NÚMEROS Y OPERACIONES EN

EDUCACIÓN INFANTIL.

Ramón Galán González

INDICE: 1. La construcción del número natural. 2. Recursos didácticos empleados para la construcción del número natural. 3. Determinación de la cantidad de objetos: contar y calcular. 4. Acciones que fundamentan el cálculo aritmético. 5. Propuestas de actividades previas al cálculo matemático.

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1. La construcción del número natural. Es frecuente observar, en cualquier esfera de conocimiento, que los conceptos fundamentales son estudiados y analizados de manera superficial. Este error está producido por la falsa creencia de que los conceptos elementales son conceptos simples, que no admiten un desarrollo extenso y que, por ello, fáciles de construir y que no muestran la necesidad de que profundicemos, analicemos y reflexionemos acerca de ellos. Este error general se muestra en forma particular en el campo de la didáctica de las matemáticas: se le presta escasa atención al proceso de construcción del número natural en el niño y lo que este proceso implica. Cierto es que muchos docentes de la Etapa de Educación Infantil abordan de manera intuitiva, trabajando dentro del aula, dicho proceso pero sin mediar una reflexión ni un análisis previo sobre el concepto de número natural. Igualmente, con el desarrollo del proceso de aprendizaje del sistema de numeración decimal, emanan tres conceptos: cantidad, número y cifra. Como a menudo se emplean de forma equivoca estos conceptos, no sólo entre los alumnos sino igualmente entre los docentes, estimamos conveniente establecer las diferencias entre ellos. Con tal fin y en su momento, partiremos de representaciones sencillas. Analicemos, pues y en primer lugar, el concepto de número natural. Los objetos tienen diversas propiedades. Las propiedades de los objetos pueden ser cualitativas y cuantitativas. Lo ilustramos con un sencillo ejemplo. Supongamos que tenemos 5 manzanas y 3 lápices. Tanto las 5 manzanas como los 3 lápices tienen diversas determinaciones y propiedades, tanto cualitativas como cuantitativas. Las manzanas tienen unas propiedades nutritivas y, por ello, le resultan útiles al hombre para satisfacer la necesidad de alimentarse. Igualmente tienen la propiedad de ser productos de la naturaleza. Los lápices tienen otras propiedades y, por lo tanto, otras utilidades diferentes al de las manzanas. Igualmente los lápices tienen la propiedad de ser productos del trabajo humano. Ambas cosas, manzanas y lápices, son cualitativamente diferentes. Por otro lado, la existencia de manzanas y lápices presupone siempre una determinación cuantitativa. En nuestro ejemplo, 5 y 3. Ambos objetos existen en cantidades diferentes. Por lo tanto, manzanas y lápices se muestran diferentes también cuantitativamente. En definitiva, en este primer ejemplo, en esta primera representación, tanto desde el punto de vista cualitativo como cuantitativo, manzanas y lápices se muestran diferentes. C

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Supongamos ahora que tenemos, de un lado, 5 manzanas y, de otro lado, 3 manzanas. Ahora, entre los objetos, no existiría ninguna diferencia cualitativa sino que reinaría la igualdad. Sin embargo, seguirían siendo diferentes desde el punto de vista cuantitativo. En definitiva, en esta segunda representación, se nos presenta la igualdad y la diferencia al mismo tiempo: igualdad en lo cualitativo; diferencia en lo cuantitativo. Por último, imaginemos que tenemos 5 manzanas y 5 lápices. Ahora y de nuevo, manzanas y lápices se muestran como objetos de uso cualitativamente diferentes. Sin embargo desde el punto de vista cuantitativo, se muestran iguales. En definitiva, en esta tercera representación, manzanas y lápices, en tanto cualidad, se muestran diferentes pero en cuanto determinación cuantitativa se muestran iguales, como una y la misma cosa, es decir, en cuanto cantidad podemos equiparar manzanas y lápices. En este caso, esta propiedad común que muestran las manzanas y los lápices, su determinación cuantitativa, la cantidad, la expresamos mediante un signo lingüístico, mediante un número: el cinco. Por lo tanto, el concepto de número natural surge cuando hacemos abstracción, no consideramos o eliminamos todas las propiedades o determinaciones cualitativas de los objetos y los reducimos a simples determinaciones cuantitativas, y nos referimos a estas mediante un número, como un modo de expresar la propiedad cuantitativa de los objetos. Podría parecer innecesario el análisis que acabamos de realizar puesto que, a simple vista, no tiene una utilidad inmediata desde el punto de vista didáctico de las matemáticas. Sin embargo, no es así. Tiene una importancia vital en la construcción del concepto de número natural que tiene lugar en la Etapa de Educación Infantil y en los inicios de la Etapa de la Educación Primaria. En base al análisis que acabamos de realizar, el proceso de la construcción del número natural por el alumno debe ser un proceso que vaya desde lo concreto a lo abstracto, es decir, desde el empleo de objetos reales del mundo exterior hasta el uso del concepto número natural como signo lingüístico que hace referencia a la determinación cuantitativa de los objetos. Esto significa, en términos de práctica docente, que los recursos didácticos con los que tiene que operar los alumnos (bien C

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para contar, componer, descomponer, comparar o completar) deben pasar por las siguientes etapas: 1. 2. 3. 4. 5.

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Objetos reales del mundo exterior. Representación gráfica de objetos reales del mundo exterior. Objetos materiales simbólicos. Objetos materiales simbólicos agrupados en distintas cantidades. Tarjetas de números enteros naturales.

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2. Recursos empleados en la construcción del concepto de número natural. 2. 1. Objetos materiales del mundo. Acabamos de ver que el proceso de la construcción del número natural por el alumno debe ser un proceso que vaya desde lo concreto a lo abstracto y no hay nada más concreto y real que los objetos del mundo exterior. En la relación que mantenemos con dichos objetos participan todos y cada uno de nuestros órganos de los sentidos. Los podemos ver, oír, oler, tocar y gustar. Podemos mantener con ellos una relación inmediata, en el sentido de que no es necesario que medie ningún proceso de abstracción. Por ello y en un principio, es conveniente que los alumnos manipulen objetos materiales, que se relacione con ellos de manera perceptiva y en la que participen el mayor número de órganos de los sentidos y no únicamente el sentido de la vista. De ahí que en los inicios de la Educación Infantil, en las aulas de tres años, se disponga de abundantes recursos didácticos formados por variados objetos materiales del mundo exterior, tanto naturales como producidos por el hombre: limones, manzanas, nueces, caramelos, bombones, juguetes varios, lápices, etc. Los alumnos operarán de manera lúdica y activa con estos recursos: contarán cantidades de mesas, sillas, alumnos, lápices, manzanas, bolas, etc. Realizarán, igualmente, composiciones y descomposiciones con estas cantidades de objetos e, incluso, pequeñas comparaciones de cantidades expresando el resultado mediante cuantificadores globales (“hay más”, “hay menos”, “hay tantos como”, “hay lo mismo que”, etc.)

