Notas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos

R. Urbán

Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 en la que el coeficiente a debe ser diferente de cero. Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y variables. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Si por ejemplo tenemos una ecuación lineal de primer grado como 4 − 2𝑥 = 0. El valor de 𝑥 que hace que esta ecuación se cumpla es 2 ya que 4 − 2(2) = 0; por la tanto, 2 es la solución de la ecuación o el valor de la variable que hace cierta la igualdad. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Solución de ecuaciones cuadráticas Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde a, b, y c son números reales. Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas: Ejemplos: 9x2 + 6x + 10 = 0 3x2 – 9x + 0 = 0 –6x2 + 0x + 10 = 0

a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está) a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: Solución por el método de completar al cuadrado. Se llama método de completar al cuadrado porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y además en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo: (𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 𝑛 En la cual el primer miembro de la ecuación (𝑎𝑥 + 𝑏)2 , es el cuadrado de la suma de un binomio. Antes de explicar el método, recordemos la ecuación del binomio cuadrado de newton, el (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 cual nos será de utilidad. 1

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Entonces, si tenemos una ecuación del tipo 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 vamos a tratar de rescribirla en forma de un binomio cuadrado y después podremos obtener los valores de x que satisfacen la ecuación. Por ejemplo, si tenemos la ecuación; 𝑥 2 + 8𝑥 = 20 que también puede escribirse 𝑥 2 + 8𝑥 − 20 = 0

Al primer miembro de la ecuación 𝑥 2 + 8𝑥 le falta un término para completar el binomio cuadrado de newton. Tenemos que completar cada término del binomio, por ejemplo así; •

• • • •

Vamos a completar al cuadrado, a partir del primer miembro de la ecuación; 𝑥 2 + 8𝑥. Es decir, encontramos el término que nos hace falta a partir de la formula general del binomio cuadrado de Newton (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 . Este 8 término es ( )2 = 42 . Este término se obtiene de dividir entre dos el coeficiente 2

de la variable 𝑥 y el resultado elevarlo al cuadrado. Sumamos 42 ambos miembros de la ecuación y tenemos 𝑥 2 + 8𝑥 + 42 = 20 + 42 Al factorizar nos queda (𝑥 + 4)2 = 36, Despejamos la variable 𝑥 y resolvemos la ecuación, �(𝑥 + 4)2 = ±√36 El signo de ± se debe a que (6)2 = 36, lo mismo que (−6)2 = 36 Finalmente tenemos dos ecuaciones 𝒙 + 𝟒 = 𝟔 𝒚 𝒙 + 𝟒 = −𝟔 Que al despejar la variable x tenemos 2 valores En la primera ecuación obtenemos 𝑥 = 6 − 4 ⇒ 𝒙 = 𝟐 y en la segunda 𝑥 = −6 − 4 ⇒ 𝒙 = −𝟏𝟎 que son las raíces, o las soluciones de la ecuación.

Se dice que se completó el cuadrado porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión 𝑥 2 + 8𝑥, que es el cuadrado perfecto del binomio. Ejemplos:

a) Obtener las raíces de la ecuación, 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟎 De acuerdo al procedimiento anterior:

• A partir del primer miembro de la ecuación; es decir, 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 vamos a 6 completar al cuadrado. El término que falta es entonces ( )2 = 32 . 2

• Sumar en ambos lados de la ecuación el término que falta 32 . 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 16 + 9 • Factorizamos y entonces tendremos; 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 25 (𝑥 + 3)2 = 25 Completa al cuadrado. • El siguiente paso es resolver la ecuación, despejar 𝑥. �(𝑥 + 3)2 = ±√25

2

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• Finalmente al anular las raíces tenemoslados ecuaciones que 2 son: Que al despejar variable x tenemos valores. 𝒙+𝟑= 𝟓 En la primera ecuación obtenemos 𝑥 = 5 − 3 entones 𝒙 = 𝟐 𝒙 + 𝟑 = −𝟓 y en la segunda 𝑥 = −5 − 3. La segunda raíz es 𝒙 = −𝟖 • (2, −8) son las raíces de la ecuación o los valores que hacen cero la ecuación original • Finalmente, con estos valores podemos Factorizar la ecuación y rescribirla así (𝑥 − 2)(𝑥 + 8) = 0

b) Resolver la ecuación 𝒙𝟐 – 𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎 • A partir de 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 vamos a completar al cuadrado. El término que falta es −6

( ) 2 = 32 . 2

• Sumar 9 a ambos lados de la igualdad. 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = −8 + 9  Factorizamos y entonces tendremos; (𝑥 − 3)2 = 1 que completa el cuadrado. • El siguiente paso es resolver la ecuación, despejar 𝑥. �(𝑥 − 3)2 = ±√1 • Finalmente al anular las raíces tenemos dos ecuaciones que son: 𝒙−𝟑= 𝟏 Que al despejar la variable x tenemos 2 valores.  En la primera ecuación 𝑥 = 1 + 3 entones 𝒙 = 𝟒 𝒙 − 𝟑 = −𝟏 y en la segunda 𝑥 = −1 + 3. La segunda raíz es 𝒙 = 𝟐 • (4, 2) son las raíces de la ecuación o los valores que hacen cero la ecuación original • Finalmente, con estos valores podemos Factorizar la ecuación y rescribirla así (𝑥 − 4)(𝑥 − 2) = 0

Una fórmula general de solución

Podemos deducir una formula general a partir de la ecuación de segundo grado 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑏

Aplicamos el procedimiento anterior. • • •

2

𝑏 𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑥2 + 𝑥 + 𝑎 𝑏

2

Factorizamos y entonces tendremos; �𝑥 + 2𝑎� = cuadrado.

