Parte I

Conceptos sobre Electromagnetismo

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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on Conceptualmente sabemos que la energ´ıa es la capacidad para efectuar un trabajo. Existen diferentes formas en que la energ´ıa se manifiesta, dentro de las cuales la forma el´ectrica y la forma mec´anica resultan relevantes. Las M´aquinas El´ectricas han sido y contin´ uan siendo el medio pr´actico relevante a fin de transformar, convertir, energ´ıa el´ectrica en energ´ıa el´ectrica o energ´ıa el´ectrica en energ´ıa mec´anica y viceversa. Se considera que una m´aquina convertidora de energ´ıa es el´ectrica cuando SIEMPRE emplea un enlace intermedio a trav´es de un campo magn´etico (energ´ıa magn´etica) a fin de realizar la conversi´ on. El proceso entonces es necesariamente de la forma: ENERG´IA ENERG´IA ⇐⇒ ⇐⇒ ´ ´ MAGNETICA ELECTRICA

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´ ENERG´IA ELECTRICA ´ ENERG´IA MECANICA

Si la m´aquina transforma energ´ıa bajo forma mec´anica a energ´ıa bajo forma el´ectrica se le llama GENERADOR. Mientras que si realiza el proceso inverso, energ´ıa bajo forma el´ectrica a energ´ıa bajo forma mec´anica se le llama MOTOR en el caso que el movimiento no tenga restricciones, mientras que si tuviera restricciones se le denomina ACTUADOR. Finalmente, cuando la m´aquina transforma energ´ıa el´ectrica en energ´ıa el´ectrica se le denomina TRANSFORMADOR. La era de la aplicaci´on industrial y comercial de las M´aquinas El´ectricas comienza en 1870 con Thomas Edison qui´en desarrollo comercialmente generadores de c.d a fin de brindar iluminaci´on a trav´es de su invento: la l´ampara incandescente. Impl´ıcitamente Edison es adem´as el pionero de los sistemas de distribuci´on el´ectrica. El segundo “moj´on”hist´ orico del desarrollo de las m´aquinas el´ectricas se debe a Nikola Tesla cuando en 1888 patenta el motor trif´asico de inducci´on. Impl´ıcitamente introduce la aplicaci´on industrial y comercial de la c.a, la cual en la d´ecada siguiente comienza su desarrollo explosivo en la expansi´on de las redes de transmisi´on de energ´ıa 3

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Introducci´ on a largas distancias, cuando Charles Steinmetz desarrolla la aplicaci´on de los Transformadores. Los conceptos b´asicos -electro-magn´etico-mec´ anicos- sobre las m´aquinas el´ectricas actuales son los mismos que se originaron en aquella ´epoca. Lo que ha tenido y tiene grandes desarrollos son los materiales y dise˜ no de detalle que se utilizan en la construcci´on de las m´aquinas, fundamentalmente, respecto a los materiales, en sus propiedades el´ectricas y magn´eticas. ´ Ultimamente en el tiempo, la “revoluci´ on del estado s´olido”ha permitido el desarrollo de mejoras significativas en el control de las m´aquinas. En u ´ltima instancia, las m´aquinas el´ectricas son uno de los instrumentos disponibles por los humanos con el fin de aumentar su capacidad de aprovechar los recursos, transformando y controlando la energ´ıa disponible en la naturaleza (para su bien o para su mal, pero esto u ´ltimo no es para nada tema de este curso).

´ n a la Electrote ´cnica Introduccio

Cap´ıtulo 2

Teor´ıa de Circuitos El´ ectricos en Estado Estable Senoidal Se supone que el estudiante conoce y domina con razonable fluidez la resoluci´on de circuitos excitados por fuentes de tensi´on y corrientes senoidales en r´egimen permanente o estacionario o estable, monof´asicos y/o trif´asicos a partir del curso de “Sistemas Lineales”1

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Si este no fuera el caso se recomienda, en forma urgente, un repaso del contenido sobre esta tem´ atica en el curso de Sistemas Lineales, para luego, como ejercicio, confirmar que domina totalmente lo tratado en este capitulo.

