Divisibilidad -Números primos y compuestos. -Múltiplos. Mínimo común múltiplo. -Divisores. Máximo común divisor. -Criterios de divisibilidad. -Descomposición factorial. -Aplicaciones.

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Números primos y compuestos Todos los números se pueden representar mediante rectángulos:

Algunos se pueden representar por un único rectángulo; son los números PRIMOS 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Sólo se pueden dividir por ellos mismos y la unidad: Rectángulo “primero”.

Otros se pueden representar por más de un rectángulo; son los números COMPUESTOS 4, 6, 8, 9, 10, 12, … Se pueden dividir por otros números además de por sí mismos y la unidad: varios rectángulos diferentes.

El 12 es un número compuesto, porque se puede escribir así:

Todos estos números que multiplican (1,2,3,4,6,12), recuerda que se llamaban factores:

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Múltiplos y divisores Los números tienen MÚLTIPLOS y DIVISORES

Múltiplos de un número: Son los que están en la “tabla de multiplicar” de ese número. Para calcular los múltiplos de 12 lo multiplicaríamos por 1, 2, 3, …, (a veces se incluye también la multiplicación por cero) : Saldrían: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 120, 132, 144, 156, 168, … Fíjate en que todos son mayores o iguales que el propio 12. Como los múltiplos de un número son infinitos y no se pueden escribir todos, se escriben varios y luego puntos suspensivos. Se representan así:

ó también así:

Múltiplos de 12:

Resumiendo, los MÚLTIPLOS de un número son mayores o iguales que él y se obtienen multiplicándolo por todos los números naturales. 3

Divisores de un número: Son los que pueden dividirlo de forma exacta (resto 0) Los números que dividían al 12 de forma exacta eran 1,2,3,4,6,12 Fíjate que son todos menores o iguales que él mismo. Se dice que 12 es divisible por, 1, y se obtienen 12 grupos de 1. 2, y se obtienen 6 grupos de 2. 3, y se obtienen 4 grupos de 3. 4, y se obtienen 3 grupos de 4. 6, y se obtienen 2 grupos de 6. 12, y se obtiene un grupo de 12. Entonces, los números son múltiplos y divisores de sí mismos: El 12 es múltiplo de 12 (12 por 1), y también es divisor de 12 (12:12=1). No hay infinitos divisores de un número sólo unos cuantos. Se representan así: El número 1 es divisor de todos los números.

Resumiendo, los DIVISORES de un número son menores o iguales que él y se obtienen dividiéndolo por los números naturales que den división exacta. ¡CUIDADO!, decir que un número es DIVISIBLE no quiere decir que es un divisor, sino que se puede dividir. De hecho es un MÚLTIPLO. 4

Criterios de Divisibilidad Saber si un número es PRIMO O COMPUESTO, es saber si tiene más divisores aparte de él mismo y del 1.

Pero si sabes estos CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD de memoria, no hace falta que dividas por 2, 3, 5, ni 11, porque sabrás rápidamente si son divisibles o no por ellos. Un número es divisible por … 2 3 5

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Criterio de divisibilidad Termina en 0 ó cifra par (2, 4, 6, 8). La suma de sus cifras es múltiplo de 3. Termina en 0 ó 5. La diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugares impares y la suma de las cifras que ocupan lugares pares es 0 ó múltiplo de 11 (11, 22, 33, …)

Así no tenemos que dividir para saber si el número 12 es primo o no, porque por los CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD sabremos que al terminar en cifra par, es divisible por 2, y que también es divisible por 3 porque al sumar sus cifras da múltiplo de 3. 5

Evaluación Escribe los diez primeros múltiplos de estos números: a) Múltiplos de 8: c) Múltiplos de 12: b) Múltiplos de 10: d) Múltiplos de 30:

¿Qué valores tienen que tener las letras A y B para que el número 37A 64B sea múltiplo de once? Contesta a las siguientes preguntas: a)¿Qué es un, número primo? b)¿Cuál es el número primo más pequeño? c) ¿Qué es un número, compuesto? Completa la siguiente tabla: NÚMERO 3 5 6 8 10

DIVISORES

¿ES PRIMO?

