MATEMÁTICA Unidad 1 UTILICEMOS ECUACIONES CON RADICALES

Objetivos de la Unidad: Utilizarás con seguridad los determinantes y las ecuaciones con radicales, aplicando sus propiedades en la propuesta de soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno. Graficarás la línea recta e interpretarás sus elementos y características con el fin de proponer soluciones a problemas relacionados con el ámbito escolar y del entorno. Resolverás situaciones problemáticas de tu entorno escolar y social, utilizando sistemas de ecuaciones.

55

Las determinantes y sus propiedades

Determinantes: - Elementos - Filas y columnas - Diagonales

Ecuaciones con radicales

- Radicales - Reducción a: - Ecuaciones de primer grado Eliminación: - De la raíz por el producto

Línea recta

Sistemas de: - Coordenadas cartesianas - Coordenadas de punto - P (abscisa, ordenada) - Pendiente (m) Tipos de pendiente: - Positiva - Negativa - Cero e indefinida Gráfico intercepto con el eje de las ordenadas

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de: - Dos ecuaciones - Ecuaciones con dos incógnitas Sistema de: - Ecuaciones lineales

Métodos de resolución de ecuaciones

Método gráfico: - Para resolver ecuaciones con dos incógnitas Otros métodos

Al final de esta unidad podrás construir un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas y encontrarás las respuestas a situaciones en donde se usan las ecuaciones lineales utilizando el método por determinantes. También graficarás coordenadas cartesianas ubicando puntos en ellas para luego determinar la pendiente que existe entre dichos puntos. Teniendo conocimiento de pendiente de una línea recta definirás la ecuación de una línea recta.

Descripción del proyecto Al final aprenderás los distintos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, métodos de eliminación por igualación, sustitución y reducción.

56 Matemática - Noveno Grado

Lección 1

Primera Unidad

LOS DETERMINANTES Y SUS PROPIEDADES Motivación

C

¿ ómo resuelves la siguiente situación? Juan, compró 2 lápices y tres borradores por $ 1.90; y otra persona, compró tres lápices y cuatro borradores por $2.70. ¿Cuáles son los precios de un lápiz y de un borrador? Trata de resolverlo. Para ello, representa por “x” el precio de un lápiz y pon “y” el precio de un borrador. Tendrías: 2 x + 3 y = 1.90 3 x + 4 y = 2.70 Busca valores para x e y que satisfagan ambas ecuaciones. Más adelante resolverás este tipo de situaciones utilizando el método por determinantes. Indicadores de logro: Explicarás con confianza el proceso de formación de un determinante. Identificarás con seguridad los elementos, filas, columnas, diagonales y orden de un Determinante.

En temas anteriores, has visto que toda ecuación de primer grado con dos incógnitas, es indeterminada; en otras palabras tiene infinitas soluciones. Observa este ejemplo: Igualdad 1 Igualdad 2

2(3) + 5(2) − 3(3) + 4(2)

= =

Resolverás de manera ordenada ejercicios y problemas aplicando determinantes de Segundo orden.

En el desarrollo de esta lección, aprenderás como los determinantes te ayudan a resolver este tipo de problemas. Espero que te prepares y pongas interés para aprender el mundo de los determinantes.

6 + 10 = 16 −9+8=−1

Ahora las escribes con incógnitas: (1) (2)

2x + 5y 3x + 4y

= 16 =−1

Observa que las soluciones de estas ecuaciones son para x = 3 y para y = 2 ya que satisfacen a las dos ecuaciones. Dos ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas, cuando se satisfacen, con iguales valores para las incógnitas.

Noveno Grado - Matemática 57

UNIDAD 1

Determinantes Un determinante, es un número asociado a un arreglo cuadrado de números, encerrados entre dos barras verticales. 4 −3 0 5

Ejemplo:

Los números que forman el arreglo se llaman elementos del determinante. En este ejemplo los elementos son 4, −3, 0 y 5. Este determinante por tener dos filas y dos columnas de elementos es de segundo orden. 3 0 5 4 −2 3 por tener En este otro ejemplo el determinante es de tercer orden: 1 tres filas y tres columnas. 2 −1 2 Ahora verás cómo se analizan los determinantes con líneas diagonales en un determinante de segundo orden: Así:

a c

d b

La línea que une: a con b se llama diagonal principal.



a c

d b

La línea que une: c con d, es la diagonal secundaria.

La diagonal principal de un determinante, es la línea de elementos que corre de la esquina superior izquierda, a la esquina inferior derecha. La diagonal secundaria de un determinante, es la que va de la esquina inferior izquierda, a la esquina superior derecha.

Ejemplo 1 Interpreta este ejemplo, donde se calcula el valor del determinante: 4 6 = 4(2) – (−3) (6) = 8 + 18 = 26 −3 2 ¿En qué consisten los determinantes entonces? Observa las flechitas de las diagonales: Si del producto ab restamos el producto cd, tendremos una expresión ab – cd. Esta expresión puede escribirse con la siguiente notación matemática:

ab − cd =

58 Matemática - Noveno Grado

a d c b



Esta expresión:

a d es un determinante. c b

UNIDAD 1 Fíjate que las columnas de un determinante, están constituidas por las cantidades que están en una misma línea vertical; en este ejemplo  a  constituye la primera  c  columna  d  y es la segunda columna.  b 

Por otra parte, las filas, están constituidas por las cantidades que se encuentran en una misma línea horizontal. En el ejemplo que estás viendo, ad es la primera fila y cb la segunda fila.

Orden de un determinante El orden de un determinante cuadrado está dado por el número de filas y de columnas. Mira estos ejemplos: a d y 1 2 3 4 c b

son determinantes de segundo orden.

Elementos de un determinante a1

b1

a2

b2

Para:

Columna 1

Columna 2

Como puedes ver, un determinante de 2º orden tiene dos filas (elementos de línea horizontal) y dos columnas (elementos de línea vertical).

Cálculo de un determinante de segundo orden a1

b1

a2

b2

= a1b2 –a2b1

El determinante de segundo orden, equivale al producto de los términos que pertenecen a la diagonal principal, menos el producto de los términos que pertenecen a la diagonal secundaria.

Ejemplo 2 Si:

H=

3 −2 4 −1

el determinante de H lo encuentras de la siguiente manera:



H=

3 −2 4 −1

determinante de H es: 3(−1) – 4(−2) =5

No debes olvidar que el determinante de un arreglo como éste, siempre será un número. Y se puede interpretar como la diferencia de los productos de los elementos que ocupan las diagonales.

Noveno Grado - Matemática 59

UNIDAD 1 Observa cómo se calcula el valor de cada determinante siguiendo la regla anterior:

Ejemplo 3 4 −8 = 4(10) – (−3) (−8) = 16 −3 10

Ejemplo 4 3 −5 1 −2

Punto de apoyo Al arreglo A =

= 3(−2) – 1(−5) = −1

 a  c 

Se llama matriz y su determinante se denota por:

Ejemplo 5 −2 −5 = (−2) (−9) – (−5) (−3) =3 −3 −9

|A|=

a b c d

Ejemplo 6 2 3 = 2(−5) – (−3) (3) = −1 −3 −5

1

Actividad

1. Encuentra el valor de los siguientes determinantes: 2 7 4 5 a) d) 3 5 2 3

g)

−2 5 4 3 9 −11 −3 7

b)

7 9 5 −2

e)

5 −3 −2 −8

h)

c)

−15 −1 13 2

f)

12 −1 13 −9

i)

10 3 17 13

Propiedades de los determinantes Las propiedades básicas de los determinantes las comprenderás con los siguientes ejemplos: Observa lo siguiente:

Ejemplo 7 2 4 −1 −2

= 2(−2) – (−1)4 = −4 + 4 = 0

Fíjate, la segunda columna, es dos veces la primera columna.

60 Matemática - Noveno Grado

b  d 

UNIDAD 1 Ejemplo 8 7 −2 21 −6

= 7(−6) – (21) (−2)= −42 + 42 = 0

¿Cómo es la segunda fila con respecto a la primera fila? Muy bien, te diste cuenta que la segunda fila es igual a tres veces la primera, es decir: 3 | 7 −2 | = | 21 −6 |

Propiedad 1 Sea A, un arreglo cuadrado. Si A tiene una fila que es múltiplo de otra fila o una columna que es múltiplo de otra columna, entonces | A | = 0.

