PAU Campo Magnético Ejercicios resueltos 1994 - 2009

1

PAU CyL 1994 Coeficiente de rozamiento en una varilla y trabajo rozamiento Una varilla, de masa 140 g y longitud 30 cm, descansa sobre una superficie horizontal y está recorrida por una corriente de intensidad 12 A. Cuando se aplica un campo magnético mínimo, vertical, de 1,3 10 - 2 T, la varilla comienza a deslizar sobre la superficie. Determina: a) El coeficiente estático de rozamiento entre la varilla y la superficie. b) El trabajo realizado cuando la varilla se ha desplazado 1 m. c) El aumento de la energía cinética de la varilla, al recorrer la misma distancia, si el campo magnético hubiese sido tres veces más intenso. a) Las fuerzas que actúan sobre la varilla, además de su peso y de la fuerza normal, son la fuerza magnética y la fuerza de rozamiento. Aplicando la condición de equilibrio, cuando la varilla    comienza a deslizarse, se tiene: F = 0; Fm + Fr = 0 Fm = Fr Sustituyendo: I l B sen 90 = μ N = μ m g Despejando:

=

x x

x Fm x

x

I x

x

x

xB Fr

x

I l B 12 A 0,3 m 1,3 · 10- 2 T = = 0,034 mg 0,140 kg 9,8 m/ s2

b) La fuerza magnética realiza un trabajo que se emplea en vencer la fricción.

 W=F_

 r = F r = I l B Δr = 12 A 0,3 m 1,2 10 - 3 T 1 m = 0,0468 J

c) El trabajo que realiza la fuerza magnética se emplea en vencer a la fricción y en aumentar su energía cinética. Fm Δr = Fr Δr + ΔEc; I l 3 B Δr = I l B Δr + ΔEc Despejando: ΔEc = 2 I l B Δr = 2 0,468 J = 0,936 J PAU CyL S1994 Electrón y protón dentro de B, radio y esquema Sobre un electrón que se mueve a 10 km/s, actúa en dirección normal a su velocidad un campo magnético de 10 - 2 T. a) Calcula la fuerza que actúa sobre el electrón. b) Demuestra que el electrón seguirá una trayectoria circular con movimiento uniforme. Haz un esquema explicativo. c) )Cuál es el valor del radio de la órbita descrita por el electrón? ¿Y si fuera un protón? d) Basado en estos fenómenos, ¿conoces algún sistema de utilidad?







a y b) Sobre la partícula actúa la fuerza de Lorentz: F = q (v B) , de dirección la de la perpendicular al plano formado por los vectores campo magnético y velocidad y sentido el indicado por la regla del sacacorchos al voltear la velocidad sobre el campo magnético, regla de Maxwell.

B

Fm

Si los vectores velocidad y campo magnético son perpendiculares, el vector fuerza es perpendicular a la trayectoria y por ello el electrón describe un movimiento circular y como el módulo de la fuerza es constante, el movimiento es uniforme. El módulo de la fuerza de Lorentz es: F = |q| · v · B · sen 90º = 1,6 10 - 19 C 104 m/s 10-2 T = 3,3 10 - 15 N c) Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular del electrón:   F = m · a n; FLorentz

Despejando: R

2

2

v v ; | q |· v · B· sen 90º m R R 31 4 m · v 9,1·10 kg · 10 m / s 5,7 ·10 6 m | q |· B 1,6 ·10 19 C ·10 2 T m·

Y

m·v | q |· B

1,67 ·10 1,6 ·10

27

kg · 104 m / s

19

2

C ·10 T

Fm v

B Z

X

+ v

Fm

Si la partícula fuerza un protón, la trayectoria se recorre en sentido contrario a la del electrón y el radio de la órbita es: R

v

-

B

0,01m

Y

d) En estos fenómenos se basa el espectrómetro de masas.

v B Z

Fm

X

PAU Campo Magnético Ejercicios resueltos 1994 - 2009

2

PAU CyL S1995 Campo E compensa peso y velocidad en selector de velocidad Una carga eléctrica de + 1 mC, cuya masa es de 1 g, se desplaza horizontalmente a velocidad constante gracias a la acción de un campo eléctrico que compensa a su peso. a) )Cuál es el valor de dicho campo? Ahora se aplica un campo magnético de forma que la partícula siga una trayectoria vertical. El módulo de este campo magnético es de 0,01 T y el radio de la trayectoria de 10 cm. b) )Cuál es la velocidad del electrón? c) Demuestra que puede mantenerse a la partícula desplazándose horizontalmente si se incrementa en ΔE el valor del campo eléctrico, y que este incremento es proporcional a la velocidad de la partícula (lo que podría valer como método de medida de la mencionada velocidad). Para el apartado c ver la página 158 del libro. a) Sobre la partícula actúan su peso y la fuerza eléctrica, como ambos se compensan el campo eléctrico tiene de dirección la vertical y sentido contrario al peso. P = Feléctrica; m g = q E

