PARALELO de TRANSFORMADORES Norberto A. Lemozy 1 INTRODUCCIÓN De acuerdo a las definiciones usuales dos transformadores están en paralelo cuando están conectados a la misma red y alimentan a la misma carga, esta situación se muestra esquemáticamente en la figura 1.

A

B

Fig. 1. Transformadores en paralelo. La razón más común por la que se conectan transformadores en paralelo es el crecimiento de la carga; cuando ésta supera la potencia del transformador instalado se suele optar por disponer otra unidad en paralelo con la existente. El disponer de unidades en paralelo tiene las siguientes ventajas: • Frente a la falla de una unidad se puede seguir operando con la otra, aunque sea suministrando una potencia menor y atendiendo los servicios más importantes. En algunos servicios esenciales puede ser que, por razones de seguridad, los equipos se encuentren duplicados y hasta triplicados; ésta es una práctica muy común en aeronaves. • En general es más económico agregar una unidad a la ya existente que poner una nueva de mayor tamaño. • Si la demanda es muy variable y se dispone de varias unidades, se las puede ir agregando a medida de que la carga lo exige y reducir las pérdidas que resultan de operar una máquina de gran potencia a baja carga. Si la demanda tiene poca variación, siempre es más eficiente operar una unidad de gran potencia, que varias de menor potencia. Por otra parte, y para una dada potencia, siempre la instalación de varias unidades en más costosa, su operación es más compleja, y ocupa más espacio que una sola unidad. También debe considerarse que si se dispone de unidades en paralelo y se desea la continuidad del servicio, parcial o total, ante la falla de una de ellas, es necesario instalar el equipamiento de maniobra y protección adecuado. De lo anterior se desprende que la decisión de agregar un transformador en paralelo a uno ya existente, debe ser estudiada cuidadosamente.

1

2 CONDICIONES PARA LA PUESTA EN PARALELO Para la conexión en paralelo de dos transformadores, según el esquema de la figura 1, se deben cumplir condiciones, que, en orden de importancia son: 1º) Las tensiones secundarias deben estar en fase. 2º) Las relaciones de transformación deben ser iguales. 3º) Las tensiones de cortocircuito deben ser iguales. 4º) Las impedancias de cortocircuito deben tener el mismo ángulo de fase. La primera de las condiciones enunciadas es sine cua non, es decir que si no se cumple, no se puede hacer el paralelo, porque se produciría un cortocircuito; las demás admiten diferencias: la segunda muy pequeñas y la cuarta es muy poco importante. La primera condición tiene que ver con la forma en que se deben conectar los transformadores, mientras que las restantes determinan el comportamiento de los transformadores ya conectados en paralelo. Si bien no es una condición necesaria, las potencias de los transformadores deben ser próximas entre sí: 2 ó 3 a 1 como máximo, si hay mucha diferencia entre las potencias, salvo algún caso muy especial, seguramente no resultará económico hacer el paralelo, especialmente si hay diferencias, aunque leves, entre las tensiones de cortocircuito. 3 COINCIDENCIA DE FASE DE LAS TENSIONES SECUNDARIAS Como ya se dijo esta es una condición imprescindible, si no se cumple equivale a hacer un cortocircuito, por lo tanto se debe ser muy cuidadoso en su verificación. Se estudian primero los transformadores monofásicos y luego se extienden las consideraciones a los transformadores trifásicos. 3.1 Transformadores Monofásicos En la figura 2 se muestran dos transformadores monofásicos que para ser conectados en paralelo se debe cerrar el interruptor S.

A

B V U20A

U20B

∆ U20

S

Fig. 2. Verificación de la coincidencia de fase. Para que al cerrar el interruptor no circule corriente, o que lo haga en una forma no peligrosa, la diferencia de potencial ∆U20 entre sus contactos debe ser cero o muy pequeña comparada con la U2. 2

De acuerdo a la polaridad de los transformadores y a la forma en que se hicieron las conexiones el voltímetro indicará: ∆U 20 = U& 20 A − U& 20 B ≅ 0 (1) O ∆U 20 = U& 20 A + U& 20 B ≅ 2U 2 (2) De las dos posibilidades se debe cumplir la primera (1). Si en lugar de restarse las tensiones, éstas se suman, al cerrar el interruptor de paralelo se produciría un cortocircuito. Para evitar esto y hacer que las tensiones se resten, simplemente hay que permutar las conexiones de alguno de los primarios o de alguno de los secundarios de los transformadores. Lo anterior está relacionado con los bornes homólogos de los transformadores, en la figura 3 se muestran las dos situaciones posibles.

