 2) (s + 1)2 (s + 2) s = −1 ⇒ − 1.5 = c 2

s − 0.5

s = −2 ⇒ − 2.5 = a s = 0 ⇒ − 0.5 = a + 2b + 2c = −5.5 + 2b ⇒ b = 2.5 ⎡ − 2.5 2.5 − 1.5 ⎤ y( t ) = L ⎢ + + = −2.5e − 2 t + 2.5e − t − 1.5te − t 2 ⎥ ⎣ s + 2 s + 1 (s + 1) ⎦ −1

ISA, UVA

74

Función de Transferencia t

y ( t ) = ∫ g ( σ ) u ( t − σ ) dσ 0

Tomando transformadas de Laplace:

⎡t ⎤ Y(s) = L[y(t)] = L ⎢ ∫ g (σ)u ( t − σ)dσ⎥ = ⎣0 ⎦ = L[g(t)]L[u(t)] = G (s) U(s)

Y (s) = G (s) U (s) ISA, UVA

Y(s) G(s) = U(s)

s variable compleja 75

Función de Transferencia dx = Ax+ Bu dt y = Cx

Tomando transformadas de Laplace, con condiciones iniciales nulas:

sX(s) = AX(s) + BU(s) Y(s) = CX(s)

[sI − A]X(s) = BU(s)

X(s) = [sI − A] BU(s)

Y(s) = C[sI − A] BU(s)

−1

Y(s) = G(s)U(s)

−1

G(s) = C[sI − A] B = L[g( t)] −1

ISA, UVA

76

Función de Transferencia G(s) = C[sI − A ] B −1

Solo contiene operaciones racionales +-*/

G(s) es una función racional en la variable s

b ms m + b m −1s m −1 + ... + b1s + b 0 G(s) = C[sI − A ] B = a n s n + a n −1s n −1 + ... + a 1s + a 0 −1

b ms m + b m −1s m −1 + ... + b1s + b 0 N (s) = G(s) = n n −1 a n s + a n −1s + ... + a 1s + a 0 D(s) ISA, UVA

77

Representaciones matemáticas de modelos linealizados Variables de estado

dx = Ax+ Bu dt y = Cx

t

y ( t ) = ∫ g ( σ ) u ( t − σ ) dσ 0

Respuesta impulsional

b ms m + b m −1s m −1 + ... + b1s + b 0 N (s) = G(s) = n n −1 a n s + a n −1s + ... + a 1s + a 0 D(s)

Función de transferencia

ISA, UVA

78

Matriz de Transferencia u1

y1

u2

y2 y3

En un proceso con varias entradas y salidas (MIMO) G(s) es una matriz de funciones de transferencia

G(s) = C[sI − A ] B −1

⎡ Y1 (s) ⎤ ⎡ G11 (s) G12 (s) ⎤ ⎢Y (s)⎥ = ⎢ G (s) G (s)⎥ ⎡ U1 (s) ⎤ 22 ⎥ ⎢⎣ U 2 (s) ⎥⎦ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢⎣ Y3 (s) ⎥⎦ ⎢⎣ G 31 (s) G 32 (s) ⎥⎦ ISA, UVA

79

Depósito. Modelo en FT q h F

dΔh + Δh = KΔq τ dt A2 h 0 2 h0 K= τ= k k Tomando Transformadas de Laplace:

Q(s) H(s) K ⎡ dΔh ⎤ L ⎢τ + Δh ⎥ = L[KΔq] τs + 1 ⎦ ⎣ dt τsH(s) + H(s) = KQ(s) H(s)(τs + 1) = KQ(s) K K H(s) = Q(s) H(s) = G(s)Q(s) G(s) = τs + 1 τs + 1 ISA, UVA

80

Circuito RC. Modelo en FT R V = I1 R +

I1

V

I1

E

C

E=

1 I1dt C∫

1 I1dt C∫

Tomando Transformadas de Fourier, con C.I. Nulas: V (s) = I1 (s)R + E (s) =

1 I1 (s) Cs

1 I1 (s) Cs

1 (RCs + 1) I1 (s) = I1 (s) Cs Cs 1 1 E (s) = I1 (s) = V (s) Cs RCs + 1 V (s) = I1 (s)R +

