Notas complementarias al curso Transformada Ondita Teor´ıa y Aplicaciones

Segunda Escuela de Posgrado - Red ProTIC Mar´ıa Eugenia Torres Universidad Nacional de Entre R´ıos Facultad de Ingenier´ıa Laboratorio de Se˜ nales y Din´amicas no Lineales

E-mail: [email protected] http://bioingenieria.edu.ar/grupos/ldnlys/metorres/ 2007

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Contenidos I. Elementos matem´ aticos I.1. Espacios topol´ogicos . . . . . . . . I.2. Espacios m´etricos . . . . . . . . . . I.2.1. Otras definiciones . . . . . . I.2.2. Axiomas de separabilidad . I.3. Espacio compacto . . . . . . . . . . I.4. Sigma ´algebra . . . . . . . . . . . . I.4.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . I.4.2. Propiedades de las medidas I.4.3. Medidas sigma-finitas . . . . I.4.4. Completitud . . . . . . . . . I.4.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . I.5. Espacios normados . . . . . . . . . I.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . I.6. Espacios de Banach . . . . . . . . . I.6.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . Referencias . . . . . . . . . . . . . . . .

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II. Teor´ıa de la medida e integral de Lebesgue II.1. Aspectos hist´oricos . . . . . . . . . . . . . . II.2. Limitaciones de la integral de Riemann . . . II.3. La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . II.4. Construcci´on de la integral de Lebesgue . . . II.4.1. Teor´ıa de la medida . . . . . . . . . . II.4.2. Integraci´on . . . . . . . . . . . . . . II.4.3. Interpretaci´on intuitiva . . . . . . . . II.4.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . II.5. M´as limitaciones de la integral de Riemann .

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2 II.6. Teoremas integrales b´asicos II.6.1. Propiedades . . . . . II.7. T´ecnicas de demostraci´on . II.8. Formulaciones alternativas . Referencias . . . . . . . . . . . .

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Cap´ıtulo I Elementos matem´ aticos En este cap´ıtulo presentamos algunos elementos y conceptos matem´aticos que complementar´an los que los alumnos encontrar´an en el ap´endice del libro [1], utilizado como referencia para este curso. Estos conceptos involucran definiciones, propiedades y teoremas que corresponden a distintas ´areas de la matem´atica, habitualmente denominada de manera gen´erica como matem´atica superior, que comprenden: espacios m´etricos, topolog´ıa, ´algebra abstracta, an´alisis funcional y espacios funcionales entre otras. No intentamos ser exhaustivos, sino tan s´olo presentar algunas nociones elementales para facilitar el estudio y seguimiento de la literatura cient´ıfica de uso corriente para ingenier´ıa. Para un mayor dominio y comprensi´on de cada tema, deber´a recurrirse a las referencias donde se encontrar´an libros espec´ıficos para cada uno de los temas aqui desarrollados. Para ayudar a la ubicaci´on contextual, de manera general diremos que [2]: El an´ alisis real es la rama de la matem´atica que se ocupa de los n´ umeros reales y sus funciones. Se puede ver como una extensi´on rigurosa del c´alculo, que estudia m´as profundamente las sucesiones y sus l´ımites, continuidad, derivaci´on, integraci´on, y las sucesiones de funciones. Adem´as empieza un proceso de abstracci´on cuyo sendero pasa por la topolog´ıa. El espacio topol´ ogico (sec.I.1) es la noci´on de base de la topolog´ıa elemental, dominio que s´olo depende de la teor´ıa de conjuntos (no est´a construido a partir de otra cosa), y que tiene consecuencias importantes en el campo del an´alisis porque permite definir rigurosamente la Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

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continuidad y los l´ımites. Un espacio m´ etrico (sec.I.2) es un tipo particular de espacio topol´ ogico, donde est´a definida una distancia entre puntos. Corresponde al caso muy com´ un en que se dispone de una noci´on de distancia sobre el espacio. El ´ algebra abstracta es el campo de la matem´atica que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del ´algebra abstracta fue motivado por la necesidad de m´as exactitud en las definiciones matem´aticas. El estudio del ´algebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intr´ınseco de las afirmaciones l´ogicas en las que se basan todas la matem´atica y las ciencias naturales, y se usa hoy en d´ıa pr´acticamente en todas las ramas de la matem´atica. Adem´as, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras l´ogicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un peque˜ no conjunto de axiomas. El t´ermino ´algebra abstracta se usa para distinguir este campo del ´algebra elemental o del ´algebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular f´ormulas y expresiones algebraicas que conciernen a los n´ umeros reales y n´ umeros complejos. El ´algebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como ´algebra moderna. El an´ alisis funcional es la rama de las matem´aticas, mas espec´ıficamente del an´alisis, que trata del estudio de espacios de funciones. Tienen sus ra´ıces hist´oricas en el estudio de transformaciones tales como transformaci´on de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. La palabra funcional se remonta al c´ alculo de variaciones, implicando una funci´on cuyo argumento es una funci´on. Su uso en general se ha atribuido a Volterra. En la visi´on moderna inicial, se consider´o el an´alisis funcional como el estudio de los espacios vectoriales normados completos sobre los reales o los complejos. Tales espacios se llaman Espacios de Banach. Un ejemplo importante es el espacio de Hilbert, donde la norma surge de un producto escalar. Estos espacios son de importancia fundamental en la Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

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formulaci´on matem´atica de la mec´anica cu´antica. Para cualquier n´ umero real p ≥ 1, un ejemplo de un espacio de Banach viene dado por los espacios Lp . M´as general y modernamente, el an´alisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fr´echet y otros espacios vectoriales localmente convexos y a´ un topol´ogicos. Un objeto importante de estudio en an´alisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y de Hilbert. ´ Estos conducen naturalmente a la definici´on de C ∗ -´algebra y otras ´algebras de operadores. En matem´aticas, un espacio funcional es un conjunto de funciones de un conjunto X a un conjunto Y , de una clase dada. Se llama un espacio porque en la mayor´ıa de las aplicaciones, es un espacio topol´ogico o un espacio vectorial. Los espacios funcionales aparecen en varias ´areas de las matem´aticas: en la teor´ıa de conjuntos, el conjunto de partes de un conjunto X se puede identificar con el conjunto de todas las funciones de X en {0, 1} (funciones caracter´ısticas); en el ´algebra lineal el conjunto de toda las transformaciones lineales del espacio vectorial de V en otro, W , sobre el mismo cuerpo, es en s´ı mismo un espacio vectorial; en el an´alisis funcional se ve lo mismo para las transformaciones lineales continuas, incluyendo topolog´ıas en los espacios vectoriales subyacentes, y muchos de los ejemplos principales son espacios funcionales con topolog´ıa; en la topolog´ıa, uno puede procurar poner una topolog´ıa en las funciones continuas del espacio topol´ogico X a otro E, cuya utilidad depende de la naturaleza de los espacios; en la topolog´ıa algebraica, el estudio de la teor´ıa de la homotop´ıa es esencialmente el de invariantes discretos de espacios funcionales; en la teor´ıa del proceso estoc´astico, el problema t´ecnico b´asico es c´omo construir una medida de probabilidad en un espacio funcional de trayectorias del proceso (funciones del tiempo); Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

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en la teor´ıa de categor´ıas el espacio funcional aparece como bifuntor can´onico de representaci´on pero como funtor simple de tipo [X, -] como funtor adjunto, a un funtor del tipo (Xx -) en objetos; en el c´alculo lambda y la programaci´on funcional, tipos de espacio funcional se utilizan para expresar la idea de funci´on de orden superior. en la teor´ıa de dominios, la idea b´asica es encontrar construcciones de un orden parcial que pueda modelar c´alculo lambda, creando una buena categor´ıa cartesiano cerrada. Otra idea relacionada desde la f´ısica es el espacio de configuraci´on. Esto no tiene un significado u ´nico, pero para N part´ıculas movi´endose en una 1 variedad M puede ser el espacio de posiciones M N o el subespacio donde no hay dos posiciones iguales. Para tomar en cuenta la posici´on y los momentos uno se mueve al fibrado cotangente. Las configuraciones de una curva ser´ıan un espacio funcional de alguna clase. En la mec´anica cu´antica una formulaci´on acent´ ua las historias como configuraciones. En breve, un espacio de configuraci´on es t´ıpicamente “la mitad”(ver distribuci´on lagrangiana) del espacio de fase que se construye desde un espacio funcional. 1

Una variedad es el objeto geom´etrico est´andar en matem´atica, que generaliza la noci´ on intuitiva de curva (1-variedad) o superficie (2-variedad) a cualquier dimensi´on y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los reales); y son el elemento teorico para la teor´ıa de control no lineal y sistemas no lineales. Existen diversas variantes utilizadas seg´ un el dominio particular considerado: • variedades diferenciables: son como las superficies lisas (sin puntos angulosos) y generalmente reales, donde se pueden definir en cualquier punto vectores (o planos) tangentes; est´ an utilizadas por la teor´ıa de los grupos de Lie, por el c´alculo diferencial sobre los espacios topol´ogicos m´as generales (que se utilizan en mec´anica, por ejemplo); • variedades algebraicas: son curvas o superficies definidas como ra´ıces de polinomios de varias variables generalmente complejas; • variedades aritm´eticas: son casos particulares de variedades algebraicas, m´as especializadas, para las aplicaciones orientadas a la teor´ıa de n´ umeros. El cuerpo de referencia es el de los n´ umeros racionales, o una de sus extensiones. Un poco m´ as formalmente, podemos decir que una variedad de dimensi´on n es un espacio que se parece localmente a Rn . Esto nos hace pensar que una variedad esta compuesta de parches n-dimesionales, que donde los parches se traslapan est´an pegados topol´ogicamente (ver variedad diferenciable).

