Nuevas tendencias de la Matem ática: Matemática: L ógica borrosa e Lógica inteligencia artificial 01.10.08

Lógica borrosa

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Esquema

Introducción

Conjuntos difusos

Lógicas borrosas

Aplicaciones

Medidas

Medida de especificidad 01.10.08

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Introducción ‹ Determinismo  Simplicidad organizada

‹ Probabilidad  Complejidad desorganizada

‹ Caos determinista ‹ Conjuntos difusos 01.10.08

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Introducción Los conjuntos difusos estudian la:

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imprecisión incertidumbre no especificidad vaguedad inconsistencia Lógica borrosa

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Inteligencia Artificial

Marvin Minsky: “I.A. es el arte de construir máquinas capaces de hacer cosas que requerirían inteligencia en caso de que fuesen hechas por seres humanos”

Ingeniería del conocimiento

Sistemas expertos

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Aplicaciones de la Inteligencia Artificial ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 01.10.08

Variables lingüísticas Lenguaje natural Sistemas expertos Control difuso Autómatas difusos Bases de datos difusas Lógica borrosa

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Conjuntos difusos y lógicas borrosas

Conjuntos difusos: Ejemplos ¾ soleado ¾ alto ¾ caro ¾ contagioso ¾ número mucho más grande que uno

¾ los jóvenes de esta ciudad 01.10.08

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XSubconjuntos difusos Lotfi A. Zadeh en 1965 Fuzzy Sets 01.10.08

µA: A:

X → [0, 1] X → [0, 1]. Lógica borrosa

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X

Ejemplo Si el enfermo está algo amarillo y se encuentra bastante cansado entonces puede tener hepatitis

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Conjuntos clásicos o de Cantor

‹ A⊆X ¶ fA: X → {0, 1} ¶ A∈F(X, {0, 1})

‹ Gráfica G(fA)={(x,fA(x)); x∈X} ‹ Diagrama de Venn 01.10.08

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Subconjuntos difusos ¶ El referencial X es siempre un conjunto clásico

‹ ‹ ‹ ‹ 01.10.08

A⊆X A∈F(X, [0, 1]) G(A) Diagrama Lógica borrosa

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Definición: Subconjunto normal

Un subconjunto difuso A se dice que es normal si existe algún elemento del conjunto referencial xi ∈ X tal que A(xi) = 1. 01.10.08

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Definición: Subconjunto de nivel

Dado un conjunto borroso A sobre X se definen sus subconjuntos de nivel α (y se denominan Aα) a:

Aα = {x: A(x)≥α}. 01.10.08

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OPERACIONES

Igualdad: A=B ⇔ A(x)=B(x), ∀x

Inclusión: A⊆B ⇔ A(x)≤B(x), ∀x

Unión:

(A∪B)(x)=máx {A(x), B(x)}

Intersección: (A∩B)(x)=mín{A(x), B(x)}

Complementario: (c(A))(x) = 1 - A(x)

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Propiedades

(F(X, [0,1]), máx, mín,´) es un retículo distributivo y complementario.

No es un álgebra de Boole pues no verifica: ‹ la ley de contradicción ‹ la ley del tercio excluso 01.10.08

Es un retículo de Morgan. Lógica borrosa

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Otras operaciones

Probabilística: A∩B = A⋅B A∪B = A+B-A⋅B

Lukasiewicz: A∩B = máx{0, A+B-1} A∪B = mín{1, A+B} 01.10.08

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X

t-normas B. Schweizer, A. Sklar:

Probabilistic Metric Spaces North-Holland. 1983

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Norma triangular (o t-norma) Definición: T: [0, 1] x [0, 1] → [0, 1]

T1) T{x, 0}=0, T{x, 1}=x, para todo x∈[0,1]

T2) T{x, y} = T{y, x} para todo x, y∈[0,1]

T3) Si x≥x', y≥y' entonces T{x, y} ≥ T{x', y'}

T4) T{x, T{y, z}}=T{T{x, y}, z} ∀ x, y, z ∈ [0,1]

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t-norma positiva

x>0, y>0 ⇒ T(x, y)>0 t-norma arquimediana  Continua y T(x, x)