Fe

E

+

m · g 9,8 m/ s2 · 10 - 3 kg N = = 9,8 Despejando: E = -3 q 1 · 10 C C

v

P

b) Para que la partícula describa una trayectoria vertical hay que aplicar un campo magnético perpendicular al plano del papel. Si la trayectoria se describe en sentido de las agujas del reloj, la fuerza de Lorentz tiene de dirección la perpendicular a la velocidad y sentido hacia B abajo y por ello el campo magnético tiene la dirección perpendicular al plano del papel (perpendicular a la fuerza y a v) y sentido hacia afuera. + v Fm Aplicando la segunda ley de Newton y como la trayectoria es circular la aceleración es la aceleración normal. R

·

  F = m · a n ; FLorentz = m v2/R; q v B sen 90 = m v2/R

Despejando: v =

q B R 10- 3 C · 0,01T · 0,1 m m = = 1 · 10- 3 -3 m s kg 10

c) Para mantener a la partícula según una trayectoria horizontal hay que aplicar una fuerza del mismo módulo que la fuerza magnética, su misma dirección y sentido opuesto. Esta fuerza la proporciona el campo eléctrico suplementario. FLorentz = ΔFeléctrica; q v B sen 90 = q ΔE; v B = ΔE

Fe B

·

E

+

v

Fm

E Despejando: v = B

Conocido el módulo del campo magnético y el valor del incremento del módulo del campo eléctrico, es inmediato el cálculo de la velocidad. PAU CyL MC1997 Fuerza Lorentz sobre α y velocidad angular Una partícula α cuya carga es de 3,2 10 - 19 C y su masa 6,7 10 - 27 kg, se mueve en un plano perpendicular a un campo magnético de 0,55 T. Determine: a) La fuerza magnética ejercida sobre la partícula, indicando dirección y sentido en un diagrama, si el radio de la trayectoria es 0,27 m. (2 puntos) b) Velocidad angular de dicha partícula. (1 punto) Las partículas α son núcleos de helio: 42He. a) Si la velocidad lleva dirección horizontal y hacia la derecha y el campo magnético es perpendicular al plano del papel y hacia afuera, la fuerza magnética tiene de dirección la vertical y sentido hacia abajo. Ver diagrama. El módulo de la fuerza magnética es: Fm = q v B sen 90 Aplicando la segunda ley de Newton, en módulo: Fm = m an; q v B = m v

2

R

v=

qBR m

·B

+

v

Fm R

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3

q BR q2 2 R B= B m m v rad b) Para calcular la velocidad angular se aplica: v = ω R = en R s

Con lo que la fuerza magnética es: Fm = q v B = q

Entreteneos en sustituir y comprobad que las unidades son las correctas. Las unidades de ω:

=

v m/s rad en = R m/radio s

PAU CyL J1997 Partículas cargas opuestas en campo magnético Dos partículas materiales, P1 y P2, poseen cargas iguales y de signos contrarios, en tanto que la masa de P1 es mayor que la de P2. Ambas partículas, que se mueven con la misma velocidad, penetran en un campo magnético uniforme, con una dirección perpendicular al mismo. Al entrar en el campo, las dos partículas curvan sus trayectorias en sentidos contrarios. a) Confeccione un diagrama al efecto. b) )Cuál de ellas tendrá la trayectoria de mayor radio de curvatura? Razone la respuesta. Cuando una partícula cargada penetra en un campo magnético actúa sobre ella la fuerza de Lorentz:      F q · ( v B) , de dirección la perpendicular al plano que determinan los vectores v y B y sentido el indicado por la regla de Maxwell. Si el campo magnético es uniforme y la dirección del vector velocidad es perpendicular a él, entonces la fuerza de Lorentz proporciona una aceleración normal que le obliga a la partícula a describir describe una trayectoria circular contenida en un plano perpendicular al campo magnético. La carga positiva recorre la trayectoria en un sentido y la negativa en sentido contrario, tal y como muestra la figura adjunta. Aplicando la segunda ley de Newton a una partícula cargada y como el vector velocidad y el vector campo magnético son perpendiculares, se tiene:   v2 F m · a n ; |q| · v · B · sen 90º = m R

R

m· v | q |· B

m

P1

Como la carga de las dos partículas es la misma, tiene mayor radio aquella que tenga una masa mayor, es decir la partícula P 1.