U

U

V

V

Polaridad Sustractiva

Polaridad Aditiva

u

v

u

v

Fig. 3. Bornes homólogos y tensiones. En los transformadores mas que los bornes homólogos, se identifican los terminales con letras normalizadas y además se indica la polaridad, la que puede ser aditiva o sustractiva. Si ambos transformadores tienen la misma polaridad, para que resulten bien conectados, se deben unir entre sí, los terminales designados con las mismas letras, como se muestra en la figura 4.

U

V U

V

A

B u

v u

v

Fig. 4. Conexión de transformadores de la misma polaridad. Pero como el riesgo de un error significa hacer un cortocircuito, siempre conviene hacer la medición del ∆U20 y comprobar que es cero o muy pequeña.

3

3.2 Transformadores Trifásicos En los transformadores monofásicos, las tensiones secundarias pueden estar en fase o en oposición, y por eso hay solamente dos posibilidades que las mismas se resten o se sumen; pero en los transformadores trifásicos el desfase entre las tensiones secundarias de ambos puede ser cualquier ángulo múltiplo de 30º, dependiendo de las conexiones de los mismos. Como se verá oportunamente, según sean las conexiones empleadas en el primario y en el secundario de un transformador trifásico, se obtienen distintos desfases, múltiplos de 30º, entre las tensiones del mismo. Los transformadores que producen el mismo desfase se dicen que pertenecen al mismo grupo de conexión y tienen la misma cifra de hora. Por lo dicho, la verificación de la coincidencia de fase entre las tensiones secundarias de los transformadores trifásicos, es un tanto más compleja. En la figura 5 se muestran esquemáticamente dos transformadores trifásicos con sus primarios alimentados de la misma red y con un puente entre dos terminales secundarios, que se supone deberían corresponderse. Al hacer el puente anterior, quedan cuatro bornes libres, si entre ellos se encuentran dos tensiones nulas, esos bornes se pueden unir entre sí y los transformadores quedarán en paralelo.

A

B

Fig. 5. Verificación de la coincidencia de fase en transformadores trifásicos. Si entre los cuatro terminales libres no se encuentran dos tensiones nulas, se debe cambiar el puente y unir otros dos terminales, como se indica en la figura 5 con una línea de trazos. Si entre los nuevos cuatro terminales no se encuentran dos tensiones nulas se debe volver a cambiar el puente al tercer terminal del segundo transformador y repetir las mediciones. Si el procedimiento anterior no da resultados satisfactorios de deben permutar dos conexiones primarias de uno de los transformadores, como se muestra en la figura 6 y repetir todas las mediciones anteriores. Si tampoco se tienen dos tensiones nulas entre los bornes libres de los secundarios, se deben permutar otras dos conexiones de un primario, como se indica con líneas de trazos en la figura 6, y si esto no da los resultados esperados, se prueba permutando las últimas dos conexiones primarias y se repiten todas las mediciones. Si aún esto no da dos tensiones nulas, no se podrán unir los bornes libres debido a que los transformadores son de grupos incompatibles entre sí y no se pueden conectar en paralelo.

4

A

B

Fig. 6. Verificación de la coincidencia de fase en transformadores trifásicos. Si los transformadores pertenecen al mismo grupo de conexión, para la conexión en paralelo se deben unir los terminales designados con las mismas letras, como se muestra en la figura 7, pero como existe el riesgo de hacer un cortocircuito, siempre conviene verificar la nulidad de la diferencia de potencial entre los bornes que se van a unir entre sí.

A

U u

V v

W w

U u

V v

W w

B

Fig. 7. Transformadores del mismo grupo de conexión. Por lo expuesto, para el caso de transformadores trifásicos, esta primera condición de puesta en paralelo se suele expresar diciendo que los transformadores deben pertenecer al mismo grupo de conexión o a grupos compatibles entre sí.