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2. 2. Objetos reales del mundo exterior pero representados gráficamente. En esta segunda fase, se emplearán representaciones gráficas o dibujos de mesas, sillas, animales, plantas y otros diversos objetos. Ahora los alumnos no manipularán objetos reales del mundo exterior sino sus representaciones gráficas. La diferencia entre una manzana real y una manzana representada gráficamente reside en que la primera tiene cuerpo de manzana y satisface nuestra necesidad de comer, además huele y se puede palpar su forma redondeada; mientras que la manzana representada tiene cuerpo de papel, no huele, no sirve para alimentarnos, ni tan siquiera podemos palpar su volumen. Ha quedado reducida a una forma y a un color. Hemos abstraído o quitado muchas de sus determinaciones cualitativas. Por lo tanto, supone un gran incremento en el proceso de abstracción. El hecho de que ahora los objetos estén representados facilita la creación de un banco de recursos didácticos. Se recomienda que en el ámbito del Ciclo, o dentro de las distintas aulas, se disponga de múltiples colecciones de objetos representados ya que su producción es fácil y económica. Basta con plastificar dibujos de objetos y colocarles en su parte posterior un trozo de velcro. Se recomienda plastificar varias clases de frutas, de alimentos, niños, distintos tipos de juguetes, coches, barcos aviones, flores, soles, lunas, estrellas, y un largo etcétera. De cada uno de estos dibujos plastificados es conveniente se realicen unos 15 objetos con el fin de poder realizar distintas operaciones con estas cantidades. Cada una de estas colecciones de objetos se guardará en sobres plastificados ya que su clasificación facilita su empleo. En esta segunda fase se emplearán los dibujos plastificados (frutas, animales, juguetes, distintos utensilios, etc.) que podrán ser adheridos al franelograma y manipulados de manera activa y, con ello, realizar diversos ejercicios de contar, componer, descomponer, comparar, completar o clasificar) Veamos un ejemplo donde el alumno realiza las acciones de contar comparar y completar con este tipo de recurso. Colocamos sobre el franelograma 3 helados y 5 niñas:

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Preguntamos: -

¿Cuántos helados tenemos? Tres. Vamos a contarlos: Uno, dos y tres. ¿Cuántas niñas hay? Cinco. Vamos a contarlas: Una, dos, tres, cuatro y cinco. ¿Qué hay más: helados o niñas? Niñas. ¿Qué hay menos: helados o niñas? Helados. ¿Si quisiéramos dar un helado a cada niña, tendríamos helados suficientes para todas ellas? No. - Vamos a ver si es verdad. Para comprobarlo visualmente representados de la siguiente manera:

colocaremos

los

objetos

- ¿Cuántos helados nos faltarían para que cada niña tuviera un helado? Dos helados. C

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- Vamos a ver si es verdad. Cogemos dos helados y los colocamos al lado de los otros tres y debajo de las figuras de las niñas.

Como esta segunda fase se inicia en la etapa de Educación Infantil, los objetos representados se ajustarán al motivo globalizado que da sentido a la unidad didáctica. Así, y como ejemplo, si estamos trabajando las estaciones del año, y más concretamente la primavera, emplearemos árboles, hojas, flores, etc.

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2. 3. Objetos materiales simbólicos. En los objetos representados, en los dibujos plastificados, las formas y los colores eran múltiples y variados. Ahora, damos un paso más en el proceso de abstracción y reducimos la multiplicidad de formas y colores. Ahora la forma y el color de las representaciones gráficas se reducen a formas geométricas de cuadrado, círculos, triángulos y rectángulo y a un grupo reducido de colores (azul, amarillo y rojo). Ahora las representaciones gráficas no serán manzanas, lápices, helados, pájaros, etc., sino figuras geométricas de distintos colores que figurarán como, o simbolizarán manzanas, lápices, helados, pájaros, etc. Ahora los alumnos no manipularán objetos representados sino únicamente cualidades abstractas de los objetos como son la forma y el color. Este hecho es el que posibilita que puedan funcionar como objetos simbólicos. Un círculo puede simbolizar una galleta, una pelota, una bola, etc. Corresponden a esta fase recursos materiales como los bloques Dienes, los bloques multibase, etc. En nuestro caso, empleamos figuras geométricas plastificadas (cuadrados, círculos y triángulos) con los tres colores básicos (amarillo, azul y rojo) que pueden ser adheridas al franelograma. Poseen, igualmente, la ventaja de su fácil y económica construcción. Las acciones que realizamos con esta clase de recursos didácticos son las mismas que con los objetos representados: contar, componer, descomponer, comparar y completar cantidades. Las acciones son las mismas; los objetos son diferentes. Aunque más adelante se analizará con más detalle y profundidad, veamos ahora algunos ejemplos de distintas actividades empleando estos recursos y que ponen de manifiesto las acciones de contar, componer, descomponer, comparar y completar cantidades. Colocamos sobre el franelograma las siguientes figuras geométricas:

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- ¿Cuántos cuadrados tenemos? Vamos a contarlos. Uno, dos, tres y cuatro. Tenemos cuatro cuadrados. - ¿Cuántos círculos tenemos? Vamos a contarlos. Uno, dos, tres, cuatro y cinco. Tenemos cinco círculos. - ¿Qué tenemos más? ¿Cuadrados o círculos? Círculos. - ¿Qué tenemos menos? ¿Cuadrados o círculos? Cuadrados. - ¿Cuántos cuadrados tenemos que poner para que haya igual cantidad de cuadrados que de círculos? Uno. - Vamos a ver si es verdad Cogemos otro cuadrado azul y lo colocamos en el franelograma en la siguiente disposición:

También podríamos plantear la pregunta inversa: - ¿Cuántos círculos tenemos que quitar para que haya igual cantidad de cuadrados que de círculos? Uno. - Vamos a ver si es verdad C

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Quitamos el círculo azul central, de este modo:

Es importante disponer las figuras geométricas de este modo ya que la determinación de la cantidad, la comparación de cantidades y la acción de completar se ven facilitadas por las estructuras perceptivas visuales de las cantidades cuatro y cinco. La diferencia entre las estructuras visuales de ambas cantidades radica en que a la cantidad cuatro no tiene el elemento central que tiene la cantidad cinco. También podemos cambiar la disposición y el número de los cuadrados y círculos y seguir con otros aspectos de la misma actividad: Vamos ahora a cambiar la colocación de los cuadrados y de los círculos. Vamos a colocar varios cuadrados unos detrás de otros para hacer con ellos un tren. También vamos a colocar varios círculos, unos detrás de otros, para hacer otro tren.

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- ¿Dónde está colocado el tren de los cuadrados? ¿Arriba o abajo? Arriba. - ¿Dónde está colocado el tren de los círculos ¿Arriba o abajo? Abajo. - ¿Cuántos cuadrados tiene el tren de los cuadrados? Vamos a contarlos. Uno, dos,… y siete. - ¿Cuántos círculos tiene el tren de los círculos? contarlos. Uno, dos, tres, cuatro y cinco

Vamos a

- ¿Cuál de los dos trenes es más largo? El de los cuadrados. - ¿Cuál de los dos trenes es más corto? El de los círculos. - ¿Cuántos círculos que tenemos que añadir para que los dos tres sean igual de largos? Dos círculos. - ¿Cuántos cuadrados tenemos que quitar para que los dos trenes sean igual de cortos? Dos cuadrados. Es importante observar que desde el inicio del proceso ya se plantean las cuestiones en forma de resolución de problemas y que se abordan otros conocimientos matemáticos de forma colateral. Veamos otro ejemplo. Construimos en el franelograma la siguiente representación:

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- ¿Cuántos círculos tenemos? Vamos a contarlos. Uno, dos, tres, cuatro, … y ocho. Tenemos ocho círculos. - ¿Todos los círculos son del mismo color? No. Los hay rojos y azules. - Vamos a colocar a un lado los círculos rojos y a otro lado los círculos azules.

- ¿Cuántos círculos rojos hay? Tres. Vamos a contarlos. Uno,... - ¿Cuántos círculos hay? Cinco. Vamos a contarlos. Uno,... - Ahora vamos hacer dos torres de círculos.

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- ¿Qué columna es más alta? La azul. ¿Por qué es más alta? Porque llega más arriba, porque hay más círculos, porque tiene cinco círculos, etc. - ¿Qué columna es más baja? La roja. ¿Por qué es más baja? Porque llega más abajo, porque hay menos círculos, porque tiene sólo tres círculos, etc. - ¿Cuántos círculos de los azules tenemos que quitar para que las dos columnas sean iguales de alta? Dos. Saldrá un alumno y realizará la acción.

- ¿Cuántos círculos tenemos ahora en total, contando los rojos y los azules? 6 círculos. - ¿Ahora qué hay más? ¿Círculos azules o rojos? Hay igual.