× F × +× -× ×F ×

P2

× × B × × × v ×  × v× × × × ×

m PAU CyL J1999 fuerza sobre un p y un e de una cierta energía en eV Un protón con una energía cinética de 1 eV se mueve perpendicularmente a un campo magnético de 1,5 T. a) Calcule la fuerza que actúa sobre esa partícula, sabiendo que su masa es de 1,67 10 - 27 kg. (1,5 puntos) b) Lo mismo suponiendo que la partícula fuera un electrón con la misma energía cinética. (1,5 puntos) (Nota: es imprescindible incluir en la resolución los diagramas o esquemas oportunos)

a) La velocidad de la partícula se determina aplicando la ley de la conservación de la energía. 2 eV 2 eV · 1,6 · 10- 19 J/ev = = 1,38 · 104 m/s m 1,67 · 10- 27 kg    Sobre la partícula actúa la fuerza de Lorentz: F = q (v B)

1 eV = 2 m v2; v =

+

Esta fuerza tiene por dirección la de la perpendicular al plano formado por el campo magnético y la velocidad y sentido el indicado por la regla de sacacorchos al voltear la velocidad sobre el campo magnético. El módulo de la fuerza de Lorentz es: F = q v B sen 90 = 1,6 10 - 19 C 1,38 104 m 1,5 T = 3,3 10 - 15 N También se puede determinar vectorialmente. Eligiendo un sistema de referencia como el indicado en la figura adjunta, se tiene:     F = q (v B) = 1,6 · 10- 19 C · 1,38 · 104 m · 1,5 T ( i   En el sistema de referencia elegido: i k = - j

  k) = 3,31· 10- 15 (- j ) N

v

Fm

B Y v B Z

Fm

X

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4

b) La velocidad del electrón se determina aplicando la ley de la conservación de la energía. 2 eV 2 eV · 1,6 · 10- 19 J/ev = = 5,93· 105 m/s m 9,1· 10- 31 kg    Sobre la partícula actúa la fuerza de Lorentz: F = q (v B)

1 eV = 2 m v2; v =

B

Esta fuerza tiene por dirección la de la perpendicular al plano formado por el campo magnético y la velocidad y sentido del indicado por la regla de sacacorchos al voltear la velocidad sobre el campo magnético y teniendo en cuenta que la carga de la partícula tiene signo negativo.

Fm

Y

También se puede determinar vectorialmente. Eligiendo un sistema de referencia como el indicado en la figura adjunta, se tiene:   F = q (v

  B) = - 1,6 · 10- 19 C · 5,93· 105 m / s · 1,5 T ( i

v

-

El módulo de la fuerza de Lorentz es: F = q v B sen 90 = 1,6 10 - 19 C 5,93 105 m/s 1,5 T = 1,4 10 - 13 N

  k) = 1,4 · 10- 13 j N

Fm v

X

B Z

PAU CyL S1999 Campo y flujo en un solenoide Se tiene un solenoide de 1 m de longitud, que consta de 1300 espiras por las que circula una corriente de 2,5 A. Si el solenoide tiene un diámetro de 5 10 - 2 m, determina: a) El campo magnético producido en el interior del solenoide. b) El flujo que lo atraviesa. a) El campo magnético que produce un solenoide está dirigido a lo largo de su eje y su sentido es el del avance de un tornillo que gira siguiendo el sentido de la intensidad de la corriente eléctrica en las espiras. Su módulo es: N I 4 · ·10 L

B

7

N 1300espiras A 2,5 2 1 m espira A

4,1·10 3 T

b) El campo magnético es uniforme en el interior del solenoide y paralelo al vector superficie, por lo que el flujo del campo magnético que lo atraviesa es: B

