REVISTA DIGITAL: Aprendamos Matematicas 9° Número 1

NÚMEROS REALES Problemas de aplicación

En el siguiente documento se desarrollan distintos ejemplos de aplicación de los números reales en problemas de la vida cotidiana.

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INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN ÍNDICE Introducción……………………………………………………………………………………………….1 1. Reutilizando materiales……………….…………………………….………………………………3 2. Comparando medidas……………………………………………………………………………….5 3. Sumando números Reales…………………………………………………………………………7 4. Más aplicaciones de los números Reales…………………………………………………..9 5. Movilicemos lo aprendido…………………………………………………………………………11 6. Bibliografía……………………………………………………………………………………………..15

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Introducción

Introducción “Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar” Hipatia Figura 1: Hipatia

Las matemáticas han estado presentes a lo largo del desarrollo del ser humano. Desde la época de las cavernas, éstas se empleaban para llevar al registro de los animales, por medio de marcas en piedras o huesos. Luego, las grandes civilizaciones antiguas como la egipcia, griega, babilonia, e inclusive la maya, se encargaron de desarrollar sistemas de numeración, por medio de los cuales podían, además de contar, realizar distintas operaciones que les permitían resolver problemas de la época, especialmente, relacionados con la geometría, como el cálculo de áreas de terrenos o bien, referentes a la arquitectura. Precisamente, el ser humano se dio cuenta de que los números no solamente se podían utilizar para el conteo de objetos, por el contrario, sus aplicaciones iban más allá, como la medida de distancias y áreas de superficies. Los números Racionales surgieron como respuesta a problemas de esta índole. Sin embargo, llegó el momento en que estos no eran suficientes, ya que no respondían a problemas en donde las respuestas correspondían a números que no se podían expresar en forma de fracción. Fue así como los antiguos matemáticos griegos, descubrieron los números Irracionales. Existen números irracionales muy famosos, conocidos y útiles, veamos: 𝜋 ≈ 3,14159265358979323846 … (Número pi) 𝑒 ≈ 2,71828182845904523536028747 … (Número de Euler o constante de Napier) 𝜑 ≈ 1,6803398874989 … (Número áureo o número de oro) Quizás, uno de los que nos es más familiar es el número 𝜋, el cual lo utilizamos en el cálculo de longitudes de circunferencias y áreas de círculos, así como en problemas que involucran el área y el volumen de esferas y conos, entre otros. Una de las aplicaciones del número 𝑒, en el área de administración y economía, es en la resolución de problemas sobre interés compuesto, además, es posible modelar distintos fenómenos físicos con dicho número. Por su parte, el número áureo, también llamado, número de oro, es posible encontrarlo en el arte, la arquitectura y hasta en la misma naturaleza. Entonces, los números Irracionales han sido clave en el desarrollo humano, por tanto, su estudio se reviste de importancia y aplicabilidad.

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Reutilizando materiales

1. Reutilizando materiales Considere la siguiente situación: “Celeste tiene tres cajas de galletas de forma cúbica, pero de tamaño distinto, las cuales desea reutilizar, pensando en cuidar el ambiente, reduciendo la cantidad de desechos sólidos que se podrían ir al depósito de basura, o bien, el consumo de energía que provoca el procesar este tipo de material. Ella piensa utilizarlas para guardar distintos materiales (lápices, cuadernos, libros, entre otros) Ver figura 2.

Figura 2: Caja de cartón Ella decidió decorar cada una de las cinco caras de cada cajas (las tapas las eliminó), con papel de regalo, gastando 2000𝑐𝑚 2 en la primera caja, 500𝑐𝑚 2 en la segunda y 10𝑑𝑚 2 en la tercera.