Ejemplo 9 5 2 Su determinante es: 5(2) – 5(2) = 10 – 10 = 0. 5 2 Observa que la segunda fila es igual a la primera.

Ejemplo 10 6 6 −3 −3

= 6(−3) – (−3) (6)= −18 + 18 = 0.

¿Cómo es la segunda columna con respecto a la primera?

Propiedad 2 Sea A, un arreglo cuadrado. Si A, posee dos filas iguales o dos columnas iguales necesariamente |A| = 0. Observa el siguiente ejemplo te servirá para comprender la propiedad 3.

Ejemplo 11 4 −8 = 4(10) – (−3) (−8) = 40 – 24 = 16 −3 10 −3 10 Intercambia las filas de A: |B|= = (−3) (−8) – (4) (10) = 24 – 40= −16. 4 −8 Compara los resultados de |A| y |B| , ¿Cómo son? |A| =

Propiedad 3 Al intercambiar dos filas de A o dos columnas de A, el determinante cambia de signo. En símbolos |B| =− |A| Para que termines de verificar con ejemplos las propiedades observa lo siguiente: 4 5 |A| = 4(−1) – 3(5)= (−4)− (15) = −19 |A| = 3 −1 Ahora, multiplica la segunda fila por 2:

5 |B|= 4 6 −2

|B|= 4(−2) −6(5) = (−8) – (30) = −38

Noveno Grado - Matemática 61

UNIDAD 1 Propiedad 4 Si cada uno de los componentes de una fila o de una columna de un arreglo, se multiplica por un mismo número, su determinante también se multiplica por él.

Actividad de aplicación Encuentra el determinante asociado a cada uno de los siguientes arreglos tomando en cuenta las propiedades que vimos anteriormente. x −3 a) El valor de x para = 36 es: 4 2 b) El determinante de

3 3 −4 −4

es:

−1 3 2 5 Calcula el nuevo valor del determinante y comprueba que el resultado es −|A|.

c) Intercambia las columnas en |A| =

d) Multiplica la segunda columna por 3 en

3 2 4 −5

Luego compara la respuesta con el valor de

3 2 4 −5

y encuentra su determinante.

¿Sabes cuándo un determinante es de tercer orden? Hasta aquí has estudiado determinantes de segundo orden más adelante estudiarás determinantes de tercer orden y encontrarás el número asociado a este tipo de arreglos. Entonces observa con atención lo siguiente. El modo de encontrar el determinante es sencillo, para ello aplicas la regla de Sarrus.

Ejemplo 13 1 −2 −3 2 1 5 −1 3

Resuelve: −4

debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras

Filas horizontales y nos queda:

1 −2 −3 2 1 −4 5 −1 3 1 −2 −3 −4 2 1

62 Matemática - Noveno Grado

Ahora trazas 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha, como se te muestra en el arreglo de números:

1 −4 5

−2 2 −1

−3 1 3

1 −4

−2 2

−3 1

UNIDAD 1 Multiplica entre si los tres números por los que pasa cada diagonal. Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo: (1)(2)(3)=6 (−4) (−1) (−3)= −12 5(−2) (1)= −10 Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda se escriben con el signo cambiado: (−3)(2)(5)

= −30 cambiándole el signo tenemos: 30

(1)(−1)(1)

= −1

(3)(−2)(−4) = 24

cambiándole el signo: 1 cambiándole el signo: −24

Para que al final resuelvas efectuando las operaciones: 6− 12 − 10 + 30 + 1 − 24 = −9 este valor es el determinante del arreglo de tercer orden. También puedes aumentar las dos primeras columnas y hacer el mismo procedimiento anterior. Así:

1

-2

-3

1

2

-4

2

1

-4

2

5

-1

3

5

-1

Luego: |A|= (1)(2)(3)+(−2)(1)(5)+(−3)(−4)(−1)−(5)(2)(−3)−(−1)(1)(1)−(3)(−4)(−2)

= 6 − 10 − 12 + 30 + 1 − 24 = − 9 Observa el resultado obtenido es el mismo.

Los sistemas de ecuaciones lineales, como ya se dijo, también pueden resolverse utilizando determinantes. Los determinantes sirven en particular para resolver sistemas de ecuaciones de segundo orden, tercer orden y de orden superior.

Resumen En esta lección aprendiste como se forman las determinantes, los elementos como las diagonales principales y las secundarias. También el orden de los arreglos en filas y columnas y específicamente los de 2 por 2 o determinantes de segundo orden y de 3 por 3 o de tercer orden. Ejercitaste como se resuelven este tipo de determinantes y encontraste su valor.

Noveno Grado - Matemática 63

UNIDAD 1

Autocomprobación



a)

2

c) 3

a)

26

c)

−26

b)

24

d) −2

b)

24

d)

20

4

2 5 2 3



7 9 5 −2

a)

16

c)

4

a)

59

c)

30

b)

−4

d)

9

b)

−59

d)

−56

2. b.

3. c.





−2 5 4 3

1. a.

2

3

4 5 2 3

Soluciones

1

Desarrolla los siguientes determinantes y encuentra su respuesta.

4. b.

HISTORIA DE LOS DETERMINANTES Los determinantes fueron introducidos en occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu, iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación Gaussiana. Primeros cálculos de determinantes. El determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magna.

Gauss Karl Friedrich

64 Matemática - Noveno Grado

Lección 2

Primera Unidad

ECUACIONES CON RADICALES Motivación

El patio de la casa de Juan es un cuadrado con un área de

30.25 m2 . Tres de los lados están cercados. El quiere cercar el cuarto lado. ¿Cuántos metros de cerca tiene que poner? Trata de resolverlo. Para ello representa por “x” un lado del patio. Obtienes que A= x2 , es decir x2 = 30.25 ¿Cómo despejas x?

Indicadores de logro: Identificarás y explicarás con seguridad una serie de ecuaciones con radicales transformables en ecuaciones de primer grado. Aplicarás con interés las reglas de los exponentes al resolver ecuaciones con radicales.

Recuerda un poco…… Cuando tú haces cálculos matemáticos te has dado cuenta que ciertas operaciones tienen su forma inversa de operarse, ¿recuerdas la operación inversa de la suma? ¿recuerdas la de la multiplicación y la de la potenciación? En esta lección estudiarás estas últimas para lograr resolver ecuaciones con radicales.

Radicación

Resolverás ejercicios utilizando las ecuaciones con radicales transformables en ecuaciones de primer grado.

Radicación, es encontrar la raíz de un número, la cual elevada a la correspondiente potencia, da como resultado el número inicial. Así, por ejemplo, cuando multiplicamos 2 × 2 y obtenemos el producto 4, decimos que 2 es la raíz de 4, donde en este caso se ha multiplicado al número 2 una vez por sí mismo, es decir, lo hemos elevado al cuadrado (²).

Observa lo siguiente: 3 8 =2, por que 23=8 puesto que toda potencia se puede expresar como un radical. La expresión n b es un radical. Así: : Es el signo radical n: es el índice radical

(si n = 2 se omite su escritura)

b: cantidad subradical o radicando.

Noveno Grado - Matemática 65

UNIDAD 1

Observa Radical: Es toda expresión de la forma n b que indica la n-ésima raíz principal de la cantidad b.

Radical racional Observa este ejemplo: resultado es: 2 a

4 a 2 es una cantidad racional porque si se extrae las raíces el

Ejemplo 1 16a 4 = 4a 2 Ejemplo 2 3 8x 3 = 2x Radical irracional Una expresión radical es irracional si la raíz no puede extraerse con exactitud.

Ejemplo 3 3

2

2 x 2 = 1.25992....x 3

El grado de un radical Es el índice de la raíz. Así, x es un radical de segundo grado, ya que

x =2x

Ejemplo 4 3

3a es un radical de tercer grado.

Radicales semejantes Observa estos radicales: 2 3 , −5 3 y 4 3 ¿Qué tienen en común? Puedes ver que todos tienen el índice igual a 2 y tienen la misma cantidad subradical. Por eso se llaman radicales semejantes. ¿Podrías decir que son radicales semejantes? Son los que tienen el mismo grado (igual índice) y que tienen la misma cantidad subradical.

Ejemplo 5 Así, 2 3 , 5 3 y 1/2 3 son radicales semejantes.

Ejemplo 6 2 3 y 5 5 2 no son radicales semejantes.

66 Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 1

Simplificación de radicales Simplificar un radical es cambiar su forma sin cambiar su valor. Lo simplificas o lo reduces a su más simple expresión permitiendo que la cantidad se mantenga entera y que esté en su menor grado posible.

