MPC EXPLÍCITO PARA UN CONVERTIDOR DC-DC UTILIZANDO PROGRAMACIÓN MULTIPARAMÉTRICA M. Rodríguez, C. De Prada Dept. de Sistemas y Automática. UVA. Valladolid. España, mrrceli, [email protected] M. Pomar, J. Normey Dept. de Automaçao e Sistemas, UFSC, Florianópolis. Brasil, mpogar, [email protected]

Resumen En este trabajo se presenta una solución explícita al problema de control predictivo (MPC) de un convertidor DC-DC utilizando programación multiparamétrica (mp). Esta técnica proporciona una nueva herramienta para poder aplicar control predictivo a sistemas con respuestas rápidas. Se plantea y resuelve el problema MPC utilizando programación multiparamétrica. Los resultados obtenidos son comparados con respecto a un controlador avanzado, control de modo deslizante, obteniendo con el mp-MPC mejor resultado. Se hace un estudio de factibilidad de implementación del controlador en la realidad. Palabras Clave: MPC, Programación multiparamétrica, modo deslizante. Convertidores DC-DC.

1

INTRODUCCIÓN

Las fuentes de poder conmutadas del tipo DC-DC son utilizadas en varios sistemas de suministración de potencia, incluyendo vehículos, iluminación, computadores, sistemas de control, y otros sistemas. Debido a sus no-linealidades intrínsecas estos sistemas representan un desafío para los algoritmos de control [4]. Varias estrategias de control han sido propuestas en los últimos años para controlar estos procesos. El control predictivo basado en modelo (MPC) puede resolver el problema de control para el convertidor DC-DC, pero el tiempo requerido en la optimización hace imposible aplicar esta técnica en tiempo real [13]. En [2] es presentada una técnica para obtener un controlador de forma explícita desde las políticas de control del MPC. Utilizando programación paramétrica se rescribe el problema MPC como un conjunto de acciones de control dependientes de los estados actuales, esta técnica es llamada control predictivo multiparamétrico (mp-MPC) [5]. En este

trabajo, nosotros aplicaremos mp-MPC para resolver el problema de control para un convertidor DC-DC, específicamente al convertidor DC-DC del tipo BUCK-BOOST (BB). Este artículo está organizado de la siguiente manera: en la sección 2 presentamos el modelado del convertidor BB. En la sección 3 hablaremos sobre el control predictivo y la solución explícita de este al utilizar programación multiparamétrica. Se aplicó el controlador mp-MPC y se comparó con un controlador avanzado, modos deslizantes, en la sección 4. En la última sección tenemos las conclusiones donde expresamos la factibilidad de implementar este tipo de controlador en la realidad.

2

CONVERTIDOR BUCK-BOOST

En la figura 1, mostramos el circuito ideal de un convertidor DC-DC del tipo BUCK-BOOST (BBC). BBC es utilizado normalmente como fuente de potencia en dispositivos electrónicos, con salida de voltaje (Vo) ajustable que puede ser mayor o menor a la fuente de alimentación de voltaje (Vcc). Desde el punto de vista de control el objetivo de este sistema es proveer un voltaje de salida que sea capaz de seguir un voltaje de referencia deseado y que rechace las perturbaciones causadas por las variaciones en la carga representada en la figura 1 por el Resistor R. Para cumplir esto, una estrategia de control adecuada debe actuar en el interruptor S.

Figura 1: convertidor Buck-Boost Ideal El BBC puede operar en dos diferentes modos. Si la corriente a través del inductor no llega a cero el BBC

estará operando en el modo de conducción continua. En el caso contrario se puede decir que está operando en el modo de operación discontinuo. En este trabajo trataremos de hacer que el BBC trabaje en el primer modo. Típicamente, dos modelos de BBC son utilizados en las literaturas. El modelo instantáneo que considera todos los fenómenos dinámicos relacionados a la operación del interruptor. El modelo promedio no considera las dinámicas del interruptor pero si considera la evolución dominante causada por los otros elementos del circuito [7] [11] [16]. 2.1