  N· B·S N · B·S· cos 0º 1300espiras · 4,1·10 3 T ·

5·10 2

2

2

m2 espira

3,3·10 3 weber

PAU CyL S2000 Ion que se acelera antes de entrar en B, piden v y r Un ion de carga 1,6x10-19 C y masa 9,62x10-26 kg se acelera desde del reposo mediante una diferencia de potencial de 3000 V y a continuación penetra perpendicularmente en un y campo magnético uniforme de 0,12 T como el mostrado en la figura. Sabiendo que el ion describe un movimiento circular uniforme cuando está sumergido en el campo, se pide: a) Dibuje el sentido de la trayectoria del ion y represente, en dos puntos opuestos de esa trayectoria, un esquema con los vectores que v q intervienen en el problema. x b) La velocidad con la que se mueve el ion dentro del campo magnético y el radio de curvatura de la trayectoria descrita por la partícula. 





Y

a) Sobre la partícula actúa la fuerza de Lorentz: F = q (v B) , de dirección la de la perpendicular al plano formado por los vectores campo magnético y velocidad y sentido el indicado por la regla del sacacorchos al voltear la velocidad sobre el campo magnético, regla de Maxwell. b) El campo eléctrico que acelera al ion es conservativo, por lo que la velocidad de la partícula se determina aplicando la ley de la conservación de la energía mecánica. ΔEc + ΔEp = 0; ½ · m · v2 = q · ΔV

v

+ Fm Fm v

v

B Z

B

X

Fm

Y Fm X

v Z

B

PAU Campo Magnético Ejercicios resueltos 1994 - 2009 v=

2 ·q · V = m

5

2 · 1,6 · 10- 19 C · 3 000 V = 9,9 · 104 m/s 9,62 · 10- 26 kg

Al penetrar la partícula en el campo magnético actúa la fuerza de Lorentz, perpendicular al vector velocidad y si ambos son perpendiculares inicialmente entonces el ion describe una trayectoria circular. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular del ion, resulta que:   F = m · a n; FLorentz

Despejando: R

v2 v2 ; | q |· v · B· sen 90º m R R m · v 9,62·10 26 kg · 9,9 ·104 m / s | q |· B 1,6 ·10 19 C · 0,12 T m·

0,496 m

PAU CyL S2002 Trayectorias, radios y frecuencias electrón y alfa Un electrón y una partícula alfa (carga qα = 3,2 10-19 C y masa mα = 6,68 10-27 kg) penetran perpendicularmente en el mismo campo magnético uniforme y con la misma velocidad. a) Dibuje esquemáticamente las trayectorias descritas por ambas partículas y calcule la relación entre los radios de las órbitas circulares que describen. b) Determine la relación entre sus frecuencias de rotación. Cuando una partícula cargada penetra en un campo magnético actúa sobre    ella la fuerza de Lorentz: F q · (v B) , de dirección la perpendicular al 



plano que determinan los vectores v y B y sentido el indicado por la regla de Maxwell. Si el campo magnético es uniforme y la dirección del vector velocidad es perpendicular a él, entonces la fuerza de Lorentz proporciona una aceleración normal que le obliga a la partícula a describir describe una trayectoria circular contenida en un plano perpendicular al campo magnético. La carga positiva recorre la trayectoria en un sentido y la negativa en sentido contrario, tal y como muestra la figura adjunta. Aplicando la segunda ley de Newton a una partícula cargada y como el vector velocidad y el vector campo magnético son perpendiculares:   v2 F m · a n ; |q| · v · B · sen 90º = m R

R

r

 B

 F  v

 v n ve  F

re

m· v | q |· B

La relación entre sus radios, como su velocidad es la misma y entran en el mismo campo es: Re R

me | qe | m |q |

9,1·10 6,68·10

31

kg · 3,2 ·10

27

kg ·1,6 ·10

19

C

19

C

2,72·10

4

Aplicando las relaciones entre la frecuencia, el período y la velocidad lineal resulta que: f T

1 T f 2· ·R v

v 2· ·R

v m·v 2· | q |· B

| q |· B 2· ·m

La frecuencia de rotación y el período son independientes del radio de la trayectoria y de la velocidad, dependen de la relación carga-masa y del módulo del campo magnético. La relación entre sus frecuencias es:

fe f

| qe | me |q | m

6,68·10 9,1·10

27 31

kg ·1,6 ·10

kg · 3,2 ·10

19 19

C

C

3 670

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PAU CyL J2003 Radio, trayectorias y período de p, n y e en campo magnético Un protón, un electrón y un neutrón penetran con la misma velocidad y en el mismo punto en una zona en la que existe un campo magnético uniforme perpendicular a su trayectoria. Dibuje esquemáticamente la trayectoria descrita por cada una de esas partículas en la zona en la que existe campo. Indique cuál de estas trayectorias presenta el mayor radio de curvatura y cuál el mayor período de rotación. Razone sus respuestas. Cuando una partícula cargada penetra en un campo magnético actúa sobre    ella la fuerza de Lorentz: F q · (v B) , de dirección la perpendicular al 



plano que determinan los vectores v y B y sentido el indicado por la regla de Maxwell.

