ESTUDIO ANALÍTICO DE LA LÍNEA RECTA Y APLICACIONES

SEMESTRE

II

VERSIÓN

03

FECHA:

Septiembre 29 de 2011

MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGROS: 1. Hallar la dirección, la pendiente y los interceptos de una línea recta. 2. identificar distintas formas de la ecuación de una línea recta. 3. Determinar analíticamente cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares. 4. Hallar las ecuaciones básica y general de una recta y resolver problemas de aplicación. CONCEPTOS BÁSICOS La recta es una sucesión infinita de puntos. Cuando se traza en el plano cartesiano, se genera a partir de la gráfica de una función lineal, la cual relaciona a dos variables, una llamada independiente “x” y la otra llamada dependiente “y”. Se llama dependiente a la variable “y”, porque su existencia depende del valor que tome la variable “x”. Ejemplo: Grafiquemos la función
= 3 − 2 Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable “x”, para obtener el valor de la variable y respectivamente así:

x y

-2 -8

-1 -5

0 -2

1 1

El proceso: Para x= -2


= 3−2 − 2 = −6 − 2 = −8 Para x =-1
= 3−1 − 2 = −3 − 2 = −5 Para x = 0
= 30 − 2 = 0 − 2 = −2 Para x = 1
= 31 − 2 = 1 Figura 1 Nos genera las siguientes coordenadas: (− 2,−8), (− 1,−5), (0,−2) y (1,1) . Luego se ubican en el plano cartesiano.

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NOTA: Es importante que tengas en cuenta que para graficar una línea recta basta con obtener dos puntos de ella y luego con una regla prolongarlos hasta el infinito, si el dominio es el conjunto de los números reales. Distancia entre dos puntos

%%%% |  &
' 
( '  '  ( ' | Punto medio de un segmento 

1 2
1 
2 , 2  2

Dirección y pendiente de un segmento

Figura 2 En la figura, θ representa la dirección dirección o inclinación de la recta respecto al eje de las “x”. La razón entre la longitud  y se conoce como pendiente de una recta y se simboliza con la letra m. 

 !"#  ) * # +)" , ∆
 , #! ∆ /0  !"#  ) * # -#) #!" ∆ 

%%%% |
' 
( |  , ,#! '  ( / 0 %%%% | '  ( |

También se debe establecer una relación entre la pendiente m y las razones trigonométr trigonométricas para triangulo rectángulo: 


' 
(
,""# #0"#    1!2 '  (  ,""# 
,!" 0*#   1!2 ∴ 1!4(   2

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Ecuación de la recta Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:

Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y1 = m(x − x1):

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. TALLLER No. 1 1. Se tiene un par de puntos: Grafíquelos en un plano de coordenadas Determine la distancia entre ellos Obtenga el punto medio del segmento que los une a) b) c) d) e) f)

(2, 3) y (5, 2) (2, -1) y (4, 3) (6, -2) y (-1, 3) (1, -6) y (-1, -3) (3, 4) y (-3, -4) (5, 0) y (0, 6)

2. ¿Cuál de los puntos P(1, -2) o (8, 9) está más cerca de A(5, 3)? 3. Demuestre que el cuadrilátero con vértices P(1, 2), Q(4, 4), R(5, 9) y S(2, 7) es un paralelogramo, mostrando que su diagonales se bisecan entre sí. 4. Trace el rectángulo con vértices A(1, 3), B(5, 3), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo. 5. Grafique el paralelogramo de vértices A(1, 2), B(5, 2), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo.

