Módulo11 OBJETIVOSESPECIFICaS

,Al terminar de estudiar este módulo, el alurrHlO:' ,

1.

2.

I

'

3. 4', CJ.

.

Obtendrá la característica 'del logaritmo de un númeto en base 10. Obtendrá ,la m~ntisa dél logaritmo de un número en base 10, usando la tabla. Dado el logaritmo de un número en base 10, obtendrá el número, usando la tabla. Ob.ter-'dró el logaritlTlo EJ,: Cí'E!rá of)prdciones r-:u;nunes.

,

.' . de funcltm8s trif]onúmé,tllí'ós uSd!1do f¡.¡ idhi'(), aritrn{]I¡ca~; fTI',~di{:!I)tcel e;V)ilh'n rJp ¡')QiJi ¡"'í ):,'

" .

\ ) ~-.

,

ESfiUEMA-RESUMEN

/

Función ......

logarítmica. (Módulo

10).

Logaritmos cO,munes.

'ir I -' ....

"

Ob'tención ¡

de la I Característk;a.

,(

-

\

"

,,,

I

Obtención ,

de la Man-

I

tisa.

...

USQ de los 10gantmos comun'es' , en peraci ones aritméticas.

, ,

'\ "

\ " ,

Logari tmos de las'funclones tri, gono,métricas.

..

186

'

'

.

11.1 LOGARITMOS'COMUNES,.

Si el logaritmo de un número es la potencia a que Conozcamos se tiene que elevar la base para' obtener el número, cual- dos sistemas, quier base positiva diferente de l nos podría servir para de l~gdritmQs. construir'un sistema de logaritmos; sin embargo para usos computacionales~ el sis~ema más usado es el de ba.se 1° Y a los logaritmos en esta b'ase'se les IIé;Jman logaritmos comunes O de Briggsen honor de Henry Brig'gs que fue\ quien por primera vez los USÓ.'Otro sistema de logar'itmos que también tiene muchas apl icaciones es el de base ,

e (e = 2.71828

);

rales.

a esto.s logaritm,os,los llamamos natu-

'La ventaja de los logar:itmos comunes se irá haci~ndo más evidente al ir trabajando con ellos. ,

. ,Hagamos uso de la defi'nición de logaritmo Iy escfl- , bamos los siguientes logaritmos en base 10. IOg'10.0001=

~

= -3

10010.001

=>

10-4

,= .OQ01

=> 10-3 = .001

.1

= -2 - => 10~ = .01

l

=O IOg1010 lag,lO

100

'

=> 10° r~ 1

=

1 => 101 = 10

=

2

=> 102,

3

'=>

IOg101000 '=

, '

lagl0 10000 =. 4'

103

=> 104

I

.=

100

= 1000

= 10000

La lista anterior la podríamos extender indefinidamente para números menores que .0001 o para números, máyores de 10000. " f .

Los logaritmos de los flúmeros que no son potenciás enteras de 1,0"los encontramos hacier,¡do uso de la Tabla 187

I en la que 'Ios logaritmos de los números se han aproximado a 4 cifras decimales. De lá lista de algunos logaritmos de números que son potencias enteras de 10, podemos ver por ejemplo que todos los números que estén entre 10 y 100 el logaritmo de ellos será ent~e 1 y 2 Y los que. estén entre 100 y 1000, el 'Iogaritmo será un núméro entre 2\ y 3,; lo mismo los números que estén enÚe .1 y .01 su.logaritmo sera un ~úmero entre -1 y -2 Y así sucesivamente. ( I

Partes del! logarit.mo 'de un número.

