E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 8 EDOs de orden superior Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña

Curso 2006/07 Noviembre 2006, Versión 1.1

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 1. 4y 00 + y 0 = 0. 2. y 00 − y 0 − 6y = 0. 3. y 00 + 8y 0 + 16y = 0. 4. 12y 00 − 5y 0 − 2y = 0. 5. y 00 + 9y = 0. 6. y 00 − 4y 0 + 5y = 0. 7. 3y 00 + 2y 0 + y = 0.

(1.1) 4y 00 + y 0 = 0. Ecuación característica 4m2 + m = 0, m (4m + 1) = 0, raíces m = 0,

m = −1/4,

soluciones y1 y2 Solución general

= e0x = 1, 1 = e− 4 x . 1

y = c1 + c2 e− 4 x ,

c1 , c2 ∈ R.

(1.2) y 00 − y 0 − 6y = 0. Ecuación característica m2 − m − 6 = 0, 1

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

m=

1±

2

( √ 6 1±5 1 + 24 2 = 3, = = 2 2 − 42 = −2.

Sistema fundamental de soluciones y1 y2

= e3x , = e−2x .

Solución general y = c1 e3x + c2 e−2x ,

c1 , c2 ∈ R.

(1.3) y 00 + 8y 0 + 16y = 0. Ecuación característica m2 + 8m + 16 = 0, √ 8 −8 ± 64 − 64 = − = −4 m= 2 2 Sistema fundamental de soluciones

(doble) .

= e−4x , = xe−4x .

y1 y2 Solución general

y = c1 e−4x + c2 xe−4x ,

c1 , c2 ∈ R.

(1.4) 12y 00 − 5y 0 − 2y = 0. Ecuación característica 12m2 − 5m − 2 = 0, √ √ 5 ± 25 + 96 25 + 4 · 2 · 12 = 24 24 ( √ 16 2 5 ± 121 5 ± 11 24 = 3 , = = 6 24 24 − 24 = −1/4.

5±

m = =

Sistema fundamental de soluciones y1 y2 Solución general

2

2

= e 3 x, 1 = e− 4 x . 1

y = c1 e 3 x + c2 e− 4 x , (1.5) y 00 + 9y = 0. Ecuación característica m2 + 9 = 0, m2 = −9,

c1 , c2 ∈ R.

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

3

√ m = ± −9 = ±3i. Tenemos dos raíces complejas conjugadas (simples) z = α ± βi, con α = 0 y β = 3. Las soluciones son del tipo y1 y2

= eαx cos βx, = eαx sin βx.

Solución general y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx) , y = c1 cos 3x + c2 sin 3x,

c1 , c2 ∈ R.

(1.6) y 00 − 4y 0 + 5y = 0. Ecuación característica m2 − 4m + 5 = 0, m = =

√ √ 16 − 20 4 ± −4 = 2 2 4 ± 2i = 2 ± i. 2 4±

Sistema fundamental de soluciones = e2x cos x, = e2x sin x.

y1 y2 Solución general

y = e2x (c1 cos x + c2 sin x) ,

c1 , c2 ∈ R.

(1.7) 3y 00 + 2y 0 + y = 0. Ecuación característica 3m2 + 2m + 1 = 0, m = =

√ √ 4 − 12 −2 ± −8 = 6√ √6 −2 ± 2 2i 2 1 =− ± i. 6 3 3 −2 ±

Sistema fundamental de soluciones −x 3

Ã√ ! 2 cos x , 3

−x 3

Ã√ ! 2 sin x . 3

y1 = e

y2 = e

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

4

Solución general −x 3

y=e

Ã√ ! à √ !# 2 2 c1 cos x + c2 sin x , 3 3

"

c1 , c2 ∈ R. ¤

Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 1. y 000 − 4y 00 − 5y 0 = 0. 2. y 000 − 5y 00 + 3y 0 + 9y = 0. 3.

d3 u d2 u + 2 − 2u = 0. dt3 dt

4. y 000 + 3y 00 + 3y 0 + y = 0. 5. y (4) + y 000 + y 00 = 0. 6. 16 7.

d4 y d4 y + 24 + 9y = 0. dx4 dx4

d4 u d3 u d2 u du d5 u + 5 4 − 2 3 − 10 2 + + 5u = 0. 5 dr dr dr dr dr

(2.1) y 000 − 4y 00 + 5y 0 = 0. Ecuación característica m3 − 4m2 − 5m = 0, ¡ ¢ m m2 − 4m − 5 = 0,

m = 0,

m2 − 4m − 5 = 0,

m2 − 4m − 5 = 0, ( √ √ 10 4 ± 36 4±6 4 ± 16 + 20 2 = 5, = = = m= 2 2 2 − 22 = −1. Raíces m = 0,

m = 5,

m = −1.

Sistema fundamental de soluciones y1 y2 y3

= e0x = 1, = e5x , = e−x .

Solución general y = c1 + c2 e5x + c3 e−x ,

c1 , c2 , c3 ∈ R.

(2.2) y 000 − 5y 00 + 3y 0 + 9y = 0.

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

5

Ecuación característica m3 − 5m2 + 3m + 9 = 0. Intentamos con los divisores del término independiente ±1, ±3, ±9. Para m = −1, obtenemos (−1)3 − 5(−1)2 + 3(−1) + 9 = −1 − 5 − 3 + 9 = 0. Descomponemos usando la regla de Ruffini 1 −1)

Resolvemos

1

−5 −1 −6

3 6 9

9 −9 0

¡ ¢ m3 − 5m2 + 3m + 9 = (m + 1) m2 − 6m + 9 .

m2 − 6m + 9 = 0, √ 6 6 ± 36 − 36 = = 3 (doble) . m= 2 2 Sistema fundamental de soluciones y1 y2 y3

= e−x , = e3x , = xe3x .

Solución general y = c1 e−x + c2 e3x + c3 xe3x ,

c1 , c2 , c3 ∈ R.