V(s) ISA, UVA

K τs + 1

E(s) 81

Flujo. Modelo en FT a

q

τ

Δp0

d Δq + Δq = K1Δ(Δp0 ) + K2Δa dt

Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:

⎡ d Δq ⎤ L⎢τ + Δq⎥ = L[K1Δ(Δp0 ) + K2Δa] ⎣ dt ⎦ τsQ(s) + Q(s) = Q(s)(τs + 1) = K1P(s) + K2A(s) K1 K2 Q(s) = P(s) + A(s) τs + 1 τs + 1 K 2 ⎤ ⎡ P(s) ⎤ ⎡ K1 Q(s) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ τs + 1 τs + 1⎥⎦ ⎣A (s)⎦

P(s) ISA, UVA

K1 τs + 1

A(s) K2 τs + 1

Q(s) 82

Temperatura. Modelo en FT Ti

V

dΔT τ + ΔT = K1Δq + K 2 ΔV dt

q R

Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:

T

⎡ d ΔT ⎤ L⎢τ + ΔT⎥ = L[K1Δq + K2ΔV] ⎣ dt ⎦ τsT(s) + T(s) = T(s)(τs + 1) = K1Q(s) + K2V(s) K1 K2 T(s) = Q(s) + V(s) τs + 1 τs + 1

Q(s) ISA, UVA

K1 τs + 1

V(s) K2 τs + 1

T(s) 83

Reactor Isotermo. Modelo en FT A

dΔcA = a11ΔcA + b11ΔF + b12ΔcAi dt

CAi

dΔcB = a 21ΔcA + a 22ΔcB + b21ΔF dt

A⇒B

F

CA CB

Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas: sCA (s) = a11CA (s) + b11F(s) + b12CAi (s) CA (s)[s − a11] = b11F(s) + b12CAi (s) CA (s) =

b11 b F(s) + 12 CAi (s) s − a11 s − a11

sCB (s) = a 21CA (s) + a 22CB (s) + b21F(s) CB (s)[s − a 22 ] = a 21CA (s) + b21F(s) CB (s) =

ISA, UVA

a 21 b CA (s) + 21 F(s) s − a 22 s − a 22 84

Diagrama de bloques CAi

F

b b CA (s) = 11 F(s) + 12 CAi (s) s − a11 s − a11

CB (s) =

F(s)

CAi(s)

A⇒B

a 21 b CA (s) + 21 F(s) s − a 22 s − a 22

CA CB

b21 s − a 22

b11 s − a11 b12 s − a11

A

CA(s)

ISA, UVA

a 21 s − a 22

CB(s)

85

Diagrama de bloques CB (s) =

⎤ b21 a 21 ⎡ b11 b12 F ( s ) C ( s ) + Ai ⎥ + s − a F(s) = s − a 22 ⎢⎣s − a11 s − a11 ⎦ 22

⎡ a b11 b ⎤ a b12 CAi (s) = = ⎢ 21 + 21 ⎥F(s) + 21 s − a 22 s − a11 ⎣s − a 22 s − a11 s − a 22 ⎦ b s + a 21b11 − b21a11 a 21b12 F(s) + C (s) = 21 (s − a 22 )(s − a11 ) (s − a 22 )(s − a11 ) Ai

CAi(s) F(s)

a 21b12 (s − a 22 )(s − a11 ) b 21s + a 21b11 − b 21a 11 (s − a 22 )(s − a11 ) ISA, UVA

CB(s)

86

Reactor Isotermo ⎡ d Δc A ⎤ ⎢ d t ⎥ ⎛ − 0.33 0 ⎞ ⎡Δc A ⎤ ⎛ 0.09 0.333 ⎞ ⎡ ΔF ⎤ ⎟⎢ ⎟⎢ ⎢ ⎥=⎜ ⎥ ⎥ + ⎜ − 0.09 d c Δ c c Δ Δ 3 0 . 33 0 − B ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ B Ai ⎢ ⎥ ⎢⎣ d t ⎥⎦

CAi(s) F(s)

A CAi

F

A⇒B CA CB

1 s 2 + 0.666s + 0.111 − 0.09s + 0.24 s 2 + 0.666s + 0.111 ISA, UVA

CB(s)

87

Bloques en serie X(s)

U(s)

Y(s) G2(s)

G1(s)

Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s) U(s)

