ONDAS MECANICAS INTRODUCCIÓN Las ondas son perturbaciones de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, que se propaga a través del espacio transportando energía. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal, el espacio o el vacío. Por ejemplo, el sonido es la perturbación de la presión de un medio. Todos estamos familiarizados con las ondas formadas en el agua, existen también, ondas luminosas, ondas electromagnéticas MOVIMIENTO ONDULATORIO Son los efectos y propiedades exhibidas por las entidades físicas que se propagan en forma de onda. El mecanismo físico puede ser diferente para los distintos movimientos ondulatorios, todos ellos tienen una característica común, son situaciones producidas en un punto de un medio o del espacio, que se propagan a través del medio o del espacio y se reciben en otro punto Podemos observar ejemplos de movimiento ondulatorio en la vida diaria: el sonido producido en la laringe de los animales y de los hombres que permite la comunicación entre los individuos de la misma especie, las ondas producidas cuando se lanza una piedra a un estanque, las ondas que se transmiten en una cuerda o un medio material, las ondas electromagnéticas producidas por emisoras de radio y televisión, etc.

Comencemos por un fenómeno familiar, la propagación de las ondas en la superficie de un estanque. La superficie de un líquido en equilibrio es plana y horizontal. Supongamos que arrojamos un objeto a un estanque. Cuando el objeto entra en contacto con la superficie del agua se produce una perturbación de su estado físico. Una perturbación de la superficie produce un desplazamiento de todas las moléculas situadas inmediatamente debajo de la superficie. Teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre los elementos de fluido: peso del fluido situado por encima del nivel de equilibrio y la tensión superficial, se llega a una ecuaciones , a partir de la cual se puede calcular la velocidad de propagación de las ondas en la superficie de un fluido. El movimiento ondulatorio aparece en casi todos los campos de la física, presentando los siguientes fenómenos ondulatorios: Transporta energía y cantidad de movimiento sin transporte neto de masa La onda viaja como una perturbación del medio, siendo función de las propiedades elásticas del medio Difracción - Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja de ir en línea recta para rodearlo. Efecto Doppler - Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas. Interferencia - Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio. Reflexión - Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección. Refracción - Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad. Onda de choque - Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen.

ONDA MECÁNICAS Una onda mecánica es una perturbación que se propaga en un medio material (sólido, líquido o gaseoso). Las ondas mecánicas requieren un medio elástico para propagarse. El medio elástico se deforma y recupera vibrando al paso de la onda. La perturbación comunica una agitación a la primera partícula del medio en que impacta (este es el foco de las ondas) y en esa partícula se inicia la onda. La perturbación se transmite en todas las direcciones por las que se extiende el medio con una velocidad constante (si el medio es isótropo) y todas las partículas del medio son alcanzadas con un cierto retraso respecto a la primera y se ponen a vibrar. El movimiento de cualquier objeto material puede ser considerado como una fuente de ondas. Al moverse perturba el medio que lo rodea y esta perturbación, al propagarse, puede originar un pulso o un tren de ondas. Las partículas vibran alrededor de la posición de equilibrio pero no viajan con la perturbación. Las partículas perturbadas por la onda sufren unas fuerzas variables en dirección e intensidad que les produce una aceleración variable. Un impulso único, una vibración única en el extremo de una cuerda, al propagarse por la cuerda produce una onda. Si las vibraciones del extremo se suceden de forma continuada se forma un tren de ondas que se desplazará a lo largo de la cuerda.

TIPOS DE ONDAS MECANICAS Hay dos tipos principales de oscilación periódica: la transversal y la longitudinal, teniendo en cuenta, como están relacionados los movimientos de las partículas de materia con respecto a la dirección de propagación de las ondas mismas.

ONDAS TRANSVERSALES Si los movimientos de las partículas de materia donde se propaga la onda son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda misma, decimos que se trata de una onda transversal.

ONDAS LONGITUDINALES Si el movimiento de las partículas del medio material que transporta la onda, coincide con la dirección de propagación. Las ondas sonoras son ejemplos de ondas longitudinales. Las moléculas de un gas líquido o sólido a través de los cuales se propaga el sonido oscilan en la misma dirección de propagación; comprimen y enrarecen alternativamente el medio

ONDAS VIAJERAS UNIDIMENSIONALES Consideremos una cuerda larga estirada en la dirección del eje X a lo largo del cual va avanzando una onda transversal. En cierto momento, digamos t=0, la forma de la cuerda se puede representar por. en t = 0

y = f(x)

Siendo “y” la elongación transversal de la cuerda en la posición “x”, si asumimos un tiempo “t”, la onda avanza a lo largo de la cuerda sin cambiar su forma, con tal que las pérdidas internas por rozamiento sean suficientemente pequeñas.