(2.3) d3 u d2 u + 2 − 2u = 0, dt2 dt 000 u + u00 − 2u = 0. Ecuación característica m3 + m2 − 2 = 0. Observamos que m = 1 es solución. Descomponemos usando la regla de Ruffini 1 1) 1

Resolvemos

1 1 2

0 2 2

−2 2 0

¡ ¢ m3 + m2 − 2 = (m − 1) m2 + 2m + 2 . m2 + 2m + 2 = 0,

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

6

√ √ −2 ± −4 −2 ± 2i 4−8 = = = −1 ± i. m= 2 2 2 Raíces de la ecuación característica −2 ±

m = 1,

m = −1 ± i.

Sistema fundamental de soluciones y1 y2 y3

= et , = e−t cos t, = e−t sin t.

Solución general y = c1 et + e−t (c2 cos t + c3 sin t) ,

c1 , c2 , c3 ∈ R.

(2.4) y 000 + 3y 00 + 3y 0 + y = 0. Ecuación característica m3 + 3m2 + 3m + 1 = 0, 3

(m + 1) = 0. Raíces m = −1,

(triple).

Sistema fundamental de soluciones y1 y2 y3

= e−x , = xe−x , = x2 e−x .

Solución general y = c1 e−x + c2 xe−x + c3 x2 e−x ,

c1 , c2 , c3 ∈ R.

(2.5) y (4) + y 000 + y 00 = 0. Ecuación característica m4 + m3 + m2 = 0, ¢ ¡ m2 m2 + m + 1 = 0.

Resolvemos

m2 + m + 1 = 0,

m = =

√ √ −1 ± −3 1−4 = 2 √ √2 1 3 −1 ± 3 i =− ± i. 2 2 2 −1 ±

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

7

Raíces de la ecuación característica m = 0

(doble) , √ 1 3 m = − ± i (complejas conjugadas, simples) . 2 2

Sistema fundamental de soluciones = e0 = 1, = xe0 = x,

y1 y2

Ã√ ! 3 = e cos x , 2 Ã√ ! 3 − 12 x = e sin x . 2 − 12 x

y3 y4 Solución general y = c1 + c2 x + e

− 12 x

Ã√ ! à √ !! 3 3 c3 cos x + c4 sin x , 2 2

Ã

c1 , c2 , c3 , c4 ∈ R.

(2.6) 16

d4 y d2 y + 24 + 9y = 0, dx4 dx2

16y (4) + 24y (2) + 9y = 0. Ecuación característica 16m4 + 24m2 + 9 = 0. Se trata de una ecuación bicuadrada, realizamos el cambio t = m2 16t2 + 24t + 9 = 0,

t = =

√ √ −24 ± 576 − 576 242 − 4 · 16 · 9 = 32 32 −24 8·3 3 =− =− (doble). 32 8·4 4 −24 ±

3 m2 = − , 4 r 3 m=± − , 4 √ 3 i (dobles). m=± 2 Sistema fundamental de soluciones Ã√ ! 3 x , y1 = cos 2

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

y2 y3 y4

8

Ã√ ! 3 = x cos x , 2 Ã√ ! 3 = sin x , 2 Ã√ ! 3 = x sin x . 2

Solución general Ã√ ! Ã√ ! Ã√ ! Ã√ ! 3 3 3 3 x + c2 x cos x + c3 sin x + c4 sin x , cj ∈ R. y = c1 cos 2 2 2 2 (2.7) d3 u d2 u du d5 u 5d4 u + − 2 3 − 10 2 + + 5u = 0. 5 4 dr dr dr dr dr Ecuación característica m5 + 5m4 − 2m3 − 10m2 + m + 5 = 0. Descomponemos usando la regla de Ruffini 1 1) 1 1) 1 −1)

1

−1)

1

5 1 6 1 7 −1 6 −1 5

−2 6 4 7 11 −6 5 −5 0

−10 4 −6 11 5 −5 0

1 −6 −5 5 0

5 5 0

Raíces m=1

(doble) ,

m = −1

(doble) ,

Sistema fundamental de soluciones y1 y2 y3 y4 y5

= = = = =

m = −5.

er , rer , e−r , re−r , e−5r .

Solución general y = c1 er + c2 rer + c3 e−r + c4 re−r + c5 e−5r , Ejercicio 3 Resuelve el problema de valor inicial ⎧ 00 ⎨ y + 16y = 0, y(0) = 2, ⎩ 0 y (0) = −2.

cj ∈ R. ¤

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

Se trata de una EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación característica m2 + 16 = 0, m2 = −16, √ m = −16 = ±4i. Solución general y = c1 cos 4x + c2 sin 4x. Imponemos las condiciones iniciales y 0 = −4c1 sin 4x + 4c2 cos 4x, de y(0) = 2, obtenemos c1 cos 0 + c2 sin 0 = 2, c1 = 2. De la condición y 0 (0) = −2, obtenemos −4c1 sin 0 + 4c2 cos 0 = −2, 4c2 = −2, c2 = −1/2. Solución del problema de valor inicial y = 2 cos 4x −

1 sin 4x. ¤ 2

Ejercicio 4 Resuelve el problema de valor inicial ⎧ 2 dy d y ⎪ ⎪ ⎨ dx2 −4 dx − 5y = 0, ⎪ = 0, ⎪ ⎩ y(1) y 0 (1) = 2. EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación característica m2 − 4m − 5 = 0, ( √ √ 10 4 ± 16 + 20 4 ± 36 4±6 2 = 5, m= = = = 2 2 2 − 22 = −1.

9

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

Solución general y = c1 e5t + c2 e−t . Imponemos las condiciones iniciales y 0 = 5c1 e5t − c2 e−t , de y(1) = 0, obtenemos c1 e5 + c2 e−1 = 0. De y 0 (1) = 2, resulta 5c1 e5 − c2 e−1 = 2. Tenemos el sistema

½

c1 e5 + c2 e−1 = 0, 5c1 e5 − c2 e−1 = 2.

Sumamos las ecuaciones y resulta 6c1 e5 = 2, c1 =

2 1 = 5. 6e5 3e

Sustituimos en c1 e5 + c2 e−1 = 0 y obtenemos 1 5 e + c2 e−1 = 0, 3e5 1 c2 e−1 = − , 3 1 c2 = − e. 3 Solución del problema de valor inicial y=

1 5t 1 e − e · e−t . 3e5 3

Podemos reescribir la solución en la forma y

=

y

=

1 5t−5 1 −t+1 − e , e 3 3 1 5(t−1) 1 −(t−1) − e . ¤ e 3 3

Ejercicio 5 Resuelve el problema de valor inicial ½ 00 y + y 0 + 2y = 0, y(0) = y 00 (0) = 0.