G (s)

Y(s)

G(s) = G2(s)G1(s) ISA, UVA

88

Función de transferencia de un PID 1 u ( t ) = K p (e( t ) + Ti U(s) = K p (E(s) +

∫

t

0

e(τ)dτ + Td

d e( t ) ) dt

1 1 + Td s)E(s) E(s) + Td sE (s)) = K p (1 + Ti s Ti s

Td Ti s 2 + Ti s + 1 U(s) = K p E(s) = R (s)E(s) Ti s

E(s)

U(s) R(s)

ISA, UVA

89

Entradas Normalizadas u

y

u impulso t=0

u

t

rampa

t

t=0

u salto

u

t

seno

t=0

t=0 ISA, UVA

t 90

Polos y ceros b ms m + b m −1s m −1 + ... + b1s + b 0 N (s) = G(s) = n n −1 a n s + a n −1s + ... + a 1s + a 0 D(s) Ceros de G(s) = raíces de N(s) = 0 Polos de G(s) = raíces de D(s) = 0

s−3 s−3 = G(s) = 2 s + 3s + 1 (s + 2.618)(s + 0.382) s - 3 = 0 cero en s = 3 s 2 + 3s + 1 = 0

polos en s = −2.618, - 0.382 ISA, UVA

91

¿Por qué son importantes los polos (y los ceros)? • Como se verá mas adelante, el tipo de respuesta temporal a una determinada entrada depende de las posiciones de los polos (y ceros) del sistema. • Igualmente la estabilidad está ligada a las posiciones de los polos

ISA, UVA

92

Ganancia y Δy u

Δy K= Δu en equilibrio sY (s) K = lim = G ( 0) s → 0 sU (s )

Δu

t K (β1s + 1)......(β ms + 1) G (s) = (τ1s + 1)(τ 2s + 1)......(τ n s + 1) 1 1 formato polos - , ceros τ β

y ganancia K. τ constante de tiempo ISA, UVA

93

Polos y Autovalores G(s) = C[sI − A ] B = −1

N (s) D(s)

adj[sI − A ] G(s) = C[sI − A ] B = C B det[sI − A ] −1

Polos: raices de D(s) = 0 Autovalores: raices de det[sI − A ] = 0 Autovalores de A = polos de G(s) (salvo cancelaciones polo/cero) ISA, UVA

94

Realizabilidad Física q

Dada una función de transferencia G(s)

h Sistema físico continuo

Existe

G(s) =

K τs + 1

¿Puede existir un sistema físico cuya función de transferencia sea G(s)?

ISA, UVA

95

Realizabilidad b ms m + b m −1s m −1 + ... + b1s + b 0 N (s) = G(s) = n n −1 a n s + a n −1s + ... + a 1s + a 0 D(s) Para que G(s) sea fisicamente realizable: m ≤ n En caso contrario:

s 2 + 2s + 1 1 ⎞ ⎛ Y (s) = U(s) = ⎜ s + ⎟ U (s) s+2 ⎝ s + 2⎠ du ( t ) -1 ⎡ 1 ⎤ y( t ) = +L ⎢ U (s) ⎥ dt ⎦ ⎣s + 2

Para una entrada en salto en u(t) tendría que dar una y(t) infinita ISA, UVA

96

Un proceso con retardo (de transporte) u: señal en tanto por uno

uq

Tc

u

T q , Te m

L, vol (1-u)q

TT

Tf

qρceTe ( t ) = u( t )qρceTc + (1 − u( t ))qρceTf ⇒ Te ( t ) = u( t )Tc + (1 − u( t ))Tf d VρceT( t ) = qρceTe ( t − τ) − qρceT( t ) dt V d T( t ) = (Tc − Tf ) u( t − τ) + Tf − T( t ) q dt ISA, UVA

L LA vol τ= = = v vA q

Suponiendo ρ, ce ctes. 97

Mezcla con retardo uq

Tc

u

T q , Te m

L, vol (1-u)q

TT

Tf

V d T( t ) = (Tc − Tf ) u( t − τ) + Tf − T( t ) q dt T0 , u0 punto de V d T0 = (Tc − Tf ) u 0 + Tf − T0 operación estacionario q dt V d ΔT ( t ) = (Tc − Tf ) Δu( t − τ) − ΔT ( t ) q dt ΔT( t ) = T( t ) − T0 Δu ( t ) = u ( t ) − u 0 ISA, UVA

