OPTICA GEOMÉTRICA Física de 2º de Bachillerato

La luz se propaga en el vacío a la velocidad de la luz, que es constante, nunca se detiene. Da igual a qué velocidad persigamos un rayo de luz; siempre se alejará de nosotros a la velocidad de la luz. La óptica geométrica explica los fenómenos luminosos a partir del concepto de rayo. El rayo es la trayectoria que sigue la luz en su propagación. Optica geométrica

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INDICE

1.Introducción. 2.Reflexión y refracción de la luz. 3.Conceptos previos y criterio de signos. 4.Dioptrio esférico y plano. 5.Espejos. 6.Lentes delgadas. 7.El ojo humano y sus defectos. 8.Instrumentos ópticos. Optica geométrica

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1. INTRODUCCIÓN La luz se propaga en línea recta en un medio homegéneo e isótropo. Rayo es una línea imaginaria en la dirección de propagación de la luz. La óptica geométrica explica el comportamiento macroscópico de la luz a partir del concepto de rayo.

La medida de la velocidad de la luz: Galileo, O. Roemer, Bradley, Fizeau, Foucaul y Michelson. Actualmente se acepta

c 2,99792456 108 m / s Optica geométrica

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Indice de refracción de un medio transparente es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en dicho c medio v. n v

El índice de refracción siempre es mayor que 1. En el vacío la velocidad de la luz es la misma para cualquier longitud de onda.

En cualquier otro medio la velocidad depende de la longitud de onda. Cuando la luz se propaga en un medio material la frecuencia no varía. La frecuencia depende de la fuente y no del medio, y si cambia la velocidad es que cambia la longitud de onda. c v

0

f

c fOptica geométrica v n

0

5

2. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ REFLEXIÓN DE LA LUZ

• El rayo indicente, el reflejado y la normal están en el mismo plano. • El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. N B

A r

i

O

Optica geométrica

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REFRACCIÓN DE LA LUZ

• El rayo indicente, el refractado y la normal están en el mismo plano. • El producto del índice de refracción del primer medio por el seno del ángulo de incidencia es igual al índice de refracción del segundo medio por el seno del ángulo de refracción. A

n1 sen iˆ n2 sen rˆ

N i

n1 n2

- Invariante de refracción.

O r

B

- Cuando un rayo pasa a un medio más refringente se acerca a la normal. Optica geométrica

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REFLEXIÓN TOTAL

Cuando un rayo pasa a un medio menos refringente se aleja de la normal. Existirá un ángulo, ángulo límite, a partir del cual no se produce refracción y solo se produce reflexión total. n1 sen Lˆ

N

Lˆ

i n2

O

90º

n2 sen 90º

n2 arcsen n1

n1

L A

B

Optica geométrica

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E1. Un rayo monocromático incide en la cara vertical de un cubo de vidrio de índice de refracción n’ = 1,5. El cubo está sumergido en agua (n = 4/3) ¿Con qué ángulo debe incidir para que en la cara superior del cubo haya reflexión total? R: 31,33º E2. Los índices de refracción para el agua y para el vidrio Crown con luz de 589 nm son nagua = 1,333 y nvidrio = 1,52 respectivamente. Calcular: a) La velocidad de la luz en estos dos materiales. b) El índice de refracción relativo de este vidrio respecto al agua. c) La longitud de onda de esa luz en ambos materiales R: 2,25·108 m/s y 1,97·108Optica m/s; 1,14; 449 nm; 387,5 nm geométrica 9

LAMINAS PLANO PARALELAS

Se trata de dos refracciones sucesivas en láminas paralelas. - El ángulo de emergencia es igual al ángulo de incidencia. - Queda por determinar la desviación del rayo n1 sen iˆ rˆ rˆ '

n2 sen rˆ

N

n2 sen rˆ

n1sen iˆ '

A

AB sen ˆ ˆ iˆ rˆ

iˆ iˆ '

i n1 n2

r r’ e

AB n1

B

e cos rˆ

e

sen (iˆ rˆ) cos rˆ

i’

N’ Optica geométrica

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PRISMA OPTICO

Son dos refracciones sucesivas en láminas no paralelas. - Cálculo del ángulo de emergencia i’, desviación mínima

min

- Determinación de n a partir de la desviación mínima.