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Los espacios de configuraci´on se relacionan con la teor´ıa de trenzas, tambi´en, puesto que la condici´on en una cuerda de no pasar por s´ı misma es formulada cortando diagonales de los espacios funcionales.

I.1.

Espacios topol´ ogicos

Los conceptos de conjunto abierto y vecindad pueden definirse mediante una m´etrica en el espacio considerado. Otro camino es, sin definir m´etrica alguna en conjunto dado, definir directamente, mediante axiomas, el sistema de conjuntos abiertos. Este camino conduce a los espacios topol´ogicos; respecto de ´estos, los espacios m´etricos representan un caso, aunque muy importante, especial. Definici´ on I.1 Sea X un conjunto cualquiera. Se llama topolog´ıa en X a todo sistema τ de subconjuntos G de X que verifica las siguientes condiciones: El propio conjunto X y el conjunto vac´ıo pertenecen a τ . La uni´on ∪α Gα de un n´ umero cualquiera (finito o infinito) y la intern secci´on ∩k=1 Gk de un n´ umero finito de conjuntos de τ , pertenecen a τ El par (X, τ ) se denomina espacio topol´ogico. Los conjuntos pertenecientes al sistema τ se denominan abiertos. Un espacio m´etrico est´a constitu´ıdo por un conjunto de puntos y una m´etrica introducida en dicho conjunto; de la misma forma un espacio topol´ogico est´a constitu´ıdo por un conjunto de puntos y una topolog´ıa introducida en ´el. Por lo tanto, definir un espacio topol´ogico quiere decir definir un conjunto X y una topolog´ıa en ´el, es decir, indicar aquellos subconjuntos que se consideran abiertos en X. Est´a claro que en un mismo conjunto se pueden introducir diferentes topolog´ıas, convirti´endolo de este modo en diferentes espacios topol´ogicos. Sin embargo, se denota el espacio topol´ogico (X, τ ) con s´olo una letra, digamos T. Los conjuntos T − G (se lee: “T menos G”), complementarios a los abiertos, se llaman conjuntos cerrados del espacio topol´ogico T . Se tiene as´ı que: 1. El conjunto ∅ y todo el espacio T son cerrados. Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

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2. La intersecci´on de un n´ umero cualquiera (finito o infinito) y la uni´on de un n´ umero finito de conjuntos cerrados son cerrados. Ejemplo I.1 Sea T un conjunto arbitrario. Consideramos como abiertos a todos sus subconjuntos. Es obvio entonces que se cumplen los axiomas de la definici´on y obtenemos entonces un espacio topol´ ogico. En ´el todos los conjuntos son a la vez abiertos y cerrados y por lo tanto, cada uno coincide con su clausura2 . Ejemplo I.2 En el otro extremo se puede considerar en un conjunto abierto arbitrario X la topolog´ıa compuesta por s´ olo dos conjuntos: el propio conjunto X y el conjunto vac´ıo ∅. Aqu´ı la clausura de todo conjunto no vac´ıo coincide con todo X. Este espacio topol´ ogico, que no representa gran inter´es, suele llamarse “espacio de puntos pegados”. Definici´ on I.2 Si X e Y son dos espacios topol´ ogicos, y f una funci´ on de X a Y . Entonces se dice que f es un homeomorfismo de X en Y si y s´ olo si se cumple lo siguiente: 1. f es biyectiva (uno a uno y suryectiva) 2. f es continua 3. f −1 (la inversa de f ) es continua Si f : X → Y es un homeomorfismo, Y se dice homeomorfo a X. Si dos espacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismas propiedades topol´ogicas.

I.2.

Espacios m´ etricos

En matem´atica, un espacio m´etrico es un tipo particular de espacio topol´ogico, donde est´a definida una distancia entre puntos , corresponde al caso muy com´ un en que se dispone de una noci´on de distancia sobre el espacio. Definici´ on I.3 (Espacio m´ etrico) Un espacio m´etrico es un conjunto M (cuyos elementos se denominan puntos) con una funci´ on distancia asociada (tambi´en llamada una m´etrica) d : M × M → IR (donde IR es el conjunto de los n´ umeros reales). Para todo x, y, z en M , esta funci´ on debe satisfacer las siguientes condiciones: 2

Se denomina clausura de un conjunto al conjunto cerrado mas peque˜ no que lo contiene.

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1. d(x, y) ≥ 0 2. d(x, x) = 0 (reflexividad) 3. si d(x, y) = 0 entonces x = y (identidad de los indiscernibles) 4. d(x, y) = d(y, x) (simetr´ıa) 5. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular). Observaci´ on: Los conjuntos abiertos de cualquier espacio m´etrico verifican los axiomas de la definici´on de un espacio topol´ogico, por lo tanto, todo espacio m´etrico es un espacio topol´ogico.

I.2.1.

Otras definiciones

Se llama bola (abierta) centrada en a ∈ M y de radio r ∈ R+ , al conjunto {x ∈ M/d(x, a) < r} ⊂ M . Se denota usualmente como B(a, r) o como Br (a). Se llama bola cerrada centrada en a ∈ M y de radio r ∈ R+ , al conjunto {x ∈ M/d(x, a) ≤ r} ⊂ M . Se denota usualmente como Bc(a, r) o por B(a, r), donde B se lee como la clausura de B. En an´alisis matem´atico, una sucesi´ on de Cauchy es una sucesi´on tal que la distancia entre dos elementos se va reduciendo a medida que se avanza. Se llama as´ı en honor al matem´atico franc´es Augustin Louis Cauchy. Su inter´es radica en que se puede verificar que una sucesi´on es de Cauchy sin conocer el punto de convergencia. Definici´ on I.4 (Sucesi´ on de Cauchy) En un espacio m´etrico (X, d), una sucesi´on {xk } se dice de Cauchy si para todo ε > 0 existe un Nε en los naturales, tal que para todo n, m > Nε se verifica que la distancia entre dos elementos d(xn , xm ) es inferior a ε, i.e.: ∀ε > 0,

| , tal que ∃ Nε ∈ N

d(xn , xm ) < ε

si n, m > Nε .

Es f´acil demostrar que toda sucesi´on convergente es de Cauchy, sin embargo no toda sucesi´on de Cauchy es convergente. Por ejemplo, en (0, 2), la sucesi´on { k1 } es de Cauchy pero no es convergente, pues su l´ımite es cero y ´este no est´a en el espacio donde definimos la sucesi´on. Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

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Definici´ on I.5 (Espacio m´ etrico completo) Dado un espacio m´etrico, se dice que es completo cuando toda sucesi´ on de Cauchy converge en ´el. Al pesar de lo trivial del ejemplo anterior donde la sucesi´on de Cauchy no converg´ıa, en espacios m´as abstractos pero no por eso menos familiares, como los espacios de funciones, demostrar Completitud a veces no es tan trivial. Una de las razones de esto es que la completitud no se preserva necesariamente con homeomorfismos como pasa con la conexidad y la compacidad. Intuitivamente, un espacio es completo si “no tiene agujeros”, si no tiene “puntos faltantes”. Por ejemplo, umeros racionales no es √ el conjunto de los n´ un cuando se quiera construir un espacio completo, porque 2 es “faltante” a´ una sucesi´on de n´ umeros racionales que converja a ´el. Ejemplos La distancia trivial: d(x, y) = 0 si x = y, caso contrario, 1. Los n´ umeros reales con la funci´on distancia d(x, y) = |y − x| dada por el valor absoluto y, m´as generalmente, el n-espacio eucl´ıdeo con la distancia eucl´ıdea, son espacios m´etricos completos. M´as generalmente aun, cualquier espacio vectorial normado es un espacio m´etrico definiendo d(x, y) = ||y − x||. Si tal espacio es completo, lo llamamos espacio de Banach. Si X es un conjunto y M es un espacio m´etrico, entonces el conjunto de todas las funciones acotadas f : X → M (i.e. aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de M ) puede ser convertido en un espacio m´etrico definiendo d(f, g) = supx∈X d(f (x), g(x)) para dos funciones acotadas cualesquiera f y g. Si M es completo, entonces este espacio tambi´en es completo. Si X es un espacio topol´ogico y M es un espacio m´etrico, entonces el conjunto de todas las funciones continuas acotadas de X a M forma un espacio m´etrico si definimos la m´etrica como antes: d(f, g) = supx∈X d(f (x), g(x)) para dos funciones continuas acotadas f y g cualesquiera. Si M es completo, entonces este espacio tambi´en es completo. Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

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Si M es un espacio m´etrico, podemos convertir al conjunto K(M ) de todos los subconjuntos compactos de M en un espacio m´etrico definiendo distancia de Hausdorff: d(X, Y ) = ´ınf{r : para cada x ∈ X existe un y ∈ Y con d(x, y) < r y para cada y ∈ Y existe un x ∈ X con d(x, y) < r}, simb´olicamente, sea: R = {r ∈ IR/( p.c. ( p.c. y ∈ Y

x ∈ X ∃ y ∈ Y / d(x, y) < r) ∧ ∃ x ∈ X / d(x, y) < r)}

entonces se define la distancia de Hausdorff como: d(X, Y ) = ´ınf R. r

En esta m´etrica, dos elementos est´an cerca uno de otro si cada elemento de un conjunto est´a cerca de un cierto elemento del otro conjunto. Se puede demostrar que K(M ) es completo si M es completo.