El logaritmo de cualquier número tiene .dos partes: .una parte entera que pu~de ser positiva, negativa o cero, llamada característica y una fracción decimal positiva que' es mayor o igual a cero y menor que 1 llamada. mantisa. La característica del logaritmo de un número depende de {. la colocación del' punto decimal en el número y. la manlisa !a obtennremos d partir de !a Tabla 1, ya que el valor de '!(:i m:-,mtisJ no depende de Id colocación dei punto'

decimal sino que depende de los dígitos que forman el

I

número como lo veremos .en I~s ejemplos q~e se darán posteriormente. 11.1.1 REGLAPA'RAOBTENERLA CARACTERISTICA DEL (OGARITMO DE UN NUMERO. ¿Cómo se Si definimos comQ posición de referet:lcia'a la posi, ción que queda en tre los primeros dos d ígitos signi. obtiene la característica? ficativos que forman el número, por ejemplo 'para ~I

, núme'ro 219.1,/ la posición de referenci.a está entre el 2 y , - el 1./ Para el. número .0843 la,posición de referen'c;iaestá entre el 8 y el 4. Para el número. .005031 la posición de referencia está entre el 5 y el O, entonces la característica del' logaritmo detJn número en base 10 es el número de d ígitos que hay de. la pos,ición de referencia al punto decimal del número; es positiva si el pwnto decimal está a la derecha de la posici6n de refer~ncia, y negativa si el punto decimal está a la izquierda de la. posición de refe,

rencia,.

.

188

Ejemplos: Encontrar la característica de los logarjtmos en base 10 para los sigl,Jiel1tesnúmeros. (Cuando se usa la base 10 se omi te escribirla en el logaritmo por'lo

11J LOGARITMOS.COMUNES.

Si el logaritmo de un número es la potencia a que Conozcamos se tiene que elevar la base para obtener el número, cual- dos sistemas. quier base positiva diferente del nos podrfa servir para de l~gáritmQs. construir 'un sistema de logariimos; sin embargo para usos computacionales~ el sis~ema más usado es el de ba.se lO 'Y a los logaritrnos en esta b'ase-se les llaman logaritmos comunes O de Briggsen honor de Henry Briggs que fue, quien por primera vez los USÓ.'Otro sistema de logarit~ mos que también tiene muchas apl icaciones es el de base

.

e (e = 2.71828

);

rales.

a estos logaritmos los llamamos natu-

. La ventaja de los 10ga¡:itmOscomunes se irá haci~n~ do más evidente al ir trabajando con ellos. ,Hagamos uso de la defihición

de logaritmo Iy escrl- .

bamos los siguientes logaritmos en base 10. IOg10.0001

=~

=>

10-4

'

== .OQ01

-1 'og~o .01

= -2 ~ => 10-2 = .01

,Iog1o-1 -

=O

=>

IOg1010

=

1

=> 101 , . = 10I

109,10100

=

2

=> 102' = 100

IOg10 1000 '=

10°

1"== 1

3 '=> 103 = 1000

loglO10000 =. 4'

=> 104

= 10000

la lista anterior la podríamos extender indefinidamente para números menor13s que .0001 o para números, mayores de 10000. ,- /

Los logari-tmos de los números que no son potenciás enteras de 10,' los encontramos hacieQdo uso de la Tabla .

,

1$7

¡----

I en la que 'Ios logaritmos de los números se han aproximado a 4 cifras decimales. De lá lista de algunos. logaritmos de números que son potencias enteras de 10, podemos ver por ejemplo que todos los números que estén entre 10 y 100 el 109aritmo de ellos será ent~e 1 y 2 Y los que. estén entre. 100 y 1000, el: logaritmo será un nÚme'ro entre 2; y 3,; lo mi~mo los números que estén enÚe.1 y .01 su logaritmo será un f1úmero.entre -1 y -2 Y así sucesivamente. .

Partesdel¡ logarit.mo de un número.

¡ I

El logaritmo de cualquier número tiene .dos partes: 'una parte entera que pu~de ser positiva, negativa o cero llamada característica y una' fracción decimal positiva que' es mayor o igu'al a cero y menor que 1 llamada mantisa. La característica del logaritmo de un número depende de la colocación del' 'punto decimal en ~i número y. la- manLisala ob1.enrlrerno:.) (J ;)(lrtir de la Tabla 1,ya que el valor de .iéj rn:.mtiséJ no depende eje Id colocación dei punto' decimal sino que depende de los dígitos que forman el número como lo veremos .en I~s ejemplos q~e se darán

posteriormente.'