𝑏2

4𝑎2

𝑎

2

Para completar al cuadrado. El término que falta es � 2 � = 4𝑎2. Sumar a ambos lados de la igualdad.

𝑐

𝑥2 + 𝑥 + = 0

En primer rescribimos la ecuación general de la forma

𝑐

=− +

−4𝑎𝑐+𝑏 2

4𝑎2

𝑎

𝑏2

4𝑎2

que completa el

3

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•

2

𝑏 −4𝑎𝑐+𝑏 Ahora despejamos 𝑥. ��𝑥 + 2𝑎� = ±� 4𝑎2

R. Urbán 2

𝑏 −4𝑎𝑐 + 𝑏 2 𝑏 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 � � �𝑥 + � = ± ⟹ 𝑥=− ± ⇒ 𝑥 2𝑎 2𝑎 4𝑎2 4𝑎2 =−

√𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑏 ± 2𝑎 2𝑎

𝒙𝟏,𝟐 =

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

Que es la formula general que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado. Al igual que antes, esta formula genera dos respuestas: Una para el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. De esta manera, la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado. Solo tendremos que identificar los valores de a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula. Dependiendo de si contamos en la ecuación con todos los valores de a, b, c; tendremos una ecuación completa. Si falta alguno de ellos entonces será incompleta. Así, una ecuación de segundo grado completa es

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Una ecuación de segundo grado es incompleta si ambos o alguno de los coeficientes 𝑏, 𝑐 son cero. En caso de que el coeficiente 𝑎 sea cero tendríamos la ecuación 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, que no es una ecuación de segundo grado. Ejemplo: Resolver la ecuación 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟑 = 𝟎

Los valores de los coeficientes son 𝑎 = 2, 𝑏 = 1 𝑦 𝑐 = −3. Los sustituimos en la formula general: 𝑥1,2 =

−1 ± �12 − 4(2)(−3) −1 ± √25 −1 ± 5 = = 2(2) 4 4

Las dos soluciones, positiva y negativa son, 𝑥1 =

−1 + 5 =1 4

𝑦

𝑥2 =

−1 − 5 3 =− 4 2

Las soluciones a la ecuación 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 son 3

podemos factorizar la ecuación; (𝑥 − 1) �𝑥 + 2� = 0

3

(𝑥1 , 𝑥2 ) = (1, − ). O también 2

4

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También podemos resolver por métodos gráficos de la siguiente forma, para el ejercicio anterior; 1. Rescribimos la ecuación 𝟐𝒙𝟐 = 𝟑 − 𝒙 2. Dividimos la ecuación en dos partes, 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 y la parte derecha 𝒚 = 𝟑 − 𝒙 3. Graficamos estas funciones. Las soluciones son los valores der las abscisas en los puntos de intersección de la parábola y la recta. Para nuestro ejercicio son los valores de 𝑥 = 1 y 3 𝑥 = −2

Discriminante

La expresión √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 en la formula general debe ser mayor que cero, para obtener soluciones reales. El radicando 𝑏 2 − 4𝑎𝑐, es llamado discriminante y usualmente se simboliza por △. El signo de este discriminante determina el tipo de soluciones que tiene la ecuación, y que se recomienda obtener antes de intentar la solución general. Entonces, Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee: • • •

𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0, Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones diferentes (𝑥1 , 𝑥2 ). 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, Δ es negativo, la ecuación no tiene solución real, en ℝ 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0, Δ es cero, la ecuación tiene una solución, 𝑥1 = 𝑥2

Ejemplos 1) Resolver: 5𝑥 2 = 13𝑥 + 6 En primer lugar se pasa la ecuación a la forma conocida. −5𝑥 2 + 13𝑥 + 6 = 0 Los valores de los coeficientes son; 𝑎 = −5, 𝑏 = 13 𝑦 𝑐 = 6, El valor del discriminante es, 𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 132 − 4(−5)(6) = 289 La ecuación tiene dos soluciones Sustituimos los coeficientes en la formula general y tenemos, 5

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−13 ± √289 −13 ± 17 = 2(−5) −10 −13+17 2 −13−17 Tenemos dos raíces 𝑥1 = −10 = − 5 y 𝑥2 = −10 = 3 𝑥1,2 =

2

Estos valores satisfacen la ecuación −𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟔 = 𝟎; (𝑥1 , 𝑥2 ) = ( − 5 , 3). 3

Y si Factorizamos tendríamos la ecuación equivalente; (𝑥 − 1) �𝑥 + 2� = 0

2) 2𝑥² + 4𝑥 + 2 = 0 Los valores de los coeficientes son; 𝑎 = 2, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = 2. 𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 42 − 4(2)(2) = 0 La ecuación tiene una solución. −4 = −1 𝑥1,2 = 2(2) La solución es (𝑥1 , 𝑥2 ) = ( −1, −1) y la ecuación equivalente (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = 0

3) 5𝑥² + 𝑥 + 4 = 0, Solution is: (1/(10))i√(79)-(1/(10)),-(1/(10))i√(79)-(1/(10)) Los valores de los coeficientes son; 𝑎 = 5, 𝑏 = 1 𝑦 𝑐 = 4. 𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4(5)(4) = −79 La ecuación no tiene solución en los números reales.

