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1 Números reales INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
El núcleo central de la unidad es el trabajo con los números reales. Se comienza repasando los números racionales, la equivalencia entre los números decimales y las fracciones y la transformación de unos en otros. A partir de aquí, se define el número irracional.
Esta unidad enlaza directamente con las unidades 1 y 2 del curso anterior, completando el trabajo con los números. En consecuencia, será necesario repasar los conceptos y procedimientos de esas unidades. Los conceptos básicos son:
Se practicará con las transformaciones de números decimales en fracciones, y viceversa, de forma que los alumnos entiendan cuál es el sentido de esta transformación.
• Lectura, escritura y representación de números decimales.
El concepto de número irracional es básico para estudios posteriores y se trabajará tanto de forma analítica como gráfica. Se amplía el concepto de recta real, a partir de los números racionales e irracionales, y la representación de números y de intervalos.
• Conversión de números decimales en fracciones.
• Operaciones sencillas con números decimales y fracciones. • Aproximaciones con números decimales.
A lo largo de la unidad, conviene hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de los números irracionales en distintos contextos relacionados con las longitudes, áreas, etc., así como las diferentes formas de cálculo con dichos números: exacta o aproximada. Las aproximaciones y estimaciones numéricas constituyen una herramienta del cálculo y se ha trabajado en cursos anteriores. Conviene resaltar el análisis de los resultados a partir de la valoración de los errores y determinar, en cada caso, el método de resolución más adecuado. Respecto al cálculo exacto con radicales se estudiará en la unidad siguiente.
CONTENIDOS NÚMEROS REALES • • • • • • •
Números racionales. Números irracionales. Números reales. La recta real. Intervalos. Aproximaciones. Errores en la aproximación.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
La prueba inicial es un resumen de los contenidos de las Unidades 1 y 2 del curso anterior sobre números racionales y números reales, haciendo hincapié en los procedimientos básicos: interpretación y operaciones con números decimales y fracciones, representación gráfica de los números racionales y aproximaciones.
La prueba contiene los conceptos más importantes de la unidad. Se ha hecho hincapié en conceptos procedimentales y gráficos: diferentes formas de expresar los números reales como fracción, como decimal, su representación en la recta, etc. Al final hay un par de cuestiones referidas a las aproximaciones y medidas de error.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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NÚMEROS REALES
EVALUACIÓN INICIAL 1
Completa la siguiente tabla indicando a qué conjuntos pertenecen los números. ⺞
−
⺪
⺡
⺙
⺢
13 7
23 −7, 8 8 2
2
En una tienda de tejidos miden con un metro defectuoso de exactamente 984 mm. Si una clienta compra 12 metros de tejido que cuesta 4,55 €/m, ¿cuánto le han cobrado de más?
3
Toma como unidad el cuadrado mayor, y escribe la fracción irreducible que representa la parte sombreada en cada caso. a)
4
b)
c)
d)
Sin operar clasifica los números en enteros, decimales exactos o decimales periódicos. a)
7 8
b)
8 7
c)
128 8
d)
35 15
Luego, escribe la expresión decimal exacta y redondeada a las centésimas. Representa los resultados de los apartados a) y b) de forma precisa en la recta real.
5
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Opera y simplifica. 5 ⎛⎜ 3 ⎛⎜ 5 15 ⎞⎟⎞⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⋅⎜ −⎜ : 9 ⎜⎝ 4 ⎜⎝ 7 2 ⎟⎠⎟⎠
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Completa la siguiente tabla indicando a qué conjuntos pertenecen los números. ⺞
−
⺪
13 7
⺙
⺢
∈
8 2
∈ ∈
23 −7, 8
2
⺡
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
En una tienda de tejidos miden con un metro defectuoso de exactamente 984 mm. Si una clienta compra 12 metros de tejido que cuesta 4,55 €/m, ¿cuánto le han cobrado de más? 4,55 €/m
12 metros
Error en cada metro: 1 − 0,984 = 0,016 metros ⎯⎯⎯⎯⎯ → 0,192 metros ⎯⎯⎯⎯⎯ → 1,02 € 3
Toma como unidad el cuadrado mayor, y escribe la fracción irreducible que representa la parte sombreada en cada caso. a)
b)
4 ⋅6 6 = 100 25
a) 4
b)
c)
3 ⋅5 3 = 100 20
c)
d)
4 ⋅9 9 = 100 25
d)
2 ⋅8 4 = 100 25
Sin operar, clasifica los números en enteros, decimales exactos o decimales periódicos. 7 8
a)
b)
8 7
c)
128 8
d)
35 15
Luego, escribe la expresión decimal exacta y redondeada a las centésimas. Representa los resultados de los apartados a) y b) de forma precisa en la recta real. 7 = 0 , 875 = 0 , 88 8
b)
D. exacto
−2
5
−1
8 = 1,14 = 1,142857 7
c)
D. periódico
0
7 1 8
2
128 = 16 8
d)
35 = 2 , 3 = 2 , 33 15
Entero
−2
−1
0
D. periódico
8
1 7
2
Opera y simplifica. 5 9
⎛ 3 ⎛ 5 15 ⎞⎟⎞⎟ ⎟⎟⎟⎟ = 5 ⋅ 315 − 40 = 5 ⋅ 275 = 1.375 = 275 ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎜⎜ : ⎝ 4 ⎜⎝ 7 2 ⎟⎠⎟⎠ 9 420 3.780 3.780 756 쮿 MATEMÁTICAS 4.° B ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿
3 PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
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NÚMEROS REALES contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales.
Reconocimiento de la relación de los números racionales e irracionales con los números decimales periódicos e ilimitados no periódicos.
1
Expresión de un número racional en forma decimal. Obtención de la expresión fraccionaria de un número decimal exacto o periódico.
2
Expresa los números decimales como fracciones, y viceversa. a) 3,14 d) 5, 3 3 b) e) 20, 321 7 11 809 c) f) 20 110
Representación en la recta de números reales e intervalos.
3
Representa, de forma exacta en la recta real, los siguientes números.
a) b) c) d)
a)
4
0,410034100341003... 2,101001000100001... 1,222333344444… 2,123412341234…
5
b)
1 3
c) −1
Representa en la recta real los intervalos y conjuntos. a) A = (0, 5)
c) C = [−5, +⬁)
b) B = [−3, 2)
d) D = ⏐x ⏐ ≤ 3
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos .......................................................................................................
1, 3, 4
• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ..........................................................
2, 3, 4, 5
• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ...........................................................................................
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6, 7, 8
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5 y
14 pertenecen o no 15
5
Comprueba si los números a los intervalos anteriores.
Obtención de una secuencia de aproximaciones decimales por defecto y por exceso de un número irracional. Obtención de aproximaciones de números decimales mediante redondeo y truncamiento hasta un orden dado.
6
Dado el número real 11 , escribe:
Determinación del error absoluto y el error relativo de una aproximación y una estimación. Cálculo de la cota o el margen de error de una aproximación.
7
El presupuesto de una reparación es de 500 €, con un margen de error del 12 %. ¿Entre qué valores puede oscilar el coste de la reparación?
Cálculo de errores y cotas de error de una aproximación o de una estimación, y expresión en forma decimal o porcentaje.
8
En las instrucciones de una báscula se indica que su precisión es de 5 centigramos. Pesamos una pila de reloj y la báscula marca 11 gramos y 230 miligramos. ¿Entre qué valores puede oscilar el peso real de la pila? Si suponemos que el peso real de la pila es de 11 gramos y 245 miligramos, ¿cuáles son los errores absoluto y relativo cometidos al dar como peso 11 gramos y 230 miligramos?
a) b) c) d)
Una sucesión de números decimales por defecto. Una sucesión de números decimales por exceso. Una sucesión de intervalos encajados. Aproximaciones de esta raíz a las centésimas.
CAPACIDADES PREFERENTES • Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................
PRUEBAS 1
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ............................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ...........................................................................................
6
• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................
7, 8
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
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NÚMEROS REALES
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Clasificación de números reales.
Son racionales los números de los apartados a) y d) y son irracionales los de los apartados b) y c). 2
Expresiones decimales y fraccionarias. a) 3,14 = b)
3
314 157 = 100 50
3 = 0 , 428571 7
809 = 7 , 354 110
f)
Representación de puntos en la recta.
−1
4
18.289 e) 20 , 321 = 900
11 = 0 , 55 20 48 d) 5 , 3 = 9
c)
0
1 3
1
5
2
Representación de intervalos en la recta. D C B −6
5
−5
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Comprobación de pertenencia. 5 ∈A −
6
−4
A
5 ∉B
14 ∉A 5
−
14 ∈B 5
5 ∈C −
14 ∈C 5
5 ∈D −
14 ∈D 5
Expresión de un número real en forma de intervalos. a)
11 = {3; 3,3; 3,31; 3,316; 3,3166; 3,31662; ...}
b)
11 = {4; 3,4; 3,32; 3,317; 3,3167; 3,31663; ...}
c)
11 ⊂ (3, 4) ⊂ (3,3; 3,4) ⊂ (3,31; 3,32) ⊂ (3,316; 3,317) (3,3166; 3,3167) ⊂ ...
d) Por redondeo: 11 = 3,32. Por truncamiento: 11 = 3,31. 7
Errores (I).
El coste puede oscilar entre: 500 − 12 % y 500 + 12 % → (440, 560) euros. 8
Errores (II).
El peso real puede estar entre 11,230 ± 0,05, es decir, entre 11,180 y 11,280. Error absoluto: Ea = ⏐11,245 − 11,230⏐= 0,015 Error relativo: Er =
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0 , 015 = 0,0013339... → 0,133 % 11, 245
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Potencias y radicales
INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
En esta unidad se trabajan sobre todo los procedimientos de manipulación de los números reales expresados como potencias, radicales y en notación científica, necesarios para trabajar con la calculadora. Es una unidad básicamente procedimental. No resulta difícil trabajar con las potencias, pero sí es complicado trabajar con los radicales, por lo que conviene conocer sus propiedades, y por ello será imprescindible explicar las relaciones que tienen con las potencias para que los alumnos lo entiendan mejor.
Esta unidad está relacionada con las Unidades 1 y 2 del curso anterior y la unidad anterior de este curso. Los conocimientos previos que deben tener los alumnos son: • Potencias con base y exponente enteros. • Trabajo con números decimales y en notación científica.
CONTENIDOS POTENCIAS Y RADICALES • • • • • •
Potencias de exponente entero. Notación científica. Radicales. Potencias de exponente fraccionario. Operaciones con radicales. Racionalización.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba contiene unas actividades de repaso de potencias y trabajo con números decimales y en notación científica, y es un resumen de los contenidos de la unidad 2 del curso anterior. Se hace énfasis en los aspectos procedimentales de las operaciones con potencias, por lo que es necesario realizar un repaso previo de las propiedades de las potencias con exponente natural o entero.
La prueba tiene dos partes claramente diferenciadas: la primera parte está formada por una serie de actividades referidas a potencias y notación científica (actividades 1 a 5): cálculo con potencias de exponente entero y trabajo con números en notación científica, y la segunda parte se refiere al cálculo con radicales (actividades 6 a 10), siendo las actividades 8 a 10 de operaciones con radicales y racionalización, que presentan más dificultad para los alumnos.
PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
PRUEBA INICIAL
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POTENCIAS Y RADICALES
EVALUACIÓN INICIAL 1
Escribe la base, el exponente y calcula estas potencias. Base
Exponente
Resultado
3
2
3−2 −4
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎟⎠
⎛ 3 ⎞⎟ ⎜⎜− ⎟ ⎟ ⎝⎜ 7 ⎟⎠
2
−2
⎛ 1 ⎞⎟ a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝5⎠
−2
b) ((−3)2 )
2
Calcula las siguientes potencias.
3
⎛1⎞ Expresa como una sola potencia: 32 ⋅ 93 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠
4
Calcula y simplifica la siguiente potencia: (8 ⋅ 4−2 )
5
Escribe en notación científica los números o expresiones numéricas.
−4
3
a) 1.700.000.000
6
418
⋅ 27−2
b) 0,0000000017
c) 0,0025 + 0,00000032 − 0,00002
Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro, con un diámetro de 7 millonésimas de metro y 2 millonésimas de altura. Expresa el volumen del glóbulo en notación científica.
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Escribe la base, el exponente y calcula estas potencias. Base
Exponente
Resultado
23
2
3
8
3−2
3
−2
1 9
1 5
−4
625
3 7
2
9 49
−4
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎝⎜ 5 ⎟⎠
⎛ 3 ⎞⎟ ⎜⎜− ⎟ ⎜⎝ 7 ⎟⎟⎠
2
−
−2
2
⎛ 1 ⎞⎟ a) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝5⎠
Calcula las siguientes potencias. ⎛1 a) ⎜⎜⎜ ⎝5 b)
−2
⎞ ⎟⎟ ⎟⎠
−2
= (5 −1 )
((−3 ) ) 2
−2
−2
b) ((−3)2 )
= 5 2 = 25 −4
= (−3 )
1
=
=
(−3 )
4
1 1 = 4 3 81 −4
3
⎛1⎞ Expresa como una sola potencia: 3 ⋅ 9 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝⎜ 3 ⎟⎠ 2
−4
⎛1 3 2 ⋅ 9 3 ⋅ ⎜⎜ ⎜⎝ 3 4
−4
⋅ 27 −2 = 3 ⋅ (3 2 ) ⋅ (3 −1 ) 3
⋅ 27−2 −2
⋅ (3 3 )
= 31 ⋅ 3 6 ⋅ 3 4 ⋅ 3 −6 = 31+6 +4 +(−6 ) = 3 5
Calcula y simplifica la siguiente potencia: (8 ⋅ 4−2 )
3
(8 ⋅ 4−2 )
3
5
⎞ ⎟⎟ ⎟⎠
3
=
((2 ) ⋅ (2 ) ) 3
2
−2
3
= (2 3 ⋅ 2 −4 ) = (2 −1 ) = 2 −33 3
3
Escribe en notación científica los números o expresiones numéricas. a) 1.700.000.000
b) 0,0000000017
c) 0,0025 + 0,00000032 − 0,00002
a) 1.700.000.000 = 1,7 ⋅ 10 9 b) 0,0000000017 = 1,7 ⋅ 10 −9
6
Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro, con un diámetro de 7 millonésimas de metro y 2 millonésimas de altura. Expresa el volumen del glóbulo en notación científica.
El volumen de un cilindro es: V = b ⋅ h, siendo la base un círculo. ⎛7 ⎞ π ⋅ 49 ⋅ 2 V = π ⋅ ⎜⎜ ⋅ 10 −6 ⎟⎟ ⋅ 2 ⋅ 10 −6 = ⋅ 10 −12 +(−6 ) = 7 ,7 ⋅ 10 −17 m 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 2
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
c) 0,0025 + 0,00000032 − 0,00002 = 2,48032 ⋅ 10 −3
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POTENCIAS Y RADICALES
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Interpretación de potencias. Realización de operaciones con potencias aplicando sus propiedades.
1
Expresión de números en notación científica.
2
Opera, aplicando las propiedades de las potencias. −3 ⎛ 0,2 ⎞⎟ ⎡ 0, 3 16 ⎤ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎢ ⋅ −1 ⎥ ⎜⎝ 0,5 ⎟⎠ ⎢ 1.000 5 ⎥ ⎣ ⎦ 5
Expresa en notación científica. a) 0,000075 b) 159 millones c) 6 cienmilésimas d)
3
32 10.000
Escribe en forma decimal o entera estos números expresados en notación científica. a) 3 ⋅ 107 b) 2,7 ⋅ 10−4 4, 76 ⋅ 10−3 ⋅ 3, 2 ⋅ 1011 8, 5 ⋅ 103
Cálculo con números en notación científica.
4
Halla el valor de: 1,32 ⋅ 104 +
Reconocimiento de las partes de un radical y su significado.
5
En cada caso, calcula el valor de x para que se cumpla la igualdad. a) x 3 = 8 x =2
b)
c) 2 = 512 x
d) x 5 = −0,00032 e)
9 = x
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ..................................................................................................... 2, 3 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ........................................................... • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................ 1, 2, 8 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ......................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ......................................................................................... 1, 4, 7, 8, 9
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Simplificación y amplificación de radicales. Operaciones con radicales.
08:50
6
Extrae fuera del signo radical todos los factores que puedas. a)
7
Página 421
3
343
b)
1 128
c)
80.000
d)
27 125
Efectúa estas sumas y restas de radicales. a) 2 2 − 3 32 + 6 8 + 5 2 + 4 32 b)
8
Realiza los siguientes cálculos. a)
b)
Racionalización de expresiones con raíces en el denominador.
