P.E.DANKÓ. R.G.POPOV. T.YR.KOZHEvNIKOVA

mRTEmAllCAS SUPERIORES EN EJERCICIOS Y PROBLEmAs

PARTE

EDl"IORIAL ·miA·

moscú

n.

E . ,D.aHl+'. De terminar las coordenad as de los puntos do la divisió n si JI ( I}. /1 (5}. 8. S li:in los punto~ A (- 7), n ( -·3). Fueru ele un seg mento IA Rl se lwllan s itundo~ los puntos C y D. siendo 1CA I = I BD I = = 0,5 1 :111 l. Determ inar la s coord enadas de lo:s puntos C y D.

e

2. Coordrn.~dns n-t ll1Dgulares so bre 'un plano. Problemas elemcnl alcs. Si ~obre un plano se da un sistema cartesiano de coordenadas :rOy, cnloncO.!! el pun to .l/ de este plano, que tiene las coordenadas :r e y, se designa por M (:r; y). La distancia d ontro los puntos M 1 (z1 ; y1) y M, (z1 ; y,) se determina por la íórmula d= Y (z, -z,)'+(u 2 -y 1)". (1)

Bn particu lar, In distancia d entre el punto M (:r; y) y el origen de los coordenadas se dot-0rmina por Ja fórmula

d= Yz• +y•.

'+ =

•

+

79. Mostrar que las rectas 4x - 6y 7 = O y 20x - 30y 11 = O, son paralelas. R••olucl6n. Reduciendo la ecuación de cada rec~a a la fonna con coeficiente angular, obtenemos

-

y =

(2/3)

X+

7/6

e

fl

= (2/3)

11/30.

X -

Los coeficientes angulares de ustas rectas son iguales: k 1 las rectas son paralelas . =

80. Mostrar que las rectas 3x - 5y O son perpendiculares.

+ 7 =Oy

~ k2 =

10x

2/3, o sea,

+ 6g -

3

=

R esoluel6n. Una vez reducidas las ecuaciones a la forma con coeficiente angular, obtenemos !/ = (3/5)

X+

7/5

e

!/ = (-5/3)

X

-t i/2,

Aquí k 1 = 3/5, ks = -5/3 . Como k 1 = -1/k 2 , laa rectas son perpendiculares

81. Escribir la ecuación de la recta que ·pasa por los puntos 111 (- 1; 3) y N (2; 5). Resoluc16n. Suponiendo que x1 = - 1, y1 = 3, x 1 ción {3} del apartado 5, obtenemos y-3 x-t- L 5_3 = 2 + 1,

o bien

y-3

=

2, y 1

=

5 en la ecua-

:r+1

-2- = -3- ·

Así, Ja ecuación tiene la forma 2x - 3y + H =O. Es útil verificar que Ja ecuación está correctamente formulada. Para esto es suficiente mostrar que laa coordenadas de los puntos M y N satisfacen la ecuación de Ja recta. En efecto, las igualdades 2 (-1) - 3·3 + H =O, 2·2 - 3·5 H =O se cumplen idénticamente.

+

82. Componer la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (- 2; 4) y B (- 2; - 1).

= x 2 = -2, entonces Ja recta tiene la ecuación z (es paralela al eje de las ordenadas).

Resolución. Como x 1

= -2

83. Mostrar que la$ rectas 3x - 2y + i = O y 2x + 5y - 12 = O se iotersecan y hallar las coordenadas de Jos puntos de intersección. 23

ll.esoluct6n. Como 312 .p (-2)/5, las rectas se intersecan. Resolviendo el s istema de ecuaciones 3x-2y+1=íl, { 2.t -f- Sy-12 = 0, hallamos .r = t, 11 = 2, o sea las rectas so intersecao en el punto (1; 2). 8". Deterrninar 111 distancia del punto ¡\! (:i·0 ; y 0 ) a la recta

Ax . .:. . Ry

+C=

O, ::;in emple11r la ec1111ción normal de la recta.