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2. 4. Objetos materiales simbólicos agrupados en distintas cantidades. Hasta ahora los objetos materiales aparecían separados. Por ejemplo, tenemos cinco manzanas. La existencia de cada una de las manzanas se muestra independiente del resto de las manzanas. Cada una de ella tiene existencia por sí misma, independiente de la cantidad total de manzanas que la acompañan. Precisamente porque cada una de ellas tiene existencia independiente, presentan la propiedad de ser contadas. Estos es: una manzana; otra más, ya son dos manzanas; otra más, ya tengo tres manzanas, etc. Lo mismo ocurre cuando los objetos son representaciones gráficas u objetos simbólicos. Tenemos seis cuadrados y podemos decir lo mismo que de las manzanas: cada uno de ellos tiene existencia independiente y, por ello, pueden ser contados:

Sin embargo, a partir de ahora emplearemos objetos materiales simbólicos pero agrupados en un solo objeto. Es decir, en lugar de emplear seis cuadrados sueltos, ahora emplearemos como recurso didáctico una regleta que representará a los seis cuadrados. De este modo:

Ahora no tenemos seis objetos sino uno. Ahora un solo objeto representa al número seis lo cual puede representar un inconveniente. Sin embargo, este inconveniente se ve superado toda vez que la regleta aparece dividida en seis cuadrados y, por ello, pueden ser susceptibles de ser contados y al mismo tiempo puede ser percibido el número 6 como una totalidad. No sucede lo mismo con las llamadas regletas de colores o regletas Cuisenaire. Estas regletas son identificadas por los alumnos de Infantil en base al color, asociándolas a un determinado número en base a esta cualidad. Este hecho supone un error conceptual toda vez que hemos visto que el concepto de número natural hace referencia únicamente al aspecto cuantitativo abstrayendo todas las demás cualidades. Las distintas regletas que representan a los respectivos números, pueden construirse plastificando tiras de cartulinas divididas en cuadrados. Posteriormente, se le coloca por la parte de atrás un pequeño trozo de C

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velcro y, de esta forma, tienen la posibilidad de ser adheridas al franelograma. Con este nuevo recurso didáctico, las regletas, los alumnos, como veremos más adelante también podrán realizar las acciones de contar, componer, descomponer, completar y comparar. Veamos ahora unos sencillos ejercicios de componer: Colocamos en el franelograma las siguientes regletas:

Señalando la parte izquierda, preguntamos: - ¿Cuántas tenemos a esta parte? Una. Señalando ahora la parte derecha, preguntamos: - ¿Cuántas tenemos a esta otra parte? Cinco. Ahora vamos a unir las dos regletas:

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- ¿Qué regleta hemos formado al unir la regleta uno con la regleta cinco? La regleta seis. Con el mismo proceder podríamos haber compuesto la regleta seis de otras dos maneras diferentes:

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2. 5. Tarjetas de números enteros naturales. El empleo de este recurso se corresponde con una fase del concepto de número que, en términos de práctica docente, estaría a caballo entre el final de la Etapa de Educación Infantil y el inicio de la Educación Primaria. Hasta ahora hemos empleado el concepto de número como un signo lingüístico del lenguaje matemático que expresa cantidad. Sin embargo, lo hemos empleado en su forma oral. La razón es sencilla: aprendemos a hablar antes que a leer o escribir. En esta fase y mediante las tarjetas de números y signos matemáticos, nos introduciremos en el lenguaje escrito. Ahora asociaremos cantidades de objetos con signos gráficos que representan números. De igual modo, empezaremos a emplear “frases” del lenguaje matemático con el fin de expresar las acciones que realizamos con los objetos. Sin embargo, resulta imprescindible que esta fase y estos recursos se empleen como complemento a las acciones que realicemos con los objetos reales representados, con los objetos simbólicos o con las regletas. Estos recursos, estas tarjetas de números naturales, se construirán igualmente en cartulina plastificada y con el correspondiente trozo de velcro en su parte posterior para posibilitar su colocación en el franelograma. Veamos algunos ejemplos: Colocamos en el franelograma los siguientes objetos simbólicos:

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Ahora en además de contar y expresar oralmente la cantidad de círculos y triángulos que tenemos, solicitaremos a los alumnos que coloquen debajo de los círculos y debajo de los triángulos la tarjeta del número correspondiente, para ello los alumnos tendrán que elegir entre las tarjetas de los números del 1 al 9. - ¿Cuántos círculos tenemos? Seis. - ¿Cuántos triángulos tenemos? Cuatro. - Coloca ahora debajo de los círculos el número que tenemos. - Coloca también debajo de los triángulos el número de triángulos que tenemos

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Igualmente podríamos proceder de forma inversa: a partir del número escrito, el alumno determinaría la cantidad de objetos que habría que colocar sobre el franelograma. Vemos un ejemplo: - Coloca sobre el franelograma tantos círculos como indica el número.

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- Coloca ahora tantos triángulos como indica el número:

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Ahora y aprovechando las dos representaciones construidas, podríamos realizar a los alumnos las siguientes preguntas: - ¿Qué tenemos más, círculos o triángulos? Círculos. - ¿Qué tenemos menos, círculos o triángulos? Triángulos. - ¿Cuántos triángulos más tenemos que pegar para que tengamos tantos triángulos como círculos? 2 triángulos. - ¿Cuántos círculos tenemos que quitar para que tengamos tantos círculos como triángulos? 2 círculos. (Después de cada respuesta hay que ejecutar la acción ara comprobar que la respuesta proporcionada es correcta.)

Veamos ahora un ejemplo lenguaje matemático empleando las tarjetas de números y signos, los objetos representados y la acción de componer Colocamos sobre el franelograma coches de dos colores distintos:

Preguntamos a los alumnos: - ¿Cuántos coches azules hay? Tres. - ¿Cuántos coches amarillos hay? Dos.

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Pedimos a dos alumnos que coloquen debajo de cada grupo de coches los números correspondientes.

3

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De nuevo preguntamos a todos los alumnos: - ¿Si juntáramos todos los coches, cuantos coches tendríamos? Cinco. Los juntamos, los contamos y comprobamos que tenemos cinco coches. Posteriormente colocamos el número 5, el signo de sumar y el signo igual. De este modo:

3

C

+

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2 = 5

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Al mismo tiempo que decimos: - “Tres coches más dos coches es igual a cinco coches” Este mismo ejercicio en forma de descomposición o de resta sería:

5

Quitamos los dos coches amarillos y escribimos:

5

– 2 =

3

Finalmente decimos:

- Cinco coches menos dos coches es igual a tres coches C

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Igualmente podríamos haber realizado este mismo ejercicio con regletas:

5

Descomponemos la regleta cinco en la regleta 3 y la regleta 2

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Quitamos la regleta 2 y colocamos las tarjetas de los números y los signos:

5

C

– 2 =

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3

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3. Determinación de la cantidad de objetos: contar y calcular. Hemos visto hasta ahora que el número natural es un signo lingüístico mediante el cual expresamos el aspecto cuantitativo de los objetos, es decir, la cantidad. Igualmente, hemos concluido que mediante el concepto de número natural hacemos abstracción de todas las demás cualidades que tienen los objetos y que, por ello, el proceso que nos lleva a su construcción ha de ir de lo concreto, objetos reales del mundo exterior con todas sus determinaciones, hasta lo abstracto, el número en sí. Ahora veremos cuáles son los dos procedimientos que emplea el hombre para determinar la cantidad de objetos: contar y calcular. Para establecer la diferencia entre los dos procedimientos vamos a recurrir de nuevo a una simple representación: ¿Cuántos cuadrados rojos tenemos?