I.2.2.

Axiomas de separabilidad

Aunque muchos conceptos principales de la teor´ıa de espacios m´etricos (conjuntos abiertos, entornos, bases, etc.) se extienden f´acilmente a cualquiera espacio topol´ogico, sin embargo, un espacio topol´ogico arbitrario representa un ente demasiado general desde el punto de vista de los problemas del An´alisis. En estos espacios se producen, a veces, situaciones que difieren de modo sustancial de lo que puede ocurrir en un espacio m´etrico. As´ı , por ejemplo, en un espacio topol´ogico un conjunto finito de puntos puede no ser cerrado. Entre los espacios topol´ogicos se distinguen espacios que por sus propiedades se aproximan a los espacios m´etricos. Para ello es necesario agregar a los axiomas ya establecidos en la definici´on de espacios topol´ogicos algunas condiciones adicionales. Condiciones de numerabilidad 3 que permiten estudiar la topolog´ıa del espacio a trav´es del concepto de convergencia. Otro tipo de condiciones adicionales y de naturaleza distinta son los axiomas de separabilidad. 3 Un conjunto se dice numerable cuando se puede establecer una correspondencia uno a uno entre sus elementos y el conjunto de los n´ umeros naturales

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T1 . Primer axioma de separabilidad: Para dos puntos diferentes cualesquiera x e y del espacio T existe una vecindad Ox del punto x, que no contiene al punto y, y una vecindad Oy del punto y que no contiene al punto x. Los espacios que verifican este axioma se denominan T1 –espacios. En un T1 –espacio, todo punto es un conjunto cerrado. Por lo tanto se pude demostrar que en un T1 –espacio todo conjunto formado por un n´ umero finito de puntos es cerrado. Adem´as, puede demostrarse que el axioma T1 es equivalente a pedir que todos estos conjuntos sean cerrados. El segundo axioma es una acentuaci´on del primero. T2 . Segundo axioma de separabilidad o axioma de Hausdorff: Para dos puntos cualesquiera x e y del espacio topol´ogico T existen vecindades Ox y Oy de intersecci´on vac´ıa. Los espacios topol´ogicos que verifican este axioma se denominan T2 – espacios o espacios de Hausdorff. Todo espacio de Hausdorff es un T1 – espacio, pero el rec´ıproco no es cierto.

I.3.

Espacio compacto

En el an´alisis matem´atico desempe˜ na un papel fundamental el siguiente hecho, conocido como Lema de Heine-Borel: Lema I.1 De cualquier cubrimiento del segmento [a, b] de la recta num´erica por medio de intervalos se puede extraer un subcubrimiento finito. Esta afirmaci´on contin´ ua siendo v´alida cuando en lugar de intervalos se consideran conjuntos abiertos cualesquiera: de todo cubrimiento abierto del segmento [a, b] se puede extraer un subcubrimiento finito. Partiendo de esta propiedad del segmento de la recta num´erica, introducimos el siguiente concepto importante: Definici´ on I.6 (Espacio compacto) Un espacio topol´ ogico se denomina compacto, cuando cualquier cubrimiento abierto suyo contiene un subcubrimiento finito. Un espacio topol´ ogico compacto que verifica el axioma de separabilidad de Hausdorff se lama un compacto. Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

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La propiedad de compacidad la tienen, adem´as de los segmentos, todos los subconjuntos cerrados acotados de un espacio eucl´ıdeo de cualquier dimensi´on. Por el contrario, la recta, el plano y el espacio 0. Por ejemplo, la medida de Dirac, es estrictamente positiva, dependiendo de la topolog´ıa de Ω. Si damos a R la topolog´ıa trivial, T = {∅, R}, entonces δ0 es estrictamente positiva.

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12. Si A es medible Lebesgue y x es un elemento de IRn , entonces la traslaci´on de A por x definida por A + x = {a + x : a ∈ A}, tambi´en es medible Lebesgue y tiene la misma medida que A: λ(A + x) = λ(A). El listado anterior se pude resumir en el siguiente enunciado: La medida de Lebesgue de conjuntos medibles constituye una σ-´algebra que contiene todos los intervalos producto y λ es la u ´nica medida completa, invariante por traslaciones en dicho σ-´algebra tal que λ([0, 1] × [0, 1] × · · · × [0, 1]) = 1. La medida de Lebesgue tiene adem´as la propiedad de ser σ-finita.

I.5.

Espacios normados

En algebra lineal, an´alisis funcional y otras ´areas de la matem´atica, la norma es una funci´on que asigna un valor real positivo a cada uno de los vectores del espacio vectorial, que no sea el vector nulo. Una seminorma (o pseudo-norma) en cambio, puede asignar longitudes nulas a vectores que no sean el vector nulo. Ejemplos simples son el espacio eucl´ıdo bidimensional IR2 con la norma Euclidea. Definici´ on I.15 (Norma) Sea (V,+,.) un espacio vectorial sobre un subcuerpo F de los n´ umeros complejos (F puede ser el cuerpo de los n´ umeros complejos o los n´ umeros racionales, o los n´ umeros reales). Se denomina seminorma en V a una funci´ on ρ : V → IR tal que a cada x ∈ V le asigna un n´ umero real ρ(x), tal que satisface las siguientes propiedades: 1. ρ(v) ≥ 0,

∀v ∈ V . (Positividad)

2. ρ(av) = |a|ρ(v), bilidad positiva)

∀a ∈ F y ∀v ∈ V. (Homogeneidad positiva o escala-

3. ρ(u + v) ≤ ρ(u) + ρ(v) (Desigualdad triangular o subaditividad). La positividad es una consecuencia de los dos u ´ltimos axiomas de la definici´ on. Una norma es una seminorma con la condici´ on adicional que: ρ(v) = 0 s´ı y s´olo si v = 0.(Definida positiva) Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

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Una norma habitualmente se indica como ||v|| en lugar de ρ(v). Definici´ on I.16 (Espacio normado) Se denomina espacio vectorial seminormado al par (V, ρ), donde V es un espacio vectorial y ρ una seminorma en V . Se denomina espacio vectorial normado (o espacio normado) al par (V, ||.||), donde V es un espacio vectorial y ||.|| una norma en V . Notaci´on: Suele omitirse ρ o ||.|| y referise s´olo al “espacio (semi)normado V ”, quedando claro del contexto cual es la (semi)norma considerada. A´ un cuando todo espacio vectorial es seminormado, con la seminorma trivial (ρ(x) = 0 ∀x ∈ V ), pero no tiene por que ser normado. Todo espacio vectorial V con seminorma ρ puede convertirse en normado construyendo el espacio cociente V /W , donde W es el subespacio de V consistente en todos los vectores v ∈ V tales que ρ(v) = 0. La norma inducida en V /W est´a dada por ||W + v|| = ρ(v) y se puede verificar que est´a bien definida. Por mas detalles, sobre espacio cocientes, consultar bibliograf´ıa de Algebra Abstracta. Si ρ es una seminorma, vale que ρ(u ± v) ≥ |ρ(u) − ρ(v)|, para todo u, v ∈ V . Adem´as, toda norma es una seminorma.

I.5.1.

Ejemplos

La seminorma trivial : ρ(v) = 0 para todo v ∈ V. El valor absoluto es una norma en IR. Toda forma lineal f : V → IR en un espacio vectorial V define una seminorma en V haciendo ρ(x) = |f (x)|. Las normas Euclideas en IRn : ( n )1/2 X ||x|| := x2i ,

para x ∈ IRn

i=1

y en

| n: C

||z|| :=

( n X

)1/2 |zi |2

,

| n para z ∈ C

i=1

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En un espacio con producto interno, la norma inducida por el producto interno ||x||2 :=< x, x > . La norma-1 : ||x||1 :=

n X

|xi |,

i=1

tambi´en denominada norma Manhattan. La norma-p, para p ≥ 1, en IR: ||x||p :=

( n X

)1/p |xi |p

,

i=1

Ver que la norma Euclidea y la norma 1 son casos particulares (Ver tambi´en los espacios Lp en sec I.6). La norma infinito o norma m´ aximo: ||x||∞ := m´ax (|xi |). i=1,...,n

I.6.