.

11.1.1 RE.GtA P.AHA OBTENER LA CARACTERISTICADEL LOGARITMODE UN NUMERO. ¿Cómose .

obtienela

Si definimos comq posición de referencia 'a la posi-

ción que queda entre los primeros dos dígitos signi-

,

característica? -

'ficativos

q~e forman el número, por ejemplo 'paJa 131

219.1,/ la posición de referenciaestá entre el2 y el 1..,Para el número .0843 la posición de referenda está entre el 8 y el 4. Parael número . .00~031la posición d~

, núme'ro -

referencia está entre el 5 y el O, entonces la característica del logaritmo de ,l1n número en base 10 es el número de d ígitos que hay de la posición de referencia al punto decimal del número; es positiva si el pwnto decimal está a la derecha de la posici6n de refer~ncia, y negativa si el punto decimal está a !aizquierda de la posición de refe,

rencia,.

Ejemplos: Encontrar la característica de los logarjtmos en base 10 para los sigl,Jier;'ltesnúmeros. (Cuando se , usa la base 10 se omi te escribirla

188

en el logaritmo

por'lo

,

'

que escribiremos solamente' log y cuando la éara'cterística sea ne'gativa se acostumbra escribir. el signo negativo sobre la 'característica. Iqg 311 = 2 log .311 = ., log 3.11 = O. lag .00809 =- 3~ , lag .0809

= 2..

'lag 80.9 = 1. log 1.16 = O. log 1917.8 = 3. 'Iag

37~9.43

-

= 3.

11.1.2 USO DE LA TABLA'PARA OBTENER LA MANTISA D,ELLOGAR.ITMODE UN NUMERO. En la Tabla I podemos ver que en la primera colum- V ahora na están ,Jos números del 10 al 99. Después en la parte utilicemos supérior tiene 10 columnas marcadas del O al 9, y por '. la tabla 1. último, 9 columnas más que se ,llaman partes proporcio-

nales y se abrevian como P.P.

'

. Para'encontrar la mantisa del'logaritmo de un número, ¡;>focedemosde la siguiente manera. Por ejempl,o, para e'lcontrar el 19986.4 nos movemos hacia abajo. en la prirneracolumna de la Tabla I hasta el número 86,' Y " después nos movemos hacia la derecha hasta la columna que tiene ,marcado en la parte superior 4 y leemos 9365 que viene a ser .9365 ya que las man tisas serán siempre

menores que 1. Luego, lag 86.4= 1.9365. Ejemplo:

Encontrar

'

~I 109 193.'8

En' la Tabla.1 nos movemos hacia abajo en la primera columna hasta el nú'mero 19, después a la derecha hasta la columna encabezada con 3 y leemos 2856, en seguida nos seguimos moviendo por el mismo renglón del número 19 hasta la columna 8 de partes proporcionales y leemos 18 que es el. número que se le ti,ene que sumar al, 2856 pDra obt.ener ra mantisa de 193.8 con lo que obtenemos 2856 + 18 = 2874" luego, 109 193.8 = 2.2874. Ejemp.lo: Encontrar ellogaritmo

de .005716. 189

En la Tablp I tenemos que para ~71 se lee 7566 y en la cO,lumna 6' de P.P. se lee 5 por lo qu~ la rnantisa es 7566 + 5 = 7571 , luego, log .005716 =3.7571, "0 .

. 11.1.3' DADO EL LOGARITM'ODE UN NUMERO,OBTENER EL NUMERO.