98

uq

Mezcla con retardo Tc

u

q , Te L, vol

(1-u)q

T

m

TT

Tf

V d ΔT ( t ) e − τs (Tc − Tf ) + ΔT( t ) = (Tc − Tf ) Δu( t − τ) ⇒ T (s) = U (s ) V q dt s +1 q d ΔT ( t ) q q(Tc − Tf ) = − ΔT ( t ) + Δu ( t − τ ) ΔT( t ) = 1.ΔT( t ) dt V V d x( t) Modelo con retardo a = Ax ( t ) + Bu( t − τ) dt la entrada y( t ) = Cx ( t ) ISA, UVA

99

Retardo a la salida uq

Tc

u (1-u)q

Tf

Tm

q , Te

T

L, vol

m

TT

V d ΔT ( t ) + ΔT( t ) = (Tc − Tf ) Δu( t ) ΔTm ( t + τ) = ΔT( t ) q dt d ΔT ( t ) q q(Tc − Tf ) = − ΔT ( t ) + Δu ( t ) ΔTm ( t + τ) = 1.ΔT ( t ) dt V V d x( t) = Ax ( t ) + Bu( t ) Modelo con retardo a dt la salida y( t + τ) = Cx ( t ) ISA, UVA

100

Retardo Ti

TT

q L

V

R

T (s) =

L Td ( t ) = T ( t − d ) = T ( t − ) v

T

K1 K2 Q(s) + V(s) τ1s + 1 τ1s + 1

Td (s) = e −ds T (s) =

− ds

y − ds

e K1 e K2 Q(s) + V (s) τ1s + 1 τ1s + 1

e −ds K (β1s + 1)......(β ms + 1) G (s) = (τ1s + 1)(τ 2s + 1)......(τ n s + 1) ISA, UVA

d t u t 101

Aproximación de Pade e −ds K (β1s + 1)......(β ms + 1) G (s) = (τ1s + 1)(τ 2s + 1)......(τ n s + 1)

G(s) con un retardo d no es racional. Si se necesita, puede aproximarse el retardo por una expansión en serie: ds (ds ) 1− + 2 12 = 2 d (ds ) 1+ s + 2 12 2

Aprox. de 2º orden: resppade

e

− ds

ISA, UVA

e

− ds

d 1− s 2 ≈ d 1+ s 2

Aproximación de Pade de primer orden 102

Control de procesos por computador Regulador digital u(kT)

w Ordenador

4-20 mA

Actuador Proceso

D/A

y(t)

u(t) y(kT)

A/D

4-20 mA

Transmisor Las señales que recibe y procesa el ordenador son de naturaleza distinta: digitales y solo cambian en ciertos instantes de tiempo ISA, UVA

103

Señales u(kT)

u(t)

t

t

w Ordenador

Proceso

D/A

y(t)

u(t) y(kT)

A/D

y(kT)

y(t)

t

t

T

La información en el ordenador se actualiza cada T unidades de tiempo (periodo de muestreo) ISA, UVA

104

Modelo discretizado u(kT)

u(t)

t

t

w Ordenador

u(kT)

y(kT)

D/A

u(t)

dx = Ax + Bu dt y = Cx

y(t)

A/D

Encontrar un modelo y(kT) = f( u(kT) ) tal que y(kT) = y(t) en los instantes de muestreo ISA, UVA

105

Modelo discretizado dx = Ax + Bu dt y = Cx + Du

t

x(t ) = e A(t −t0 ) x(t 0 ) + ∫ e A(t − τ ) Bu (τ)dτ t0

Tomando como tiempos de inicio y final los instantes kT y (k+1)T de un periodo de muestreo:

x (( k + 1)T ) = e AT x ( kT) +

( k +1) T A (( k +1) T − σ )

∫e

Bu( σ)dσ

kT

ISA, UVA

106

Modelo discretizado u(t)

Durante un periodo de muestreo u(t) es constante e igual a u(kT)

x (( k + 1)T ) = e AT x ( kT) +

( k +1) T A (( k +1) T − σ )

∫e

Bu( σ)dσ =

kT

= e AT x ( kT) +

( k +1) T A (( k +1) T − σ )

