N´umeros, Espacio, Tiempo y Luz Experimentos Cl´ asicos & Cu´ anticos Cultura Integral, Direcci´on de Desarrollo Acad´emico Centro Nacional de las Artes Micho Durdevich Instituto de Matem´aticas Universidad Nacional Autonoma de M´exico

Resumen Se trata de una introducci´ on a las ideas fundamentales de las matem´ aticas en la luz de sus enlaces profundos con las principales disciplinas art´ısticas: como pintura, esculptura, m´ usica, danza, teatro, y medios inform´ aticos. El esp´ıritu del curso surge de la misma filosof´ıa de simplicidad y conexi´ on intr´ınseca de las cosas, que podemos encontrar, en multitud de formas, dentro de la geometr´ıa y la f´ısica cu´ antica. Se ver´ an conceptos de Infinidad, N´ umero, Simetr´ıa, Transformaci´ on, Espacio, Tiempo y Luz– entrelazados con varios ejemplos de obras y t´ecnicas art´ısticas y fen´ omenos cu´ anticos. El enfoque espec´ıfico de este semestre, es de experimentos y exploraciones hacia proyectos y creaciones art´ısticas. Complementando la manera tradicional de transmitir los conocimientos matem´ aticos, se desarrollar´ a gradualmente un lenguaje diagram´ atico-visual, en la resonancia con el enfoque unificante del curso.

Contenido: 1–Matem´ aticas Como Arte, 2–Objetivos, 3–Prerequisitos, Evaluaci´ on y Duraci´ on, 4–Plan Acad´emico, 5–Agradecimientos, 6–Bibliografia.

1.

Introducci´ on: Matem´ aticas Como Arte

A lo largo de la historia de la civilizaci´on, transversal al espectro de las sociedades antiguas y modernas, las 2 disciplinas profundamente espirituales y humanas—las artes y las matem´aticas—siempre han encontrado contextos de una mutua inspiraci´ on, motivaci´on y enlace. En este curso, vamos a presentar una selecci´on de joyas matem´aticas, que se han formado y cristalizado a lo largo de su desarrollo, siempre con un fuerte vinculo y enfoque, que proviene del mundo de las artes. Mediante este mosaico, se pretenden profundizar, extender y entrelazar los conocimientos matem´aticos y art´ısticos, conceptos de Infinidad, N´ umero, Transformaci´on y Simetr´ıa, estudiar fen´ omenos de Espacio, Tiempo y Luz, preguntarse sobre fundamentos como la idea de parte y la idea de objeto, aprender la visualizaci´on en su forma m´as amplia, as´ı como el uso creativo de nuevos medios inform´aticos. Construyendo un techo com´ un y unificante para todas estas cosas, se dar´a una breve y cualitativa introducci´on a la F´ısica Cu´antica, su hermana gemela la Geometr´ıa Cu´ antica as´ı como a la Teor´ıa de la Relatividad. Se introducir´a, en la manera sistem´ atica, un nuevo lenguaje visual, que refleja desde principio, la simplicidad y conexi´ on intrinseca de las ideas y creaturas, que encontramos en las matem´ aticas cu´ anticas. En resonancia con todo esto, a lo largo del curso se estudiaran diversas obras art´ısticas, llendonos por el espectro de las fundamentales disciplinas: como pintura, escultura, danza, teatro, m´ usica. . . en la luz de sus innumerables y profundos enlaces con el universo matem´atico. De hecho, las matem´ aticas mismas son una, y en el fondo completamente libre, simple, flexible y pura, forma de arte. Donde las ideas se transforman en el material. Como n´ umeros, tri´ angulos, cuadrados y c´ırculos. Y donde no solamente las criaturas matem´ aticas como tales, sino tambi´en su construcci´on—que es la raz´ on prima de su existencia—juntas forman el tejido espacio-temporal para las obras art´ısticas. Se trata de la septima ‘vuelta cu´antica’ del curso en el Centro Nacional de las Artes, dentro del programa Cultura Integral. Cada realizacion se caracteriza con un enfoque especifico. La vuelta 7 ser´a enfocada a los experimentos cl´asicos y cu´ anticos, y a los proyectos y creaciones art´ısticas.