Entonces, si no hubo ningún tipo de desperdicio de papel, y si este calzó de forma exacta en las caras respectivas, sin necesidad de doblar o recortar ningún pedazo sobrante, determine: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

¿Cuánto material gastó en cada una de las caras de cada caja? ¿Por qué? ¿Cuál es el área de cada cara? ¿Por qué? ¿Cuál es la medida del lado de cada cara de cada caja? Justifique ¿Qué operación se debe emplear para resolver el problema anterior? Considere los números encontrados en la pregunta 3, ¿Son ellos Racionales? Justifique. ¿Qué otras acciones podría implementar Celeste para cuidar el medio ambiente?

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Reutilizando materiales

Solución 1. Para determinar la cantidad de papel por cara, se puede dividir la cantidad total de papel que se utilizó entre el número de caras, es decir: 2000 ÷ 5 = 400 500 ÷ 5 = 100 10 ÷ 5 = 2 De esta forma, gastó 400𝑐𝑚 2 de papel en cada cara de la caja primera caja, 100𝑐𝑚 2 en cada cara de la segunda caja y 2𝑑𝑚 2 en cada cara de la tercera caja. 2. Como no hubo desperdicio de papel al forrar las cajas, ya que este calzó de forma exacta, el área de las caras coincide con la cantidad de papel que gastó en cada una de ellas, es decir: a. Para la primera caja, el área de cada cara es 400𝑐𝑚 2 . b. Para la segunda caja, el área de cada cara es 100𝑐𝑚 2 . c. Para la tercera caja, el área de cada cara es 2𝑑𝑚 2. 3. Como cada una de las cajas es de forma cúbica, sus caras son cuadrados, entonces para determinar la medida del lado de cada cara (arista de la caja), se debe trabajar con la fórmula del área de un cuadrado, es decir: 𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = ℓ2 Sin embargo, la fórmula anterior nos permite calcular el área de un cuadrado si sabemos la medida del lado, pero en nuestro problema, necesitamos averiguar lo contrario: calcular la medida del lado conociendo el área. De esta forma, buscamos un número que elevado a la potencia dos de 400, otro que elevado a la potencia dos de 100, y uno que elevado al cuadrado de como resultado 2. Así, podemos probar con distintas cantidades para encontrar tales números. No obstante, si utilizamos un poco la lógica, podemos trabajar con operaciones inversas para ahorrar tiempo: “Si elevamos al cuadrado el lado para averiguar el área, entonces, si calculamos la raíz cuadrada del área, determinaremos la medida del lado”. Recordemos que la operación inversa de la potencia es la radicación, por tanto si sabemos el área de un cuadrado y deseamos determinar la medida del lado, basta con averiguar la raíz cuadrada del área: ℓ = √𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 De esta forma tenemos: ℓ = √400 = 20 ℓ = √100 = 10 ℓ = √2 Aprendamos Matemática 9° | Mag. Karla Montero S.

4

5

Por tanto, la medida del lado de la cara de la primera caja es 20𝑐𝑚, la medida de la de la cara de la segunda caja es 10𝑐𝑚 y la medida del lado de la cara de la tercera caja √2 𝑑𝑚. 4. La operación que se utilizó para resolver el problema anterior es la radicación, específicamente, la raíz cuadrada. 5. Tanto el 20 como el 10 son números Racionales, sin embargo, √2 no, pues su expansión decimal contiene infinitos decimales (1,41421356…) y, aunque la calculadora da cierta cantidad de decimales, esto no es más que una aproximación, debido a que son infinitos aperiódicos, y es imposible visualizarlos todos en la calculadora. 6. Celeste puede implementar otras acciones como: reciclar, reducir el consumo de basura y reforestar. ∎

Conocimientos previos Para simplificar radicales, se puede expresar el radicando en notación de potencia, y luego se divide el exponente con el índice correspondiente. Cuando el número es Racional, tal división es exacta, si el número es irracional, la división no es exacta y el residuo indica la potencia del radicando que queda dentro del radical. Ejemplo: 2