rp

 B

 F

Si el campo magnético es uniforme y la dirección del vector velocidad es perpendicular a él, entonces la fuerza de Lorentz proporciona una aceleración normal que le obliga a la partícula a describir describe una trayectoria circular contenida en un plano perpendicular al campo magnético.

 vp  v n ve  F

En el caso que concierne el neutrón está afectado por el campo magnético ya que no tiene carga y el protón y el electrón describen trayectorias circulares recorridas en sentidos contrarios.

re

Aplicando la segunda ley de Newton a una partícula cargada y como el vector velocidad y el vector campo magnético son perpendiculares, se tiene:   v2 F m · a n ; |q| · v · B · sen 90º = m R

R

m· v | q |· B

El protón y el electrón llevan la misma velocidad y tienen el mismo valor absoluto de su carga RP

mp · v | q |· B

;Re

me · v y como el protón tiene una masa mayor que el electrón, el radio de la órbita del | q |· B

protón es mayor que el de la órbita del electrón. De la ecuación anterior se deduce la velocidad angular y el período del movimiento. v R

| q |· B m

T

2·

2· · m | q |· B

Y para cada partícula los períodos del movimiento son: Tp

2· · mp | q |· B

; Te

2· · me , por lo que el período del | q |· B

protón en su órbita es mayor que el del electrón. PAU CyL J2004 campo magnético dos conductores Se tienen dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos, separados por una distancia d. Por el conductor 1 circula una intensidad de 4 A en el sentido mostrado en la figura. a) Determine el valor y sentido de la intensidad que debe circular por el conductor 2 de forma que el campo magnético resultante en el punto P1 se anule (1,5 puntos). b) Si la distancia que separa los dos conductores es d = 0,3 m, calcule el campo magnético B (módulo, dirección y sentido) producido por los dos conductores en el punto P2, en la situación anterior (1,5 puntos). Nota: Los conductores y los puntos P1 y P2 están contenidos en el mismo plano.

I1 = 4 A d

d/3 P1

P2 0,5 m

A 1

2

a) Cada conductor genera un campo magnético cuyas líneas de campo son circunferencias concéntricas en ellos y cuyo sentido es el indicado por el giro de un sacacorchos que avanza según la intensidad de la corriente eléctrica.

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Los dos conductores generan en el punto P 1 campos magnéticos perpendiculares al plano del papel. El conductor 1 lo genera hacia dentro, por lo que el conductor 2 lo debe generar hacia afuera y por ello el sentido de la corriente eléctrica en él debe ser el mismo que en el conductor 1.

I1 = 4 A d

Aplicando la ley de Biot y Savart para un conductor rectilíneo e igualando los módulos del campo magnético, resulta que: B1 = B2;

· I1 2 · · r1

·I2 2 · · r2

4A d/3

Despejando el módulo de la intensidad es: I2 = 8 A

· I1 B = B1 + B2 = 2 · · r1

0,5 m 2

I1 = 4 A d

·I2 2 · · r2

4 · ·10 7 N / A 2 4 A 2· 0,8 m

 B2

I2

Operando y sustituyendo: B

P2

d/3 P1  B2 1

I2 2d / 3

b) Los dos conductores generan en el punto P 2 campos magnéticos perpendiculares al plano del papel y sentido hacia dentro, por lo que sus módulos se suman.