R esolucl6n. El problema se reduce a la determinación de la distancia out.r e los puntos M (.r0 ; y0 ) y N, donde N es la base de la perpendicular a la recta

dada y que pasa por el punto. Planteamos la ecuación de la recta (M N). Puesto que el coeficiente angular de la reeta definida es igual a -AIB, el coeficiente angular de la recta (MN) os i~al a BIA (según la cond;.ción de perpendicularidad) y la ecuación de esta ultima tiene la forma y - !lo= (BIA) (.r - .r0 ). Estn c·cuadón se puede escribir de la forma (.r - r 0 )1A = (y - y 0 )1B. Para detenninar lns coordenadas del punto N, resolvemos el sistema d& ecuaciones A x+ By+ e = o y (x - To)IA = (y - Yo)IB. lntroduci111os In incógnita auxiliar 1: (r - .r0 )1A = (y - y 0 )1B = t. Entonces .r = .r0 + A t, 1¡ = Yo + Bt. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de la recta dada, obtenemos A (x0 + At) + B (y0 + 81) + C = O, de donde t = -(A.r0 By0 + C)/(A2 + B2). Sustituyendo ahora el valor de ten las ecuaciones .r = .r0 +Al e y = Y• + Bt, detcrminamo~ las coordenadas del punto N:

+

_ -B· .4.•. + B11o + c . Y-Yo .4' + A• Só lo falta dcterminnr fo di ~ tancia entrn los punt os M y ¡\": d = V(x - .ro)• + (Y - Yo) 2 =

= ~ / (A · A.ro+ BYo+ C

V

A 2 + B•

)2" (B· AJ +A'Bt1o+ C ) ~= + B• 0

1

1Ax0 +Buo+ CI

YA' + B• 85. Determinar la distancia del punto M ('1; 2) a la recta 20x -

-21y -58 = o. Resolucl6n. Tenemos

'120·1-21·2-581 d=

y400+441

120-1,2-581 _ 1- so1 _ 29

-

29

E,.

2 -211

86. Dada Ja recta l: 4x - 3y - 7 = O. ¿Cuáles de los puntos A (5/2; t), B (3; 2), C (1; - 1), D (O; - 2); E (4; 3), F (5; 2) pertenecen a esta recta? , Resolucl6n. Si el punt.o eslá sobre la recia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de la recia. Tenemos: A E 1, ya que 4 ·5/2 - 3 ·1 - i = O; B E l, ya que 4·3- 3·2 - 7 .,i. O; CE 1, ya que 4·1 - 3 {-1) - 7 =O; DE 1, ya que 4·0-3(-2)-7.,&0; EEl, ya que 4·4-3 ·3-7=0; FEZ, ya que 4.5 - 3·2 - 7 .p O.

24

87. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto M (- 2; -5) y es paralela a la recta 3x -r 4y + 2 =O.

Re1olut16n. Despejando ven Ja última ecuación, obtenemos v = -(3/4) z - 1/2. Por consiguiente, en virtud de la condición de paralelismo, el coeficiente angular de la recta buacada ea Igual a -3/4. Aplicand o Ja ecuación (2) del apartado 5, obtenemos , y-(-5)=

s

--¡- (.t-(-:-2)),

o sea, 3z+liv+26 = 0.

88. Se dan los vértices de triángulo: A (2; 2), B (- 2; - 8) y C (-6; -2). Escribir las ecuaciones de las medianas del triángulo. Ruo/uct6n. Hallamos los coordenadas de Jos lados BC, A C y AB:

-2-6

v'=--8-2 -- -=-5.

z'= - -- - =-4, 2

2-6

z·= - 2

= -2;

2

y• = -

2-2 - =0, 2

2-8

B 1 (-2; O);

e, (O;

u·· = - - = - 3 ; 2

A 1 (4; -5};

= 3).

Encontramos las ecuaciones de las medianos con a.yuda de la ecuación do Ja recta que pasa por dos puntos dados. La ecuación do Ja mediana AA, es Y- 2 - -22' -5-2¡= -z4

o bien

-y -7-

2

2 = -zts-, es d ec1•r 7z - 611- 2

=O.

Hallamos Ja ecuación de lo mediana BB 1 ; puesto quo Jos puntos B (-2; -8) y B, (-2; O} tienen las abscisas iguales, la mediano BB, es paralela al eío do ordenadas. Su ecuación es z + 2 = O. Lo eeu11ci6n de lo mediano CC, es:

u+ Z x-f- G -3 + 2 = 0 + 6 '

o bien

z+ G11 + 18=0.

89. Se dan los vértices del triángulo:j A (O; 1); B (6; 5) y C (12; - 1). E scribir Ja ecuación de 111 altura del triángulo, trozado por el vértice C. Re1olut16n. Por Ja fónnuln (4) del ap~rtado 5 hnllamos el coeficiente angular del Indo AB: 5- 1 k=

4

2

6-0=-¡¡=3

En virtud de Ja condición do perpendicularidad, el coeficientE angular de la oll11ra trazada por el vértice C es igual a -3/2. La ecuación de esto altura tiene la forma 11+1= -

~; (.r- 12},

o bien 3x+ 2u-34 = C'.