Al cabo de cierto tiempo t, la onda ha avanzado una distancia vt a la derecha, tal como se muestra en la figura

x = vt La ecuación de la curva en el instante "t" para una onda que se propaga según el eje X positivo es: y = f (x - vt) Para una onda viajera que se propaga en sentido contrario al anterior escribiríamos y = f ( x + vt ) Toda onda que cumpla con la forma de la función considerada como una onda viajera

y = f(x ± vt)

será

VELOCIDAD DE PROPAGACION DE ONDAS PERIODICAS ARMONICAS Si la fuente que hace oscilar el extremo de una cuerda tensa en un sentido y en otro realiza un MAS. Se genera un tren de onda que avanza por la cuerda a velocidad constante, en este movimiento, cada partícula de la cuerda tiene un movimiento

v

periódico de frecuencia ν , idéntico al generado por la fuente. A la velocidad v constante la onda se desplaza una distancia

λ en el tiempo T

v=λ/T=λ.ν La velocidad de la onda depende de las propiedades mecánicas del medio, el cual debe ser elástico La longitud de onda λ es la distancia entre dos partículas del medio que se encuentran en posiciones homologas y tiene velocidades homologas El periodo T es el tiempo que necesita una onda para volverse a repetir

PROPAGACION DE LAS ONDAS SOBRE UNA CUERDA TENSA La rapidez de una onda en una cuerda estirada puede ser determinada fácilmente para el caso de las ondas lineales, la velocidad de las ondas mecánicas sólo dependen de las propiedades del medio por el que se propaga la perturbación. T es la tensión de la cuerda y µ es la densidad lineal V =

T

µ =

µ

m L

FUNCION DE ONDAS ARMONICAS Se forma cuando la fuente perturba al medio periódicamente, haciendo oscilar sus partículas con un MAS. La fuente determina la frecuencia ν de la onda

λ

ν

Consideremos ahora una cierta forma de onda. Supongamos que para el tiempo t= 0 tenemos en la cuerda un tren de ondas dado por: y = A sen

2π

λ

x

Donde la forma de la onda es una senoide, de amplitud máxima A, que satisface con la función de onda y = f(x ± vt) . El valor del desplazamiento transversal o elongación “y” es el mismo en “x”, que en x+ λ , x + 2 λ , y así sucesivamente.

Si transcurre cierto tiempo “t”, considerando que la onda avance hacia el eje +X con una velocidad de fase v, la ecuación de onda en dicho instante t es: y = A sen

2π

λ

(x - vt)

Si definimos dos cantidades, el número de onda k = angular

ω=

2π

λ

y la frecuencia

2π . La ecuación de onda que avanza a la derecha se puede Τ

expresar. y = A sen (kx - ωt) Para una onda que avanza hacia el eje -x la ecuación de onda será y = A sen (kx + ωt) En las ecuaciones anteriores hemos supuesto que la elongación y es cero en el punto x = 0 en el instante t =0 , en general la ecuación de un tren de onda que avanza hacia la derecha es: y = A sen (kx - ωt + ø) donde

ø : fase inicial del M.A.S. del punto x = 0 en el instante t = 0 ω : es la frecuencia angular ω = 2π π ν = v. k

en rad / s

K : es el número de onda K=2π/λ

en rad / m

v : es la velocidad de la onda v = λ . ν = w / k : m/ s La ecuación también se puede escribir en la forma: y = A sen 2Π (x/λ λ ± t /T) La ecuación permite determinar la posición de una partícula del medio por el cual viaja la onda. Del mismo modo se puede obtener ecuaciones para la velocidad y aceleración de la partícula

v = ± A cos (kx ± ωt ) 2

a = - w A sen (kx ± ωt)

FENOMENOS ONDULATORIOS 1.- REFLEXION Y TRASMISION DE LAS ONDAS

Siempre que una onda viajera alcanza una frontera, parte se transmite y parte de la onda se reflejará, dependiendo de la frontera, pueden suceder los siguientes casos de reflexión

Reflexión de una onda viajera en el extremo fijo de la cuerda estirada

Se observa que el pulso reflejado está invertido, pero su forma no cambia

Reflexión de una onda viajera en el extremo libre de una cuerda estirada

en este caso, el pulso reflejado no está invertido

Pulso que viaja hacia la derecha por una cuerda ligera unida a una cuerda gruesa parte del pulso se refleja invertida y parte se trasmite por una cuerda gruesa sin invertir

A B

Cuando un pulso de onda viaja de un medio A (menos denso) a un medio B (mas denso) la velocidad en A es mayor que la velocidad en B Pulso que viaja hacia la derecha por una cuerda gruesa unida a una cuerda ligera, el pulso incidente se refleja en forma parcial sin invertir y se trasmite parcialmente. En este caso el pulso reflejado no esta invertido.