9
3 + 5 3 + 2 3 − 4 243 + 2 27
4 6 ⋅2 3 5 18 ⋅ 3 32 a b 2ac 3 ⋅
3
abc 5
c a 5b 2c ⋅ b a 2b 3c 3
Racionaliza estas expresiones. a) b)
6 2 5
8 1
2 3 −3 2
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ........................................................................................... • Combinar, componer datos, resumir, etc. ......................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .................................................................................... 5
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
• Clasificar y discriminar según criterios .............................................................................................. 2, 5
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POTENCIAS Y RADICALES
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Operaciones con potencias. ⎛ 0,2 ⎞⎟ ⎡ 0, 3 16 ⎤ ⎜⎜ ⎥ ⎟ ⋅⎢ ⋅ ⎝⎜ 0,5 ⎟⎟⎠ ⎢⎣ 1.000 5−1 ⎥⎦ 5
2
3
−3
=
⎛1 ⎜⎜ ⎜⎝ 5
⎞5 ⎟⎟ ⎟⎠
⎛1 ⎜⎜ ⎜⎝ 2
⎞5 ⎟⎟ ⎟⎠
⋅
⎛ 3 ⎜⎜ ⎜⎝ 10
⎞−3 ⎟⎟ ⋅ 2 −12 ⎟⎠
10 −9 ⋅ 5 3
=
Notación científica (I). a) 0,000075 = 7,5 ⋅ 10 −5
c) 6 cienmilésimas = 6 ⋅ 10 −5
b) 159 millones = 159 ⋅ 10 6 = 1,59 ⋅ 10 8
d)
b) 2,7 ⋅ 10−4 = 0,00027
Operaciones con notación científica. 1,32 ⋅10 4 +
5
4,76 ⋅ 10 −3 ⋅ 3,2 ⋅ 10 11 1,5232 ⋅ 10 11 = 1,32 ⋅10 4 + = 1,32 ⋅ 10 4 + 1,792 ⋅10 5 = 1,924 ⋅ 10 5 3 8,5 ⋅ 10 8,5 ⋅ 10 3
Igualdades potenciales y exponenciales. a) x 3 = 8 → x = 2
e)
9 = x → x = ±3
d) x = −0,00032 → x = −0,2 5
Simplificación de radicales. a)
343 =
3
3
73 = 7 1 27
1 = 128
b)
7
c) 2x = 512 → x = 9
x = 2→x=4
b) 6
32 = 32 ⋅ 10 −4 = 3,2 ⋅ 10 −3 10.000
Notación científica (II). a) 3 ⋅ 107 = 30.000.000
4
2 5 ⋅ 2 3 ⋅ 5 3 ⋅ 2 −12 25 ⋅ 54 = 33 5 5 ⋅ 3 3 ⋅ 2 −9 ⋅ 5 −9 ⋅ 5 3
=
1 23
1 2
c)
80.000 =
d)
27 = 125
2 7 ⋅ 5 4 = 2 3 ⋅ 5 2 2 = 200 2 33 53
=
3 5
3 5
Sumas y restas con radicales. a) 2 2 − 3 32 + 6 8 + 5 2 + 4 32 = 2 2 − 3 ⋅ 4 2 + 6 ⋅ 2 2 + 5 2 + 4 ⋅ 4 2 = 23 2 3 + 5 3 + 2 3 − 4 243 + 2 27 = 8 3 − 4 ⋅ 3 2 3 + 2 ⋅ 3 3 = −22 3
b) 8
Productos y cocientes con radicales. a)
9
5 18 ⋅ 3 32
2 15
=
b)
a b 2ac 3 ⋅
3
abc 5
c a 5b 2c ⋅ b a 2b 3c 3
=
c ab2
3
cb a
Racionalización. a)
b)
422
4 6 ⋅2 3
6 2 5
8
=
6 2 ⋅
5
23 ⋅
5
5
1 2 3 −3 2
=
22 22
=
6 10 2 2 ⋅ 2 4 2
(
= 310 2 6 = 3 5 8
1⋅ 2 3 +3 2
(2
) (
)
3 +3 2 ⋅ 2 3 +3 2
)
=
2 3 +3 2 2 3 +3 2 =− 6 12 − 18
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3 Polinomios y fracciones algebraicas
INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
En esta unidad se perfecciona el manejo del lenguaje algebraico, que es fundamental en el proceso de abstracción matemático, iniciado en cursos anteriores, y que va a ser necesario para estudiar las Unidades 4 y 5 de este curso, que tratan sobre ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones.
En la Unidad 3 del curso anterior se trabaja con las expresiones algebraicas. Este manejo de las expresiones es fundamental tanto para esta unidad como en el estudio de ecuaciones y sistemas. Los aspectos más importantes que habrá que revisar son:
Al finalizar la unidad, los alumnos tendrán que manejar con soltura la división de polinomios, fundamental en el cálculo de raíces de polinomios, y también los productos notables desarrollados y sin desarrollar. La regla de Ruffini es también sencilla y suele resultar interesante para los alumnos. El aspecto más difícil es la factorización, por lo que convendría practicarla con diferentes ejemplos e indicar los pasos que deben seguirse.
• Operaciones con números desconocidos mediante el lenguaje algebraico. • Cálculo de sumas y restas de monomios semejantes. • Determinación de valores numéricos de expresiones algebraicas. • Sumas y restas de polinomios. • Multiplicación de polinomios. • Desarrollo de las igualdades notables.
Se termina la unidad con las fracciones algebraicas, que suponen una aplicación de todos los conceptos anteriores.
CONTENIDOS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS • Polinomios. • Regla de Ruffini. • Teorema del resto. • Raíces de un polinomio. • Potencia de un polinomio. • Factorización. • Fracciones algebraicas.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba resume los contenidos fundamentales de los polinomios estudiados en el curso anterior: diferenciar expresiones algebraicas de polinomios, identificar las diferentes partes de un polinomio, reducir y ordenar polinomios, operaciones sencillas con polinomios, y calcular el valor numérico de un polinomio.
La prueba que se ha diseñado contiene actividades relativas a la división de polinomios, la aplicación de la regla de Ruffini y el teorema del resto (actividades 1 a 5), y la factorización de polinomios de forma directa o con fracciones algebraicas (resto de actividades).
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
EVALUACIÓN INICIAL 1
Completa la tabla indicando el grado, el coeficiente y la parte literal de los monomios. Monomio
Coeficiente
Parte literal
Grado
2x 4 −7ab 2 2 2 3 2 mn p 5
2
Señala cuáles de las siguientes expresiones son polinomios. a)
3
x3 + 4
b)
2x − 3x 2 7
c)
2 − 3x 2 7x
3
5 d) 3 7x 2 +
x
5
De cada polinomio, señala el grado, el coeficiente principal, el término de grado 3 y el término independiente. Polinomio
Grado
Coeficiente principal
Término de grado 3
Término independiente
21x 3 + 4x 2 − 4x 4x 3 −
1 2 x + 8x 5 − 3 4
4 4 3 3 x + x − 5 x 2 + 2x 7 2
4
Reduce y ordena el siguiente polinomio.
P (x ) = 4x − 3x 2 + 5 − 3x + 7x 3 − 2x 2 − 3x 3 + 4
5
Saca factor común en 7 x 3 yz 2 +
6
Dados los polinomios:
P (x) = x 4 − 2x + 3
2 4 xyz 3 − x 2 y 2z . 3 5
Q (x) = 2x 3 − 3x 2 + 1
M (x) = x + 4
realiza las siguientes operaciones. a) P (x) − Q (x)
7
Dado el polinomio P (x) = 2x 3 − 3x 2 + x − 1, calcula su valor numérico. a) x = −1
424
b) Q (x) ⋅ M (x)
b) x = 1
c) x = 0
d) x =
2
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Completa la tabla indicando el grado, el coeficiente y la parte literal de los monomios. Monomio
Coeficiente
Parte literal
Grado
2x 4
2
x4
4
−7ab 2
−7
ab2
3
m2n3p2
7
2 5
2 2 3 2 mn p 5
2
Señala cuáles de las siguientes expresiones son polinomios. 2x 2 3 − 3x 2 − 3x 2 x c) d) 3 5 7 x 2 + 7 7x 5 Son polinomios las expresiones pertenecientes a los apartados b) y d). a)
3
x3 + 4
b)
De cada polinomio, señala el grado, el coeficiente principal, el término de grado 3 y el término independiente. Polinomio
Grado
Coeficiente principal
Término de grado 3
Término independiente
21x 3 + 4x 2 − 4x
3
21
21x3
0
5
8
4x3
−3
4
4 7
4x 3 −
1 2 x + 8x 5 − 3 4
4 4 3 3 x + x − 5 x 2 + 2x 7 2
4
−
3 3 x 4
0
Reduce y ordena el siguiente polinomio.
P (x) = 4x − 3x 2 + 5 − 3x + 7x 3 − 2x 2 − 3x 3 + 4 = (7 − 3)x3 + (−3 − 2)x2 + (4 − 3)x + (5 + 4) = = 44 x3 − 5 x2 + x + 9 5
6
2 xyz 3 − 3 ⎛ 2 4 7x 3 yz 2 + xyz 3 − x 2 y 2z = xyz ⎜⎜7 x 2 z + ⎝⎜ 3 5 Saca factor común en 7 x 3 yz 2 +
4 2 2 x y z . 5 2 2 4 ⎞⎟ z − xy ⎟ 3 5 ⎟⎠
Dados los polinomios:
P (x) = x 4 − 2x + 3
Q (x) = 2x 3 − 3x 2 − 1
M (x) = x + 4
realiza las siguientes operaciones. b) Q (x) ⋅ M (x) = (2 x3 − 3 x2 + 1)(x + 4) = 2 x 4 + 5 x3 − 12 x3 − x − 4 7
Dado el polinomio P (x) = 2x 3 − 3x 2 + x − 1, calcula su valor numérico. a) x = −1
b) x = 1
c) x = 0
d) x =
a) P(−1) = −7
b) P(1) = −1
c) P(0) = −1
d) P
2
( )=5 2
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2 −7
PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
a) P (x) − Q (x) = (x4 − 2 x + 3) − (2 x3 − 3 x2 − 1) = x 4 − 2 x3 + 3 x2 − 2 x + 4
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POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Realización de divisiones enteras de polinomios.
1
Haz la división entera entre los dos polinomios, señalando el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de la división. (x 5 − 2x 3 − x 2 − 60x + 3) : (x − 3)
Aplicación de la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio entre el binomio (x − a).
2
Completa el algoritmo aplicando la regla de Ruffini, y escribe los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto y la relación que hay entre ellos. 1
2
−4
−5
−2
3
1
1
−5
0
−2
R=
−1
Aplicación del teorema del resto para averiguar si un polinomio es divisible por (x − a).
3
Dado el polinomio P (x ) = x 3 + 3x 2 − x + 4: a) Calcula P (2). b) Halla el resto de la división de P (x) entre (x − 2) aplicando la regla de Ruffini. c) Compara los resultados anteriores. ¿Cómo son?
4
Mediante la regla de Ruffini o el teorema del resto, averigua si los siguientes polinomios son divisibles por (x − a). a) x 3 − a 3
b) x 3 + a 3
c) x 4 − a 4
CAPACIDADES PREFERENTES
426
d) x 4 + a 4
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................
1
• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................
2
• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...........................................................................
5
• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................................
2, 3
• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ...........................................................................................................
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8
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Factorización de un polinomio con coeficientes enteros hallando los divisores del término independiente.
Simplificación de fracciones algebraicas y reducción a común denominador.
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5
Calcula el valor de m en P (x ) = 8x 3 − 4x 2 + 2x + m para que x = −2 sea una raíz del polinomio.
6
Dado el polinomio P (x ) = x 4 + 7x 3 + 12x 2 − 4x − 16, calcula sus raíces y factorízalo.
7
Halla el valor de k del siguiente polinomio: P (x ) = x 4 − 9x 2 − 4x + x , sabiendo que es divisible por x − 1. Escribe su descomposición factorial.
8
Calcula, reduciendo a común denominador. 3 3 1 − 3 + 4 2 x − 4x x − 2x x − 4x 3 + 4x 2 3
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 7
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 7, 8
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POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
División de polinomios. −x5 + 3x4 − 2 x3 − 21x2 − 60 x + 3 −x5 + 3 x4
x −3 x4 + 3 x3 + 7 x2 + 20 x
−x5 + 3 x4 − 2 x3 − 21x2 − 60 x + 3 −x5 − 3 x4 + 9 x3 − x2 + 60x + 3 −x5 + 3x4 + 7 x3 − 21x2 − 60 xx+ 3 −x5 + 3x4 − 7 x3 + 21x2 + 60x + 3 −x5 + 3x4 − 2x3 + 20 x2 − 60 xx+ 3 −x5 + 3x4 − 2x3 − 20 x2 + 60 x + 3 −x5 + 3x4 − 2x3 − 21x2 + 60 x + 3 2
Algoritmo de Ruffini. 1 −1 1
3
2
−4
−5
−2
3
−1
−1
5
0
2
1
−5
0
−2
D( x) = x5 + 2 x4 − 4 x3 − 5 x2 − 2 x + 3 d( x) = x + 1 C( x) = x4 + x3 − 5 x2 − 2 R( x) = 5
R= 5
Teorema del resto (I).
1
a) P(2) = 2 + 3 ⋅ 2 − 2 + 4 = 22 3
2
b) Ruffini:
2
c) Son iguales. 4
1
−1
4
2
10
18
5
9
R = 22
Teorema del resto (II). a) P(a) = a3 − a3 = 0
5
3
b) P(a) = a3 + a3 = 2a3
c) P(a) = a4 − a4 = 0
d) P(a) = a4 + a4 = 2a4
Teorema del resto (III).
Aplicamos el teorema del resto: Resto = P(−2) = −52 + m Como el resto ha de ser igual a 0: −52 + m = 0 → m = 52 6
Teorema del resto (IV).
Las raíces son: x = 1, x = −2 (doble) y x = −4 y la descomposición factorial es: P( x) = (x − 1)(x + 2) 2(x + 4) 7
Descomposición factorial.
Si P(x) es divisible por x − 1 → P(1) = 1 − 9 − 4 + k = 0 → k = 12. Aplicamos Ruffini al polinomio P(x) = x4 − 9 x2 − 4 x + 12 y obtenemos las raíces: x = 1, x = −2 (doble) y x = 3. La descomposición factorial es: P(x) = (x − 1)(x + 2) 2(x − 3) 8
Fracción algebraica. 3 3 1 − 3 + 4 = x3 − 4 x x − 2 x2 x − 4 x3 + 4 x2 =
428
3 x (x − 2 ) x
2
(x − 2 ) (x + 2 ) 2
−
3 ( x − 2 )( x + 2 ) x
2
(x − 2 ) (x + 2 ) 2
+
1 ⋅ (x + 2 ) x
2
(x − 2 ) (x + 2 ) 2
=
−5 x + 14 x
2
(x − 2 ) (x + 2 ) 2
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4 Ecuaciones e inecuaciones INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Los contenidos de esta unidad son básicos en las Matemáticas. Las ecuaciones se han trabajado en cursos anteriores y no deberían suponer ninguna dificultad para los alumnos. Se completa la unidad con las propiedades de la suma y la resta de las soluciones de una ecuación, así como el estudio de otros tipos de ecuaciones basadas en la ecuación de segundo grado. Convendrá hacer hincapié en el tipo de ecuación y en la aplicación del método más sencillo para su resolución.
Los contenidos básicos para el estudio de esta unidad se han desarrollado en la Unidad 4 del curso anterior y en la unidad anterior de este curso. Estos contenidos son: • Diferenciación entre identidades y ecuaciones. • Resolución de ecuaciones de primer y de segundo grado. • Trabajo con desigualdades. • Representación de intervalos en la recta real.
En este curso se estudian las inecuaciones de primer grado, que pueden suponer más dificultades para los alumnos. Se tendrá que insistir en las similitudes y las diferencias con las ecuaciones para que los alumnos consoliden mejor los conceptos.
CONTENIDOS ECUACIONES E INECUACIONES • Ecuaciones de primer y segundo grado. • Otros tipos de ecuaciones. • Inecuaciones.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
Las actividades de la prueba inicial están dirigidas a comprobar si los alumnos tienen bien asimilados los procedimientos de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, así como la forma de trabajar con desigualdades y de representar diferentes tipos de intervalos en la recta real.
La prueba contiene actividades procedimentales de la unidad: se repasan las ecuaciones de segundo grado, completando cuadrados y aplicando la fórmula general. Hay dos actividades sobre ecuaciones de segundo grado y tres actividades referidas a las propiedades de las ecuaciones de segundo grado. La segunda parte trabaja las inecuaciones, su representación gráfica y problemas. La actividad 8 será la que resulte más complicada, y se tendrá que explicar bien a los alumnos cómo resolver las inecuaciones con fracciones y las reglas de los signos.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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ECUACIONES E INECUACIONES
EVALUACIÓN INICIAL 1
Escribe los tres conjuntos en forma de intervalo, o viceversa. Después, represéntalos en la recta real. a) (−8, 0) b) {x / −⬁ < x ≤ 2; x ∈ ⺢} c) ⏐x ⏐ ≤ 4
2
Indica si las siguientes expresiones algebraicas son identidades o ecuaciones. a) 5(x + 1) = 5(x − 2)
3
b) 2x + 3 = x + 3(2 − x) − 3 + 4x
c) x = x + 3x − 6
Aplicando propiedades de las desigualdades, despeja la variable z de la desigualdad. 3(z − 3) < 27 + 4z
430
2x + 8 3x − 5 = 2x − 5 7
4
Resuelve la ecuación de primer grado:
5
Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 + 8x = 0
6
Resuelve la ecuación de segundo grado: (x − 3)(x + 4) = 0
7
Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 − 5x + 6 = 0
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Escribe los tres conjuntos en forma de intervalo, o viceversa. Después, represéntalos en la recta real. a) (−8, 0) = {x / −8 < x < 0; x ∈ R} b) {x / − < x ≤ 2; x ∈ ⺢} = (−ⴥ, 2 ] c) ⏐x ⏐ ≤ 4 → {x / −4 ≤ x ≤ 4; x ∈ R} = [−4, 4 ] C B A −8
2
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Indica si las siguientes expresiones algebraicas son identidades o ecuaciones. a) 5(x + 1) = 5(x − 2)
b) 2x + 3 = x + 3(2 − x) − 3 + 4x
c) x = x + 3x − 6
a) No es una ecuación ni una identidad. b) Es una identidad. c) Es una ecuación.