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6. Grafique los puntos A(0, 1), B(5, 0), C(4, 3) y D(2, 3) en un plano de coordenadas. Trace los segmentos AB, BC, CD Y DA. ¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD y cuál es su área? 7. Grafique los puntos los puntos P(5, 1), Q(0, 6) y R(-5, 1) en un plano de coordenadas. ¿Dónde debe estar el punto S a fin de que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado? Determine el área de éste. 8. Ubicar en el plano cartesiano y determinar que tipo de figura geométrica se genera, a partir de la unión de los vértices que representan los puntos a continuación. Hallar su respectiva área y perímetro. a) A(-8, 8), B(-4, 8), C(-2, 5) y D(-10, 5) b) E(1, 10), F(4, 10), G(4, 5) y H(1, 5) c) I(0, 3), J(3, 0), K(0, -3), y L(-3, 0) 9. ¿Cuál de los puntos A(6, 7) o B(-5, 8) está más cerca del origen? 10.¿Cuál de los puntos C(-6, 3) o D(3, 0) está más cerca de E(-2, 1)? 11. Demuestre que el triángulo de vértices A(0, 2), B(-3, -1) y C(-4, 3) es isósceles. 12. Determine el área del triángulo de vértices A(-2, 1), B(4, 1) y C(7, 4). 13. Demuestre que el triángulo de vértices C(-3, -3), D(3, 1) y E(2, 2) es rectángulo utilizando el recíproco del teorema de Pitágoras. 14. Determine un punto sobre el eje y equidistante de los puntos (5, -5) y (1, 1). 15. Grafique el paralelogramo de vértices A(-2, -1), B(4, 2), C(7, 7) y D(1, 4), obtenga los puntos medios de sus diagonales y concluya que estas se intersectan en su punto medio. 16. Halla el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D(0, 0), E(1, 7) y F(7, -1). Utiliza solo el concepto de distancia entre dos puntos. OD = OE = OF y Origen O(x, y) 17. Prueba que los triángulos de vértices G(3, 5), H(1, 1), I(-1, 2), y J(0, -1), K(2, 3), L(4, 2) son rectángulos y congruentes. (

18. Hallar la ecuación canónica y general de la recta que pasa por el punto (-4, 3) y tiene pendiente ' 19. Hallar la pendiente m y el intercepto con el eje y de la recta cuya ecuación es 2y-3x=6 20. Halla la distancia entre los puntos A(-1-4) y B(6,-8) RECUERDA QUE:

P1 P2 = (x2 − x1 ) 2+ ( y2 − y1 ) 2

21. Calcular la distancia de los siguientes pares ordenados: a) P1 (-3,0) y P2 (5,0)

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b) P1 (1,8) y P2 (-2,0) c) P1 (-5,2) y P2 (5,4) 22. Demostrar que los puntos (3,6), (5,4), (-4,-1) y (-2,-3) son vértices de un rectángulo: calcular luego su perímetro, área y la longitud de cada una de sus distancias. 23. ¿Cuál es el valor de x si la distancia entre P (8, -1) y Q (x, 3) es 4√10? 24. Dibuja y halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-2, -1) y Q (3, 5). Señala el ángulo de dirección α que se forma entre el eje positivo de las x y la recta, y resuelve las siguientes preguntas: a) b) c) d)

La pendiente es positiva, negativa, no existe o es cero. ¿Por qué? ¿Cuál es la ecuación de la recta? ¿Cuál es el intercepto con el eje y? ¿Cuál es el valor del ángulo α ?

RECUERDA QUE:

m=

y2 − y1 , siempre que x2 ≠ x1 x2 − x1

y – y1 = m(x – x1)

m = Tan α =

y x

25. Según la gráfica, la ecuación de la recta es:

26. Calcula la amplitud del ángulo α que forma la recta r con la dirección positiva del eje x si sabes que pasa por los puntos: a) b) c) d)

A(4, 3), B(-1, 4) C(2.5, 2), D(1.5, √3) E(√5, 2.6), F(√2, 1.3) G(3, 8), H(-3.4, 2√2)

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27. Según la siguiente gráfica la ecuación de las rectas es:

28. Trazar o sombrear la región expresada por el conjunto dado, según el siguiente ejemplo: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

{(x, y) / x 1} {(x, y) /
≥0} {(x, y) / x=3} {(x, y) / y=-2} {(x, y) / 1