A

B

Cuando un pulso de onda viaja de un medio A (mas denso) a un medio B (menos denso) la velocidad en A es menor que la velocidad en B

2.- SUPERPOSICION DE ONDAS

Es un hecho experimental que indica el efecto de muchas ondas que atraviesan el mismo espacio, es el mismo que si una actuaba independientemente de las otras y luego el efecto de esta se sumara al efecto de las otras.

El hecho de que las ondas obran independientemente unas de las otras significa que la elongación de una partícula cualquiera es simplemente la suma de las elongaciones que las ondas individuales solas producirían. Este proceso de adición vectorial de la elongación de una partícula se llama superposición. La superposición de ondas causa un fenómeno llamado interferencia que puede ser constructiva o destructiva Cuando la cresta de una onda se superpone a la cresta de otra, los efectos individuales se suman. El resultado es una onda de mayor amplitud. A este fenómeno se le llama interferencia constructiva, o refuerzo, en donde se dice que las ondas están en fase. Cuando la cresta de una onda se superpone al valle de otra, los efectos individuales se reducen. La parte alta de una onda llena simplemente la parte baja de la otra. A esto se le llama interferencia destructiva, o cancelación, donde decimos que las ondas están fuera de fase.

3.- ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS

Las ondas estacionarias son producto de la interferencia. Cuando dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y velocidad avanzan en sentido opuesto a través de un medio se forman ondas estacionarias. La onda estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación no contiene ningún término de la forma y=f(x ± vt) .

Si se ata el extremo de una cuerda a un vibrador el otro extremo se tensiona con una masa m, las ondas se reflejan en la polea y vuelven en sentido inverso. Si suponemos que la reflexión es perfectamente eficiente, la onda reflejada estará media longitud de onda retrasada con respecto a la onda inicial. Se producirá interferencia entre ambas ondas y el desplazamiento resultante en cualquier punto y momento será la suma de los desplazamientos correspondientes a la onda incidente y la onda reflejada. En los puntos en los que una cresta de la onda incidente coincide con un valle de la reflejada, no existe movimiento; estos puntos se denominan nodos. A mitad de camino entre dos nodos, las dos ondas están en fase, es decir, las crestas coinciden con crestas y los valles con valles; en esos puntos, la amplitud de la onda resultante es dos veces mayor que la de la onda incidente; por tanto, la cuerda queda dividida por los nodos en secciones de una longitud de onda. Entre los nodos (que no avanzan a través de la cuerda), la cuerda vibra transversalmente.

Se forman ondas estacionarias en las cuerdas de instrumentos musicales que se puntean, se golpean o se tocan con un arco, así como en el aire de un tubo de órgano y en el de una botella de gaseosa cuando soplamos sobre su boca. Se pueden crear ondas estacionarias tanto en las ondas transversales como en las longitudinales. Una onda armónica tiene forma senoidal, si escogemos una onda armónica unidimensional que viaja hacia el eje +X con rapidez "v" y otra onda que viaja hacia el eje –X con la misma rapidez Considerando los trenes de onda de la misma frecuencia, velocidad y amplitud que van avanzando en sentidos opuestos en una cuerda. y1 = A sen (kx – ωt) y2 = A sen (kx + ωt) Por consiguiente la resultante, es la ecuación de una onda estacionaria:

y = y1 + y2 = 2 A sen kx cosωt

(ø = 0)

Nótese que una partícula en un punto cualquiera x ejecuta un movimiento armónico simple al transcurrir el tiempo, y que todas las partículas vibran con la misma frecuencia. La amplitud 2A sen kx de la onda estacionaria tiene un valor máximo de 2A en los puntos donde. π 3π 5π kx = , , ,........ 2 2 2 π 3π 5π x= , , ,........ 2k 2k 2k O sea: λ 3λ 5λ x= , , ,........ 4 4 4 Estos puntos se llaman antinodos y están espaciados de media en media longitud de onda, De forma similar la amplitud 2A sen kx de la onda estacionaria tiene un valor mínimo igual a cero en los sitios llamado nodos en donde: kx = π , 2π , 3π , 4π π 2π 3π x= , , ,........ k k k λ 3λ x = , λ, ,........ 2 2

Se pueden lograr, varias ondas estacionarias en una cuerda, manteniendo constante la longitud de la cuerda variando la tensión de la cuerda.