Observa 1

n

Ejemplo 7

a = a n

n

m

am =a n

Simplifica 9a 3 Descompones 9 y a3 9a 3 = 32 .a 2 .a = 32 . a 2 . a = 3a a Así, por ejemplo:

3



6

a6 = a 3 = a2 8 2

a =a =a4 8

En la práctica no se indican las raíces, sino que una vez arreglados los factores de las cantidad subradical, aquellos cuyo exponente sea divisible por el índice, se sacan del radical dividiendo su exponente por el índice.

Expresión de un radical en forma de potencia Ejemplo 8 9 =9



Ejemplo 11

1 2

2x 3 . 3 4 y = 3 ( 2x 3 ) ( 4 y ) 3

Ejemplo 9

3

3 =3 2

2 3

Te das cuenta, que la base de la potencia es la misma cantidad dentro del radical y el exponente es una fracción cuyo numerador es el exponente de la cantidad subradical y el denominador es el índice del radical. Con base a lo anterior, puedes introducir un factor bajo el signo radical al elevarlo al índice del radical.

Ejemplo 10

2 3 4 y = 3 23 ( 4 y ) = 3 32 y

= 3 23 x 9 2 2 y = 3 25 x 9 y = 3 32 x 9 y De igual forma lo puedes extraer del signo radical: lo que tienes que hacer es lo siguiente: Se descompone el radicando en factores primos y se expresa en forma de potencias. Si un exponente es menor que el índice, la cantidad se deja en el radical, y si es igual al índice, se extrae la cantidad subradical. Así, 12 = 22 .3 = 2 3 dejamos el factor 3 dentro del radicando, pero si el exponente de algún factor subradical es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Noveno Grado - Matemática 67

UNIDAD 1 Este es otro ejemplo para que verifiques lo anterior.

Ejemplo 12 98 = 7 2 .2 = 7 2 Pero qué sucede cuando un exponente es mayor que el índice, entonces divides dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. Comprueba lo anterior con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 13 48 = 24 .3 = 22 3 = 4 3 El factor 2 salió con exponente 2.

Ejemplo 14 3

243 = 3 35 = 3 33 .32 = 3 3 32

Otro punto importante de los radicales es cuando se eleva un radical a una potencia:

Ejemplo 15

(

Desarrolla

(

5x 2

5x 2

)= 2

) Observa como lo debes hacer: 2

( 5x )

2 2

= 52 x 4 = 5 x 2

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

( a) n



m

= n a m Esto es de forma generalizada.

Ejemplo 16

( 18 ) = 3

2

3

(18 )2 = 3 ( 2.32 ) = 3 22 .3 4 = 3 22 .33 .3 = 3 3 12 2

Si observas detenidamente este ejemplo te darás cuenta que el 18 lo descompones en factores y luego elevas esos factores a la potencia 2, y finalmente sacas los factores que cumplen con lo dicho anteriormente.

Punto de apoyo 1. 2.

( a ) =a n

n

n

an =a

Siempre que los radicales, estén definidos.

68 Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 1 ¿Sabes cómo se resuelven ecuaciones con radicales? Después de haber trabajado con algunas propiedades de los radicales vamos a estudiar la resolución de ecuaciones en las cuales la incógnita aparece bajo el signo radical. Observa qué forma tienen estas ecuaciones con radicales: −x + 2 4 3 + y =3 a) 2 x + 1 = 3 d) 5 x +1 b)

c)

4

y 3 − 2 x = x + 5

e)

x + 6 − 2x = x

x = x 2 − 7x x +6

Observa Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuya cantidad subradical es una expresión algebraica.

¿Qué diferencias observas entre estas ecuaciones y las ecuaciones lineales? Seguramente vistes que éstas llevan el signo radical. Entonces manos a la obra y resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.

Ejemplo 17 2 Comienza resolviendo la siguiente ecuación: 4 x −15 − 2x = −1

(4x

2

− 15 ) = ( 2 x − 1)2 2



Primero debes aislar el radical:



Elevas al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical:



(4x

2

− 15 ) = ( 2 x − 1)2 Esto te queda: 4 x 2 − 15 = 4 x 2 − 4 x + 1 2

Suprimes 4x2 en ambos miembros: −15 = −4x + 1; 4x = 16 ; x = 4

Para estar seguro de lo que has encontrado la respuesta correcta, sustituye en la 4 x 2 − 15 − 2 x = −1 ecuación original: Comprueba:

4 x 2 − 15 − 2 x = −1



4 ( 4 )2 − 15 − 2( 4 ) = −1



4 (16 ) − 15 − 8 = −1



64 − 15 = −1+ 8



49 =7



para cuando x = 4

raíz cuadrada de 49 es 7

Por lo tanto nos resulta: 7 = 7

Noveno Grado - Matemática 69

UNIDAD 1 Después de resolver este ejemplo puedes enumerar los pasos para resolver ecuaciones con radicales: a) Aíslas un radical en uno de los dos miembros, pasas al otro miembro el resto de

los términos, aunque tengan también radicales.

b) Elevas al cuadrado los dos miembros. c) Resuelves la ecuación obtenida. d) Compruebas si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que

tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

e) Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso

hasta eliminarlos todos.

Ejemplo 18

Otra vez aíslas el radical:

Resuelve la siguiente ecuación con radicales:

x + 4 − 25 − x + 1 = −10 x − 1 Reduciendo: −20 = −10 x − 1

x + 4 + x −1 = 5 Aísla un radical:

x + 4 = 5 − x −1



20 = 10 x − 1

(

Elevas ambos lados al cuadrado:

Divides por 10: 2 =

(

Elevas al cuadrado: 22 =

) ( 2

x + 4 = 5 − x −1

)

2

x −1

(

)

2

)

2

x − 1 , entonces 4= x − 1

2 Te queda: x + 4 = 52 − 2 × 5 x − 1 + ( x − 1)

Despejas x y tienes x = 5

Efectúas: x + 4 = 25 − 10 x − 1 + x − 1

La comprobación te la dejo en tus manos.

70 Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 1

1

Actividad

Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales tomando en cuenta los pasos para convertirlas a ecuaciones de primer grado. a)

x − 8 = 2

c)

b) 5 − 3 x + 1 = 0

d)

7 + 3 5x − 2 = 9

e)

x 2 − 2x + 1 = 9 − x

9 x 2 − 5 − 3 x = −1

Ahora resolverás ecuaciones con radicales en los denominadores.

Ejemplo 19 x + 4 − x −1 =

Resuelve:

2 =2, x ≠ 1 x −1

Antes de comenzar multiplicas por el común denominador

x −1 para eliminar el

denominador de la ecuación. Multiplicas:

x −1

(

) (

x + 4 − x −1 =

Eliminas el denominador:

x −1

(

 2  siempre que x ≠ 1 x −1   x − 1 

)

)

x + 4 − x −1 = 2

2 Efectúas las operaciones indicadas: ( x + 4 )( x − 1) − ( x − 1) = 2

Efectúas:

x 2 + 3 x − 4 − ( x − 1) = 2



x 2 + 3x − 4 − x + 1= 2



x 2 + 3x − 4 = x + 1

2 2 Elevas al cuadrado: x + 3 x − 4 = x + 2 x + 1

Eliminas términos x2 y transpones 3 x − 2 x = 4 + 1

x=5

Resumen En esta lección trabajaste con un método para resolver ecuaciones con radicales abordaste los temas que te ayudarán a entender la forma de tratar a las expresiones con radicales. Entre otros temas que vistes están: Operaciones con radicales, Expresión de un radical en forma de potencia, Extracción de factores fuera del signo radical, Potencia de radicales, Potencias de exponente racional y resolución de ecuaciones con radicales que se reducen a primer grado.

Noveno Grado - Matemática 71

UNIDAD 1

Autocomprobación Resuelve las ecuaciones con radicales y selecciona la respuesta.

3 x − 5 + 3 x − 14 = 9 10 b) − 10 c) 9 d) − 9 a)



4



x + x +7 =7 −9 b) 10 c) 9 d) 8 a)

x + 10 − x + 19 = −1 −6 b) 6 c) 9 d) −9 a)

2. a.

4 b) – 4 c) 5 d) 3 a)

3

1. a.

3. c.

2

15 − 3 7 x − 1 = 12

Soluciones

1

4. b.