10

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

11

EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación característica m2 + m + 2 = 0, √ √ √ −1 ± 1 − 8 −1 ± −7 1 7 m= = =− ± i. 2 2 2 2 Solución general Ã√ ! à √ !# " 7 7 −x y = e 2 c1 cos x + c2 sin x . 2 2 De y(0) = 0, obtenemos e0 (c1 cos 0 + c2 sin 0) = 0 c1 = 0. Como c1 = 0, sabemos que la solución es de la forma Ã√ ! 7 −x 2 y = e c2 sin x . 2 Calculamos 1 y 0 = − e−x/2 c2 sin 2

Ã√ ! Ã√ ! √ 7 7 7 x + e−x/2 c2 cos x , 2 2 2

de la condición y 0 (0) = 0, obtenemos

√ 1 0 7 0 − e c2 sin 0 + e c2 cos 0 = 0, 2 2 c2 = 0.

La solución es y(x) = 0. Este resultado puede deducirse sin realizar ningún cálculo, ya que y = 0 es solución ( y es única). ¤ Ejercicio 6 Resuelve el problema de valor inicial ⎧ 000 y + 12y 00 + 36y 0 = 0, ⎪ ⎪ ⎨ y(0) = 0, ⎪ y 0 (0) = 1, ⎪ ⎩ 00 y (0) = −7.

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

12

EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación característica m3 + 12m2 + 36m = 0, ¡ ¢ m m2 + 12m + 36 = 0,

2

m2 + 12m + 36 = (m + 6) .

Raíces de la ecuación característica m = 0,

m = −6 (doble).

Solución general y = c1 + c2 e−6x + c3 xe−6x . Imponemos las condiciones iniciales. De y(0) = 0, obtenemos c1 + c2 e0 + c3 · 0 · e0 = 0, c1 + c2 = 0. Calculamos y 0 = −6c2 e−6x + c3 e−6x − 6c3 xe−6x . De la condición y 0 (0) = 1, resulta −6c2 + c3 = 1. Calculamos y 00

= 36c2 e−6x − 6c3 e−6x − 6c3 e−6x + 36c3 xe−6x = 36c2 e−6x − 12c3 e−6x + 36c3 xe−6x .

De la condición y 00 (0) = −7, resulta 36c2 − 12c3 = −7. Tenemos el sistema

⎧ ⎨

c1 + c2 = 0, −6c2 + c3 = 1, ⎩ 36c2 − 12c3 = −7.

Multiplicamos la 2a ecuación por 6 y la sumamos a la 3a ⎧ ⎨ c1 + c2 = 0, −6c2 + c3 = 1, ⎩ −6c3 = −1,

resulta

c3 =

1 . 6

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior Sustituimos en la 2a

1 = 1, 6 1 5 −6c2 = 1 − = , 6 6 −5 . c2 = 36 −6c2 +

Sustituimos en la 1a c1 = −c2 =

5 . 36

Solución del problema de valor inicial y=

1 5 5 − e−6x + xe−6x . ¤ 36 36 6

Ejercicio 7 Resuelve el problema de condiciones de contorno ⎧ 00 ⎨ y − 10y 0 + 25y = 0, y(0) = 1, ⎩ y(1) = 0. EDO lineal homogénea con coeficientes constantes. Ecuación característica m2 − 10m + 25 = 0, √ 10 ± 100 − 100 m= = 5 (doble) . 2 Solución general y = c1 e5x + c2 xe5x . Imponemos las condiciones de contorno ½ y(0) = 1, y(1) = 0. y obtenemos el sistema

½

c1 = 1, c1 e5 + c2 e5 = 0, ½ c1 = 1, c1 + c2 = 0,

c1 = 1,

c2 = −1.

Solución y

= e5x − xe5x . = e5x (1 − x) . ¤

Ejercicio 8 Resuelve el problema de condiciones de contorno ⎧ 00 ⎨ y + y = 0, y 0 (0) = 0, ⎩ 0 π y ( 2 ) = 2.

13

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

Ecuación característica m2 + 1 = 0, raíces m2 = −1, √ m = ± −1 = ±i. Solución general y y Calculamos y 0

= e0x (c1 cos x + c2 sin x) , = c1 cos x + c2 sin x. y 0 = −c1 sin x + c2 cos x

e imponemos las condiciones de contorno ½ 0 y (0) = 0, y 0 ( π2 ) = 2. Obtenemos

½

La solución es

−c1 · 0 + c2 · 1 = 0, −c1 · 1 + c2 · 0 = 2, ½ c2 = 0, −c1 = 2, ½ c1 = −2, c2 = 0. y = −2 cos x. ¤

Ejercicio 9 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales 1. y 00 + y = sec x. 2. y 00 + y = cos2 x. 3. y 00 − y = cosh x. 4. y 00 + 3y 0 + 2y =

1 . 1 + ex

5. y 00 + 3y 0 + 2y = sin (ex ) . 6. y 00 + 2y 0 + y = e−t ln t. 7. 3y 00 − 6y 0 + 6y = ex sec x.

14

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

(9.1) y 00 + y = sec x. Homogénea asociada y 00 + y = 0, ecuación característica m2 + 1 = 0, m2 = −1, √ m = ± −1 = ±i. Sistema fundamental de soluciones y1 y2

= cos x, = sin x.

Solución de la EDO homogénea yh = c1 cos x + c2 sin x. Solución particular yp = u1 y1 + u2 y2 , que verifica

½

y1 u01 + y2 u02 = 0, y10 u01 + y20 u02 = f (x) = sec x.