sustituir la señal instantánea de control q(t) por una señal d(t), que es el valor promedio, para cada instante t, de q(t) en el periodo de encendido y apagado del interruptor. Esta señal es conocida como la señal de duty cicle. Utilizando esta aproximación, el modelo puede ser representado por el siguiente conjunto de ecuaciones [16]: ⎧ diˆL 1 = (dVi + (1 − d )vˆC ) ⎪ L ⎪ dt ⎪ dvˆC 1 ⎛ vˆ ⎞ = − ⎜ C + (1 − d )iˆL ⎟ ⎨ dt C R ⎝ ⎠ ⎪ ⎪Vo = −vˆC ⎪ ⎩

EL MODELO INSTANTÁNEO

Para obtener el modelo instantáneo del BBC, q es definido como la señal que caracteriza la evolución dinámica del interruptor: S:{ q=0, si el interruptor está abierto. q=1, si el interruptor está cerrado} con esta dinámica dos conjuntos de ecuaciones diferenciales describen el comportamiento del BBC. Si q=0: ⎧ di L 1 ⎪ dt = L vC ⎪ v ⎪ dv C 1 ⎛ = ⎜⎜ − i L − C ⎨ C⎝ R ⎪ dt ⎪Vo = −v C ⎪ ⎩

⎞ ⎟⎟ ⎠

Cabe destacar que se supone que el BBC se encuentra funcionando en el modo de operación continuo para que este modelo promedio sea válido. Las simulaciones fueron realizadas utilizando un BBC con parámetros dados por la tabla 1. Tabla 1: Parámetros del BBC Elementos Voltaje de Entrada (Vi) Inductancia (L) Capacitor (C) Resistor (valor min.) Rmín Resistor (valor máx.) Rmáx Voltaje de salida (valor mín.) VoMín Voltaje de salida (valor máx.) VoMáx

(1)

y si q=1: ⎧ di L 1 ⎪ dt = L Vi ⎪ 1 vC ⎪ dvC =− ⎨ C R ⎪ dt ⎪Vo = −vC ⎪ ⎩

(2)

Combinando estos dos subsistemas el modelo instantáneo del BBC es obtenido:

2.2

(3)

EL MODELO PROMEDIO

Este modelo es obtenido usando el modelo instantáneo y algunas hipótesis de simplificación. Asumiendo que el interruptor conmuta a una frecuencia que es mucho mayor que las frecuencias asociadas a la transferencias de energía entre los elementos pasivos del circuito (R, L, y C) es posible

Valores 48 V 1.4 mH 10μF 40Ω 120Ω 12 V 100V

3 CONTROL PREDICTIVO MULTI-PARAMÉTRICO mp-MPC En esta sección describimos el método para hallar un controlador explícito para el BBC, este método está basado en resolver el problema de control predictivo MPC utilizando programación multiparamétricas. 3.1

⎧ di L 1 ⎪ dt = L (qVi + (1 − q )vC ) ⎪ 1 ⎛v ⎞ ⎪ dvC = − ⎜⎜ C + (1 − q )i L ⎟⎟ ⎨ C⎝ R ⎠ ⎪ dt ⎪Vo = −vC ⎪ ⎩

(4)

CONTROL PREDICTIVO

El control predictivo basado en modelo (MPC) es ampliamente aceptado por la industria para resolver el problema de control de sistemas multivariables con restricciones. En cada tiempo de muestreo, comenzando en el estado actual, el problema de control óptimo a lazo abierto es resuelto sobre un horizonte infinito. Para el siguiente periodo de muestreo los cálculos son repetidos desde el nuevo estado y sobre el horizonte desplazado, conduciendo a una política de horizonte deslizante [8]. En cada paso de tiempo es utilizado un proceso de optimización que tiene dos objetivos: optimizar la evolución del seguimiento de las referencias y evitar que las restricciones del sistema sean violadas. El

problema MPC puede ser formulado como sigue, Consideremos el siguiente sistema lineal discreto e invariante del tiempo:

⎧ x(t + 1) = Ax(t ) + Bu (t ) ⎨ ⎩ y (t ) = Cx(t ),

xt + k +1|t = A k xt + ∑ j =0 A j But + k −1− j k −1

V ( x) = 12 x' Yx + min 12 U ' HU + x' FU ,

(4)

U

s.t. GU ≤ W + Ex

(7)

(8)

Sujeto a las siguientes restricciones: ymin ≤ y(t) ≤ ymax, umin ≤ u(t) ≤ umax, donde los subíndices min y max denotan los límites inferiores y superiores respectivamente, x(t) ∈ ℜn, u(t) ∈ ℜm, y(t) ∈ ℜp son los estados, entradas y salidas respectivamente, A ∈ ℜnxn, B ∈ ℜnxm son matrices y (A,B) es estable. El MPC resuelve el siguiente problema de optimización con respecto a U=[u’t, … , u’t+m-1]’,

Donde el vector columna U es el vector de optimización, H=H’≥0, y H, F, Y, G, W, E son fácilmente obtenible de Q, R, y (5). Como la optimización esta en función de U, el termino Y es usualmente removido de (8).

min J (U , xt ) =

El problema de optimización (8) se puede rescribir de la siguiente forma [2]

U

N −1

= x' t + N |t Pxt + N |t + ∑ x' t + k |t Qxt + k |t + u ' t + k |t Ru t + k |t (5)

3.2

PROGRAMACIÓN MULTIPARAMÉTRICA CUADRÁTICA mp-QP

Vz ( x) = min 12 z ' Hz

k =0

s.t. Gz ≤ W + Sx

u min ≤ u t + k |t ≤ u max , k = 1,..., N s.t.

Donde z=U+H-1F’x, y x=x(t) es el estado en el tiempo actual, el cual puede ser tratado como un vector paramétrico y aparece solamente en el lado derecho de las inecuaciones de restricciones. S=E+GH-1F’, y Vz(x)=V(x)-½x’(Y-FH-1F’)x.

u t + k = Kxt + k |t , M ≤ k ≤ N − 1 xt |t = x(t ) xt + k +1|t = Axt + k |t + Bu t + k , k ≥ 0 y t + k |t = Cxt + k , k ≥ 0

donde R=R’ >0, Q=Q’>0, P=P’>0, (Q½,A) es detectable, N≥M, y K es una ganancia de realimentación de estado. El problema (5) es resuelto repetitivamente en cada tiempo t para los estados actuales medidos xt y un vector de predicción variables de estados xt+1|t,…,xt+k|t para el tiempo t+1,…,,t+k respectivamente, y las correspondiente acciones de de control ut,…,ut+k-1 son obtenidas. La ganancia de realimentación de estado K y la matriz de función de coste terminal P usualmente son usadas para garantizar la estabilidad del MPC (5), en resumen hay dos métodos para obtener los valores de K y P. El primero es seleccionar K=0 y P será la solución de la ecuación discreta de Lyapunov P=A’PA+Q. sin embargo, esta situación está restringida solamente a sistemas estables a lazo abierto, donde la señal de control es cero después de los M pasos. Alternativamente, se puede seleccionar K y P como la solución del problema sin restricciones de regulación lineal cuadrática con horizonte infinito (LQR), por ejemplo, cuando M=N=∞,

K = −(R + B' PB ) B' PA −1

P = (A + BK )' P (A + BK ) + K ' RK + Q

(9)

U

y min ≤ y t + k |t ≤ y max , k = 1,..., N

(6)

Al sustituir (7) en (5) podemos rescribir el problema MPC en (8).