NÚMEROS RADICALES EN EL RENACIMIENTO Durante el renacimiento se dan grandes progresos científicos para las matemáticas cabe destacar que uno de los grandes aportes de esta época fue la introducción de los exponentes fraccionarios y el concepto de números radicales, además se estableció un sistema único de números algebraicos, con lo que se hizo posible expresar ecuaciones en forma general. Así también se puede mencionar, la resolución de ecuaciones algebraicas radicales, como las que resultan cuando tratamos con lados de polígono y queremos calcular el valor numérico de uno o varios lados.

72 Matemática - Noveno Grado

Lección 3

Primera Unidad

Línea Recta Motivación

L

a carretera que se observa en el dibujo al pie de la montaña asusta ¡es muy inclinada! Sin embargo, no todas las carreteras son de esa forma, algunas son más inclinadas que otras, y las hay sin inclinación pero en la vida cotidiana no sólo las carreteras tienen inclinación. ¿Puedes decir en que otras situaciones has observado distintas inclinaciones? Resulta que estas inclinaciones están relacionadas con la pendiente de la línea recta, y es de lo que trataremos en esta lección. Indicadores de logro: Identificarás con seguridad los elementos de un sistema de coordenadas cartesianas. Identificarás y colocarás con seguridad las coordenadas de un punto en el plano cartesiano.

Utilizarás y valorarás el uso de la fórmula de la pendiente de la recta conocido dos puntos por donde pasa. Calcularás con exactitud el valor de la pendiente positiva, negativa, cero e indefinida de una recta al conocer los valores de las coordenadas de dos puntos por donde ésta pasa.

¿Te acuerdas lo que es un par ordenado? Comienza escribiendo los pares ordenados que están en la gráfica. Punto A: (5, 4) Punto B: (−2, −3) Punto C: (0, 1) Punto D:(−5, 4) Punto E: (5, −4) Punto F: (−6, 0)

D (-5,4) F (-6,0)

7 6 5 4 3 2 C 1 (0,1)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 B -2 -3 (-2,-3)-4 -5 -6 -7

A (5,4)

Lo que escribiste anteriormente son pares ordenados, dicho de otra forma es un par de números que representa un punto en una gráfica. Cuando escribes un par ordenado, escribes el valor de entrada y luego el valor de salida, en matemática tiene un nombre especial, y se llaman primera componente y segunda componente respectivamente.

1 2 3 4 5 6 7 E (5,-4)

Noveno Grado - Matemática 73

UNIDAD 1 ¿Qué es un plano cartesiano? Considera dos rectas numéricas que se cruzan perpendicularmente, una en dirección horizontal y la otra en dirección vertical; la primera se denomina eje horizontal X y la otra eje vertical Y, formando un plano llamado plano cartesiano que posee un número infinito de puntos, cada uno de los cuales representa un par ordenado de números. El par ordenado se representa con las letras x, y dentro de un paréntesis así, ( x, y ) a éste le denomina coordenadas cartesianas en honor a su descubridor el Matemático y Filósofo René Descartes.

Las coordenadas cartesianas son grupos de números que describen una posición; posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión de una recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera como la tierra. Las coordenadas cartesianas se pueden usar para decir dónde estás exactamente en un mapa o dar significado a un problema a través de un gráfico, como se muestra en el siguiente ejemplo de cómo se extiende el suelo oceánico dependiendo del factor tiempo.

Observa el siguiente gráfico: 9

Observa

Y Ordenadas

8

Un sistema de coordenadas te ayudará a localizar los puntos en el plano. Las coordenadas se escriben dentro de un paréntesis y separados por una coma, (x, y)

7 6 5

Cuadrante II (-,+)

Cuadrante I (+,+)

4 3 2 1

−7

−6

−5 −4

−3 −2

−1

−1

X Abscisas 1

2

3

4

5

6

7

−2

Cuadrante III (-,-)

−3 −4 −5

Cuadrante IV (+,-)

−6 −7 −8 −9

Los ejes x, y separan este plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Empezando por el de la parte superior derecha y siguiendo en sentido contrario a las manecillas del reloj, estos cuadrantes se enumeran I, II, III y IV. Al eje horizontal le denominas eje “x” o eje de las abscisas y al eje vertical eje “y” o eje de las ordenadas. Cada par ordenado se conoce como coordenadas cartesianas de un punto.

74 Matemática - Noveno Grado

1

Actividad

a) Grafica en el plano cartesiano los puntos (3, 2), (2, 3) y (4, 5).

¿En que cuadrante están?

b) Grafica los puntos (−3, −2), (−2, −5) y (−5, −2). c) Ubica puntos en el segundo cuadrante. d) Ubica puntos en el cuarto cuadrante.

UNIDAD 1 Ejemplo 1

¿Qué es la pendiente de una recta?

El suelo del océano Atlántico se extiende 4 cm cada año. Los científicos empezaron a estudiar dos partes del suelo oceánico cuando estaban separadas por 10 cm. La siguiente tabla nos muestra la extensión oceánica en el tiempo, esto es en los próximos 10 años.

La inclinación de la recta que resulta del ejemplo anterior se le conoce como pendiente; y para que te resulte más práctico, calcularás una; utiliza los puntos

Utilizas la línea de tiempo: y = 4x + 10

Si nombras al punto (2, 3) como P1 y al

Valor de entrada

Línea de tiempo

Valor de salida

x 0 5 10

4x + 10 4(0)+10 4(5)+10 4(10)+10

y 10 30 50

siguientes: (6, 8) y (2, 3).

punto (6, 8) como P2 tienes que la pendiente es igual y − y 8−3 5 = que es una pendiente o a: m = 2 1 = x 2 − x1 6 − 2 4 inclinación positiva. Si te fijaste utilizaste una ecuación para calcular la y −y m = 2 1 estos datos los obtuviste pendiente: x 2 − x1 de los pares ordenados o puntos a los que nombraste P1 y

y

P2, estos puntos se denotan así:

50

P1: (x1, y1); 40

P2: (x2, y2)

m: es la pendiente, que significa el grado de inclinación

que tiene una línea recta respecto al eje horizontal x.

30

Observa este otro ejemplo para que comprendas mejor como se calcula una pendiente.

20

Ejemplo 2 10

x -1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

El gráfico anterior te servirá para hacer un pequeño Y análisis o interpretación de los datos. 50

Calcula la pendiente de la línea recta que pasa por los puntos: P1 (−2, 7)

y

P2 (3, −3)

Define primero las coordenadas: x1= −2,

Para la construcción del gráfico de valores utilizas una 40 ecuación, y = 4x + 10 y valores para la variable x, y así generar30los de y formándose los pares ordenados (0, 10), (5, 20) 20y (10, 30).

y2= −3

10 Estos los colocas en el plano cartesiano y al unir los X puntos te resulta una línea recta inclinada hacia la -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 derecha.

m=

y1= 7

y

x2= 3

Y luego sustituyes en la ecuación para calcular la pendiente:

y 2 − y1 −3 − 7 −10 = = = −2 x 2 − x1 3 − ( −2 ) 5

Obtienes una pendiente negativa.

Noveno Grado - Matemática 75

UNIDAD 1 Observa el siguiente ejemplo, pero con su respectiva gráfica:

Ejemplo 3

Caso 1 Determina la pendiente de la siguiente recta que pasa por los puntos (2, 1) y (0, 0)

m=

y 2 − y1 0 − 1 −1 1 = = = x 2 − x1 0 − 2 −2 2

Y

5 4 3 2 1

1 con inclinación hacia la derecha 2 del plano. Por eso es positiva. m=

m = 1/2 (2,1)

(0,0)

1

2

3

X 4 5

Caso 2 Ahora localizas en el plano el par de puntos (2, 3), (4, 0) y determinarás la pendiente de la recta que las contiene: Aplicas la definición de la pendiente y obtienes:

5

Y

4 3 2

(2,3) m = 3/2

1

m=

3 0−3 =− 4−2 2

X

1

2

3

4 5 (4,0)

Observa La pendiente es negativa y está inclinada a la izquierda del plano.

76 Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 1

Caso 4

Caso 3 Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos P1:(3, −3) y P2: (3, 7). 7 − ( −3 ) 10 = . Como no puedes Observas que: m = 3−3 0 dividir por cero, concluyes que la pendiente no existe.

Observa Ahora observa la gráfica y aprecia. ¿Cómo es la línea recta que no tiene pendiente?