W1 W2 u01 = , u02 = . W W ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y y2 ¯ ¯ cos x sin x ¯ ¯=¯ ¯ = cos2 x + sin2 x = 1. W = ¯¯ 10 y1 y20 ¯ ¯ − sin x cos x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ sin x ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 sin x y 2 ¯ ¯=¯ ¯ = − sin x . W1 = ¯¯ =¯ f (x) y20 ¯ ¯ sec x cos x ¯ ¯¯ 1 cos x cos x ¯¯ cos x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cos x 0 ¯¯ ¯ y1 0 ¯¯ ¯¯ ¯ = W2 = ¯ 0 1 ¯¯ = 1. y1 f (x) ¯ ¯¯ − sin x ¯ cos x Determinamos u1 (x) W1 sin x u01 = =− , W cos x Z − sin x u1 = dx = ln |cos x| . cos x Determinamos u2 (x)

W2 u02 = = 1, W Z dx = x. u2 =

15

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

16

Solución particular de la EDO completa yp = cos x ln |cos x| + x sin x. Solución general de la EDO completa y = c1 cos x + c2 sin x + cos x ln |cos x| + x sin x,

c1 , c2 ∈ R.

(9.2) y 00 + y = cos2 x. EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada y 00 + y = 0, ecuación característica m2 + 1 = 0, m2 = −1, √ m = ± −1 = ±i. Sistema fundamental de soluciones y1 y2

= cos x, = sin x.

Solución general de la EDO homogénea asociada yh = c1 cos x + c2 sin x,

c1 , c2 ∈ R.

Solución particular de la EDO completa yp = u1 y1 + u2 y2 que verifica

½

y1 u01 + y2 u02 = 0, y10 u01 + y20 u02 = cos2 x.

Wronskiano ¯ ¯ y y2 W = ¯¯ 10 y1 y20 ¯ ¯ 0 W1 = ¯¯ f (x) ¯ ¯ y W2 = ¯¯ 10 y1

determinamos u1

u01 =

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cos x sin x ¯ 2 2 ¯ ¯=¯ ¯ ¯ − sin x cos x ¯ = cos x + sin x = 1, ¯ ¯ ¯ 0 sin x ¯¯ y2 ¯¯ ¯¯ = − sin x cos2 x, = y20 ¯ ¯ cos2 x cos x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯¯ ¯¯ cos x 0 ¯ = cos3 x, =¯ 2 ¯ f (x) − sin x cos x ¯

W1 − sin x cos2 x = = − sin x cos2 x, W 1

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

u1

= =

Z

− sin x cos2 x dx =

1 cos3 x. 3

Determinamos u2

Z

17

cos2 x(− sin x) dx

u02 = cos3 x, u2

=

Z

cos3 x dx =

Z

Z

cos2 x cos x dx

¢ ¡ 1 − sin2 x cos x dx Z Z = cos x dx − sin2 x cos x dx

=

= sin x −

1 3 sin x. 3

Solución particular de la EDO completa µ ¶ µ ¶ 1 1 3 3 yp = cos x cos x + sin x − sin x sin x 3 3 1 1 = cos4 x + sin2 x − sin4 x. 3 3 Solución general de la EDO completa y = yh + yp = c1 cos x + c2 sin x +

1 1 cos4 x + sin2 x − sin4 x, 3 3

c1 , c2 ∈ R.

Podemos simplificar ¤ 1 1£ 4 1 cos4 x + sin2 x − sin4 x = cos x − sin4 x + sin2 x 3 3 3 =

⎤ ⎡ ¢ ¢ ¡ ¡ 1⎢ ⎥ 2 2 2 ⎣ cos2 x + sin x cos2 x − sin x ⎦ + sin x 3 | {z }| {z } =1

= = =

cos 2x

1 cos 2x + sin2 x 3 1 1 − cos 2x 1 1 1 cos 2x + = + cos 2x − cos 2x 3 2 2 3 2 1 1 − cos 2x. 2 6

Finalmente y = c1 cos x + c2 sin x +

1 1 − cos 2x, 2 6

(9.3) y 00 − y = cosh x.

c1 , c2 ∈ R.

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

18

EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada y 00 − y = 0, ecuación característica m2 − 1 = 0, raíces m = ±1, sistema fundamental de soluciones y1 y2

= ex , = e−x .

Solución de la EDO homogénea yh = c1 ex + c2 e−x ,

c1 , c2 ∈ R.

Solución particular de la EDO completa yp = u1 y1 + u2 y2 con

⎧ ⎨ y1 u01 + y2 u02 = 0,

ex + e−x . 2 W2 u02 = . W

⎩ y10 u01 + y20 u02 = cosh x = u01 =

Wronskiano W

Calculamos W1

W1 , W

¯ ¯ ¯ ¯ y1 y2 ¯ ¯ ex ¯=¯ ¯ = ¯ 0 y1 y20 ¯ ¯ ex = −1 − 1 = −2.

¯ e−x ¯¯ = −ex e−x − ex e−x −e−x ¯

¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 e−x y2 ¯¯ ¯¯ ¯ = ¯ 0 ¯=¯ f (x) y2 cosh x −e−x = −e−x

ex + e−x 1 + e−2x =− . 2 2

¯ ¯ ¯ = −e−x cosh x ¯

Determinamos u1 W1 1 + e−2x = = , W −2 4 Z ¢ 1 ¡ 1 1 u1 = 1 + e−2x dx = x − e−2x . 4 4 8 u01 =

Calculamos

´ ³ 2x − 1+e2

W2

¯ ¯ y = ¯¯ 10 y1

¯ ¯ 0 ¯¯ ¯¯ ex = f (x) ¯ ¯ ex

= ex cosh x = ex

¯ ¯ 0 ¯ cosh x ¯

e2x + 1 ex + e−x = , 2 2

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

19

determinamos u2 W2 u02 = = W

u2

³

e2x +1 2

−2

´

=−

¢ 1 ¡ 2x e +1 , 4

¶ ¶ µ Z µ ¢ 1 ¡ 2x 1 1 2x = − e + 1 dx = − e +x 4 4 2 1 1 = − e2x − x. 8 4

Solución particular de la EDO completa µ µ ¶ ¶ 1 1 x −x 1 x − e−2x ex + − e2x − e yp = 4 8 8 4 1 x 1 −x 1 x x −x = xe − e − e − e . 4 8 8 4 Solución general de la EDO completa y = c1 ex + c2 e−x + Como

¢ 1¡ x ¢ 1 ¡ x x e − e−x − e + e−x , 4 8

c1 , c2 ∈ R.

ex − e−x ex + e−x , cosh x = , 2 2 la solución puede reescribirse en la forma sinh x =

1 1 y = c1 ex + c2 e−x + x sinh x − cosh x. 2 4 (9.4) 1 . 1 + ex EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada y 00 + 3y 0 + 2y =

y 00 + 3y 0 + 2y = 0, ecuación característica m2 + 3m + 2 = 0, raíces

⎧ √ −3 ± 9 − 8 −3 ± 1 ⎨ m= = = ⎩ 2 2

−3+1 2

= −1,

−3−1 2

= −2.