Espacios de Banach

Los espacios de Banach son uno de los objetos centrales de estudio del an´ alisis funcional y son as´ı denominados en honor al matem´atico polaco (ex Austria-Hungr´ıa) Stefan Banach (1892 1945) quien las estudi´o. Muchos de los espacios funcionales de dimensi´on infinita estudiados en este ´area de la matem´atica son ejemplos de espacios de Banach. Definici´ on I.17 (Espacio vectorial normable) Un espacio vectorial topol´ ogico se dice normable (seminormable) si la topolog´ıa del espacio puede ser inducida por una norma (seminorma). Definici´ on I.18 (Espacios de Banach) Los espacios de Banach son espacios vectoriales normados completos. Sea (V, +, ∗) un espacio vectorial sobre el campo de los n´ umeros reales o de los n´ umeros complejos, con una norma ||.|| y la m´etrica inducida por ella en V : d(x, y) = ||x − y||. Se dice que V (+, ∗, ||.||) es un espacio de Banach si toda sucesi´ on de Cauchy es convergente en V (y lo hace a un elemento de V ). Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

Elementos Matem´aticos

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Observar que dado que la norma induce una topolog´ıa en el espacio vectorial, un espacio de Banach es un ejemplo de un espacio vectorial topol´ogico.

I.6.1.

Ejemplos

Sea K el cuerpo de los n´ umeros reales o el de los n´ umeros complejos. Los espacios eucl´ıdeos de dimensi´on n, Kn , donde P la norma de x = (x1 , ..., xn ) es la norma cuadr´atica usual ||x|| = ( ni=1 |xi|2 )1/2 , son espacios de Banach. El espacio de todas las funciones continuas f : [a, b] → K definidas en un intervalo real cerrado [a, b] es un espacio de Banach bajo la norma supremo, definida por ||f || = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}. Esta es efectivamente una norma, dado que las funciones continuas definidas en intervalos cerrados son acotadas. El espacio es completo bajo esta norma y el espacio de Banach resultante se indica C([a, b]). Este ejemplo puede generalizarse a C(X) de todas las funciones continuas de X en K, donde X es un espacio compato, o en el espacio de todas las funciones acotadas de X en K, donde X es cualquier espacio topol´ogico, o en el espacio B(X) de todas las funciones acotadas de X en K, cuando X es cualquier conjunto. En cualquiera de estos casos, podemos multiplicar funciones y el producto est´a en el mismo espacio (es decir, la operacion es cerrada), haciendo que todos estos sean ejemplos tambi´en de lo que se denominan ´ algebras de Banach. Si p ≥ 1 es un n´ umero real, consideramos el espacio de todas las sucesiones x = (x1 , x2 , x3 , . . . ) de elementos de K tales que la P∞(infinitas) p serie i=1 |xi | sea convergente (i.e. sea finita). Se define la norma-p de la sucesi´on x como "∞ #1/p X ||x||p = |xi |p . i=1

El espacio de todas las x = (x1 , x2 , x3 , . . . ) de elementos de P sucesiones p K tales que la serie ∞ |x | sea convergente, dotado de la norma-p i i=1 es un espacio de Banach y se lo indica lp .

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El espacio de todas las sucesiones acotadas de elementos en K es el espacio de Banach l∞ con la norma del supremo: ||x||sup , es decir, el supremo de los valores absolutos de los elementos de la sucesi´on, para n = 1, . . . , ∞. Si p ≥ 1 es un n´ umero real, se puede considerar el conjunto de todas las funciones f : [a, b] → K tales que |f |p es integrable Lebesgue (Ver pag. 38). Se define la norma-p de f como Z 1/p p ||f ||p = |f (x)| dµ(x) . (I.5) [a,b]

Este espacio no es en si mismo un epacio de Banach porque existen funciones no identicamente nulas cuya norma-p es cero ||f ||p = 0. Sin embargo, si se define una clase de equivalencia entre aquella funciones f y g cuya diferencia tienen norma-p igual a cero, ||f −g||p = 0, entonces el conjunto de las clases de equivalencia constituye un espacio de Banach que se indica con Lp [a, b] y se habla del espacio Lp . Nota Aqui es importante observar que la integral utilizada es la integral de Lebegue, dado que con la de Riemann no se obtiene un espacio completo. Si X y Y son dos espacios de Banach, su suma directa X ⊕ Y tambi´en es un espacio de Banach. Todo producto interno da lugar a una norma asociada. Un espacio vectorial con producto interno se llama un espacio de Hilbert si su norma asociada es completa. Por lo tanto, todo espacio de Hilbert es, por definici´on, un espacio de Banach. El rec´ıproco no siempre es cierto.

En la Biblioteca de la Fac. de Ingenier´ıa de la UNER se encuentran los siguientes t´ıtulos: [3, 4, 5, 7]

Bibliograf´ıa [1] S. G. Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Pr, Cambridge, 1999. 3 Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

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[2] Wikipedia, October 2006. http://es.wikipedia.org/wiki/. 3 [3] Juan A. Gatica. Introducci´ on a la Integral de Lebesgue en la Recta. Number 18 in Programa regional de desarrollo cient´ıfico y tecnol´ogico. Washington : OEA. Secretar´ıa general, 1977. 27 [4] J. Horv´ath. Introducci´on a la topolog´ıa general. Number 9 in Programa regional de desarrollo cient´ıfico y tecnol´ogico. Washington : OEA. Secretar´ıa general, 1975. 27 [5] J. Nieto. Introducci´on a los espacios de Hilbert. Number 19 in Programa regional de desarrollo cient´ıfico y tecnol´ogico. Washington : OEA. Secretar´ıa general, 1978. 27 [6] Wikipedia, October 2006. Sigma-algebra. 13, 16

http://en.wikipedia.org/wiki/

[7] H. Wilcox and D.L. Myers. An introduction to Lebesgue integration and Fourier series. Applied Mathematics Series: Mathematics for engineering and science. R. Krieger Publishing co., NY, 1978. (Courier Dover Publications, 1995, ISBN:0486682935). 27

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Integral de Lebesgue

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Cap´ıtulo II Teor´ıa de la medida e integral de Lebesgue En los textos avanzados y art´ıculos cient´ıficos de uso corriente en ingenier´ıa es frecuente encontrar referencia a funciones medibles, a la integral de Lebesgue y a funciones de L1 , L2 o Lp . Es por ello que en este cap´ıtulo trataremos de presentar algunas de las nociones b´asicas relativas a estos conceptos. Nuevamente aclaramos que no tratamos de realizar un desarrollo profundo, sino que, siguiendo diversos textos y p´aginas de internet, solamente presentamos conceptos y explicaremos las ideas centrales de modo tal que sean facilmente comprendidas para poder abordar con posterioridad la lectura comprensiva del material espec´ıfico. Esto no reemplaza de modo alguno los libros espec´ıficamente destinados a desarrollar en profundidad cada una de estas tem´aticas, algunos de los cuales est´an mencionados en la bibliograf´ıa. En matem´atica, la integral de una funci´on no negativa puede mirarse, en el caso m´as simple, como el ´area comprendida entre el gr´afico de dicha funci´on y el eje de las abscisas (eje x). La integraci´on de Lebesgue es una construcci´on matem´atica que extiende la noci´on de integral a una clase de funciones m´as amplia; tambi´en extiende el dominio en el cual dichas funciones pueden estar definidas y que usa la medida y el concepto de “en casi todas partes” o de “para casi todo punto”. Se entiende que para funciones no negativas, con un gr´afico suficientemente suave, tales como las funciones continuas en intervalos acotados cerrados, el ´area bajo la curva puede definirse como la integral y calculada mediante la t´ecnica aproximaci´on de la regi´on mediante pol´ıgonos. De todos modos, cuando surge la necesidad de considerar funciones mas generales (por ejemTransformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

Integral de Lebesgue

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plo, como resultado del proceso de l´ımite del an´alisis matem´atico y en la teor´ıa matem´atica de probabilidad) queda claro que es necesario disponer de t´ecnicas de aproximaci´on mas cuidadosas para poder definir adecuadamente la integral. La integral de Lebesgue juega un rol importante en la rama de la matem´atica denominada an´alisis real y en muchos otros campos de las ciencias matem´aticas. La integral de Lebesgue se denomina de este modo en honor al matem´atico franc´es Henri Le´on Lebesgue (1875-1941).

II.1.