En este caso, para determinar la cantidad de cuadrados rojos no nos queda más remedio que emplear el procedimiento de contar. Para ello, partimos de un cuadrado rojo, y siguiendo una determinada dirección de barrido con la vista con el fin de que no se nos quede ninguno atrás, vamos añadiendo cuadrado a cuadrado a la cantidad que ya teníamos. Sin embargo, siempre nos quedará la duda, después del primer intento, de que no nos hayamos quedado atrás algún cuadrado. Además necesitaremos un cierto tiempo, al menos cinco segundos para contarlos. Consideremos ahora este otro caso: ¿Cuántos cuadrados rojos hay?

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Igual que en el caso anterior, hay 20 cuadrados rojos. Pero ahora no hemos necesitado contar: hemos calculado. Además la respuesta ha sido inmediata y tenemos la certeza absoluta de que hay 20. Si analizamos los dos casos, observamos que en el primero de ellos los cuadrados no están dispuestos en ninguna estructura numérica perceptiva, mientras que en el segundo caso los cuadrados conforman dos estructuras numéricas: el 4 y el 5. Ambas estructuras perceptivas numéricas las hemos aprendido mediante la experiencia vivida, mediante diversos juegos infantiles donde se utiliza el dado. Posteriormente hemos operado con las dos estructuras diciendo: “El numero 4, cinco veces es igual a 20” o simplemente “cuatro por cinco, veinte”. Los dos casos que acabamos de analizar nos indican que para el desarrollo del cálculo es necesario, de un lado, las estructuras numéricas y, de otro lado, realizar operaciones o acciones con estas estructuras. Veamos otro ejemplo similar. ¿Cuántos cuadrados tenemos?

De nuevo nos vemos obligados a contar. Sin embargo, si agrupamos estos cuadrados en base a nuestro sistema de numeración, en decenas y unidades, tendríamos el siguiente resultado:

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En este caso y de nuevo, bastaría un golpe de vista para saber que tenemos 18. Ahora para determinar la cantidad de cuadrados que tenemos, nos apoyamos en la estructura numérica de la decena y, por otra parte, para saber que hay ocho unidades tampoco hemos necesitado contar sino que hemos deducido esta cantidad porque faltan dos para completar otra decena. Si observamos nuestro proceder deducimos que: 1º. Hemos calculado el 18 componiendo el 10 y el 8. 2º. Hemos hecho uso de la estructura numérica del 10. 3º. Hemos deducido que hay 8 unidades en base a la descomposición del número 10 en 8 y 2. Estos fenómenos que hemos analizados nos informa que a la hora de determinar la cantidad, o el número de objetos que tenemos, es fundamental en la etapa de Educación Infantil practicar y trabajar: 1º. El proceso de contar. 2º. Trabajar las distintas estructuras numéricas hasta el 10. 3º. Realizar composiciones y descomposiciones, así como otras acciones, con dichas estructuras numéricas. Para ello emplearemos sucesivamente los recursos didácticos que vimos en el apartado anterior y ampliando de forma progresiva el campo de los números naturales hasta el 10. Se recomienda, no obstante, no emplear el lenguaje escrito, es decir, las tarjetas de numeración para el número 10 de forma generalizada y con el gran grupo ya que dicho número está formado por dos cifras y ello implica establecer diferencias entre el concepto de número y cifra y estas diferencias sobrepasa la capacidad normal de un alumno que se encuentre en Educación Infantil.

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4. Acciones que fundamentan el cálculo matemático. Uno de los errores que con más frecuencia se observa en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es que los alumnos no calculan sino que cuentan. Los alumnos no calculan porque no han aprendido a calcular. Esta es la razón por la cual muchos alumnos a la hora de calcular, por ejemplo, la suma de siete más cinco, cuentan cinco a partir del siete, ayudándose para ello de los dedos de la mano. Finalmente, después de numerosos ejercicios donde tiene que realizar esta suma, memoriza el resultado que se obtiene. Para evitar este error en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, para conseguir que los alumnos no cuenten sino calculen es necesario que durante la Etapa de la Educación Infantil se construyan las bases que fundamentan el cálculo aritmético. Por ello, debemos ahora plantearnos la siguiente pregunta: “¿Cuáles son las bases que fundamentan el cálculo aritmético?” Para responder a esta pregunta tendríamos que observar cómo procedemos nosotros mismos, en la vida práctica, cuando realizamos determinados cálculos matemáticos. Por ejemplo, si tenemos 287 euros y queremos comprar un artículo que nos cuesta 360 euros, sabemos que nos faltan 73 euros. Sin embargo, a ninguno de nosotros se nos ocurre coger un papel y un lápiz y realizar esta operación de restar mediante el algoritmo tradicional de la resta llevándose, tal y como se enseña de forma mayoritaria en las aulas. Sabemos que de 287 hasta 300 nos faltan 13 y 60 euros más, hacen un total de 73 euros. De igual modo, he podido observar que los alumnos en los primeros niveles de Educación Primaria, de forma intuitiva y práctica, calculan mediante procesos similares al descrito con anterioridad. Analicemos, pues, algunas sencillas operaciones de cálculo aritmético que los alumnos de Primer Nivel realizan de forma práctica con regletas. En primer lugar la suma: 7 + 5 = 12 Situadas en el franelograma la regleta 7 y la regleta 5.

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El alumno procede de la siguiente manera: 1º. Cambia la regleta 5 por dos regletas: la 3 y la 2.

2º. Forma el número 10 mediante las regletas 7 y 3

3º. Une las regletas 10 y 2 y forma el número 12.

Si analizamos las tres acciones que realiza el alumno para calcular el resultado de la suma, veremos que: Primero, descompone el 5 en 2 y 3. Segundo, completa el 10. C

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Tercero, compone el 12. En definitiva, realiza tres acciones: descompone, completa y compone. Igualmente, hemos observado que para calcular el resultado de la resta 14 – 8 = 6, es decir, las que le faltan a 8 para llegar a 14, realiza las siguientes tres acciones:

Primera acción: Forma el número 10 añadiendo la regleta 2 a la regleta 8.

Segunda acción: Forma el número 14 añadiendo a la regleta 10 la regleta 4.

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Tercera acción: Calcula el resultado final, sumando mentalmente las regletas que anteriormente ha colocado, la regleta 2 y la regleta 4, y afirma que faltan 6. Si analizamos, en este caso, las tres acciones que realiza el alumno para calcular el resultado de la resta, veremos que: Primero, completa el 10 añadiendo la regleta 2. Segundo, completa el 14 añadiendo la regleta 4. Tercero, compone el 6 uniendo mentalmente las regletas 2 y 4. En definitiva, realiza tres acciones: completa, completa y compone. Hemos visto qué acciones realiza el alumno para calcular una suma y una resta, ambas “llevándose”. Por último, hemos observado que para realizar sumas y restas “sin llevarse”, el alumno procede simplemente a añadir, o quitar, regletas, esto es, a componer y descomponer. Veamos dos sencillos ejemplos: La suma: 14 + 23 = 47

La resta: 57 – 42 = 15

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En definitiva, el alumno para resolver la suma: 14 + 23 = 37, realiza dos composiciones con regletas; mientras que para resolver la resta: 57 – 42 = 15, realiza, por el contrario, dos descomposiciones. Mediante estos cuatro sencillos ejemplos hemos podido comprobar que para realizar las operaciones de sumar y restar, tanto “sin llevar” como “llevándose”, no es necesario contar sino calcular, y que ambos procesos de cálculo se realizan mediante tres acciones: componer, descomponer y completar. Esta conclusión final nos conduce a considerar como objetivos prioritarios para la Educación Infantil, en tanto que constituyen las bases del cálculo aritmético, las acciones de componer, descomponer y completar todos y cada uno de los números hasta el 10, haciendo un especial hincapié en este último número. De otro lado, esta conclusión final, nos proporcionará la base para asegurar la coordinación efectiva con respecto al cálculo entre los Ciclos de Infantil y Primaria toda vez que: 1º. La suma sin llevar es el resultado de distintas composiciones. 2º. La resta sin llevarse es, a su vez, el resultado de distintas descomposiciones. 3º. La suma llevándose es el resultado de tres acciones sucesivas: descomponer, completar y componer. 4º. La resta llevándose es el resultado de tres acciones sucesivas: completar, completar y componer. Es fundamental que tengamos presente que las acciones que realizan los alumnos de Educación Infantil son esencialmente las mismas que las que realizan los alumnos en etapa educativas superiores, por ejemplo, los alumnos de la E.S.O. Las acciones son las mismas, lo que cambia son los objetos con que realizan dichas operaciones. En las etapas educativas inferiores son objetos concretos; en las etapas educativas superiores son objetos cada vez más abstractos. En las etapas educativas inferiores las acciones se realizan de forma práctica; en las etapas educativas superiores, se realizan de forma teórica. Vemos un único ejemplo: C