2

√100 = √22 ∙ 52 = 22 ∙ 52 = 21 ∙ 51 = 2 ∙ 5 = 10 3

6

3

√729 = √36 = 32 = 32 = 9 2

√8 = √23 = √22 ∙ 21 = 22 √21 = 21 √2 = 2√2 3

3

6 3

3 3 √576 = √26 ∙ 32 = 23 √32 = 22 √9 = 4√9

2. COMPRANDO MEDIDAS Considere la siguiente situación: Julio, Carlos, José, Pedro y Javier son cinco hermanos. Ellos tienen distintos terrenos de forma cuadrada, los cuales miden, respectivamente: 225𝑚 2 , 200𝑚 2 , 605𝑚 2 , 567𝑚 2 y 272,25𝑚 2 . Figura 3. Aprendamos Matemática 9° | Mag. Karla Montero S.

COMPRANDO MEDIDAS

A partir de la información anterior, resuelva los siguientes ejercicios: 1. Determine la medida del lado de cada lote. 2. Clasifique los números encontrados en el punto 1, en números Racionales o Irracionales. 3. Ordénelos de mayor a menor. 4. Represéntelos en una recta numérica.

NÚMEROS IRRACIONALES 𝕀 Un número es irracional si no se puede escribir en forma 𝑎

fraccionaria , donde 𝑎 y 𝑏, 𝑏

𝑏 ≠ 0.

Solución 1. Cada lote es de forma cuadrada, por tanto, si sabemos el área de cada uno de ellos, tan solo determinamos las raíces cuadradas respectivas para calcular la medida del lado: √225 = 15 √200 = 10√2 √605 = 11√5 √567 = 9√7 33 √272,25 = 2 Entonces, la medida del lado de cada uno de los lotes es, respectivamente: 15𝑚, 10√2𝑚, 11√5𝑚, 9√7𝑚 y 16,5𝑚. 2. Los números entrados en el punto 1, se pueden clasificar de la siguiente forma: a. Racionales: 15, y

33 2

b. Irracionales: 10√2, 11√5 y 9√7 3. Para ordenarlos de mayor a menor es 11√5 = 24.5967477524976867 …preciso expresarlos en notación decimal: 15 10√2 = 14.1421356237309505 … 4.

Precisamente, este tipo de números tiene expansiones decimales infinitas no periódicas, por ejemplo: √3 = 1,732050807568 … 3

√5 = 1.709975946676 …

𝜋 = 3.1415926535897 …

Nota importante: Recordemos que los números radicales se pueden expresar en forma exponencial: 𝒏

𝒏

√𝒂𝒎 = 𝒂𝒎

Por ejemplo: 3

2

√52 = 53 1

9√7 = 23.8117617995813153 … 33 = 16,5 2 Ahora procedemos a ordenarlos de mayor a menor: 11√5; 9√7;

33 2

; 15; 10√2

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√2 = 22

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Sumando números Reales

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5. Finalmente, los ubicamos en la recta numérica, para ello también utilizamos su notación decimal.

∎

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES La unión de todos los números Racionales y los números Irracionales forman un conjunto numérico llamado “El conjunto de los números Reales”. Este conjunto se denota con el símbolo ℝ , y, por lo tanto, tanto los números racionales como los irracionales son números reales. Asimismo, también hay ciertos números que no son reales, se llaman complejos, por ejemplo: 4

√−16 √−1

Esto porque ningún número real elevado a la potencia 4 da como resultado -16, o bien ningún número real elevado al cuadrado da como resultado -1: 24 = (−2)4 = 16 14 = (−1)4 = 1

Sumando números Reales Considere la siguiente situación: Rebeca tiene un lote de forma trapezoidal, tal como se muestra en la figura 4, ella desea construir una tapia para que no ingresen ciertas personas a realizar daños. Fue a una empresa constructora y le indicaron que el precio de la tapia por metro lineal era de 12000 colones.

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Sumando números Reales

Figura 4. Determine: 1. Los metros lineales que debe medir la tapia. 2. El valor aproximado de la tapia.