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Teor´ıa de Circuitos El´ ectricos en Estado Estable Senoidal

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Cap´ıtulo 3

Electromagnetismo Como ha sido mencionado, uno de los aspectos centrales y comunes en todas las m´aquinas el´ectricas es que su proceso de conversi´ on de energ´ıa electro-mec´anica lo realizan siempre “pasando”por la energ´ıa magn´etica. Se supone que el estudiante tiene un curso de Electromagnetismo donde conoce y domina los aspectos b´asicos del magnetismo, resoluci´on de circuitos magn´eticos y energ´ıa magn´etica. Sin embargo, dada la trascendencia de estos temas para el entendimiento del proceso que tiene lugar en las m´aquinas el´ectricas y dado que necesariamente los cursos b´asicos de Electromagnetismo presentan un “enfoque te´orico”, se realiza un “repaso”de los conceptos m´as importantes que deber´an ser aplicados y al mismo tiempo con un “enfoque”m´as pragm´atico de los mismos.

3.1.

Leyes Fundamentales

A continuaci´on se realiza un repaso de las principales leyes electromagn´eticas, necesarias para el desarrollo de las teor´ıas asociadas.

3.1.1.

Ley de Lorentz

Un campo magn´etico es un espacio de influencia donde cualquier carga el´ectrica en movimiento experimenta una fuerza dada por:  F Fuerza en Nw    − → − → q carga en Coulomb − (3.1) F = q→ u ∧ B ←→ u velocidad de la carga en m/s    B densidad de flujo magneticoen Wb/m2 Si la carga el´ectrica fluye en un conductor dando lugar a una corriente I medida en Amperes, y el conductor se encuentra inmerso en un campo → − magn´etico uniforme B medido en Wb/m2, el conductor tiene una longitud l (metros) y la corriente circula normal al campo, entonces la fuerza vale 7

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Electromagnetismo − → → − − → F = l · I ∧ B (Nw) por lo cual resulta normal al plano [IB]. En este caso decimos que el sistema conductor-campo es bien comportado1 .

3.1.2.

Ley de Biot-Savat

El movimiento de cualquier carga el´ectrica (flujo de corriente), establece − → en el espacio de un medio cualquiera un campo magn´etico H que se mide en Amper/metro, cuya magnitud en cualquier punto P localizado a una distancia perpendicular R (metros) de un conductor de largo (infinito) recorrido por una corriente I es: − → H =

→ → 1 − → I ∧− a R ←→ |− a R| = 1 (3.2) 2πR → − Observar que el m´odulo de H no depende del material que compone “el espacio”, vale lo mismo sea el material “vac´ıo, aire , agua o hierro”. Si ahora el “medio”tiene como propiedad una permeabilidad magn´etica − → absoluta µ2 medida en Hy/m, entonces se asocia al campo magn´etico H , un − → → − − → vector densidad de flujo magn´etico B en ese medio dado por: B = µ · H Si − → el campo B atraviesa una superficie A, entonces aparece un flujo magn´etico H − → → → − − → φ= A B ·− n dA medido en Wb. Si B y A son bien comportadas entonces φ = B · A. De esta ley surge la “regla de la mano derecha”a fin de determinar el sentido del flujo magn´etico φ generado por un campo magn´etico H, el cual a su vez es generado por una corriente I que recorre un conductor en cierta disposici´on en el espacio (si sujeto el conductor con la mano derecha, con el pulgar extendido en la direcci´on de I, entonces los dedos restantes se arrollan alrededor del conductor en la direcci´on del campo.

3.1.3.