3
Aplicando propiedades de las desigualdades, despeja la variable z de la desigualdad. 3(z − 3) < 27 + 4z a) Quitamos paréntesis: 3 z − 9 < 27 + 4 z b) Transponemos términos: 3 z − 4 z < 27 + 9 → −z < 36 c) Cambiamos los signos e invertimos la desigualdad: z > 36
4
Resuelve la ecuación de primer grado:
3x − 5 2x + 8 = 2x − 7 5
Quitamos denominadores: 15 x − 25 = 70 x − (14 x + 56). Quitamos paréntesis y transponemos términos: 15x − 70 x + 14 x = 25 − 56 → − 41 x = −31. Despejamos la x: x = 5
31 41
Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 + 8x = 0
Sacamos factor común: x(x + 8) = 0. Hay dos soluciones: x1 = 0 y x2 = −8 6
Resuelve la ecuación de segundo grado: (x − 3)(x + 4) = 0
7
Resuelve la ecuación de segundo grado: x 2 − 5x + 6 = 0
Aplicamos la fórmula: x =
5 ±
(−5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 . Hay dos soluciones: x1 = 3 y x2 = 2 2 ⋅1
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
⎧ x − 3 = 0 → x1 = 3 ( x − 3 ) ( x + 4 ) = 0 → ⎪⎨ ⎩⎪⎪ x + 4 = 0 → x 2 = −4
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ECUACIONES E INECUACIONES
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1
Resuelve la ecuación x 2 + 10x = 11, completando cuadrados y por el método general.
2
Resuelve esta ecuación de segundo grado: x −
Determinación del número de soluciones de una ecuación de segundo grado a partir de su discriminante.
3
Calcula el discriminante de las ecuaciones de segundo grado, y escribe el número de soluciones sin resolverlas.
Resolución de ecuaciones irracionales y bicuadradas.
4
Aplicación de las propiedades de la ecuación de segundo grado.
5
Resolución de ecuaciones de segundo grado, completando cuadrados y aplicando la fórmula general.
a) x 2 − x − 12 = 0
b) (x + 3)(x + 5) = 2
6 = 4 x +2
c) (x − 3)2 = 2x − 7
Resuelve estas ecuaciones. a) x 4 − 10x 2 + 9 = 0
b)
2x + 2 = x − 3
Calcula, sin resolver la ecuación, el valor de la suma y del producto de sus soluciones. 2x 2 + 7x − 15 = 0
6
Averigua para qué valores de k tendrá soluciones reales la ecuación de segundo grado x 2 − 8x + k = 0.
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ............................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................... 5, 6, 7 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ................................................................................................ 3 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................ 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10
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Resolución de inecuaciones de primer grado, y representación del conjunto solución.
Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado e inecuaciones de primer grado.
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Resuelve las inecuaciones y representa gráficamente la solución. a) 3x − 3 > x − 5
b) 3 (x + 1) ≤ (2x − 6)
c)
2(x − 1) 3(4 − x ) > 3 5
2x − 1 ≤1 3x + 4
8
Resuelve esta inecuación:
9
El perímetro de un rectángulo es 24 cm y su área mide 35 cm2. Halla el valor de los lados.
10 Un padre propone a su hijo un test de 100 preguntas con la siguiente
condición: por cada pregunta acertada le dará 0,50 € y cada pregunta fallada le quitará 30 céntimos. Al final del test, el hijo obtiene más de 26 €. ¿Cuántas preguntas como mínimo ha contestado bien?
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................................. 5 • Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ....................................................................................................... 1
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................
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ECUACIONES E INECUACIONES
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Resolución de una ecuación de segundo grado (I).
Completando cuadrados: x 2 + 10 x = 11 → x2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x + 5 2 = 11 + 5 2 → ( x + 5) 2 = 36 Extraemos la raíz cuadrada: x + 5 = Fórmula general: x = 2
36 = ±6 → x1 = 1, x 2 = −11
−10 ± 100 + 44 −10 ± 12 = ⇒ x1 = 1, x 2 = −11 2 2
Resolución de una ecuación de segundo grado (II).
Quitamos denominadores: x ( x + 2) − 6 = 4( x + 2). Quitamos paréntesis y ordenamos: x 2 + 2 x − 6 = 4 x + 8 → x 2 − 2 x − 14 = 0 → x =
3
2 ±
⎧⎪ x = 1 + 15 ( 2 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −14 ) → ⎪⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = 1 − 15 2 ⋅1
Discriminante y número de soluciones. a) Δ = (−1) 2 − 4 ⋅ (−12) > 0
b) Δ = 8 2 − 4 ⋅ 17 < 0
Por tanto, el número de soluciones reales de cada ecuación es: a) 2 4
c) Δ = 4 2 − 4 ⋅ 4 = 0 b) 0
c) 1 (doble)
Ecuaciones bicuadradas e irracionales. a) z =
⎧⎪ x = 9 = 3 x = 1 = 1 10 ± 10 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 10 ± 8 3 = = 5 ± 4 → ⎪⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = − 9 = −3 x 4 = − 1 = −1 2 ⋅1 2
b) Elevamos al cuadrado: 2 x + 2 = ( x − 3) 2 → 2 x + 2 = x 2 − 6 x + 9, ordenamos: x2 − 8 x + 7 = 0
y resolvemos: x = 5
−7 2
Producto:
−15 2
6
Propiedades de la ecuación de segundo grado (II).
El discriminante ha de ser positivo: Δ = (−8) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ k > 0 → 64 > 4 k → k < 16 c)
Resolución de inecuaciones de primer grado (I). a) (−1, +ⴥ)
8
⎧⎪ x = 7 Comprobando las soluciones vemos ( −8 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 7 =⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = 1 que ambas son válidas. 2
Propiedades de la ecuación de segundo grado (I). Suma:
7
8 ±
b) (−ⴥ, −9]
⎛ 46 ⎞ , +ⴥ⎟⎟ c) ⎜⎜⎜ ⎟⎠ ⎝ 19
b)
a) −9
−1
0
1
Resolución de inecuaciones de primer grado (II). ⎛ 4 ⎞ −x − 5 2x −1 ≤ 0 → ( −ⴥ, − 5 ] ∪ ⎜⎜− , +ⴥ⎟⎟ ≤1 → ⎜ ⎟⎠ ⎝ 3 3x + 4 3x + 4
9
Problemas con ecuaciones.
Si llamamos x a uno de los lados, el otro lado será 12 − x y, por tanto, resulta que x(12 − x) = 35, que es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: x1 = 7 y x2 = 5 10 Problemas con inecuaciones.
Si llamamos x al número de respuestas correctas, hemos de resolver la siguiente inecuación: 0,5 x − (100 − x) ⋅ 0,3 > 26 → 0,8 x > 56 → x > 70. El hijo ha contestado bien a más de 70 preguntas.
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5 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Los contenidos de esta unidad continúan y amplían los estudiados en el curso anterior y los de la unidad anterior de este curso. Así, se trabajan los sistemas de ecuaciones lineales y los diferentes métodos de resolución, ampliando con los sistemas de ecuaciones no lineales y los sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas.
En esta unidad se repasan las expresiones algebraicas, las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones, estudiados en las Unidades 4 y 5 del curso anterior y en la Unidad 4 de este curso, así como la representación de puntos en el plano.
Los sistemas de ecuaciones, sus métodos de resolución, el análisis de los resultados y su representación plantean ciertas dificultades a los alumnos. Es necesario que los alumnos sepan resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, y que conozcan que las ecuaciones de dos incógnitas tienen un tratamiento parecido.
• Cálculo con expresiones algebraicas. • Resolución de ecuaciones de primer grado y de sistemas de ecuaciones lineales. • Representación de puntos en el plano.
Los alumnos necesitarán repasar los siguientes conocimientos.
Las inecuaciones se han estudiado ya en la unidad anterior, y será necesario establecer las similitudes y diferencias con las ecuaciones asociadas a cada inecuación para que los alumnos consoliden mejor los conceptos.
CONTENIDOS SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES • • • • •
Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación de sistemas. Métodos de resolución de sistemas. Sistemas de ecuaciones no lineales. Sistemas de inecuaciones.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba contiene cuatro actividades: la primera actividad repasa la representación de puntos en el plano, y el resto trabaja los sistemas de ecuaciones para resolver de forma gráfica y analítica.
La prueba contiene actividades que trabajan los contenidos de la unidad: ecuaciones con dos incógnitas (actividad 1), sistemas equivalentes (actividad 2), resolución de un sistema por los métodos de reducción y sustitución (actividades 2 y 3), problemas con sistemas (actividades 4 y 5), inecuación con dos incógnitas (actividad 6), resolución de un sistema de inecuaciones (actividad 7) y un problema inverso (actividad 8): dada la gráfica, se hallan las inecuaciones.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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SISTEMAS DE ECUACIONES
EVALUACIÓN INICIAL 1
En los ejes de coordenadas de la figura, representa los siguientes puntos.
A(−1, 3)
B (2, −2)
C (3, 4)
D (0, 2)
Y
1
X
1
2
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
2x + 3y = 12⎪⎫ ⎬, representa las dos rectas en unos ejes x + y = 5⎪⎪⎭
de coordenadas y comprueba si los puntos A (0, 5), B (2, 3) y C (3, 2) pertenecen o no a las rectas.
3
Comprueba que son equivalentes los sistemas y resuélvelos. x − 2 y = 6⎫⎪ ⎬ 3x + 6 y = −6⎭⎪⎪
4
Calcula el valor de las bases de ambos rectángulos, sabiendo que la suma de sus áreas es 34 cm2 y que el triple de la base mayor es igual al cuádruplo de la base menor más 4 cm.
3 cm
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2x − 4 y = 12⎫⎪ ⎬ 5 x + 2 y = 6⎭⎪⎪
2 cm
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
En los ejes de coordenadas de la figura, representa los siguientes puntos.
B (2, −2)
A (−1, 3)
C (3, 4)
D (0, 2)
Y C A D 1
X
1
B
2
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
2x + 3y = 12⎪⎫ ⎬, representa las dos rectas en unos ejes x + y = 5⎪⎪⎭
de coordenadas y comprueba si los puntos A (0, 5), B (2, 3) y C (3, 2) pertenecen o no a las rectas. Y
Como se ve en la figura, los puntos A, B y C están en la recta x + y = 5, y el punto C está sobre la recta 2 x + 3 y = 12, por lo que es la solución del sistema.
A B C 1 1
3
X
Comprueba que son equivalentes los sistemas y resuélvelos. x − 2 y = 6⎫⎪ ⎬ 3x + 6 y = −6⎭⎪⎪
2x − 4 y = 12⎫⎪ ⎬ 5 x + 2 y = 6⎭⎪⎪
4
Calcula el valor de las bases de ambos rectángulos, sabiendo que la suma de sus áreas es 34 cm2 y que el triple de la base mayor es igual al cuádruplo de la base menor más 4 cm.
3 cm 2 cm
Llamamos a y b, respectivamente, a las bases de los dos rectángulos: 3 a + 2 b = 34 ⎫⎪ ⎬ → a = 8 cm y b = 5 cm 3 a = 4 b + 4 ⎪⎪⎭
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
Son sistemas equivalentes y la solución es: x = 2, y = −2
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SISTEMAS DE ECUACIONES
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Representación y obtención de soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
1
El doble de un número entero y el triple del otro suman 24. Escribe la expresión algebraica que los relaciona y da dos soluciones diferentes. Si el segundo número es el doble que el primero, ¿cuál será la solución?
Obtención de sistemas equivalentes a un sistema dado. Cálculo de las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos de sustitución, igualación y reducción.
2
Escribe un sistema equivalente a
Determinación gráfica de las soluciones (si existen) de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
3
Resolución de problemas reales con sistemas de ecuaciones.
4
Un comerciante mezcla vino de dos variedades diferentes: vino del tipo A que vale a 0,95 €/litro y vino de tipo B que vale a 1,40 €/litro, obteniendo 9 hectolitros que vende a 1,15 €/litro. ¿Cuántos litros de cada variedad ha mezclado?
5
En un edificio viven 96 personas. Si el número de hombres es
x − 3y = 8⎪⎫ ⎬ , de forma que los 2x + 4 y = −3⎪⎪⎭
coeficientes de la variable y sean iguales en las dos ecuaciones. Después, resuélvelo por el método de reducción.
Resuelve el sistema por el método de sustitución y represéntalo gráficamente:
2x − 5y = 15⎪⎫ ⎬ x + 4 y = 11⎪⎪⎭
3 del número 5
de mujeres, ¿cuántos hombres y mujeres viven en el edificio?
CAPACIDADES PREFERENTES • Enumerar e identificar elementos .....................................................................................................................
PRUEBAS 1, 3
• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..........................................................................
1, 2
• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................
1, 3
• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................................
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
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Reconocimiento de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y obtención de soluciones particulares de ellas y su conjunto solución.
6
Representa gráficamente la inecuación 3x + 2y ≤ 6, y escribe alguna solución de la misma.
Resolución de sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y representación del conjunto solución.
7
Representa gráficamente la solución del sistema
Obtención del conjunto solución de distintos sistemas de dos inecuaciones con dos incógnitas.
8
de inecuaciones:
x − 2y > 4 ⎫⎪ ⎬ 3x + y ≤ 6⎭⎪⎪
Escribe un sistema de inecuaciones cuya solución sea la siguiente gráfica. Y
1 1
X
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ..............................................................................................................
1, 3, 6, 7
• Combinar, componer datos, resumir, etc. ...........................................................................................................
4, 5, 6, 7, 8
• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................
8
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................
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SISTEMAS DE ECUACIONES
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Ecuación de primer grado con dos incógnitas.
Ecuación: 2 x + 3 y = 24. Soluciones: x = 0, y = 8 ; x = −3, y = 10; ... Si y = 2 x → 2 x + 3 ⋅ 2 x = 24 → 8 x = 24 → x = 3. La única solución es: x = 3, y = 6 2
Sistemas equivalentes. x − 3 y = 8 ⎫⎪ −4 x + 12 y = −32 ⎫⎪ ⎬ Multiplicamos la 1.ª ecuación por −4 y la 2.ª ecuación por 3: ⎬ 2 x + 4 y = −3 ⎪⎪⎭ 6 x + 12 y = −9 ⎪⎪⎭ 23 −19 , y sustituyendo en la 1.ª ecuación: y = 10 10
Restamos las dos ecuaciones: −10 x = −23 ⇒ x = 3
Resolución de sistemas de ecuaciones. Y
Sistema:
1
Despejamos la variable x de la 2.ª ecuación: x = 1 − 4 y la sustituimos en la 1.ª ecuación: 2(1 − 4 y) − 5 y = 15 → 2 − 8 y − 5 y = 15 → −13 y = 13 → y = −1 x = 1 − 4 (−1) = 5 La solución es: x = 5, y = −1
X
1 (5, −1)
4
2 x − 5 y = 15 ⎪⎫ ⎬ x + 4 y = 11⎪⎪⎭
Problemas con sistemas de ecuaciones (I).
Si llamamos x a la cantidad de litros de vino del tipo A e y a los litros de vino del tipo B, obtenemos el sistema: ⎧⎪ x = 500 litros x + y = 900 ⎫⎪ ⎬→ ⎨ ⎪⎪⎩ y = 400 litros 0 , 95 x + 1, 40 y = 900 ⋅ 1,150 = 1.035 ⎭⎪⎪ 5
Problemas con sistemas de ecuaciones (II).
Si llamamos x al número de hombres e y al número de mujeres, el planteamiento del problema es: ⎪⎧⎪ x + y = 96 ⎪ 3 , cuya solución es: x = 36, y = 60 ⎨ ⎪⎪ x = y 5 ⎪⎩ 6
Inecuación con dos incógnitas.
7
Y
Resolución de sistemas de inecuaciones (I). Y
A(−2, 2) 1 1
B (−3, −2)
8
1
C (1, 0) X
D (1, −3)
Resolución de sistemas de inecuaciones (II). x La gráfica es la solución del sistema: x y y
440
1
≥ < ≥ <
0 ⎪⎫⎪ 3 ⎪⎪ ⎬ 0 ⎪⎪ 5 ⎪⎪⎭
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6 Semejanza INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
En esta unidad se repasan algunos conceptos y cuestiones estudiados en el primer ciclo de ESO, así como en la Unidad 10: Movimientos y semejanzas, de 3.º ESO, referidos a cuestiones de semejanza como ampliación del concepto de proporcionalidad geométrica. No se hace hincapié en las construcciones porque se han trabajado en los temas correspondientes del primer ciclo, y se ha hecho incidencia en los aspectos de cálculo. Son interesantes los problemas de aplicación y los ejercicios de semejanza entre áreas o volúmenes en los que los alumnos suelen fallar, al no aplicar el cuadrado o el cubo de la razón de semejanza.
Esta unidad enlaza directamente con las Unidades 8, 9 y 10 de 3.º ESO: Figuras planas, Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, y Movimientos y semejanzas. Se trata de revisar los siguientes puntos. • Proporcionalidad numérica y geométrica. • Concepto de semejanza. Teorema de Tales. • Teorema de Pitágoras. • Áreas de figuras planas. Volúmenes de cuerpos geométricos.
CONTENIDOS SEMEJANZA • • • • • •
Semejanza. Teorema de Tales. Semejanza de triángulos. Semejanza en triángulos rectángulos. Aplicaciones de la semejanza de triángulos. Semejanza en áreas y volúmenes.
SUGERENCIAS Y CUESTIONES SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba consta de una serie de actividades referidas a los aspectos que han de ser conocidos por los alumnos: concepto de proporcionalidad geométrica, teorema de Tales, teorema de Pitágoras y cálculo de áreas y volúmenes.
Hay algunos conceptos de la unidad que ya habían sido trabajados en cursos anteriores y en los cuales se ha hecho más énfasis en la prueba inicial, por lo que las actividades de la prueba de la unidad se han basado en aspectos de cálculo, más que de construcción: las tres primeras cuestiones están referidas al teorema de Tales y a los criterios de semejanza de triángulos. El resto se refiere a las aplicaciones de la semejanza: en triángulos rectángulos y en áreas y volúmenes.
PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
PRUEBA INICIAL
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SEMEJANZA
EVALUACIÓN INICIAL 1
Observa los pares de segmentos y calcula su razón de semejanza. ¿Están en proporción? 6 cm
2
4 cm
8 cm
8 cm
6 cm
12 cm
(A )
(B )
(C )
C
Observa la siguiente figura y contesta. 10
b) ¿Cuánto mide el lado CN ? ¿Y el lado CM ?
A
3
cm M
N 4 cm
12 cm
m 8c
a) ¿Que triángulos están en posición de Tales?
B
Dibuja un triángulo rectángulo ABC , siendo A = 90°, y cuyos lados midan 3, 4 y 5 cm y, después, traza la altura correspondiente a la hipotenusa (AM ), originándose dos triángulos, AMB y AMC . a) ¿Cómo son estos triángulos? b) ¿Son semejantes ABC y AMB ? ¿Por qué? c) ¿Son semejantes ABC y AMC ? ¿Por qué? d) ¿Son semejantes AMB y AMC ? ¿Por qué?
4
Completa la tabla. Hipotenusa
13
Cateto
Cateto
3
4
5 5
5
442
8
Calcula el área del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el área del cuadrado exterior es de 14,67 cm2.
2,94 cm
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Observa los pares de segmentos y calcula su razón de semejanza. ¿Están en proporción? 6 cm
6 (A) 8 2
4 cm
8 cm
8 cm
6 cm
12 cm
(A )
(B )
(C )
4 ( B) 6
8 ( C) → ( B) y ( C) están en proporción. 12
Observa la siguiente figura y contesta. a) ¿Que triángulos están en posición de Tales? b) ¿Cuánto mide el lado CN ? ¿Y el lado CM ?
a) Los triángulos ABC y MNC tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.
C
A
3
cm M
N 4 cm
m 8c
10
b)
AB AC AC ⋅ MN 10 ⋅ 4 10 = → CM = = = cm MN CM AB 12 3
B
12 cm
AB BC BC ⋅ MN 8 ⋅4 8 = → CN = = = cm MN CN AB 12 3
Dibuja un triángulo rectángulo ABC , siendo A = 90°, y cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm y, después, traza la altura correspondiente a la hipotenusa (AM ), originándose dos triángulos, AMB y AMC . B
a) ¿Cómo son estos triángulos? Son triángulos rectángulos. b) ¿Son semejantes ABC y AMB ? ¿Por qué? Sí, pues tienen los tres ángulos iguales.
M
c) Son semejantes ABC y AMC ? ¿Por qué? Sí, por la misma razón. d) Son semejantes AMB y AMC ? ¿Por qué? Sí, porque dos triángulos semejantes a un tercero son semejantes entre sí. C A
5
Completa la tabla. Hipotenusa
Cateto
Cateto
5
3
4
13
5
12
89
5
8
Calcula el área del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el área del cuadrado exterior es de 14,67 cm2.
2,94 cm
Hallamos el lado de cuadrado mayor: l = 14, 67 = 3,83 cm; por lo que x = 3,83 − 2,94 = 0,89 cm y A = l2 = 2,942 + 0,89 2 = 9,4357 cm 2.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
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SEMEJANZA contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Aplicación del teorema de Tales.
1
D
Calcula la longitud del segmento BD de la figura.
x B m 5c
A Reconocimiento y construcción de triángulos semejantes.
2
C
4 cm
E
5 cm
Comprueba si son o no semejantes los triángulos. ⎪⎧ a) ⎪⎨ A = 32° B = 65° ⎪⎪ A ⎩ ' = 32° C' = 73° ⎧ b) ⎪⎨a = 6 ⎪⎪⎩a' = 15 ⎧⎪ c) ⎪⎨ A = 50° ⎪⎪ A ⎩ ' = 50°
3
b =5 c =4 b' = 12 c' = 10 b = 6,5 b' = 26
c =8 c' = 32 E
Calcula el valor de las incógnitas de la figura. t
C 100°
4
z
x
y
A
55°
B
D
Construye un triángulo semejante al de la figura, de forma que la razón de semejanza sea 1,5. B
A
5
A
Halla la medida del segmento BD sin utilizar el teorema de Pitágoras. 3,3 cm
Aplicación de las propiedades de la semejanza en triángulos rectángulos.
C
B
5, 5
x D
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos .......................................................................................................
1, 3
• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ..........................................................
1, 2, 3, 4
• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ...........................................................................................
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cm
2,8 cm
4, 5, 6, 7, 8
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C
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Aplicación de la semejanza de triángulos para resolver problemas.
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Calcula la profundidad de una piscina que mide 4 m de ancho, si una persona que mide 1,80 m al separarse 2,25 m del borde, ve la esquina inferior de la piscina alineada con la esquina superior.
B 1,8 m
C A 2,25 m
C'
Aplicación de la semejanza en el cálculo de áreas y volúmenes.
7
C ''
Hacemos una fotocopia reducida al 80 % de un dibujo en el cual se observa un hexágono de lado 6 cm. ¿Cuál será el área del hexágono de la fotocopia?
6 cm
8
4m
80 %
Calcula el volumen de estas pirámides semejantes de base cuadrada.
4 cm
6 cm
3,5 cm
• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................
PRUEBAS 2
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ............................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................
8
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
CAPACIDADES PREFERENTES
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SEMEJANZA
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Longitud del segmento.
Aplicando el teorema de Tales: 2
3
AB AD 5 5 +x 25 = → = → 45 = 20 + 4 x → x = = 6 , 25 cm AC AE 4 9 4
Criterios de semejanza (I). = 32° , ⎪⎧⎪A B = 65° → C = 83° a) No: ⎨ ⎪⎪A' = 32° , B ' = 75 ° → C ' = 73° ⎩
b) No:
6 4 5 = ≠ 15 10 12
= A ' y 6 , 5 = 8 c) Sí: A 26 32
Criterios de semejanza (II).
Son triángulos semejantes, por lo que x = 55°, t = 100° → y = 180° − (100° + 55°) = 25°, y z es el ángulo suplementario de x: z = 180° − 55° = 125°. 4
Construcción de triángulos semejantes. B' B
A
5
C
A'
C'
Semejanza en triángulos rectángulos.
Como los triángulos ABD y CAD son semejantes: AB BD 3, 3 x 3, 3 ⋅ 2 , 8 = → = → x = = 1, 68 cm CA AD 5,5 2,8 5,5 6
Aplicación de la semejanza.
Como los triángulos ABC y C'CC'' son semejantes: 4 x = → x = 3, 2 m 1, 80 2 , 25
B 1,8 m
C A 2,25 m x
C'
7
4m
C ''
Semejanza en áreas.
La razón de semejanza es 0,8. El área del hexágono es: A =
perímetro ⋅ apotema 6 ⋅6 ⋅3 3 = = 54 3 ≈ 93 , 5 cm 2 2 2
A' = 0 , 8 2 = 0 ,64 → A' = 93 , 5 ⋅ 0 ,64 = 59 , 84 cm 2 A 8
Semejanza en volúmenes.
El volumen de la pirámide es: V = La razón de semejanza es: k =
1 1 ⋅B⋅h = ⋅ 3 , 5 2 ⋅ 4 = 16 , 34 cm 3 3 3
6 = 1, 5 4
El volumen de la pirámide mayor es:
446
V' = k 3 = 3 , 375 → V ' = 3 , 375 ⋅ 16 , 43 = 55 ,15 cm 3 V
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Trigonometría
INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Esta unidad comienza definiendo las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo, lo que nos permitirá definir las razones de un ángulo cualquiera. Se deduce la relación fundamental de la trigonometría a partir del teorema de Pitágoras y se aplican estos conceptos en la resolución de triángulos y otras aplicaciones sencillas en esta aproximación a la trigonometría.
Esta unidad es nueva para los alumnos, pero está basada en diferentes unidades de cursos anteriores: Unidad 4 de 2.º ESO: Sistema sexagesimal, y de este curso: Unidad 6 de 4.º ESO, sobre semejanza de triángulos. En resumen, es conveniente hacer un repaso de:
La principal dificultad de la unidad es reconocer y saber cómo obtener las razones trigonométricas de un ángulo. Conviene dedicar un tiempo a este cálculo, y a la transformación de ángulos fuera del primer cuadrante, para asegurar su comprensión por parte de los alumnos. La relación fundamental de la trigonometría, la resolución de triángulos rectángulos y las aplicaciones geométricas y reales requieren también la realización de diferentes actividades.
• • • • •
Formas complejas e incomplejas de medir ángulos. Transformación de grados a radianes. Teorema de Pitágoras. Proporcionalidad geométrica. Semejanza de triángulos.
CONTENIDOS TRIGONOMETRÍA • • • • •
Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo. Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Aplicaciones de la trigonometría.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba consta de diferentes actividades referidas a aspectos geométricos que son necesarios para el estudio de la unidad: triángulos, polígonos y ángulos, transformaciones de ángulos y semejanza. Los teoremas de Pitágoras y de Tales aparecen en la actividad 3.
Las actividades propuestas para la unidad están divididas en dos bloques. El primer bloque es de actividades de comprensión de los conceptos de la unidad: cálculo de razones de diferentes ángulos, transformación de las razones de un ángulo y aplicación de la relación fundamental de la trigonometría. El segundo bloque consta de actividades de aplicación de esos conceptos en la resolución de triángulos, cálculo de áreas y otros problemas de tipo geométrico.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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TRIGONOMETRÍA
EVALUACIÓN INICIAL 1
Observa la siguiente señal de tráfico, que indica peligro por la presencia de una pendiente en un tramo de carretera. a) ¿Cuál es el significado de 9 %? 9%
b) Dibuja una señal de tráfico que indique peligro por una pendiente de 10 % en sentido descendente. c) ¿Qué significaría, en este caso, 10 %?
2
La señal de STOP tiene la forma de un polígono regular.
STOP
a) ¿Cómo se llama este polígono? b) ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? c) Si unimos cada vértice con el centro del polígono, ¿cómo son los triángulos que se forman? ¿Cuánto miden sus ángulos?
3
En el triángulo ABC de la figura se traza una recta paralela al lado AB que corta a los otros lados en los puntos D y E. Dados CE = 2,4 cm, CA = 5 cm y DB = 2,1 cm, halla la longitud de CB y AB.
C D B E
A
4
Completa la siguiente tabla, pasando de radianes a grados, y viceversa. Grados
0°
30°
45°
90°
150°
π 3
Radianes
5
448
300° π
3π 4
4π 5
¿Qué ángulo es mayor, 102,25° o 102° 25’?
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3π
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Observa la siguiente señal de tráfico, que indica peligro por la presencia de una pendiente en un tramo de carretera. a) ¿Cuál es el significado de 9 %?
9%
b) Dibuja una señal de tráfico que indique peligro por una pendiente de 10 % en sentido descendente. c) ¿Qué significaría, en este caso, 10 %? Δy a) La pendiente se define como el cociente: m = entre dos puntos Δx de la recta, por lo que si x vale 100 metros, y vale 9 metros.
B Δy α
A
b) Señal de descenso peligroso del 10 %.
Δx
10 %
c) Por cada 100 metros en horizontal se bajan 10 metros en vertical. 2
La señal de STOP tiene la forma de un polígono regular. 135°
a) ¿Como se llama este polígono? Octógono. b) ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? 135°
3
67° 30’ 67° 30’
45°
c) Si unimos cada vértice con el centro del polígono, ¿cómo son los triángulos que se forman? Isósceles. ¿Cuánto miden sus ángulos? Ángulo central de 45° y ángulos iguales de 67° 30’.
C
En el triángulo ABC de la figura se traza una recta paralela al lado AB que corta a los otros lados en los puntos D y E. Dados CE = 2,4 cm, CA = 5 cm y DB = 2,1 cm, halla la longitud de CB y AB.
D B E
Como aplicación de teorema de Tales: 2,4 CE CD CD = → = → CD = 1, 94 cm; CB = 4 ,04 cm 5 CA CB CD + 2 ,1
Aplicando el teorema de Pitágoras: AB =
5
2
=
5 2 + 4 , 04 2 = 6 , 43 cm
Completa la siguiente tabla, pasando de radianes a grados, y viceversa. Grados
0
30°
45°
90°
150°
300°
60°
180°
135°
144°
540°
Radianes
0
π 6
π 4
π 2
5π 6
5π 3
π 3
π
3π 4
4π 5
3π
¿Qué ángulo es mayor, 102,25° o 102° 25’?
102,25° = 102° +
25 ⋅ 60 = 102° 15’ → 102,25° < 102° 25’ 100
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
4
2
AC + BC
A
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TRIGONOMETRÍA
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Determinación de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
1
Calcula las siguientes razones trigonométricas del triangulo de la figura. a) sen α
b) tg β
β
c) cos α
3,4 α
2,5
Utilización de la relación fundamental de la trigonometría.
2
Conocimiento y determinación de las razones trigonométricas de los ángulos notables.
3
4 y x es un ángulo agudo, halla el resto de razones 5 trigonométricas directas de dicho ángulo sin utilizar la calculadora. Si sen x =
Completa la siguiente tabla con las razones trigonométricas de estos ángulos notables. 0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
sen cos tg
Determinación del signo de las razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en que se encuentran.
4
Completa la tabla con los signos que corresponden a cada ángulo en función del cuadrante en que están situados. 76° 12’
213° 45’
123° 54’
345°
sen cos tg
Utilización de las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios, ángulos suplementarios y ángulos opuestos.
5
Calcula el seno y la tangente de un ángulo de 330°.
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ..................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ........................................................... • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................ 6, 7, 8 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ......................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ......................................................................................... 1, 5, 6, 7, 8, 9
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Resolución de un triángulo rectángulo, conociendo dos lados o un lado y un ángulo.
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Resuelve el siguiente triángulo rectángulo. B cm 20
21° 45’
C Aplicación de la Geometría en la resolución de problemas geométricos y reales.
7
A
Halla el área de un parcela de terreno que tiene forma de triángulo isósceles, sabiendo que los lados iguales miden 56,8 m y que los ángulos iguales miden 76° 30’. A 76° 30’
56,8 cm
C
B 76° 30’
D
8
cm 56,8
De un rombo sabemos que la medida de sus ángulos menores es de 60° y su diagonal menor mide 25 cm. Calcula su área. B
A
60°
25 cm
C
D
9
Un avión vuela a una altura de 1.000 m y observa que el ángulo de depresión de un aeropuerto es de 12° 50’. ¿A qué distancia se encuentra del aeropuerto? C
12° 50’
B 1.000 m
A
10 Calcula la altura de la torre de la figura, si sabemos que desde una distancia
de 25 m se ve el extremo de la torre con un ángulo de 41° 30’.
41° 30’ 25 m
PRUEBAS
• Clasificar y discriminar según criterios .............................................................................................. 3, 4 • Contrastar operaciones, relaciones, etc. ........................................................................................... • Combinar, componer datos, resumir, etc. ......................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .................................................................................... 2, 3, 4
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
CAPACIDADES PREFERENTES
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TRIGONOMETRÍA
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Aplicamos el teorema de Pitágoras: h = a) sen α = 2
2,5 = 0,7353 3, 4
2
2
2
2,5 = 0,5924 4 , 22
2
=
1−
16 = 25
9 3 = 25 5
4/5 4 sen x = = 3/5 3 cos x
4
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
0
1 2
2 2
3 2
1
0
−1
0
cos
1
3 2
2 2
1 2
tg
0
3 3
1
3
0
−1
0
0
1
Tabla (II). 76° 12’ 213° 45’ 123° 54’ 345°
sen
+
−
+
−
cos
+
−
−
+
tg
+
+
−
−
0
Razones de ángulos opuestos. sen 330° = −sen (360° − 330°) = −sen 30° = −
1 2
tg 330° = −tg 30° = −
3 3
Resolución de triángulos. AB = 20 ⋅ sen 21° 45’ = 7,41 cm
7
⎞ ⎟⎟ ⎟⎠
Tabla (I).
sen
6
c) cos α =
⎛3 ⎜ sen x + cos x = 1 → cos x = 1 − sen x → cos x = 1 − ⎜⎜ ⎝4 tg x =
5
b) tg β =
Relación fundamental de la trigonometría. 2
3
3, 4 = 0,8056 4 , 22
2 , 5 2 + 3 , 4 2 = 4 , 22
AC = 20 ⋅ cos 21° 45’ = 18,58 cm
B = 90° − 21° 45’ = 68° 15’
Aplicación de la trigonometría en el cálculo de áreas. AC = 56,8 ⋅ cos 76° 30’ = 13,26 m y BC = 56,8 ⋅ sen 76° 30’ = 55,23 m, siendo el área: A = 732,36 m 2
8
Aplicación de la trigonometría en contextos geométricos reales (I).
La diagonal mayor vale: D = 2 ⋅ 25 ⋅ sen 60° = 25 3 y el área es: A = 9
D⋅d 25 3 ⋅ 25 = = 541,06 cm 2 2 2
Aplicación de la trigonometría en contextos geométricos reales (II). AC =
1.000 = 4.620,22 m sen 12 ° 30’
10 Aplicación de la trigonometría en contextos geométricos reales (III).
En el triángulo que se forma: tg 41° 30’ =
452
h → h = 25 ⋅ tg 41° 30’ = 22,12 m 25
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8 Vectores y rectas INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Esta unidad está dividida en dos bloques. En el primer bloque se analiza el concepto de vector y sus características: módulo, dirección y sentido y la relación entre las componentes de un vector y las coordenadas de puntos, que es la base de la Geometría analítica; se sigue con las operaciones con vectores de manera gráfica y analítica: suma, resta y producto por un número. A partir de ello obtendremos dos aplicaciones muy importantes: distancia entre dos puntos y cálculo del punto medio de un segmento.