Solución 1. Para determinar los metros lineales que debe medir la tapia se debe calcular el perímetro del lote, es decir, sumar la medida de los lados del trapezoide la figura 4. 30√11 + 20√3 + 50√3 + 13√11 = 20√3 + 50√3 + 13√11 + 30√11 = 70√3 + 43√11 Entonces, la tapia debe medir 70√3 + 43√11 metros, es decir, aproximadamente 263,858m.

2. El valor aproximado de la tapia se obtiene de multiplicar la longitud de la tapia (en metros) por el valor del metro lineal, en este caso 12000 colones: 263,858 ∙ 12000 = 3166296 Por tanto, la tapia tendrá un valor de 3 166 296 colones. ∎

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Más aplicaciones de los números reales

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La suma y resta de números radicales es equivalente a la reducción de radicales semejantes. Entonces, se agrupan los radicales semejantes y luego se suman o restan los coeficientes, conservando tanto la raíz, como el índice y el radicando. Por ejemplo: 3

3

√2 − √5 + 4√2 − 2√5 = 3

3

√2 + 4√2 − √5 − 2√5 = 3

6√2 − 3√5

4. Más aplicaciones de los números reales Considere la siguiente situación: Andrés tiene cuatro lotes distintos, tal como se muestran en la figura 5. Determine: ¿cuál de ellos tiene el área menor?

Figura 5

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Más aplicaciones de los números reales

Solución Se debe sustituir los valores en las fórmulas indicadas: 𝐴 = ℓ2 𝐴 = (6√2)

2

𝐴 = 62 ∙ √22 𝐴 = 36 ∙ 2 𝐴 = 72

𝐴=𝑙∙𝑎 3

𝐴 = 11 √5 ∙ 4 3

𝐴 = 44 √5 ≈ 98,386 …

𝐴=

𝑏∙ℎ

𝐴=

7 √20∙ √5

𝐴=

2 5

5

2 5 7 √60 2

≈ 7,937..

𝐴=

(𝐵+𝑏)∙ℎ 2

(15 + 5) ∙ 4√5 𝐴= 2 𝐴 = 40√5 ≈ 56,568 …

Respuesta: Por tanto, el lote, cuya área es la menor es el lote triangular. ∎

Para multiplicar y dividir radicales, es necesario que éstos sean homogéneos (igual índice), de esta forma, se multiplican o dividen, según cada caso, los coeficientes entre sí y los radicandos entre sí, simplificando al máximo los resultados. Por ejemplo: −3√2 ∙ 4√5 = −3 ∙ 4√2 ∙ 5 = −12√10

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MOVILICEMOS LO APRENDIDO

Cuando realizamos operaciones combinadas con números Reales, se sigue la misma prioridad de las operaciones y el uso de paréntesis que se aplica en las operaciones con números Racionales: 



Cuando se combinan operaciones, primero se realizan las potencias y raíces, luego las multiplicaciones y divisiones y finalmente las sumas y restas, en el orden en que aparezcan de izquierda a derecha. Cuando se realizan operaciones con signos de agrupación, primero se realizan las operaciones dentro de los paréntesis redondos y luego las que quedan dentro de los paréntesis cuadrados. Por ejemplo: 3

3

3

√5 ∙ √3 − √49 ( √7 + √7) + 6√30 ÷ −√2 = 3

3

√5 ∙ √3 − √49 ∙ 2 √7 + 6√30 ÷ −√2 = √15 − 14 − 6√15 = √15 − 6√15 − 14 = −5√15 − 14

MOVILICEMOS LO APRENDIDO 1. Realice las siguientes operaciones con números reales. 3

(7√5) − 2 ∙ 5√2 + 8√2 ÷ 4 =

2

4√2(7√3−8√3)