5

4 REPARTO DE CARGAS A continuación se analiza el comportamiento de dos transformadores monofásicos, que cumplen la primera condición y se encuentran conectados en paralelo. Para facilitar el estudio, primero se supondrá que los transformadores tienen igual relación de transformación. Estos razonamientos también son aplicables a transformadores trifásicos que operen con cargas balanceadas, ya que en ese caso se estudia lo que ocurre en una de las fases, como si se tratase de transformadores monofásicos. Si las cargas no son balanceadas hay que hacer otros análisis, que se verán en otra oportunidad. 4.1 Transformadores con Igual Relación de Transformación En lo que sigue se supone que: a A = aB = a

(3)

Como se supone que los transformadores operan con una carga importante, se pueden utilizar circuitos equivalentes aproximados, sin rama en paralelo.

Z& 0 = ∞ z&e = 1 & ye

(4)

Si se representa cada transformador por su admitancia serie ye se puede calcular en forma genérica la corriente a través de cada uno de ellos. Sean N transformadores en paralelo, figura 8.

I

I1 I2 I3

Y1 Y2 Y3

IN

YN ∆U

Fig. 8. Circuito equivalente de N transformadores en paralelo. Llamando Y a la admitancia total: N

Y& = ∑ Y&k k =1

(5)

La caída de tensión en el banco de transformadores será: I& ∆U& = Y&

(6)

Entonces la corriente en el transformador k será: Y& I&k = Y&k ⋅ ∆U& = k ⋅ I& Y&

6

(7)

En el caso muy frecuente de tener solamente dos transformadores en paralelo, se puede trabajar directamente con sus impedancias equivalentes serie, obtenidas de los ensayos en cortocircuito de cada uno de ellos. En este caso, de igual relación de transformación, el circuito equivalente de los dos transformadores en paralelo, referido al secundario, es el mostrado en la figura 9.

zA

I 2A I2

zB U2

I 2B

U1 /a = U20

Fig. 9. Circuito equivalente de dos transformadores en paralelo con igual relación de transformación. Trabajando con las impedancias equivalentes de cada transformador, la expresión (7) queda: z& B ⋅ I&2 z& A + z& B z& A = ⋅ I&2 z& A + z& B

I&2 A = I&2 B

(8)

Que son expresiones de un divisor de corriente de dos impedancias. La tensión de salida será: U& U& U& 2 = 1 − z& A ⋅ I&2 A = 1 − z& B ⋅ I&2 B a a

(9)

Si se hace el cociente de las dos expresiones anteriores se llega al también conocido hecho de que las corrientes se reparten en función inversa a las impedancias de cada rama: I&2 A z& B = I&2 B z& A

(10)

El diagrama fasorial de estos dos transformadores en paralelo, con una carga de naturaleza inductiva, es el mostrado en la figura 10, donde se supuso iguales los ángulos de fase ϕcc de cada transformador, 4ª condición.

ϕccA= ϕccB

0 ϕ2 I 2B

U 20 = U1/a j x A I 2A = j x B I 2B

U2 rA I 2A = rB I 2B

I 2A I2

Fig. 10. Diagrama fasorial de dos transformadores en paralelo, con igual relación de transformación y ϕcc. 7

En el diagrama fasorial de la figura 10, como todos los otros del presente capítulo, los triángulos de caídas de tensión se muestran más grandes de lo que en realidad son a fin de clarificar el dibujo. 4.1.1 Transformadores con Igual Relación de Transformación y Distinto ϕcc

Si los ángulos de fase de las impedancias equivalentes de cada transformador son distintos, las corrientes secundarias de los mismos no estarán en fase, figura 11, lo que significa que la corriente resultante I2 en la carga será ligeramente menor que si los transformadores aportasen corrientes en fase, como se mostró en el diagrama fasorial de la figura 10.

j x A I 2A ϕ ccB

ϕ ccA

0

ϕ2

U2

I 2B

θAB

U 20 = U1/a j x B I 2B I 2B ϕ ccA− ϕ ccB = θAB

rA I 2A rB I 2B

I 2A

I 2A I2

Fig. 11. Diagrama fasorial de dos transformadores en paralelo, con igual relación de transformación y distintos ϕcc. Como ya se mencionó en el punto 2 la igualdad de ángulos de fase tiene poca influencia en la corriente de carga resultante lo que se puede mostrar con un ejemplo numérico. Supóngase dos transformadores con las siguientes relaciones entre las reactancias y resistencias equivalentes. xA = 10 → ϕ ccA = 84,29° rA x = B = 3 → ϕ ccB = 71,57° rB

tgϕ ccA = tgϕ ccB

(11)

En el diagrama fasorial de la figura 11 se puede observar que el ángulo de desfase entre las corrientes de los transformadores es la diferencia de los ángulos de cortocircuito, que en este ejemplo resulta:

θ AB = ϕ ccA − ϕ ccB = 12,72°

(12)

Suponiendo que los dos transformadores aportan la misma corriente, la corriente resultante vale, figura 12:

θAB / 2 0

I 2B A

I2

θAB I 2A

Fig. 12. Corriente resultante con distintos ϕcc.

