TEMA 12.- LA INTEGRAL

TEMA 12.-

12.1.-

DEFINIDA.

2° BACH(CN)

APLICACIONES.

LA INTEGRAL DEFINIDA.

APLICACIONES.

INTRODUCCIÓN Históricamente,

obtención

el cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la

de áreas de figuras planas. Los griegos lo abordaron,

área de polígonos, círculo, segmentos en aproximar exhaustivamente

llegando a fórmulas

para el

de parábolas, etc. El método que emplearon consistía

la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de

áreas conocidas. Este procedimiento (hacia 300 a.e.)

original de Eudoxo (406 a.e. - 355 a.e.) fue utilizado por Euclides

'i por Arquímedes

(286 a.e. - 212 a.e.).

Arquímedes calculó el área de un círculo aproximándolo, las áreas de polígonos regulares inscritos y circunscritos,

por defecto y por exceso, por

respectivamente,

con un número

elevado de lados:

Hacia el siglo XVI de nuestra era, este método pasó a llamarse método de exhaución

o método exhaustivo. Basándose en ese método, introdujeron intervalo.

el concepto Este concepto

los matemáticos

más general fue

del siglo XVII

de inteClral definida

posteriormente

mejorado

por

(Newton,

Leibniz,

de una función, Cauchy

(1789-1857)

etc.)

f, en un y por

Riemann (1826 - 1866).

a

b Figura 1

DAVID RIVIER SANZ

Figura 2

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LA INTEGRAL

DEFINIDA.

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APLICACIONES.

El proceso que siguieron fue el siguiente: , el eje X y las abscisas x = a y

Querían calcular el área que hay entre una función f(x) x = b. Se divide el intervalo

Por

un

lado,

se

[a,b] en n partes (no necesariamente

construyen

rectángulos

dándonos como resultado

m¡ = mín(f(xi-!),f(xJ),

de

iguales):

base

una colección de rectángulos

como los de

la Figura 1. Por alturaM¡

otro.

lado,

se

construyen obteniendo

= máx(f(xi-!),f(xJ),

Si sumamos aproximación

rectángulos

el área

de todos

de

la

misma

base,

pero

de

la situación presentada en la Figura 2. los

rectángulos

de

la Figura

1 obtenemos

una

por defecto del área que buscamos: n

m¡(x1

-x¡}+

-xO)+m2(x2

... +mn(xn -xn_I)=

¿m¡(x¡

-Xi-!)

¡=I

Si lo hacemos en la Figura 2 obtenemos una aproximación

por exceso:

n

M1(x1

-x¡}+

-xO)+M2(X2

Evidentemente

... +MJxn

-Xn_¡} = ¿M¡(x¡

-Xi-!)

¡=I

si el número de partes en el que dividimos

el intervalo lo aumentamos,

será menor. y si en vez de coger el valor máximo o el mínimo de la

el error que cometeremos

función en cada intervalo, tonamos un valor intermedio,

la aproximación

también será mejor

todavía. Lo que tenemos es la siguiente situación:

¿ n

S

=

m¡ (X¡ - X¡_I)::; Área buscada::;

¡=I

12.2.-

¿ n

Mi (X¡ - Xi-!) =

i=1

LA INTEGRAL DEFINIDA.

S

PROPIEDADES.

Integral definida de una función continua Sea f(x)

una función continua

integral entre a y b de f x=a

en [a,b] tal que f(x);::: O. Llamamos

al área que hay entre la gráfica de f(x),

r f,

y se lee

el eje X y las abscisas

y x=b. A a y b se llaman límites de integración. También se designa por

r f(x)

y por

Para calcular el área procederemos particiones

del intervalo

r f(x)dx.

como se ha explicado en el punto anterior, cogiendo

cada vez más "finas",

obteniendo

así una sucesión aproximaciones

por defecto y otra por exceso:

DAVID RIVIER SANZ

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DEFINIDA.