Criba de ERATÓSTENES: Tabla de los números primos (en amarillo) del 1 al 100. Se obtiene tachando de 2 en 2 a partir de 2, de 3 en 3 a partir de 3, de 5 en 5, a partir de 5, de 7 en 7 y de 11 en 11. Pruébalo. 6

Descomposición factorial Recuerda:

20 es MÚLTIPLO, y el 4 y el 5 son DIVISORES, porque 20 es DIVISIBLE por 4 y 5. Pero también tiene como divisores al 1, 20, 2 y 10. ¿Cómo podemos encontrar todos los divisores de un número entonces? Con la descomposición factorial. Descomposición factorial con DIAGRAMA DE ÁRBOL

también

De las dos maneras la descomposición en factores primos es la misma: Esta información permite calcular cuántos divisores tiene el nº y cuáles son: Tiene 6 divisores y son los que aparecen en la descomposición en árbol: (van por parejas) 7

Descomposición factorial La descomposición en árbol no es muy usada, se prefiere la siguiente forma abreviada: Con los CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD vamos dividiendo el número y colocamos a la izquierda de la línea vertical los cocientes. Estas divisiones deben hacerse mentalmente.

Número de divisores del 90: Que son: Como van por parejas, el 1 con el 90, el 2 con el 45, el 3 con el 30 (dividimos 90 entre 3), el 4 no es divisor, el 5 con el 18, el 6 con el 15, el 7 y el 8 no son divisores, el 9 con el 10. Como el 9 y el 10 están juntos, ya no hay más parejas.

Ejercicio: Haz tú la descomposición en factores primos de los números 24, 60, 75, 100 y 37. 8

Mínimo común múltiplo Hay muchos problemas que se resuelven calculando los múltiplos de dos o más números, sobre todo el más pequeño, o mínimo. Por ejemplo: En una parada de autobuses urbanos, un autobús pasa cada 15 minutos y otro cada 20 minutos. Si son las ocho y veinte de la mañana y están los dos en la parada, ¿a qué hora volverán a coincidir? Solución: Como el primer autobús pasa cada 15 minutos, partiendo de una hora determinada, pasará a los 15, luego a los 30, a los 45, a los 60,… Vemos que son múltiplos de 15. El otro autobús a los 20 minutos, 40, 60, 80, …, los múltiplos de 20. Así que el problema se resuelve buscando un múltiplo común a 15 y 20, y además que sea el mínimo, porque se pide “la próxima vez que vuelvan a coincidir” (y sabemos que múltiplos hay infinitos).

Si hacemos una tabla, lo veríamos:

Coincidirán los dos otra vez pasados 60 minutos, luego a las nueve y veinte de la mañana volverán a encontrarse.

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Siempre podemos hacer estas tablas, pero si los números son más grandes, nos llevaría mucho tiempo. Hay otro procedimiento: Calculo del mínimo común múltiplo: Este cálculo, claro, es para dos o más números.

1º Hay que descomponer los números en factores primos. 2º Como buscamos un múltiplo (número mayor o igual que los números que tenemos), y que sea común, tomamos los factores primos comunes a los dos y los no comunes, con el mayor exponente (ya que el resultado debe ser un número mayor o igual que cualquiera de ellos.

Para calcular el m.c.m.(15,20), descomponemos: Factores primos comunes a los dos: el 5. Como ambos están elevado a 1, nos quedamos con el 5. Y los factores no comunes: el 3 y el 2, pero elevado a 2

Otro ejemplo: Para calcular el m.c.m.(90,12) haríamos: Factores primos comunes a los dos: el 2 y el 3, elevados al mayor exponente. Y los factores no comunes: el 5.

Comprueba que el 180 es divisible por 90 y 12 y no hay otro menor que él. Es el mínimo común múltiplo.

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También hay muchos problemas que se resuelven calculando un divisor común a dos o más números y que sea el mayor, se llama máximo común divisor. Calculo del Máximo Común Divisor: En una cooperativa tienen 420 litros de aceite de oliva y 225 litros de aceite de girasol. Quieren envasar el aceite en garrafas iguales del mayor tamaño posible, sin que sobre aceite y sin mezclar los tipos de aceite en una misma garrafa. ¿De qué capacidad serán éstas? Como la capacidad de la garrafa es evidentemente menor de 420 y de 225 y además debe contener a ambas de forma exacta, buscamos un divisor común a 420 y 225 y que sea el máximo (del mayor tamaño posible). Buscamos el Máximo Común Divisor. 1º Hay que descomponer los números en factores primos. 2º Como buscamos un divisor (número menor o igual que los números que tenemos), y que sea común, tomamos sólo los factores primos comunes a los dos con el menor exponente (ya que el resultado debe ser un número menor). Si no hubiera ninguno, siempre tenemos el 1, y estos números serían primos entre sí.