Bemporad et. Al [2], demostraron que el problema de optimización (9) puede ser resuelto considerando las condiciones de optimalidad de Karush-KuhnTuker (KKT) [1]. Primero necesitamos un vector paramétrico inicial x0 dentro del conjunto poliédrico X=x:Tx≤Z sobre el cual queremos resolver el problema, tal que el problema (9) sea factible. Después usando los multiplicadores activos de Lagrange y los conjuntos de restricciones activas ~ ~ ~ G , W , S son obtenidas z y la región CR0 donde esta caracterización es válida. Note que z depende de x. las ecuaciones de z y de los conjuntos de restricciones están dadas por:

(

)( ( )( )( )

)

~ ~ ~ −1 ~ ~ z = H −1G ' GH −1G ' W + Sx ~ ~ ~ −1 ~ ~ GH −1G ' GH −1G ' W + Sx ≤ W + Sx ~ ~ ~ −1 ~ ~ G ' GH −1G ' W + Sx ≥ 0

(

)

(10)

Con el valor de z podemos hallar el valor de U que estará expresado de la siguiente manera: U = −H −1F' x + z ( x)

(11)

Sea X el espacio total y CR0 un subconjunto poliédrico, podemos caracterizar el resto de las regiones CRrest solamente invirtiendo algunas de las inecuaciones del conjunto de restricciones [5]

⎧ ⎫ Ai x > bi Ri = ⎨ x ∈ Y : ⎬, i = 1,..., m j j A x > b , ∀j < i ⎭ ⎩

(12)

Donde m=dim(b), y sea CRrest= U mi=1 Ri . Con la nueva región Ri se vuelve a repetir el procedimiento anterior, hallando el nuevo valor de z y la nueva región. El número Nr de regiones en la solución del problema mp-QP dependen de la dimensión n de los estados, del número de grados de libertad s=mM , y de las restricciones q en el problema de optimización (9). Como el número de combinaciones de l restricciones ocurridas en q, Nr= lq =q!/(q-l)!l!, el número de

()

posibles combinaciones de restricciones activas para la solución de un QP es al menos ∑lq=0 lq =2q. Este

()

número representa un límite superior del número de diferentes ganancias de realimentación lineal, la cual describe el controlador. Algunas de las regiones halladas tendrán las misma acción de control U, y si estas regiones están contiguas, pueden ser agrupadas para formar un nuevo poliedro, de esta forma el número de regiones es reducido. 3.3

mp-QP APLICADA AL BBC

En esta sección el problema de control del convertidor DC-DC es resuelto, para realizar esto el problema MPC es considerado y con éste es necesario escribir el modelo del proceso. Las técnicas de control clásicos están normalmente basadas en el análisis de el proceso a pequeña señal y sus ejecuciones generalmente dependen del punto de operación [10]. El modelo representado en (4) es linealizado alrededor de un punto de operación, obteniendo la siguiente ecuación linealizada:

⎡ iˆL (t + 1) ⎤ ⎡ iˆL (t ) ⎤ ⎢ ⎥ = A⎢ ⎥ + Bdˆ ⎣⎢vˆC (t + 1)⎦⎥ ⎣⎢vˆC (t )⎦⎥ ⎡ iˆ (t ) ⎤ Vo = C⎢ L ⎥ ⎣⎢vˆC (t )⎦⎥ Donde

0 A = ( D −1)

(1− Do )

o

C

L −1 RC

(13)

entrada. El sistema lineal e invariante en el tiempo discretizado será el siguiente: ⎡iˆL (t + 1) ⎤ ⎡ iˆL (t ) ⎤ ⎥ ⎡A B⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎡B ⎤ ˆ ⎢vˆC (t + 1)⎥ = ⎢ 0 I ⎥ ⎢vˆC (t )⎥ + ⎢ I ⎥ Δd (k ) ⎦⎢ ˆ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ dˆ (t + 1) ⎥⎦ ⎣ ⎣ d (t ) ⎦ ⎡ iˆL (t ) ⎤ Vo(t ) = [C 0]⎢vˆ (t )⎥ ⎢ C ⎥ ⎢⎣ d (t ) ⎥⎦

(14)