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Una de las operaciones que con frecuencia tienen que realizar los alumnos al comienzo de la ESO es: 2–5–3+4 Para ello los alumnos han de proceder de la siguiente manera: - ¿Qué números son positivos? El 2 y el 4. - ¿Qué números son negativos? El 5 y el 3. - ¿Cuántos positivos tenemos en total? 6. - ¿Cuántos negativos tenemos en total? 8 A continuación escribe: 2–5–3+4 = 6–8 Finalmente resuelve la operación mediante dos nuevas preguntas: - ¿Qué tienes más? ¿Positivos o negativos? Negativos. - ¿Cuántos negativos más que positivos? 2 Por ello, escribe finalmente: 2–5–3+4 = 6–8 = –2 Veamos ahora este mismo ejercicio realizado por los alumnos de Educación Infantil. Colocamos en el franelograma las siguientes figuras:

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Mediante una serie de órdenes, haremos que coloque estas figuras de la siguiente manera:

Formulamos a los alumnos las siguientes preguntas: - ¿Cuántos círculos rojos hay? 2 - ¿Cuántos círculos azules hay? 4 - ¿Cuántos cuadrados rojos hay? 5 - ¿Cuántos cuadrados azules hay? 3 - Vamos ahora a colocar los círculos a un lado y, al otro lado, los cuadrados:

C

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- ¿Cuántos círculos tenemos en total? 6. - ¿Cuántos cuadrados tenemos en total? 8 - ¿Qué tenemos más? ¿Círculos o cuadrados? Cuadrados. - ¿Cuántos cuadrados más que círculos tenemos? Dos. Como podemos observar en ambos casos, hemos calculado mediante dos acciones de componer y una acción de comparar

Finalmente, y para terminar nuestro análisis, vemos que las tres acciones (componer, descomponer y completar) son expresiones distintas de una misma relación existente entre dos partes y un total. Por lo tanto, se trata, en definitiva, de que los alumnos por medio de la práctica, asocien y memoricen la relación de estas dos partes con respecto a dicho total. Las relaciones y asociaciones que el alumno trabajará de forma práctica y memorizará a lo largo de toda la Etapa de Educación infantil y mediante las acciones de componer, descomponer y completar serán las siguientes y en este orden: - Siendo el total el número 2:

1 2 1

C

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36

- Siendo el total el número 3:

1 3 2

- Siendo el total el número 4:

1

2 4

3

4 2

- Siendo el total el número 5:

1

2 5

4

C

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5 3

37

- Siendo el total el número 6: 1

2

3

6

6

5

6

4

3

- Siendo el total el número 7: 1

2

3

7

7

6

7

5

4

- Siendo el total el número 8: 1

2 8

8

7

6

3

4 8

5 C

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8 4 38

- Siendo el total el número 9: 1

2 9

9

8

7

3

4 9

6

9 5

- Siendo el total el número 10: 1

2 10

10

9

8

3

4 10

7

10 6

5 10 5 C

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5. Propuestas de actividades previas al cálculo matemático. Vimos en su momento, cuando analizamos el proceso de elaboración del concepto de número natural, que es conveniente ir empleando de forma sucesiva, recursos didácticos cada vez más abstractos, con menos determinaciones cualitativas. Ello nos condujo a la propuesta que hicimos sobre recursos materiales que podríamos emplear en el aula de Educación Infantil. Estos recursos eran: -

Objetos reales del mundo exterior. Representación gráfica de objetos reales del mundo exterior. Objetos materiales simbólicos. Objetos materiales simbólicos agrupados en distintas cantidades. Tarjetas de números enteros naturales.

Ahora acabamos de ver que las bases que fundamentan el cálculo aritmético son las acciones de componer, descomponer y completar aplicadas a los números naturales hasta el 10. De otro lado, existe una cuarta acción, la de comparar, que es una modalidad de la acción de completar. De hecho, cuando comparamos dos cantidades y determinamos su diferencia, estamos calculando, al mismo tiempo la cantidad que tenemos que añadir al número menor para que complete o sea igual que el número mayor. O, en sentido inverso, la cantidad que habría que restar al número mayor para igualarla con la cantidad menor. Por todo ello, a continuación veremos una serie de actividades concretas que realizaremos con los recursos propuestos y que conllevan las acciones de contar, componer, descomponer, completar y comparar aplicadas a las distintas relaciones numéricas donde el total viene representado por los números naturales hasta el 10. Es conveniente, siempre que sea posible, presentar las actividades en forma de cuentos o en forma de juegos. Se trata con ello de dotarlas de un carácter lúdico y, al mismo tiempo, realizar las actividades bajo la forma de resolución de problemas. En la metodología activa de las matemáticas, la resolución de problemas nunca debe ser un punto de llegada, un objetivo a conseguir, sino un punto de partida, una situación de aprendizaje. Por ello, es fundamental que los alumnos comiencen a resolver problemas matemáticos desde la etapa de Educación Infantil y que la resolución de estos problemas se realice de forma práctica o mediante el conocimiento intuitivo o perceptivo. C

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Dado que las actividades que se pueden proponer constituyen un número muy elevado, veremos únicamente algunas actividades tipo donde se entremezclen distintos recursos, distintas acciones y distintas relaciones numéricas. Confiamos en que el buen hacer, la excelente imaginación y metodología activa que hemos observado en la gran mayoría del profesorado que imparte la Etapa de Educación Infantil, hagan el resto.

C

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Ejemplo de actividad 1. Tipo de recurso: Objetos materiales del mundo exterior. Acciones: Contar, comparar y completar. Relación numérica: 3 5 2 Aprendizajes colaterales: - Cuantificadores globales: o “… más que…” o “… menos que…” o “… igual que…” - Aspectos topológicos: o Delante de … o Detrás de … o Junto a … Colocamos en el centro del aula 3 sillas formando una fila. Detrás de estas, se situarán cinco alumnos. Formularemos después al grupo las siguientes preguntas: - ¿Cuántas sillas tenemos? 3 sillas. - ¿Las sillas donde están colocadas? ¿Delante o detrás de nuestros compañeros? Delante. - ¿Cuántos compañeros están junto a las sillas? 5. - ¿Nuestros compañeros, dónde están situados? ¿Delante o detrás de las sillas? Detrás. C

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- ¿Qué hay más? ¿Sillas o niños? Niños. - ¿Qué hay menos? ¿Sillas o niños? Sillas. - Si los 5 niños quisieran sentarse en las sillas, ¿qué ocurriría? Que no habría sillas para todos, que faltarían sillas, que no podrían sentarse todos los niños, etc. A continuación se sentarán en las sillas tres de los cinco alumnos y formularemos preguntas similares a las siguientes: - ¿Cuántos compañeros están sentados? 3 compañeros. - ¿Cuántos niños están de pie? 2 compañeros. - ¿Cuántas sillas más tendríamos que poner para que cada compañero estuviera sentado en una silla? 2 sillas. Colocamos dos sillas y hacemos que se sienten los otros dos alumnos, preguntando finalmente al grupo: - ¿Y ahora, qué tenemos más sillas o niños? Tenemos igual.