L PRIMER ARMONICO λ = 2L

L = λ/2 SEGUNDO ARMONICO λ = L

L = 2 λ/2 TERCER TERCER ARMONICO ARMONICO λ =2L/3 λ = 2L/3

L = 3 λ/2 Si la longitud de la onda, es λ = 2L, la cuerda vibrará en frecuencia fundamental o también llamado primer armónico Esta expresión se puede generalizar para el n-ésimo armónico:

λn =

2L n

Si v es la velocidad de las ondas que se superponen para formar la onda estacionaria, entonces la frecuencia νn del n-ésimo armónico es dada por:

ν

n

=

ν λn

=

nν 2 L

=

n 2 L

T

µ

Donde T es la tensión de la cuerda y µ es la densidad lineal de masa.

ENERGIA TRASMITIDA POR LAS ONDAS EN UNA CUERDA Sabemos que a medida que las ondas se propagan por algún medio, ellas transportan energía y momentum lineal. Enfoquemos la atención sobre un elemento de la cuerda de longitud ∆ x y masa ∆ m, cada elemento se mueve verticalmente con un movimiento armónico simple. La energía total ∆ E asociada al elemento una partícula está dada por: 1 1 2 ∆E = kA2 = ∆mvmax 2 2

∆E =

1 (∆m)w 2 A 2 2

Entonces en un elemento de longitud ∆ x, que tiene una masa ∆ m = µ ∆ x la energía es: 1 ∆E = µ∆xw 2 A2 2

La potencia transmitida por la onda es igual a la energía contenida en una longitud de onda dividida entre el periodo de la onda La potencia media o la rapidez con la que se transmite la energía a lo largo de la cuerda está dada por ∆E 1 ∆x = µ w 2A2 ∆t 2 ∆t

Si v es la velocidad de la onda.

Pm =

1 µvw 2 A2 2

Pm =

1 µT .w 2 A2 2

EJEMPLO 01 Una onda cuya ecuación es y = 0,072 sen(2,6x - 270 t), en unidades del S.I. Se propaga por una cuerda de densidad lineal µ =0,080 kg/m. Hallar la potencia media que se propaga. SOLUCION Para determinar la potencia media necesitamos conocer propagación

la velocidad de

v = w/k , de la ecuación observamos que : k = 3,6 m-1 y w = 270 rad/s Entonces v = 270/2,6 m/s = 103,8 m/s Pm =( µvw2A2 )/2 Pm = (0,08)(103,8)(270)2 (0,072)2/2 Pm = 1569,0 W EJEMPLO 02 Se tiene una cuerda cuya densidad lineal de masa µ = 2 kg/m. Si la ecuación de onda viajera es y = 2 sen ( πx − πt ) cm. Determine la tensión de la cuerda si esta se encuentra horizontal. SOLUCION Para determinar la tensión de la cuerda necesitamos conocer la velocidad de la onda y la densidad lineal de la cuerda v = w/k = πx10-2 /π = 1x10-2 m/s Sabemos que v = (T/µ)1/2. Entonces: 1x10-2 = (T/2) -1/2 ;T = 2x10-4 N. EJEMPLO 03 Una cuerda estirada con densidad lineal de masa µ = 5x10-2 kg/m, se encuentra a una tensión de 80 N, si la longitud de la cuerda es de 2 m. Determine la frecuencia de vibración de un extremo de la cuerda para lograr una estacionaria en el cuarto armónico. SOLUCION La frecuencia de vibración en el cuarto armónico puede ser obtenido de la 1/ 2

expresión

ν=

n F   2L  µ 

reemplazando obtenemos:

, como se trata del cuarto armónico n = 4 , ν = (4/2x2) (80/5x10-2)1/2 ;

ν = 40 Hz

EJERCICIO Una onda senoidal que viaja en la dirección positiva de las “x” tiene una amplitud de 15 cm, una longitud de onda de 40 cm, y una frecuencia de 8 Hz. Si el desplazamiento de la onda en x = 0 y t = 0 es de 15 cm . Determine: a) El numero de onda b) El periodo Rp. K = 5π rad m-1 ; T = 0,125 s