De esta forma, el controlador estará entregando los cambios de la señal de entrada, se debe utilizar un integrador para poder aplicar la entrada al “proceso”, este proceso de integración discreta de la entrada, además de errores en el modelado será representado como perturbaciones y las modelaremos como una fuente de perturbación a la salida del modelo, ver figura 2. Para un tiempo t no se conoce el valor de la perturbación δ(t), pero podemos hacer un estimado de la perturbación δˆ(t ) , al comparar la salida medida con la predicción del modelo.

y (t ) = yˆ (t | t − 1) + δˆ (t | t ) = Cxˆ (t | t − 1) + δˆ(t | t )

(15)

Figura 2: Salida con perturbación Otra simple asunción es que esta perturbación no cambiara durante el horizonte de predicción, de esa manera el valor de la predicción de la salida será: yˆ (t + i | t ) = Cxˆ (t + i | t ) + δˆ (t + i | t ) δˆ (t + i | t ) = δˆ (t | t )

(16)

−Vi

, B = ( DD−Vi1)L , C=|0 o

o

-1|,

RC

Do=0.5, Vi=48, R=80Ω. En el problema MPC, expresamos el modelo con las variables de estados ( iˆL , vˆC ), y el valor de las entradas dˆ , pero deseamos penalizar los cambios en la entrada Δdˆ . Así que representaremos el modelo del BBC basado en las variaciones en la señale de

Tomando estas últimas consideraciones, el modelo del proceso será representado con la ecuación (17). El nuevo modelo incrementa el número de estados, debido a esto el número de restricciones es aumentado y por lo tanto, se incrementa el número de regiones.

⎡iˆL (t + 1) ⎤ ⎡iˆL (t ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ A B 0⎤ ⎢ ⎥ ⎡B ⎤ ⎢vˆC (t + 1)⎥ = ⎢ 0 I 0⎥ ⎢vˆC (t )⎥ + ⎢ I ⎥ Δdˆ (k ) ⎥ ⎢ dˆ (t ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ dˆ (t + 1) ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 I ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣⎢ δˆ (t + 1) ⎦⎥ ⎣⎢ δˆ (t ) ⎦⎥ ⎡iˆL (t ) ⎤ ⎢ ⎥ vˆ (t ) Vo(t ) = [0 − 1 0 1]⎢ ˆC ⎥ ⎢ d (t ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ δˆ (t ) ⎥⎦

para poder implementar el controlador fue diseñado un observador de estado (Filtro Kalman) y de esa forma hallar el valor de la perturbación, (17)

δˆ = y (t ) − yˆ (t )

(22)

donde y(t) es el valor medido, del proceso, del voltaje de salida e yˆ (t ) es el valor estimado por el observador de estado.

Para hallar las soluciones explícitas del MPC utilizamos la herramienta para MatLab creada por Michael Kvasnica, Pascal Grieder, y Mato Baotic, con las siguientes restricciones: −13.33 ≤ iˆL (t ) ≤ 13.33 − 100 ≤ vˆC (t ) ≤ 100 − 0.1 ≤ dˆ (t ) ≤ 100

(18)

− 100 ≤ δˆ(t ) ≤ 100

Note que los valores de las variables alrededor del punto de operación pueden llegar a tener, con respecto a los valores absolutos de estas, cambios que van desde el valor mínimo hasta el máximo. El valor promedio de cada estado depende del voltaje de referencia y del voltaje de alimentación del BBC y están dados de la siguiente manera: VC = −Vref D=V

VC

C

−Vi

(19)

VC

I L = (D −1)R

Los valores de los pesos del problema de optimización son Qy=10, Q=I, R=I, el horizonte de predicción y el horizonte de control N=M=4, K=0, el tiempo de muestreo utilizado es de 0.1 mseg. Y la solución de la ecuación de estabilidad de Lyapunov es:

6310.8 0 ⎤ − 18.4 ⎡− 683.4 ⎢ 6310.8 − 58239.7 170.7 0 ⎥⎥ ⎢ P= ⎢ − 18.4 170.7 0 ⎥ − 0.5 ⎢ ⎥ 0 0 − 0.5⎦ ⎣ 0

(20)

Al resolver el problema mp-QP obtuvimos 51 regiones sobre todo el espacio de estados, ver figura 3, cada región representa una solución explícita del control con la siguiente estructura: U = Fi x (t ) + H i → CR i

(21)

Figura 3: partición del Controlador con 51 regiones.