∫e

dσ Bu( kT)

kT

cambio de variable : τ = (k + 1)T - σ, dτ = -dσ T

x (( k + 1)T ) = e AT x ( kT) + ∫ e Aτdτ Bu( kT) 0

ISA, UVA

107

Modelo discretizado dx = Ax + Bu dt y = Cx + Du

x (( k + 1)T ) = Φ x ( kT) + Γu( kT) y( kT) = Cx ( kT) T

Φ = e AT

Γ = ∫ e A τ dτ B 0

Matlab c2d u(t)

y(t) y(kT)

Ecuación en diferencias Para este tipo de entradas, el modelo discretizado da los mismos valores en los instantes t = kT que el modelo continuo. (Partiendo del mismo estado inicial y aplicando las mismas entradas) ISA, UVA

108

Modelo discretizado dx = Ax + Bu dt y = Cx

x (( k + 1)T ) = Φ x ( kT) + Γu( kT) y( kT) = Cx ( kT) T

Φ = e AT

Γ = ∫ e A τ dτ B 0

Notación simplificada: k se refiere al primer, segundo, tercer, etc. periodo de muestreo

x (k + 1) = Φx (k − 1) + Γu (k − 1) y(k ) = Cx (k ) ISA, UVA

109

Ejemplo: Depósito Si Δq = 0:

dΔh = αΔh + βΔu dt Δh = 1.Δh

x (( k + 1)T ) = Φ x ( kT ) + Γu( kT) y( kT) = Cx ( kT) T

Φ = e AT

Γ = ∫ e Aτ d τ B 0

Φ = e αT

T

Γ = ∫ e ατdτ β = 0

β αT (e − 1) α

β αT Δh(( k + 1)T ) = e Δh( kT) + (e − 1) Δu( kT) α αT

Modelo discretizado: Ecuación en diferencias ISA, UVA

110

Ejemplo: Depósito Si Δq = 0:

x (( k + 1)T ) = Φ x ( kT ) + Γu( kT)

dΔh = αΔh + βΔu dt Δh = 1.Δh

y( kT) = Cx ( kT)

Si α=

− u 0k = −1.252 2A h 0

β αT Δh(( k + 1)T ) = e Δh( kT) + (e − 1) Δu( kT) α Δh(( k + 1)0.5) = 0.535Δh ( k0.5) − 0.062 Δu ( k0.5) αT

Modelo discretizado: Ecuación en diferencias

− k h0 = −0.167 A T = 0.5

β=

ISA, UVA

111

Respuesta temporal x ( k + 1) = Φ x ( k ) + Γu( k )

Condiciones iniciales: x(0)

y( k ) = Cx ( k ) x (1) = Φ x (0) + Γu(0) x (2) = Φ x (1) + Γu(1) = Φ[Φ x (0) + Γu(0)] + Γu(1) = = Φ 2 x (0) + ΦΓ u(0) + Γu(1)

[

]

x (3) = Φ x ( 2) + Γu( 2) = Φ Φ 2 x (0) + ΦΓ u(0) + Γu(1) + Γu( 2) = = Φ 3x (0) + Φ 2 Γu(0) + ΦΓ u(1) + Γu( 2) ....... k −1

x ( k ) = Φ k x (0) + ∑ Φ k −i−1Γu(i) i =0

k −1

y( k ) = CΦ k x (0) + ∑ CΦ k −i−1Γu(i)

ISA, UVA

i =0

112

Respuesta impulsional pulsada k −1

y( k ) = CΦ k x (0) + ∑ CΦ k −i−1Γu(i) i =0

h(k)

1

u(k)

T Impulso unitario en t = 0

t ZOH+Proceso

y(k)

T

T Respuesta partiendo de condiciones iniciales nulas

k −1

y( k ) = CΦ x (0) + ∑ CΦ k −i−1Γu(i) = CΦ k −1Γ = h( k ) k

i =0

k −1

y( k ) = ∑ h ( k − i ) u ( i ) i =0

Modelo de respuesta impulsional ISA, UVA

113

Modelo respuesta impulso h(k)

k −1

y( k ) = ∑ h ( k − i ) u (i ) =

t

i =0

= h( k ) u(0) + h( k − 1) u(1) + ... + h(2) u( k − 2) + h(1) u( k − 1) = k

= ∑ h( j) u( k − j)