Aspectos hist´ oricos

Como dij´eramos, la integraci´on es una operaci´on matem´atica que se corresponde informalmente con la idea de encontrar el ´area bajo el gr´afico de una funci´on. La primera teor´ıa de integraci´on fue desarrollada por Arqu´ımedes en el siglo 3 (aC), con el denominado m´etodo de cuadraturas, pero pudo aplicarse s´olo a un n´ umero limitado de casos con un alto grado de simetr´ıas geom´etricas. En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron, independientemente, que la integraci´on era por asi decirlo, la operaci´on inversa de la derivaci´on y sentaron las bases de lo que hoy es el c´alculo diferencial e integral. La contribuci´on principal de ambos fue el Teorema Fundamental del C´alculo. Proporcionaron los elementos simb´olicos b´asicos para los posteriores desarrollos de la matem´atica y f´ısica moderna. Sin embargo, a diferencia del m´etodo de Arqu´ımedes, que se basaba en la geometr´ıa Euclideana, el m´etodo propuesto por Newton y Leibnitz no ten´ıa bases rigurosas. En el siglo XIX, August´ın Cauchy desarroll´o finalmente una teor´ıa rigurosa de l´ımite, y Bernhard Riemann (1826-1866) la continu´o formalizando, dando lugar a lo que hoy es conocido como la integral de Riemann, que se aprende en los cursos de c´alculo elemental. Para definir esta integral, se cubre el ´area bajo el gr´afico de la funci´on con rect´angulos de tama˜ no cada vez menor y se toma el l´ımite de las sumas de las ´areas de los rect´angulos en cada etapa. Sin embargo, para algunas funciones, el ´area total de dichos rect´angulos no tiene limite (i.e. no se aproxima a un n´ umero), y por lo tanto no poseen integral de Riemann. Dos ejemplos simples de funciones que no son integrables Riemann son son las funciones 1/x en el intervalo real [0, b] y la 1/x2 en cualquier intervalo Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

Integral de Lebesgue

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que contenga al cero. Son intr´ınsecamente no integrables, dado que el ´area que la integral de Riemann deber´ıa representar es infinita. En otros ejemplos, el integrando posee muchas discontinuidades. Un ejemplo extremo de esta situaci´on es la funci´on caracter´ıstica de los n´ umeros racionales (ver mas adelante). Si consideramos el ´area bajo la curva definida por 1/x en un intervalo entre −a y b para a y b positivos, el ´area ser´a +∞ a ambos lados de 0. Sin embargo, es posible R −ddefinir el R b ´area en este caso y obtener el ´area neta por l´ımite, haciendo −a 1/x dx d 1/x dx, para d > 0 y tomando el limite para d → 0. En este caso hemos calculado el valor principal de la integral . Esto es posible para funciones como la 1/x cuyas ´areas infinitas tienen igual magnitud y signos opuestos en parte del intervalo de integraci´on y pueden cancelarse mutuamente. En 1907 Lebesgue [4] propuso un nuevo m´etodo de integraci´on para resolver este tipo de problemas. En lugar de utilizar las ´areas de rect´angulos, que pone la atenci´on en el dominio de la funci´on, Lebesgue buscaba en el codominio de la funci´on su unidad fundamental de ´area. La idea de Lebesgue era construir primero la integral para lo que denominaba funciones simples, funciones medibles que s´olo tomaran un n´ umero finito de valores. Luego la defini´o para funciones m´as complicadas, como la menor cota superior de todas las integrales de funciones simples que fueran menores que la funci´on en cuesti´on. La integral de Lebesgue tiene la propiedad de que toda funci´on que posea integral de Riemann tambi´en es integrable seg´ un Lebesgue y para dichas funciones, ambas integrales coinciden. Pero existen muchas funciones que son integrables seg´ un Lebesgue, pero no poseen integral Riemann. Una manera did´actica de entender la diferencia entre la integral de Riemann y la de Lebesgue, fue propuesta por el mismo Lebesgue. Supongamos que tenemos una canasta con billetes de $5, $10, $20, $50 y $100 y deseamos saber cuanto dinero tenemos. Podemos contar el dinero de dos formas diferentes: a) Sacamos los billetes de a uno y vamos sumando sus valores; b) Agrupamos los billetes por su valor y contamos cuantos tenemos en cada grupo, multiplicando luego dicha cantidad por el valor correspondiente y sumamos todo. Aunque ambas formas de contar nos va a dar el mismo resultado, es claro que Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

Integral de Lebesgue

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la segunda es m´as eficiente que la primera. La primera forma se corresponde con la idea de c´omo se calcula la integral de Riemann y la segunda con la de Lebesgue. Sin embargo, para funciones que no sean escalonadas (es decir, que no sean de las denominadas funciones simples), no es evidente que el m´etodo de Lebesgue de el mismo resultado que el de Riemann. Como parte de los desarrollos integrales de Lebesgue, el matem´atico invent´o el concepto de medida de Lebesgue, que extiende la idea de longitud de los intervalos a una clase mucho m´as grande de conjuntos, denominados conjuntos medibles (por lo tanto, las funciones simples son funciones que toman s´olo un n´ umero finito de valores y cada valor se toma en un conjunto medible). La t´ecnica de Lebesgue para ajustar una medida en una integral se generaliza facilmente a muchas otras situaciones, dando lugar al campo de la matem´atica conocido como Teor´ıa de la medida.

II.2.

Limitaciones de la integral de Riemann

La integral de Riemann s´olo esta definida en intervalos acotados y su extenci´on a intervalos infinitos s´olo se puede realizar como una integral impropia, haciendo: Z ∞ Z x f (t) dt = l´ım f (t) dt. x→∞

−∞

−x

Pero esta extensi´on no funciona de manera apropiada. Una propiedad b´asica, la invariancia por traslaciones, no es satisfecha. ¿Qu´e quiere decir ´esto?. La integral Riemann de una funci´on no deber´ıa cambiar si se traslada la funci´on hacia la derecha o hacia la izquierda. Por ejemplo, sea f (x) = 1 para x > 0, f (0) = 0, y f (x) = −1 para x < 0. Entonces, Z 0 Z x Z x f (t) dt = −x + x = 0 f (t) dt = f (t) dt + −x

−x

0

para todo x. Pero, si trasladamos f (x) hacia la derecha una unidad para tener f (x − 1), resulta Z x Z 1 Z x f (t − 1) dt = f (t − 1) dt + f (t − 1) dt = −(x + 1) + (x − 1) = −2 −x

−x

1

para todo x > 1.

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Integral de Lebesgue

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Como esto no es aceptable, podemos intentar otra alternativa: Z ∞ Z b f (t) dt = l´ım l´ım f (t) dt. −∞

a→−∞ b→∞

a

Sin embargo, si tratamos de integrar la funci´on anterior de esta forma, obtenemos +∞, dado que tomamos primero el limite para b tendiendo a infinito. Si cambiamos el orden de los l´ımites, tenemos −∞. Observamos que para que exista la integral, deber´ıamos obtener el mismo valor, independientemente del orden. Otro problemas es que la integral de Riemann no conmuta con l´ımites uniformes. Por ejemplo, si consideramos fn (x)R= 1/n en el [0, n] y 0 para cualquier otro x, tendremos que para todo n, < fn dx = 1. Por otra parte fn converge uniformente a Rcero, entonces la integral de l´ım fn es cero. En R consecuencia f dx 6= l´ım fn dx. Esto muestra que el importante criterio de intercambio de los signos de limite y de integral (propia) es falso cuando trabajamos con integrales impropias, haciendo a la integral Riemann no apropiada para muchas aplicaciones.

II.3.

La integral de Lebesgue

La integral de una funci´on f entre los l´ımites a y b puede interpretarse como el ´area bajo del gr´afico de f . Esto es f´acil de interpretar en funciones como polinomios, pero no es tan intuitivo para funciones m´as raras. En general, ¿para qu´e tipo de funciones es que tiene sentido pensar en el “´area bajo la curva”?. La respuesta a esta pregunta posee importancia te´orica y pr´actica. Recordemos que, conceptualmente, la integral de Riemann (conocida como la integral definida de f en el intervalo [a, b]) lo que hace es construir una sucesi´on de integrales de f´acil c´alculo que convergen a la integral de la funci´on dada. Esta definici´on es exitosa en el sentido que proporciona respuesta a muchos problemas ya resueltos y da resultados u ´ltiles para muchos otros problemas. Sin embargo, la integraci´on de Riemann, no interact´ ua adecuadamente cuando, al tomar los l´ımites de las sucesiones de funciones, el proceso se torna complicado de analizar. De principal importancia son, por ejemplo, en el estudio de las series de Fourier, en las transformadas de Fourier y otros temas. La integral de Lebesgue describe mejor c´omo y cu´ando es posible Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