Sistema fundamental de soluciones y1 y2

= e−x , = e−2x .

Solución general de la EDO homogénea yh = c1 e−x + c2 e−2x ,

c1 , c2 ∈ R.

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

20

Solución particular de la EDO completa yp = u1 y1 + u2 y2 , que verifica

(

y1 u01 + y2 u02 = 0, y10 u01 + y20 u02 = f (x) =

1 . 1 + ex

Wronskiano W

¯ ¯ y2 ¯¯ ¯¯ e−x = y20 ¯ ¯ −e−x

¯ ¯ y = ¯¯ 10 y1

¯ e−2x ¯¯ −2e−2x ¯

= e−x (−2)e−2x + e−x e−2x = −2e3x + e−3x = −e−3x . También puede calcularse como ¯ −x ¯ e e−2x W = ¯¯ −x −e −2e−2x

sigue ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = e−x e−2x ¯ ¯ ¯

= −e−3x .

¯ 1 1 ¯¯ = e−3x (−2 + 1) −1 −2 ¯

Calculamos ¯ ¯ ¯ ¯ 0 y2 ¯¯ ¯¯ ¯ = = ¯ f (x) y20 ¯ ¯

W1

=

0 1 1+ex

−e−2x , 1 + ex

¯ e−2x ¯¯ −2e−2x ¯

determinamos u1 u01 =

W1 = W

³

u1 = Calculamos W2

−e−2x 1+ex

Z

−2

=

ex e−2x = , x −3x (1 + e ) e 1 + ex

ex dx = ln (1 + ex ) . 1 + ex

¯ ¯ y = ¯¯ 10 y1

=

´

¯ ¯ 0 ¯¯ ¯¯ e−x = f (x) ¯ ¯ −e−x

0 1 1+ex

e−x , +1

ex

determinamos u2 u02

³

e−x ex +1

´

W2 −1 = −2x x = −3x W −e e (e + 1) e2x = − x . e +1 Z e2x dx. u2 = − ex + 1 =

¯ ¯ ¯ ¯

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

21

Realizamos el cambio de variable ⎫ Z Z ex = t ⎬ e2x t2 1 dt = ex dx ⇒− dx = − · dt x ⎭ e +1 t+1 t dx = 1t dt Z t+1−1 t dt =− dt t+1 t+1 ¶ Z µ 1 = − 1− dt = −t + ln(t + 1) t+1 = −ex + ln (ex + 1) . = −

Z

Solución particular de la EDO completa yp

= e−x ln (1 + ex ) + e−2x (−ex + ln (ex + 1)) = e−x ln (1 + ex ) − e−x + e−2x ln (ex + 1) ¡ ¢ = −e−x + e−x + e−2x ln (ex + 1) .

Solución general de la EDO completa ¡ ¢ y = c1 e−x + c2 e−2x − e−x + e−x + e−2x ln (ex + 1) ,

c1 , c2 ∈ R.

Podemos reescribir la solución en la forma y

¡ ¢ = e−x (c1 − 1) + c2 e−2x + ex + e−2x ln (ex + 1) ¡ ¢ = c01 e−x + c2 e−2x + e−x + e−2x ln (ex + 1) . c01 = (c1 − 1) .

(9.5) y 00 + 3y 0 + 2y = sin (ex ) . EDO lineal completa con coeficientes constantes. EDO homogénea asociada y 00 + 3y 0 + 2y = 0, ecuación característica m2 + 3m + 2 = 0, raíces m=

−3 ±

⎧ √ −3 ± 1 ⎨ 9−8 = = ⎩ 2 2

−3+1 2

= −1,

−3−1 2

=

−4 2

Sistema fundamental de soluciones y1 y2

= e−x , = e−2x .

Solución general de la EDO homogénea yh = c1 e−x + c2 e−2x ,

c1 , c2 ∈ R.

= −2.

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

22

Solución particular de la EDO completa yp = u1 y1 + u2 y2 , que verifica

½

y1 u01 + y2 u02 = 0, y10 u01 + y20 u02 = f (x) = sin (ex ) .

Wronskiano W

¯ ¯ y = ¯¯ 10 y1

¯ ¯ y2 ¯¯ ¯¯ e−x = y20 ¯ ¯ −e−x

¯ e−2x ¯¯ −2e−2x ¯

= −2e3x + e−3x = −e−3x .

Calculamos ¯ ¯ ¯ ¯ 0 y2 ¯¯ ¯¯ 0 W1 = ¯¯ = f (x) y20 ¯ ¯ sin ex

determinamos u1

u01

Con el cambio

¯ e−2x ¯¯ = −e−2x sin (ex ) , −2e−2x ¯

W1 sin (ex ) −e−2x sin (ex ) = = W −e−3x e−x x x = sin (e ) · e , Z u1 = sin (ex ) ex dx. =

½

t = ex , dt = ex dx,

resulta Z

u1

=

u1

= − cos (ex ) .

sin t dt = − cos t,

Calculamos ¯ ¯ y W2 = ¯¯ 10 y1

determinamos u2

u02 u02 u2 Con el cambio

¯ ¯ 0 ¯¯ ¯¯ e−x = f (x) ¯ ¯ −e−x

¯ ¯ 0 ¯ = e−x sin (ex ) , sin (ex ) ¯

W2 − sin (ex ) e−x sin (ex ) = , = −3x W −e e−2x = −e2x sin (ex ) , Z = − e2x sin (ex ) dx. =

½

t = ex , dt = ex dx,

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

resulta

Z

23

µ ¶ Z t sin t dt = − −t cos t + cos t dt ,

u2

= −

u2

= − (−t cos t + sin t) , = t cos t − sin t,

deshacemos el cambio u2 = ex cos (ex ) − sin (ex ) . La solución particular de la EDO completa es yp

= − (cos ex ) e−x + (ex cos (ex ) − sin (ex )) e−2x = −e−x cos (ex ) + e−x cos (ex ) − e−2x sin (ex ) = −e−2x sin (ex ) .