C

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Ejemplo de actividad 2. Tipo de recurso: Representación gráfica de objetos materiales del mundo exterior. Acciones: Contar, comparar, completar y descomponer. Relación numérica: 3 7 4 Aprendizajes colaterales: - Cuantificadores globales: o “… más que…” o “… menos que…” o “… igual que…” - Aspectos topológicos: o Arriba. o Abajo. - Series ascendentes y descendentes.

Comenzamos la actividad diciéndoles a los alumnos: - Luisa tiene en una pared de su habitación muñecos y ositos de peluche. Y a continuación colocamos sobre el franelograma las siguientes figuras plastificadas.

C

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- ¿Cuántos muñecos tiene Luisa colgados en la pared? 7 muñecos. - Vamos a contarlos: Uno, dos,… y siete. - ¿Cuántos ositos de peluche tiene Luisa? 3 ositos. - Vamos a contarlos: uno, dos y tres. - ¿Dónde tiene colocados los muñecos? ¿Arriba o abajo? Arriba. - ¿Dónde tiene colocados los ositos? ¿Arriba o abajo? Abajo. - ¿Qué tiene más? ¿Muñecos u ositos? Muñecos. - ¿Qué tiene menos? ¿Muñecos u ositos? Ositos. - ¡Pero Luisa no quiere tener menos ositos que muñecos! ¡Quiere tener la misma cantidad de ositos que de muñecos! ¿Quién sabe decirme cuántos ositos le tiene que regalar su madre para que tenga la misma cantidad? 4 ositos. - Pero su madre le dice que hasta el día de su cumpleaños, no le puede comprar los ositos. ¡Entonces, los ositos de Luisa, se quedan tristes porque son menos! Luisa para que los ositos no estén tristes, decide descolgar de la pared unos cuantos muñecos y guardarlas en un cajón. ¿Cuántos muñecos tendría que descolgar Luisa para que haya la misma cantidad de muñecos que de ositos? Cuatro. - Vamos a ver si es verdad.

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El profesor hará salir a cuatro alumnos y estos irán quitando, de forma sucesiva un muñeco del franelograma. - Descolgamos uno, ¿Cuántos muñecos tiene ahora Luisa? Seis. - Quitamos otro. ¿Cuántos tiene ahora? Cinco. - Quitamos otro. ¿Y ahora? Cuatro. - Quitamos uno más. ¿Y ahora, cuántos tiene? Tres. - ¿Tenemos que seguir quitando muñecos o ya hay la misma cantidad de muñecos que de ositos? Ya hay la misma cantidad. - ¿Cuántos muñecos hemos quitado? Cuatro. Finalmente, el profesor enseñará los cuatro muñecos que tienen los cuatro alumnos y señalará los tres muñecos que quedan en el franelograma, quedando éste con la siguiente disposición:

C

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Ejemplo de actividad 3. El cuento de los círculos y cuadrados. Tipo de recurso: Objetos materiales simbólicos. Acciones: Contar, comparar, componer y descomponer. Relaciones numéricas: Fundamentalmente

2

3 5

3

8 5

Aprendizajes colaterales: - Cuantificadores globales: o “… más que…” o “… menos que…” o “… igual que…” - Formas geométricas. El círculo y el cuadrado. - Verticalidad y horizontalidad. - Comparar medidas de longitud. - Semejanzas y diferencias entre las cualidades de los objetos con respecto a la forma y el color. Comenzamos la actividad diciéndoles a los alumnos: - Esto era una vez, el país de las figuras geométricas. A este lado del país (señalando la parte izquierda del franelograma) vivían los círculos.

C

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- Y justo a este otro lado (señalando la parte derecha del franelograma) vivían los cuadrados.

- Los círculos y los cuadrados estaban todo el día discutiendo. No se llevaban precisamente muy bien entre ellos. - Los círculos estaban orgullosos de que eran más que los cuadrados. ¿Cuántos círculos vivían en el país de las formas geométricas? Cinco. - Vamos a contarlos. Uno, dos,… y cinco - Los cuadrados estaban por este motivo un poco tristes porque eran menos que los círculos. ¿Cuántos cuadrados vivían en el país de las formas geométricas? Tres. - Vamos a contarlos. Uno, dos y tres.

C

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- Pero los cuadrados para fastidiar a los círculos les decían: Nosotros si nos colocamos verticalmente, podemos formar una torre porque como tenemos lados, nos podemos colocar unos encima de otros; mientras que ustedes como no tienen lados, les resulta más difícil y además se puede derrumbar. El profesor colocará los círculos y los cuadrados de forma vertical. Al colocar los círculos simulará que estos se pueden caer.

- Como los círculos sabían que era verdad y para darle rabia a los cuadrados les contestaban: “Bueno pero nuestra torre es más alta; la de ustedes es más baja. Nuestra torre tiene cinco pisos y la de ustedes sólo tres” Ahora el profesor preguntará al grupo. - ¿Cuántos pisos es más alta la torre de los círculos que la torre de los cuadrados? Dos Para facilitar la respuesta aproximará ambos conjuntos de figuras:

C

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- Los círculos para hacer rabiar aún más a los cuadrados les decían: Además si nos colocamos horizontalmente podemos formar un tren, y como nosotros no tenemos lados porque somos redondos, podemos rodar; ustedes como tienen lados no pueden rodar.

De nuevo el profesor preguntará: - ¿Cuántos cuadrados tendríamos que añadir para que el tren de los cuadrados sea tan largo como el tren de los círculos? Dos. - Entonces los cuadrados enfadados, les contestaban: “¡Bueno y qué! ¡Pero nosotros tenemos tres colores y ustedes sólo tienen dos colores! - ¿Qué color tienen los cuadrados que no tienen los círculos? El rojo. - Así se pasaban todo el día. Discutiendo los círculos con los cuadrado y los cuadrados con los círculos. Hasta que un día, Fidelio, el árbitro del país de las figuras geométricas, harto de tantas discusiones intervino para poner orden y paz.

- ¿Por qué en lugar de de discutir tanto no jugáis juntos? Es bastante más divertido jugar que discutir, dijo Fidelio. C

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- Entonces los cinco círculos y los tres cuadrados le hicieron caso a Fidelio y desde ese día los círculos y los cuadrados juegan juntos.

- Desde ese día los cinco círculos y los tres cuadrados ya no discuten y forman una única pandilla de amigos. Ahora que se han unido, ¿cuántas figuras geométricas tenemos en total? Ocho. - ¿Cuántas figuras son amarillas? 3 - ¿Cuántas figuras no son amarillas? 5 - ¿Cuántas figuras son azules? 4 - ¿Cuántas figuras no son azules? 4 - ¿Cuántas figuras son rojas? 1 - ¿Cuántas figuras no son rojas? 7 - ¿De qué color son las que hay más? Azules. - ¿De qué color son las que hay menos? Rojas. - Desde aquel día los círculos y los cuadrados juegan a formar figuras. Por ejemplo, forman esta figura:

Terminaremos la actividad invitando a distintos alumnos a formar otras figuras. C

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Ejemplo de actividad 4. El juego de averiguar cuantas he quitado. Tipo de recurso: Objetos materiales representados gráficamente. Acciones: Contar, comparar y descomponer. Relaciones numéricas: Las distintas relaciones parte-total del número 7. Situamos en el franelograma, por ejemplo, siete cucharas y siete tenedores.

Efectuamos previamente al grupo preguntas similares a las siguientes: - ¿Qué tenemos arriba? ¿Tenedores o cucharas? Cucharas. - ¿Qué tenemos abajo? ¿Tenedores o cucharas? Tenedores. - ¿Cuántas cucharas tenemos arriba? Siete. - Vamos a contarlas. Una, dos,… y siete. - ¿Cuántos tenedores tenemos abajo? Siete. - ¿Qué tenemos más cucharas o tenedores? Iguales. Ahora vamos a jugar al juego de averiguar cuántas cucharas o tenedores hemos quitado.