4 RESULTADOS DE SIMULACIÓN Y DEL CONTROL

LA

El modelo del BBC descrito en la sección 2 ha sido simulado y probado utilizando dos entornos de simulación: EcosimPro y Simulink de MatLab. Obteniendo resultados que se aproximan al proceso verdadero. Para ilustrar la ejecución y evaluación del controlador desarrollado en la sección 3 se implementó un control por modo deslizantes [9] para el problema del BBC, de esta manera compararemos el desempeño del MPC explícito con respecto a un controlador avanzado. El control por modos deslizantes es una técnica de control no lineal ampliamente estudiada en la literatura y ha sido aplicada con muy buenos resultados a los sistema de estructuras variables [3]. Un sistema de estructura variable, es todo aquel sistema que presenta discontinuidades en las ecuaciones que lo modelan. Debido a estas discontinuidades la mayoría de las herramientas matemáticas desarrolladas para ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos no son aplicables pues presuponen la continuidad de las ecuaciones [6] [15]. Esencialmente la ley de control para sistemas de estructura variable lo que hace es direccionar las trayectorias del sistema a una variedad del plano de fase llamada superficie de deslizamiento o de

pruebas en un tiempo de simulación de 30 mseg, con condiciones inicial VC=0V y IL=0A.

conmutación y una vez en ella se mantiene “confinada” a esa variedad dando origen a lo que se conoce como modo deslizante. Utilizando los procedimientos en [9] y [14] diseñamos un control por modo deslizante con las siguientes características:

Simulación 1: Perturbación no medible, cambios en el valor de R desde 40Ω hasta 120Ω en el instante 10mseg. Cambio de 120Ω hasta 40Ω en el instante 20mseg. No hay cambios en el voltaje de referencia Vref=12V.

Tabla 2: diseño para el control de modo deslizante. τ 1x10-3

K -4.1025

Simulación 2: Perturbación no medible, cambios en el valor de R desde 40Ω hasta 120Ω en el instante 10mseg. Cambio de 120Ω hasta 40Ω en el instante 20mseg. No hay cambios en el voltaje de referencia Vref=100V.

La ganancia K se determino a partir de imposiciones de las condiciones de existencia del modo deslizante y la constante de tiempo τ del filtro se determino usando la regla práctica que indica que esta constante debe tener un valor aproximado a la constante de tiempo natural del sistema [12].

Simulación 3: No hay cambio en la resistencia, R=40Ω. Hay cambio en el voltaje de referencia Vref desde 12V hasta 100V en el instante 10mseg. Y desde 100V hasta 12V en el instante 20mseg.

Se diseño un conjunto de pruebas para el experimento, en primer lugar se introdujo una perturbación no medible al cambiar el valor de la carga del BBC (R), y se realizaron cambios al voltaje de referencias (Vref). En total se realizaron cuatros

Simulación 4: No hay cambio en la resistencia, R=120Ω. Hay cambio en el voltaje de referencia Vref desde 12V hasta 100V en el instante 10mseg. Y desde 100V hasta 12V en el instante 20mseg. mp-MPC

20

20

R

80

120

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

40 0

0.03

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

100

80 40

40 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

150

R

80

120 R Vo

100

0

0.03 60

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

150

0.03 60

12 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

150

R

40

Vo

40

12

20 0.03

0

140

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

150

100

R

100

100

20 0.03 140

100 120

12 0

0.005

0.01

0.015 Time (sec)

0.02

0.025

100 0.03

120 12 0

0.005

0.01

0.015

0.02

Time (sec)

Figura 4: respuestas de los controladores en las diferentes pruebas.