Ley de Faraday

Si un conductor finito resulta enlazado por un flujo magn´etico que var´ıa en el tiempo , entonces aparece, se induce, en los bornes del conductor una tensi´on e dada por: dφ e=− (3.3) dt La polaridad de la tensi´on es tal que; si la corriente pudiera circular como resultado de la misma, el flujo magn´etico que esta corriente establecer´ıa se 1

En general en los estudios introductorios de las M´ aquinas El´ectricas en r´egimen permanente los sistemas conductor-campo son “bien comportados”. − → 2 La permeabilidad absoluta del vac´ıo vale: φo = 4π10−7 Hy/m constante ∀ H , sin embargo en el resto de los materiales de la naturaleza la permeabilidad depende del val− → or de H . En la pr´ actica solo se considera esta dependencia en los llamados materiales ferromagn´eticos , asumi´endose para los restantes materiales, constante independiente de − → H. ´ n a la Electrote ´cnica Introduccio

3.1 Leyes Fundamentales opondr´ıa a la variaci´on del flujo que la origina, se podr´ıa decir que intenta oponerse al cambio. Como colorario inmediato si al conductor lo devano en N vueltas la tensi´on en sus extremos ser´a: e = −N dφ ıtese como esta dt . Med´ ley vincula la existencia de una campo magn´etico con una tensi´on el´ectrica resultante, resulta una de las leyes fundamentales del electromagnetismo y base del funcionamiento de las m´aquinas.

3.1.4.

Ley de Ampere

La relaci´on causa-efecto entre una corriente el´ectrica I que recorre N conductores en un mismo sentido y el campo magn´etico que estas generan a lo largo de una curva cerrada que rodea a los N conductores esta dada por: I H · dl = N I = F mm (3.4) C

F mm es la llamada Fuerza MagnetoMotriz. Esta ley al igual que la anterior tiene una importancia te´orica fundamental, med´ıtese ahora como vincula la existencia de una corriente el´ectrica con un campo magn´etico resultante. Estas dos u ´ltimas leyes son la base de la teor´ıa electro-magn´etica Sin embargo su aplicaci´on pr´actica resulta en general muy engorrosa dada su dependencia geom´etrica con la trayectoria elegida as´ı como la disposici´on de los conductores, salvo para configuraciones t´ıpicas realizadas de ex profeso. Este u ´ltimo es el caso del circuito magn´etico el cual se configura de la manera indicada por la figura 3.1. En una “estructura”de material principalmente magn´etico (representada en la fig 3.1 por las long. L1 a L4 y secciones S1 a S4) inmersa en un medio no magn´etico (usualmente aire) se bobina en forma uniforme N vueltas de un conductor recorrido por una corriente I. Si aplicamos la ley de Ampere en la trayectoria dada por el material P4 R → → −− Figura 3.1: Circuito Magnetico simple se tiene i=1 Li H dl = N I en la aproximaci´ on que H es colineal con φ , y si suponemos ahora que el flujo magn´etico se dl. Pero H = Bu = Sµ conserva dada la diferencia de permeabilidad magn´eticos entre el material y P Li el medio resulta: φ 4i=1 µSi obteniendo de manera sencilla la determinaci´on del flujo magn´etico. La configuraci´on tipo indicada en la figura es de aplicaci´on generalizada en las m´aquinas el´ectricas como forma de obtener un cierto flujo magn´etico en un material a partir de una cierta corriente I. Dada su trascendencia da ´ n a la Electrote ´cnica Introduccio

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Electromagnetismo lugar a la Teor´ıa de Circuitos Magn´eticos que repasaremos m´as adelante, que permite determinar los flujos magn´eticos para diferentes tipos de configuraciones del circuito.

3.2. 3.2.1.