C

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A continuación saldrán dos alumnos. Uno de ellos se pondrá de espaldas al franelograma con los ojos cerrados. El otro despegará varias cucharas o varios tenedores. El alumno que estaba de espalda tendrá que averiguar cuántas cucharas o tenedores ha quitado su compañero. Cuando el alumno responda, su compañero mostrará las piezas que ha quitado para comprobar si ha acertado o ha fallado. También podemos preguntar al alumno que proporciona la respuesta, cómo ha conseguido averiar el resultado. Por ejemplo:

- ¿Cuántas cucharas hay arriba? 4. - ¿Cuántos tenedores hay abajo? 7. - ¿Qué ha quitado cucharas o tenedores? Cucharas. - ¿Cuántas cucharas ha quitado tu compañero? Tres. Otro ejemplo:

C

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- ¿Cuántas cucharas hay arriba? 7. - ¿Cuántos tenedores hay abajo? 2. - ¿Qué ha quitado cucharas o tenedores? Tenedores. - ¿Cuántos tenedores ha quitado tu compañero? Cinco. Podemos incrementar la dificultad del juego de esta sencilla manera.

- ¿Cuántas cucharas hay arriba? 7. - ¿Cuántos tenedores hay abajo? 3. - ¿Qué ha quitado cucharas o tenedores? Tenedores. - ¿Cuántos tenedores ha quitado tu compañero? Cuatro. Podemos incrementar aún más la dificultad de esta actividad, quitando la referencia de la totalidad, en este caso del número 7, representado por el conjunto total de uno de los objetos. Ahora el alumno observa en primer lugar cuantas cucharas tiene al comienzo. A continuación se dará la vuelta y el otro alumno quitará algunas cucharas. Finalmente, el primer alumno se dará la vuelta y tendrá que averiguar cuántas ha despegado su compañero. En este tipo de juego es importante poner de manifiesto la cantidad inicial, la acción realizada y la cantidad final.

C

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De este modo:

- ¿Cuántas cucharas hay? Siete. - Ahora, date la vuelta, cierra los ojos.

- ¿Cuántas cucharas hay ahora? Cinco. - ¿Hay más o hay menos que antes? Menos. - ¿Cuántas cucharas ha quitado tu compañero? 2 cucharas. Se trata en definitiva, de un lado, de realizar de forma práctica la acción de descomponer y comparar y, de otro lado, trabajar las distintas relaciones parte-total que podemos establecer con respecto al número siete. Por último, es conveniente contemplar el caso de quitar todas las cucharas y de no quitar ninguna. Es decir:

- ¿Cuántas cucharas hay? Siete. - Ahora, date la vuelta, cierra los ojos. C

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- ¿Cuántas cucharas hay ahora? Siete. - ¿Hay más o hay menos que antes? Igual. - ¿Cuántas cucharas ha quitado tu compañero? Ninguna. El caso de quitar todas:

- ¿Cuántas cucharas hay? Siete. - Ahora, date la vuelta, cierra los ojos.

- ¿Cuántas cucharas hay ahora? Ninguna. - ¿Hay más o hay menos que antes? Menos. - ¿Cuántas cucharas ha quitado tu compañero? Siete (Todas).

C

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Actividad 5. El juego de componer números. Tipo de recurso: Objetos materiales simbólicos agrupados en distintas cantidades. Regletas. Acciones: Contar y componer. Relaciones numéricas: Las relaciones parte-total de los distintos números hasta el 10. Vemos a continuación dos ejemplos: Primer ejemplo: Composición del número 7. Colocamos en el franelograma las siguientes regletas:

A continuación iremos solicitando a distintos alumnos que formen la regleta siete, que está colocada arriba de forma horizontal, uniendo dos regletas de las que tenemos situadas abajo. El alumno, después de componer la regleta siete uniendo dos las otras regletas, tendrá que decir qué regletas ha unido para formar el número siete.

C

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- Uniendo las regletas cuatro y tres:

Uniendo las regletas uno y seis:

Finalmente, uniendo las regletas restantes, es decir, la dos y la cinco.

C

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Segundo ejemplo: Composición del número 10. Procederemos de forma similar. Hay que tener en cuenta que, si bien tenemos que trabajar todas las composiciones y descomposiciones de los distintos números, con mayor razón tendremos que hacer lo mismo con el número 10, ya que tanto la composición como la descomposición del número 10 serán fundamentales para el posterior desarrollo del cálculo aritmético.

Componiendo las regletas uno y nueve:

C

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Componiendo las regletas dos y ocho:

Componiendo las regletas tres y siete:

C

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Componiendo las regletas cuatro y seis.

Finalmente componiendo las dos regletas de cinco:

C

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Actividad 6º. ¿Cuántas quitamos, cuántas ponemos? Tipo de recurso: Cualquier tipo de recurso puede emplearse en esta actividad. Acciones: Componer y descomponer. Relaciones numéricas: Las relaciones parte-total de los distintos números hasta el 10. Este tipo de actividad habría que encuadrarlo en la parte final de la Educación Infantil o en el comienzo de la Enseñanza Primaria. Se le pide a un alumno que coloque sobre el franelograma cuatro coches. Y a otro alumno que coloque, debajo de los coches, la tarjeta del número 4.

4 A continuación saldrán otros dos alumnos. Uno de ellos se situará a espaldas del franelograma y el otro alumno añadirá tres coches más y los colocará todos en la parte derecha.

4 C

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Seguidamente el alumno que estaba de espaldas al franelograma, responderá a preguntas similares a las siguientes: - ¿Cuántos coches teníamos al principio? Cuatro. - ¿Y ahora cuantos coches hay? Siete. - Coloca debajo de los coches que hay ahora la tarjeta del número siete. - ¿Ahora tenemos más coches o menos coches? Más. - ¿Entonces, hemos puesto o hemos quitado coches? Hemos puesto. - ¿Cuántos coches hemos puesto? Tres. Conforme el alumno va respondiendo, el profesor irá colocando los distintos signos matemáticos. Es decir, cuando el alumno responda que hemos puesto coches, situaremos el signo de sumar; cuando responda que se han puesto tres coches, colocaremos el número 3; finalmente, colocaremos el signo igual. De esta forma:

4

+

3

=

7

Para concluir, el profesor dirá: C

Teníamos al principio cuatro coches. Pusimos tres coches más. Ahora, tenemos siete coches. Cuatro coches más tres coches es igual a siete coches.

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De igual modo podemos proceder con las regletas. El profesor formará con las regletas cuatro y cinco, la regleta nueve, situándolas sobre el franelograma. Un alumno del grupo colocará debajo la correspondiente tarjeta con el número 9.

9

Saldrán dos nuevos alumnos. Un de ellos se colocará a espaldas del franelograma y será en encargado de averiguar cuántas ha quitado o ha puesto su compañero. El otro alumno desprenderá del franelograma la regleta cinco, quedando únicamente la regleta cuatro, que la colocará a la parte derecha del franelograma. De este modo:

9

C

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Seguidamente el alumno que estaba de espaldas al franelograma, responderá a preguntas similares a las siguientes: - ¿Qué cantidad teníamos al principio? Nueve. - ¿Y ahora, qué cantidad tenemos? Cuatro. - Coloca debajo de la regleta cuatro la tarjeta del número 4. - ¿Ahora tenemos más o menos que al principio? Menos.. - ¿Entonces, hemos puesto o hemos quitado una regleta? Hemos quitado. - ¿Qué regleta hemos quitado? La regleta cinco. Conforme el alumno va respondiendo, el profesor irá colocando los distintos signos matemáticos. De esta forma:

9

–

5

=

4

Para concluir, el profesor dirá: -

C

Teníamos al principio nueve. Quitamos cinco. Ahora, solamente tenemos cuatro. Nueve menos cinco es igual a cuatro.