Los conceptos de la unidad han sido tratados en 3.º ESO: Movimientos y semejanzas. Aparte de ello, hay algunos conceptos que conviene repasar: • Coordenadas en el plano. • Movimientos. • Vectores. • Teorema de Pitágoras. • Resolución de sistemas de ecuaciones.
En el segundo bloque estudiaremos las diferentes ecuaciones de las rectas, la transformación de unas en otras, las relaciones entre ellas y el estudio de las posiciones de dos rectas en el plano.
CONTENIDOS VECTORES Y RECTAS • Vectores. • Operaciones con vectores. • Vectores paralelos y perpendiculares. • Ecuaciones de la recta. • Posiciones de dos rectas en el plano. • Problemas métricos.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
La prueba consiste en una serie de actividades sobre estos temas: teorema de Pitágoras (actividad 1); vectores (actividad 2), aunque se volverá a definir otra vez al principio de la unidad; traslaciones en el plano (actividades 3 y 4) y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Las actividades que se proponen en la prueba están divididas en dos bloques: el primero es de actividades relacionadas directamente con los vectores (actividades 1 a 5). Destacan la actividad 3, de representación gráfica, y las dos últimas actividades, que son aplicaciones métricas de los vectores. El segundo bloque se refiere a las rectas (actividades 6 a 10), donde se ven las diferentes formas de las rectas, puntos de corte (actividad 9) y aplicaciones de cálculo de formas diferentes de rectas (actividad 10).
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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VECTORES Y RECTAS
EVALUACIÓN INICIAL 1
Calcula el valor del cateto c del triángulo rectángulo, sabiendo que a = 13 y b = 11. C
a
b
A
2
B
c
Escribe las coordenadas del vector de la figura y calcula su módulo. Y B A
1 1
3
X
Dados el cuadrado y el vector de la figura: a) Calcula las coordenadas de los vértices del cuadrado.
Y
b) Escribe las componentes del vector. ជ v
B
c) Calcula los transformados de los vértices del cuadrado mediante la traslación del vector.
C
d) Dibuja el cuadrado transformado.
1
A
454
D
1
X
4
Un triángulo F tiene por vértices los puntos: A (−3, 0), B (−1, 4) y C (2, 5). Halla el triángulo transformado F ' mediante el vector vជ(2, −3).
5
Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:
2x + 4 y = 3⎫⎪ ⎬ 3x − y = 8⎭⎪⎪
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Calcula el valor del cateto c del triángulo rectángulo, sabiendo que a = 13 y b = 11. C
a
b
c= A
2
13 2 − 112 =
48 6 , 93 u
B
c
Escribe las coordenadas del vector de la figura y calcula su módulo. Y B A
1
X
1
3
ជ (5, 1) A(−2, 1), B(3, 2) → AB
ជ⏐ = ⏐AB
5 2 + 12 =
26 u ≈ 5,1 u
Dados el cuadrado y el vector de la figura: Y
a) Calcula las coordenadas de los vértices del cuadrado. b) Escribe las componentes del vector.
ជ v
B
c) Calcula los transformados de los vértices del cuadrado mediante la traslación del vector.
C 1
d) Dibuja el cuadrado transformado. D
A
1
X Y
a) Vértices: A( −3 , −1)
B( −3 , 2 )
C( 0 , 2 )
D( 0 , −1)
ជ v
v = (4, 2) b) Vector : ជ
c) Vértices transformados: A'( 1, 1)
B'( 1, 4 )
C'( 4 , 4 )
B'
C'
D'( 4 , 1) A'
d) Figura transformada.
D' X
4
Un triángulo F tiene por vértices los puntos: A (−3, 0), B (−1, 4) y C (2, 5). Halla el triángulo transformado F ' mediante el vector vជ(2, −3).
Por traslación, los vértices del triángulo transformado F son:
5
ជ(2, −3) +v
B(−1, 4) ⎯⎯⎯⎯→ B’(1, 1)
Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:
ជ(2, −3) +v
C(2, 5) ⎯⎯⎯⎯→ C’(4, 2)
2x + 4 y = 3⎪⎫ ⎬ 3x − y = 8⎪⎭⎪
35 5 1 2 x + 4 y = 33 ⎪⎫ 2 x + 4 y = 3 ⎪⎫ reducción = , y =− ⎬ ⎯⎯⎯⎯→ ⎬→ x = 3 x − y = 8 ⎪⎭⎪ 2.ª ec (⋅ 4) (+)12 x − 4 y = 32 ⎪⎭⎪ 14 2 2 14 x − 4 y = 35 쮿 MATEMÁTICAS 4.° B ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿
PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
ជ(2, −3) +v
A(−3, 0) ⎯⎯⎯⎯→ A'(−1, −3)
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VECTORES Y RECTAS
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Reconocimiento y representación de vectores del plano. Relación de las componentes de un vector con las coordenadas de los puntos origen y extremo.
1
El vector vជ = (−2, 1) tiene su origen en el punto A (−2, 3). Calcula el extremo y el módulo del vector.
2
Completa la siguiente tabla.
Cálculo del módulo de un vector, dadas sus componentes.
Vector
Origen
(2, 1)
(2, 1) (1, −2)
(3, −4)
Cálculo gráfico y analítico de sumas y restas de vectores, y el producto de un vector por un número.
3
Extremo
(2, 5) (5, 2)
Calcula analíticamente y representa gráficamente los vectores.
uជ = (−3, −2)
vជ = (2, −4)
uជ + vជ
2uជ − 2vជ
4
Comprueba si los puntos A (0, −2), B (3, 2) y C (7, 8) están alineados.
Obtención de la distancia entre dos puntos del plano y del punto medio de un segmento.
5
Dados los puntos A(−1, −5) y B(−3, 3), calcula la distancia que hay entre ellos y el punto medio del segmento que los une.
Determinación de la ecuación continua de una recta y, a partir de ella, obtención de la ecuación general y la ecuación explícita.
6
Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A (0, −2) y B (3, 4). Escribe un vector director de la recta.
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ............................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...............................................................
2, 3, 9, 10
• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................
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1, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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Distinción de si un punto pertenece o no a una recta dada.
7
Escribe la ecuación general de la recta que pasa por el punto C (3, 4) y que tiene como vector director vជ = (1, −3). Averigua si el punto A (−1, −1) pertenece a dicha recta.
Distinción de si dos rectas son paralelas, secantes o coinciden.
8
Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas. a) Recta horizontal que pasa por el punto A (3, 5). b) Recta vertical que pasa por el punto B (−3, 4).
Calcula el punto de corte de las rectas r : 3x + 2y = −1 y s: y = 2x − 3.
Determinación del punto de corte, si lo hay, de dos rectas.
9
Resolución de problemas de rectas.
10 Dado el triángulo de vértices A (−1, 0), B (9, −4) y C (−5, 2), calcula.
a) La mediana correspondiente al vértice A. b) La mediatriz correspondiente al lado BC. c) La altura correspondiente al lado BC.
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 2, 4, 7, 10
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 6
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VECTORES Y RECTAS
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Coordenadas de un vector. Módulo y dirección.
2
Extremo: B − A = vជ B( x, y) = A + vជ = (−2, 3) + (−2, 1) → B(−4, 4) 2 2 Módulo: ⏐vជ⏐ = ( −2 ) + 1 =
3
Tabla de la relación entre puntos y vectores. Vector
Origen
Extremo
(2, 1)
(2, 1)
(4, 2)
(1,7)
(1, −2)
(2, 5)
(3, −4)
(2, 6)
(5, 2)
5 u
Operaciones con vectores. Y − 2uជ
v 2ជ
u +ជ v =u ជ +ជ v = (−3, −2) + (2, −4) = (−1, −6) ជ − 2ជ 2 u − 2ជ v = 2u v = 2 ⋅ (−3, −2) − 2 ⋅ (2, −4) = uជ
= ( −6 , −4 ) + ( −4 , 8 ) = ( −6 , −4 ) + ( −4 , 8 ) = ( −10 , 4 )
X ជ v
uជ+ ជ v
4
Alineación de puntos.
5
ជ y AC ជ Para que estén alineados, los vectores AB deben ser proporcionales: ជ = (3, 4) y AC ជ = (7, 10) AB
ជ⏐ = d(A, B) = ⏐AB
7
Ecuación continua de la recta.
2
+ (3 − ( −5 ) ) =
⎞ ⎟⎟ = ( −2 , −1) ⎟⎠
Ecuación general de la recta.
Ecuación continua: x −3 y −4 = → −3 x + 9 = y − 4 −3 1 Ecuación general: 3 x + y − 13 = 0
ជ v = B − A = (3, 6) → Ecuación continua
con A y ជ v:
(−3 − ( −1) )
= 4 + 64 = 68 u ⎛ ( −1) + ( −3 ) ( −5 ) + 3 M = ⎜⎜ , ⎜⎝ 2 2
3 4 ≠ → No están alineados. 7 10
6
Distancia entre puntos. Punto medio de un segmento.
x −0 y+2 = 3 6
El punto A (−1, −1) no pertenece a la recta, ya que 3 ⋅ (−1) + (−1) − 13 ≠ 0. 8
Otra ecuación de la recta. a) x = 3
9
Puntos de corte entre dos rectas. 3 x + 2 y = −1⎪⎫ 5 −11 , y = ⎬→x = y = 2 x − 3 ⎪⎪⎭ 7 7
b) y = 4
10 Problemas de rectas.
a) MedianaA: A(−1, 0); MBC (2, −1) → r:
x − ( −1) y −0 = 3 −1
b) MediatrizBC: MBC (2, −1); ជ v = (6, 14) → c) AlturaBC: A(−1, 0); ជ v = (6, 14) →
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x−2 y +1 = 6 14
x +1 y −0 = 6 14
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9 Funciones INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
El tema de las funciones se estudia en cada curso. A lo largo de esta unidad y las siguientes unidades se analizan las funciones en general (Unidad 9) y se estudian con detalle las funciones más importantes: lineales y cuadráticas (Unidad 10) y exponenciales y logarítmicas (Unidad 11).
Conviene repasar algunos conceptos estudiados en cursos anteriores y que resultan importantes en el desarrollo de la unidad. Teniendo en cuenta que algunos conceptos se volverán a estudiar, conviene repasar:
En la primera parte se repasa el concepto de función y las diferentes formas de expresar una función: tablas, gráficas y expresión analítica. En la segunda parte se estudian los conceptos asociados: dominio, recorrido, continuidad y discontinuidad, crecimiento y decrecimiento, tasa de variación, máximos y mínimos, simetrías, periodicidad… La unidad finaliza con el estudio de las funciones definidas a intervalos.
• Utilización de información. Formas diferentes de expresar una información: tablas, gráficas y enunciados. Paso de unas a otras. • Concepto de función. Análisis de funciones.
Se ha de mostrar la importancia del concepto de función en múltiples contextos. Se puede pedir a los alumnos que busquen gráficas en diferentes fuentes y que, después, las analicen.
CONTENIDOS FUNCIONES • • • • •
Concepto de función. Definición de función. Ejemplos de gráficas que no corresponden a funciones. Tablas y gráficas. Relación entre tablas y gráficas. Construcción de gráficas a partir de tablas. Dominio y recorrido. Estudio del dominio de una función y de su recorrido. Funciones definidas a trozos. Propiedades de las funciones: – Continuidad y discontinuidad. – Intervalos de crecimiento y decrecimiento. – Máximos y mínimos. – Simetrías. – Periodicidad.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba contiene tres actividades que servirán para recordar algunos aspectos del curso anterior y que también se repasarán a lo largo de la unidad. La primera actividad servirá para comprobar hasta qué punto los alumnos son capaces de asociar una gráfica con un enunciado. La segunda actividad es un enunciado con una expresión y la tercera actividad trabaja el cálculo de imágenes y de antiimágenes de una función.
La prueba contiene una selección de los conceptos más interesantes de la unidad: cálculo del dominio y el recorrido de una función, cortes con los ejes, trabajo con funciones definidas a intervalos, cálculo algebraico de las simetrías y estudio de las características más importantes de una función: crecimiento y decrecimiento, continuidad, y máximos y mínimos.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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FUNCIONES
EVALUACIÓN INICIAL 1
Los siguientes gráficos representan estas situaciones. I) II) III) IV)
El El El El
nivel de agua de una piscina cuando se está llenando. nivel de agua de una piscina cuando se abre el grifo de salida. espacio que recorre una piedra que dejamos caer desde un avión. valor del billete de metro en relación con los kilómetros que se realizan.
Y
Y
(A )
Y
Y
(D )
(C )
(B )
X
X
X
X
a) Asocia un gráfico a cada enunciado. Enunciado
I)
II)
III)
IV)
Gráfico
b) Indica en cada eje lo que representa en cada caso. 2
En la tabla siguiente está relacionado el peso en kilos de naranjas y su precio en euros. Naranjas (kg)
1,5
Precio (€)
2,40
3 4
10 8
a) Calcula la expresión que da el precio en relación con el peso de las naranjas que se compran. b) Determina los valores que faltan.
3
Dada la función que asocia a cada número su doble más 3 veces su inverso: a) Halla su fórmula o expresión algebraica. b) Calcula f (4) y f (−4). c) Determina la antiimagen de 3.
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Los siguientes gráficos representan estas situaciones. I) II) III) IV)
El El El El
nivel de agua de una piscina cuando se está llenando. nivel de agua de una piscina cuando se abre el grifo de salida. espacio que recorre una piedra que dejamos caer desde un avión. valor del billete de metro en relación con los kilómetros que se realizan.
a) Asocia un gráfico a cada enunciado.
I)
II)
III)
IV)
( B)
(A)
( D)
( C)
Enunciado Gráfico
b) Indica en cada eje lo que representa en cada caso. Y
Tiempo
2
X
(B )
(C )
X
Tiempo
Distancia
Precio
(A )
Y
Y
Nivel
Nivel
Y
Distancia
X
(D )
Tiempo
X
En la tabla siguiente está relacionado el peso en kilos de naranjas y su precio en euros. Naranjas (kg)
1,5
Precio (€)
2,40
3 4
10 8
a) Calcula la expresión que da el precio en relación con el peso de las naranjas que se compran. b) Determina los valores que faltan. a) Expresión analítica: k = b) Tabla:
Naranjas (kg)
1,5
2,5
3
5
10
Precio (€)
2,40
4
4,80
8
16
Dada la función que asocia a cada número su doble más 3 veces su inverso: a) Halla su fórmula o expresión algebraica. b) Calcula f (4) y f (−4). c) Determina la antiimagen de 3. a) Expresión algebraica: y = f( x ) = 2 x +
3 x 3 −35 = 4 4
b) Imágenes: f( 4 ) = 8 +
3 35 = 4 4
c) Antiimagen: 3 = 2 x +
1 ⎪⎧⎪ 1 x = → 3 x = 2 x 2 + 1 → 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 → ⎪⎨ 1 2 ⎪ x ⎩⎪⎪ x 2 = 1
f( −4 ) = −8 −
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
3
2, 4 = 1, 6 → y = 1, 6 x 1, 5
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FUNCIONES
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Cálculo del dominio y el recorrido de una función dada su gráfica o su expresión algebraica.
1
Obtención de imágenes y antiimágenes en una función.
2
Encuentra el dominio y el recorrido de las siguientes funciones. a) f (x ) =
1 x −2
b) g (x ) =
Dadas las funciones: f ( x ) =
2 x −6
x −9
g ( x ) = 3x + 5
h(x ) =
x −5
a) Calcula las siguientes imágenes: f (3), g (−2) y h (2) b) Determina las antiimágenes: f −1(0), g −1(−1) y h−1(4)
Cálculo de los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas.
3
Considera la función f (x ) = x 2 − 2x − 8, y calcula los puntos de corte de dicha función con los ejes de coordenadas.
Representación e interpretación de funciones definidas a intervalos.
4
Dada la gráfica siguiente, escribe su expresión analítica. Y
1 1
X
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ............................................................................................................ 1, 2, 3 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................... 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................ 1, 2, 3, 5
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Distinción de las simetrías de una función respecto del eje Y y del origen.
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Determina de forma algebraica si las funciones tienen algún tipo de simetría. a) f (x) = 2x 3 − 3x
Determinación del crecimiento o decrecimiento de una función, y obtención de sus máximos y mínimos. Determinación de la continuidad y discontinuidad.
6
Estudio y representación de una función.
7
b) g (x) =
x2 x4 − 1
c) h (x) = x + 4
Dada la función, estudia sus características y propiedades. Y
1 1
X
Cuando subimos a un taxi, la tarifa de bajada de bandera es de 2,50 € y por cada minuto de recorrido hemos de pagar 0,40 € a partir del primer minuto. Construye la tabla de valores y representa la función. ¿Es continua o discontinua? Y
1 1
X
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ....................................................................................................... 6, 7
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................ 1, 2, 3
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FUNCIONES
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Dominio de una función. 1 . El dominio está formado por todos los números reales menos los números que anulen. x−2 el denominador (x − 2 = 0 → x = 2) → Dom f = R − {2} = (−ⴥ, 2) ∪ (2, +ⴥ)
a) f( x ) =
b) Para que exista una raíz de orden par → x − 9 ≥ 0 → Dom f = [9, +ⴥ) 2
Imágenes y antiimágenes. a) f(3) =
2 2 =− 3 −6 3
g(−2) = 3 ⋅ (−2) + 5 = −1
h(2) = 2 − 5 → h(2) no existe ⎧⎪ −1 2 ⎪⎪ f ( 0 ) → = 0 → f−1( 0 ) no existe ⎪⎪ x −6 b) ⎨⎪ g−1( −1) → 3 x + 5 = −1 → x = −2 → g−1( −1) = −2 ⎪⎪ ⎪⎪ h−1( 4 ) → x − 5 = 4 → x − 5 = 16 → x = 21 ⎩ 3
Puntos de corte con los ejes de f( x) = x2 − 2 x − 8.