I2

 B1

8A 0,5 m

-6

4,2 · 10 T

d/3 P1

 B1

0,5 m

1

P2

2

PAU CyL S2004 Selector de velocidad  Se sabe que en una zona determinada existen un campo eléctrico E y otro magnético  partícula cargada con carga q entra en dicha región con una velocidad v , perpendicular a observa que no sufre desviación alguna. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:    a) ¿Qué relación existe entre las direcciones de los tres vectores E , B y v ? b) ¿Cuál es la relación entre los módulos de los tres vectores? El enunciado del ejercicio se corresponde a un selector de velocidades. Si en una región del espacio actúan un campo magnético y un campo eléctrico perpendiculares entre sí y sobre la que se lanzan partículas cargadas perpendicularmente a ambos campos, con velocidades diferentes eligiendo adecuadamente el sentido de los campos, uno las desvía en un sentido y el otro en el contrario. Ajustando el valor de los módulos de los dos campos se puede conseguir que las partículas que posean una determinada velocidad pasen por esa región sin desviarse de su trayectoria.   Fm agnética Feléctrica

E

× × × × × B × × × × × × × × × × Fe

Fm

0

En módulo: |q| · v · B = |q| · E

+ v

E B

 B . Una B , y se

Fe

v

-

v

Fm

PAU CyL J2005 campo magnético dos conductores, donde se anula Dos hilos rectilíneos indefinidos paralelos separados una distancia de 1 m transportan corrientes de intensidad I1 e I2. a) Cuando las corrientes circulan en el mismo sentido el campo magnético en un punto medio vale 2 · 10-6 T, mientras que cuando circulan en sentidos opuestos dicho campo vale 6 · 106 T. Calcule el valor de las intensidades I1 e I2 (1,5 puntos). b) Si los dos hilos transportan corrientes de intensidad I1 = 1 A e I2 = 2 A en el mismo sentido, calcule dónde se anula el campo magnético (1,5 puntos).

PAU Campo Magnético Ejercicios resueltos 1994 - 2009 a) Un hilo rectilíneo por el que pasa una intensidad de la corriente eléctrica, genera un campo magnético cuyas líneas de campo son circunferencias concéntricas en el hilo.

I1

1m

I2

8

I1

1m

I2

 B1

  B1 B2 En la región del plano situada entre los dos conductores, los campos magnéticos son perpendiculares al plano del papel y su sentido  es el indicado por la regla de Maxwell, que B2 coincide con el del giro de un tornillo que avance según el sentido de la corriente eléctrica. Cuando la intensidad de la corriente eléctrica tiene el mismo sentido, los dos campos tienen sentido contrario y si la intensidad de la corriente tiene distinto sentido, entonces los dos campos tienen el mismo sentido.

El módulo del campo magnético generado por un conductor a una distancia r de él es: B

·I 2· ·r

Aplicando la ecuación anterior y como el punto considerado está a la misma distancia de los dos conductores, resulta que: mismo sentido :

·I1 2· ·r

·I 2 2· ·r

2 ·10 6 T

·I1 2· ·r

·I 2 2· ·r

6 ·10 6 T

sentido opuesto :

· (I1 I 2 ) 2 · · r · 2 ·10 6 T · (I1

I 2 ) 2 · · r · 6 ·10 6 T

4 · ·10

7

N / A 2 · (I1 I 2 ) 2 · · 0,5 m · 2 ·10 6 T I1 I 2 5 A

4 · ·10

7

N / A 2 · (I1

I 2 ) 2 · · 0,5 m · 6 ·10 6 T I1

I1 10 A; I 2 5 A

I 2 15 A

b) Si los hilos transportan corrientes en el mismo sentido, el campo magnético se anula en la zona del plano comprendida entre los dos conductores. Sea ese punto, un punto P situado sobre el segmento que une los dos conductores a una distancia x del conductor I1. En ese punto los módulos de los dos campos magnéticos son iguales. B1 = B2;

· I1 2· · x

·I2 ; 1 A (1 – x) = 2 A · x 2 · · (1 x )

x = 1/3 m

El campo magnético se anula a lo largo de la recta paralela a los conductores y situada entre ellos a una distancia de 1/3 m del conductor I1 y a 2/3 m del conductor I2.