0.025

100 0.03

R

0

0.03

200 120

R Vo

Simulation 2 Vo

200

Simulation 3 Vo

80

40 0

Simulation 4 Vo

12

R

12

Vo

120 Vo

Simulation 1

Sliding Mode Control

La evolución de la variable controlada, la cual es el voltaje de salida (Vo), su referencia (Vref) y el valor de la resistencia (R) son mostradas en la figura 4, en todas las simulaciones. En la primera columna, tenemos la respuesta del control por modo deslizante, mientras en la siguiente columna tenemos las respuestas del mp-MPC. Podemos observar que el mp-MPC tiene un mejor desempeño que el control por modo deslizante, note que rechaza mejor la perturbación debido a los cambios de la carga R, además de tener un tiempo de asentamiento menor. La desventaja del mp-MPC es que hay que utilizar un observador de estado, incrementando la carga computacional cuando se aplica el controlador. En la sección de las conclusiones estimaremos esta carga computacional para considerar la posibilidad de aplicar este tipo de controlador en la realidad.

5

CONCLUSIONES

En este Trabajo presentamos una técnica de control que hace posible aplicar control predictivo a un sistema con respuestas rápidas, como lo es el convertidor DC-DC. Se ha comparado su desempeño con respecto a un controlador por modo deslizante obteniendo mejores resultados. Pero el mp-MPC presenta un pequeño inconveniente y es saber si es posible aplicar este controlador en la realidad. A continuación haremos un análisis sobre la factibilidad de implementación del controlador mp-MPC en la actualidad. Sabemos que cada señal de control debe ser aplicada al sistema cada periodo de muestreo, es decir TS=0.1mseg. Para que esto sea posible, se debe medir el voltaje de salida y la corriente del inductor, calcular la perturbación con el valor medido y el estimado desde el filtro de Kalman, Y con estos valores hallar en la tabla la solución explícita a aplicar. Toda estas operaciones deben ser realizada en un tiempo mucho menor a TS. En este caso, consideraremos que el tiempo en que se debe realizar todo este cálculo debe ser por lo menos un décimo de TS. Para un controlador con hardware de procesamiento digital de señales DSP de la familia C64x de la Tesas Instruments TI, hallamos un listado de tareas o benchmarks con el número aproximado de ciclos de reloj que necesita el controlador para ejecutar esas tareas, ver tabla 3. Trataremos de hacer una traslación de estos benchmarks con respecto a las tareas que necesitas hacer muestro control mpMPC, en la tabla 4, mostramos los valores en números de ciclos de cada una de las tareas que debe realizar el controlador.

Con este número total de ciclos y utilizando la siguiente ecuación podemos calcular cual debe ser la frecuencia mínima del controlador DSP para poder implementar el mp-MPC,

F (Mhz) =

N º ciclos 0.1Ts(μseg)

(23)

reemplazando los valores obtenidos previamente el reloj debe ser de 54.7MHz. Esta familia de Controladores DSP trabaja hasta frecuencias de 1GHz, la cual esta muy por encima del valor deseado, una familia inferior de controladores TMS320C28X, pueden ser utilizados, teniendo buenos beneficios debido a que estos controladores están diseñados para trabajar como controladores PID para este tipo de problemas. Tabla 3: Benchmarks propuestos por TI y la cantida de ciclos utilizados Benchmarks Digitalización de 8 señales analógicas Filtro FIR con 32 coeficientes y 100 muestras de salidas Multiplicación escalar de dos vectores de largo 100 Búsqueda de un elemento mayor en un vector de 255

Nº de ciclos de reloj 4 422 39 45

Tabla 4: Cálculo del número de ciclos necesarios para realizar el problema con un DSP de la familia C64X. Tareas Captura de señales Estimador de estado Búsqueda de la regiones aproximadamente 51 regiones x 8 caras = 408. calcular el control (multiplicación de matrices de 4x4 y vectores) entregar el valor analógico Total de ciclos

Nº de ciclos de reloj 4 211 288 40 4 547

Agradecimientos

Los autores desean agradecer al Proyecto ALFA II0385-FA de la EU y al Proyecto DPI2003-00013 de l CICYT de España por su apoyo en esta investigación.

Referencias

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