8

Donde:

θ I&2 = 2O A = 2 I&2 B ⋅ cos AB = 2 I&2 B ⋅ 0,9938 2

(13)

En cambio, si se cumple la cuarta condición y los ángulos de cortocircuito son iguales, como se mostró en la figura 10, la corriente resultante sería I&2 = 2 I&2 B

(14)

Comparando las expresiones (13) y (14) se observa que cuando los ángulos de cortocircuito son diferentes, la corriente resultante es aproximadamente un 0,62 % menor que cuando son iguales, a pesar de la gran diferencia entre las resistencias y reactancias equivalentes supuestas en este ejemplo (11). Ésta es la razón por la cual a la 4ª condición prácticamente casi nunca se la tiene en cuenta. Un corolario del razonamiento anterior se puede aplicar al cálculo de las corrientes dadas por las expresiones (8) en donde se puede trabajar con los módulos de las impedancias sin cometer un error apreciable y simplificar el cálculo.

z& B uccB z& B ≅ = z& A + z& B z& A + z& B uccA + uccB

(15)

En la expresión (15) se muestra que los módulos de las impedancias de cortocircuito pueden reemplazarse por las respectivas tensiones de cortocircuito, cuando están medidas desde el mismo lado del transformador o referidas a la misma base de tensión, como es lo habitual. 4.1.2 Transformadores con Igual Relación de Transformación y Distinta Ucc

Cuando las tensiones de cortocircuito son distintas, se produce un desaprovechamiento de la potencia nominal de alguno de los transformadores del paralelo, lo que puede significar una importante pérdida de potencia del conjunto. En el circuito equivalente de la figura 9, se observa que las caídas de tensión ∆U en las impedancias equivalentes de los transformadores en paralelo, deben ser iguales: ∆U& = z& A ⋅ I&2 A = z& B ⋅ I&2 B

(16)

De donde resulta que las corrientes se reparten en forma inversa a las impedancias de cada uno de los caminos: z& A I&2 B = (17) z& I& B

2A

Relación que también se puede escribir tomando los módulos, y como U2A y U2B son iguales resulta: z A I 2 B I 2 B ⋅U 2 B S B = = = (18) z B I 2 A I 2 A ⋅U 2 A S A En realidad, y para maximizar el aprovechamiento de las máquinas, la igualdad de caídas de tensión dadas en (16) se debe cumplir cuando por ambos transformadores circulan las corrientes nominales respectivas, es decir:

z A ⋅ I 2 An = z B ⋅ I 2 Bn

9

(19)

Pero los productos de las impedancias equivalentes por las corrientes nominales son las tensiones de cortocircuito, entonces la expresión (19) equivale a decir que (como indica la condición 3 del punto 2):

U ccA = U ccB

(20)

Las relaciones (17) a (20) son válidas tanto en valores absolutos, como en °/1 y % y como las tensiones nominales de los transformadores deben ser iguales, esos valores relativos pueden estar referidos a las bases de cada uno de los transformadores. En efecto, considerando la relación (18): zA U S B S An z A S An ⋅ = ⋅ = S A S Bn z B S Bn

2 2n

S An

zB U 22n

⇒

S B [01 ] z A [01 ] U ccA [01 ] = = S A [01 ] z B [01 ] U ccB [01 ]

(21)

S Bn

O sea, el transformador que alcanza el mayor nivel de carga es el de menor tensión de cortocircuito. A modo de ejemplo se analiza el comportamiento de un banco de dos transformadores monofásicos en paralelo y de las siguientes características:

SAn = 50 kVA

UccA = 4 %

SBn = 100 kVA

UccB = 5 %

(22)

El transformador A, de menor tensión de cortocircuito, es el de menor impedancia y por lo tanto el que primero llegará a su potencia nominal. Supóngase que se encuentra suministrando dicha potencia nominal:

SA = SAn = 50 kVA = 1 °/1

(23)

En esas condiciones, y de acuerdo a la expresión (18), el transformador B estará suministrando:

