MODELOS DE REGIMENES CAMBIANTES ESTOCÁSTICOS “Markov switching regimes”

• Comportamiento dinámico de las variables dependen del estado de la economía • Modelos TAR y STAR: varios regímenes en función del valor de una variable de estado que es observable ⇒ los regímenes que han tenido lugar en el pasado y el presente se conocen • Otra posibilidad: la variable estado no es observable, está determinada por un proceso estocástico no observable subyacente ⇒ no se sabe con certeza qué régimen ha tenido lugar en cada momento del tiempo; se asignan probabilidades a cada estado posible.

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Ejemplo: ƒ 2 regímenes para la tasa de crecimiento del PIB: auge y recesión ƒ régimen en t no observable, determinado por proceso no observable, denotado st , con st = 1 ó 2 .

⎧ϕ 0,1 + ϕ1,1 yt −1 + ε t si st = 1 ƒ Si yt ∼ AR(1) en cada régimen (generalizable): yt = ⎨ ⎩ϕ 0, 2 + ϕ1, 2 yt −1 + ε t si st = 2 ó

yt = ϕ 0,s + ϕ1,s yt −1 + ε t t

t

ƒ Supuesto más “popular” sobre st (Hamilton[1989]): proceso de Markov de primer orden (“modelos Markov-Switching”) ⇒ régimen actual st sólo depende de st −1 ⇒ modelo se completa con probabilidades de transición de un estado a otro:

p( st = 1 st −1 = 1) = p11

p( st = 2 st −1 = 1) = p12 p( st = 1 st −1 = 2) = p21 p( st = 2 st −1 = 2) = p22

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Pero

p11 + p12 = p 21 + p 22 = 1 ⇒

sólo estimar 2 probabilidades.

ƒ Probabilidades no condicionadas:

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P(s t = 1) =

1 − p 22 2 − p11 − p 22

P(s t = 2) =

1 − p11 2 − p11 − p 22

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⇒ tarea: • especificar el modelo (orden del AR) • estimar los parámetros (coeficientes y probabilidades) • validar • predecir

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1) ESTIMACIÓN:

Parámetros:

⎧β = (ϕ0 ,1 , ϕ0 , 2 , ϕ1,1 , ϕ1, 2 , σ 2 ) θ=⎨ ⎩p i , j i, j = 1,2 con pij = 1 − p ii

Otra información de interés: ¿en qué régimen se encontró / encuentra / encontrará la economía en fecha t, dado la información disponible en fecha

τ?

≡ P(s t = j / Yτ ; θ) ⎧τ > t ⎫ ⎪ ⎬ → inferencia con ⎨ó τ = t ⎭ ⎪ó τ < t → predicción ⎩

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donde

Yτ = [y1, y2 ,L, yτ ]

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Sea

Si

ξt / τ

⎡P(s t = 1 / Yτ ; θ) ⎤ =⎢ ⎥ ⎣P(s t = 2 / Yτ ; θ)⎦

.

θ conocido:

Se demuestra que:

∗ ξˆ t / t

es función de

ξˆ t / t −1 y de θ

1 − p 22 ⎤ ⎡ p ∗ ξˆ t +1 / t = P.ξˆ t / t con P = ⎢ 11 p 22 ⎥⎦ ⎣1 − p11 Consecuencia: 1) posible algoritmo de cálculo de las probabilidades de estado para

a) escoger valor inicial para

ξˆ 1 / 0

θ conocido:

(por ejemplo usar probabilidades incondicionales)

ξˆ 1 / 1 ˆ 2 /1 con ello, calcular ξ

b) con ello, calcular c)

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d) con ello, calcular

ξˆ 2 / 2

e) etc....

2) "smoothed probabilities":

≡ ξˆ t / N , donde N=tamaño muestral y t ≤ N Indica probabilidad de estar en cierto estado en t, dada toda la información muestral Se pueden calcular recursivamente a partir de las

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ξˆ t / t

y

ξˆ t +1 / t

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Abandonemos ahora el supuesto " θ conocido": Por Máxima Verosimilitud, bajo Normalidad de los errores: N

pˆij =

∑ P(s t =2

t

= j, s t −1 = i / YN ; θˆ )

N

∑ P(s t =2

t −1

= i / YN ; θˆ )

⇒ usa los

ξˆ t / N

(1)

−1

N N ˆφ j = ⎛⎜ ∑ x t ( j) x t ( j)' ⎞⎟ ⎛⎜ ∑ x t ( j) y t ( j) ⎞⎟ ⎝ t =1 ⎠ ⎝ t =1 ⎠

⎧ y t ( j) = y t P(s t = j / YN ; θˆ ) ⎪ ⎪ ˆ) con ⎨x t ( j) = x t P (s t = j / YN ; θ ⇒ ⎪ con x t = ( y t −1 ,L, y t −p ) ⎪⎩ 1 N 2 2 σˆ = ∑∑ ( y t − φ' j x t ) 2 P(s t = j / YN ; θˆ ) ⇒ N t =1 j=1