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos: P1 (−2, 4) y P2 (3, 4). Utiliza la fórmula y obtienes que 4−4 0 m= = = 0 en este ejemplo la pendiente 3 − ( −2 ) 5 tiene un valor de cero y de igual manera lo verificas en la siguiente gráfica: ¿Cómo es la línea recta que se forma cuando la pendiente de ella es cero? Muy bien, es una línea horizontal.

10 Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3

5

(3,7)

4

(-2,4)

(3,4)

3

m = no existe

m=0

2

X

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2

(3,-3)

-1

-1

La línea recta que se forma cuando no existe pendiente es una línea vertical que forma un ángulo de 90 grados con el eje horizontal X. De igual forma vas a verificar otro caso particular de la pendiente en una línea recta.

1

2

Actividad

3

4

2

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos que se dan. Grafica dichos puntos, únelos con una línea recta. Compara la forma de la línea con el tipo de pendiente positiva, negativa o cero. a) P1 (2, 4) y P2 b) A

(−3, 2)

(5, 8) y B (−3, 8)

c) M (0, 4) y N (5, 0)

Noveno Grado - Matemática 77

UNIDAD 1 Construye la ecuación de una línea recta Ejemplo 4 José, tiene que viajar a varios departamentos de oriente, y para ello, su empresa le da $ 10 de viáticos más la gasolina que consuma en un día. Esta semana la gasolina regular está a $ 2.50 el galón. A José le pide su jefe que haga una gráfica que ilustre cuánto dinero debe entregarle en función del número de galones que consume en un día, si éstos no deben exceder a los 8 galones diarios.

Solución: Sea

x = número de galones de gasolina consumidos.



y = el costo total del viaje. (10 es costo fijo y 2.50x el costo que varía según el número de galones consumidos) y = 2.50x + 10



Encuentra puntos que satisfagan la ecuación anterior. x

y = 2.50x + 10

(x, y)

0 1

y = 2.5(0) + 10 = 10 = 2.5(1) + 10 = 12.50

(0, 10) (1, 12.50)

8

2.50(8)+10=30

(8, 30)

Los pares que se formaron puedes verlos en un gráfico: 25 20 15 10

(0,10)

5 (-4,0) - 15 - 10

-4

5

10

15

Esta gráfica le pertenece a la ecuación: y = 2.5 x + 10 puesto que con ella generamos los pares ordenados para su construcción. Comprueba que (−4, 0) le pertenece a la recta, sustituyendo x por −4.

78 Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 1 Con los puntos P1 (0, 10) y P2 (8, 30) puedes encontrar la pendiente m:

m=

y 2 − y1 30 − 10 20 = = = 2.5 8 x 2 − x1 8 − 0

Observa que m es el valor del coeficiente de x en la ecuación y = 2.50 x + 10 y que 10 es el corte con el eje de las y, en general tienes que:

y = mx + b es una ecuación de la línea recta en donde m es la pendiente y b es el valor donde se cruza dicha línea con el eje vertical y. Se denomina ecuación de la línea recta pendiente-intersecto. Fíjate que la pendiente de una línea recta es única, es decir cualesquiera dos puntos que tomes el resultado es el mismo. Considera un punto cualesquiera (x, y) y el punto (8, 30)

Solución: y 2 − y1 4 − 3 1 1 = = =− x 2 − x1 −2 − 1 −3 3 1 Ahora utilizas m= − y cualquiera de los puntos. 3 Por ejemplo el punto (1, 3). Ahora sustituyes el valor de m y el punto (1, 3) en 1 y –y1 =(x − x1); y − 3 = − (x−1); 3 1 10 1 1 1 1 y − 3 = − x + − ; y= − x + +3; y= − x + 3 3 3 3 3 3

3

Actividad

y − 30 x −8 Por lo tanto:

Determina en cada caso la ecuación de la recta.

y − 30 = m(x −8) y como m = 2.5 entonces:

a) Pasa por el origen y tiene pendiente −3;

y −30 = 2.5(x −8)

b) Pasa por los puntos (2, 1) y (−3, 1)

Despeja “y” y obtienes la ecuación: y = 2.5x −20 + 30 = 2.5 + 10

c) Pasa por (1, 8) y tiene pendiente m = −2;

Luego:

y = 2.5x + 10 es la ecuación pendiente intersecto que ya conocías. Donde la pendiente es m = 2.5 y el intersecto con el eje vertical “y” es 10.

d) Pasa por (2, −6) y tiene pendiente m =

1 2

Resumen

En general: Para P (x, y) y P1 (x1, y1) puntos de una recta se tiene: y − y1 = m la cual equivale a y − y1 = m ( x − x1 ) que x − x1 se denomina ecuación de la recta punto−pendiente.

Ejemplo 5 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por P1 (1, 3) y P2 (−2, 4).

En esta unidad abordaste los contenidos sobre coordenadas cartesianas, puntos en los distintos cuadrantes del plano cartesiano, algunas gráficas para hacer más comprensible las referencias de un punto, definiciones de los ejes cartesianos, los cuadrantes del plano cartesiano y por último se retoma la construcción de la ecuación de la pendiente tomando como base las gráficas de puntos para finalmente llegar a la definición y construcción de la ecuación de la línea recta.

Noveno Grado - Matemática 79

UNIDAD 1

Autocomprobación

4 2 x+ 5 5

c)

y=−

d)

y = 5x − 2

Determina la ecuación de la recta que pasa por el 2 punto P (3, 5) y m = 3

2 y = − x + 3 3 2 b) y = x + 3 3 a)

c)

2 y=− x−3 3

d)

y = −2x + 3

3. a.

2

y=

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(1, 3) y P2(0, , 2) y=x+2 b) y = − x + 2 c) y = x − 2 d) y = x + 4 a)

4

La ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente − 3 es: y − 3x = 0 b) y = x − 3 c) y = −3x d) y = 3x − 3 a)

2. b.

2 4 x− 5 5 2 b) y = − 4x − 5 a)

3

1. a.

Calcula la ecuación de la recta, que pasa por los puntos A (3, 2) y B (−2, −2).

Soluciones

1

4. c.

PENDIENTE Ó INCLINACION Pendiente entre dos puntos: un automóvil que baja por una cuesta, como en la figura, comúnmente decimos que se mueve pendiente abajo. La idea de pendiente tiene que ver con el grado de inclinación que tiene el camino respecto del suelo horizontal. Mira la gráfica de la par. La pendiente será positiva si forma un ángulo agudo con el eje X positivo, será negativa si forma ángulo obtuso con este mismo eje. Será cero si es paralela al eje X y no está definida si es perpendicular al eje X.

80 Matemática - Noveno Grado

Lección 4

Primera Unidad

Sistemas de ecuaciones lineales Motivación

El centro escolar “Saúl Flores”, realizó una actividad

artística para recaudar fondos. Se vendieron entradas a $0.25 y $ 0.10. Si lo recolectado fue de $22.50, y entraron 150 estudiantes. Los maestros quieren saber, ¿cuántas entradas de $0.25 y cuantas de $0.10 se vendieron?

Indicadores de logro: Determinarás y explicarás con interés un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolverás con curiosidad sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas. Utilizarás con interés el método gráfico para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones.

Determinarás y explicarás el método gráfico y valorarás su importancia al resolver sistemas lineales con dos incógnitas. Resolverás con seguridad y precisión el trazo de un sistema de ecuaciones usando el método gráfico.

Considera la siguiente situación Una señora pagó 26.40 dólares por 20 libras de tomates y ayotes. Si los tomates costaron $1.20 la libra y los ayotes $1.50 la libra. ¿Qué cantidad compró de cada verdura? Iniciamos definiendo lo siguiente: Sea

x: el número de libras de tomates.



y : el número de libras de ayotes.

Formamos la primera ecuación: (1)

x + y

= 20

La segunda ecuación quedaría así: (2)

1.20x + 1.50y

Si consideras la ecuación x + y = 20, puedes ver que tiene dos variables o también se les llama incógnitas. Si despejas y, tendrás lo siguiente: y = 20 – x entonces para cada valor que le des a x obtienes un valor para y. El par (7, 13) es solución de x + y=20, ya que 7 + 13 = 20 Así: Para x = 0, y = 20; x = 12, y = 8; x = 5, y = 15; x = 15, y = 5 Observa que sucede si sustituimos estos pares de valores en la ecuación: x + y = 20 a) 0 + 20 = 20

c) 12 + 8 = 20

b) 5 + 15 = 20

d) 15 + 5 = 20

= 26.40

Noveno Grado - Matemática 81

UNIDAD 1 Puedes decir entonces que estos valores satisfacen a la ecuación. Dándole valores a x puedes obtener infinitos pares de valores que satisfacen la ecuación. Ésta es una ecuación indeterminada. Entonces, toda ecuación de primer grado con dos variables es una ecuación indeterminada. Considera ahora la ecuación 1.20 x + 1.50 y = 26.40 Por ejemplo:

26.40 = 17.60 . Si no compras tomates x = 0 y así y = 1.50 Compras 17.60 libras de ayotes. 26.40 = 22 . Si no compras ayotes y = 0 y así x = 1.20 Compras 22 libras de tomates.