⎪⎧Q( −2 , 0 ) b) Con el eje X: x2 − 2 x − 8 = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩R( 4 , 0 )
a) Con el eje Y: f(0) = −8 → P(0, −8) 4
Expresión analítica de una función definida a intervalos.
La función es tres líneas rectas: ⎧⎪ −1 si x < 2 ⎪ f( x ) = ⎪⎨ x − 1 si 2 ≤ x < 4 ⎪⎪ ⎪⎩ −x + 3 si 4 < x
5
Simetrías de una función. a) f (−x) = −2 x3 + 3 x = −(2 x3 − 3 x) = −f(x) → → Función impar ( −x ) 2 x2 = = g(x) → ( −x ) 4 − 1 x4 − 1 → Función par
b) g(−x) =
c) h(−x) = −x + 4 ≠ h(x) ≠ −h(x) → → No tiene simetría 6
Estudio de las características de una función.
Dom f = R − {2}
Es una función definida a trozos.
Im f = R
La función es continua en todo el dominio menos en el punto x = 2. La función es creciente en los intervalos (−ⴥ, −1), (0, 2) y (3, +ⴥ) y es decreciente en los intervalos (−1, 0) y (2, 3). Tiene un máximo en el punto R(−1; 1,5) y dos mínimos en los puntos S(0, −1) y T(3, 0). No tiene simetría. 7
Problema. Y
1 1
Es una función discontinua.
464
X
Tiempo (min)
Precio (€)
0
2,50
1
2,90
2
3,30
3
3,70
4
4,10
5
4,50
…
…
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10 Funciones polinómicas y racionales INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Esta unidad es continuación de la anterior y está dividida en dos partes. En la primera parte se estudian las funciones cuadráticas o de segundo grado: análisis y representación gráfica a partir de traslaciones de gráficas de funciones más sencillas y estudio de sus características.
Esta unidad es una continuación de la unidad anterior, por lo que es conveniente repasar algunos conceptos sobre ecuaciones y magnitudes proporcionales. Estos conceptos son:
En la segunda parte se analiza la función de proporcionalidad inversa y sus características: dominio y recorrido, crecimiento, tendencia…, así como su representación gráfica, la hipérbola. Como ampliación de esta gráfica, se estudian las funciones racionales, definidas como el cociente de dos polinomios: características, tendencia en el infinito, asíntotas, y su representación gráfica como la traslación de una hipérbola.
• Magnitudes directamente e inversamente proporcionales. • Funciones. Características. • Ecuaciones de segundo grado.
CONTENIDOS FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES • Funciones polinómicas. • Función de proporcionalidad inversa. • Funciones racionales.
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba contiene cuatro actividades que han de servir de repaso sobre los aspectos más importantes para estudiar la unidad: magnitudes directa e inversamente proporcionales, características de una función, cálculo de los puntos de corte de una función con los ejes y resolución de una ecuación de segundo grado.
La prueba contiene una selección de los conceptos fundamentales de la unidad: la función de segundo grado, estudio analítico, cortes con los ejes, cálculo del vértice, representación gráfica, así como sus propiedades de simetría, concavidad, etc. Para las funciones racionales, se trabaja el estudio de sus propiedades, la representación gráfica y el estudio del cambio de la gráfica en relación con los cambios en la función.
PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
PRUEBA INICIAL
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FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES
EVALUACIÓN INICIAL 1
Escribe las expresiones de cada relación entre pares de magnitudes. Señala las magnitudes que sean de proporcionalidad. a) El perímetro de un cuadrado y su área. b) El número de empleados y el tiempo que tardan en acabar un trabajo de 600 horas. c) La velocidad y el espacio que recorre un coche en 2 horas. d) El tiempo que se necesita para llenar una piscina de 48 m3 y el caudal del grifo.
2
Dada la función y = x 2 + 4x − 5, calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
3
Resuelve la ecuación 3x −
4
Observa la gráfica e indica sus intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos.
2 = 5. x −1
Y
1 1
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X
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Escribe las expresiones de cada relación entre pares de magnitudes. Señala las magnitudes que sean de proporcionalidad. a) El perímetro de un cuadrado y su área. b) El número de empleados y el tiempo que tardan en acabar un trabajo de 600 horas. c) La velocidad y el espacio que recorre un coche en 2 horas. d) El tiempo que se necesita para llenar una piscina de 48 m3 y el caudal del grifo. ⎛ perímetro a) A = ⎜⎜⎜ ⎝ 4 b) t =
⎞ ⎟⎟ . No es una relación de proporcionalidad. ⎟⎠ 2
600 . Es una función de proporcionalidad inversa. n.º de empleados
c) e = 2 v. Es una función de proporcionalidad directa. d) t =
2
48 . Es una función de proporcionalidad inversa. caudal
Dada la función y = x 2 + 4x − 5, calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Puntos de corte con los ejes: a) Con el eje X: x2 + 4 x − 5 = 0 → x =
−4 ±
4 2 − 4 ⋅ ( −5 ) ⎪⎧ x = 1 ⎪⎧P( 1, 0 ) → ⎨ 1 → ⎨ ⎪⎪⎩ x 2 = −5 ⎪⎪⎩Q( −5 , 0 ) 2
b) Con el eje Y: f(0) = 0 2 + 4 ⋅ 0 − 5 = 5 → M(0, −5)
3
Resuelve la ecuación 3x −
2 = 5. x −1
Eliminamos denominadores: 3 x(x − 1) − 2 = 5( x − 1) Quitamos paréntesis: 3 x2 − 3 x − 2 = 5 x − 5 Transponemos términos y ordenamos: 3 x 2 − 8 x + 3 = 0 → x = Las soluciones son: x1 =
x2 =
8 − 28 6
82 − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 2 ⋅3
Observa la gráfica e indica sus intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos. Y
1 1
X
Es creciente en (−ⴥ, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (4,7; +ⴥ) y es decreciente en (0, 2) ∪ (2; 4,7). ⎛ 1⎞ Tiene un máximo en el punto P ⎜⎜⎜0 , − ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠ y un mínimo en el punto Q(4,7; −1).
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
4
8 + 28 6
8 ±
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FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Cálculo del dominio y el recorrido de una función de segundo grado.
1
Dada la función y = x 2 + 2x − 8, calcula su dominio y su recorrido.
Obtención de imágenes y antiimágenes de una función de segundo grado.
2
Representa gráficamente, en unos mismos ejes, las funciones
Cálculo de los puntos de corte de una función de segundo grado con los ejes de coordenadas.
3
f (x ) =
Haz un estudio de la función y = x 2 − 2x − 4 y represéntala gráficamente. Y
Representación gráfica de una función de segundo grado y = ax2 + bx + c a partir del estudio de sus características.
Determinación del crecimiento y el decrecimiento de una función de segundo grado.
2 2 2 x y g ( x ) = − x 2, y escribe sus características. 3 3
1 1
4
X
El gráfico de la siguiente función representa la altura que alcanza un proyectil en función del tiempo que ha pasado desde que se ha lanzado. a) b) c) d)
¿Crees que es la gráfica del movimiento? Calcula el tiempo que tarda en caer al suelo. Escribe la expresión analítica de la función. Determina la altura después de 3 segundos.
Y
1.000 20
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 3, 5, 6 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 1 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ........................................................................................................... 1, 4
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X
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Obtención de la gráfica de una función de proporcionalidad inversa a partir de una tabla o de su expresión algebraica.
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−3 x y escribe sus características. Representa la función y =
Y
1
A partir de la función anterior, representa las funciones en los mismos ejes. −3 a) f (x ) = x −2
Representación gráfica de una función racional ax + b del tipo y = cx + d a partir de traslaciones y dilataciones de la gráfica 1 de la función y = . x
Reconocimiento de una función racional y determinación de su gráfica.
b) g (x ) =
6
−3 −2 x
x −1 . x −3 Escribe su dominio y sus asíntotas. Representa la función y =
1
X
1
X
Y
1
Y
1
Cálculo de las asíntotas verticales y horizontales de una función racional.
CAPACIDADES PREFERENTES
1
X
PRUEBAS
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ....................................................................................................... 5
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................
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FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Dominio y recorrido de una función polinómica de segundo grado. −b Dom f = R y vértice: x = = −1 → f(−1) = −9 → Im f = [−9, +ⴥ) 2a
2
Diferencias entre las funciones de segundo grado. Y
Las funciones son simétricas respecto del eje Y (funciones pares). Entre ellas son simétricas (eje de simetría: X).
2
y = 2
2 2 x 3
X y =−
3
2 2 x 3
Ambas tienen su vértice en el punto V(0, 0), que es un punto mínimo en la primera y un punto máximo en la segunda. La primera función es decreciente en el intervalo (−ⴥ, 0) y es creciente en (0, +ⴥ), y la segunda función es creciente en (−ⴥ, 0) y es decreciente en (0, +ⴥ).
Representación gráfica de una función de segundo grado completa.
Estudio: • Parábola cóncava hacia arriba ya que a > 0.
• Tabla:
• Puntos de corte con el eje X: ⎧⎪ x = 1 − 5 → P (−1,23; 0) x 2 − 2x − 4 = 0 → ⎨⎪ ⎪⎪⎩ x = 1 + 5 → Q (3,23; 0)
y
…
4
0
1
2
−1 −4 −5 −4
3
…
1
…
1
• Vértice:
4
… −2 −1
Y
• Punto de corte con el eje Y: Imagen de 0: f(0) = −4 → M(0, −4)
xv =
x
−b −( −2 ) = = 1 → V( 1, −5 ) 2a 2 ⋅1
1
X
Problema. a) Es la gráfica del movimiento.
b) Tiempo: 60 segundos.
c) Expresión analítica: y = a(x − 0)(x − 60) = a(x2 − 60 x) 4.500 = a(30 2 − 60 ⋅ 30) = −900 a → a = −5 → y = −5 x2 + 300 x d) f(3) = −5 ⋅ 9 + 300 ⋅ 3 = 855 m 5
Hipérbola. Propiedades y traslaciones. Y y =
1 1
−3 x −2
X y =
6
Gráfica de una función racional.
Y
Y
1
1
−3 −2 x
1
X
1
X
Dom f = R − {3} Asíntota vertical: x = 3 Asíntota horizontal: y = 1
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11 Funciones exponenciales y logarítmicas
INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Esta unidad está dividida en dos partes: en la primera parte se estudia la función exponencial y su representación gráfica a partir de tablas; la comparación de diferentes tipos de funciones exponenciales y el interés compuesto. En la segunda parte se hace un estudio análogo de la función logarítmica.
Esta unidad es una continuación de las dos unidades anteriores, por lo que es conveniente hacer un repaso de ellas. También es necesario repasar algunos conceptos sobre progresiones y potencias. En resumen, los conceptos que se precisan para el estudio de la unidad son:
Como en las unidades anteriores, se realizará la representación grafica a partir de tablas, como paso previo al estudio analítico más profundo que se efectuará en cursos superiores.
• Funciones. Características.
El concepto de logaritmo, sus operaciones y las ecuaciones exponenciales y logarítmicas suelen presentar algunas dificultades. Será importante aclarar a los alumnos las dudas haciendo actividades variadas; también es necesario mostrar diferentes contextos reales en los que existen estas funciones: sonido, radiaciones, estudio de poblaciones, etc. Puede ser conveniente el uso de programas informáticos de representación o de calculadoras gráficas.
• Potencias con exponentes enteros. • Progresiones geométricas. • Interés simple.
CONTENIDOS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS • • • •
Función exponencial. Aplicación: interés compuesto. Logaritmos. Función logarítmica.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba contiene una serie de cuestiones de cálculo señaladas anteriormente en los conocimientos previos: cálculo básico con potencias, con progresiones geométricas y con intereses simples, para ver si el alumno recuerda estos conceptos estudiados en cursos anteriores y que resultan básicos en esta unidad.
La prueba consta de una serie de actividades de los conceptos tratados en la unidad: cuatro actividades referidas a las funciones exponenciales: representación gráfica, características y propiedades, cálculo con ecuaciones exponenciales y una aplicación directa: el interés compuesto. También hay actividades de logaritmos como definición, la representación gráfica de funciones logarítmicas, sus características y propiedades; y unas actividades con cálculos entre logaritmos, una ecuación logarítmica y un problema con logaritmos.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y CUESTIONES SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
EVALUACIÓN INICIAL 1
Calcula las siguientes expresiones. −3
⎛3⎞ a) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 5 ⎟⎠
2
⎛ 2⎞ b) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3
Halla el término general de las progresiones geométricas. ⎧⎪⎪ 1 1 1 ⎫⎪ , …⎪⎬ b) ⎨2, , , ⎪⎪⎩ 2 8 32 ⎪⎪⎭
a) {5, 15, 45, 135, …}
3
c) {1, −2, 4, −8}
⎛1⎞ Dada la progresión geométrica de razón r = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟, completa. ⎝3⎠ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠ 1
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠
a +1
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝⎜ 3 ⎟⎟⎠
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝⎜ 3 ⎟⎟⎠
=
2
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠
a −b
⎛⎛ 1 ⎞a ⎞⎟ ⎜⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝⎝ 3 ⎠ ⎟⎠
3
b
=
4
En un libro se proponía el siguiente problema: Un legionario romano obtuvo una recompensa en función de los años de servicios prestados. El prefecto le pagaría 1 denario por el primer año, 2 denarios por el segundo, 4 denarios por el tercero, etc. Al licenciarse el prefecto le entregó 4.095 denarios. ¿Cuántos años de servicio había estado en la legión?
5
El isótopo 109 del Cadmio, 109Cd, es una sustancia radioactiva que emite radiación de forma que su periodo de semidesintegración (el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa de la sustancia) es de 460 días aproximadamente. Eso significa que si tenemos 1 gramo de 109Cd, después de 460 días 1 1 quedará gramo; 460 días después, quedará gramo, etc. Completa la tabla siguiente. 2 4
6
472
c) (−5)0 =
Tiempo (días)
0
460
920
Masa (g)
8
4
2
Una persona invierte 1.250 € a un interés simple de 2,5 % durante 5 años. ¿Cuánto dinero le devolverá el banco?
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Calcula las siguientes expresiones. −3 ⎛ 53 ⎛3⎞ a) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 3 ⎜⎝ 3 ⎜⎝ 5 ⎟⎠
2
⎞ ⎟⎟ ⎟⎠
⎛ 2⎞ 23 b) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = − 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3 3
c) (−5)0 = 1
Halla el término general de las progresiones geométricas. ⎪⎧ 1 1 1 ⎪⎫ , …⎪⎬ → an = 2 −2 n+3 b) ⎪⎨2, , , ⎪⎪⎩ 2 8 32 ⎪⎪⎭
a) {5, 15, 45, 135, …} → an = 5 ⋅ 3 n−1 c) {1, −2, 4, −8} → an = (−2) n−1 3
⎛1⎞ Dada la progresión geométrica de razón r = ⎜⎜ ⎟⎟⎟, completa. ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ = 1 ⎝⎜ 3 ⎟⎟⎠ 3
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ = 1 ⎝⎜ 3 ⎟⎟⎠ 9
1
a +1
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠
4
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ = 1 ⎝⎜ 3 ⎟⎟⎠ 27
2
1 ⎛⎜ 1 = ⋅⎜ 3 ⎜⎝ 3
⎞ ⎟⎟ ⎟⎠
a
a −b
⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠
=
3
⎛1 ⎜⎜ ⎜⎝ 3
⎞a ⎟⎟ ⎟⎠
⎛1 ⎜⎜ ⎜⎝ 3
⎞b ⎟⎟ ⎟⎠
⎛⎛ 1 ⎞a ⎞⎟ ⎛1 ⎜⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝3 ⎜⎝⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ b
a⋅b
⎞ ⎟⎟ ⎟⎠
En un libro se proponía el siguiente problema: Un legionario romano obtuvo una recompensa en función de los años de servicios prestados. El prefecto le pagaría 1 denario por el primer año, 2 denarios por el segundo, 4 denarios por el tercero, etc. Al licenciarse el prefecto le entregó 4.095 denarios. ¿Cuántos años de servicio había estado en la legión?
Hay que calcular el valor de x de forma que 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + … + 2 x = 4.095, que es el resultado de la suma. Se trata de una progresión geométrica, cuyo primer término es a1 = 2 0 = 1 a r − a1 2 n−1 ⋅ 2 − 1 = = 2 n − 1 = 4.095, y el término general es an = 2 n−1 y la suma Sn = n r −1 2 −1 por lo que 2 n = 4.096 → n = 12. Por tanto, el legionario estuvo 12 años en la legión.
6
El isótopo 109 del Cadmio, 109Cd, es una sustancia radioactiva que emite radiación de forma que su periodo de semidesintegración (el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa de la sustancia) es de 460 días aproximadamente. Eso significa que si tenemos 1 gramo de 109Cd, después de 460 días 1 1 quedará gramo; 460 días después quedará de gramo, etc. Completa la tabla siguiente. 2 4 Tiempo (días)
0
460
920
1.380
1.840
2.300
2.760
3.220
Masa (g)
8
4
2
1
1 2
1 4
1 8
1 16
Una persona invierte 1.250 € a un interés simple de 2,5 % durante 5 años. ¿Cuánto dinero le devolverá el banco?
El interés es: I =
C⋅r⋅t 1.250 ⋅ 2 , 5 ⋅ 5 = = 156,25 → Cf = 1.250 + 156,25 = 1.406,25 € 100 100
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Interpretación y representación de las funciones exponenciales del tipo y = ax, con a > 0 y a ⫽ 1.