Como h(i) = 0 para i ≤ 0 y para condiciones inociales nulas: u(i) = 0 para i < 0 :

j=1

∞

∞

i =0

j=1

y( k ) = ∑ h( k − i) u(i) = ∑ h( j) u( k − j)

La salida es una combinación lineal de valores pasados de la entrada ISA, UVA

114

Ejemplo: Mezcla uq

T

Tc

q , Te

u

L, vol (1-u)q

Tf

Para q=4 l/min, V=10 l, Tc=60ºC, Tf=10ºC, vol=4 l, periodo = 0.5 min.

d ΔT ( t ) q q(Tc − Tf ) Δu ( t − τ ) = − ΔT ( t ) + dt V V Φ = e AT = e

TT

m

−

4 0.5 20

0.5

= 0.905

Γ = ∫e 0

−

4 τ 20

dτ

τ=

4 = 1 min 4

4 (60 − 10) = 4.75 20

T ( k + 1) = 0.905T( k ) + 4.75u( k − 2) ISA, UVA

115

Operador desplazamiento q −1z ( k ) = z ( k − 1)

-1 q

qz ( k ) = z ( k + 1)

x ( k + 1) = qx ( k ) = Φ x ( k ) + Γ u ( k )

[qI − Φ ]x ( k ) = Γu ( k ) −1 [ ] x ( k ) = qI − Φ Γ u ( k ) −1 y ( k ) = C[qI − Φ ] Γ u ( k )

m m −1 1 b q b q ... b q y( k ) + + + + bm −1 0 1 m −1 = C [qI − Φ ] Γ = q n + a1q n −1 + ... + a n −1q1 + a n u( k )

Función racional de q

ISA, UVA

116

Función de transferencia pulsada m m −1 1 b q b q ... b q + + + + bm −1 0 1 m −1 u( k ) = y( k ) = C [qI − Φ ] Γu( k ) = n n −1 1 q + a1q + ... + a n −1q + a n

q − n [ b0q m + b1q m−1 + ... + b m−1q1 + b m ] u( k ) = = −n n n −1 1 q [q + a1q + ... + a n −1q + a n ] q −( n − m ) ( b0 + b1q −1 + ... + b m −1q − m +1 + b mq − m ) u( k ) = −1 − n +1 −n 1 + a1q + ... + a n −1q + a nq d=n−m

B(q −1 ) q − d ( b0 + b1q −1 + ... + b m −1q − m +1 + b mq − m ) y( k ) = u( k ) = u( k ) −1 −1 − n +1 −n A(q ) 1 + a1q + ... + a n −1q + a nq ISA, UVA

117

Función de transferencia pulsada B(q −1 ) q − d ( b0 + b1q −1 + ... + b mq − m ) y( k ) = u( k) = u( k ) −1 −1 −2 −n A(q ) 1 + a1q + a 2q + ... + a n q A(q −1 ) y( k ) = B(q −1 ) u ( k ) (1 + a1q −1 + a 2q −2 ... + a n q − n ) y( k ) = q −d ( b0 + b1q −1 + ... + b mq − m ) u ( k ) y( k ) + a1y( k − 1) + a 2 y( k − 2) + ... + a n y( k − n ) = b0 u( k − d ) + b1u( k − d − 1) + ... + b m u( k − d − m) y( k ) = −a1y( k − 1) − a 2 y( k − 2) − ... − a n y( k − n ) + + b0 u( k − d ) + b1u ( k − d − 1) + ... + b m u( k − d − m)

La salida es una combinación lineal de valores pasados de la salida y de la entrada al proceso ISA, UVA

118

Ejemplo: Depósito q

Δh(( k + 1)0.5) = 0.535Δh ( k0.5) − 0.062 Δu ( k0.5) h

F

u

B(q −1 ) −1 [ ] y( k ) = u ( k ) C qI = − Φ Γu( k ) = −1 A(q )

T = 0.5

= 1[q − 0.535] ( −0.062) u( k ) = −1

− 0.062 − 0.062q −1 u( k ) = u( k ) = −1 q − 0.535 1 − 0.535q

Polo = Autovalor = 0.535 ISA, UVA

119