4) Una empresa electrónica tiene dos máquinas A y B que juntas producen un lote de memorias para computadoras en 10 minutos. La máquina B tarda 4 minutos mas que la máquina A en completar el lote de piezas. ¿Cuánto tiempo tarda cada una en producir un lote de piezas? Tiempo que tarda A es x 1 𝑙𝑜𝑡𝑒 Tiempo que tarda B es y 𝐴 + 𝐵 = 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Sustituimos en la suma y tendremos la ecuación 1 1 1 + = 𝑥 𝑥 + 4 10 Modificamos esta ecuación a una forma conocida;

𝐴=

1 𝑙𝑜𝑡𝑒 𝑥

𝑦

1

𝐵 = 𝑥+4

𝑥+4+𝑥 1 2𝑥 + 4 1 = ⟹ = ⟹ 10(2𝑥 + 4) = 𝑥(𝑥 + 4) 𝑥(𝑥 + 4) 10 𝑥(𝑥 + 4) 10 20𝑥 + 40 = 𝑥 2 + 4𝑥 40 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 20𝑥

Finalmente la ecuación nos queda 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 − 𝟒𝟎 = 𝟎 Los valores de los coeficientes son; 𝑎 = 1, 𝑏 = −16 𝑦 𝑐 = −40. 𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = (−16)2 − 4(1)(−40) = 416 La ecuación tiene dos soluciones. 𝑥1,2 =

16 ± √416 16 ± 4√26 = 2(1) 2

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16 + 4√26 16 − 4√26 = 8 + 2√26 𝑦 𝑥2 = = 8 − 2√26 2 2 La solución es (𝑥1 , 𝑥2 ) = ( 8 + 2√26 , 8 − 2√26 ) 𝑥1 =

Propiedades de la solución de la ecuación de 2º grado.

Sabemos que la ecuación de segundo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, tiene dos soluciones;

• •

•

Suma. 𝑠 = 𝑥1 + 𝑥2 =

𝒙𝟏,𝟐

−𝒃+�𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄

Producto 𝑝 = 𝑥1 ∗ 𝑥2 = ( =−

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟐𝒂 2𝑎

−𝒃+�𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄

+

−𝒃−�𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 2𝑎

−𝒃−�𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄

)(

)=

=−

2𝑏

2𝑎

=−

2𝑎 2𝑎 (−𝑏)(−𝑏)+𝑏�𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄−𝒃�𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄+�𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄��𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄� 4𝑎2

𝑏

𝑎

=

𝒃𝟐 + 𝒃√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 − 𝒃√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 − 𝒃𝟐 + 𝟒𝒂𝒄 4𝑎𝑐 𝑐 = 2= 4𝑎2 4𝑎 𝑎 Complemento. Si la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 dividimos la ecuación de segundo grado entre 𝑎. 𝒃 𝒄 𝒙𝟐 + 𝒙 + = 𝟎 𝒂 𝒂 Sustituyendo los valores de la suma y el producto tenemos. 𝒙𝟐 − 𝒔𝒙 + 𝒑 = 𝟎 =

Que es la forma canónica de la ecuación de segundo grado.

Ejercicios. 1) 2𝑥² + 𝑥 − 3 = 0,

2) 2𝑥² + 3𝑥 − 5 = 0, 3) 2𝑥² + 𝑥 + 3 = 0, 4) 5𝑥² + 3𝑥 = 0, 5) 𝑥² + 5𝑥 + 4 = 0, 6) 2𝑥² − 𝑥(4 + 𝑥) − 8 = 0, 7) 𝑥² + 7𝑥 = 0, 8) (3𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0, 9) 3𝑥² + 6𝑥 + 3 = 0, 10) 𝑥² + 5𝑥 − 6 = 0, 11) 𝑥² − 4𝑥 − 21 = 0, 12) 𝑥² + 12𝑥 + 36 = 0,

Solución

3

(1, − 2) 5

Solución (1, − 2) Sin solución en los reales 3 Solución (5 , 0) Solución (−1, −4) Solución (2√3 + 2, 2 − 2√3) Solución (−7, 0) 1 Solución (3, − 3) Solución (−1, −1) Solución (1, −6) Solución (7, −3) Solución (−6, −6) 7

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Bibliografía. Draper Jean E. y Klingman Jane S. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Harla, México, 1976. Arya Jagdish C., Lardner Robin W., MATEMÁTICAS APLICADAS a la administración y a la economía. Quinta edición Prentice_hall, México 1993.

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