1 i

1 sen iˆ n sen rˆ ˆ rˆ rˆ ' n sen rˆ ' 1 sen iˆ '

ˆ

ˆ

ˆ

iˆ rˆ iˆ ' rˆ '

ˆ iˆ iˆ ' ˆ Desviación mínima

i’ r’

r

ˆ

min

iˆ

1

n

2iˆ ˆ

rˆ rˆ '

ˆ

min

Optica geométrica

ˆ

2 rˆ

ˆ

2 n sen rˆ

1 sen iˆ ˆ ˆ sen min 2

iˆ iˆ '

n sen

sen

ˆ 2

n

ˆ

min

ˆ

2 ˆ sen 2 11

E3. Sobre una lámina de vidrio de caras planoparalelas, de espesor 2 cm y de índice de refracción n=3/2 situada en el aire, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de 30º con respecto a la normal. Determina la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina y el desplazamiento lateral del rayo emergente. R: 2.12 cm; 0,387 cm E4. Un rayo de luz monocromática incide sobre una cara lateral de un prisma de vidrio, de índice de refracción n = √2 . El ángulo del prisma es a = 60º. Determina: a) El ángulo de emergencia a través de la segunda cara lateral si el ángulo de incidencia es de 30º. (Efectuar un esquema grafico de la marcha del rayo) b) El ángulo de incidencia para que el ángulo de emergencia del rayo sea 90º. Optica geométrica 12 R: 63,6º; 21,47º

3. CONCEPTOS PREVIOS Y CRITERIO DE SIGNOS DIOPTRIO son dos medios transparentes, homogéneos e isótropos, con índices de refracción distintos separados por una superficie plana o esférica. El centro de la superficie esférica se llama centro de curvatura del dioptrio, C. El conjunto de varios dioptrios es un sistema óptico. El eje común de todos los dióptrios se denomina eje óptico. El vértice o centro óptico del dioptrio es la intersección del dioptrio esférico con el eje óptico, O. Imágenes reales y virtuales. Optica geométrica

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Las imágenes se nombran igual que los objetos pero con el signo «prima». Los puntos se señalan con mayúscula, las distancias con minúscula (excepción el radio R). Los ángulos con letras griegas o en cursiva. La luz se propaga de izquierda a derecha. Para determinar el signo de las distancias se utiliza un sistema cartesiano con el eje óptico de abscisas y origen en el centro óptico. El signo de los ángulos será positivo si es antihorario. Los ángulos de incidencia, reflexión y refracción al contrario. Optica geométrica

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4. DIOPTRIO ESFÉRICO Y PLANO DIOPTRIO ESFÉRICO

Rayos paraxiales n sen iˆ iˆ

ˆ

ˆ

iˆ '

n ' sen iˆ '

sen

n iˆ n ' iˆ ' n ˆ iˆ ˆ ˆ n ˆ' iˆ ' ˆ ˆ '

tg ˆ

ˆ

h R

h s

Optica geométrica

n' n'

ˆ

ˆ' h R

h s'

n' s'

n s

n' n R

15

Optica geométrica 16

DIOPTRIO ESFÉRICO

4. DIOPTRIO ESFÉRICO Y PLANO

DISTANCIAS FOCALES

Foco imagen F’ es el punto donde se juntan los rayos que proceden del infinito. Si s=- entonces s’=f’ n' f'

n

n' n R

f' R

n' n' n

Foco objeto F es el punto donde donde deben pasar los rayos para que salgan paralelos. Si s=f entonces s’= n'

Dividiendo y sumando ambas expresiones

n f

n' n R f' f

f n' n

R

n n' n

f' f

R

Si en la ecuación del dioptrio se dividen los dos miembros por f' f el segundo se obtiene la ecuación de Gauss 1 s'

Optica geométrica

s

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TAMAÑO DE LAS IMÁGENES

Aumento lateral, ML, es la relación entre el tamaño de la imagen, y’, y el del objeto, y. iˆ

y ; rˆ s

sen rˆ tg rˆ

y' s'

y s

y' s'

y' y

sen iˆ tg iˆ

n iˆ n ' rˆ

n

n'

ML

ML

y' y

n s' n's

Aumento angular, M , es la relación entre el ángulo ' que forma el rayo emergente con el eje óptico y el ángulo que forma el correspondiente rayo incidente con el eje óptico. M

'

Invariante de Helmohltz

h ; s

'

h s' y' n'

Optica geométrica

'

M '

y n

s s' 18

DIOPTRIO PLANO

Si en la ecuación del dioptrio esférico hacemos el radio igual a infinito se tiene la ecuación del dioptrio plano n' n s' s

n' n R

y ML

y' y

n' s' n s' 1 n's

n s

N

y

y' n‘ n

s’