90. Se dan Jos lacios ele un triángulo: x + 3y - 7 = O (A 8), y - 2 =O (BC), Gx + By - 35 =O (AC). llilllar la longitud de la allura trnzodn por el vértice n.

4x -

Resolucl6n. Determinemos Jos coord~nadaa del punto B. Resolviendo el &istema de ecuaciones z + 311 - 7 =: O y 4.% - y - 2 - O, obtendremos z "" 1, y = :?, o sea, B (1; 2). Hallamos Ja longitud de Ja altura BB, como distancia

(!el punto B a la recta A C:

IBB¡f

16·1+8·2-351 -1 3 -V6•+a• - ' .

91. Determinar Ja distancia entre las rectas paralelas 3.z +y- 3Y10 = 0 y UX 7 2y + 5Y10=0. Resoluct6n. El problema se reduce a la determinación de la distancia entre "n punto arbitrario de una recta y Ja otra recta. Suponiendo, P.ºr ejemplo, que -en la ecuación de la primera recta:& = O, obtenemos y= 3 Y 10. Ahora bien, M (O; 3 VW) es el punto que está sobre la primera recta . Determinemos la distaneia d0l punt. M a la segunda re.eta d-

16·0+2.3 -Vtii+s vw1 Jf 36+ 4

u .lijo ; 2 r 10

5,5.

92. Escribir las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos comprendidos entre las rectas x + y - 5 = O y ix ·-Y - 19 = O(fig. 8). Resolucl6n. Primeramento resolvrunos este problema en Ja forma general. Las bisectdcos de los ángulos íorm11dos por dos rectas son, como es sabido, el conjunto de Fig. 8 los puntos equidistantes a estas rectas. Si las ocuaciones de las rectas dadas A 1z 8,y + + e, = O y A,x B,y+ C,=0 (A1IA2,PB,IB, sen, las rectas no son paralelas), entonces para todo punto M (;¡ Vi perteneciente u una de las bisectrices tenemos (utilizando la fórmula para determinar la distancia del punto a la recta):

o

+

IA,i+ B,y+Ctf l ; Af + B~

+

1A,r+n,-Y+c.1 VA H Bi

Puosto que M (i; Yi es un punto arbitrario de la bisectriz, se lo puede designar simplemente por llf (z; y). Teniendo en cuenta que las expresiones que están en la última igualdad bajo el signo de magnitud absoluta pueden tener diversos signos, obtenemos para una -:le las bisectrices la ecuación

A1r+B,y+c, 1! Af+Bl y para Ja otra la ecuación

A1z+B 1 y+C, YAHBl

A,.:r:+P.y + c.

V A! + BI A,z+B1 y+C 2 YA H Bi

De esto modo, las ecuaciones de ambas bisectrices se pueden escr ibir de Ja forma

A,x + B 1 11+c, + A,z+B,11+c, _ 0 Y AHBf - Y A¡+B¡ - . Ahora vamos a resolver el problema 'concreto planteado. Sustit uyendo A,, e, por sus valores indicados en las ecuaciones de las rectas d 11das, obtendremos z+y-5 + 7z-v- 19 =0 o sea , 5 (z +v- 5) ± (7z-y- t9)=Q. V1+1 y.¡9+1 ' 1

B 1 , C1 , A 1 , 8 1 y

26

La ecuación de una de las bisectrices se escribe de la forma S (:t:

+ /1 -

S)

+ (7z -

/1 -

i9)

=

+y-

O,

o sea.

3z

O,

o soa,

"' - 311

11

== O,

y la ecuación de la otra, do la forma

S (:t:

+y-

S) -

(7:t: -

/1 -

=

19)

+ 3 =- O.

93. Se dan los vér tices del triángulo: A (1¡ 1), B (10¡ 13). C (13; 6). Escribir l a ecuación de la bisectriz del ángu lo A. Re1olucl6n. Usamos otro modo (en comparación con la resolución del problema precedente) de pla.n tear la ecuación de la bisectriz. Supo~os que D es el punto do intersección do la bisectriz con el lado BC. De la propiedad de la bisectriz del ángulo Interior del triángulo se deduce que IBDl: l DC l =IAB l : t AC l . Pero I ABl = Y c10-1 1• +< 1 3- 1¡• ~ 1s,

IACl = Y!13-tJ• + ce-1J•-1s.