2.

Objetivos

De los tres generales objetivos del curso, quiz´as en el primer lugar podemos poner la ense˜ nanza de arte matem´atico, siempre en su inseparable union con otras principales formas de arte. Lo espec´ıfico de este semestre, es el enfoque experimental, complementario al mas te´orico enfoque de fundamentos, del semestre anterior. El segundo objetivo, relacionado con el primero, es desarrollar un enfoque cu´ antico en el pensamiento y las actividades art´ısticas. El tercer general objetivo es crear un entorno transversal y participativo, para promover la creatividad art´ıstica. 2

Los particulares objetivos del curso son: Incorporar el arte matem´atico en la producci´ on art´ıstica. Conocer principales manifestaciones de n´ umeros, espacio, tiempo y luz. Conocer la idea de infinidad. Conocer transformaciones y simetr´ıa. Conocer diferentes formas de pensar, antiguas y contempor´aneas, relacionadas con la teor´ıa cu´ antica. Aprender ver en el arte, las estructuras matem´aticas en fondo. Aprender encontrar enlaces entre diferentes obras de arte, y disciplinas art´ısticas, mediante el lenguaje matem´atico.

3.

Pre-requisitos, Evaluaci´ on y Duraci´ on

Aunque no existen los requerimientos formales, es recomendable que cada participante cuenta con unas ideas b´asicas sobre los n´ umeros naturales, racionales y reales, incluyendo operaciones elementales aritm´eticas: a˜ nadir, restar, multiplicar y dividir. Tambi´en, es deseable una familiaridad simple con geometr´ıa y objetos fundamentales como tri´angulos, cuadrados y c´ırculos. Y quizas se debe tener una m´ınima experiencia en usar una computadora, en modo gr´afico. Como mencionamos anteriormente, el enfoque de este semestre es experimental. El curso puede servir como un complemento para los que tomaron la versi´ on mas te´ orica del semestre anterior. Y para los que por primera ves inscriben este curso, el enfoque experimental puede proporcionar una solida base para posibles posteriores exploraciones mas te´oricas y los fundamentos. Las ideas desarrolladas durante el curso se expondr´an en paralelo a trav´es de varias pr´ acticas individuales y grupales. La evaluaci´on tendr´a multiples formas, dependiendo principalmente de los participantes. Una modalidad ser´ıa a trav´es de mini-proyectos creativos, donde los participantes desarrollen su propia interpretaci´ on de conceptos expuestos en el curso, o bien derivados de los mismos. Otra modalidad ser´ıa mediante un examen tradicional. Y tambi´en, una importante componente de la evaluaci´on es la actividad y desempe˜ no general dentro del curso. Para la evaluaci´ on formal, es indispensable cumplir con 4/5 partes del tiempo, un 80 % de asistencia en las clases. El curso tiene 4 partes y cada parte se dividir´a aproximadamente en 4 semanas, una clase de 2 horas por semana.

4. 4.1.

Plan Acad´ emico Infinidad, y Nacimiento de N´ umeros y Plano

Todas las matem´ aticas son fundamentadas sobre la idea de la Infinidad. Se comenzar´ a con una discusi´ on general sobre el concepto, y reflexiones en las obras de literatura y artes. Definir objetos infinitos es m´as simple que definir lo finito. Siguiendo una idea del matem´atico Georg Kantor, la infinidad se introducir´a como la representabilidad completa del objeto, dentro de su propia parte. ¿Y que significa decir ‘parte’ de algo, despues de todo, que es ‘objeto’ ? 3

