MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

El objetivo de estas l´ıneas es explicar brevemente otra de las numerosas aplicaciones que posee el C´alculo Integral. En este caso, consideramos una placa plana y delgada con forma cualquiera, y nos proponemos hallar su centro de masa. Informalmente, entendemos por centro de masa de una placa, el punto donde la misma se equilibra horizontalmente. Primero analicemos el caso simple en el que dos part´ıculas de masas m1 y m2 est´an sujetas a los extremos de una varilla que supondremos tener masa nula y apoyada en un fulcro (apoyo) (Figura ). Las masas se encuentran a distancias d1 y d2 respectivamente del apoyo. La varilla quedar´a en equilibrio, seg´ un lo estableci´o Arqu´ımides a trav´es de la “Ley de la Palanca”, cuando m1 d1 = m2 d2 .

Pensemos que ubicamos la varilla en el eje x, m1 en x1 y m2 en x2 (0 < x1 < x2 ) y el centro de masa en xM . Es decir, se verifica que d1 = xM − x1 y d2 = x2 − xM (ay´ udese con un dibujo). Seg´ un la mencionada ley de Arqu´ımides tenemos que m1 (xM − x1 ) = m2 (x2 − xM ), de donde se desprende que m1 x1 + m2 x2 . m1 + m2 Generalizando la situaci´on anterior, si consideramos n part´ıculas con masas m1 , m2 , · · · , mn colocadas en los puntos de coordenadas x1 , x2 , · · · , xn del eje x, se puede demostrar que el centro de masa del sistema est´a ubicado en Pn j=1 mj xj xM = Pn . (1) j=1 mj xM =

PnCada t´ermino mj xj se lo llama momento de la masa mj con respecto al origen, y a on en (1) indica entonj=1 mj xj , momento del sistema con respecto al origen. La ecuaci´ ces que el centro de masa xM se determina sumando los momentos de las masas y dividiendo esta cantidad por la masa total. P Observemos que si reescribimos la ecuaci´on en (1) como mxM = M , donde m = nj=1 mj Pn y M = j=1 mj xj , la misma nos dice que si la masa total m se considerara concentrada en el centro de masa, su momento es igual al momento M del sistema.

1

Consideremos ahora n part´ıculas con masas m1 , m2 , · · · , mn colocadas en los puntos de coordenadas (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ) del plano xy. Por analog´ıa al caso unidimensional, el momento del sistema respecto al eje x se define como Mx =

n X

mj xj ,

j=1

y el momento del sistema respecto al eje y como My =

n X

mj yj .

j=1

Tambi´en por analog´ıa al caso unidimensional, las coordenadas del centro de masa, (xM , yM ), se expresan en t´erminos de los momentos de la siguiente manera xM = donde nuevamente m =

Pn

j=1

My , m

yM =

Mx , m

mj representa la masa total.

Consideremos ahora una varilla delgada de metal, colocada en el eje x desde x = a hasta x = b, con a < b. Cortamos la varilla en peque˜ nos trozos de masa ∆mk a trav´es de una partici´on P = {x0 , x1 , · · · , xn } del intervalo [a, b]. Para cada k = 0, 1, · · · , n, sea ck un punto cualquiera en el k-´esimo subintervalo [xk−1 , xk ]. El k-´esimo trozo tiene longitud xk − xk−1 = ∆xk . Se aconseja que realice un esbozo de la varilla indicando todos estos elementos, para mejor comprensi´ on de lo que sigue. Observemos en primer lugar que el centro de masa de la varilla es aproximadamente el mismo que el del sistema de puntos de masa que obtendr´ıamos colocando cada trozo de masa ∆mk en ck . Entonces, por lo visto m´as arriba, el momento de cada trozo con respecto al origen es aproximadamente igual a ckP ∆mk , por lo que el momento del sistema con respecto al origen n es aproximadamente igual a ´ltimo, si la densidad (masa por unidad de k=1 ck ∆mk . Por u longitud) de la varilla en ck es δ(ck ), ∆mk es aproximadamente igual a δ(ck )∆xk . Obtenemos que el centro de masa de la varilla es: Pn ck δ(ck )∆xk . xM ≈ Pk=1 n k=1 δ(ck )∆xk Conforme la norma de la partici´on considerada tienda a cero, si la densidad de la varilla es una funci´on integrable de x, obtenemos que Rb xδ(x)dx xM = Ra b . δ(x)dx a Ejercicio 1: Una varilla de 5 m de longitud no tiene grosor uniforme, sino que su grosor disminuye de izquierda a derecha seg´ un la ley δ(x) = 10 − x5 . Compruebe que el centro de masa 2

de la varilla se encuentra resolviendo las siguientes dos integrales; resu´elvalas y concluya cu´al es el centro de masa. Z 5 Z 5 x x x(10 − )dx ; (10 − )dx. 5 5 0 0 Ejercicio 2: Considere una varilla de metal delgada con densidad constante. Seg´ un su intuici´on, d´onde se encuentra ubicado su centro de masa? Compru´ebelo.