Solución general de la EDO completa y = c1 e−x + c2 e−2x − e−2x sin (ex ) ,

c1 , c2 ∈ R.

(9.6) y 00 + 2y 0 + y = e−t ln t. EDO lineal completa con coeficientes constantes. La EDO homogénea asociada es y 00 + 2y 0 + y = 0, ecuación característica m2 + 2m + 1 = 0, raíces

√ 4−4 m= = −1 2 Sistema fundamental de soluciones −2 ±

y1 y2

(doble) .

= e−t , = t e−t .

Solución general de la EDO homogénea asociada yh = c1 e−t + c2 te−2t . c1 , c2 ∈ R. Solución particular de la EDO completa yp = u1 y1 + u2 y2 , que verifica

½

Wronskiano W

y1 u01 + y2 u02 = 0, y10 u01 + y20 u02 = f (t) = e−t ln t.

¯ ¯ y = ¯¯ 10 y1

¯ ¯ y2 ¯¯ ¯¯ e−t = y20 ¯ ¯ −e−t

¯ ¯ te−t ¯ e−t − te−t ¯

= e−t (e−t − te−t ) + te−2t = e−2t − te−2t + te−2t = e−2t .

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

24

Calculamos W1

Determinamos u1 u01 u1

¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 te−t y2 ¯¯ ¯¯ ¯ = ¯ 0 ¯ = ¯ −t f (t) y2 e ln t (1 − t)e−t ¡ −t ¢ ¡ −t ¢ = − e ln t te = −e−2t t ln t.

¯ ¯ ¯ ¯

W1 −e−2t t ln t = −t ln t, = W e−2t µ 2 ¶ Z Z t 1 2 1 = (−t ln t) dt = − ln t − t · dt 2 2 t µ 2 ¶ Z 2 t 1 t 1 = − ln t − t dt = − ln t + t2 . 2 2 2 4 =

Calculamos W2

¯ ¯ y = ¯¯ 10 y1

¯ ¯ 0 ¯¯ ¯¯ e−t = f (t) ¯ ¯ −e−t

= e−2t ln t.

¯ ¯ 0 ¯ e−t ln t ¯

Determinamos u2 u02 u2

W2 e−2t ln t = ln t, = e−2t ZW Z 1 = ln t dt = t ln t − t · dt t Z = t ln t − dt =

= t ln t − t.

Solución particular de la EDO completa µ 2 ¶ t 1 yp = e−t − ln t + t2 + te−t (t ln t − t) 2 4 µ 2 ¶ t 1 = e−t − ln t + t2 + t2 ln t − t2 2 4 µ 2 ¶ t 3 = e−t ln t − t2 . 2 4 Solución general de la EDO completa µ 2 ¶ t 3 2 −t −t −t y = c1 e + c2 te + e ln t − t , 2 4

c1 , c2 ∈ R.

(9.7) 3y 00 − 6y 0 + 6y = ex sec x. EDO lineal completa con coeficientes constantes, la forma estándar es y 00 − 2y 0 + 2y =

1 x e sec x. 3

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

25

Ecuación homogénea asociada y 00 − 2y 0 + 2y = 0, ecuación característica m2 − 2m + 2 = 0, raíces √ √ 2 ± −4 2 ± 2i 4−8 m = = = , 2 2 2 m = 1 ± i. 2±

Tenemos un par de raíces complejas conjugadas, el sistema fundamental de soluciones es y1 y2

= ex cos x, = ex sin x.

Solución general de la EDO homogénea y = c1 ex cos x + c2 ex sin x,

c1 , c2 ∈ R.

Solución particular de la EDO completa yp = u1 y1 + u2 y2 , que verifica

½

y1 u01 + y2 u02 = 0, y10 u01 + y20 u02 = f (x) = 13 ex sec x.

Wronskiano W

Calculamos

¯ ¯ ¯ ¯ y y2 ¯ ¯ ex cos x ex sin x ¯ ¯ = ¯¯ 10 0 ¯=¯ x x x e cos x − e sin x e sin x + ex cos x y1 y2 ¢ ¢ ¡ ¡ = e2x cos x sin x + cos2 x − e2x cos x sin x − sin2 x ¡ ¢ = e2x cos x sin x + cos2 x − cos x sin x + sin2 x ¢ ¡ = e2x sin2 x + cos2 x = e2x .

W1

¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 ex sin x y2 ¯¯ ¯¯ = ¯¯ 0 ¯=¯ 1 x x f (x) y2 3 e sec x e (sin x + cos x) 1 1 1 2x = − e sin x · sec x = − e2x sin x 3 3 cos x 1 2x sin x = − e , 3 cos x

determinamos u1 u01

=

u1

=

¡ sin x ¢ − 13 e2x cos W1 1 sin x x =− = 2x WZ e 3 cos x 1 − sin x 1 dx = ln | cos x|. 3 cos x 3

¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

26

Calculamos W2

¯ ¯ ¯ ¯ y1 0 ¯¯ ¯¯ 0 ex cos x ¯ = ¯ 0 = x y1 f (x) ¯ ¯ e (cos x − sin x) 13 ex sec x 1 1 1 2x 1 = e cos x · sec x = e2x cos x = e2x . 3 3 cos x 3

¯ ¯ ¯ ¯

Determinamos u2 u02

=

u2

=

1 2x e W2 = 3 2x = 1/3, WZ e 1 dx = x/3. 3

Solución particular de la EDO completa µ ¶ 1 x ln |cos x| ex cos x + ex sin x. yp = 3 3 Solución general de la EDO completa 1 1 y = c1 ex cos x + c2 ex sin x + ex cos x ln |cos x| + xex sin x, 3 3

c1 , c2 ∈ R.