Integral de Lebesgue

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tomar l´ımites bajo un signo de integral. La definici´on de Lebesgue considera una clase diferente de integrales, de f´acil c´alculo y permite calcular la integral de un espectro m´as amplio de funciones que la integral de Riemann. As´ı por ejemplo, la funci´on de Dirichlet (la funci´on caracter´ıstica de los m´ umeros racionales Q ), que vale 1 cuando el argumento es racional y 0 para cualquier otro valor, posee integral de Lebesgue, pero no posee integral de Riemann. Como recordar´a, la integral de Riemann de una funci´on f : [a, b] → IR se construye particionando el intervalo [a, b] en sub-intervalos {Ik }∞ k=1 y aproximando el valor de la funci´on f en cada intervalo por un valor constante Rb f (ξk∗ ), donde ξk∗ ∈ Ik . Entonces, la integral a f (x) dx se obtiene por aproximaci´on, como el l´ımite de la suma de las ´areas de los rect´angulos cuyas bases se corresponden con los intervalos Ik cuyas alturas son las correspondientes constantes, por exceso y por defecto, f (ξk∗ ). Esta idea de ir cortando en rebanadas el ´area bajo el gr´afico de una funci´on f es natural y puede realizarse de dos maneras posibles: una es como se hace para calcular la integral de Riemann, es decir con rebanadas paralelas al eje de las abscisas; la otra es cortando en forma paralela al eje de las ordenadas. Esta u ´ltima forma fue la adoptada por Lebesgue. Es as´ı que conforme a R +∞ Lebesgue, la integral −∞ f (x) dx, puede pensarse como ( ) Z +∞ X medida de los valores de x f (x) dx ≈ y. para los cuales f (x) = y . −∞

y∈IR

Observe que, la colecci´on de los “valores de x para los cuales f (x) = y” no es otra cosa que: f −1 ({y}) = {x ∈ IR : f (x) ∈ {y}}. Es por ´esto que en la teor´ıa de la integral de Lebesgue es de principal importancia la medida de conjuntos del tipo f −1 (A), siendo A ⊂ IR un subconjunto en el eje y. Obs´ervese que para calcular la integral de Riemann de una funci´on es necesario que esta tenga variaciones suaves. Esto no es necesario para la integral de Lebesgue (ver, mas adelante, ejemplo II.4.4).

II.4.

Construcci´ on de la integral de Lebesgue

En esta secci´on presentaremos una introducci´on a los principales conceptos y propiedades de la integral de Lebesgue, distinguiendo dos partes: Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

Integral de Lebesgue

35

1. Teor´ıa de conjuntos medibles y medidas de dichos conjuntos. 2. Teor´ıa de funciones medibles e integraci´on de dichas funciones.

II.4.1.

Teor´ıa de la medida

La teor´ıa de la medida fue creada originalmente para permitir un an´alisis detallado de la noci´on de longitud de subconjuntos de una recta real y m´as generalmente, de los conceptos de ´area y vol´ umen de subconjuntos en espacios Eucl´ıdeos. Proporciona una forma sistem´atica de responder a la pregunta sobre qu´e subconjuntos de IR tienen una longitud. En los desarrollos posteriores de teor´ıa de conjuntos se mostr´o que es imposible asignar una longitud a todos los subconjuntos de IR, de modo tal que se preserven las propiedades naturales de aditividad e invariancia por traslaciones. Esto sugiere que es un requisito escencial el tomar una clase adecuada de subconjuntos medibles. La integral de Riemann impl´ıcitamente utiliza la noci´on de longitud. En efecto, el elemento de c´alculo de la integral de Riemann es el rect´angulo [a, b] × [c, d], cuyo ´area se calcula como (b − a)(d − c). La cantidad b − a es la longitud de la base del rect´angulo y d − c es la altura del rect´angulo. Riemann pod´ıa s´olo utilizar rect´angulos planos para aproximar el ´area bajo una curva dado que no exist´ıa una teor´ıa adecuada para medir conjuntos mas generales. En el desarrollo de la teor´ıa en textos modernos (a partir de 1950), el enfoque de medida e integraci´on es axiom´atico. Esto quiere decir que una medida es cualquier funci´on µ definida en ciertos subconjuntos E de un conjunto X que satisfaga ciertas propiedades, tal como se vi´o en la sec. I.9. Se puede demostrar que dichas propiedades se verifican en muchos casos diferentes. Un ejemplo claro es un espacio de probabilidad, que describe nuestra incertidumbre sobre cierto experimento y consiste en el espacio muestral de las posibles salidas y una medida de probabilidad que cuantifica cuantas chances tiene de salir cada uno de ellos. Un evento es un conjunto de salidas del experimento. La medida de probabilidad obedece tres axiomas: es no negativa, su suma (o integral) es la unidad (normalizaci´on) y es aditiva para eventos disjuntos. La teor´ıa de los conjuntos medibles y de las medidas (incluyendo definiciones y construcci´on de las mismas) puede encontrarse en [5, 6, 7, 8].

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Integral de Lebesgue

II.4.2.

36

Integraci´ on

Trabajaremos en el siguiente contexto abstracto: Σ es una σ−´algebra de subconjuntos de X (ver def. I.8). µ es una medida no negativa en X. Por ejemplo, X es un espacio Eucl´ıdeo IRn o cierto subconjunto medible Lebesgue, X es el σ−´algebra de todos los subconjuntos medibles Lebesgue de Σ, y µ es una medida de Lebesgue. En teor´ıa de probabilidad, µ ser´ıa una medida de probabilidad del espacio de probabilidades X. En la teor´ıa de Lebesgue, las integrales est´an limitadas a la clase de funciones llamadas funciones medibles. Se puede demostrar que la definici´on de funci´on medible (def. I.11) es equivalente a requerir que la pre-imagen de cualquier subconjunto Borel de IR est´e en Σ. El conjunto de funciones medibles es cerrado bajo operaciones algebraicas. El l´ımite puntual de sucesiones: l´ım inf fk , k∈N

l´ım sup fk k∈N

| , consiste en funciones es medible si la sucesi´on original {fk }, con k ∈ N medibles. Construimos una integral Z f dµ X

para funciones medibles a valores reales f definidas en X en tres pasos: Funciones caracter´ıstica: Para asignar un valor a la integral de una funci´on caracter´ıstica1 de un conjunto medible S consistente con una medida dada µ, se elige: Z χS dµ = µ(S) 1

La funci´ on caracter´ıstica de S se indica como 1S o como χS (Chi sub S) y se define como χS (x) = 1 si x ∈ S y χS (x) = 0 si x ∈ / S.

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Integral de Lebesgue

37

Funciones simples2 : Extendemos por linealidad la definici´on anterior:  Z X X Z ak χSk dµ = ak χSk dµ, k

k

donde la suma es finita y los coeficientes ak son n´ umeros reales. A´ un cuando una funci´on simple puede escribirse de diferentes maneras como combinaci´on lineal de funciones caracter´ısticas, puede demostrarse que la integral simple ser´a la misma. Funciones no negativas: Sea f una funci´on medible no negativa en X que puede tomar el valor +∞, es decir, que toma valores en el semieje real positivo extendido. Definimos  Z Z s dµ : s ≤ f, s simple f dµ := sup X

X

Se demuestra que esta integral coincide con la precedente para el caso particular en que f sea una funci´on simple. Adem´as, coincide con la integral de Riemann si f es integrable Riemann. R Para algunas funciones E f dµ podr´a ser infinito. Funciones con signo: Para trabajar con funciones con signo necesitamos mas definiciones. Si f es una funci´on definida en un conjunto medible X (incluyendo ±∞), entonces se puede escribir: f = f + − f −, donde

 f (x) f (x) = 0  −f (x) f − (x) = 0 +

if f (x) > 0 en otro caso if f (x) < 0 en otro caso

2

Se define como funciones simples aquellas que pueden escribirse como una combinaci´on lineal finita de funciones caracter´ısticas de conjuntos disjuntos.

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Integral de Lebesgue

38

Observar que, tanto f + como f − son funciones no negativas. Obs´ervese tambi´en que |f | = f + + f − . Si

Z |f |dµ < ∞,

entonces se dice que f es integrable Lebesgue. En este caso, ambas integrales satisfacen Z Z + f dµ < ∞, f − dµ < ∞, y tiene sentido definir: Z

Z f dµ =

+

f dµ −

Z

f − dµ.

Es claro que las definiciones anteriores dan a la integral de Lebesgue todas las propiedades deseables. En el caso de funciones a valores complejos, basta considerar la parte real y la parte imaginaria, de manera separada.

II.4.3.

Interpretaci´ on intuitiva

Para lograr cierta intuici´on sobre los diferentes aspectos de la integraci´on, supongamos que se desea encontrar el volumen de una monta˜ na sobre el nivel del mar y que las fronteras de la monta˜ na est´an claramente marcados (ser´an la regi´on de integraci´on) El enfoque de Riemann (o Riemann-Darboux): cortar la monta˜ na en torres verticales, cada una con base cuadrada al nivel de mar. Tomar un par de puntos dentro de ese cuadrado, uno donde la altura sea m´axima y otro donde sea m´ınima. Asociar a esas alturas los vol´ umenes por exceso y por defecto obtenidos al multiplicar las alturas por el ´area del cuadrado de la base. La suma Riemann por exceso es la suma de los volumenes de las torres por exceso y de modo similar se tiene la suma Riemann por defecto. Si las sumas por exceso y por defecto convergen a un mismo valor, a medida que el lado de los cuadrados decrese a cero, entonces se dice que existe la integral de Riemann. El enfoque Lebesgue: Dibuje un mapa de nivel de la monta˜ na con tantas lineas de nivel como sea posible. Para cada contorno (o conjunto de nivel) Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

Integral de Lebesgue

39

con m´ınima altura, encuentre el ´area total encerrada (dentro de ese mapa) por ese conjunto de niveles, es decir encuentre la “medida”de ese conjunto de niveles. Multiplique dicha medida por la altura representada por el conjunto de niveles: el producto ser´a un sumando de la “suma de Lebesgue”. Luego encuentre el nivel o conjunto de niveles que est´an a la altura siguiente (menor altura de los niveles restantes). Calcule la medida del ´area encerrada por ellos. Multiplique la medida por la diferencia en altura con respecto al nivel anterior. Dicho producto ser´a otro sumando de la “suma de Lebesgue”. Repita este procedimiento para sucesivos niveles de contorno, cada vez mas altos, hasta que haya procesado el nivel de contorno m´as elevado. La suma resultante ser´a el generado lineal: cada contorno corresponde a una funci´on caracter´ıstica (del correspondiente conjunto de nivel). La suma puede definirse sumando los contornos inmediatos: dividiendo por la mitad las diferencias entre alturas sucesivas y recalculando la suma. La integral de lebesgue es el limite de dicho proceso.