I1

1m

I2

 B1 x  B2

PAU CyL S2005 Partícula en campo B, trabajo cero y radio  Una partícula con carga q y masa m penetra con una velocidad v en una zona donde existe un campo



magnético uniforme B . a) ¿qué fuerza actúa sobre la partícula? Demuestre que el trabajo efectuado por dicha fuerza es nulo (1 punto).   b) Obtenga el radio de la trayectoria circular que la partícula describe en el caso en que v y B sean perpendiculares (1 punto). 





a) Sobre la partícula actúa la fuerza de Lorentz: F = q (v B) , de módulo: F = |q| · v · B · sen φ, siendo φ el ángulo entre los vectores velocidad y campo magnético, de dirección la de la perpendicular al plano formado por los vectores campo magnético y velocidad y sentido el indicado por la regla del sacacorchos al voltear la velocidad sobre el campo magnético, regla de Maxwell. El vector fuerza es siempre perpendicular al vector velocidad y a la trayectoria y por ello el trabajo que realiza esta fuerza es siempre igual a cero. El módulo del vector velocidad siempre permanece constante, solo se modifica su trayectoria. b) Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular de la partícula:   F = m · a n; FLorentz

m·

v2 v2 ; | q |· v · B · sen 90º m R R

R

m· v | q |· B

PAU Campo Magnético Ejercicios resueltos 1994 - 2009

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PAU CyL J2008 fuerzas entre conductores La figura muestra tres conductores paralelos y rectilíneos por los que circulan las corrientes I1, I2 e I3 respectivamente. La corriente I1 tiene el sentido indicado en la figura. Sabiendo que la fuerza neta por unidad de longitud sobre el conductor 2 (debida a los conductores 1 y 3) y sobre el conductor 3 (debida a los conductores 1 y 2) son ambas nulas, razone el sentido de las corrientes I2 e I3 y calcule sus valores en función de I1 (2 puntos). Un hilo rectilíneo por el que pasa una intensidad de la corriente eléctrica, genera un campo magnético cuyas líneas de campo son circunferencias concéntricas en el hilo y situadas en un plano perpendicular a él. El sentido del campo magnético es el indicado por la regla de la mano derecha que coincide con el del giro de un sacacorchos que avanza según el sentido de la intensidad de la corriente eléctrica. Aplicando la ley de Biot y Savart, el módulo del campo magnético generado por un conductor a una distancia r de él es: B1

· I1 2· ·r

Al colocar otro conductor, por el que pasa una intensidad de la corriente eléctrica I2, a una distancia r del primero, los conductores interaccionan con fuerzas del mismo módulo y dirección, pero de sentidos contrarios y que se calculan    aplicando la segunda ley de Laplace: F I · (L B) . Como los conductores están colocados paralelamente, se tiene que los módulos de estas fuerzas, que forman un par de acción y reacción, son: F2

F1

L · I 2 · B1

L·I2 ·

· I1 2· ·r

2·

·I1 · I 2

L , r

I1 F2

2·

·I1 · I 3

L 2·d

2·

· I 2 · I3 ·

L d

I1 2

x B1

con L la longitud de los

Con estas consideraciones se deduce que las intensidades de las corrientes eléctrica I1 e I3 tiene que tener el mismo sentido y que la intensidad I2 tiene que tener sentido opuesto al de las anteriores. Las intensidades I1 e I3 tienen que tener el mismo valor, ya que de otra forma los módulos de las fuerzas con las que actúan sobre la intensidad I2 no serían iguales. El valor de la intensidad de la corriente eléctrica I2 tiene que ser igual a la mitad del valor de I 1, ya que está a una distancia de I 3 igual a la mitad de la distancia a la que está I1. En efecto: los módulos de las fuerzas que actúan sobre la intensidad I3 tienen que ser iguales. F2 ;

F1

B2

I1

conductores Estas fuerzas tienen por dirección la de la perpendicular a los hilos y sentido el indicado por la regla de Maxwell del producto vectorial, de forma que corrientes eléctricas del mismo sentido se atraen y si son de sentido contrario se repelen.

F1

I2

I2 F1

F2 B2

I1

x

x B1

I3

I2

 F3

d

 F1

 F1

 F2

d

I2

PAU CyL S2009 fuerza sobre partícula en un campo ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? Razone su respuesta. a) La fuerza ejercida por un campo magnético sobre una partícula cargada que se mueve con velocidad v incrementa su energía cinética (1punto). b) Es imposible que un electrón sometido a un campo magnético tenga una trayectoria rectilínea (1 punto).    a) Falso. La fuerza magnética que actúa sobre una partícula F q · ( vxB) es siempre perpendicular al vector velocidad y por tanto perpendicular a la trayectoria. El trabajo que realiza la fuerza magnética es igual a cero y por ello no se incrementa la energía cinética de la partícula. b) Falso. Si una partícula se lanza siguiendo la dirección paralela al campo magnético, entonces no se altera la trayectoria de la misma, ya que la fuerza magnética que actúa sobre ella es igual a cero.