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(2)

usa los

ξˆ t / N

usa los

ξˆ t / N

(3)

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Consecuencia: Todas las estimaciones están interrelacionadas ⇒ recurrir a algoritmo de optimización: 1) escoger valores iniciales para 2) calcular los vectores

θ

ξˆ t , N

3) calcular nuevos valores para

pˆ ij usando (1)

φˆ y σˆ 2 usando fórmulas (2) y (3) ˆ , llevar a cabo una nueva iteración, hasta convergencia con estos nuevos valores de θ

4) calcular nuevo valor de 5)

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2) CONTRASTE DE LINEALIDAD

φs =1 = φs =2 ) (e.d. φs =1 ≠ φs =2 )

H0 : AR(p) lineal (e.d. HA : AR(p)-MS

t

t

t

t

- Idea de partida: test LR

LRMS = l MS − l AR donde

l MS , l AR

= log función de verosimilitud del modelo MS y del modelo AR, respectivamente.

- Problema y solución (Hansen[1992]):

LR MS

sigue distribución desconocida, no estándar bajo la nula (ya que probabilidades de transición no identificadas bajo la nula) => obtener el valor crítico por simulación

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3) VALIDACIÓN, Hamilton(1996)

• Elemento básico: "score"

h t ( θ) =

• Idea de partida:

∂ log f ( y t / Yt ; θ) ∂θ

∂ log f ( y t / Yt ; θ) ∂θ θ=θ => h t −1 (θ0 ) no debe contener ninguna información útil para h t (θ0 )

Si modelo bien especificado, se demuestra que imposible predecir el valor de la información disponible en (t-1)

h t (θ0 ) =

con la 0

⇒ los "scores" no deben presentar correlación serial ⇒ se pueden hacer contrastes de correlación serial sobre los "scores" respecto de cada uno de los parámetros del modelo, valorándolos en

θˆ .

• Además: • Test de no correlación de los scores respecto de los términos constantes ≡ test de no autocorrelación de los residuos • Test de no correlación de los scores respecto de las varianzas ≡ test de efecto ARCH. • Test de no correlación de los scores respecto de las probabilidades de transición pii , i=1,2 ≡ test de validez del proceso de Markov de orden 1. Ver Hamilton(1996) y literatura posterior para más detalles. Técnicas de Predicción

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4) PREDICCIÓN:

a) Predicción de la probabilidad de estado en (T+m), m>0:

⎡P(s = 1 / YT , θˆ ) ⎤ ˆξT+m / T = ⎢ T+m ⎥ ˆ ⎢⎣P(s T+m = 2 / YT , θ)⎥⎦ = Pˆξˆ T+m−1/ T = Pˆ ⋅ Pˆξˆ T+m−2 / T = Pˆ 2 ξˆ T+m−2 / T M = Pˆ m ξˆ T / T

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b) Predicción de yT+1 yT+1 seguirá modelo del estado 1 con probabilidad de que el estado sea 1 en (T+1) y seguirá modelo del estado 2 con probabilidad de que el estado sea 2 en (T+1)

yˆ T (1) = yˆ T (1) s

T +1 =1

+ yˆ T (1) s ⇒

[

= yˆ T (1) s

[

T +1 = 2

T +1 =1

= yˆ T (m) s

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⋅ Pˆ(s T+1 = 1 / YT ; θˆ ) ⋅ Pˆ(s T+1 = 2 / YT ; θˆ ) , yˆ T (1) s

T +1 =1

T +1 = 2

, yˆ T ( m) s

⎡Pˆ(s T+1 = 1 / YT ; θˆ ) ⎤ ⋅⎢ ⎥ ˆ ˆ ⎢⎣P(s T+1 = 2 / YT ; θ)⎥⎦

]

T +1 = 2

]⋅ Pˆ ⋅ ξˆ

T/T

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5) DURACIÓN ESPERADA DE LOS ESTADOS:

• Sea Dj = duración del estado j •

1 − p 22 ⎤ ⎡ p11 Matriz de transición P = ⎢ p 22 ⎥⎦ ⎣1 − p11

• Sus elementos diagonales indican la probabilidad de quedar durante 2 períodos sucesivos en el mismo estado ⇒ contienen información útil para estimar duración de los estados. •

D j = 1 si s t = j , s t +1 ≠ j ⇒ P(D j = 1) = 1 − p jj = p ji

D j = 2 si s t = s t +1 = j , s t + 2 ≠ j ⇒ P(D j = 2) = p jj (1 − p jj ) D j = 3 si s t = s t +1 = s t + 2 = j , s t + 3 ≠ j ⇒ P(D j = 2) = p 2 jj (1 − p jj ) , etc ∞

E(D j ) = ∑ iP( D j = i) i =1

⇒

= (1 − p jj ) + 2p jj (1 − p jj ) + 3p 2 jj (1 − p jj ) + ... =

1 1 − p jj

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