O’

s

O

Optica geométrica

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E5. En el centro de una esfera de ámbar de 2,5 cm de radio hay un insecto fosilizado, si su tamaño aparente es de 5 mm y el índice de refracción del ámbar es n=1,53 ¿Cuál es el tamaño real del insecto? Calcula la distancia focal imagen y la distancia focal objeto. R: -2,5 cm; 3,27 mm: 4,72 cm; -7,22 cm E6. Un pescador situado en su barca se encuentra a 2,5 m de altura sobre la superficie del agua, mientras un pez nada 1 m por debajo de ella. a) ¿A qué distancia sobre la superficie del agua ve el pez al pescador? b) ¿Y el pescador al pez? Índice de refracción del agua 1,33 R: 3,325 m; 0,75 m; Optica geométrica

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Datos:

R = -2,5 cm; n = 1,53; n' = 1; s = -2,5 cm n' n n' n s' s R 5 1,53 ( 2,53) y 1 ( 2,53)

Ecuación del dioptrío: y' n s' y n's Distancias focales: y ML

1 1,53 f'

1 1,53 2,5

f ' 4, 72 cm

y

1 s'

1,53 2,5 y

1

Optica geométrica

1 1,53 2,5

s'

2,5 cm

3, 27 cm

1,53 f'

1 1,53 2,5

f

7, 22 cm

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Datos: nagua = 1,33; s

2,5 cm; s = 1 cm

Ecuación del dioptrío plano:

n' s'

n s

El pez al pescador: n ' n 1,33 1 s' s s' 2,5 El pescador al pez: n' n 1 1,33 s' s s' 1

Optica geométrica

s ' 3,325 m

s ' 0, 755 m

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5. ESPEJOS ESPEJOS PLANOS

En los espejos el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. n iˆ n ' iˆ '

n

n'

A partir de la ecuación del dioptrio plano. n' s' ML

n s

s' y' y

s

ns' 1 n's

y'

y

Optica geométrica

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ESPEJOS ESFÉRICOS

A partir de la ecuación del dioptrio sustituyendo n’=-n. n' n s' s

n' n R

n s'

n s

n n R

1 1 s' s

Distancias focales. Si s=- , s’=f’ y si s=f, s’=+ . 1 1 s' s ML

2 R

f

f'

R 2

1 f y' y

n s' n's

ML

s' s Optica geométrica

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Construcción de imágenes con espejos esféricos

Optica geométrica

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E7. Delante de un espejo cóncavo de 50 cm de distancia focal, y a 25 cm de él, se encuentra un objeto de 1 cm de altura dispuesto perpendicularmente al eje de espejo. Hacer la construcción gráfica y calcular la posición y el tamaño de la imagen. R: 50 cm; 2; virtual/derecha/mayor

E8. A 20 cm. delante de un espejo convexo de 0.5 m de distancia focal se coloca un objeto de 1 cm. Calcula la posición, tamaño y el tipo de imagen formada por reflexión en el espejo. R: 14,28 cm; 0,7 cm; virtual/derecha/menor Optica geométrica

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6. LENTES DELGADAS Sistema óptico formado por dos dioptrios y al menos uno es esférico. Pueden ser convergentes, de bordes finos o divergentes, de bordes gruesos. Se aplica la ley del dioptrio dos veces. 1 1 s' s

A

1 (n 1) R1

1 R2

A’

C1 R2 s

C2

A1

n s '1

1 s

n 1 R1

1 s'

n s '1

1 n R2

R1 s’

1 1 s' s

s’1

Optica geométrica

1 (n 1) R1

1 R2 27

Distancias focales, aumento y potencia de una lente

Las distancias focales. Si s=1 f' ML

(n 1) y' y

1 R1

ns' n's

1 R2

y

ML

Potencia de una lente

1 f

s’=f’ y si s=f

(n 1)

1 R1

1 R2

s’=+ 1 1 s' s

1 f'

s' s

P

Optica geométrica

1 f '(m)

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Construcción de imágenes con lentes delgadas - Rayo que incide paralelo al eje óptico sale por el foco imagen F’. - Rayo que incide pasando por el foco objeto sale paralelo al eje. - Rayo que incide pasando por el centro óptico no se desvía.

Optica geométrica

- Las imágenes reales no se ven, se pueden proyectar en una pantalla. Se forman cuando los rayos convergen y se juntan. - Las imágenes virtuales se ven pero no pueden recogerse en una pantalla. Se forman cuando los rayos divergen y son sus prolongaciones las que se juntan.