Usodel . antilogarítmo. '

En este caso conocemos el logaritmo del número y se busca encontrar el . numero; para hacerlo lJsamos la

Tabla 11 én la que podemos ver que la primer columna empieza' en .00 y termina en 0.99; las demás columnas .

están dispuestas cC?moen la Tabla 1. , Ejemplo:

Encontrar

N si

/

log

N

= -2.8126,

en' este

caso N = antilog 2.8126. I

Nos movemos en 'ta- primer columna de la Tabla I1

hasta el .81, después nos movemos a la derecha hasta'la

.

columna. 2 Y leemos 64~6; nos seguimos moviendo hacia !a derecha sobre él mismo renglón del .81 hasta la colum- . na 6 de P.P. y leemos 9 que se lo. sumamos al 64S6 dándonos 6486'+ 9 = 6495. Dado. que' 'Ia característica del log'aritmo es 2, el punto decimal está a 2 d ígitos a la d.erecha de la posición 'de referencia, por I lo qwe si I09.N =~2.8126 =>N ="649.5.

Ejemplo:

Encontrar

N sí 109N ~ 3.7168.

,

En la Tabla 1I leemos para .716 el n~mero 5200 y . moviéndonos á la derecha hasta la columna 8 en P.P. leemos 10 que se' lo sumamos al 5200 dándonos 5200 + 10 =' 5210,

I-uego. si 109 N ==3.7168

=>N = .005210.

11.2 LOGARITMOSDELASFUNCIONE~TRIGONOMEJRICAS. Tambiénen trigonometría' seemplean logaritmos.

190

"1

Dado -que en Trigonometría muy a menudo. s~ trabaja con operaciones en las que inter.vienen funciones circulares, con el objeto de simplificar estas operaciones se usan log'aritmos de las funciones"los 'que se tabulan en 'Ia Tabla 111.La f~rma y el uso de la tabla es' semefante a',

'. . terística la Tabla 1, sólo que en e?ta tabla ya se incluye la caracdel logaritmo. '

Ej~mplo: Encontrar

el 109 tan 38°20'.

En la Tabla. 111,tenemos que

lag tan 38°20' = 1~8980 Ejemplo:

Encontrar

el lag se" 26047'.

Ya que en la Tabla no aparece el valor de'109 sen Z6C' 47' va' a ser Ilecesario, interpolar, lo hacemos de la sigu iente r:nanera. 109 sen' 26040' :; 1.6521 log sen 26050' = 16546 luego, ,

o,

o

=

log sen 26 41

,

log sen 26 40

7 + 10 [log

o,

O

sen. 26 50 ~ log sen 26 40' ]

7 = 1.6521 + 10 [1.6546.- 1.6521}

= 1.6521+

~70 [.0025]

-

= 1.6521

+ .0017

'= 1.6538 Ejemplo:

Encontrar

el t09 GOS65023'.

Puesto que el ángulo tenemos que o

I

lag GOs.6~ 23 .

está entre

o,

3

= ~~og GOS 65 320. -'. - 10 = 1.6205 - 10 [1.6205

= 1.6205 -

65.020' y 65030' 'o

[

,

,

o . '

log GOS65 20. ,- I?g cos 65 30 ]

-

-

1.6177]

C0028)

,

= 1.6205 = 1.6197

.0008

191

/

Eiemp~.?: Ehcon trélr el ángul,o O entre 0° y 90° , si teg sen e;::

1.6827.

Localizamos el valpr 1.6887 en la Tabla colÚmrra log sen O entre 29°1.0' y 29°20':

-

..

1O

x Jigg sen29~10'= ~.&878t ~og sen (j '= 1.688'tl log sen 29°20' = 1.6901

t

I

j

111 en la

23

luego .0023

10

.0009 x "

= - C.OOC9) .002310

~

4

11.3 USÓ DE LOSLOGAfÚTMOS COMUNES EN OPERACIO-

~lES~RITMET!C4S. . Heaquí

/

Habiendo estudiado las propiedades de los logaritmos, podemos usarlas en operaciones como la multipl icación, división, elevar a una potencia y extmer raíces, simplificándose todas estas operaciones con el uso de los

una ap¡¡iaciQn de los logaritmos. ,

logatitmos.

.