Por lo tanto, A.= 1 BD 1 : 1 DC 1 = iS/13. Como es conocida la razón en quo ol pun to D divide el segmento BC, las coordoondas dol punto D se determinan por las igunldades:

rn + 15/13.13

11 ""

1+ 15/13

%

13+ 15/13· 6

t + t S/13

'

o bion z = 325/28, y = 259/28, os decir, D (325/28; 259/28). El probloma ao reduco al plantoamiento de lo ecuación de la recta que pasa por los punto!' A y D:

y-1

250/ U-1

.r- 1 325/ 28-1 ,

9lj. Se dan las ecuac iones de las alturas del triángu lo A BC: - 2 = O, 9x - 3 y - 4 = O y las coordenadas del vértice A (2; 2). Escribir las ecnaciones de los Indos del triángulo.

x

+y

Reiolucl6n. Es fácil cercioral'lMI do que el vértice A no está en ninguna de las alturas definidas: sus coordenadas no satisfacen las ecuaciones de estas alturas. Sean 9.r - 3y - 4 =O la ecuación de la altura BB.., y z y - 2 ~ O la ecuación do la~altura CC 1 • Planteemos la ecuación del lae intersccan en un mismo

puoto? 107. Se dan los puntos medios de los lados del triángulo: A 1 (-1; ;-1), 8 1 (1; 9) y C (9; 1}. Escribir las ecuaciones de las perpendiculares medianas bajadas a los lados del triángulo. 108. Hallar el ángulo agudo formado por la recta que pasa por los puntos A (2; V3) y B (3; 2 V3) con el eje de las orden adas. 109. Los puntos A (1; 2) y C (3; 6) son los vértices opuestos de un cuadrado. Determinar las coordenadas de los otros dos vértices clel cuad rado. 110. Hallar sobre el eje de abscisas un punto cuya distancia a la recta 8.x 15y 10 = O sea igual a L ttt. Se dan los vértices de un triángulo: A (1; 1), B (4; 5) y C (13; -4). Escribir la ecuación de la mediana trazada por el vértice 8 y de la altura bajada del vértice C. Calcular el área del triángulo.

+

+

29

112. H allar las rerL11s que pertenecen 111 haz 2x + 3y + 6 + 5y - 6) = O y son perpendiculares n las rectas básicas del haz. t1 3. Hallar la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x + 6y + 5 = O, 3x - 2y + 1 = O y por el punto M (-4/5; 1). 114. Hallar la recta que pasa por el punto ele intersección de las rect ns x + 2y + 3 = O, 2x + 3y + 4 = O y es pnralela a la recta 5x +By= O. 11 5. Hallar la recta c1uo pasa por el punto 1le intersección rlc lns rectas 3x - y - 1 = O, x + 3y + 1 = O, y l':'I paralela al eje do abscisas. 11 6. Hallar la rec ln que pasa por el punto de intersección de los rect as 5x + 3y + 10 = O, x y - 15 = O y por el origen de l;1s coordenadas. 117. Hallar h1 recta que pasa por e l punt o de intersección do las rectas x + 2y + 1 ~ O, 2x -r y + 2 = O y forma el ángu lo de 13fiº con e l e je de !ns abscis11!'. 11 8. Escribi r IAs ecuaciones de In!' rerl11 .~ c¡ut• pnsan por t-1 punto l\f (a; b) y forman con la recta x + y + r () 11n íiugu lo ele 1\5° . 119. Se dan los lacios clel triángul o : x !I (l (AB}, x .l.. y - 2 = O (BC), y = O (JI C). Escribir las ecua)' , { (:l- a)'! + ( - > -t>)!=(- 1 - n)'+r.·: , '' bi\\11 Sn-V.!>=5i .)

{'ta

Do ar¡ui a .- :J. I, b = -2, 3. El valo r d o r• so; e ncuentra de la ecuación 1J)' + b'' = r~ . o sea. = 22. 1. Por lo tanto , la ocuación buscada se

r•

(-t -

escribo 110 la forma

(.i: - 3. t)'

+ (!! + 2,:1¡

1

~ 22. t.

¡ ;~(l. l·:-1 = 2a1 , o bien. at decir, la hipérbola es equilátera. La otra igualdad la obtenemos a partir de los datos que indican la posición del punto /11 en la hipérbola, o sea, (\(S)1/ a1 - fi nid a por