Lo finito viene como algo mas complicado—todo lo que no es infinito. Se observar´ a la apariencia de n´ umeros naturales en este contexto de ‘suburbio del paraiso’, los arquetipos de la finitud. . . Veremos varias clases de n´ umeros: Cero y Uno, Dos, Tres; Cuatro; Primos y compuestos; Infinidad e inherente caocidad de n´ umeros primos; Triangulares y cuadr´ aticos; Perfectos y no-tan-perfectos; N´ umeros enteros, racionales, irracionales, reales; Imposible i; Plano de n´ umeros complejos; N´ umero π y C´ırculos; Pol´ıgonos regulares y n´ umeros de Fermat; Luego veremos tambi´en: Dibujos que revelan c´alculos con n´ umeros. Triangulos y c´ırculos como ejemplos principales. Teorema de Pitagoras. Espiral y serie geom´etrica. Otras curvas interesantes. Raz´on aurea Φ y demonstraci´on visual de su irracionalidad. C´ alculos de m´odulos, y aritm´eticas y geometr´ıas beb´es. Fractales, como objetos no-estandares que ilustran la idea de la infinidad mediante su naturaleza cu´ antica. Funci´on zeta ζ de Riemann y formula ζ(2) = π 2 /6. Todo esto nos llevar´ aa al establecimiento de una metodolog´ıa visual, cuya abstracci´ on y generalizaci´ on en forma de todo un lenguaje cu´antico, ser´a el sello del curso. Q-Actividades: Perfecci´ on de C´ırculo en Caos de los Primos. Varios dibujos con c´ırculos y tri´ angulos. Transformaciones de c´ırculos. Lenguaje de programaci´ on LISP. Ventanas de Apolonio.

4.2.

Segunda Parte: Espacio

Esta parte comenzar´ a con las superficies, estableciendo la serie de ejemplos primarios: Plano Euclideano; Esfera; Torus; Banda de Moebius; Botella de Klein;

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Luego platicaremos sobre geometr´ıas no-Euclideanas: Geometr´ıa Hiperb´olica, Modelo de Poincar´e, idea de horizonte del espacio, diferencias entre horizontes Euclideanos y Hiperbolicos. Limites de cirulos, de Maurits Cornelis Escher, dibujos de Vassily Kandinsky. Geometr´ıa El´ıptica, Orientabilidad y Noorientabilidad. Una novela de Arthur Clarke. El espacio 3-dimensional proporciona natural inicial entorno para visualizar las superficies, al menos localmente, aunque no todas las superficies pueden globalmente verse as´ı, inmersas en tres dimensiones. La idea de Cielo geom´etricof´ısico, como el horizonte del espacio 3-dimensional. Nudos y sus propiedades geom´etricas. V´ınculos entre nudos y superficies. Ideas b´ asicas de topolog´ıa. Superficies de Riemann. Caracter´ıstica de Euler, campos vectoriales, y teorema Poincare Hopf. Superficie quartica de Klein y sus propiedades, la esculptura ‘The Eightfold Way’ de Helaman Ferguson. M´ as all´ a de 3 dimensiones. Concepto de Hipervisi´on. Eversiones de las Esferas. Primer encuentro con la Teor´ıa de la Relatividad y la interpretabilidad del cielo-esfera como hecha de rayos de luz. Todo esto nos llevar´a a la pregunta ¿Qu´e es espacio? Grande y Peque˜ no. Idea de espacio cu´antico. Arte de Olvido. Q-Actividades: Varias construcciones involucrando modelos de superficies, experimentos con campos vectoriales, y nudos. Teselaciones Euclideanas, El´ıpticas y Hiperbolicas.

4.3.