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Propiedades 1.- ff(x)dx=O. 2.-

r f(x)

dx

>O.

3.- Si la función es negativa, es decir está por debajo del eje X, el cálculo del área se hará poniendo un signo menos delante de la integral. 4.- Si e es un punto interior descomponiendo

al intervalo

r f(x)dx

en dos intervalos:

5.- Al cambiar los límites de integración,

r f(x)dx 6.-

r [¡(x)

7.- Si k

± g(x)]dx =

r f(x)dx

±

g(x)

=

se puede hacer el cálculo del área

f f(x)dx

+

r f(x)dx

.

la integral cambia de signo: =-

r f(x)dx

r g(x)dx r k·

es un número real, se verifica:

8.- Si f(x)::;

[a,b],

i(x)dx

=k

r f(x)dx

r f(x)dx

\Ix E [a,b], entonces se verifica:

::;

r g(x)dx

12.3.- TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL

Teorema del valor medio (TVM) del cálculo intearal Si f(x)

es una función

continua

en el intervalo

cerrado

[a,b], entonces existe un

e E (a,b), tal que:

r f(x)dx Cuando

f(x)

geométricamente

es definida

positiva

= f(c)(b

- a)

en el intervalo

[a,b],

este

teorema

significa

que el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje X y entre

las abscisas x = a y x = b, es igual que el área del rectángulo cuya base es la longitud del intervalo

[a,b] y la altura es la ordenada correspondiente

DAVID RIVIER

SANZ

a un valor e E [a,b].

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APLICACIONES.

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El siguiente teorema relaciona la integral permitirá calcular integrales definidas.

indefinida

de f con sus primitivas.

Ello nos

Teorema fundamental del cálculo intearal Si j(x)

es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es la función:

r j(t)dt

F(x) =

con x E [a,b]

entonces F es derivable en [a,b] y además

F'(x) = j(x)

12.4.-

Vx[a,b]

REGLA DE BARROW

Teorema Si j(x)

!

es una función continua en [a,b] y F es una primitiva suya, entonces:

j(x)dx

= F(b)- F(a)

Regla de Barrow

rj :

Para calcular la integral 1°- Buscamos una primitiva

F(x), de j(x):

F(x) = fj(x)dx.

20- Calculamos F(b) y F(a). 3°- Hacemos

12.5.-

r j(x)dx

= [F(x)t:~ = F(b)-F(a)

CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE

INTEGRALES

Cálculo del área encerrada bajo una curva Para calcular el área encerrada bajo una curva (es decir, el área encerrada entre la gráfica de una función, el eje X y entre las abscisas x = a y x = b) procederemos de la siguiente forma:

10.- Resolveremos la ecuación j(x) = O (obtenemos los puntos de corte con el eje X). 20.- Escogemos las raíces del apartado anterior que estén dentro del intervalo [a,b]. 3°. - Dividi mos: Área =

DAVID RIVIER

SANZ

r j(x)dx

=

I

f j(x)dxl

+I

r j(x )dxl + ...+

I{

j(x )dxl

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TEMA 12.- LA INTEGRAL

~

DEFINIDA.

Ejemplo:

Hallar

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APLICACIONES.

el área comprendida

entre

la curva

y = x3 -x,

el eje X y las rectas

x=O y x=2. Nos piden calcular

r (x3

Primero

los puntos

x3

-

Ahora

X

buscamos

x~

-

= O x = O, x = -1 cogemos

. f(x)

en los cuales

Y x = 1.

las raíces que estén en [a,b],

Calculamos'una

primitiva

= O, es decir,

y dividimos

el intervalo:

x4 J( x3 -xfU\.3-. = --4

x2

-x}txl+!f (x' -x}txl ~ [x: -

x; [

de

y =

x3

-x:

[0,2]= [0,1]

u (1,2]

2

Por último:

Área = r(x' -x}tx ~ I!(x'

=c; _1~)_(0:_0;)+(2: _2;)_(~

+ [x: - x;

I>