SB =

U ccA 0,04 SA = 1 = 0,8 01 = 80 kVA U ccB 0,05

(24)

Entonces la potencia que se puede obtener de los dos transformadores en paralelo será de 130 kVA en lugar de los esperados 150 kVA. Si se aumenta la carga del banco, el transformador A resultará sobrecargado. En este ejemplo se ve cómo una pequeña diferencia en las tensiones de cortocircuito puede dar lugar a una importante pérdida de potencia disponible. El caso expuesto es particularmente inconveniente porque el transformador de menor potencia es el de menor tensión de cortocircuito, lo que en general ocurre a partir de los 5 kVA, y al tomar más carga limita la potencia del transformador más grande. Para evitar situaciones desventajosas como la mostrada en este ejemplo, y para mejorar el reparto de la carga, en algunas oportunidades, se colocan reactancias en serie con el

10

transformador de menor impedancia, pero no deja de ser un paliativo, lo mejor es usar transformadores con tensiones de cortocircuito iguales o muy próximas entre sí. 4.2 Transformadores con Distinta Relación de Transformación

En este caso: a A ≠ aB

(25)

Si bien se supone que las relaciones de transformación son diferentes, como se verá enseguida, las diferencias deben ser muy pequeñas. El circuito equivalente de la figura 9 se debe modificar para tener en cuenta que lasa tensiones primarias referidas, no son iguales. Una forma de presentarlo es como se muestra en la figura 13.

zA

I 2A I2

zB U1 /a A

I 2B U1 /a B

U2

Fig. 13. Circuito equivalente de dos transformadores en paralelo con distinta relación de transformación. Se trata de un clásico circuito de dos mallas, tres impedancias y una fuente en cada malla, que para resolverlo y obtener las corrientes en cada transformador, se puede seguir cualquiera de los métodos estudiados en electrotecnia. Aplicando las ecuaciones de Kirhhoff resulta: U& U& 2 = 1 − z& A ⋅ I&2 A aA U& U& 2 = 1 − z& B ⋅ I&2 B aB &I = I& + I& 2 2A 2B

(26)

De donde: z& B z& A + z& B z& A = z& A + z& B

I&2 A = I&2 B

∆U& 20 = U& 20 A

∆U& 20 ⋅ I&2 + = I&2* A + I&C 2 z& A + z& B ∆U& 20 ⋅ I&2 − = I&2*B − I&C 2 z& A + z& B U& U& − U& 20 B = 1 − 1 a A aB

(27)

Donde ∆U20 es la diferencia entre las tensiones secundarias, es decir la tensión que indicaría el voltímetro de la figura 2, cuando los transformadores están bien conectados. Observando las ecuaciones (27) se puede apreciar que las corrientes en los transformadores tienen dos componentes: la primera I* es consecuencia de la corriente de carga I2 y por ese motivo se la 11

denomina componente de carga; mientras que la segunda IC2, que se debe a la diferencia entre las relaciones de transformación, se la denomina corriente de circulación, existe aunque no haya carga y limita la potencia disponible de los transformadores y aumenta las pérdidas. Planteadas las ecuaciones como están en (27), la corriente de circulación se suma al transformador de mayor U20 , es decir el de menor relación de transformación y se resta en el otro. A fin de mostrar más gráficamente lo dicho más arriba respecto a las ecuaciones (27), en la figura 14 se muestra el circuito equivalente de la figura 13, dibujado con las fuentes a ambos lados y cuando los transformadores aún no están conectados en paralelo. En el circuito de la figura 14 no circula corriente y se puede observar la tensión ∆U20 .

∆ U20= U20A- U 20B zA U20A=

zB

U1 aA

U20B =

U1 aB

Fig. 14. Circuito equivalente de dos transformadores sin conectar en paralelo Si se conectan los transformadores en paralelo, pero no la carga, figura 15, debido a la tensión diferencia ∆U20 aparece la corriente de circulación IC2 entre ambos transformadores y la tensión a la salida vale U20 de valor intermedio a las tensiones en vacío U20A y U20B .

I C=

∆ U20 z A+ z B

zA

U20A=

U1 aA

zB

U20

U20B =

U1 aB

Fig. 15. Circuito equivalente de dos transformadores en paralelo y sin carga. Como la corriente de circulación recorre el circuito de baja impedancia de los transformadores, pequeñas diferencias de tensiones pueden causar importantes corrientes. Cuando al grupo se le pone la carga, aparecen las componentes de carga I*, que se agregan a la corriente de circulación y se modifica la tensión de salida U2 .