1
Y
Haz una tabla de valores y representa, en unos mismos ejes, las funciones exponenciales. ⎛1⎞ b) y = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎠⎟
x
a) y = 5x
1 1
¿Cuáles son las características de cada función?
Aplicación de la función exponencial para resolver ecuaciones o problemas.
Aplicación de la función logarítmica para resolver ecuaciones y problemas.
2
Resuelve la ecuación exponencial 42x−1 = 2 ⋅ 2x+3.
3
Calcula el capital que obtendríamos si invertimos 5.000 € al 3,5 de interés anual compuesto durante 8 años.
4
Calcula el valor de x en cada una de las expresiones, aplicando el concepto de logaritmo. a) x = log5 25
c) logx 0,25 = −2
b) 3 = log x
d) loga x = 0
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos .......................................................................................................
1, 6
• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ............................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ..........................................................
4, 5, 8
• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ...........................................................................................
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2, 3, 5, 7, 8
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X
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A partir de la gráfica de la función y = ln x, y en los mismos ejes, dibuja la función y = log x, utilizando una tabla. Y
1 1
6
X
Una colonia de bacterias se desarrolla siguiendo esta ley exponencial: N = 2.000 ⋅ a t (t en días). a) Determina a si sabemos que, al cabo de una semana, la colonia tiene 10.000 bacterias. b) ¿Cuál será el número de bacterias después de 15 días? c) ¿Cuánto tiempo tardará en tener 100.000 bacterias?
7
Calcula log2 59 mediante las propiedades de los logaritmos.
8
Resuelve la ecuación logarítmica
log (25 − x 2 ) = 2. log ( x − 1)
• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................
PRUEBAS 1
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ............................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................
2
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
CAPACIDADES PREFERENTES
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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Tabla de valores y funciones exponenciales.
Tabla de valores:
Y
⎛ 1 ⎞x y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝5⎠
y = 5x 1 1
X
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y = 5x
…
1/25
1/5
1
5
25
…
y = (1/5) x
…
25
5
1
1/5
1/25
…
Función continua; creciente; Im f > 0; f(0) = 1 Función continua; decreciente; Im f > 0; f(0) = 1
2
Ecuación exponencial. 4 2 x −1 = 2 ⋅ 2 x +3 → ( 2 2 ) 2 x −1 = 2 1+( x +3 ) → 2 2 ( 2 x −1 ) = 2 x +4 → 4 x − 2 = x + 4 → x = 2
3
Interés compuesto. ⎛ 3,5 C f = C0 ( 1 + i) t = 5.000 ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100
4
5
⎞ ⎟⎟ = 5.000 ⋅ 1, 3168 = 6.584 € ⎟⎠ 8
Expresiones con logaritmos. a) x = log5 25 = log5 (52) → x = 2
c) logx 0,25 = −2 → x−2 = 0,25 →
b) 3 = log x → x = 10 3 = 1.000
d) log a x = 0 → x = a0 = 1
1 1 1 = = 2 →x=2 2 x 4 2
Comparación de funciones logarítmicas.
Tabla de valores:
Y
x
…
1/4
1/3
1/2
1
2
…
y = log x
…
−0,602
−0,477
−0,301
0
0,301
…
y = ln x
…
−1,386
−1,09
−0,69
0
0,69
…
1 1
X
Se cortan en P(1, 0). Si x < 1 → log x > ln x y si x > 1 → log x < ln x 6
Problema. log
a) 10.000 = 2.000 ⋅ a7 → a7 = 5 ⎯→ 7 ⋅ log a = log 5 → log a =
log 5 = log 7 5 → a = 1, 258 7
b) N(15) = 2.000 ⋅ 1,25815 = 62.531 bacterias log
c) 100.000 = 2.000 ⋅ 1, 258 t ⎯→ t =
7
Propiedades de los logaritmos. log 2 59 =
476
log 50 = 0 , 998 → t = 17 días log 1, 258
log 59 1,7708 = = 5 , 8830 log 2 0 , 3010
8
Ecuación logarítmica. log ( 25 − x 2 ) = 2 → log ( 25 − x 2 ) = log ( x − 1) 2 → log ( x − 1) → 2 x 2 − 2 x − 24 = 0 → x = 4 y x = −3 (no válida)
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12 Estadística INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
La Estadística se ha trabajado desde 1.º ESO. En esta unidad se repasan algunas de las cuestiones más importantes y se añade el trabajo con técnicas de muestreo, orden y recuento de datos, datos agrupados en intervalos, tablas y gráficos.
Conviene hacer un repaso de la Unidad 13 de 3.º ESO, sobre aspectos básicos de cálculo y representación gráfica.
En el cálculo de los diferentes tipos de medidas de centralización y dispersión, los alumnos tienden a equivocarse, por lo que habrá que tener cuidado. Respecto a las medidas de posición se ha de dedicar atención al cálculo gráfico y numérico de los cuartiles y percentiles.
• Reconocimiento de variables cuantitativas discretas y continuas. • Recuento de datos. Obtención de una tabla estadística. Frecuencias. • Cálculo de la media aritmética de una población o muestra. • Lectura e interpretación de un gráfico estadístico.
CONTENIDOS ESTADÍSTICA • Estadística. Variables estadísticas: – Variables cuantitativas y cualitativas. – Población, muestra, tamaño de la muestra e individuo. • Tablas de frecuencias: – Frecuencia absoluta y relativa. Frecuencias acumuladas. • Gráficos estadísticos: – Tipos de gráficos estadísticos: diagrama de barras, histograma y diagrama de sectores. • Medidas de centralización: – Media, mediana y moda. • Medidas de posición: – Cuartiles. – Percentiles. • Medidas de dispersión: – Rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación. • Interpretación de las medidas estadísticas.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba consta de cuatro actividades: concepto de variable discreta y continua (actividad 1); representación gráfica (actividad 2); cálculo de parámetros de centralización con datos discretos (actividad 3) e interpretación de datos (actividad 4).
La prueba de la unidad está formada por cuatro actividades: el reconocimiento y el cálculo de un muestreo (reparto proporcional); la obtención de una tabla de frecuencias a partir de una serie de datos, y su representación gráfica, y el cálculo de las diferentes medidas de centralización en datos agrupados en intervalos.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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ESTADÍSTICA
EVALUACIÓN INICIAL 1
Clasifica las variables estadísticas que se pueden estudiar de un municipio en discretas y continuas. a) Número de hijos de las familias del municipio. b) Peso de los alumnos de ESO del municipio. c) Velocidad media de los coches que pasan por la calle Mayor del municipio. d) Número de ordenadores que hay en cada casa del municipio.
2
En una ciudad, anotamos las marcas de coches que pasan por el semáforo principal de la calle Mayor y, en diez minutos, hemos anotado las siguientes marcas. Dibuja un diagrama de sectores correspondiente a estos datos. Marcas
3
N.º de coches
Seat
11
Renault
10
Peugeot
14
Audi
7
Opel
5
Ford
9
Mercedes
4
En un estudio entre 145 familias, se observa que el número de hijos se distribuye de la siguiente manera. Hijos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Familias
31
25
35
20
0
16
12
5
1
Calcula la media, la moda y la mediana.
4
Los tres gráficos representan las ventas de tres empresas de bebidas a lo largo del año. Sabiendo que las bebidas que se venden son (1) cava, (2) vino de mesa y (3) cerveza, indica a cuál corresponde cada una de ellas. (A )
E F M AM J J A S O N D
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(B )
E F M AM J J A S O N D
(C )
E F M AM J J A S O N D
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Clasifica las variables estadísticas que se pueden estudiar de un municipio en discretas y continuas. a) b) c) d)
2
Número de hijos de las familias del municipio → Variable discreta. Peso de los alumnos de ESO del municipio → Variable continua. Velocidad media de los coches que pasan por la calle Mayor del municipio → Variable continua. Número de ordenadores que hay en cada casa del municipio → Variable discreta.
En una ciudad anotamos las marcas de coches que pasan por el semáforo principal de la calle Mayor y, en diez minutos, hemos anotado las siguientes marcas. Dibuja un diagrama de sectores correspondiente a estos datos. Marcas
3
Calculamos el sector que le corresponde a cada marca. Como hay 60 coches, a cada coche le corresponde: 60 → 360° ⎫⎪ ⎬ → x = 6° ⎪⎪⎭ 10 → x Seat tendrá: 11 · 6 = 66º Renault tendrá: 10 · 6 = 60º…, obteniéndose el siguiente diagrama de sectores.
N.º de coches
Seat
11
Renault
10
Peugeot
14
Audi
7
Opel
5
Ford
9
Mercedes
4
Mercedes
Seat
Ford Renault
Opel Audi Peugeot
En un estudio entre 145 familias, se observa que el número de hijos se distribuye de la siguiente manera. Hijos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Familias
31
25
35
20
0
16
12
5
1
Calcula la media, la moda y la mediana.
Media: x =
Moda: Mo = 2
Mediana: Me = 2
Los tres gráficos representan las ventas de tres empresas de bebidas a lo largo del año. Sabiendo que las bebidas que se venden son (1) cava, (2) vino de mesa y (3) cerveza, indica a cuál corresponde cada una de ellas. (A )
E F M AM J J A S O N D
(B )
E F M AM J J A S O N D
(C )
E F M AM J J A S O N D
El gráfico (A) corresponde a la cerveza (consumo muy alto en los meses de verano). El gráfico ( B) corresponde al vino de mesa (consumo estable durante todo el año). El gráfico (C) corresponde al cava (consumo muy alto los meses de diciembre y enero, un poco más alto durante el verano y en el resto del año se mantiene estable). 쮿 MATEMÁTICAS 4.° B ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿
PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
4
∑ fi xi 350 = = 2 , 41 ∑ fi 145
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ESTADÍSTICA
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Reconocimiento de los conceptos: población, muestra y muestreo. Aplicación de las técnicas de muestreo.
1
En un club de fútbol hay socios de diferentes categorías: de la categoría A hay 403 socios, de la categoría B hay 1.084 socios, de la categoría C hay 320 socios y de la categoría D hay 165 socios. Si queremos elegir una junta directiva de 24 personas, ¿cuántas personas han de elegirse de cada categoría?
Diferenciación y representación de los distintos gráficos estadísticos.
2
El número de personas que viven en 40 casas de una ciudad se determina en la siguiente tabla. 92
182
163
77
78
156
146
161
122
180
154
150
56
182
71
166
116
94
125
135
119
138
148
61
108
145
106
149
172
159
99
72
68
146
129
167
190
98
167
173
a) Forma una tabla de frecuencias, agrupando los valores en seis intervalos. b) Construye un histograma y el polígono de frecuencias con estos datos.
Cálculo de las medidas de centralización: media, mediana, moda y cuartiles.
3
Calcula la mediana, la moda y el intervalo de la mediana de la distribución anterior.
Obtención de las medidas de dispersión: varianza, desviación típica y coeficiente de variación.
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ..................................................................................................... • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ........................................................... 2 • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................ 2, 4 • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ......................................................................................... • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ......................................................................................... 3, 4
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Utilización de la calculadora científica para obtener los parámetros de centralización y de dispersión. Aplicación de la Estadística en situaciones de la vida cotidiana.
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Se ha hecho una encuesta a 300 personas sobre la cantidad de dinero que llevan. Euros
Personas
[5, 20)
179
[20, 35)
93
[35, 50)
28
a) Representa los datos mediante un diagrama de sectores. b) Amplía la tabla y calcula la media aritmética, la mediana y la moda. c) Calcula los tres cuartiles de esta distribución. d) Obtén la desviación típica y el coeficiente de variación.
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ........................................................................................... • Combinar, componer datos, resumir, etc. ......................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .................................................................................... 1
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
• Clasificar y discriminar según criterios ..............................................................................................
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ESTADÍSTICA
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Técnicas de muestreo. nA nB nC nD 24 = = = = = 0 ,01217 403 1.084 320 165 1.972
De forma proporcional:
nA = 0 ,01217 ⋅ 403 = 4 , 9 → 5 nB = 0 ,01217 ⋅ 1.084 = 13 , 2 → 13
2
3
nC = 0 ,01217 ⋅ 329 = 3 , 9 → 4 nD = 0 ,01217 ⋅ 165 = 2 ,01 → 2
Tabla y representación gráfica. Intervalo
xi
fi
Fi
hi
Hi
[50, 75)
62,5
5
5
5/40 = 0,125
5/40 = 0,08
[75, 100)
87,5
7
12
7/40 = 0,175
12/40 = 0,3
[100, 125)
112,5
4
16
4/40 = 0,1
16/40 = 0,4
[125, 150)
137,5
9
25
9/40 = 0,225
25/40 = 0,625
[150, 175)
162,5
11
36
11/40 = 0,275
36/40 = 0,9
[175, 200)
187,5
4
40
4/40 = 0,1
40/40 = 1
12 10 8 6 4 2 50 75 100 125 150 175 200
Cálculo de parámetros de centralización, posición y dispersión (I).
Completamos la tabla y hacemos las sumas de las columnas. xi
62,5
87,5
112,5
137,5
162,5
187,5
Totales
fi
5
7
4
9
11
4
40
Fi
5
12
16
25
36
40
—
fi x i
312,5
612,5
450
1.237,5
1.787,5
750
5.150
∑ fi xi
5.150 = = 128 ,75; moda: Mo = 162,5, e intervalo de la mediana: [125, 150), N 40 40 + 1 = 20 , 5 . ya que es el intervalo que tiene la frecuencia acumulada mayor que 2 x =
4
Cálculo de parámetros de centralización, posición y dispersión (II). Euros
Personas
xi
fi xi
xi2
fi xi2
[5, 20)
179
12,5
2.237,5
156,25
27.968,75
[20, 35)
93
27,5
2.557,5
756,25
70.331,25
[35, 50)
28
42,5
1.190
1.933,75
54.145
Totales
300
—
5.985
—
152.445
28
–x = 19,95
482
Q1 = 12,5
Q2 = Me = 17,5
Q3 = 27,5
σ = 10,495
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CV = 0,526
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13 Combinatoria INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Esta unidad es interesante para los alumnos, ya que se basa en conceptos referidos a contabilizar los posibles agrupamientos de diferentes objetos y en distintas situaciones.
Esta unidad es nueva para los alumnos y se basa en conocimientos e ideas de técnicas de recuento que forman parte de las unidades de cursos anteriores. Por ello, es interesante repasar alguno de los conceptos numéricos de las primeras unidades del curso.
Las dificultades de la unidad se encuentran en la distinción y la diferenciación de variaciones y combinaciones, o en la repetición de elementos. No obstante, el tipo de operaciones que se realizan es sencillo y no ha de tener ninguna dificultad. Será conveniente plantear y resolver problemas de la vida cotidiana con variaciones en las condiciones, para que los alumnos vean las diferencias entre las distintas formas de agrupar elementos. Los números combinatorios y el binomio de Newton, como aplicación de la combinatoria, también requieren hacer numerosas actividades para que los alumnos interioricen los mecanismos de cálculo. Por último, estas actividades serán básicas en el estudio de la siguiente unidad de probabilidad.
CONTENIDOS COMBINATORIA • Métodos de conteo. • Números combinatorios. • Binomio de Newton. • Variaciones y permutaciones. • Combinaciones. • Distinción entre variaciones y combinaciones.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba contiene cuatro actividades de cálculo de formas diferentes de vestirse, o de elegir un menú en un restaurante mediante diferentes técnicas, sobre todo diagramas en árbol. Las dos últimas actividades se resuelven mediante tablas de doble entrada.
La prueba consta de una serie de actividades que sirven para revisar todos los conceptos estudiados en la unidad. Se comienza con una actividad para realizar con un diagrama en árbol (técnica de recuento). Las siguientes actividades son ejercicios de aplicación directa de las fórmulas de las variaciones, permutaciones y combinaciones, y las últimas actividades son aplicaciones del binomio de Newton, ecuaciones y un problema.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN
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COMBINATORIA
EVALUACIÓN INICIAL
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1
En la carta de un restaurante, el cliente puede elegir su menú, escogiendo un primer plato, un segundo plato y un postre. La carta tiene 4 primeros platos, 8 segundos platos y 7 postres. ¿Cuántos menús diferentes podrá elegir cada cliente?
2
Marcos tiene para vestirse tres pares de zapatos: A, B y C; cuatro pares de pantalones: M, N, P y Q, y cinco camisas: 1, 2, 3, 4 y 5. Haz un diagrama que refleje de cuántas maneras diferentes se puede vestir.
3
Haz una tabla con todos los resultados posibles que se obtienen al lanzar dos dados.
4
Elabora una tabla de doble entrada con los posibles resultados que podemos obtener con las fichas de dominó. ¿Cuántas fichas hay?
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
En la carta de un restaurante, el cliente puede elegir su menú, escogiendo un primer plato, un segundo plato y un postre. La carta tiene 4 primeros platos, 8 segundos platos y 7 postres. ¿Cuántos menús diferentes podrá elegir cada cliente?
Puede elegir un primer plato de 4, un segundo plato de 8 y un postre de 7, o sea: 4 ⋅ 8 ⋅ 7 = 224 menús. 2
Marcos tiene para vestirse tres pares de zapatos: A, B y C; cuatro pares de pantalones: M, N, P y Q, y cinco camisas: 1, 2, 3, 4 y 5. Haz un diagrama que refleje de cuántas maneras diferentes se puede vestir. A M
N
P
Q
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
Si llamamos Z = {A, B, C}, Y = {M, N, P, Q} y X = {1, 2, 3, 4, 5}, una forma de vestir consiste en escoger un elemento de cada uno de los conjuntos Z, Y y X; por ejemplo, AN3, BM5, CP2…, por lo que el número de formas diferentes será el producto del número de elementos de cada conjunto: 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 formas diferentes. En la figura se observan las 20 agrupaciones diferentes que se pueden hacer con el par de zapatos A, y lo mismo pasaría con B y C; por tanto, hay 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 formas diferentes de vestirse.