-En los si~ju¡c;nlesejemplos presentamos cómo usar los logc.iritmospara efeétuar estas 'operaciones y 'se recomi'enda hacerlo con el mayor orden para simplificar y comprobar lo que se haga. . Ejemplo: Efectuar usando logaritmos, la siguiente operación:

(132) (47.8)

Si hacemos

M

'==

(132) (47.8) y ~samos la' pnapiedad

del logaritmo de un producto,. tene'!los: log M' = 109 .{1.32) (47.8) = 109 132 + log 47.8 192

Para trabajar más fáci,lmente hacemos .el siguiente arreglo: 'Iag 1.32 = 2.1206 109 478 = 1.6794 lag M luego

= 3.8000

M = antilog

3.8000

= 6310

Por lo que el producto aproximadamente* . Ejemplo:

operación: .

Efectúe

(1.816)

usanao

(.00345).

de

(132) (47.8)

logaritmos,

Hacemos

=

6310

I

la sigu iente M = (1.8161

(.00345) luego, 109 M = lag. 1.816 + log .00345 .109 1.816..=

0.2591

109 .00345 = 3.5378 log M = 3.7969 M = antilog 3.7969 = .006265

Ejemplo: Efectúe usando' logaritmos, la siguiente operación:' 526.8 172.,4 Para efectuar esta ope'ración, hacemos uso de la propiedad de logaritmo de un cociente: 526.8

Hacemos

M = 172.4

log M = 109 526.8 .

-

log 172.4

log 526.8 = 2.7217 109 172.4 = 2.2365 log M = 0.4852

*

El que sea aproxim'adamente solamente 4 ,cifras decimales.

se debe a que '

las' tablas

de logaritmos

que estamos

usal'1dotienen -

193

M = antilQg 0.4852.

~...

E1emplo: Efectúe

.0753'

= 3.056

.-

28.32

Hacemos ,

.0753,

.M

=

28.32

lag M .

= lag

.0753 ,- log 28.32

log .0753

=

2.8768

log 28.32

=

1.4521

= 3.4247

log M

M ,= antilog 3.4247 = .002669 Ejemplo: Efectúa (3.96). (.00817) "

43.6

'..

Para efectuf:lr esta' operación, conside'ramos prim'ero al numerador cO,mo el, producto de dos factores y después el resultado de este producto es lo que se divide por el denominad0L " '

Hacemos M

= (3.96)43.5(.00817) '

109

M =109 3.96 + Iog .0Q8,17- log 43.5 log 3.96 I

= 0.59~7

'09 .00817 = 3.9122

logarit,mo del numerador = 2.5099 , 109 43.5

lag M

'c194

= 1.6385 ==

4.8714

t

M ,

Ejemplo:

Efectúe

=antilQ9

4.8714 = .0007437

/

(28.71)2

Hacemos M = (28.71)2 lag M = 2 109 28.71 "

2 lag 28.71 = 2(1A581) lag M = 2.9162 M = antilog 2.9162 = 824.5 Ejemplo:

Efe~t'úe (.00976),3

-Hacemos M = (.00976V lag M = 3 109 (0.00976) 3 '109 .00976 = 3(3.9894) f'

109 M = 7.~82 M = antilog

'7.9682 = .0000009294

Ejemplo: Ef~ctÚe '1'426.7 v' 426.7

se puede escribir como (426.;,

y hacemos

.~.

J

M = (426.7)2 . . 109

1

-'

1

M = 2 Iog 426.7

.

.

2" ~ag 426.7

1

= 2" (2.6301)

lag M =, 1.3150

' "

'M = antilog 1.3150 = 20.65 195

Ejemplo:

Efectúe

t00698)¡

Hacemos. M

=

,

,

1

: 109 .00698 '

1

.