Punto de apoyo (a, b) es solución de una ecuación y = mx + k si al sustituir la “x” por a y la “y” por b la igualdad se cumple.

¿Sabes cómo se grafica una ecuación lineal con dos variables? Considera la misma ecuación x + y = 20 y los pares ordenados: P (5, 15) Q (12, 8) R (15, 5) y S (7, 13) Toda ecuación de primer grado con dos variables se llama ecuación lineal porque representa una línea recta. Además si despejas la ecuación x + y = 20, en términos de y obtienes que: y = −x + 20 este valor numérico (20) tiene por nombre: término independiente y es por ello que la línea recta no pasa por el origen o el punto (0, 0).

18 16 14 12 10 8 6 4 2 Los valores x = 0 , y = 17.60 ; x = 22 , y = 0 cumplen la ecuación 1.20 x + 1.50 y = 26.40 Verifica si x = 12 , y = 8 satisface la ecuación anterior. Observa que (12, 8) satisface ambas ecuaciones x + y = 20 y 1.20 x + 1.50 y = 26.40 por lo tanto la señora compró 12 libras de tomates y 8 libras de ayotes. En esta lección aprenderás a encontrar esta solución de manera directa.

82 Matemática - Noveno Grado

Y

P(5, 15) S(7, 13) Q(12, 8) R(15, 5) X

2 4 6 8 10 12 14 16 18 Por lo tanto: Toda ecuación de primer grado con dos variables representa una línea recta. Si la ecuación carece de término independiente, la línea recta que ella representa pasa por el origen. Si la ecuación tiene término independiente, la línea recta que ella representa no pasa por el origen.

UNIDAD 1 Observa otra situación de ecuaciones indeterminadas.

Ejemplo 1 Un comerciante destina 64 dólares para comprar lapiceros a 3 dólares cada uno y portaminas a 5 dólares cada uno. ¿Cuántos lapiceros y cuántos portaminas puede comprar? Se plantea el problema con las variables: Para:

x = número de lapiceros y = número de portaminas

Fíjate que la solución debe ser entera y positiva para que tenga sentido. No puedes comprar un pedazo de lapicero. Como cada lapicero cuesta 3 dólares, los x lapiceros costarán 3x dólares y cada portaminas cuesta 5 dólares, estos costarán 5y dólares. El total a pagar es de 64 dólares. Ahora, tienes la ecuación: 3x + 5y = 64 Para resolver tienes que despejar y, darle valores a x y obtener los valores enteros positivos. −3 x + 64 Puedes hacer una tabla así: Así: y = 5 x

64 3 y =− x + 5 5

1

61 5

Se descarta, no es entero

3

11

Es solución

4

3 64 52 − (4)+ = 5 5 5

Se descarta, no es entero

8

3 64 40 − (8)+ = = 8 5 5 5

Es solución

Comprueba en tu cuaderno otros valores y te darás cuenta que: Para x = 18, y = 2; x = 8, y = 8; x = 13, y = 5; x = 3, y = 11; son los pares de valores que dan solución a la ecuación planteada y que además tiene sentido para el comerciante. Entonces el comerciante debe escoger como comprar los lapiceros y los portaminas y para ayudarle un poco le propondremos las siguientes opciones. Con los 64 dólares puede comprar 18 lapiceros y 2 portaminas, 13 lapiceros y 5 portaminas, 8 lapiceros y 8 portaminas o 3 lapiceros y 11 portaminas.

Noveno Grado - Matemática 83

UNIDAD 1

Ecuaciones lineales y simultáneas Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. De acuerdo a lo anterior observa las ecuaciones: x + y =5 x − y =1 Son simultáneas porque x = 3, y = 2 satisfacen ambas ecuaciones. Lo probaremos de la siguiente forma: Ecuación (1)

x + y = 5

(3) + (2) = 5

Ecuación (2)

x − y =1

(3) – (2) = 1

¿Tienes idea de lo que es un sistema de ecuaciones lineales? Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Así: 2 x + 3 y = 13 4x − y = 5

Este es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

La solución de estos sistemas de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. En el caso anterior tienes que el conjunto solución es para x = 2, y = 3. Comprueba estos valores en las dos ecuaciones: Ecuación 1:

2x + 3y = 13

esto es 2(2) + 3(3)

=13 que nos da 13 = 13

Ecuación 2:

4x − y = 5

4(2) – (3)

= 5

5=5

Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o incompatible cuando no tiene solución. Primero aprenderás a resolver un sistema de ecuaciones lineales en forma gráfica.

84 Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 1

Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Existen varios métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero el método gráfico que te ayudará a comprender mejor los pares comunes o puntos que satisfacen el sistema.

x + y =6 lo primero que debes hacer 5 x − 4 y = 12 es encontrar las coordenadas donde se cruzan las dos rectas y para ello procedes de la siguiente manera: Resuelve gráficamente el siguiente sistema:

En x + y = 6 tienes para x = 0, y = 6, para y = 0, x = 6. Graficas (0, 6) y (6, 0) y los unes con una línea. 12 En 5x – 4y = 12 tienes para x =0 y = −3, para y = 0, x = . 5 12 Graficas (0, −3) y ( , 0) los unes con una línea. 5 Después de graficar las dos líneas observa que: La intersección es el punto (4, 2) es decir x = 4 y y = 2 la cual es la solución del sistema: Te queda hacer la comprobación de ese punto en las dos ecuaciones, para ver si satisfacen ambas ecuaciones. Y

7 6 5 4

x+y = 6

3

(4,2)

2

5x-4y = 12

Punto de intersección

1 X

1

2

3

4

5

6

7

El punto (4, 2) es la solución para x + y = 6 y para 5x – 4y = 12 Sustituye los valores x = 4 y y = 2 en cada una de las ecuaciones anteriores. Para x + y = 6, Para 5x − 4y = 12,

4 + 2 = 6; cumple. 5(4)−4(2) = 12; cumple

El punto (4, 2) satisface ambas ecuaciones puesto que es la intersección de las dos rectas.

Noveno Grado - Matemática 85

UNIDAD 1 Ejemplo 2

 4 x + 5 y = −32 Resuelve gráficamente el sistema:  3 x − 5 y = 11

Solución: En la ecuación 4 x + 5 y = −32 , tienes que: Para x = 0, y = −6

2 y para y = 0, x = −8. 5

2 Grafica (0, −6 ) y (−8, 0) y únelos con una línea. 5

1 En la ecuación 3 x − 5 y = 11 , se tiene: Para x = 0, y = −2 y para y = 0, x = 3 2 . 5 3 1 2 Grafica (0, −2 ) y ( 3 , 0) y únelos con una línea. 5 3

3 2 1

P(-8, 0)

P(32/3, 0)

-8 -7 -6 -5 - 4 -3 - 2 -1 -1 1 2 3 4 5

P(-3,-4)

-2 -3 P(0, -21/5) -4 -5 -6 P(0, -62/5) -7

Entonces, encuentras la intersección de las rectas. Si te fijas, la gráfica es de mucha utilidad para conocer en que punto se intersectan las líneas rectas de cada ecuación. Y como ves el punto es (− 3,− 4) Que es la solución del sistema x = − 3, y = − 4, las sustituyes en las dos ecuaciones para comprobar. Para 4 x + 5 y = −32 tienes 4(− 3) + 5(− 4) =− 32 − 12 – 20 = − 32 − 32 = − 32 Para 3 x − 5 y = 11 tienes 3(−3) – 5(− 4) = 11 −9 + 20 = 11 11 = 11

86 Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 1 Por lo tanto, para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se trazan las gráficas de las dos rectas y luego se “estiman” las coordenadas del punto de intersección. Si las dos rectas se cortan, y lo hacen en un único punto el sistema es consistente. Si las dos rectas son paralelas y distintas, entonces no hay punto de intersección y en consecuencia, no hay solución; el sistema es inconsistente. Al final el método gráfico utiliza la estimación para saber las coordenadas del punto de intersección, esto hace que se pierda precisión; entonces este método solo da una solución aproximada.