Tercera Parte: Transformaciones y Tiempo

La idea principal para explorar, con sus varias realizaciones, es de transformaci´ on y de simetr´ıa. Concepto de grupo. Simetr´ıas en 2 dimensiones. Cuadrado m´ agico de Albrecht D¨ urer 4x4, su versi´on hexadecimal, y binaria, sus simetr´ıas y v´ınculos con superficies, part´ıculas elementales. Dibujos con colores. Poliedros Plat´ onicos en 2, 3 y 4 dimensiones. Dibujos y representaciones 3-dimensionales. Modelos de diversos materiales. Propiedades combinatoriales. Algunos dibujos de Pablo Picasso y de Salvador Dal´ı. Cuerpo y sus transformaciones. Esculpturas cin´eticas de Theo Jansen. Propiedades transformacionales de espacio 3-dimensional. Nuestro entrelazamiento intr´ınseco con el Cielo, y espinores. Grupo SO(3) y visualizaci´on de espacio proyectivo 3-dimensional. Transformaciones celestiales versus transformaciones terrestres. Programa de Erlangen de Felix Klein—reconstruir la geometr´ıa por sus simetr´ıas. Ejemplos de 3 geometr´ıas: Euclideana, Hiperb´olica y Eliptica. Objetos imposibles. Tri´ angulo de Oscar Reutersvard y Roger Penrose, artistas de lo imposible. La posibilidad de lo imposible, como la gu´ıa para la creaci´on de contextos matem´ aticos. N´ umeros cuaternionicos y n´ umeros octonionicos. Simetr´ıas celestiales de poliedros Plat´ onicos 3-dimensionales llevan a poliedros Platonicos 4-dimensionales. Lenguaje universal de dibujos para expresar simetr´ıas. Filosofia cu´antica. Trenzas y grupo de trenzas. Permutaciones versus trenzas.

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Introducci´ on a la teor´ıa de categor´ıas. ¿De qu´e material son hechas creaturas matem´ aticas? ¿La verdad importa el material? Representando tiempo en una categor´ıa. Tiempo cu´ antico. Q-Actividades: Geometr´ıa de rotaciones. Gir´oscopos. Superposiciones de movimientos. Espirografos. Harmonografos. Interpretaci´on de tiempo como cuarta dimensi´ on. Video como una escultura.

4.4.

Cuarta Parte: Luz, Sombra y Objetos Cu´ anticos

La principal tema de esta parte es la geometr´ıa cu´antica, con su enfoque unificante. Las ideas ya introducidas y vistas se profundizaran, pintando en mas detalle el marco conceptual con nuevos ejemplos y fen´omenos. Cero y Uno lo contienen todo. Suceciones binarias. Espacio de Kantor y su realizaci´ on como espacio de todas sucesiones binarias. Teselaciones de Penrose y su encodificaci´ on en sucesiones binarias. Proyecci´on al espacio de Kantor mediante superficies cu´ anticas conexas. Idea de sombra. Idea de haz. Diagramas de Feynmann. Dualismo part´ıcula-onda y breve introducci´on a la f´ısica cu´ antica mediante diagramas. Colectivo versus individual, estadistica reflejada en propiedades de los movimientos individuales en espacio 3-dimensional. Fuerza y Substancia, Bosones y Fermiones. Poema de Jorge Luis Borges sobre p´ ajaros. V´ınculos entre c´ırculos y fotones. Idea de espacio ‘vivo’. Posible ilustracion–fen´ omeno de sonoluminiscencia y transformaci´on de sonido en luz. Entre existencia y no-existencia. Paradoja Einstein-Podolsky-Rosen y objetos como una ilusi´ on. Contextualidad. Ideas y filosof´ıa de Nikola Tesla. M´ as sobre el cielo geom´etrico-f´ısico como la esfera compleja hecha de rayos de luz, y la reconstrucci´ on de espacio-tiempo mediante las ‘ondas’ en el cielo. La idea de encriptaci´ on de una estructura matem´atica en un objeto. Discusi´on sobre c´ omo lo cambiable se deriva de lo incambiable, est´atico, invariante. Q-Actividades: Movimientos corporales que revelan unifici´on entre individual y colectivo. Experimentos con resonancia electromagn´etica. Transformadores de Tesla. Sonido versus Luz. Placas Cim´aticas.

5.