Propiedades Magn´ eticas de los Materiales La curva magn´ etica

La magnitud fundamental que identifica las diferentes caracter´ısticas magn´eticas de los materiales es la permeabilidad magn´etica µ, utiliz´andose usualmente la permeabilidad relativa µr = µ/µo . La clasificaci´on b´asica es en materiales magn´eticos o ferromagn´eticos y no magn´eticos dependientes de la forma de la curva µ = B/H para diferentes valores de H. Los materiales no magn´eticos (aire, cobre, bronce, agua, etc) presentan una curva lineal para todo H, siendo el valor de µr ∼ = 1. Por su parte los materiales magn´eticos (hierro, niquel, cobalto) presentan una curva no lineal en H, t´ıpica, la cual presenta dos zonas bien diferenciadas para H creciente: una zona lineal donde µr ∼ = 1000 (o mucho m´as) , una zona de transici´on r´apida llamada codo donde µr cae r´apidamente y luego una zona de saturaci´on donde µr ∼ = 1 comport´andose entonces como un material no magn´etico. A esta curva se le denomina usualmente la curva del Hierro o curva magn´etica. Se observa que todos los materiales en particular los magn´eticos presentan magnetismo remanente (base de los llamados im´anes permanentes) el cual se caracteriza por que B 6= 0 (usualmente de muy peque˜ no valor) con H = 0. En la naturaleza las propiedades magn´eticas de los materiales magn´eticos son regulares en estado natural, por tal raz´on los materiales magn´eticos hoy utilizados si bien la mayor´ıa en base a Hierro son productos de transformaciones t´ermico-mec´anicas llamadas los aceros magn´eticos existiendo hoy d´ıa m´ ultiples variedades calidad-precio. Se recomienda consultar cualquier manual (reciente) de materiales magn´eticos a fin de observar las diferentes caracter´ısticas magn´eticas de los materiales usualmente utilizados. En la pr´actica com´ un es usual aproximar la curva sin tener en cuenta el codo en la forma indicada por la figura 3.2.

3.2.2.

Figura 3.2: Curva Magnetica Tipica

Hist´ eresis

Los materiales magn´eticos (ferromagn´eticos) presentan todos (en mayor o menor medida actualmente controlable) el fen´omeno de hist´eresis. Este ´ n a la Electrote ´cnica Introduccio

3.2 Propiedades Magn´ eticas de los Materiales fen´omeno se caracteriza por el hecho de que la curva magn´etica cuando H “crece”es diferente que la curva magn´etica cuando H “decrece”, siempre en el plano [H; B] la curva magn´etica para H crecientes esta “por debajo”de la curva magn´etica para H decrecientes. Este fen´omeno usualmente no es tenido en cuenta en la pr´actica operativa com´ un con las m´aquinas, pero s´ı debe ser tenido en cuenta en algunas aplicaciones en particular, como luego veremos, en la determinaci´on de las llamadas p´erdidas magn´eticas.

3.2.3.

Magnetostricci´ on

Los materiales magn´eticos presentan un fen´omeno de deformaci´ on el´ astica en presencia de un campo magn´etico externamente aplicado. Si bien el cambio dimensional en t´erminos absolutos es despreciable (micras), si el campo es alterno, el fen´omeno se manifiesta por una vibraci´on en el rango audible al doble de la frecuencia de la fuente. En la pr´actica operativa este fen´omeno no se tiene en cuenta, sin embargo en las especificaciones de las m´aquinas se debe tener en cuenta en virtud de las restricciones actualmente existentes de contaminaci´on sonora.

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Electromagnetismo

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Cap´ıtulo 4

Circuitos Magn´ eticos Denominamos circuitos magn´eticos ciertas trayectorias concentradas de flujo magn´eticos en materiales ferromagn´eticos junto con su fuente de excitaci´on magnetomotriz (F mm). El objetivo b´asico en el dise˜ no de los circuitos magn´etico es establecer un flujo magn´etico predeterminado en un espacio o caminos ferromagn´eticos dados y generado por la m´ınima F mm posible. Dado un circuito magn´etico los problemas ha resolver en general son de dos tipos: Determinar la F mm requerida para obtener un cierto flujo dado. Determinar el flujo establecido por un valor dado de F mm.

4.1.

Metodolog´ıa de An´ alisis

Es posible realizar una analog´ıa entre los circuitos magn´etico con fuentes constantes de F mm excitadoras (corriente en d.c) y los circuitos el´ectricos de cd. Si hacemos abstracci´on de la no linealidad magn´etica, la t´ecnica de an´alisis es id´entica para ambos tipos de circuitos. En efecto consideremos el circuito de la figura 4.1, donde los caminos L1 a L4 son de ciertos materiales ferromagnet´ıcos con permeabilidad µ1 a µ4 supuesta constante. Habiamos visto que: 4 X Li φ = NI (4.1) µi Si i=1

Consideremos ahora la siguiente ecuacion: 4 4 X X Li =