1

Actividad

Resuelve gráficamente en tu cuaderno los siguientes sistemas de ecuaciones con dos incógnitas: 3 x = −4 y  x − y = 1 a)  d)  5 x − 6 y = 38 x + y = 7 b)

 x − 2 y = 10  2 x + 3 y = −8

c)

5 x − 3 y = 0  7 x − y = −16

e)

3 x + 4 y = 15  2 x + y = 5

Resumen El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases: Se despeja la incógnita “y” en ambas ecuaciones. Se encuentran, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, dos puntos. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. Sistema compatible o consistente (las rectas se intersecan). Sistema incompatible o inconsistentes (las rectas son paralelas y distintas)

Noveno Grado - Matemática 87

UNIDAD 1

Autocomprobación Encuentra los puntos de intersección de cada par de ecuaciones:

3

a)

(1, 0) b) Equivalentes c) (0, 1) d) No existe solución.

a)

(3, 4) b) (4, 3) c) (−3, 4) d) No existe solución.

4

x − 2 y = 1  x − 2 y = 4 a)

(1, 0) b) (4, 0) c) (0, −2) d) No existe solución.

2 x + 3 y = 18  3 x + 4 y = 25 a)

(3, 4) b) ( 4, 3) c) (−4, 3) d) No existe solución.

2. d.

2

x + y =1  2 x + 2 y = 2

1. b.

x − y = 1  x + y = 7

Soluciones

1

3. a.

4. a.

OPTIMIZACIÓN Y ECUACIONES LINEALES Un buen día, una fábrica de coches decide aumentar la fabricación del modelo A y bajar la del modelo B aunque se pare una parte la cadena de producción. ¿Por qué se toma esta desición? Esta pregunta tiene mucho que ver con el problema de optimización, que consiste en encontrar puntos de máximo beneficio, costo mínimo, pérdidas menores posibles. Y para este tipo de problema cobra mucha importancia las técnicas de programación lineal, que se dan en abundancia en los sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones.

88 Matemática - Noveno Grado

Lección 5

Primera Unidad

Aprendamos Métodos de solución de sistemas de ecuaciones Lineales

Motivación

En Cinécali la capital del cine en una función, las 10

entradas de adultos y 9 de niños cuestan 77 dólares, y en otra función de cine las 17 entradas de niño y 15 de adulto, cuestan 126 dólares. Encuentra el precio de una entrada de niño y una de adulto.

Indicadores de logro: Resolverás con seguridad un sistema de dos ecuaciones utilizando el método de sustitución. Utilizarás con orden el método de sustitución para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones. Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de igualación. Utilizarás con interés el método de igualación para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones.

Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de reducción. Utilizarás con interés el método de reducción para solucionar problemas de sistemas de ecuaciones. Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales, aplicando el método de determinantes.

¿Conoces tú la forma de construir las ecuaciones al problema anterior? Si le asignas a:

x = el precio de una entrada de niño. y = el precio de una entrada de adulto.

Entonces formas las ecuaciones para encontrar la solución a este problema. Primera ecuación 9x + 10y = 77 Segunda ecuación 17x + 15y = 126

Como puedes ver ya formastes un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Al resolver este sistema te resulta que x = 3 y y=5 por lo tanto el precio de una entrada de niño es de 3 dólares y una de adulto es de 5 dólares. Situaciones como ésta, donde existe un sistema de ecuaciones con dos incógnitas resolverás con la ayuda de los métodos de resolución de ecuaciones que verás a continuación.

Noveno Grado - Matemática 89

UNIDAD 1

Métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, es necesario que obtengas de las dos ecuaciones que te dan, una sola ecuación con una incógnita. A esta operación se le conoce como eliminación. Existen tres métodos de eliminación muy utilizados, los cuales son: Método de eliminación por igualación. Método de eliminación por sustitución. Método de eliminación por reducción. Con estos métodos encontrarás el conjunto solución, que en el método gráfico encontrabas con el punto de intersección de las líneas rectas de cada ecuación.

Método de eliminación por igualación

7 x + 4 y = 13 (1) Observa el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:  5 x − 2 y = 19 (2) Y haz los siguientes pasos para resolverlo: Primero despeja una de las incógnitas, la que te parezca más fácil; como por ejemplo x en ambas ecuaciones. −4 y + 13 Si despejas x en la ecuación 1: 7 x = −4 y + 13 ∴ x = 7 5 x = 2 y + 19

Ahora despejas x en la ecuación 2:

∴ x=

Segundo igualas estos despejes de x

2 y + 19 5

−4 y + 13 2 y + 19 con esto logras tener una sola ecuación con una sola = 7 5 incógnita, puesto que eliminas a la variable x.

Así,

Lo que sigue es quitar los denominadores y seguir con algunas operaciones algebraicas −4 y + 13 2 y + 19 = 7 5 Los denominadores pasan a multiplicar ( 5 )( −4 y + 13 ) = ( 7 )( 2 y + 19 ) −20 y + 65 = 14 y + 133 −20 y − 14 y = 133 − 65

−34 y = 68 ;

90 Matemática - Noveno Grado

y=

68 −34

∴

y = −2

UNIDAD 1 El valor de “y” que haz encontrado lo sustituyes en cualquiera de las ecuaciones que estas usando, por ejemplo lo haces en la ecuación 1, así: 21 7 x + 4 y = 13 , 7 x + 4( −2 ) = 13 ; 7 x − 8 = 13 ; 7 x = 13 + 8 ; 7 x = 21 ; x = = 3 7 x = 3 Entonces el conjunto solución es:   y = −2 Cuando sustituyes los valores encontrados en las ecuaciones originales; te darás cuenta que satisfacen ambas ecuaciones. Compruébalo:

Ecuación (1) 7 x + 4 y = 13

Ecuación (2) 5 x − 2 y = 19

7( 3 ) + 4( −2 ) = 13 21− 8 = 13 13 = 13

5( 3 ) − 2( −2 ) = 19 15+4=19 19=19

Cómo pudiste comprobar los valores encontrados satisfacen las dos ecuaciones; por lo tanto se convierten en solución del sistema.

Método de eliminación por sustitución Este otro método sin duda alguna es de mucha ayuda para resolver sistemas de ecuaciones lineales, sin embargo debo decirte que pongas mucho empeño a la hora de aplicarlo.

Ejemplo 1 Resuelve el sistema de ecuaciones lineales a continuación. 2 x + 5 y = −24 (1) 8 x − 3 y = 19 ( 2 ) Tomas una de las ecuaciones, por ejemplo 8 x − 3 y = 19 (2) y despejas la variable x Lo que tendrías: 8 x − 3 y = 19 ( 2 ) 8 x = 3 y + 19 3 y + 19 8 Y este valor de x lo sustituyes en la ecuación (1). 2 x + 5 y = −24 (1)  3 y + 19  2 + 5 y = −24  8  ¿Qué haz logrado con esto? Bueno si te fijaste el truco es tener una ecuación con una sola incógnita y ya la tienes; pues haz eliminado x.

x=

Noveno Grado - Matemática 91

UNIDAD 1 Te queda resolver paso a paso las operaciones que intervengan en esta otra ecuación.  3 y + 19  2 + 5 y = −24 Tienes que simplificar el 2 y el 8.  8   3 y + 19    + 5 y = −24 Multiplicas toda la expresión por 4 para eliminar el denominador. 4  3 y + 19 + 20 y = −96

Trasladas valores o términos semejantes al mismo lado.

3 y + 20 y = −96 − 19

Simplificas en cada lado.

23 y = −115 −115 y= 23 y= − 5 Este valor de y = − 5 lo sustituyes en la ecuación (1) para encontrar cuánto vale la variable x 2 x + 5 y = −24 (1)  1 2 x + 5( −5 ) = −24 x= El conjunto solución es:  2 2 x − 25 = −24  y = −5 2 x = −24 + 25 2x = 1 1 x= 2 Verifica si este conjunto solución funciona en ambas ecuaciones:

2 x + 5 y = −24 (1)

8 x − 3 y = 19

1 2( ) + 5( −5 ) = −24 2 1 − 25 = −24

1 8( ) − 3( −5 ) = 19 2 4 + 15 = 19 19 = 19

−24 = −24

( 2)

En efecto, estos valores satisfacen a las dos ecuaciones y por lo tanto ambas se convierten en identidad.