1

¡

M = ¡ lag .00698

lag '4

I

(.00698)

=¡

-

-

(3 .8439) = 3.8439 4

En este caso no podemos efectuar la división de 3.8439 entre 4 en forma d,irecta, ya que la característica es negativa y no divisible entero entre 4, por lo que al intentar hacerla división de 3 entre 4 nos daría una \ característica fraccionaria, lo cual no puede ser ya que la . característica siempre tiene que ser un n.úmero entero; , para evitar esto lo que hacemos es sumarle y restarle al logar'itmo un -múltiplo del divisor que haga, que la característica sea positiva V después efectuamos la división. En el eJemplo lo hacemos de la siguiente manera:

=

1.8439 - 4

se sumó 4 y se restó 4 al numerador

4

;:: .4609

-

1

se efectuó la división

= 1.4609 109 M= 1.4609 M =' antilog 1.4609 ==.2890 .

Ejemplo:

Efectue

I

(16.21) (.0747)2 (5.71~) (.00818) I

Hacemos

M = 16.21) (0.0747)"24 (5.716)(.00818)

T

lag M =, (2109 16.21 ¿-

t

lag .0747)';" (lag 5.716 +

2 lag 16.21 =,2(1.2098) = 2.4196 1

2" lag .0747

1

;:: 2" (2.6733) = 1.4366

logaritmo del numerador 196

,= 1.8562

t

lag ~00818).

log 5.716

= 0.7571

log .00818

= (3.9128) - 3.9128

-

5

= 2.91285 = .5825- 1 5

= 1.5825 lag 5.716, = 0.757.1 lag .00818 = 1.5825

logaritmo del denominador

= 0.3396

logaritmo del numerador

= 1.8562

-Iogari!mo

del denominador

= 0.3396

log M

= 1.5166

M

= antilog

1.5166

= 32.86

REACTIVOSDE AUTOEVAlUACION Usando la Tabla 1, en"'los problemas

mo del número indicado. 1. 2. 3. 4. 5.

log lag lag . log lag

ellogarit-

'

6. 7. 8. 9. 10.

28.6 324 8.194 56.71 3824

del 1 al'.10 encuentre

.

log .179 lo .004621 log .0972 log .0006718 log,..3085

Usando la Tabla I~,en los problemas del 11 al 20 encuentre N 11. 12. 13. 14. 15.

I~ lag lag log log

N N N N N

= = = = =

1.8721 2.4624 0.0196 ' 3.5726 4.9731.

16'. 17. 18. 19. 20.

log lag log log log

N = 1.5924 N = ~.0057 'N = ~.2836 N = 1.7824 N = 3.6101

197

Usando 'la Tabla IV, en los problemas del 2~ al 25 encueritra el valor de o; 0° ~ O ~ 9.0°. (Interpole si es necesario). 21'. 22.. 23.

24. 25:

log sen 68°40' lag cos 40°36' lag. tan 19°54'

log ~ot 73°45'" lag cos 27°22'

Usando logaritmos, calcule el valor de las siguientes opera~iones: 26. '.. (.00749) . 27.

(36.87)

(.0935)

(1.462)

(31.85)

494.5

28

. 987.5

29

.649.2 .035.81

. 80.

(.3729) (.0824) (11.19)

31.

(19.36)2

32.

(.01321)

1

.

(.045}3 4

..L

(47.92) 5

(39.26)2

r

3 .j'39~26- .J48.91 . -~.0081

33.

1..

2

2

(.0805)2 (17.39) 34.

~(.00905)2 P108) r=

"

J

.

3

.

1

2'

.

.35. j1.001i .(.0339i ~ I

~99.9) 3

~.0007)4

J

.~ -

\

l198

.

Módulo12 OBJETIVOS

ESPEC,IFICOS ,

Al terminar de e$tudiar este módulo, el alumno: 1.,

Resolverá

proble'mas

ponencial.

de interés compuesto .

aplicando

.

la funci'6n' exI

,

2. Resolverá problemas aplicando la "ley del' crecimiento natural". ' 3. . Calculará el logarit~o, de un número respecto' a cual,quier base. 4. Resolverá ecuaciones exporíenciales mediante 'el uso de las ,propieda-

des de la 'ftlnciónexponencial. 5.

"

Resolverá ecuaciones logarítmicas mediante el uso de las prop¡'edades

.de la función logarítmica. '

-

I

ESQUEMA'- RESUMEN

Función e>