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E9. Situamos un objeto de 2,0 cm de altura a 15 cm de una lente de 5 dioptrías. a) Dibujar un esquema con la posición del objeto la lente y la imagen. b) Calcular la posición de la imagen c) ¿Cuál es el aumento? ¿Qué tipo de imagen se forma? R: -60 cm; 4; virtual/mayor/derecha

E10. Se tiene una lente bicóncava con radios de curvatura de -20 y +40 cm. Su índice de refracción es de 1,8 y se coloca un objeto de 4 mm a 50 cm de la lente. Calcula: a) La potencia óptica de la lente. b) Dónde se forma la imagen. c) El tamaño de la imagen. Optica geométrica 30 R: -12,5 cm y 1 mm

Aberraciones ópticas

Geométricas: - Esférica: no coincide el foco marginal y el foco paraxial. - Coma: análogo a la aberración esférica para puntos que no están en el eje. - Astigmatismo: cuando pierde la simetría la onda esférica. - Curvatura de campo: es el efecto total o integral del astigmatismo. - Distorsión: cuando el aumento lateral no es el mismo en todas las direcciones.

Cromática: igual que la esférica pero debida a las diferentes longitudes de onda.

Optica geométrica

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7. EL OJO HUMANO Y SUS DEFECTOS Miopía El cristalino enfoca delante de la retina. El cristalino tiene demasiada curvatura o el ojo es mayor de lo normal. Un miope ve los objetos lejanos borrosos. Se usan lentes divergentes para corregirla.

Hipermetropía El cristalino enfoca detrás de la retina. El cristalino tiene poca curvatura o el ojo es menor de lo normal. Un hipermetrope ve los objetos próximos borrosos. Se corrige con lentes convergentes.

Optica geométrica

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Astigmatismo La cornea no es perfectamente esférica y el ojo no enfoca simultáneamente las líneas horizontales y verticales, también puede ser debido a la falta de esfericidad del cristalino. Se corrige con lentes cilíndricas.

Presbicia Es vista cansada. Pierde acomodación el cristalino. Los músculos ciliares se debilitan y disminuye la flexibilidad del cristalino. Los objetos próximos se ven con dificultad. Se corrige con lentes convergentes

Cataratas Es una patología. El cristalino pierde transparencia debido a la edad. Se corrige sustituyendo el cristalino por una lente artificial mediante intervención quirúrgica.

Optica geométrica

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E11. El ojo normal puede acomodar desde el infinito hasta 25 cm de él. Calcula el poder de acomodación, es decir la convergencia de una lente que, colocada delante del ojo, permita ver el punto próximo sin necesidad de acomodación. R: 4 D

E12. Un ojo miope tiene un punto remoto en 0,5 m y un punto próximo en 15 cm. Calcula las dioptrías de una lente divergente que se debe coloca delante del ojo para corregir su miopía, es decir, para que vea los objetos situados en el infinito sin necesidad de acomodación. R: -2 D Optica geométrica

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8. INSTRUMENTOS ÓPTICOS Lupa o microscopio simple - Formada por una lente convergente. El objeto debe colocarse entre el foco y la lente. - La imagen se forma a 25 cm delante de la lente y es virtual, derecha y mayor. - El aumento lateral es:

ML

s' s

ML

0, 25 f'

P 4

y’ y F

Optica geométrica

F’

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Microscopio - El objeto se coloca delante del foco del objetivo y forma una imagen real después de la distancia focal del ocular, que a su vez forma una imagen virtual, invertida y mayor a 25 cm.

f1 '

f 2 ' y las dos distancia focales son mucho menores que d, la distancia entre lentes.

- El aumento del microscopio es:

M

M1 M 2

M

25 d f1 f 2

d 25 f1 ' f 2 '

y F1

F2’

F1’ F2

y’

y’’

Optica geométrica

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Anteojo astronómico - El objetivo y el ocular son dos lentes convergentes

f1 '

f2 '

- El foco imagen del objetivo coincide con el foco objeto del ocular. - Produce una imagen: virtual, invertida y mayor. - El aumento angular

M

tg tg

f1 ' f2 '

F1’=F2

Optica geométrica

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Catalejo - El objetivo y el ocular son dos lentes convergentes, pero se intercalan dos lentes acromática, una en la distancia focal de la otra, que invierten la imagen - Produce una imagen: virtual, derecha y mayor. - El aumento angular es el mismo, que en el anteojo astronómico, pero positivo.

F1’ F2

38 Optica geométrica

Prismáticos - Acorta la longitud del catalejo don dos prismas en reflexión total.

Optica geométrica

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Anteojo de Galileo - El objetivo es una lente convergente y el ocular es divergente, para invertir la imagen - El foco imagen del objetivo coincide con el foco objeto del ocular. - Produce una imagen: virtual, derecha y mayor.

F1’=F2

Optica geométrica

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E13. Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas convergentes de igual distancia focal (f = 10 cm) separadas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1 cm se coloca delante de la primera lente a una distancia de 15 cm. Determine: a) La posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen formada por la primera lente. b) La posición de la imagen final del sistema, efectuando su construcción geométrica. R: 30 cm; -2 cm; real/invertida/mayor; infinito

Optica geométrica

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