12

I 2A = I *2A+ I C

zA

I 2B = I *2B- I C

zB I2

U20A=

U1 aA

U2

ZC

U20B =

U1 aB

Fig. 16. Circuito equivalente de dos transformadores en paralelo con carga y distinta relación de transformación. De las ecuaciones (27) resulta que la corriente de carga vale: I&2 = I&2 A + I&2 B = I&2* A + I&2*B

(28)

El ángulo de fase de la corriente de circulación está determinado por las impedancias internas de los transformadores, las que normalmente son muy reactivas y en consecuencia dicho ángulo es bastante grande. tan ϕ C =

x A + xB rA + rB

(29)

La corriente de circulación de las expresiones (27), es la que circula por los secundarios, la que también se refleja a los primarios, como se muestra en la figura 17. La relación entre ambas está dada por las relaciones de transformación. Si no hay carga, la fuente que alimenta a los primarios es la que aporta las corrientes magnetizantes, las pérdidas en vacío de ambos transformadores y las pérdidas en el cobre originadas por la corriente de circulación.

U20A> U20B I C1

A

B

I C2

Fig. 17. Camino de las corrientes de circulación. Para mostrar lo anterior, y a modo de ejemplo, si se supone una corriente de circulación límite del 10%, que es un valor bastante elevado, y los transformadores tienen una impedancia de cortocircuito del 5%, la diferencia de tensiones máxima admisible será: ∆U 20 = (z A + z B ) ⋅ I C 2 = (0,05 + 0,05) ⋅ 0,1 = 0,01 = 1%

13

(30)

Es decir una diferencia de solamente el 1 % de las tensiones nominales. Esta es la razón por la cual se debe conocer muy exactamente la relación de transformación de los transformadores que van a operar en paralelo a fin de poder calcular las tensiones secundarias con el menor error posible. Es interesante destacar que precisamente el error admitido en las normas IRAM, en la relación de transformación de transformadores de distribución es 0,5%, y en general estos tienen tensiones de cortocircuito del orden de 4 a 6 %. Si las relaciones de transformación y las tensiones secundarias se determinan con voltímetros, con un error relativo del 0,5%, el error en ∆U20 cae dentro del 1% anterior y se pueden producir corrientes de circulación indeseadas. Por eso para determinar la relación de transformación de transformadores, que van a operar en paralelo, se utilizan divisores de tensión, denominados “relaciómetros” que dan errores del 0,1% o menores. Como ya se dijo, aunque el banco esté en vacío, existe la corriente de circulación que produce pérdidas en el cobre que se sumarán a las del hierro y limita la capacidad de carga de los transformadores; y en esas condiciones la tensión de salida U20 toma un valor intermedio entre las dos tensiones de vacío, en efecto si I2 = 0 resulta: I&2 A = I&C 2 I&2 B = − I&C 2

(31)

Reemplazando en las ecuaciones (26): U& 1 = U& 20 + z& A ⋅ I&C 2 aA U& = 1 = U& 20 − z& B ⋅ I&C 2 aB

U 20 A = U 20 B

(32)

El diagrama fasorial en vacío es el de la figura 18, donde se han ampliado los triángulos de caídas de tensión para mayor claridad del dibujo.

-zB IC

-IC

U 20B = U1/a B ϕc

U 20A = U1/a A zA I C

U 20 ∆ U20

IC

Fig. 18. Diagrama fasorial en vacío. Si los ángulos de fase de cortocircuito de ambos transformadores son iguales ϕccA = ϕccB la tensión U20 quedará en fase con la U1 y si además: rA = rB x A = xB

(33)

Los triángulos de caídas serán iguales y la tensión secundaria será la semisuma de las dos tensiones en vacío, figura 19.

14

-IC U 20B = U1/a B ϕc

U 20A = U1/a A U 20 ∆ U20

IC

Fig. 19. Diagrama fasorial en vacío con parámetros iguales. En el caso general, con carga inductiva, el diagrama fasorial resulta como se muestra en la figura 20.