Ejercicio 10 Resuelve el problema de valor inicial ⎧ ⎨ 4y 00 − y = x ex/2 , y(0) = 1, ⎩ 0 y (0) = 0. Se trata de una EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes constantes, escribimos la ecuación en forma estándar 1 1 y 00 − y = xex/2 . 4 4 Homogénea asociada 1 y 00 − y = 0, 4 ecuación característica m2 − raíces

1 = 0, 4

1 , 4 1 m=± . 2 m2 =

Sistema fundamental de soluciones y1 y2

1

= e 2 x, = e−x/2 .

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

27

Solución general de la EDO homogénea y = c1 ex/2 + c2 e−x/2 ,

c1 , c2 ∈ R.

Solución particular de la EDO completa yp = u1 y1 + u2 y2 , que verifica

½

y1 u01 + y2 u02 = 0, y10 u01 + y20 u02 = f (x) = 14 xex/2 .

Wronskiano W

¯ ¯ ¯ ¯ y y2 ¯ ¯ ex/2 ¯=¯ = ¯¯ 10 y1 y20 ¯ ¯ 12 ex/2 1 1 = − − = −1. 2 2

¯ e−x/2 ¯¯ − 12 e−x/2 ¯

Calculamos W1

¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 y2 ¯¯ ¯¯ ¯ = = ¯ f (x) y20 ¯ ¯ 14 xex/2 1 1 = − xex/2 e−x/2 = − x. 4 4

¯ e−x/2 ¯¯ − 12 e−x/2 ¯

Determinamos u1 u01 u1

−1x W1 1 = 4 = x, W (−1) 4 Z 1 1 = x dx = x2 . 4 8 =

Calculamos W2

¯ ¯ y = ¯¯ 10 y1

¯ ¯ 0 ¯¯ ¯¯ ex/2 = f (x) ¯ ¯ 12 ex/2 1 1 = ex/2 xex/2 = x ex . 4 4

¯ ¯ 0 ¯ 1 x/2 ¯ 4 xe

Determinamos u2 u02 u2

1 xex W2 1 = 4 = − xex , W −1 4 ¶ Z µ Z 1 x −1 1 = − xe dx = − xex dx = (x − 1) ex . 4 4 4

=

Solución particular de la EDO completa µ ¶ 1 2 x/2 (1 − x) x −x/2 + yp = x e e ·e 8 4 µ ¶ 1 2 x 1 x/2 = x − + e . 8 4 4

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

28

Solución general de la EDO completa µ ¶ 1 2 x 1 x/2 y = c1 ex/2 + c2 e−x/2 + x − + e , 8 4 4

c1 , c2 ∈ R.

Imponemos las condiciones iniciales ½

y(0) = 1, y 0 (0) = 0.

De la condición y(0) = 1 resulta

1 = 1, 4 c1 + c2 = 3/4.

c1 + c2 +

Calculamos 1 1 y = c1 ex/2 − c2 e−x/2 + 2 2 0

µ

1 1 x− 4 4

¶

x/2

e

+

µ

1 2 x 1 x − + 8 4 4

e imponemos la condición y 0 (0) = 0, resulta

Resolvemos el sistema

1 1 1 1 c1 − c2 − + = 0, 2 2 4 8 1 1 1 c1 − c2 − = 0, 2 2 8 1 c1 − c2 = . 4 ½

c1 + c2 = 3/4, c1 − c2 = 1/4.

Sumando, resulta 2c1 c1

= 1, = 1/2.

Restando, la 2a ecuación a la 1a , obtenemos 2c2 c2

= 1/2, = 1/4.

La solución del problema de valor inicial es µ 1 x/2 1 −x/2 1 2 y = + e + e x − 2 4 8 µ 3 x/2 1 −x/2 1 2 = + e + e x − 4 4 8

¶ x 1 x/2 + e 4 4 ¶ x x/2 e . ¤ 4

¶

1 x/2 e 2

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

29

Ejercicio 11 Resuelve el problema de valor inicial ⎧ 00 ⎨ y + 2y 0 − 8y = 2e−2x − e−x , y(0) = 1, ⎩ 0 y (0) = 0. EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes constantes. La homogénea asociada es y 00 + 2y 0 − 8y = 0. Ecuación característica m2 + 2m − 8 = 0, raíces

⎧ √ −2 ± 4 + 32 −2 ± 6 ⎨ m= = = ⎩ 2 2

−2+6 2 −2−6 2

Sistema fundamental de soluciones y1 y2

= 2, = −4.

= e2x , = e−4x .

Solución general de la EDO homogénea y = c1 e2x + c2 e−4x ,

c1 , c2 ∈ R.

Solución particular de la EDO completa yp = u1 y1 + u2 y2 , que verifica

½

Wronskiano

y1 u01 + y2 u02 = 0, y10 u01 + y20 u02 = f (x) = 2e−2x − e−x . ¯ ¯ y = ¯¯ 10 y1

W

¯ ¯ y2 ¯¯ ¯¯ e2x = y20 ¯ ¯ 2e2x

¯ e−4x ¯¯ −4e−4x ¯

= −4e−2x − 2e−2x = −6e−2x .

Calculamos W1

Determinamos u1 u01

¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 y2 ¯¯ ¯¯ ¯ = = ¯ f (x) y20 ¯ ¯ 2e−2x − e−x ¡ ¢ = −e−4x 2e−2x − e−x . = = =

¯ e−4x ¯¯ −4e−4x ¯

¡ ¢ −e−4x 2e−2x − e−x W1 = W −6e−2x ¡ ¢ 1 −2x 2e−2x − e−x e 6 ¢ 1 1 1 ¡ −4x − e−3x = e−4x − e−3x . 2e 6 3 6

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

u1

30

Z µ

¶ 1 −4x 1 −3x = − e dx e 3 6 1 1 = − e−4x + e−3x . 12 18

Calculamos W2

y determinamos u2 u02

¯ ¯ ¯ ¯ y 0 ¯¯ ¯¯ e2x 0 = = ¯¯ 10 y1 f (x) ¯ ¯ 2e2x 2e−2x − e−x ¡ ¢ = e2x 2e−2x − e−x = 2 − ex , µ ¶ W2 1 2x 2 − ex = − = e (2 − ex ) W −6e−2x 6 ¢ 1¡ = − 2e2x − e3x 6 1 1 = − e2x + e3x , 3 6 ¶ Z µ 1 2x 1 3x − e + e dx, u2 = 3 6