2√2 ∙ −3√5 + (7√3) − 60 =

3

0

5

3

√3 + 2√2 − √2 + √3 =

2

3

=

3

3

3√2 − √9 ∙ √3 + 2√2 =

( √−1) + √2 ∙ √3 − 22 =

8√3 + 2√5 − √3 − 4√5 =

( √5) − √32 − √7 ∙ √3 =

7

0

5

2. Clasifique los siguientes números en racionales o irracionales. √100 𝜋 2

__________________

√2 2

__________________

__________________

𝑒2

__________________

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MOVILICEMOS LO APRENDIDO

3,2

5

− √−1

__________________

−3

7

__________________

5

__________________ __________________

23 1

1

(−27)3

1 2

( ) = 2

__________________

__________________

−3𝑒 2

__________________

__________________

√−4

__________________

__________________

3. Clasifique los siguientes en reales o no reales 𝜋 3

√𝜋 5

− √−2

1

__________________

__________________

7 1

4

√−10

(−3)2

__________________

__________________

1

(−5)3

__________________

4. A continuación se le presenta una recta numérica. En ella, los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 corresponden a números reales. Identifique un posible valor para cada uno de ellos, según las opciones que se presentan, escribiendo la letra correspondiente en el espacio subrayado.

√0,6 3

− √4

_______ _______

√7 3

√3

−√2,25 _______

______ ______

5. Según la siguiente recta numérica, indique cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas (f) y cuáles son verdaderas (V).

|𝐴| > 𝐵

( )

|𝐵 | > |𝐶 |

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( )

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MOVILICEMOS LO APRENDIDO

𝐶>𝐵 𝑐 2

>𝐴

( )

𝐴>𝐵

( )

( )

𝐵+1>𝐶

( )

6. Ordene los siguientes conjuntos numéricos en forma descendente. 3



√2; 𝜋; −1; √6; −√8



𝑒 2 ; √81; √100;



2√7; −√5; 10 √3; −√0,16; −𝜋___________________________________

3

−3 2

___________________________________ ;0

___________________________________

5

7. Ordene los siguientes conjuntos numéricos en forma ascendente. 𝜋

3



−√3; ; 2; √−27; −0,5



−𝑒



2√7

2

3

3

4

3

; √8; −√25; 5 ; √2 5

; −1,4; − √3; √0,25; 0

___________________________________ ___________________________________

___________________________________

8. Resuelva los siguientes problemas: a. Considere tres lotes cuadrados cuyas áreas son 300𝑚 2 , 1600𝑚 2 y 475𝑚 2 , respectivamente. Determine la medida del lado de cada uno de ellos e indique si los números correspondientes son números racionales o irracionales. 3

b. Juanita caminó las siguientes distancias: 2√11𝑘𝑚; 5√3 𝑘𝑚 y 5 √2𝑘𝑚. A partir de la información anterior, realice los siguientes ejercicios: 1) Ordene las distancias que caminó Juanita de menor a mayor. 2) Determine cuál de esas distancias es la menor. 3) ¿Cuántos kilómetros caminó en total?

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MOVILICEMOS LO APRENDIDO

c. Jaime tiene tres tarjetas de diferente forma y tamaño, como las que se muestran a continuación.

Determine cuál de ellas tiene el área mayor.

9. Simplifique los siguientes radicales. 3

√216 =

5

√1000 =

6

3

4

√−81 =

√128 = √64 = √1024 =

10. Determine el valor de la incógnita, según cada caso. 𝑥2 = 4

𝑦3 = 5

𝑚 5 = 10

𝑥4 = 7

𝑦2 = 8

𝑝3 = 6

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BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA Jarno Vasa. (s.f.). Cardboard box. [Figura] Recuperado de: http://www.public-domainphotos.com/free-cliparts/other/containers/cardboard_box_jarno_vasa_-3666.htm Jules

Maurice

Gaspard.

(1908).

Hipatia

of

Alexandria.

Recuperado

de

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f8/Hypatia.jpg Manga Girl Dirk struve 01. (s.f) [Figura] Recuperado de http://www.public-domainphotos.com/free-cliparts/people/other/manga_girl_dirk_struve_01-4551.htm Neo,

P.

(s.f).

Field

in

Fall.

[figura].

Recuperado

de

http://www.public-domain-

photos.com/landscapes/fields/field-in-fall-free-stock-photo-1.htm

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