II.4.4.

Ejemplo

Considere la funci´on caracter´ıstica de los n´ umeros racionales χQ . Se sabe que χQ no es continua en ninguna parte y no es derivable. χQ no es integrable Riemann en [0, 1]: Cualquier partici´on del [0, 1] en subintervalos contiene al menos un n´ umero racional y al menos un n´ umero irracional, dado que tanto el conjunto de n´ umeros racionales como el de irracionales son densos 3 en el conjunto de los n´ umeros reales. Entonces las sumas superiores ser´an todas iguales a 1 y las por defecto ser´an todas iguales a cero. Por lo tanto, al no coincidir las integrales superiores (por exceso) con las inferiores (por defecto), no existe la integral en el sentido Riemann de la funci´on χQ . χQ es integrable Lebesgue en [0, 1]: En efecto, dado que los n´ umeros racionales son numerables en el [0, 1], se tiene que 3

Un subconjunto A de un espacio topol´ogico X se dice denso en X si, intuitivamente, cualquier punto en X puede ser “bien aproximado” por puntos en A. Formalmente, A es denso en X si para cualquier punto x ∈ X, cualquier entorno de x contiene al menos un punto de A.

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Integral de Lebesgue

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Z χQ dµ = µ(Q ∩ [0, 1]) = 0. [0,1]

Consideremos la funci´on f que vale 1 para los racionales y -1 para los irracionales en el [0, 1]. Esta fuci´on es integrable Lebesgue en el [0, 1]. En efecto, observando que f toma s´olo dos valores 1 y -1, basta calcular la medida de los conjuntos Q∩[0, 1] y Qc ∩[0, 1] (donde con Qc indicamos IR−Q), de los racionales y de los irracionales en el [0, 1], respectivamente. Pero la teor´ıa de los n´ umeros reales indica que en el intervalo [0, 1] existe una cantidad numerable de n´ umeros racionales, y cada n´ umero racional constituye un “intervalo” de longitud nula (por tener s´olo 1 elemento), por lo tanto, la medida Lebesgue de Q∩[0, 1] es cero. La medida Lebesgue del [0, 1] es uno y dado que Qc ∩ [0, 1] = [0, 1] − Q ∩ [0, 1] y ambos intervalos son disjuntos, se tiene que la medida del Qc ∩ [0, 1] es 1. Por lo tanto: Z f (x) dx = (1).µ(Q∩[0, 1])+(−1).µ(Qc ∩[0, 1]) = (1) 0+(−1) 1 = −1. [0,1]

II.5.

M´ as limitaciones de la integral de Riemann

Con el advenimiento de las series de Fourier, surgieron a la luz diferentes problemas relacionados con las integrales, cuya soluci´on satisfactoria requer´ıa intercambiar los signos de sumatorias infinitas de funciones y los de integraci´on. Aparecieron dificultades relacionadas con las condiciones bajo las cuales las integrales  Z X XZ fk (x)dx y fk (x) dx k

k

eran iguales en el contexto Riemann. Existen tambi´en otras dificultades t´ecnicas con la integral de Riemann,vinculadas con el limite. Falla en la convergencia mon´ otona Tal como se mostrara antes, la funci´on caracter´ıstica de los racionales χQ no es integrable Riemann. En

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particular falla el teorema de la convergencia mon´otona4 . Para verlo, consideremos {ak } una sucesi´on de n´ umeros racionales en [0, 1]. Sea  1 if x = ak gk (x) = 0 de otro modo Entonces, hagamos fk = g1 + g2 + . . . + gk . La funci´on fk es cero en todo punto, excepto en un conjunto finito de puntos; entonces su integral Riemann es cero. La sucesi´on fk tambi´en es claramente no negativa y monotonamente decreciente5 a χQ , que no es integrable Riemann. Inadecuaci´ on de los intervalos no acotados La integral de Riemann s´olo puede integrar funciones en intervalos acotados. La extensi´on mas simple consiste en definir Z +∞ Z +a f (x)dx = l´ım f (x)dx −∞

a→∞

−a

cuando los l´ımites existen. De todos modos, esto destruye la deseable propiedad de invarianza ante traslaciones 6 . Con esta definici´on de la integral impropia (denominada el valor principal de Cauchy de la integral impropia entorno al cero), las funciones f (x) = (1 si x > 0, −1 para 4

Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue: Sea {fn } una sucesi´on de funciones medibles a varores reales en un espacio medible S. Si la sucesi´on convergeR para casi todo punto enRS y es dominada por una funci´on no negativa g ∈ L1 , entonces S l´ımn→∞ fn = l´ımn→∞ S fn . Decir que la sucesi´ on es “dominada” por g, equivale a decir que |fn (x)| ≤ g(x) para todo n y para casi todo x. Decir que cierta propiedad vale para casi todo x equivale a decir que el conjunto de los puntos x donde no se verifica dicha propiedad tiene medida cero. R Decir que g ∈ L1 , significa que S |g| < ∞. 5 La sucesi´ on {fk } es monotonamente decreciente si fk+1 ≤ fk , ∀k ∈ |N. Es monotonamente decreciente a χQ si a fk ≥ χQ , ∀ k y adem´as l´ımk→∞ fk = χQ 6 Sean f y g nulas fuera de un intervalo [a, b] e integrables Rieman. Se dice que la integral R +∞ es invariante ante traslaciones si f (x) = g(x + y) para alg´ un y, entonces −∞ f (x)dx = R +∞ g(x)dx −∞

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otro valor) y g(x) = (1 si x > 1, −1 para otro valor) son traslaciones una de la otra y sin embargo sus integrales impropias son diferentes: Z Z f (x)dx = 0, g(x)dx = −2.

II.6.

Teoremas integrales b´ asicos

La integral de Lebesgue no distingue entre funciones que s´olo difieren en un conjunto de µ−medida nula. Definici´ on II.1 Sean f y g dos funciones definidas sobre un subconjunto de un espacio medible E. Se dice que f y g son iguales para casi todo punto y se indica f = g pctp ( o a.e., del ingl´es almost every where), si y s´ olo si µ({x ∈ E : f (x) 6= g(x)}) = 0. Teorema II.1 Si f y g son funciones noR negativas R (que pueden tomar valores ±∞) tales que f = g pctp., entonces f dµ = g dµ. Teorema II.2 Si f y g sonRtales queR f = g pctp., entonces f es integrable si y s´ olo si g es integrable y f dµ = g dµ.

II.6.1.

Propiedades

La integral de Lebesgue posee las siguientes propiedades:

Linealidad Si f y g son funciones integrables y a y b son n´ umeros reales, entonces af + bg es integrable y Z Z Z (af + bg)dµ = a f dµ + b g dµ

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Monoton´ıa Si f ≤ g, entonces Z

Z f dµ ≤

g dµ.

Teorema II.3 (Teorema de la convergencia mon´ otona de Lebesgue) Sea {fk }k∈N una sucesi´ o n de funciones medibles no negativas tales que: | fk (x) ≤ fk+1 (x) ∀ x ∈ E, Entonces

Z l´ım

Z fk dµ =

k

| . ∀k ∈ N

sup fk dµ. k

Observaci´ on: El valor de cualquiera de las integrales puede ser infinito. Lema II.1 (Lema de Fatou) Sea {fk }k∈N on de funciones me| una sucesi´ dibles no negativas. Si f = l´ım inf fk , entonces Z Z f dµ ≤ l´ım inf fk dµ. k

Nuevamente, el valor de cualquiera de las integrales puede ser infinito. Teorema II.4 (Teorema de la convergenica Dominada de Lebesgue) Sea {fk }k∈N una sucesi´on de funciones medibles con l´ımite puntual f . Si | existe una funci´on integrable g tal que |fk | ≤ g para todo k, entonces f es integrable y Z Z l´ım k

II.7.

fk dµ =

f dµ.