¯ ¯ ¯ ¯

=

1 1 u2 = − e2x + e3x . 6 18 Solución particular de la EDO completa µ µ ¶ ¶ 1 −4x 1 −3x 2x 1 2x 1 3x −4x yp = − e + e e + − e + e e 12 18 6 18 1 1 1 1 = − e−2x + e−x − e−2x + e−x 12 18 6 18 −3 −2x 2 = + e−x e 12 18 −1 −2x 1 −x = + e . e 4 9 Solución general de la EDO completa 1 1 y = c1 e2x + c2 e−4x − e−2x + e−x . 4 9 Imponemos la condición y(0) = 1 y resulta 1 1 + = 1, 4 9 −9 + 4 = 1, c1 + c2 + 36 5 = 1, c1 + c2 − 36 5 41 = . c1 + c2 = 1 + 36 36 c1 + c2 −

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

31

Calculamos

1 1 y 0 = 2c1 e2x − 4c2 e−4x + e−2x − e−x 2 9 e imponemos la condición y 0 (0) = 0, resulta

1 1 − = 0, 2 9 9−2 2c1 − 4c2 + = 0, 18 7 2c1 − 4c2 + = 0, 18 2c1 − 4c2 = −7/18,

2c1 − 4c2 +

c1 − 2c2 = Resolvemos el sistema

(

−7 . 36

c1 + c2 = 41 36 , c1 − 2c2 = −7 36 .

Restamos la 2a ecuación a la 1a 3c2

=

c2

=

41 + 7 48 4 · 12 4 = = = , 36 36 3 · 12 3 4 . 9

Sustituimos en la 1a ecuación c1 +

4 41 = , 9 36

41 4 41 − 16 25 − = = . 36 9 36 36 Solución del problema de valor inicial c1 =

y=

25 2x 4 −4x 1 −2x 1 −x − e + e . ¤ e + e 36 9 4 9

Ejercicio 12 Resuelve la EDO y 000 + y 0 = tan x.

EDO lineal completa de tercer orden con coeficientes constantes. La EDO homogénea asociada es y 000 + y 0 = 0. Ecuación característica m3 + m = 0, ¡ ¢ m m2 + 1 = 0,

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

32

raíces m = 0,

m = ±i.

Sistema fundamental de soluciones y1 y2 y3

= 1, = cos x, = sin x.

Solución general de la EDO homogénea yh = c1 + c2 cos x + c3 sin x,

c1 , c2 , c3 ∈ R.

Solución particular de la EDO completa yp = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3 , que verifica

⎧ ⎨ y1 u01 + y2 u02 + y3 u03 = 0, y 0 u0 + y20 u02 + y30 u03 = 0, ⎩ 100 10 y1 u1 + y200 u02 + y300 u03 = f (x) = tan x.

Wronskiano ¯ ¯ y1 y2 ¯ 0 ¯ y1 y20 ¯ 00 ¯ y1 y200 Calculamos W1

y3 y30 y300

¯ ¯ ¯ ¯ 1 cos x sin x ¯ ¯ ¯ = ¯ 0 − sin x cos x ¯ ¯ ¯ ¯ 0 − cos x − sin x

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − sin x cos x ¯=¯ ¯ ¯ − cos x − sin x ¯

W = sin2 x + cos2 x = 1.

¯ ¯ ¯ ¯ 0 y2 y3 ¯¯ ¯¯ ¯ y20 y30 ¯¯ = ¯¯ = ¯¯ 0 ¯ f (x) y200 y300 ¯ ¯ ¯ ¯ cos x sin x = tan x ¯¯ − sin x cos x = tan x.

Determinamos u1 u1 = Calculamos W2

Determinamos u2

¯ ¯ ¯ = ¯¯ ¯ ¯ ¯ = ¯¯

Z

¯ 0 cos x sin x ¯¯ 0 − sin x cos x ¯¯ tan x − cos x − sin x ¯ ¯ ¯ ¡ ¢ ¯ = tan x cos2 x + sin2 x ¯

u01 = tan x, sin x dx = − ln |cos x| . cos x

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 sin x ¯¯ ¯ ¯ ¯=¯ 0 0 cos x ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 tan x − sin x ¯ ¯ 0 cos x ¯¯ = − tan x cos x = − sin x. tan x − sin x ¯

y1 y10 y100

0 y3 0 y30 f (x) y300

u02 =

W2 = − sin x, W

¯ ¯ ¯, ¯

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

u2 = Calculamos W3 W3

¯ ¯ y1 ¯ = ¯¯ y10 ¯ y100 = −

y2 y20 y200

Z

0 0 f (x)

sin2 x . cos x

Determinamos u3

33

(− sin x) dx = cos x. ¯ ¯ ¯ ¯ 1 cos x 0 ¯ ¯ ¯ = ¯ 0 − sin x 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 − cos x tan x

¯ ¯ ¯ ¯ = − sin x tan x ¯ ¯

W3 − sin2 x = W cos x Z − sin2 x = dx = cos x Z = (− sin x) tan x dx.

u03 = u3

Integramos por partes

u = tan x du = sec2 x dx dv = − sin x dx v = cos x

u3

¶

Z = cos x tan x − cos x sec2 x dx Z Z 1 = sin x − dx = sin x − sec x dx cos x = sin x − ln |sec x + tan x| .

Recordamos el cálculo de la primitiva de sec x Z Z sec x + tan x sec x dx = sec x dx sec x + tan x Z sec2 x + sec x tan x = dx, sec x + tan x como d d sec x = sec x tan x, tan x = sec2 x, dx dx resulta Z sec x dx = ln |sec x + tan x| . Finalmente, la solución particular de la EDO completa es yp

= − ln |cos x| · 1 + cos x · cos x + (sin x − ln |sec x + tan x|) sin x = − ln |cos x| + cos2 x + sin2 x − sin x ln |sec x + tan x| = 1 − ln |cos x| − sin x ln |sec x tan x| .

Solución general de la EDO completa y = c1 + c2 cos x + c3 sin x + 1 − ln |cos x| − sin x ln |sec x tan x| . Finalmente, podemos incluir el 1 con la constante c1 y = c01 + c2 cos x + c3 sin x + ln |cos x| − sin x ln |sec x tan x| . ¤