92 Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 1

Método de eliminación por reducción Resuelve el siguiente sistema: 3 x − 2 y = −14 (1)  (2) 2 x + 3 y = 8 Si observas los valores que acompañan a la variable y tienen signos distintos y eso te ayudará para resolver este sistema. Multiplicas la ecuación (1) por 3: Así, ( 3 )3 x − ( 3 )2 y = ( 3 )( −14 ) El resultado es: 9 x − 6 y = −42 Ahora multiplicamos la ecuación (2) por 2:

( 2 )2 x + ( 2 )3 y = ( 2 )8

Nos resulta: 4 x + 6 y = 16 Lo que lograste con este método es hacer iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Como resultado obtienes: 9 x − 6 y = −42 4 x + 6 y = 16



Observa que los coeficientes de la variable “y” son iguales pero tienen distinto signo, lo que te permite sumar estas ecuaciones para que se elimine la incógnita y: 9 x − 6 y = −42 4 x + 6 y = 16 −26 x= x = −2 13 x = − 26 13 Encontrar el valor de y es sencillo, lo que tienes que hacer es sustituir x = −2 en cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo en la ecuación (1). Obtienes:

3 x − 2 y = −14

3( −2 ) − 2 y = −14 −6 − 2 y = −14 −2 y = −14 + 6 −2 y = −8

y=

−8 −2

∴

y=4

Si haces que x = −2, y = 4 en las dos ecuaciones originales, te darás cuenta que ambas se convierten en identidad. (Dejo el paso de la comprobación para ti).

Noveno Grado - Matemática 93

UNIDAD 1

Resolución por determinantes de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Observa detenidamente,la siguiente resolución por determinantes del sistema de ecuaciones lineales dado. 5 x + 3 y = 5   4 x + 7 y = 27

5 27 x = 5 4

y=

3 7

=

3 7

5 5 4 27 5 3 4 7

5( 7 ) − 27( 3 ) 35 − 81 −46 = = = −2 5( 7 ) − 4( 3 ) 35 − 12 23

5( 27 ) − 4( 5 ) 135 − 20 115 = =5 = = 5( 7 ) − 4( 3 ) 23 23

 y =5

Ahora te mostraré la prueba de estas respuestas encontradas para las incógnitas x e y Para la primera ecuación tienes: 5x + 3 y = 5 5( −2 ) + 3( 5 ) = 5 −10 + 15 = 5 5=5

Para la segunda ecuación:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por determinantes. a) El valor de x es una fracción cuyo denominador es

el determinante formado con los coeficientes de x e y (determinante del sistema). Cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.

b) El valor de y es una fracción cuyo denominador

x = −2 Solución: 



Visto lo anterior, tú puedes reflexionar lo siguiente:

4 x + 7 y = 27 4( −2 ) + 7( 5 ) = 27 −8 + 35 = 27 27 = 27

94 Matemática - Noveno Grado

es el determinante del sistema y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de y por la columna de los términos independientes de las ecuaciones.

UNIDAD 1 Observa otro ejemplo pero de forma más simplificada. 7 x − 5 y = −17 Resuelve por determinantes el siguiente sistema:  2 x − y = −1

x=

y=

−17 −5 −1 −1 7 −5 2 −1 7 −17 2 −1 7 −5 2 −1

=

=

17 − 5 12 = =4 −7 + 10 3

−7 + 34 27 = =9 −7 + 10 3

x = 4 El conjunto solución es:   y =9

1

Actividad Resuelve por el método de igualación: x + 6 y = 27 a) 7x − 3 y = 9 Resuelve por el método de sustitución: x +3 y = 6 c)

5 x − 2 y = 13



Resuelve por el método de reducción: 6 x − 5 y = −9 e) 4 x + 3 y = 13

b)

3 x − 2 y = −2 5 x + 8 y = −60

d)

5 x + 7 y = −1 −3 x + 4 y = −24

f)

7 x − 15 y = 1 −x − 6 y = 8

Resumen El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un contenido clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico. Los métodos seleccionados en esta lección fueron para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, a continuación los enumeramos: sustitución, igualación, reducción y el método resolución por determinantes de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Noveno Grado - Matemática 95

UNIDAD 1

Autocomprobación Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que se te indica:

a)

x = 1, y =

b)

x= −1, y =

1 2

c) x = 2, y = 1

1 1 d) x = , y =1 2 2

12 x + 10 y = −4 x = −12, y = 14

4x + 5 y = 5 −10 y − 4 x = −7 3 2 a) x = , y = c) x = 4, y = 3 5 5

Sustitución:

b)

4

7 x + 9 y = 42 a)

3

x = 12, y = 14

3 2 , y = 4 5

d) x = 3, y = 4

10 x + 18 y = −11 16 x − 9 y = −5

c) x = 12, y = −14 a)

b)

x =

x = −

d) x = 14, y = 12

1 1 1 1 , y = − c) x = , y = 2 3 2 3

b) x = 1, y = 2

d) x = 2, y = 1

a.

2

7x − 4 y = 5 9 x + 8 y = 13

Igualación:

Soluciones 1.

1

2. a.

3. b.

4. a.

DETERMINANTES EN EL SIGLO III a. DE C. Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. El libro El arte matemático, de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de los determinantes, para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

96 Matemática - Noveno Grado

Solucionario Lección 1 Actividad 1 a) 2

b) −59

c) −17

d) −11

f) −95

g) −26

h) 30

i) 79

b) 8

c) 2

d) 1

e) −46

Lección 2 Actividad 1 a)

12

e) 5

Lección 3 Actividad 1 y a)

y

b)

5 -5

4

-4

-3

-2 -1

3

-2

2

-3

1

-4 1

2

3

-5

x

4

En el primer cuadrante c) y

En el tercer cuadrante d)

3 -1

2 1 -5 -4

-3 -2 -1

x

x

-1

y 1

2 3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Noveno Grado - Matemática 97

Solucionario Actividad 2 y a) 4 3 2 1

m = 2/5

-4 -3 -2 -1 c)

b)

y

m=0

1 2 3 4 5 6 x

-4 -3 -2 -1

1

2 x

y 4 3 2

m = −4/5

1 1

2 3

4

5

x

Actividad 3 a) y = −3x

b) y = 0

c) y = −2x + 10

d)

Lección 4

1 y = x −7 2

Actividad 1 a) x = 4, y = 3

b) x = 2, y = −4

d) x = 4, y = −3

e) x = 1, y = 3

c) x = −3, y = −5

Lección 5 Actividad 1 a) x = 3, y = 4 d)

x=

117 172 , y =− 41 41

98 Matemática - Noveno Grado

b) x=−4; y=−5 e)

x=

21 46 ,y= 19 19

17 27 ,y= 13 13 f) x = −2,y = −1 c)

x=

Proyecto Ayúdales a dos jóvenes que desean resolver las siguientes situaciones. 1. En la finca del tío de Roberto, se han acomodado 510 huevos en cartones pequeños de 15 huevos y grandes de 30 huevos, en total utilizaron 25 cartones. Los jovenes necesitan saber cuántos eran cartones pequeños y cuántos cartones grandes. (Sugiéreles a los jovenes que le llamen "x" al número de cartones pequeños y "y" al número de cartones grandes, y que planteen dos ecuaciones lineales para luego resolverlas).

2. Juan le pregunta a Roberto: ¿Qué edad tiene su tío ya que este es una persona muy trabajadora y entusiasta? Roberto le contesta lo siguiente: este año la suma de mi edad con la de mí tío es de 74 años y el año pasado él tenía el triple de años que tengo yo. Encuentra tú la edad de mi tío. (Sugiérele a Juan lo siguiente: que le llame "m" a la edad de Roberto y “n” a la edad de su tío y luego que plantee dos ecuaciones lineales para resolverlas)

Noveno Grado - Matemática 99

Recursos Aurelio Baldor, Álgebra de Baldor, Grupo Editorial Patria, México 2000, 575 p. Earl W. Swokowski, Matrices y Determinantes, primera edición, Editorial Iberoamérica, México 1986. Mauro Hernán Henríquez, Matemática para noveno grado, sexta reimpresión UCA-Editores, El Salvador 2007, 363 p.

www. didactika.com www.descartes.com www.sectormatematico.com http://es.wikipedia.com

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