4
Haz una tabla con todos los resultados posibles que se obtienen al lanzar dos dados. 1.ª⏐2.ª
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
Elabora una tabla de doble entrada con los posibles resultados que podemos obtener con las fichas de dominó. ¿Cuántas fichas hay? Hay 28 fichas. xi
1
1
(1, 1)
2
(2, 1)
(2, 2)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
0
(0, 1)
(0, 2)
(0, 3)
(0, 4)
(0, 5)
(0, 6)
2
3
4
5
6
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0
(0, 0)
PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
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COMBINATORIA
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Utilización de diagramas multiplicativos y de árbol en el estudio de situaciones de la vida cotidiana.
1
Las contraseñas que se utilizan en algunos correos electrónicos están formadas por cuatro dígitos. Juan ha olvidado su contraseña, y sabe que está formada por las cifras 8, 1, 4 y 6, aunque no recuerda el orden. Haz un diagrama de árbol y escribe todos los posibles códigos de esta contraseña.
Distinción entre variaciones sin repetición y variaciones con repetición, y cálculo de su valor en cada caso.
2
En un grupo de 4.º ESO se hace una votación para elegir los cargos de delegado y subdelegado de 25 alumnos, con la condición de que en un mismo alumno no pueden recaer los dos cargos. ¿De cuántas maneras se pueden repartir?
Distinción de las permutaciones como caso particular de las variaciones, y cálculo de su valor.
3
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6? De ellos, ¿cuántos son mayores que 540? ¿Y cuántos son pares?
4
¿De cuántas maneras se pueden colocar ocho trofeos en una estantería?
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ............................................................................................................ • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...............................................................
8
• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ................................................................................................ • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................
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2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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Comprensión y distinción de las combinaciones respecto de las variaciones y las permutaciones.
5
El profesor de Matemáticas quiere organizar un concurso por parejas en la clase para resolver problemas. En la clase hay 14 chicos y 14 chicas y el profesor desea hacer parejas mixtas. ¿Cuántas parejas diferentes puede organizar? ¿Y si las parejas son de cualquier tipo?
Cálculo del número de grupos que se forman con las combinaciones.
6
En un campeonato de fútbol se presentan 17 equipos. ¿Cuántos partidos se tienen que jugar para que todos los equipos jueguen entre sí?
Utilización de las propiedades de los números combinatorios para obtener la potencia de un binomio (binomio de Newton).
7
Calcula la siguiente potencia: (2x + 3y )4
8
En un grupo de 20 personas hay 5 personas que hablan solo inglés, 7 personas que hablan solo francés y el resto habla los dos idiomas. ¿De cuántas maneras podemos elegir dos personas del grupo, de forma que siempre haya una persona que hable cada idioma?
9
Calcula el valor de x en cada una de las ecuaciones.
Aplicación de la combinatoria en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
⎛ 16 ⎞⎟ ⎛ 16 ⎞⎟ ⎟ ⎟=⎜ a) ⎜⎜⎜ ⎝ x − 2⎟⎠ ⎜⎜⎝ x − 4⎟⎠
b) V x5 = 6V x3
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................. Combinar, componer datos, resumir, etc. ............................................................................................................... Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 2, 3, 4, 5, 6
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
Clasificar y discriminar según criterios .................................................................................................................... 1
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COMBINATORIA
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Contraseñas. 1.ª cifra
2.ª cifra F
1
3.ª cifra
6 8 F 4 F 8 F 4 F 6
4
F
6
F
8
4.ª cifra
F
F
F
F F F F F
Contraseña
8 6 8 4 6 4
1468 1486 F 1648 F 1684 F 1846 F 1864 F F
Por tanto, hay 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 códigos, porque ocurrirá igual empezando por 4, 6 u 8. 2
Elección de delegado. 2 Una agrupación es un par de números dispuestos en cualquier orden, sin repetición: V25 = 25 ⋅ 24 = 600
3
Cifras.
Se trata de cifras que se pueden repetir y en las que sí importa el orden: VR34 = 43 = 64 Para que sean números mayores que 540, la primera cifra ha de ser un 6: VR24 = 42 = 16, o la primera cifra ha de ser un 5; la segunda, un 4 o 5 o 6, y la tercera será cualquier número: 1 ⋅ 3 ⋅ 4 = 12 → 26 números Para que los números sean pares, la última cifra ha de ser un 2: VR42 = 4 2 = 16 o un 4: 4 2 = 16 → 32 números 4
Trofeos.
Se trata de permutaciones de 8 elementos: P8 = 8! = 40.320 formas diferentes 5
6
Problemas de Matemáticas.
En el primer caso, elegimos un chico y una chica: 14 ⋅ 14 = 196 parejas diferentes.
Se trata de formar parejas en las que importa el orden, por lo que se trata de combinaciones: ⎛17 ⎞ 17 ⋅ 16 2 C17 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = = 136 ⎝2 ⎠ 2
En el segundo caso, como AB = BA, resulta que hay: ⎛28 ⎞ 28 ⋅ 27 C228 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = = 378 parejas ⎝2 ⎠ 2 7
Campeonato de fútbol.
Binomio de Newton. ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
(2 x + 3 y ) = ⎜⎜⎜4 ⎟⎟⎟(2 x ) + ⎜⎜⎜4 ⎟⎟⎟(2 x ) (3 y ) + ⎜⎜⎜4 ⎟⎟⎟(2 x ) (3 y ) + ⎜⎜⎜4 ⎟⎟⎟(2 x ) (3 y ) + ⎜⎜⎜4 ⎟⎟⎟(3 y ) = ⎝0 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝4 ⎠ 4
4
3
1
2
2
1
3
4
= 16 x4 + 4 ⋅ 8 x3 ⋅ 3 y + 6 ⋅ 4x2 ⋅ 9 y2 + 4 ⋅ 2 x ⋅ 27 y3 + 81y4 = 16 x4 + 96 x3y + 216 x2y2 + 216 xy3 + 81 y4 8
Idiomas.
10 posibles parejas hablan solo inglés, 21 hablan solo francés y el total de posibles parejas es 190; entonces podemos escoger 190 − 10 − 21 = 159 parejas de las características pedidas. 9
Ecuaciones. ⎛ 16 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 16 ⎟⎟ → ( x − 2 ) + ( x − 4 ) = 16 → x = 11 a) ⎜⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎝x − 2 ⎠ ⎝ x − 4 ⎟⎠
⎪⎧ x = 1 (no válida) b) V5x = 6 V3x → x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = 6 ⋅ x(x − 1)(x − 2) → (x − 3)(x − 4) = 6 → ⎨ ⎪⎪⎩ x = 6
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14 Probabilidad INTRODUCCIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
La probabilidad se ha trabajado en todos los cursos, y se utiliza actualmente en numerosas disciplinas y en aspectos de predicción de fenómenos. Por ello es conveniente trabajar los conceptos de la unidad mediante sucesos de la vida ordinaria y próximos a los alumnos, o realizar los ejercicios de forma práctica: extracción de bolas de una bolsa, lanzamiento de dados o monedas, etc.
Los conceptos previos que se han de revisar antes de comenzar la unidad son los correspondientes a la Unidad 14 de 3.º ESO: • Distinción entre experimentos aleatorios y deterministas. • Concepto intuitivo de probabilidad. • Aplicación de la regla de Laplace en casos sencillos.
Las dificultades de la unidad surgen en los conceptos porque los cálculos y los procedimientos son sencillos. Es útil trabajar con diagramas en árbol.
CONTENIDOS PROBABILIDAD • Experimentos aleatorios. Sucesos: – Suceso elemental. Espacio muestral. – Sucesos compatibles e incompatibles. • Operaciones con sucesos: – Unión e intersección de sucesos. – Suceso complementario. • Probabilidad de un suceso. • Regla de Laplace. • Frecuencia y probabilidad. • Propiedades de la probabilidad. • Probabilidad condicionada. • Sucesos dependientes e independientes: – Cálculo de probabilidades condicionadas en sucesos dependientes e independientes.
PRUEBA INICIAL
PRUEBA DE LA UNIDAD
Esta prueba contiene cuatro actividades sobre la probabilidad, y el alumno tiene que distinguir los experimentos aleatorios de los deterministas, asignar una probabilidad a un suceso aleatorio de forma cualitativa, y aplicar la regla de Laplace en casos sencillos.
Se ha hecho una selección de actividades que trabajan los conceptos de la unidad: espacio muestral y sucesos (actividad 1); frecuencia y probabilidad (actividad 2); operaciones con sucesos y cálculo de probabilidad (actividad 3); regla de Laplace y cálculo de probabilidades en experimentos compuestos y en experimentos no equiprobables (actividades 4 y 5). Las últimas actividades están referidas al cálculo de probabilidades en experimentos compuestos y al cálculo de la probabilidad condicionada con sucesos dependientes o independientes.
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
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PROBABILIDAD
EVALUACIÓN INICIAL 1
Averigua si los siguientes experimentos son deterministas o aleatorios. a) Lanzar desde una torre, y con una velocidad de 20 m/s, un objeto, y calcular su velocidad al llegar. b) Calentar agua a 100 ºC en condiciones normales y observar si hierve o no. c) Lanzar un dado y mirar la puntuación obtenida. d) En la parada del autobús, anotar el número de la línea del primer autobús que llega.
2
Asocia a cada uno de los sucesos estadísticos una de las palabras en función de su probabilidad. Sucesos
Probabilidad
Saco una ficha de dominó y la suma de los puntos es mayor que 2
Seguro
Lanzo un dado cúbico y sale un número par
Casi seguro
Saco una carta de una baraja y sale el as de bastos
Probable
Si hoy es jueves, mañana será viernes
Casi imposible
Lanzamos al aire tres dados y la suma de los puntos obtenidos es 20
Imposible
3
En la clase de 4.º hay 17 chicas y 13 chicos. Si elegimos al azar a una persona para ser delegado de la clase, ¿qué probabilidad hay de que sea una chica?
4
Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Describe, en cada caso, el tipo de suceso y calcula las probabilidades de estos sucesos, aplicando la regla de Laplace. a) Sacar el as de espadas. b) Sacar una figura o un número menor que 8. c) Sacar oros. d) Sacar copas o bastos. e) Sacar una carta que no sea figura. f) Sacar una carta que sea múltiplo de 8.
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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES 1
Averigua si los siguientes experimentos son deterministas o aleatorios. a) Lanzar desde una torre, y con una velocidad de 20 m/s, un objeto, y calcular su velocidad al llegar. b) Calentar agua a 100 ºC en condiciones normales y observar si hierve o no. c) Lanzar un dado y mirar la puntuación obtenida. d) En la parada del autobús, anotar el número de la línea del primer autobús que llega.
Son deterministas los experimentos a) y b) y son aleatorios los experimentos c) y d). Asocia a cada uno de los sucesos estadísticos una de las palabras en función de su probabilidad. Sucesos
Probabilidad
Saco una ficha de dominó y la suma de los puntos es mayor que 2
3
Seguro
Lanzo un dado cúbico y sale un número par
F
Casi seguro
Saco una carta de una baraja y sale el as de bastos
F
Probable
Si hoy es jueves, mañana será viernes
F
Casi imposible
Lanzamos al aire tres dados y la suma de los puntos obtenidos es 20
F
Imposible
En la clase de 4.º hay 17 chicas y 13 chicos. Si elegimos al azar a una persona para ser delegado de la clase, ¿qué probabilidad hay de que sea una chica? P( chica ) =
4
F
17 30
Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Describe, en cada caso, el tipo de suceso y calcula las probabilidades de estos sucesos, aplicando la regla de Laplace. a) Sacar el as de espadas. b) Sacar una figura o un número menor que 8. c) Sacar oros. d) Sacar copas o bastos. e) Sacar una carta que no sea figura. f) Sacar una carta que sea múltiplo de 8. a) P( A ) =
1 40
b) P( B) = 1
c) P( C ) =
10 40
e) P( E ) =
d) P( D ) =
20 40
f) P( F ) = 0
28 40
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
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PROBABILIDAD
contenidos
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
Identificación de los sucesos de un experimento aleatorio, y realización de operaciones con ellos. Distinción de si dos sucesos son compatibles, incompatibles o contrarios.
1
Lanzamos un dado cúbico. Sean los sucesos. A = {sacar un número par}, B = {sacar un múltiplo de 3} y C = {obtener un número que sea potencia de 2} a) Escribe estos sucesos. b) Estudia la compatibilidad de los tres sucesos. c) Calcula A ∪ B y B ∩ C.
Utilización de la relación entre frecuencia relativa y probabilidad.
2
Lanzamos muchas veces una taba y obtenemos los siguientes resultados.
Hoyo
Barriga
Carne
Fondo
a) Hoyo (la cara más cóncava), 654 veces. b) Panza (la cara más convexa), 432 veces. c) Carne (la cara lateral en forma de pico), 312 veces. d) Fondo (la cara opuesta a la carne), 253 veces. Calcula la probabilidad de obtener cada uno de los resultados posibles.
Cálculo de probabilidades de sucesos compatibles, incompatibles y contrarios.
3
Una encuesta revela que, en una ciudad, el 45 % de los habitantes lee el periódico A, el 30 % lee el periódico B y un 15 % lee los dos periódicos. Si preguntamos a una persona, di cuál es la probabilidad de que no lea ninguno de los periódicos.
Distinción entre experimento aleatorio simple y compuesto. Cálculo de la probabilidad de sucesos equiprobables mediante la regla de Laplace.
4
Lanzamos al aire una moneda y un dado. Calcula la probabilidad de obtener cara y par.
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Enumerar e identificar elementos ............................................................................................................ 1 • Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .................................................................. • Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ............................................................... • Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ................................................................................................ 2, 4, 8 • Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................ 3, 5, 6, 7, 8
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Obtención de probabilidades en contextos de no equiprobabilidad.
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Pulsamos la ruleta de la figura y observamos la puntuación obtenida. Calcula la probabilidad de obtener cada uno de los resultados posibles. 5
1
4 2 3
Cálculo de probabilidades de sucesos independientes y dependientes.
6
De una bolsa que contiene 6 bolas blancas y 3 bolas negras, se extraen dos bolas al azar sin devolución y se anota el color. Describe el experimento mediante un diagrama de árbol, y calcula la probabilidad de cada uno de los posibles resultados.
Aplicación de la probabilidad a situaciones de la vida cotidiana.
7
De un juego de cartas se extraen tres cartas sin devolución. Calcula la probabilidad de que sean tres figuras. ¿Y si se juega con devolución?
Resolución de problemas de probabilidad condicionada.
8
En una urna tenemos 4 bolas blancas, 5 verdes y 3 amarillas. Calcula la probabilidad de que saquemos una bola blanca en la segunda extracción si la primera bola ha sido verde.
CAPACIDADES PREFERENTES
PRUEBAS
• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .............................................................................................................. • Combinar, componer datos, resumir, etc. ........................................................................................................... • Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................
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PROPUESTAS DE EVALUACIÓN
• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................
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PROBABILIDAD
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES 1
Espacio muestral y sucesos. a) A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
2
C = {1, 2, 4}
b) A y B son compatibles, A y C son compatibles y B y C son incompatibles. c) A ∪ B = {2, 3, 4, 6} B ∩ C = 3
∅
Frecuencia y probabilidad. P( A ) =
654 = 0 ,396 1.651
P( C ) =
312 = 0 ,189 1.651
P( B) =
432 = 0 , 261 1.651
P( D ) =
253 = 0 ,153 1.651
Operaciones con sucesos.
A
4
A∩B
Si consideramos que E es el espacio muestral, podemos dividirlo en cuatro subconjuntos disjuntos. P( A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − [ P(A) + P( B' − P(A ∩ B)] = = 1 − (0,45 + 0,30 − 0,15) = 0,4
B
Experimentos compuestos.
En el siguiente diagrama se ve que es un experimento compuesto con 2 ⋅ 6 = 12 sucesos elementales equiprobables: 3 1 = E = {(c, 1), (c, 2) , …, ( x, 5), ( x, 6)} P(cara, par) = 12 4 5
c
x
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
Sucesos no equiprobables.
Si llamamos x a la probabilidad de que salga un 1 (sector menor), tenemos que: P(1) = x
P(2) = 2 x
P(3) = 3 x
x + 2 x + 3x + x + x = 1 → x = 6
P(4) = x
P(5) = x
1 1 → P( 1) = 8 8
P( 2 ) =
2 8
P( 3 ) =
3 8
P( 4 ) =
Diagramas de árbol.
P( B, B) =
6 5 30 ⋅ = 9 8 72
P( N, B) =
3 6 18 ⋅ = 9 8 72
P( B, N) =
6 3 18 ⋅ = 9 8 72
P( N, N) =
3 2 6 ⋅ = 9 8 72
6/9
3/9
Blanca
3/8
Negra
6/8
Blanca
2/8
Negra
Negra
Cartas de una baraja.
Sin devolución, son sucesos dependientes: P(Fig, Fig, Fig) =
12 12 12 ⋅ ⋅ = 0 , 027 40 40 40
12 11 10 ⋅ ⋅ = 0 , 0222 40 39 38
Probabilidad condicionada. 5 4 ⋅ 12 11 P ( verde, blanca ) 4 = = P(2.a blanca/1.a verde) = P( verde ) 11 5 12
494
1 8
Blanca
Con devolución, son sucesos independientes: P(Fig, Fig, Fig) =
8
P( 5 ) = 5/8
Las probabilidades son:
7
1 8
쮿 MATEMÁTICAS 4.° B ESO 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿
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