Por u ´ltimo, como anticipamos en el comienzo de estas l´ıneas, consideremos una placa plana y delgada, por ejemplo un disco de metal. En muchas aplicaciones se necesita hallar el centro de masa de una tal placa. Consideremos que la placa ocupa una cierta regi´on del plano xy. Sea la densidad de la placa (masa por unidad de a´rea) dada a trav´es de una funci´on δ (funci´on de x). A esta altura del cursado de An´ alisis Matem´ atico II estamos imposibilitados de estudiar una situaci´ on m´ as general, pero aclaramos que m´ as adelante vamos a considerar densidades que sean funciones de ambas variables, es decir, de x e y. El principio de simetr´ıa en f´ısica establece que si una regi´on es sim´etrica respecto de una l´ınea, su centro de masa est´a sobre la misma. Si tiene dos ejes de simetr´ıa, ´este estar´a en la intersecci´on de los ejes. Los momentos se deben definir entonces de modo que si toda la masa se concentra en su centro de masa, sus momentos permanezcan inalterados. Adem´as, debe verificarse que el momento de la uni´on de dos regiones que no se solapan es igual a la suma de los momentos de cada regi´on. Primero supongamos que la regi´on R que ocupa la placa queda comprendida entre las rectas de ecuaciones x = a, x = b, por encima del eje x y por debajo de la gr´afica de cierta funci´on integrable f . Consideremos una partici´on P = {x0 , x1 , · · · , xn } del intervalo [a, b] y elijamos ck udese con un en cada subintervalo [xk−1 , xk ] como el punto medio, esto es ck = xk−12+xk (ay´ dibujo para visualizar la situaci´ on). El centro de masa del k-´esimo rect´angulo Rk est´a en su centro (ck , 12 f (ck )) (lo idealizamos con una varilla delgada y consideramos que la densidad no var´ıa demasiado en cada punto de Rk para poder utilizar el resultado del ejercicio 2). Su a´rea es f (ck )∆xk ; luego su masa es igual a δ(ck )f (ck )∆xk . El momento de Rk respecto del eje x es igual al producto de su masa por la distancia de su centro de masa al eje x (notar que esta distancia es igual a 21 f (ck )); es decir: 1 Mx (Rk ) = δ(ck )[f (ck )]2 ∆xk . 2 Sumando sobre k en la expresi´on anterior, obtenemos el momento respecto al eje x de una aproximaci´on de la regi´on R. Conforme la norma de la partici´on P tienda a cero, obtenemos que el momento de R respecto al eje x es Z b 1 Mx = δ(x)[f (x)]2 dx. a 2 3

An´alogamente, el momento de Rk respecto del eje y es igual al producto de su masa por la distancia de su centro de masa al eje y (notar que esta distancia es igual a ck ); es decir: My (Rk ) = δ(ck )ck f (ck )∆xk . Sumando sobre k en esta u ´ltima expresi´on, obtenemos el momento respecto al eje y de una aproximaci´on de la regi´on R. Conforme la norma de la partici´on P tienda a cero, obtenemos que el momento de R respecto al eje y es Z b My = δ(x)xf (x)dx. a

De manera an´aloga que para sistemas de part´ıculas, las coordenadas del centro de masa, (xM , yM ), se expresan en t´erminos de los momentos de la siguiente manera Rb Rb 1 δ(x)xf (x)dx δ(x)[f (x)]2 dx My M x xM = = Ra b , yM = = aR 2b , m m δ(x)f (x)dx δ(x)f (x)dx a a Rb donde en este caso m = a δ(x)f (x)dx representa la masa de la placa. Ejercicio 3: Considere una placa de metal delgada con densidad constante igual a δ, que ocupa la regi´on encerrada por el eje x y la par´abola de ecuaci´on y = 2 − x2 . Halle las coordenadas de su centro de masa. Como podr´a observar una vez finalizado el ejercicio 3, cuando la densidad es una cantidad constante, las coordenadas del centro de masa son independientes de la densidad (notar que el factor δ aparece multiplicando y dividiendo en cada uno de los miembros de la derecha). Adem´as, seguramente sus c´alculos le permitieron concluir que la coordenada en x del centro de masa de la placa es 0 (revise sus cuentas si no es ´este el caso!). ¿Por qu´e cree que esto ocurri´o? Antes de realizar el ejercicio que sigue, analice si la coordenada en x del centro de masa volver´a a ser igual a 0 o no. Ejercicio 4: Considere la misma placa del ejercicio 3. Determine su centro de masa, si la densidad en un punto (x, y) de la misma es igual al cuadrado de la distancia entre (x, y) y el eje y. Ejercicio 5: Considere una placa delgada con densidad constante igual a δ, con forma de semic´ırculo de radio 2. Halle las coordenadas de su centro de masa.

4

Referencias [1] James Stewart, C´alculo de una variable. Transcendentes tempranas. International Thomson Editores. 4ta edici´on. [2] George B. Thomas, Jr. , C´alculo. Una variable. Pearson. Addison Wesley. Und´ecima edici´on.

5