Agradecimientos

Quisiera agradecer a Olmo Uribe por su ayuda y entusiasmo, durante la preparaci´ on de las primeras versiones de esta propuesta. La integraci´ on de este curso, con los programas y actividades art´ısticas y acad´emicas del Centro Nacional de las Artes, fue posible gracias a un extensivo inter´es y multidimensional apoyo por parte de Ana Lilia Maciel, Cristina Barrag´ an, Rosibel Saracay, Antonio Alba˜ nes y Carlos Santiago. — Aunque el curso va en su propia ’modalidad cu´antica’, recomiendo los siguientes libros como principales complementarios fuentes de inspiraci´on y material.

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Bibliografia [1] Tere Arcq: Cinco Llaves del Mundo Secreto de Remedios Varo/ Llave Esoterica, Artes de Mexico (2008) [2] Claude P. Bruter (Ed): Mathematics and Arts—Mathematical Visualisation in Art and Education, Springer (2002). [3] Douglas Hofstadter: G¨ odel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Basic Books (1979). [4] Leonard Euler: Introductio in Analysin Infinitorum (1800); Introduction to Analysis of the Infinite I/II, Springer-Verlag (1980/1990), Traduccion de Lat´ın por John Blanton. [5] Werner Heisenberg: Der Teil und Ganze/La Parte y el Todo, Traducci´on de Aleman por Rocio da Riva Mu˜ noz. Ellago Ediciones (2004). [6] David Hilbert, Stefan Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, Berlin Verlag von Julius Springer (1932) / Geometry and the Imagination, Chelsea Publishing Company (1952) [7] Ioannis Keppleri: Harmonices Mundi (1619) / Harmony of the World in Five Volumes, American Philosophical Society (1997) [8] Felix Klein: Vergleichende Betrachtungen u ¨ber neuere geometrische Forschungen (A comparative review of recent researches in geometry) (1872), Mathematische Annalen, 43 (1893) 63—100. ´ [9] Baruch de Espinosa: Etica Demonstrada Seg´ un el Orden Geom´etrico, Ediciones Orbis/Editora Nacional, Madrid (1980). Traducci´on de Lat´ın por Vidal Pe˜ na. [10] Robert Goldblatt: Topoi—The Categorical Analysis of Logic, Elsevier Science (1984). [11] Wassily Kandinsky: Concerning the Spiritual in Art, SFA Publications (2006), Traducci´ on de Aleman de Michael Sadler. [12] Leonid Ponomarev: The Quantum Dice, IOP Publishing (1993). Traducci´on de Ruso por Alex Repiev. [13] N¨ oel Carroll: Philosophy of Art–A Contemporary Introduction, Routledge (1999). [14] Berhnard Riemann: On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry, Nature, 8 (1873), 14–17, 36, 37). Traducci´on de Aleman por William Kingdon Clifford. [15] Tonny Robbin: Shadows of Reality—The Fourth Dimension in Relativity, Cubism, and Modern Thought, Yale University Press (2006). 7

[16] Micho D urdevich: Diagrammatic Formulation of Multibraided Quantum Groups, Contemp Math 318, 97–106 (2003). [17] Micho Durdevich: Matem´ aticas Como Arte Transversal (2014). [18] David Mumford, Caroline Series, David Wright: Indras’s Pearls. The Vision of Felix Klein, Cambridge (2002). [19] Doris Schattschneider: M.C. Escher: Visions of Symmetry, Harry Abrams (2004). [20] Immanuel Kant: Cr´ıtica de la Razon Pura, Edici´on Bilingue, Fondo de la Cultura Econ´ omica (2009). Traducci´on de Aleman por Mario Caimi. [21] William Lawvere, Stephen Schanuel: Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press (2009) [22] Paul Lockhart: A Mathematician’s Lament: How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form, Bellevue Literary Press (2009). [23] Peter Vergo: That Divine Order, Phaidon Press (2005). The Music of Painting: Music, Modernism and the Visual Arts from the Romantics to John Cage, Phaidon Press (2012). [24] Eugene Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Communications in Pure and Applied Mathematics, 13, #* (1960).

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