Ondas sonoras armónicas Para describir el desplazamiento de una molécula de aire respecto a su posición de equilibrio usamos:

s ( x, t ) = sm cos ( kx − ω t ) Aquí sm representa el desplazamiento máximo a la derecha o la izquierda de la posición de equilibrio. Estos desplazamientos dan lugar a variaciones de densidad y presión del aire. Una onda de desplazamiento dada por la ecuación anterior implica una onda de presión dada por

∆p ( x, t ) = ∆pm sin ( kx − ω t ) En la ecuación, ∆p (presión acústica) representa el cambio en presión respecto a la presión de equilibrio y ∆pm es el valor máximo del cambio (amplitud de la onda de presión).

Ondas sonoras armónicas onda de desplazamiento

situación equilibrio llegada de la onda

El oído puede responder a presiones acústicas entre 3x10-5 Pa y 30 Pa. Las amplitudes ∆pm y sm están relacionadas por

∆pm = ( v ρω ) sm

La velocidad de una onda de sonido en un fluido está dada por onda de presión

v=

B

ρ

donde ρ es la densidad y B es el módulo de compresibilidad. En aire a temperatura de ambiente, v = 340 m/s.

Energía de ondas sonoras Para ondas en una cuerda, vimos que la energía total promedio de un segmento dx está dada por:

dE prom.

1 = µ ω 2 A2 dx 2

Podemos usar esta ecuación para ondas sonoras si hacemos los siguientes cambios:

µ dx → ρ dV A → sm

∴ dE prom.

1 2 2 = ρ ω s0 dV 2

Ondas sonoras en tres dimensiones Si una fuente puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, la energía a una distancia r está distribuida en una corteza de radio ∆r y área A=4πr2. Se define la intensidad por

I=

Pprom. A

=

Pprom. 4π r

2

Las unidades de I son W/m2.

Pero

Pprom. =

∆E prom. ∆t

1 y ∆E prom. = ρω 2 sm2 ∆V 2

En un tiempo ∆t, la energía se encuentra en el volumen ∆V=A∆r. Por lo tanto,

Pprom. I=

1 ρω 2 sm2 ( A∆ r ) 1 2 2 2 = = ρ vω sm A ∆t 2 1 1 ( ∆pm ) 2 2 = ρ vω sm = A 2 2 ρv

Pprom.

2

Ejemplo:

La bocina de un amplificador de guitarra tiene un diámetro de 30 cm y vibra con una frecuencia de 1 kHz y una amplitud de 0.020 mm. Suponiendo que las moléculas de aire próximas a la bocina tienen la misma amplitud de vibración, determina (a) la amplitud de presión acústica justo frente a la bocina, (b) la intensidad sonora en esta posición y (c) la potencia irradiada. Si el sonido se irradia uniformemente en la semiesfera frente a la bocina, calcula la intensidad a una distancia de 5m.

Nivel de intensidad y sensación sonora El oído humano responde a intensidades entre 10-12 W/m2 y 1 W/m2. Es conveniente en este caso usar una escala logarítmica para medir intensidades de sonido:

I β = 10 log I0 donde I0 es una intensidad de referencia que tomaremos igual a 10-12 W/m2 que es la intensidad umbral de audición.

Coherencia Dos fuentes son coherentes si están en fase o tienen una diferencia de fase constante (independiente del tiempo). Un ejemplo son dos bocinas conectadas al mismo amplificador. Si la diferencia en fase depende del tiempo, entonces las fuentes son incoherentes. Por ejemplo, dos bocinas alimentadas por diferentes amplificadores. En ese caso, la interferencia en un punto del espacio varía rápidamente pasando de constructiva a destructiva y viceversa, y no se observa ningún esquema de interferencia. En cada punto la intensidad resultante es la suma de las intensidades de las fuentes aisladas.

Diferencia en fase debido a la diferencia de trayectos

δ = (kx2 − ω t ) − (kx1 − ω t ) = k (x2 − x1 ) = k∆x δ = 2π

∆x = λ

∆x

λ

Si ∆x=0, λ, 2λ, 3λ, …=nλ, entonces

δ = 2π

nλ

λ

= 2π n, n = 0, 1, 2, …

En este caso la interferencia es constructiva.

Diferencia en fase debido a la diferencia de trayectos

∆x =

λ 2

Si ∆x = λ/2, 3(λ/2), 5(λ/2), …=(n+1/2)λ, entonces

( 1⎞ n + 1 2 )λ ⎛ δ = 2π = 2π n + , λ δ = π , 3π , 5π , …

⎜ ⎝

⎟ 2⎠

En este caso la interferencia es destructiva.

n = 0, 1, 2, …

Ejemplo: Dos bocinas están conectadas al mismo generador de ondas sinusoidales, por lo tanto oscilan en fase. En un punto que está a una distancia de 5 m de una bocina y a 5.17 m de la otra bocina, la amplitud del sonido procedente de cada bocina por separado es p0. Hallar la amplitud de la onda resultante si la frecuencia de las ondas sonoras es (a) 1000 Hz, (b) 2000 Hz. Solución: Usa

amplitud = 2 p 0 cos

δ = 2π

∆x

λ

δ 2

Ejemplo: Dos bocinas están frente a frente a una distancia de 90 cm del punto medio. Ambas están conectadas al mismo generador de ondas sinusoidales con frecuencia de 680 Hz. Localiza los puntos para los cuales la intensidad del sonido es (a) máxima y (b) mínima. Despreciar la variación de intensidad con la distancia y usar 340 m/s para la velocidad del sonido.

90 cm

90 cm

∆ x = ( 90 + x ) − ( 90 − x ) = 2 x