∆ U20

-IC U 20B = U1/a B I 2B

IC I *2B

U2 r I A 2A

ϕ2

r BI 2B

U 20A = U1/a A jx AI 2A jx B I 2B

I *2A I 2A

I2

Fig. 20. Diagrama fasorial con carga inductiva. Como ya se dijo, y por razones de claridad de dibujo, los triángulos de caídas de tensión se muestran más grandes de lo que deben ser y por el mismo motivo, en estos últimos diagramas fasoriales, la corriente de circulación también se la muestra más grande de lo que debería ser. En el diagrama fasorial de la figura 20 la corriente de circulación IC es constante en módulo y ángulo, mientras que las corrientes I*2A e I*2B dependen de la corriente I2 en módulo y ángulo; en efecto si se tiene la misma corriente de carga pero con otro factor de potencia, el paralelogramo sombreado rotará sin cambiar sus dimensiones, como se muestra en la figura 21 en la que se supuso una carga capacitiva.

15

I2 I 2B I *2B

I *2A

∆ U20

I 2A

-IC

U 20B = U1/a B jx B I 2B

ϕ2

IC

U2 r I B 2B

U 20A = U1/a A jx A I 2A r AI 2A

Fig. 21. Diagrama fasorial con carga capacitiva. En el diagrama fasorial de la figura 21 la corriente de circulación y los módulos de las componentes de carga no han cambiado, pero si lo han hecho las corrientes resultantes en cada uno de los transformadores y la tensión de salida. Como las impedancias de los transformadores son fundamentalmente reactivas, la corriente de circulación resulta muy atrasada respecto a U& 1 y ∆U& 20 por lo tanto sus efectos son más notorios cuando la corriente I& también está muy desfasada de la tensión y menos importantes en el caso 2

de cargas resistivas.

16

5 APROXIMACIONES

Para facilitar la resolución de casos de transformadores en paralelo, se suelen realizar algunas simplificaciones; como la ya mencionada relación de impedancias (15) que se puede resolver con los módulos sin cometer un error apreciable. Los datos necesarios de cada transformador son:

re

Sn U 1n y U 2 n ó U 1n y a y xe ó U cc y ϕ cc ó U cc y Pcc

La carga del banco suele darse de distintas formas, lo que puede presentar algunas indeterminaciones, por ejemplo para aplicar las ecuaciones (8), (9), (26) o (27) se puede tomar al fasor U& 1 con ángulo cero: U& 1 = U 1∠0

(34)

Pero el ángulo del fasor I&2 , dado por el factor de potencia de la carga, queda indeterminado porque no se conoce el ángulo del fasor U& 2 , a partir del cual se debe tomar ϕ2. Pero como la diferencia de fase entre las tensiones de entrada y salida es muy pequeña, no se comete un error apreciable al suponer que ambas tensiones coinciden y tomar a la corriente de carga como: I&2 ≅ I 2 ∠ − ϕ 2

(35)

Otra indeterminación se presenta cuando la carga del banco está dada en forma de potencias activa y reactiva, o aparente y el ángulo de fase. En el primer caso, el ángulo de fase, se puede calcular haciendo:

ϕ 2 = arc tan

Q P

(36)

Pero para calcular la corriente I2 se necesita la tensión de salida U2 y como no se la tiene, se debe suponer un valor de tensión, por ejemplo para transformadores de igual relación de transformación y cargas inductivas, se puede tomar 2 ó 3 % menor que la tensión de salida en vacío, ó 1 ó 2 % superior si la carga es capacitiva, o simplemente tomar la tensión de salida en vacío. Con ese valor de tensión supuesto se calcula la corriente de carga y se resuelve el circuito. Si los transformadores tienen distinta relación de transformación, la tensión U2 se puede aproximar, para cargas inductivas, a la tensión secundaria en vacío del transformador que entrega la menor tensión (mayor a) y para cargas capacitivas a la del otro transformador. Una vez resuelto el problema, se debe verificar que la tensión de salida resultante se encuentra próxima al valor supuesto, en el caso de haber una diferencia apreciable, se debe rehacer el cálculo con el nuevo valor de tensión, es decir hacer una o más iteraciones hasta que los resultados sean satisfactorios. Si se dispone como dato la impedancia de la carga, o ésta se puede calcular fácilmente, en general es más sencillo resolver el circuito equivalente de los transformadores en paralelo, de la forma clásica, aplicando mallas, nodos o cualquier otro método de la electrotecnia. 6 BIBLIOGRAFÍA

EE Staff del MIT: “Circuitos Magnéticos y Transformadores” Editorial Reverté, 1943. Ing. Norberto A. Lemozy 2010 17