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Actividad 7º. ¿Qué número tenemos escondido? Tipo de recurso: Tarjetas de cálculo de sumas y restas de números naturales hasta el 10. Acciones: Componer, descomponer y completar. Estructuras numéricas: Las relaciones parte-total de los distintos números hasta el 10. Esta actividad aunque habría que encuadrarla en los inicios de la Educación Primaria, puede aplicarse en Educación Infantil si el nivel de aprendizaje del grupo así lo demandase o permitiese. Las tarjetas de cálculo de sumas y restas de números naturales hasta el 10, y que se adjuntan en el anexo correspondiente a los recursos didácticos, son tarjetas plastificadas con un trozo de velcro por la parte de atrás y que, por ello, presentan igualmente la posibilidad de ser adheridas al franelograma. El profesor colocará sobre el franelograma distinta tarjetas de sumas y restas. Posteriormente, tapará con un rectángulo plastificado (que también puede pegarse al franelograma) uno de los números que integran la suma o la resta. En el caso de la resta, nunca se tapará el minuendo ya que es una operación que sobrepasa la capacidad de los alumnos en estas edades. Los distintos alumnos tendrán que ir averiguando cuál es el número que está tapado. Después que cada respuesta, el profesor levantará la tarjeta para que el alumno compruebe si ha acertado o ha errado. Veamos como ejemplo, tarjetas de sumas y restas encaminadas a reforzar y memorizar las distintas relaciones parte-total del número 7.

6 + 1 = 6 + 7 = 7

4 + 3= C

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7 – 2 =

3 +

= 7

7–

1 +

= 7

7 –

= 4

= 5

7 – 1 =

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En definitiva, y dado que las bases que fundamentan el cálculo aritmético son las acciones de componer, descomponer y completar aplicadas a los números naturales hasta el 10, hemos de conseguir que los alumnos realicen estos tres tipos de acciones de forma práctica aplicándolas a las distintas relaciones parte – total de los números naturales hasta el 10, empleando para ello recursos didácticos que progresivamente vayan de lo concreto a lo abstracto. En la medida que se consiga esta objetivo en Educación Infantil, estaremos asegurando las bases para el futuro cálculo aritmético que los alumnos realizarán a lo largo de la etapa de Educación Primaria e, incluso, en etapas educativas superiores.

A continuación se adjunta las distintas plantillas para elaborar los recursos materiales que hemos propuesto. Los dibujos correspondientes a la representación gráfica de objetos reales del mundo exterior se pueden obtener de diversas maneras: láminas de dibujo, dibujos realizados por el propio profesor, archivos del programa informático conocido como Corel, etc. Por ello, no se adjunta en los anexos.

C

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ANEXOS RECURSOS MATERIALES:

- Bloques lógicos de Dienes. - Cuadrados, círculos y rectángulos. - Regletas. - Números enteros naturales y signos de sumar, restar e igual. - Tarjetas de cálculo hasta el 10.

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1º. Bloques lógicos de Dienes. Se imprime el conjunto de figuras que se adjuntan, en cartulinas de color amarillo, en cartulinas de color azul y, finalmente, en cartulina de color rojo. De esta forma, obtenemos todas las figuras y todos los tamaños en los tres colores básico. A continuación se recortan, se plastifican y se vuelven a recortar. Finalmente colocamos un pequeño trozo de velcro en su parte posterior para que las piezas puedan ser adheridas al franelograma.

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70

C

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71

2º. Cuadrados, círculos y rectángulos. Es un recurso similar al de los Bloques Dienes, con la diferencia que no se contempla la variable del tamaño ni la forma rectangular y, por otra parte, el número de cada pieza que se construye y emplea es muy superior. Se recomienda que de cada figura geométrica de un determinado color se realicen 12 copias. Para su elaboración se procede de la misma forma que con los bloques lógicos, es decir: Se imprime el conjunto de figuras que se adjuntan, en cartulinas de color amarillo, en cartulinas de color azul y, finalmente, en cartulina de color rojo. De esta forma, obtenemos 12 ejemplares de cada figuras y en los tres colores básico. A continuación se recortan, se plastifican y se vuelven a recortar. Finalmente colocamos un pequeño trozo de velcro en su parte posterior para que las piezas puedan ser adheridas al franelograma.

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3º. Regletas hasta el número 10. Dado que la plantilla que se adjunta contiene únicamente siete unidades, hasta la regleta número 7 se procederá, una vez impresa en cartulina de color rojo, a cortar según el número de unidades que tenga cada regleta. Para elaborar la regleta 8 se procederá componiendo la regleta 7 con la regleta 1 y plastificándolas posteriormente. De igual modo procederemos para la regleta 9: se procederá componiendo la regleta 7 con la regleta 2 y plastificándolas posteriormente. Para la regleta 10, emplearemos cartulina de color azul y se procederá uniendo tiras de siete unidades con tiras de tres unidades y plastificándolas posteriormente, o bien cortando horizontalmente y componiendo cinco unidades con cinco unidades. Finalmente a cada regleta ya plastificada se le colocará el correspondiente trozo de velcro.

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C

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80

4º. Números naturales hasta el 10 y signos de sumar, restar e igual. Se recomienda imprimir los números del 1 al 9 en cartulina de color rojo y el número 10 en cartulina de color azul para que exista correspondencia con el color de las regletas. Los signos matemáticos de sumar, restar e igual, se imprimirán en un color claro, amarillo claro, por ejemplo. Se procederá posteriormente de igual modo que con el resto de los recursos: se recorta, se plastifica, se recorta y se le coloca el trozo de velcro.

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81

1 0 1 2 3 4 5 6 C

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82

7 8 9

C

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83

5º. Tarjetas de cálculo hasta el 10. Se recomienda imprimirlas en cartulina de color claro. Se procederá posteriormente de igual modo que con el resto de los recursos: se recortan, se plastifican, se recortan y se le coloca el trozo de velcro.

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84

1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 4 + 1 = 5 C

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85

3 + 2 = 5 1 + 5 = 6 4 + 2 = 6 C

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86

3 + 3 = 6 6 + 1 = 7 5 + 2 = 7 C

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87

3 + 4 = 7 7 + 1 = 8 2 + 6 = 8 C

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88

5 + 3 = 8 4 + 4 = 8 1 + 8 = 9 C

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89

7 + 2 = 9 3 + 6 = 9 5 + 4 = 9 C

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90

0 + 8 = 8 5 + 0 = 5 7 + 0 = 7 C

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91

0 + 4 = 4 1 + 3 = 4 3 – 1 = 2 C

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92

4 – 2 = 2 5 – 4 = 1 5 – 2 = 3 C

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93

6 – 1 = 5 6 – 4 = 2 6 – 3 = 3 C

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94

7 – 6 = 1 7 – 2 = 5 7 – 4 = 3 C

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95

8 – 1 = 7 8 – 6 = 2 8 – 3 = 5 C

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96

8 – 4 = 4 9 – 8 = 1 9 – 2 = 7 C

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97

9 – 6 = 3 9 – 4 = 5 5 – 0 = 5 C

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98

6 – 6 = 0 9 – 0 = 9 7 – 7 = 0 C

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99

4 – 3 = 1 7 – 5 = 2 4 – 1 = 3 C

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100

1 + 9 = 10 2 + 8 = 10 3 + 7 = 10 C

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101

4 + 6 = 10 5 + 5 = 10 6 + 4 = 10 C

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102

7 + 3 = 10 8 + 2 = 10 9 + 1 = 10 C

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103

2 + 8 = 10 10 + 0 = 10 0 + 10 = 10 C

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104

10 – 1 = 9 10 – 2 = 8 10 – 3 = 7 C

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105

10 – 4 = 6 10 – 5 = 5 10 – 6 = 4 C

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106

10 – 7 = 3 10 – 8 = 2 10 – 9 = 1 C

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107

10 – 10 = 0 10 – 0 = 10 C

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