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A. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
Números Cardinales ("Whole Numbers")
W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
Enteros
Z = { .... -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, .... }
Números Racionales
Q = { p/q | p, q son enteros y q 0 }
Números Irracionales
Q'= { Números cuya representación decimal no termina y no son decimales repetitivos }
Números Reales
R = { Todo número racional o irracional } = { Q Q'}
Números Reales
Números Racionales
Enteros
Números Irracionales
No enteros
Números Cardinales
Números Naturales
Un conjunto es una colección de objetos que tienen unas características en común Utilizamos las llaves, {}, para encerrar los elementos de un conjunto. Para nombrar los conjuntos le asignamos una letra mayúscula del alfabeto. Separamos los elementos del conjunto con una coma.
Ejemplos
El conjunto de enteros mayor que uno y menor de 10.- { 2,3,4,5,6,7,8,9} El conjunto de los números pares -
{ 2,4 , 6, 8, 10, 12, 14, .....}
Observa que no siempre es posible enumerar o listar todos los elementos de un conjunto. Conjunto finito: conjunto en el que es posible enumerar todos sus elementos. Conjunto infinito: conjunto en el que no es posible enumerar todos sus elementos.
Notación de Conjuntos "pertenece a" relaciona a un elemento con el conjunto al que pertenece. 10 N
Ejemplos "incluído en"
-4 Z
relaciona a conjunto con otro conjunto de tal forma que todo elemento del primer conjunto está incluido en el segundo conjunto, es decir, el primer conjunto se dice subconjunto del segundo. {1, 2, 3} Z
Ejemplos
N W
Z R
indica que la aseveración no se cumple.
"no incluído en" Ejemplo
{0 }
0
1
N
Recta Numérica
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
2
3
4
5
6
7
8
{números negativos } U { cero } U { números positivos } Existe una correspondencia uno a uno entre los puntos en la recta y los números reales. El cero es el medio de la recta y se conoce como el origen. Gráfica punto asociado con un número en particular.
Una coordenada es la localización de un punto.
El opuesto de un número es otro número en la recta numérica que se encuentra a igual distancia del cero. Sea a un número real denotamos el opuesto de a de la siguiente forma
Notación
-(a)
El opuesto de 4 es
-4
-(4) = -4
El opuesto de -7 es
7
-(-7) = 7
El valor absoluto de un número es la distancia desde ese número en la recta numérica hasta el cero. El punto de referencia es el cero. Notación: Sea a un número real denotamos el valor absoluto de a de la siguiente manera
|a| Ejemplos El valor absoluto de 5 es 5
|5| = 5
El valor absoluto de 32 es 32
| 32 | = 32
El valor absoluto de -12 es 12
| -12 | = 12
El valor absoluto de -4 es 4
| -4 | = 4
El valor absoluto de 0 es 0
|0| =0
Definición formal El valor absoluto de un número real a |a| = a
si
a 0
| a | = -a
si
a 0
lo denotamos | a | y se define como:
Es decir; Sea x un número real, entonces
x x x
si si
x 10 x 10
Por lo tanto
si x 10 | x 10 | x 10 si
x 10 x 10
Distancia entre dos puntos en una misma recta Sea x1 y x2 las coordenadas de dos puntos en la recta; entonces la distancia, d , entre éstos dos puntos es dada por: d = | x2 - x1 | Ejemplos La distancia entre 18 y 45 en la recta es dada por: d ( 18,45 ) = | 18 – 45 | = | - 27 | = 27 El orden de los números no cambia el resultado puesto que esta definida mediante un valor absoluto, es decir; d ( 18,45 ) = | 45 – 18 | = | 27 | = 27 Práctica inmediata : Determina la distancia para los valores indicados 1.
d( -4, 72 )
2.
d ( -36, - 20 )
12 p 4 3 p 5 2 3
Procedimiento para resolver una ecuación lineal en una variable
EJEMPLO 4
1. Eliminar los denominadores en ambos lados de la ecuación; se multiplica ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
12 p 4 3 p 5 2 3 simplifica cancela factores comunes 3(12 p 4) 2(3 p 5)
2. Eliminar los paréntesis; aplicar la propiedad distributiva si es posible. 3. Simplificar la ecuación; sumar o restar los términos semejantes. 4. Agrupar a un lado de la ecuación todos los términos que tengan a la variable; se suman los opuestos de los términos que se desean eliminar. 5. Agrupar al lado opuesto de la ecuación todos los términos constantes; se suman los opuestos de los términos que se desean eliminar.. 6. Se despeja para la variable; se divide por el coeficiente entero a ambos lados de la ecuación o se multiplica por el recíproco de los coeficientes racionales a ambos lados de la ecuación.
3(12 p 4) 2(3 p 5) 36 p 12 6 p 10
36 p 12 6 p 10 36 p 6 p 12 10 30 p 12 10
30 p 12 12 10 12 30 p 22 30 p 22 30 30 22 11 p 30 15