Factores primos comunes: el 3 y el 5 ; elevados al menor exponente: 3 y 5.

Solución: Las garrafas tienen una capacidad de 15 litros. Comprueba tú que el 15 divide a 420 y a 225, y no hay otro divisor mayor que él que los divida a los dos.

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Evaluación -Calcula los divisores de los números: 32, 17, 121, 44, 1000. -Calcula M.C.D. y m.c.m. de: a) 12, 18. b) 30, 45, 90. c) 72, 18. d) 40, 80, 120. -¿Qué son números primos entre sí?

- ¿Qué contiene la criba de Eratóstenes? -¿Cómo sabemos si un número es primo o no? Di si lo son los números 101, 111, 121, 169, 2010, 227, 1331. - Con el número de gominolas que hay en una caja se pueden hacer bolsas de 6 y de 8 en cada bolsa. Si tenemos más de 90 y menos 100, ¿cuántas bolsas de 6 y 8 se pueden hacer? - Dos barcos salen de un puerto; el primero cada tres días y el segundo cada cuatro días. Si salieron juntos el día 21 de junio, ¿qué día volverán a salir juntos? - ¿Cuál es el número más próximo a 500 que es múltiplo de 15 y de 16 al mismo tiempo? -¿Cuál será el m.c.m. y M.C.D. de dos números que son uno múltiplo del otro, por ejemplo el 6 y el 42? 12

Evaluación -¿Cuál será el m.c.m. y M.C.D. de dos números que son primos entre sí, por ejemplo el 21y el 100?

-¿Se puede calcular el m.c.m. o el M.C.D. de un solo número? ¿Y de más de dos? -Un número será divisible (o múltiplo) por 6 si lo es a la vez por 2 y por 3. Compruébalo con el número 210. ¿Cuándo será u número divisible por 15?

-Un taxista cambia el aceite de su vehículo cada 3500 kilómetros, y le hace una revisión general cada 8000 km. ¿Cada cuántos km. coinciden las dos operaciones? -Se quiere cubrir con baldosas cuadradas el suelo de una habitación que mide 330 cm. de ancho por 390 cm. de largo . Se quiere realizar el trabajo utilizando baldosas lo más grandes posibles y sin cortan ninguna. ¿Cuál debe ser su tamaño? -Una finca rectangular mide 120 metros de largo y 160 metros de largo. Se quieren plantar árboles para cubrir el contorno, con la condición de que estén a igual distancia, y lo más separados posible. ¿A qué distancia deberán plantarse? -Si contamos los euros que hay en un monedero de 6 en 6, de 8 en 8, ó de 12 en 12 sobran 2; pero si los contamos de 14 en 14 no sobra ninguno. ¿cuál es el menor número de monedas de euro que contiene el monedero? 13

Vocabulario •

Número primo: (Completa tú)

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Número compuesto:

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Múltiplo:

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Divisor:

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Divisible:

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Números primos entre sí:

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Descomposición factorial:

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Divisibilidad:

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M.C.D.:

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M.c.m.:

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Criterios de evaluación (y CCBB) •

Calcular los múltiplos y divisores de un número dado. Páginas 3, 4, 6, 12 ( Mat. Aprender a aprender).

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Diferenciar entre los conceptos de múltiplo y divisor. Páginas 2,3,4,12,13 (mat. Aprender a aprender).

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Reconocer cuándo un número es divisible entre otro o no. En concreto discriminar si un número es divisible entre 2, 3, 5 y 11. Pág. 5,6. (Matemática).

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Determinar si un número es primo o compuesto y, en este último caso saber descomponerlo en factores primos. Páginas 2,6,7,8. (Mat. Aprender a aprender).

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Diferenciar entre números primos y números primos entre sí. Páginas 2,11. (Matemática.

•

Aplicar la descomposición factorial para hallar el m.c.m. y el M.C.D. de varios números. Pág. 9,10,11,12 (Mat. Apr.)

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Resolver problemas sencillos de divisibilidad. Páginas 9,10,11,12,13,14 (Mat. Ling. Social y ciudadana).

Bibliografía •

• Cuadernos. Ed. SM. • Apuntes de Matemáticas ESO. Círculo de Lectores. 2007 • Matemáticas 1º ESO. Ed. Oxford. Serie Trama. Proyecto Ánfora. 2007 15