T´ ecnicas de demostraci´ on

Para ilustrar algunas de las t´ecnicas de demostraci´on utilizadas en la teor´ıa integral de Lebesgue, bosquejarmeos la demostraci´on del teorema de la convergencia mon´otona de Lebesgue (Teorema II.3). on no decreciente de funciones medibles no negaSea {fk }k∈N | una sucesi´ tivas y sea f = sup fk . k∈N

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Por la propiedad de monoton´ıa de la integral, se tiene que: Z Z f dµ ≥ l´ım fk dµ, k

y el l´ımite de la derecha existe por la monoton´ıa de la sucesi´on {fk }. Probaremos ahora la desigualdad en el sentido contrario (que tambi´en resulta del Lema de Fatou), esto es Z Z f dµ ≤ l´ım fk dµ. k

De la definici´on de integral resulta que existe una sucesi´on no decreciente {gn } de funciones simples no negativas que convergen puntualmente pctp a f y tales que: Z Z l´ım gk dµ = f dµ. k

| , Por lo tanto, es suficiente demostrar que para cada k ∈ N Z Z gk dµ ≤ l´ım fj dµ. j

Mostremos que si g es una funci´on simple y l´ım fj (x) ≥ g(x) pctp, j

entonces Z

Z fj dµ ≥

l´ım j

gdµ.

Partiendo la funci´on g en partes de valores constantes, esto se reduce al caso en que g es la funci´on caracter´ıstica de un conjunto. Por lo tanto, basta demostrar que: Proposici´ on II.1 Sea X un conjunto medible y sea {fk }k∈N on | una sucesi´ no decreciente de funciones medibles en Σ tales que l´ım fn (x) ≥ 1 pctp n

x ∈ X.

Entonces, Z fn dµ ≥ µ(X).

l´ım n

X

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Para demostrar este resultado, fije  > 0 y definamos la sucesi´on de conjuntos medibles Bn = {x ∈ X : fn (x) ≥ 1 − }. | , Por la monoton´ıa de la integral, sigue que ∀n ∈ N Z Z µ(Bn )(1 − ) = (1 − )χBn dµ ≤ fn dµ.

Por hip´otesis de construcci´on: [

Bi = X,

i

salvo un conjunto de medida nula. Entonces, por ser µ una medida, es numerablemente aditiva y entonces: Z −1 fn dµ. µ(X) = l´ım µ(Bn ) ≤ l´ım(1 − ) n

n

X

Como esta propiedad vale para cualquier n´ umero positivo , sigue la tesis.

II.8.

Formulaciones alternativas

R Si f es no-negativa, entonces f dµ es precisamente el ´area bajo la curva medida con la medida producto µ × λ, donde λ es la medida de Lebesgue de IR. Se puede intentar esquivar la teor´ıa de medida. La integral de Riemann existe para cualquier funci´on continua f de soporte compacto. Entonces, utilizamos an´alisis funcional para obtener la integral de funciones mas generales. Sea Cc el espacio de todas las funciones continuas a valores reales, con soporte compacto7 en IR. Definamos la norma en Cc por: 7

Funciones con soporte compacto en X son aquellas cuyo soporte es un subconjunto compacto de X. El soporte de una funci´ on a valores reales f definida en un conjunto X, se define como el subconjunto de X en el cual f no es cero. La situaci´on mas com´ un ocurre cuando X es un espacio topol´ ogico (tal como la recta real) y f es una funci´on continua. En ese caso, el soporte de f se define como el menor subconjunto cerrado de X fuera del cual f es cero. El soporte topol´ ogico es la clausura del conjunto soporte te´orico. En teor´ıa de probabilidad, el soporte de una distribuci´on de probabilidad puede pensarse

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Z kf k =

|f (x)|dx.

Entonces Cc es un espacio vectorial normado (ver sec. I.5) (y en particular, es un espacio m´etrico). Todos los espacios m´etricos poseen completitud (I.5), sea por lo tanto L1 la completitud de Cc . Este espacio es isom´orfo con el espacio de Lebesgue de las funciones integrables (conjuntos m´odulo de medida R cero). M´as a´ un, la integral de Riemann .dx define un funcional continuo en R 1 Cc que es denso en L , por lo tanto .dx posee una u ´nica extensi´on a todo 1 L . Dicha integral es precisamente, la integral de Lebesgue. El problema con este enfoque es que las funciones integrables est´an representadas como elementos de una completitud abstracta y no es trivial mostrar como esos elementos est´an definidos. En particular, es dificil demostrar la relaci´on entre los l´ımites puntuales de sucesiones de funciones y la integral. Otro enfoque lo ofrece la integral de Daniell o la variante propuesta por Bourbaki, frecuentemente denominada como el enfoque a la integraci´on de la medida de Radon.

Bibliograf´ıa [1] R.M. Dudley. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brookes/Cole, 1989. [2] G.B. Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. John Wiley & Sons, 1999. [3] Paul Halmos. Measure Theory. D. van Nostrand Company, Inc., 1950. Un cl´asico. como la clausura del conjunto de posibles valores de una variable aleatoria que posea dicha distribuci´ on. Existen algunas sutilezas cuando se trabaja con distribuciones continuas. Se dice que una funci´ on tiene soporte compacto si el conjunto donde no es nula conforma un conjunto cerrado y acotado. Por ejemplo, si se tiene una funci´on f (x) cualquiera, se define el soporte de ´esta como sigue: supp f = {x ∈ R|f (x) 6= 0}. Si el supp de f es un conjunto cerrado y acotado, entonces es compacto.

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[4] Lebesgue. Bulletin de la societ´e mathematique de France, 35:212, 1907. 31 [5] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 3rd edition, 1976. 35 [6] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. ce/Engineering/Math, 3rd edition, 1986. 35

McGraw-Hill Scien-

[7] Walter Rudin. Functional Analysis. McGraw Hill, 1991. 35 [8] Wikipedia, October 2006. http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_ integral. 35

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Se˜ nales anal´ıticas y frecuencia instant´anea

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Cap´ıtulo III Se˜ nales anal´ıticas y frecuencia instant´ anea Cuando queremos describir una se˜ nal simult´aneamente en tiempo y en frecuencia, la localizaci´on m´as natural deseable es la que dar´ıa sentido a un contenido espectral instant´aneo. Existe una cierta contradicci´on entre estos dos t´erminos, dado que una frecuencia en el sentido de Fourier est´a matem´aticamente ligado a un comportamiento global. Sin embargo, desde el punto de vista biol´ogico, sabemos que dicha localizaci´on tambi´en posee un sentido f´ısico. Es necesario definir una “frecuencia” en este nuevo contexto, diferente de la frecuencia en el sentido de Fourier.

III.1.

Frecuencia Instant´ anea

A los efectos de definir una frecuencia instant´ anea es u ´til apoyarse en el prototipo de se˜ nal asociado a la idea de r´egimen permanente y de estabilidad a lo largo del tiempo: la onda monocrom´atica [1]. Esta se escribe de una u ´nica forma (a excepci´on de una fase pura) como: s(t) = a cos(2πν0 t), expresi´on en la cual las constantes a y ν0 se interpretan como la amplitud y la frecuencia. Esta u ´ltima mide la rapidez de la evoluci´on del argumento en la funci´on coseno: es su derivada temporal (salvo el factor 1/2π). Se puede pensar en extender este punto de vista a situaciones evolutivas en las cuales la constante a tambi´en dependa del tiempo y introducir en Transformada Ondita-Teor´ıa y Aplicaciones - 2007

Se˜ nales anal´ıticas y frecuencia instant´anea

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el coseno un argumento cuya derivada sea tambi´en funci´on del tiempo, reescribiendo la anterior de modo mas general, como: s(t) = a(t) cos(φ(t)). Sin embargo, una notaci´on de este tipo no es u ´nica, y a la inversa del caso de la onda monocrom´aica ideal, existe una infinidad de pares ordenados (a(t), φ(t)) para representar una misma se˜ nal dada s(t). En efecto, basta tomar una funci´on arbitraria b(t), tal que 0 < b(t) < 1 y re-escribir: s(t) = a(t) cos(φ(t)) =

a(t) b(t) cos(φ(t)), b(t)

siendo entonces s(t) = a0 cos(φ0 (t)), con a0 (t) = a(t)/b(t) y φ0 (t) = arcos(b(t) cos(φ(t))). Una forma de solucionar este problema es reconsiderar la onda monocrom´atica antes de generalizar. Una onda monocrom´atica real puede ser vista como la parte real de una exponencial compleja: a cos(2πν0 t) = 0, cero si ω = 0 y -1 si ω < 0. H (ω) = H(ω).ˆ Como sc s(ω), se aprecia que el efecto de la transformada de Hilbert es correr π/2 grados las componentes de frecuencia negativa de s(t) y en −π/2 las componentes de frecuencias positivas.

Bibliograf´ıa [1] P. Flandrin. Temps-Fr´equence. Herm`es, Par´ıs, 1993-1998. [2] P. Flandrin. Time-Frequency/Time-scale Analysis (Wavelet Analysis and Its Applications). Academic Press, UK, 1998.

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